2013届高考理科数学第一轮复习测试题6-10

故选A．故选A．综上可知：[,0]2a ∈-．（步骤4）【提示】由1n n a a +=可知n n n A B C △的边n n B C 为定值1a ，由111112(2)2n n n n b c a b c a +++=+--及1112b c a +=得12n n b c a +=，则在n n n A B C △中边长1n n B C a =为定值，另两边n n n n A C A B 、的长度之和12n n b c a +=为定值，由此可知顶点n A 在以n n B C 、为焦点的椭圆上，根据111()2n n n n b c b c ++=---，得1111()2n n n b c b c -⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，可知n →+∞时n n b c →，据此可判断n n n A B C △的边n n B C 的高n h 随着n 的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．51111得1AB AC ⊥； （Ⅱ）易证OA ，1OA ，OC 两两垂直．以O 为坐标原点，OA u u u r的方向为x 轴的正向，||OA u u u r 为单位长，建立r u u u r【提示】（Ⅰ）设动圆的半径为R ，由已知动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，可得1212()()|+|+++4PM PN R r r R r r ==-=||，而||2NM =，由椭圆的定义可知：动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，4为长轴长的椭圆，求出即可；（Ⅱ）设曲线C 上任意一点,()P x y ，由于||2222PM PN R ≤|-|=-，所以2R ≤，当且仅当圆P 的圆心为所以可设l ：4)+(y k x =，与椭圆的方程联立，得到根与系数的关系利用弦长公式即可得出． 【考点】圆的标准方程及其性质，椭圆的的定义及其几何性质，直线与双曲线的位置关系． 21.【答案】（Ⅰ）4a =2b = 2c = 2d =（Ⅱ）2[1,]e【解析】（Ⅰ）由已知得(0)2f =，(0)2g =，(0)4f '=，(0)4g '=．（步骤1）而+()2f x x a ='，((+))+xg x e cx d c '=，故2b =，2d =，4a =，+4d c =.（步骤2）从而4a =，2b =，2c =，2d =．（步骤3）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2()+4+2f x x x =，()21)+(x g x e x =．设函数2()()()2()+142x F x kg x f x ke x x x =-=---，则()2+()2242+1(2())x x F x ke x x x ke '=--=-．由题设可得(0)0F ≥，即1k ≥（步骤4）令()0F x '=得1ln x k =-，22x -=．（步骤5）①若21k e ≤<，则120x <≤-．从而当12(),x x ∈-时，()0F x '<；当1(),+x x ∈∞时，()0F x '>．即()F x 在1()2,x -单调递减，在1(),+x ∞单调递增．故()F x 在[)2,+-∞的最小值为1()F x ．（步骤6）而1111211()2+24+0)22(F x x x x x x =--=-≥-．故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f kg x x ≤恒成立．（步骤7）②若2k e =，则2222+()()()2x F e x e e x -'=-．从而当2x >-时，)0(F x '>，即F (x )在()2,+-∞单调递增．而()20F -=，故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f kg x x ≤恒成立．（步骤8）③若2k e >，则22222+220()()F ke e k e ---=-=-<-．从而当2x ≥-时，()()f kg x x ≤不可能恒成立．综上，k 的取值范围是2[1,]e ．（步骤9）【提示】（Ⅰ）对()f x ，()g x 进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ，从而解出a ，b ，c ，d 的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得出()f x ，()g x 的解析式，再求出()F x 及它的导函数，通过对k 的讨论，判断出()F x 的【提示】（Ⅰ）对于曲线1C 利用三角函数的平方关系式22sin cos 1t t +=即可得到圆1C 的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到1C 的极坐标方程；（Ⅱ）先求出曲线2C 的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标3⎝⎦21||23|2|x x y x +-=---，画出函数y 的图象，数形结合可得结论．。

2013届高三一轮复习理科数学全能测试（一） 集合与常用逻辑用语、函数概念与基本初等函数本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）；球的表面积公式：24R S π=（其中R 表示球的半径）；球的体积公式：343V R π=（其中R 表示球的半径）； 锥体的体积公式：Sh V 31=（其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高）；柱体的体积公式Sh V =（其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高）；台体的体积公式：)(312211S S S S h V ++=（其中21,S S 分别表示台体的上，下底面积，h 表示台体的高）．第Ⅰ卷（选择题，共50分）1、【2012 浙江理】设集合A={x|1<x<4},B={x|x 2-2x-3≤0},则A∩(C RB)= （ ）A ．(1,4)B ．(3,4)C ．(1,3)D ．(1,2)2、【2011 浙江理 】若,a b 为实数，则“01m ab ＜＜”是11a b b a ＜或＞的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3、下列函数中既是奇函数，又在区间()1,1-上是增函数的为（ ）A ．y x= B ．sin y x = C ．x x y e e -=+ D ．3y x =-4、若函数()log (2)(0,1)a f x ax a a =->≠在区间()1,3内单调递增，则a 的取值范围是A ．2[,1)3 B ．2(0,]3 C ．3(1,)2 D ．3[,)2+∞ 5、奇函数()f x 在(0,)+∞上的解析式是()(1)f x x x =-，则在(,0)-∞上()f x 的函数解析式是（ ）A ．()(1)f x x x =--B ．()(1)f x x x =+C ．()(1)f x x x =-+D ．()(1)f x x x =-6、函数()f x 的定义域为R ，且满足：()f x 是偶函数，(1)f x -是奇函数，若(0.5)f =9，则(8.5)f 等于（ ）A ．-9B ．9C ．-3D ．07、定义两种运算：22b a b a -=⊕，2)(b a b a -=⊗，则()()222xf x x ⊕=-⊗是（ ）函数． （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数8、已知函数()()()()f x x a xb a b =-->其中的图象如下面右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是 （ ）9、若02log )1(log 2<<+a a a a ，则a 的取值范围是 （ ）A ．（0，1）B ．（0，21）C ．（21，1）D ．（0，1）∪（1，+∞）10、设)(x f 是定义在R 上的偶函数，对R x ∈，都有)2()2(+=-x f x f ，且当]0,2[-∈x 时，1)21()(-=x x f ，若在区间]6,2(-内关于x 的方程0log )()2(=-+x a x f （a ＞1）恰有3个不同的实根，则a 的取值范围是（ ）A.(1,2)B.),2(+∞C.)4,1(3D.)2,4(3非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上． 2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11、命题“∃(12)x ∈，时，满足不等式240x mx ++≥”是假命题，则m 的取值范围 __________ 12、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________13、函数m x x f +=lg )(关于直线x=1对称，则m= 14、已知函数()()231f x mx m x =+-+的值域是[0,)+∞，则实数m 的取值范围是________________。

(时间：40分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共40分)1．如图所示，AB 是⊙O 的直径，MN 与⊙O 切于点C ，AC ＝12BC ，则sin ∠MCA ＝________.解析 由弦切角定理得， ∠MCA ＝∠ABC ， sin ∠ABC ＝ACAB＝AC AC 2＋BC 2＝AC 5AC ＝55. 答案552．如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，CD 与AB 相交于点E ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝45°，则∠AEC ＝________.解析 如图，连接BC ，由圆周角定理推论2知，∠ACB ＝90°. ∵∠ACD ＝60°，∴∠DCB ＝30°， 的度数＝60°.∴∠ADC ＝45°，∴ 的度数＝90°. ∴∠AEC ＝12( )的度数＝75°.答案 75°3．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点．AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ，∠DAB ＝80°，则∠ACO ＝________.解析 ∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ，又∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD . 由此得，∠ACO ＝∠CAD ， ∵OC ＝OA ，∴∠CAO ＝∠ACO ，∴∠CAD ＝∠CAO ，故AC 平分∠DAB .∴∠CAO ＝40°， 又∵∠ACO ＝∠CAO ，∴∠ACO ＝40°. 答案 40°4．如右图所示，已知⊙O 的直径与弦AC 的夹角为30°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于P ，PC ＝5， 则⊙O 的半径为________．解析 如图，连接OC ，则有∠COP ＝60°， OC ⊥PC ，可求OC ＝533. 答案533 5．(2019·深圳模拟)如图，P 是等边三角形ABC 外接圆 上任一点，AP 交BC 于点D ，AP ＝4，AD ＝2，则AC ＝________.解析 如图，连接PC 、PB ，在等边三角形A BC 中，有∠ABC ＝∠ACB ＝60°， 又∠ABC ＝∠APC ，所以∠ACB ＝∠APC . 而∠P AC 是公共角，所以△APC 和△ACD 相似， 所以AC AP ＝AD AC，即AC 2＝AP ·AD ＝4×2＝8，即AC＝2 2.答案2 26．(2019·东莞调研)如图，P A、PB是圆O的切线，切点分别为A、B，点C在圆O上，如果∠P＝50°，那么∠ACB＝________.解析连接OA、OB，因为P A、PB是圆O的切线，所以∠OBP＝∠OAP＝90°，又因为∠P ＝50°，所以∠AOB＝130°，所以∠ACB＝65°.答案65°7．(2019·汕头调研)如图，已知P A是圆O(O为圆心)的切线，切点为A，PO交圆O于B，C 两点，AC＝3，∠P AB＝30°，则圆O的面积为________．解析连接OA，由∠P AB＝30°，得∠OCA＝∠OAC＝30°，由余弦定理得，AC2＝OA2＋OC2－2OA·OC cos120°＝3OA2，OA＝13AC＝1，因此圆O的面积等于π×12＝π.另解由∠P AB＝30°，∴∠ACB＝30°，在Rt△ABC中，AC＝3，∴CB＝2，∴OC＝1，因此圆O的面积等于π×12＝π.答案π8．(2019·韶关调研)如图所示，CA和CB都是⊙O的切线，切点分别是A、B，如果⊙O的半径为23，且AB＝6，则∠ACB＝________.解析如图，连接OC交于AB于点D.∵CA、CB分别是⊙O的切线，∴CA＝CB，OC平分∠ACB，故OC⊥AB.由AB＝6，可知BD＝3，在Rt△OBD中，OB＝23，故sin ∠BOD ＝BD OB ＝323＝32，所以∠BOD ＝60°，又因为B 是切点，故OB ⊥BC ，所以∠OCB＝30°.故∠ACB ＝60°. 答案 60°二、解答题(共20分)9．(10分)如右图所示，AB 为圆O 的直径，BC ，CD 为圆O 的切线，B 、D 为切点． (1)求证：AD ∥OC ；(2)若圆O 的半径为1，求AD ·OC 的值． (1)证明 如图所示，连接OD ，BD ， ∵BC ，CD 为⊙O 的切线，∴BD ⊥OC ， ∴又AB 为圆O 的直径，∴AD ⊥DB ， ∴AD ∥OC .(2)解 因为AO ＝OD ，则∠1＝∠A ＝∠3，Rt △BAD ∽Rt △COD ，∴AD OD ＝ABOC ，即AD ·OC＝AB ·OD ＝2.10．(10分)如图，△ABC 的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E .(1)证明：△ABE ∽△ADC ；(2)若△ABC 的面积S ＝12AD ·AE ，求∠BAC 的大小．(1)证明 由已知条件，可得∠BAE ＝∠CAD . 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角， 所以∠AEB ＝∠ACD . 故△ABE ∽△ADC .(2)解 因为△ABE ∽△ADC ， 所以AB AD ＝AE AC ，即AB ·AC ＝AD ·AE .又S ＝12AB ·AC sin ∠BAC ，且S ＝12AD ·AE .故AB·AC sin∠BAC＝AD·AE.则sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°.。

A 级 基础达标演练(时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2019·辽宁)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( )． A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)解析 法一 由x ∈R ，f (－1)＝2，f ′(x )＞2，可设f (x )＝4x ＋6，则由4x ＋6＞2x ＋4，得x ＞－1，选B.法二 设g (x )＝f (x )－2x －4，则g (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝0，g ′(x )＝f ′(x )－2＞0，g (x )在R 上为增函数．由g (x )＞0，即g (x )＞g (－1)． ∴x ＞－1，选B. 答案 B2．(★)(2019·课标全国)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )． A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x |解析 (筛选法)对于A ：y ＝x 3为奇函数，不合题意；对于C ，D ：y ＝－x 2＋1和y ＝2－|x |在(0，＋∞)上单调递减，不合题意；对于B ：y ＝|x |＋1的图象如图所示，知y ＝|x |＋1符合题意，故选B.答案 B【点评】 采用筛选法，根据选项中的函数的图象和性质逐一筛选.3．(2019·宿州模拟)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调增加，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )． A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析 f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，又f (x )在[0，＋∞)上递增，∴f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13⇔|2x －1|＜13⇔13＜x ＜23.故选A.答案 A4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3－3a x ＜，a xx (a ＞0，且a ≠1)是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是( )． A.⎝⎛⎦⎤0，23 B.⎝⎛⎭⎫13，1 C.()2，3D.⎝⎛⎦⎤12，23解析 由f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，可得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，f＝a 0≤3－3a .化简得0＜a ≤23.答案 A5．函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( )． A.⎝⎛⎦⎤－∞，32 B.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤－1，32 D.⎣⎡⎭⎫32，4解析 函数f (x )的定义域是(－1,4)，u (x )＝－x 2＋3x ＋4＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋254的减区间为⎣⎡⎭⎫32，4， ∵e ＞1，∴函数f (x )的单调减区间为⎣⎡⎭⎫32，4. 答案 D二、填空题(每小题4分，共12分) 6．函数y ＝ln1＋x1－x的单调递增区间是________． 解析 本题考查复合函数单调区间的确定；据题意需满足1＋x1－x>0即函数定义域为(－1,1)，原函数的递增区间即为函数u (x )＝1＋x 1－x在(－1,1)上的递增区间，由于u ′(x )＝(1＋x 1－x)′＝2－x 2>0.故函数u (x )＝1＋x1－x 的递增区间(－1,1)即为原函数的递增区间． 答案 (－1,1)7．(2019·徐州模拟)已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是________．解析 ①当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5在(－∞，3)上为减函数；②当a ＞0时，要使f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则对称轴x ＝3－a a 必在x ＝3的右边，即3－a a ≥3，故0＜a ≤34；③当a ＜0时，不可能在区间(－∞，3)上恒为减函数．综合知：a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，34. 答案 ⎣⎡⎦⎤0，34 8．(2019·合肥二模)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x )＝x 2＋2x (x ≥0)，若f (3－a 2)＞f (2a )，则实数a 的取值范围是________．解析 依题意得，函数f (x )＝x 2＋2x 在[0，＋∞)上是增函数，又因为f (x )是R 上的奇函数，所以函数f (x )是R 上的增函数，要使f (3－a 2)＞f (2a )，只需3－a 2＞2a .由此解得－3＜a ＜1，即实数a 的取值范围是(－3,1)． 答案 (－3,1) 三、解答题(共23分)9．(11分)已知函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数且f (x )＜0，试判断F (x )＝1f x 在(0，＋∞)上的单调性并证明．解 F (x )在(0，＋∞)上为减函数. 下面给出证明：任取x 1、x 2∈(0，＋∞)且Δx ＝x 2－x 1＞0，∵F (x 2)－F (x 1)＝1f x 2－1f x 1＝f x 1－f x 2f x 2f x 1，∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数且Δx ＝x 2－x 1＞0，∴Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，而f (x 1)＜0，f (x 2)＜0，∴f (x 1)f (x 2)＞0，∴F (x 2)－F (x 1)＜0，∴F (x )在(0，＋∞)上为减函数．10．(12分)(2019·上海)已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0. (1)若ab ＞0，判断函数f (x )的单调性；(2)若ab ＜0，求f (x ＋1)＞f (x )时的x 的取值范围． 解 (1)当a ＞0，b ＞0时，因为a ·2x ，b ·3x 都单调递增，所 以函数f (x )单调递增；当a ＜0，b ＜0时，因为a ·2x ，b ·3x 都单调递减， 所以函数f (x )单调递减． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a ·2x ＋2b ·3x ＞0. (i)当a ＜0，b ＞0时，⎝⎛⎭⎫32x ＞－a 2b ， 解得x ＞log 32⎝⎛⎭⎫－a 2b ； (ii)当a ＞0，b ＜0时，⎝⎛⎭⎫32x ＜－a2b ， 解得x ＜log 32⎝⎛⎭⎫－a 2b . B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2019·西安质检)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x K ，K ，f x ＞K ，取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为( )．A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析 f 12(x )＝⎩⎨⎧2－|x |，2－|x |≤1212，2－|x |＞12⇔f 12(x )＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫12|x |，x ≤－1或x ≥1，12，－1＜x ＜1.f 12(x )的图象如上图所示，因此f 12(x )的单调递增区间为(－∞，－1)． 答案 C2．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ，在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f x x 在区间(1，＋∞)上一定( )． A ．有最小值 B ．有最大值 C ．是减函数D ．是增函数解析 由题意a ＜1，又函数g (x )＝x ＋ax －2a 在[|a |，＋∞)上为增函数，故选D.答案 D二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2019·江苏)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的范围是________．解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0的图象如图所示，不等式f (1－x 2)>f (2x )等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2>0，2x ≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x >0，1－x 2>2x ，解得－1<x <2－1 答案 (－1，2－1)4．(★)(2019·淮南质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －2，x ≤0，2ax －1，x ＞0(a 是常数且a ＞0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1；②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )＞0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a ＞1； ④对任意的x 1＜0，x 2＜0且x 1≠x 2，恒有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＜f x 1＋f x 22.其中正确命题的序号是__________(写出所有正确命题的序号)．解析 (数形结合法)根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f (x )在R 上不是单调函数，故②错误；若f (x )＞0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，则2a ×12－1＞0，a ＞1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x 1＜0，x 2＜0且x 1≠x 2，恒有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f x 1＋f x 22成立， 故④正确．答案 ①③④【点评】 采用数形结合法.注意本题中的③和④的理解，此题充分体现了数形结合法的直观性与便捷性. 三、解答题(共22分)5．(10分)已知f (x )＝x x －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． (1)证明 任设x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝x 1－x 2x 1＋x 2＋.∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)解 任设1＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a .∵a ＞0，x 2－x 1＞0，∴要使f (x 1)－f (x 2)＞0，只需(x 1－a )(x 2－a )＞0在(1，＋∞)内恒成立，∴a ≤1.综上知0＜a ≤1. 6．(12分)函数f (x )对任意的a 、b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )>1. (1)求证：f (x )是R 上的增函数；(2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3. (1)证明 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)>1. f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0. ∴f (x 2)>f (x 1)．即f (x )是R 上的增函数． (2)解 ∵f (4)＝f (2＋2)＝f (2)＋f (2)－1＝5， ∴f (2)＝3，∴原不等式可化为f (3m 2－m －2)<f (2)， ∵f (x )是R 上的增函数，∴3m 2－m －2<2， 解得－1<m <43，故解集为⎝⎛⎭⎫－1，43.。

A级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·宝鸡联考)为了了解所加工一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是()．A．总体B．个体是每一个零件C．总体的一个样本D．样本容量解析200个零件的长度是总体的一个样本．答案 C2．用随机数表法从100名学生(其中男生25人)中抽取20人进行评教，某男学生被抽到的概率是()．A.1100 B.125 C.15 D.14解析从容量N＝100的总体中抽取一个容量为n＝20的样本，每个个体被抽到的概率都是nN＝1 5.答案 C3．(2012·濮阳调研)甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生．为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90的样本，应该在这三校分别抽取的学生人数是()．A．30,30,30 B．30,45,15C．20,30,10 D．30,50,10解析抽取比例是903 600＋5 400＋1 800＝1120，故三校分别抽取的学生人数为 3600×1120＝30,5 400×1120＝45,1 800×1120＝15.答案 B4．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型产品有15件，那么样本容量n为()．A．50 B．60 C．70 D．80解析n×33＋4＋7＝15，解得n＝70.答案 C5．(2011·青岛二模)(1)某学校为了了解2010年高考数学科的考试成绩，在高考后对1 200名学生进行抽样调查，其中文科400名考生，理科600名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本．(2)从10名家长中抽取3名参加座谈会．Ⅰ.简单随机抽样法；Ⅱ.系统抽样法；Ⅲ.分层抽样法．问题与方法配对正确的是()．A．(1)Ⅲ，(2)ⅠB．(1)Ⅰ，(2)ⅡC．(1)Ⅱ，(2)ⅢD．(1)Ⅲ，(2)Ⅱ解析通过分析可知，对于(1)，应采用分层抽样法，对于(2)，应采用简单随机抽样法．答案 A二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2012·太原模拟)体育彩票000001～100000编号中，凡彩票号码最后三位数为345的中一等奖，采用的抽样方法是________．解析系统抽样的步骤可概括为：总体编号，确定间隔，总体分段，在第一段内确定起始个体编号，每段内规则取样等几步．该抽样符合系统抽样的特点．答案系统抽样7．(2011·上海)课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4,12,8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为________．解析由已知得抽样比为624＝14，∴丙组中应抽取的城市数为8×14＝2.答案 28．商场共有某品牌的奶粉240件，全部为三个批次的产品，其中A，B，C三个批次的产品数量成等差数列，现用分层抽样的方法抽取一个容量为60的样本，则应从B批次产品中抽取的数量为________件．解析A，B，C三个批次的产品数量成等差数列，其中B批次的产品数量是240 3＝80(件)，由抽取比例是60240＝14，故B 批次的产品应该抽取80×14＝20(件)． 答案 20三、解答题(共23分)9．(11分)(2012·重庆模拟)某企业共有3 200名职工，其中中、青、老年职工的比例为5∶3∶2，从所有职工中抽取一个容量为400的样本，应采用哪种抽样方法更合理？中、青、老年职工应分别抽取多少人？ 解 由于中、青、老年职工有明显的差异， 采用分层抽样更合理．按照比例抽取中、青、老年职工的人数分别为： 510×400＝200，310×400＝120，210×400＝80，因此应抽取的中、青、老年职工分别为200人、120人、80人．10．(12分)一个城市有210家百货商店，其中大型商店有20家，中型商店有40家，小型商店有150家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本，按分层抽样方法抽取样本时，各类百货商店要分别抽取多少家？写出抽样过程．解 ∵21∶210＝1∶10， ∴2010＝2，4010＝4，15010＝15.∴应从大型商店中抽取2家，从中型商店中抽取4家，从小型商店中抽取15家． 抽样过程：(1)计算抽样比21210＝110；(2)计算各类百货商店抽取的个数： 2010＝2，4010＝4，15010＝15；(3)用简单随机抽样方法依次从大、中、小型商店中抽取2家、4家、15家； (4)将抽取的个体合在一起，就构成所要抽取的一个样本．B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为()．A.24 B．18 C．解析设二年级女生的人数为x，则由x2 000＝0.19，得x＝380，即二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是2 000－373－377－380－370＝500，即总体中各个年级的人数比例为3∶3∶2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为64×28＝16.答案 C2．(2012·成都月考)为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是()．A．5,10,15,20,25 B．2,4,8,16,32C．1,2,3,4,5 D．7,17,27,37,47解析利用系统抽样，把编号分为5段，每段10个，每段抽取一个，号码间隔为10，故选D.答案 D二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2011·舟山模拟)为了了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生800名、600名、500名，若高三学生共抽取25名，则高一年级每一位学生被抽到的概率是________．解析无论高几，每一位学生被抽到的概率都相同，故高一年级每一位学生被抽到的概率为25500＝1 20.答案1 204．某单位200名职工的年龄分布情况如右图，现要从中抽取40名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．解析∵间距为5，第5组抽22号，∴第8组抽出的号码为22＋5(8－5)＝37,40岁以下职工人数为100人，应抽取40200×100＝20(人)．答案3720三、解答题(共22分)5．(10分)(2012·开封模拟)某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n.解总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为36n，分层抽样的比例是n36，抽取的工程师人数为n36×6＝n6，技术员人数为n36×12＝n3，技工人数为n36×18＝n2，所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6,12,18.当样本容量为(n＋1)时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为35n＋1，因为35n＋1必须是整数，所以n只能取6.即样本容量n＝6.6．(12分)(2010·广东)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：(1)(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．解(1)因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．(2)应抽取大于40岁的观众人数为2745×5＝35×5＝3(名)．(3)用分层抽样方法抽取的5名观众中，20至40岁有2名(记为Y1，Y2)，大于40岁有3名(记为A1，A2，A3).5名观众中任取2名，共有10种不同取法：Y1Y2，Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，A1A2，A1A3，A2A3.设A表示随机事件“5名观众中任取2名，恰有1名观众年龄为20至40岁”，则A中的基本事件有6种：Y1A1，Y1A2，Y1A3，Y2A1，Y2A2，Y2A3，故所求概率为P(A)＝610＝35.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2013年全国Ⅰ，理1，5分】已知集合{}{2|20,|A x x x B x x =->=<，则（ ） （A ）A B =∅ （B ）A B =R （C ）B A ⊆ （D ）A B ⊆ 【答案】B【解析】∵2()0x x ->，∴0x <或2x >．由图象可以看出A B =R ，故选B ． （2）【2013年全国Ⅰ，理2，5分】若复数z 满足(34i)|43i |z -=+，则z 的虚部为（ ）（A ）4- （B ）45- （C ）4 （D ）45【答案】D【解析】∵(34i)|43i |z -=+，∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+．故z 的虚部为45，故选D ． （3）【2013年全国Ⅰ，理3，5分】为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）（A ）简单随机抽样 （B ）按性别分层抽样 （C ）按学段分层抽样 （D ）系统抽样 【答案】C【解析】因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样，故选C ．（4）【2013年全国Ⅰ，理4，5分】已知双曲线C ：()2222=10,0x y a b a b->>C 的渐近线方程为（ ）（A ）14y x =± （B ）13y x =± （C ）12y x =± （D ）y x =±【答案】C【解析】∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===．∴224a b =，1=2b a ±． ∴渐近线方程为12b y x x a =±±，故选C ．（5）【2013年全国Ⅰ，理5，5分】执行下面的程序框图，如果输入的[]1,3t ∈-，则输出的s 属于（ ） （A ）[3,4]- （B ）[5,2]- （C ）[4,3]- （D ）[2,5]- 【答案】D【解析】若[)1,1t ∈-，则执行3s t =，故[)3,3s ∈-．若[]1,3t ∈，则执行24s t t =-，其对称轴为2t =．故当2t =时，s 取得最大值4．当1t =或3时，s 取得最小值3，则[]3,4s ∈． 综上可知，输出的[]3,4s ∈-，故选D ．（6）【2013年全国Ⅰ，理6，5分】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ， 将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚 度，则球的体积为（ ）（A ）35003cm π （B ）38663cm π （C ）313723cm π（D ）320483cm π【答案】B【解析】设球半径为R ，由题可知R ，2R -，正方体棱长一半可构成直角三角形，即OBA ∆为直角三角形，如图，2BC =，4BA =，2OB R =-，OA R =，由()22224R R =-+，得5R =，所以球的体积为34500533ππ=(cm 3)，故选B ．（7）【2013年全国Ⅰ，理7，5分】设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m =（ ）（A ）3（B ）4 （C ）5 （D ）6【答案】C 【解析】∵12m S -=-，0m S =，13m S +=，∴()1022m m m a S S -=-=--=，11303m m m a S S ++=-=-=．∴1321m m d a a +=-=-=．∵()11102m m m S ma -=+⨯=，∴112m a -=-． 又∵1113m a a m +=+⨯=，∴132m m --+=．∴5m =，故选C ． （8）【2013年全国Ⅰ，理8，5分】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） （A ）168π+ （B ）88π+ （C ）1616π+ （D ）816π+ 【答案】A【解析】由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径2r =，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为24422816r ππ⨯⨯+⨯⨯=+，故选A ．（9）【2013年全国Ⅰ，理9，5分】设m 为正整数，()2m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ， ()21m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ，若137a b =，则m =（ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 【答案】B【解析】由题意可知，2m m a C =，21mm b C +=，又∵137a b =，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)，即132171m m +=+．解得6m =，故选B ．（10）【2013年全国Ⅰ，理10，5分】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为（ ） （A ）2214536x y +=（B ）2213627x y += （C ）2212718x y += （D ）221189x y +=【答案】D【解析】设11()A x y ，，22()B x y ，，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，①-②，得 1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+，即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为()1,1-，∴122y y +=-，122x x +=，而1212011=312AB y y k x x --(-)==--， ∴221=2b a ．又∵229a b -=，∴218a =，29b =．∴椭圆E 的方程为22=1189x y +，故选D ． （11）【2013年全国Ⅰ，理11，5分】已知函数()()220ln 10x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()f x a x ≥|，则a 的取值范围是（ ） （A ）(],0-∞ （B ）(],1-∞ （C ）[2,1]- （D ）[2,0]-【答案】D【解析】由()y f x =的图象知：①当0x >时，y ax =只有0a ≤时，才能满足()f x ax ≥，可排除B ，C ．②当0x ≤时，()2222y f x x x x x ==-+=-．故由()f x ax ≥得 22x x ax -≥．当0x =时，不等式为00≥成立．当0x <时，不等式等价于2x a -≤．∵22x -<-，∴2a ≥-．综上可知：[]2,0a ∈-，故选D ．（12）【2013年全国Ⅰ，理12，5分】设n n n A B C ∆的三边长分别为n a ，n b ，n c ，n n n A B C ∆的面积为n S ，1,2,3.n =⋯，若11b c >，1112b c a +=，1n n a a +=，12n n n c a b ++=，12n nn b a c ++=，则（ ）（A ）{}n S 为递减数列 （B ）{}n S 为递增数列（C ）{}21n S -为递增数列，{}2n S 为递减数列 （D ）{}21n S -为递减数列，{}2n S 为递增数列 【答案】B第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2013年全国Ⅰ，理13，5分】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，()1t t =+-c a b ．若·0=b c ，则t = ． 【答案】2【解析】∵()1t t =+-c a b ，∴()2··1t t =+-bc ab b ．又∵1==a b ，且a 与b 夹角为60°，⊥b c ， ∴()0 601t cos t =︒+-a b ，1012t t =+-．∴2t =．（14）【2013年全国Ⅰ，理14，5分】若数列{}n a 的前n 项和2133n n S a =+，则{}n a 的通项公式是n a = ．【答案】()12n --【解析】∵2133n n S a =+，① ∴当2n ≥时，112133n n S a --=+．② ①-②，得12233n n n a a a -=-，即12n n aa -=-．∵1112133a S a ==+，∴11a =．∴{}n a 是以1为首项，-2为公比的等比数列，()12n n a -=-．（15）【2013年全国Ⅰ，理15，5分】设当x θ=时，函数()2f x sinx cosx =-取得最大值，则cos θ= ．【答案】 【解析】()s 2x f x sinx cosx x ⎫⎪==⎭-，令cos α=，sin α=，则()()f x x α=+，当22()x k k ππα=+-∈Z 时，()sin x α+有最大值1，()f x，即22()k k πθπα=+-∈Z ，所以cos θ=πcos =cos 2π+cos sin 22k πθααα⎛⎫⎛⎫-=-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（16）【2013年全国Ⅰ，理16，5分】若函数()()()221f x x x ax b =-++的图像关于直线2x =-对称，则()f x 的最大值为 ．【答案】16【解析】∵函数()f x 的图像关于直线2x =-对称，∴()f x 满足()()04f f =-，()()13f f -=-，即151640893b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩，得815a b =⎧⎨=⎩∴()432814815f x x x x x =---++．由()324242880f x x x x '=---+=，得12x =-22x =-，32x =-．易知，()f x在(,2-∞-上为增函数，在()22--上为减函数，在(2,2--上为增函数，在()2-+-∞上为减函数．∴(((((222122821588806416f ⎡⎤⎡⎤-=---+-+=---=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．()()()()()22212282153416915f ⎡⎤⎡-=---+⨯⎤==-⎣⎦⎣⎦-+--+(((((222122821588806416f ⎡⎤⎡⎤-=---++-++=-++=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．故f (x )的最大值为16．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2013年全国Ⅰ，理17，12分】如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AB =，1BC =，P为ABC ∆内一点，90BPC ∠=︒．（1）若12PB =，求PA ；（2）若150APB ∠=︒，求tan PBA ∠．解：（1）由已知得60PBC ∠=︒，30PBA ∴∠=︒．在PBA ∆中，由余弦定理得211732cos 30424PA =+-︒=．故PA =（2）设PBA α∠=，由已知得sin PB α=．在PBA ∆sin sin(30)αα=︒-，4sin αα=．所以tan α，即tan PBA ∠= （18）【2013年全国Ⅰ，理18，12分】如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，160BAA ∠=︒． （1）证明：1AB A C ⊥；（2）若平面ABC ⊥平面11AA B B ，AB CB =，求直线1A C 与平面11BB C C 所成角的正弦值．解：（1）取AB 的中点O ，连结OC ，1OA ，1A B ．因为CA CB =，所以OC AB ⊥．由于1AB AA =，160BAA ∠=︒，故1AA B ∆为等边三角形，所以1OA AB ⊥．因为1OC OA O = ，所以AB ⊥平面1OA C ． 又1A C 平面1OA C ，故1AB A C ⊥．（2）由（1）知OC AB ⊥，1OA AB ⊥．又平面ABC ⊥平面11AA B B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面11AA B B ，故OA ，1OA ，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，OA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．由题设知()1,0,0A，1()0A ，(0,0C ，()1,0,0B -．则(1,03BC =，11()BB AA =-=，(10,A C = ．设()n x y z =，，是平面11BB C C 的法向量，则100BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0x x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩可取1)n =-．故111cos ,n AC n AC n AC ⋅==⋅ ．所以1A C 与平面11BB C C． （19）【2013年全国Ⅰ，理19，12分】一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n ．如果n =3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n =4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X (单位：元)，求X 的分布列及数学期望．解：（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件1A ，第一次取出的4件产品全是优质品为事件2A ，第二次取出的4件产品都是优质品为事件1B ，第二次取出的1件产品是优质品为事件2B ，这批产品通过检验为事件A ，依题意有()()1122A A B A B = ，且11A B 与22A B 互斥，所以 ()()()()()()()112211122241113||161616264P A P A B P A B P A P B A P A P B A ==⨯++⨯==+．（2）X 可能的取值为400，500，800，并且()41114001161616P X ==--=，()500116P X ==，()80140P X ==． 所以X 的分布列为()111400+500+800506.2516164E X =⨯⨯⨯=． （20）【2013年全国Ⅰ，理20，12分】已知圆()2211M x y ++=：，圆()2219N x y -+=：，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求AB ． 解：由已知得圆M 的圆心为()1,0M -，半径11r =；圆N 的圆心为()1,0N ，半径23r =．设圆P 的圆心为(),P xy ，半径为R ．（1）因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以()()12124PM PN R r r R r r +=++-=+=．由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2(左顶点除外)，其方程为()22=1243x y x +≠-．（2）对于曲线C 上任意一点()P x y ，，由于222PM PN R -=-≤，所以2R ≤，当且仅当圆P 的圆心为()2,0时，2R =．所以当圆P 的半径最长时，其方程为()2224x y -+=．若l 的倾斜角为90︒，则l 与y 轴重 合，可得AB =l 的倾斜角不为90︒，由1r R ≠知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得()4,0Q -，所以可设()4l y k x =+：．由l 与圆M ，解得k =． 当k =时，将y =+22=13x y +，并整理得27880x x +-=，解得1,2x =． 2118|7AB x x =-=．当k =时，由图形对称性可知187AB =．综上，AB =187AB =． （21）【2013年全国Ⅰ，理21，12分】设函数()2f x x ax b =++，()()x g x e cx d =+．若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点()0,2P ，且在点P 处有相同的切线42y x =+．（1）求a ，b ，c ，d 的值；（2）若2x ≥-时，()()f x kg x ≤，求k 的取值范围．解：（1）由已知得()02f =，()02g =，()04f '=，()04g '=．而()2f x x a '=+，()()x g x e cx d c '=++， 故2b =，2d =，4a =，4d c +=．从而4a =，2b =，2c =，2d =． （2）由（1）知，()242f x x x =++，()()21x g x e x =+．设函数()()()()22142x F x kg x f x ke x x x =-=+---，()()()()2224221x x F x ke x x x ke '=+--=+-．()00F ≥ ，即1k ≥．令()0F x '=得1ln x k =-，22x =-． ①若21k e ≤<，则120x -<≤．从而当12()x x ∈-，时，()0F x '<；当1()x x ∈+∞，时，()0F x '>． 即()F x 在1(2)x -，单调递减，在1()x +∞，单调递增．故()F x 在[)2-+∞，的最小值为()1F x ． 而()()11111224220F x x x x x =+---=-+≥．故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立． ②若2k e =，则()()()2222x F x e x e e -'=+-．∴当2x >-时，()0F x '>，即()F x 在()2-+∞，单调递增． 而()20F -=，故当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()f x kg x ≤恒成立． ③若2k e >，则()()22222220F k eek e ---=-+=--<．从而当2x ≥-时，()()f x kg x ≤不可能恒成立．综上，k 的取值范围是2[1]e ，． 请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（22）【2013年全国Ⅰ，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，ABC ∠的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆 于点D ． （1）证明：DB DC =；（2）设圆的半径为1，BC =CE 交AB 于点F ，求BCF ∆外接圆的半径． 解：（1）连结DE ，交BC 于点G ．由弦切角定理得，ABE BCE ∠=∠．而ABE CBE ∠=∠，故CBE BCE ∠=∠，BE CE =．又因为DB BE ⊥，所以DE 为直径，90DCE ∠=︒，DB DC =．（2）由（1）知，CDE BDE ∠=∠，DB DC =，故DG 是BC的中垂线，所以BG =设DE 的中点为O ，连结BO ，则60BOG ∠=︒．从而30ABE BCE CBE ∠=∠=∠=︒，所以CF BF ⊥，故Rt BCF ∆．（23）【2013年全国Ⅰ，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=． （1）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）求1C 与2C 交点的极坐标(0ρ≥，02θπ≤<)．解：（1）将45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程()()224525x y -+-=，即221810160C x y x y +--+=：．将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得28cos 10sin 160ρρθρθ--+=． 所以1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=．（2）2C 的普通方程为2220x y y +-=．由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩， 所以1C 与2C交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（24）【2013年全国Ⅰ，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）已知函数()212f x x x a =-++，()3g x x =+．（1）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（2）设1a >-，且当1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围．解：（1）当2a =-时，()()f x g x <化为212230x x x -+---<．设函数21223y x x x =-+---，则y =15,212,1236,1x x y x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，其图像如图所示．从图像可知，当且仅当()0,2x ∈时，0y <．所以原不等式的解集是{}2|0x x <<．（2）当1,22x a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∈时，()1f x a =+．不等式()()f x g x ≤化为13a x +≤+．所以2x a ≥-，对1,22x a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭∈都成立．故22a a -≥-，即43a ≤．从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦．。

2013年高三理科数学复习试卷及答案4时间:120分钟 满分：150分一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的，请把正确答案写在答题卷相应的位置上）1．已知i 为虚数单位，则2(1)i +的模为A ．1BC ．2D ．42．若集合{}2|20A x x x =-<，{}|1B x x =>，则A B ⋂为A ．{|02}x x <<B ．{}|12x x <<C ．{}|2x x >D ．{}|1x x >3.计箅的结果等于 A.B.C.D.4．已知等比数列{}n a 中，12a =，且有24674a a a =，则3a =A ．12 B ．1 C ．2 D ．145.已知A 是三角形ABC 的内角，则“1cos 2A =”是“23sin =A ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.已知等差数列{}n a 满足32=a ，)2(,171≥=-n a n ，100=n S ，则n 的值为A ．8B ．9C ．10D ．117.已知m ,n ，l 为三条不同的直线，α,β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A ．//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒B ．l l ⇒⊥⊥βαβ,∥αC ．,//m m n n αα⊥⊥⇒D ．α∥,l l βαβ⊥⇒⊥8. 设函数则的值为A. 15B. 16C. -5D. -159．某同学设计右面的程序框图用以计算和式222212320++++的值，则在判断框中应填写A ．19i ≤B ．19i ≥C ．20i ≤D ．21i ≤10．若变量x y ，满足约束条件30101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值为 A ．1- B ．0 C ．3 D ．411.某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是A.y ＝2x －2B.y ＝(12)xC.y ＝log 2xD.y ＝12(x 2－1)12．四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧面PAD 为等边三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，点M 在底面正方形ABCD 内（含边界）运动，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是A ．B ．C ．D ．二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

山东省聊城市第一中学2013届高三一轮总复习理科数学综合检测班级：_______ 姓名：_______ 座号：_______ 时间：_______ 成绩：_______一、选择题（本大题共9小题）1．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a =-对称。

据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程[]2()()0m f x nf x p ++=的解集都不可能是（ ）A. {}1,2 B {}1,4 C {}1,2,3,4 D {}1,4,16,642．曲线f(x)=xln x 在点P(1，0)处的切线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是( ) A ．(x+21)2+(y+21)2=21 B ．(x+21)2+(y-21)2=21 C ．(x-21)2+(y+21)2=21 D ．(x-21)2+(y-21)2=21 3．函数x x y sin cos 2-=的值域是 ( )A 、[]1,1-B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,1C 、[]2,0D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-45,14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于( )A.6B.7C.8D.95．设随机变量ξ的概率分布为P （ξ=k ）=pk·(1－p)1－k(k=0，1),则Eξ、Dξ的值分别是（ ） A.0和1B.p 和p2C.p 和1－pD.p 和(1－p)p6．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 （ ）A ．383cm B ．343cm C ．323cm D ．313cm 7．若)(x f 和)(x g 都是奇函数，且2)()()(=+=x g x f x F ，在（0，＋∞）上有最大值8，则在（－∞，0）上)(x F 有（ ）A.最小值－8B.最大值－8C.最小值－6D.最小值－48．若lg2=a,lg3=b,则log 418= ( )A.23a b a+ B.32a b a + C. 22a b a + D. 22a ba+ 9．在等比数列{ a n }中，若a 4 =8，q=一2，则a 7的值为( ) A ．一64 B ．64 C ．一48 D ．48二、填空题（本大题共5小题）10．已知a axx e e e e x f ----=)(，若函数)(x f 在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是____________ 11．经过两条直线0243=-+y x 与022=++y x 的交点，且垂直于直线0423=+-y x 的直线方程为___________________________12． 261(1)()x x x x++-的展开式中的常数项为_________.13．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，cot cot a b a A b B +=+且BF 2FD =uu r uu r，则C 的离心率为 。