9.5空间向量分解定理

空间向量基本定理、正交分解及坐标表示1.空间向量基本定理如果三个向量W，b，7不共面，那么对空间任一向量V存在一个唯一的有序实数组X，—> —•TTy，z,使p=xa+yb+za任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，a，b，W都叫做基向量.2.单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1,则这个基底叫做单位正交基底，常用｛£,最，£｝表示.3.空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底｛£,二｝,以点。

为原点，分别以3，荒，工的正方向建立三条数轴：X轴、y轴、Z轴，它们都叫做坐标轴，这样就建立了一个空间直角坐标系0-孙Z.其中，点。

叫做原点，向量司，司，司都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.4.空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量总一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量而=P，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组｛斯- z},使得P=+ye2+223.把x,y,z称作向量p在单位正交基底最，£卜的坐标，记作p=(x,y,z).【解题方法点拨】1.基底的判断判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断,假设不能作为一个基底, 看是否存在一对实数入、四使得G+W)+w(W+W),若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立.2.空间向量的坐标表示用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为：（1）观察图形：充分观察图形特征；（2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系；（3）进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算；（4）确定结果：将所求向量用己知的基向量表示出来.3.用基底表示向量用基底表示向量时，（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行.（2）若没给定基底时，首先选择基底.选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.。

空间向量基本定理知识点总结
嘿，朋友们！今天咱就来好好唠唠空间向量基本定理的知识点。

咱就先说说啥是空间向量基本定理呢。

简单来讲，就好比搭积木，给定一组不共面的向量，那空间里的任意向量都可以由这组向量“搭”出来！这就牛了啊！比如说，咱在一个房间里，有三个不同方向的箭头（嘿嘿，这就是那组不共面的向量啦），那房间里的任何位置都可以用这三个箭头组合出来呀。

哎，你想想，这多有意思呀！就像是给了你一把万能钥匙，可以打开空间里所有的“锁”。

那这定理有啥用呢？哎呀呀，用处可大了去了！比如说，咱要解决一个立体几何的难题，通过这个定理咱就能把复杂的问题简单化，找到解题的突破口呀！就好比你找宝藏，有了这定理就好像有了地图指引一样。

再比如说，工程师盖大楼的时候，要精确计算各种力的方向和大小，这时候空间向量基本定理就能派上大用场啦！他们不是在那盲目干活，而是有了这个法宝，就像有了超级指南一样。

还有啊，同学们学习的时候，明白了这个定理，那数学成绩不就蹭蹭往上涨嘛！咱们不就更有信心了嘛！“哇塞，原来我也可以这么厉害！”是不是？
总之呢，空间向量基本定理就是我们探索空间的好帮手，是打开数学奥秘之门的一把钥匙！大家一定要好好理解，好好运用呀，相信它会给你带来意想不到的收获和惊喜！。

向量分解定理向量分解定理是线性代数中的重要定理之一。

它指出，对于一个给定的向量空间V和其子空间U，任何向量v∈V都可以唯一地表示为U的一个向量u与U的补空间的一个向量w的和。

换句话说，任何一个向量都可以分解为与给定子空间无关的两个向量之和。

在进一步探讨向量分解定理之前，我们需要先了解一些基本概念。

向量空间是指具有加法和数乘两种运算的非空集合，它满足特定的运算规则。

子空间是在向量空间内构成的一个向量子集，它本身也是一个向量空间。

补空间是指与给定子空间正交的向量构成的向量子集。

在线性代数的研究中，向量分解定理发挥着重要作用。

它提供了一种方法来寻找向量空间中的最优解。

对于一个给定的向量v∈V，我们希望能够将其分解为U的一个向量u与U的补空间的一个向量w的和。

这样一来，我们就可以根据具体的问题要求去选择合适的子空间U，以及使得向量v达到最优的补空间向量w。

向量分解定理的证明过程可以通过构造线性方程组来实现。

我们可以选择一个合适的基，并找到V的基底B1和U的基底B2。

然后根据V和U的基底B1和B2构造出一个矩阵A，并将向量v写为矩阵A乘以一个向量x的形式。

通过求解线性方程组Ax= v，我们就可以得到x的解，从而得到向量v关于子空间U的向量分解。

向量分解定理的一个重要应用是在最小二乘法中的使用。

最小二乘法是一种常见的回归分析方法，它用于拟合线性方程模型时，寻找使得模型与实际观测值之间误差平方和最小的参数。

在最小二乘法中，我们希望将观测值向量y表示为模型矩阵X 与参数向量β的乘积，即y=Xβ。

然而，由于观测误差的存在，通常情况下方程组的解不存在。

这时，我们可以通过向量分解定理，将观测值向量y分解为模型矩阵X的列空间的向量与X的列空间的补空间的向量之和。

这样一来，我们可以通过最小化观测值向量y在X的列空间上的投影误差来近似求解参数向量β。

除了最小二乘法，向量分解定理还在其他领域有广泛的应用。

例如在图像处理中，将图像表示为其灰度基函数与系数的乘积形式，就是利用了向量分解定理的思想。

第1页 共4页课 题：9．5空间向量及其运算(三)教学目的：⒈了解空间向量基本定理及其推论；⒉理解空间向量的基底、基向量的概念．理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出⒊学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、变化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：向量的分解（空间向量基本定理及其推论） 教学难点：空间作图． 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下b a AB OA OB +=+=;b a OB OA BA -=-=;)(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 4. 平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .要注意其中对向量a的非零要求．5 共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同第2页 共4页一直线，也可能是平行直线．6． 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式t +=a ．其中向量a叫做直线l 的方向向量.空间直线的向量参数表示式：t +=a或)(t -+=t t +-=)1(，中点公式．)(21OB OA OP+=7．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的8．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+ ①或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++ ②或,(1)OP xOA yOB zOM x y z =++++= ③ 上面①式叫做平面MAB 的向量表达式二、讲解新课：1 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++证明：（存在性）设,,a b c 不共面，过点O 作,,,OA a OB b OC c OP p ====； 过点P 作直线PP '平行于OC ，交平面OAB 于点P '； 在平面OAB 内，过点P '作直线//,//P A OB P B OA ''''，第3页 共4页分别与直线,OA OB 相交于点,A B ''，于是，存在三个实数,,x y z ，使OA xOA xa '==，OB yOB yb '==，OC zOC zc '==，∴OP OA OB OC xOA yOB zOC '''=++=++ 所以p xa yb zc =++（唯一性）假设还存在,,x y z '''使p x a y b z c '''=++ ∴xayb zc ++x a y b z c '''=++ ∴()()()0x x a y y b z z c '''-+-+-= 不妨设x x '≠即0x x '-≠ ∴y y z z a b c x x x x''--=⋅+⋅''-- ∴,,a b c 共面此与已知矛盾 ∴该表达式唯一 综上两方面，原命题成立由此定理，若三向量,,a b c 不共面，则所有空间向量所组成的集合是{|,,,}p p xa yb zc x R y R z R =++∈∈∈，这个集合可以看作由向量,,a b c 生成的，所以我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，可以知道，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB =++三、讲解范例：例1 已知空间四边形OABC ，其对角线,OB AC ，,M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，用基底向量,,OA OB OC 表示向量解：OG OM MG =+23OM MN =+12()23OA ON OM =+-1211[()]2322OA OB OC OA =++-111()233OA OB OC OA =++-111633OA OB OC =++ ∴OB OA OG 313161++= 例2如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，,,E F G 分别是,,A D D D D C '''''的中点，请选择恰当的基底向量证明：（1）//EG ACA BCOM NG第4页 共4页（2）平面//EFG AB C '平面证明：取基底：',,AA AB AD , （1）∵11''22EG ED D G AD AB =+=+， 2AC AB AD EG =+= ， ∴//EG AC（2）∵11'''22FG FD D G AA AB =+=+，''2AB AB AA FG =+= ∴//'FG AB ， 由（1） //EG AC ，∴平面//EFG AB C '平面四、课堂练习：课本32P 练习1－5五、小结 ：空间向量基本定理也成为空间向量分解定理，它与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中多了以“项”.证明的思路、步骤也基本相同．空间向量基本定理的推论意在用分解定理确定点的位置，它对于今后用向量方法解几何问题很有用，也为今后学习空间向量的直角坐标运算作准备． 六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。