二年级奥数：枚举法讲解2013

有一天，小兔去小猴家找小猴一起去图书馆看书，而从小兔家到小猴家不能直接到达，必须要经过公园或小田鼠家（如下图），小朋友们找一找，从小兔家到小猴家共有几条路可以走？小朋友们，我们常常遇到一些问题会出现很多种的情况（如：数字的拆分，付钱等），解决这些问题的时候需要我们把每一种情况都考虑周全，怎样才能做到不遗漏不重复呢？这就需要我们把每一种情况按一定的顺序一一列举出来，这种方法就是“枚举法”，枚举法可以帮助我们解决很多数学问题，今天这节课我们就一起来体会枚举法的妙用吧！动物学校今天正在进行数学竞赛，大象老师给各位小动物们出了很多难题，现在让我们也去试试吧！小熊维尼买回了7个一样的苹果，准备放在三个同样的盘子里，如果允许有的盘子空着不放．共有多少种不同的放法?Hello kitty最近迷上了集邮，一天她收集到了4张3角邮票和3张5角邮票，请你帮她算一算，她用这些邮票可以组成多少种不同的邮资?巩固练习史努比带8元钱去商店买冰激凌.有三种冰激凌，售价分别是5元一支、2元一支和1元一支.如果他想把这8元钱全部用来买这三种冰激凌，共有多少种不同的买法?小兔妮妮在家做寒假作业，其中有一道题是要从1写到100，你知道当她写完时一共写了多少个数字“9”吗?用分别写着7、8、9的三张卡片，可以组成多少个不同的三位数?小蚂蚁小小生病了，她要从A点爬到E点去看病，怎样走线路最短？这样的路线一共有多少条？请你用彩笔画一画. （图中每一小段都一样长）小兔饿了，到处寻找食物.它来到一棵大树下，看到离树1米远的地方有个大萝卜，满心欢喜.但这棵树下拴了一条狗，绳长2米.小兔要吃萝卜，狗就会咬它.小兔想了个好办法既能吃到萝卜，又不会被狗咬.你知道是什么办法吗?小蜜蜂家门前共有5级台阶．她发现每天上楼梯的方法都不相同，小蜜蜂很想研究一下这个问题.如果规定一步只能登上一级或两级台阶，小朋友帮她算一算上这个台阶共有多少种不同的上法?拓展与提高小猪欢欢喜欢吃披萨、汉堡和薯条三种快餐.她在相邻的两天不会吃同一种.如果她第一天吃的是披萨，第五天也是吃的披萨，那么在这五天里她的食谱有多少种安排方案?1. 把5支同样的铅笔放进3个同样的铅笔盒里，允许有的铅笔盒空着.共有多少种不同的放法?2. 从2张5元人民币、5张2元人民币、lO 张1元人民币中取10元钱，共多少种不同的取法?3. 从甲地到乙地有乘飞机、坐火车两种不同的方法，从乙地到丙地有乘飞机、坐火车和乘船三种不同的方法.问：从甲地经过乙地到丙地共有多少种不同的方法?4. 商店有围巾3种，每种价钱依次是14元、12元和10元.帽子有5种，每种价钱依次是13元、11元、9元、7元、和5元.如果一顶帽子和一条围巾配成一套，每套可以有多少种不同价钱?5. 邮局门前共有4级台阶.若规定一步只能登上一级或两级，问上这个台阶共有多少种不同的上法？八岁的高斯发现了数学定理德国著名大科学家高斯(1777—1855)出生在一个贫穷的家庭.高斯在还不会讲话就自己学计算，在三岁时有一天晚上他看着父亲在算工钱时，还纠正父亲计算的错误.长大后他成为当代最杰出的天文学家、数学家.他在物理的电磁学方面有一些贡献，现在电磁学的一个单位就是用他的名字命名.数学家们则称呼他为“数学王子”.他八岁时进入乡村小学读书.教数学的老师是一个从城里来的人，觉得在一个穷乡僻壤教几个小猢狲读书，真是大材小用.而他又有些偏见：穷人的孩子天生都是笨蛋，教这些蠢笨的孩子念书不必认真，如果有机会还应该处罚他们，使自己在这枯燥的生活里添一些乐趣.这一天正是数学老师情绪低落的一天.同学们看到老师那抑郁的脸孔，心里畏缩起来，知道老师又会在今天捉这些学生处罚了.“你们今天替我算从1加2加3一直到100的和.谁算不出来就罚他不能回家吃午饭.”老师讲了这句话后就一言不发的拿起一本小说坐在椅子上看去了.教室里的小朋友们拿起石板开始计算：“1加2等于3，3加3等于6,6加4等于10……”一些小朋友加到一个数后就擦掉石板上的结果，再加下去，数越来越大，很不好算.有些孩子的小脸孔涨红了，有些手心、额上渗出了汗来.还不到半个小时，小高斯拿起了他的石板走上前去.“老师，答案是不是这样?”老师头也不抬，挥着那肥厚的手，说：“去，回去再算!错了.”他想不可能这么快就会有答案了.可是高斯却站着不动，把石板伸向老师面前：“老师!我想这个答案是对的.”数学老师本来想怒吼起来，可是一看石板上整整齐齐写了这样的数：5050，他惊奇起来，因为他自己曾经算过，得到的数也是5050，这个8岁的小鬼怎么这样快就得到了这个数值呢?高斯解释他发现的一个方法，这个方法就是古时希腊人和中国人用来计算级数1+2+3+…+n的方法.高斯的发现使老师觉得羞愧，觉得自己以前目空一切和轻视穷人家的孩子的观点是不对的.他以后也认真教起书来，并且还常从城里买些数学书自己进修并借给高斯看.在他的鼓励下，高斯以后便在数学上作了一些重要的研究了.。

第七讲 枚举法初步新年到了，爸爸要给小昊买一个四阶魔方作为圣诞礼物，这个魔方的价格是28元8角。

小昊发现，可以有多种付钱方法：（1）2张10元，1张5元，3张1元，1张5角，3张1角；（2）1张10元，3张5元，3张1元，1张5角，1张2角，1张1角；（3）1张20元，4张2元，8张1角；（4）3张10元，收30元找回1元2角；等等。

一般的，根据问题要求，一一列举问题的解答，或者为了解决问题的方便把问题分成不遗漏不重复的优先种情况，并加以解决，最终达到解决整个问题的目的。

这种分析问题解决问题的方法，称之为枚举法。

注意：运用枚举法解决问题时，必须注意无重复，无遗漏。

为此必须要求有次序有规律的进行枚举。

把一个整数表示成若干个小于它的自然数值和，叫做整数的拆分。

整数4有多少种不同的拆分方法？分拆时，将自然数按从达到小的顺序出现，一共有4种不同的分拆方法：4=3+1，4=2+2，4=2+1+1，4=1+1+1+1。

用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个（不再用其他物品当砝码），当砝码只能放在同一个盘内时，可以称出的重量有多少种？共有三个重量不同的砝码，可以取出其中的一个，两个，三个来称量。

一一来列举这三种情况。

取一个砝码可称：1克、3克、9克。

有3种。

取两个砝码可称：1+3=4（克）、1+9=10（克）、3+9=12（克），3种。

取三个砝码可称：1+3+9=13（克），有1种。

注意到1、3、9、4、10、12、13各不相同，所以可以称出： 3+3+1=7（种） 挑战例题例1例2分析解答分析解答课外小组组织30人做游戏，按1～30号排队报数。

第一次报数后，单号全部站出来，然后每次余下的人中第一个开始站出来，隔一人站出来一个人，到第几次这些人全部站出来？最后站出的人应该是第几号？根据题目的特点，先用排列法把题中的条件问题列出来，再用枚举法完成题目要求。

排好队的人依次是1，2，3，4，5，．．．．．．28，29，30次数出队号码 第一次1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29 第二次2，6，10，14，18，22，16，30 第三次4，12，20，28 第四次8，24 第五次16从上面的列表中我们毫无遗漏的排列，得出到第五次这些人全部站出来，最后在个人是16号。

第十讲枚举法例1 如下图所示，已知长方形的周长为20厘米，长和宽都是整厘米数，这个长方形有多少种可能形状?哪种形状的长方形面积最大?(边长为l厘米的正方形的面积叫做1平方厘米)．解：由于长方形的周长是20厘米，可知它的长与宽之和为10厘米．下面列举出符合这个条件的各种长方形．(注意，正方形可以说成是长与宽相等的长方形)．下面把5种长方形按实际尺寸大小一一画出来，见下面图(1)～(5)．例2 如右图所示，ABCD是一个正方形，边长为2厘米，沿着图中线段从A到C的最短长度为4厘米．问这样的最短路线共有多少条?请一一画出来．解：将各种路线一一列出，可知共6条，见下图．注意，如果题中不要求将路径一一画出，可采用如右图所示方法较为便捷．图中交点处的数字表示到达该点的路线条数，如O点处的数字2，表示由A到0有2条不同的路径，见上图中的(1)和(2)；又H点处的数字3的意义也如此，见上图中的(1)、(2)、(3)可知有3条路径可由A到H．仔细观察，可发现各交点处的数字之间的关系，如O点的2等于F点和E点的数字相加之和，即1+1=2，又如，C点的6等于G点和H点的数字相加之和，即3+3=6．例3 在10和31之间有多少个数是3的倍数?解：由尝试法可求出答案：3×4=12 3×5=15 3×6=18 3×7=213×8=24 3×9=27 3×10=30可知满足条件的数是12、15、18、21、24、27和30共7个．注意，倘若问10和1000之间有多少个数是3的倍数，则用上述一一列举的方法就显得太繁琐了，此时可采用下述方法：10÷3=3余1，可知10以内有3个数是3的倍数；1000÷3=333余1，可知1000以内有333个数是3的倍数；333-3=330，则知10～1000之内有330个数是3的倍数．由上述这些例题可体会枚举法的优点和缺点及其适用范围．例4 两个整数之积为144，差为10，求这两个数?解：列出两个数积为144的各种情况，再寻找满足题目条件的一对出来：1 2 3 4 6 8 9 12144 72 48 36 24 18 16 12可见其中差是10的两个数是8和18，这一对数即为所求．例5 12枚硬币的总值是1元，其中只有5分和1角的两种，问每种硬币各多少个?解：列举出两种硬币的可能搭配：可见满足题目要求的搭配是：四个5分币，八个l角币．例6 小虎给4个小朋友写信．由于粗心，在把信纸装入信封时都给装错了．4个好朋友收到的都是给别人的信．问小虎装错的情况共有多少种可能?解：把4封信编号：1，2，3,4．把小朋友编号，友,友,友，友.4213并假定1号信是给友写的，2号信是给友写的，3号信是给友写的，4号信是给友4213写的：再把各种可能的错装情况列成下表：所以，共有9种可能．说明：如第一种错收情况是友得2号信，友得了1号信，友得了4号信，友得了42133号信．习题十1．一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，问：①这个长方形的面积有多少可能值?②面积最大的长方形的长和宽是多少?2．有四种不同面值的硬币各一枚，它们的形状也不相同，用它们共能组成多少种不同钱数?12)，2，(1如?，问由这样的三个数所组成的数组有多少个24．三个自然数的乘积是 3．就是其中的一个，而且要注意数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组，如(1，2，12)和(2，12，1)是同一数组．4．小虎给3个小朋友写信，由于粗心，把信装入信封时都给装错了，结果3个小朋友收到的都不是给自己的信，请问小虎错装的情况共有多少种可能?5．一个学生假期往A、B、C三个城市游览．他今天在这个城市，明天就到另一个城市．假如他第一天在A市，第五天又回到A市．问他的游览路线共有几种不同的方案?6．下图中有6个点，9条线段，一只甲虫从A点出发，要沿着某几条线段爬到F点．行进中甲虫只能向右、向下或向右下方运动．问这只甲虫有多少种不同的走法?、 3 ．1 一、2 、、 3 ，有一套蓝色数字卡片2 7．小明有一套黄色数字卡片 1天他偶然用卡片做了下面的游戏：把不同色的卡片交叉配对，一次配成3对，然后把每对卡片上的黄蓝数字相乘之后再相加求和，你知道他共找到了多少种配对相乘求和的方式吗?比如说下面是其中一种：8．五个学生友一同去游玩，他们将各自的书包放在了一处．分，，友友,友,友51423手时带头开了个玩笑，他把小朋友的书包拿走了，后来其他的小朋友也都拿了别友友21人的书包．试问在这次玩笑中故意错拿书包的情形有多少种不同方式?习题十解答1．解：这个长方形的长和宽之和是22÷2=11(米)，由长方形的面积=长×宽，可知：由上表可见面积最大的长方形的长是6米、宽是5米，面积是30平方米．猜想：由本讲的例l和习题1这两题来看，周长一定的所有长方形中，长和宽相等或相近那个长方形面积最大．这是有名的“等周问题”的特例．2．解：把各种不同的组合及其对应的钱数列表枚举如下：数一数可知，能组成15种不同的钱数．注意它们是从1到15的15个自然数：1，2，3，．15，14，13，12，11，10，9，8，7，6，5，4．3．解：不计数组中数的顺序，所有乘积为24的三个数所组成的数组共有6组，枚举如下： (1，1，24)，(1，2，12)，(1，3，8)，(1，4，6)，(2，2，6)，(2，3，4)．4．解：把三封信编号为1号、2号、3号；把三个小朋友编号为友,友,友；l号、2号、3号信应该分别发给友,友,友. 112233按题意，友没有收到给自己的1号信，他只可能收到2号或3号信．1当友收到2号信时，友只可能收到3号信，则友收到1号信；123当友收到3号信时，友只可能收到l号信，则友收到2号信．123可见共有2种可能的错装情况，列表更为清楚．5．解：请看下面的树形图．可见他第五天回到A市的不同游览路线共有6种，分别是：6.解：经过E点的有3条路线，不经过E点的有2条路线，共有5条不同的路线，见下图．7.解：可以按下面的方法找出所有不同的配对相乘求和方式：123?? 1×1+2①×2+3×3=1+4=9=14 ??123??123??② 1×1+2×3+3×2=1+6+6=13 ??132??123?? 1×2+2×1+3③×3=2+2+9=13 ??213??123?? 1×2+2×④3+3×1=2+6+3=11 ??231??123?? 1×3+2⑤×1+3×2=3+2+6=11??312??123??⑥ 1×3+2×2+3×1=3+4+3=10??321??可见共有6种不同的配对相乘求和方式，其中第①种情况(可叫做同序配对)各乘积之和最大，第⑥种情况(可叫做逆序配对)各乘积之和最小．如果你感兴趣，可以进一步问，这个结果有普遍性吗?我们再进一步探讨一下：和 2 ，蓝卡片也是两张 1 ．显然只有两种配对情况：假设黄卡片只有 1 2 和两张， 1①同序配对： 1×1+2×2=5，②逆序配对：．l×2+2×1=4结果和上述相同．2．假如黄蓝卡片各有4张，不同的配对方式有很多．(4×3×2×1=24种，这点同学们以后就会明白!)我们找几种情况试一试：①同序配对：1×1+2×2+3×3+4×4=30．②逆序配对1×4+2×3+3×2+4×1=20．③交叉配对1×4+2×l+3×2+4×3=24．交叉配对1×3+2×4+3×2+4×1=21．交叉配对1×2+2×4+3×1+4×3=25．可见：同序配对，各乘积之和最大：30逆序配对，各乘积之和最小：20交叉配对，各乘积之和居中：大于20小于30．猜想：两个项数相同的数列配对相乘积之和，同序配对时最大，逆序配对时最小，交叉配对时在最小值和最大值之间．友号．因5号、4号、3、、友、友、友 8．解：设友号、2号、1的书包分别是51423．为友拿了2号书包，那么友就有拿1号、3号、4号和5号书包的四种可能．如果友拿122友拿了3号书包，这就是一种错拿方541了号书包，友拿了号书包，友拿了号书包，543式．其他方式看如下的树形图．数一数，共有11种不同的错拿方式．。

课前小故事
共有几条路
共有几条路？
小朋友们我们常常遇到一些问题
小朋友们，我们常常遇到一些问题
会出现很多种的情况(如：数字的拆
分，付钱等)，解决这些问题的时候
需要我们把每一种情况都考虑周全，
怎样才能做到不遗漏不重复呢？
这就需要我们把每一种情况按一定的顺序一一列举出来，这种方法就是“枚举法”枚举法可帮助我是“枚举法”，枚举法可以帮助我
用3、6、9、0四个数字可以组成多少个不同的四位数？(不能重复使)
用
把16个同样大小的正方形拼成1个长方形，可以拼成几个不同的长方形。

你帮她算一算，她用这些邮票可以组成多少种不同的邮资？
你帮她算算她用这些邮票可以组成多少种不同的邮资？
艾伦给4个好朋友写信。

由于粗心，在把信纸装入信封时都给装错了。

个好朋友收到的都是给别人的信问艾伦装错的情况共有多少种可4个好朋友收到的都是给别人的信。

问艾伦装错的情况共有多少种可能?。

第五讲枚举法1.枚举要做到不重补漏，把复杂的问题简单化。

2.要按照一定的规律特点去枚举。

板块一、数字枚举1. 用1分、2分、5分的硬币有多少种组成1角钱的方法？2. 现在1分、2分和5分的硬币各4枚，用其中的一些硬币支付2角3分钱，一共有多少种不同的支付方法？3. 有四张数字卡片从中抽出三张组成三位数，问这些卡片可能组成多少个不同的三位数？【巩固】用分别写有数字1，2，3的三张纸片能排出多少不同的三位数？4. 有25本书，分成6份。

如果每份至少一本，且每份的本数都不相同，有多少种分法？5. 从1至8这8个自然数中，每次取出两个不同的数相加，要使它们的和大于10，共有多少种不同的取法？【巩固】妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止，有多少种不同的吃法？6. 海淀区六所小学举行足球赛，每个学校派出一个代表队，要求规定每两个代表队之间都要比赛一场，问一共要赛多少场？7. 一个学生假期往A 、B 、C 三个城市游览．他今天在这个城市，明天就到另一个城市．假如他第一天在A 市，第五天又回到A 市．问他的游览路线共有几种不同的方案?板块二、图形枚举(最短路线问题)1. 王老师从重庆到南京，他可以乘飞机、汽车直接到达，也可以先到武汉，再由武汉到南京．他从重庆到武汉可乘船，也可乘火车；又从武汉到南京可以乘船、火车或者飞机，如图．那么王老师从重庆到南京有多少种不同走法呢？2. 如图所示，沿线段从A 到B 有多少条最短路线？GFE D C B A【巩固】下图是小英家和学校之间的街道图。

问小英去上学时，共有多少种不同的走法？（只能向右或者向上走，即不准故意绕远走）3. （难度等级※※※）如下图，一只蜜蜂从A处出发，回到家里B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房而不准逆行，共有多少种回家的方法？AB4. 如右图所示，一只蚂蚁从一个正方体的A点沿着棱爬向B点，如不故意绕远，一共有几种不同的走法？【补充：智巧趣题】1. 一个农民携带一只狼，一只羊和一棵白菜，要借助一条小船过河．小船上除了农民只能再带狼、羊、白菜中的一样．而农民不在时，狼会吃羊，羊会吃白菜．农民如何过河呢？。

小学奥数列举法分析：分类列举知识点解说小芳数钱，用的就是分类列举的方法。

这是一种很重要的数学思虑方法，在好多问题的思虑过程中都发挥了很大的作用。

下边就让我们跟###一同来看看它的本事吧！经典试题例[1] 下列图中有多少个三角形？剖析我们可以依据图形特点将它分红3类：第一类：有6个；第2类：有6个；第3类：有3个；解6+6+3=15（个）图中有15个三角形。

例[2]下列图中有多少个正方形？剖析依据正方形边长的大小，我们将它们分红4类。

第1类：由1个小正方形构成的正方形有24个；第2类：由4个小正方形构成的正方形有13个；第3类：由9个小正方形构成的正方形有4个；第4类：由16个小正方形构成的正方形有1个。

解24+13+4+1=42。

图中有42个正方形。

例[3]在算盘上，用两粒珠子可以表示几个不一样的三位数：分别是哪几个数？剖析依据两粒珠子的地点，我们可将它们分红3类：第1类：两粒珠子都在上档，可以构成505，550；第2类：两粒珠子都在下档，可以构成101，110，200；第3类：一粒在上档，另一粒在下档，可以构成510，501，150，105，600。

解可以表示101，105，110，150，200，501，505，510，550，600共10个三位数。

例[4]用数字7，8，9可以构成多少个不一样的三位数？分别是哪几个数？剖析依据百位上数字的不一样，我们可以将它们分红三类：第1类：百位上的数字为7，有789，798；第2类：百位上的数字为8，有879，897；第3类：百位上的数字为9，有978，987。

解可以构成789，798，879，897，978，987共6个三位数。

例[5]来回于南京和上海之间的沪宁高速列车沿途要停靠常州、无锡、苏州三站。

问：铁路部门要为这趟车准备多少种车票？剖析我们可以依据列车的往与反把它们分红两大类（注：为了方便，我们将上述地址简称为宁、常、锡、苏、沪）：在第一大类中，我们又可以依据乘客搭车时所在起点站的不一样分成4类。

小学奥数枚举法解析：分类枚举知识点讲解小芳数钱，用的就是分类枚举的方法。

这是一种很重要的数学思考方法，在很多问题的思考过程中都发挥了很大的作用。

下面就让我们跟###一起来看看它的本领吧！经典试题例[1] 下图中有多少个三角形？分析我们能够根据图形特征将它分成3类：第一类：有6个；第2类：有6个；第3类：有3个；解 6+6+3=15（个）图中有15个三角形。

例[2]下图中有多少个正方形？分析根据正方形边长的大小，我们将它们分成4类。

第1类：由1个小正方形组成的正方形有24个；第2类：由4个小正方形组成的正方形有13个；第3类：由9个小正方形组成的正方形有 4个；第4类：由16个小正方形组成的正方形有1个。

解 24+13+4+1=42。

图中有42个正方形。

例[3] 在算盘上，用两粒珠子能够表示几个不同的三位数：分别是哪几个数？分析根据两粒珠子的位置，我们可将它们分成3类：第1类：两粒珠子都在上档，能够组成505，550；第2类：两粒珠子都在下档，能够组成101，110，200；第3类：一粒在上档，另一粒在下档，能够组成510，501，150，105，600。

解能够表示101，105，110，150，200，501，505，510，550，600共10个三位数。

例[4] 用数字7，8，9能够组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？分析根据百位上数字的不同，我们能够将它们分成三类：第1类：百位上的数字为7，有789，798；第2类：百位上的数字为8，有879，897；第3类：百位上的数字为9，有978，987。

解能够组成789，798，879，897，978，987共6个三位数。

例[5] 往返于南京和上海之间的沪宁高速列车沿途要停靠常州、无锡、苏州三站。

问：铁路部门要为这趟车准备多少种车票？分析我们能够根据列车的往与反把它们分成两大类（注：为了方便，我们将上述地点简称为宁、常、锡、苏、沪）：在第一大类中，我们又能够根据乘客乘车时所在起点站的不同分成4类。

在我们所学的很多重要知识中，解决问题的方法就是一一列举，这种方法也就是枚举.枚举法在解决数学问题中，经常会被用到.在这节课中我们就把以往所学的一些需要通过枚举法来解答的问题进行整合（如付钱问题、数字拆分问题、排列组合问题等）.一是为了让学生对难点进一步巩固，二是让学生学会这种数学方法，为以后解决问题所用.1、教学点为老师提供本节课的挂图.有一天，小兔去小猴家找小猴一起去图书馆看书，而从小兔家到小猴家不能直接到达，必须要经过公园或小田鼠家（如下图），小朋友们找一找，从小兔家到小猴家共有几条路可以走？【教学思路】首先我们可以把几条路标上序号，这样我们更容易来观察.我们可以把这些路线一一列举出来，具体情况如下：从小兔家到公园然后到小猴家的路线有6条：（1）－(3); （1）－(4); （1）－(5);（2）－(3); （2）－(4); （2）－(5);从小兔家到小田鼠家然后到小猴家的路线有2条：（6）－(8); （7）－(8);这样通过枚举总共得出8条从小兔家到小猴家的路线.课前通过解决这个问题，让学生初步感知到枚举在生活中的用途.小朋友们，我们常常遇到一些问题会出现很多种的情况（如：数字的拆分，付钱等），解决这些问题的时候需要我们把每一种情况都考虑周全，怎样才能做到不遗漏不重复呢？这就需要我们把每一种情况按一定的顺序一一列举出来，这种方法就是“枚举法”，枚举法可以帮助我们解决很多数学问题，今天这节课我们就一起来体会枚举法的妙用吧！动物学校今天正在进行数学竞赛，大象老师给各位小动物们出了很多难题，现在让我们也去试试吧！小熊维尼买回了7个一样的苹果，准备放在三个同样的盘子里，如果允许有的盘子空着不放．共有多少种不同的放法?【教学思路】在这里因为强调是完全一样的苹果和同样的盘子，我们就不考虑苹果和盘子的顺序.在解决这个问题时，用数字代表盘子里的苹果数，用由3个数字组成的数组表示不同的放置方式．这时候，问题转化成把7拆分成3个数的和的形式.如(7，0，0)表示：一个盘子里放7个苹果，而另外两个盘子里都空着不放．各种可能的放置情况如下：(7，0，0)(6，1，0)(5，2，0)，(5，1，1)(4，3，0)，(4，2，1)(3，3，1)，(3，2，2)数一数，共有8种不同的放法．Hello kitty最近迷上了集邮，一天她收集到了4张3角邮票和3张5角邮票，请你帮她算一算，她用这些邮票可以组成多少种不同的邮资?【教学思路】这道题的情况非常多，此题跟付钱问题类似，我们可以把组成的不同邮资一一枚举出来.(1)只用3角的邮票可以组成4种不同的邮资：3角(1张)，6角(2张)，9角(3张)，1元2角(4张)．(2)只用5角的邮票可以组成3种不同的邮资：5角(1张)，1元(2张)，l元5角(3张)．(3)两种邮票搭配可以组成12种不同的邮资：所以，共有4+3+12=19种不同的邮资．另外这道题我们也可以通过表格的方法进行枚举.小兔妮妮在家做寒假作业，其中有一道题是要从1写到100，你知道当她写完时一共写了多少个数字“9”吗?【教学思路】小兔共写了20个数字“9”.我们可以用枚举的方法来进行统计.方法一：因为从1到100的数中有18个数含有一个数字“9”，它们是：9、19、29、39、49、59、69、79、89、90、91、92、93、94、95、96、97、98，另外自然数99含有两个数字9.共20个9.法二：分类数，“9”出现在个位上的数有：9、19、29、39、49、59、69、79、89、99，共10个；“9”出现在十位上的数有：90、91、92、93、94、95、96、97、98、99，共10个共20个.用分别写着0、5、6、9的四张卡片，可以组成多少个不同的三位数?【教学思路】0不能在百位，那么百位的数只能是5、6、9.百位上是5的三位数有：506、509、569、560、596、590；百位上是6的三位数有605、609、650、659、695、690；百位上是9的三位数有905、906、965、960、956、950.这样用0、5、6、9四张卡片，可以组成6×3==18个不同的三位数.小蜜蜂家门前共有5级台阶．她发现每天上楼梯的方法都不相同，小蜜蜂很想研究一下这个问题.如果规定一步只能登上一级或两级台阶，小朋友帮她算一算上这个台阶共有多少种不同的上法?【教学思路】如下图，我们可以按顺序把这些方法用数对比较出来，具体分析如下：见上图（1），用数组表示不同的上法.（1，1，1，1，1）表示每步只上一级，只有1种上法.见上图（2），①（2，1，1，1）②（1，2，1，1）③（1，1，2，1）④（1，1，1，2）表示有一步上两个台阶，其他几步都各上一个台阶，共有4种上法.见上图（3），①（2，2，1）②（1，2，2）③（2，1，2）表示有两步各上两个台阶，有一步上一个台阶，这种上法共有3种.因此，上台阶共有1+4+3=8种不同的上法.【教学思路】小兔在以树为圆心，2米为半径的圆以外围着树跑，狗看见小兔就追，跑了几圈绳子就会绕在树上，绳子越绕越短，小兔就可以放心地把萝卜拔走了.生活中交通跟我们密不可分，大象老师出了一道跟交通有关的题，你能帮助解决吗？北京到广州的火车中途经过天津、武汉，如果只考虑北京到广州中的北京、天津、 武汉、广州这4个车站，那么这4个车站间的往返火车票共需多少种?【教学思路】这里要注意，题目要求在这4个车站间有多少种往返车票．“往返车票”指在这4个车站中，任何一个车站既可以作起点站也可以作终点站，因此，可以任取1个站作起点站，则其余3个站就是终点站了．即一个起点和一个终点间都应设一种车票，因此需要准备3×4=12(种)不同的车票．小猪欢欢喜欢吃披萨、汉堡和薯条三种快餐.她在相邻的两天不会吃同一种.如果她第一天吃的是披萨，第五天也是吃的披萨，那么在这五天里她的食谱有多少种安排方案?小兔饿了，到处寻找食物.它来到一棵大树下，看到离树1米远的地方有个大萝卜，满心欢喜.但这棵树下拴了一条狗，绳长2米.小兔要吃萝卜，狗就会咬它.小兔想了个好办法既能吃到萝卜，又不会被狗咬.你知道是什么办法吗?【教学思路】可以用树形图分析：这样我们发现，小猪的食谱一共有6种安排的方法，具体情况如下：（1）披萨－汉堡－披萨－汉堡－披萨； （2）披萨－汉堡－披萨－薯条－披萨； (3) 披萨－汉堡－薯条－汉堡－披萨； (4) 披萨－薯条－披萨－汉堡－披萨； (5) 披萨－薯条－披萨－薯条－披萨； (6) 披萨－薯条－汉堡－薯条－披萨；【教学思路】把4封信编号：1，2，3，4；把小朋友编号，友1,友2,友3，友4.并假定1号信是给友1写的，2号信是给友2写的，3号信是给友3写的，4号信是给友4写的：再把各种可能的错装情况列成下表：所以，共有9种可能．拓展与提高小鸡咪咪给4个好朋友写信．由于粗心，在把信纸装入信封时都给装错了．4个好朋友收到的都是给别人的信．问咪咪装错的情况共有多少种可能?附加题（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用.）一个盒中装有七枚硬币，两枚1分的，两枚5分的，两枚1角的，一枚5角的，每次取出两枚，记下它们的和，然后放回盒中，如此反复地取出和放回，那么记下的和至多有多少种不同的钱数?【教学思路】我们仍按照一定的顺序来考虑，我们先从取最小硬币开始考虑．(1)先取1枚1分的，第2枚取时有4种情况．分别为：1分，5分，10分，50分．两枚硬币的币值分别为：2分，6分，11分，51分；(2)如果第l 枚取的是5分的币值，第2枚取时有3种情况：5分，10分，50分．两枚硬币的币值分别为：10分，15分，55分；(3)如果第1枚取的是1角的币值，第2枚取时有2种情况：1角，5角．两枚硬币的币值分别为：20分，60分．这样共有4+3+2=9(种)不同的钱数．有一个大长方形的周长是20厘米，它的长和宽都是整厘米数，这样的不同的长方形有多少？【教学思路】由于长方形的周长是20厘米，所以它的长和宽之和为10厘米，下面列举出符合这个条件的各种长方形．(注意，正方形可以说成是长与宽相等的长方形)．所以有5个.两个整数之积为144，差为10，求这两个数?【教学思路】列出两个数积为144的各种情况，再寻找满足题目条件的一对出来： 1 2 3 4 6 8 9 12144 72 48 36 24 18 16 12可见其中差是10的两个数是8和18，这一对数即为所求．1. 从2张5元人民币、5张2元人民币、lO张1元人民币中取10元钱，共多少种不同的取法?【答案】画表分析可得10种.2. 用3、7、5、0这四个数字，可以组成（18）个不同的三位数。