线面垂直的判定练习题(精编文档).doc

线面垂直题型20道
1. 两条直线的夹角为90度，则它们一定垂直。

2. 如果一条直线垂直于另一条直线，那么任意一条过这两条直线的线段，这条线段上的点就分别与这两条直线的交点连成的线段垂直。

3. 两条直线分别垂直于第三条直线，则这两条直线平行。

4. 一条线段的中垂线与线段垂直。

5. 任意一个点到平面上一直线的垂足所在的直线与这条直线垂直。

6. 如果一个三角形的两条边互相垂直，则这个三角形是直角三角形。

7. 如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线称为这个平面的法线。

8. 一个正方体的某个面与它所在的平面垂直。

9. 一个矩形的对角线互相垂直。

10. 一个正方形的对角线互相垂直。

11. 如果两个面互相垂直，则它们的法线互相平行。

12. 如果平面P垂直于直线L1，且L1垂直于直线L2，则平面P和直线L2互相平行。

13. 如果两条直线互相垂直，则它们的斜率的乘积为-1。

14. 如果一条直线过一个圆的圆心，则这条直线与圆的切线垂直。

15. 如果一条直线垂直于直径所在的直线，则它和圆的切线互相平行。

16. 直角梯形的两条腰互相垂直。

17. 如果两个向量垂直，则它们的点积为0。

18. 如果直线L1垂直于平面P，那么L1上任意一点到P的距离均相等。

19. 一个正六面体的某个面与它所在的平面垂直。

20. 如果两个三维空间中的直线垂直，则它们的方向向量的点积为0。

页脚下载后可删除，如有侵权请告知删除！立体几何1．P 点在那么ABC ∆所在的平面外，O 点是P 点在平面ABC 内的射影 ，PA 、PB 、PC两两垂直，那么D 点是那么ABC ∆ 〔 B 〕(A)重心 (B) 垂心 (C)内心 (D)外心2．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是 〔 A 〕(A)都平行 (B) 都相交 (C) 在两个平面内 (D)至少与其中一个平行3．假设两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两平面的位置关系是〔 A 〕(A)平行 (B) 相交 (C)平行或相交 (D)垂直 4．在空间，下述命题正确的选项是 〔 B 〕(A)假设直线//a 平面M ，直线b a ⊥，那么直线⊥b 平面M (B)假设平面M //平面N ，那么平面M 内任意直线a //平面N(C)假设平面M 与N 的交线为a ，平面M 内的直线a b ⊥，那么N b ⊥ (D)假设平面N 的两条直线都平行平面M ，那么平面N //平面M5．a 、b 表示两条直线，α、β、γ表示三个平面，以下命题中错误的选项是 〔A 〕 (A),,αα⊂⊂b a 且ββ//,//b a ，那么βα// (B)a 、b 是异面直线，那么存在唯一的平面与a 、b 等距 (C) ,,,b a b a ⊥⊂⊥βα那么βα// (D),,,//,βαβγγα⊥⊥⊥b a 那么b a ⊥6.直线l //平面α，αβ⊥，那么l 与平面β的位置关系是 〔 D 〕 (A) l β⊂ (B) //l β (C) l β与相交 (D ) 以上三种情况均有可能 7．直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有以下四个命题：①//l m αβ⇒⊥②//l m αβ⊥⇒③//l m αβ⇒⊥④//l m αβ⊥⇒，其中正确的选项是〔D 〕(A) ①② (B) ②④ (C) ③④ (D) ①③8．αβγδ，，，是四个不同的平面，且αγβγαδβδ⊥⊥⊥⊥，，，，那么〔 B 〕 (A)////αβγδ或 (B) ////αβγδ且(C) 四个平面中可能任意两个都不平行 (D) 四个平面中至多有一对平面平行 9．平面α和平面β相交，a 是α内的一条直线，那么〔 D 〕(A) 在β内一定存在与a 平行的直线 (B) 在β内一定存在与a 垂直的直线 (C) 在β内一定不存在与a 平行的直线 (D) 在β内一定不存在与a 垂直的直线页脚下载后可删除，如有侵权请告知删除！10．PA ⊥正方形ABCD 所在平面，垂足为A ，连PB PC PD AC BD ，，、，，那么互相垂直的平面有〔 C 〕(A) 5对 (B) 6对 (C) 7对 (D) 8对12. 如图9-29，P A ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点． 求证：MN ⊥AB ．13. ：如图，AS ⊥平面SBC ，SO ⊥平面ABC 于O ， 求证：AO ⊥BC ．15. 如图，P ∉平面ABC ，PA=PB=PC ，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求证：平面ABC ⊥平面PBC16. 如图：在斜边为AB 的R t △ABC 中，过点A 作PA ⊥平面ABC ，AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F ，〔１〕求证：BC ⊥平面PAC ；〔２〕求证：PB ⊥平面AEF.17. 如图：PA ⊥平面PBC ，AB ＝AC ，M 是BC 的中点，求证：BC ⊥PM.CFEPBAC BAM P页脚下载后可删除，如有侵权请告知删除！如图，在正三棱柱111C B A ABC -.中，底面ABC 为正三角形，M 、N 、G 分别是棱CC 1、AB 、BC的中点．且AC CC 21=.〔Ⅰ〕求证：CN //平面 AMB 1； 〔Ⅱ〕求证：平面AMG .【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】。

线面垂直练习题一、选择题1. 若直线a与平面α内的直线b垂直，且b⊂α，那么直线a与平面α的关系是（）。

A. 平行B. 垂直B. 相交D. 无法确定2. 在空间几何中，若直线m与平面α垂直，直线n在平面α内，且m与n相交，那么直线m与直线n的关系是（）。

A. 垂直B. 平行C. 异面D. 相交3. 已知直线l垂直于平面α，点P在平面α外，若要确定过点P且垂直于平面α的直线，需要（）。

A. 一条直线B. 两条直线C. 至少两条直线D. 无数条直线4. 若直线a与直线b相交，且a垂直于平面α，b在平面α内，则直线b与平面α的关系是（）。

A. 垂直B. 平行C. 相交D. 无法确定5. 已知直线m垂直于直线n，直线m在平面β内，直线n在平面α内，若平面α与平面β垂直，则直线m与平面α的关系是（）。

A. 垂直B. 平行C. 相交D. 异面二、填空题6. 若直线a与平面α垂直，直线a上的点A到平面α的距离为d，则直线a上任意一点到平面α的距离都是________。

7. 在空间几何中，若直线l1与直线l2垂直，且l1在平面α内，l2在平面β内，若平面α与平面β垂直，则直线l1与直线l2的位置关系是________。

8. 已知直线m垂直于平面α，若平面β与平面α垂直，且直线m在平面β内，则直线m与平面α的位置关系是________。

9. 若直线a与直线b垂直，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且平面α与平面β垂直，则直线a与平面β的位置关系是________。

10. 若直线l垂直于平面α，点P在平面α上，直线l'过点P且与直线l垂直，则直线l'与平面α的位置关系是________。

三、解答题11. 已知直线a与平面α垂直，直线b在平面α内，直线a与直线b 相交于点A。

求证：点A是直线b在平面α上的垂足。

12. 已知平面α与平面β垂直，直线m垂直于平面α且在平面β内，直线n在平面α内。

求证：直线m与直线n垂直。

线面垂直练习题及答案线面垂直是几何学中的一项基本概念，用于描述线段、射线、直线和平面之间的垂直关系。

理解线面垂直的概念对于解决几何问题至关重要。

本文将为读者提供一些线面垂直练习题及答案，帮助读者巩固对该概念的理解。

练习题一：1. AB为一条线段，m是一平面。

如果AB与m垂直，判断下列命题的真假：a) 线段AB垂直于平面mb) 平面m垂直于线段ABc) 线段AB平行于平面m2. P是平面XYZ的内点，AP的延长线与平面XYZ有几个交点？练习题二：1. 给出下列命题的定义：a) 垂线b) 垂直平分线c) 垂直平面2. 在平面上画一条线段AB和一条直线l，求证：若线段AB与直线l垂直，则直线l过点A和点B的垂直平分线。

1. 已知直线l与平面P垂直，直线m过l上一点，那么直线m与平面P的关系是什么？2. 在长方形ABCD中，线段AC和线段BD相交于点O。

求证：线段AC与平面ABCD垂直。

答案及解析：练习题一：1. a) 假，线段AB无法垂直于平面m，因为线段只有两个端点而不是无限延伸。

b) 真，平面m可以垂直于线段AB。

c) 假，线段和平面不可能平行。

2. AP的延长线与平面XYZ有且只有一个交点。

练习题二：1. a) 垂线是与给定线段或直线垂直的线段或直线。

b) 垂直平分线是将给定线段或直线垂直平分的线段或直线。

c) 垂直平面是与给定平面垂直的平面。

2. 假设直线l过点A和点B的垂直平分线交线段AB于点M，则根据垂直平分线的定义，我们可以得出线段AM和线段BM的长度相等，且直线l与线段AM和线段BM都垂直。

1. 直线m与平面P平行。

2. 连接线段AC的中点和线段BD的中点，设为点O'。

根据长方形的性质，线段OO'相等且垂直于两个平行线段AC和BD。

因此，线段OO'垂直于平面ABCD，而线段OO'与线段AC相等，所以线段AC与平面ABCD垂直。

通过以上练习题及答案，我们可以加深对线面垂直概念的理解。

线面垂直练习题及答案线面垂直是几何学中一个重要的概念，它涉及到直线和平面之间的关系。

在几何学中，我们经常需要判断线和平面是否垂直，以及如何确定它们的垂直关系。

为了帮助大家更好地理解和掌握线面垂直的概念，本文将介绍一些线面垂直的练习题及答案。

1. 练习题：判断线段和平面是否垂直题目：已知线段AB的两个端点分别为A(1, 2, 3)和B(4, 5, 6)，平面P的法向量为(2, -1, 3)，判断线段AB是否垂直于平面P。

解答：要判断线段AB是否垂直于平面P，只需判断线段AB的方向向量是否与平面P的法向量垂直。

线段AB的方向向量为AB = B - A = (4, 5, 6) - (1, 2, 3) = (3, 3, 3)。

两个向量的点积为3*2 + 3*(-1) + 3*3 = 9，不等于0。

因此，线段AB不垂直于平面P。

2. 练习题：确定两平面之间的垂直关系题目：已知平面P1的法向量为(1, 2, -1)，平面P2的法向量为(2, -1, 3)，判断平面P1和平面P2之间的垂直关系。

解答：两个平面垂直的条件是它们的法向量垂直，即两个法向量的点积为0。

计算两个法向量的点积为1*2 + 2*(-1) + (-1)*3 = 0，等于0。

因此，平面P1和平面P2垂直。

3. 练习题：求垂直平面上的直线题目：已知平面P的方程为2x + 3y - z = 6，求过点A(1, 2, 3)且垂直于平面P的直线的方程。

解答：垂直于平面P的直线的方向向量应该与平面P的法向量垂直。

由平面P的方程可知，平面P的法向量为(2, 3, -1)。

因此，过点A(1, 2, 3)且垂直于平面P 的直线的方向向量为(2, 3, -1)。

直线的方程可以表示为x = 1 + 2t，y = 2 + 3t，z = 3 - t，其中t为参数。

4. 练习题：判断直线和平面是否垂直题目：已知直线L的方程为x = 1 + 2t，y = 2 + 3t，z = 3 - t，平面P的方程为2x + 3y - z = 6，判断直线L是否垂直于平面P。

线面垂直判定定理测试题1.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PA⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA//平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积．2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB∥EF；（2）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥平面PCD．3.如图，已知AF⊥面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=1，AB=2（1）求证：AF∥面BCE；（2）求证：AC⊥面BCE；（3）求三棱锥E-BCF的体积．4.如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．（1）证明：AC⊥BD；（2）已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．5.如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD⊥AB，AD=1，AB=2，SD=√3．（1）求证：CD⊥平面ADS；（2）求AD与SB所成角的余弦值；（3）求二面角A-SB-D的余弦值．6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP=AD，M，N分别为棱PD，PC的中点．求证：（1）MN∥平面PAB；（2）AM⊥平面PCD．7.如图所示四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为PD的中点，F为PC中点．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）求证：BF∥平面ACE；（Ⅲ）求直线PD与平面PAC所成的角的正弦值．答案和解析1.【答案】（1）证明：由PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，且AB ∩BC =B ，可得PA ⊥平面ABC ，由BD ⊂平面ABC ，可得PA ⊥BD ；（2）证明：由AB =BC ，D 为线段AC 的中点，可得BD ⊥AC ，由PA ⊥平面ABC ，PA ⊂平面PAC ，可得平面PAC ⊥平面ABC ，又平面PAC ∩平面ABC =AC ，BD ⊂平面ABC ，且BD ⊥AC ，即有BD ⊥平面PAC ，BD ⊂平面BDE ，可得平面BDE ⊥平面PAC ；（3）解:PA //平面BDE ，PA ⊂平面PAC ，且平面PAC ∩平面BDE =DE ，可得PA //DE ，又D 为AC 的中点，可得E 为PC 的中点，且DE =12PA =1，由PA ⊥平面ABC ，可得DE ⊥平面ABC ，可得S △BDC =12S △ABC =12×12×2×2=1， 则三棱锥E -BCD 的体积为13DE •S △BDC =13×1×1=13．【解析】本题考查空间的线线、线面和面面的位置关系的判断，主要是平行和垂直的关系，注意运用线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理，面面垂直的判定定理和性质定理，同时考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．（1）运用线面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC，再由性质定理即可得证；（2）要证平面BDE⊥平面PAC，可证BD⊥平面PAC，由（1）运用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面ABC，再由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，运用面面垂直的性质定理，即可得证；（3）由线面平行的性质定理可得PA//DE，运用中位线定理，可得DE的长，以及DE⊥平面ABC，求得三角形BCD的面积，运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值．2.【答案】解：（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴AB∥CD ,又∵AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD ,又∵A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，∴AB∥EF ;（2）证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD ,又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD,CD⊄平面PAD∴CD⊥平面PAD ,又∵AF⊂平面PAD ,∴CD⊥AF ,由（1）可知，AB∥EF，又∵AB∥CD，C,D,E,F在同一平面内，∴CD∥EF ,∵点E是棱PC中点，∴点F是棱PD中点,在△PAD中，∵PA=AD，∴AF⊥PD ,又∵PD∩CD=D，PD、CD⊂平面PCD,∴AF⊥平面PCD．【解析】（1）证明AB∥平面PCD，即可得AB∥EF；（2）利用平面PAD⊥平面ABCD，证明CD⊥AF，PA=AD，所以AF⊥PD，即可证明AF⊥平面PCD；本题考查线面平行的性质，平面与平面垂直的性质，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3.【答案】（1）证明：∵四边形ABEF为矩形，∴AF∥BE，∵AF⊄平面BCE，BE⊄平面BCE，∴AF∥面BCE．（2）证明：∵AF⊥面ABCD，四边形ABEF为矩形，∴BE⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BE，∵四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=1，AB=2 ∴AC=BC=√12+12=√2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，∵BC∩BE=B，∴AC⊥面BCE．（3）解：三棱锥E-BCF的体积：V E-BCF=V C-BEF=13×S△BEF×AD=1 3×12×BE×EF×AD=1 3×12×1×2×1=13．【解析】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、转化化归思想，考查数据处理能力和运用意识，是中档题．（1）推导出AF∥BE，由此能证明AF∥面BCE．（2）推导出AC⊥BE，AC⊥BC，由此能证明AC⊥面BCE．（3）三棱锥E-BCF的体积V E-BCF=V C-BEF，由此能求出结果．4.【答案】证明：（1）取AC中点O，连结DO、BO，∵△ABC是正三角形，AD=CD，∴DO⊥AC，BO⊥AC，∵DO∩BO=O，∴AC⊥平面BDO，∵BD⊂平面BDO，∴AC⊥BD．（2）解：连结OE，由（1）知AC⊥平面OBD，∵OE⊂平面OBD，∴OE⊥AC，设AD=CD=√2，则OC=OA=1，EC=EA，∵AE⊥CE，AC=2，∴EC2+EA2=AC2，∴EC=EA=√2=CD，∴E是线段AC垂直平分线上的点，∴EC=EA=CD=√2，由余弦定理得：cos∠CBD=BC2+BD2−CD22BC⋅BD =BC2+BE2−CE22BC⋅BE，即4+4−22×2×2=4+BE2−22×2×BE，解得BE=1或BE=2，∵BE＜BD=2，∴BE=1，∴BE=ED，∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，∵BE=ED，∴S△DCE=S△BCE，∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1．【解析】本题考查线线垂直的证明，考查两个四面体的体积之比的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．（1）取AC中点O，连结DO、BO，推导出DO⊥AC，BO⊥AC，从而AC⊥平面BDO，由此能证明AC⊥BD．（2）连结OE，设AD=CD=，则OC=OA=1，由余弦定理求出BE=1，由BE=ED，四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h，S△DCE=S△BCE，由此能求出四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．5.【答案】解：（I）证明：∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD又SD⊥AB，AB∥CD，则CD⊥SD（2分）AD⊥SD∴CD⊥平面ADS（II）矩形ABCD，∴AD∥BC，即BC=1，∴要求AD与SB所成的角，即求BC与SB所成的角在△SBC中，由（1）知，SD⊥面ABCD．∴Rt△SDC中，SC=√(√3)2+22=√7∴CD是CS在面ABCD内的射影，且BC⊥CD，∴SC⊥BCtan∠SBC=SCCB =√71=√7cos∠SBC=√24从而SB与AD的成的角的余弦为√24．（III）∵△SAD中SD⊥AD，且SD⊥AB∴SD⊥面ABCD．∴平面SDB⊥平面ABCD，BD为面SDB与面ABCD的交线．∴过A作AE⊥DB于E∴AE⊥平面SDB又过A作AF⊥SB于F，连接EF，从而得：EF⊥SB∴∠AFB为二面角A-SB-D的平面角在矩形ABCD中，对角线∵√12+22=√5BD=√5∴在△ABD中，AE=AB⋅CDBD =1⋅2√5=2√55由（2）知在Rt△SBC，SB=√(√7)2+12=√8．而Rt△SAD中，SA=2，且AB=2，∴SB2=SA2+AB2，∴△SAB为等腰直角三角形且∠SAB为直角，∴AF=√22AB=√2∴sin∠AFE=AEAF =2√55√2=√105所以所求的二面角的余弦为√155【解析】（1）要证CD⊥平面ADS，只需证明直线CD垂直平面ADS内的两条相交直线AD、SD即可；（2）要求AD与SB所成的角，即求BC与SB所成的角，解三角形可求AD与SB所成角的余弦值；（3）过A作AE⊥DB于E 又过A作AF⊥SB于F，连接EF，说明∠AFB为二面角A-SB-D的平面角，解三角形可求二面角A-SB-D的余弦值．本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，异面直线所成的角，考查学生逻辑思维能力，计算能力，是中档题．6.【答案】证明：（1）因为M、N分别为PD、PC的中点，所以MN∥DC，又因为底面ABCD是矩形，所以AB∥DC．所以MN∥AB，又AB⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB．（2）因为AP=AD，P为PD的中点，所以AM⊥PD．因为平面PAD⊥平面ABCD，又平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，又AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM．因为CD、PD⊂平面PCD，CD∩PD=D，∴AM⊥平面PCD．【解析】（1）推导出MN∥DC，AB∥DC．从而MN∥AB，由此能证明MN∥平面PAB．（2）推导出AM⊥PD，CD⊥AD，从而CD⊥平面PAD，进而CD⊥AM，由此能证明AM⊥平面PCD．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．7.【答案】（Ⅰ）证明：因为PA⊥底面ABCD，CD⊂面ABCD，所以PA⊥CD，又因为直角梯形ABCD中，AC=2√2，CD=2√2，所以AC2+CD2=AD2，即AC⊥CD，又PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC；（Ⅱ）解法一：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接BG，FG，EO，则在△PCE中，FG∥CE，又EC⊂平面ACE，FG⊄平面ACE，所以FG∥平面ACE，因为BC∥AD，所以BOOD =GEED，则OE∥BG，又OE⊂平面ACE，BG⊄平面ACE，所以BG∥平面ACE，又BG∩FG=G，所以平面BFG∥平面ACE，因为BF⊂平面BFG，所以BF∥平面ACE．解法二：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接FD交CE于H，连接OH，则FG∥CE，在△DFG中，HE∥FG，则GEED =FHHD=12，在底面ABCD中，BC∥AD，所以BOOD =BCAD=12，所以FHHD =BOOD=12，故BF∥OH，又OH⊂平面ACE，BF⊄平面ACE，所以BF∥平面ACE．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，CD⊥平面PAC，所以∠DPC为直线PD与平面PAC所成的角，在Rt△PCD中，CD=2√2，PD=√PA2+AD2=2√5，所以sin∠DPC=CDPD =2√22√5=√105，所以直线PD与平面PAC所成的角的正弦值为√105．【解析】本题考查线面垂直、线面平行，考查线面角，解题的关键是掌握线面垂直、线面平行的判定方法，正确找出线面角．（Ⅰ）证明CD⊥平面PAC，证明PA⊥CD，AC⊥CD即可；（Ⅱ）解法一：连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接BG，FG，EO，证明平面BFG∥平面ACE，即可证得BF∥平面ACE；解法二：如图，连接BD，交AC于O，取PE中点G，连接FD交CE于H，连接OH，则证明BF∥OH，即可证得BF∥平面ACE；（Ⅲ）确定∠DPC为直线PD与平面PAC所成的角，在Rt△PCD中，即可求得直线PD与平面PAC所成的角的正弦值．第11页，共11页。

线面垂直与面面垂直垂直练习题第一篇：线面垂直与面面垂直垂直练习题2012级综合和高中练习题2.3线面垂直和面面垂直线面垂直专题练习一、定理填空：1.直线和平面垂直如果一条直线和，就说这条直线和这个平面垂直.2.线面垂直判定定理和性质定理线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.判定定理1：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么判定定理2：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么.线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行.性质定理1：垂直于同一条直线的两个平面互相平行。

二、精选习题：1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题：①a//b⎫a⊥M⎫a⊥M⎫a//M⎫②③b∥M④⇒⇒b⊥M⇒a//b⎬⎬⎬⎬⇒b ⊥M.a⊥b⎭a⊥M⎭b⊥M⎭a⊥b⎭其中正确的命题是()A.①②B.①②③C.②③④D.①②④2.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有() 第3题图A.DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF3.设a、b是异面直线，下列命题正确的是()A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直C.过a一定可以作一个平面与b垂直D.过a一定可以作一个平面与b平行4.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,m α和m⊥γ,那么必有()A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ5.有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.3 6.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题① 若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α，其中真命题的序号是()．．．A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④7.如图所示,三棱锥V-ABC中,AH⊥侧面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC边上的高.求证:VC⊥AB;8.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC 的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.9.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M．10.如图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a，M是AD的中点，N是BD′上一点，且D′N∶NB＝1∶2，MC与BD交于P.(1)求证：NP⊥平面ABCD.(2)求平面PNC与平面CC′D′D所成的角.11.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面.解：已知a∥b，a⊥α.求证：b⊥α.12.已知点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥AC.13.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.14.如图，四面体A—BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正弦值.15.如图11(1)，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(1)求证：D1C⊥AC1；（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由.16.如图12，在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心.求证：A1O⊥平面GBD.17.如图，已知a、b是两条相互垂直的异面直线，线段AB与两异面直线a、b垂直且相交，线段AB的长为定值m，定长为n（n＞m）的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动，M、N分别是AB、PQ的中点.求证：（1）AB⊥MN；（2）MN的长是定值.18.如图，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3，AB=5，BC=4,AA1=4,点D是AB的中点.（1）求证：AC⊥BC1;（2）求证：AC1∥平面CDB1.面面垂直专题练习一、定理填空面面垂直的判定定理：面面垂直的性质定理：二、精选习题1、正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后，AB与CD所成的角等于2、三棱锥P-ABC的三条侧棱相等，则点P在平面ABC上的射影是△ABC的____心.3、一条直线与两个平面所成角相等，那么这两个平面的位置关系为______________4、在正三棱锥中，相邻两面所成二面角的取值范围为___________________5、已知α-l-β是直二面角，A∈α,B∈β,A、B∉l，设直线AB与α成30角，AB=2，Bο到A在l上的射影N，则AB与β所成角为______________.6、在直二面角α-AB-β棱AB上取一点P，过P分别在α,β平面内作与棱成45°角的斜线PC、PD，则∠CPD的大小是_____________7、正四面体中相邻两侧面所成的二面角的余弦值为___________________.8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中.求证：平面ACD1 ⊥平面BB1D1DDA1DC1CAB10、如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，求证：平面PAC⊥平面PBC．BAC11、如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．问△ABC是否为直角三角形，若是，请给出证明；若不是，请举出反例．ACB第二篇：线面,面面垂直线面，面面垂直⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。

线面垂直练习题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 在空间几何中，如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面的关系是什么？A. 平行B. 垂直C. 相交D. 无法确定2. 若直线l与平面α垂直，直线m在平面α内，且直线l与直线m相交于点P，那么直线l与直线m的关系是什么？A. 平行B. 垂直C. 异面D. 相交但非垂直3. 在一个正方体中，如果一条直线垂直于正方体的一个面，那么这条直线与正方体的对角线的关系是什么？A. 垂直B. 平行C. 相交D. 异面4. 已知直线AB与直线CD相交于点P，且直线AB垂直于平面α，直线CD在平面α内，那么点P到平面α的距离是多少？A. 0B. 长度APC. 长度CPD. 无法确定5. 如果直线a与平面β垂直，直线b在平面β内，且直线a与直线b不共面，那么直线a与直线b的关系是什么？A. 平行B. 垂直C. 相交D. 异面二、填空题（每空1分，共5分）6. 已知直线l垂直于平面α，若直线m在平面α内，且直线l与直线m的距离为d，则直线l与直线m的夹角为________。

7. 在三棱锥P-ABC中，若PA垂直于平面ABC，且AB垂直于AC，则PA 与AB的夹角为________。

8. 已知直线a垂直于直线b，直线c垂直于直线b，且直线a与直线c 相交，那么直线a与直线c的夹角为________。

三、计算题（每题5分，共10分）9. 在空间直角坐标系中，设直线l的方程为 \( x - 2y + z = 0 \)，平面α的方程为 \( 3x + y - 2z + 5 = 0 \)。

求证直线l与平面α垂直。

10. 已知直线AB通过点A(1,2,3)和点B(4,5,6)，求证直线AB垂直于平面xOy。

线面垂直判定经典证明题第一篇：线面垂直判定经典证明题线面垂直判定1、已知：如图，PA⊥AB，PA⊥AC。

求证：PA⊥平面ABC。

2、已知：如图，PA⊥AB，BC⊥平面PAC。

求证：PA⊥BC。

3、如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC。

求证：VB⊥AC4、在正方体ABCD-EFGH中，O为底面ABCD中心。

求证：BD⊥平面AEGC5、如图，AB是圆O的直径，PA⊥AC, PA⊥AB,求证：BC⊥平面PAC6、如图，AD⊥BD, AD⊥DC,AD=BD=CD,∠BAC=60°求证：BD⊥平面ADC7、.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.8、已知：如图，P是棱形ABCD所在平面外一点，且PA=PC 求证：AC⊥平面PBD __C9、已知四面体ABCD中，AB=AC,BD=CD,平面ABC⊥平面BCD,E为棱BC的中点。

（1）求证：AE⊥平面BCD;（2）求证：AD⊥BC;BECD10、三棱锥A-BCD中，AB=1，AD=2，求证：AB⊥平面BCD11、在四棱锥S-ABCD中，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形求证：AC⊥平面SBD12、如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，求证：AB⊥平面ADE；AED13、三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，H是△ABC的垂心求证:PH 底面ABC14、正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D._A_115、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC,求证AB⊥BCSCAB16、如图，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA1 ＝2，D 是A1B1 中点．求证C1D ⊥平面A1B ；第二篇：线面垂直的判定漯河高中2013—2014高一数学必修二导学案2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质编制人：魏艳丽方玉辉审核人：高一数学组时间：2013.12.03【课前预习】一、预习导学1、直线与平面垂直的性质定理：_________________________________________.2、垂直于同一条直线的两个平面____________.3、平面与平面垂直的性质定理：_________________________________________.4、如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在___________.二、预习检测教材P71、P73【课内探究】［例1］如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.［例2］如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过E作EF⊥SC交SC于F.（1）求证：AF⊥SC；（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD.我主动，我参与，我体验，我成功第1页（共4页）［例3］10、在三棱锥P—ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90º.（1）证明：AB⊥PC；（2）若PC=4，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱锥P—ABC的体积.［例4］如图所示，在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.（1）若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；（2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；（3）若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM=MA1吗？请叙述你的判断理由.我主动，我参与，我体验，我成功第2页（共4页）【巩固训练】1．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是()①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上；④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面． A．4B．3C．2D．1()()2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是A．相交B．平行C．异面D．相交或平行3．若m、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为m∥n⎫m⊥α⎫⎪⎪⎬⎬⇒m∥n；①⇒n⊥α；②⎪⎪m⊥α⎭n⊥α⎭m⊥α⎫m∥α⎫⎪⎪⎬⎬⇒n⊥α.③⇒m⊥n;④⎪⎪n∥α⎭m⊥n⎭A．4B．3C．2D．1D．重心oo4．在△ABC所在的平面α外有一点P，且PA＝PB＝PC，则P在α内的射影是△ABC的()A．垂心B．外心C．内心5.如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为45和30.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′等于()A．3∶1B．2∶1C．3∶2D．4∶36．设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么()A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b不可能垂直，但可能平行 C．a与b可能垂直，也可能平行 D．a与b不可能垂直，也不可能平行7．若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则a与β的关系为________．8．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．9.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.我主动，我参与，我体验，我成功第3页（共4页）求证：BC⊥AB.10.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．11．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4(1)设M是PC上的一点，求证：平面M BD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．※12．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，D是棱AA12的中点，DC1⊥BD.(1)证明：DC1⊥BC；(2)求二面角A1－BD－C1的大小．我主动，我参与，我体验，我成功第4页（共4页）第三篇：线面垂直的判定1（模版）深圳市第二课堂文化教育徐老师***直线与平面垂直的判定1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定2．直线a与b垂直，b⊥平面α，则a与平面α的位置关系是()A．a∥αB．a⊥αC．a⊂αD．a⊂α或a∥α3．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A ．m⊂α,n⊂α,m//β,n//β⇒α//βB．α//β,m⊂α,n⊂β⇒m//nC．m⊥α,m⊥n⇒n//αD． m//n,n⊥α⇒m⊥α4．已知两条直线m,n，两个平面α,β，给出下面四个命题：①m//n,m⊥α⇒n⊥α②α//β,m⊂α,n⊂β⇒m//n③m//n,m//α⇒n//α④α//β,m//n,m⊥α⇒n⊥β其中正确命题的序号是（）A．①③B．②④C．①④D．②③5．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于（）A．BC．D26．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD 与平面B1DC所成角的正弦值为.7．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是．（第6题图）（第7题图）8．已知∆ABC所在平面外一点P到∆ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是∆ABC的。