最新《高等数学一》第二章 极限与连续 历年试题模拟试题课后习题(汇总)(含答案解析)

1、函数()12++=x xx f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。

∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。

2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大．错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。

3、如果数列有界，则极限存在．错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞→n n ，但n n )1(lim -∞→不存在。

5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）．正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。

6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim =αβ，是∴01lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。

7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 01sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。

9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→xx x ∴点0=x 是函数xxy =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续 ∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值 二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则（１）()x e f 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（ ,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭）；（３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10<<x e （2）∵1sin 102<-<x（3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sin lim ∞→＝（ x ）．∵x x nx n xn n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim 1sinlimsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）． ∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间内的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间内连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x x x ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）． ∵()b ax x xx --+-+∞→1lim2()()()bax x x b ax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim 222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±，上式化简为()()()2211212112lim lim lim1x x x bab ab x b ab a →+∞→+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()xx f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）． 11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→x xax x ，则=a （ 2 ）． ()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a 13、=∞→x x x sin lim （ 0 ），=∞→xx x 1sin lim （ 1 ）， ()=-→x x x 101lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ k e ）． ∵0sin 1lim sin lim =⋅=∞→∞→x x xx x x 111sinlim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x 14、limsin(arctan )x x →∞=（ 不存在 ），lim sin(arccot )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列 2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa3、当0→x 时，1-x e 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域内恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域内（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+. a ．1→x b ．01+→x c ．01-→x6、设函数()x f xxsin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xx x x x xx x x根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。

关于高等数学函数的极限与连续习题精选及答案Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】1、函数()12++=x xx f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。

∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。

2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大．错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。

3、如果数列有界，则极限存在．错误 如：数列()nn x 1-=是有界数列，但极限不存在4、a a n n =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误 如：数列()nn a 1-=，1)1(lim =-∞→n n ，但n n )1(lim -∞→不存在。

5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）．正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。

6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim=αβ，是 ∴01lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。

7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 01sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。

9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点．错误=-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→xx x∴点0=x 是函数xx y =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值． 错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则（１）()x e f 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（ ,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭ ）；（３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）．答案：（1）∵10<<x e （2）∵1sin 102<-<x（3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2-）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sin lim ∞→＝（ x ）．∵x x nx n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim 1sin limsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）．∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间内的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间内连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x x x ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）． ∵()bax x x x --+-+∞→1lim2()()()bax x x bax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±， 上式化简为()()()2211212112lim lim lim1x x x bab ab x b ab a →+∞→+∞→+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()xx f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）． 11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→xxax x ，则=a （ 2 ）．()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a 13、=∞→x x x sin lim （ 0 ），=∞→xx x 1sin lim （ 1 ），()=-→xx x 101lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ k e ）． ∵0sin 1lim sin lim=⋅=∞→∞→x x xx x x 111sinlim 1sin lim ==∞→∞→xx x x x x 14、limsin(arctan )x x →∞=（ 不存在 ），lim sin(arccot )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa3、当0→x 时，1-x e 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域内恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域内（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+.a ．1→xb ．01+→xc ．01-→x6、设函数()x f xxsin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在∵1sin lim sin lim sin lim000000-=-=-=-→-→-→xxx x x x x x x 根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。

第二章极限与连续[单选题]1、若x0时，函数f(x)为x2的高阶无穷小量，则=（）A、0B、C、1D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察高阶无穷小.根据高阶无穷小的定义，有.[单选题]2、与都存在是函数在点处有极限的（）.A、必要条件B、充分条件C、充要条件D、无关条件【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】时，极限存在的充分必要条件为左、右极限都存在并且相等，所以若函数在点处有极限，则必有与都存在.但二者都存在，不一定相等，所以不一定有极限.[单选题]3、（）.A、B、1C、D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]4、如果则（）.A、0B、1C、2D、5【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】根据重要极限,[单选题]5、（）.A、0B、∞C、2D、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】分子分母同除以，即[单选题]6、（）.A、0B、∞C、2D、-2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]7、设，则（）.A、B、2C、D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]8、当时，与等价的无穷小量是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】由于故与等价,推广，当时，[单选题]9、时，与等价的无穷小量是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】由于，故与等价,推广，当时，[单选题]10、函数的间断点是（）.A、x=6、x=-1B、x=0、x=6C、x=0、x=6、x=-1D、x=-1、x=0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】由于, 所以的间断点是x=0，x=6，x=-1.[单选题]11、设,则是的（）.A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】，即的左右极限存在且相等，但极限值不等于函数值，故为可去型间断点.[单选题]12、计算（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]13、计算（）.A、B、C、D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]14、（）.A、1B、﹣1C、2D、﹣2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]15、下列各式中正确的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】A，当时，极限为，错误；B，，错误；C，，错误，D正确. [单选题]16、函数的间断点个数为（）.A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】在x=0和x=1处，无定义，故间断点为2个. [单选题]17、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（）A、B、C、D、arctan x【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】，.[单选题]18、（）A、0B、1C、不存在，但不是∞D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]19、函数，则x=0是f(x)的( )A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】故为可去间断点.[单选题]20、（）.A、-1B、2C、1D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】为有界函数，故原式=.[单选题]21、（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]22、下列极限存在的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】当x趋近于0时，为有界函数，故极限存在. [单选题]23、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】，，，不存在,[单选题]24、极限=()A、0B、2/3C、3/2D、9/2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]25、函数f(x)=的所有间断点是()A、x=0B、x=1C、x=0，x=-1D、x=0，x=1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】 x=1时，分母为0，无意义。

考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷17(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设f’(x)为连续函数，下列命题正确的是( )A．如果f’(x)是周期函数，则f(x)也一定是周期函数。

B．如果f’(x)是增函数，则f(x)也一定是增函数。

C．如果f’(x)是偶函数，则f(x)一定是奇函数。

D．如果f’(x)是奇函数，则f(x)一定是偶函数。

正确答案：D解析：取f’(x)=sinx+1，则f’(x)是周期函数，但f(x)=一cosx+x不是周期函数，排除A。

取f’(x)=2x+2，则f’(x)在(一∞，一1)上是增函数，但f(x)=x2+2x 在(一∞，一1)上不是增函数，排除(B)。

取f’(x)=x2，则f’(x)是偶函数，但f(x)=x3+c(c≠0)不是奇函数，排除(C)，故应选D。

知识模块：函数、极限、连续2．设f(x)，g(x)在点x=0的某邻域内连续，且当x→0时f(x)与g(x)为等价无穷小量，则当x→0时，∫0xf(t)(1一cost)dt是∫0xt2g(t)dt的( ) A．等价无穷小量。

B．同阶但非等价无穷小量。

C．高阶无穷小量。

D．低阶无穷小量。

正确答案：B解析：即∫0xf(t)(1一cost)dt与∫0xt2g(t)dt是x→0时的同阶但非等价无穷小量，故应选B。

知识模块：函数、极限、连续3．设=2，则( )A．a=1，b=一。

B．a=0，b=一2。

C．a=0，b=一。

D．a=1，b=一2。

正确答案：A解析：根据洛必达法则，知识模块：函数、极限、连续4．极限=( )A．1。

B．e。

C．ea—b。

D．eb—a。

正确答案：C解析：知识模块：函数、极限、连续5．设f(x)=，则f(x)有( )A．1个可去间断点，1个跳跃间断点。

B．1个可去间断点，1个无穷间断点。

C．2个可去间断点。

D．2个无穷间断点。

【最新整理，下载后即可编辑】习题2-11. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1) 1n n x n =+ ; (2)2(1)n n x =--；(3)13(1)nn x n=+-； (4)211n x n=-. 解：(1) 此数列为12341234,,,,,,23451n n x x x x x n =====+ 所以lim 1n n x →∞=。

(2) 12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====-- 所以原数列极限不存在。

(3)1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n=-=+=-=+=+-所以lim 3n n x →∞=。

(4)12342111111,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-=-=-=-=- 所以lim 1n n x →∞=-2.下列说法是否正确：(1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散；(4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。

(2) 错误 例如数列{}(-1)n 有界，但它不收敛。

(3) 正确。

(4) 错误 例如数列21(1)nn x n ⎧⎫=+-⎨⎬⎩⎭极限为1，极限大于零，但是11x =-小于零。

*3.用数列极限的精确定义证明下列极限：(1) 1(1)lim1n n n n-→∞+-=;(2) 222lim 11n n n n →∞-=++； (3)323125lim -=-+∞→n n n证：(1) 对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--=-=<，只要1n ε>即可，所以可取正整数1N ε≥.因此，0ε∀>，1N ε⎡⎤∃=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有1(1)1n n n ε-+--<，所以1(1)lim 1n n n n-→∞+-=. (2) 对于任给的正数ε，当3n >时，要使222222332211111n n n n n x n n n n n n n n nε---+-=-==<<<+++++++，只要2n ε>即可，所以可取正整数2max ,3N ε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.因此，0ε∀>，2max ,3N ε⎧⎫∃=⎨⎬⎩⎭，当n N >时，总有22211n n n ε--<++，所以222lim 11n n n n →∞-=++. (3)对于任给的正数ε，要使25221762()()131333(31)313n n x n n n n ε+--=--=<=<----，只要123n ε->即可，所以可取正整数213N ε≥+.因此，0ε∀>，213N ε⎡⎤∃=+⎢⎥⎣⎦，当n N >时，总有522()133n n ε+--<-，所以323125lim-=-+∞→n n n . 习题2-21. 利用函数图像，观察变化趋势，写出下列极限： (1)21lim x x →∞ ; (2) -lim x x e →∞； (3) +lim x x e -→∞； (4) +lim cot x arc x →∞; (5) lim2x →∞;(6) 2-2lim(1)x x →+； (7) 1lim(ln 1)x x →+； (8) lim(cos 1)x x π→- 解：(1)21lim 0x x →∞= ;(2) -lim0x x e →∞=；(3) +lim 0x x e -→∞=； (4) +lim cot 0x arc x →∞=; (5) lim 22x →∞= ;(6) 2-2lim(1)5x x →+=； (7) 1lim(ln 1)1x x →+=； (8) lim(cos 1)2x x π→-=- 2. 函数()f x 在点x 0处有定义，是当0x x →时()f x 有极限的( D )(A ) 必要条件 (B ) 充分条件 (C ) 充要条件 (D ) 无关条件解：由函数极限的定义可知，研究()f x 当0x x →的极限时，我们关心的是x 无限趋近x 0时()f x 的变化趋势，而不关心()f x 在0x x =处有无定义，大小如何。

专升本高等数学一（函数、极限与连续）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题1．函数y=的定义域是( )A．[一2，3]B．[一3，3]C．(一2，一1)∪(一1，3]D．(一3，3)正确答案：C解析：因为对于函数y应满足这三个不等式解的交集为一2＜x＜－1与一1＜x≤3．所以函数的定义域为(－2，－1)∪(－1，3]．知识模块：函数、极限与连续2．下列函数中是奇函数的为( )A．y=cos3xB．y=x2+sinxC．y=ln(x2+x4)D．y=正确答案：D解析：A、C为偶函数，B为非奇非偶函数，D中y(一x)==一y(x)，为奇函数，故选D．知识模块：函数、极限与连续3．函数f(x)=｜xsinx｜ecosx，在(一∞，+∞)上是( )A．有界函数B．偶函数C．单调函数D．周期函数正确答案：B解析：定义域(一∞，+∞)关于原点对称，且f(一x)=｜(一x)sin(一x)｜ecos(－x)=｜xsinx｜ecosx=f(x)，故函数f(x)在(一∞，+∞)上为偶函数．知识模块：函数、极限与连续4．极限等于( )A．2B．1C．D．0正确答案：D解析：因x→∞时，→0，而sin2x是有界函数；所以由无穷小的性质知，=0．知识模块：函数、极限与连续5．设=3，则a= ( )A．B．C．2D．不确定正确答案：A解析：．知识模块：函数、极限与连续6．= ( )A．0B．1C．∞D．不存在但不是∞正确答案：D解析：不存在，故选D．知识模块：函数、极限与连续7．若=5，则( )A．a=一9，b=14B．a=1，b=一6C．a=一2，b=0D．a=一2，b=一5正确答案：B解析：若(x2＋ax＋b)=0，因此4+2a+b=0，2a+b=一4，即b=一4－2a，故所以a=1，而b=一6．知识模块：函数、极限与连续8．设函数f(x)=则f(x)在( )A．x=0，x=1处都间断B．x=0，x=1处都连续C．x=0处间断，x=1处连续D．x=0处连续，x=1处间断正确答案：C解析：因为在x=0处，，因此f(x)在x=0处间断．在x=1处，=f(1)，因此，在x=1处连续，故选C．知识模块：函数、极限与连续9．函数f(x)=的间断点为( )A．x=一1B．x=0C．x=1D．不能确定正确答案：B解析：x=0处为分段点，≠f(0)，所以f(x)的间断点为x=0，故选B．知识模块：函数、极限与连续填空题10．设函数f(x)的定义域为[0，1]，g(x)=lnx一1，则复合函数f[g(x)]的定义域是_________．正确答案：[e，e2]解析：由函数f(x)的定义域为[0，1]知在f[g(x)]中g(x)∈[0，1]，即0≤lnx 一1≤11≤lnx≤2e≤x≤e2．知识模块：函数、极限与连续11．设f(x)=则f｛f[f(一3)]｝=_________．正确答案：4解析：f(一3)=0，f[f(一3)]=f(0)=2，f｛f[f(一3)]｝=f(2)=x2｜x=2=4．知识模块：函数、极限与连续12．若x→0时，(1一ax2)一1与xsinx是等价无穷小，则a=________．正确答案：一4解析：=1，故a=一4．知识模块：函数、极限与连续13．极限=________．正确答案：e－2解析：=e－2．知识模块：函数、极限与连续14．极限=________．正确答案：e－1解析：=e－1．知识模块：函数、极限与连续15．设f(x)=若f(x)在x=1处连续，则a=_______．正确答案：2kπ+，k=0，±1，±2，…解析：由=1．且f(1)=1，所以f(x)在x=1连续，应有1=sina，所以a=2kπ+，k=0，±1，±2，…．知识模块：函数、极限与连续16．设f(x)=，则补充定义f(0)=________时，函数f(x)就在点x=0处连续．正确答案：1解析：若f(x)在x=0处连续，则f(0)==1．知识模块：函数、极限与连续解答题17．设f(x)=+｜x－5｜，求．正确答案：．涉及知识点：函数、极限与连续18．求极限．正确答案：．涉及知识点：函数、极限与连续19．计算．正确答案：=一1．涉及知识点：函数、极限与连续20．求极限．正确答案：．涉及知识点：函数、极限与连续21．求极限．正确答案：=2．涉及知识点：函数、极限与连续22．求极限．正确答案：．涉及知识点：函数、极限与连续23．求极限(sinx)x．正确答案：此极限为0°型，所以涉及知识点：函数、极限与连续24．设f(x)=，当a，b取何值时，f(x)在(一∞，+∞)上连续．正确答案：f(x)=因为f(x)在(一∞，＋∞)上连续，所以f(x)在x=1及x=一1处连续，综上所述，解得a=0，b=1．涉及知识点：函数、极限与连续25．问a、b为何值时，函数f(x)=在点x=2和x=4处均连续．正确答案：由题意知涉及知识点：函数、极限与连续。

第二章 极限与连续一、填空 1、⎪⎭⎫⎝⎛+→x x x x x sin 11sinlim 0= 。

2、)arcsin(lim 2x x x x -++∞→= 。

3、nn n n 1sin)1()12(531lim3+-+++∞→ = 。

4、[]xx x 20)1ln(1lim ++→= 。

5、设()x f x 1lim →存在，且()()x f x x x f x 12lim 2→+=，则()x f x 1lim →= 。

6、设xx x k x 2)(lim -∞←-=xx x 2sin lim ∞→ ，则k= .7、设3)1sin(lim 221=-++→x bax x x ，则a = ,b = .8、当0→x 时，x x sin 1tan 1--+∽kx 41，则k = 。

9、如果函数()⎪⎩⎪⎨⎧=<<+-=010)11(1x ax xx x f x在其定义域上连续，则a = 。

10、函数23122+--=x x x y 的间断点为 ，其中可去间断点为 ，补充定义 使其连续。

二、选择1、下列命题正确的是（ ）A 、无限多个无穷小之和仍是无穷小。

B 、两个无穷大的和仍是无穷大C 、无穷大与有界变量（但不是无穷小）的乘积一定是无穷大。

D 、两个无穷大的积仍是无穷大。

2、已知xe xf 1)(=，则x =0是函数的（ ）A 、无穷型间断点B 、跳跃间断点C 、可去间断点D 、其它类型间断点3、x x ln arctan sin lim 0+→=（ ） A 、1 B 、-1 C 、0 D 、不存在4、对于函数21x y -= )1,1(-∈x ，下列结论中不正确的是（ ） A 、是连续函数 B 、是有界函数C 、是有最大值和最小值D 、有最大值无最小值5、设)(x f 在（-+∞∞,）内有定义，且⎪⎩⎪⎨⎧=≠==∞→00)1()(,)(lim x x x f x g a x f x则（ ）A 、0=x 必是)(x g 的第一类间断点B 、0=x 必是)(x g 的第二类间断点C 、0=x 必是)(x g 的连续点D 、)(x g 在点0=x 处的连续性与a 的取值有关6、函数)(x f 在0x x =点有定义是它在该点有极限的（ ） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 、无关条件7、函数()()1121)(3++--=x x x x x f 在（ ）过程中为无穷大量A 、1→xB 、2→xC 、1-→xD 、∞→x8、若21)(lim0=→x ax f x ，则=→x bx f x )(lim 0（ ）A 、a b 2B 、ab21 C 、2ab D 、b a 29、若)0(0+x f 与)0(0-x f 均存在，则（ ） A 、)(lim 0x f x x →存在且等于)(0x fB 、)(lim 0x f x x →存在但不一定等于)(0x fC 、)(lim 0x f x x →不一定存在D 、)(lim 0x f x x →必不存在10、函数)1ln()(x x f +=在下列（ ）区间上有界 A 、（-1，0） B 、),0(+∞ C 、]0,1(- D 、（2，3） 三、计算1、nnnnnnn 1)54321(lim ++++∞→2、xx x x sin 1sinlim20→3、422lim 22----+→x x x x4、xxx x sin 3sin 5arcsin lim0-→5、设xxx f )31()2(-=-，)(lim x f x ∞→6、讨论函数()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=>+<≤---+=00021ln 10111)(222x x x x x x x x x f 在分断点的连续性7、xx e e xx x sin lim sin 0--→8、[]{}n n n n ln )2ln(lim -+∞→四、证明题1、试证明曲线12--=x xe y x 在0=x 与1=x 至少与x 轴有一个交点2、设函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，且b b f a a f ><)(,)(，证明：存在),(b a ∈ξ使得ξξ=)(f应用实例银行复利的计算一个人为了积累养老金，他每个月按时到银行存100元，银行的年利率为4%，且可以任意分段按复利计算，试问此人在5年后共积累了多少养老金？如果存款和复利按日计算，则他又有多少养老金？如果复利和存款连续计算呢？解 按月存款和计算时，每月的利息为30011004121=⨯，记k x 为第k 月末时的养老金数，则由题意得1001=x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=300111001002x233001110030011100100⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x13001110030011100100-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=n n x5年末养老金为⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=1)30011(30000300111300111100606060x （元） 当复利和存款按日计算时，记k y 为第k 天的养老金数，则每天的存款额为3651200=a ，每天的利率为365004=r 。

考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷9(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设F1(x)与F2(x)分别为任意两个随机变量的分布函数，令F(x)=aF1(x)+bF2(x)，则下列各组数中能使F(x)为某随机变量的分布函数的有( )．A．a=3/5，b=2/5B．a=1/2，b=3/2C．a=2/3，b=2/3D．a=3/2，b=1/2正确答案：A 涉及知识点：函数、极限、连续2．设A为m×n矩阵，则有( )．A．若A有n阶子式不为零，则方程组AX=0仅有零解B．若A有n阶子式不为零，则方程组AX=B有惟一解C．当m＜n时，方程组AX=0有非零解，且基础解系含有n-m个线性无关的解向量D．当m＜n时，方程组AX=B有无穷多解正确答案：A 涉及知识点：函数、极限、连续3．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则齐次线性方程组ABX=0( )．A．当m＞n时必有非零解B．当n＞m时仅有零解C．当n＞m时必有非零解D．当m＞n时仅有零解正确答案：A 涉及知识点：函数、极限、连续4．设λ1，λ2是矩阵A的两个特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则( )．A．当λ1≠λ2时，α1与α2不成比例B．当λ1=λ2时，α1与α2成比例C．当λ1=λ2时，α1与α2不成比例D．当λ1≠λ2时，α1与α2成比例正确答案：A 涉及知识点：函数、极限、连续5．设函数f(x)在(-∞，+∞)内单调有界，{xn}为数列，下列命题正确的是A．若{xn}收敛，则{fxn}收敛．B．若{xn}单调，则{fxn}收敛．C．若{fxn}收敛，则{xn}收敛．D．若{fxn}单调，则{xn}收敛．正确答案：B 涉及知识点：函数、极限、连续6．二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22-4x32-4x1x2-2x2x3的标准形是( )．A．2y12-y22-3y32B．-2y12-y22-3y32C．2y12+y22D．2y12+y22+3y32正确答案：A 涉及知识点：函数、极限、连续7．设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是( )．A．α1+α2，α2+α3，α3+α1B．α1，α1+α2，α1+α2+α3C．α1-α2，α2-α3，α3-α1D．α1+α2，2α2+α3，3α3+α1正确答案：C 涉及知识点：函数、极限、连续8．某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0&lt;p&lt;1)，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为( )．A．3p(1-p)B．6p(1-p)2C．3p2(1-p)2D．6p2(1-p)2正确答案：C解析：第4次射击恰好第2次命中目标意味着第4次一定命中目标且前三次中恰好有一次命中目标，故该事件的概率为C32(1-p)2×p=3p2(1-p)2，显然只有(C)是正确的．知识模块：函数、极限、连续填空题9．当x→0+时，f(x)=x-sinax与g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则a=_______,b=________.正确答案：1，-1/6. 涉及知识点：函数、极限、连续10．二次型f(x1，x2，x3)=(x1+ax2-2x3)2+(2x2+3x3)2+(x1+3x2+ax3)2正定的充分必要条件为________．正确答案：a≠1 涉及知识点：函数、极限、连续11．已知向量组α1=(1，2，3，4)，α2=(2，3，4，5)，α3=(3，4，5，6)，α4=(4，5，6，t)，且r(α1，α2，α3，α4)=2，则t=________．正确答案：7 涉及知识点：函数、极限、连续12．若n个人站成一行，其中有A、B两人，问夹在A、B之间恰有r个人的概率是多少?如果n个人围成一个圆圈，求从A到B的顺时针方向，A、B 之间恰有r个人的概率．正确答案：n个人随意排序共有n!种排法，即样本空间的样本点总数为n!，A、B两人中间恰有r个人，这两人中间相隔r个位置，组成一组共有(n-r-1)种排法，A、B两人的位置有2!种排法；其他的人在剩下的n-2个人随意排序，有(n-2)!种排法；于是“夹在A、B之间恰有r个人”的排法有(n-r-1).2!.(n-2)!，故P(夹在A、B之间恰有r个人)=(n-r-1).2!(n-2)!/n!=2(n-r-1)/n(n-1)；如果围成一个圆圈，则n个人的相对位置有(n-1)!种排法，从A到B的顺时针方向有r个人的排法有(n-2)!，故P(A、B顺时针排，中间有r个人)=(n-2)!/(n-1)!=1/(n-1)．涉及知识点：函数、极限、连续解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。