《运筹学》第三章 运输问题
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运筹学第3章：运输问题-数学模型及其解法
整数规划模型
01
整数规划模型是线性规划模型 的扩展，它要求所有变量都是 整数。
02
整数规划模型适用于解决离散 变量问题，例如车辆路径问题 、排班问题等。
03
在运输问题中，整数规划模型 可以用于解决车辆调度、装载 等问题，以确保运输过程中的 成本和时间效益达到最优。
混合整数规划模型
混合整数规划模型是整数规划和线性规划的结合，它同时包含整数变量和 连续变量。
运筹学第3章：运输问题-数学模 型及其解法
目录
• 引言 • 运输问题的数学模型 • 运输问题的解法 • 运输问题的应用案例 • 结论
01 引言
运输问题的定义与重要性
定义
运输问题是一种线性规划问题，主要 解决如何将一定数量的资源（如货物 、人员等）从起始地点运送到目标地 点，以最小化总运输成本。
总结词
资源分配优化是运输问题在资源管理 领域的应用，主要解决如何将有限的 资源合理地分配到各个部门或项目， 以最大化整体效益。
详细描述
资源分配优化需要考虑资源的数量、 质量、成本等多个因素，通过建立运 输问题的数学模型，可以找到最优的 资源分配方案，提高资源利用效率， 最大化整体效益。
05 结论
运输问题的发展趋势与挑战
生产计划优化
总结词
生产计划优化是运输问题在生产领域的应用，主要解决如何合理安排生产计划， 满足市场需求的同时降低生产成本。
详细描述
生产计划优化需要考虑原材料的采购、产品的生产、成品的销售等多个环节，通 过建立运输问题的数学模型，可以找到最优的生产计划和调度方案，提高生产效 率，降低生产成本。
资源分配优化
发展趋势
随着物流行业的快速发展，运输问题变得越来越复杂，需要更高级的数学模型和算法来 解决。同时，随着大数据和人工智能技术的应用，运输问题的解决方案将更加智能化和
广工管理运筹学第三章运输问题
闭合回路法的优点是能够找到全局最 优解，适用于大型复杂运输问题。但 该方法的计算复杂度较高，需要较长 的计算时间。
商位法
01
商位法是一种基于商位划分的优化算法，用于解决运输问题。该方法通过将供 应点和需求点划分为不同的商位，并最小化总运输成本。
02
商位法的计算步骤包括：根据地理位置和货物需求量，将供应点和需求点划分 为不同的商位；根据商位的地理位置和货物需求量，计算总运输成本；通过比 较不同商位的总运输成本，确定最优的配送路线。
80%
线性规划法
通过建立线性规划模型，利用数 学软件求解最优解，得到最小化 总成本的运输方案。
100%
启发式算法
采用启发式规则逐步逼近最优解 ，常用的算法包括节约算法、扫 描算法等。
80%
遗传算法
基于生物进化原理的优化算法， 通过模拟自然选择和遗传机制来 寻找最优解。
02
运输问题的数学模型
变量与参数
约束条件
供需平衡
每个供应点的供应量等于对应 需求点的需求量，这是运输问 题的基本约束条件。
非负约束
运输量不能为负数，即每个供 应点对每个需求点的运输量都 应大于等于零。
其他约束条件
根据实际情况，可能还有其他 约束条件，如运输能力的限制 、运输路线的限制等。
03
运输问题的求解算法
表上作业法
总结词
直到达到最优解。这两种方法都可以通过构建线性规划模型来求解最优解。
04
运输问题的优化策略
节约法
节约法是一种基于节约里程的优化算法，用于解决 运输问题。该方法通过比较不同配送路线的距离和 货物需求量，以最小化总运输距离为目标，确定最 优的配送路线。
节约法的计算步骤包括：计算各供应点到需求点的 距离，找出最短路径；根据最短路径和货物需求量 ，计算节约里程；按照节约里程排序，确定最优配 送路线。
运筹学-3运输问题
产销平衡问题 产销不平衡问题
产大于销 销大于供
当产销平衡时，其模型如下：
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj)
当销大于产时，其模型是：
min Z
cij xij
xij ai xij bj
可行解的方法
Review
二、表上作业法的步骤
Step1.找出初始基本可行解（在m*n产销平衡 表上寻找初始调运方案，一般m+n-1个数字 格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法；
Step2.求出各非基变量的检验数，判别是否达 到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 用闭回路或位势法计算；
Step3.改进当前的基本可行解（确定换入、 换出变量），用闭合回路法调整； Step4.重复2. 3，直到找到最优解为止。
（3）运输问题的解
定义1. 闭回路
x x x x x x 闭回路是能折成 i1 j1, i1 j2 , i2 j2 , i2 j3 ,..., isjs , isj1
形式的变量组集合。其中 i1 , i2 , …， is 互不相同，j1 , j2 , …， js 互不相 同。每个变量称为闭回路的顶点，连接闭回路相邻两顶点的直线段叫做闭
统计学院
运筹学－第三章 运输问题
张红历
本章内容
1.运输问题及其数学模型 2.表上作业法 3.运输问题的进一步讨论
4.应用问题举例
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的提出
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
产大于销 销大于供
当产销平衡时，其模型如下：
当产大于销时，其模型是：
mn
min Z
cij xij
i1 j1
xij ai xij bj
xij
0
( ai bj)
当销大于产时，其模型是：
min Z
cij xij
xij ai xij bj
可行解的方法
Review
二、表上作业法的步骤
Step1.找出初始基本可行解（在m*n产销平衡 表上寻找初始调运方案，一般m+n-1个数字 格），用最小元素法、西北角法、伏格尔法；
Step2.求出各非基变量的检验数，判别是否达 到最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 用闭回路或位势法计算；
Step3.改进当前的基本可行解（确定换入、 换出变量），用闭合回路法调整； Step4.重复2. 3，直到找到最优解为止。
（3）运输问题的解
定义1. 闭回路
x x x x x x 闭回路是能折成 i1 j1, i1 j2 , i2 j2 , i2 j3 ,..., isjs , isj1
形式的变量组集合。其中 i1 , i2 , …， is 互不相同，j1 , j2 , …， js 互不相 同。每个变量称为闭回路的顶点，连接闭回路相邻两顶点的直线段叫做闭
统计学院
运筹学－第三章 运输问题
张红历
本章内容
1.运输问题及其数学模型 2.表上作业法 3.运输问题的进一步讨论
4.应用问题举例
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的提出
例：某运输问题的资料如下：
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
运筹学第三章 运输问题
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 3
3 1
4
4
2
A3
销量 2
4 7
1 3
4
4 6
3
7 5
3
5
6
8
4 3 13
σ11=-3, σ12=-2,σ23=-4, σ31=-1,σ33=1, σ34=-1
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 0
3 4
4
4
2
A3
销量 2
4 7
4
4 6
3
4 3
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x11检验数为 6-4+8-6+4-4=4
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6 4 2 4
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x12检验数为 5-4+8-6=3
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
2、位势法 当运输问题变量的格数较多时，用闭 回路法计算检验数比较麻烦，而位势法比 较简便。 对于运输问题 minf=CX AX=b X≥0 设B为其一个可行基，则xij的检验数为 σ ij=CBB-1Pij-Cij
运筹学 第3章 运输问题
第三章运输问题在生产实际中，经常需要将某种物资从一些产地运往一些销地，因而存在如何调运使总的运费最小的问题。
这类问题一般可用线性规划模型来描述，当然可以用单纯形法求解。
但由于其模型结构特殊，学者们提供了更为简便和直观的解法——表上作业法。
此外，有些线性规划问题从实际意义上看，并非运输问题，但其模型结构类似运输问题，也可以化作运输问题进行求解。
第一节运输问题及其数学模型首先来分析下面的问题。
例3.1农产品经销公司有三个棉花收购站，向三个纺织厂供应棉花。
三个收购站A 1、A2、A3的供应量分别为50kt、45kt和65kt，三个纺织厂B1、B2、B3的需求量分别为20kt、70kt和70kt。
已知各收购站到各纺织厂的单位运价如表3—1所示（单位：千元/kt），问如何安排运输方案，使得经销公司的总运费最少？设x ij表示从A i运往B j的棉花数量，则其运输量表如下表所示。
表3—2由于总供应量等于总需求量，因此，一方面从某收购站运往各纺织厂的总棉花数量等该收购站的供应量，即x11+x12+x13 = 50x21+x22+x23 = 45x31+x32+x33 = 65另一方面从各收购站运往某纺织厂的总棉花数量等该纺织厂的需要量，即 x 11+x 21+x 31 = 20 x 12+x 22+x 32 = 70 x 13+x 23+x 33 = 70因此有该问题的数学模型为min f= 4x 11+8x 12+5x 13+6x 21+3x 22+6x 23+2x 31+5x 32+7x 33 x 11+x 12+x 13 = 50 x 21+x 22+x 23 = 45 x 31+x 32+x 33 = 65 x 11+x 21+x 31 = 20 x 12+x 22+x 32 = 70 x 13+x 23+x 33 = 70x ij ≥0，i=1，2，3；j=1，2，3 生产实际中的一般的运输问题可用以下数学语言描述。
运筹学 第3章运输问题
检 验 数 表
最 优 方 案 判 别 准 则
B1 3 A1 A2 7 A3 vj
B2 11
B3 3 2
B4 10 8
ui
1
1Байду номын сангаас
2
9
0
1
4 10
-1
5
-1 -5
10
2 9
12
3 10
24=-1＜0，当前方案 不是最优方案。
26
2.3
闭回路调整法改进方案
min ij 0 pq
xpq 为换入变量
min
z cij xij
i 1 j 1
s.t.
n xij ai 1 jm xij b j i 1 xij 0
i 1,, m j 1,, n
4
运输问题的约束方程组系数矩阵及特征
x11 x12 .... x1n 1 1.......1 A 1 1 1 x21 x22 .... x2 n ...... xm1 xm 2 .... xmn 1 1.......1 ......... 1 1.......1 1 1 1 .......... 1 1 1
10
1. 最小元素法 （思想：就近供应） 不 能 同 时 划 去 行 和 列
销 产 A1 1 A2 A3 销量 3 9 B1 3 B2 11 B3 3 B4
表3-4
产量 10 7 8 5
4
2
3
3
7 4
1
10
6
6 5
3
6
保证填 4 有运量 的格子 9 为m+n1
该方案总运费： Z=4×3+3×10+3×1+1×2+6×4+3×5=86
运筹学 第三章 运输问题
（或者在同时划去Ai行与Bj列时，在该行或该列的任意空格处填加一 个0。）
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为 m+n-1个。
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2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
同理可以求得 v4=10，u2= -1，等等见上表。
检验数的求法，即用公式 ijciju，i vj
如 1 1 c 1 1 u 1 v 1 3 0 2 1 。
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23
位势法计算检验数：
检验数： ijcijCBB1Pij
cijYiP jcij(u1,..u.m , ,v1,.v.n.)Pij
3
B4
ui
3 10
0
-1 8
-1
35
-5
10
B1
3
31
7
2
B2
11 9
64
9
B3
4(+1) 3 1 (-1) 2
10
3
B4
ui
3(-1) 10
0
+1 8
-1
35
-5
10
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26
调整运量后的新方案：
销地
产地
B1
A1
A2
3
A3
B2
B3
5
6
销量
3
6
5
B4
产量
2
7
1
4
3
9
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为 m+n-1个。
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2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
同理可以求得 v4=10，u2= -1，等等见上表。
检验数的求法，即用公式 ijciju，i vj
如 1 1 c 1 1 u 1 v 1 3 0 2 1 。
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23
位势法计算检验数：
检验数： ijcijCBB1Pij
cijYiP jcij(u1,..u.m , ,v1,.v.n.)Pij
3
B4
ui
3 10
0
-1 8
-1
35
-5
10
B1
3
31
7
2
B2
11 9
64
9
B3
4(+1) 3 1 (-1) 2
10
3
B4
ui
3(-1) 10
0
+1 8
-1
35
-5
10
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调整运量后的新方案：
销地
产地
B1
A1
A2
3
A3
B2
B3
5
6
销量
3
6
5
B4
产量
2
7
1
4
3
9
运筹学第3章：运输问题
收点 发点 B1 10 B2 5 7 10 12 7 15 15 3 5 8
5
B3
B4
产量
B1
B2
B3
B4
A1
A2 A3 销量
15 5
25 18 3 5 45
20
22 12
11
17 24
30
19 16
21
30 28
对应的目标函数值为： z＝10×20＋5×11+7×17+15×19＋30×3+5×28＝889(元) 3、伏格尔法 ⑴在运价表中分别增加一行(列差额)和一列(行差额)，并分 别计算出各行和各列次最小运价和最小运价的差额。 ⑵从行差额或列差额中选出最大者，选择它所在的行或列中 的最小运价优先安排运量。
第三章 运输问题
(Transportation Problem)
运输问题及其数学模型 表上作业法 运输问题的进一步讨论
WinQSB软件应用
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的数学模型
【例1】已知某产品有A1、A2、A3三个生产地，其可供应的产量分别为15、 25、5吨；有B1、B2、B3、B4四个销售地可以销售该产品，其对该产品的需求 量分别为10、12、15、8吨。从Ai运往Bj单位产品的运价如下表所示。
⑴在运价表中找到最小运价cLk； ⑵将AL的产品给B k；
①若aL>b k，则将aL改写为aL-bk，划掉bk，同时将运价表中 K列的运价划掉； ②若aL<b k，则将bk改写为bk-aL，划掉aL，同时将运价表中 L行的运价划掉。
如此重复⑴、⑵，直到分配完毕。
【例3-2】以例3-1为例进行说明。
二、运输问题的特点
1、平衡运输问题必有可行解，也必有最优解； 2、运输问题的基本可行解中应包括 m+n-1个基变量。
5
B3
B4
产量
B1
B2
B3
B4
A1
A2 A3 销量
15 5
25 18 3 5 45
20
22 12
11
17 24
30
19 16
21
30 28
对应的目标函数值为： z＝10×20＋5×11+7×17+15×19＋30×3+5×28＝889(元) 3、伏格尔法 ⑴在运价表中分别增加一行(列差额)和一列(行差额)，并分 别计算出各行和各列次最小运价和最小运价的差额。 ⑵从行差额或列差额中选出最大者，选择它所在的行或列中 的最小运价优先安排运量。
第三章 运输问题
(Transportation Problem)
运输问题及其数学模型 表上作业法 运输问题的进一步讨论
WinQSB软件应用
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的数学模型
【例1】已知某产品有A1、A2、A3三个生产地，其可供应的产量分别为15、 25、5吨；有B1、B2、B3、B4四个销售地可以销售该产品，其对该产品的需求 量分别为10、12、15、8吨。从Ai运往Bj单位产品的运价如下表所示。
⑴在运价表中找到最小运价cLk； ⑵将AL的产品给B k；
①若aL>b k，则将aL改写为aL-bk，划掉bk，同时将运价表中 K列的运价划掉； ②若aL<b k，则将bk改写为bk-aL，划掉aL，同时将运价表中 L行的运价划掉。
如此重复⑴、⑵，直到分配完毕。
【例3-2】以例3-1为例进行说明。
二、运输问题的特点
1、平衡运输问题必有可行解，也必有最优解； 2、运输问题的基本可行解中应包括 m+n-1个基变量。
运筹学 第三章 运输问题
• 设xij表示产地 i 运往销地 j 的物资量, cij表示对应的单位运费, 则我们有运输问题的数学模型如下:
mn
Min Z = cij xij i1 j1 m xij =ai （i=1, ..., m）产量约束 i 1 n xij =bj（j=1, ..., n）销量约束 j1
xij ≥ 0（i=1, ..., m；j=1, ..., n）
15
2. 伏格尔法（Vogel）
例5
销地 产地
A1
B1 3
②
B2
B3
11
3
⑤
B4
ai
10 7 0 0 0 0
1
A2
①
9
2③ 8 4 1 1 1 1
A3
7
4
⑥
10
③
5 9 12 - -
bj
3
6
5
6 20
2513
2 - 13
2 - 12
2-1-
Z＝2×3 ＋1×1＋6×4＋5×3＋3×8＋3×5＝85 16
0
2.决策变量xij的系数列向量为:
1
i位 置
aij
1
m
j位 置
3. 线性无关的行数为m+n-1.
0
5
四、闭回路
1. 概念
例3
销地 产地
A1
A2
A3 bj
B1
B2
B3
B4
ai
3
11 ④
3 ③
10 7
1 ③
9
2
①
84
7
4
⑥
10 ③
59
3
6
5
6 20
1) 数字格 2) 空格
mn
Min Z = cij xij i1 j1 m xij =ai （i=1, ..., m）产量约束 i 1 n xij =bj（j=1, ..., n）销量约束 j1
xij ≥ 0（i=1, ..., m；j=1, ..., n）
15
2. 伏格尔法（Vogel）
例5
销地 产地
A1
B1 3
②
B2
B3
11
3
⑤
B4
ai
10 7 0 0 0 0
1
A2
①
9
2③ 8 4 1 1 1 1
A3
7
4
⑥
10
③
5 9 12 - -
bj
3
6
5
6 20
2513
2 - 13
2 - 12
2-1-
Z＝2×3 ＋1×1＋6×4＋5×3＋3×8＋3×5＝85 16
0
2.决策变量xij的系数列向量为:
1
i位 置
aij
1
m
j位 置
3. 线性无关的行数为m+n-1.
0
5
四、闭回路
1. 概念
例3
销地 产地
A1
A2
A3 bj
B1
B2
B3
B4
ai
3
11 ④
3 ③
10 7
1 ③
9
2
①
84
7
4
⑥
10 ③
59
3
6
5
6 20
1) 数字格 2) 空格
《运筹学》第三章 运输问题
二、表上作业法
计算步骤：
(1) 找出初始调运方案。即在(m×n)产销平衡表 上给出m+n-1个数字格。(最小元素法、西北角法 或伏格尔法） 确定m+n-1个基变量 (2) 求检验数。（闭回路法或位势法） 判别是 否达到最优解。如已是最优解，则停止计算，否 则转到下一步。 空格 (3)对方案进行改善，找出新的调运方案。 （表上闭回路法调整） (4) 重复（2）、（3），直到求得最优调运方案。
B1 A1 A2 A3 销量 3 1
B2 2
B3 4
B4 3
产量 7 4
3
6 6
1
3 5 6
9
B1 A1 A2 A3 销量 3 1
B2 2
B3 4
B4 3
产量 7 4 9
3
6 6
1
-1
3
5
6
B1 A1 A2 A3 销量 3 1 3
B2 2 1 6 6
B3 4 1
B4 3 -1 3
产量 7 4 9
(ui+vj)
－ B2 9 8 4 B3 3 2 -2 B4 10 9 5
A3 －3
σij
B1 ＝ A1 A2 A3 1 0 10 B2 2 1 0 B3 B4 0 0 0 －1 12 0
表中还有负数，说明 还未得到最优解，应 继续调整。 用位势法与用闭回路法 算出的检验数？ 相同
3、解的改进
——闭合回路调整法（原理同单纯形法一样） 上例： min( σ ij 0 ) pq
m
n
系数列向量的结构： A ij ( 0， 0， 0 ，， 0， 0 ) 1， 0 1，
第 i个
第 ( m j )个
运筹学第三章 运输问题
则称该运输问题为产销平衡问题；否则，称 产销不平衡。首先讨论产销平衡问题。
8
1.运输问题模型及有关概念
表4-3 运输问题数据表
销地
产地
A1 A2
┇
Am
销量
B1 B2 … Bn
c11
c12 … c1n
c21
c22 … c2n
┇ ┇ ┇┇
cm1
cm2 … cmn
b1
b2 … bn
产量
a1 a2
┇
am
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运
式（4-8）中的变量称为这个闭回路的顶点。
22
1.运输问题模型及有关概念
例如，x13, x16, x36, x34, x24, x23 ； x23, x53, x55, x45, x41, x21 ； x11, x14, x34, x31等都是闭回路。
若把闭回路的各变量格看作节点， 在表中可以画出如下形式的闭回路：
得到下列运输量表：
4
1.运输问题模型及有关概念
Min Z s.t.
= 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23 x11+ x12 + x13 = 200
x21 + x22+ x23 = 300
x11 + x21 = 150
x12 + x22 = 150
x13 + x23 = 200
2.每列只有两个 1，其余为 0，分别 表示只有一个产地和一个销地被使用。
7
1.运输问题模型及有关概念
一般运输问题的线性规划模型及求解思路
一般运输问题的提法：
假设 A1, A2,…,Am 表示某物资的m个 产地；B1,B2,…,Bn 表示某物资的n个销地； ai表示产地 Ai 的产量；bj 表示销地 Bj 的 销量；cij 表示把物资从产地 Ai 运往销地 Bj 的单位运价（表4-3）。如果 a1 + a2 + … + am = b1 + b2 + … + bn
8
1.运输问题模型及有关概念
表4-3 运输问题数据表
销地
产地
A1 A2
┇
Am
销量
B1 B2 … Bn
c11
c12 … c1n
c21
c22 … c2n
┇ ┇ ┇┇
cm1
cm2 … cmn
b1
b2 … bn
产量
a1 a2
┇
am
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运
式（4-8）中的变量称为这个闭回路的顶点。
22
1.运输问题模型及有关概念
例如，x13, x16, x36, x34, x24, x23 ； x23, x53, x55, x45, x41, x21 ； x11, x14, x34, x31等都是闭回路。
若把闭回路的各变量格看作节点， 在表中可以画出如下形式的闭回路：
得到下列运输量表：
4
1.运输问题模型及有关概念
Min Z s.t.
= 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23 x11+ x12 + x13 = 200
x21 + x22+ x23 = 300
x11 + x21 = 150
x12 + x22 = 150
x13 + x23 = 200
2.每列只有两个 1，其余为 0，分别 表示只有一个产地和一个销地被使用。
7
1.运输问题模型及有关概念
一般运输问题的线性规划模型及求解思路
一般运输问题的提法：
假设 A1, A2,…,Am 表示某物资的m个 产地；B1,B2,…,Bn 表示某物资的n个销地； ai表示产地 Ai 的产量；bj 表示销地 Bj 的 销量；cij 表示把物资从产地 Ai 运往销地 Bj 的单位运价（表4-3）。如果 a1 + a2 + … + am = b1 + b2 + … + bn
运筹学(胡运权第三版)第三章 运输问题
§1 运 输 问 题 及 其 数 学 模 型
二、运输问题数学模型的特点：
1. 运输问题一定有最优解；基变量的个数 =m+n-1
2. 运输问题约束条件的系数矩阵：
x11 x12
1 1 1
…
x1m x21 x22
1 1 1
…
x2m
1
… xm1
1
解 的 最 优 性 检 验
1.闭回路法 闭回路：从空格出发，遇到数 字格可以旋转90度，最后回到空 格所构成的回路； 原理：利用检验数的经济含义； 检验数：非基变量增加一个单 位引起的成本变化量。 当所有非基变量的检验数均大 于或等于零时，现行的调运方案 就是最优方案，因为此时对现行 方案作任何调整都将导致总的运 输费用增加。 闭回路法的主要缺点是：当变 量个数较多时，寻找闭回路以及 计算两方面都会产生困难。
B4
11
-1
产量
16
10 22 48
ui
A1 A2
A3 销量 vj
2
10
1 10
9 6
1 0
-4
8 14
5 12
8
14
2
检验数σ
9
3
10
13=8-（-4）-2=10；
2.对偶变量法（位势法）
解 的 最 优 性 检 验
m in Z = c 1 1 x 1 1 + c 1 2 x 1 2 + ... + c 1 n x 1 n + ... + c m 1 x m 1 + c m 2 x m 2 + ... + c m n x m n
运筹学第3章：运输问题-数学模型及其解法
编号
运费表{zij / wij}
ui
-2 / 20 2 / 11 3 0 / 6 3
I 5 9 10 7 / 2 10
-1 / 18 3 / 7 4 1 4
vj 5 1 0 3
分配表{xij}
5
5
3 3 4 x24 10 3+ 12 15
3 3 12 12
中 退化较严重时，可能会出现多次迭代只有值为 0 的基变量在转移。此时，一要耐心， 二要正确选择出变量 踏石法迭代中需注意的问题： 1、错误地将分配表中基变量的解代入到运费表中 2、不能正确画闭合回路 3、初始解退化，未能补足基变量的个数。因此在位势法中多次令某个 ui 或 vj 为 0； 4、在位势法中只能令一个 ui 或 vj 为 0；若不能求出全部 ui 和 vj ，说明基变量未 选够数或未选对
2 3
销量 bj 3
产量
2 3 4 ai
2 3 12 12
销地
运量
1
产地
13
2 3
销量 bj 3
产量
2 3 4 ai
2
5
19
10
3 12 15
3 12 12
m n 7 有6个基变量
34
f (x) wij xij 205
i1 j1
幻灯片 6
2、最低费用法 采用最小费用优先分配的原则，看一步
3、求入变量 xij 的最大值及新基变量的解 从 xij 出发，沿任一个方向对回路拐角上的基变量依此标“ ”和“+”，表示“ ” 和“+” xij ，从而迭代后仍满足分配的平衡 标有“ ”的变量中最小者就是出变量 xij* ，对应 xij*的值就是所求入变量 xij 的最大值 标有“ ”的变量减去 xij*，标有“+”的变量加上 xij*
运筹学学习(自制笔记)第3章 运输问题
第3章 运输问题3.1标准运输问题及模型3.1.1标准运输问题：某种物资有m 个产地A i （i=1,2,…,m ）,产量分别为a i ，另有n 个销地B j （j=1,2,…,n ），销量（需求量）分别为b j ，现在需要把这种物资从各个产地运送到各个销地，已知从A i 到B j 的单位运价(或运距)为c ij ，假定产量总数等于销量总数，即11m niji j a b ===∑∑,问就如何组织调运，才能使总运费（或总运输量）最省?3.1.2标准运输问题的有关信息表3.1.3标准运输问题的数学模型设x ij 为从产地A i 运到销地B j 的物资数量（i=1,2,…,m ；j=1,2,…,n ），由于从A i 运出的物资总量等于A i 的产量，运到的物资总量等于的销量，得模型如下： mi Z=11mnij iji j c x==∑∑s.t.1nijij xa ==∑1mijj i xb ==∑0ij x ≥且有11m niji j a b Q ====∑∑即满足产销平衡条件，故此模型描述的是产销平衡运输问题。
3.1.4标准运输问题的特点⑴平衡条件下的运输问题必有最优解此问题是一个有m ×n 个变量，m+n 个等型约束条件的线性规划最小化问题，由于目标函数不可能为负，故有下界存在，而/ij i j x a b Q =是问题的一组可行解，因此一定有最优解。
既是线性规划问题，无疑可用单纯形法求解，但其数学模型自身结构有其特殊性，可以利用更简便的表上作业法求解。
⑵标准运输问题约束方程组的系数矩阵运输问题是一个具有m ×n 个变量，m+n 个等型约束条件的线性规划问题，问题的约束方程组的系数矩阵A 是一个只有0和1两个数值的稀疏矩阵，ij x 对应的列ij P 只有第i 行和第m+j 行为1，其余各行皆为0。
⑶标准运输问题的基变量总数为m+n-1。
可以证明系数矩阵A 和增广矩阵A ′的秩为m+n-1。
运筹学 第3章 运输问题
第三章运输问题在生产实际中，经常需要将某种物资从一些产地运往一些销地，因而存在如何调运使总的运费最小的问题。
这类问题一般可用线性规划模型来描述，当然可以用单纯形法求解。
但由于其模型结构特殊，学者们提供了更为简便和直观的解法—-表上作业法。
此外,有些线性规划问题从实际意义上看，并非运输问题，但其模型结构类似运输问题，也可以化作运输问题进行求解。
第一节运输问题及其数学模型首先来分析下面的问题。
例3。
1农产品经销公司有三个棉花收购站，向三个纺织厂供应棉花。
三个收购站A1、A2、A3的供应量分别为50kt、45kt和65kt，三个纺织厂B1、B2、B3的需求量分别为20kt、70kt和70kt。
已知各收购站到各纺织厂的单位运价如表3-1所示（单位：千元/kt)，问如何安排运输方案，使得经销公司的总运费最少?设x ij表示从A i运往B j的棉花数量，则其运输量表如下表所示。
表3—2由于总供应量等于总需求量，因此，一方面从某收购站运往各纺织厂的总棉花数量等该收购站的供应量，即x11+x12+x13 = 50x21+x22+x23 = 45x31+x32+x33 = 65另一方面从各收购站运往某纺织厂的总棉花数量等该纺织厂的需要量,即x 11+x 21+x 31 = 20 x 12+x 22+x 32 = 70 x 13+x 23+x 33 = 70因此有该问题的数学模型为min f= 4x 11+8x 12+5x 13+6x 21+3x 22+6x 23+2x 31+5x 32+7x 33x 11+x 12+x 13 = 50 x 21+x 22+x 23 = 45 x 31+x 32+x 33 = 65 x 11+x 21+x 31 = 20 x 12+x 22+x 32 = 70 x 13+x 23+x 33 = 70x ij ≥0，i=1，2，3；j=1，2，3 生产实际中的一般的运输问题可用以下数学语言描述。
运筹学3运输问题
1
a1
2
a2
…
…
m
am
销量
b1 b2 … bn
mn
?? MinZ ?
cij xij
i?1 j?1
?? n
?
xij ? ai
???
? ?
j?1 m
xij
?
bj
? i?1
??
xij ? 0
i ? 1,2,L , m j ? 1,2,L , n
7
定理1 运输问题的数学模型必有最优解。 首先，运输问题一定有可行解；其次，任何单位运
xm1 ? xm 2 ? L xm 1
xm2 O
? xmn ? a m ? b1 ? b2
x1n ?
x2n ?
L
xmn ? bn
产量平衡 （m个）
销量平衡 （n个）
8
三、变量xij的系数列向量的特征
在例1中，运输问题的系数矩阵为：
x11 x12 x13 x21 x22 x23
?1 1 1 0 0 0?
bj
150 150 200 500
P11 P12 P13 P21 P22 P23
?1 1 1 0 0 0 ?
? ?
0
0
0
1
1
1
? ?
?1 0 0 1 0 0 ?
? ?
0
1
0
第三章 运输问题
本章主要内容 ： ? 运输问题的数学模型 ? 运输问题的求解 —表上作业法 ? 运输问题应用 —建模
1
? 第一节 运输问题的数学模型 ? 第二节 表上作业法 ? 第三节 产销不平衡的运输问题 ? 第四节 应用举例
2
第一节 运输问题的数学模型
运筹学 第三章 运输问题
判别的方法是计算空格（非基变量）的检 验数，若所有的检验数都大于等于0，为最优 解。
1）闭环回路法： 在给出的初始调运方案表上，从每一空格 出发找一条闭环回路，它是以某空格为起点 ，用水平或垂直线向前划，每碰到一数字格 转90°后（回路的转角点必须是一个基变量 ） ，继续前进，直到回到起始空格为止。 从每一空格出发一定存在且只有唯一的闭 环回路。 从空格开始加减闭环各个顶点的运输单价 ，可得每个空格对应的检验数。
《运筹学》
第三章 运输问题
Slide 16
销地
B1
产地
A1
A2
3
A3
销量 3
B2 B3
4 1 6
65
B4 产量
37
4
39
6
销地
产地
B1 B2 B3 B4
A1
3 11 3 10
A2
19 2 8
A3
7 4 10 5
空格 (11) (12) (22) (24) (31) (33)
闭环回路 (11)－(21)－(23)－(13)－(11) (12)－(32)－(34)－(14)－(12) (22)－(32)－(34)－(14)－(13) －(23)－(22) (24)－(14)－(13)－(23)－(24) (31)－(34)－(14)－(13)－(23) －(21)－(31) (33)－(34)－(14)－(13)－(33)
基变量：
X13 U1+V3=C13=3
X14 U1+V4=C14=10
X21 U2+V1=C21=1
1
3 10 U1=0
2
U2=-1
X23 U2+V3=C23=2
4
1）闭环回路法： 在给出的初始调运方案表上，从每一空格 出发找一条闭环回路，它是以某空格为起点 ，用水平或垂直线向前划，每碰到一数字格 转90°后（回路的转角点必须是一个基变量 ） ，继续前进，直到回到起始空格为止。 从每一空格出发一定存在且只有唯一的闭 环回路。 从空格开始加减闭环各个顶点的运输单价 ，可得每个空格对应的检验数。
《运筹学》
第三章 运输问题
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销地
B1
产地
A1
A2
3
A3
销量 3
B2 B3
4 1 6
65
B4 产量
37
4
39
6
销地
产地
B1 B2 B3 B4
A1
3 11 3 10
A2
19 2 8
A3
7 4 10 5
空格 (11) (12) (22) (24) (31) (33)
闭环回路 (11)－(21)－(23)－(13)－(11) (12)－(32)－(34)－(14)－(12) (22)－(32)－(34)－(14)－(13) －(23)－(22) (24)－(14)－(13)－(23)－(24) (31)－(34)－(14)－(13)－(23) －(21)－(31) (33)－(34)－(14)－(13)－(33)
基变量：
X13 U1+V3=C13=3
X14 U1+V4=C14=10
X21 U2+V1=C21=1
1
3 10 U1=0
2
U2=-1
X23 U2+V3=C23=2
4
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i=2
0 ······ 0 0 ······ 0
············ 0
· · · ··· ··· ·· ·· ·· ··
·· ········ ·· ·· ·· ···· ········ ·· ·· ·· ··
0 0 ······ 0 1 i=m 1 ······ 1 ············ 0
(2) 如果供应量和需求量都是整数，那么一定可以得到整数 形式的最优解;
(3) 用最小元素法和vogel法得到的是运输问题的一个基可行 解，数字格对应基变量；
(4) 若在中途同时有行列要求得到满足，将同时划掉一行一 列，最后数字格个数将少于m+n-1个。为使数字格的个数恰 好等于m+n-1，在同时划去的行列中，任选（或选其价
最大独立方程数：m+n-1 3.系数列向量结构：
0
Pij= 1 ——第i个分量
1 ——第m+j个分量 0
…… …
-----精品文档------
9
x11 x12 ······ x1n x21 x22 ······ x2n ,············, xm1 i=1 1xm21············xmn 1 0
-----精品文档------
11
3.2 运输问题的求解方法：表上作业法
初始基可行解
单
纯
形
法
最优否？ Y
STOP
求
解
思
N
路
新的基可行解
-----精品文档------
12
表上作业法步骤:
初始运输方案最优性检验改进运输方案
一、初始方案的确定
1.最小元素法 2.Vogel法 二、最优性检验 1.闭回路法 2.位势法 三、方案改进方法 在闭回路内改进。
5
二、建立模型
设 xij——第i产地到第j销地之间的调运量，则有
34
Min z = cij·xij
i=1 j=1
制产 量 限
x11+x12+x13+x14=7 x21+x22+x23+x24=4 x31+x32+x33+x34=9
制销 量 限
xij0,(i=1,2,┄,3；j=1,2,┄,4)
A1 8 5 10 A2 2 1 20
销量 15 15
最小元素法：z=8×10+2×5+1×15=105 Vogel法：z=10×5+15×2+5×1=85
-----精品文档------
15
Vogel法
产销平衡表
A1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4 产量
3 6
5 27 14 39
3656
B1 B2 B3 B4 行两最小元素之差
格系数最小元素对应的）空格，填上数字0作为特殊的数字 格（即基变量）。
-----精品文档------
17
例
产销平衡表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 20 A2
0 20
10
10
A3 10 25
15 50
销量 30 25 10 15
单位运价表
B1 B2 B3 B4 A1 2 7 3 11 A2 8 4 6 9 A3 4 3 10 5
j=1 0 ······ 0
·· ·· ···· ·· ··
·· ·· ··
·· ·· ···· ·· ··
·· ·· ···· ········ ··
·· ·· ··
j=2
0 0 ······ 0 0 0 ······ 0 ············ 1 j=n 1 ······ 1
1 0 ······ 0 1
-和数学模型
一、典例
某食品公司经营糖果业务，公司下设三个工厂A1、A2、 A3，四个销售门市部B1、B2、B3、B4。已知每天各自的生产 量、销售量及调运时的单位运输费用情况。问：如何调运可 使总费用最小？
生产量：A1——7吨， A2 —— 4吨， A3 —— 9吨
A1 3 11 3 10 0 0 0 7
A2 1 9 2 8 71 1 1 6
A3 4 10 5
1 2 --
列两 2 5 1 3 最小 2 - 1 3 元素 2 - 1 2 之差
--12
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16
针对最小元素法和vogel法，需要说明的几点：
(1) 任何运输问题都有基可行解，且有最优解；
销售量：B1 —— 3吨，B2 —— 6吨，B3 —— 5吨，B4 —— 6吨
销地
产地
B1
B2
A1
3
11
A2
1
9
A3
7
4
B3
B4
3
10
2
8
10
5
-----精品文档------
4
7吨
A1
产 4吨 A2 地
调运示意图
x11
B1 3吨
B2 6吨
销
B3 5吨
地
9吨 A3
x34
B4 6吨
-----精品文档------
第3章 运输问题
-----精品文档------
1
3.1 运输问题的典例和数学模型 3.2 运输问题的求解方法：表上作业法 3.3 几类特殊的运输问题 3.4 运输问题的应用
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2
运输问题： 根据已有的交通网，如何制定运输 方案，使得这些物资被运送到各个销售地，并保 证某个指标最优(例如总运费最小)。
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18
产销平衡表
闭
B1 B2 B3 B4 产量
回 A1 (1) (2) 4 3 7 路 A2 3 (1) 1 (-1) 4 法 A3 (10) 6 (12) 3 9
x11+x21+x31=3 x12+x22+x32=6 x13+x23+x33=5 x14+x24+x34=6
-----精品文档------
6
产 销 平 衡 表
单 位 运 价 表
-----精品文档------
7
一般模 型表示 (ai=bj)
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8
三、模型的特点
1.变量数：mn个 2.约束方程数：m+n个
-----精品文档------
13
最小元素法
产销平衡表
B1 B2 B3 B4 产量
A1
43 7
A2 3
1
4
A3
6
39
销量 3 6 5 6
单位运价表
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
-----精品文档------
14
Vogel法
例
B1 B2 产量
0 ······ 0 ············ 1
0 ······ 0
-----精品文档------
10
0 1 ······ 0 0
关于运输模型的几个结论：
(1)设有m个产地，n个销地且产销平衡的运输问题，则基变 量数是m+n-1；
(2)若变量组B包含有闭回路，则B中变量对应的列向量线性 相关；
(3)m+n-1个变量组构成基变量的充要条件是它不包含任何闭 回路。