第三讲-一次函数动态问题

第三讲：一次函数动态问题

引例1：如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=2，AC=4，动点从点出发，以每秒1个单位的速度运动到点B，连结．设的面积为，点的运动时间

为秒，求与的关系式，并写出自变量的取值范围．

引例2、如图建立平面直角坐标系，在直角三角形ABC中，∠

ABC=90°，AB=2，AC=4，若点从点出发，沿射线运动，

设点P的坐标为（x，y），连结。设的面积为，求

与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

BC=，

引例3、如图，在矩形ABCD中，AB=2，1

（1）若点P为BC中点，求面积。

（2）若点P为线段BC上一动点，设PB=x，求的面积与x的关系式，并写出自变量的取值范围。

→→作匀速运动，设（3）若点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿路线B C D

的面积为，点的运动时间为秒，求与的关系式，并写出自变量的取值范围。

（4）点P沿BC从点B以每秒1个单位的速度向点C运动；点Q沿AB从点A以每秒2个单位的速度向点B运动，如果点P、Q同时出发，用t表示运动的时间，求的面积S与时间t的关系式。

D C

P

B

A

（一）单点运动---与面积、函数关系

1.如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD ，DA 运动至点A 停止．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△ABC 的面积是（ ）

A ．10

B ．16

C ．18

D ．20

2.如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线

段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y ＝－1

2

x ＋b 交折线OAB 于

点E ．记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；

图1

P

图2

3.如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足．（1）求点，点的坐标．

（2）若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，连结．设

的面积为，点的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写自变量的取值范围．（3）已知点P是直线BC上的动点，设点P的坐标为（x，y），若点从点出发，沿射线运动，连结。设的面积为，求与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

（二）双点运动---与面积、函数关系

1.如图，在边长为4cm 的正方形ABCD 中，现有一动点P ，从点A 出发，以2cm/秒的速度，沿正方形的边经A-B-C-D 到达点D 。设运动时间为x 秒。

（1）连结始点A 、动点P 、终点D 形成△APD ，设其面积为S ，求S 与x 的函数关系式；

（2）如图，另有一动点Q ，以1cm/秒的速度从点D 出发，沿正方形的边经D-C-B 到达点B ，点P 、Q 分别从点A 、D 同时出发。连结AP 、PQ 、QA ，设△PAQ 的面积为W ，试求在点P 、Q 相遇前，W 与x 之间的关系式。

2．如图，ABC △是等腰直角三角形，90A ∠=，点P 、Q 分别是AB 、AC 上的动点，且满足BP AQ =，D 是BC 的中点．（1）求证：PDQ △是等腰直角三角形；（2）当点P 运动到什么位置时，四边形APDQ 是正方形，并说明理由．

（三）动点与特殊图形（存在性问题）

1.已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形 OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4）， D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 ．

2.如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连结AC交NP于Q，连结MQ．

（1）点（填M或N）能到达终点；

（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；

（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．

提高2：已知：如图，直线y=－ x＋4 与x轴相交于点A，与直线y= x相交于点P. （1）求点P的坐标.（2）请判断△OPA的形状并说明理由.

（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF⊥x轴于F，EB⊥y轴于B，设运动t 秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S.

求S与t之间的函数关系式.

（四）动点与最值问题

1、在△ABC中，∠C=90°，BC=4，CD=2,点上， B、C分别在x轴、y轴，当点B在x 轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点D到原点的最大距离是（）

A.2

+

B.

C.

2、如图，点A的坐标为(1，0)，点B在直线y=-x上运动，当线段AB最短时，点B 的坐标为（）

A．（0，0）B．

11

,

22

⎛⎫

-

⎪

⎝⎭

C．

D．（－

1

2

，

1

2

）

3、已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A B 、分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连结OC ，则OC 的长的最大值是 ．

（五）坐标系中的动线问题

1、直线l 的解析式为4y x =-+，它与x 轴、y 轴分别相交于A B 、两点．平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别相交于M N 、两点，设运动时间为t 秒（04t <≤）． （1）求A B 、两点的坐标；

（2）用含t 的代数式表示MON △的面积

1S ；

（3）以MN 为对角线作矩形OMPN ，记

MPN △和OAB △重合部分的面积为2S ，

①当2t <≤4时，试探究2S 与t 之间的函数关系式；

②在直线m 的运动过程中，当t 为何值时，2S 为OAB △面积的5

16

？