第2讲-整体思想在初中数学中的应用

整体思想在初中数学中的应用整体思想是初中数学中的一种严重思想，贯穿于初中数学教学的各个阶段，是解决好数学问题的一种严重策略.所谓整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法.整体思想涉及的形式较多，这里就通过整体思想在初中数学解题过程中的几种多见应用方法加以举例分析，让我们进一步感受、理解和掌握整体思想的解题技巧，以提高自己的解题能力.一、整体思想在求代数式的值中的应用例1：已知a-a-1=0，求a+2a+2012的值.分析：此题若先从已知条件a-a-1=0中解出a的值，然后代入代数式求解，尽管理论上是正确的，但解答相当麻烦且很困难.若注意到所求代数式与方程的关系，将a-a-1=0转化为a-a=1，再把a-a看做一个整体，用整体思想进行分析求解，则解题会变得简单、简易.解：∵a-a-1=0∴a-a=1∴a+2a+2012=a+a+（a+a）-a+2012=a（a+a）+（a+a）-a+2012=（a+a）（a+1）-a+2012=1×（a+1）-a+2012=2013例2：已知x=2时，ax+bx+cx-8=10.求当x=-2时，代数式ax+bx+cx-8的值.分析：由于ax+bx+cx中的x的指数均为奇数，故当x=2和x=-2时，它的值恰好互为相反数，从而可用整体代入的方法求得代数式的值.解：当x=2时，∵ax+bx+cx-8=10，∴32a+8b+2c=18.①当x=-2时，ax+bx+cx-8=（-2）a+（-2）b+（-2）c-8=-（32a+8b+2c）-8.将①式整体代入，得到-（32a+8b+2c）-8=-18-8=-26.故当x=2时，代数式ax+bx+cx-8的值为-26.二、整体思想在因式分解中的应用例3：因式分解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1.分析：对于这类题目，学生很简易先做整式乘法，把式子（a+2a+2）（a+2a+4）+1展开后得到a+4a+10a+12a+9，要把这个多项式进行因式分解，就必须恰当地运用拆项和乘法公式，这是何等的困难.仔细观察可以发现式子中前一项的两个因式中都含有式子a+2a，如果我们把a+2a看成一个整体，展开后就可以得到一个关于a+2a的二次三项式，问题就迎刃而解了.解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1=[（a+2a）+2][（a+2a）+4]+1=（a+2a）+4（a+2a）+2（a+2a）+8+1=（a+2a）+6（a+2a）+9=（a+2a+3）三、整体思想在解方程或方程组中的应用例4：解方程：（x-1）-5（x-1）+4=0.分析：如果我们去括号，整理后得到的将是关于x的高次方程x-7x+10=0，要直接解这个方程难度很大.这时我们可以将x-1视为一个整体，设x-1=y，运用整体思想来分析，就可以化难为易.解：设x-1=y，则原方程可化为y-5y+4=0解得y=1，y=4.当y=1时，x-1=1，解得x=±；当Y=4时，x-1=4，解得x=±.∴原方程的解为x=，x=-，x=，x=-.例5：解方程组：x+y=5 ①y+z=4 ②z+x=5 ③分析：解三元一次方程组的基本思路是消元，本题完全可以通过带入消元法或加减消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组来解，但这样比较麻烦.如果我们把三个式子相加，就可以得到x+y+z的值，再把x+y+z看成一个整体分别与方程组中的三个式子相减，就可以求得方程组的解.解：①+②+③，得2（x+y+z）=12 ④④-①，得z=9④-②，得x=8④-③，得y=7∴原方程组的解是x=8y=7z=9.四、整体思想在解应用题中的应用例6：若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支，共需10元；若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支，共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元？分析：本题是要求购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元.如果设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，需要有三个等量关系，才能列出三个方程分别求出x，y，z的值，但本应用题只有两个等量关系，只能列出两个方程，这就需要应用整体思想，直接求出的值.解：设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，依题意得：4x+3y+2z=10 ①9x+7y+5z=25 ②②-①，得5x+4y+3z=15 ③③-①，得x+y+z=5.答：购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需5元.五、整体思想在几何问题中的应用例6：在如图所示的星形图中，求∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和.分析：显然，我们无法分别求出∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的度数，但仔细审题后可以发现，题目中并不是分别求出这五个角的值，而是要求“∠A+∠B+∠C+∠D+∠E”这一整体的值，因此我们可以利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，把这些角集中到一个三角形内，再利用三角形的内角和定理，就可以使问题得以解决.解：∠AMN，∠ANM分别是△MCE和△NBD的一个外角.∴∠AMN=∠C+∠E，∠ANM=∠B+∠D.在△AMN中，∠A+∠AMN+∠ANM=180°，∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D=180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.通过举例，我们可以看出，整体思想在初中数学中的作用及严重性.在解答某些数学题时，若能用整体思想去考虑，把整体思想渗透到解题中去，就能做到有的放矢，提高数学思维能力及数学解题能力.。

“整体”思想在解题中的应用“整体”思想是数学的重要解题思想，也是中考考查的重要内容之一。

运用“整体”思想解题在初中数学的很多方面都有体现。

下面结合初三中考复习的一些教学内容谈谈我对“整体”思想解题的一点体会。

“整体”思想解题主要体现在以下五个方面：一、求代数式的值此类题型一般是已知一个代数式的值，求另一个代数式的值。

解这类题时若先把已知代数式中的未知数求出来往往行不通，一般的方法就是运用 “整体”思想来解决。

例1：已知x 2+3x+1=0，求x 3+2x 2-2x+9的值。

分析：把已知条件中的“x 2+3x+1”看成一个整体，设法把所求的代数式化为由“x 2+3x+1”组成的式子即可。

解：x 3+2x 2-2x+9= x 3+3x 2+x - x 2-3x -1+10=x(x 2+3x+1) –(x 2+3x+1)+10=10 例2：若a 2-a+1=2，则a-a 2+1=________.解：由a 2-a+1=2得a 2-a=1，移项得a-a 2+1=0例3：已知：a+2b+3c=10，4a+5b+6c=19，则a+b+c=________。

分析：此题的关键是把a+b+c 看作一个整体，而不能当成三个未知数。

解：由已知得（4a+5b+6c ）-（a+2b+3c ）=19-10，所以3a+3b+3c=9，故a+b+c=3 跟例3类似的题还有“若3a+4b-c=5，2a+b+6c=15，则a+b+c=________.” 例4：当a+b=3，x-y=1时代数式a 2+2ab+ b 2-x+y 的值等于_______.（2003年广东省中考题）解：a 2+2ab+ b 2-x+y=(a+b)2-(x-y)= 32-1=8(注：分别把a+b 和x-y 当成一个整体)。

这类题型在中考中很常见，除上面的例子外还有很多，如：1、（04年山西）已知x+y=1，那么221x +xy+221y 的值为________， 2、（02年哈尔滨）已知a+a 1=3，那么a 2+21a= ，3、（04年天津）已知x 2+y 2=25，x+y=7，且x>y ，则x-y 的值等于 ，4、（03年河南）如果（2a+2b+1）(2a+2b-1)=63，那么a+b 的值是 ，5、（00年广东）已知x+2y+3z=10，4x+3y+2z=15，则x+y+z= 。

浅谈整体思想在初中数学解题中的应用姜华文[摘要] 新课改风向标下，数学思想的渗透始终是数学教学的核心，而整体思想在数学思想中占据主要地位，有着广泛的应用性，是贯穿初中数学解题领域的主线之一. 因此，关注到整体思想在解题中的应用具有重要的现实意义. 对此，文章的重点从求值问题、方程问题和应用问题入手，引导学生展开解题思维，渗透整体思想，最终让数学的核心素养在数学课堂落地生根.[关键词] 整体思想;数学解题;思想方法;数学思维新课程改革推进下，明确提出了“四基”理念，体现了数学思想在数学学习中的重要意义. 数学思想是数学学习中的核心内容，也是数学解题中最具生命力的存在，是遗忘数学知识或数学方法之后还需保留的思维方式.初中阶段常见数学思想众多，整体思想则占据主要地位，有着广泛的应用性，是贯穿初中数学解题领域的主线之一，对数学问题的解决有着意想不到的作用，也是后续高中数学解题中的基本内容之一，因此整体思想一直是中考命题的重心. 整体思想就是对问题进行整体处理的解题方法，它的表现形式多种多样，有整体代换、整体变形、整体设元等. 本文将以数学解题中的整体思想为主线进行全面梳理，充分挖掘其中蕴含的解题策略，以期在解题教学中能更充分地发挥数学思想的教育教学价值，有助于培养学生分析和解决问题的能力，提升学生的数学思维和数学学习水平.求值问题中运用整体思想可化繁为简用整体的观点认识数学公式和数学法则，用整体的观点分析和解决数学问题，进而培养学生思维的发散性、灵活性、敏捷性，从而提高解决问题的效率. 初中数学中的代数式求值问题是初中数学“数与式”中的重点题型，往往在历年中考中扮演着极其重要的角色. 这类题目呈现的是一个含有未知变量的等式，然若通过常规思维去求未知变量并代入求解，则会生成相当大的计算量，过程相当烦琐，有些甚至无法下手. 但若运用整体思想灵活进行整体代换，则可以简化解题过程.例1 已知4c2-c-6=0，试求出8c2-2c-5的值.分析该题涉及代数式的求值问题，而学生较为熟悉的常规解题思路则是求出具体的c的值，然后代入得出代数式的值. 其一，观察求值式子可以看出所求的是一个关于c的多项式，自然就需要挖掘条件4c2-c-6=0去求出具体的值. 而很显然条件4c2-c-6=0无法轻易进行因式分解，那么未知数c的值就很难得出了. 再转换思路，从一元二次方程的求根公式着手进行求解，尽管理论上是可行的，但解题过程相当的烦琐，也极易出错. 于是这两种常规的解题思路自然是不可行的. 再深入观察并分析，可关注到未知式中的部分“8c2-2c”刚好是已知式中的部分“4c2-c”的两倍，那么这里就很显然考查了学生的整体思想. 不难想到进行恒等變形，将已知式变形为4c2-c=6，未知式中的8c2-2c变形为2（4c2-c），那么问题便迎刃而解了.例2 已知x2-3x=6，试求出6x-2x2的值.分析本例题乍一看已知式与未知式之间似乎毫无关联，而深入观察则可发现之间存在着密切的内在联系. 事实上，未知式是已知式相反数的2倍，有了这一思路，我们便可以将已知式x2-3x=6变形为3x-x2=-6，再将式子两边同时乘以2，即可快速求得未知式的值.上述两道例题关注到了整体思想的合理运用，同时也是对学生数学学习方法和解题能力的一种考查，对学生数学思维的提升有一定助推作用. 由此可以看出，不少代数求值类问题若拘泥于常规解法，则很难进行突破，易形成举步维艰的局势. 而用整体思想进行解题，则可以快速而准确地把握解题的方法和策略，则可以达到柳暗花明、一举成功的效果，让问题解决得清晰明了，使复杂的问题简单化.解方程问题中运用整体思想可曲径通幽在初中阶段的数学代数学习中，整体换元法是时常会用到的一种数学思想方法，一般运用于解方程或方程组问题中，掌握并应用好这一思想方法可以提高解题能力. 所谓的整体换元法，就是在解题过程中，将某个式子视为一个整体，以一个变量取而代之，从而使问题简化解决. 事实上，整体换元法的运用不仅可以培养学生的数学思维，帮助学生减少不必要的运算量，达到提升运算速度，掌握速算技巧的目的，还有助于学生创新思维的培养，从而为学生在中考取得较好的成绩谋求最大利益.例3 已知12x2-4x+1= ，试求出x的值.分析该题涉及方程问题的解决，若从一般思路出发谋求解题路径，则需去除等式右侧的分母，那么式子两侧就需同时乘以6x2-2x，并整理. 很显然，此时式子的未知数的最高次项为四次，等式的复杂不言而喻，对下一步的计算造成了较大的压力. 而从式子的整体着手，认真观察方程的结构可以看出6x2-2x是12x2-4x的一半，那么只需令y=6x2-2x，所以2y=12x2-4x，化简式子可得2y+1= ，等式两侧同时乘以y，整理可得2y2+y-3=0，这样一来，y的值即可快速求出. 而又因为y=6x2-2x，那么再求出x的值就十分简捷了.例4 解方程组2x+3y=12①，7x-17y=97②.分析本题若从常规换元出发进行求解，则可设2x=6+t，3y=6-t，则有x=3+ ，y=2- . 很显然，这样一来分式也随之出现了，为进一步运算带来了很大的麻烦. 而我们换一种换元思路，去设2x=6+6t，3y=6-6t，则有x=3+3t，y=2-2t，这样一来则可以达到化繁为简的解题效果.以上题型熟悉且不常见，较易入手且又富有一定的思考价值，重点考查了学生整体思想的运用，并与新课标理念相融合，这样的题型指引为后面的中考复习指明了正确的方向. 由此可见，整体换元法具有广泛的应用性和普遍性，熟练掌握换元法可以为数学解题创造更多的契机. 合理应用整体换元法可化难为易、化繁为简，为解决复杂的方程和方程组问题供给重要的解题工具.应用问题中运用整体思想可另辟蹊径数学解题推崇的就是简捷，因此在解决一些数学应用题时若能着眼于整体深入观察，则可以触及问题本质，获得简捷的解法. 在应用问题中运用整体思想，不仅达到另辟蹊径、出奇制胜的效果，还有助于学生思维敏捷性的培养.例5 小明、小红和小刚是好朋友，小红和小明从各自的家中出发，并朝着对方家的方向前进，小红与小明两家相距30 km，小红的步行速度为1 km/h，小明的步行速度为2 km/h.而小刚与他们不同，三人同时出发，但它在小红与小明相遇前骑着自行车以5 km/h的速度在二人之间进行往返运动，直至两人相遇. 那么，小刚从小红和小明出发直至相遇共骑行路程为多少？分析通过反复解读不难得出这里要求的是小刚一共所骑行的距离，那么就需得出小刚在遇到小红与小明二人其中之一时所走的路程，然后将各段所行路程相加即为所求距离. 这一方法进行解题则是源于小刚在不断往返中与小红和小明多次遇见，若逐个分析并累计计算路程，不少学生会因为次数繁多而造成疏忽，显然计算错误是无法避免的. 若此处利用整体思想进行解决，根本不需经历烦琐的计算，只需根据公式“路程=速度×时间”计算即可. 因为小刚的行驶速度是已知的，时间即为小红与小明两人相遇所用时间，这样一来，解题思路清晰明了，解题策略也甚是巧妙，更不可能出现计算上的错误，真是一举两得.解题的目标就是为了达到思维和能力提升的目的，此处通过整体思想对该问题进行“再创造”即达到培养数学思维的目的. 通过以上例题可以看出整体思想在应用问题中的作用，这一方法应用所取得的效果是其他解题策略所无法达到的，从而体现了“整体思想”的重要性.总之，数学思想是形成数学能力的催化剂，是促进数学解题的灵魂. 在中考中，几乎每一个把关题和探究题都蕴含着一种以上的数学思想. 我们只有在教学中不断渗透整体、转化、数形结合等多种数学思想，引导学生勤于总结，勇于反思，从解题策略中反复提炼理论精华，促进数学思想的灵活运用，达到提升数学思维的目的，最终让数学的核心素养在数学课堂落地生根.。

整体思想在初中数学中的应用有一些数学问题，如果从局部入手，难以各个突破，但若能从宏观上进行整体分析，运用整体思想方法，则常常能出奇制胜，简捷解题.整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．整体思想的主要表现形式有：整体代换、整体设元、整体变形、整体补形、整体配凑、整体构造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考与各类数学竞赛中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．下面就初中数学中整体思想的应用及解题策略谈一些看法和体会．一．整体代换整体代换是根据问题的条件和结论，选择一个或几个代数式，将它们看成一个整体，灵活地进行等量代换，从而达到减少计算量的目的.1．（1）已知=7，ab=1，则a+b=；（2）已知=3，则+= .2．若x满足，求的值.3．如图，正方形ABCD的边长为x，AE=10，CG=20，长方形EFGD的面积是500，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积.(结果是一个具体的数值)整体设元是用新的参元去代替已知式或已知式中的某一部分，从而达到化繁为简、化难为易的目的.4. 解方程组:.三．整体补形整体补形是补充完整，根据题设条件将原题中的图形补足为某种特殊的图形，沟通题设条件与特殊的图形之间的关系，从而突出问题本质，找到较简洁的解法或证法.5．如图，在四边形ABCD 中，2,1,AB CD ==60,90A B D ∠=︒∠=∠=︒，求四边形ABCD 的面积.整体配凑是将问题中的条件和结论进行适当的配凑，使之结构形式特殊化、公式化，再利用相关性质进行求解，以达到解答问题的目的。

6．若2312a b c ++=，且222a b c ab bc ca ++=++，则22a b c ++=＿＿＿六．整体构造整体构造是把问题中某些代数式，赋予具体的几何意义，构造出几何图形，利用数形结合的思想来解答问题.7．已知012,x <<的最小值.课后练习：1．当 时，代数式 ） 的值为 .2. 分解因式： .3．若x ，y 是方程 的两实根，求 的最小值.4．如图，六边形ABCDEF 的六个角都相等，若AB ＝1，BC ＝CD ＝3，DE ＝2，则这个六边形的周长等于_______．5．已知a ，b 均为正数，且22b a +、224b a +、224b a +是一个三角形三条边的边长，求这个三角形的面积.。

整体思想在初中数学中的应用整体思想是初中数学中的一种重要思想，贯穿于初中数学教学的各个阶段，是解决好数学问题的一种重要策略.所谓整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法.整体思想涉及的形式较多，这里就通过整体思想在初中数学解题过程中的几种常见应用方法加以举例分析，让我们进一步感受、理解和掌握整体思想的解题技巧，以提高自己的解题能力.一、整体思想在求代数式的值中的应用例1：已知a-a-1=0，求a+2a+2012的值.分析：此题若先从已知条件a-a-1=0中解出a的值，然后代入代数式求解，尽管理论上是正确的，但解答相当麻烦且很困难.若注意到所求代数式与方程的关系，将a-a-1=0转化为a-a=1，再把a-a看做一个整体，用整体思想进行分析求解，则解题会变得简单、容易.解：∵a-a-1=0∴a-a=1∴a+2a+2012=a+a+（a+a）-a+2012=a（a+a）+（a+a）-a+2012=（a+a）（a+1）-a+2012=1×（a+1）-a+2012=2013例2：已知x=2时，ax+bx+cx-8=10.求当x=-2时，代数式ax+bx+cx-8的值.分析：由于ax+bx+cx中的x的指数均为奇数，故当x=2和x=-2时，它的值恰好互为相反数，从而可用整体代入的方法求得代数式的值.解：当x=2时，∵ax+bx+cx-8=10，∴32a+8b+2c=18.①当x=-2时，ax+bx+cx-8=（-2）a+（-2）b+（-2）c-8=-（32a+8b+2c）-8.将①式整体代入，得到-（32a+8b+2c）-8=-18-8=-26.故当x=2时，代数式ax+bx+cx-8的值为-26.二、整体思想在因式分解中的应用例3：因式分解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1.分析：对于这类题目，学生很容易先做整式乘法，把式子（a+2a+2）（a+2a+4）+1展开后得到a+4a+10a+12a+9，要把这个多项式进行因式分解，就必须恰当地运用拆项和乘法公式，这是何等的困难.仔细观察可以发现式子中前一项的两个因式中都含有式子a+2a，如果我们把a+2a看成一个整体，展开后就可以得到一个关于a+2a的二次三项式，问题就迎刃而解了.解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1=[（a+2a）+2][（a+2a）+4]+1=（a+2a）+4（a+2a）+2（a+2a）+8+1=（a+2a）+6（a+2a）+9=（a+2a+3）三、整体思想在解方程或方程组中的应用例4：解方程：（x-1）-5（x-1）+4=0.分析：如果我们去括号，整理后得到的将是关于x的高次方程x-7x+10=0，要直接解这个方程难度很大.这时我们可以将x-1视为一个整体，设x-1=y，运用整体思想来分析，就可以化难为易.解：设x-1=y，则原方程可化为y-5y+4=0解得y=1，y=4.当y=1时，x-1=1，解得x=±；当Y=4时，x-1=4，解得x=±.∴原方程的解为x=，x=-，x=，x=-.例5：解方程组：x+y=5 ①y+z=4 ②z+x=5 ③分析：解三元一次方程组的基本思路是消元，本题完全可以通过带入消元法或加减消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组来解，但这样比较麻烦.如果我们把三个式子相加，就可以得到x+y+z的值，再把x+y+z看成一个整体分别与方程组中的三个式子相减，就可以求得方程组的解.解：①+②+③，得2（x+y+z）=12 ④④-①，得z=9④-②，得x=8④-③，得y=7∴原方程组的解是x=8y=7z=9.四、整体思想在解应用题中的应用例6：若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支，共需10元；若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支，共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元？分析：本题是要求购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元.如果设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，需要有三个等量关系，才能列出三个方程分别求出x，y，z的值，但本应用题只有两个等量关系，只能列出两个方程，这就需要应用整体思想，直接求出的值.解：设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，依题意得：4x+3y+2z=10 ①9x+7y+5z=25 ②②-①，得5x+4y+3z=15 ③③-①，得x+y+z=5.答：购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需5元.五、整体思想在几何问题中的应用例6：在如图所示的星形图中，求∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和.分析：显然，我们无法分别求出∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的度数，但仔细审题后可以发现，题目中并不是分别求出这五个角的值，而是要求“∠A+∠B+∠C+∠D+∠E”这一整体的值，因此我们可以利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，把这些角集中到一个三角形内，再利用三角形的内角和定理，就可以使问题得以解决.解：∠AMN，∠ANM分别是△MCE和△NBD的一个外角.∴∠AMN=∠C+∠E，∠ANM=∠B+∠D.在△AMN中，∠A+∠AMN+∠ANM=180°，∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D=180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.通过举例，我们可以看出，整体思想在初中数学中的作用及重要性.在解答某些数学题时，若能用整体思想去考虑，把整体思想渗透到解题中去，就能做到有的放矢，提高数学思维能力及数学解题能力.。

浅谈整体思想在中学数学解题中的应用作者：赵小庆来源：《新课程·中学》2011年第03期整体思想是指对数学问题的整个系统或整个过程进行研究的思想方法。

它站在系统的高度，通过对事物整体的把握、感知、分析，从而理解和抓住事物之间本质的联系。

在分析问题时，分析思维固然重要，但若能从整体角度出发，对一些问题进行思考，常能带来预想不到的效果。

一、整体思想在解代数题中的应用在我们处理数学问题时，往往不能或者不必要求出每个变量的具体值时，而只需求出由这些变量构成的某个代数式的整体值就可使问题获解——整体代换。

例1.已知等差数列an，a16=14，那么S31为多少？分析：欲求S31，应该要先知道首项a1和公差d，但已知a16这一个条件是无法求出a1和d的。

但我们有a16=a1+15d可做整体代换。

解：S31==而a16=a1+15d=41∴S31==1271一般的，我们对复数问题都习惯于通过设z=x+yi（x，y∈R），将复数分离为实部和虚部，再利用复数相等的条件求z，这种转化有时会使问题复杂化。

在这种情况下，我们可以考虑，用整体思想来处理。

例2.设a≥0，z∈C解方程z2+2z=a.解：由z2+2z=a即z2=a-2z∈R知z为实数或纯虚数。

（1）若z为实数，则由z2+2z=a得：z=-1+∴z=±（-1+）（2）若z为纯虚数，则z2=-z2，原方程可化为z2-2z+a=0，得：z=1±（0≤a≤1），∴z=±（1±）i（0≤a≤1）在三角函数题的求解中，熟知一个公式对求解该类题有着至关重要的作用。

尽管如此，我们有时还是会觉得求解三角函数题过程使很烦琐的。

其实，在解这类题之前，我们应该先考虑是否可用整体思想取求解。

例3.求值：sin2x+sin2（x+）+sin2（x+）.解：设A=sin2x+sin2（x+）+sin2（x+）利用三角函数的性质可设B=cos2x+cos2（x+）+cos2（x+）则A+B=3B-A=cos2x+cos（2x+）+cos（2x+）=cos2x+2cos2xcos=cos2x-cos2x=0∴A=B=即sin2x+sin2（x+）+sin2（x+）=对于数列的最值问题，我们也可以从分析数列的整体趋势入手，通过特殊项所处的位置解决问题。

㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７整体思想在初中数学解题中的应用整体思想在初中数学解题中的应用㊀㊀㊀ 以 图形与几何 问题为例Һ林㊀芹㊀陈豫眉㊀（西华师范大学，四川㊀南充㊀６３７０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ在初中数学学习阶段，对于一些数学问题若过度拘泥于常规解法，则很难找到解决问题的突破口，容易造成寸步难行的局面．当 山重水复疑无路 时，尝试观察问题的整体结构特征，运用 集成 的眼光，认真思考，从整体上去发掘解决问题的关键，便能使原本的问题化繁为简㊁化难为易，达到 柳暗花明㊁一举成功 的效果．因此，本文将以图形与几何问题过程中蕴含的整体思想为主线，挖掘其内含的解题策略，以期帮助学生了解更多的解题方法，培养学生的整体意识，提升学生数学思维的敏捷性㊁概括性与灵活性．ʌ关键词ɔ整体思想；初中数学；图形与几何著名数学教育家波利亚认为： 掌握数学就意味着要善于解题 ．然而，善于解题并不意味着一味地使用自身熟悉的㊁做过的题型去 套 ．这种只满足于解出答案，不对问题所蕴含的思想㊁方法进行归纳的学习方式已经无法满足学生内在发展的需要．因此，教师在教学中应该有意识地培养学生运用数学思想方法去分析问题和解决问题的能力，提高数学素养．整体思想作为数学思想中的重要思想，旨在从已有问题的整体性质出发，认真观察问题的整体结构，对其进行恰当的分析与改造，把握住问题的整体结构特征，运用 集成 的眼光，将其中的某部分看成一个整体［１］，挖掘式子或图形之间的内在联系，再对它们进行有目的㊁有意识的整体处理，使得原有式子或图形的结构变得更加清晰明了，容易解决．图形与几何问题较为重视推理过程，整体思想非常符合这一要求，它能将学生的思维过程有效地融合在一起，而又不至于太过分散［２］．这种以整体的眼光看待问题㊁解决问题的方法，在解决图形与几何问题中发挥着不可替代的作用．１㊀整体思想在求解图形面积中的应用通过观察归纳，不难发现中小学阶段在求解图形面积的相关问题是有共通之处的．求解平面不规则图形的面积问题的解题关键其实就在于需将原有的不规则图形转化为规则图形求解，既能考查学生的读图㊁识图能力，又能考查学生的数学转化思想与思维的灵活性［３］．而数学的整体思想恰好在这一类求解图形面积问题中发挥着不可替代的作用，在求解此类问题时，常常需要学生运用整体的眼光去看待原有的不规则图形，即从原有图形的局部结构特征入手，与其所学的规则图形关联起来，达到解决问题的目的．例１㊀如图１，☉Ａ㊁☉Ｂ㊁☉Ｃ两两不相交，且半径都是０．５ｃｍ，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）图１分析㊀本题若依据常规思路，我们会考虑分别计算各阴影部分的面积，再求和．但是，经过观察我们发现，尽管上述图形的阴影部分是规则图形扇形，但我们不知道每个扇形所对圆心角的度数，故无法顺利求解出每个扇形的面积．然而，若用整体的眼光去看待问题，由于三个扇形的半径均为０．５ｃｍ，那么自然可以将三个阴影部分转换成一个半径为０．５ｃｍ的半圆，既打通了思维上的阻碍，还简化了计算的过程．例２㊀如图２，在ＲｔәＡＢＣ中，øＣ＝９０ʎ，ＡＣ＝４，ＢＣ＝２，分别以ＡＣ㊁ＢＣ为直径画半圆，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）图２分析㊀本题若依据常规思路，我们首先考虑分别计算各阴影部分的面积，再求和．但是，经过观察我们可以发现，上述图形的阴影部分均为不规则图形，无法根据标准图形面积的计算公式直接计算．那么，我们可以转换思路，尝试利用差值思想，结合其他标准图形解决问题．然而，经观察思考发现其他图形中仍包含未知的不规则图形，也无法顺利解㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７决问题．因此，先不考虑结论，我们先从已知的可利用的条件入手．将各部分阴影面积分别用Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，ａ，ｂ来表示，再利用已知条件，建立三个等式：Ｓ１＋Ｓ３＋ａ＝１２π１２ˑ２()２＝π２，①Ｓ１＋Ｓ２＋ｂ＝１２π１２ˑ４()２＝２π，②Ｓ１＋ａ＋ｂ＝１２ˑ４ˑ２＝４，③由①＋②－③，得Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ３＝５π２－４．例３㊀如图３，矩形ＡＢＣＤ被两条对角线分成了四个小三角形，已知四个小三角形的周长和为８６ｃｍ，一条对角线长为１３ｃｍ，求矩形的面积．图３分析㊀本题若依据常规思路，为求解矩形的面积，则需知道矩形ＡＢＣＤ的长和宽．但经过观察思考可以发现，由于已知条件不足，根本无法求解矩形相应的边长．然而，若运用整体思想，根据矩形面积公式Ｓ＝ＡＢ㊃ＢＣ，只需求解出ＡＢ㊃ＢＣ的值．由题可知ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＤ＋ＤＡ＝８６－２（ＡＣ＋ＢＤ）＝８６－４ˑ１３＝３４，可以得到ＡＢ＋ＢＣ＝１７．再将上述式子两边同时平方，可得ＡＢ２＋２ＡＢ㊃ＢＣ＋ＢＣ２＝２８９．又因为ＡＢ２＋ＢＣ２＝１３２＝１６９，所以ＡＢ㊃ＢＣ＝６０．例４㊀如图４，两个正方形有一个公共顶点，已知大㊁小正方形的边长分别为ａ１，ａ２，求әＡＢＣ的面积．（用ａ１，ａ２的代数式表示）图４㊀㊀图５分析㊀本题若从常规思路解决问题，想要求解әＡＢＣ的面积，需要知道әＡＢＣ相应的底边与高，方可利用三角形面积公式进行求解．但是，经过观察发现，我们无法根据现有条件直接利用公式求解әＡＢＣ的面积．因此，需要转化为规则图形面积的加减来计算．如图５所示，我们可以利用辅助线补全上述图形，将原有的不规则图形补全为规则图形，使得整个图形成为矩形，这时所求的әＡＢＣ的面积就可以利用整个矩形的面积减去三个直角三角形的面积，即ＳәＡＢＣ＝ａ１（ａ１＋ａ２）－１２ａ１２－１２ａ２（ａ１＋ａ２）－１２ａ２（ａ１－ａ２），化简可得ＳәＡＢＣ＝１２ａ１２．通过观察上述问题，我们不难发现利用整体思想在求解图形面积问题中的关键是善于用 集成 的眼光．在求解此类问题的过程中，若拘泥于常规思路或解法，常常会发现无法运用现有的知识进行求解，即容易走入 死胡同 ．但是，如若我们认真思考，从整体上去发掘解决问题的关键，把握图形的整体结构特征，便能使原有的问题化繁为简㊁化难为易，达到柳暗花明㊁豁然开朗的效果．２㊀整体思想在几何问题中的应用几何问题，说到底也就是图形问题，旨在研究图形的性质．这就要求学生能够分辨出题目所给出的信息，且能够洞察隐藏在已知图形下的与解决问题相关的另一 子图形 ［４］，再利用 局部 或 全局 的整体性，将二者恰当地结合起来，使得原来无从下手的问题，变得简单，解决问题的思路也变得清晰明了．例５㊀如图６，求ø１＋ø２＋ø３＋ø４＋ø５＋ø６＝．图６分析㊀由图可知，ø１＋ø２＝１８０ʎ－øＥＡＤ，而øＥＡＤ＝øＢＡＣ，故ø１＋ø２＝１８０ʎ－øＢＡＣ㊀①．同理ø３＋ø４＝１８０ʎ－øＡＢＣ㊀②，ø５＋ø６＝１８０ʎ－øＡＣＢ㊀③．由①＋②＋③可得ø１＋ø２＋ø３＋ø４＋ø５＋ø６＝３ˑ１８０ʎ－øＡＢＣ－øＡＣＢ－øＢＡＣ．而现在若想单独求解øＡＢＣ㊁øＡＣＢ㊁øＢＡＣ的度数，将会无计可施．但是，根据题意可知，需要求解的是ø１＋ø２＋ø３＋ø４＋ø５＋ø６的值．因此，我们不必拘泥于单个角的度数，应当从整体的角度入手，把握角与角之间的内在联㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７系．øＡＢＣ㊁øＡＣＢ㊁øＢＡＣ是әＡＢＣ的三个内角，根据三角形的内角和定理，可知øＢＡＣ＋øＡＢＣ＋øＡＣＢ＝１８０ʎ．因此，我们只需将上述式子看成一个整体，就可得到ø１＋ø２＋ø３＋ø４＋ø５＋ø６＝３ˑ１８０ʎ－（øＡＢＣ＋øＡＣＢ＋øＢＡＣ）＝３ˑ１８０ʎ－１８０ʎ＝３６０ʎ．例６㊀如图７，已知在әＡＢＣ中，øＢＡＣ＝５０ʎ，ＢＤ㊁ＣＤ分别是øＡＢＣ和øＡＣＢ的平分线，求øＢＤＣ的度数．图７分析㊀本题若依据常规思路，想要求解øＢＤＣ的度数，则需要分别求解出әＢＤＣ中øＤＢＣ和øＤＣＢ的度数．但经过观察思考可以发现，由于已知条件不足，根本无法求解出相应的度数，解题陷入了困局．然而，我们若采用整体思想，不再拘泥于øＤＢＣ和øＤＣＢ的度数，而是将两者看成一个整体，即尝试求解øＤＢＣ＋øＤＣＢ的度数．由于øＢＡＣ＋øＡＢＣ＋øＡＣＢ＝１８０ʎ，且øＢＡＣ＝５０ʎ，得到øＡＢＣ＋øＡＣＢ＝１３０ʎ．又因为ＢＤ㊁ＣＤ分别是øＡＢＣ和øＡＣＢ的平分线，可以得到øＤＢＣ＝１２øＡＢＣ，øＤＣＢ＝１２øＡＣＢ，即øＤＢＣ＋øＤＣＢ＝１２（øＡＢＣ＋øＡＣＢ）＝６５ʎ．而在әＢＤＣ中，øＢＤＣ＋øＤＢＣ＋øＤＣＢ＝１８０ʎ，则可求得øＢＤＣ＝１１５ʎ．例７㊀如图８，在平行四边形ＡＢＣＤ中，øＤＡＢ＝７０ʎ，øＦＡＣ＝øＢＡＣ，并且ＡＥ平分øＤＡＦ，求øＥＡＣ的度数．图８分析㊀根据图８可知，øＥＡＣ＝øＥＡＦ＋øＦＡＣ．但想要求解øＥＡＣ的度数，无须分别求解两个角的度数，只需要运用整体思想，将øＥＡＦ和øＦＡＣ看成一个整体．根据题意可以发现，øＦＡＣ＝øＢＡＣ，又因为ＡＥ平分øＤＡＦ，øＤＡＢ＝７０ʎ．故可以得到øＤＡＢ＝øＤＡＥ＋øＥＡＦ＋øＦＡＣ＋øＣＡＢ＝２（øＥＡＦ＋øＦＡＣ）＝７０ʎ，即øＥＡＣ＝øＥＡＦ＋øＦＡＣ＝３５ʎ．例８㊀如图９，已知ＡＯ是әＡＢＣ中øＢＡＣ的平分线，且ＢＤʅＡＯ交ＡＯ的延长线于点Ｄ，Ｅ是ＢＣ的中点，求证：ＤＥ＝１２（ＡＢ－ＡＣ）．图９分析㊀通过观察，利用整体思想，对其进行补形，延长ＡＣ，ＢＤ，交于点Ｆ．由题意可知，ＡＯ是әＡＢＣ中øＢＡＣ的平分线，且ＢＤʅＡＯ，可知әＡＢＦ为等腰三角形，可以将原图中的凹五边形看成是等腰三角形ＡＢＦ的一部分，如图１０所示，则点Ｄ就是ＢＦ的中点，ＡＢ＝ＡＦ且ＢＤ＝ＤＦ．又由于Ｅ是ＢＣ的中点，所以ＥＤ为әＢＣＦ的中位线，即ＤＥ＝１２ＣＦ＝１２（ＡＦ－ＡＣ）＝１２（ＡＢ－ＡＣ）．图１０综上所述，在求解某些图形与几何问题时，不要执拗于计算出某部分具体的值．应当从已有问题的整体出发，认真观察图形与几何的整体结构，运用 集成 的眼光，尝试将部分图形与几何看成一个整体，建立起局部与整体的联系，对它们进行有目的㊁有意识的整体处理，使原有图形与几何的结构变得清晰明了，使问题变得易于解决．ʌ参考文献ɔ［１］贾应龙．整体思想在解决初中数学一元二次方程中的应用［Ｊ］．数学学习与研究，２０２１（１０）：３６－３７．［２］石浩冰．整体思想在几何计算题中的应用［Ｊ］．教师，２０１５（３２）：７６．［３］相剑利．平面不规则图形面积求解策略［Ｊ］．数学大世界，２０１０（１０）：１２－１５．［４］魏东升．整体思想在立体几何解题中的应用探究［Ｊ］．教学考试，２０２１（２９）：６５－６８．。

整体思想在初中数学代数式求值问题中的应用在研究和解决有关数学问题时，我们不是从问题的局部着手，而是从问题的整体观点出发，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或作整体处理后，达到化繁为简、变难为易的目的，这就是整体思想．其主要表现形式有：整体代换、整体把握、整体设元、整体变形、整体补形、整体联想、整体合并、整体转化等．用整体观点分析认识数学公式、法则，用整体观点计算、证明数学问题，可以培养学生思维的灵活性、敏捷性，进而提高解决问题的效率．因而，整体思想是学习数学必备的思想方法．每年的数学中考中出现了有创意、新颖的涉及整体思想的试题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用．初中数学中代数式求值问题一般可以直接将字母的值代入计算便可解决问题，但对于比较复杂的代数式，往往需要先化简再求值，有时还要用到整体思想方法．一、在整式中的应用（1）在幂的运算中的应用例1 计算：（x+y）9÷（x+y）5分析：此题将x+y看作一个整体，即看成一个字母，则可以较简便地进行计算．此题若拘泥常规，则举步维艰；若整体考虑，则畅通无阻．解：（x+y）9÷（x+y）5=（x+y）9-5=（x+y）4说明：此题若改成（x+y）9·（x+y）5 ，也可以将x+y看作一个整体进行计算．例2 已知3x=25，3y=15，求32x-y的值．分析: 此题先运用同底数幂除法的逆运算将所求代数式进行变形,再运用整体代入进行计算．解: 32x-y=32x÷3y=(3x)2÷3y=252÷15125=3例3 若3x+5y-4=0,求8x·32y的值．分析：此题中所求的代数式中相乘的两个幂都可以改写成以2为底数的幂，变形后出现3x+5y，再将已知条件中的3x+5y作为一个整体代入即可．解：∵3x+5y-4=0∴3x+5y=4∴8x·32y=（23）x·（25）y=23x·25y=23x+5y=24=16（2）在整式乘除中的应用例4 计算：（a+b+c）（a-b-c）分析：此题运用多项式乘多项式的法则可以计算出结果，但运用整体思想将b+c 看成一个字母，即看成一个整体，那么就能套用平方差公式进行计算．解：（a+b+c ）（a-b-c ）=［a+(b+c)］［a-(b+c)］=a 2-(b+c)2=a 2-b 2-2bc-c 2说明：类似的方法也可用于计算：（a-2b+3c ）（a-2b-3c ）．只要将a-2b 看作一个整体就能用平方差公式进行计算．例5计算：（a+b+c ）2分析：同例4，此题运用多项式乘多项式的法则可以计算出结果，若将b+c(或a+b)看成一个字母，即看成一个整体，那么就能套用完全平方公式(两数和的平方)进行计算．解：（a+b+c ）2=［a+(b+c)］2=a 2+2a(b+c)+(b+c)2=a 2+2ab+2ac+b 2+2bc+c 2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac说明：类似的方法也可用于计算：（a+2b-3c ）2．只要将a+2b 看作一个整体就能用完全平方公式(两数差的平方)进行计算．例6 已知x(x+1)-(x 2+y)=-3,求xy y x -+222的值． 分析：此题的已知条件化简可得到x-y=-3,而所求代数式结合乘法公式变形后会出现x-y ，然后将x-y=-3整体代入即可求值．解：由已知条件化简得：x-y=-3 ∴xy y x -+222=2222xy y x -+ =2)(2y x + =2)3(2- =29 例7 已知5x+y=6,求y 2+5xy+30x 的值．分析：此题可以运用“整体代入法”求解．解: y 2+5xy+30x=y(5x+y)+30x=6y+30x=6(y+5x)=6×6=36说明：在代数式求值时,如果字母的值没有明确给出或非常难求,无法直接代入计算,这时,应根据题目的特点,将所求代数式作适当的变形,再将已知条件(一个代数式)整体代入,往往能得到简捷的解答．如:已知a+2b=6,求a 3+2ab(a+b)+4b 3的值．例8 求值：（2a+b ）［10（2a+b ）-9］,其中a=-43,b=21． 分析：此题若将代数式先展开化简再把字母的值代入求值，则非常繁琐．而将2a+b 看作一个整体，先将2a+b 得值计算出来，再整体代入，则可以达到事半功倍的效果．解: ∵a=-43,b=21 ∴2a+b=-1∴（2a+b ）［10（2a+b ）-9］=-1×［10×（-1）-9］=-1×（-19）=19例9 计算：［4（x-2）2+12(x+2)(x-2)-8(x-1)(x-2)］÷［4（x-2）］．分析：此题可以将4（x-2）看作整体，运用多项式除以单项式的法则进行计算． 解：［4（x-2）2+12(x+2)(x-2)-8(x-1)(x-2)］÷［4（x-2）］=［4（x-2）2+4(x-2)·3(x+2)-4(x-2)·2(x-1)］÷［4（x-2）］=（x-2）+3(x+2)-2(x-1)= 2x+6（3）在因式分解中的应用例10 分解因式（x 2+x+1）（x 2+x+2）-12分析：为解较复杂的单项式因式分解问题，我们可以把某一单项式（或多项式）看作一个整体．此题中将x 2+x+1看作一个整体，原式可变为x 2+x+1的二次三项式．解：（x 2+x+1）（x 2+x+2）-12=（x 2+x+1）［（x 2+x+1）+1］-12=（x 2+x+1）2+（x 2+x+1）-12=（x 2+x+1+4）（x 2+x+1-3）=（x 2+x+5）（x 2+x-2）=（x 2+x+5）（x+2）（x-1）说明：运用整体观点对较复杂的单项式进行因式分解，思路清晰，目标明确．如对x n+3-7x n+2-8x n+1进行因式分解时应将x n+1整体地看作公因式．例11 分解因式（z 2-x 2-y 2）2-4x 2y 2分析：此题若用常规解法，即先去括号，再分解，势必造成分解上的困难；若运用整体的观点，将z 2-x 2-y 2和2xy 分别看成两个整体，则可以简便地用平方差公式进行因式分解． 解：（z 2-x 2-y 2）2-4x 2y 2=（z 2-x 2-y 2）2-（2xy ）2=（z 2-x 2-y 2+2xy ）（z 2-x 2-y 2-2xy ）=［z 2-（x-y ）2］［z 2-（x+y ）2］=(z+x-y)(z-x+y)(z+x+y)(z-x-y)例12 分解因式（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）-3分析：此题若将几个因式的乘积计算出来后再进行分解因式，则解答相当麻烦和困难．但采用整体思想方法，此问题将能化难为易．解：（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）-3=［（x-1）（x-4）］［（x-2）（x-3）］-3=（x 2-5x+4）（x 2-5x+6）-3=（x 2-5x ）2+10（x 2-5x ）+21=（x 2-5x+3）（x 2-5x+7）例13（4）在整式加减中的应用已知x+y=4,求x 3+12xy+y 3的值．分析：此题运用常规代入法解答较繁，若先将所求代数式中的x 3+y 3用立方和公式进行分解因式得到（x+y ）（x 2-xy+y 2）,再将x+y 看作一个整体，代入计算．解：x 3+12xy+y 3=(x+y)(x 2-xy+y 2) +12xy=4·(x 2-xy+y 2) +12xy=4x 2+8xy+4y 2=4(x 2+2xy+y 2)=4(x+y)2=4·42=64若a+8=b+4=c+5,求a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac 的值．分析:由已知条件可得到a-b 、b-c 、a-c 的值，再将所求代数式配方整理后可以将a-b 、b-c 、a-c 的值分别作为一个整体代入即可求值．解：由题可得: a-b=-4, b-c=1 , a-c=-3a 2+b 2+c 2-ab-bc-ac=21(2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2bc-2ac) =21( a 2-2ab+b 2+b 2-2bc+c 2 +a 2-2ac+c 2) =21［（a-b ）2+( b-c)2+( a-c)2］ =21［（-4）2+12+(-3)2］ =13说明：在进行条件求值时，可以根据条件的结构特征，合理变形，构造出条件中含有的模型，然后整体代入，从整体上把握方向和策略，从而简化问题．二、在分式中的应用（1） 在分式乘除中的应用例 计算：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++832921932821111111111111a a a a a a a a a a a a（2）在分式加减中的应用（3）在分式方程中的应用三、在数的开方和二次根式中的应用例 计算：（2-23+6）（2+23-6）分析：此题应将23-6看作一个整体，运用平方差公式进行计算即可．解：（2-23+6）（2+23-6）=［2-（23-6）］［2+（23-6）］=（2）2-（23-6）2=2-（12-418+6） =122-16例 已知x 2-5x-1=0,求11122-+x x 的值． 分析：由已知条件求出x 的值，再代入求值，计算比较复杂．若由条件得出x x 1-的值，再整体代入，则可化繁为简．解：由题可得x≠0将x 2-5x-1=0两边同时除以x 得x x 1-=5 ∴11122-+xx =112)1(2-+-x x =11252-+=4 例 已知x=2521-,求4x 2-4x-7的值． 分析：此题按照常规的解法可以把x 的值直接代入，通过二次根式的计算求出代数式的值．若运用整体思想，则可以化繁为简．解：∵x=2521- ∴2x=1-25即（2x-1）2=（-25）2∴4x 2-4x+1=20∴4x 2-4x=19∴4x 2-4x-7=19-7=12说明：对于次数较高的关于某一字母的多项式求值问题，我们常利用等式的性质，将已知条件转化为一元二次方程的形式，然后整体代入，达到迅速降次的目的．例 已知x-1=3，求x 3-x 2-x+1的值．分析：此题按照常规的解法可以把x 的值直接代入，通过二次根式的计算求出代数式的值很复杂．可将x-1看成整体代入求值．解：x 3-x 2-x+1=x 2(x-1)-(x-1)=(x-1)(x 2-1)=(x-1) 2(x+1)=(3)2(3+1+1)=33+6由于初中代数研究从数扩充到字母，由具体上升到抽象，在利用公式、法则时，运用整体观点解题，常能使自己全面观察、合理考察数学问题，养成在复杂的数学问题中透过现象看本质、化繁为简的良好解题习惯．。

整体思想在初一数学中的应用解决数学问题时，人们常习惯于把它分解成若干个较简单的问题，然后各个击破，有时研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是有意识地放大考察问题的视觉，将所有需要解决的问题看做一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或作整体处理以后，顺利而又简捷地解决问题，这种从整体观点出发研究数学问题的数学思想称为整体思想。

它是一种重要的数学观念，也是数学解题中一种常见的思维方法，尤其在各种数学竞赛中表现得较为突出，有些数学问题，若拘泥于常规，从局部着手，则举步维艰；若整体考虑，则轻而易举。

引例：计算：111111111111111123201623420172320172342016⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++-++++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L L ＝___________________.一、整体思想在代数式求值中的应用1.当x ＝－6时，代数式531ax bx cx ++-的值为5，则当x ＝6时，这个代数式的值为_________.2.已知：241x x -=，则（1）23122x x --＝_________；（2）32532018______x x x -++=.3.已知正数a ，b ，c ，d ，e ，f 同时满足：1,2,3,4,6,9bcdef acdef abdef abcef abcdf abcde a b c d e f======，求a ＋b ＋c ＋d ＋e ＋f 的值.二、整体思想在方程（组）中的应用 1.二元一次方程组264316x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是________________. 2.已知甲、乙、丙三种商品.若购甲4件，乙7件，丙1件共需36元；若购甲5件，乙8件，丙2件共需45元，则购甲、乙、丙三种商品各1件共需__________元.3.解方程：226201620172018x x x -+++=三、整体思想在几何图形中的应用1.如图是一个3×3的正方形网格，则∠1＋∠2＋……＋∠9＝___________.2.在△ABC 内部有2018个点，将这2018个点与点A 、B 、C 连结，可以把△ABC 分割成多少个互不重叠的三角形？四、课后练习1.已知：2,3,6ab bc ca a b b c c a ===+++，则abc ab bc ca ++＝_______________.2.已知：x =，求322201636731x x x x -+++的值.3.如图，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的数之和均不大于某一个整数M，求M的最小值并完成相应的填图游戏．。