初三数学培优辅导资料(4)(最新整理)

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北师大版本初三数学培优教案（精品资源）目录第一讲：相似三角形的判定及模型 (1)模块一：相似三角形的判定与性质 (1)模块二：Ａ字型与8字型 (4)模块三：射影定理 (7)第二讲：相似三角形的计算及证明 (9)模块一：共线三等角 (9)模块二：相似中的比例证明 (13)第三讲：动态几何专题一 (17)模块一：相似三角形 (17)模块二：特殊四边形 (20)第四讲：相似综合计算及应用 (24)模块一:相似应用 (24)模块二:相似的综合计算 (26)第五讲：反比例函数 (29)模块一:反比例函数定义和性质 (29)模块二:反比例函数k值意义初步 (34)第六讲:反比例K意义进阶 (37)模块一：反比例K意义进阶 (37)第七讲：反比例函数综合及应用 (45)模块一：函数应用 (45)模块二：函数综合 (48)第八讲：一元二次方程及其应用 (55)模块一：一元二次方程 (55)模块二：一元二次方程的应用 (60)第一讲：相似三角形的判定及模型模块一：相似三角形的判定与性质1．相似三角形的判定（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似．（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．（3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．2．相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．（4）由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．例题精讲知识点一：相似三角形的判定例1．（1）如图，点D ，E 分别在△ABC 的AB ，AC 边上，增加下列条件中的一个：△△AED=△B ，△△ADE=△C ，△BC DE AB AE =，△ABAE AC AD =，△AC 2=AD·AE ，使△ADE 与△ACB 一定相似的有（ ）A ． △△△B ．△△△C ． △△△△D ．△△△△*（2）如图，已知△ABC，AB=AC，点E、F在边BC上，满足△EAF=△C，若BF=6，CE=4，则AC的值为．训练1-1．如图，已知△1=△2，若再增加一个条件不一定能使结论△ADE△△ABC成立，则这个条件是（）A．△D=△B B．C．D．△AED=△C训练1-2．如图，在四边形ABCD中，如果△ADC=△BAC，那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC相似的是（）A．△DAC=△ABC B．AC是△BCD的平分线C．AC2=BC•CD D．=训练1-3．如图所示，矩形ABCD中，点E在DC上且DE：EC=2：3，连接BE交对角线AC于点O．延长AD交BE的延长线于点F，则△AOF与△BOC的面积之比为．知识点二：相似三角形的性质例2．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，△BAD的平分线交BC于E，交DC 的延长线于F，BG△AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）A．11B．10C．9D．8训练2-1．如图，在△ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为（）A．B．C．D．训练2-2．若△ADE△△ACB，且=，若四边形BCED的面积是2，则△ADE的面积是．模块二：Ａ字型与8字型1．A 字型及其变形：EC AE DB AD =，BCDE AC AE AB AD == AB AE AC AD ⋅=⋅2．8字型及其变形：CD AB CO BO DO AO == CDAB DO BO CO AO ==例题精讲知识点一：A 字型例1．（1）如图，在△ABC 中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另外两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC=15，BC 边上的高是10，则正方形的面积为（ ）A ．6B ．36C ．12D ．49（2）如图，已知△ABC 、△DCE 、△FEG 、△HGI 是4个全等的等腰三角形，底边BC 、CE 、EG 、GI 在同一直线上，且AB=2，BC=1，连接AI ，交FG 于点Q ，则QI= ．训练1-1．（1）如图，要在一起△ABC 的纸片上截取正方形DEFG 模型，其中G 、F 在BC 边上，D 、E 分别在 AB 、AC 边上，AH△BC 交于DE 于M ，若BC=12，AH=8，则正方形DEFG 的边长为（ ）A ．524 B ．4 C ．724D ．5训练1-2．如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B 2D 1C 1面积为S 1，△B 3D 2C 2面积为S 2，…，△B n+1D n C n 面积为S n ，则S n 等于（ ）A ．B ．C ．D ．知识点二：8字型例2．（1）如图，点D 是AB 边的中点，AF△BC ，CG:GA=3:1，BC=8，则AF= ．（2）如图，已知△ABC△△DCE△△HEF，三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上，连接BH，分别交AC、DC、DE于点P、Q、K，其中S△PQC=1，则图中三个阴影部分的面积和为．训练2．（1）如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于M点，则FM=．（2）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n=．（用含n的式子表示）模块三：射影定理1．射影定理射影定理图模：如右图所示，图中所有的直角三角形都是相似的，则有：AC2=AD·AB；CD2=AD·DB；BC2=BD·AB．2．广义射影定理图模如右图所示，当△ACD=△B时，△ACD△△ABC，则有：AC2=AD·AB例题精讲知识点一：射影定理例1．（1）如图，Rt△ABC在中，△C=90°，CD△AB于点D，且AD:BD=9:4，AC:BC的值为．（2）如图，在矩形ABCD中，F是AB的中点，且CF△BD于G，DG=2，CG值为，CD值为．（3）如图，已知△ACP=△B，AC=4，AP=2，则AB=．3，则训练1-1．（1）如图，Rt△ABC在中，△C=90°，CD△AB于点D，且AD=6，AC=6CB=．（2）如图，在矩形ABCD中，AF:BF=2:1，且CF△BD于G，DG=3，CG值为，CD值为．（3）如图，已知△ACD=△B，AC=5，AD=3，则AB=．第二讲：相似三角形的计算及证明模块一：共线三等角1．三垂直及斜K模型△ABE△△ECD △ AB·CD = BE·EC2．共线三等角拓展模型特别地，当点E 是BC 的中点时，△ABE△△ECD△△AED，AE、DE 分别平分△ABD、△ADE．3．手拉手模型：结论：△ABC△△ADE△ABD△△ACE例题精讲知识点一：三垂直例1．（1）在矩形ABCD中，由8个边长均为1的正方形组成的“L 型”模板如图2放置，则BC边的长度为．（2）在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2018个正方形的面积为．训练1-1．（1）如图，正方形ABCD的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则DE 的长为．（2）如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2△P2P3，P2P3△P3P4，若点P1，P2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），则点P4的坐标为．训练1-2．（1）如图为两正方形ABCD 、BEFG 和矩形DGHI 的位置图，其中G 、F 两点分别在BC 、EH 上．若AB=5，BG=3，则△GFH 的面积为何？（ ）A ．10B ．11C ．D ．（2） 如图，直线y=﹣2x+2与坐标轴交于A ，B 两点．以AB 为短边在第一象限作一个矩形ABCD ，使得AB ：AD=1﹕2．则D 点的坐标为 ．知识点二：斜K 模型例2．如图，四边形ABCD ，M 为BC 边的中点．若∠B=∠AMD=∠C=45°，AB=8，CD=9，则BC 的长为 ．训练2．如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=34，则△ABC 的周长为 ．知识点三：手拉手模型例3．（1）如图，△ABC 中，AC=3，分别以BC 、AB 为底边作顶角为120°的等腰△BDC 和△AEB ，D 在△ABC 内，E 在△ABC 外，那么ED 的长等于 ．（2）如图，Rt△ABC 中，△BCA=90°，AB=AC ，AC 边上有点 D ，连结BD ，以BD 为腰作等腰直角三角形的BDE ，DE 交BC 于F ，那么下面结论：△△ABD△△CBE ； △△BCE=90°△DF·EF=BF·CF ； △BC －CE=2CD ．其中正确的有（ ）A ．△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△△训练3．（1）如图，△ABC 中，AC=5，分别以BC 、AB 为底边作等边△BDC 和△AEB ，D 在△ABC 内，E 在△ABC 外，那么ED 的长等于（ ）A ．5B ．52C ．55D ．5（2）如图，在同一平面内将两个全等的等腰Rt△ABC和△AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF，AG与边BC的交点分别为D，E(点D不与点B重合，点E不与点C重合)．若BD=4，，DE=5，CE=3，则AD= ，AE= ．模块二：相似中的比例证明例题精讲例4．（1）如图，已知正方形ABCD中，BE平分△DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．①求证：△BDG△△DEG；②若EG•BG=4，求BE的长．（2）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作BF△DE，垂足为F，BF交边DC于点G，求证：GD•AB=DF•BG．（3）如图，已知DE△BC，AO，DF交于点C．△EAB=△BCF，求证：OB2=OE•OF．训练4．（1）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME△AF交BC于点M，交BD于点N，现有下列结论：△AM=AD+MC；△AM=DE+BM；△DE2=AD•CM；△点N为AM的中点其中正确的结论为．（4）如图，已知在△ABC中，△BAC=2△B，AD平分△BAC，DF△BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且△E=△C．①求证：AD2=AF•AB；②求证：AD•BE=DE•AB．（3）如图，已知A、B、C三点在同一条直线上，△ABD与△BCE都是等边三角形，其中线段AE交DB于点F，线段CD交BE于点G．求证：=．拓展（辅助线）△ABC，点D是AB的中点，过点D任作一条直线DF，交BC的延长线于F点，交AC于E点；求证：AE•CF=BF•EC．第三讲：动态几何专题一模块一：相似三角形例题精讲知识点一：直角相似例1．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=8，BC=6，CD△AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）求线段CD的长；（2）当t为何值时，△CPQ与△ABC相似？（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？训练1-1．如图所示，已知直线l的表达式为y=﹣x+8，且l与x轴、y轴分别交于A、B 两点，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向A移动，同时动点P 从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，其中一点停止运动，另一点也随之停止运动，设点Q、P移动时间为t秒．（1）求点A、B的坐标（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似；（3）当t为何值时，△APQ的面积最大，最大面积是多少？知识点二：非直角相似例2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，过点B作BD△y轴于点D，线段OA，OC的长是一元二次方程x2﹣12x+36=0的两根，BC=4，△BAC=45°．（1）求点A，C的坐标；（2）在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．模块二：特殊四边形例题精讲（菱形+直角三角形）例3．如图，在Rt△ABC中，△B=90°，AC=60，AB=30．D是AC上的动点，过D作DF△BC 于F，过F作FE△AC，交AB于E．设CD=x，DF=y．（1）求y与x的函数关系式；（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；（3）当△DEF是直角三角形时，求x的值．训练3．如图，在△ABC中，AB=AC，AD△BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B 出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m 从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）连接DE、DF，当四边形AEDF为菱形，请求出此时t的值；（2）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．（面积+平行四边形）例4．如图△，矩形OABC的边OA、OC分别在坐标轴上，点B在第二象限，且点B的横、纵坐标是一元二次方程m2+m﹣12=0的两个实数根．把矩形OABC沿直线BE折叠，使点C落在AB边上的点F处，点E在CO边上．（1）直接填空：B（，），F（，）；（2）如图△，若△BCE从该位置开始，以固定的速度沿x轴水平向右移动，直到点C与原点O重合时停止．记△BCE平移后为△B′C′E′，△B′C′E′与四边形OABE重叠部分的面积为S，请求出面积S与平移距离t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）如图△，设点G为EF中点，若点M在直线CG上，点N在y轴上，是否存在这样的点M，使得以M、N、B、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．训练4．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC 与点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．第四讲：相似综合计算及应用模块一:相似应用例题精讲例1．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1．5米，那么路灯A 的高度AB是多少？训练1．墙壁CD上D处有一盏灯（如图），小明站在A处测得他的影长与身长相等，都为1．6m，他向墙壁走1m到B处时发现影子刚好落在A点，则灯泡与地面的距离CD=．例2．（1）如图，当太阳光与地面上的树影成45°角时，树影投射在墙上的影高CD等于2米，若树根到墙的距离BC等于8米，则树高AB等于米．（2）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上，已知铁塔底座宽CD=14m，塔影长DE=36m，小明和小华的身高都是1．6m，小明站在点E处，影子也在斜坡面上，小华站在沿DE方向的坡脚下，影子在平地上，两人的影长分别为4m与2m，那么塔高AB为m．训练2．（1）兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0．4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0．2米，一级台阶高为0．3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4．4米，则树高为．（2）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知CD=12m，DE=18m，小明和小华的身高都是1．5m，同一时刻小明站在E处，影子落在坡面上，影长为2m，小华站在平地上，影子也落在平地上，影长为1m，则塔高AB是米．模块二:相似的综合计算深圳中考真题训练1．如图，四边形ABCD 是正方体，CEA ∠和ABF ∠都是直角且点,,E A B 三点共线，4AB =，则阴影部分的面积是 ．2．在Rt ABC ∆中，︒=∠90C ，AD 平分CAB ∠，AD BE 、相交于点F ，且4,2AF EF ==，则AC = ．3．如图，在Rt△ABC 中，△ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN ，△MPN=90°，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当PE=2PF 时，AP= ．4．如图，CB=CA ，△ACB=90°，点D 在边BC 上（与B 、C 不重合），四边形ADEF 为正方形，过点F 作FG△CA ，交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论：△AC=FG ；△2:1==CEFG FAB S S 四边形△；△△ABC=△ABF ；△AC FQ AD •=2，其中正确的结论个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4例题精讲例3．（1）正方形ABCD中，F是AB上一点，H是BC延长线上一点，连接FH，将△FBH 沿FH翻折，使点B的对应点E落在AD上，EH与CD交于点G，连接BG交FH于点M，当GB平分△CGE时，BM=2，AE=8，则ED=．（2）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，OA=4，OC=3，点D为BC边上一点，以AD为一边在与点B的同侧作正方形ADEF，连接OE．当点D在边BC上运动时，OE的长度的最小值是．训练3．（1）正方形ABCD的边长AB=2，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE、BD相交于点M，N，则MN的长为．（2）一块矩形木板ABCD，长AD=3cm，宽AB=2cm，小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点C上，另一条直角边与AB边交于点E，三角板的直角顶点P在AD边上移动（不含端点A、D），当线段BE最短时，AP的长为．（3）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线一点，连接AE交CD于F，作△AEG=△AEB，EG交CD的延长线于G，连接AG，当CE=BC=2时，作FH△AG于H，连接DH，则DH 的长为．第五讲：反比例函数模块一:反比例函数定义和性质1．反比例函数的定义形如y=（k 为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．三种形式：y=（k 为常数，k≠0）、y=kx ﹣1（k 为常数，k≠0）、k y x =⋅（k 为常数，k≠0）2．反比例函数图象的对称性反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：△二、四象限的角平分线y=﹣x ； △一、三象限的角平分线y=x ；对称中心是：坐标原点．3．反比例函数的性质（1）反比例函数y=kx （k≠0）的图象是双曲线；（2）当k ＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；（3）当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．例题精讲例1．（1）下列函数中，表示y 是x 的反比例函数的是（ ）A ．y=B ．y=C ．y=2xD ．y=（2）函数y=（m+1）x是y 关于x 的反比例函数，则m= ．（3）反比例函数y=（2m ﹣1）x ，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，则m 的值是．训练1．（1）下列函数是反比例函数的是（）A．B．y=x2+x C．D．y=4x+8（2）若函数y=（m+1）是反比例函数，则m的值为．（3）若反比例函数的图象在第二、四象限，m的值为．例2．（1）在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+2和y=（m≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．（2）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（1，3），C（3，1），若反比例函数y=在第一象限内的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是．训练2．（1）已知一次函数y=mx+n与反比例函数y=其中m、n为常数，且mn＜0，则它们在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．（2）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，3），B（5，3），C（5，5），若反比例函数y=在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（）A．1≤k≤15B．3≤k≤15C．3≤k≤25D．15≤k≤25例3．（1）如果直线y=mx与双曲线y=的一个交点A的坐标为（3，2），则它们的另一个交点B的坐标为．（2）函数y=﹣的图象经过点A（x1，y1）、B（x2，y2），若x1＜x2＜0，则y1、y2、0三者的大小关系是（）A．y1＜y2＜0B．y2＜y1＜0C．y1＞y2＞0D．y2＞y1＞0训练3．（1）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx的图象交于点A（1，3）和点B，则点B的坐标为．（2）已知A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是反比例函数y=﹣图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为．（3）若点A（x1，﹣6），B（x2，﹣2），C（x3，2）在反比例函数y=的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x1＜x3C．x2＜x3＜x1D．x3＜x2＜x1例4．（1）已知函数y1=，y2=x+1，若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．x＜﹣1或0＜x＜2 B．﹣1＜x＜0或x＞2C．﹣2＜x＜0或x＞1D．x＜﹣2或0＜x＜1（2）如图，一次函数y1=x﹣1与反比例函数的图象交于点A（2，1）、B（﹣1，﹣2），则使y1＞y2的x的取值范围是．训练4．（1）已知直线y1=ax与双曲线y2=相交，如图所示，y1＞y2时x的范围是．（2）如图，直线y1=﹣x+b与双曲线y2=交于A、B两点，点A的横坐标为1，则不等式﹣x+b＜的解集是．模块二:反比例函数k 值意义初步1．k 的计算方法（1）一点坐标乘积xy=k （2）两点坐标乘积相等，列方程求k（3）三角形面积求k （4）矩形面积求k2．k 的几何意义（1）k =AOBP S 矩形 （2）ABO S △2k =（3）ABC S △=2|k| （4）ABM S △=|k|**3．面积问题中的两种方法（1）几何法：△通过三角形或矩形的面积转化，把要求的面积转化成熟悉的三角形或矩形面积； △充分抓住已知条件中的特殊关系（比值、中点等）△如果找不到或用不上熟悉三角形或矩形，则需要作辅助线，辅助线的做法通常是通过反比例函数图像上的点作x 轴或y 轴的垂线来构造出熟悉三角形或矩形；△最后通过三角形或矩形面积算出k 的值．（2）代数法：△在反比例函数上找一合适的点（跟中点或比值等特殊关系有关的点）并设其坐标为（x ，y ）；△用x 和y 表示出整块大图形的面积和除已知面积图形外的三角形面积，并将其代入方程：已知部分全S S S =-△解出x 和y ，并通过xy=k 计算出k 的值．例题精讲例5．（1）已知反比例函数图像上有两点A （a ，2）、B(m ，4)，已知a 和m 是方程0862=+-x x 的两个不等的解，则该反比例函数的解析式为 ．（2）如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数y=的图象上，若点A 的坐标为（﹣2，﹣2），则k 的值为 ．训练5．（1）已知反比例函数图像经过二、四象限，并经过两点（a ，a+2）与（1，6a+5），则该反比例函数图像的解析式为 ．（2）如图，B （3，﹣3），C （5，0），以OC ，CB 为边作平行四边形OABC ，则经过点A 的反比例函数的解析式为 ．例6．（1）如图，已知函数y=kx 与函数y=的图象交于A 、B 两点，过点B 作BC△y 轴，垂足为C，连接AC．若△ABC 的面积为2，则k 的值为．（2）如图，直线l分别交x轴、y轴于点A、B，交双曲线y=（x＞0）于点C，若AB：AC=1：3，且S△AOB=，则k的值为．训练6．（1）如图，正比例函数y=﹣x与反比例函数y=﹣的图象相交于A、C两点，AB△x 轴于B，CD△x轴于D，则四边形ABCD的面积为．（2）如图，已知直线y=﹣2x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿直线AB 翻折后，设点O的对应点为点C，双曲线y=（x＞0）经过点C，则k的值为．第六讲:反比例K 意义进阶模块一：反比例K 意义进阶面积问题中的两种方法（1）几何法：△通过三角形或矩形的面积转化，把要求的面积转化成熟悉的三角形或矩形面积； △充分抓住已知条件中的特殊关系（比值、中点等）△如果找不到或用不上熟悉三角形或矩形，则需要作辅助线，辅助线的做法通常是通过反比例函数图像上的点作x 轴或y 轴的垂线来构造出熟悉三角形或矩形； △最后通过三角形或矩形面积算出k 的值．（2）代数法：△在反比例函数上找一合适的点（跟中点或比值等特殊关系有关的点）并设其坐标为（x ，y ）；△用x 和y 表示出整块大图形的面积和除已知面积图形外的三角形面积，并将其代入方程：已知部分全S S S =-△解出x 和y ，并通过xy=k 计算出k 的值．中考真题训练1．如图，A B 、是函数12y x =上两点，P 为一动点，作//PB y 轴，//PA x 轴，下列说法正确的是（ ）△AOP BOP ∆≅∆；△AOP BOP S S ∆∆=；△若OA OB =，则OP 平分AOB ∠；△若4BOP S ∆=，则16ABP S ∆=．A ．△△B ．△△C ．△△D ．△△2．如图，四边形ABCO 是平行四边形，,6,2==AB OA 点C 在x 轴的负半轴上，将 ABCO 绕点A 逆时针旋转得到平行四边形ADEF ，AD 经过点O ，点F 恰好落在x 轴的正半轴上．若点D 在反比例函数)0(y <=x xk 的图像上，则k 的值为_________．3．如图，Rt△ABC 的直角边BC 在x 轴正半轴上，斜边AC 边上的中线BD 的反向延长线交y 轴负半轴于点E ，双曲线xk y =(k ＞0）的图象经过点A ，若S △BEC =8，则k 等于4．如图，双曲线y=经过Rt△BOC 斜边上的点A ，且满足=，与BC 交于点D ，S △BOD =21，求k= ．例题精讲考点一：边长比例类例1．（1）已知反比例函数y=在第二象限内的图象如图，经过图象上两点A、E分别引y 轴与x轴的垂线，交于点C，且与y轴与x轴分别交于点M、B．连接OC交反比例函数图象于点D，且=，连接OA，OE，如果△AOC的面积是15，则△ADC与△BOE的面积和为．（2）如图，点A在双曲线y=的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x 轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE 的面积为3，则k的值为．训练1．（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴上的正半轴上，BC=2AC，点B、C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△OAB的面积为．（2）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，，△AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=的图象过点C，若以CD为边的正方形的面积等于，则k的值是．考点二：两个反比例函数例2．（1）双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为．（2）如图，点A与点B分别在函数y=与y=的图象上，线段AB 的中点M在y轴上．若△AOB的面积为2，则k1﹣k2的值是．（3）如图，已知点A是双曲线在第一象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线上运动，则k的值是．训练2．（1）如图，点A在函数y=（x＞0）的图象上，点B在函数y=（x＞0）的图象上，且AB△x轴，BC△x轴于点C，则四边形ABCO的面积为．（2）如图，反比例函数y=﹣和y=上分别有两点B、C，且BC△x轴，点P是x轴上一动点，则△BCP的面积是．（3）如图，在Rt△ABC中，△ABC=90°，点B在x轴上，且B（﹣1，0），A点的横坐标是2，AB=3BC，双曲线y=（m＞0）经过A点，双曲线y=﹣经过C点，则Rt△ABC 的面积为．考点三：面积综合例3．（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在双曲线y=（k是常数，且k≠0）上，过点A作AD△x轴于点D，过点B作BC△y轴于点C，已知点A的坐标为（4，），四边形ABCD的面积为4，则点B的坐标为．（2）如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数y=（x＜0）的图象上，顶点B，C在x 轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是6，则k的值为．（3）如图，△AOB和△BCD均为等边三角形，且顶点A、C均在双曲线y=（x＞0），AD 与BC相交于点P，则图中△OAP的面积为．训练3．（1）如图，点E、F在函数y=的图象上，直线EF分别与x轴、y轴交于点A、B，且BE：BF=1：3，则△EOF的面积是．（2）如图，点A是反比例函数y=（x＞0）的图象上一点，OA与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点C，点B在y轴的正半轴上，且AB=OA，若△ABC的面积为6，则k的值为．（3）如图，点A、B在双曲线y=的第一象限分支上，AO的延长线交第三象限的双曲线于C，AB的延长线与x轴交于点D，连接CD与y轴交于点E，若AB=BD，S△ODE=，则k=．拓展题1．如图，△AOB为等边三角形，点B的坐标为（﹣4，0），过点C（4，0）作直线l交AO 于D，交AB于E，点E在某反比例函数图象上，当△ADE和△DCO的面积相等时，那么该反比例函数的解析式为y=．2．如图，已知反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（3，4），在该图象上面找一点P，使△POA=45°，则点P的坐标为．第七讲：反比例函数综合及应用模块一：函数应用例题精讲例1．（1）某市一蔬菜生产基础用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15﹣20△的新品种，图中是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（△）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC是双曲线y=的一部分．请根据图中的信息解答下列问题：（1）求k的值；（2）恒温系统在一天内保持大鹏温度在15△及15△以上的时间有多少小时？（2）一般情况下，学生注意力上课后逐渐增强，中间有段时间处于较理想的稳定状态，随后开始分散．实验结果表明，学生注意力指数y随时间x（min）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：（1）上课后第5min与第30min相比较，何时学生注意力更集中？（2）某道难题需连续讲19min，为保证效果，学生注意力指数不宜低于36，老师能否在所需要求下讲完这道题？训练1．（1）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．①根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．②问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？（2）工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800△，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600△．煅烧时温度y（△）与时间x（min）成一次函数关系；锻造时，温度y（△）与时间x（min）成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是32△．①分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；②根据工艺要求，当材料温度低于480△时，须停止操作．那么锻造的操作时间有多长？。

精品文档初三数学中考复习辅导资料一.《数与式》考点1有理数、实数的概念 【知识要点】1、 实数的分类：有理数，无理数。

2、 实数和数轴上的点是 ____________ 对应的，每一个实数都可以用数轴上的 __________ 来表示，反过来，数轴上的点都表示一个_________ 。

3、 _______________________ 叫做无理数。

一般说来，凡开方开不尽的数是无理数，但要注意，用根号形式表示的数并不都是无理数（如,4 ），也不是所有的无理数都可以写成根号的形式（如 ）。

【典型考题】1、把下列各数填入相应的集合内:7.5,"5, 4,.13, 3,菽,0.25,0.15有理数集｛｝，无理数集｛}正实数集｛}2、在实数勺J0, 2 1, ,64,3 一1 V27,——中，共有27个无理数3、 在-.3, 3.14, |前45「4中，无理数的个数是—4、 写出一个无理数 _________ ，使它与J 2的积是有理数 【复习指导】解这类问题的关键是对有理数和无理数意义的理解。

无理数与有理数的根本区另U 在于能否用既约分数来表示。

考点2 数轴、倒数、相反数、绝对值 【知识要点】1、 若a 0，则它的相反数是 __________ ，它的倒数是 _______ 。

0的相反数是 __________ 。

2、 一个正实数的绝对值是 ___________________ ; 一个负实数的绝对值是 ___________________ ; 0的绝对值是 _______________3、 一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与 _________ 的距离【典型考题】11、 __________ 的倒数是 1 - ; 0.28的相反数是 _____________ 。

22、 如图1,数轴上的点M 所表示的数的相反数为 ______________M-10123图123、 （1 m ） | n 21 0,则 m n 的值为 ___________|x|—（X）精品文档3、科学计数法：正数:负数:1 X 4、已知I XI 4,1 y I ，且xy 0 ,则一的值等于 _____________________2y5、实数a,b,c 在数轴上对应点的位置如图2所示，下列式子中正确的有()cb a乡 I0 ■ ?—- IA.1个 B.2个 C.3个 D.4个6、①数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 _________ 数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 __________ ②数轴上表示X 和-1的两点A 和B 之间的距离是 ___________ ，如果|AB|=2,那么X _______________ 【复习指导】1、若a, b 互为相反数，则 a b 0 ；反之也成立。

第1讲二次根式的性质和运算考点·方法·破译1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析；2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.经典·考题·赏板【例１】（荆州）下列根式中属最简二次根式的是（）【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B中含分母，C、D含开方数4、9，故选A.【变式题组】1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（）根式是（）A．①,② B．③,④C．①,③D．①,④【例２】(黔东南)方程x-=，当y＞0480时，m的取值范围是（）A．0＜m＜1 B．m≥2C．m＜2 D．m≤2【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x－8＝0，x－y－m ＝0.化为y＝2－m，则2－m＞0，故选C.【变式题组】2．（宁波）若实数x、y2y-=，则xy(0的值是__________.3．（荆门）若2=+，则x－y的值为x y()（）A．－ 1 B．1C．2 D．3有意义的x的取值范围是4．（鄂州）使代数式4x-（）A．x＞3 B．x≥3C．x＞4 D．x≥3且x≠45.（怀化）2--=，则a－b－c＝a c2(4)0________.是同类二次根式的是（ ）AD【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样. A．=； B．不能化简；C.=；D==.故本题应选D.【变式题组】6．如果最简二次根式与是同类二次根式，则a ＝________．7．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ） A．和8．已知最简二次根式b和是同类二次根式，则a ＝_______，b ＝______.【例４】下列计算正确的是（ ） A-=4= C= D．(11+-=【解法指导】正确运用二次根式的性质①2(0)a a =≥；②(0)0(0)(0)a a a a a a ⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜；③0,0)a b =≥≥；④0,0)b a =≥＞ 进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算.A 、B 中的项不能合并.D.2(111+=-=-.故本题应选C.【变式题组】9. （聊城）下列计算正确的是（ ） A ．= B =C3= D 3=-10．计算：200720074)(4⋅=_____________11．22-=_____________12．(济宁)已知a ） A ．a B ．－a C ．－1 D ．013．已知a ＞b ＞0，a ＋b ＝6，则的值为（ ）A ．2B ．2CD ．12【例５】已知xy ＞0，化简二次根式的正确结果为（ ）AC ．D ．【解法指导】先要判断出y ＜0，再根据xy ＞0知x ＜0.故原式=选D.【变式题组】14．已知a 、b 、c 为△AB C 三边的长，则化简a b c --+_______.15．观察下列分母有理化的计算：=，=，=，算果中找出规律，并利用这一规律计算：1)2006+++⋅=_________.16．已知，则0＜x ＜1，则=_________.【例６】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a =b =⑵已知x =，y =，那么代数式值为________.【解法指导】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求xy 、x ＋y 的值，再代入求值.【解】⑴原式＝22()()()()ab a a b b a b a bab a b ab a b ab+++++==++，当a =b =ab ＝1，a ＋b⑵由题意得：xy ＝1，x ＋y ＝10, 10199=-.【变式题组】17．（威海）先化简，再求值：(a ＋b )2＋(a －b)(2a ＋b)－3a 2，其中2a =--2b =.18．（黄石）已知a 是4的小数部分，那么代数式22224()()442a a a a a a a a a+-+⋅-+++的值为________. 【例７】已知实数x 、y满足(2008x y =，则3x 2－2y 2＋3x －3y －2007的值为（ ）A ．－2008B ．2008C ．－1D ．1【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出a 、b 的关系，再代入求值.解:∵(2008x y =，∴(x =y =(y =x =，由以上两式可得x ＝y .∴(2008x =, 解得x 2＝2008，所以3x 2－2y2＋3x －3y －2007＝3x 2－2x 2＋3x －3x －2007＝x 2－2007＝1，故选D.【变式题组】19．若a ＞0，b ＞0，且=，求的值.演练巩固·反馈提高 01．若4m =，则估计m 的值所在的范围是（ ）A ．1＜m ＜2B ．2＜m ＜3C ．3＜m ＜4D ．4＜m ＜5 02n 的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．8D ．303．（黄石）下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ）04．（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）05．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）06．（常德）设a ＝20， b ＝(－3)2,c =11()2d -=, 则a 、b 、c 、d 、按由小到大的顺序排列正确的是（ ）A ．c ＜a ＜d ＜bB ．b ＜d ＜a ＜cC ．a ＜c ＜d ＜bD ．b ＜c＜a ＜d07．（十堰）下列运算正确的是（ ）A==C ．21)31=-D 53=-08．如果把式子(1a -根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ）A．．09．（徐州）如果式子2x -化简的结果为2x －3，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≤1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x ＞0 10．（怀化）函数y =中自变量的取值范围是________.11．（湘西）对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算a ※b ＝32=-那么12※4＝________.12．（荆州）先化简，再求值：22321121a a a a a a -+÷-+-，其中a =13．（广州）先化简，再求值：((6)a a a a +--，其中12a =. 培优升级·奥赛检测01．（凉山州）已知一个正数的平方根是3x －2和5x＋6，则这个数是________.02．已知a 、b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有________对.03．（全国竞赛）设a =，则5432322a a a a a a a+---+=-________. 04．（全国竞赛）设x =,a 是x 的小数部分,b 是x 的小数部,则a 3＋b 3＋3ab ＝________.05．（重庆竞赛）已知2y =，则x 2＋y 2＝________.06．（全国竞赛）已知1a =-，a =，2a =-，那么a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b 07．（武汉联赛）已知y =（x ，y 均为实数），则y 的最大值与最小值的差为（ ）A3B ．3C 3D ．-08．（全国竞赛）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，则a ＋b 等于（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．209．（全国竞赛） ）A ．5-B ．1C ．5D ．110．已知0(0,0)x y x y -=>>，则的值为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．3411．已知152a b c +-=-，求a ＋b ＋c 的值.12．已知9+9-a 和b ，求ab －3a ＋4b ＋8的值.第2讲 二次根式的化简与求值考点·方法·破译1．会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.2．会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值.3．会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式. 经典·考题·赏板【例１】（河北竞赛）已知2=，那么__________ 【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用1x x+表示或化简变形.解：两边平方得，124x x ++=，12x x += ，两边同乘以x得，212x x+= ，∵2315x x x++=，29111x x x++=，∴原式【变式题组】1．若14aa +=（0＜a ＜1=________2．=）A ．1a a-B ．1a a-C ．1a a+D ．不能确定【例２】（全国初中数学联赛）满足等式＝2003的正整数对（x ,y ）的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解.解：可化为0=，∴0=∵0>，∴0=，则xy ＝2003，且2003是质数，∴正整数对（x ,y ）的个数有2对，应选B . 【变式题组】3．若a ＞0，b ＞0，且=，求的值.【例３】（四川）已知：1)a =<<，求代数式22632x x x x x x +-+÷-. 【解法指导】视x －2，x 2-4x=方，移项用含a 的代数式表示x －2，x 2-4x ，注意0＜a ＜1的制约.解：平方得，12x a a=++，∴12x a a-=+，2221442x x a a -+=++， 222142x x a a-=+-，∴化简原式＝(3)(2)(2)3x x x x x x +---+ ＝2211()1()211()a a a a a a a a a a a++-+-=++--【变式题组】4．（武汉）已知32x x +=+，求代数式35(2)242x x x x -÷----的值. 5．（五羊杯竞赛）已知1m =，1n =，且22(714)(367)8m m a n n -+--=，则a 的值等于（ ）A ．－5B ．5C ．－9D ．9【例４】（全国竞赛）如图，点A 、C 都在函数0)y x =>的图像上，点B 、D 都在x 轴上，且使得△OAB 、△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为________.【解法指导】解：如图，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F .设OE=a ，BF=b ，则a ，CF，所以，点A 、C 的坐标为（a）、（2a ＋b,b ），所以2(2)a b =+=，a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，点D 的坐标为（,0）【变式题组】6．（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题.在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如1323235+，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：335333535=⨯⨯=； （一）36333232=⨯⨯=；（二）()()()131313132132-=-+-⨯=+； （三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化，132+还可以用以下方法化简：()()()13131313131313131322-=+-+=+-=+-=+； （四）（1）请你用不同的方法化简352+；①参照（三）试得：352+=_____________________________；（要有简化过程） ②参照（四）试得：352+=_____________________________；（要有简化过程） （22n +++【例５】（五羊杯竞赛）设a 、b 、c 、d 为正实数，a ＜b ，c ＜d ，bc ＞ad ，有一个三角形的三边长分别为.【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)a 、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.解：如图，作长方形ABCD ，使AB ＝b －a ，AD ＝c ，延长DA 至E ，使DE ＝d ，延长DC 至F，使DF ＝b ，连结EF 、FB 、EB ，则BFEF＝，BE =，从而知△BEF就是题设的三角形，而S △BEF ＝S长方形ABCD＋S △BCF ＋S △ABE －S △DEF ＝(b －a )c ＋12(d －c )(b －a )－12bd ＝12(bc －ad )【变式题组】7．(北京竞赛)已知a 、b 均为正数，且a ＋b ＝2，求U演练巩固·反馈提高01．已知x =，y =，那么代数式__________02．设1a =，则32312612a a a +--＝（ ）A ．24B ．25C ．10D ．1203．（天津）计算2001200019991)1)1)2001--+=__________04．（北京竞赛）若有理数x 、y 、z 满足1()2x y z =++，则2()x yz -=__________05．（北京竞赛）正数m 、n 满足430m n +-==__________06．（河南竞赛）若1x =，则32(2(15x x x -++的值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．807．已知实数a 满足2000a a -=，那么22000a -的值是（ ）A ．1999B ．2000C ．2001D ．200208．设a =，b =，c =，则a 、b 、c 之间的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b09．已知1x =，化简 培优升级·奥赛检测01．（信利杯竞赛）已知1x =+，那么2111242x x x +-=+--__________025==__________03．（江苏竞赛）已知(2002x y =，则2234x xy y --6658x y --+=__________047x =，则x ＝__________05．(T 1杯联赛) 已知x =，y =，那么22y xx y+=__________06．（武汉选拔赛）如果a b +=，a b -=，3333b c b c +=-，那么333a b c -的值为（ ）A ．．2001C ．1D ．007．（绍兴竞赛）当x =时，代数式32003(420052001)x x --的值是（ ）A ．0B ．－1C ．1D ．20032-08．（全国联赛）设a 、b 、c 为有理数，且等式a +=29991001abc ++的值是（ ）A ．1999B ．2000C ．2001D ．不能确定09．计算：（1（2（34947++（4）10．已知实数a 、b 满足条件1ba ba-=<，化简代数式11()(1)a b a b---，将结果表示成不含b 的形式.11．已知21(0)a x a a +=> 12．（奥林匹克竞赛）已知自然数x 、y 、z 满足等式0=，求x ＋y ＋z 的值.第3讲 一元二次方程的解法考点·方法·破译1．掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；2．掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；3．会应用一元二次方程解实际应用题。

第1讲二次根式的性质和运算考点·方法·破译1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析；2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.经典·考题·赏板【例１】（荆州）下列根式中属最简二次根式的是（）【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B中含分母，C、D含开方数4、9，故选A.【变式题组】1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（）次根式是（）A．①,② B．③,④C．①,③D．①,④【例２】(黔东南)方程480x-=，当y＞0时，m的取值范围是（）A．0＜m＜1 B．m≥2C．m＜2 D．m≤2【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x－8＝0，x－y －m＝0.化为y＝2－m，则2－m＞0，故选C.【变式题组】2．（宁波）若实数x、y2y=，则(0xy的值是__________.3．（荆门）若2-=+，则x－y的值为x y()（）A．－ 1 B．1C．2 D．34．（鄂州）使代数式有意义的x的取值范围是（）A．x＞3 B．x≥3C．x＞4 D．x≥3且x≠45.（怀化）2--=，则a－b－c＝2(4)0a c________.【例３】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）AD一样. A．=；B．不能化简；C.=；D==.故本题应选D.【变式题组】是同类二次根6．如果最简二次根式式，则a＝________．7．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）和B．和C．和A．8．已知最简二次根式b是同类二次根式，则a＝_______，b＝______.【例４】下列计算正确的是（）A==4C= D．(11-=【解法指导】正确运用二次根式的性质①2(0)a a=≥；②(0)0(0)(0)a aa aa a⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜；③0,0)a b=≥≥；④0,0)b a=≥＞进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算.A、B中的项不能合并.D.2(111+-=-=-.故本题应选C.【变式题组】9. （聊城）下列计算正确的是（）A．= B=C3= D3=-10．计算：200720074)(4⋅-=_____________ 11．22-=_____________ 12．(济宁)已知a）A．a B．－a C．－1 D．013．已知a＞b＞0，a＋b＝6的值为（）A．2B．2CD．12【例５】已知xy＞0，化简二次根式的正确结果为（）AC．D．【解法指导】先要判断出y ＜0，再根据xy ＞0知x＜0. 故原式=选D.【变式题组】14．已知a 、b 、c 为△AB C 三边的长，则化简a b c --的结果是_______.15=，=，=，算果中找出规律，并利用这一规律计算：1)2006++⋅=_________.16．已知，则0＜x ＜1，则=_________.【例６】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中12a =，12b =.⑵已知x =，y =，那么代数式值为________.【解法指导】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求xy 、x ＋y 的值，再代入求值.【解】⑴原式＝22()()()()ab a a b b a b a bab a b ab a b ab+++++==++，当12a =，12b =时，ab ＝1，a ＋b ⑵由题意得：xy ＝1，x ＋y ＝10, 原式＝10199=-. 【变式题组】17．（威海）先化简，再求值：(a ＋b )2＋(a －b)(2a＋b)－3a 2，其中2a =-2b =.18．（黄石）已知a 是4-的小数部分，那么代数式22224()()442a a a a a a a a a+-+⋅-+++的值为________. 【例７】已知实数x 、y 满足(2008x y =，则3x 2－2y 2＋3x －3y －2007的值为（ ）A ．－2008B ．2008C ．－1D ．1【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出a 、b 的关系，再代入求值.解:∵(2008x y =，∴(x =y =(y =x =，由以上两式可得x ＝y .∴(2008x =, 解得x 2＝2008，所以3x 2－2y 2＋3x －3y －2007＝3x 2－2x 2＋3x －3x －2007＝x 2－2007＝1，故选D.【变式题组】19．若a ＞0，b ＞0，且=，的值.演练巩固·反馈提高 01．若4m =，则估计m 的值所在的范围是（ ）A ．1＜m ＜2B ．2＜m ＜3C ．3＜m ＜4D ．4＜m ＜502．（绵阳）已知n 的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．8D ．303．（黄石）下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ）04．（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）A.05．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A.06．（常德）设a ＝20， b ＝(－3)2, c =11()2d -=, 则a 、b 、c 、d 、按由小到大的顺序排列正确的是（ ）A ．c ＜a ＜d ＜bB ．b ＜d ＜a ＜cC ．a ＜c ＜d ＜bD ．b ＜c ＜a ＜d07．（十堰）下列运算正确的是（ ）A==C ．21)31=-D 53=-08．如果把式子(1a -根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ）A．．09．（徐州）如果式子2x -化简的结果为2x －3，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≤1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x ＞0 10．（怀化）函数y =中自变量的取值范围是________.11．（湘西）对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算a ※b ＝32=-那么12※4＝________.12．（荆州）先化简，再求值：22321121a a a a a a -+÷-+-，其中a =13．（广州）先化简，再求值：((6)a a a a +--，其中12a =. 培优升级·奥赛检测01．（凉山州）已知一个正数的平方根是3x －2和5x ＋6，则这个数是________.02．已知a 、b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有________对.03．（全国竞赛）设12a =，则5432322a a a a a a a+---+=-________. 04．（全国竞赛）设x =a 是x 的小数部分,b 是x 的小数部,则a 3＋b 3＋3ab ＝________.05．（重庆竞赛）已知2y =，则x 2＋y 2＝________.06．（全国竞赛）已知1a =，a =，2a =，那么a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b 07．（武汉联赛）已知y =（x ，y 均为实数），则y 的最大值与最小值的差为（ ）A3B ．3C 3D 08．（全国竞赛）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，则a ＋b 等于（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．209．（全国竞赛） ） A ．5-．1C ．5D ．110．已知0(0,0)x y x y -=>>，则的值为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．3411．已知152a b c +-=-，求a ＋b＋c 的值.12．已知9+9a 和b ，求ab －3a ＋4b ＋8的值.第2讲 二次根式的化简与求值考点·方法·破译1．会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.2．会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值.3．会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式. 经典·考题·赏板【例１】（河北竞赛）已知2=，那么的值等于__________ 【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用1x x+表示或化简变形. 解：两边平方得，124x x ++=，12x x += ，两边同乘以x 得，212x x += ，∵2315x x x ++=，29111x x x ++=，∴原式【变式题组】1．若14aa +=（0＜a ＜1=________2．= ）A ．1a a -B ．1a a -C ．1a a+D ．不能确定 【例２】（全国初中数学联赛）满足等式＝2003的正整数对（x ,y ）的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解.解：可化为0=， ∴0=∵0>，∴0=，则xy ＝2003，且2003是质数，∴正整数对（x ,y ）的个数有2对，应选B .【变式题组】3．若a ＞0，b ＞0=，的值. 【例３】（四川）已知：1)a=<<，求代数式22632x x x x x x +-+÷--. 【解法指导】视x －2，x 2-4x=平方，移项用含a 的代数式表示x －2，x 2-4x ，注意0＜a ＜1的制约.解：平方得，12x a a =++，∴12x a a -=+，2221442x x a a -+=++，222142x x a a -=+-，∴化简原式＝(3)(2)(2)3x x x x x x +---+ ＝2211()1()211()a a a a a a a a a a a ++-+-=++-- 【变式题组】4．（武汉）已知32x x +=+，求代数式35(2)242x x x x -÷----的值. 5．（五羊杯竞赛）已知1m =，1n =，且22(714)(367)8m m a n n -+--=，则a 的值等于（ ）A ．－5B ．5C ．－9D ．9【例４】（全国竞赛）如图，点A 、C 都在函数0)y x x =>的图像上，点B 、D 都在x 轴上，且使得△OAB 、△BCD 都是等边三角形，则点D 的坐标为________.【解法指导】解：如图，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F .设OE=a，BF=b ，则a ，CF，所以，点A 、C 的坐标为（aa ）、（2a ＋b,b ），所以2(2)a b =+=，解a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，点D的坐标为（,0）【变式题组】 6．（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题.在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如1323235+，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：335333535=⨯⨯=； （一） 36333232=⨯⨯=； （二） ()()()131313132132-=-+-⨯=+； （三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化，132+还可以用以下方法化简： ()()()13131313131313131322-=+-+=+-=+-=+； （四） （1）请你用不同的方法化简352+； ①参照（三）试得：352+=_____________________________；（要有简化过程）②参照（四）试得：352+=_____________________________；（要有简化过程）（2）化简：2n +++ 【例５】（五羊杯竞赛）设a 、b 、c 、d 为正实数，a ＜b ，c ＜d ，bc ＞ad ，有一个三角形的三边长分别为，求此三角形的面积.【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)a 、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.解：如图，作长方形ABCD ，使AB ＝b －a ，AD ＝c ，延长DA 至E ，使DE ＝d ，延长DC 至F ，使DF ＝b ，连结EF 、FB 、EB ，则BF＝，EF＝，BE ，从而知△BEF 就是题设的三角形，而S △BEF ＝S长方形ABCD ＋S △BCF ＋S △ABE －S △DEF ＝(b －a )c ＋12(d －c )(b －a )－12bd ＝12(bc －ad )【变式题组】7．(北京竞赛)已知a 、b 均为正数，且a ＋b ＝2，求U演练巩固·反馈提高01．已知x =，y =，那么代数式值为__________02．设1a =，则32312612a a a +--＝（ ）A ．24B ．25C．10D ．1203．（天津）计算2001200019991)1)1)2001--+=__________04．（北京竞赛）若有理数x 、y 、z 满足1()2x y z =++，则2()x yz -=__________ 05．（北京竞赛）正数m 、n 满足430m n +-=，则=__________ 06．（河南竞赛）若1x =，则32(2(15x x x -+++的值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．807．已知实数a 满足2000a a -=，那么22000a -的值是（ ）A ．1999B ．2000C ．2001D ．200208．设a =，b =，c =，则a 、b 、c 之间的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b09．已知1x =培优升级·奥赛检测01．（信利杯竞赛）已知1x =+，那么2111242x x x +-=+--__________025==__________ 03．（江苏竞赛）已知(2002x y =，则2234x xy y --6658x y --+=__________04．（全国联赛）7x =，则x ＝__________05．(T 1杯联赛) 已知x =，y =，那么22y x x y +=__________06．（武汉选拔赛）如果a b +=，a b -，3333b c b c +=-，那么333a b c -的值为（ ）A ．．2001C ．1D ．007．（绍兴竞赛）当x =时，代数式32003(420052001)x x --的值是（ ）A ．0B ．－1C ．1D ．20032-08．（全国联赛）设a 、b 、c 为有理数，且等式a +=成立，则29991001abc ++的值是（ ）A ．1999B ．2000C ．2001D ．不能确定09．计算：（1（2 （34947++ （4）10．已知实数a 、b 满足条件1b a b a -=<，化简代数式11()(1)a b a b ---b 的形式.11．已知21(0)a x aa +=> 12．（奥林匹克竞赛）已知自然数x 、y 、z 满足等0=，求x ＋y ＋z 的值.第3讲 一元二次方程的解法考点·方法·破译1．掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；2．掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；3．会应用一元二次方程解实际应用题。

初三数学辅导书
以下是一些适合初三学生的数学辅导书推荐：
1. 《中学数学（七年级上、下册）》作者：人民教育出版社
这套教材是根据新课程标准编写的，内容系统全面，易于理解和掌握，适合初三学生作为基础参考书。

2. 《初中数学课堂实用技巧与方法》作者：王俊瑜
这本书专注于数学学习的技巧和方法，以解题技巧、思维方法、学习策略为主线，帮助学生掌握数学的基本概念和解题技巧。

3. 《初中数学题型解题方法与技巧》作者：潘丽俊
这本书主要介绍了各类数学题型的解题方法和技巧，包括代数方程、几何图形、函数、概率等，帮助学生提高解题的能力和效率。

4. 《数学学业提高与习题解析》作者：王树义
这本书是一本习题集，包含了大量的数学习题和解析，涵盖了初中数学的各个知识点和题型，适合学生进行巩固和提高。

5. 《中学数学竞赛全书》作者：李阳
这本书是一本针对数学竞赛准备的辅导书，包含了大量的数学竞赛题目和解析，适合对数学有较高要求的学生进行挑战和提高。

九年级数学培优辅差计划四九年级数学培优辅差计划篇10根据学校工作安排，我担任初三年级数学，本学期教学计划如下：一、教学思想：教育学生掌握基础知识与基本技能，培养学生的逻辑思维能力、运算能力、空间观念和解决简单实际问题的能力，使学生逐步学会正确、合理地进行运算，逐步学会观察分析、综合、抽象、概括，初三数学教学计划。

会用归纳演绎、类比进行简单的推理。

使学生懂得数学来源于实践又反过来作用于实践。

提高学习数学的兴趣，逐步培养学生具有良好的学习习惯，实事求是的态度。

顽强的学习毅力和独立思考、探索的新思想。

培养学生应用数学知识解决问题的能力。

二、学生基本情况分析：总体来看，成绩只能算一般。

在学生所学知识的掌握程度上，整个年级已经开始出现两极分化了，对优生来说，能够透彻理解知识，知识间的内在联系也较为清楚，对后进生来说，简单的基础知识还不能有效的掌握，成绩较差，学生仍然缺少大量的推理题训练，推理的思考方法与写法上均存在着一定的困难，对几何有畏难情绪，相关知识学得不很透彻。

在学习能力上，学生课外主动获取知识的能力较差，为减轻学生的'经济负担与课业负担，不提倡学生买教辅参考书，学生自主拓展知识面，向深处学习知识的能力没有得到培养。

在以后的教学中，对有条件的孩子应鼓励他们买课外参考书，不一定是教辅参考书，有趣的课外数学读物更好，培养学生课外主动获取知识的能力。

学生的逻辑推理、逻辑思维能力，计算能力需要得到加强，以提升学生的整体成绩，应在合适的时候补充课外知识，拓展学生的知识面，提升学生素质；在学习态度上，绝大部分学生上课能全神贯注，积极的投入到学习中去，少数几个学生对数学处于一种放弃的心态，课堂作业，大部分学生能认真完成，少数学生需要教师督促，这一少数学生也成为老师的重点牵挂对象，课堂家庭作业，学生完成的质量要打折扣；学生的学习习惯养成还不理想，预习的习惯，进行总结的习惯，自习课专心致至学习的习惯，主动纠正（考试、作业后）错误的习惯，比较多的学生不具有，需要教师的督促才能做，陶行知说：教育就是培养习惯，这是本期教学中重点予以关注的。

第1讲二次根式的性质和运算欧阳家百（2021.03.07）考点·方法·破译1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析；2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.经典·考题·赏板【例１】（荆州）下列根式中属最简二次根式的是（）【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B中含分母，C、D含开方数4、9，故选A.【变式题组】1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（）是（）A．①,② B．③,④C．①,③D．①,④【例２】(黔东南)方程480x-=，当y＞0时，m的取值范围是（）A．0＜m＜1 B．m≥2C．m＜2 D．m≤2【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x－8＝0，x－y－m＝0.化为y＝2－m，则2－m＞0，故选C.【变式题组】2．（宁波）若实数x、y2y=，则xy的值(0是__________.32=+，则x－y的值为（）()x yA．－ 1 B．1C．2 D．34．（鄂州）使代数式有意义的x的取值范围是（）A．x＞3 B．x≥3C．x＞4 D．x≥3且x≠45.（怀化）2--=，则a－b－c＝________.a c2(4)0【例３】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）D．AA=B=D=，=.故本题应选D.【变式题组】6．如果最简二次根式是同类二次根式，则a ＝________．7．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）A．和 B．和C．D．和8．已知最简二次根式ba ＝_______，b ＝______.【例４】下列计算正确的是（ ）A=4=C= D．(11-=【解法指导】正确运用二次根式的性质①2(0)a a =≥；②(0)0(0)(0)a a a a a a ⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜；③0,0)a b =≥≥；④0,0)b a =≥＞ 进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算.A 、B 中的项不能合并.D.2(111=-=-.故本题应选C.【变式题组】9. （聊城）下列计算正确的是（ ）A．= B=C3= D3=-10．计算：200720074)(4⋅-=_____________11．22-=_____________12．(济宁)已知a）A ．aB ．－aC ．－1D ．013．已知a ＞b ＞0，a ＋b ＝的值为（ ）AB ．2CD ．12【例５】已知xy ＞0，化简二次根式的正确结果为（ ）AC ．D ． 【解法指导】先要判断出y ＜0，再根据xy ＞0知x ＜0. 故原式=选D.【变式题组】14．已知a 、b 、c 为△AB C 三边的长，则化简a b c --+_______.15．观察下列分母有理化的计算：=，=，=，算果中找出规律，并利用这一规律计算：1)2006+⋅=_________. 16．已知，则0＜x ＜1，则=_________. 【例６】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a =b =⑵已知x =，y =，那么代数式值为________.【解法指导】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求xy 、x ＋y 的值，再代入求值.【解】⑴原式＝22()()()()ab a a b b a b a b ab a b ab a b ab +++++==++，当a =b =ab ＝1，a ＋b⑵由题意得：xy ＝1，x ＋y ＝10, 10199=-. 【变式题组】 17．（威海）先化简，再求值：(a ＋b )2＋(a －b)(2a ＋b)－3a 2，其中2a =--2b =.18．（黄石）已知a 是4-的小数部分，那么代数式22224()()442a a a a a a a a a+-+⋅-+++的值为________. 【例７】已知实数x 、y 满足(2008x y =，则3x 2－2y 2＋3x －3y －2007的值为（ ）A ．－2008B ．2008C ．－1D ．1【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出a 、b 的关系，再代入求值.解:∵(2008x y =，∴(x =y =+(y =x =，由以上两式可得x ＝y .∴(2008x =, 解得x 2＝2008，所以3x 2－2y 2＋3x －3y －2007＝3x 2－2x 2＋3x －3x －2007＝x 2－2007＝1，故选D.【变式题组】19．若a ＞0，b ＞0，且=，求的值.演练巩固·反馈提高01．若4m =，则估计m 的值所在的范围是（ ）A ．1＜m ＜2B ．2＜m ＜3C ．3＜m ＜4D ．4＜m ＜502．（绵阳）已知是正整数，则实数n 的最大值为（ ）A ．12B ．11C ．8D ．303．（黄石）下列根式中，不是．．最简二次根式的是（ ）04．（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）05．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）06．（常德）设a ＝20， b ＝(－3)2, c =11()2d -=, 则a 、b 、c 、d 、按由小到大的顺序排列正确的是（ ）A ．c ＜a ＜d ＜bB ．b ＜d ＜a ＜cC ．a ＜c ＜d ＜bD ．b ＜c ＜a ＜d07．（十堰）下列运算正确的是（ ）A==C ．21)31=-D 53=-08．如果把式子(1a -根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ）A．．09．（徐州）如果式子2x -化简的结果为2x －3，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≤1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x ＞010．（怀化）函数y =________.11．（湘西）对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算a ※b ＝=那么12※4＝________.12．（荆州）先化简，再求值：22321121a a a a a a -+÷-+-，其中a = 13．（广州）先化简，再求值：((6)a a a a ---，其中12a =. 培优升级·奥赛检测01．（凉山州）已知一个正数的平方根是3x －2和5x ＋6，则这个数是________.02．已知a 、b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有________对.03．（全国竞赛）设a =，则5432322a a a a a a a+---+=-________. 04．（全国竞赛）设x =a 是x 的小数部分,b 是x 的小数部,则a 3＋b 3＋3ab ＝________.05．（重庆竞赛）已知2y =，则x 2＋y 2＝________.06．（全国竞赛）已知1a =，a =，2a =，那么a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b07．（武汉联赛）已知y =（x ，y 均为实数），则y 的最大值与最小值的差为（ ）A 3B ．3C 3D ．08．（全国竞赛）已知非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，则a ＋b 等于（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．209．（全国竞赛） ）A ．5-．1C ．5D ．110．已知0(0,0)x y x y -=>>，则的值为（ ）A ．13B ．12C ．23 D ．3411．已知152a b c +-=-，求a ＋b ＋c 的值.12．已知99a 和b ，求ab －3a ＋4b ＋8的值.第2讲 二次根式的化简与求值考点·方法·破译1．会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.2．会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值.3．会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式. 经典·考题·赏板【例１】（河北竞赛）已知2=，那么__________ 【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用1x x+表示或化简变形.解：两边平方得，124x x ++=，12x x += ，两边同乘以x 得，212x x += ，∵2315x x x ++=，29111x x x ++=，∴原式-11【变式题组】1．若14aa +=（0＜a ＜1=________2．= ）A ．1a a -B ．1a a -C ．1a a+D ．不能确定【例２】（全国初中数学联赛）满足等式＝2003的正整数对（x ,y ）的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解.解：可化为0=，∴0= ∵0>，∴0=，则xy ＝2003，且2003是质数，∴正整数对（x ,y ）的个数有2对，应选B .【变式题组】3．若a ＞0，b ＞0，且=，求的值.1)a=<<，求代数式22632x x xx x x+-+÷-.【解法指导】视x－2，x2-4x=移项用含a的代数式表示x－2，x2-4x，注意0＜a＜1的制约.解：平方得，12x aa=++，∴12x aa-=+，2221442x x aa-+=++，222142x x aa-=+-，∴化简原式＝(3)(2)(2)3x x x xx x+---+＝2211()1()211()a aa aa aa a aa a++-+-=++--【变式题组】4．（武汉）已知32xx+=+，求代数式35(2)242xxx x-÷----的值.5．（五羊杯竞赛）已知1m=，1n=-，且22(714)(367)8m m a n n-+--=，则a的值等于（）A．－5B．5C．－9D．9【例４】（全国竞赛）如图，点A、C都在函数0)y x=>的图像上，点B、D都在x轴上，且使得△OAB、△BCD都是等边三角形，则点D 的坐标为________.【解法指导】解：如图，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F .设OE=a ，BF=b ，则，CFb ，所以，点A 、C 的坐标为（a）、（2a ＋b），所以2(2)a b =+=，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，点D 的坐标为（,0） 【变式题组】6．（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题.在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如1323235+，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：335333535=⨯⨯=； （一） 36333232=⨯⨯=； （二） ()()()131313132132-=-+-⨯=+； （三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化，132+还可以用以下方法化简：()()()13131313131313131322-=+-+=+-=+-=+； （四） （1）请你用不同的方法化简352+； ①参照（三）试得：352+=_____________________________；（要有简化过程） ②参照（四）试得：352+=_____________________________；（要有简化过程）（22n +++【例５】（五羊杯竞赛）设a 、b 、c 、d为正实数，a ＜b ，c ＜d ，bc ＞ad，.【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)，a 、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.解：如图，作长方形ABCD ，使AB ＝b －a ，AD ＝c ，延长DA 至E ，使DE ＝d ，延长DC 至F ，使DF ＝b ，连结EF 、FB 、EB ，则BF＝，EF＝，BE =，从而知△BEF 就是题设的三角形，而S △BEF ＝S长方形ABCD ＋S △BCF ＋S △ABE －S △DEF ＝(b －a )c ＋12(d －c )(b －a )－12bd ＝12(bc －ad )【变式题组】7．(北京竞赛)已知a 、b 均为正数，且a ＋b ＝2，求U ＝演练巩固·反馈提高01．已知x =，y =值为__________02．设1a =，则32312612a a a +--＝（ ）A ．24B ．25C．10D ．1203．（天津）计算2001200019991)1)1)2001--+=__________04．（北京竞赛）若有理数x 、y 、z 满足1()2x y z =++，则2()x yz -=__________ 05．（北京竞赛）正数m 、n 满足430m n +-==__________ 06．（河南竞赛）若1x =，则32(2(15x x x -++的值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．807．已知实数a 满足2000a a -=，那么22000a -的值是（ ）A ．1999B ．2000C ．2001D ．200208．设a =，b =，c =，则a 、b 、c 之间的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b09．已知1x =培优升级·奥赛检测01．（信利杯竞赛）已知1x =+，那么2111242x x x +-=+--__________025==__________03．（江苏竞赛）已知(2002x y +=，则2234x xy y --6658x y --+=__________04．（全国联赛）7x =，则x ＝__________05．(T 1杯联赛) 已知x =，y =，那么22y x x y +=__________06．（武汉选拔赛）如果a b +=，a b -=3333b c b c +=-，那么333a b c -的值为（ ）A ．．2001C ．1D ．007．（绍兴竞赛）当x =时，代数式32003(420052001)x x --的值是（ ） A ．0B ．－1C ．1D ．20032-08．（全国联赛）设a 、b 、c 为有理数，且等式a +=成立，则29991001abc ++的值是（ ）A ．1999B ．2000C ．2001D ．不能确定09．计算：（1（2 （34947+ （4）10．已知实数a 、b 满足条件1b a b a -=<，化简代数式11()(1)a b a b ---，将结果表示成不含b 的形式.11．已知21(0)a x a a +=> 12．（奥林匹克竞赛）已知自然数x 、y 、z 满足等式0=，求x ＋y ＋z 的值.第3讲 一元二次方程的解法考点·方法·破译1．掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；2．掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；3．会应用一元二次方程解实际应用题。

托勒密定理巧解四边形对角互补问题托勒密定理：四边形ABCD 内接于圆，求证：AC BD AD BC AB CD ⋅=⋅+⋅．证明 ：如图，在BD 上取一点P ，使其满足12∠=∠．∵34∠=∠，∴ACD BCP △∽△，AC ADBC BP=， 即AC BP AD BC ⋅=⋅ ① 又ACB DCP ∠=∠，56∠=∠，∴ACB DCP △∽△，AB ACDP CD=，AC DP AB CD ⋅=⋅． ② ①+②，有．即()AC BP PD AD BC AB CD +=⋅+⋅，故AC BD AD BC AB CD ⋅=⋅+⋅．定理推广-托勒密不等式推广（托勒密不等式）：对于任意凸四边形ABCD ，AC ·BD ≤AB ·CD+AD ·BC证明：如图1，在平面中取点E 使得∠BAE=∠CAD ，∠ABE=∠ACD ， 易证△ABE ∽△ACD ，∴AB:AC=BE:CD ， 即AC ·BE=AB ·CD ①，D C A B D C126345P A B连接DE ，如图2，∵AB/AC=AE/AD ，∴AB/AE=AC/AD ，∠BAC=∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE=∠DAE ，∴△ABC ∽△AED ，∴AD/AC=DE/BC ，即AC ·DE=AD ·BC ②，将①+②得：AC ·BE+AC ·DE=AB ·CD+AD ·BC ，∴AC ·BD ≤AC(BE+DE)=AB ·CD+AD ·BC 即AC ·BD ≤AB ·CD+AD ·BC ，当且仅当A 、B 、C 、D 共圆时取到等号．下列四边形对角互补问题，题目均可巧解（自己试一试）【例1】（1）如图2-1，点P 为等边ABC △外接圆的BC 上一点，线段PA 、PB 、PC 间的数量关系为____．（2）如图2-2，AB 为⊙O 的直径，∠ABD =45°，点C 为ABD △外接圆的AB 上一点，线段CA 、CB 、CD 间的数量关系为____________．（3）如图2-3，30ABC ACB ∠=∠=︒，点D 为ABC △外接圆的BC 上一点，线段DA 、DB 、DC 间的数量关系为_____________．图2-1 图2-2 图2-3【解析】（1）PA PB PC =+；（2）CA CB +；（3）DB DC +=．ABCP ODAOC【例2】（2013成都中考）如图4-2，A ，B ，C 为O 上相邻的三个n 等分点，AB BC =，点E在弧BC 上，EF 为O 的直径，将O 沿EF 折叠，使点A 与A'重合，点B 与B'重合，连接EB'，EC ，EA'.设EB'b =，EC c =，EA'p =．先探究b ，c ，p 三者的数量关系：发现当3n =时，p b c =+．请继续探究b ，c ，p 三者的数量关系：当4n =时，p =__________； 当12n =时，p =__________．（参考数据：sin15cos75︒=︒=cos15sin 75︒=︒=）图4-1 图4-2【解析】（1）A ；（2）p c =+；2p c =+． 【例3】(2013成都27改)如图3，在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，在ABC ∠内作射线BM ， 作点C 关于BM 的对称点E ，连接AE 并延长交BM 于点F ，连接CE ，CF ． ①证明CEF ∆是等边三角形；②若5AE =，2CE =，求BF 的长．解：①证明：如图3中，作BH AE ⊥于H ，连接BE ．四边形ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒， ABD ∴∆，BDC ∆是等边三角形，A'F AB OB'C E A BO P CBA BD BC ∴==，E 、C 关于BM 对称，BC BE BD BA ∴===，FE FC =， A ∴、D 、E 、C 四点共圆， 120ADC AEC ∴∠=∠=︒， 60FEC ∴∠=︒，EFC ∴∆是等边三角形，②解：5AE =，2EC EF ==， 2.5AH HE ∴==， 4.5FH =， 在Rt BHF ∆中，30BFH ∠=︒， ∴cos30HF BF=︒，BF ∴==【例4】（2019•天门）已知ABC ∆内接于O ，BAC ∠的平分线交O 于点D ，连接DB ，DC ．（1）如图①，当120BAC ∠=︒时，请直接写出线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系式： ； （2）如图②，当90BAC ∠=︒时，试探究线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系，并证明你的结论； （3）如图③，若5BC =，4BD =，求ADAB AC+的值．解：（1）如图①在AD 上截取AE AB =，连接BE ， 120BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线交O 于点D ，60DBC DAC ∴∠=∠=︒，60DCB BAD ∠=∠=︒，ABE ∴∆和BCD ∆都是等边三角形，DBE ABC ∴∠=∠，AB BE =，BC BD =， ()BED BAC SAS ∴∆≅∆， DE AC ∴=，AD AE DE AB AC ∴=+=+；故答案为：AB AC AD +=．（2）AB AC +=．理由如下：如图②，延长AB 至点M ，使BM AC =，连接DM ， 四边形ABDC 内接于O ， MBD ACD ∴∠=∠，45BAD CAD ∠=∠=︒， BD CD ∴=，()MBD ACD SAS ∴∆≅∆，MD AD ∴=，45M CAD ∠=∠=︒，MD AD ∴⊥．AM ∴，即AB BM +，AB AC ∴+；（3）如图③，延长AB 至点N ，使BN AC =，连接DN ， 四边形ABDC 内接于O ， NBD ACD ∴∠=∠， BAD CAD ∠=∠， BD CD ∴=，()NBD ACD SAS ∴∆≅∆，ND AD ∴=，N CAD ∠=∠，N NAD DBC DCB ∴∠=∠=∠=∠， NAD CBD ∴∆∆∽， ∴AN AD BC BD =， ∴AD BD AN BC=， 又AN AB BN AB AC =+=+，5BC =，4BD =，∴45AD BD AB AC BC ==+． 【例5】（2019•威海） （1）方法选择 如图①，四边形ABCD 是O 的内接四边形，连接AC ，BD ，AB BC AC ==．求证：BD AD CD =+． 小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM AD =，连接AM ⋯小军认为可用补短法证明：延长CD至点N，使得DN AD=⋯请你选择一种方法证明．（2）类比探究【探究1】如图②，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD，BC是O的直径，AB AC=．试用等式表示线段AD，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论．【探究2】如图③，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是O的直径，30∠=︒，ABC则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是．（3）拓展猜想如图④，四边形ABCD是O的内接四边形，连接AC，BD．若BC是O的直径，=，则线段AD，BD，CD之间的等量关系式是．::::BC AC AB a b c【解答】解：（1）方法选择：AB BC AC==，ACB ABC∴∠=∠=︒，60=，连接AM，如图①，在BD上截取DM AD∠=∠=︒，60ADB ACB∴∆是等边三角形，ADM∴=，AM ADABM ACD∠=∠，∠=∠=︒，AMB ADC120∴∆≅∆，ABM ACD AAS()∴=，BM CDBD BM DM CD AD∴=+=+；（2）类比探究：如图②，BC是O的直径，∴∠=︒，BAC90=，AB AC∴∠=∠=︒，ABC ACB45⊥交BD于M，过A作AM AD45∠=∠=︒，ADB ACB∴∆是等腰直角三角形，ADM∴=，45AM AD∠=︒，AMD∴=，DM∴∠=∠=︒，135AMB ADC∠=∠，ABM ACD()ABM ACD AAS ∴∆≅∆， BM CD ∴=，BD BM DM CD ∴=+=+；【探究2】如图③，若BC 是O 的直径，30ABC ∠=︒， 90BAC ∴∠=︒，60ACB ∠=︒， 过A 作AM AD ⊥交BD 于M ， 60ADB ACB ∠=∠=︒， 30AMD ∴∠=︒， 2MD AD ∴=，ABD ACD ∠=∠，150AMB ADC ∠=∠=︒， ABM ACD ∴∆∆∽，∴BM AB CD AC==，BM ∴=，2BD BM DM AD ∴=++；故答案为：2BD AD +；（3）拓展猜想：c aBD BM DM CD AD b b=+=+；理由：如图④，若BC 是O 的直径， 90BAC ∴∠=︒，过A 作AM AD ⊥交BD 于M ， 90MAD ∴∠=︒， BAM DAC ∴∠=∠， ABM ACD ∴∆∆∽， ∴BM AB c CD AC b==， cBM CD b∴=，ADB ACB ∠=∠，90BAC MAD ∠=∠=︒， ADM ACB ∴∆∆∽， ∴AD AC b DM BC a==， aDM AD b∴=，c aBD BM DM CD AD b b ∴=+=+．故答案为：c aBD CD AD b b=+【例6】（2017•临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若60∠=∠=∠=∠=︒，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？ACB ACD ABD ADB经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE CD=，连接AE，证得=+．=，所以AC BC CD ABE ADC∆≅∆，从而容易证明ACE∆是等边三角形，故AC CE小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将ABC∆绕着点A逆时针旋转60︒，使AB与AD重合，从而容易证明ACF=，所以AC BC CD=+．∆是等边三角形，故AC CF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图4，如果把“60∠=∠=∠=∠=︒”ACB ACD ABD ADB改为“45∠=∠=∠=∠=︒”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间ACB ACD ABD ADB有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．（2）小华提出：如图5，如果把“60ACB ACD ABD ADB∠=∠=∠=∠=︒”改为“ACB ACD ABD ADBα∠=∠=∠=∠=”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．【解答】解：（1）BC CD+=；理由：如图1，延长CD 至E ，使DE BC =，连接AE ， 45ABD ADB ∠=∠=︒，AB AD ∴=，18090BAD ABD ADB ∠=︒-∠-∠=︒， 45ACB ACD ∠=∠=︒， 90ACB ACD ∴∠+∠=︒， 180BAD BCD ∴∠+∠=︒， 180ABC ADC ∴∠+∠=︒， 180ADC ADE ∠+∠=︒， ABC ADE ∴∠=∠，在ABC ∆和ADE ∆中，AB AD ABC ADE BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC ADE SAS ∴∆≅∆，45ACB AED ∴∠=∠=︒，AC AE =， ACE ∴∆是等腰直角三角形，CE ∴，CE CD DE CD BC =+=+，BC CD ∴+=；（2）2cos BC CD AC α+=．理由：如图2，延长CD 至E ，使DE BC =， ABD ADB α∠=∠=，AB AD ∴=，1801802BAD ABD ADB α∠=︒-∠-∠=︒-， ACB ACD α∠=∠=， 2ACB ACD α∴∠+∠=， 180BAD BCD ∴∠+∠=︒， 180ABC ADC ∴∠+∠=︒， 180ADC ADE ∠+∠=︒， ABC ADE ∴∠=∠，在ABC ∆和ADE ∆中，AB AD ABC ADE BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC ADE SAS ∴∆≅∆，ACB AED α∴∠=∠=，AC AE =， AEC α∴∠=，过点A 作AF CE ⊥于F ，2CE CF ∴=，在Rt ACF ∆中，ACD α∠=，cos cos CF AC ACD AC α=∠=， 22cos CE CF AC α∴==， CE CD DE CD BC =+=+， 2cos BC CD AC α∴+=． 【例7】（2016•淮安）问题背景：如图①，在四边形ADBC 中，90ACB ADB ∠=∠=︒，AD BD =，探究线段AC ，BC ，CD 之间的数量关系．小吴同学探究此问题的思路是：将BCD ∆绕点D ，逆时针旋转90︒到AED ∆处，点B ，C 分别落在点A ，E 处（如图②)，易证点C ，A ，E 在同一条直线上，并且CDE ∆是等腰直角三角形，所以CE =，从而得出结论：AC BC +=．简单应用：（1）在图①中，若AC =BC =CD = ．（2）如图③，AB 是O 的直径，点C 、D 在上，AD BD =，若13AB =，12BC =，求CD 的长． 拓展规律：（3）如图④，90ACB ADB ∠=∠=︒，AD BD =，若A C m =，()BC n m n =<，求CD 的长（用含m ，n 的代数式表示）（4）如图⑤，90ACB ∠=︒，AC BC =，点P 为AB 的中点，若点E 满足13AE AC =，CE CA =，点Q 为AE 的中点，则线段PQ 与AC 的数量关系是 ．解：（1）由题意知：AC BC +，∴+=， 3CD ∴=；（2）连接AC 、BD 、AD ， AB 是O 的直径， 90ADB ACB ∴∠=∠=︒，AD BD =，AD BD ∴=，将BCD ∆绕点D 顺时针旋转90︒到AED ∆处，如图③，EAD DBC ∴∠=∠，180DBC DAC ∠+∠=︒，180EAD DAC ∴∠+∠=︒，E ∴、A 、C 三点共线，13AB =，12BC =，∴由勾股定理可求得：5AC =，BC AE =，17CE AE AC ∴=+=，EDA CDB ∠=∠，EDA ADC CDB ADC ∴∠+∠=∠+∠， 即90EDC ADB ∠=∠=︒，CD ED =，EDC ∴∆是等腰直角三角形，CE ∴，CD ∴=；（3）以AB 为直径作O ，连接OD 并延长交O 于点1D ， 连接1D A ，1D B ，1D C ，如图④由（2）的证明过程可知：1AC BC C +=，1D C ∴=， 又1D D 是O 的直径， 190DCD ∴∠=︒，AC m =，BC n =，∴由勾股定理可求得：222AB m n =+， 22221D D AB m n ∴==+，22211D C CD D D +=，22222()()22m n m n CD m n +-∴=+-=， m n <，CD ∴=；（4）当点E 在直线AC 的左侧时，如图⑤，连接CQ ，PC ，AC BC =，90ACB ∠=︒，点P 是AB 的中点，AP CP ∴=，90APC ∠=︒，又CA CE =，点Q 是AE 的中点， 90CQA ∴∠=︒，设AC a =， 13AE AC =， 13AE a ∴=， 1126AQ AE a ∴==，由勾股定理可求得：CQ =，由（2）的证明过程可知：AQ CQ +=，∴16a =，∴=；当点E 在直线AC 的右侧时，如图⑥，连接CQ 、CP ，同理可知：90AQC APC ∠=∠=︒，设AC a =，1126AQ AE a ∴==，由勾股定理可求得：CQ =，由（3）的结论可知：)PQ CQ AQ =-，∴AC =．综上所述，线段PQ 与AC 16AC +=16AC -=．。