八年级数学沪科版习题课件：第15章 轴对称图形与等腰三角形 综合训练 等腰三角形的性质与判定

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12、人乱于心，不宽余请。09:27:2709:27:2709:27Fri day, May 06, 2022
13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。22.5.622.5.609:27:2709:27:27May 6, 2022
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
14、抱最大的希望，作最大的努力。2022年5月6日 星期五 上午9时 27分27秒09:27:2722.5.6
12、人乱于心，不宽余请。09:27:2709:27:2709:27Fri day, May 06, 2022
13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。22.5.622.5.609:27:2709:27:27May 6, 2022
14、抱最大的希望，作最大的努力。2022年5月6日 星期五 上午9时 27分27秒09:27:2722.5.6
12、人乱于心，不宽余请。09:27:2709:27:2709:27Fri day, May 06, 2022
13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。22.5.622.5.609:27:2709:27:27May 6, 2022
14、抱最大的希望，作最大的努力。2022年5月6日 星期五 上午9时 27分27秒09:27:2722.5.6
15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。2022年5月 上午9时27分22.5.609:27May 6, 2022
16、业余生活要有意义，不要越轨。2022年5月6日 星期五9时27分 27秒09:27:276 May 2022
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。上 午9时27分27秒 上午9时27分09:27:2722.5.6
9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。22.5.622.5.6F riday, May 06, 2022

【点拨】本题应用分类讨论思想，分顶角为 70°和底角为70°两种情况，解题时易丢掉一 种情况而漏解．
11．【中考·杭州】在△ABC中，AC＜AB＜BC. (1)如图①，已知线段AB的垂直平分线与BC边交于
点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B. 证明：∵点P在AB的垂直平分线上， ∴PA＝PB， ∴∠PAB＝∠B. ∵∠APC＝∠PAB＋∠B， ∴∠APC＝2∠B.
(2)如图②，以点B为圆心，线段AB的长为半径 画弧，与BC边交于点Q，连接AQ.若∠AQC ＝3∠B，求∠B的度数．
解：根据题意，得BQ＝BA， ∴∠BAQ＝∠BQA， 设∠B＝x，则∠AQC＝∠B＋∠BAQ＝3x， ∴∠BAQ＝∠BQA＝2x，在△ABQ中，x＋2x
＋2x＝180°，解得x＝36°，∴∠B＝
【答案】D
*4.【中考·衢州】“三等分角”大约是在公元前五世纪由 古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪” 能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒 OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C 点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑 动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是( )
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EB＝EC.
(2)求∠AED的度数．
解：由(1)可知，AB＝BE，∠ABE＝30°， ∴∠BAE＝∠BEA＝75°.
同理，∠CDE＝∠CED＝75°. ∴∠AED＝360°－75°－75°－60°＝150°.
14．【中考·黄石】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，
E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段 BE的中点，
【答案】D
5．【中考·苏州】如图，在△ABC中，AB＝AC， D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度 数为( C )

八年级 数学 上册 沪科版
(1)解：∠ABE＝∠ACD. AB＝AC，
理由：在△ABE 和△ACD 中，∵∠A＝∠A， AE＝AD，
∴△ABE≌△ACD.(SAS) ∴∠ABE＝∠ACD.
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(2)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，由(1)可知∠ABE＝∠ACD， ∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC，又∵AB＝AC， ∴点 A，F 均在线段 BC 的垂直平分线上， 即直线 AF 垂直平分线段 BC.
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考点 4：含 30 度角的直角三角形 15．如图，一辆货车车厢底板离地面的高度为 1.5 m， 为了方便卸货，常用一块木板搭成一个斜面，要使 斜面与水平地面的夹角不大于 30°，则这块木板的长度至少为 ( A ) A．3 m B．2.5 m C．2.6 m D．0.75 m
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证明：连接 AP， 在△CAP 与△BAP 中，
CA＝BA，
∴AP＝AP， CP＝BP，
∴△CAP≌△BAP.(SSS) ∴∠CAP＝∠BAP， 又∵PE⊥AC，PD⊥AB，∴PE＝PD.
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考点 3：等腰(边)三角形的性质与判定 11．(瑞安期中)在△ABC 中，若∠A＝15°，∠B＝150°，则△ABC 是( A ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
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14．如图，已知等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 AD＝AE，连接 BE，CD，交于点 F. (1)判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系，并说明理由； (2)求证：过点 A，F 的直线垂直平分线段 BC.

(1)△ABC是等腰三角形吗？请说明理由；
解：△ABC是等腰三角形． 理由：∵ED⊥BC，DF⊥AC，∴∠BDE＝90°， ∠DFC＝90°. 在Rt△BDE和Rt△CFD中， BD＝CF BE＝CD， ∴Rt△BDE≌Rt△CFD(HL)．∴∠B＝∠C. ∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．
(2)连接EF，当∠A为多少度时，△DEF是等边三角形？
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9．【2021·蚌埠期末】如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC， 点E，F在直线BC上，且BE＝CF.
(1)求证：AF＝DE； 证明：∵BE＝CF，∴BE＋BC＝CF＋BC，即CE＝BF. 在Rt△ABF与Rt△DCE中， BF＝CE AB＝DC， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)，∴AF＝DE.
(1)求证：OC是∠AOB的平分线； 证明：在Rt△PDF和Rt△PEG中， ∵PF＝PG，DF＝EG，∴Rt△PDF≌Rt△PEG，∴PD＝PE. 又∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴点P在∠AOB的平分线上， 又∵P是OC上一点，∴OC是∠AOB的平分线．
(2)若PF∥OB，且PF＝4，∠AOB＝30°，求PE的长．
2．观察图①～④中的左右两个图形，它们是否成轴对称？ 如果是，请画出其对称轴．
【点拨】判断两个图形是否成轴对称，关键是理解、 应用两个图形成轴对称的定义，即看两个图形能否沿 一条直线折叠后重合．若重合，则两个图形关于这条 直线成轴对称，否则不成轴对称．
解：题图①②③中的左右两个图形成轴对称，题图④ 中的左右两个图形不成轴对称．题图①②③中成轴对 称的两个图形的对称轴如图所示．
解：∵AD＝CD，AB＝8，BC＝11， ∴△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋BC＝8＋11＝19.

∴∠B=∠C=600.
∴AB=AC=BC.
已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=600. 求证：AB=AC=BC. 证明：在△ABC中, ∵AB=AC， ∴∠B=∠C.（等边对等角） ∵∠B=600, ∴∠C=600, ∴∠A=600. ∴AB=AC=BC.
A
B
C
底角等于60°
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那么 它所对的直角边等于斜边的一半.
用符号语言表示为： 在△ABC中， ∵∠B=∠C,(已知)
∴ AC=AB.
(等角对等边)
B
你能证明 这一结论 吗？ A
C
已知：在△ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC.
A
证明：作∠BAC的平分线AD.
12
在△BAD和△CAD中，
∠1=∠2， ∠B=∠C， AD=AD，
B
D
C
∴△BAD≌△CAD.（AAS）
基础练习： 3.已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC. A
求证：AB=AD.
B
证明：∵AD∥BC ,（已知）
∴∠ADB=∠DBC.（两直线平行，内错角相等）
又∵BD平分∠ABC.（已知）
∴ ∠ABD=∠DBC.（角平分线定理）
∴∠ABD=∠ADB.（等量代换）
∴AB=AD.（等角对等边）
D C
可以找出∠B与∠C的关系.
B
C
基础练习： 2.已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，
∠1=∠2，AD∥BC.
求证：AB=AC.
E
证明：∵AD∥BC，
A1
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
2
D
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）.

13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。22.2.2822.2.2810:19:0310:19:03Februar y 28, 2022 14、抱最大的希望，作最大的努力。2022年2月28日 星期一 上午10时19分 3秒10:19:0322.2.28 15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。2022年2月 上午10时19分 22.2.2810:19F ebruar y 28, 2022 16、业余生活要有意义，不要越轨。2022年2月28日 星期一 10时19分3秒10:19:0328 February 2022 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。上 午10时19分3秒 上午10时19分 10:19:0322.2.28
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9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。22.2.2822.2.28Monday, February 28, 2022 10、低头要有勇气，抬头要有低气。10:19:0310:19:0310:192/28/2022 10:19:03 AM 11、人总是珍惜为得到。22.2.2810:19: 0310:1 9Feb-2 228-Fe b-22 12、人乱于心，不宽余请。10:19:0310:19:0310:19M onday, February 28, 2022
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13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。22.2.2822.2.2810:19:0310:19:03Februar y 28, 2022 14、抱最大的希望，作最大的努力。2022年2月28日 星期一 上午10时19分 3秒10:19:0322.2.28 15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。2022年2月 上午10时19分 22.2.2810:19F ebruar y 28, 2022 16、业余生活要有意义，不要越轨。2022年2月28日 星期一 10时19分3秒10:19:0328 February 2022 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。上 午10时19分3秒 上午10时19分 10:19:0322.2.28