高考数学刍甍、羡除、刍童楔形四棱台的体积公式

四棱台体积的计算公式
1 四棱台的概念
四棱台是几何学中的一种基本形体，棱台的一面与平面相接，另外三面分别由棱组成，因此也叫棱锥。

它是由一个矩形的底面和四个相互垂直的棱构成的，因此它也被称作“矩形棱锥”。

2 四棱台体积的计算
矩形棱锥的体积可以通过以下公式计算：V=1/3*AH，其中V表示四棱台体积，A表示棱锥底面积，H表示高。

要计算四棱台体积，先要计算底面积。

若为正方形，则底面积=边长的平方；若为长方形，则底面积=长*宽。

然后用公式V=1/3*AH，将底面积A和高H带入，就可以计算出四棱台体积V了。

3 总结
四棱台是几何学中的一种基本形体，广泛应用于工程计算中。

要计算出四棱台体积，可以通过计算其底面积，再用体积计算公式
V=1/3*AH，将底面积和高带入，即可计算出四棱台的体积。

四棱台体积的计算公式参考资料
四棱台是一种由两个平行四边形和四个等腰梯形所组成的立体
图形，其体积的计算需要用到一定的数学公式。

以下是一些计算四棱台体积的参考资料：
1. 基本公式：四棱台的体积 = [(上底 + 下底) ×高] ÷ 2
2. 推导公式：四棱台的体积 = [(底面积 + 上面积 + 侧面积) ÷ 3] ×高
3. 具体计算方法：先算出上底和下底的面积，然后求出它们的
平均值，再乘以高，最后除以2，即可得到四棱台的体积。

4. 实例计算：如果一个四棱台的上底长为10cm，下底长为20cm，高为15cm，那么它的体积为 [(10+20)×15]÷2 = 225cm。

以上是关于计算四棱台体积的一些参考资料，希望对您有所帮助。

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刍蔓、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式见甘志国著《立体几何与组合》(哈工大，2014)第48-52页高考题1 (2013 ••文・20)如图1,某地质队自水平地面儿B, C三处垂直向地下钻探,自月点向下钻到川处发现矿藏，再继续下钻到川处后下面已无矿，从而得到在力处正下方的矿层厚度为儿4=山.同样可得在B、C处正下方的矿层厚度分别为3力2=仏，CG=\且<d2<d i.过A3, AC的中点M, N且与直线人九平行的平面截多面体4BC—入毘G所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中.(I) 证明：中截面D£FG是梯形；(II) 在△/!%中，记BC = “，滋边上的高为爪面积为S.在估测三角形ABC区域正下方的矿藏储量(即多面体AB,C,-AB2C2的体积V )时，可用近似公式来估算.已知V吕(山+仏+〃"，试判断％与卩的大小关系，并加以证明.请问，该題中的V = 1(J,+J1+J,)S即1/ =丄必(4+厶+〃3)是怎么来的呢？这由下面3 6推导的羨除体积公式立得.《九章算术•商功》篇有部分题目涉及到刍爰、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式, 这些公式汉时人都已掌握，下面来推导它们.1 .刍莞刍叠是图2中的五面体ABCDEF、其中ABHDC//EF.底面ABCD是平行四边形. 设AB = a9直线AB. CD之间的距离是力，直线与平面ABCD之间的距离是则证明如图3.设点E、F在面ABCD上的射影分别是点EF・我们把平面ABCD 分成三块区域：区域/指该平面位于直线AD 左侧的部分(不包括直 线AD).区域〃指该平面夹在直线AD. BC 之间的部分(包括直线这两条直线)，区域〃/ 指该平面位于直线BC 右侧的部分(不包括直线BC).应分六种情形来证明：(1) 点EF 均位于区域/;(2) 点E'位于区域/,点F 位于区域〃；(3) 点£'位于区域/,点F 位于区域/〃；⑷点均位于区域〃；(5) 点F 位于区域〃，点F 位于区域〃/；(6) 点均位于区域〃/.下面只对情形(5)予以证明：过点E'作GH 丄CD 于交A 〃于G ；过点F 作〃丄CQ 于/,交于丿，得GH=h 、EE' = H ，所以U =怯 二棱柱 EGH-PJI +(%g 梭勒— Mq 梭側〃 c ・)= —（^AGHD 一 S B 〃C ）= © + 〒（*ABCD 一 ^GJIH ）=Hh H … 八 Hh_ 、=——c + — （ah-ch ）=——（2o + c ）2 3 6中的五面体ABCDEF,其中AB//DC//EF.底面ABCD 是梯形.设AB = a,DC = b(a>b),直线AB. CD 之间的距离是力，直线与平面ABCD 之间的如图5,延长CD 至/?,使AB = RC,得刍製ABCREF,由刍耋的体积公式，得17 ” ” Hh H (a-b)h HhI = V^ABCREF _ V ： .^E-ADR =二~("十 _ 三 --------- j — = =-(& + b + C ) 注 羨除的体积公式是由刍耋的体积公式推得的；当羨除的下底面梯形变成平行四边形 (即图4中的a = b )时，羨除就变成了刍曼，也得刍曼的体积公式是羨除的体积公式的极限Hh——c +2 证毕！2.羨除羨除是图情形.3.刍童刍童是图6中的六面体ABCD-A!B9CD9,其中面ABCD〃面A!B9CD r ,底面ABCD、底面A'B'CD均是平行四边形.设AB = a.A,B' = b,面A3、CD之间的距离是h , A f B\ C77之间的距离是力‘，面ABCD、A!B9CD f之间的距离是则其体积证明如图7,可得面ABA!B f与平行平面ABCD、A0CD的交线43、平行. 所以AB' // CD •连结A'D, B'C.由刍憂的体积公式，得HV = + 匕沁CZM'JJ'CTT =石| (2d + d )力 + (2d +0)11 ]注刍童的体积公式是由刍耋的体积公式推得的；当刍童的上底面平行四边形变成线段 (即图4中的方' = 0)时，刍童就变成了刍曼，也得刍叠的体积公式是刍童的体积公式的极限情形.4.楔形四棱台楔形四棱台是图8中的六面体ABCD-AB f CD f t其中面ABCD〃面XB,CD,,底面ABCD、底面A'B'CQ'均是梯形.设AB = a,CD = b、A'B'= b,C'D'= b',面AB、CD 之间的距离是力，A!B\ CQ'之间的距离是力‘，面ABCD. AB'C^之间的距离是H,图8证明如图9,可得A'B‘〃CD•连结A f D. B f C.由羨除的体积公式，得HV =妝除 BEG +$ 除如86 =石［(d + b + NM + S + F + b)/门注楔形四棱台的体枳公式是由羨除的体积公式推得的；当楔形四棱台的上底面的梯形变成线段（即图4中的// = 0）时，楔形四棱台就变成了羨除，也得刍耋的体积公式是楔形四棱台的体积公式的极限情形.由刍爰的体积公式可推得羨除、刍童、楔形四棱台的体积公式，由楔形四棱台的体积公式也可推得刍耋的体积公式.高考题2 （2013 -全国卷•文理・4）如图10,在多面体ABCDEF中，已知A3CD是边长为1的正方形，且MDE、A5CF均为正三角形，EF〃AB、EF=2,则该多面体的体积为（）图10解A.由刍耋的体积公式可得（先算得H=：）.2高考题3 （1999 -全国卷•文理・10）如图11,在多面体ABCDEF中，已知面ABCD3是边长为3的正方形，EFHAB,EF = -. EF与面ABCD的距离为2,则该多面体的体积为（图11解D.由刍叠的体积公式可得.美国邀请赛题图12中的多面体的底面是边长为s的正方形，上面的棱平行于底面, 其长为2s,其余棱长也都为s,若5 = 6^,求这个多面体的体积.解288.由魏的体积公式可得（先算得H =¥$）•在该题中，当S"时就是高考題。

常用体积及表面积计算公式一些数学的体积和表面积计算公式3 立方图形名称符号面积S和体积V正方体 a－边长 S＝6a2 V＝a3长方体 a－长 b－宽 c－高 S＝2(ab+ac+bc)V＝abc棱柱 S－底面积 h－高 V＝Sh棱锥 S－底面积 h－高 V＝Sh/3棱台 S1和S2－上、下底面积h－高 V＝h[S1+S2+(S1S2)1/2]/3正棱台拟柱体 S1－上底面积 S2－下底面积 S0－中截面积 h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6圆柱 r－底半径 h－高 C—底面周长S底—底面积 S侧—侧面积S表—表面积C＝2πrS底＝πr2 S侧＝Ch S表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr2h空心圆柱 R－外圆半径 r－内圆半径h－高V＝πh(R2-r2)直圆锥 r－底半径 h－高V＝πr2h/3圆台 r－上底半径 R－下底半径 h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3球 r－半径 d－直径V＝4/3πr3＝πd2/6球缺 h－球缺高 r－球半径 a－球缺底半径V＝πh(3a2+h2)/6 ＝πh2(3r-h)/3 a2＝h(2r-h)球台 r1和r2－球台上、下底半径 h－高V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6圆环体 R－环体半径 D－环体直径 r －环体截面半径 d－环体截面直径V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4桶状体 D－桶腹直径 d－桶底直径 h －桶高V＝πh(2D2＋d2)/12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15 (母线是抛物、、长方形的周长=（长+宽）×2正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积=底×高÷2平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2圆周率×半径×2圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2长方体的体积=长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C＝4aS＝a2长方形a和b－边长C＝2(a+b)S＝ab三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2·sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA)四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα平行四边形a,b－边长h－a边的高α－两边夹角S＝ah＝absinα菱形a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长S＝Dd/2＝a2sinα梯形a和b－上、下底长h－高m－中位线长S＝(a+b)h/2＝mh圆r－半径d－直径C＝πd＝2πr扇形r—扇形半径a—圆心角度数C＝2r＋2πr×(a/360)S＝πr2×(a/360)弓形l－弧长b－弦长h－矢高r－半径α－圆心角的度数S＝r2/2·(πα/180-sinα) ＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2＝r(l-b)/2 + bh/2≈2bh/3圆环R－外圆半径r－内圆半径D－外圆直径d－内圆直径S＝π(R2-r2)＝π(D2-d2)/4椭圆D－长轴d－短轴S＝πDd/4立方图形名称符号面积S和体积V正方体a－边长S＝6a2V＝a3长方体a－长b－宽c－高S＝2(ab+ac+bc)V＝abc棱柱S－底面积h－高V＝Sh棱锥S－底面积h－高V＝Sh/3棱台S1和S2－上、下底面积h－高V＝h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3拟柱体S1－上底面积S2－下底面积S0－中截面积h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6圆柱r－底半径h－高C—底面周长S底—底面积S侧—侧面积S表—表面积C＝2πrS表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr2h空心圆柱R－外圆半径r－内圆半径h－高V＝πh(R2-r2)直圆锥r－底半径h－高V＝πr2h/3圆台r－上底半径R－下底半径h－高V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3球r－半径d－直径V＝4/3πr3＝πd2/6球缺h－球缺高r－球半径a－球缺底半径V＝πh(3a2+h2)/6＝πh2(3r-h)/3a2＝h(2r-h)球台r1和r2－球台上、下底半径h－高V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6圆环体R－环体半径D－环体直径r－环体截面半径d－环体截面直径V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4桶状体D－桶腹直径d－桶底直径h－桶高V＝πh(2D2＋d2)/12(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V＝πh(2D2＋Dd＋3d2/4)/15(母线是抛物线形)棱台体体积计算公式：V=（1/3）H（S上＋S下＋√[S上×S下]）H是高，S上和S下分别是上下底面的面积。

正四棱台公式好的，以下是为您生成的关于“正四棱台公式”的文章：在咱们的数学世界里，正四棱台公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们解开很多有趣的谜题。

先来说说啥是正四棱台吧。

想象一下，有一个四棱锥，从中间给它“切一刀”，上面小，下面大，这就形成了一个正四棱台。

它的样子就像一个被压扁了一点的金字塔。

正四棱台的体积公式是：V = 1/3×h×(S₁ + S₂ + √(S₁×S₂)) 。

这里的V 代表体积，h 是正四棱台的高，S₁是上底面积，S₂是下底面积。

我还记得有一次，我带着一群小朋友在课堂上学习正四棱台公式。

我拿了一个用泡沫做的正四棱台模型，问孩子们：“咱们怎么才能知道这个家伙能装多少东西呀？”小朋友们都瞪大眼睛，一脸的好奇和困惑。

有个小家伙举起手说：“老师，我们把它装满水，然后倒出来量一量！”这想法不错，可不太实际。

我笑着摇摇头，开始给他们讲解这个公式。

“咱们先看看上面这个小面和下面这个大面的大小。

”我拿着尺子比划着，“这就是 S₁和 S₂。

然后再量一量从上面到下面有多高，这就是 h 。

把这些数字带进去，就能算出它能装多少啦。

”孩子们似懂非懂地点点头，我让他们自己动手画几个正四棱台，标上尺寸，试着用公式计算体积。

有个小女孩算错了，急得快哭了。

我走过去，轻轻拍拍她的肩膀说：“别着急，咱们再看看，是不是哪里粗心啦？” 经过仔细检查，原来是她把上底面积算错了。

重新算过后，她开心地笑了。

在实际生活中，正四棱台公式也很有用呢。

比如说建筑工人要建一个四棱台形状的花坛，就可以用这个公式算出需要多少土来填满它。

还有工厂里做一些四棱台形状的零件，也得靠这个公式来计算材料的用量。

学习正四棱台公式，就像是掌握了一项超能力，能让我们在面对各种和四棱台有关的问题时，都能轻松应对，找到答案。

总之，正四棱台公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去理解，多做练习，就能把它运用得得心应手，让数学为我们的生活带来更多的便利和乐趣。

刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式题1 (2013年高考湖北卷文科第20题)如图1，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =，123C C d =，且123d d d <<. 过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A B C A B C -所得的截面D E F G 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中．图1(1)证明：中截面D EFG 是梯形；(2)在△ABC 中，记BC a =，BC 边上的高为h ，面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -的体积V ）时，可用近似公式V S h =⋅估中来估算. 已知1231()3V d d d S =++，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.笔者关心的是：该题中的1231()3V d d d S =++即)(61321d d d ah V ++=是怎么来的呢？这由下面推导的羨除体积公式立得.题2 (2002年高考北京卷文科第18题)如图2，在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b 且a ＞c ，b ＞d ，两底面间的距离为h .. (1)求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角正切值；(2)在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体积公式是6hV =（S 上底面+4S 中截面+S 下底面），试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明. （注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.）图2题3 (2002年高考北京卷理科第18题)如图3，在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E ，F 两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b 且a ＞c ，b ＞d ，两底面间的距离为h ..(1)求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角的大小； (2)证明：EF//面ABCD(3)在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体积公式是6hV =（S 上底面+4S 中截面+S 下底面），试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明. （注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.）图3笔者关心的是：高考题2,3中的6hV =（S 上底面+4S中截面+S下底面）即[(2)(2)]6hV a c b c a d =+++是怎么来的呢？这由下面推导的刍童体积公式立得.《九章算术·商功》篇有部分题目涉及到刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式，这些公式秦汉时人都已掌握，下面来推导它们.1.刍甍刍甍是图4所示中的五面体ABCDEF，其中EF DC AB ////，底面ABCD 是平行四边形.设a AB =，直线CD AB 、之间的距离是h ，直线EF 与平面ABCD 之间的距离是H ，则其体积)2(6c a HhV +=.图4证明 如图5所示.设点F E ,在面ABCD 上的射影分别是点F E '',.图5我们把平面ABCD 分成三块区域：区域I 指该平面位于直线AD 左侧的部分(不包括直线AD )，区域II 指该平面夹在直线BC AD 、之间的部分(包括直线这两条直线)，区域III 指该平面位于直线BC 右侧的部分(不包括直线BC ).应分六种情形来证明： (1)点F E '',均位于区域I ；(2)点E '位于区域I ，点F '位于区域II ； (3)点E '位于区域I ，点F '位于区域III ；(4)点F E '',均位于区域II ；(5)点E '位于区域II ，点F '位于区域III ；(6)点F E '',均位于区域III .下面只对情形(5)予以证明：过点E '作CD GH ⊥于H '，交AB 于G ；过点F '作CD IJ ⊥于I ，交AB 于J ，得H E E h GH ='=,，所以=-+=-)(BJIC AGHD FJI EGH V V V V 四棱锥四棱锥直三棱柱=-+=-+)(32)(32GJIH ABCD BJIC AGHD S S Hc Hh S S H c Hh )2(6)(32c a Hh ch ah H c Hh +=-+=证毕！ 2.羨除羨除是图6所示中的五面体ABCDEF，其中EF DC AB ////，底面ABCD 是梯形.设)(,b a b DC a AB >==，直线CD AB 、之间的距离是h ，直线EF 与平面ABCD 之间的距离是H ，则其体积)(6c b a HhV ++=.图6证明 用补形法可证.图7如图7所示，延长CD 至R ，使RC AB =，得刍甍ABCREF ，由刍甍的体积公式，得)(62)(3)2(6c b a Hh h b a H c a Hh V V V ADRE ABCREF ++=-⋅-+=-=-三棱锥刍甍注 羨除的体积公式是由刍甍的体积公式推得的；当羨除的下底面梯形变成平行四边形时(即图4所示中的b a =时的情形)，羨除就变成了刍甍，也得刍甍的体积公式是羨除的体积公式的极限情形.3.刍童刍童是图8所示中的六面体D C B A ABCD ''''-，其中面//ABCD面D C B A ''''，底面A B C D 、底面D C B A ''''均是平行四边形.设b B A a AB =''=,，直线CD AB 、之间的距离是h ，D C B A ''''、之间的距离是h '，面D C B A A B C D ''''、之间的距离是H，则其体积])2()2[(6h a a h a a HV '+'+'+=.图8证明 如图9所示，可得面A B AB ''与平行平面D C B A ABCD ''''、的交线B A AB ''、平行,所以CD B A //''.连结C BD A '',.图9由刍甍的体积公式，得])2()2[(6h a a h a a HV V V D C B A CD ABCD A B '+'+'+=+=''''''刍甍刍甍 注 刍童的体积公式是由刍甍的体积公式推得的；当刍童的上底面平行四边形变成线段时(即图4所示中的0='h 时的情形)，刍童就变成了刍甍，也得刍甍的体积公式是刍童的体积公式的极限情形. 4.楔形四棱台楔形四棱台是图10所示中的六面体D C B A ABCD ''''-，其中面//ABCD 面D C B A ''''，底面A B C D 、底面D C B A ''''均是梯形.设b D C b B A b CD a AB '=''=''==,,,，面CD AB 、之间的距离是h ，D C B A ''''、之间的距离是h '，面D C B A A B C D ''''、之间的距离是H ，则其体积])()[(6h b b a h a b a HV '+'+'+'++=.图10 图11证明 如图11所示，可得CD B A //''.连结C B D A '',.由羨除的体积公式，得])()[(6h b b a h a b a HV V V D C B A CD ABCD A B '+'+'+'++=+=''''''羡除羡除 注 楔形四棱台的体积公式是由羨除的体积公式推得的；当楔形四棱台的上底面的梯形变成线段时(即图4中的0='h 时的情形)，楔形四棱台就变成了羨除，也得刍甍的体积公式是楔形四棱台的体积公式的极限情形.由刍甍的体积公式可推得羨除、刍童、楔形四棱台的体积公式，由楔形四棱台的体积公式也可推得刍甍的体积公式.题4 (1999年高考全国卷文科、理科第10题)如图12所示，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，23,//=EF AB EF ，EF 与面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )A.29 B.5 C.6 D.215图12解 D.由刍甍的体积公式可得.题5 (2007年全国高中数学联赛江苏赛区复赛第一试第9题)如图13，在多面体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，3//,2EF AB EF =.若该多面体的体积为152，则EF 与AC 的距离为 .图13解 2.设直线EF 与平面AC 的距离为H ，由刍甍的体积公式可得153323262H ⋅⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭2H =进而可得：异面直线,EF AC 的距离为2H =.题6 (2005年高考全国卷I 理科第4题即文科第5题)如图14，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形，EF //AB ，EF =2，则该多面体的体积为( )A.32 B.33C.34D.23图14解 A.设棱,A D B C的中点分别是,S T ，在等腰梯形EFTS 中可得1,2,S T E F E S ===EF 与平面ABCD 的距离22=H . 所以由刍甍的体积公式可得多面体ABCDEF的体积为12(212)6⋅+=题7 (1983年美国邀请赛题)图15中的多面体的底面是边长为s 的正方形，上面的棱平行于底面，其长为s 2，其余棱长也都为s ，若26=s ，求这个多面体的体积.图15解 288.由刍甍的体积公式可得(先算得s H 22=).在该题中，当1=s 时就是高考题2.。

《九章算术》中的刍童、刍甍、羡除作者：甘大旺来源：《中学数学杂志(高中版)》2016年第04期2015年湖北省高考数学试卷文科第20题、理科第19题引入了《九章算术》中的“阳马”和“鳖臑”，这两个被多数同行认为的“新”名称的最近发展区是呼之欲出的刍童、刍甍、羡除.大约在25年前，我当时所在的湖北省咸宁高中数学组的几位老师就探讨着一类想象的六面体：两个平行底面是相似矩形、两组相对侧面分别是全等梯形的六面体一定是四棱台吗？经过争论和尝试后，我们画出下列两图：先画出两底面为长方形且两底面中心连线（对称轴）垂直于两底面的四棱台ABCD—A1B1C1D1（如图1），再将其上底面矩形A1B1C1D1绕对称轴按逆时针方向旋转90°，便可伴随得到“两个平行底面是相似矩形、两组相对侧面分别是全等梯形的六面体”（如图2），但这个六面体却不是四棱台.于是，我们当时统一了观点，所探讨的六面体不一定是四棱台.但是，这样旋转得到的六面体是否有一个名称呢？我们当时并不知道！若干年之后，我阅读相关数学史书籍，才知晓我国于公元前一世纪编成、公元一世纪修订的世界性名著《九章算术》上有着相关上述六面体的内容.用《九章算术》的名称，上述旋转得到的六面体是一种刍童.图1图2形似“草垛”的所谓刍童（包括曲池、盘池、冥谷），就是恰有两个矩形底面（不能全为正方形）、四条侧棱的延长线不交于一点的六面体[1][2].刍童的两个底面所在的平面互相平行，其实对于几何图形中所说的“两底”都默认其所在平面互相平行；刍童的四个侧面是梯形或平行四边形，但不能全为平行四边形（否则就退化成平行六面体）；刍童的四条侧棱所在直线交于两点（一个底面矩形的长、宽与另一个底面矩形的平行棱的大小关系不相反）或四点（一个底面矩形的长、宽与另一个底面矩形的平行棱的大小关系相反）.例1（2002年北京市高考题）如图3，在多面体ABCD—A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E、F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c、d与a、b，且a>c，b>d，两底面间距离为h.（1）证明：EF∥平面ABCD；（2）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V估=S中截面·h来计算，已知它的体积公式是V=16（S上底面+4S中截面+S下底面）·h，（Ⅰ）试判断V估与V的大小关系.审题①六面体ABCD—A1B1C1D1是一个刍童，四条侧棱所在直线交于两点，而不是交于四点；②公式（Ⅰ）是任意拟柱体的一般体积公式.解（1）由于下底面ABCD是矩形，则AB∥CD，则AB∥平面CDEF（线面平行的判定定理）.又因为平面ABFE∩平面CDEF=EF，则AB∥EF（线面平行的性质定理），即EF∥AB，则EF∥平面ABCD（线面平行的判定定理）.（2）根据梯形的中位线定理得到S中截面=a+c2·b+d2=ab+ad+bc+cd4，则V估-V=S中截面h-16（S上底面+4S中截面+S下底面）h=h6（2S中截面-S上底面-S下底面）=h6（ab+ad+bc+cd2-ab-cd）=h12（-ab+ad+bc-cd）.=-h12（a-c）（b-d）c，b>d）.所以，V估补注①此题可以启发我们领悟到刍童的一个性质——刍童的四条侧棱所在直线交于两点或四点，底面同侧的两点连线必定平行于底面；②根据拟柱体的一般体积公式（Ⅰ）可以推导出刍童特有求体积之“术”，请见下面的定理.定理1如图4和图5，如果刍童的高为h，下底面矩形的长为a1、宽为b1，上底面矩形的长为a2、宽为b2，那么此刍童的体积是[1][2]V=16[（2a1+a2）b1+（a1+2a2）b2]h.（Ⅱ）《九章算术》对于问题只给出“术”与终答，而对“术”却不证自明.下面补遗证明定理1.证明由于刍童是一类拟柱体，则运用公式（Ⅰ）得到V=16（S上底面+4S中截面+S下底面）·h=16（a1b1+4·a1+a22·b1+b22+a2b2）·h=16[a1b1+（a1b1+a1b2+a2b1+a2b2）+a2b2）]·h=16[（2a1+a2）b1+（a1+2a2）b2]h，所以，公式（Ⅱ）正确，故定理1证毕.如下列两图，将图6刍童ABCD-A1B1C1D1的两个顶点A1与D1合拢成一点E，同时将两个顶点B1与C1合拢成一点F，便形成图7而得到一个五面体EF—ABCD.按照《九章算术》的说法，这个由刍童退化演变出来的五面体是一个广义的刍甍.形似“草脊”的所谓刍甍，就是唯一顶棱平行于唯一矩形底面、三条平行棱不全等长的五面体.这是广义的刍甍，《九章算术》中狭义的刍甍还要限制顶棱的长度小于与它平行的两条等棱的长度[2]，此限制条件对于后面的体积公式（Ⅳ）没有影响.例2（2007年江苏省竞赛题改编题，1999年全国高考题）如图8，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=32，EF与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为.解作两个平行四边形AB1FE与DC1FE（图略），连B1C1，则题设的多面体（刍甍）EF—ABCD可以由四棱锥F—BB1C1C和三棱柱ADE—B1C1F所拼成，其中该三棱柱的直截面的底边长为3、高为2，于是所求多面体的体积为VEF—ABCD=VF-BB1C1C+VADE-B1C1F=13S矩形BB1C1C·2+S直截面·32=13·3·（3-32）·2+3·22·32=152（平方单位）.补注①在此例中，把矩形ABCD和线段EF放在距离等于2的两个平行平面中任意平行移动，刍甍EF-ABCD的体积都不会改变；②狭义的刍甍体积可以这样分割求得，那么另一类不狭义的刍甍体积是否也可以通过拼补求得呢？定理2在刍甍CC1-AA1B1B中，底面矩形的两边AA1=a、AB=l，顶棱CC1=c，顶棱CC1到底面AA1B1B的距离为h，则该刍甍的体积为[2]V=16（2a+c）lh.（Ⅲ）证明当c>a时，如图9，延长AA1至A0、延长BB1至B0，使AA0=BB0=CC1=c，连A0B0，则ABC—A0B0C1是三棱柱且其直截面三角形的底边长为l、高也为h，则此时刍甍CC1—AA1B1B的体积为V=VABC-A0B0C1-VC1-A1A0B0B1=S直截面·c-13·SA1A0B0B1·h=lh2·c-13·（c-a）l·h=16（2a+c）lh.当c对刍甍进行泛化想象（图略），假如将刍甍的底面矩形替换为底面梯形且刍甍有三条棱两两平行，那么《九章算术》把这种五面体称为羡除.形似“楔体”的所谓羡除，就是三个侧面都是梯形或平行四边形（其中最多只有一个平行四边形）、两个不平行对面是三角形的五面体[1][2].还能够想象，羡除可以由三棱柱的三个侧面与其两个三角形截面所围成的凸五面体，羡除是三棱柱的泛化图形，三棱柱是羡除的退化图形.《九章算术》给出求羡除体积的“术”是：“并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一”.其中的“广”是指羡除的三条平行侧棱之长、“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离、“袤”是指这两条侧棱所在平行线之距.用现代语言描述，就是——定理3在羡除ABC—A1B1C1中，AA1∥BB1∥CC1，AA1=a，BB1=b，CC1=c，两条平行线AA1与BB1间的距离为l，直线CC1到平面AA1B1B的距离为h，则该羡除的体积为[1][2]V=16（a+b+c）lh.（Ⅳ）受定理2的证明过程的启发，下面因势利导地来推导羡除的体积公式.证明如图11，在羡除ABC-A1B1C1中，当c是a、b、c的最小者时，在棱AA1、BB1上分别取点A0、B0使得AA0=BB0=CC1=c，连A0B0，则此时羡除ABC-A1B1C1的体积为VABC—A1B1C1=VABC—A0B0C1+VC1—A1A0B0B1=S直截面·c+13·SA1A0B0B1·h=lh2·c+13·（a-c）+（b-c）2l·h=（c2+a+b-2c6）lh=16（a+b+c）lh.当c不是a、b、c的最小者时，不妨设b是a、b、c的最小者，令两条平行线AA1与CC1间的距离为l1，直线BB1到平面AA1C1C的距离为h1，则同理可证VABC—A1B1C1=16（a+b+c）l1h1.又因为l1h1=2S正截面=lh（为定值），则此时也有VABC—A1B1C1=16（a+b+c）lh.总之，定理3证毕.例3（2009年南京大学自主招生题）在四面体ABCD中，平行于AB与CD的平面π截该四面体得到截面EFGH，AB到π的距离为d1，CD到π的距离为d2，且d1=kd2.求立方体图形AB—EFGH与四面体ABCD的体积之比（用k表示）.图12解如图12，设两条异面直线AB、CD的距离与夹角分别为d与θ，则借用四面体的外接平行六面体可求得四面体ABCD的体积[3]为VABCD=d·AB·CD6·sinθ.这里，d=d1+d2.由于平行四边形EFGH的较小内角是θ，则两条平行线EF与GH间的距离l=EH·sinθ，根据已知条件、定理3、相似比求得VAB-EFGH=VAEH-BFG=16（AB+EF+GH）·l·d1=16（AB+2·EF）·（EH·sinθ）·d1=AB6·（1+2·d2d1+d2）（d1·CDd1+d2·sinθ）d1=VABCD·d1+3d2d1+d2·（d1d1+d2）2=VABCD·k2（k+3）（k+1）2.所以，立方体图形AB—EFGH与四面体ABCD的体积之比为k2（k+3）（k+1）2.补注命题组采用添加辅助线AF、AG、EG的方法解答此题，读者可对比阅读.回味上述定理，顿悟到可以由定理3证明定理2和定理1；经检验，公式（Ⅳ）也适合刍甍和三棱柱，于是我们可以概括出一个统一的结论——定理4在五面体ABC—A1B1C1中，AA1∥BB1∥CC1，AA1=a，BB1=b，CC1=c，且三条平行线AA1、BB1、CC1的直截面三角形的面积为S直截面，则该五面体（三棱柱、刍甍、羡除）的体积为V=13（a+b+c）S直截面.（Ⅴ）考虑篇幅，最后把例题改作习题留给读者探究.1.（2005年全国高考题改编题，1983年美国邀请赛题）图13的多面体的底面是边长为s 的正方形，上面的棱平行于底面，其长为2s，其余棱长也都为s，若s=62，求这个多面体的体积.图13图142.（2015年安徽省竞赛题）在如图14所示的多面体ABCDEF中，已知AD，BE，CF都与平面ABC垂直.设AD=a，BE=b，CF=c，AB=AC=BC=1.求四面体ABCE与BDEF公共部分的体积（用a，b，c表示）.3.（2013年湖北省文科高考题）如图15，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=d1.同样可得在B，C处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2，C1C2=d3，d1点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1—A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中.（Ⅰ）证明：中截面DEFG是梯形；（Ⅱ）在△ABC中，记BC=a，BC边上的高为h，面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量（即多面体A1B1C1—A2B2C2的体积V）时，可用近似公式V估=S中·h来估算.已知V=13（d1+d2+d3）S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明.参考文献[1]李文林.数学史概论[M].北京：高等教育出版社，2002：76～78[2]郭书春.中国传统数学史话[M].北京：中国国际广播出版社，2012：40～42[3]甘大旺.高考数学150专题[M].武汉：湖北教育出版社，2015：145。

刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式题1 (2013年高考湖北卷文科第20题)如图1，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方的矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方的矿层厚度分别为122B B d =，123C C d =，且123d d d <<. 过AB ，AC 的中点M ，N 且与直线2AA 平行的平面截多面体111222A BC A B C -所得的截面DEFG 为该多面体的一个中截面，其面积记为S 中．图1(1)证明：中截面DEFG 是梯形；(2)在△ABC 中，记BC a =，BC 边上的高为h ，面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方的矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -的体积V ）时，可用近似公式V S h =⋅估中来估算. 已知1231()3V d d d S =++，试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.笔者关心的是：该题中的1231()3V d d d S =++即)(61321d d d ah V ++=是怎么来的呢？这由下面推导的羨除体积公式立得.题2 (2002年高考北京卷文科第18题)如图2，在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b 且a ＞c ，b ＞d ，两底面间的距离为h .. (1)求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角正切值；(2)在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体积公式是6hV =（S 上底面+4S 中截面+S 下底面），试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明. （注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.）图2题3 (2002年高考北京卷理科第18题)如图3，在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E ，F 两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b 且a ＞c ，b ＞d ，两底面间的距离为h ..(1)求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角的大小； (2)证明：EF//面ABCD(3)在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体积公式是6hV =（S 上底面+4S 中截面+S 下底面），试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明. （注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.）图3笔者关心的是：高考题2,3中的6hV =（S 上底面+4S中截面+S下底面）即[(2)(2)]6hV a c b c a d =+++是怎么来的呢？这由下面推导的刍童体积公式立得.《九章算术·商功》篇有部分题目涉及到刍甍、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式，这些公式秦汉时人都已掌握，下面来推导它们.1.刍甍刍甍是图4所示中的五面体ABCDEF，其中EF DC AB ////，底面ABCD 是平行四边形.设a AB =，直线CD AB 、之间的距离是h ，直线EF 与平面ABCD 之间的距离是H ，则其体积)2(6c a HhV +=.图4证明 如图5所示.设点F E ,在面ABCD 上的射影分别是点F E '',.图5我们把平面ABCD 分成三块区域：区域I 指该平面位于直线AD 左侧的部分(不包括直线AD )，区域II 指该平面夹在直线BC AD 、之间的部分(包括直线这两条直线)，区域III 指该平面位于直线BC 右侧的部分(不包括直线BC ).应分六种情形来证明： (1)点F E '',均位于区域I ；(2)点E '位于区域I ，点F '位于区域II ； (3)点E '位于区域I ，点F '位于区域III ；(4)点F E '',均位于区域II ；(5)点E '位于区域II ，点F '位于区域III ；(6)点F E '',均位于区域III .下面只对情形(5)予以证明：过点E '作CD GH ⊥于H '，交AB 于G ；过点F '作CD IJ ⊥于I ，交AB 于J ，得H E E h GH ='=,，所以=-+=-)(BJIC AGHD FJI EGH V V V V 四棱锥四棱锥直三棱柱=-+=-+)(32)(32GJIH ABCD BJIC AGHD S S Hc Hh S S H c Hh )2(6)(32c a Hh ch ah H c Hh +=-+=证毕！ 2.羨除羨除是图6所示中的五面体ABCDEF，其中EF DC AB ////，底面ABCD 是梯形.设)(,b a b DC a AB >==，直线CD AB 、之间的距离是h ，直线EF 与平面ABCD 之间的距离是H ，则其体积)(6c b a HhV ++=.图6证明 用补形法可证.图7如图7所示，延长CD 至R ，使RC AB =，得刍甍ABCREF ，由刍甍的体积公式，得)(62)(3)2(6c b a Hh h b a H c a Hh V V V ADRE ABCREF ++=-⋅-+=-=-三棱锥刍甍注 羨除的体积公式是由刍甍的体积公式推得的；当羨除的下底面梯形变成平行四边形时(即图4所示中的b a =时的情形)，羨除就变成了刍甍，也得刍甍的体积公式是羨除的体积公式的极限情形.3.刍童刍童是图8所示中的六面体D C B A ABCD ''''-，其中面//ABCD 面D C B A ''''，底面A B C D 、底面D C B A ''''均是平行四边形.设b B A a AB =''=,，直线CD AB 、之间的距离是h ，D C B A ''''、之间的距离是h '，面D C B A A B C D ''''、之间的距离是H，则其体积])2()2[(6h a a h a a HV '+'+'+=.图8证明 如图9所示，可得面A B AB ''与平行平面D C B A ABCD ''''、的交线B A AB ''、平行,所以CD B A //''.连结C BD A '',.图9由刍甍的体积公式，得])2()2[(6h a a h a a HV V V D C B A CD ABCD A B '+'+'+=+=''''''刍甍刍甍 注 刍童的体积公式是由刍甍的体积公式推得的；当刍童的上底面平行四边形变成线段时(即图4所示中的0='h 时的情形)，刍童就变成了刍甍，也得刍甍的体积公式是刍童的体积公式的极限情形. 4.楔形四棱台楔形四棱台是图10所示中的六面体D C B A ABCD ''''-，其中面//ABCD 面D C B A ''''，底面A B C D 、底面D C B A ''''均是梯形.设b D C b B A b CD a AB '=''=''==,,,，面CD AB 、之间的距离是h ，D C B A ''''、之间的距离是h '，面D C B A A BCD ''''、之间的距离是H ，则其体积])()[(6h b b a h a b a HV '+'+'+'++=.图10 图11证明 如图11所示，可得CD B A //''.连结C B D A '',.由羨除的体积公式，得])()[(6h b b a h a b a HV V V D C B A CD ABCD A B '+'+'+'++=+=''''''羡除羡除 注 楔形四棱台的体积公式是由羨除的体积公式推得的；当楔形四棱台的上底面的梯形变成线段时(即图4中的0='h 时的情形)，楔形四棱台就变成了羨除，也得刍甍的体积公式是楔形四棱台的体积公式的极限情形.由刍甍的体积公式可推得羨除、刍童、楔形四棱台的体积公式，由楔形四棱台的体积公式也可推得刍甍的体积公式.题4 (1999年高考全国卷文科、理科第10题)如图12所示，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，23,//=EF AB EF ，EF 与面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )A.29 B.5 C.6 D.215图12解 D.由刍甍的体积公式可得.题5 (2007年全国高中数学联赛江苏赛区复赛第一试第9题)如图13，在多面体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，3//,2EF AB EF =.若该多面体的体积为152，则EF 与AC 的距离为 .图13解 2.设直线EF 与平面AC 的距离为H ，由刍甍的体积公式可得153323262H ⋅⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭2H =进而可得：异面直线,EF AC 的距离为2H =.题6 (2005年高考全国卷I 理科第4题即文科第5题)如图14，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE 、△BCF 均为正三角形，EF //AB ，EF =2，则该多面体的体积为( )A.32 B.33C.34D.23图14解 A.设棱,A D B C的中点分别是,S T ，在等腰梯形EFTS 中可得1,2,2ST EF ES FT ====，可求得该等腰梯形的高即直线EF 与平面ABCD 的距离22=H . 所以由刍甍的体积公式可得多面体ABCDEF的体积为12(212)63⋅+=. 题7 (1983年美国邀请赛题)图15中的多面体的底面是边长为s 的正方形，上面的棱平行于底面，其长为s 2，其余棱长也都为s ，若26=s ，求这个多面体的体积.图15解 288.由刍甍的体积公式可得(先算得s H 22=).在该题中，当1=s 时就是高考题2.用排除法简解2015年高考全国卷I 理科第12题高考题 (2015年高考全国卷I 理科第12题)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解法1 (数形结合法)D.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又函数g (x )在x <12时g (x )<0，在x >12时g (x )>0，所以其大致图象如图1所示．图1直线y ＝ax －a 过点(1，0)．若a ≤0，则f (x )<0的整数解有无穷多个，因此只能a >0. 结合函数图象可知，存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，即存在唯一的整数x 0，使得点(x 0，ax 0－a )在点(x 0，g (x 0))的上方，得x 0只能是0，所以实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3e －1＋2a ≥0，－1＋a <0，e ≥0，解得32e≤a <1.即实数a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法2 (分离常数法)D.令1+=t x 后，得题设即关于t 的不等式)0(1)e (21≠<++t at t t 有唯一的整数解.若0t >，由a <1，可得1(21)e (21)e t t t t at ++>+>>所以题设即关于t 的不等式1(21)e(0)t t at t ++<<即1(21)e (0)t t a t t++><有唯一的整数解，也即关于t 的不等式1(21)e (1)t t a t t++>≤-有唯一的整数解. 设1(21)e ()(1)t t g t t t ++=≤-，得12e ()(1)(21)(1)t g t t t t t+'=+-≤-，所以函数)(t g 在(,1]-∞-上是增函数，得最大值为(1)1g -=.又lim ()0,(1)1t g t g →-∞=-=，由此可作出函数)(t g 的图象如图2所示：图2注意到图象()y g t =过点32,2e B ⎛⎫- ⎪⎝⎭且1<a ，所以由图2可得： 当32ea <时，满足()g t a >的整数t 有2,1--，所以此时不满足题意. 当1e23<≤a 时，满足()g t a >的整数t 只有1-，所以此时满足题意. 得所求a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 解法3 (排除法)D.当0a =时，不等式f (x )<0即e x (2x －1)<0也即12x <，它有无数个整数解，不满足题设.由此可排除选项A,B.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又g ′(0)＝1，所以可得曲线()y g x =在点(0,1)-处的切线为1y x =-，如图3所示．图3所以当a <1且1a →时满足题设(此时满足题设的唯一整数x 0=0).由此可排除选项C. 所以选D.注 小题不大做，还是解法3(排除法)简洁.本题对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想都有所考查.例谈用验证法解题——2010年高考数学安徽卷理科第20题的另解题1 解方程：(1)2121+=+x x ；(2)c c x x 11-=-；(3)c c x x 11+=+. 解 (1)容易观察出212，=x 均是该方程的解.按常规方法解此方程时，先去分母得到一元二次方程，该一元二次方程最多两个解，再检验(舍去使原方程中分母为零的解)，所以原方程最多有两个解.而已经找到了原方程的两个解212，=x ，所以这两个解就是原方程的所有解.(2)同理，可得原方程的所有解是cc x 1-=，. (3)容易观察出cc x 1，=均是该方程的解.同上得原方程最多有两个解，而已经找到了原方程的两个解cc x 1，=(因为对于任意的非零实数c ，c 和c 1都是原方程的解，所以应当把c 和c1理解成原方程的两个解)，所以这两个解就是原方程的所有解.题2 解方程22=+++x x x .解 设函数2)(+++=x x x x f ，易知它是增函数，所以方程2)(=x f 至多有一个根(当2在函数)(x f 的值域中时有一个根，否则没有根)，……所以原方程的根是2=x .题3 已知1tan ,51cos sin ->=+ααα，求αtan . 解 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1cos sin 51cos sin 22αααα及“勾三股四弦五”可以猜出该方程组有两组解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==53cos 54sin αα 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=54c o s 53s i n αα 该方程组即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=1sin 51sin sin 51cos 22αααα 因为关于αsin 的一元二次方程1sin 51sin 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+αα最多有两个解，所以该方程组也最多有两组解，......所以上面猜出的两组解就是该方程组的全部解， (4)3tan -=α. 题4]1[ (2007年高考陕西卷理科第22(1)题)已知各项全不为零的数列}{k a 的前k 项和为k S ，且∈=+k a a S k k k (211N*)，其中11=a ，求数列}{k a 的通项公式. 解 由题设得kk k k k a a a a a S a )(22211+++==+ ，所以当k a a a ,,,21 确定时，1+k a 也唯一确定.所以由11=a 知，数列}{k a 是唯一确定的.可以观察出k a k =满足题设的所有条件，所以数列{}k 是满足题设的唯一数列，得k a k =.另解 (2),2)()((211111k k k kk k k k k k k k S S S S S k S S S S a a S +-=≥--==-++-+因为)2)(01≥≠=--k a S S k k k ①由题设得3,121==S S ，再由①知{}k S 是唯一确定的数列⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧≥-==-2,1,11k S S k S a k k k .再同上得k a k =.题5]1[ (2005年高考江苏卷第23(1)(2)题)设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且∈+=+--+n B An S n S n n n ()25()85(1N*)，其中B A ,为常数.(1)求A 与B 的值；(2)证明数列}{n a 为等差数列；解 (1)8,20-=-=B A . (2) ∈-+--+=+n n n S n n S n n (8582085251N*)，11=S ②所以{}n S 是唯一确定的数列，}{n a 也是唯一确定的数列.又由11,6,1321===a a a 知，若}{n a 为等差数列，则45-=n a n ，于是)35(21-=n n S n . 容易验证)35(21-=n n S n 满足②，所以题中的45),35(21-=-=n a n n S n n ，}{n a 为等差数.题6]2[ 已知数列}{n a 满足nn a a a n n ++==+2111,21，求n a ； 解 首先，由首项211=a 及递推关系nn a a n n ++=+211知，满足题意的数列}{n a 是唯一确定的.所以，若能找到一个数列满足该题目的所有条件，则该数列的通项公式就是所求的答案.易得⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=+=-+n k n k n n n n a a n n 111111121，即nk a n1-=（k 是常数）满足递推关系n n a a n n ++=+211，再由211=a ，得n a n123-=满足题目的所有条件，所以本题的答案就是na n 123-=.题7]2[ 已知数列}{n a 满足n n a n n a a 1,3211+==+，求n a . 解 易知本题的答案是是唯一确定的，所以只需寻求一个数列满足该题目的所有条件.易得k nk n kn na a n n (111+=+=+是非零常数），即n k a n =满足递推关系n n a n n a 11+=+，再由321=a ，得n a n 32=满足题目的所有条件，所以本题的答案就是na n 32=.注 因为绝大部分求数列通项公式的题目答案都是唯一的，所以只要能观察或求出满足所有题设的一个通项公式，则该通项公式就是所求的唯一答案.对于要求解的问题Ω，若能证明它最多有n n (是确定的正整数)个解，又找出了它的n 个解n ωωω,,,21 ，则这n 个解就是该问题的所有解.这就是本文要阐述的用验证法解题.下面再用这种方法解答一道高考题：题8 (2010·安徽·理·20)设数列 ,,,,21n a a a 中的每一项都不为0.证明{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何∈n N*，都有1113221111++=+++n n n a a na a a a a a .证明 先证必要性.若数列{}n a 是公差为d 的等差数列： 当0=d 时，易得欲证成立.当0≠d 时，有⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-+-=++++++1132232112132211111n n n n n n a a a a a a a a a a a a d a a a a a a 111111111322111111111111+++++=-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n n a a na a a a d a a d a a a a a a d再证充分性.只需对)3(≥n n 用数学归纳法证明加强的结论：若),,3,2(1111113221n i a a ia a a a a a i i i ==+++++恒成立，则n a a a ,,,21 成等差数列，且na a n 1≠. 当3=n 时成立：当2=i 时，得2313132212,211a a a a a a a a a =+=+，所以321,,a a a 成等差数列，还可证313a a ≠(因为由313a a =可得023131313334=-=--+=+=a a a a a d a a ，而由3=i 时成立立知)04≠a .假设kn ,,4,3 =时成立：即ka a a ,,,21 成等差数列，且ka a a a a a k 11413,,4,3≠≠≠. 由k i ,,3,2 =时均成立及kaa a a a a k 11413,,4,3≠≠≠知，当21,a a 确定时，数列121,,,+n a a a 也是确定的，而由必要性的证明知，由21,a a 确定的等差数列121,,,+n a a a 满足题设，所以由题设及21,a a 确定的数列就是这个等差数列，即121,,,+n a a a 成等差数列，同上还可证111+≠+k a a k ，即1+=k n 时成立.所以要证结论成立，得充分性成立.参考文献1 甘志国.例谈用验证法求数列通项[J].中学数学月刊，2008(3)：462 甘志国著.初等数学研究(II)上[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.416-417用排除法简解2015年高考全国卷I 理科第12题高考题 (2015年高考全国卷I 理科第12题)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解法1 (数形结合法)D.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数． 又函数g (x )在x <12时g (x )<0，在x >12时g (x )>0，所以其大致图象如图1所示．图1直线y ＝ax －a 过点(1，0)．若a ≤0，则f (x )<0的整数解有无穷多个，因此只能a >0. 结合函数图象可知，存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，即存在唯一的整数x 0，使得点(x 0，ax 0－a )在点(x 0，g (x 0))的上方，得x 0只能是0，所以实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≥0，f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3e －1＋2a ≥0，－1＋a <0，e ≥0，解得32e≤a <1.即实数a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.解法2 (分离常数法)D.令1+=t x 后，得题设即关于t 的不等式)0(1)e (21≠<++t at t t 有唯一的整数解.若0t >，由a <1，可得1(21)e (21)e t t t t at ++>+>>所以题设即关于t 的不等式1(21)e(0)t t at t ++<<即1(21)e (0)t t a t t++><有唯一的整数解，也即关于t 的不等式1(21)e (1)t t a t t++>≤-有唯一的整数解. 设1(21)e ()(1)t t g t t t ++=≤-，得12e ()(1)(21)(1)t g t t t t t+'=+-≤-，所以函数)(t g 在(,1]-∞-上是增函数，得最大值为(1)1g -=.又lim ()0,(1)1t g t g →-∞=-=，由此可作出函数)(t g 的图象如图2所示：图2注意到图象()y g t =过点32,2e B ⎛⎫- ⎪⎝⎭且1<a ，所以由图2可得： 当32ea <时，满足()g t a >的整数t 有2,1--，所以此时不满足题意. 当1e23<≤a 时，满足()g t a >的整数t 只有1-，所以此时满足题意. 得所求a 的取值范围是3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 解法3 (排除法)D.当0a =时，不等式f (x )<0即e x (2x －1)<0也即12x <，它有无数个整数解，不满足题设.由此可排除选项A,B.令g (x )＝e x (2x －1)，得g ′(x )＝e x (2x ＋1).由g ′(x )>0得x >－12，由g ′(x )<0得x <－12，所以函数g (x )在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上分别是减函数、增函数．又g ′(0)＝1，所以可得曲线()y g x =在点(0,1)-处的切线为1y x =-，如图3所示．。