解析几何知识点总结
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抛物线的标准方程、图象及几何性质:0
p
>
关于抛物线知识点的补充: 1、定义:
2、几个概念:
① p 的几何意义:焦参数p 是焦点到准线的距离,故p 为正数; ② 焦点的非零坐标是一次项系数的1
4
;
③ 方程中的一次项的变量与对称轴的名称相同,一次项的系数符号决定抛物线的开口方向。 ④ 通径:2p
3、如:AB 是过抛物线)0(22>=p px y 焦点F 的弦,M 是AB 的中点,l 是抛物线的准线,l MN ⊥,N 为垂足,l BD ⊥,l AH ⊥,
D ,H 为垂足,求证:
(1)DF HF ⊥; (2)BN AN ⊥; (3)AB FN ⊥;
(4)设MN 交抛物线于Q ,则Q 平分MN ;
(5)设),(),,(2211y x B y x A ,则221p y y -=,2
214
1p x x =; (6)
p
FB FA 2
||1||1=+; (7)D O A ,,三点在一条直线上
(8)过M 作AB ME ⊥,ME 交x 轴于E ,求证:||2
1||AB EF =,||||||2FB FA ME ⋅=;
关于双曲线知识点的补充:
1、 双曲线的定义:平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数(小于||
21F F )的点的轨迹。
第二定义:平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数)1(>e e 的点的轨迹。两个定点为双曲线的焦点,焦点间距离叫做焦距;定直线叫做准线。常数叫做离心率。
注意: a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-(||221F F a <)表示双曲线的一支。 ||221F F a =表示两条射线;||221F F a >没有轨迹;
2、 双曲线的标准方程
①焦点在x 轴上的方程:22221x y a b -=(a>0,b>0); ②焦点在y 轴上的方程:22
221y x a b
-= (a>0,b>0);
③当焦点位置不能确定时,也可直接设椭圆方程为:mx 2-ny 2=1(m ·n<0); ④双曲线的渐近线:改1为0,分解因式则可得两条渐近线之方程. 3、双曲线的渐近线:
①求双曲线122
2
2=-
b
y
a
x
的渐近线,可令其右边的1为0,即得02
2
2
2=-
b y a
x
,因式分解得到。②与双曲线122
22=-b
y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222b
y a x ;
4、等轴双曲线: 为222t y x =-,其离心率为2
5、共轭双曲线:
6、几个概念:
①焦准距:b 2c ; ②通径:2b 2a ; ③等轴双曲线x 2-y 2
= (∈R,≠0):渐近线是y=±x,离心率为: 2 ;④22221x y a b -=焦
点三角形的面积:b 2cot 2
(其中∠F 1PF 2=);
⑤弦长公式:221212(1)[()4]k x x x x ++-c 2=a 2-b 2,而在双曲线中:c 2=a 2+b 2,
双曲线的图象及几何性质:
离心率
)1(>=
e a
c
e (离心率越大,开口越大) 准 线
c
a x 2
±
=
c
a y 2±
=
渐近线 x a
b y ±
= x b
a y ±
= 通 径
ep a
b 222
=(p 为焦准距)
焦半径
P 在左支
201||||ex a PF ex a PF -=--= P 在右支
201||||ex a PF ex a PF +-=+= P 在下支0
201||||ey a PF ey a PF -=--= P 在上支0
201||||ey a PF ey a PF +-=+=
焦准距
c
b c a c p 22=
-= 7、直线与双曲线的位置关系:讨论双曲线与直线的位置关系时通常有两种处理方法:①代数法:②、数形结合法。 8、双曲线中的定点、定值及参数的取值范围问题:
①定点、定值问题:通常有两种处理方法:第一种方法是从特殊入手,先求出定点(或定值),再证明这个点(值)与
变量无关;第二种方法是直接推理、计算;并在计算的过程中消去变量,从而得到定点(定值)。 ②关于最值问题:常见解法有两种:代数法与几何法。若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形的性质来解决,这就是几何法;若题目中的条件和结论难以体现一种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值,求函数的最值常用的方法有配方法、判别式法、重要不等式法、函数的单调性法等。
③参数的取值范围问题:此类问题的讨论常用的方法有两种:第一种是不等式(组)求解法根据题意结合图形列出所
讨论的参数适合的不等式(组),通过解不等式再得出参数的变化范围;第二种是函数的值域求解法:把所讨论的参数表示为某个变量的函数,通过讨论函数的值域求得参数的变化范围。 关于椭圆知识点的补充: 1、椭圆的标准方程:
① 焦点在x 轴上的方程:22221x y a b += (a>b>0); ②焦点在y 轴上的方程:22
221y x a b
+= (a>b>0);
③当焦点位置不能确定时,也可直接设椭圆方程为:mx 2
+ny 2
=1(m>0,n>0); ④、参数方程:cos sin x a y b φ
φ=⎧⎨=⎩
2、椭圆的定义:平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数(大于||21F F )的点的轨迹。
第二定义:平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数)10(< d = e (椭圆的焦半径 公式:|PF 1|=a+ex 0, |PF 2|=a-ex 0)其中:两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距;定直线叫做准线。 常数叫做离心率。 注意: ||22 1 F F a >表示椭圆;||22 1 F F a =表示线段21F F ;||221F F a <没有轨迹; 3、 焦准距:b 2c ; 4、通径:2b 2a ; 5、点与椭圆的位置关系; 6、22 221x y a b +=焦点三角形的面积:b 2tan 2 (其中 ∠F 1PF 2= );