线性代数函授自学周历及测验作业

10月高等教诲自学考试全国统一命题考试线性代数(经管类) 试卷(课程代码04184)阐明：在本卷中。

A T表达矩阵A转置矩阵。

A*表达矩阵A随着矩阵，E是单位矩阵，︱A ︱表达方阵A行列式，r(A)表达矩阵A秩。

第一某些选取题一、单项选取题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出四个备选项中只有一种是符合题目规定，请将其选出并将“答题卡”相应代码涂黑。

未涂、错涂或多涂均无分。

1．已知2阶行列式A．-2 B．-l C．1 D．23．设向量组可由向量组线性表出，则下列结论中对的是A．若s≤t，则必线性有关B．若s≤t，则必线性有关C．若线性无关，则s≤tD．若线性无关，则s≤t4．设有非齐次线性方程组Ax=b，其中A为m×n矩阵，且r(A)=r1，r(A，b)=r2，则下列结论中对的是A．若r1=m，则Ax=O有非零解 B．若r1=n，则Ax=0仅有零解C．若r2=m，则Ax=b有无穷多解 D．若r2=n，则Ax=b有惟一解5. 设n阶矩阵A满足︱2E-3A︱=0，则A必有一种特性值=第二某些非选取题二、填空题 (本大题共l0小题。

每小题2分，共20分)请在答题卡上作答。

6．设行列式中元素a ij代数余子式为A ij(i,j=1,2)，则a11A21+a12+A22=__________．7．已知矩阵，则A2+2A+E=___________．8．设矩阵，若矩阵A满足AP=B，则A=________．9．设向量，，则由向量组线性表出表达式为=____________．10．设向量组a1=(1，2,1)T，a2=(-1，1，0)T，a3=(0，2，k)T线性无关，则数k取值应满足__________．11．设3元非齐次线性方程组Ax=b增广矩阵(A，b)经初等行变换可化为若该方程组无解，则数k=_________．12．设=-2是n阶矩阵A一种特性值，则矩阵A—3E必有一种特性值是________．13．设2阶矩阵A与B相似，其中，则数a=___________．14．设向量a1=(1，-l，0)T，a2=(4，0，1)T，则=__________．15．二次型f(x1，x2)=-2x12+x22+4x1x2规范形为__________．三、计算题(本大题共7小题，每小题9分，共63分)请在答题卡上作答。

《线性代数》函授自学周历及测验作业.《线性代数》函授自学周历及测验作业课程名称：线性代数专业：水工等本科教材名称及版本：《线性代数》朱永忠编，河海大学出版社2008 第二学期用说明：1 表中日期请同学自填；2 习题交函授站辅导老师批改；3 测验作业面授时交给函授站，由函授站集中与考试卷一起寄交河海大学函授部，由任课老师批改。

《线性代数》测验作业（水工，工管和水文等本科用）姓名：函授站：专业：得分：本作业记分，记入学期末总评成绩，不交不给分1. 计算行列式1310310112104121-=D 的值=。

2. 试计算出当a =时，齐次方程组=+-=-+=++0200321321321x x x x ax x x x ax 才有非零解。

3. 设()()T47252301==βα，，计算T T βα=。

4. 设A=??-021112111，则逆矩阵=-1A 。

4. 设A 为三阶方阵，且2A =，则-12A =，=*A 。

5. 设向量组321,,ααα线性无关，试用向量组线性相关与无关的定义判断向量组133221,,αααααα+++是线性相关，还是线性无关。

6. 试判断矩阵A=101210111是否为正交矩阵，说明理由。

7. 计算下列行列式的值：（1） 6741212060311512----- ; （2）3315112043512131------.8．已知=2A A ，则A 的特征值= 。

9. 求方程组-=+++-=-++=-+-6242163511325432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解。

10. 求一个正交变换py x =，把二次型f =32222121442x x x x x x -+-化为标准形（写出f 的矩阵A ，求出A 的特征值λ和特征向量p ，写出正交变换py x =及f 的标准形）。

全国2008年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A 为三阶方阵且2||-=A 则=|3|A A T （ D ） A ．-108B ．-12C ．12D ．108108)2(27||3|3|223=-⨯==A A A T ．2．如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解，则k =（ B ）A ．-2B ．-1C ．1D ．20)1(1241434014013=+=-=--k kkk ，1-=k ．3．设A 、B 为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（ D ） A ．BA AB =B ．111)(---+=+B A B AC ．||||||B A B A +=+D ．T T T B A B A +=+)(4．设A 为四阶矩阵，且2||=A ，则=*||A （ C ） A ．2B ．4C ．8D ．12=*||A 82||||331===-A A n ．5．设β可由向量)0,0,1(1=α，)1,0,0(2=α线性表示，则下列向量中β只能是（ B ） A ．)1,1,2(B ．)2,0,3(-C ．)0,1,1(D ．)0,1,0(-),0,(212211k k k k =+=ααβ．6．向量组s ααα,,,21 的秩不为s （2≥s ）的充分必要条件是（ C ） A ．s ααα,,,21 全是非零向量 B ．s ααα,,,21 全是零向量C ．s ααα,,,21 中至少有一个向量可由其它向量线性表出D ．s ααα,,,21 中至少有一个零向量s ααα,,,21 的秩不为s ⇔s ααα,,,21 线性相关．7．设A 为m n ⨯矩阵，方程AX =0仅有零解的充分必要条件是（ C ） A ．A 的行向量组线性无关 B ．A 的行向量组线性相关 C ．A 的列向量组线性无关D ．A 的列向量组线性相关AX =0仅有零解⇔n A r =)(⇔A 的列向量组线性无关．8．设A 与B 是两个相似n 阶矩阵，则下列说法错误．．的是（ D ） A ．||||B A =B ．秩(A )=秩(B)C ．存在可逆阵P ，使B AP P =-1D ．BE A E -=-λλ9．与矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010001相似的是（ A ）A ．⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020001B ．⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010011C ．⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200011001D ．⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020101有相同特征值的同阶对称矩阵一定（正交）相似．10．设有二次型232221321),,(x x x x x x f +-=，则),,(321x x x f （ C ） A ．正定 B ．负定 C ．不定 D ．半正定当0,0,1321===x x x 时，0>f ；当0,1,0321===x x x 时0<f ．总之，f 有正有负． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11．若0211=k ，则k =21． 012211=-=k k ，21=k ．12．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023，B =⎢⎣⎡⎥⎦⎤010201，则AB =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡241010623． AB =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023⎢⎣⎡⎥⎦⎤010201=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡241010623． 13．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤220010002，则=-1A ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-2/110010002/1． ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100010001220010002→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-120010001200010002→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-2/110010002/1100010001． 14．设A 为33⨯矩阵，且方程组Ax =0的基础解系含有两个解向量，则秩(A )= __1__． 秩(A )=123=-=-r n ．15．已知A 有一个特征值2-，则E A B 22+=必有一个特征值__6__．2-=λ是A 的特征值，则62)2(222=+-=+λ是E A B 22+=的特征值．16．方程组0321=-+x x x 的通解是T T k k )1,0,1()0,1,1(21+-．⎪⎩⎪⎨⎧==+-=3322321x x x x x x x ，通解是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10101121k k ． 17．向量组)0,0,1(1=α，)0,1,1(2=α，)0,2,5(3-=α的秩是__2__．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000010001025011001，秩是2． 18．矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200020002的全部特征向量是T T T k k k )1,0,0()0,1,0()0,0,1(321++不全为零）（321,,k k k ．2321===λλλ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000000000A E λ，⎪⎩⎪⎨⎧===332211x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100． 19．设三阶方阵A 的特征值分别为1,1,2-，且B 与A 相似，则=|2|B __-16__．=|2|B 16)2(810001000223-=-⨯=-．20．矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-301012121所对应的二次型是3121232221321243),,(x x x x x x x x x x f +++-=． 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算四阶行列式1002210002100021的值．解：1515000210002100021180021000210002110402100021000211002************-=-==-=．22．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤101111123，求1-A ．解：⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100010001101111123→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤001010100123111101→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤---301110100220010101→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤----121110100200010101→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤----121110200200010202→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-----121110121200010002→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤---2/112/11102/112/1100010001，1-A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤---2/112/11102/112/1．23．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-200200011，B =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤300220011，且A ，B ，X 满足E X B A B E T T =--)(1，求X ，1-X ．解：由E X B A B E T T =--)(1，得E X A B E B T =--)]([1，即E X A BB BE T =--)(1，E X A B T =-)(，=-1X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-100020002100020002)(TT A B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10002/10002/1X ． 24．求向量组)4,2,1,1(1-=α，)2,1,3,0(2=α，)14,7,0,3(3=α，)6,5,1,2(4=α，)0,2,1,1(5-=α 的一个极大线性无关组．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--021165121470321304211→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---40021********304211→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4004000000021304211→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0004000000021304211， 421,,ααα是一个极大线性无关组．25．求非齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=+++-=-+++=++++12334523622232375432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解．解：=A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----12133452362210231123711111→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------236281023622102362210711111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------0006000000002362210711111→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------0000000006002362210711111→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000001002362210711111→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000001002362010711011→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0000000010023620101651001， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===--=++-=5544354254106223516x x x x x x x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1006501021000231621k k ． 26．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤----020212022，求P 使AP P 1-为对角矩阵．解：λλλλλλλλλ4)2(4)2)(1(2021222||-----=--=-A E 86323+--=λλλ )2(3)42)(2()2(3)8(23+-+-+=+-+=λλλλλλλλ)4)(1)(2()45)(2(2--+=+-+=λλλλλλ，特征值21-=λ，12=λ，43=λ．对于21-=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-220220012220232012220232024A E λ→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000220012→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000110012→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000110102→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0001102/101，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===33323121x x x x xx ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112/11α； 对于12=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-120120021120101021120202021A E λ→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000120021→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000120101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0002/110101，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=33323121x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12/112α；对于43=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000210022420210022420232022A E λ→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000210011→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000210201，⎪⎩⎪⎨⎧=-==33323122xx x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1223α． 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=11122/11212/1P ，则P 是可逆矩阵，使=-AP P 1⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-400010002． 四、证明题（本大题6分）27．设321,,ααα是齐次方程组Ax =0的基础解系，证明1α,21αα+,321ααα++也是Ax =0的基础解系． 证：（1）Ax =0的基础解系由3个线性无关的解向量组成．（2）321,,ααα是Ax =0的解向量，则1α,21αα+,321ααα++也是Ax =0的解向量． （3）设0)()(321321211=+++++ααααααk k k ，则0)()(332321321=+++++αααk k k k k k ，由321,,ααα线性无关，得⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000332321k k k k k k ，系数行列式01100110111≠=，只有零解0321===k k k ，所以1α,21αα+,321ααα++线性无关．由（1）（2）（3）可知，1α,21αα+,321ααα++也是Ax =0的基础解系．全国2008年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设行列式D =333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ C ） A ．-15B ．-6C ．6D ．15D 1=620222555333231232221131211333131232121131111=+=+D a a a a a a a a a a a a a a a a a a ． 2．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+d ba 04=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-32c b a ，则（ C ） A ．3,1,1,3==-==d c b a B ．3,1,3,1===-=d c b a C ．3,0,1,3==-==d c b aD ．3,0,3,1===-=d c b a3,0,4,2===-=+d c b a b a ⇒3,0,1,3==-==d c b a ． 3．设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为（ B ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000111B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000110111C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000222111D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3332221114．设A 为n 阶方阵，2≥n ，则=-|5|A （ A ） A ．||)5(A n -B ．||5A -C ．||5AD ．||5A n5．设A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，则=*||A （ B ） A ．-4B ．-2C ．2D ．424321||||||121-====--*A A A n ． 6．向量组s ααα,,,21 （2>s ）线性无关的充分必要条件是（ D ） A ．s ααα,,,21 均不为零向量B ．s ααα,,,21 中任意两个向量不成比例C ．s ααα,,,21 中任意1-s 个向量线性无关D ．s ααα,,,21 中任意一个向量均不能由其余1-s 个向量线性表示7．设3元线性方程组b Ax =，A 的秩为2，1η,2η,3η为方程组的解，T )4,0,2(21=+ηη，T )1,2,1(31-=+ηη，则对任意常数k ，方程组b Ax =的通解为（ D ）A ．T T k )1,2,1()2,0,1(-+B ．T T k )4,0,2()1,2,1(+-C ．T T k )1,2,1()4,0,2(-+D ．T T k )3,2,1()2,0,1(+取b Ax =的特解：T )2,0,1()(2121=+=ηηη； 0=Ax 的基础解系含一个解向量：T )3,2,1()()(312132=+-+=-=ηηηηηηα．8．设3阶方阵A 的特征值为2,1,1-，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（ D ） A ．A E -B ．A E --C ．A E -2D ．AE --22-不是A 的特征值，所以0|2|≠--A E ，A E --2可逆．9．设λ=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵12)(-A 必有一个特征值等于（ A ） A ．41 B ．21 C ．2 D ．42=λ是A 的特征值，则41)(12=-λ是12)(-A 的特征值． 10．二次型432423222143212),,,(x x x x x x x x x x f ++++=的秩为（ C ）A ．1B ．2C ．3D ．4⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00001100001000011100110000100001A ，秩为3． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．行列式332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a =__0__． 行成比例值为零．12．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，P =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011，则=TAP ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4723． =T AP ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101=⎪⎪⎭⎫⎝⎛4723．13．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111110100，则=-1A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--001011110．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001111110100→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100100110111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--001011101100010011→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--001011110100010001． 14．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛54332221t ，若齐次线性方程组Ax =0有非零解，则数t =__2__．02121412014022154332221||=-=----=----==t t t t A ，2=t ．15．已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1212α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=113t α的秩为2，则数t =__-2__．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11212111t →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--123013011t t t →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--20013011t t t ，秩为2，则2-=t ． 16．已知向量T )3,0,1,2(=α，T k ),1,2,1(-=β，α与β的内积为2，则数k =32． 2),(=βα，即23022=++-k ，3/2=k ．17．设向量Tb ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21,21,α为单位向量，则数b =__0__． 112121||22=+=++=b b α，0=b ． 18．已知λ=0为矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----222222220的2重特征值，则A 的另一特征值为__4__．021==λλ，220321++=++λλλ，所以43=λ．19．二次型32212322213212452),,(x x x x x x x x x x f +--+=的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---510122021． 20．已知二次型232221321)2()1()1(),,(x k x k x k x x x f -+-++=正定，则数k 的取值范围为2>k ． ⎪⎩⎪⎨⎧>->->+020101k k k ，⎪⎩⎪⎨⎧>>->211k k k ，2>k ． 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式D =4001030100211111的值． 解：22000210011101111220021001110111131101210111011114001030100211111-=----=----=------=．22．已知矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210011101，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛410011103，（1）求A 的逆矩阵1-A ；（2）解矩阵方程B AX =．解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001210011101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100011001210110101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111011001100110101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111122112100010001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111122112100010001，1-A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111122112；（2）==-B A X 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111122112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛410011103=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----322234225．23．设向量)1,1,1,1(--=α，)1,1,1,1(--=β，求（1）矩阵βαT A =；（2）2A ．解：（1）βαT A ===--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--)1,1,1,1(1111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------111111*********1； （2）2A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------111111*********1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1111111111111111=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------4444444444444444． 24．设向量组T )4,2,1,1(1-=α，T )2,1,3,0(2=α，T )14,7,0,3(3=α，T )0,2,1,1(4-=α，求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=01424271210311301),,,(4321αααα→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-4220011003301301→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2110011001101301→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2000000001101301→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100000000110131→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000100001101301， 向量组的秩为3，421,,ααα是一个极大线性无关组，=3α42103ααα++．25．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+--=+ax x x x x x x x 32132131522312 ，（1）求当a 为何值时，方程组无解、有解；（2）当方程组有解时，求出其全部解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）．解：=),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----a 51223111201→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---211011101201a →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--300011101201a ．（1）3-≠a 时，方程组无解，3-=a 时，方程组有解；（2）3-=a 时，),(b A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000011101201，⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=333231121x x x x x x ，全部解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-112011k ．26．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛2178，（1）求矩阵A 的特征值与对应的全部特征向量； （2）判定A 是否可以与对角阵相似，若可以，求可逆阵P 和对角阵Λ，使得Λ=-AP P 1． 解：)9)(1(9102178||2--=+-=----=-λλλλλλλA E ，特征值11=λ，92=λ．对于11=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-00111177A E λ，⎩⎨⎧=-=2221x x x x ，基础解系为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111α，对应的全部特征向量为11αk （1k 是任意非零常数）；对于92=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-00717171A E λ，⎩⎨⎧==22217x x x x ，基础解系为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=172α，对应的全部特征向量为22αk （2k 是任意非零常数）．令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1171P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ9001，则P 是可逆矩阵，使得Λ=-AP P 1． 四、证明题（本题6分）27．设n 阶矩阵A 满足A A =2，证明A E 2-可逆，且A E A E 2)2(1-=--．证：由A A =2，得E A A E A A E A E A E =+-=+-=--4444)2)(2(2，所以A E 2-可逆，且A E A E 2)2(1-=--．全国自考2008年7月线性代数（经管类）试卷答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设3阶方阵A=[321,,ααα]，其中i α（i=1, 2, 3）为A 的列向量，且|A|=2，则|B|=|[3221,,3ααα+α]|=（ C ） A.-2 B.0 C.2 D.62.若方程组⎩⎨⎧=-=+0x kx 0x x 2121有非零解，则k=（ A ）A.-1B.0C.1D.23.设A ，B 为同阶可逆方阵，则下列等式中错误的是（ C ） A.|AB|=|A| |B|B. (AB)-1=B-1A-1C. (A+B)-1=A-1+B-1D. (AB)T=BTA T4.设A 为三阶矩阵，且|A|=2，则|（A*）-1|=（ D ）A.41B.1C.2D.45.已知向量组A ：4321,,,αααα中432,,ααα线性相关，那么（ B ） A. 4321,,,αααα线性无关B. 4321,,,αααα线性相关C. 1α可由432,,ααα线性表示D. 43,αα线性无关 6.向量组s 21,,ααα 的秩为r ，且r<s ，则（ C ）A. s 21,,ααα 线性无关B. s 21,,ααα 中任意r 个向量线性无关C. s 21,,ααα 中任意r+1个向量线性相关D. s 21,,ααα 中任意r-1个向量线性无关 7.若A 与B 相似，则（ D ） A.A ，B 都和同一对角矩阵相似 B.A ，B 有相同的特征向量C.A-λE=B-λED.|A|=|B|8.设1α，2α是Ax=b 的解，η是对应齐次方程Ax=0的解，则（ B ） A. η+1α是Ax=0的解B. η+（1α-2α）是Ax=0的解C. 1α+2α是Ax=b 的解D. 1α-2α是Ax=b 的解 9.下列向量中与α=（1，1，-1）正交的向量是（ D ） A. 1α=（1，1，1） B. 2α=（-1，1，1） C. 3α=（1，-1，1） D. 4α=（0，1，1）10.设A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2111，则二次型f(x1，x2)=xTAx 是（ B ） A.正定 B.负定 C.半正定D.不定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11.设A 为三阶方阵且|A|=3，则|2A|=__24_________.12.已知α=（1，2，3），则|αT α|=____0_______.13.设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200030021，则A*=640020003-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦⎣14.设A 为4×5的矩阵，且秩（A ）=2，则齐次方程Ax=0的基础解系所含向量的个数是______3_____.15.设有向量1α=（1，0，-2），2α=（3，0，7），3α=（2，0，6）. 则321,,ααα的秩是_____2______.16.方程x1+x2-x3=1的通解是12(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T Tk k η=+-+17.设A 满足3E+A-A2=0，则11()3A A E -=-18.设三阶方阵A 的三个特征值为1，2，3. 则|A+E|=_24__________.19. 设α与β的内积（α，β）=2，‖β‖=2，则内积（2α+β，-β）=___-8________.20.矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--221201113所对应的二次型是221312132332224x x x x x x x x +-++ 三、计算题21．计算6阶行列式1002000100000010*********00003000021=1822．已知A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3152，B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3421，C=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2512，X 满足AX+B=C ，求X. 2813X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦23．求向量组1α=（1，2，1，3），2α=（4，-1，-5，-6），3α=（1，-3，-4，-7）的秩和其一个极大线性无关组.141141213095154000367000⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ 秩为2，极大无关组为1α，2α24．当a, b 为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=-=++3b x )2a (x 3x 21x x 1x x x 32132321 有无穷多解？并求出其通解.1,0a b =-=时有无穷多解。

线性代数（经管类）综合试题一（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设D==M≠0，则D1==( B )．A.－2MB.2MC.－6MD.6M2.设 A、B、C为同阶方阵，若由AB = AC必能推出B = C，则A应满足 ( D )．A. A≠ OB. A = OC.|A|= 0D. |A|≠03.设A，B均为n阶方阵，则 ( A)．A.|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0B.(A+B)2=A2+2AB+B2C.当AB=O时，有A=O或B=OD.(AB)-1=B-1A-14.二阶矩阵A，|A|=1，则A-1= ( B)．A. B. C. D.，则下列说法正确的是( B )．A.若两向量组等价，则s = t .B.若两向量组等价，则r()= r()C.若s = t，则两向量组等价.D.若r()=r()，则两向量组等价.6.向量组线性相关的充分必要条件是 ( C )．A. 中至少有一个零向量B. 中至少有两个向量对应分量成比例C. 中至少有一个向量可由其余向量线性表示D. 可由线性表示7.设向量组有两个极大无关组与，则下列成立的是( C )．A. r与s未必相等B. r + s = mC. r = sD. r + s > m8.对方程组Ax = b与其导出组Ax = o，下列命题正确的是( D )．A. Ax = o有解时，Ax = b必有解.B. Ax = o有无穷多解时，Ax = b有无穷多解.C. Ax = b无解时，Ax = o也无解.D. Ax = b有惟一解时，Ax = o只有零解.9.设方程组有非零解，则k = ( D)．A. 2B. 3C. -1D. 110.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是( D )．A. |A|>0B.存在n阶方阵C使A=C T CC.负惯性指标为零D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

2016年自考历年线性代数考试试题及答案解析精选第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

《线性代数》作业及参考答案一．单项选择题1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同15.设有矩阵Ａｍ×ｎ，Ｂｍ×ｓ，Ｃｓ×ｍ，则下列运算有意义的是（）。

全国2010年1月高等教育自学考试 《线性代数（经管类）》试题及答案课程代码：04184试题部分说明：本卷中，A T 表示矩阵A 的转置，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r （A ）表示矩阵A 的秩.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设行列式==1111034222,1111304z y x zy x则行列式（ ）A.32B.1C.2D.38 2.设A ，B ，C 为同阶可逆方阵，则（ABC ）-1=（ ） A. A -1B -1C -1 B. C -1B -1A -1 C. C -1A -1B -1D. A -1C -1B -13.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1，α2，α3，α4）.如果|A |=2，则|-2A |=（ ） A.-32 B.-4 C.4D.324.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（ ） A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出 C. α1，α2，α3，α4一定线性相关D. α1，α2，α3一定线性无关5.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（ ） A.1 B.2 C.3D.46.设A 是4×6矩阵，r （A ）=2，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是（ ）A.1B.2C.3D.47.设A 是m ×n 矩阵，已知Ax =0只有零解，则以下结论正确的是（ ） A.m ≥nB.Ax =b （其中b 是m 维实向量）必有唯一解C.r （A ）=mD.Ax =0存在基础解系8.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---496375254，则以下向量中是A 的特征向量的是（ ） A.（1，1，1）T B.（1，1，3）T C.（1，1，0）TD.（1，0，-3）T9.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111131111的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ3 = （ ）A.4B.5C.6D.710.三元二次型f （x 1，x 2，x 3）=233222312121912464x x x x x x x x x +++++的矩阵为（ ）A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963642321 B.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963640341 C.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡960642621 D.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡9123042321二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

安徽建筑工业学院继续教育学院自学周历及作业安排课程名称：线性代数注：作业面授时交批作业:1、计算下列各行列式:(1)265232112131412-; (2)dc b a 10110011001---.2、证明(1)y x z x z y z y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++ (2)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 3. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式):(1)x a aa x aa a xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; (2)nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=111124. 用克莱姆法则解下列方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;5. λ取何值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？6.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B ,求3AB -2A 及A T B .7. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(;(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 8. 设A , B 为n 阶矩阵,且A 为对称矩阵,证明B T AB 也是对称矩阵. 9．求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221;(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; 10. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--234311*********X ;(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X 11. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E )-1.12. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A )-1-5A *|.13.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ,且AB +E =A 2+B , 求B .14. 设A =diag(1, -2, 1), A *BA =2BA -8E , 求B .15. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 16.已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A 且ABA -1=BA -1+3E ,求B .17. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132.18. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A , 求A .19. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:⎪⎪⎭⎫⎝⎛323513123;20. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=101110011A , AX =2X +A ,求X .21. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********; 22.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ,问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3. 23. 求解下列齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ;(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x24. 求解下列非齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413283542432z y x z y x z y x z y x(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534432312w z y x w z y x w z y x . 25. λ取何值时, 非齐次线性方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x .(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多个解?26. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3.27. 已知向量组：A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T ,证明：B 组能由A 组线性表示,但A 组不能由B 组线性表示. 28. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示; (2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.29. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; 30. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 31. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 32. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4820322513454947513253947543173125;33. 设向量组：(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T 的秩为2, 求a ,b .34. 求下列齐次线性方程组的基础解系:⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x ;35. 设有向量组A : a 1=(α, 2, 10)T , a 2=(-2, 1, 5)T , a 3=(-1, 1, 4)T , 及b =(1, β, -1)T , 问α, β为何值时 (1)向量b 不能由向量组A 线性表示;(2)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一; (3)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式.36. 求下列矩阵的特征值和特征向量:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----201335212;(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛633312321; 37. 设A 为n 阶矩阵, 证明A T 与A 的特征值相同. 38. 设A 2-3A +2E =O , 证明A 的特征值只能取1或2. 39. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3, 求|A 3-5A 2+7A |. 40. 已知p =(1, 1, -1)T 是矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量.(1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值;(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由. 41.设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λy 45相似,求x , y ; 并求一个正交阵P , 使P -1AP =Λ.42. 设3阶方阵A 的特征值为λ1=2, λ2=-2, λ3=1; 对应的特征向量依次为p 1=(0, 1, 1)T , p 2=(1, 1, 1)T , p 3=(1, 1, 0)T , 求A . 43. 设3阶对称矩阵A 的特征值λ1=6, λ2=3, λ3=3, 与特征值λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 求A .44.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=340430241A ,求A 100.45. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形: f =2x 12+3x 22+3x 33+4x 2x 3;编者：赵林。

线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。

(A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。

二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。

9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。

全国自学考试线性代数历年考试真题及答案20XX年4月全国自学考试线性代数答案第一部分选择题(共20分)一、单项选择题(本大题共10小题。

每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．对任意n阶方阵A、B总有( )A．AB=BA B．|AB|=|BA|2．在下列矩阵中，可逆的是 ( )3．设A是3阶方阵( )A．-2D．24．设A是m×n矩阵，则齐次线方程线Ax=0仅有零解的充分必要条件是 ( ) A．A的行向量组线性无关 B．A的行向量组线性相关C．A的列向量组线性无关 D．A的列向量组线性相关5．设有m维向量组，则 ( )A．当m<n时，(I)一定线性相关 B．当m>n时，(I)一定线性相关C．当m<n时，(I)一定线性无关 D．当m>n时，(I)一定线性无关6．已知是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，是其导出组Ax=0的一个基础解系，为任意常数，则方程组Ax=b的通解可表成 ( )7．设n阶可逆矩阵A有一个特征值为2，对应的特征向量为x，则下列等式中不正确的是( )A．Ax=2x8．设矩阵的秩为2，则λ= ( )A．2 8．1C．0 D．-l9．二次型的矩阵是( )10．二次型是 ( )A．正定的 B．半正定的C．负定的 D．不定的第二部分非选择题(共80分)二、填空题(本大题共10小题。

每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错选、不填均无分。

1 1．行列式的值为___．12．设向量a=(2，1，2),则与它同方向的单位向量为__．13．设α=(2，1，-2)，β=(1，2，3)，则2α=3β=____．14．向量组a=(1，2，3，4，5)的秩为____．15．设m×n矩阵A的，m个行向量线性无关，则矩阵的秩为____．16．若线性方程组无解，则=______．17．设2阶方阵均为2维列向量，且|A|=|B|=1，则|A+B|=_______．18．设矩阵，则A的全部特征值为___．19．设P为n阶正交矩阵，α、β为n维列向量，已知内知(α，β)=-l，则(Pa，Pβ)________20．设二次型的正惯性指数为P，负惯性指数为q，则p-q=______.三、计算题(本大题共8小题，每小题6分，共48分)21．设向量22．设，矩阵X满足方程求矩阵X．23．当t取何值时，向量组线性相关?24．求下列矩阵的秩：25．设矩阵矩阵A由矩阵方程确定，试求的通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)．27．设3阶方阵A的三个特征值为的特征向量依次为求方阵A．28．设为正定二次型，试确定实数a的最大取值范围．四、证明题(本大题共2小题，每小题6分，共12分)30．设向量β可由向量组线性表示．试证明：线性表示法唯一的充分必要条件是线性无关．参考答案一、单项选择题1．B 2．D 3．B 4．D 5．A 6．D 7．C 8．B 9.C 10.A二、填空题11．O13．(1,-4,-l3)14．115．ml6．017．418．1，1，-l19．-l20．O三、计算题知当且仅当t=3时该向量组线性相关．所求通解x=都是非零列向量，故题设条件说明A有特征值对应的特征向量分别为因为A为3阶方阵．故1，0．-l就是A的全部特征值，因A的特征值互不相同，于是由推论4．1知A可对角化，令矩阵由上式得28．解，的矩阵为，A的顺序主子式为四、证明题所以30．证由条件，存在常数若表示法唯一，设有一组数20XX年10月自考线性代数试题答案全国20XX 年10月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A|表示方阵A 的行列式。

全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案A .只含有1个零向量的向量组线性相关B .由3个2维向量组成的向量组线性相关一、单项选择题（本大题共 10小题,每小题 1.已知2阶行列式a 〔 a 2 m ,b 1 b 2t h b 2C 1 C 2A . m nB. nm2分，共20分)bi b 2n ，贝U( B )a i C i a2 C 2C. m nD. (m n)2 .设 A , B , C 均为 n 阶方阵，AB BA , AC CA ，则 ABC ( D )ABC (AB)C (BA)C B(AC) B(CA) BCA .3 .设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且|A| 1, |B| 2，则行列式||B|A|之值为（A ） A.8 B.2C. 2D. 8an a 12 a 13 an 3a 12 a 131 0 01 0 04. Aa 21 a 22 a 23 ,Ba 21 3a 22 a 23 , P0 3 0 , Q 3 1 0，则 B ( B )a 31a 32a 33a 313a 32 a 330 0 10 01 A . PAB. APC. Q AD. AQ5.已知A 是一个3 4矩阵，下列命题中正确的是（ C ）A. 若矩阵A 中所有3阶子式都为0,则秩（A ）=2B. 若A 中存在2阶子式不为0，则秩（A ）=2C. 若秩（A ）=2，则A 中所有3阶子式都为0D. 若秩（A ）=2，则A 中所有2阶子式都不为0 6 .下列命题中错误的是（C ）b 1 b 2 C i a ?C 2b 1 b 2b i b 2C 1 C 2A . ACBB. CABC. CBAD. BCAC.由1个非零向量组成的向量组线性相关D. 2个成比例的向量组成的向量组线性相关7. 已知向量组 1,2,3线性无关，1 ,2 ,3 ,线性相关，则 (D)A . 1必能由2, 3,线性表出 B . 2必能由1, 3,线性表出C. 3必能由 1, 2,线性表出D.必能由1 , 2, 3线性表出注：1,2, 3是1,2, 3,的一个极大无关组.8 .设A 为m n 矩阵，m n ，则方程组Ax =0只有零解的充分必要条件是 A 的秩（D ） A .小于 mB.等于 mC.小于nD.等于n注：方程组 Ax =0有n 个未知量.9 .设A 为可逆矩阵，则与 A 必有相同特征值的矩阵为（ AT21A. AB. AC. AD. A| E A T | | （ E A ）T | | E A|，所以A 与A T 有相同的特征值.10.二次型 f （X 「X 2,X 3） X ； X ； x f 2X 1X 2 的正惯性指数为（C ） A . 0 B. 1C. 2D. 32 2 2 2f （X 1,X 2,X 3） （X 1 X 2） X 3 y 1 y 2，正惯性指数为 2.二、填空题（本大题共 10小题，每小题2分，共20分）1 1 32 012.设矩阵 A 20 1，B 0 1，则 A T B -----------------------------------A T B十T T13.设 (3, 1,0,2) ,(3,1, 1,4)，若向量 满足 2 3 ，贝U ___________ .11.行列式2007 2009 2008 2010的值为2007 20082009 20102000 2000 2000 2000 7 89 1014•设 A 为n 阶可逆矩阵，且| A| 1，则| | A 1 | _____________________n15.设A 为n 阶矩阵，B 为n 阶非零矩阵，若B 的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax =0的解,则 |A| _____________ n 个方程、n 个未知量的Ax =0有非零解，则|A| 0.x 1 x 2 x 30 16•齐次线性方程组123的基础解系所含解向量的个数为 _________________ .2x 1 x 2 3x 3 01 1 1 1 1 1 A，基础解系所含解向量的个数为 n r 3 2 1 .21 30 3 1117.设n 阶可逆矩阵A 的一个特征值是3，则矩阵 1A 2 必有一个特征值为3 111 1A 有特征值 3，则A 2有特征值（3）2 3, A 2 有特征值 . 33 3 31 2 2 18 .设矩阵A 2x0 的特征值为4,1, 2，则数x ____________________________20 0由 1x0412，得 x 2.a 1 /、219•已知 A 1/--2b0是正交矩阵，则 a b ________________ . 011由第1、2列正交，即它们的内积（a b ） 0，得a b 0.20.二次型 f (x 1 ,x 2, x 3) 4x 1x 2 2XM 3 6x 2x 3 的矩阵是 ___________________IA 1 |1|A|3计算题（本大题共 6小题，每小题 共 54 分)bb 2 3a bca b c1 1 1解：D2.22a bc2 .2 2a b cabcabca ab bc c3 .33a b c2 .2 2abc1 1 1b a caabc 0b ac aabc ,2 2220 .2 22 2b ac ab ac a11abc(ba)(c a)b a cabc(ba)(c a)(ca22. 已知矩阵B (2,1,3)， (1,2,3)(1)AB TC ； (2) A 2 .解: (1)A B T C1 3(1,2,3) (2) 注意到CB T(1,2,3)13 所以A 2 (B T C)(B T C)计算行列式 的21 .3 b b a c 2aa 32 c3 cb).23•设向量组 i (2,1,3,1)T , 2 (1,2,0,1)T , 3 (1,1, 3,0)T , 4 (1,1,1,1)T ，求向量组的秩2 1 1 1 解：A （1 2 1 1 1， 2， 3， 4) 3 0 3 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量. 一个极大无关组, 1 1 0 1 110 11 2 1 1 0 110 3 0 3 1 0 3 3 22 1 1 1 0 111 1 0 1 10 1 1 0，向量组的秩为 3,1, 2,4是 0 0 0 10 0 0 01 2 3 1 24 •已知矩阵A 0 1 2 , B 2 0 0 1 1 3 1 2・ 45・(1 )求A 1 ; (2)解矩阵方程AX B ・ 3 1 2 3 1 0 0 解：(1) (A, E) 0 1 2 0 1 0 0 0 1 0 0 1 12 010 3 0 10 0 1 2 0 0 10 0110 0 1 0 10 0 0 0 1012 1 1 4 1(2) X A 1B0 1 2 2 511325 •问a 为何值时，线性方程组 4 9 0 11 1 3x 1 2x 2 3x 342x 2 ax 3 2有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出 2x 1 2x 2 3x 3 6 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 解：(A,b)0 2 a 20 2 a 2 0 2 a 22 23 60 2320 0 a 3 0其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）P 1AP 0 23 a 2 222(9 a 2) 1 2 5，得 a 2 4, a 2 .a 320 0 E A 03 2 023对于 1 1，解(E A)x 0 : 1 0 0 11 2 3 4 1 2 0 4 a 3时，r(A,b) r(A) 3，有惟一解，此时(A,b)0 2 a 2 0 2 0 20 1 00 0 1 010 0 21 2 3 4 a 3时，r(A,b) r(A) 2 n ，有无穷多解，此时 (A,b)0 2 3 20 0 00 0 101 0 02 捲 2 0101 , x 21 ; 0 010 x 31 0 0 21 00 2X 1 0 2 3 2 0 1 3/2 1 , X 2 0 0 0 00 0X 3意吊21 3 x 3，通解为21 k 3/2 ，其中k 为任2 01X 32 0 026 .设矩阵A 03 a 的三个特征值分别为 0 a 31,2,5，求正的常数 a 的值及可逆矩阵 P,使解：由|A| 2 0 0 0 3a 0 a 3E A0 2 20 2 2 0 0 0X 1 0 01 1 , X2 X3 ，取 P 1 1 ；0 0X 3X 311 0 0对于 22，解(E A)x 0 :B. 63 0 2 02 10 5 00 0 2 02 3 2 3C. 120D. 12 D. 1800 0 0 0 1 0 X1 X1 1E A 0 1 2 0 0 1 ，X2 0，取p20 ；0 2 1 0 0 0 X3 0 0对于 3 5，解( E A)x 0 :3 0 0 1 0 0 x0 0E A 0 2 2 0 1 1 ，X2 X3，取P3 1 •0 2 2 0 0 0 X3 X3 10 1 0 1 0 0令P (P i,P2,P3) 1 0 1 ，则P是可逆矩阵，使P 1AP 0 2 01 0 1 0 0 5四、证明题(本题6分)27•设A, B, A B均为n阶正交矩阵，证明(A B) 1 A 1 B 1.证：A, B，A B均为n阶正交阵，则A T A 1，B T B 1，(A B)T(A B) 1，所以(A B) 1 (A B)T A T B T A 1 B 1•全国2010年7月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题答案一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)1 •设3阶方阵A ( 1，2，3)，其中i ( i 1,2,3 )为A的列向量，若|B| |( 1 2 2, 2, 3)1 6，则| A|| A| |( 1, 2, 3)| |( 1 2 2, 2, 3)| 6 •A. 122 •计算行列式C. 6(A )B. 120A. 1803 •若A 为3阶方阵且| A 1 | 2，则|2A|( C )1A . _B. 2C. 4D. 82 1 31 |A|, |2A| 2 |A| 84 .224 •设1 , 2, 3, 4都是3维向量，则必有(B ) A . 1， 2，3，4线性无关 B . 1， 2，3，4线性相关C 1可由2， 3，4线性表示D.1不可由2， 3， 4线性表示5 .若A 为6阶方阵，齐次方程组 Ax =0基础解系中解向量的个数为 2,则r(A) ( C ) A . 2B. 3C. 4D. 5由 6 r(A) 2，得 r(A) 4.6 .设A B 为同阶方阵，且r(A) r(B)，则(C ) A . A 与B 相似B. | A| |B|C. A 与B 等价D. A 与B 合同注：A 与B 有相同的等价标准形.7 .设A 为3阶方阵，其特征值分别为 2,1，0，贝U |A 2E| ( D ) A . 0B. 2C. 3D. 24A 2E 的特征值分别为4,3,2，所以| A 2E| 4 3 224 .8 .若A B 相似，则下列说法错误.的是(B ) A . A 与B 等价B. A 与B 合同C. |A||B|D. A 与B 有相同特征值注：只有正交相似才是合同的.3 0 2 10 0 02 33(2) 30 180 •2 0 5 0 2 0 2 33 0 2 109.若向量(1，2,1)与(2,3，t)正交，则t ( D )A. 2B. 0C. 2D. 416.125-17•若A 、B 为5阶方阵，且Ax 0只有零解，且r(B) 3，则r(AB) _______________________ Ax 0只有零解，所以 A 可逆，从而r(AB) r(B) 3 • 18 •实对称矩阵 2 1 0 1 0 1所对应的二次型f (x 1 ,x 2 ,x 3) 0 1 1 2 2 f(X 1,X 2,X 3) 2X 1 X 3 2X 1X 2 2X 2X 3 • 1 19 .设3元非齐次线性方程组 Ax b 有解1 2 , 2312，且r(A) 2，则Ax b 的通 3解是 _______________ 1 1 1 1 -(1 2) 0是Ax 0的基础解系，Ax b 的通解是 2 k 0 2 03 01 20 •设 2，则A T的非零特征值是 ________________ .3 三、计算题(本大题共 6小题，每小题9分，共54分) 21 •计算5阶行列式D2 0 0 0 1 0 2 0 0 00 0 2 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 2解: 连续3次按第2行展开, 22. 设矩阵X满足方程解:23.解:2 0 1 2 14 0 2 0 81 21 0 20 13，求X.28 31/21CB1/2求非齐次线性方程组(A,b)120 1 0 0 1 40X0 0 1 2 02 0 1 0 1 21 0 0 1 4 30 0 1 ,C 2 00 1 0 1 2 01 0 0B10 0 1 ,0 1 00 1 4 3 1 0 00 2 0 1 0 0 11 12 0 0 1 00 011 3 40 1 — 4 2 0 .21 0 1 0 2X2 3x3 x4 1X2 3X34x4 4 的通解.5x29X38X4 01 1 1 1 3 14 0 4 6 70 0 4 6 74 0 6 35 10 4 6 7 1 00 0 0 0 0 01 0 0 21 10 0则B 1211 1148 11X13x1AXB3/23/23/4 5/47/4 1/4出对应于这个特征值的全部特征向量.21 2 1 1解：设 是所对应的特征值，则A,即 5a 3 11 ,从而1b211a 1 2可得a 3 ,b 0 ,1 ；b 1对于1, 解齐次方程组(E A)X 0 :2 1 23 1 2 1 0 1 1 0 1 E A5 33 5 2 3 5 2 3 0 2 21 02 11 013 120 111 0 1X 1 X 3110 1 1X 2X 3，基础解系为1 ，属于1的全部特征向量为k1k 为任意0 0 0X 3 X 3 115 3 3x 1 4 X32 35/4 3/2 3/4 1 371/4 3/27/4 X 2 4 X 32 3 X 4，通解为 4 40 k11k 2 0 , k 1, k 2都是任意常数X 3X 31X 4X 424.求向量组 1 (1,2, 1,4),2(9,100,10,4),1 92 解:(；,T 2 ,T )2 10041 10 244 8 1 9 2 1 0 2 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 025.已知A192 1 92 1 50 2 0 41 0 1 10 2 0 19 01128 0向量组的秩为 2,1,曰 2是 「个极大无关组3( 2, 4,2, 8)的秩和一个极大无关组.2 1 25 a 3 的一个特征向量(1,1, 1)T ，求a,b 及所对应的特征值，并写非零实数. 2 11 2 26. 设A1 2 1 a ，试确定a 使r （A ） 2 .1 12221 1 21 12 21 12 2 解: A1 2 1a 2 1 1 2 0 3 3211 22121a3 3a 21 12 20 3 3 2 a0 时 r(A) 2 .0 00 a四、 证明题 （本大题共 1 小 、题,6分）27. 若1, 2 , 3是Ax b (b 0）的线性无关解，证明 21,31 是对应齐次线性方程组Ax 0的线性无关解.证：因为1, 2, 3是Ax b 的解，所以21 , 3k 1 k 2 0关，得k 10 ，只有零解k 1 k 2 0，所以21, 3k 2 0设 k 1 ( 21)k 2( 31） 0 ，即（k 1 k 2） 1k 1 2 k 2 3，由 1,2 ,3 线性无1是Ax 0的解;1线性无关.全国2011年1月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题 课程代码：04184|A 表示方阵A 的行列式•10小题，每小题2分，共20 分)ana 12a 131.设行列式a21 a22a23=4,a 31 a 32a33A.122a 112a 122a 13则行列式a21 a22 a23=(3a 31 3a 32 3a 33B.24C.36A .A 1CB C.B 1A 1C3. 已知 A"+A - E =0,则矩阵 A -1=( A. A E C.A +E4. 设1 , 2, 3, 4, 5是四维向量,A. 1 ,2,3，4,5 —定线性无关B. cA B 1D .CB 1A 1) B. -A -E D.-A +E则( )B. 1,2 ,3 ,4 ,5 —定线性相关5. 设A 是n 阶方阵，若对任意的 n 维向量x 均满足Ax =0,则( )A.A =0B.A =EC.r (A )= n D.0<r (A )<( n )6. 设A 为n 阶方阵，r ( A )< n ,下列关于齐次线性方程组 Ax =0的叙述正确的是(A.Ax =0只有零解B.Ax =0的基础解系含r (A )个解向量C. Ax =0的基础解系含n -r (A )个解向量D.Ax =0没有解7. 设1, 2是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，则()说明：本卷中, A 1表示方阵A 的逆矩阵，r(A 表示矩阵A 的秩,表示向量 与 的内2.设矩阵A, B, C, X 为同阶方阵，且 A, B 可逆，AXE =C,则矩阵X =(C. 5 —疋可以由1 , 2, 34线性表示 D. 1 —疋可以由 2 , 3 4, 5线性表出A. 2是Ax =b 的解B. 12是Ax =b 的解积，E 表示单位矩阵, 、单项选择题(本大题共D.48C. 3 i 2 2 是 Ax =b 的解D. 2 1 3 2 是 Ax =b 的解19. 设向量(-1 , 1,-3 ),（2, -1 ,）正交，则3 9 08.设1 ,2 , 3为矩阵A = 04 5的三个特征值，则 1 2 3=（)0 0 2A.20B.24C.28D.309.设P 为正交矩阵，向量 ,的内积为（,)=2,则(P ,P )=( )A. 1B.12C.-D.2210.二次型 f (X 1, X 2, X 3)= x j2 2X 2 X 3 2X 1X 22X 1 X 3 2X 2X 3 的秩为( )A.1B.2C.3D.4、填空题（本大题共 10小题，每小题2分，共20 分） 请在每小题的空格中填上正确答案。

2014年10月高等教育自学考试全国统一命题考试04184线性代数（经管类）试卷本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。

说明：本试卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，()A r 表示矩阵A 的秩。

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设3阶行列式111232221131211a a a a a a =2，若元素ij a 的代数余子公式为ij A （i,j=1,2,3)，则=++333231A A A 【 】A.1-B.0C.1D.2 2.设A 为3阶矩阵，将A 的第3行乘以21-得到单位矩阵E ， 则A =【 】 A.2- B.21-C.21D.2 3.设向量组321,,ααα的秩为2，则321,,ααα中 【 】 A.必有一个零向量B. B.任意两个向量都线性无关C.存在一个向量可由其余向量线性表出D.每个向量均可由其余向量线性表出4.设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=466353331A ,则下列向量中是A 的属于特征值2-的特征向量为【 】A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201D.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛211 5.二次型212322213214),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为 【 】A.0B.1C.2D.3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错误、不填均无分、6.设1312)(--=x x f ，则方程0)(=x f 的根是7.设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0210A ,则*A = 8.设A 为3阶矩阵，21-=A ,则行列式1)2(-A = 9.设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321B ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2001P ,若矩阵A 满足B PA =,则A = 10.设向量T )4,1(1-=α,T)2,1(2=α,T )2,4(3=α,则3α由21,αα线性表出的表示式为11.设向量组TT T k ),0,1(,)0,1,4(,)1,1,3(321===ααα线性相关，则数=k12.3元齐次线性方程组⎩⎨⎧=-=+003221x x x x 的基础解系中所含解向量的个数为13.设3阶矩阵A 满足023=+A E ，则A 必有一个特征值为 14.设2阶实对称矩阵A 的特征值分别为1-和1，则=2A 15.设二次型212221212),(x tx x tx x x f ++=正定， 则实数t 的取值范围是三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16.计算4阶行列式3100131001310013=D 的值。

作业1 行列式矩阵基础运算1 / 25 单选题（4分）正确答案 BA9B10C11D122 / 25 单选题（4分）正确答案 CA4312B51432C45312D6543213 / 25 单选题（4分）正确答案 C若是5阶行列式中带有正号的一项,则的值是( ).ABCD4 / 25 单选题（4分）正确答案 D设为阶行列式,则在行列式中的符号为( ).A正B负CD5 / 25 单选题（4分）正确答案 B行列式,. 若,则的取值为( ).ABCD6 / 25 单选题（4分）正确答案 A设为行列式中元素()的代数余子式,则( ). A0B1C2D37 / 25 单选题（4分）正确答案 A行列式( ).A0B1C2D38 / 25 单选题（4分）正确答案 B 行列式( ).ABCD9 / 25 单选题（4分）正确答案 C 排列的逆序数是( ).A10B11C12D1310 / 25 单选题（4分）正确答案 D行列式( ).A10B20CD11 / 25 单选题（4分）正确答案 C行列式( ).A20B200C2000D2000012 / 25 单选题（4分）正确答案 D行列式( ).A30B50C70D9013 / 25 单选题（4分）正确答案 D行列式( ).ABCD14 / 25 单选题（4分）正确答案 C行列式( ).A512B1024C1536D204815 / 25 单选题（4分）正确答案 C阶行列式( ).ABCD16 / 25 单选题（4分）正确答案 A为阶方阵,为阶单位矩阵,则下面等式正确的是( ). ABCD17 / 25 单选题（4分）正确答案 CABCD18 / 25 单选题（4分）正确答案 C设阶方阵的伴随矩阵为,且,则( ).ABCD19 / 25 单选题（4分）正确答案 BAB,则称为的逆矩阵CD方阵可逆的充分必要条件是20 / 25 单选题（4分）正确答案 B设方阵经若干次初等变换变成方阵,则必成立( ). AB若,则C若,则D21 / 25 判断题（4分）标准排列是偶排列.( )正确错误正确答案正确22 / 25 判断题（4分）正确错误正确答案正确23 / 25 判断题（4分）( ) 正确错误正确答案错误24 / 25 判断题（4分）正确错误正确答案错误25 / 25 判断题（4分）一个阶行列式与一个阶行列式,必不相等.( )正确错误正确答案错误作业2 矩阵性质向量基本运算1 / 25 单选题（4分）正确答案 C设和均为阶矩阵,则必有( ).ABCD2 / 25 单选题（4分）正确答案 D设均为阶方阵,且,则必有( ).ABCD3 / 25 单选题（4分）正确答案 B为阶矩阵,下列运算正确的是( ).AB若可逆,,则CD4 / 25 单选题（4分）正确答案 C为阶方阵,则( ).A或可逆必有可逆B与都可逆,必有可逆C或不可逆,必有不可逆D与都不可逆,必有不可逆5 / 25 单选题（4分）正确答案 DA非零矩阵的秩必大于零B如果阶方阵可逆,则的秩为C如果可逆,则D如果不可逆,则6 / 25 单选题（4分）正确答案 D设矩阵,且矩阵的秩,则( ). ABCD7 / 25 单选题（4分）正确答案 DA若且,则B若,则或C若,则D若,则8 / 25 单选题（4分）正确答案 C设为3阶方阵,且,则( ).A1BCD9 / 25 单选题（4分）正确答案 B设是矩阵,且,而,则( ).A1B2C3D410 / 25 单选题（4分）正确答案 B设阶方阵都是非零矩阵,若,则与的秩( ). A必有一个等于B都小于C一个小于,一个等于D都等于11 / 25 单选题（4分）正确答案 A已知,满足,则( ).ABCD12 / 25 单选题（4分）正确答案 B已知,,则( ).ABCD13 / 25 单选题（4分）正确答案 D设向量组Ⅰ:可由向量组Ⅱ:线性表示,则( ). A当时,向量组Ⅱ必线性相关B当时,向量组Ⅱ必线性相关C当时,向量组Ⅰ必线性相关D当时,向量组Ⅰ必线性相关14 / 25 单选题（4分）正确答案 B向量组的秩为,则必有( ).ABCD15 / 25 单选题（4分）正确答案 A线性相关的向量组的秩为,则必有( ).ABCD16 / 25 单选题（4分）正确答案 C线性无关的向量组的秩为,则必有( ).ABCD以上均有可能17 / 25 单选题（4分）正确答案 D维向量组线性无关的充要条件是( ). A中任何两个向量都线性无关B存在不全为零的个数,使得C中存在一个向量不能用其余向量线性表示D中任何一个向量都不能用其余向量线性表示18 / 25 单选题（4分）正确答案 D设向量组的秩为,则( ).A必有B向量组中任意个数小于的部分组线性无关C向量组中任意个向量线性无关D若,则向量组中任意个向量必线性相关19 / 25 单选题（4分）正确答案 BA不含零向量的向量组一定线性无关B含有零向量的向量组一定线性相关C不含零向量的向量组一定线性相关D含有零向量的向量组一定线性无关20 / 25 单选题（4分）正确答案 C设向量组线性无关,则下列向量组中线性相关的是( ). ABCD21 / 25 判断题（4分）若,则或.( )正确错误正确答案错误22 / 25 判断题（4分）若均为阶方阵,则有.( )正确错误正确答案错误23 / 25 判断题（4分）若,且,则有.( )正确错误正确答案错误24 / 25 判断题（4分）若均为阶方阵,则有.( )正确错误正确答案错误25 / 25 判断题（4分）若阶方阵的秩为,则的伴随矩阵的秩也为.( )正确错误正确答案正确作业3 向量组的线性相关性方程组可解性判断1 / 25 单选题（4分）正确答案 B设为维向量组,且秩为(),则( ).A线性无关B线性相关C任一向量都可以表示为其余向量的线性组合D任一向量都不可以表示为其余向量的线性组合2 / 25 单选题（4分）正确答案 C若向量组线性无关,向量组线性相关,则( ).A必可由线性表示B必不可由线性表示C必可由线性表示D必不可由线性表示3 / 25 单选题（4分）正确答案 C若矩阵中个列向量线性无关,则的秩( ).A大于B大于C等于D等于4 / 25 单选题（4分）正确答案 C至多为( ).A1B2C3D45 / 25 单选题（4分）正确答案 CA若向量与正交,则对任意实数,与也正交B若向量与向量都正交,则与的任一线性组合也正交C若向量与正交,则,中至少有一个是零向量D若向量与任意同维向量正交,则是零向量6 / 25 单选题（4分）正确答案 A若为阶方阵,,则齐次线性方程组的基础解系含有的解向量个数为( ).BCD不确定7 / 25 单选题（4分）正确答案 A设矩阵,方程组仅有零解的充分必要条件是( ).A的列向量组线性无关B的列向量组线性相关C的行向量组线性无关D的行向量组线性相关8 / 25 单选题（4分）正确答案 B齐次线性方程组,其中为矩阵,且,是该方程组的三个线性无关的解向量,则下列选项中哪个是的基础解系( ).ABCD9 / 25 单选题（4分）正确答案 B已知是非齐次线性方程组的两个不同解,是其对应的齐次线性方程组的基础解系,为任意常数,则方程组的通解为( ).ABCD10 / 25 单选题（4分）正确答案 C设为阶方阵,且的秩,是的两个不同的解,则的通解为( ).BCD11 / 25 单选题（4分）正确答案 D已知齐次线性方程组有非零解,则为( ).A3B4CD12 / 25 单选题（4分）正确答案 D设为阶方阵,且的秩,则的基础解系( ).A仅有唯一向量B有有限个向量C有无限个向量D不存在13 / 25 单选题（4分）正确答案 D为阶方阵,则可逆的充要条件是( ).A任一行向量都是非零向量B任一列向量都是非零向量C有解D14 / 25 单选题（4分）正确答案 D元线性方程组有唯一解的充要条件是( ).ABC为方阵且D,且可由的列向量线性表示15 / 25 单选题（4分）正确答案 D设是矩阵,是非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组,则下列结论正确的是( ).A若仅有零解,则有唯一解B若有非零解,则有无穷多个解C若有无穷多个解,则仅有零解D若有无穷多个解,则有非零解16 / 25 单选题（4分）正确答案 C设为4元非齐次线性方程组的三个解向量,且,若,,为任意常数,则线性方程组的通解为( ).ABCD17 / 25 单选题（4分）正确答案 B若方程组无解,则( ).A1BCD18 / 25 单选题（4分）正确答案 D设是齐次线性方程组的一个基础解系,则该方程组的基础解系也可以是( ). A用表示出的向量组B与秩相同的向量组C与等价的一个向量组D与等价的一个线性无关向量组19 / 25 单选题（4分）正确答案 C与向量都正交的全部向量为( ).ABCD20 / 25 单选题（4分）正确答案 B若为阶方阵,,则齐次线性方程组的基础解系含有的向量个数为( ).A1B3CD21 / 25 判断题（4分）若两个维向量组等价,则这两个向量组的秩相等.( )正确错误正确答案正确22 / 25 判断题（4分）若两个维向量组的秩相等,则这两个向量组等价.( )正确错误正确答案错误23 / 25 判断题（4分）量.( )正确错误正确答案错误24 / 25 判断题（4分）若向量组线性相关,则必含有零向量.( )正确错误正确答案错误25 / 25 判断题（4分）若向量组线性无关,则必不含有零向量.( )正确错误正确答案正确作业4 线性方程组求解矩阵对角化1 / 25 单选题（4分）正确答案 D设是的特征值,则矩阵的一个特征值为( ).ABCD2 / 25 单选题（4分）正确答案 C设是非奇异矩阵的特征值,则矩阵有一个特征值为( ).ABCD3 / 25 单选题（4分）正确答案 C已知3阶矩阵的三个特征值分别为,则( ).ABCD4 / 25 单选题（4分）正确答案 C设是方阵的一个特征值,则矩阵的一个特征值为( ).ABCD5 / 25 单选题（4分）正确答案 A如果矩阵与相似,则( ).ABCD6 / 25 单选题（4分）正确答案 C已知3阶方阵的特征值分别为,,则( ).A3BCD17 / 25 单选题（4分）正确答案 C3阶方阵的特征值分别为,,则的特征值为( ). ABCD8 / 25 单选题（4分）正确答案 D已知与相似,则( ).A1B2C3D69 / 25 单选题（4分）正确答案 D三阶方阵的特征值为,则的特征值为( ).ABCD10 / 25 单选题（4分）正确答案 C设为阶可逆矩阵,是的一个特征值,则的伴随矩阵的特征值之一是( ). ABCD11 / 25 单选题（4分）正确答案 B若是矩阵的特征值,则( ).A0B1C2D312 / 25 单选题（4分）正确答案 C设为阶方阵,且为的个特征值,与相似,则( ).A0BCD13 / 25 单选题（4分）正确答案 D若为阶正交矩阵,则( ).A0B1CD14 / 25 单选题（4分）正确答案 B若方阵相似,则下列结论不正确的是( ).A的秩必定相等B均可逆C必定等价D的行列式必定相等15 / 25 单选题（4分）正确答案 B若方阵可对角化,则满足的条件为( ).ABCD16 / 25 判断题（4分）若,则方程组仅有零解.( )正确错误正确答案错误17 / 25 判断题（4分）若方程组有非零解,则方程组有无穷多解.( ) 正确错误正确答案错误18 / 25 判断题（4分）若方程组有无穷多解,则方程组有非零解.( ) 正确错误正确答案正确19 / 25 判断题（4分）若,则的列向量都是方程组的解.( )正确错误正确答案正确20 / 25 判断题（4分）若,则的列向量都是方程组的解.( )正确错误正确答案错误21 / 25 判断题（4分）若是阶方阵的一个特征值,则.( )正确错误正确答案正确22 / 25 判断题（4分）设,则的内积等于0.( )正确错误正确答案正确23 / 25 判断题（4分）若为正交矩阵,则也是正交矩阵.( )正确错误正确答案正确24 / 25 判断题（4分）若可对角化,则必定可逆.( )正确错误正确答案错误25 / 25 判断题（4分）若可逆,则必可对角化.( )正确错误正确答案错误作业5 二次型1 / 20 单选题（5分）正确答案 A二次型的秩为2,则( ).A0B1C2D32 / 20 单选题（5分）正确答案 B实二次型的秩为2,则( ).A0B1C2D33 / 20 单选题（5分）正确答案 B设是正定矩阵,则应满足的条件是( ). ABCD4 / 20 单选题（5分）正确答案 B已知矩阵为正定矩阵,则一定满足条件( ).ABCD5 / 20 单选题（5分）正确答案 C矩阵正定,则满足( ).ABCD6 / 20 单选题（5分）正确答案 B二次型正定,则满足( ).ABCD7 / 20 单选题（5分）正确答案 C二次型为正定二次型,则满足( ).ABCD8 / 20 单选题（5分）正确答案 C若二次型为正定二次型,则应该满足条件( ).ABCD9 / 20 单选题（5分）正确答案 C二次型的矩阵是( ).ABCD10 / 20 单选题（5分）正确答案 C矩阵对应的二次型是( ).ABCD11 / 20 单选题（5分）正确答案 A已知方阵合同,则( ).A必定等价B必定相似C都可逆D都不可逆12 / 20 单选题（5分）正确答案 C二次型,下列哪个是它的标准型( ). ABCD13 / 20 单选题（5分）正确答案 D二次型的规范型为( ).ABCD14 / 20 单选题（5分）正确答案 A若是阶正定矩阵,则( ).A必为正定矩阵B必为负定矩阵C必为半正定矩阵D必为半负定矩阵15 / 20 单选题（5分）正确答案 B二次型的正定性是( ). A正定B负定C半正定D半负定16 / 20 判断题（5分）二次型的矩阵一定是对称矩阵.( )正确错误正确答案正确17 / 20 判断题（5分）若正定,则必定可逆.( )正确错误正确答案正确18 / 20 判断题（5分）若可逆,则必为正定矩阵.( )正确错误正确答案错误19 / 20 判断题（5分）正确错误正确答案正确20 / 20 判断题（5分）正确错误正确答案错误。

继 续 教 育 学 院函授站（点）： 课程：线性代数（作业考核 线下）院校学号： 专业： 班 级： 姓名：一、选择题1. 已知矩阵m n n m B A ⨯⨯,，则下列（ ）运算结果为n 阶矩阵。

(A) AB (B) BA (C) T AB )( (D) T T A B2. 如果0333231232221131211≠==M a a a a a a a a a D ，2322213332311312111222222a a a a a a a a a D =，则=1D （ ）(A) M 4 (B) M 4- (C) M 8 (D) M 8-3. 设A 为三阶矩阵，a A =||，•A 为A 的伴随矩阵，则=•||A （ ） (A) a (B) 2a (C) 3a (D) 4a4. 下列矩阵（ ）是初等矩阵。

(A) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001100010 (B) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010001100 (C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000210002 (D) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1004100015. 设齐次线性方程组0=⨯x A n m ，且3)(-=n A R ，321,,ξξξ是方程组的三个线性无关的解向量，则（ ）不是0=⨯x A n m 的基础解系 (A)321,,ξξξ (B) 133221,,ξξξξξξ+++ (C) 321211,,ξξξξξξ+++ (D) 133221,,ξξξξξξ---6．四阶行列式112233440000000a b a b b a b a 的值等于（ ）。

()A 12341234a a a a b b b b -； ()B 12341234a a a a b b b b +； ()C 12123434()()a a b b a a b b --； ()D 23231414()()a a b b a a b b --.7．设A 为四阶矩阵且A b =，则A 的伴随矩阵*A 的行列式为（ ）。

河海大学函授2011水利水电工程专业、工程管理专业、土木工程专业、机械工程及自动化专业、会计学专业《线性代数》函授自学周历及测验作业课程名称：线性代数（专升本）2011级各专业教材名称及版本：朱永忠编著《线性代数》，河海大学出版社，函授站要求：1、测验卷做好后务必于集中上课的第一天直接交给函授站,由函授站统一集中寄给河海大学老师批改。

测验不交或迟交者无平时成绩，考试无效！2、各位函授生要克服一切困难，排除各种干扰，自我约束，按照各门课程教学周历的要求，抓紧平时自学。

大学的关键就是自学，以平时自学为主，仅仅靠集中上课的学习是完不成学业的。

河海大学函授2011水利水电工程专业、工程管理专业、土木工程专业、机械工程及自动化专业、会计学专业《线性代数》测验作业站名：安徽水院站专业：姓名学号成绩（告示：请各位同学一定要把姓名、学号和专业写清、写对，出现错误者作零分处理，特此告示）一、填空题（本题满分14分，每空2分）1．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-5000400031A ，则=A ；2．设)2,5,3(=A ，)3,2,1(=B ，则=B A T ，=T AB ； 3．设A 为3阶矩阵，且|A |=2，则=|)(|**A ，=--|23|*1A A ；4．设二次型3231212322213214225),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=为正定二次型，则t 应满足；5．若3阶矩阵A 与B 相似，且A 的特征值为1、21、31，则行列式=--||1E B 。

二、选择题（本题满分12分，每小题3分）1．设A 与B 均为n 阶矩阵，则下列结论中正确的是（ ）。

（A ）若|AB |=0，则A =O 或B =O ； （B ）若|AB |=0，则|A |=0或|B |=0； （C ）若AB =O ，则A =O 或B =O ； （D ）若AB ≠O ，则A ≠O 或B ≠O 。

2．设A 是5×6矩阵，则下列结论正确的是（ ）。

全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式m b b a a =2121，n c c b b =2121，则=++221121c a c a b b （ B ）A ．n m -B ．m n -C ．n m +D ．)(n m +-m n n m c c b b a a b b c a c a b b -=+-=+=++21212121221121．2．设A , B , C 均为n 阶方阵，BA AB =，CA AC =，则=ABC （ D ） A ．ACBB ．CABC ．CBAD ．BCABCA CA B AC B C BA C AB ABC =====)()()()(．3．设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且1||=A ，2||-=B ，则行列式||||A B 之值为（ A ） A ．8-B ．2-C ．2D ．88||)2(|2|||||3-=-=-=A A A B ．4．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a aa a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211333a a a a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100030001P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100013001Q ，则=B （ B ）A ．PAB ．APC ．QAD ．AQ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a aa a a a a a AP ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100030001B a a a a a a a a a =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211333． 5．已知A 是一个43⨯矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩(A )=2 B ．若A 中存在2阶子式不为0，则秩(A )=2 C ．若秩(A )=2，则A 中所有3阶子式都为0 D ．若秩(A )=2，则A 中所有2阶子式都不为0 6．下列命题中错误．．的是（ C ） A ．只含有1个零向量的向量组线性相关B ．由3个2维向量组成的向量组线性相关C ．由1个非零向量组成的向量组线性相关D ．2个成比例的向量组成的向量组线性相关 7．已知向量组321,,ααα线性无关，βααα,,,321线性相关，则（ D ） A ．1α必能由βαα,,32线性表出 B ．2α必能由βαα,,31线性表出 C ．3α必能由βαα,,21线性表出D ．β必能由321,,ααα线性表出注：321,,ααα是βααα,,,321的一个极大无关组．8．设A 为n m ⨯矩阵，n m ≠，则方程组Ax =0只有零解的充分必要条件是A 的秩（ D ） A ．小于mB ．等于mC ．小于nD ．等于n注：方程组Ax =0有n 个未知量．9．设A 为可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵为（ A ） A ．T AB ．2AC ．1-AD ．*A|||)(|||A E A E A E T T -=-=-λλλ，所以A 与T A 有相同的特征值．10．二次型212322213212),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为（ C ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3222123221321)(),,(y y x x x x x x f +=++=，正惯性指数为2．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11．行列式2010200920082007的值为_____________． 21098720002000200020002010200920082007-=+=．12．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102311A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1002B ，则=B A T_____________． ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=130121B A T ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1602221002． 13．设T )2,0,1,3(-=α，T )4,1,1,3(-=β，若向量γ满足βγα32=+，则=γ__________．T T T )8,3,5,3()4,0,2,6()12,3,3,9(23-=---=-=αβγ．14．设A 为n 阶可逆矩阵，且nA 1||-=，则|=-||1A _____________． n A A -==-||1||1． 15．设A 为n 阶矩阵，B 为n 阶非零矩阵，若B 的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax =0的解，则=||A _____________．n 个方程、n 个未知量的Ax =0有非零解，则=||A 0．16．齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-=++0320321321x x x x x x 的基础解系所含解向量的个数为_____________．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=130111312111A ，基础解系所含解向量的个数为123=-=-r n ．17．设n 阶可逆矩阵A 的一个特征值是3-，则矩阵1231-⎪⎭⎫⎝⎛A 必有一个特征值为_________．A 有特征值3-，则231A 有特征值3)3(312=-，1231-⎪⎭⎫⎝⎛A 有特征值31．18．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=00202221x A 的特征值为2,1,4-，则数=x _____________．由21401-+=++x ，得=x 2．19．已知⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10002/102/1b a A 是正交矩阵，则=+b a _____________． 由第1、2列正交，即它们的内积0)(21=+b a ，得=+b a 0．20．二次型323121321624),,(x x x x x x x x x f ++-=的矩阵是_____________．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--031302120． 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式333222c c b b a a c b a cb a D +++=的值． 解：222333222333222111c b a c b a abc c b a c b a c b a c c b b a a c b a c b aD ==+++= 2222222200111a c a b ac ab abc a c a b a c ab abc ----=----=))()((11))((b c a c a b abc ac a b a c a b abc ---=++--=．22．已知矩阵)3,1,2(=B ，)3,2,1(=C ，求（1）C B A T =；（2）2A ．解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==963321642)3,2,1(312C B A T；（2）注意到13312)3,2,1(=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=T CB ，所以131313)())((2=====A C B C CB B C B C B A T T T T T ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛963321642．23．设向量组T 4T 3T 2T 1(1,1,1,1),)0,3,1,1(,(1,2,0,1),(2,1,3,1)=--===αααα，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==1011130311211112),,,(4321ααααA →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1112130311211011→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1110233001101011 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1000200001101011→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000100001101011→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000100001101101，向量组的秩为3，421,,ααα是一个极大无关组，213ααα+-=．24．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100210321A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=315241B ．（1）求1-A ；（2）解矩阵方程B AX =． 解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001100210321),(E A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100210301100010021→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100210121100010001，1-A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100210121； （2）==-B A X 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100210121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3111094315241．25．问a 为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++63222243232132321x x x ax x x x x 有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=63222204321),(a b A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---23202204321a →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-03002204321a a ．3≠a 时，3)(),(==A r b A r ，有惟一解，此时→),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010********a →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010********* →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010*********→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010*********，⎪⎩⎪⎨⎧===012321x x x ； 3=a 时，n A r b A r <==2)(),(，有无穷多解，此时→),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000023204321→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000023202001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000012/3102001，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==333212312x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12/30012k ，其中k 为任意常数．26．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3030002a a A 的三个特征值分别为5,2,1，求正的常数a 的值及可逆矩阵P ，使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-5000200011AP P ．解：由521)9(23323030002||2⨯⨯=-===a a aa a A ，得42=a ，2=a ．=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----320230002λλλ．对于11=λ，解0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----220220001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000110001，⎪⎩⎪⎨⎧=-==333210x x x x x ，取=1p ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110；对于22=λ，解0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----120210000→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000100010，⎪⎩⎪⎨⎧===003211x x x x ，取=2p ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001；对于53=λ，解0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--220220003→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000110001，⎪⎩⎪⎨⎧===333210x x x x x ，取=3p ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110．令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==101101010),,(321p p p P ，则P 是可逆矩阵，使⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-5000200011AP P ．四、证明题（本题6分）27．设A ，B ，B A +均为n 阶正交矩阵，证明111)(---+=+B A B A ．证：A ，B ，B A +均为n 阶正交阵，则1-=A A T ，1-=B B T ，1)()(-+=+B A B A T ，所以111)()(---+=+=+=+B A B A B A B A T T T ．全国2010年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设3阶方阵),,(321ααα=A ，其中i α（3,2,1=i ）为A 的列向量，若=||B 6|),,2(|3221=+αααα，则=||A （ C ） 6|),,2(||),,(|||3221321=+==αααααααA ．A ．12-B ．6-C ．6D ．122．计算行列式=----32320200051020203（ A ）A ．180-B ．120-C ．120D ．18018030)2(310203)2(32005102203332320200051020203-=⨯-⨯=⨯-⨯=--⨯=----． 3．若A 为3阶方阵且2||1=-A ，则=|2|A （ C ） A ．21B ．2C ．4D ．821||=A ，4218||2|2|3=⨯==A A ． 4．设4321,,,αααα都是3维向量，则必有（ B ） A ．4321,,,αααα线性无关B ．4321,,,αααα线性相关C ．1α可由432,,ααα线性表示D ．1α不可由432,,ααα线性表示5．若A 为6阶方阵，齐次方程组Ax =0基础解系中解向量的个数为2，则=)(A r （ C ） A ．2B ．3C ．4D ．5由2)(6=-A r ，得=)(A r 4．6．设A 、B 为同阶方阵，且)()(B r A r =，则（ C ） A ．A 与B 相似B ．||||B A =C ．A 与B 等价D ．A 与B 合同注：A 与B 有相同的等价标准形．7．设A 为3阶方阵，其特征值分别为0,1,2，则=+|2|E A （ D ） A ．0B ．2C ．3D ．24E A 2+的特征值分别为2,3,4，所以24234|2|=⨯⨯=+E A ．8．若A 、B 相似，则下列说法错误．．的是（ B ） A ．A 与B 等价B ．A 与B 合同C ．||||B A =D ．A 与B 有相同特征值注：只有正交相似才是合同的．9．若向量)1,2,1(-=α与),3,2(t =β正交，则=t （ D ）A ．2-B ．0C ．2D ．4由内积062=+-t ，得=t 4．10．设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为0,1,2，则（ B ） A ．A 正定B ．A 半正定C ．A 负定D ．A 半负定对应的规范型002232221≥⋅++z z z ，是半正定的． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=421023A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=010112B ，则=AB ______________．=AB ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-421023⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--224010356010112． 12．设A 为3阶方阵，且3||=A ，则=-|3|1A ______________．9313||13||3|3|33131=⋅=⋅==--A A A ． 13．三元方程1321=++x x x 的通解是______________．⎪⎩⎪⎨⎧==--=33223211x x x x x x x ，通解是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10101100121k k ． 14．设)2,2,1(-=α，则与α反方向的单位向量是______________．)2,2,1(31||||1--=-αα．15．设A 为5阶方阵，且3)(=A r ，则线性空间}0|{==Ax x W 的维数是______________．}0|{==Ax x W 的维数等于0=Ax 基础解系所含向量的个数：235=-=-r n ．16．1251)2/1(25||15|5|331-=⨯⨯-=⋅=-A A ．17．若A 、B 为5阶方阵，且0=Ax 只有零解，且3)(=B r ，则=)(AB r ______________．0=Ax 只有零解，所以A 可逆，从而=)(AB r 3)(=B r ．18．实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110101012所对应的二次型=),,(321x x x f ______________．32212321321222),,(x x x x x x x x x f +-+=．19．设3元非齐次线性方程组b Ax =有解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3211α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3 2 12α，且2)(=A r ，则b Ax =的通解是______________．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-001)(2121αα是0=Ax 的基础解系，b Ax =的通解是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001321k ． 20．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321α，则T A αα=的非零特征值是______________．由14321)3,2,1(=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααT ，可得A A T T T 1414)(2===αααααα，设A 的非零特征值是λ，则λλ142=，14=λ．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算5阶行列式2000102000002000002010002=D ．解：连续3次按第2行展开，243821128201020102420010200002010022=⨯=⨯=⨯=⨯=D ． 22．设矩阵X 满足方程⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-021102341010100001200010002X ，求X ．解：记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200010002A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001B ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=021102341C ，则C AXB =，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2/100010002/11A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-010*******B ，11--=CB A X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10002000121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---021102341⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010100001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=021********⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=20102443121． 23．求非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解．解：=),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------089514431311311→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------176401764011311→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000001764011311 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000017640441244→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000001764053604→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000004/14/72/3104/54/32/301，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==++-=-+=4433432431472341432345x x x x x x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-104/74/3012/32/3004/14/521k k ，21,k k 都是任意常数． 24．求向量组)4,1,2,1(1-=α，)4,10,100,9(2=α，)8,2,4,2(3---=α的秩和一个极大无关组．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=844210141002291),,(321TT T ααα→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21121012501291→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--08001900410291 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000010291→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000010201，向量组的秩为2，21,αα是一个极大无关组．25．已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量T )1,1,1(-=ξ，求b a ,及ξ所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量．解：设λ是ξ所对应的特征值，则λξξ=A ，即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111112135212λb a ，从而⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-λλλ121b a ，可得3-=a ，0=b ，1-=λ； 对于1-=λ，解齐次方程组0)(=-x A E λ：=-A E λ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+---201335212λλλ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----101325213→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----213325101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110220101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000110101，⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=333231x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111，属于1-=λ的全部特征向量为k ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111，k 为任意非零实数．26．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22111212112a A ，试确定a 使2)(=A r ．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22111212112a A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----a 12121122211→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----233023302211a →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a 00023302211，0=a 时2)(=A r ． 四、证明题（本大题共1小题，6分）27．若321,,ααα是b Ax =（0≠b ）的线性无关解，证明,12αα-13αα-是对应齐次线性方程组0=Ax 的线性无关解．证：因为321,,ααα是b Ax =的解，所以12αα-，13αα-是0=Ax 的解；设0)()(132121=-+-ααααk k ，即0)(3221121=++--αααk k k k ，由321,,ααα线性无关，得⎪⎩⎪⎨⎧===--0002121k k k k ，只有零解021==k k ，所以,12αα-13αα-线性无关．全国2011年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，（βα,）表示向量α与β的内积，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设行列式333231232221131211a a a a a a a a a =4，则行列式333231232221131211333222a a a a a a a a a =（ ） A.12 B.24 C.36D.482.设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =（ ） A.A -1CB -1B.CA -1B -1C.B -1A -1CD.CB -1A -13.已知A 2+A -E =0，则矩阵A -1=（ ） A.A -E B.-A -E C.A +ED.-A +E4.设54321,,,,ααααα是四维向量，则（ ）A.54321,,,,ααααα一定线性无关B.54321,,,,ααααα一定线性相关C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示D.1α一定可以由5432,,,αααα线性表出 5.设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（ ） A.A =0 B.A =E C.r (A )=nD.0<r (A )<(n )6.设A 为n 阶方阵，r (A )<n ，下列关于齐次线性方程组Ax =0的叙述正确的是（ ） A.Ax =0只有零解B.Ax =0的基础解系含r (A )个解向量C.Ax =0的基础解系含n -r (A )个解向量D.Ax =0没有解7.设21,ηη是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，则（ ） A.21ηη+是Ax =b 的解B.21ηη-是Ax =b 的解C.2123ηη-是Ax =b 的解D.2132ηη-是Ax =b 的解8.设1λ，2λ，3λ为矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200540093的三个特征值，则321λλλ=（ ）A.20B.24C.28D.309.设P 为正交矩阵，向量βα,的内积为（βα,）=2，则（βαP P ,）=（ ） A.21B.1C.23 D.210.二次型f (x 1,x 2,x 3)=323121232221222x x x x x x x x x +++++的秩为（ ） A.1 B.2C.3D.4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。