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2023八省联考数学试卷及答案2023届八省联考数学试卷及答案T8联考被人们戏称为“第二次全国大联考”，虽然“T8联考”试题的难度很大，但还是有些学生考出了不错的成绩，以下是关于2023八省联考数学试卷及答案的相关内容，供大家参考!2023届高三第一次学业质量评价(T8联考)数学试题及答案2023八省联考参与省份八省联考参与联考的省份有：广东、江苏、河北、湖南、辽宁、湖北、重庆、福建。
八省联考是一场跨越八省八校的联考，往年参加八省联考的学校有：福州一中(福建)、东北育才中学(辽宁)、石家庄二中(河北)、华中师大一附中(湖北)、西南大学附中(重庆)、南京师大附中(江苏)、湖南师大附中(湖南)、广东实验中学(广东)。
新高考适应性考试参考对象是应届高三生、往届复读生、以及参加了高考报名的社会高考生。
这些考生如果没有不可抗拒因素是都要参加的，因此在八个省份中，办有高三班级教学的学校是都要参加八省联考的。
部分省份除了以上重点中学参加外，还有其他高中校也会参与八省联考，有这么多名校共同把关，强强联合，想必对于新高考的热点趋势把握还是比较到位的，考试试卷有一定的参考价值，所有的同学们都可以试着做一下这套卷子。
八省联考可以让学生了解新高考模式：通过这次联考模拟考试，使考生适应“不分文理，必考+选考”的新高考模式，熟悉考试流程、试卷结构和题型难度。
高三数学复习技巧1.重视数学能力的培养现阶段，高三数学复习正处于紧张阶段，我们应该重视学生数学能力的培养，教会学生将知识转化成能力的本领，以此帮助他们尽快解决各种数学考题。
这亦是数学核心素养的重要要求。
如，学生复习几何知识时，可以将身边的皮球、水杯、易拉罐作为研究事物，通过简化、抽象等方式转化成课本中的几何图形，这样就能锻炼自己的数学抽象能力。
这样的复习技巧看似简单，却能增强想象能力，为日后数学渗透生活奠定基础。
2.增强复习时的自我思考跟随老师能快速解题，自己时却不得要领，这是因为自我思考较少，没有形成正确的解题思维。
2023届高三第一次T8联考试题及解析(数学)2023届高三第一次T8联考试题(数学)八省联考(T8)的意义八省份之所以可以采取联考方式进行演练，是因为这八省的高考模式基本一致，语数外科目都采用全国统一命题卷，选考科目只安排一次考试。
因此，可对语数外三门实行联考，物理、历史，化学、生物、政治、地理等选考科目则由各省自主命题考试。
而由于采取联考模式，也有一些舆论和学生、家长产生误解，认为这八省份考生要安排在一起录取，要通过联考比出高低来。
这完全不了解高考录取规定，在选考科目实行各省自主命题的情况下，怎么可能实行统一录取呢?即便语数外科目考试内容一样，也不具备横向比较的价值，因为高考实行的是分省按计划录取，不能简单以分数高低来评价基础教育的质量。
联考的价值是让新高考学生体验新高考形式、了解选考科目等级赋分方式，在联考结束后，根据联考成绩，考生可了解自己的学习成绩情况，做出接下来的升学规划，如是否参加强基计划，申请综合素质评价录取。
再就是，体验新高考全新的志愿填报方式。
在3+1+2模式下，考生填报志愿分物理类和历史类，这和传统的文理分科是完全不同的。
因为物理类，不再是物理+化学+生物的理科，首选物理科目的学生，有6种科目组合选择;同样，历史类也是如此。
所以，在填报志愿时，有两种不同的志愿填报方式，第一种是专业平行志愿方式，一个专业就是一个志愿单位;第二种是院校专业组平行志愿方式，一所院校将根据招生专业提出的选考科目要求，分为若干个院校专业组进行招生，由考生填报志愿。
八省份中，辽宁、河北、重庆实行专业平行志愿;广东、湖南、湖北、江苏、福建则实行院校专业组志愿方式。
T8八省联考和高考的区别1)考试性质不同高考是为了选拔人才，将学生进行合理的分层，所以高考题的难度适中。
而八省联考是为了考查你的复习情况，找出复习的盲点，所以难度相对来说会大一些。
2)难度不同高考为了筛选人才，在考试题目设置时，需要起到分层的作用，必考点、易考点、重点、难点都将有合理的比例，整体难度也不会比模拟考高。
绝密★启用前2023年T8联盟高考数学压轴试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.纯洁的冰雪，激情的约会，2030年冬奥会预计在印度孟买举行.按常理，该次冬奥会共有7个大项，如冰球、冰壶、滑冰、滑雪、雪车等；一个大项又包含多个小项，如滑冰又分为花样滑冰、短道速滑、速度滑冰三个小项.若集合U代表所有项目的集合，一个大项看作是几个小项组成的集合，其中集合A为滑冰三个小项构成的集合，下列说法不正确的是( )A. “短道速滑”不属于集合A相对于全集U的补集B. “雪车”与“滑雪”交集为空集C. “速度滑冰”与“冰壶”交集不为空集D. 集合U包含“滑冰”2.若复数z满足z(1+i)2=1−i，则z−的虚部为( )A. −12i B. −12C. 12i D. 123.已知函数f(x)=|sinπx|，g(x)=sinπ2x，若函数φ(x)=f(x)，x∈{x|f(x)≠g(x)}，则φ(x)的最小正周期为( )A. πB. 2C. 4D. 4π4.设F1，A分别是椭圆x216+y27=1的左焦点和右顶点，点P为椭圆上异于A点的任意一点，则使得PF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA⃗⃗⃗⃗⃗ =0成立的点P的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 45.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为( )A. f(x)=xcosπxB. f(x)=(x−1)sinπxC. f(x)=xcos[π(x+1)]D. f(x)=(x−1)cosπx6.已知正数a，b，c满足2022a=2023，2023b=2022，c=ln2，下列说法正确的是( )A. log a c>log b cB. log c a>log c bC. a c<b cD. c a<c b7.已知抛物线C：y=x2+2x和C2：y=−x2+a，若C1和C2有且仅有两条公切线l1和l2，l1和C1、C2分别相1切于M，N点，l2与C1、C2分别相切于P，Q两点，则线段PQ与MN( )A. 总是互相垂直B. 总是互相平分C. 总是互相垂直且平分D. 上述说法均不正确8.在平面四边形ABCD中，AB⊥AC，且AB=AC，AD=√ 2CD=2√ 2，则BD的最大值为( )A. 2√ 7B. 6C. 2√ 5D. 2√ 3二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
2023届高三第一次学业质量评价t8联考数学（含答案）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合{}{}22|log (2),|540==-=-+<A x y x B x x x ，则A B = ( ). A ∅B ()2,4C ()2,1-D ()4,+∞2．复数 (为虚数单位) ，则 =（ ）x.k.b.1A BC D 3．平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ）A a ，b 方向相同B a ，b 两向量中至少有一个为零向量C R λ∃∈，使得b a λ=D 存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=4．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为( )A 3B 4C 5D 65.已知下列命题：①命题“ ＞3x ”的否定是“ ＜3x ”； ②“a ＞2”是“a ＞5”的充分不必要条件；③“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题为真命题.④已知p 、q 为两个命题，若“ ”为假命题，则 “ ”为 真命题。
其中真命题的个数为（ ）A 3个B 2个C 1个D 0个6．已知数列{n a }满足*331log 1log ()n n a a n ++=∈N ，且2469a a a ++=， 则15793log ()a a a ++的值是（ ）A 15-B 5-C 5D 157. —空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的直观图为（ ）(1)i z i += i z 1122i +1122i -+1122i -1122i--1,2+∈∃x R x 1,2+∈∀x R x qp ∨q p ⌝∧⌝8. 设 为公比为q ＞1的等比数列，若 和 是方程的两根，则 + =（ ） A 18 B 10 C 25 D 99．已知是实数，则函数 的图像可能是 ( )A B C D10.若点P （cos α，sin α）在直线y=﹣2x 上，则的值等于（ ）AB CD11.已知函数)(x f 是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，若对于任意的实数0≥x ，都有)()2(x f x f =+，且当[)2,0∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，则)2012()2011(f f +-的值为（ ） A -1 B -2 C 2 D 112.如图，1F 、2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，1F O 为半径的圆与该双曲线左支交于A 、B 两点，若△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）.A 3B 2C 31-D 13+第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二.填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)13.已知抛物线 的准线方程为，则实数a 的值为 14.已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为{}n a 2010a 2011a 03842=+-x x 2012a 2013a ()cos f x a ax =a 2y ax =2y =-15. 设向量a ＝(sin15°，cos15°)， b ＝(cos15°，sin15°)，则向量a +b 与a -b 的夹角为16.已知点M （a,b ）由004x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩确定的平面区域内运动，则动点N （a+b,a-b ）所在平面区域的面积为_____三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本题满分12分）已知函数．（1）求f （x ）的周期和及其图象的对称中心；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，满足（2a ﹣c ）cosB=bcosC ，求函数f （A ）的取值范围．18. （本题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，1AA ⊥平面ABC ，BC AC ⊥，2BC AC ==，31=AA ，D 为AC 的中点．（Ⅰ）求证：1AB ∥平面1BDC ； （Ⅱ）求二面角C BD C --1的余弦值；（Ⅲ）在侧棱1AA 上是否存在点P ，使得CP ⊥平面1BDC 若存在，求出AP 的长；若不存在，说明理由．19．（本题满分12分）某个体服装店经营某种服装，一周内获纯利y(元)与该周每天销售这种服装的件数x 之间的一组数据如下：x 3 4 5 6 7 8 9 y66697381899091已知：∑∑∑======71717122.3487,45309,280i i i i i i i y x y x(1)求x ，y ；(2)纯利润y 与每天销售件数x 之间线性相关，求出线性回归方程． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：x b y a xn xy x n yx b ni ini ii ∧∧==∧-=--=∑∑,122120．（本题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F （1,0），M 为椭圆的上顶点，O 为坐标原点，且△OMF 是等腰直角三角形. （1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线l 交椭圆于P,Q 两点，且使F 为△PQM 的垂心（垂心：三角形三条高的交点）？若l 存在，求出直线l 的方程；若l 不存在，请说明理由.21．（本题满分12分）已知函数[x x x f ln )(=来源:学+科+网Z+X+X+K] （1）求函数)(x f 的极值点；（2）若直线l 过点（0，—1），并且与曲线)(x f y = 相切，求直线l 的方程； （3）设函数),1()()(--=x a x f x g 其中R a ∈，求函数)(x g 在],1[e 上的最小值.（其中e为自然对数的底数）四、选考题:（请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 做答时请写清题号，满分10分.）22．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程:在直角坐标系中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线)0(cos 2sin :2>=a a C θθρ，已知过点)4,2(P --的直线l 的参数方程为)(224222为参数t t y tx ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=，直线l 与曲线C 分别交于.,N M （1）写出曲线C 和直线l 的普通方程； 新*课标*第*一*网 （2）若PN ，，MN PM 成等比数列, 求a 的值．23．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲: 已知函数3212)(-++=x x x f （1）求不等式6)(≤x f 的解集；（2）若关于x 的不等式1)(-<a x f 的解集非空，求实数a 的取值范围.参考答案一． B C D B C B A A CB A D二． 13 18 14 2 15.90° 16. 16 _三．17. 15．（本小题共13分） 17．（12分）考点： 三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的对称性．. 专题：计算题． 分析：（1）化简函数f （x ）的解析式为 sin （+）+1，故f （x ）的周期为4π，由，故f （x ）图象的对称中心为．（2）利用正弦定理可得（2sinA ﹣sinC ）cosB=sinBcosC ，化简可得，从而得到的范围，进而得到函数f （A ）的取值范围． 解答：解：（1）由，∴f （x ）的周期为4π．由，故f （x ）图象的对称中心为．（2）由（2a ﹣c ）cosB=bcosC ，得（2sinA ﹣sinC ）cosB=sinBcosC ， ∴2sinAcosB ﹣cosBsinC=sinBcosC ，∴2sinAcosB=sin （B+C ），∵A+B+C=π，∴sin （B+C ）=sinA ，且sinA ≠0， ∴．∴，故函数f （A ）的取值范围是．点评： 本题考查三角函数性质及简单的三角变换，要求学生能正确运用三角函数的概念和公式对已知的三角函数进行化简求值． 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：连接1B C ，与1BC 相交于O ，连接OD ．∵11BCC B 是矩形，∴O 是1B C 的中点．又D 是AC 的中点，∴OD ∥1AB ． ………2分 ∵1AB ⊄平面1BDC ，OD ⊂平面1BDC ， ………3分 ∴1AB ∥平面1BDC ． ………4分[来源:学|科|网Z|X|X|K]（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，则1(000)C ，，，(032)B ，，，(030)C ，，，(230)A ，，，(130)D ，，， ………5分设111()n x y z =，，是平面1BDC 的一个法向量， 则1100n C B n C D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即111132030y z x y +=⎧⎨+=⎩，，令11x =，则11(1)32n =-，，， ………7分易知1(030)C C =，，是平面ABC 的一个法向量， ………8分 ∴11112cos 7736n C C n C C n C C⋅-<>===-⋅⨯，， ………9分 由题意知二面角1C BD C --为锐角，∴二面角1C BD C --的余弦值为27． ………10分（Ⅲ）假设侧棱1AA 上存在一点(2,0)P y ，， (03y ≤≤)，使得CP ⊥平面1BDC ． 则1100CP C B CP C D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，，即3(3)023(3)0y y -=⎧⎨+-=⎩，，∴373y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，． ………12分∴方程组无解．∴假设不成立．∴侧棱1AA 上不存在点P ，使CP ⊥平面1BDC ．19. 【解析】 (1)x ＝17(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6，y ＝17(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)≈79.86.6分(2)根据已知∑7i ＝1x 2i ＝280，∑7i ＝1y 2i ＝45 309， ∑7i ＝1x i y i ＝3 487， 利用已知数据可求得线性回归方程为y ^＝4.75x ＋51.36. 12分20.（本小题满分12分）解：（1）由△OMF 是等腰直角三角形得b=1，a =22=b故椭圆方程为1222=+y x ……………………………………………………4分（2）假设存在直线l 交椭圆于P,Q 两点，且使F 为△PQM 的垂心 设P （1x ,1y ）,Q （2x ,2y ）因为M （0,1），F （1,0），故1-=MF k ，故直线l 的斜率1=k于是设直线l 的方程为m x y +=由⎩⎨⎧=++=2222y x m x y 得0224322=-++m mx x --------------------6分由题意知△＞0，即2m ＜3，且322,3422121-=-=+m x x m x x ………8分由题意应有0=⋅FQ MP ，又),1(),1,(2211y x FQ y x MP -=-=故0)1)((222121=-+-++m m m x x x x 0)1(34322222=-+---⨯m m m m m解得34-=m 或1=m -------------------10分经检验，当1=m 时，△PQM 不存在，故舍去1=m ；当34-=m 时，所求直线34-=x y 满足题意综上，存在直线L ，且直线L 的方程为0433=--y x ………………………12分 21. 解：（1）()x x x f ,1ln +='＞0.……………………1分而()x f '＞0⇔lnx+1＞0⇔x ＞()x f e ',1＜0⇔1ln +x ＜0⇔0＜x ＜,1e所以()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1e上单调递增.……………3分 所以e x 1=是函数()x f 的极小值点，极大值点不存在.………………4分（2）设切点坐标为()00,y x ，则,ln 000x x y =切线的斜率为,1ln 0+x所以切线l 的方程为()().1ln ln 0000x x x x x y -+=-……………………5分又切线l 过点()1,0-，所以有()().01ln ln 10000x x x x -+=--解得.0,100==y x所以直线l 的方程为.1-=x y …………………………………………7分 （3）()()1ln --=x a x x x g ，则().1ln a x x g -+='()x g '＜0a x -+⇔1ln ＜0⇔0＜x ＜()x g e a '-,1＞0x ⇔＞,1-a e 所以()x g 在()1,0-a e 上单调递减，在()+∞-,1a e 上单调递增.…………9分 ①当,11≤-a e 即1≤a 时，()x g 在[]e ,1上单调递增， 所以()x g 在[]e ,1上的最小值为().01=g②当1＜1-a e ＜e ，即1＜a ＜2时，()x g 在[)1,1-a e 上单调递减，在(]e e a ,1-上单调递增. ()x g 在[]e ,1上的最小值为().11---=a a e a e g③当,1-≤a e e 即2≥a 时，()x g 在[]e ,1上单调递减， 所以()x g 在[]e ,1上的最小值为().ae a e e g -+=综上，当1≤a 时，()x g 的最小值为0；当1＜a ＜2时，()x g 的最小值为1--a ea ；当2≥a 时，()x g 的最小值为.ae e a -+……………………………………12分22.解：（Ⅰ）22,2y ax y x ==-. ……………..5分（Ⅱ）直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=ty t x 224222（t 为参数）,代入22y ax =, 得到222(4)8(4)0t a t a -+++=， ………………7分则有121222(4),8(4)t t a t t a +=+⋅=+.因为2||||||MN PM PN =⋅，所以2212121212()()4t t t t t t t t -=+-⋅=⋅. 解得 1a =. ………………10分 23 解：（Ⅰ）原不等式等价于313,,222(21)(23)6,(21)(23)6,x x x x x x ⎧⎧>-≤≤⎪⎪⎨⎨⎪⎪++-≤+--≤⎩⎩或或1,2(21)(23) 6.x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩解之得31312,12222x x x <≤-≤≤-≤<-或,或. 即不等式的解集为}21|{≤≤-x x . ………………5分（Ⅱ）()()()432123212=--+≥-++=x x x x x f . 41>-∴a ，解此不等式得53>-<a a 或. ………………10分（本题利用图像法或几何意义法仍然可解，请酌情给分.）2023届高三第一次学业质量评价t8联考数学（含答案）一、选择题：（共12题，每题5分，只有一个正确选项）1.已知集合{2,1,0,1,2,3}A =--，集合2{|4}B x y x ==-，则A B ⋂等于（ ）A.[2,2]-B.{1,0,1}-C.{2,1,0,1,2}--D.{0,1,2,3} 2.已知复数 z 满足(13)1i z i +=+，则||z =（ ）A ．22B ．21C ．2 D.23.具有线性相关关系的变量x 、y 的一组数据如下表所示.若y 与x 的回归直线方程为233-=∧x y ，则m 的值是（ ）A ．4B ．29C ．5.5D ．64.观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x ，y 之间关系最强的是（ ）5.已知，，且，则( )A.（2，-4）B.(2,4)或（2，-4）C.（2，-4）或（-2，4）D.（4，-8）6.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上是减函数，且(2)0f =，则使得()0f x <的x 取值范围是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C.(,2)(2,)-∞-+∞ D ．(2,2)-7.图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法．若输入209m =，121n =，则输出的m 的值为（ ）A ．0B ．11C ．22D ．88 8.下列有关命题的说法正确的是（ ）A ． 命题“若错误！未找到引用源。
2023届高三第一次学业质量评价(t8联考)数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 复数z=5i(2−i)(2+i)(i是虚数单位)的共轭复数为( )A. iB. −iC. 53i D. −53i2. 已知集合A={x∈R|y=√x−1}，B={y∈R|y=|x|−1}，则A∩B=( )A. [0,+∞)B. [1,+∞)C. [−1,+∞)D. [0,1]3. 直线mx−y−2=0与直线2x+y+2=0垂直的充要条件是( )A. m=12B. m=−12C. m=2D. m=−24. 已知函数f(x)=sinx+acosx的一个零点是π3，将函数y=f(2x)的图象向左平移5π12个单位长度后所得图象的表达式为( )A. y=2sin(2x−7π6) B. y=2sin(2x+π12)C. y=−2cos2xD. y=2cos2x5. 核电站只需消耗很少的核燃料，就可以产生大量的电能，每千瓦时电能的成本比火电站要低20%以上.核电无污染，几乎是零排放，对于环境压力较大的中国来说，符合能源产业的发展方向.2021年10月26日，国务院发布《2030年前碳达峰行动方案》，提出要积极安全有序发展核电.但核电造福人类时，核电站的核泄露核污染也时时威胁着人类，如2011年，日本大地震导致福岛第一核电站发生爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为2.47%.专家估计，要基本消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年，到那时，原有的锶90大约剩(参考数据lg0.9753≈−0.01086)A. 1108% B. 1107% C. 1108D. 11076. 已知两个等差数列2，6，10，⋯及2，8，14，⋯，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列{a n}，则数列{a n}的各项之和为( )A. 1666B. 1654C. 1472D. 14607. 已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SAC⊥平面SBC，SA=AC，SB=BC，球O的体积为36π，则三棱锥S−ABC的体积为( )A. 9B. 18C. 27D. 368. 已知正实数x，y满足x+y=1，则下列不等式恒成立的是A. x2+y2≥√22B. x x y y≤x y y x C. x x·y y⩽12D. y x·x y⩽12二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
八省八校（T8联考）2022届高三上学期第一次联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设R θ∈，则“π0θ3<<”是“0sin 2θ<<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．已知2i12i 1iz =-+-，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设,a b为非零向量，,λμ∈R ，则下列命题为真命题的是（）A ．若()0⋅-= a a b ，则a b=B ．若b a λ=，则||||||a b a b +=+ C ．若0a b λμ+=，则0λμ==D ．若||||a b > ，则()()0a b a b +⋅->4．已知函数()y f x =的图象与函数2x y =的图象关于直线y x =对称，()g x 为奇函数，且当0x >时，()()g x f x x =-，则(8)g -=（）A ．5-B ．6-C ．5D ．65．如图，抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 与C 相交于A ，B 两点，l 与y 轴相交于E 点．已知||7,||3AF BF ==，记AEF 的面积为1,S BEF 的面积为2S ，则（）A ．122S S =B ．1223S S =C ．123S S =D ．1234S S =620cos703λ︒+︒=，则λ的值为（）AB ．C ．D ．7．如图，已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为平行四边形，E ，F ，G 分别为棱1111,,AA CC C D 的中点，则下列各选项正确的是（）A ．直线1BC 与平面EFG 平行，直线1BD 与平面EFG 相交B ．直线1BC 与平面EFG 相交，直线1BD 与平面EFG 平行C ．直线1BC 、1BD 都与平面EFG 平行D ．直线1BC 、1BD 都与平面EFG 相交8．设a ，b 都为正数，e 为自然对数的底数，若1e ln a a b b b ++<，则（）A ．e ab >B ．1e a b +>C ．e ab <D ．1e a b +<二、多选题9．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数C ．()f x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π内的最小值为1D ．()f x 的图象关于直线23x π=-对称10．某中学在学校艺术节举行“三独”比赛（独唱独奏独舞），由于疫情防控原因，比赛现场只有9名教师评委给每位参赛选手评分，全校4000名学生通过在线直播观看并网络评分，比赛评分采取10分制．某选手比赛后，现场9名教师原始评分中去掉一个最高分和一个最低分，得到7个有效评分如下表．对学生网络评分按[7,8),[8,9),[9,10]分成三组，其频率分布直方图如图所示．教师评委A B C D E F G 有效评分9.69.19.48.99.29.39.5则下列说法正确的是（）A ．现场教师评委7个有效评分与9个原始评分的中位数相同B ．估计全校有1200名学生的网络评分在区间[)8,9内C ．在去掉最高分和最低分之前9名教师评委原始评分的极差一定大于0.7D ．从学生观众中随机抽取10人，用频率估计概率，X 表示评分不小于9分的人数，则()5E X =11．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在C 的右支上，且不与C 的顶点重合，则下列命题中正确的是（）A ．若3,2a b ==，则C 的两条渐近线的方程是32y x =±B ．若点P 的坐标为(2,42)，则C 的离心率大于3C ．若12PF PF ⊥，则12F PF △的面积等于2b D ．若C 为等轴双曲线，且122PF PF =，则123cos 5F PF ∠=12．在矩形ABCD 中，2,23AB AD ==，沿对角线AC 将矩形折成一个大小为θ的二面角B AC D --，若1cos 3θ=，则下列各选项正确的是（）A ．四面体ABCD 外接球的表面积为16πB ．点B 与点D 之间的距离为23C ．四面体ABCD 的体积为423D ．异面直线AC 与BD 所成的角为45︒三、填空题13．设函数13()e x f x x -=+的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则直线l 在y 轴上的截距为_________．14．已知2nx ⎫⎪⎭的展开式中第3项为常数项，则这个展开式中各项系数的绝对值之和为_________．（用数字作答）15．数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列（Fibonacci sequence ），该数列是由十三世纪意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci ）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．在数学上斐波那契数列可表述为12121,(3,)n n n a a a a a n n *--===+≥∈N ．设该数列的前n 项和为n S ，记2023a m =，则2021S =________．（用m 表示）四、双空题16．在平面直角坐标系中，若正方形的四条边所在的直线分别经过点(1,0),(2,0),(4,0),(8,0)A B C D ，则这个正方形的面积可能为______或_______．（每条横线上只填写一个可能结果）五、解答题17．已知函数21()cos cos 2222x x xf x =-+．（1）设()()g x f x =-，求函数()g x 的单调递减区间；（2）设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 为BC 边的中点，若1(),2f A a ==AD 的长的取值范围．18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1313,5a S a ==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n nb S =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ．定义[]x 为不超过x 的最大整数，例如[0.3]0,[1.5]1==．当[][][]1263n T T T +++= 时，求n 的值．19．如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，平面PAB ⊥平面,ABCD PB AB =，E 为BC 的中点．（1）若60PBA ∠=︒，证明：AE PD ⊥；（2）求直线AE 与平面PAD 所成角的余弦值的取值范围．20．设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，圆22:(2)(4)1(0)C x m y m m -+-=≠，点12,F F ，分别为E 的左右焦点，点C 为圆心，O 为原点，线段OC 的垂直平分线为l ．已知E 的离心率为12，点12,F F 关于直线l 的对称点都在圆C 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，问：是否存在实数m ，使直线AC 与BC 的斜率之和为23？若存在，求实数m 的值；若不存在，说明理由．21．元旦将至，学校文学社拟举办“品诗词雅韵，看俊采星驰”的古诗词挑战赛初赛阶段有个人晋级赛和团体对决赛．个人晋级赛为“信息连线”题每位参赛者只有一次挑战机会比赛规则为：电脑随机绐出错乱排列的五句古诗词和五条相关的诗词背景（如诗词题名、诗词作者等），要求参赛者将它们一一配对，有三对或三对以上配对正确即可晋级．团体对决赛为“诗词问答”题，为了比赛的广泛性，要求以班级为单位，各班级团队的参赛人数不少于30人，且参赛人数为偶数为了避免答题先后的干扰，当一个班级团队全体参赛者都答题完毕后，电脑会依次显示各人的答题是否正确并按比赛规则裁定该班级团队是否挑战成功，参赛方式有如下两种各班可自主选择其中之一参赛．方式一：将班级团队选派的2n 个人平均分成n 组，每组2人电脑随机分配给同一组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功．若这n 个小组都闯关成功，则该班级团队挑战成功．方式二：将班级团队选派的2n 个人平均分成2组，每组n 人电脑随机分配给同一组n 个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这n 个人都回答正确，则该小组闯关成功．若这2个小组至少有一个小组闯关成功则该班级团队挑战成功．（1）甲同学参加个人晋级赛，他对电脑给出的五组信息有且只有一组能正确配对，其余四组都只能随机配对，求甲同学能晋级的概率；（2）在团体对决赛中，假设你班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数()01p p <<，为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明你的理由．22．已知函数()ln sin f x a x x x =-+，其中a 为非零常数．（1）若函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，求a 的取值范围；（2）设3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且cos 1sin θθθ=+，证明：当2sin 0a θθ<<时，函数()f x 在(0,2)π上恰有两个极值点．八省八校（T8联考）2022届高三上学期第一次联考数学试题参考答案1．【答案】A 【分析】由三角函数的单调性直接判断π0θ3<<是否能推出0sin 2θ<<，反过来判断0sin 2θ<<时，是否能推出π0θ3<<.【详解】当π0θ3<<时，利用正弦函数sin y x =的单调性知0sin θ<<；当0sin θ<<()223k k k Z ππθπ<<+∈或()2223k k k Z πθππ+<<+∈.综上可知“π0θ3<<”是“0sin θ<的充分不必要条件.故选：A 【点睛】本题考查判断充分必要条件，三角函数的性质，意在考查基本判断方法，属于基础题型.2．【答案】B 【分析】由复数的乘除法法则求得z 后可得其对应点坐标，从而得象限．【详解】因为2i(1i)12i i 112i 23i (1i)(1i)z +=-+=--+=-+-+，则复数z 在复平面内对应的点(2,3)Z -位于第二象限，故选：B ．3．【答案】D 【分析】根据向量垂直的数量积表示判断A ，由向量共线判断BC ，利用数量积的运算判断D ．【详解】对于A ，()0()a a b a a b ⋅-=⇔⊥-，结论不成立，命题为假；对于B ，当a 与b方向相反时，结论不成立，命题为假；对于C ，当a 与b共线时，结论不成立，命题为假；对于D ，若||||a b > ，则22||||a b > ，即22a b > ，则220a b -> ，所以22()()0a b a b a b +⋅-=-> ，命题为真．故选：D ．4．【答案】C 【分析】先求出2()log f x x =，再求出(8)5g =-即得解.【详解】解：由已知，函数()y f x =与函数2x y =互为反函数，则2()log f x x =．由题设，当0x >时，2()log g x x x =-，则2(8)log 88385g =-=-=-．因为()g x 为奇函数，所以(8)(8)5g g -=-=.故选：C ．5．【答案】C 【分析】分别过点A ，B 作y 轴的垂线，垂足为11,A B ，利用三角形相似结合抛物线的定义求解.【详解】解：抛物线C 的准线方程为1x =-，分别过点A ，B 作y 轴的垂线，垂足为11,A B ，则11211||||||171231||||131||2AE h AA S AE AF S BE BB BF BE h ⋅--======--⋅，所以123S S =.故选：C．6．【答案】D【分析】切化弦后，由二倍角公式，两角差的正弦公式化简变形后可得．【详解】sin 203λ+︒=20sin 20cos203cos20λ︒︒=︒+︒，从而()sin 403cos 20206020402λ︒︒︒=︒-︒==︒，所以λ=，故选：D ．7．【答案】A 【分析】取AB 的中点H ，证明1BC HG ∥，1BC ∥平面EFG 即得证，再证明直线1BD 与平面EFG 相交即得解.【详解】解：取AB 的中点H ，则11//,=,BH C G BH C G 从而四边形1BC GH 为平行四边形，所以1BC HG ∥．易知////EH GF EH GF ，，则四边形EGFH 为平行四边形，从而GH ⊂平面EFG ．又1BC ⊄平面EFG ，所以1BC ∥平面EFG ．易知11//=BF ED BF ED ，，则四边形1BFD E 为平行四边形，从而1BD 与EF 相交，所以直线1BD 与平面EFG 相交.故选：A ．8．【答案】B把不等式进行变形，引入函数()ln f x x x =，由导数确定函数单调性，由单调性及不等关系得结论．【详解】由已知，1e(ln 1)lne a b a b b b +<-=，则e ln e ln e ea ab b <．设()ln f x x x =，则()e e ab f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭．因为0a >，则e 1a >．又(ln 1)0,0b b b ->>，则ln 1b >，即e b >，从而1eb>．当1x >时，()ln 10f x x '=+>，则()f x 在(1,)+∞内单调递增，所以e eab<，即1e a b +>，故选：B ．9．【答案】AC 【分析】由图知，()f x 的最小正周期为T π=，结论A 正确；求出2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而22sin 263f x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不是偶函数，结论B 错误；因为(0)f =，14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()f x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π内的最小值为1，结论C 正确；因为23x π=-为()f x 的零点，不是最值点，结论D 错误.【详解】解：由图知，()f x 的最小正周期为23471T πππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭=⨯，结论A 正确；因为22T πω==，2A =，则()2sin(2)f x x ϕ=+．因为3x π=为()f x 在(0,)+∞内的最小零点，则23πϕπ⨯+=，得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，从而22sin 22sin 26633f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦不是偶函数，结论B 错误；因为(0)2sin3f π==，2sin 2cos 14233f ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合图像可得()f x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π内的最小值为1，结论C 正确；因为242sin 2sin()0333f ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则23x π=-为()f x 的零点，不是最值点，结论D 错误.故选：AC ．10．【答案】ABD根据中位数概念判断A ，由频率分布直方图估计样本容量判断B ，由极差概念判断C ，由二项分布求出期望判断D ．【详解】去掉9个原始评分中的一个最高分和一个最低分，不会改变该组数据的中位数，A 正确；因为学生网络评分在区间[8,9)内的频率为0.3，学生总人数为4000，则网络评分在区间[8,9)内的学生估计有40000.31200⨯=人，B 正确；若去掉的一个最高分为9.6，去掉的一个最低分为8.9，则9名教师原始评分的极差等于0.7，C 错误；学生网络评分在区间[9,10]内的频率为0.5，则(10,0.5)X B ~，所以()100.5=5E X =⨯，D 正确；故选：ABD ．11．【答案】BC 【分析】本题根据双曲线的离心率和渐近线、三角形面积求法及余弦定理进行逐项分析即可求解.【详解】解：由题意得：A 选项：当3,2a b ==时，双曲线的渐近线的斜率23b k a =±=±，A 错误；B 选项：因为点P 在C 上，则224321a b -=，得222884b b a =+>，所以3e =，故B 正确；C 选项：122PF PF a -=，若12PF PF ⊥，则222212124PF PF F F c +==，即()22121224PFPF PF PF c -+⋅=，即2212424a PF PF c +⋅=，得()2221222PF PF c a b ⋅=-=，所以1221212F PF S PF PF b =⋅= ，C 正确；D 选项：若C 为等轴双曲线，则a b =，从而122F F c ==．若122PF PF =，则22PF a =，14PF a =．在12F PF △中，由余弦定理，得222222121212121648cos 2242PF PF F F a a a F PF PF PF a a +-+-∠===⋅⨯⨯34，D 错误故选：BC 12．【答案】ACD【分析】求出24R AC ==，即可判定A 正确；分别作,BE AC DF AC ⊥⊥，垂足为E ，F ，利用向量法求出||BD →=B 错误；证明CD ⊥平面ABD，求出V =C 正确；利用向量法求出,45AC BD →→=︒，所以异面直线AC 与BD 所成的角为45︒，故D 正确，【详解】解：如图，因为ABC 和ADC 都是以AC 为斜边的直角三角形，则AC 为四面体ABCD 外接球的直径．因为2,AB BC ==，则24R AC ==，所以四面体ABCD 外接球的表面积为2416S R ππ==，故A 正确；分别作,BE AC DF AC ⊥⊥，垂足为E ，F ，则,EB FD θ→→=．由已知可得，1,2EB FD AE CF EF ====．因为BD BE EF FD →→→→=++，则222||()BD BD BE EF FD →→→→→==++=2222BE EF FD BE FD →→→→→+++⋅343)8πθ=+++-=，所以||BD →=B 错误；因为22212CD BD BC +==，则CD BD ⊥．同理AB BD ⊥．又CD AD ⊥，,,AD BD D AD BD =⊂ 平面ABD ，则CD ⊥平面ABD，所以1114223323ABD V S CD =⨯=⨯= ，故C 正确；由已知可得，30CAD ∠=︒，60CAB ∠=︒，则()442cos608AC AD AB AC AD AC AB AC BD →→→→→→→→→⋅=⋅-=⋅-⋅=⨯︒-︒⨯=，则2cos ,2||||AC BD AC BD AC BD →→→→→→⋅=，得,45AC BD →→=︒，所以异面直线AC 与BD 所成的角为45︒，故D 正确，故选：ACD．13．【答案】2-【分析】求出导函数得切线斜率，写出切线方程后可得纵截距．【详解】因为12()e 3x f x x -'=+，则(1)4f '=．又(1)2f =，则切线方程为24(1)y x -=-，即42y x =-，所以该切线在y 轴上的截距为2-．故答案为：－2．14．【答案】729【分析】根据第三项为常数可知该项x 得指数为0，解得n ，62x ⎫⎪⎭的展开式中各项系数的绝对值之和与62x ⎫⎪⎭的展开式中各项系数之和相等故可得答案.【详解】解：由题意得：262222324n n nn T C C x x --⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∴602n -=，6n =又 62x ⎫⎪⎭的展开式中各项系数的绝对值之和与62x ⎫⎪⎭的展开式中各项系数之和相等∴当取1x =，得62x ⎫⎪⎭的展开式中各项系数之和为63729=．故答案为：72915．【答案】1m -【分析】由斐波那契的定义有21n n n a a a ++=-，2021S 中每一项都表示为两项的差，然后正负抵消后可得结论．【详解】由12n n n a a a --=+，得21n n n a a a ++=+，即()21n n n a a a n *++=-∈N ．所以()()()()2021123202132435420232022202321S a a a a a a a a a a a a a a m =++++=-+-+-++-=-=- 故答案为：1m -．16．【答案】1617365【分析】设直线1l 的倾斜角为02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，正方形的边长为a ．按121314//,//,//l l l l l l 分类讨论，用θ表示a ，从而求得a 正方形面积．【详解】不妨设正方形的四条边所在的直线分别为1243l l l l 、、、，它们分别经过点A 、B 、C 、D ，直线1l 的倾斜角为02πθθ⎛⎫<< ⎝⎭，正方形的边长为a ．①若12l l ∥，则34l l ∥，且31l l ⊥，从而3l 的倾斜角为2πθ+．因为||1AB =，则1l 与2l 之间的距离为sin θ，所以sin a θ=．因为||4CD =，则3l 与4l 之间的距离为4sin 4cos 2ππθθ⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以4cos a θ=．令sin 4cos θθ=，则()222sin 16cos 161sin θθθ==-，得216sin 17θ=，则正方形面216sin 17S θ==．②若13l l ∥，则24l l ∥，且21l l ⊥，从而2l 的倾斜角为2πθ+．因为||3AC =，则1l 与3l 之间的距离为3sin θ，所以3sin a θ=．因为||6BD =．则2l 与4l 之间的距高为6sin 6cos 2ππθθ⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以6cos a θ=．令3sin 6cos θθ=，则()222sin 4cos 41sin θθθ==-，得24sin 5θ=，则正方形面积2369sin 5S θ==．③若14l l ∥，则23l l ∥，且21l l ⊥，从而2l 的倾斜角为2πθ+．因为||7AD =，则1l 与4l 之间的距离为7sin θ，所以7sin a θ=．因为||2BC =，则2l 与3l 之间的距离为2sin 2cos 2ππθθ⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以2cos a θ=．令7sin 2cos θθ=，则()22249sin 4cos 41sin θθθ==-，得24sin 53θ=，则正方形面积219649sin 53S θ==．故答案为：1617；365（在1617、365、19653中任选其中两个填写）．17．【答案】（1）22,2,33k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z（2）32⎤⎥⎝⎦【分析】（1）由二倍角公式，两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后求出()g x ，再由复合函数的单调性与正弦函数的单调性得出减区间；（2）由（1）求得3A π=，由余弦定理得,b c 关系，结合基本不等式得bc 的范围，利用中线向量公式1()2AD AB AC =+，平方后结合向量的数量积运算可求得中线长的范围．（1）由已知，211()2cos 1cos sin 2226x f x x x x x π⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则()()sin sin 66g x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当()g x 单调過减时，函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增．令22,262k x k k πππππ-+≤++∈Z，得222,33k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ．所以函数()g x 的单调递减区间是22,2,33k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）因为1()sin ,(0,)62f A A A ππ⎛⎫=-=∈ ⎪⎝⎭，则3A π=．又a =223b c bc =+-，即223b c bc +=+．因为D 为BC 的中点，则()2222111()(23)444AD AB AC b c bc bc =+=++=+ ．因为222b c bc +≥，则32bc bc +≥，即03bc <≤，当且仅当b =c =1等号成立，所以239||44AD <≤ ，即3||22AD <≤ ．以线段AD 的长的取值范围是322⎛⎤ ⎥⎝⎦18．【答案】（1）21n a n =+（2）10【分析】（1）由等差数列的前n 项和公式求得公差d ，可得通项公式；（2）用裂项相消法求和求得n b ，根据新定义求得n T ，然后分组，结合等差数列的前n 项和公式计算后解方程可得．（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为13a =，则313393S a d d =+=+．因为31515S a ==，则9315d +=，得2d =．所以数列{}n a 的通项公式是32(1)21n a n n =+-=+．（2）因为2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+，则2211111(2)2n n b S n n n n =+=+=+-++所以111111111132435112n T n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111212n n n ⎛⎫=++-- ⎪++⎝⎭．当2n ≤时，因为111103212n n -≤--<++，则[]n T n =．当3n ≥时，因为111102122n n <--<++，则[]1n T n =+．因为[][][]1263n T T T +++= ，则1245(1)63n ++++++= ，即(2)(41)3632n n -+++=，即231300n n +-=，即(10)(13)0n n -+=．因为n *∈N ，所以10n =19．【答案】（1）证明见解析；（2）,15⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【分析】（1）取AB 的中点F ，连接,PF DF ．先证明PF AE ⊥，DF AE ⊥，即证AE ⊥平面PDF ，原题即得证；（2）分别取,PA PD 的中点G ，H ，连接AH ，证明EAH ∠为直线AE 与平面PAD 所成的角，设正方形ABCD 的边长为1，(02)PA x x =<<，在Rt AHE 中，cos AH EAH AE∠==.（1）解：取AB 的中点F ，连接,PF DF ．因为,60PB AB PBA =∠=︒，则PAB △为正三角形，所以PF AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，则PF ⊥平面ABCD ．因为AE ⊂平面ABCD ，则PF AE ⊥．①因为四边形ABCD 为正方形，E 为BC 的中点，则Rt DAF Rt ABE ≌，所以ADF BAE =∠∠，从而90ADF EAD BAE EAD BAD ∠+∠=∠+∠=∠=︒，所以DF AE ⊥．②又,,PF DF F PF DF =⊂ 平面PDF ,结合①②知，AE ⊥平面PDF ，所以AE PD ⊥．（2）解：分别取,PA PD 的中点G ，H ，则//GH AD ，12GH AD =．又//BE AD ,12BE AD =，则//=GH BE GH BE ，，所以四边形BGHE 为平行四边形，从而EH BG ∥．因为PB AB =，则BG PA ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，则AD ⊥平面PAB ，从而AD BG ⊥，因为,,PA AD A PA AD =⊂ 平面PAD ，所以BG ⊥平面PAD ，从而EH ⊥平面PAD ．连接AH ，则EAH ∠为直线AE 与平面PAD 所成的角．设正方形ABCD 的边长为1，(02)PA x x =<<，则1,22x BE GH AG ===．从而2AE ==，AH ==．在Rt AHE 中，cos AHEAH AE∠==因为当02x <<时，()f x =cos 5EAH ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以直线AE 与平面PAD 所成角的余弦值的取值范围是,15⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．20．【答案】（1）22143x y +=（2）不存在，理由见解析【分析】（1）由对称性求得12F F ，得c ，再由离心率得a ，然后求得b 得椭圆方程；（2）由垂直得出直线l 方程，代入椭圆方程，设点()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理得1212,x x x x +，代入23AC BC k k +=求解m ，若有解则存在，若无解，则说明不存在．（1）由已知，12c e a ==，则2a c =设点12,F F 关于直线l 的对称点分别为M ，N ，因为点O ，C 关于直线l 对称，O 为线段12F F 的中点，则C 为线段MN 的中点，从而线段MN 为圆C 的一条直径，所以12||2F F MN ==，即22c =，即1c =．于是2222,3a b a c ==-=，所以椭圆E 的方程是22143x y +=．（2）因为原点O 为线段12F F 的中点，圆心C 为线段MN 的中点，直线l 为线段OC 的垂直平分线，所以点O 与C 也关于直线l 对称，因为点(2,4)C m m ，则线段OC 的中点为(,2)m m ，直线OC 的斜率为2，又直线l 为线段OC 的垂直平分线，所以直线l 的方程为12()2y m x m -=--，即1522my x =-+．将1522m y x =-+代入22143x y +=，得225341222x m x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，即2241025120x mx m -+-=．设点()()1122,,,A x y B x y ，则2121252512,24m m x x x x -+==．所以121212124413322222AC BC y m y m x m x m k k x m x m x m x m ⎛⎫--+++=+=-+ ⎪----⎝⎭()()()()()()1221123232222x m x m x m x m x m x m +-++-=---()()2121221212212248x x m x x m x x m x x m ++-=--++．由已知，23AC BCk k +=，则()()2121221212212202483x x m x x m x x m x x m ++-+=-++，得()21212240x x m x x m -+-=．所以222251254022m m m ---=，即21m =，即1m =±．因为直线l 与椭圆E 相交，则()22Δ1001625120m m =-->，解得21625m <，即4||5m <．因为415<，所以不存在实数m ，使直线AC 与BC 的斜率之和为23．21．【答案】（1）724（2）方式一参赛，理由见解析【分析】（1）甲同学能晋级这个事件分类两个互斥事件的和：甲同学正确配对3对和甲同学正确配对5对，分别计算出概率相加可得；（2）设选择方式一、二的班级团队挑战成功的概率分别为12,P P ．求出12,P P 后作差12P P -，得了它们的大小关系，从而可得结论．（1）设甲同学正确配对3对为事件A ，正确配对5对为事件B ，甲同学能晋级为事件C ，则C A B =+，且A ，B 互斥．因为甲同学只有一组能正确配对，其余四组都随机配对，则24441()4C P A A ==，4111()24P B A ==．从而117()()()42424P C P A P B =+=+=，所以甲同学能晋级的概率为724．（2）设选择方式一、二的班级团队挑战成功的概率分别为12,P P ．当选择方式一时，因为两人都回答错误的概率为2(1)p -，则两人中至少有一人回答正确的概率为21(1)p --，所以211(1)(2)nn nP p p p ⎡⎤=--=-⎣⎦．当选择方式二时，因为一个小组闯关成功的概率为n p ，则一个小组闯关不成功的概率为1n p -，所以()()22112n n n P p p p =--=-．所以()12(2)2(2)2n n n n n n n P P p p p p p p p ⎡⎤-=---=-+-⎣⎦．设()(2)2n n f n p p =-+-，则11(1)()(2)(2)n n n nf n f n p p p p +++-=-+---(2)(1)(1)(1)(2)n n n n p p p p p p p ⎡⎤=--+-=---⎣⎦．因为01p <<，则10,21p p ->->，从而(2)1,1n n p p -><，所以(1)()0f n f n +->，即(1)()f n f n +>，所以()f n 单调递增．因为2222(2)(2)22422(1)0f p p p p p =-+-=-+=->，而15n ≥，所以()0f n >，从而120P P ->，即12P P >，所以为使本班挑战成功的可能性更大，应选择方式一参赛22．【答案】（1）(0,)+∞（2）证明见解析【分析】（1）求导后对参数进行分类讨论，然后根据单调性可求出参数的值；（2）求导后分析函数的单调性，然后二次求导后分析其极值.（1）（1）()cos 1(0)a f x x x x+'=->．若0a >，因为0x >，1cos 0x -≥，则()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，符合要求．若0a <，则当0,2a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2a x <-，从而()2cos 1(1cos )0f x x x <--+=-+≤'，所以()f x 在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，不合要求．综上分析，a 的取值范围是(0,)+∞．（2）令()0f x '=，则cos 10a x x-+=，即cos a x x x =-．设()cos g x x x x =-，则()cos sin 1g x x x x -'=-．①当(0,)x π∈时，cos 1,sin 0x x <>，则cos 10,sin 0x x x -<-<，从而()0g x '<，所以()g x 单调递减．②当3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin (sin cos )(2sin cos )g x x x x x x x x =--+=-+''．因为sin 0,cos 0x x <<，则()0g x ''>，从而()'g x 单调递增．因为()20g π=-<'，331022g ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭'，则()'g x 在3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有唯一零点，记为0x ，且当()0,x x π∈时，()0g x '<，则()g x 单调递减；当03,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，则()g x 单调递增．③当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()(2cos cos sin )sin 3cos g x x x x x x x x =-+-=-'''．因为sin 0,cos 0x x <>，则()0g x '''<，从而()g x ''单调递减．因为3202g π⎛⎫=> ⎪⎭'⎝'，(2)20g p p ⅱ=-<，则()g x ''在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内有唯一零点，记为1x ，且当13,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x ''>，()'g x 单调递增；当()1,2x x π∈时，()0g x ''<，()'g x 单调递减．因为331022g ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭'，(2)0g π'=，则当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，所以()g x 单调递增．综上分析，()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,2x π上单调递增．因为(0)(2)0g g π==，则当()00g x a <<时，直线y a =与函数()g x 的图象在(0,2)π上有两个交点，从而()'f x 有两个变号零点，即()f x 在(0,2)π上恰有两个极值点．因为()00g x '=，则000cos sin 10x x x --=，即000cos 1sin x x x =+．从而()()20000000000cos 1sin sin g x x x x x x x x x x =-=+-=．取0x θ=，则cos 1sin θθθ=+，且当2sin 0a θθ<<时，函数()f x 在(0,2)π上恰有两个极值点.。
八省联考2023届高三（T8联考）数学试卷及答案2023届高三第一次学业质量评价(T8联考)数学试题及答案高三八省联考目的是为了适应新高考从发布的消息来看，福建、江苏、重庆、辽宁、湖北、广东、河北和湖南这8省市的高三考生将迎来八省联考，目的是为了让省市内的高三考生适应“3+1+2”之一新高考模式，报名参加2021年高考的高三考生都得参加，可以算是2021年高考的一次预演了。
考试的时间是2021年1月23日—25日，是完全按照“3+1+2”新高考模式来进行的，1月23日上午要考的科目是语文，考试的时间是150分钟，上午要考的科目是数学，考试的时间是120分钟，1月八省联考有什么价值八省联考可以让学生了解新高考模式：通过这次联考模拟考试，使考生适应“不分文理，必考+选考”的新高考模式，熟悉考试流程、试卷结构和题型难度。
了解新高考志愿填报规则：本次八校联考将完全模拟高考流程，当然也包括志愿填报与录取流程。
新高考省份在安排招生计划时，将按物理科目组合与历史科目组合两个类别分开编制。
相对应的，投档方式也将按物理科目组合与历史科目组合，分别划定最低录取控制分数线，考生在填志愿时将按照“专业(类)+院校”或“院校+专业组”的方式进行，实行平行志愿投档。
八省联考全部采用“3+1+2”的新高考模式。
选考的对象为参加普通高校招生的高三学生和社会人员。
报名参加相应科目学考并取得合格成绩才能报考该科目的选考，在高三前应完成相应科目学考。
八省联考和高考几乎是一个难度。
我认为这是问题的难度和类型，包括新颖性和知识的变化。
新高考肯定有很多固定的东西，所以我说的一定有借鉴意义。
八省联考只是一种考试模式，只需要看在自己省份的成绩排名就好。
高三最后一个月数学如何提分其实到了高考最后一个月还是需要奋力拼搏的，切勿认为现在基本已经成为了定势，而认为继续学习，没有多大的必要。
越是到最后，越是考验学生心态，只有将自己的心完全静下来的学生，最后才能够发挥得更好。
2023八省联考高考第一次T8联考数学试题及介绍信2023八省联考高考第一次T8联考数学试题及介绍信本次的八省联考参与联考的省份有：广东、江苏、河北、湖南、辽宁、湖北、重庆、福建。
下面小编为大家带来2023八省联考高考第一次T8联考数学试题，希望对您有所帮助!2023八省联考高考第一次T8联考数学试题八省联考各科备考方法八省联考前历史可以根据时间节点进行复习，历史课本的编撰，通常都是根据时间顺序来呈现的，当然这也是人类历史发展的顺序，必须先掌握前面的知识，才知道为什么这样发展。
八省联考前地理根据高考地理题型整理归纳重要知识点。
通过对以往高考试题的分析总结发现，很多情况下，重要知识点都会通过固有的题型形式呈现出来，因此根据高考地理题型的不同，整理归纳重要知识点不失为一个好办法。
八省联考前政治总结划分背诵重点梯度。
同学们必须根据考纲，老师平时的重点划分，以及多次考试和对往年高考试题的分析，自己对政治重点知识有一定的把握。
为什么要进行八省联考八省联考是为了让广大考生熟悉新高考的流程，题型以及模式。
通过这次模拟考试得到相应的成绩之后，就可以提前做好自己的志愿填报规划，有利于今后在正式高考之后填报志愿的时候，就更加科学有效，也更加能够从容不迫。
从发布的消息来看，福建、江苏、重庆、辽宁、湖北、广东、河北和湖南这8省市的高三考生将迎来八省联考，目的是为了让省市内的高三考生适应“3+1+2”之一新高考模式。
八省联考可以帮助了解新高考志愿填报规则：本次八省联考将完全模拟高考流程，当然也包括志愿填报与录取流程。
新高考省份在安排招生计划时，将按物理科目组合与历史科目组合两个类别分开编制。
通过模拟考试可以找出自己的短板弱项，在复习的时候，就可以有针对性地对这些短板弱项进行相应的复习，从而在最终的高考当中，取得好的成绩。
八省联考考什么八省联考全部采用“3+1+2”的新高考模式。
选考的对象为参加普通高校招生的高三学生和社会人员。
绝密★启用前2023届高三第一次学业质量评价(T8联考)副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 复数z 满足1+zi +zi 2=|1−√3i|，则z = A. 1+iB. 12+12iC. −12−12iD. −12+12i2. 若集合M ={x|2x >4}，N ={x|log 3x ≤1}，则M ∪N =( ) A. {x|2<x ⩽3} B. {x|x >0} C. {x|0<x <2或x >2}D. R3. 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，则“a n >0”是“{S n }是递增数列”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 某同学掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据5次的统计结果，可以判断一定没有出现点数6的是A. 中位数是3，众数是2B. 平均数是3，中位数是2C. 方差是2.4，平均数是2D. 平均数是3，众数是25. 已知sin(α+π6)−cosα=12，则sin(2α+π6)=( ) A. −12B. 12C. −34D. 34……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………6. 已知圆台上底面半径为1，下底面半径为3，球与圆台的两个底面和侧面均相切，则该圆台的侧面积与球的表面积之比为A. 136B. 43√3C. 1312D. 437. 已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R ，记g(x) = f(1+x)−x ，若f′(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则f′(2023)=A. 2021B. 2022C. 2023D. 20248. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，直线l 过坐标原点并交椭圆于P ，Q 两点(P 在第一象限)，点A 是x 轴正半轴上一点，其横坐标是点P 横坐标的2倍，直线QA 交椭圆于点B ，若直线BP 恰好是以PQ 为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为( )A. 12B. √22C. √33D. √63二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
在每小题有多项符合题目要求）9. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是面AB 1，面B 1D 1，面DA 1的中心，则下列结论正确的是A. NP//DC 1B. MN//平面ACPC. D 1C ⊥平面MNPD. PM 与BC 1所成的角是60∘10. 将函数f(x)=sin(2x +φ)(|φ|<π2)的图像向左平移π4个单位得到函数g(x)的图像，若g(x)的图像与f(x)的图像关于y 轴对称，则下列说法正确的有A. φ=π4 B. φ=−π4C. g(x)的对称轴过f(x)的对称中心D. ∀m ∈[−π4,π8]，∃n ∈[−π4,π8]，使得f(m)=g(n)11. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且nS n =(n +1)S n−1+(n −1)n(n +1)(n ≥2,n ∈N ∗)，若S 1=−50，则下列结论正确的有A. a 5>0B. 当n =4时，S n 取得最小值C. 当S n >0时，n 的最小值为7D. 当n =5时，Sn a n取得最小值12. 已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R ，若f′(x)−f(x)=x−sinxe x，f(0)=1，则下列结论正确的是A. f(1)>eB. f′(π2)<f(π2)C. 方程f′(x)=f(x)+12e 2有两个解D. f(x)在区间(0,π2)上单调递增第II 卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 二项式(1−1x )(1+x)6展开式中x 3的系数为 ．14. .已知非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|b ⃗ |=2|a ⃗ +b ⃗ |，(a ⃗ +b ⃗ )⊥a ⃗ ，则a ⃗ ，b ⃗ 的夹角大小是 ．15. 若关于x 的不等式(lnx)2−axlnx >0有且只有一个整数解，则实数a 的取值范围为 ．16. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，O 为坐标原点，过F 2作渐近线y =bax 的垂线，垂足为P ，若∠F 1PO =π6，则双曲线的离心率为 ;又过点P 作双曲线的切线交另一条渐近线于点Q ，且△OPQ 的面积S △OPQ =2√3，则该双曲线的方程为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. (本小题10.0分)已知数列{lna n }是等差数列，记S n 为{a n }的前n 项和，{S n +a 1}是等比数列，a 1=1． (1)求a n ;(2)记b n =log 2a 2n−1+log 2a 2n ，求数列{(−1)n ⋅b n 2}的前10项和．18. (本小题12.0分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，且cos(A −C) +cosB =32． (1)求角A 、B 、C;(2)若b =2，延长BC 至D ，使△ABD 的面积为3√32，求sin∠CAD ．19. (本小题12.0分)……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………党的二十大的胜利召开为我们建设社会主义现代化国家指引了前进的方向.为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进高中学生对党的二十大的理解，某校组织开展党的二十大知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛，最终甲、乙两班进行到了最后决赛，决赛采取五局三胜制，约定先胜三局者赢得比赛.已知每局比赛中必决出胜负，每一局若甲班先答题，则甲获胜的概率为23，若乙班先答题，则甲获胜的概率为12，每一局输的一方在接下来的一局中先答题，第一局由乙班先答题． (1)求比赛一共进行了四局并且甲班最终赢得比赛的概率;(2)若规定每一局比赛中胜者得2分，负者得0分，记X 为比赛结束时甲班的总得分，求随机变量X 的分布列和数学期望．20. (本小题12.0分)如图(1)，菱形ABCD 中，∠ABC =120∘，动点E ，F 分别在边AD ，AB 上(不含端点)，且EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1)，沿EF 将△AEF 向上折起得到△PEF ，使得平面PEF ⊥平面BCDEF ，如图(2)所示．(1)当λ为何值时，BF ⊥PD;(2)若直线PC 与平面BCDEF 所成角的正切值为13，求平面PEF 和平面PBD 夹角的大小．21. (本小题12.0分)已知抛物线C:y 2=2px(p >0)的准线与x 轴的交点为H ，直线过抛物线C 的焦点F 且与C 交于A ，B 两点，△HAB 的面积的最小值为4． (1)求抛物线C 的方程;(2)若过点Q(174,1)的动直线l 交C 于M ，N 两点，试问抛物线C 上是否存在定点E ，使得对任意的直线l ，都有EM ⊥EN ，若存在，求出点E 的坐标;若不存在，则说明理由．22. (本小题12.0分)已知函数f(x)=e x −x +e 3a ，其中−65≤a <3e 3−1，函数f(x)在(0,+∞)上的零点为x 0，函数g(x)={x +a −x−ae x ,0⩽x ⩽x 0,(1−x )lnx −a(x +1),x >x 0.(1)证明： ①3<x 0<4; ②函数g(x)有两个零点;(2)设g(x)的两个零点为x 1，x 2(x 1<x 2)，证明：e x 2−x2e x 1−x 1>e x 1+x 22．(参考数据：e ≈2.72，e 2≈7.39，e 3≈20.09，ln2≈0.69，ln3≈1.1)答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的四则运算，复数的模，属于基础题．【解答】解：由1+zi+zi2=|1−√3i|可得(i−1)z=1，∴z=1i−1=−12−12i，故选C．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查集合的并集计算，属于基础题．【解答】解：M={x|x>2}，N={x|0<x⩽3}，故M∪N={x|x>0}，故选B．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查数列的单调性，充要条件的判断，属于基础题．【解答】解：若a n>0，则S n>S n−1，∴S n是递增数列，∴“a n>0”是“{S n}是递增数列”的充分条件;若{S n}是递增数列，则S n>S n−1，∴a n>0(n≥2)，但是a1的符号不确定，∴“a n>0”不是“{S n}是递增数列”的必要条件，故选A．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查平均数、中位数、众数、方差的应用，属于中档题．【解答】解：选项A:有可能出现点数6，例如2，2，3，4，6;选项B :有可能出现点数6，例如2，2，2，3，6;选项C :不可能出现点数6，∵15×(6−2)2=3.2，如果出现点数6，则方差大于或等于3.2，不可能是2.4;选项D :有可能出现点数6，例如2，2，2，3，6，故选C ．5.【答案】B【解析】 【分析】本题考查三角恒等变换的综合应用，属于基础题． 【解答】解：∵sin(α+π6)−cosα=√32sinα−12cosα=sin(α−π6)=12，∴sin(2α+π6)=sin[2(α−π6)+π2]=cos2(α−π6)=1−2sin 2(α−π6)=12，故选B ．6.【答案】D【解析】 【分析】本题考查圆台的结构特征，球的表面积，属于基础题． 【解答】解：设圆台的上底面半径为r ，下底面半径R ，母线长为l ，球的半径为R 0， ∵球与圆台的两个底面和侧面均相切，∴l =r +R =1+3=4，R 02=1×3=3，∴圆台的侧面积与球的表面积之比为S侧S 表=π(r+R)⋅l 4πR02=π(1+3)×44π×3=43，故选D ．7.【答案】C【解析】 【分析】本题考查函数奇偶性的应用，导函数的应用，属于较难题． 【解答】解：∵g(x)为偶函数，∴g(x)=g(−x)，即f(1+x)−x =f(1−x)+x ， 两边同时对x 求导得f′(1+x)−1=−f′(1−x)+1， 即f′(1+x)+f′(1−x)=2，令x =0，则f′(1)=1，∵f′(x)为奇函数，∴f′(−x)=−f′(x)，又f′(1+x)+f′(1−x)=2，即f′(x)=2−f′(2−x)，联立f′(−x)=−f′(x)得−f′(−x)=2−f′(2−x)，即f′(x +2)=f′(x)+2， ∴f′(2023)=f′(2×1011+1)=f′(1)+2×1011=2023，故选C ．8.【答案】D【解析】 【分析】本题考查椭圆的离心率，属于较难题． 【解答】解：依题意，设P(x 1,y 1)，Q(−x 1,−y 1)，B(x 2,y 2)，A(2x 1,0)，直线PQ 、QB(QA)、BP 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 2=0−(−y 1)2x 1−(−x1)=y 13x 1=13k 1，k 1k 3=−1，∴k 2k 3=−13， ∵x 12a 2+y 12b2=1，x 22a 2+y 22b2=1，两式相减得x 12−x 22a 2+y 12−y 22b2=0，∴(y 1+y 2)(x 1+x 2)⋅(y 1−y 2)(x 1−x 2)=−b2a 2，即k 2k 3=−b2a2，∴−b 2a2=−13，∴b 2a2=13，∴e 2=c 2a 2=1−b 2a2=23， ∴椭圆的离心率e =√63，故选D ．9.【答案】ABD【解析】 【分析】本题考查线面平行的判定，异面直线所成的角，属于中档题． 【解答】解：连接A 1C 1，A 1D ，则NP 是△A 1C 1D 的中位线， ∴NP//DC 1，故选项A 正确;连接B 1D 1，B 1A ，则MN//AD 1，∴MN//平面ACD 1，即MN//平面ACP ，故选项B 正确; 连接B 1D 1，B 1A ，AD 1，则平面MNP 即为平面B 1AD 1，显然D 1C 不垂直平面B 1AD 1，故选项C 错误;……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………∵PM//BD ，∴∠DBC 1即为PM 与BC 1所成的角，∠DBC 1=60∘，故选项D 正确.故选ABD ．10.【答案】AC【解析】 【分析】本题考查三角函数图象的平移变换，三角函数对称性的应用，三角函数值域的应用，属于中档题． 【解答】解：方法一：将f(x)=sin(2x +φ)的图像向左平移π4个单位得到g(x) =sin[2(x +π4)+φ]=sin(2x +π2+φ)的图像，∵g(x)的图像与f(x)的图像关于y 轴对称， ∴g(0)=f(0)，即cosφ=sinφ，∵|φ|<π2，∴φ=π4，经检验，满足题意，故选项A 正确，选项B 不正确;设f(x)的周期为T ，∵g(x)的图像是f(x)的图像向左平移T4个得到，∴g(x)的对称轴过f(x)的对称中心，故选项C 正确;当m ∈[−π4,π8]时，f(m)的值域为[−√22,1]，当n ∈[−π4,π8]时，g(n)的值域为[0,1]，[−√22,1,]̸⊄[0,1]，故选项D 不正确.故选AC ．方法二：由题意可得g(x)=sin[2(x +π4)+φ]=sin(2x +π2+φ)， ∵g(x)的图像与f(x)的图像关于y 轴对称，∴g(x)=f(−x)， 即sin(2x +π2+φ)=sin(−2x +φ)， ∴2x +π2+φ=π+2x −φ+2kπ，k ∈Z ，解得φ=kπ+π4，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴φ=π4，故选项A 正确，选项B 不正确;f(x)=sin(2x +π4)，令2x +π4=kπ，k ∈Z ，得f(x)的对称中心为(kπ2−π8,0)，k ∈Z ，g(x)=sin(2x +34π)，令2x +34π=kπ+π2，k ∈Z ，得g(x)的对称轴为x =kπ2−π8，k ∈Z ，∴g(x)的对称轴过f(x)的对称中心，故选项C 正确;选项D 的判断同上．11.【答案】ABD【解析】 【分析】本题考查数列的相关知识，属于中档题． 【解答】解：由nS n = (n +1)S n−1 +(n −1) n ⋅(n +1)(n ≥2,n ∈N ∗)得S n n+1−Sn−1n=n −1(n ≥2,n ∈N ∗)∴S 23−S 12=1，S 34−S 23=2，⋯，S n n+1−Sn−1n=n −1，累加得S n n+1−S 12=n(n−1)2，解得2S n =n 3−51n −50(n ≥2,n ∈N ∗)，当n =1时，S 1=−50满足上式，∴S n =n 3−51n−502，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=3n 2−3n−502，∴a 5=5>0，故选项A 正确;当n ≥2时，a n =3n 2−3n−502单调递增，又a 1=S 1=−50，a 2=S 2−S 1=−22，∴{a n }单调递增，且a 1<a 2<a 3<a 4<0<a 5<a 6<⋯⋯，∴当n ≤4时，{S n }单调递减，当n ≥5时，{S n }单调递增，且S 4<S 5， ∴当n =4时，S n 取得最小值，故选项B 正确;又S 7=73−51×7−502=−32<0，S 8=83−51×8−502=27>0，∴当S n >0时，n 的最小值为8，故选项C 错误;当n =1，2，3，4时，S n a n>0;当n =5，6，7时，S n a n<0;当n ≥8时，Sna n>0，∴当n =5，6，7时，考虑Sn a n的最小值，又当n =5，6，7时，1a n恒为正且单调递减，S n 恒为负且单调递增，∴S n a n单调递增，∴当n =5时，Sn a n取得最小值，故选项D 正确，故选ABD ．12.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性，解决函数零点问题，比较大小，属于难题． 【解答】解：由题意得[f(x)e x ]′=x−sinxe 2x ， 设F(x)=f(x)ex ，则F′(x)=x−sinxe 2x ， 易得当x <0时，F′(x)<0，当x >0时，F′(x)>0， ∴函数F(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增， ∴F(0)<F(1)，即f(0)e 0<f(1)e ，∴f(1)>e ，选项A 正确; ∵f′(π2)−f(π2)=π2−sin π2e n 2>0，∴f′(π2)>f(π2)，选项B 错误;设ℎ(x)=f′(x)−f(x)=x−sinxe x，则ℎ′(x)=(x−sinxe x )′=1−cosx−x+sinxe x，设r(x)=1−cosx −x +sinx ，则当x ≥π时，r(x)=(1−x)+ (sinx −cosx)<(1−π) +2<0; 当x ≤0时，sinx ≥x ，且1−cosx ≥0，∴r(x)≥0; 当0<x <π时，r′(x)=sinx −1+cosx =√2sin(x +π4)−1， 当x ∈(0,π2)时，r′(x)>0，∴r(x)单调递增， 当x ∈(π2,π)时，r′(x)<0，∴r(x)单调递减， 又∵r(0)=0，r(π)=2−π<0， ∴∃x 0∈(π2,π)，使得r(x 0)=0，即当x ∈(0,x 0)时，r(x)>0，当x ∈(x 0,π)时，r(x)<0;综上：当x ∈(−∞,x 0)时，r(x)≥0，即ℎ′(x)≥0，∴ℎ(x)单调递增; 当x ∈(x 0,+∞)时，r(x)<0，即ℎ′(x)<0， ∴ℎ(x)单调递减，∵ℎ(0)=0，∴当x <0时，ℎ(x)<ℎ(0)=0 当x >0时，易证x >sinx ，∴ℎ(x)>0， 且当x →+∞时，ℎ(x)→0， 又∵x 0∈(π2,π)，ℎ(π2)=π2−1e π2>32−1e 2=12e 2，∴方程ℎ(x)=12e 2有两个解，即方程f′(x)=f(x)+12e 2有两个解，选项C 正确; 由F(x)=f(x)ex 可得f(x)=e x ⋅F(x)∴f′(x)=e x [F(x)+F′(x)]，令u(x)=F(x)+F′(x)，则u′(x)=F′(x)+[F′(x)]′=x−sinx e 2x +[x−sinxe 2x]′=x−sinxe 2x +1−cosx−2(x−sinx)e 2x=r(x)e 2x ，由以上分析可知，当x ∈(0,π2)时，r(x)>0，即u′(x)>0， ∴u(x)单调递增，∴u(x)>u(0)=F(0)+F′(0)=1，∴f′(x)>0， ∴f(x)在区间(0,π2)上单调递增，选项D 正确.故选ACD ．13.【答案】5【解析】 【分析】本题考查二项式定理的特定项的系数，属于基础题． 【解答】解：(1−1x )(1+x)6=(1+x)6−1x(1+x)6，展开式中x 3的系数为C 63−C 64=5．14.【答案】56π【解析】 【分析】本题考查根据向量数量积求夹角，属于基础题． 【解答】解：方法一：作向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，由题意OA ⊥OB 且|AB|=2|OB|，∴∠OAB =π6，∴a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为56π．方法二：由|b ⃗ |=2|a ⃗ +b ⃗ |平方得|b ⃗ |2=4(|a ⃗ |2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +|b ⃗ |2)， ∵(a ⃗ +b ⃗ )⊥a ⃗ ，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =−|a|2，代入|b ⃗ |2=4(|a ⃗ |2+2a ⃗ ⋅b⃗ +|b ⃗ |2) 得|b ⃗ |=2√33|a ⃗ |，∴cos <a ⃗ ，b ⃗ >=a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b ⃗⃗⃗⃗|=−√32，∴a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为56π．15.【答案】[ln22,ln33) 【解析】 【分析】本题考查利用导数解不等式，属于难题． 【解答】解：令f(x)=lnxx，则f′(x)=1−lnxx 2， 当x ∈(0,e)时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增; 当x ∈(e,+∞)时，f′(x)<0，∴f(x)单调递减，且当x ∈(0,1)时，f(x)<0，当x ∈(1,+∞)时，f(x)>0， 方法一：原不等式等价于 {x >1,lnx x >a,或{0<x <1,lnx x<a,∵有且只有一个整数解，∴f(2)≤a <f(3) 即实数a 的取值范围为[ln22,ln33). 方法二：原不等式等价于(lnx x)2−a ⋅lnx x>0，若a >0，则lnx x>a 或lnx x<0，lnx x<0显然没有整数解，要满足lnx x>a 有且只有一个整数解，又f(4)=ln44=ln22=f(2)<f(3)，则f(2)⩽a <f(3)，可得ln22≤a <ln33;若a <0，则lnx x>0或lnxx <a ，lnxx >0有无数多个整数解，lnxx <a 没有整数解，若a =0，不等式显然有无穷多个整数解， 综上，实数a 的取值范围为[ln22,ln33).16.【答案】√213x 23−y 24=1【解析】 【分析】本题考查双曲线的标准方程与几何性质，双曲线的渐近线与离心率，直线与双曲线的位置关系及其应用，属于难题． 【解答】解：方法一：设∠POF 2=α，则有tanα=ba ，又F 2P 垂直于渐近线y =ba x ，∴|OP|=a ，|PF 2|=b ，∴sinα=bc，cosα=a c ， 在△OF 1P 中，由正弦定理：asin (α−30∘)=csin30∘，……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………∴a b c ⋅√32−a c ⋅12=2c1，∴a =√3b −a ，∴2a =√3b ，∴a =√32b ， ∴e =ca=√a 2+b2a 2=√213．方法二：依题意可得P(a 2c ,ab c)，F 1(−c,0)，F 2(c,0)，∴|PF 1|=√(a 2+c 2c )2+(abc )2=√3a 2+c 2， 又|PO|=a ，|OF 1|=c ，在△OPF 1中，|OF 1|2=|PF 1|2+|PO|2−2⋅|PO|⋅|PF 1|⋅cos∠F 1PO =3a 2+c 2， 即c 2=3a 2+c 2+a 2−2⋅a ⋅√3a 2+c 2⋅√32，化简得3c 2=7a 2，∴e =c a=√73=√213，如图，过P 点的切线PQ 与双曲线切于点M(x 0,y 0)，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 又P ，Q 均在双曲线的渐近线上，故设P(x 1,ba x 1)，Q(x 2,−ba x 2)， 又tanα=ba，∴sin2α=2tanα1+tan 2α=2⋅ba1+(b a )2=2aba 2+b2，∴S △POQ =12|OP||OQ|sin2α=12⋅√x 12+(b a x 1)2⋅√x 22+(−b a x 2)2⋅2ab a 2+b2=b a |x 1x 2|，过M 点的切线PQ:x 0x a 2−y 0yb2=1，即y =b 2x 0x y 0a 2−b2y 0，代入b 2x 2−a 2y 2=0，化简得(a 2y 02−b 2x 02)x 2+2a 2b 2x 0x −a 4b 2=0，又b 2x 02−a 2y 02=a 2b 2，∴−a 2b 2x 2+2a 2b 2x 0x −a 4b 2=0， 即x 2−2x 0x +a 2=0，∴x 1x 2=a 2， ∴S △POQ =b a |x 1x 2|=ab =√32b ⋅b =2√3， ∴b 2=4，∴b =2，a =√3，故双曲线的方程为x 23−y 24=1．17.【答案】解：(1)由题意得2lna 2=lna 1+lna 3，∴a 22=a 1⋅a 3，又{S n +a 1}是等比数列， ∴(S 2+a 1)2=(S 1a 1)⋅(S 3a 1)，∵a 1=1，∴{a 22=a 3,(a 2+2)2=2(2+a 2+a 3),∴a 22−2a 2=0，又a n >0，故a 2=2，又{lna n }是等差数列，故{a n }为等比数列，首项a 1=1，公比q =a2a 1=2， ∴{a n }的通项公式为a n =2n−1． (2)∵a n =2n−1，∴b n =log 2a 2n−1log 2a 2n =log 222n−1−1log 222n−1=2n −2+2n −1=4n −3，令C n =(−1)n ⋅b n 2，则C 2n−1+C 2n =−b 2n−12+b 2n 2=(b 2n b 2n−1)(b 2n −b 2n−1)=4(b 2n +b 2n−1)(n ∈N ∗)，记{C n }的前n 项和为T n ， ∴T 10=(C 1+C 2)⋯(C 9+C 10)=4(b 1+b 2+⋯+b 10)=4×(1+37)×102=760，∴数列{(−1)n ⋅b n 2}的前10项和为760．【解析】本题考查分组求和法，属于中档题．18.【答案】解：(1)由A +B +C =π，∴A +C =π−B ，cosB =−cos(A +C)，∴cos(A −C)−cos(A +C)=32，∴sinA ⋅sinC =34， 又a ，b ，c 成等比数列，故b 2=ac ，∴sin 2B =sinA ⋅sinC =34，∴sinB =√32，方法一：∴|cosB|=12，又cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+c 2−ac 2ac≥2ac−ac 2ac =12，当且仅当a =c 时，等号成立，∴cosB =12，a =c ，又0<B <π，∴A =B =C =π3．方法二：若B =π3，则cosB =12，代入cos(A −C)+cosB =32，则cos(A −C)=1， ∵0<A <π，0<C <π，∴A =C =π3若B =2π3，则cosB =−12，代入cos(A −C)+cosB =32，则cos(A −C)=2(舍)， 综上A =B =C =π3．(2)∵b=2，∴|AB|=2，∴S△ABD=12⋅|AB|⋅|BD|⋅sin60∘，即12×2⋅|BD|⋅√32=3√32，∴|BD|=3，∴|CD|=1，由余弦定理;在△ACD中，|AD|2=|AC|2+|CD|2−2|AC|⋅|CD|cos∠DCA=22+12−2×2×1×(−12)=7，又由正弦定理：|AD|sin120∘=|CD|sin∠CAD，∴√7√32=1sin∠CAD，∴sin∠CAD=√32√7=√32√7=√2114．【解析】本题考查正弦定理，余弦定理和三角形面积公式，等比数列的性质，属于中档题．19.【答案】解：记A i(i=1,2,3,4,5)表示“第i局甲获胜”，(1)设A表示“比赛一共进行了四局并且甲班最终获胜”，则事件A包括三种情况：A1A2A3A4，A1A2A3A4，A1A2A3A4，这三种情况互斥，且A1，A2，A3，A4相互独立，∴P(A)=P(A1A2A3A4+A1A2A3A4+A1A2⋅A3A4)=P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3A4)+P(A1A2A3A4)=12×23×12×12+12×12×23×12+12×12×12×23=14．(2)由题意，X的所有可能取值有0，2，4，6，P(X=0)=P(A1A2A3)=12×13×13=118，P(X=2)=P(A1A2A3A4+A1A2A3A4+A1A2A3A4)=12×12×13×13+12×23×12×13+1 2×13×23×12=536，P(X=4)=P(A1A2A3A4A5+A1A2A3A4 A5+A1A2A3A4A5+A1A2A3A4A5+A1A2A3⋅A4A5+A1A2A3A4A5)=12×12×12×13×13+12×12×23×12×13+12×12×13×23×12+12×23×12×12×13+12×23×12×23×12+12×13×23×12×12=1372;P(X=6)=1−P(X=0)−P(X=2)−P(X=4)=1−118−536−1372=58;∴X的分布列为：……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………X 0 2 4 6P118 536 1372 58∴E(X)=0×118+2×536+4×1372+6×58=194．【解析】本题考查相互独立事件与互斥事件的概率计算，离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，属于中档题．20.【答案】解：(1)∵菱形ABCD 中，∠ABC =120∘，故∠A =60∘，AB =AD ，∴△ABD 是等边三角形，又EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴EF//BD,∴△PEF 也是等边三角形，∵平面PEF ⊥平面BCDEF ，取EF 的中点O ，则PO ⊥EF ，且PO ⊥平面BCDEF ，连接DO ，由BF ⊥PD ，而PO ⊥BF ，DO ∩PO ， ∴BF ⊥平面POD ，∴BF ⊥OD ， 延长DO 交AB 于点N ，则DN ⊥AB ， 又∵AO ⊥BD ，∴O 为△ABD 的重心，又O 点在EF 上，EF//BD ，∴EF⃗⃗⃗⃗⃗ =23DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即λ=23． (2)方法一：由(1)连接CO ，设△ABD 边长为a ，则|PO|=√32λa ，|CO|=√32(2−λ)a ，∵PO ⊥平面BCDEF ，∴直线PC 与平面BCDEF 所成角为∠PCO ， ∴tan∠PCO =|PO||CO|=λ2−λ=13，解得λ=12， ∴EF 是△ABD 的中位线，在棱锥P −BCDEF 中，设OC 与BD 相交于M 点，连接PM ， 又设平面PEF ∩平面PBD 于直线l ，则l 过点P ， ∵EF//BD ，EF ⊄平面PBD ， ∴EF//平面PBD ，又平面PEF ∩平面PBD 于直线l ，……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………∴EF//l ，同理l//BD ， 由上可知PO ⊥EF ，CO ⊥EF ， ∴EF ⊥平面POM ，∴l ⊥平面POM ，∴∠OPM 就是平面PEF 和平面PBD 所成二面角的平面角，又PO =OM ，且PO ⊥OM ，∴∠OPM =45∘，即平面PEF 与平面PBD 的夹角为45∘． 方法二：以O 为坐标原点，以OF ，OC ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图所示)，设菱形ABCD 边长为2，则P(0,0,√3λ)，E(−λ,0,0)，F(λ,0,0)，B(1,√3−√3λ,0)，D(−1,√3−√3λ,0)，C(0,2√3−√3λ,0)，∵PO ⊥平面BDEF ，∴∠PCO 即为PC 与平面BCDEF 所成的角，∴tan∠PCO =|PO||OC|=√3λ2√3−√3λ=13，解得λ=12，∴OC ⊥平面PEF ，∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√32,0)即为平面PEC 的法向量．设平面PBD 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2x =0,x +√32y −√32z =0, 取n ⃗ =(0,1,1)，则cos <OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗⃗⃗|=√22，∴<OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=45∘， ∴平面PEF 与平面PBD 的夹角为45∘．【解析】本题考查空间向量求二面角，属于中档题．21.【答案】解：(1)由题意，AB 斜率不为零，设AB:x =λy +p2代入y 2=2px(p >0)， ∴y 2−2pλy −p 2=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则y 1+y 2=2pλ，y 1y 2=−p 2，∴S △HAB =12⋅p|y 1−y 2| =12⋅p ⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =12p ⋅√4p 2λ2+4p 2=p 2√λ2+1，∴当λ=0时，S △HAB 取最小值p 2，∴p 2=4，∴p =2，抛物线C 的方程为：y 2=4x ． (2)假设存在E(x 0,y 0)，设M(x 3,y 3)，N(x 4,y 4)，由题意，MN 斜率不为零， 设MN 的方程为x =t(y −1)+174代入y 2=4x ，可得y 2−4ty +4t −17=0，∴{y 3+y 4=4t,y 3⋅y 4=4t −17, ∴y 0−y 3x 0−x 3⋅y 0−y4x 0−x 4=−1，∴4(y 0+y 3)⋅4(y 0+y 4)=−1， ∴y 02+(y 3+y 4)y 0+y 3y 4+16=0， ∴y 02+4ty 0+4t −1=0，即4t(y 0+1)+y 02−1=0，∴{y 0+1=0,y 02−1=0,解得y 0=−1，故存在定点E(14,−1)满足题意．【解析】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的方程，属于较难题．22.【答案】解：(1) ①∵f′(x)=e x −1，当x >0时，e x >1，∴f′(x)>0，∴f(x)在(0,+∞)单调递增，∵−65≤a <3e 3−1，∴f(3)=e 3−3+ae 3<e 3−3+e 3(3e 3−1)=0， f(4)=e 4−4+ae 3≥e 4−4−65e 3≈7.392−4−65×20.09>0， ∴f(x)存在唯一的零点x 0，且3<x 0<4． ②当0≤x ≤x 0时，g(x)=x +a −x−a e x ， g′(x)=1−1−x+a e x=e x −1+x−ae x，∵x >0，a <0，∴e x −1>0，x −a >0，∴g′(x)>0，∴g(x)在(0,x 0)单调递增，∵3<x 0<4，∴g(x 0)>g(3)=3+a −3−a e 3≥3−65−3+65e 3=9e 3−215e 3≈9×20.09−215×20.09>0，又∵g(1)=1+ a −1−a e =1−1e +a(1+1e )<1−1e +(3e 3−1)(1+1e )=3+3e−2e3e 4≈ 3+3×2.72−2×20.09e 4<0，∴g(x)在[1,x 0]有唯一的零点，(注：取g(0)<0也可以);当x >x 0时，g′(x)=−lnx +1x −1−a <−lnx 0+1x 0−1−a <−ln3+13−1+65=815−ln3≈815−1.1<0，∴g(x)在(x 0,+∞)单调递减，∴g(4)=−3ln4−5a >−3ln4−5(3e 3−1)=5−3ln4−15e 3≈0.11>0， g(e 2)=2(1−e 2)−a(e 2+1)≤2(1−e 2)+65(e 2+ 1)=16−4e 25≈16−4×7.395<0，∴g(x)在(x 0,+∞)有唯一的零点， 综上，函数g(x)有两个零点．(2)由(1)可知g(x 1)=g(x 2)=0，其中1<x 1<x 0<x 2，由g(x 1)=0得x 1+a −x 1−ae x 1=0，即x 1−a(e x 1+1)−x 1e x 1=0，由g(x 2)=0得lnx 2−a(x 2+1)−x 2lnx 2=0， 设ℎ(x)=lnx −a(x +1)−xlnx ，则ℎ(x 2)=ℎ(e x 1)=0， ∵1<x 1<x 0<x 2，∴e x 1>e ，x 2>x 0>e ，而x >e 时，ℎ′(x)=1x−a −lnx −1<1e−a −2≤1e+65−2=1e−45<0， ∴ℎ(x)在(e,+∞)单调递减，∴x 2=e x 1，要证e x 2−x 2e x 1−x 1>e x 1+x 22，即证e x 2−e x 1x 2−x 1>e x 1+x 22， 即证e x 2−e x 1e x 1+x 22>x 2−x 1，即证ex 2−x 12−e x 1−x 22>x 2−x 1，设x 2−x 12=t ，则即证e t −e −t >2t ，设ℎ(t)=e t −e −t −2t ，t >0，则ℎ′(t)=e t +e −t −2>2−2=0， ∴当t >0时，ℎ(t)单调递增， ∴ℎ(t)>ℎ(0)=0，即证．【解析】本题考查利用导数研究函数的零点，利用导数证明不等式，属于难题．。
