均匀球体对质点的万有引力的计算及应用

均匀球体对质点的万有引力的计算及应用湖州中学 竺 斌牛顿从开普勒定律出发，研究了许多不同物体间遵循同样规律的引力之后，进一步把这个规律推广到自然界中任意两个物体之间，于1687年正式发表了万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。

即：2r MmGF =引 ① 这里的两个物体指的是质点。

万有引力定律只给出了两个质点间的引力。

而对于一般不能看成质点的物体间的万有引力，需将物体分成许多小部分，使每一部分都可视为质点，根据①式求出物体1各小部分与物体2各小部分之间的引力，每个物体所受的引力就等于其各部分所受引力的矢量和。

但是，若物体为球体，且密度均匀分布，他们之间的引力仍然可以用上式计算，其中r 表示两球球心的距离，引力沿两球球心的连线。

这一点在高中教材、教学参考书都没有给出证明，只是用简单的几句话带过。

我用两种方法来证明“对于质量分布均匀的球体，在计算万有引力时，可以把其看成质量都集中在球心的质点。

”并计算均匀球壳对其内部质点的引力和均匀球对其内部的引力，仅供大家参考。

一、有关引力的计算 1．用微积分法。

)1(．质点与均匀球体间的万有引力。

若质点质量为m ，与球心的距离为R 。

设球的半径为a ，密度为v ρ，质量为334a M v πρ⋅=。

建立如图所示的坐标系。

根据对称性可知，球对质点的引力必沿z 方向，x ，y 方向上合力为0。

球上取一微元，坐标为（r, θ，φ）,其体积为ϕθθd drd r sin 2。

对质点的万有引力。

ϕθϕϕρd drd rR R r r m G dF v cos 2sin 222-+= （R ＞a ） 在z 方向上的分力为：ϕθϕϕϕραd drd rR R r r R r m GdF dF v z 23222)cos 2(sin )cos (cos -+-=⋅=xyz Oφ αdFP(0,0,R) (r,θ,φ)··dr d d rR R r r R r m GF F v a zθϕϕϕϕρππ23222020)cos 2(sin )cos (-+-==⎰⎰⎰合222222220202322220cos 2cos 2(212)cos 2(sin )cos (RMm G rR R r R r rR R r rR dr r Gm d rR R r r R dr r d Gm a v a v =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-+-+⋅=-+-=⎰⎰⎰⎰πππϕϕπρϕϕϕφθρ 所以均匀球体对球外一点的万有引力好象球体的质量全部集中在球心一样。

用万有引力定律的两个推论计算万有引力推论Ⅰ：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F＝0。

推论Ⅱ：如图所示，在匀质球体内部距离球心r 处的质点(m )受到的万有引力等于球体内半径为r 的同心球体(M ′)对它的引力，即F ＝GM ′mr 2。

1.如图所示，有人设想要“打穿地球”从中国建立一条通过地心的光滑隧道直达巴西。

若只考虑物体间的万有引力，则从隧道口抛下一物体，物体的加速度( )A ．一直增大B ．一直减小C ．先增大后减小D ．先减小后增大(三)填补法求解万有引力运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算，运用“填补法”解题主要体现了等效思想。

2.如图所示，有一个质量为M ，半径为R ，密度均匀的大球体。

从中挖去一个半径为R2的小球体，并在空腔中心放置一质量为m 的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)( )A ．GMmR 2 B ．0 C ．4GMmR 2D ．GMm2R 2对重力加速度g 的深入了解1.假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体。

一矿井深度为d 。

已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。

矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )A ．1－dRB ．1＋dRC.⎝⎛⎭⎫R －d R 2D.⎝⎛⎭⎫R R －d 22．(2017·西安高三检测)理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。

现假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的实心球体，O 为球心，以O 为原点建立坐标轴Ox ，如图所示。

一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x 轴上各位置受到的引力大小用F 表示，则选项图所示的四个F 随x 的变化关系图像正确的是( )3．已知一质量为m的物体静止在北极与赤道对地面的压力差为ΔN，假设地球是质量分布均匀的球体，半径为R。

则地球的自转周期为()A．T＝2π mRΔN B.T＝2πΔNmRC．T＝2π mΔNR D．T＝2πRmΔN4．(2017·商丘5月三模)地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化，怀疑地下有空腔区域。

1、万有引力定律（1）内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。

（2）公式：，其中，称为万有引力恒量，而、分别为两个质点的质量，r为两质点间的距离。

（3）适用条件：①严格地说，万有引力定律只适用于质点间的相互作用；②两个质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r 是两个球体球心间的距离；③一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r为球心到质点间的距离；④两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似适用，其中r为两物体质心间的距离。

（4）注意：公式中F是两物体间的引力，F与两物体质量乘积成正比，与两物体间的距离的平方成反比，不要理解成F与两物体质量成正比，与距离成反比。

（5）对万有引力定律的理解：①万有引力的普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中任何有质量物体之间的相互吸引力，它是自然界中物质之间的基本的相互作用之一，任何客观存在的两部分有质量的物质之间都存在着这种相互作用。

②万有引力的相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力。

它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。

③万有引力的客观性：通常情况下，万有引力非常小，它的存在可由卡文迪许扭秤来观察，只有在质量巨大的天体间，它的作用才有宏观物理意义。

④万有引力的特殊性：两个物体间的万有引力，只与它们本身的质量有关，与它们之间的距离有关，和所在空间的性质无关，和周围有无其他物体的存在无关。

2、万有引力定律的推导思路和方法（1）把行星绕太阳的运行近似看成是匀速圆周运动，太阳对行星的万有引力是行星做圆周运动所需要的向心力，即，将圆周运动中线速度与周期的关系式代入上式，有。

根据开普勒第三定律可知，即。

（2）牛顿认为k是一个与行星无关，但与太阳质量有关的物理量，行星吸引太阳的力和太阳吸引行星的力应大小相等，并且具有相同的性质，而太阳对行星的引力F与行星的质量成正比，自然也应跟太阳的质量成正比，设太阳的质量为M，则有，写成等式为式中G为常量。

万有引力定律及其应用知识点总结
1、万有引力定律：，引力常量G=6.67×
N·m2/kg2
2、适用条件：可作质点的两个物体间的相互作用;若是两个均匀的球体,r应是两球心间距.(物体的尺寸比两物体的
距离r小得多时，可以看成质点)
3、万有引力定律的应用：(中心天体质量M, 天体半径R, 天体表面重力加速度g )
(1)万有引力=向心力 (一个天体绕另一个天体作圆周运
动时，下面式中r=R+h )
(2)重力=万有引力
地面物体的重力加速度：mg = G g = G ≈9.8m/s2 高空物体的重力加速度：mg = G g = G <9.8m/s2
4、第一宇宙速度----在地球表面附近(轨道半径可视为地球半径)绕地球作圆周运动的卫星的线速度,在所有圆周运
动的卫星中线速度是最大的.
由mg=mv2/R或由 = =7.9km/s
5、开普勒三大定律
6、利用万有引力定律计算天体质量
7、通过万有引力定律和向心力公式计算环绕速度
8、大于环绕速度的两个特殊发射速度：第二宇宙速度、第三宇宙速度(含义)。

微元法证明均匀球壳对壳内质点的万有引力为零段石峰(长沙市周南中学ꎬ湖南长沙４１０２０１)摘㊀要:万有引力普遍存在ꎬ但万有引力公式只适用于质点之间ꎬ牛顿证明了球状物体之间的万有引力.高中物理熟知 均匀球壳对壳内质点的万有引力为零 这个结论ꎬ但教学中通常忽视对它的严格证明ꎬ仅仅用微积分的思想作定性说明ꎬ缺乏严谨的科学论证.微元法是从微积分降解出来的初等方法ꎬ利用微元法从不同的视角证明以上结论ꎬ揭示出结论背后隐藏的普遍性规律和深层次物理原理ꎬ从根本上反映了平方反比规律具有的必然结论ꎬ促进学生科学思维的发展.关键词:高中物理ꎻ初等方法ꎻ微元法ꎻ万有引力定律ꎻ平方反比规律中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０４－０１１１－０３收稿日期:２０２３－１１－０５作者简介:段石峰(１９９２－)ꎬ男ꎬ湖南省常宁人ꎬ本科ꎬ中学二级教师ꎬ从事高中物理教学研究.㊀㊀万有引力定律堪称物理学中普适性的经典楷模ꎬ赢得了后世无数科学家的赞赏.万有引力普遍存在于自然界中任何两个物体之间ꎬ因此是 万有 的ꎬ但万有引力公式Ｆ＝ＧＭｍｒ２只适用于两个质点之间ꎬ因为只有两个点之间的距离ｒ才能确定.当实际的物体不能看作质点时ꎬ如何求解它们之间的万有引力ꎬ这在牛顿时代是个不小的难题ꎬ然而ꎬ牛顿自己发明了微积分把它解决了.即便如此ꎬ微积分方法也只能求解质量分布已知的情况ꎬ特别是质量分布具有某种对称性的情况.后来数学家高斯创立了一个定理 高斯定理ꎬ可以非常简捷地处理具有一定对称性分布的问题[１].质量分布均匀的球壳具有球对称性(绕球心任意旋转都是相同的)ꎬ球壳对壳内外质点的万有引力都可以用微积分或高斯定理求解[２]ꎬ而球体是一层层同心球壳的叠加ꎬ因此只要解决球壳的问题ꎬ那么相关的一系列问题都迎刃而解.其中有一个很重要的结论:均匀球壳对壳内质点的万有引力为零.这个结论还可以借助空间 立体角 的概念进行证明ꎬ但这些方法都属于高等数学.高中物理通常把这个结论不加证明地告诉学生ꎬ尽管不碍于问题的解决ꎬ却难免有 强行灌输 之嫌ꎬ终究给学生留下 知其然而不知其所以然 的疑惑和缺憾ꎬ这不利于学生思维能力的发展.虽然高中阶段对微积分不作要求ꎬ但由它派生出来的微元法属于初等方法ꎬ并且非常巧妙地实现了降解.微元法是高中物理处理问题的重要方法ꎬ基本思路是 先无限分割ꎬ再累积求和 ꎬ即先把物体分割成足够小的质量微元ꎬ求出它们之间的万有引１１１力ꎬ再求力的矢量和就可得到物体之间的万有引力.本文利用微元法从两种不同的视角ꎬ证明均匀球壳对壳内质点的万有引力为零.１用微元法处理的基本思路当物体不能看作质点时ꎬ物体之间的万有引力如何计算?基本思路是将物体进行分割ꎬ当分割得足够细时ꎬ每一部分都可以看作质点[３].如图１所示ꎬ首先把Ａ㊁Ｂ两个物体分割成很多小块ꎬ每一小块的体积都很小ꎬ可以看作质量为Δｍ的质点ꎬＡ㊁Ｂ物体上任意两个质点间的万有引力为Ｆｉｊ＝ＧΔｍａｉΔｍｂｊｒ２ｉｊ图１㊀微元法基本思路然后求出Ｂ物体上所有质点对Δｍａｉ的万有引力ꎬ将这些力进行矢量求和ꎬ得到Ｂ对Ａ上任意质点Δｍａｉ的万有引力为ＦｉＢ＝ðｊＦｉｊ＝ðｊＧΔｍａｉΔｍｂｊｒ２ｉｊ最后把Ｂ对Ａ上每一个质点的万有引力进行矢量求和ꎬ得到Ａ㊁Ｂ两物体之间的万有引力为ＦＡＢ＝ðｉＦｉＢ＝ðｉｊＧΔｍａｉΔｍｂｊｒ２ｉｊ即Ａ㊁Ｂ之间的万有引力等于Ａ的每一部分与Ｂ的每一部分的万有引力的矢量和.然而对于体积不规则的物体ꎬ求和过程很难计算ꎻ对于具有对称性的物体ꎬ可以利用对称性简化求和过程.２用微元法证明的两种视角２.１视角一:用圆锥截取如图２所示ꎬ质量为ｍ的质点处在球壳内的任意位置Ｐ点ꎬ过Ｐ点任意作一条直线与球壳的交点为Ａ点和Ｂ点.以Ｐ点为顶点㊁以直线ＡＢ为对称轴任意作一对顶角很小的圆锥ꎬ圆锥在球壳上截取两个面积很小的球面ꎬ可以看作以Ａ点和Ｂ点为圆心的圆平面ꎬ圆的面积分别为Ｓ１和Ｓ２.图２㊀用圆锥截取的球面示意图设球壳单位面积的质量为σꎬ截取的两个质量微元ｍ１和ｍ２可以看作位于Ａ点和Ｂ点的质点ꎬ它们到Ｐ点的距离分别为ｒ１和ｒ２ꎬ对Ｐ点处质点ｍ的万有引力方向相反ꎬ大小分别为Ｆ１＝Ｇｍ１ｍｒ２１＝ＧσＳ１ｍｒ２１ꎬＦ２＝Ｇｍ２ｍｒ２２＝ＧσＳ２ｍｒ２２分别过Ａ点和Ｂ点作垂直于ＡＢ的圆锥底面圆ꎬ半径分别为Ｒ１和Ｒ２ꎬ面积分别为Ｓ１ᶄ和Ｓ２ᶄ.设øＯＡＢ＝øＯＢＡ＝θꎬ则圆面Ｓ１与Ｓ１ᶄ的夹角为θꎬ圆面Ｓ２与Ｓ２ᶄ的夹角也为θꎬ它们的关系为Ｓ１ᶄ＝πＲ２１＝Ｓ１ｃｏｓθꎬＳ２ᶄ＝πＲ２２＝Ｓ２ｃｏｓθ由于垂直于ＡＢ的两个圆锥底面圆相互平行ꎬ所以存在相似三角形关系ꎬ由对应边成比例可得Ｒ１ｒ１＝Ｒ２ｒ２联立以上各式可得Ｆ１＝Ｆ２ꎬ即Ｆ１和Ｆ２的矢量和为零.现将对顶圆锥绕Ｐ点旋转ꎬ所截取的每一对质量微元对Ｐ点处质点的万有引力的矢量和都为零ꎬ并且可以截取到整个球壳ꎬ所以整个球壳对Ｐ点处质点的万有引力为零ꎬ于是证明了均匀球壳对壳内任意位置质点的万有引力为零[４].㊀２１１２.２视角二:用环带分割如图３所示ꎬ质量为ｍ的质点处在球壳内的任意位置Ｐ点ꎬ以Ｐ点为顶点㊁以过Ｐ点的直径为对称轴任意作一对圆锥ꎬ圆锥母线与对称轴的夹角为θꎬ此角增大Δθ(Δθң０)的过程中ꎬ圆锥在球壳上扫出两条环带ꎬ两环带到Ｐ点的距离分别为ｒ１和ｒ２ꎬ宽度分别为ｒ１Δθ和ｒ２Δθꎬ半径分别为Ｒ１和Ｒ２ꎬ则两环带的面积分别为Ｓ１＝２πＲ１ ｒ１ΔθꎬＳ２＝２πＲ２ ｒ２Δθ图３㊀用环带分割示意图设球壳单位面积的质量为σꎬ则两环带的质量分别为ｍ１＝σＳ１ꎬｍ２＝σＳ２将两环带再分割为质量微元Δｍ１和Δｍ２ꎬ对Ｐ点处质点ｍ的万有引力方向具有对称性ꎬ与对称轴的夹角为θꎬ大小分别为ΔＦ１＝ＧΔｍ１ｍｒ２１ꎬΔＦ２＝ＧΔｍ２ｍｒ２２那么两环带对Ｐ点处质点ｍ的万有引力方向沿对称轴相反ꎬ大小分别为Ｆ１＝Ｇｍ１ｍｒ２１ｃｏｓθꎬＦ２＝Ｇｍ２ｍｒ２２ｃｏｓθ由于两环带所在的圆平面相互平行ꎬ所以存在相似三角形关系ꎬ由对应边成比例可得Ｒ１ｒ１＝Ｒ２ｒ２联立以上各式可得Ｆ１＝Ｆ２ꎬ即Ｆ１和Ｆ２的矢量和为零.现将角θ从０增大到π２的过程中ꎬ所分割的每一对环带对Ｐ点处质点的万有引力的矢量和都为零ꎬ并且可以覆盖到整个球壳ꎬ所以整个球壳对Ｐ点处质点的万有引力为零ꎬ于是证明了均匀球壳对壳内任意位置质点的万有引力为零[５].３结束语从证明的过程来看ꎬ之所以分割的每一对质量微元对球壳内任意质点的万有引力为零ꎬ是因为万有引力具有一个很明显的特点ꎬ那就是它与距离的平方成反比.换句话说ꎬ 均匀球壳对壳内质点的万有引力为零 这个结论并非偶然ꎬ而是平方反比规律的必然结果.既然如此ꎬ由于库仑定律同样遵循平方反比规律ꎬ那么本文的证明方法和结论也同样适用于库仑力ꎬ即 电荷分布均匀的球壳对壳内任意位置点电荷的库仑力为零 .只不过带电体产生的静电场容易与物质发生相互作用ꎬ引起明显的静电感应现象或电介质极化现象ꎬ导致电荷的分布难以保证具有球对称性.参考文献:[１]赵凯华ꎬ罗蔚茵.新概念物理教程 力学[Ｍ].第２版.北京:高等教育出版社ꎬ２００４:３３８.[２]叶玉琴.为什么质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零:２０１２年高考全国新课标卷第２１题[Ｊ].中学物理ꎬ２０１３ꎬ３１(０４):７３－７４.[３]秦建云.高中物理原理与方法 力学[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０１２:１９４.[４]程稼夫.中学奥林匹克竞赛物理教程 力学篇[Ｍ].第２版.合肥:中国科学技术大学出版社ꎬ２０１３:３０２－３０３.[５]周建丽ꎬ陈钢. 均匀球壳对壳内物体引力为０证明问题的探讨[Ｊ].物理教师ꎬ２０１３ꎬ３４(０９):６０－６１.[责任编辑:李㊀璟]３１１。

球体万有引力的计算
F=G*(m1*m2)/r²
对于球体内部的引力计算，我们需要先计算出球体内部其中一点受到的引力，然后对球体内部所有点的引力求和，得出球体内部引力的大小。

假设球体的半径为R，球体内其中一点距离球心的距离为r（0≤r≤R），球体内其中一点受到的引力可以通过以下公式计算：
F(r)=(4/3)*π*G*[ρ*(4/3)*π*r³*(R²-r²)]/r²
其中，F(r)表示球体内其中一点受到的引力大小，ρ是球体的密度（质量和体积的比值）。

当计算球体外部的引力时，可以当作质点处于球体重心处。

球体外部其中一点距离球心的距离为r（r>R），球体外其中一点受到的引力可以通过以下公式计算：
F(r)=G*(m1*m2)/r²
其中，F(r)表示球体外其中一点受到的引力大小，m1和m2分别代表球体和其他物体的质量。

需要注意的是，以上的计算公式适用于理想的球体模型，即球体为完全均匀的密度分布。

对于现实中不规则形状或者非均匀密度分布的物体，引力的计算会更为复杂。

球体万有引力的计算在天文学和物理学中具有重要的应用。

比如，地球上的万有引力决定了物体在地表上落地的力大小，引力也决定了地球和其他星球之间的相互作用。

在宇宙中，星球和星系之间的引力相互作用决定了宇宙的结构和演化。

通过以上的计算公式，我们可以精确地计算球体间的引力大小，从而深入理解和研究引力的性质及其作用。

万有引力定律编辑本词条由“科普中国”百科科学词条编写与应用工作项目审核。

[1] 万有引力定律是艾萨克·牛顿在1687年于《自然哲学的数学原理》上发表的。

牛顿的普适的万有引力定律表示如下：任意两个质点有通过连心线方向上的力相互吸引。

该引力大小与它们质量的乘积成正比与它们距离的平方成反比，与两物体的化学组成和其间介质种类无关。

中文名万有引力定律外文名Law of universal gravitation 表达式F=(G×M₁×M₂)/R²提出者艾萨克·牛顿提出时间1687年应用学科数学、自然哲学、物理学、自然学等适用领域范围物理学、自然学等推理依据编辑伽利略在1632年实际上已经提出离心力和向心力的初步想法。

布里阿德在1645年提出了引力平方比关系的思想.牛顿在1665～1666年的手稿中，用自己的方式证明了离心力定律，但向心力这个词可能首先出现在《论运动》的第一个手稿中。

一般人认为离心力定律是惠更斯在1673年发表的《摆钟》一书中提出来的。

根据1684年8月～10月的《论回转物体的运动》一文手稿中，牛顿很可能在这个手稿中第一次提出向心力及其定义。

万有引力与相作用的物体的质量乘积成正比，是发现引力平方反比定律过渡到发现万有引力定律的必要阶段.·牛顿从1665年至1685年，花了整整20年的时间，才沿着离心力—向心力—重力—万有引力概念的演化顺序，终于提出“万有引力”这个概念和词汇。

·牛顿在《自然哲学的数学原理》第三卷中写道：“最后，如果由实验和天文学观测，普遍显示出地球周围的一切天体被地球重力所吸引，并且其重力与它们各自含有的物质之量成比例，则月球同样按照物质之量被地球重力所吸引。

另一方面，它显示出，我们的海洋被月球重力所吸引；并且一切行星相互被重力所吸引，彗星同样被太阳的重力所吸引。

由于这个规则，我们必须普遍承认，一切物体，不论是什么，都被赋与了相互的引力（gravitation）的原理。

高中物理必修二万有引力公式大全引力公式是质点间相互引力的计算公式，它描述了物体间引力的强度和方向。

在高中物理必修二中，我们主要学习了两种引力公式：牛顿引力公式和万有引力公式。

下面将详细介绍这两个公式及其相关概念。

1.牛顿引力公式：两个质点之间的引力大小正比于它们的质量，反比于它们之间的距离的平方，且方向沿着连接两个质点的直线方向。

设两个质量分别为m1、m2的质点之间的距离为r，则它们之间的引力F为：F=G*m1*m2/r²其中，G为万有引力常数，约等于6.67×10^-11 N·m²/kg²。

牛顿引力公式适用于两个质点间的引力计算，例如地球和天体之间的引力、两个质点间的重力等等。

2.万有引力公式：适用于质点和球对称分布的物体之间的引力计算。

万有引力公式表示了质点与球对称分布物体之间的引力大小与质量、距离以及球的半径之间的关系。

设球对称分布物体的质量为M、质点的质量为m、距离为r，则质点所受到的引力F为：F=G*M*m/r²在万有引力公式中，球体近似为质点，只需要考虑球体的总质量，忽略球体内部的质量分布。

除去上述两个公式，还有一些与引力有关的概念和公式：3.引力加速度公式：质量为m的物体在距离为r的地球表面上受到的引力F与物体的质量m的比值为物体所受的引力加速度g。

F=m*g这个公式用于计算地球表面上物体的重力加速度，通常近似取为9.8m/s²。

4.等效重力公式：当质量为m的物体在水平方向上受到水平外力F时F_g = m * g_eff其中g_eff为等效重力，计算公式为：g_eff = g - a其中a为物体与地面间的黏着力或者静摩擦力。

5.行星运动公式：行星绕太阳运动中，太阳和行星之间的引力大小与质量、距离以及行星的轨道半径之间的关系为：F=G*M*m/r²这个公式适用于描述行星的椭圆轨道运动中引力的大小与方向。

在高中物理必修二中，引力公式的学习是很重要的，它是了解和解决各类物体间相互作用问题的基础。

2021届高考物理人教版一轮创新教学案：第21讲万有引力定律及其应用含解析第五章天体运动［研读考纲明方向］考纲要求复习指南内容要求考情分析：万有引力定律与牛顿运动定律结合分析天体、人造卫星、宇宙飞船的运动问题，以及估算天体的质量和密度问题，反映了物理学与现代科技的密切联系，是每年高考命题的热点.命题趋势:天体运动一般以选择题的形式单独考查，几乎每年必考。

万有引力定律及其应用Ⅱ环绕速度Ⅱ第二宇宙速度和第三宇宙速度Ⅰ经典时空观和相对论时空观Ⅰ［重读教材定方法］1．P31哪位科学家把天空中的现象与地面上的现象统一起来，成功解释了天体运行的规律？提示：牛顿。

2．P32开普勒行星运动定律的表述。

提示：(1）所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

（2)对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

(3)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。

3．P33对行星运动轨道简化为圆周后的开普勒三个定律的表述。

提示:(1)行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心.(2)对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度（或线速度）大小不变,即行星做匀速圆周运动.(3）所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即错误!＝k。

4．P36［问题与练习］T2。

提示：近地点的速度较大。

5．P37“太阳对行星的引力”一段,太阳对行星的引力公式依据什么推导出来的？提示：依据开普勒行星运动定律和圆周运动向心力公式推导出来.6．P39[问题与练习］T2。

提示:通过开普勒第三定律得到的。

7．P40万有引力定律的适用范围是什么?提示：自然界中的任何两个物体。

8．P41万有引力理论的成就有哪些？提示：计算天体的质量、发现未知天体。

9．P42笔尖下发现的是哪一颗行星？提示：海王星。

10．P43［问题与练习]T3。

提示：由错误!＝mω2r，ω＝错误!，得M＝错误!,代入数据得：M≈5。

一、万有引力定律： 221rm m G F = 适用于两个质点或均匀球体；r 为两质点或球心间的距离；G 为万有引力恒量2211/1067.6kg m N G ⋅⨯=-二、万有引力定律的应用 天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即222rv m r Mm G =＝r T m 224πr m 2ω=；地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即G 2RmM ＝mg 得出GM ＝R 2g 。

（2）圆周运动的有关公式：ω＝Tπ2，v=ωr 。

①由222rv m r Mm G =可得：r GM v = r 越大，v 越小。

②由r m rMm G 22ω=可得：3r GM =ω r 越大，ω越小。

③由r T m r Mm G 222⎪⎭⎫ ⎝⎛=π可得：GM r T 32π= r 越大，T 越大。

④由向ma r Mm G =2可得：2r GM a =向 r 越大，a 向越小。

2．常见题型（1）测天体的质量及密度：（万有引力全部提供向心力） 由r T m r Mm G 222⎪⎭⎫ ⎝⎛=π 得2324GT r M π= 又ρπ⋅=334R M 得3233R GT r πρ= 【例1】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。

现有一中子星，观测到它的自转周期为T =301s 。

问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星的稳定，不致因自转而瓦解。

计算时星体可视为均匀球体。

(引力常数G =6.67⨯1011-m 3/kg.s 2)解析：设想中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体所需的向心力时，中子星才不会瓦解。

设中子星的密度为ρ，质量为M ，半径为R ，自转角速度为ω，位于赤道处的小物块质量为m ，则有 R m R GMm 22ω= T πω2= ρπ334R M = 由以上各式得23GT πρ=，代入数据解得：314/1027.1m kg ⨯=ρ。

点评：在应用万有引力定律解题时，经常需要像本题一样先假设某处存在一个物体再分析求解是应用万有引力定律解题惯用的一种方法。

万有引力定律及其应用1. 万有引力定律○1内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。

○2表达式：221r m m G F = ○3万有引力定律是两个具有质量的物体间的相互作用力，是宇宙中物体间的一种基本作用形式。

公式中的r 应理解为相互作用的两个物体质心间的距离；对于均匀的球体，r 是两球心间的距离；对地表附近的物体，r 是物体和地心间的距离。

G 称作引力常量：G ＝6.67×10-11N ·m 2/kg 2（不要求记住）○4适用条件： 1、严格地说，万有引力定律的公式只适用于计算质点间的相互作用。

当两个物体间的距离比物体本身大得多时，也可用于近似计算两物体间的万有引力。

2、质量均匀的球体间的相互作用，也可用于万有引力定律公式来计算，式中的r 是两个球体球心间的距离。

3、一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用计算，式中的是球体球心到质点的距离。

2. 三种宇宙速度（1）第一宇宙速度（环绕速度）:v1= 7.9 km/s ,是人造地球卫星的最小发射速度.（2）第二宇宙速度（脱离速度）:v2= 11.2 km/s ,使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度.（3）第三宇宙速度（逃逸速度）:v3= 16.7 km/s ,使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.3万有引力定律在天体运动中的应用1.在处理天体的运动问题时,通常把天体的运动看成是匀速圆周 运动,其所需要的向心力由 万有引力 提供.其基本关系式为:在天体表面,忽略自转的情况下有:2. 卫星的绕行速度、角速度、周期与轨道半径r 的关系r f m r Tm r m r v m r Mm G 22222)π2()π2(====ωmg R Mm G =23.体质量M、密度ρ的估算方法点拨1.分析天体运动类问题的一条主线就是F万=F向,抓住黄金代换GM= gR22.近地卫星的线速度即第一宇宙速度,是卫星绕地球做圆周运动的最大速度,也是发射卫星的最小速度.3.因卫星上物体的重力用来提供绕地球做圆周运动的向心力,所以均处于完全失重状态,与重力有关的仪器不能使用,与重力有关的实验不能进行.4.卫星变轨时,离心运动后速度变小 ,向心运动后速度变大 .5.确定天体表面重力加速度的方法有:①测重力法;②单摆法;③平抛（或竖直上抛）物体法;④近地卫星环绕法.【典型题解】类型一万有引力定律及其应用例1（2009·南京模拟）图1所示是我国的“探月工程”向月球发射一颗绕月探测卫星“嫦娥一号”的过程简图.“嫦娥一号”进入月球轨道后,在距离月球表面高为h的轨道上绕月球做匀速圆周运动.（1）若已知月球半径为R 月,月球表面的重力加速度为g 月,则“嫦娥一号”环绕月球运行的周期为多少?（2）若已知R 月= R 地/4,g 月= g 地/6,则近月卫星的运行速度约为近地卫星运行速度的多少倍？解析 （1）设“嫦娥一号”环绕月球运行的周期是T,根据牛顿第二定律得（2）对于靠近天体表面的行星或卫星有类型二 中心天体质量、密度的计算例2 把地球绕太阳公转看作匀速率圆周运动，轨道平均半径约为1.5×108 km,已知万有引力常量G=6.67×10-11 N ·m2/kg2,则可估算出太阳的质量大约是多少?（结果取一位有效数字）解析 题干给出地球轨道半径r=1.5×108 km,虽没直接给出地球运转周期数值，但日常知识告诉我们：地球绕太阳公转一周为365天，周期T=365×24×3 600 s=3.2×107 s.万有引力提供向心力 ,故太阳质量r Tm r Mm G 22)π2(例3美国“勇气”号火星车在火星表面成功登陆，登陆时间选择在6万年来火星距地球最近的一次，火星与地球之间的距离仅有5 580万千米，火星车在登陆前绕火星做圆周运动，距火星表面高度为H，火星半径为R，绕行N圈的时间为t.求：（1）若地球、火星绕太阳公转为匀速圆周运动，其周期分别为T地、T火，试比较它的大小；（2）求火星的平均密度（用R、H、N、t、万有引力常量G表示）；（3）火星车登陆后不断地向地球发送所拍摄的照片，地球上接收到的第一张照片大约是火星车多少秒前拍摄的.解析（1）设环绕天体质量为m,中心天体质量为M，类型三卫星变轨问题例3 （2009·山东卷·18）2008年9月25日至28日,我国成功实施了“神舟”七号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱.飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟.下列判断正确的是（）A.飞船变轨前后的机械能相等B.飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态C.飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度D.飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度解析由于变轨过程中需点火加速，所以变轨后飞船的机械能增大，选项A错误；宇航员出舱前后均与飞船一起做匀速圆周运动，万有引力提供了做圆周运动的向心力，因此出舱前后航天员都处于失重状态，选项B正确；飞船在圆轨道上运行的周期为90分钟，而同步卫星的周期为24小时，所以飞船在圆轨道上运动的角速度大于同步卫星的角速度，选项C 正确.只要在同一点受到的万有引力相同，由牛顿第二定律得a=,即加速度相同，选项D 错误.答案 BC例4“嫦娥一号”探月卫星发动机关闭，轨道控制结束，卫星进入地月转移轨道.图2中MN 之间的一段曲线表示转移轨道的一部分，P 是轨道上的一点，直线AB 过P 点且和两边轨道相切.下列说法中正确的是（BCD ）A.卫星在此段轨道上，动能一直减小B.卫星经过P 点时动能最小C.卫星经过P 点时速度方向由P 向BD.卫星经过P 点时加速度为零解题归纳 卫星的变轨问题应结合离心运动和向心运动去分析，因为变轨的过程中不满足稳定运行的条件F 向=F 万，而是在原轨道上因为速度减小做向心运动而下降，速度增大做离心运动而升高，但是一旦变轨成功后又要稳定运行，这时又满足F 向=F 万，进而按规律分析即可，在这里要注意，因为原轨道上的速度减小做向心运动轨道降低了，但是降低后在低轨道运行的速度要比原高轨道的速度大.（2009·上海十校联考）2008年9月25日我国成功发射了“神舟七号”飞船，关于“神舟七号”飞船的运动，下列说法中正确的是 （CD ）A.点火后飞船开始做直线运动时，如果认为火箭所受的空气阻力不随速度变化，同时认为推力F （向后喷气获得）和重力加速度g 不变，则火箭做匀加速直线运动B.入轨后，飞船内的航天员处于平衡状态C.入轨后，飞船内的航天员仍受到地球的引力作用，但该引力小于航天员在地面时受到的地球对他的引力D.返回地面将要着陆时，返回舱会开启反推火箭， 这个阶段航天员处于超重状态类型四 万有引力与航天科技例4（2009·天津卷·12）2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A ”的质量与太阳质量的倍数关系.研究发现，有一星体S2绕人马座A 做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50×102天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A 就处在该椭圆的一个焦点上.观测得到S2星的运动周期为15.2年.（1）若将S2星的运动轨道视为半径r=9.50×102天文单位的圆轨道，试估算人马座A 的质量MA 是太阳质量MS 的多少倍（结果保留一位有效数字）；（2）黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚.由于引力的作用，黑洞表面处质量为22rGM mr GMmm 的粒子具有的势能为Ep=- （设粒子在离黑洞无限远处的势能为零），式中M 、R 分别表示黑洞的质量和半径.已知引力常量G=6.7×10-11N ·m2/kg2，光速c=3.0×108 m/s ，太阳质量MS=2.0×1030 kg ，太阳半径RS=7.0×108 m ，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A 的半径RA 与太阳半径RS 之比应小于多少（结果按四舍五入保留整数）.解析 （1）S2星绕人马座A 做圆周运动的向心力由人马座A 对S2星的万有引力提供，设S2星的质量为mS2，角速度为ω，周期为T ，则rE=1天文单位 ⑤代入数据可得 =4×106 ⑥（2）引力对粒子作用不到的地方即为无限远，此时粒子的势能为零，“处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚”，说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克服引力做功，粒子在到达无限远之前，其动能便减小为零，此时势能仍为负值，则其能量总和小于零.根据能量守恒定律，粒子在黑洞表面处的能量也小于零，则有例5（2009·四川卷·15）据报道，2009年4月29 日，美国亚利桑那州一天文观测机构发现一颗与太 阳系其他行星逆向运行的小行星，代号为2009HC82.该小行星绕太阳一周的时间为3.39年， 直径2~3千米，其轨道平面与地球轨道平面呈 155°的倾斜.假定该小行星与地球均以太阳为中心 做匀速圆周运动，则小行星和地球绕太阳运动的速度大小的比值为 （ ）22r m M G S A备考作业1.（2009·安徽卷·15）2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙—2251”卫星和美国的“铱—33”卫星在西伯利亚上空约805 km处发生碰撞.这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件.碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境.假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是（）A.甲的运行周期一定比乙的长B.甲距地面的高度一定比乙的高C.甲的向心力一定比乙的小D.甲的加速度一定比乙的大解析根据万有引力提供向心力有由于v甲>v乙，所以甲离地面的高度小于乙离地面的高度，甲的周期小于乙的周期，甲的向心加速度比乙的大.由于甲、乙质量未知，所受向心力大小无法判断.综上所述正确选项为D项.2.（2009·上海市高三物理质量抽查卷）某探月卫星经过多次变轨，最后成为一颗月球卫星.设该卫星的轨道为圆形，且贴近月球表面，则该近月卫星的运行速度率约为（已知月球的质量约为地球质量的1/81,月球半径约为地球半径的1/4，近地地球卫星的速率为7.9 km/s）（）A.1.8 km/sB.0.4 km/sC.11 km/sD.36 km/s3.（2009·徐州三检）卫星甲、乙、丙在如图4所示的三个椭圆轨道上绕地球运行，卫星甲与卫星乙的运行轨道在P点相切.不计大气阻力，以下说法正确的是（）A.卫星甲运行时的周期最大B.卫星乙运行时的机械能最大C.卫星丙的加速度始终大于卫星乙的加速度D.卫星甲、乙分别经过P点时的速度相等4.（2009·苏锡常镇学情调查二）我国发射的“亚洲一号”地球同步通信卫星的质量为1.24 t,在某一确定的轨道上运行.下列说法正确的是（）A.“亚洲一号”卫星定点在北京正上方太空，所以我国可以利用它进行电视转播B.“亚洲一号”卫星的轨道平面一定与赤道平面重合C.若要发射一颗质量为2.48 t的地球同步通信卫星，则该卫星的轨道半径将比“亚洲一号”卫星轨道半径小D.若要发射一颗质量为2.48 t的地球同步通信卫星，则该卫星的轨道半径和“亚洲一号”卫星轨道半径一样大解析同步卫星一定在赤道上方，周期24 h，且高度一定，所以本题应选择B、D.答案 BD5.（2009·长春调研）如图5所示，从地球表面发射一颗卫星，先让其进入椭圆轨道Ⅰ运动，A、B分别为椭圆轨道的近地点和远地点，卫星在远地点B变轨后沿圆轨道Ⅱ运动，下列说法中正确的是（）A.卫星沿轨道Ⅱ运动的周期大于沿轨道Ⅰ运动的周期B.卫星在轨道Ⅱ上C点的速度大于在轨道Ⅰ上A点的速度C.卫星在轨道Ⅱ上的机械能大于在轨道Ⅰ上的机械能D.卫星在轨道Ⅱ上C点的加速度大于在轨道Ⅰ上A点的加速度6.（2009·苏北四市联考）为纪念伽利略将望远镜用于天文观测400周年，2009年被定为以“探索我的宇宙”为主题的国际天文年.我国发射的“嫦娥一号”卫星绕月球经过一年多的运行，完成了既定任务，于2009年3月1日16时13分成功撞月.如图6为“嫦娥一号”卫星撞月的模拟图，卫星在控制点1开始进入撞月轨道.假设卫星绕月球作圆周运动的轨道半径为R ，周期为T ，引力常量为G.根据题中信息，以下说法正确的是（ ）A.可以求出月球的质量B.可以求出月球对“嫦娥一号”卫星的引力C.“嫦娥一号”卫星在控制点1处应减速D.“嫦娥一号”在地面的发射速度大于11.2 km/s7.（2009·天津模拟）2007年10月24日18时29分,图7星箭成功分离之后,“嫦娥一号”卫星进入半径为205 km 的圆轨道上绕地球做圆周运动,卫星在这个轨道上“奔跑”一圈半后,于25日下午进行第一次变轨,变轨后,卫星轨道半径将抬高到离地球约600 km 的地方,如图7所示.已知地球半径为R,表面重力加速度为g,质量为m 的“嫦娥一号”卫星在地球上空的万有引力势能为Ep=（以无穷远处引力势能为零）,r 表示物体到地心的距离.（1）质量为m 的“嫦娥一号”卫星以速率v 在某一圆轨道上绕地球做圆周运动,求此时卫星距地球地面高度h1.（2）要使“嫦娥一号”卫星上升,从离地面高度h1再增加h的轨道上做匀速圆周运动,卫星发动机至少要做多少功?rm gR28.（2009·上海卢湾区）牛顿在1684年提出这样一些理论：当被水平抛出物体的速度达到一定数值v1时，它会沿着一个圆形轨道围绕地球飞行而不落地，这个速度称为环绕速度；当抛射的速度增大到另一个临界值v2时，物体的运动轨道将成为抛物线，它将飞离地球的引力范围，这里的v2我们称其为逃离速度，对地球来讲逃离速度为11.2 km/s.法国数学家兼天文学家拉普拉斯于1796年曾预言：“一个密度如地球而直径约为太阳250倍的发光恒星，由于其引力作用，将不允许任何物体（包括光）离开它.由于这个原因，宇宙中有些天体不会被我们看见.”这种奇怪的天体也就是爱因斯坦在广义相对论中预言的“黑洞（black hole）”.已知对任何密度均匀的球形天体，v2恒为v1的2倍，万有引力恒量为G，地球的半径约为6 400 km,太阳半径为地球半径的109倍，光速c=3.0×108 m/s.请根据牛顿理论求：（1）求质量为M，半径为R的星体逃离速度v2的大小；（2）如果有一黑洞，其质量为地球的10倍，则其半径满足什么条件？（3）若宇宙中一颗发光恒星，直径为太阳的248倍，密度和地球相同，试通过计算分析，该恒星能否被我们看见.。

均匀球体内质点所受万有引力1. 引言在咱们的日常生活中，万有引力可是个老朋友了。

地球把咱们牢牢地吸引在地面上，让我们不会飘到太空去。

今天咱们聊聊一个有趣的现象——均匀球体内的质点所受的万有引力。

这个话题听上去可能有点晦涩，但其实很有趣哦！2. 基本概念在开始之前，咱们得了解几个基本概念。

2.1 什么是均匀球体？均匀球体就是一个球体内部的质料分布都很均匀，像一个完美的橙子，果肉分布均匀，没有什么空洞。

这样的球体在科学研究中很有用，虽然现实中我们可能找不到完美的均匀球体，但科学家们常用这种理想化的模型来进行计算和研究。

2.2 万有引力是啥？万有引力是指任何两个物体之间都有一种吸引力，就像地球吸引我们那样。

这个力和物体的质量以及它们之间的距离有关。

越大的物体，或是越近的物体，吸引力就越大。

3. 均匀球体内部质点的万有引力好啦，我们现在就深入探讨一下均匀球体内部的质点受到了怎样的万有引力。

3.1 内部质点的引力计算假设你站在一个均匀的球体内部，离球心有一段距离，这时候你会受到怎样的引力呢？按照牛顿的万有引力定律，实际上，在这个均匀球体内部，离球心越近的地方，受的引力就越小。

为什么呢？因为离球心远的地方的引力会互相抵消，只剩下靠近的部分在施加引力。

3.2 引力的变化规律这个引力的变化也有个规律。

如果你在球体内部的某个位置，可以用一个简单的公式来计算。

实际上，你会发现，不管你在球体的哪个地方，受的引力都像地球表面上的引力一样，都会随着距离球心的变化而变化。

离球心越近，引力就越小，离球心越远，引力则逐渐增大。

4. 实际应用这些理论听上去可能有点抽象，但它们在实际中有很多用处。

4.1 科学研究科学家们通过这些原理，可以更好地理解天体的运动，比如行星、卫星的运动轨迹。

比如说，了解一个均匀球体内部的引力分布，有助于研究地球内部结构的性质。

4.2 工程应用在工程领域，尤其是在设计大型结构或设施时，理解这些引力原理也很重要。

均匀球体内质点所受万有引力1. 引言大家好，今天咱们聊聊一个有趣的物理问题：均匀球体内的质点到底是怎么受到万有引力的？听起来有点复杂，但别急，我会尽量用简单的语言给大家讲解清楚。

2. 万有引力的基本概念2.1 万有引力法则首先，我们要了解万有引力的基本概念。

牛顿曾经说过，宇宙中的每一个物体都在相互吸引。

这种力就叫做万有引力。

简单来说，就是任何两个物体之间都会有一种看不见的“牵引力”，它的强度跟物体的质量和距离有关。

2.2 球体的定义说到球体，其实就是一种在三维空间里，所有点到中心的距离都一样的形状。

想象一个完美的篮球，表面上的每一点离中心的距离都是相同的。

这种球体在物理学中被称为“均匀球体”。

3. 均匀球体内质点所受的万有引力3.1 球体内部的质点那么，在一个均匀球体内部，像小小的质点这种位置上受到的万有引力是怎么样的呢？其实，如果我们把球体看作是由很多许多小的质点组成的，那么每一个质点都在受到其他质点的吸引。

这就像在一个派对里，每个人都在互相吸引、互动。

3.2 如何计算这些引力说到计算，这里就有点数学味道了。

总的来说，我们可以通过一个叫“高斯定理”的方法来解决这个问题。

简单来说，就是把球体切成无数的小块，然后逐个计算每一小块对内部质点的引力，最后加起来。

这就像是把一个大蛋糕切成小块，每一块都尝尝，然后把所有小块的味道汇总。

4. 实际应用与例子4.1 地球内部的引力有了这些理论，我们就可以来看看实际的例子了。

比如说，地球的内部。

我们知道地球是一个大球体，里面的质点其实也都在受到万有引力的作用。

地球内部的引力会影响我们生活中的很多东西，比如说地震和地壳运动。

4.2 科学实验的验证另外，科学家们也通过实验验证了这些理论。

比如，他们用实验室里的球体模型来研究引力，并且通过各种精密仪器来测量这些力。

就像在大自然中做“演示秀”，把理论和实际结合起来，让我们更好地理解这个复杂的现象。

5. 总结总之，均匀球体内质点的万有引力问题，虽然一开始听起来有些绕，但通过了解万有引力法则和计算方法，我们可以把它搞清楚。

质点在地球内部所受万有引力公式
质点在地球内部所受的万有引力可以通过万有引力公式来描述。

根据万有引力定律，两个物体之间的引力大小与它们的质量和距离
的平方成反比。

该定律可以用公式表示为 F = G (m1 m2) / r^2，其中F是两个物体之间的引力，G是万有引力常数，m1和m2分别是
两个物体的质量，r是它们之间的距离。

在地球内部，如果我们考虑一个质点，它所受的引力取决于它
与地球质心的距离。

根据万有引力公式，质点在地球内部所受的引
力与它与地球质心的距离的平方成反比。

由于地球是近似球形的，
我们可以将地球看作是质量均匀分布的球体，因此可以使用地球的
平均半径来计算质点所受的引力。

需要注意的是，在地球内部，地壳、地幔和地核的密度和组成
不同，因此地球的密度并不是均匀的。

这意味着在地球内部不同位
置的质点所受的引力可能会有所不同。

然而，如果我们假设地球是
均匀的球体，我们可以使用上述的万有引力公式来描述质点在地球
内部所受的引力。

总之，质点在地球内部所受的万有引力可以通过万有引力公式
来描述，该引力与质点与地球质心的距离的平方成反比。

然而，需要考虑地球的非均匀性和密度分布对引力的影响。

均匀球体对质点的万有引力的计算及应用湖州中学 竺 斌牛顿从开普勒定律出发，研究了许多不同物体间遵循同样规律的引力之后，进一步把这个规律推广到自然界中任意两个物体之间，于1687年正式发表了万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。

即：2r MmGF =引 ① 这里的两个物体指的是质点。

万有引力定律只给出了两个质点间的引力。

而对于一般不能看成质点的物体间的万有引力，需将物体分成许多小部分，使每一部分都可视为质点，根据①式求出物体1各小部分与物体2各小部分之间的引力，每个物体所受的引力就等于其各部分所受引力的矢量和。

但是，若物体为球体，且密度均匀分布，他们之间的引力仍然可以用上式计算，其中r 表示两球球心的距离，引力沿两球球心的连线。

这一点在高中教材、教学参考书都没有给出证明，只是用简单的几句话带过。

我用两种方法来证明“对于质量分布均匀的球体，在计算万有引力时，可以把其看成质量都集中在球心的质点。

”并计算均匀球壳对其内部质点的引力和均匀球对其内部的引力，仅供大家参考。

一、有关引力的计算 1．用微积分法。

)1(．质点与均匀球体间的万有引力。

若质点质量为m ，与球心的距离为R 。

设球的半径为a ，密度为v ρ，质量为334a M v πρ⋅=。

建立如图所示的坐标系。

根据对称性可知，球对质点的引力必沿z 方向，x ，y 方向上合力为0。

球上取一微元，坐标为（r, θ，φ）,其体积为ϕθθd d r d r s i n 2。

对质点的万有引力。

ϕθϕϕρd drd rR R r r m G dF v cos 2sin 222-+= （R ＞a ） 在z 方向上的分力为：ϕθϕϕϕραd drd rR R r r R r m GdF dF v z 23222)cos 2(sin )cos (cos -+-=⋅=Oφ (r,θ,φ)·dr d d rR R r r R r m GF F v a zθϕϕϕϕρππ23222020)cos 2(sin )cos (-+-==⎰⎰⎰合222222220202322220cos 2cos 2(212)cos 2(sin )cos (RMm G rR R r R r rR R r rR dr r Gm d rR R r r R dr r d Gm a v a v =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-+-+⋅=-+-=⎰⎰⎰⎰πππϕϕπρϕϕϕφθρ 所以均匀球体对球外一点的万有引力好象球体的质量全部集中在球心一样。

正确理解万有引力公式的适用条件江苏省华罗庚中学 周月平 213200自然界中任何两个物体之间都相互吸引，这是万有引力定律告诉我们的，我们在计算万有引力的时候，有一个参量是比较麻烦的，就是两物体之间的距离r ，因为物体是有大小的。

如何来确定物体之间的距离就显得尤为重要了。

我们学过了重心的概念，有人很容易把两物体之间的距离看成是两物体重心之间的距离，因为重力在物体各部分的作用可以认为作用在物体的重心上。

说到“心”，还有一个“心”是比较重要的，质心（质量的中心）。

实际上，对于地球上体积不太大的物体，重心与质心的位置是重合的。

既然可以认为物体的质量集中在一个点上，那么物体之间的距离是不是就可以用质心（重心）之间的距离来表示了呢不能！因为万有引力定律的适用条件是可视为质点的两物体，质点是理想化模型，而重心（质心）是空间位置，质点与质心是两个完全不同的概念。

由于质点的概念是在研究物体的运动的时候刚刚建立起来，因此对万有引力公式适用条件的理解可能不会很深。

下面我们通过一个例子来加深理解。

例题：有三个质量相同的小球质量均为m ，三个球并排着放在同一条直线上，球1和球2相切，球2和球3之间的球心距为1r ，球1和球3之间的球心距为3r ，球1和球2组成的系统的重心与球3球心之间的距离为2r ，求球3与球1和球2组成的系统之间的万有引力。

对于匀质球体之间的万有引力，教材中说万有引力公式中的r 是球心间的距离。

注意，这里并没有说r 是重心之间的距离或者说质心之间的距离，只是说公式中的r 可以用球心距来代替。

至于为什么可以这样计算，利用高等数学可以证明，高中阶段我们不讨论这种方法（可以参考《匀质球间万有引力结论诠释》，昆明冶金高等专科学校学报，第16卷第4期，周志荣）。

下面我们通过两种方法来计算物体之间的万有引力，进而理解万有引力的适用条件。

方法一、根据力的叠加原理，球3与球1和球2组成的系统之间的万有引力就是球3与球1之间的万有引力和球3与球2之间的万有引力的累加即2313F F F +=合，其中2313r mm G F =，2123r mm G F =。