最新北师大版最新八上二次根式经典拔高题

《二次根式》练习题1．二次根式的定义一般地，我们把形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号，a 叫做被开方数．【例1－1】 下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？2，33，1x ，x 2＋1，0，42，－2，1x ＋y，x ＋y .解：二次根式有：2，x 2＋1，0，－2；不是二次根式的有：33，1x ，42，1x ＋y，x ＋y .析规律 二次根式的条件二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或0. 【例1－2】 当x 是多少时，3x －1在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x －1≥0时，3x －1才有意义．解：由3x －1≥0，得x ≥13.因此当x ≥13时，3x －1在实数范围内有意义．点技巧 二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件是，被开方数是非负数，即被开方数一定要大于或等于0. 2．积的算术平方根用“＞，＜或＝”填空．4×9______4×9，16×25______16×25，100×36______100×36.根据上面的计算我们可得出：ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)即：积的算术平方根，等于各算术平方根的积． 【例2】 化简：(1)9×16；(2)16×81；(3)81×100；(4)54. 分析：利用ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)直接化简即可． 解：(1)9×16＝9×16＝3×4＝12. (2)16×81＝16×81＝4×9＝36. (3)81×100＝81×100＝9×10＝90.(4)54＝9×6＝32×6＝3 6. 点评：利用积的算术平方根的性质可对二次根式进行化简，使其不含能开得尽方的因数或因式．3．商的算术平方根 填空：(1)916＝__________，916＝__________；(2)1636＝__________，1636＝__________； (3)416＝__________，416＝__________； (4)3681＝__________，3681＝__________. 规律：916______916；1636______1636；416______416；3681______3681. 通过计算容易得出上面的式子都是相等的．因此， a b ＝ab(a ≥0，b >0) 即：商的算术平方根等于各算术平方根的商． 【例3】 化简：(1)364；(2)64b 29a 2；(3)9x 64y 2；(4)5x169y 2.分析：直接利用a b ＝ab(a ≥0，b ＞0)就可以达到化简之目的． 解：(1)364＝364＝38. (2)64b 29a 2＝64b 29a 2＝8|b |3|a |. (3)9x 64y 2＝9x 64y 2＝3x8|y |. (4)5x 169y 2＝5x 169y 2＝5x13|y |. 4．最简二次根式最简二次根式应满足以下两个条件： (1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．所以，化简二次根式时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式．【例4】 把下列根式化成最简二次根式：(1)12，(2)40，(3) 1.5，(4)43.解：(1)12＝4×3＝2 3. (2)40＝4×10＝210.(3) 1.5＝32＝32＝3×22×2＝62.(4)43＝23＝233.点评：化简二次根式时，要求最终结果中分母不含有根号，应利用二次根式的有关性质化掉分母中的根号．5．二次根式的乘除二次根式的乘法：a·b＝ab(a≥0，b≥0)二次根式的除法：ab＝ab(a≥0，b>0)即：二次根式相乘除，只把被开方数相乘除，结果仍然作为被开方数．【例5】计算：(1)5×7；(2)13×9；(3)14÷116；(4)648.分析：直接利用a·b＝ab(a≥0，b≥0)和ab＝ab(a≥0，b＞0)计算即可．解：(1)5×7＝35.(2)13×9＝13×9＝ 3.(3)14÷116＝14÷116＝14×16＝4＝2.(4)648＝648＝8＝2 2.6．二次根式的加减计算下列各式：(1)2x＋3x；(2)2x2－3x2＋5x2；(3)x＋2x＋3y；(4)3a2－2a2＋a3.上面的题目，实际上为同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．计算下列各式：(1)22＋32；(2)28－38＋58；(3)7＋27＋9×7；(4)33－23＋ 2.分析：(1)如果我们把2当成x，不就转化为上面的问题了吗？22＋32＝(2＋3)2＝5 2.(2)把8当成y；28－38＋58＝(2－3＋5)8＝48＝8 2.(3)把7当成z；7＋27＋9·7＝7＋27＋37＝(1＋2＋3)7＝67.(4)把3看为x，2看为y.33－23＋2＝(3－2)3＋2＝3＋ 2.因此，二次根式的被开方数相同的话是可以合并的．二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【例6】计算：(1)8＋18；(2)16x ＋64x ；(3)348－913＋312；(4)(48＋20)＋(12－5)．分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．解：(1)8＋18＝22＋32＝(2＋3)2＝5 2. (2)16x ＋64x ＝4x ＋8x ＝(4＋8)x ＝12x .(3)348－913＋312＝123－33＋63＝(12－3＋6)3＝15 3.(4)(48＋20)＋(12－5)＝48＋20＋12－ 5 ＝43＋25＋23－ 5 ＝63＋ 5.7．化简a 2(1)计算：42＝4，0.22＝0.2，⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝45，202＝20，观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a ＞0时，a 2＝a .(2)计算：(－4)2＝4，(－0.2)2＝0.2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝45，(－20)2＝20，观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a ＜0时，a 2＝－a .(3)计算：02＝0，当a ＝0时，a 2＝0.(4)将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a >0，0，a ＝0，－a ，a <0.【例7－1】 化简：(1)9； (2)(－4)2； (3)25；(4)(－3)2.分析：因为(1)9＝32，(2)(－4)2＝42，(3)25＝52，(4)(－3)2＝32，所以都可运用a 2＝a (a ≥0)去化简．解：(1)9＝32＝3.(2)(－4)2＝42＝4.(3)25＝52＝5.(4)(－3)2＝32＝3.【例7－2】 先化简再求值：当a ＝9时，求a ＋1－2a ＋a 2的值，甲、乙两人的解答如下：甲的解答为：原式＝a ＋(1－a )2＝a ＋(1－a )＝1；乙的解答为：原式＝a ＋(1－a )2＝a ＋(a －1)＝2a －1＝17.两种解答中，__________的解答是错误的，错误的原因是__________．答案：甲甲没有先判定1－a是正数还是负数8．二次根式的混合运算计算：(1)6x·3y；(2)(2x＋y)·zx；(3)(2x2y＋3xy2)÷xy.(4)(2x＋3y)(2x－3y)；(5)(2x＋1)2＋(2x－1)2.如果把上面的x，y，z改写成二次根式，以上的运算规律是否仍成立？仍成立．整式运算中的x，y，z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．【例8】计算：(1)(6＋8)×3；(2)(46－32)÷22；(3)(5＋6)(3－5)；(4)(10＋7)(10－7)．分析：因为二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律．解：(1)(6＋8)×3＝6×3＋8×3＝18＋24＝32＋2 6.(2)(46－32)÷22＝46÷22－32÷22＝23－3 2 .(3)(5＋6)(3－5)＝35－(5)2＋18－65＝13－3 5.(4)(10＋7)(10－7)＝(10)2－(7)2＝10－7＝3.。

北师大版八年级上数学二次根式计算题一、计算：（1）3649× （2）516× （3）43 （4）48 （5）53 （6）51（7）28 （8）90 （9）58 （10）2.1二、计算：（1）644× （2）325 （3）3645（4）125（5）20 （6）143 （7）9816 （8）71三、计算：（1）2510× （2）326× （3）73（4）510×（5）5092×（6）4312× （7）2)223(－ （8）2)218(×+（9）52025－ （10）1822－四、计算：(1)313× (2)5315× (3)2)52(+(4)21-850× (5))25)(53(－+ (6)32583－(7)3137－(8)10101540+－五、计算：(1)4334－ (2)431227+－ (3)5)51100(÷－(4)14172－ (5)48512739－+ (6)32)62(×－六、计算：(1)5420－ (2)63774+－ (3)7)7227(×+(4)2)37(－ (5))732)(732(－+ (6)4875581－+(7)53327－+ (8)65424+(9)5002051－+ 小学生习惯养成教育三字经小学生行为三字经1.守纪律 循秩序 爱集体 摒私欲 讲文明 有情趣2.排路队紧跟随快静齐守交规保平安把家回3.讲卫生防病症勿乱扔桌椅整勤保洁体质增4.广播操很重要天天练身体好雏鹰飞长空翱5.眼保健莫等闲坐姿正内心恬穴位准不可偏6.绿化带人人爱多呵护别踩摘草青青花常开小学生文明礼仪三字经新世纪，好儿童。

懂礼仪，讲文明。

见老师，要鞠躬。

先问好，口齿清。

体端正，貌真诚。

面带笑，声含情。

尊师长，爱园丁。

为子弟，获先生。

如父母，岂敢轻。

升国旗，要庄重。

专题2.19二次根式（分层练习）（提升练）一、单选题1．下列式子一定是二次根式是（）AB ．πC D2x 的取值范围是（）A ．4x ≠B ．3x ≥C ．3x ≥且4x ≠D ．4x ≥3．下列各式中，不是最简二次根式的是（）AB C D 4．下列与为同类二次根式的是（）AB CD 5．下列计算中，正确的是（）A ．B =C =D 156．若0,0mn m n >+<=（）A ．m B ．-mC ．nD ．-n7．已知a =，b =，则a 与b 的关系是（）A ．相等B ．互为相反数C ．互为倒数D ．平方值相等8．如果一个三角形的面积为）A ．3B ．3C ．D ．9．已知10a -<<得（）A ．2a -B ．2a-C ．2aD ．2a10．如图，在数轴上点A 表示的数是2，点C 表示的数是2-，90ACB ∠=︒，2AC BC =，以点A 为圆心，AB 的长为半径画弧交数轴于点D ，则点D 表示的数是（）A ．4-B ．4-C ．2-D ．2-二、填空题11．已知关于x 的方程4m 有实数解，那么m 的取值范围是．12．若A ，则A =．13a b -=．14．ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且满足()2860a b -+-=，则当c =时ABC 是直角三角形．15．已知m的整数部分，n m n +的值为．16．比较大小：（选填“>”、“=”或“<”）17．若[]x 表示不超过x 的最大整数，0A =，则[]A =______．18，2，．．．，．．．按下列方式进行排列：，24；…………若2的位置记为()1,2()2,3，则的位置记为．三、解答题19．计算：(2)))211+．20．下面是小虎同学做的一道题：(()(211+-+解：原式8361=-+-+55=+…②10=+(1)上面的计算过程中最早出现错误的步骤（填序号）是______；(2)请写出正确的计算过程．21111121⨯-=--21111-=(1)；(2)+⋅⋅⋅(3)若a =2365a a ++的值．22．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即：a b a ba b a ba b a b->>⎧⎪-==⎨⎪-<<⎩，则，则，则；2与2的大小．224 -=<<则45<<2240 -->22 >．请根据上述方法解答以下问题：________，7_______；(2)比较2与3-的大小．(3)已知()()22a b a b a b+-=-，试用“比差法”23+，部分解题步骤如下．+=+=+⎝⎭⎝⎭．(1)在以上解题步骤中用到了______________（从下面选项中选出两个）．A．等式的基本性质B．二次根式的化简C．二次根式的乘法法则D．通分(2)算到这里，他发现算式好像变得更复杂了，请用一种简便的方法解答此题．24．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题：11OA =；21111122OA S ==⨯⨯=；32112OA S ==⨯=43112OA S ==⨯；(1)请用含有n （n 为正整数）的等式表示上述变化规律：n OA =___________，n S =___________．(2)若一个三角形的面积是(3)求出22221239S S S S ++++L 的值．参考答案1．D【分析】根据二次根式的概念进行判断即可．解：A 、该代数式无意义，不符合题意；B 、π是无理数，不是二次根式，故此选项不合题意；C 、该代数式是三次根式，故此选项不合题意；D故选：D ．【点拨】本题考查二次根式的概念，确定被开方数恒为非负数是解题的关键．2．C【分析】根据二次根式的性质和分式有意义的条件列不等式组解答即可．解：∵代数式4y x =-有意义，∴3040x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得：3x ≥且4x ≠，故选C ．【点拨】本题考查了分式有意义的条件，掌握分母不为0；二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．3．B【分析】根据最简二次根式的定义:被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，逐一判断即可解答．解：A B 2=，故此选项符合题意；CD故选：B ．【点拨】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．4．A【分析】二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．先将各选项化为最简二次根式，再看被开方数是否相同即可．解：A.=B.=C.与不是同类二次根式，不符合题意；D.=【点拨】本题考查了同类二次根式的定义以及二次根式的化简，掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．5．B【分析】根据二次根式的运算法则，逐一进行计算，判断即可．解：A、=，选项错误，不符合题意；40B=C3=+故选B．【点拨】本题考查二次根式的运算．熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键．6．B【分析】先由已知条件得到m、n的符号，再根据二次根式的乘除法则化简计算即可．解：由已知条件可得：m<0，n<0，∴原式=|m|=-m，故选：B．【点拨】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的乘除法是解题关键．7．C【分析】化简计算判断即可．解：∵a =b =11a =11b =，∴)11111211b aba =⨯==-=，∴1ab =，故互为倒数，故选C ．【点拨】本题考查了二次根式的乘法，倒数即乘积为1的两个数，熟练掌握二次根式的乘法是解题的关键．8．B【分析】根据三角形的面积公式列出算式，再根据二次根式的性质化简计算即可．解：由三角形的面积公式可得所求高为：=故选B ．【点拨】本题考查二次根式的综合应用，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．9．B【分析】首先将两个根式的被开方数化为完全平方式，再根据a 的取值范围，判断出底数的符号，然后根据二次根式的意义化简．解：解∵2222222211111142,42a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=++=++-=-+=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，+∵10a -<<，∴10a a +<，2110a a a a--=>，+=11a a a a=--+-2a=-．故选：B ．【点拨】本题主要考查了二次根式的化简，能够熟练运用完全平方公式对被开方数进行变形是解答本题的关键．10．D【分析】先利用勾股定理可得AB 的长，从而可得AD 的长，再根据数轴的性质即可得．解： 在数轴上点A 表示的数是2，点C 表示的数是2-，()224AC ∴=--=，2AC BC = ，2BC ∴=，90ACB ∠=︒ ，AB ∴=，由题意可知，AD AB ==则点D 表示的数是2-故选：D ．【点拨】本题考查了勾股定理、数轴、二次根式的化简，熟练掌握勾股定理是解题关键．11．4m ≤/4m≥【分析】根据二次根式的非负性，即可求解．解：∵4m4m =-∴40-≥m ∴4m ≤故答案为：4m ≤【点拨】本题考查二次根式的非负性，解题的关键是掌握二次根式值的特点．12．【分析】利用实数的除法法则计算即可．解：∵A =∴A==故答案为：【点拨】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握实数的除法法则是解题关键．13．2【分析】根据最简二次根式、同类二次根式的性质计算，即可得到a 和b 的值；再将a 和b 的值代入到代数式，通过计算即可得到答案．解：根据题意得：12a -=∴3a =是同类最简二次根式∴252b b +=-∴1b =∴312a b -=-=故答案为：2．【点拨】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握最简二次根式、同类二次根式、代数式的性质，从而完成求解．14．10或10【分析】根据绝对值和偶次方的非负性得出8a =，6b =，再分情况根据勾股定理解答即可．解：解∶∵()2860a b -+-=，∴80a -=，60b -=，解得：8a =，6b =，∴当ABC 是以ACB ∠为直角的直角三角形时，2222268100c a b =+=+=，∴10c =，当ABC 是以CAB ∠为直角的直角三角形时，222228628c a b =-=-=，∴c ==故答案为：10或【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，二次根式的化简，即如果直角三角形的三边长分别为a ，b ，c ，那么222+=a b c ，注意分情况讨论，不要漏解，熟练掌握勾股定理是解题的关键．15．1-【分析】从而求出整数部分m ，再进一步表示出小数部分n ，然后代值求解即可．解：469<< ，23∴<<，2，2m ∴=，91316<< ，34∴<，33-，3n ∴=，231m n ∴+=-=-，故答案为：1-．【点拨】本题考查了估算无理数的大小，用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．需要记住一些常用数的平方，一般情况下从1到20的平方都应牢记，这样面对一个无理数，就能快速准确地进行估算．16．>【分析】根据二次根式的性质进行求解即可．解：∵<，∴>．故答案为：>．【点拨】本题考查了二次根式的比较，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．17．2-【分析】先根据零指数幂和分母有理化得到 1.732A =≈-，然后根据[]x 表示不超过x 的最大整数得到[]2A -＝．解：01A ==，那么2111111A ====--=-∴21A -<<-，[]2A -＝．故答案为：2-．【点拨】本题考查了取整计算：[]x表示不超过x的最大整数．也考查了分母有理化和零指数幂．18．()5,4【分析】先找出被开方数的规律，再求出的位置即可．解：原来的一组数即为……所以，规律为：被开方数为从2开始的偶数，每行4个数，÷=，∵=，40是第20个偶数，而20455,4，∴的位置为()5,4．故答案为：()【点拨】本题考查了数字的规律探究，找准规律是解题的关键．19．(2)7【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用完全平方公式和二次根式的乘法法则计算，再合并即可．（1）解：原式==（2）原式=+++-2147=．【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20．(1)①；(2)见分析【分析】（1）根据完全平方公式和多项式的乘法法则即可知步骤①计算错误；（2）根据完全平方公式和平方差公式去括号，再进行加减计算即可．解：（1）根据完全平方公式和多项式的乘法法则可知上面的计算过程中最早出现错误的步骤是①．故答案为：①；（2）解：(()(211+-+(()()2121+=32811-+-=22=-．【点拨】本题考查二次根式的混合运算，涉及完全平方公式，平方差公式以及多项式的乘法．熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题关键．21．1，方法见详解；(2)12；(3)8【分析】（1）根据例题的两种方法直接计算即可得到答案；（2）根据化简式子代入式子相互抵消即可得到答案；（3）根据式子化简将a =变形，将多项式变形即可得到答案；（1)2121131⨯⨯==-；221111=-=；（2）解：由题意可得，⋅⋅⋅+=12-=；（3）解：∵1a =，∴1a +=，()212a +=，∴221a a +=，∴()22365325358a a a a ++=++=+=．【点拨】本题考查根式有理化，根式有理化规律题及根式化简求值，解题的关键是读懂题干中根式有理化化简方法．22．(1)5；6(2)23>-；<．【分析】（1）首先估算出56<，的整数部分是5；推出65-<-，得到172<-<，据此即可求解；（2）根据“比差法”比较两个数大小即可；（3）根据“比差法”-再得到()()22a b a b a b +-=-，化简比较即可求解．（1）解：∵56<，5；∴65-<<-，∴172<<，∴71，则7716-=-故答案为：5；6（2）解：()2350-=-，∴23>-；（3-==<，<【点拨】此题考查了无理数大小的比较，弄清题中的“作差比较法”是解本题的关键．23．(1)BD ；【分析】（1）根据计算过程进行求解即可；（2（1变为2-变为66-用到了通分，故答案为：BD ；（2+===+．【点拨】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的化简，熟知二次根式的混合计算法则是解题的关键．24．(2)第32个三角形；(3)11.25【分析】（1）由勾股定理及直角三角形的面积求解；（2）利用（1）的规律代入n S =n 即可；（3）算出第一到第九个三角形的面积后求和即可．（1）解：因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：1OA =，2OA 3n OA OA ==，∴2n OA n =，112n S =⋅=，∴n OA =；（2）当n S =时，有：=解之得：32n =即：说明它是第32个三角形；（3）22221239S S S S +++⋯+129444=++⋯+11.25=即：22221239S S S S +++⋯+的值为11.25．【点拨】本题考查了勾股定理以及二次根式的应用，解题的关键是看清楚相邻两个三角形的各个边之间的关系．。

专题05 二次根式☞解读考点☞2年中考 【2015年题组】1．（2015的结果是（ ） A B ． D ． 【答案】B ．考点：二次根式的乘除法．2．（2015徐州）使1-x 有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x≠1 B．x≥1 C．x ＞1 D ．x≥0 【答案】B ． 【解析】试题分析：∵1-x 有意义，∴x ﹣1≥0，即x≥1．故选B ． 考点：二次根式有意义的条件．3．（2015扬州）下列二次根式中的最简二次根式是（ ）A ．30B ．12C ．8D ．21【答案】A ． 【解析】试题分析：A ．符合最简二次根式的定义，故本选项正确；B=，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；C=，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；D=故选A．考点：最简二次根式．4．（2015合并的是（）ABD【答案】C．考点：同类二次根式．5．（2015宜昌）下列式子没有意义的是（）ABCD【答案】A．【解析】试题分析：A没有意义，故A符合题意；B有意义，故B不符合题意；C有意义，故C不符合题意；D有意义，故D不符合题意；故选A．考点：二次根式有意义的条件．6．（2015潜江）下列各式计算正确的是（）A+=．1-= C．363332=⨯ D3=【答案】D．考点：1．二次根式的乘除法；2．二次根式的加减法．7．（2015有意义，那么x的取值范围在数轴上表示出，正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C．【解析】试题分析：由题意得，2x+6≥0，解得，x≥﹣3，故选C．考点：1．在数轴上表示不等式的解集；2．二次根式有意义的条件．8．（2015钦州）对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n=))m nm n≥<，计算（3※2）×（8※12）的结果为（）A．2-．2 C．．20【答案】B．【解析】试题分析：∵3＞2，∴3※2=，∵8＜12，∴8※，∴（3※2）×（8※12）=）×=2．故选B ． 考点：1．二次根式的混合运算；2．新定义．9．（2015孝感）已知2x =-，则代数式2(7(2x x ++++的值是（ ）A ．0BC ．2+D ．2- 【答案】C ． 【解析】试题分析：把2x =代入代数式2(7(2x x ++++得：2(7(2++=(743+-+-+=49481-++2+．故选C ． 考点：二次根式的化简求值．10．（2015荆门）当12a <<的值是（ ）A ．1-B ．1C ．23a -D ．32a - 【答案】B ．考点：二次根式的性质与化简．11．（2015随州）若代数式11x -有意义，则实数x 的取值范围是（ ）A ．1x ≠B ．0x ≥C ．0x ≠D ．0x ≥且1x ≠ 【答案】D ． 【解析】试题分析：∵代数式11x +-100x x -≠⎧⎨≥⎩，解得0x ≥且1x ≠．故选D ． 考点：1．二次根式有意义的条件；2．分式有意义的条件．12．（2015淄博）已知，则22x xy y ++的值为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．7 【答案】B ． 【解析】 试题分析：原式=2()x y xy +-=2=21-=51-=4．故选B ．考点：二次根式的化简求值．13．（2015朝阳）估计+的运算结果应在哪两个连续自然数之间（ ）A ．5和6B ．6和7C ．7和8D ．8和9 【答案】B ． 【解析】试题分析：原式=2+6＜2+＜7的运算结果在6和7两个连续自然数之间，故选B ． 考点：1．估算无理数的大小；2．二次根式的乘除法．14．（2015． 【答案】5．考点：二次根式的乘除法．15．（2015泰州）计算：21218-等于 ．【答案】． 【解析】试题分析：原式=2-==．故答案为：．考点：二次根式的加减法．16．（20153x =-，则x 的取值范围是 ． 【答案】x≤3． 【解析】3x =-，∴3﹣x≥0，解得：x≤3，故答案为：x≤3． 考点：二次根式的性质与化简．17．（2015攀枝花）若2y =+，则yx = ．【答案】9． 【解析】试题分析：2y =有意义，必须30x -≥，30x -≥，解得：x=3，代入得：y=0+0+2=2，∴yx =23=9．故答案为：9． 考点：二次根式有意义的条件．18．（2015毕节）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，b-= ．【答案】b -．考点：1．实数与数轴；2．二次根式的性质与化简．19．（2015葫芦岛）若代数式有意义，则实数x 的取值范围是 ． 【答案】x≥0且x≠1． 【解析】有意义，∴x≥0，x ﹣1≠0，∴实数x 的取值范围是：x≥0且x≠1．故答案为：x≥0且x≠1．考点：1．二次根式有意义的条件；2．分式有意义的条件．20．（2015陕西省）计算：()3212263-⎪⎭⎫⎝⎛+-+-⨯．【答案】8． 【解析】试题分析：根据二次根式的乘法法则、绝对值的意义、负整数整数幂的意义化简后合并即可．试题解析：原式=8+=8-++=8． 考点：1．二次根式的混合运算；2．负整数指数幂．21．（2015大连）计算：11)()2-+．【答案】1+考点：1．二次根式的混合运算；2．零指数幂．22．（2015山西省）阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．【答案】1，1．【解析】试题分析：分别把1、2代入式子化简即可．试题解析：第1个数，当n=1时，原式=1．第2个数，当n=2时，原式22]-=1．考点：1．二次根式的应用；2．阅读型；3．规律型；4．综合题．【2014年题组】1．（2014年四川甘孜中考）使代数式有意义的x的取值范围是（）A．x≥0 B．﹣5≤x＜5 C．x≥5 D．x≥﹣5【答案】D．【解析】试题分析：由题意得，x+5≥0，解得x≥﹣5．故选D．考点：二次根式有意义的条件．2.（2014有意义，则实数x的取值范围是（）A.x≥一1 B．x≥一1且x≠3 C．x>-l D．x>-1且x≠3【答案】D．考点：1.二次根式有意义的条件；2.分式有意义的条件．3.（2014年镇江中考）若x、y()22y10+-=，则x y+的值等于（）A.1B.32 C.2 D.52【答案】B．【解析】试题分析：()22y10+-=，∴()212x10x22y10y1⎧-=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⎪⎩=⎩∴13x y122+=+=．故选B．考点：1.二次根式被开方数和偶次幂的非负性质；2.求代数式的值．4.（2014年甘肃白银中考）下列计算错误的是（）A. •=B. +=C. ÷=2D. =2【答案】B．【解析】试题分析：A36=，计算正确；B+，不能合并，原题计算错误；C2==，计算正确；D=，计算正确．故选B．考点：二次根式的混合运算．5.（2014年山东省聊城市中考）下列计算正确的是（）A．2×3=6B.+=C. 5﹣2=3 D .÷=【答案】D．【解析】试题分析：A 、23318=⨯⨯=，故A 错误；B 、不是同类二次根式，不能相加，故B 错误；C 、不是同类二次根式，不能相减，故C 错误；D 、==D 正确；故选D ．考点：二次根式的加减法、乘除法．6.（2014是同类二次根式的是（ ）A ．BCD 【答案】D ．考点：同类二次根式．7.（2014年凉山中考）已知12x x ==，则x12+x22= ． 【答案】10． 【解析】试题分析：∵12x x ==，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=2212210+-=-=．考点：二次根式的混合运算． 8.（2014年哈尔滨中考）计算：= ．【答案】3． 【解析】试题分析：312-=23﹣3=3． 考点：二次根式的加减法．9.（2014-=．【答案】2．考点：二次根式的乘除法．10.（2014（）（13）-1．【答案】． 【解析】试题分析：分别进行二次根式的乘法运算，二次根式的化简，负整数指数幂的运算，然后合并即可求出答案．试题解析：原式．考点：1.二次根式的混合运算；2.负整数指数幂．☞考点归纳归纳 1：二次根式的意义及性质 基础知识归纳：二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0． 注意问题归纳：1.首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0．2、利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出，在允许的取值范围内进行化简．【例1】函数()0y x 2=-中，自变量x 的取值范围是 ．【答案】x≥0且x≠2且x≠3．考点：二次根式有意义的条件． 归纳 2：最简二次根式与同类二次根式 基础知识归纳： 1.最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2. 同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式． 注意问题归纳：最简二次根式的判断方法：1.最简二次根式必须同时满足如下条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；（2）被开方数中不含开方开得尽的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1．2．判断同类二次根式：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关． 【例2】下列二次根式中，能与3合并的是（ ）A ．18;B ．31; C ．－8; D ． 24 【答案】B ．考点：同类二次根式． 归纳 3：二次根式的运算 基础知识归纳：（1）．二次根式的加减法实质就是合并同类二次根式．合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式． （2）．二次根式的乘除法 二次根式的乘法：ab b a =⋅（a ≥0，b ≥0）．二次根式的除法：b ab a =（a≥0，b ＞0）．注意问题归纳：正确把握运算法则是解题的关键【例3】如果ab ＞0，a+b ＜0=1ba =，③b =-其中正确的是（ ）①②B ．②③C ．①③D ．①②③【答案】B ．【解析】∵ab ＞0，a+b＜0，∴a ＜0， b ＜0=0a ，b 不能做被开方数，（故①错误）1ba=（故②正确）b =-（故③正确）．故选B ．考点：二次根式的运算． 归纳 4：二次根式混合运算基础知识归纳先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）．注意问题归纳：注意运算顺序．【例44(1-．考点：二次根式的运算．归纳5：二次根式运算中的技巧基础知识归纳：1.二次根式的被开方数是非负数；2.非负数的性质．注意问题归纳：【例5】若-2，则（x+y）y=【答案】1 4．【解析】由题意得，x-4≥0且4-x≥0，解得x≥4且x≤4，∴x=4，y=-2，∴x+y）y=（4-2）-2=1 4．考点：二次根式的运算．☞1年模拟1．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）要使有意义，则x应满足（）A．12≤x≤3 B．x≤3且x≠12 C．12＜x＜3 D．12＜x≤3【答案】D．考点：1．二次根式有意义的条件；2．分式有意义的条件．2．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）已知0＜a ＜b ，，，则x ，y 的大小关系是（ ）A ．x ＞yB ．x=yC ．x ＜yD ．与a 、b 的取值有关【答案】C ． 【解析】试题分析：x-y==，∵0＜a ＜b ，∴22b =+＜4b ，∴+＜0，∴x-y ＜0．故选C ．考点：二次根式的化简．3．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）＝2−x ，那么x 取值范）围是（ ）A ．x ≤2B ．x ＜2C ．x ≥2D ．x ＞2 【答案】A ． 【解析】＝2−x ，∴x-2≤0，解得：x ≤2．故选A ．考点：二次根式的性质与化简．4．（2015届山东省聊城市中考模拟）下列运算正确的是（ ）A ．2a2+3a2=6a2B +=C =D ．1111b ba a ---=--【答案】D ．【解析】试题分析：A ．2a2+3a2=5a2，故本选项错误；B +无法计算，故本选项错误；C =，故本选项错误；D ．1111b ba a ---=--，正确．故选D ． 考点：1．二次根式的加减法；2．合并同类项；3．分式的基本性质；4．二次根式的乘除法．5．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）＝2−x ，那么x 取值范）围是（A ．x ≤2B ．x ＜2C ．x ≥2D ．x ＞2 【答案】A ． 【解析】＝2−x ，∴x-2≤0，解得：x ≤2．故选A ．考点：二次根式的性质与化简．6．（2015届北京市门头沟区中考二模）在函数y =中，自变量x 的取值范围是 ． 【答案】x ≥1．考点：1．函数自变量的取值范围；2．二次根式有意义的条件．7．（2015届山东省日照市中考一模）若=3-x ，则x 的取值范围是 ． 【答案】x≤3． 【解析】，∴3-x≥0，解得：x≤3．故答案为：x≤3．考点：二次根式的性质与化简．8．（2015与（x+1）0都有意义，则x 的取值范围为 ． 【答案】x ＞-1且x ≠1． 【解析】试题分析：根据题意得：101010x x x +⎧≥-≠+≠⎪⎨⎪⎩解得：x ＞-1且x ≠1．故答案为：x ＞-1且x ≠1．考点：1．二次根式有意义的条件；2．分式有意义的条件；3．零指数幂． 9．（2015届河北省沙河市二十冶第三中学九年级上学期第二次模拟数学）若∣b-1∣=0，且一元二次方程20kx ax b ++=有实数根，则k 的取值范围是 ．【答案】k ≤4且k ≠0．考点：1．根的判别式；2．绝对值；3．二次根式的性质．10．（2015届云南省剑川县九年级上学期第三次统一模拟考试数学试卷）已知x 、y 是实数，并且096132=+-++y y x ，则2014)(xy 的值是_______【答案】1． 【解析】试题分析：先将式子变形，然后根据二次根式和偶次幂的性质求出x 和y 的值，再代入到所求式子中即可因为096132=+-++y y x ,即0)3(132=-++y x ,所以03013=-=+y x 且,解得3,31=-=y x ,所以1)1()331()(201420142014=-=⨯-=xy考点：1．二次根式的性质；2．偶次幂的性质；3．完全平方公式．11．（2015届湖北省咸宁市嘉鱼县城北中学中考模拟考试数学试卷）若3，m, 5为三角形三边，则22)8()2(---m m ＝ ．【答案】2m －10． 【解析】试题分析：因为3，m, 5为三角形三边，所以5-3＜m ＜5+3，即2＜m ＜8，所以22)8()2(---m m =m-2-（8-m ）=m-2-8+m=2m －10．考点：1．三角形的三边关系；2．二次根式的性质．12．（2015届四川省雅安中学九年级一诊数学试卷）= ，= ，=请你将发现的规律用含自然数(1)n n ≥的等式表示出 ．(n =+（1n ≥）．【解析】试题分析：∵(1=+；(2=+；∴(n =+（1n ≥）．(n =+（1n ≥）．考点：规律型．13．（2015届湖北省咸宁市嘉鱼县城北中学中考模拟考试数学试卷）（1）计算：312760tan 2)21(1--+-- 【答案】3．考点：1．负整数次方；2．特殊教的三角函数值；3．二次根式；4．绝对值． 14．（2015届云南省剑川县九年级上学期第三次统一模拟考试数学试卷）计算：24)32()21(801-+-+- 【答案】1． 【解析】试题分析：根据二次根式的性质及运算法则进行计算 试题解析：原式=1221222=--+． 考点：二次根式的混合运算．15．（2015届北京市门头沟区中考二模）计算：()1163tan 60()3--π-︒+【答案】4． 【解析】试题分析：本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、负指数幂、二次根式化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．试题解析：解：原式=13-++．考点：1．实数的运算；2．零指数幂和负整数指数幂；3．特殊角的三角函数值和二次根式的化简．16．（2015届江苏省南京市建邺区中考一模）计算：（【答案】．考点：二次根式的混合运算．。

专题2.4 二次根式【八大题型】【北师大版】【题型1 判断二次根式】 (1)【题型2 根据二次根式有意义的条件求参数范围】 (2)【题型3 利用二次根式被开方数的非负性求值】 (2)【题型4 根据二次根式是整数求字母的值】 (2)【题型5 数轴与二次根式的化简的综合运用】 (3)【题型6 逆用(√a)2=a （a ≥0）在实数范围内分解因式】 (4)【题型7 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】 (4)【题型8 复合型二次根式的化简求值】 (4)【知识点1 二次根式的定义】形形√a 形a ≥0形形形形形形形形形形形√a 形形形形形形形a 形形形形形形.【题型1 判断二次根式】【例1】（2023春·八年级单元测试）a 是任意实数，下列各式中：形√a +2；形√(−2a)4；形√a 2+3；形√a 2+6a +9；形√a 2−3，一定是二次根式的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式1-1】（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A ．√aB ．√23C ．√12D ．√−4【变式1-2】（2023春·全国·八年级专题练习）下列式子一定是二次根式的是 ( )A ．√a 2B ．－√aC ．√a 3D ．√a【变式1-3】（2023春·陕西·八年级阶段练习）下列式子：√7，√2x ，√1−m ，√a 2+b 2，√100，√a 2−1，√|a |+1中，一定是二次根式的是（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【知识点2 二次根式有意义的条件】(1)形形形形形形形形形形形形形形形形2形形形形形形形形形形形√a ≥0.【题型2 根据二次根式有意义的条件求参数范围】【例2】（2023·辽宁丹东·八年级统考期末）在函数y =√2−x √x−1中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．−1<x ≤2 B ．−2<x ≤1 C ．1≤x ≤2 D ．1<x ≤2【变式2-1】（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）若式子√1−3x x有意义，则x 的取值范围是___． 【变式2-2】（天津市南开区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题）下列各式中x 的取值范围是x ≥3的是（ ） A ．√3−x B ．√x −3 C ．√3+x D ．√x−3【变式2-3】（2023春·浙江绍兴·八年级校联考期中）若x =2能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（ ）． A ．√x −1 B ．√1−x C ．√x −3 D ．√−x【知识点3 二次根式的性质】 性质1：(√a)2=a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；性质2：√a 2=|a |={a （a ≥0）−a （a <0），即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 【题型3 利用二次根式被开方数的非负性求值】【例3】（2023春·福建福州·八年级统考期中）已知y =√x −2022−√2023−x +1，其中x 为整数，则y 的值为__________．【变式3-1】（2023春·河北邢台·八年级校考期末）若√x −1+√y +3=0，求x −y 的值．【变式3-2】（2023春·黑龙江绥化·八年级统考期中）若y =√x −3+√3−x −2，则x y =______.【变式3-3】（2023·全国·八年级假期作业）已知实数a 满足√(2008−a)2+√a −2009=a ，求a −20082的值是多少？【题型4 根据二次根式是整数求字母的值】【例4】（2023春·八年级单元测试）若√36n 是整数，则整数n 的所有可能的值为_______．【变式4-1】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）已知：√20n是整数，则满足条件的最小正整数n为（）A．2B．4C．5D．20（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）已知√10−n是整数，则自然数n所有可能的值的和为______．【变式4-2】【变式4-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）如果√17+4a是一个正整数，则整数a的最小值是（）A．-4B．-2C．2D．8【题型5 数轴与二次根式的化简的综合运用】【例5】（2023春·广东云浮·八年级统考期中）已知实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简：√a2+(√−a+b)2−|c−b|．【变式5-1】（2023春·八年级单元测试）已知：实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：√(a+1)2+ 2√(b−1)2−∣a−b∣．【变式5-2】（2023春·全国·八年级期末）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简√c2−(√a)2+ 3)3得（）(√a+bA．b−c B．−2a−b−c C．b+c D．−b−c【变式5-3】（2023春·山东临沂·八年级统考期中）阅读材料，解答问题。

二次根式的综合（十大题型）【题型01：二次根式的概念】【题型02：二次根式有意义的条件】【题型03：判断二次根式的性质化简】【题型04：同类二次根式的概念】【题型05：二次根式的混合运算】【题型06：二次根式的化简求值】【题型07：二次根式的应用】【题型08：二次根式中新定义问题】【题型09：利用分母有理化化简求值】【题型10：以二次根式为背景的材料阅读体二次根式中新定义问题】【题型01：二次根式的概念】1．下列式子是二次根式的是（ ）AB C D 2．下列式子中，是二次根式的是（ ）A ．πB ．35C D 3．下列各式中一定是二次根式的是（ ）ABC D ．【题型02：二次根式有意义的条件】4x 的取值范围是（ ）A ．x >―2B ．x ≥2C ．x ≤2D ．x >25a 的取值范围是（ ）A ．a >―1B ．a >1C ．a ≠―1D ．a ≥―16x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）A．B．C．D．7．当a=―6）B．3C．D．±3A8x的取值范围是（）A．x>―2B．x<2C．x>―2且x≠0D．x<2且x≠0【题型03：判断二次根式的性质化简】8．（2023秋•海口期末）化简（﹣）2的结果是（ ）A．﹣8B．8C．±8D．169．（2023秋•覃塘区期末）若7＜m＜9，则化简的结果是（ ）A．15﹣2m B．2m﹣15C．5D．﹣5 10．（2023秋•射洪市期末）已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：的结果为（ ）A．2B．﹣2C．2a﹣6D．﹣2a+6 11．（2023秋•怀化期末）若实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则的结果是（ ）A．a﹣c B．﹣a﹣2b+c C．﹣a﹣c D．﹣a+c 12．（2023秋•曲阳县期末）若，则x的取值范围是（ ）A．x＞3B．x≥3C．x＜3D．x≤3 13．（2023秋•岳麓区校级期末）若＝3﹣x成立，则x满足得条件（ ）A．x≥3B．x≤3C．x＞3D．x＜314．（2023秋•鄞州区校级期末）若某三角形的三边长分别为2，5，n，则化简+|8﹣n|的结果为（ ）A ．5B ．2n ﹣10C ．2n ﹣6D ．10【题型04：同类二次根式的概念】15．（2023秋•宁德期末）下列根式化简后不能与合并的是（ ）A ．B ．C ．D ．16．（2023秋•唐山期末）下列二次根式中，可与进行合并的二次根式是（ ）A ．B ．C ．D ．17．（2023秋•岳阳楼区期末）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ）A ．与B ．与C ．与D ．与18．（2023秋•鼓楼区校级期末）最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a 的值是（ ）A ．a ＝1B ．a ＝﹣1C ．a ＝2D ．a ＝﹣2【题型05：二次根式的混合运算】19．（2024•沙坪坝区校级开学）计算：（1）﹣×（+2）+（）0；（2）．20．（2023秋•泉州期末）计算：．25．（2023秋•福田区校级期末）计算：（1）；（2）．21．（2023秋•渠县期末）计算：（1）﹣×；（2）（3）（3﹣）﹣（）2．22．（2023秋•永定区期末）计算：（1）．（2）．23．（2023秋•昌黎县期末）计算：（1）；（2）．【题型06：二次根式的化简求值】24．（2023秋•澧县期末）已知，，求下列各式的值．（1）a+b和ab；（2）a2+ab+b2．25．（2023秋•岳阳楼区期末）若a＝+2，b＝﹣2．（1）求a2﹣b2．（2）求a3b+ab3．26．（2023秋•子洲县期末）先化简，再求值：，其中．27．（2022秋•晋江市期末）先化简，再求值：，其中a＝﹣．28．（2023春•铁岭期末）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝2+．29．（2023春•铁西区期末）先化简，再求值：，其中．35．（2023春•临高县期中）先化简，再求值：，其中．【题型07：二次根式的应用】30．（2023秋•开福区校级期末）已知一个长方形相邻的两边长分别是a，b，且，．（1）求此长方形的周长；（2）若一个正方形的周长与上述长方形的周长相等，求此正方形的面积．31．（2023秋•南昌期末）有一块矩形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为18dm2和32dm2的两块正方形木板．（1）截出的两块正方形木板的边长分别为 dm， dm；（2）求剩余木板的面积；（3）如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为1.5dm、宽为1dm的矩形木条，最多能截出　2　个这样的木条．32．（2023•晋城模拟）高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空抛物下落的时间t （单位：s ）和高度h （单位：m ）近似满足公式t ＝（不考虑风速的影响，g ≈10m /s 2）．（1）求从60m 高空抛物到落地的时间．（结果保留根号）（2）已知高空坠物动能（单位：J ）＝10×物体质量（单位：kg ）×高度（单位：m ），某质量为0.2kg 的玩具被抛出后经过3s 后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要65J 的动能）33．（2023春•海东市期末）如图，长和宽分别是a ，b 的长方形纸片的四个角都剪去一个边长为x 的正方形．（1）用含a ，b ，x 的代数式表示纸片剩余部分的面积；（2）当a ＝20+2，b ＝20﹣2，x ＝，求剩余部分的面积．【题型08：二次根式中新定义问题】34．（2023秋•沈丘县期末）用※定义一种新运算：对于任意实数m 和n ，规定m ※n ＝m 2n ﹣mn ﹣3n ，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．则（﹣2）※结果为（ ）A ．B ．C ．D ．35．（2023秋•沈丘县期中）对于任意的正数m ，n ，定义运算※：m ※n ＝，计算（3※2）×（8※12）的结果为（ ）A ．2﹣4B ．2C ．2D ．2036．（2023秋•龙泉市期中）定义“★”是一种新运算，对于任意实数a ，b （a ≠b ）．当a ＞b 时，a ★b ＝a 2﹣b ，当a ＜b 时，a ★b ＝a ﹣b 2．例如：2★1＝22﹣1＝3，1★2＝1﹣22＝﹣3，那么：2★[（﹣2）★（﹣）]＝ ．37．（2022秋•吉州区期末）定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．（1）若a与是关于4的共轭二次根式，则a＝ ；（2）若与是关于12的共轭二次根式，求m的值．38．（2023秋•雁塔区校级期中）定义：若两个二次根式a，b满足a•b＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式．（1）若a与是关于4的因子二次根式，则a＝ ；（2）若与是关于2的因子二次根式，求m的值．【题型09：利用分母有理化化简求值】39．（2023秋•虹口区校级期末）计算：＝ ．40．（2023秋•化州市期末）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝＝﹣1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．参照上面的方法化简：＝ ．41．（2022秋•河间市校级期末）阅读下列解题过程：，，请回答下列问题：（1）观察上面的解答过程，请写出＝ ；（2）利用上面的解法，请化简：．42．（2023秋•南山区校级期中）阅读下面问题：＝＝﹣1；＝＝﹣；＝＝﹣2．（1）求的值；（2）计算：+++…++．43．（2023春•百色期末）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：例1：﹣1，例2：＝，，，…（1）＝ ，＝ ；（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；（3）利用上面的结论，求下列式子的值．．【题型10：以二次根式为背景的材料阅读体二次根式中新定义问题】44．（2023春•浏阳市期中）像•＝2：（+1）（﹣1）＝2：（+）（﹣）＝3…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，爱动脑筋的小明同学在进行二次根式计算时，利用有理化因式化去分母中的根号．（1）＝＝；（2）＝＝＝3+2．勤奋好学的小明发现：可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．（3）化简：﹣．解：设x＝﹣，易知＞，∴x＞0．由：x2＝3++3﹣﹣2＝6﹣2＝2．解得x＝．即﹣＝．请你解决下列问题：（1）2﹣3的有理化因式是　2+3　；（2）化简：++；（3）化简：﹣．45．（2022秋•济南期末）阅读材料：我们已经知道，形如的无理数的化简要借助平方差公式：例如：．下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．问题提出：该如何化简？建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样＝m，，那么便有：（a＞b），问题解决：化简：，解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即＝7，∴．模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：（1）；（2）；模型应用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC边的长为多少？（结果化成最简）．46．（2022春•诸城市校级期中）先阅读下面两段材料，然后解答问题：材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，，一样的式子，分母中含有根号，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的过程叫分母有理化．解答问题：（1）化简：＝ ；＝ ；＝　﹣　；（2）利用上面所提供的解法，请化简：．材料二：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得，，那么便有：例如：化简解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：，所以．解答问题：（3）填空：＝ ，＝ ；（4）化简：（请写出化简过程）．。