《概率论与数理统计》习题及答案--填空题

1．设事件,A B 都不发生的概率为0.3，且()()0.8P A P B +=，则,A B 中至少有一个不发生的概率为__________. 2．设()0.4,()0.7P A P AB ==，那么（1）若,A B 互不相容，则()P B =__________; （2）若,A B 相互独立，则()P B =__________. 3．设,A B 是任意两个事件，则{()()()}P AB A B A B A B =_______.4．从0,1,2,…,9中任取4个数，则所取的4个数能排成一个四位偶数的概率为__________.5．有5条线段，其长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，所取的3条线段能拼成三角形的概率为__________.6．袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为__________.7．设事件,,A B C 两两独立，且1,()()()2ABC P A P B P C =∅==<，()9/16P A B C =，则()P A =__________.8．在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于6/5”的概率为__________.9．假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为__________.10．设事件,A B 满足：11(|)(|),()33P B A P B A P A ===，则()P B =__________. 11．某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为__________，第三次才取得正品的概率为__________.12．三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球；第二个箱子中有3个黑球，3个白球；第三个箱子中有3个黑球，5个白球. 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为__________； 13．设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A =__________.14．设在一次试验中，事件A 发生的概率为p . 现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为__________，而事件A 至多发生一次的概率为_________. 15．设离散型随机变量X 的分布律为()(0,1,2,3)2AP X k k k===+，则A =__________, (3)P X <=__________.16．设~(2,),~(3,)X B p Y B p ，若(1)5/9P X ≥=，则(1)P Y ≥=________.17．设~()X P λ，且(1)(2)P X P X ===，则(1)P X ≥=__________，2(03)P X <<=__________. 18．设连续型随机变量X 的分布函数为0,0,()sin ,0,21,,2x F x A x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩则A =__________，||6P X π⎛⎫<= ⎪⎝⎭__________.19．设随机变量X 的概率密度为22,0()0,0,x Ax e x f x x -⎧>=⎨≤⎩则A =__________，X 的分布函数()F x =__________.20．设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其他 现对X 进行三次独立重复观察，用Y 表示事件(1/2)X ≤出现的次数，则(2)P Y ==__________. 21．设随机变量X 服从[,]a a -上均匀分布，其中0a >. （1）若(1)1/3P X >=，则a =__________； （2）若(1/2)0.7P X <=，则a =__________； （3）若(||1)(||1)P X P X <=>，则a =__________.22．设2~(,)X N μσ，且关于y 的方程20y y X ++=有实根的概率为1/2，则μ=__________.23．已知某种电子元件的寿命X （以小时计）服从参数为1/1000的指数分布. 某台电子仪器内装有5只这种元件，这5只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作1000小时以上的概率为__________. 24．设随机变量X 的概率密度为1,[0,1]32,[3,6]()90,.x x f x ⎧∈⎪⎪⎪∈=⎨⎪⎪⎪⎩若若其他 若k 使得()2/3P X k ≥=，则k 的取值范围是__________.25．设随机变量X 服从(0,2)上均匀分布，则随机变量2Y X =在(0,4)内的密度函数为()Y f y =__________. 26．设X 服从参数为1的指数分布，则min(,2)Y X =的分布函数()Y F y =__________.27．设二维随机变量(,)X Y 在由1/,0,1y x y x ===和2x e =所形成的区域D 上服从均匀分布，则(,)X Y 关于X 的边缘密度在2x =处的值为______.28．设随机变量,X Y 相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则(1/2)P X Y +≤=__________. 29．设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(1,),01i X B p p <<，1,2,,i n =，则1~ni i X X ==∑__________.30．设随机变量123,,X X X 相互独立，且有相同的概率分布(1)i P X p ==，(0),1,2,3,1i P X q i p q ===+=，记121120,1,,X X Y X X ⎧+⎪=⎨+⎪⎩当取偶数,当取奇数232230,1,,X X Y X X ⎧+⎪=⎨+⎪⎩当取偶数,当取奇数则12Z Y Y =的概率分布为__________.31．设X 服从泊松分布. （1）若2(1)1P X e-≥=-，则2EX =__________；（2）若212EX =，则(1)P X ≥=__________.32．设~(,)X B n p ，且2,1EX DX ==，则(1)P X >=__________. 33．设~[,]X U a b ，且2,1/3EX DX ==，则a =______；b =______. 34．设随机变量X 的概率密度为221(),xx f x Ae x -+-=-∞<<+∞，则A =________，EX =_________，DX =_________.35．设X 表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望2EX =__________.36．设一次试验成功的概率为p ，现进行100次独立重复试验，当p =________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________.37．设X 服从参数为λ的指数分布，且2(1)P X e -≥=，则2EX =_______.38．设随机变量X 的概率密度为,,()0,0,,x a x b f x a b <<⎧=<<⎨⎩其他且22EX =，则a =__________，b =___________. 39．设随机变量,X Y 同分布，其概率密度为22,01/,()0,0,,x x f x θθθ⎧<<⎪=>⎨⎪⎩其他若(2)1/E CX Y θ+=，则C =__________.40．一批产品的次品率为0.1，从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为________，均方差为________.41．某盒中有2个白球和3个黑球，10个人依次摸球，每人摸出2个球，然后放回盒中，下一个人再摸，则10个人总共摸到白球数的数学期望为______.42．有3个箱子，第i 个箱子中有i 个白球，4i -个黑球(1,2,3)i =.今从每个箱子中都任取一球，以X 表示取出的3个球中白球个数，则EX =_________，DX =__________. 43．设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布列为(,)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.40.2X Y Pa b若()0.8E XY =，a =_________，b =__________.44．设,X Y 独立，且均服从11,5N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若2(1)[(1)]D X aY E X aY -+=-+，则a =__________，|1|E X aY -+=__________.45．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知[(1)(2)]1E X X --=，则λ=__________. 46．设随机变量~[2,2]X U -，记 1,1,1,2,0,1,k X k Y k X k >-⎧==⎨≤-⎩则12Cov(,)Y Y =__________.47．设,X Y 是两个随机变量，且1,1/4,1/3XY DX DY ρ===，则(3)D X Y -=__________. 48．设1,2,1,4,0.6XY EX EY DX DY ρ=====，则2(21)E X Y -+=__________.49．设随机变量X 的数学期望为μ，方差为2σ，则由切比雪夫不等式知 (||2)P X μσ-≥≤__________. 50．设随机变量12100,,,X X X 独立同分布，且0,10,i i EX DX == 1,2,,100i =，令10011100i i X X ==∑，则10021{()}ii E XX =-=∑__________.51．设12,,,n X X X 是总体(,4)N μ的样本，X 是样本均值，则当n ≥__________时，有2()0.1E X μ-≤. 52．设12,,,n X X X 是来自0–1分布：(1),(0)1P X p P X p ====-的样本，则EX =__________，DX =__________，2ES =__________.53．设总体12~(),,,,n X P X X X λ为来自X 的一个样本，则EX =_________，DX =__________.54．设总体12~[,],,,n X U a b X X X 为X 的一个样本，则EX =________，DX =__________.55．设总体2126~(0,),,,,X N X X X σ为来自X 的一个样本，设22123456()()Y X X X X X X =+++++，则当C =_________时，2~(2).CY χ 56．设1216,,,X X X 是总体2(,)N μσ的样本，X 是样本均值，2S 是样本方差，若()0.95P X aS μ>+=，则a =__________.57．设129,,,X X X 是正态总体X 的样本，记1126278911(),()63Y X X X Y X X X =+++=++，92221271(),)/,2i i S X Y Z Y Y S ==-=-∑则~Z __________.58．设总体12~[,](0),,,,n X U x x x θθθ->为样本，则θ的一个矩估计为__________.59．设总体X 的方差为1，根据来自X 的容量为100的样本，测得样本均值为5，则X 的数学期望的置信度近似为0.95的置信区间为_________.60．设由来自总体2(,0.9)N μ的容量为9的简单随机样本其样本均值为5x =，则μ的置信度为0.95的置信区间是__________.《概率论与数理统计》习题及答案填空题1．设事件,A B 都不发生的概率为0.3，且()()0.8P A P B +=，则,A B 中至少有一个不发生的概率为__________.解：()()1()P AB P A B P A B ==-1()()()P A P B P AB =--+10.8()0.3P AB =-+=()0.1P AB = ()()1()10.10.9P AB P AB P AB ==-=-=2．设()0.4,()0.7P A P A B ==，那么（1）若,A B 互不相容，则()P B =__________; （2）若,A B 相互独立，则()P B =__________. 解：（1）()()()()()P AB P A P B P AB P B =+-⇒()()()0.70.40.3P A B P A P AB =-+=-=（由已知AB φ=）（2）()()()()P B P A B P A P AB =-+0.70.4()()P A P B =-+0.30.4()P B =+10.6()0.3()2P B P B =⇒= 3．设,A B 是任意两个事件，则{()()()}P AB A B A B A B =_______.解：{()}()()()}{()()()()}P A B A B A B A B P AA AB AB B A B AB ={()()()}P AB B A B AB ={()()}{()()}()0.P ABBB AB P AB AB P φ====4．从0,1,2,…,9中任取4个数，则所取的4个数能排成一个四位偶数的概率为__________.解：设A =取4个数能排成一个四位偶数，则4541041()1()142C P A P A C =-=-=5．有5条线段，其长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，所取的3条线段能拼成三角形的概率为__________.解：设A =能拼成三角形，则3533()10P A C == 6．袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为__________.解1：由抓阄的模型知乙取到黄球的概率为25. 解2：设A =乙取到黄球，则1111201930201150492()5C C C C P A C C +== 或 201930202()504950495P A =⋅+⋅=.7．设事件,,A B C 两两独立，且1,()()()2ABC P A P B P C =∅==<，()9/16P A B C =，则()P A =__________.解：9()()()()()()()()16P A B C P A P B P C P AB AC P BC P ABC ==++---+ 23()3[()]P A P A =-216[()]16()30P A P A -+=. 3()4P A =或 1()4P A =，由 1()2P A < 1()4P A ∴=. 8．在区间（0, 1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于6/5”的概率为__________. 解：设A =两数之和小于6/5，两数分别为,x y ，由几何概率如图 A 发生⇔01x <<01y << 65x y +<2111(1)52()1S P A S --⋅==阴正1725= 9．假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为__________.解：i A =取到i 等品，3122A A A A =+⊃23223312()()0.31(|)()()()0.60.33P A A P A P A A P A P A P A ====++10．设事件,A B 满足：11(|)(|),()33P B A P B A P A ===，则()P B =__________.解：()()()(|)()()()P AB P AB P A B P B A P A P A P A ===1()()()1()P A P B P AB P A --+=- 111()1391313P B --+==- （因为111()()(/)339P AB P A P B A ==⋅=）5()9P B ∴=.11．某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为__________，第三次才取得正品的概率为__________.解：设i A =第i 次取到正品，1,2,3i =则363()105P A ==或 3123123123123()()()()()P A P A A A P A A A P A A A P A A A =+++654465436645310981098109810985=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= 1234361()0.1109810P A A A =⋅⋅==12．三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球；第二个箱子中有3个黑球，3个白球；第三个箱子中有3个黑球，5个白球. 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为__________；已知取出的球是白球，此球属于第一个箱子的概率为__________. 解：设i A =取到第i 箱 1,2,3i =，B =取出的是一个白球 31113553()()(|)()3568120iiP B P A P B A ==++=∑22213()(|)2036(|)53()53120P A P B A P A B P B ⋅===13．设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A =__________.解：由 ()()P AB P AB =知()()P A B P B A -=-即 ()()()()P A P AB P B P AB -=- 故 ()()P A P B =，从而()()P A P B =，由题意：21()()()[()]9P AB P A P B P A ===，所以1()3P A =故 2()3P A =.（由,A B 独立A ⇒与B ，A 与B ，A 与B 均独立）14．设在一次试验中，事件A 发生的概率为p . 现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为__________，而事件A 至多发生一次的概率为_________. 解：设 B A =至少发生一次 ()1(1),nP B p =-- C A =至多发生一次 1()(1)(1)nn P C p np p -=-+-15．设离散型随机变量X 的分布律为()(0,1,2,3)2AP X k k k===+，则A =__________, (3)P X <=__________.解：31111()()123452345k A A A A P X K A ===+++=+++=∑ 6077A ∴= 16065(3)1(3)157777P X P X <=-==-⨯=16．设~(2,),~(3,)X B p Y B p ，若(1)5/9P X ≥=，则(1)P Y ≥=________. 解：~(2,)X B p 22()(1)0,1,2kkkP X k C p p k -==-= ~(3,)Y B p 33()(1)0,1,2,3.k k kP Y k C p p k -==-=002225(1)1(0)1(1)1(1)9P X P X C p p p ≥=-==--=--= 24(1)9p -=213p -= 13p = 33219(1)1(0)1(1)1()327P Y P Y p ∴≥=-==--=-=. 17．设~()X P λ，且(1)(2)P X P X ===，则(1)P X ≥=__________，2(03)P X <<=__________.解：122(1)2(0)1!2!2P X eeλλλλλλλλ--===⇒=⇒=>2(1)1(0)110!P X P X e e λλ--≥=-==-=-22(03)(1)2P X P X e -<<=== 18．设连续型随机变量X 的分布函数为0,0,()sin ,0,21,,2x F x A x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩则A =__________，||6P X π⎛⎫<= ⎪⎝⎭__________.解：()F x 为连续函数，22lim ()lim ()()2x x F x F x F πππ→+→-==1sin 12A A π=⇒=.1(||)()()()sin 6666662P X P X F F ππππππ<=-<<=--==. 19．设随机变量X 的概率密度为22,0()0,0,x Ax e x f x x -⎧>=⎨≤⎩则A =__________，X 的分布函数()F x =__________.解：222220001()()22xx x f x dx Ax e dx A x e xe dx +∞+∞+∞+∞----∞⎡⎤==--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰2220001()12244xx x A A A A xde e dx e +∞+∞+∞---=-==-==⎰⎰4A =.222222000()441(221),0()0,0x x x x u x f x dx x e dx u e du x x e x F x x ---⎧===-++>⎪=⎨⎪≤⎩⎰⎰⎰20．设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,.x x f x <<⎧=⎨⎩其他现对X 进行三次独立重复观察，用Y 表示事件(1/2)X ≤出现的次数，则(2)P Y ==__________.解：~(3,)Y B p ，其中112220011()224p P X xdx x =≤===⎰ 223139(2)(1)316464P Y C p p ==-=⋅⋅=21．设随机变量X 服从[,]a a -上均匀分布，其中0a >.（1）若(1)1/3P X >=，则a =__________； （2）若(1/2)0.7P X <=，则a =__________； （3）若(||1)(||1)P X P X <=>，则a =__________.解：1,[,]()20,x a a f x a ⎧∈-⎪=⎨⎪⎩其它（1）1111111(1)(1) 3.322223a P X dx a a a a a >===-=-=⇒=⎰（2）121111115()0.7()0.72222424a P X dx a a a a a -<===+=+=⇒=⎰ （3）(||1)(||1)1(||1)1(||1)P X P X P X P X <=>=-≤=-<111111(||1)2 2.222P X dx a a a a -∴<===⋅=⇒=⎰22．设2~(,)X N μσ，且关于y 的方程20y y X ++=有实根的概率为1/2，则μ=__________.解：20y y X ++=有实根11404X X ⇔∆=-≥⇔≤1111114()()()(0)42424P X F μμσ-≤=⇒=Φ=Φ=⇒=.23．已知某种电子元件的寿命X （以小时计）服从参数为1/1000的指数分布. 某台电子仪器内装有5只这种元件，这5只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作1000小时以上的概率为__________. 解：Y =仪器正常工作时间，则()00x e x f x x λλ-⎧≥=⎨<⎩15(1000)(10001000)P Y P X X ≥=≥≥15(1000)(1000)P X P X =≥≥5[(1000)]P X =≥1100010001(1000)1000xP X e dx e -+∞-≥==⎰ 5(1000)P Y e -∴≥=24．设随机变量X 的概率密度为1,[0,1]32,[3,6]()90,.x x f x ⎧∈⎪⎪⎪∈=⎨⎪⎪⎪⎩若若其他 若k 使得()2/3P X k ≥=，则k 的取值范围是__________.解：16312()()39kk P X K f x dx dx dx +∞≥==+⎰⎰⎰12(63)323933k k ---=+== 1k ∴=k ∴的取值范围为[1,3].25．设随机变量X 服从(0,2)上均匀分布，则随机变量2Y X=在(0,4)内的密度函数为()Y f y =__________.解：1(0,2)()2x f x ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其它2(||0()()()00Y P X y F y P Y y P X y y ⎧≤>⎪=≤=≤=⎨≤⎪⎩((000X X P X F F y y ⎧≤≤=->⎪=⎨≤⎪⎩112211(0422()()00X XY Y f y f y y f y F y y --⎧⋅+⋅=<<⎪'==⎨⎪≤⎩当 2Y X =在（0，4）内时()Y f y = 26．设X 服从参数为1的指数分布，则min(,2)Y X =的分布函数()Y F y =__________. 解1：()()(min(,2))1(min(,2))Y F y P Y y P X y P X y =≤=≤=-> 1(,2)P X y y =->>1()()()00()1021012X yX P X y P X y F y y F y ey y -⎧->=≤==≤⎪==-<<⎨⎪-=≥⎩解2：设X 的分布函数为()X F x ，2的分布函数为2()F z ，则1,0,()0,0;x X e x F x x -⎧->=⎨≤⎩ 20,2,()1,2;z F z z <⎧=⎨≥⎩2()1[1()][1()]Y X F y F y F y =---0,0,1,02,1, 2.yy e y y -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩27．设二维随机变量(,)X Y 在由1/,0,1y x y x ===和2x e =,)Y 关于X 的边缘密度在2x =处的值为______. 解：22111(0)ln 2e eS dx x x=-==⎰阴1(,)(,)20x y D f x y ⎧∈⎪∴=⎨⎪⎩其他()(,)X f x f x y dy +∞-∞=⎰120111,220x dy x e x⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰其它. 或 12011(2)24x f dy ==⎰28．设随机变量,X Y 相互独立且都服从区间[0,1]上的均匀分布，则(1/2)P X Y +≤=__________.解：1[0,1]()0X x f x ∈⎧=⎨⎩其它 1[0,1]()0Y y f y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其它10,1(,)()()0X Y x y f x y f x f y ≤≤⎧=⋅=⎨⎩其它11111()(,)22228S P X Y f x y dxdy S +≤===⋅⋅=⎰⎰阴阴29．设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(1,),01i X B p p <<，1,2,,i n =，则1~ni i X X ==∑__________.解：~(1,)i X B p 1~(,)ni i X X B n p =∴=∑30．设随机变量123,,X X X 相互独立，且有相同的概率分布(1)i P X p ==，(0),1,2,3,1i P X q i p q ===+=，记121120,1,,X X Y X X ⎧+⎪=⎨+⎪⎩当取偶数,当取奇数232230,1,,X X Y X X ⎧+⎪=⎨+⎪⎩当取偶数,当取奇数则12Z Y Y =的概率分布为__________. 解：011Z Ppqpq- 121223(1)(1,1)(1,1)P Z P Y Y P X X X X =====+=+= 123123(1,0,1)(0,1,0)P X X X P X X X ====+=== 12322()X X X p q pq pq p q pq ======+=+=独立(0)1(1)1P Z p Z qp ==-==-31．设X 服从泊松分布. （1）若2(1)1P X e -≥=-，则2EX =__________；（2）若212EX =，则(1)P X ≥=__________.解：()0,1,2,!kP X K e k k λλ-===0λ>（1）2(1)1(0)1110!P X P X e e e λλλ---≥=-==-=-=-2.λ∴=2222()DX EX EX EX λλ==-=- 22246EX λλ∴=+=+= （2）22212120(4)(3)0,3EX λλλλλλλ==++-=+-==3(1)11P X e e λ--≥=-=-32．设~(,)X B n p ，且2,1EX DX ==，则(1)P X >=__________.解：~(,)2X B n p EX np ==111422DX npq q p n ==⇒=== 0041344111111(1)1(0)(1)1()()()()222216P X P X P X C C >=-=-==--=33．设~[,]X U a b ，且2,1/3EX DX ==，则a =______；b =______.解：~[,]242a bX U a b EX a b +==⇒+=221()()42312b a DX a b b a -==⇒-=⇒-= 13a b ∴==34．设随机变量X 的概率密度为221(),xx f x Ae x -+-=-∞<<+∞，则A =________，EX =_________，DX =_________.解：222(1)1(1)1x dx x Ae dx A --+∞---∞-∞==⎰⎰22(1)1x dx dx A --+∞-∞=⇒=1EX =，12DX =. 35．设X 表示10次独立重复射击中命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望2EX =__________.解：~(10,0.4)100.4440.6 2.4X B EX np DX npq ==⨯===⨯=22() 2.41618.4EX DX EX =+=+=36．设一次试验成功的概率为p ，现进行100次独立重复试验，当p =________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________.解：21100(1)100100(100)()252DX npq p p p p p ==-=-+=--+12p =5. 37．设X 服从参数为λ的指数分布，且2(1)P X e -≥=，则2EX =_______.解：10()00x e x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩ 2(1)1(1)1(1)P X P X F e -≥=-<=-=21(1)2e e λλ----=⇒=.21111,24EX DX λλ====，22111()442EX DX EX ∴=+=+=38．设随机变量X 的概率密度为,,()0,0,,x a x b f x a b <<⎧=<<⎨⎩其他且22EX =，则a =__________，b =___________.解：2222211()()222ba x f x dx xdxb a b a +∞-∞====-⇒-=⎰⎰ ① 422344222211()()()()444b b a a x EX x f x dx x dx b a b a b a ====-=-+⎰⎰ 22221()242a b a b =+=⇒+= ②解（1）（2）联立方程有：1,a b == 39．设随机变量,X Y 同分布，其概率密度为22,01/,()0,0,,x x f x θθθ⎧<<⎪=>⎨⎪⎩其他若(2)1/E CX Y θ+=，则C =__________.解：11322222233xEX x dx EY θθθθθ====⎰ 21(2)2(2)3E CX Y CEX EY C θθ+=+=+=21(2)132C C +=⇒=-40．一批产品的次品率为0.1，从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为________，均方差为________.解：设X 表示所取产品的次品数，则~(5,0.1)X B . 50.10.5,0.45EX np DX npq ==⨯===10== 41．某盒中有2个白球和3个黑球，10个人依次摸球，每人摸出2个球，然后放回盒中，下一个人再摸，则10个人总共摸到白球数的数学期望为______.解：设i X 表示第i 个人模到白球的个数，X 表示10个人总共摸到白球数，则101ii X X==∑12361101010iX P61812101010i EX =⨯+⨯= 81010810i EX EX ==⨯= 42．有3个箱子，第i 个箱子中有i 个白球，4i -个黑球(1,2,3)i =.今从每个箱子中都任取一球，以X 表示取出的3个球中白球个数，则EX =_________，DX =__________.解：012362626664646464XP3216(0)44464P X ==⋅⋅= 12132132326(1)44444444464P X ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=12112332326(2)44444444464P X ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=1236(3)44464P X ==⋅⋅= 326183642EX ⨯+==25269623648EX ⨯+⨯== 2223185()888DX EX EX =-=-=.43．设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布列为(,)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.40.2X Y P a b若()0.8E XY =，a =_________，b =__________.解：0.220.80.3EXY b b =+=⇒= 10.40.20.40.1a b a +=--=⇒= 44．设,X Y 独立，且均服从11,5N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若2(1)[(1)]D X aY E X aY -+=-+，则a =__________，|1|E X aY -+=__________.解：2(1)[(1)](1)0D X aY E X aY E X aY -+=-+⇒-+=.10EX aEY -+=，1102a a -+=⇒=.令 21,0,1Z X aY EZ DZ DX a DY =-+==+=. ~(0,1)Z N ∴2220|||z zE Z z dx ze dz --+∞+∞-∞∴====⎰⎰ 45．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知[(1)(2)]1E X X --=，则λ=__________.解：22[(1)(2)](32)321E X X E X X EX EX --=-+=-+=2222~(),()X P EX DX DX EX EX EX λλλλ∴===-⇒=+223212101λλλλλλ∴+-+=⇒-+=⇒=.46．设随机变量~[2,2]X U -，记1,1,1,2,0,1,k X k Y k X k >-⎧==⎨≤-⎩则12Cov(,)Y Y =__________.解：1[2,2]()4X x f x ⎧∈-⎪=⎨⎪⎩其它212111(1,1)(0,1)(1)44P Y Y P X X P X dx ===>>=>==⎰ 112011(1,0)(0,1)(01)44P Y Y P X X P X dx ===>≤=<≤==⎰0122111(0,0)(0,1)(0)2442P Y Y P X X P X dx -===≤≤=≤==⨯=⎰1(0,0P Y ==.111101222EY =⨯+⨯=231101444EY =⨯+⨯=12111144EY Y =⨯⨯=121212cov()Y Y EY Y EY EY ∴=-1111.4248=-⋅= 47．设,X Y 是两个随机变量，且1,1/4,1/3XY DX DY ρ===，则(3)D X Y -=__________.解：(3)(3)2cov(,3)96cov(,)D X Y DX D Y X Y DX DY X Y -=+-=+-991191616144324XY ρ=+-⋅=+-⨯⨯⨯=. 48．设1,2,1,4,0.6XY EX EY DX DY ρ=====，则2(21)E X Y -+=__________.解：(21)211E X Y EX EY -+=-+=，0.6XY ρ== cov(,)0.612 1.2X Y ∴=⨯⨯= cov(,)0C Y =，C 常数 (21)(21)2cov[(21),]D X Y D X DY X Y -+=++-+44cov(,)444 1.2 3.2DX DY X Y =+-=+-⨯= 222(21)(21)[(21)] 3.21 4.2E X Y D X Y E X Y -+=-++-+=+=. 49．设随机变量X 的数学期望为μ，方差为2σ，则由切比雪夫不等式知 (||2)P X μσ-≥≤__________.解：2221(||2)44DXP X σμσεσ-≥≤==. 50．设随机变量12100,,,X X X 独立同分布，且0,10,i i EX DX == 1,2,,100i =，令10011100i i X X ==∑，则10021{()}ii E XX =-=∑__________.解1：()0i i E X X EX EX -=-= 11001()[()]100i i D X X D X X X -=-++111100199[()()]100100i i i D X X X X X -+=-+++++22199()9910()10100100=-⨯⨯+⨯ 22299()[()]()10i i i E X X E X X E X X ==---=-100100221199{()}()10099010i i i E X X E X X =∴-=-=⨯=∑∑ 解2：设1100,,X X 为总体X 的样本，则1002211()99i i S X X ==-∑为样本方差，于是210ES DX ==，即10021()1099990.i i E X X =-=⨯=∑51．设12,,,n X X X 是总体(,4)N μ的样本，X 是样本均值，则当n ≥__________时，有2()0.1E X μ-≤.52．设12,,,n X X X 是来自0–1分布：(1),(0)1P X p P X p ====-的样本，则EX =__________，DX =__________，2ES =__________.解：11,(1)ni i i i X X EX p DX pq p p n =====-∑2111(1)i i EX nEX pDX nDX p p n n n=⋅==⋅=- 22222111()[]11n i i i ES E X nX nEX nEX n n ==-=⋅---∑ 2211[((1))((1))]1n p p p n p p p n n =-+--+- 21[(1)](1).1np p n p p p n =---=--53．设总体12~(),,,,n X P X X X λ为来自X 的一个样本，则EX =_________，DX =__________.解：~()i i X P EX DX EX DX nλλλλ====54．设总体12~[,],,,n X U a b X X X 为X 的一个样本，则EX =________，DX =__________.解：2()~[,]212a b b a X U a b EX DX +-==2a bEX += 2()12b a DX n -=55．设总体2126~(0,),,,,X N X X X σ为来自X的一个样本，设22123456()()Y X X X X X X =+++++，则当C =_________时，2~(2).CY χ解：123456()()0E X X X E X X X ++=++=2123456()()33i D X X X D X X X DX σ++=++==12312321)]()13D X X X D X X X σ++=++=123)~(0,1)X X X N ∴++，456)~(0,1)X X X N ++且独立 213C σ∴=56．设1216,,,X X X 是总体2(,)N μσ的样本，X 是样本均值，2S 是样本方差，若()0.95P X aS μ>+=，则a =__________.解：0.05()((15))0.95X P X aS P P t t μ>+=≥=≥-= 查t 分布表0.054(15) 1.750.4383.a t a =-=-⇒=-57．设129,,,X X X 是正态总体X 的样本，记1126278911(),()63Y X X X Y X X X =+++=++，92221271(),)/,2i i S X Y Z Y Y S ==-=-∑则~Z __________.解：设总体2~(,)X N μσ则2212~(,)~(,)63Y N Y N σσμμ且 12Y Y~(0,1)N ，而2222~(2)S χσ.故12)~(2)Y Y Z t S -==.58．设总体12~[,](0),,,,n X U x x x θθθ->为样本，则θ的一个矩估计为__________.解：221(2)10,,021232EX DX EX x dx θθθθθθμθ--=======⎰222222()33EX DX EX DX θμθμθ==+==⇒=⇒= 其中 2211n i i a X n ==∑59．设总体X的方差为1，根据来自X的容量为100的样本，测得样本均值为5，则X的数学期望的置信度近似为0.95的置信区间为_________.解：X不是正态总体，应用中心极限定理10~(0,1)0.051niX nEXX EXU Nα--==⨯=∑/20.025()10.05/20.975 1.96αμμΦ=-=⇒=使0.025(||)(|10| 1.96)0.951X EXP u Pμ-<=⨯<=EX的置信区间为11( 1.96, 1.96)(4.804,5,196)1010X X-⨯+⨯=60．设由来自总体2(,0.9)Nμ的容量为9的简单随机样本其样本均值为5x=，则μ的置信度为0.95的置信区间是__________.解：/20.0255,0.9,9,10.950.05, 1.96n uαχσαμ====-===故置信限为：/20.95 1.965 1.960.350.5883αχμ±=±=±⨯=±∴置信区间为(4.412, 5.588)。

;第一章 一、填空题1. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A －B)=（ 0.3 ）。

2. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（ 0.94 ）。

3. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++ ）。

4. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（ 0.496 ）。

5. 某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。

6. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ ABC ）。

7. 设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（ ABAC BC I I ）； 8. 若事件A 与事件B 相互独立，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(A|B)=（ 0.5 ）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（ 0.8 ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A -)=（ 0.5 ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ 0.864 ）。

12. 若事件A ⊃B 且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.3 ）; 13. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A )=（ 0.5 ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =U （ S ）15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ ABC ABC ABC ++ ）16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =0.1则(|)P AB A B =U （ 0.2 ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ）18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概率为（110000）。

概率论与数理统计练习题集及答案一、选择题：1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为 A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++ C 321321321A A A A A A A A A ++ D 321A A A2．掷两颗均匀的骰子,它们出现的点数之和等于8的概率为 A365 B 364 C 363 D 362 3．设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则A )(1)(B P A P -= B )()()(B P A P AB P =C 1)(=+B A PD 1)(=AB P4．随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-000)(2x x ce x f x ,则=EXA 21B1 C2 D 415．下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是A +∞<<∞-+=x x x F ,11)(21 B ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=001)(2x x x x x FC +∞<<∞-=-x e x F x ,)(3D +∞<<∞-+=x x x F ,arctan 2143)(4π6．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 2-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为A )2(2y f X -B )2(y f X -C )2(21y f X -- D )2(21y f X -7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hg p fe d x c b a x p y y y X Y Y j Xi 61818121321,且X 与Y 相互独立,则=h A 81 B 83 C 41 D 318．设随机变量]5,1[~U X ,随机变量)4,2(~N Y ,且X 与Y 相互独立,则=-)2(Y XY EA3 B6 C10 D129．设X 与Y 为任意二个随机变量,方差均存在且为正,若EY EX EXY ⋅=,则下列结论不正确的是A X 与Y 相互独立B X 与Y 不相关C 0),cov(=Y XD DY DX Y X D +=+)(答案：1. B2. A 6. D 7. D 8. C 9. A1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为 C A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++C 321321321A A A A A A A A A ++D 321A A A2．将两封信随机地投入4个邮筒中,则未向前两个邮筒中投信的概率为 AA 2242B 2412C C C 24!2AD !4!23．设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则 D A )()|(A P B A P = B )()()(B P A P AB P = C )()()|(B P A P B A P = D 0)|(=B A P4．随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧∈=其他),0(2)(a x x x f ,则=EX AA 32B1 C 38 D316 5．随机变量X 的分布函数⎩⎨⎧≤>+-=-0)1()(x x e x A x F x,则=A B A0 B1 C2 D36．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 3-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为 DA )3(3y f X -B )3(y f X -C )3(31y f X --D )3(31y f X -7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hg p fe d x c b a x p y y y X Y Y j Xi 61818121321,且X 与Y 相互独立,则=e B A 81 B 41 C 83 D 318．设随机变量Y X ,相互独立,且)5.0,16(~b X ,Y 服从参数为9的泊松分布,则=+-)12(Y X D CA-14 B13 C40 D419．设),(Y X 为二维随机向量,则X 与Y 不相关的充分必要条件是 D A X 与Y 相互独立 B EY EX Y X E +=+)( C DY DX DXY ⋅= D EY EX EXY ⋅= 一、填空题1.设A ,B 是两个随机事件,5.0)(=A P ,8.0)(=+B A P ,)1(若A 与B 互不相容,则)(B P = ；)2(若A 与B 相互独立,则)(B P = .2.一袋中装有10个球,其中4个黑球,6个白球,先后两次从袋中各取一球不放回.已知第一次取出的是黑球,则第二次取出的仍是黑球的概率为 .3.设离散型随机变量X 的概率分布为}{k a k X P 3==, ,2,1=k ,则常数=a .4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,0,0)(2x x ax x x F则常数=a ,}31{<<X P = . 5.设随机变量X 的概率分布为则)33(2+X E = .6.如果随机变量X 服从],[b a 上的均匀分布,且3)(=X E ,34)(=X D ,则a = ,b = .7.设随机变量X ,Y 相互独立,且都服从参数为6.0的10-分布,则}{Y X P == .8.设X ,Y 是两个随机变量,2)(=X E ,20)(2=X E ,3)(=Y E ,34)(2=Y E ,5.0=XY ρ,则)(Y X D - = .答案：1. 3.0,6.02. 313. 414.41,435.5.46. 1,57. 0.52 8. 211.设A ,B 是两个随机事件,3.0)(=A P ,)()(B A P AB P =,则)(B P = .2.甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一个密码,破译成功的概率依次为,,,则密码能译出的概率为 .3.设随机变量X 的概率分布为,5,4,3,2,1,15}{===k kk X P 则}31123{<<X P = . 4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x x x F ,则=<}6{πX P .5.设随机变量X 服从]3,1[上的均匀分布,则X1的数学期望为 .6.设随机变量21,X X 相互独立,其概率分布分别为则}{21X X P == .7.设X ,Y 是两个随机变量,)3,0(~2N X ,)4,1(~2N Y ,X 与Y 相互独立,则~Y X + .8.设随机变量21,X X 相互独立,且都服从0,1上的均匀分布,则=-)3(21X X D .9.设随机变量X 和Y 的相关系数为5.0,=)(X E 0)(=Y E ,=)(2X E 2)(2=Y E ,则2)(Y X E + = . 答案：1. 0.72.3.314. 0.55. 3ln 216. 957. )5,1(2N8. 659. 6二、有三个箱子,第一个箱子中有3个黑球1个白球,第二个箱子中有3个黑球3个白球,第三个箱子中有3个黑球5个白球. 现随机地选取一个箱子,再从这个箱子中任取1个球.1求取到的是白球的概率；2若已知取出的球是白球,求它属于第二个箱子的概率.解：设事件i A 表示该球取自第i 个箱子)3,2,1(=i ,事件B 表示取到白球.2411853163314131)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P114)()|()()()()|(241163312222=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P三、某厂现有三部机器在独立地工作,假设每部机器在一天内发生故障的概率都是2.0. 在一天中,若三部机器均无故障,则该厂可获取利润2万元；若只有一部机器发生故障,则该厂仍可获取利润1万元；若有两部或三部机器发生故障,则该厂就要亏损5.0万元. 求该厂一天可获取的平均利润.设随机变量X 表示该厂一天所获的利润万元,则X 可能取5.0,1,2-,且512.08.0}2{3===X P ,384.08.02.0}1{213=⨯⨯==C X P ,104.0384.0512.01}5.0{=--=-=X P .所以356.1104.0)5.0(384.01512.02)(=⨯-+⨯+⨯=X E 万元四、设随机向量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,10,4),(y x xy y x f .)1(求}{Y X P <；)2(求Y X ,的边缘密度,并判断X 与Y 的独立性.解： 1 5.0)1(24),(}{102110=-===<⎰⎰⎰⎰⎰<dx x x xydy dx dxdy y x f Y X P x yx ；2,,010,24),()(,,010,24),()(1010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-其它其它y y xydx dx y x f y f x x xydy dy y x f x f Y X由),()()(y x f y f x f Y X =知随机变量Y X ,相互独立.五、设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤=其它,010,3)(2x x x f X ,求随机变量12+=X Y 的密度函数.解法一：Y 的分布函数为)21(}21{}12{}{)(-=-≤=≤+=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y , 两边对y 求导,得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≤-=-=-=其它即,0311210,)1(83)21(23)21(21)(22y y y y y f y f X Y解法二：因为12+=x y 是10≤≤x 上单调连续函数,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-=≤-=⨯-==其它即,031121)(0,)21(2321)21(3|)(|))(()(22y y y h y y dy y dh y h f y f X Y注：21)(-==y y h x 为12+=x y 的反函数;二、设甲、乙、丙三人生产同种型号的零件,他们生产的零件数之比为5:3:2. 已知甲、乙、丙三人生产的零件的次品率分别为%2%,4%,3. 现从三人生产的零件中任取一个. )1(求该零件是次品的概率；)2(若已知该零件为次品,求它是由甲生产的概率.解：设事件321,,A A A 分别表示取到的零件由甲、乙、丙生产,事件B 表示取到的零件是次品.1 028.0%2105%4103%3102)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P ；2 143028.0%32.0)()|()()()()|(1111=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P .三、设一袋中有6个球,分别编号1,2,3,4,5,6. 现从中任取2个球,用X 表示取到的两个球的最大编号. )1(求随机变量X 的概率分布；)2(求EX .解：X 可能取6,5,4,3,2,且6,5,4,3,2,1511}{26=-=-==k k C k k X P所以X 的概率分布表为3/115/45/115/215/165432P X且31415162=-⨯=∑=k k k EX .四、设随机向量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,020,10,),(y x x y x f .)1(求}1{≤+Y X P ；)2(求Y X ,的边缘密度,并判断X 与Y 的独立性.解：1 31),(}1{1020101====≤+⎰⎰⎰⎰⎰≤+dx x xdy dx dxdy y x f Y X P x y x ； 2,,020,21),()(,,010,2),()(1020⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-其它其它y xdx dx y x f y f x x xdy dy y x f x f Y X由),()()(y x f y f x f Y X =知随机变量Y X ,相互独立.五、设随机变量X 服从区间]3,0[上的均匀分布,求随机变量13-=X Y 的密度函数.解法一：由题意知⎩⎨⎧≤≤=其它,030,3/1)(x x f X . Y 的分布函数为)31(}31{}13{}{)(+=+≤=≤-=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y , 两边对y 求导,得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+≤=+=其它即,0813310,91)31(31)(y y y f y f X Y 解法二：因为13-=x y 是30≤≤x 上单调连续函数,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+=≤=⨯==其它即,081,331)(0,913131|)(|))(()(y y y h dy y dh y h f y f X Y 注：31)(+==y y h x 为13-=x y 的反函数; 三、已知一批产品中有90%是合格品,检查产品质量时,一个合格品被误判为次品的概率为,一个次品被误判为合格品的概率是．求：1任意抽查一个产品,它被判为合格品的概率； 2一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率． 解：设=1A “确实为合格品”,=2A “确实为次品”, =B “判为合格品”1)|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P += 859.004.01.095.09.0=⨯+⨯=29953.0)()|()()|(111==B P A B P A P B A P四、设二维连续型随机向量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其他0),(yx e y x f y,求：1边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ；2判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由； 3}1{<+Y X P ． 解：1⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞-∞+∞-⎰⎰000000),()(x x ex x dy e dy y x f x f x x y X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==--∞+∞-⎰⎰00000),()(0y y yey y dx e dx y x f y f y y y Y 2)()(),(y f x f y x f Y X ≠ ∴ X 与Y 不独立 315.0210121}1{----+-==<+⎰⎰e e dxdy e Y X P xxy四、设二维连续型随机向量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<>=-其他10,02),(y x ye y x f x,求：1边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ；2判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由； 3}{Y X P <． 解：1⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==--∞+∞-⎰⎰0000002),()(10x x ex x dy ye dy y x f x f x x X⎩⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰+∞-∞+∞-其他其他01020102),()(0y y y dx ye dx y x f y f x Y2)()(),(y f x f y x f Y X = ∴ X 与Y 独立 3142}{1101-==<--⎰⎰e dxdy ye Y X P x x一、单项选择题1. 对任何二事件A 和B,有=-)(B A P C .A. )()(B P A P -B. )()()(AB P B P A P +-C. )()(AB P A P -D. )()()(AB P B P A P -+ 2. 设A 、B 是两个随机事件,若当B 发生时A 必发生,则一定有 B . A. )()(A P AB P = B. )()(A P B A P =⋃ C. 1)/(=A B P D. )()/(A P B A P = 3. 甲、乙两人向同一目标独立地各射击一次,命中率分别为0.5,0.8,则目标被击中的概率为 C 甲乙至少有一个击中A. 0.7B. 0.8C. 0.9D.0.854. 设随机变量X 的概率分布为则a,b 可以是 D 归一性. A. 4161==,b a B. 125121==,b a C. 152121==,b a D.3141==,b a 5. 设函数0.5,()0,a x bf x ≤≤⎧=⎨⎩其它 是某连续型随机变量X 的概率密度,则区间],[b a 可以是 B 归一性.A. ]1,0[B. ]2,0[C. ]2,0[D. ]2,1[6. 设二维随机变量),(Y X 的分布律为则==}0{XY P D .A. 0.1B. 0.3C.D.7. 设随机变量X 服从二项分布),(p n B ,则有 D 期望和方差的性质.A. 12(-X E np 2)=B. 14)12(-=-np X EC. 1)1(4)12(--=-p np X DD. )1(4)12(p np X D -=- 8．已知随机变量(,)X B n p ,且 4.8, 1.92EX DX ==,则,n p 的值为 AA.8,0.6n p == B.6,0.8n p == C.16,0.3n p ==D.12,0.4n p == 9．设随机变量(1,4)XN ,则下式中不成立的是 BA. 1EX =B. 2DX =C. {1}0P X ==D.{1}0.5P X ≤=10. 设X 为随机变量,1,2=-=DX EX ,则)(2X E 的值为 A 方差的计算公式.A ．5 B. 1- C. 1 D. 311. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=其它,010,)(x b ax x f ,且EX=0,则A 归一性和数学期望的定义.A. 6,4a b =-=B. 1,1a b =-=C. 6,1a b ==D.1,5a b ==12. 设随机变量X 服从参数为的指数分布,则下列各项中正确的是 A A. ()0.2,()0.04E X D X == B. ()5,()25E X D X == C. ()0.2,()4E X D X == D. ()2,()0.25E X D X == 13. 设(,)X Y 为二维连续型随机变量,则X 与Y 不相关的充分必要条件是 D .A. X 与Y 相互独立B.()()()E X Y E X E Y +=+C. ()()()E XY E X E Y =D. 221212(,)(,,,0)X Y N μμσσ 二、填空题1. 已知PA=,PA-B=,且A 与B 独立,则PB= .2. 设B A ,是两个事件,8.0)(,5.0)(=⋃=B A P A P ,当A, B 互不相容时,PB=；当A, B 相互独立时,PB=53 .3. 设在试验中事件A 发生的概率为p,现进行n 次重复独立试验,那么事件A 至少发生一次的概率为1(1)n p --.4. 一批产品共有8个正品和2个次品,不放回地抽取2次,则第2次才抽得次品的概率P =845. 5. 随机变量X 的分布函数Fx 是事件 PX )x ≤ 的概率.6. 若随机变量X ~ )0)(,(2>σσμN ,则X 的密度函数为 .7.设随机变量X 服从参数2=θ的指数分布,则X 的密度函数()f x = ； 分布函数Fx= .8. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,三个值,其相应的概率依次为125236,,c c c,则c = 2 归一性 . 9. 设随机变量X 的概率密度函数为2,01()0,x x f x λ⎧<<=⎨⎩其它,则λ＝ 3归一性 .10. 设随机变量X ～2(2,)N σ,且{23}0.3P X <<=,则{1}P X <=.22232{23}{}11()(0)0.3,(0)0.5()=0.821211{1}{}=()=1()=0.2X P X P X P X P σσσσσσσσσ---<<=<<=Φ-Φ=Φ=∴Φ--<=<Φ--Φ又，，11. 设随机变量X ～N1,4,φ=,φ=,则P{|X |﹥2}= .{||>2}1{||2}1{22}2112111{}1{1.50.5}22221((0.5)( 1.5)0.9332),( 1.5)0.06680.69150.06680.31(1.5)=1-{||>2}=1((0.5)( 1.5))=751)3(P X P X P X X X P P P X ==-≤=--≤≤-----=-≤≤=--≤≤=-Φ-Φ-Φ-=-Φ∴-Φ-Φ--=-又 12. 设随机变量X ~ ),(211σμN ,Y ~ ),(222σμN ,且X 与Y 相互独立,则X+Y ~221212(,)N μμσσ++ 分布.13. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差0DX >都存在,令DXEX X Y -=,则____0__=EY ；___1___=DY .14. 若X 服从区间0,2上的均匀分布,则2()E X ＝4/3 . 15. 若X ～(4,0.5)B ,则(23)D X -= 9 . 17. 设随机变量X 的概率密度23,01()0,x x f x ⎧<<=⎨⎩其它,()_____E X =,()_____D X =.18. 设随机变量X 与Y 相互独立,1,3DX DY ==,则(321)D X Y -+=(3)(2)9()4()D X D Y D X D Y +=+=21 .三、计算题1. 设随机变量X 与Y 独立,X ～(1,1)N ,Y ～)2,2(2N ,且0.2XY ρ=,求随机变量函数23Z X Y =-的数学期望与方差. 四、证明题1. 设随机变量X 服从标准正态分布,即X ～)1,0(N ,2X Y =,证明：Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,21)(2y y e yy f y Y π .五、综合题1.设二维随机变量X,Y 的联合密度为⎩⎨⎧<<<<=其它,010,10,6),(2y x xy y x f ,求：1关于X,Y 的边缘密度函数；2判断X,Y 是否独立；3求{}P X Y >.。

《概率论与数理统计》考试题一、填空题（每小题2分，共计60分）1、A 、B 是两个随机事件，已知0.3)B (p ,5.0)A (p ==，则a ）、若B A ,互斥，则=)B -A (p 0.5 ;b ）若B A ,独立,则=)B A (p 0.65 ;c ）、若2.0)(=⋅B A p ,则=)B A (p 3/7 . 2、袋子中有大小相同的红球7只，黑球3只，(1)从中不放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 7/15 。

(2)若有放回地任取2只，则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/50 。

(3)若第一次取一只球后再追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中再取第二只球,则第一、二次取到球颜色不同的概率为： 21/55 . 3、设随机变量X 服从泊松分布}8{}7{),(===X P X p λπ，则{}=X E 8 .4、设随机变量X 服从B （2，0. 8）的二项分布,则{}==2X p 0.64 , Y 服从B （8，0. 8）的二项分布, 且X 与Y 相互独立，则}1{≥+Y X P =1- 0.210，=+)(Y X E 8 。

5 设某学校外语统考学生成绩X 服从正态分布N （75，25），则该学校学生的及格率为 0.9987 ，成绩超过85分的学生占比}85{≥X P 为 0.0228 。

其中标准正态分布函数值9987.0)3(,9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ=Φ. 6、设二维随机向量),(Y X 的分布律是有 则=a _0.1_，X的数学期望=)(X E ___0.4___，Y X 与的相关系数=xy ρ___-0.25______。

7、设161,...,X X 及81,...,Y Y 分别是总体)16,8(N 的容量为16，8的两个独立样本，Y X ,分别为样本均值，2221,S S 分别为样本方差。

则：~X N(8,1) ，~Y X - N(0,1.5) ，{}5.12>-Y X p = 0.0456 ，~161521S )15(2χ，~2221S S F(15,7) 。

一、填空题 (每小题2分，共10分)1、一射手对同一个目标独立地进行4次射击，若至少命中一次的概率为8180，则该射手的命中率为 .2、 设随机变量X 在区间[2,5]上服从均匀分布，则=)(2X E ____13_____ .3、 设X 服从参数为10=θ的指数分布，Y )2,3(~2N ，且X 与Y 相互独立，Y X Z 23-=，则=)(Z D ___916_____.4、已知5.0,9)(,4)(===XY Y D X D ρ，则=+)(Y X D 19_ .5、设总体),(~2σμN X ,n X X X ,,,21Λ为来自X 的简单随机样本,则~11∑==ni iX n X ),(2n N σμ. 二、单项选择题 (每小题2分，共10分)（1）对于任意两事件A 和B ，=-)(B A P C .（A ）)()(B P A P - （B ）)()()(AB P B P A P +- （C ） )()(AB P A P - （D ）)()()(B A P A P A P -+ 2、.对于任意两个随机变量，若)()()(Y E X E XY E =则____B _____.(A))()()(Y D X D XY D = (B))()()(Y D X D Y X D +=+ (C) X 与Y 相互独立 (D)X 与Y 相互不独立 3、设Y X ,相互独立，X 和Y 的分布律分别为，则必有 D .（A ）Y X = （B ）{}0==Y X P（C ）{}1==Y X P （D ）{}58.0==Y X P4、 在假设检验中,原假设0H ,备择假设1H ,则称_____D _____ 为犯第二类错误 (A)10H H 为真，接受 (B) 00H H 不真，拒绝 (C) 10H H 为真，拒绝 (D) 00H H 不真，接受5、 已知341.1)15(90.0-=t 。

设随机变量X 服从自由度为15的t 分布，若90.0)(=<a X P ，则=a _____B _____.(A) -1.341 (B) 1.341 (C) 15 (D) -15三、计算题 (共52分)1、 有四位同学报考硕士研究生，他们被录取的概率分别为0.2、0.3、0.45、0.6，试求至少有一位同学被录取的概率. (5分) 解: 设}{个同学被录取第i A i =),4,3,2,1(=i ;}{至少有一位同学被录取=B则有 4321A A A A B +++= ;∑=-=-=41)(1)(1)(i iA PB P B P8768.04.055.07.08.01=⨯⨯⨯-=2、 某年级有甲，乙，丙三个班级，其中各班的人数分别占年级总人数的1/ 4, 1/3, 5/12,已知甲,乙,丙三个班级中是独生子女的人数分别占各班人数的1/ 2, 1/ 4, 1/5, 求:： (1) 从该年级中随机的选一人,该人是独生子女的概率为多少?(2) 从该年级中随机的选一人,发现其为独生子女,则此人是甲班的概率为多少? （8分） 解: 设}{为独生子女从该年级中随机选一人=B }{1选到的是甲班的人=A}{2选到的是乙班的人=A ;}{3选到的是丙班的人=A ;则321,,A A A 为一个分割,41)(1=A P ,1)(2=A P ,125)(3=A P ;21)(1=A B P ,41)(2=A B P ,51)(3=A B P . (1) ∑==31)()()(i i i A P A B P B P =32=⨯+⨯+⨯511254*********7; (2) )(1B A P =)()()(11B P A P A B P =73.3、设有5件产品,其中有两件次品,今从中连取二次,每次任取一件不放回,以X 表示所取得的次品数,试求: : (1)X 的分布律和分布函数)(x F ; (2)122+=X Y 的分布律. (9分) 解: (1)(2)4、 某商品的日销量X (公斤)～)300,10000(2N , 求:日销量在9700到10300公斤之间的概率. （8413.0)1(=Φ 97725.0)2(=Φ备用） (8分)解: 300,10000==σμ)9700()10300(}103009700{F F X P -=≤≤=)3001000010300(-Φ-)300100009700(-Φ=)1()1(--ΦΦ=1)1(2-Φ=6826.018413.02=-⨯5、设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≥=-其它0)(2x Ce x f x，求： (1) 常数C ； (2) 概率}2/11{<<-X P ； (3) )(X E ；（4）设X Y 2=,则Y 的密度函数)(y f Y 。

《概率论与数理统计》复习题及答案《概率论与数理统计》复习题一、填空题 1. 已知P(AB)?P(A)，则A与B的关系是独立。

2．已知A,B互相对立，则A与B的关系是互相对立。

,B为随机事件，则P(AB)?。

P(A)?，P(B)?，P(A?B)?，4. 已知P(A)?，P(B)?，P(A?B)?，则P(A?B)?。

,B为随机事件，P(A)?，P(B)?，P(AB)?，则P(BA)?____。

36．已知P(BA)? ，P(A?B)?，则P(A)?2 / 7。

7．将一枚硬币重复抛掷3次，则正、反面都至少出现一次的概率为。

8. 设某教研室共有教师11人，其中男教师7人，现该教研室中要任选3名为优秀教师，则3名优秀教师中至少有1名女教师的概率为___26____。

339. 设一批产品中有10件正品和2件次品，任意抽取2次，每次抽1件，抽出1___。

611110. 3人独立破译一密码，他们能单独译出的概率为,,，则此密码被译出的5343概率为______。

5后不放回，则第2次抽出的是次品的概率为___11．每次试验成功的概率为p，进行重复独立试验，则第8次试验才取得第3235Cp(1?p)7次成功的概率为______。

12. 已知3次独立重复试验中事件A至少成功一次的概率为1事件A成功的概率p?______。

319，则一次试验中27c35813．随机变量X能取?1,0,1，取这些值的概率为,c,c，则常数c?__。

24815k14．随机变量X 分布律为P(X?k)?,k?1,2,3,4,5，则P(X?3X?5 )?__。

15x??2,?0?X?(x)???2?x?0,是X的分布函数，则X分布律为__??pi?1x?0?0? ?__。

??2?0,x?0??16．随机变量X的分布函数为F(x)??sinx,0?x??，则2?1,x???2?P(X??3)?__3__。

217. 随机变量X~N(,1)，P(X?3)?，P(X??)?__ 。

概率论与数理统计习题（含解答,答案）概率论与数理统计复习题（1）⼀．填空.1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。

若A 与B 独⽴，则=-)(B A P ；若已知B A ,中⾄少有⼀个事件发⽣的概率为6.0，则=-)(B A P 。

2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。

3．设),(~2σµN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥==>}0{X P 。

4．1)()(==X D X E 。

若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P ；若X 服从均匀分布，则=≠}0{X P 。

5．设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则==}{n X P6．,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。

7．)16,1(~),9,0(~N Y N X ，且X 与Y 独⽴，则=-<-<-}12{Y X P （⽤Φ表⽰），=XY ρ。

8．已知X 的期望为5，⽽均⽅差为2，估计≥<<}82{X P 。

9．设1?θ和2?θ均是未知参数θ的⽆偏估计量，且)?()?(2221θθE E >，则其中的统计量更有效。

10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信⽔平愈愈好，⽽置信区间的长度愈愈好。

但当增⼤置信⽔平时，则相应的置信区间长度总是。

⼆．假设某地区位于甲、⼄两河流的汇合处，当任⼀河流泛滥时，该地区即遭受⽔灾。

设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；⼄河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，⼄河流泛滥的概率为0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受⽔灾的概率；（2）当⼄河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。

三．⾼射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独⽴），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，⼜知若敌机中⼀弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。

概率论和数理统计试题及答案一、填空题：1 11、 设 A 与 B 相互独立,P(A) = , P(B)=,贝U P (B-A)=.3 2 ----------------11 1解: P(B _A)二 P(B)[1 _P(A)](1 ): 23 32、 设 X~U[1,3](均匀分布)，则 E(X 2)=, D(2X)二 ______________.E(5X _2) = ___________________ ,解: E(X)二 2;D(X) =1/ 3E(X 2) = D(X) E(X)2 =13/3 D( 2X 4D (X =)4 / 3E(5X - 2)= 5E X ) 2 102Y~ P(3),Z ~ N(3,2 )，且 X , Y,Z 相互独立，则3、设随机变量X 服从指数分布，即X ~ E(2),定义随机变量2,X 3 Y £,X =3-1,X ：3解：F Y (Y)=P(Jy)二 P(丫 乞 一1) = P(X :: 3)2e'x dx = -e^x 0F Y (Y)二 P(Y D二 P(—1 ：： 丫 乞1) = P(X 空 3)3=2e "dx =-e'xF Y (Y)二 P(丫 乞 y)二 P(1 ：： Y ^2) = P(X 3)则Y 的分布列为二 1 —e ■6 -2C其中二是与y 无关的量2e"dx _ -e^x4、设 X ~ B(200,0.1)E(2X -3Y -Z 5) = , D(2X -3Y -Z 5)二 ____________________2XE(D(2X -3Y -Z 5) =4D(X) 9D(Y) D(Z) =72 27 4 =10325、设总体X ~ N（j 匚）,X i, X2, X3 为来自X 的样本，二0.5/ • 0.1X2 - ax 3 是未知参数丄的无偏估计，则a =。

解：因为是无偏估计所以E（?）=E（0.X+ 0.x1— ax =） 0E5x 什）E.2X-（ aJEj x （）= （0.5 0.-1 E）X（=）（ 0.5- 01"口二）（0.5 0•中=）1a ~ -0. 46、设X〜N（叫，打），Y~N（」2,/）,X与丫相互独立，且X与丫分别为X,Y的样2 2本均值，样本容量分别为n i,n2。

一. 填空题（每空题 2 分，共计 60 分）1、A、B是两个随机事件，已知p(A )0.4, P(B) 0.5,p( AB) 0.3 ，则p(A B)0.6 ,p(A - B)0.1，P( A B )= 0.4 ,p(A B)0.6 。

2、一个袋子中有大小相同的红球 6 只、黑球 4 只。

（1）从中不放回地任取 2 只，则第一次、第二次取红色球的概率为：1/3。

（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为：9/25。

（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为：21/55。

3、设随机变量 X 服从 B（2，0.5 ）的二项分布，则p X 1 0.75, Y 服从二项分布 B(98, 0.5), X 与 Y 相互独立 , 则 X+Y服从 B(100,0.5) ，E(X+Y)= 50 ，方差 D(X+Y)= 25 。

4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1 、0.15 ．现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。

（1）抽到次品的概率为：0.12 。

（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为：0.5 ．5、设二维随机向量( X ,Y)的分布律如右，则 a 0.1, E( X ) 0.4 ，X 0 1X与 Y 的协方差为: - 0.2Y，-1 0.2 0.3Z X Y2的分布律为 : z 1 21 0.4 a概率0.6 0.46、若随机变量X ~ N(2,4)且(1) 0.8413 ，(2) 0.9772 ,则 P{ 2 X 4}0.815，Y 2X 1,则Y~N( 5，16）。

7、随机变量X、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2,方差D(X)=1，D(Y)=2,且X、Y相互独立，则：E(2X Y)-4，D(2X Y)6。

8、设D（X）25，D（Y）1，Cov ( X ,Y ) 2 ，则 D（ X Y）309、设X1,, X 26是总体 N (8,16) 的容量为26 的样本，X为样本均值，S2为样本方差。

概率论与数理统计 第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。

2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。

3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为 。

4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。

5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。

6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。

7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。

8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。

9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为 。

10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A{}Y X B >=，则=)|(A B P 。

11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。

12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。

13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。

14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。

15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。

16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。

17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。