2001年北京师范大学数学分析考研真题【圣才出品】

北京师范大学2001年中国哲学史专业课考研真题试卷
一、解释下列名词或命题。

（每小题4分，共20分）
1.有待无待
2.自生而必体有
3.阿赖耶
4.理一分殊
5.公羊三世说
二、简答下列各题。

（每题10分，共30分）
1.简论孟子“四端”说
2.评述王弼的言意之辞
3.试论孙中山的民生史观
三、试论朱熹本体论自相与儒道释三教的源流关系。

（30分）
四、给下列原著标点并译成现代汉语（20分）
物无非彼物无非是自彼则不见自知则知之故曰彼出于是是亦因彼彼是方生之说也虽然方生方死方死方生方可方不可方不可方可因是因非因非因是是以圣人不由而照之于天亦因是也是亦彼也彼亦是也彼亦一是非此亦一是非果且有彼是乎哉果且无彼是乎哉彼是莫得其偶谓之道枢乾称父坤称母予之藐焉乃混然中处故天地之塞吾其体天地之帅吾其性民吾同胞物吾与也大君者吾父母宗子其大臣宗子之家相也尊高年所以长其长慈孤弱所以幼其幼圣其合德贤其秀也凡天下疲癃残疾孤独鳏寡皆吾兄弟之颠连而无告者也于时
保之子之翼也乐且不忧纯乎孝者也违曰悖德害仁曰贼济恶者不才其践形唯肖者也。

2001-2010考研数学一试题及答案解析安庆师范学院09计1班2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设y ex为某二阶常系数线性齐次微分方程的通(C1sinx C2cosx)(C1,C2为任意常数）解,则该方程为_____________.(2)设r x2 y2 z2,则div(gradr)(1, 2,2)=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:2 0 1dy 1 y2f(x,y)dx＝_____________. 1(4)设矩阵A满足A A4E 0,其中E为单位矩阵,则(A E)=_____________.(5)设随机变量X的方差是2,则根据切比雪夫不等式有估计P{X E(X) 2}_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)设函数f(x)在定义域内可导,y f(x)则y f (x)的图形为(2)设f(x,y)在点(0,0)附近有定义,且(A) fx (0,0) 3,fy (0,0) 1,则dz|(0,0) 3dx d y.(B) 曲面z f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的法向量为{3,1,1}.1安庆师范学院09计1班(C) 曲线 z f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的切向量为{1,0,3}.y 0z f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的切向量为{3,0,1}. y 0 (D) 曲线(3)设f(0) 0,则f(x)在x=0处可导的充要条件为1f(1c osh)存在. h 0h21(C) lim2f(h s inh)存在. h 0h(A) lim1f(1 e h)存在. h 0h1(D) lim[f(2h) f(h)]存在. h 0h(B) lim1 1(4)设A 1 1111111111 4 01 ,B 01 1 0000000000 0 ,则A与B 0 0 (A) 合同且相似. (C) 不合同但相似.(B) 合同但不相似. (D) 不合同且不相似.(5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X和Y的相关系数等于(A)-1.三、(本题满分6分) (B) 0. (C) 1. 2 (D) 1.arctanex. 求 e2x四、(本题满分6分)设函数z f(x,y)在点(1,1)处可微,且f(1,1) 1, f f|(1,1) 2,|(1,1) 3, (x) f(x, x y f(x,x)).求d3 (x)dxx 1.五、(本题满分8分)2安庆师范学院09计1班1xxarctanx,x 0,(1)n设f(x)= 将f(x)展开成x的幂级数,并求级数 的和. 2x 0,1,n 11 4n 2六、(本题满分7分) 计算I面L(y2 z2)dx (2z2 x2)dy (3x2 y2)dz,其中L是平面x y z 2与柱x y 1的交线,从Z轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分)设f(x)在( 1,1)内具有二阶连续导数且f (x) 0,试证:(1)对于( 1,1)内的任一x 0,存在惟一的 (x) (0,1),使f(x)=f(0)+xf ( (x)x)成立;(2)lim (x) x 01. 2八、(本题满分8分)2(x2 y2)设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程z h(t) (设h(t)长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)的雪堆全部融化需多少小时?九、(本题满分6分)设 1, 2, , s为线性方程组Ax 0的一个基础解其中t1,t2为实常数.试问t1,t2满足系, 1 t1 1 t2 2, 2 t1 2 t2 3, , s t1 s t2 1,什么条件时, 1, 2, , s也为Ax 0的一个基础解系.十、(本题满分8分)2已知3阶矩阵A与三维向量x,使得向量组x,Ax,Ax线性无关,且满足Ax 3Ax 2Ax. 32(1)记P=（x,Ax,A(2)计算行列式2x）,求3阶矩阵B,使A PBP 1; A E. 3安庆师范学院09计1班十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X服从参数为 ( 0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(0 p 1),且中途下车与否相互独立.以Y表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率;(2)二维随机变量(X,Y)的概率分布.十二、(本题满分7分)设总体X服从正态分布N( , 2)( 0),从该总体中抽取简单随机样本n12nXi,求统计量Y (Xi X n i2)2的X1,X2, ,X2n(n 2),其样本均值为 2ni 1i 1数学期望E(Y).2001年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】由通解的形式可知特征方程的两个根是r1,r2 1 i,从而得知特征方程为2(r r1)(r r2) r2 (r1 r2)r r r12 r 2r 2 0.由此,所求微分方程为y‘‘ 2y‘ 2y 0.(2)【分析】先求gradr.gradr= r r r xyz ,, ,, . x y z rrrx y z() () () xr yr zr再求divgradr=4安庆师范学院09计1班1x21y21z23x2 y2 z22 . =( 3) (3) (3) r rr r rrrr3r22|(1, 2,2) . r3于是divgradr|(1, 2,2)=(3)【分析】这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为1 y 0时1 y 2.由此看出二次积分 dy 112021 y f(x,y)dx是二重积分的一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为dy 1 y f(x,y)dx f(x,y)dxdy. D由累次积分的(A E) 1 1(A 2E). 2(A E) A 2E E. 2故按定义知(5)【分析】根据切比雪夫不等式P{X E(X) } P{X E(X) 2} D(x) 2, 于是D(x)1 . 222二、选择题(1)【分析】当x 0时,f(x)单调增 f‘(x) 0,(A),(C)不对;5安庆师范学院09计1班当x 0时,f(x):增——减——增应选(D).(2)【分析】我们逐一分析. f‘(x):正——负——正,(B)不对,(D)对.关于(A),涉及可微与可偏导的关系.由f(x,y)在(0,0)存在两个偏导数f(x,y)在(0,0)处可微.因此(A)不一定成立.关于(B)只能假设f(x,y)在(0,0)存在偏导数 f(0,0) f(0,0),不保证曲面z f(x,y)在, x y f(0,0) f(0,0)(0,0,f(0,0))存在切平面.若存在时,法向量n= ，1 {3,1,-1}与{3,1,1}不 y x共线,因而(B)不成立.x t, 关于(C),该曲线的参数方程为 y 0,z f(t,0),它在点(0,0,f(0,0))处的切向量为{t‘,0,df(t,0)}|t 0 {1,0,fx‘(0,0)} {1,0,3}. dt因此,(C)成立.f(x)f(x)f(x) lim lim . x 0x 0 x 0 x xx1f(1 c osh)1 c osh1f(t) lim关于(A):lim2f(1 c osh) lim, h 0hh 01 c oshh22t 0 t1lim2f(1 c osh) f ‘(0) .由此可知h 0h(3)【分析】当f(0) 0时,f(0) lim‘若f(x)在x 0可导 (A)成立,反之若(A)成立足(A),但f ‘(0) f‘(0) .如f(x) |x|满f‘(0)不.关于(D):若f(x)在x 0可导, 1f(2h)f(h)lim[f(2h) f(h)] lim[2 ] 2f‘(0) f‘(0). h 0hh 02hhh 0 (D)成立.反之(D)成立 lim(f(2h) f(h)) f(x)在x 0连续,f(x)在x 0可6安庆师范学院09计1班导.如2x 1,x 0 f(x) 0,x 0 lim满足(D),但f(x)在x 0处不连续,因而f‘(0)也不.再看(C): 1h s inhf(h s inh)h s inhf(t)f(h s inh) lim lim (当它们都时). h 0h2h 0h 0h2h s inhh2th s inhf(t)‘ 0lim注意,易求得lim.因而,若(C)成立.反之若(C)成立(即f(0) h 0t 0h2tf(t)‘有界,任有(C)成立,如f(x) |x|满足(C),但f(0)不. f‘(0) ).因为只要t(4)【分析】由因此,只能选(B). | E A| 4 4 3 0,知矩阵A的特征值是4,0,0,0.又因A 是实对称矩阵,A必能相似对角化,所以A与对角矩阵B相似.作为实对称矩阵,当A B时,知A与B有相同的特征值,从而二次型xAx与TxTBx有相同的正负惯性指数,因此A与B合同.所以本题应当选(A).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如10 10 与, A B 02 03它们的特征值不同,故A与B不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B合同.(5)【分析】解本题的关键是明确X和Y的关系:X Y n,即Y n X,在此基础上利用性质:相关系数 XY的绝对值等于1的充要条件是随机变量X与Y之间存在线性关系,即Y aX b(其中a,b是常数),且当a 0时, XY1;当a 0时, XY 1,由此便知 XY 1,应选(A). 事实上,Cov(X,Y) Cov(X,n X) D X,DY D(n X) DX,由此由相关系数的定义式有XY 1. 7安庆师范学院09计1班三、【解】11 2xdexx 2xx原式= arctaned(e) [earctane 2x] 22e(1 e2x)1 2xdexdexx) = (earctane 2x 2x2e1 e=1 2x(earctanex e x a rctanex) C. 2四、【解】求归结为求 ‘(1).由先求 (1) f(1,f(1,1)) f(1,1) 1. d3 (x)|x 1 3 2(1) ‘(1) 3 ‘(1),复合函数求导法dxd ‘(x) f1‘(x,f(x,x)) f2‘(x,f(x,x))f(x,x), dx ‘(1) f1‘(1,1) f2‘(1,1)[f1‘(1,1) f2‘(1,1)].f1‘(1,1) f(1,1) f(1,1) 2,f2‘(1,1) 3. x y,注意因此‘(1) 2 3(2 3) 17d3 (x)|x 1 3 17 51. dx2五、【分析与求解】关键是将arctanx展成幂级数,然后约去因子x,再乘上1 x并化简即可. ‗直接将arctanx展开办不到,但(arctanx)易展开,即1n2n(arctanx) ( 1)x,|x| 1, 21 x n 0‘ ①( 1)n2n 1积分得arctanx (arctant)dt ( 1) tdt x,x [ 1,1]. ②00n 0n 02n 1x‘ nx2n因为右端积分在x 1时均收敛,又arctanx在x 1连续,所以展开式在收敛区间端点x 1成立.1 x2现将②式两边同乘以得x8安庆师范学院09计1班1 x2( 1)n2n ( 1)n2n ( 1)nx2n 22 arctanx (1 x) x x x2n 12n 12n 1n 0n 0n 0( 1)n2n ( 1)n 12n = x xn 02n 1n 02n 1=1 n( 1) (n 1 11 )x2n 2n 12n 1( 1)n22n 1 x , 2n 11 4n x [ 1,1],x 0上式右端当x 0时取值为1,于是( 1)n22nf(x) 1 x,x [ 1,1]. 21 4nn 14n( 1)n11 1上式中令x 1 [f(1) 1] (2 1) . 222442n 11六、【解】用斯托克斯公式来计算.记S为平面x y z 2上L所为围部分.由L的定向,按右手法则S取上侧,S的单位法向量n (cos ,cos ,cos ) . 于是由斯托克斯公式得cos I xSy2 z2cos y2z2 x2cos z3x2 y2dS= [( 2y 4zS (2z 6x (2x 2ydS=(4x 2y 3z)dS(利用x y z 2)(6 x y)dS. SS 于是9安庆师范学院09计1班按第一类曲面积分化为二重积分得I (6 x y 2 (6 x y)dxdy, DD其中D围S在xy平面上的投影区域|x| |y| 1(图）.由D关于x,y轴的对称性及被积函数的奇偶性得(x y)dxdy 0 DI 12 dxdy 2 24. D七、【证明】(1)由拉格朗日中值定理, x (1, 1),x 0, (0,1),使f(x) f(0) x f‘( x)f‘‘(x)连续而f‘‘(x) 0,f‘‘(x)在(1, 1)不变号,f‘(x)在(1, 1)严格单( 与x有关);又由调, 唯一.(2)对f‘( x)使用f‘‘(0)的定义.由题(1)中的式子先解出f‘( x),则有f‘( x)‗f(x) f(0). x‘再改写成f(x) f(0) x f‘(0)f( x) f(0) . xf‘( x) f‘(0)f(x) f(0) x f‘(0) , 2 xx解出 ,令x 0取极限得1‘‘f(0)f(x) f(0) x f(0)f( x) f(0)1lim lim/lim . 2‘‘x 0x 0x 0x xf(0)2‘‘‘八、【解】(1)设t时刻雪堆的体积为V(t),侧面积为S(t).t时刻雪堆形状如图所示先求S(t)与V(t).10安庆师范学院09计1班侧面方程是z h(t) 2(x2 y2)h(t)((x,y) D2y2 h2(t)xy:x 2).z4 x x z4yh(t), yh(t).S(t) Dxydxdy .Dxy作极坐标变换:x rcos ,y rsin ,则Dxy:0 2 ,0 r(t). S(t) 12h(t)0d (t032 1[h2(t) 16r22(th(t)48)1312h2(t).用先二后一的积分顺序求三重积分V(t)h(t)dzD dxdy,(x)其中D(z):2(x2 y2)1h(t)h(t) z(t),即x2 y2 2[h2(t) h(t)z].V(t)h(t)2h2(t) h(t)z]dz2[h3(t) 12h(t)3]4h3(t). (2)按题意列出微分方程与初始条件. 体积减少的速度是dVdVdt,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即dt0.9S 将V(t)与S(t)的表达式代入得2dh43h(t)dt 0.913 12h2(t),即dhdt 1310.h(0) 130.(3)解①得h(t) 1310t C. 由②得C 130,即h(t)1310t 130. 令h(t) 0,得t 100.因此,高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时.①②11安庆师范学院09计1班九、【解】由于 i(i 1,2 s)是 1, 2, s线性组合,又 1, 2, s是Ax 0的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知 i(i 1,2 s)均为Ax 0的解.从 1, 2, s是Ax 0的基础解系,知s n r(A). 下面来分析 1, 2, s线性无关的条件.设k1 1 k2 2 ks s 0,即(t1k1 t2ks) 1 (t2k1 t1k2) 2 (t2k2 t1k3) 3 (t2ks 1t1ks) s 0. 由于 1, 2, s线性无关,因此有t1k1 t2ks 0, tk t k 0,2112 t2k2 t1k3 0,t2ks 1t1ks 0.因为系数行列式(*)t100 0t2t2t10 00s0t2t1 00 t1s (1)s 1t2,000 t2t1所以当t1ss (1)s 1t2 0时,方程组(*)只有零解k1 k2 ks 0. 从而 1, 2, s线性无关.十、【解】(1)由于AP PB ,即A(x,Ax,A2x) (Ax,A2x,A3x) (Ax,A2x,3Ax 2A2x)000 , (x,Ax,A2x) 103 01 212安庆师范学院09计1班000 所以B 103. 01 2(2)由(1)知A B,那么A E B E,从而00|A E| |B E| 13 4.01 1十一、【解】(1)P{Ymm m|X n} Cnp(1 p)n m,0 m n,n 0,1,2, .(2)P{X n,Y m}=P{X n}P{Y m|X n}= nn!mme Cnp(1 p)n m,0 m n,n 0,1,2, .十二、【解】易见随机变量(X1 X n 1),(X2 X n 2), ,(Xn X2n)相互独立都服从正态分布N(2 ,2 2).因此可以将它们看作是取自总体N(2 ,2 2)的一个容量为n的简单随机样本.其样本均值为1n12nXi 2, (Xi X n i) n ni 1i 11n12(X X2) Y. in i n 1i 1n 11Y) 2 2,即E(Y) 2(n 1) 2. n 1样本方差为因样本方差是总体方差的无偏估计,故E( 13安庆师范学院09计1班2002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)e dx=xln2x.y(2)已知函数y y(x)由方程e(3)微分方程yy(4)已知实二次型6xy x2 1 0确定,则y (0)= x 0 . y 2 0满足初始条件y 1,y‘x 0 1的特解是222f(x1,x2,x3) a(x12 x2 x3) 4x1x2 4x1x3 4x2x3经正交变换x Py可化成标准型f 6y12,则a=2(5)设随机变量X服从正态分布N( ,率为)( 0),且二次方程y2 4y X 0无实根的概1,则 ＝2二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)考虑二元函数f(x,y)的下面4条性质:①f(x,y)在点(x0,y0)处连续;②f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数连续; 14安庆师范学院09计1班③f(x,y)在点(x0,y0)处可微; ④f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在．若用―P Q‖表示可由性质P推出性质Q,则有(A) ② ③ ①.(C) ③ ④ ①.11n(2)设un 0(n 1,2,3,L),且lim 1,则级数 ( 1)n 1( ) n uunun 1n 1n (B) ③② ①. (D) ③ ① ④.(A) 发散.(B) 绝对收敛. (D) 收敛性根据所给条件不能判定. (C) 条件收敛.(3)设函数y f(x)在(0, )内有界且可导,则(A) 当limf(x) 0时,必有limf (x) 0. x x(B) 当limf (x)存在时,必有limf (x) 0. x xf(x) 0时,必有limf (x) 0. (C) 当lim x 0x 0f (x)存在时,必有limf (x) 0. (D) 当lim x 0x 0(4)设有三张不同平面的方程ai1x a i2y a i3z bi,i 1,2,3,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为２,则这三张平面可能的位置关系为(5)设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为分布函数分别为F1(x)和F2(x),则f1(x)和f2(x),15安庆师范学院09计1班(A) f1(x)＋(B) f2(x)必为某一随机变量的概率密度. f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度.(C) F1(x)＋F2(x)必为某一随机变量的分布函数.(D) F1(x)三、(本题满分6分)设函数f(x)在x 0的某邻域内具有一阶连续导数,且f(0) 0,f (0) 0,若F2(x)必为某一随机变量的分布函数. af(h) b f(2h) f(0)在h 0时是比h高阶的无穷小,试确定a,b的值.四、(本题满分7分)已知两曲线y f(x)与yarctanx02 e t dt在点(0,0)处的切线相同,写出此切线方程,并求极限2limnf(). n n五、(本题满分7分)计算二重积分六、(本题满分8分)设函数f(x)在( , )内具有一阶连续导数,L是上半平面(其起点为(a,b),终点为(c,d).记max{xe D2,y2}dxdy,其中D {(x,y)|0 x 1,0 y 1}. y ＞0)内的有向分段光滑曲线,I 1x y2f(xy)]dx 2[y2f(xy) 1]dy, Lyy(1)证明曲线积分I与路径L无关;(2)当ab cd时,求I的值.七、(本题满分7分)x36393xn3L L( x )满足微分方程(1)验证函数y(x) 1 3!6!9!(3n)!16安庆师范学院09计1班y y y ex;x3n(2)利用(1)的结果求幂级数 的和函数.n 0(3n)!八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为D {(x,y)|x 2 y2 x y 75},小山的高度函数为h(x,y) 75 x2 y2 x y.(1)设M(x0,y0)为区域D上一点,问h(x,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方向导数的最大值为g(x0,y0),试写出g(x0,y0)的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说,要在D的边界线x起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵关, 1十、(本题满分8分)设A,B为同阶方阵,(1)若A,B相似,证明A,B的特征多项式相等.(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当A,B均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分)设维随机变量X的概率密度为2 y2 x y 75上找出使(1)中g(x,y)达到最大值的点.试确定攀登A ( 1, 2, 3, 4), 1, 2, 3, 4均为4维列向量,其中 2, 3, 4线性无 2 2 3,求线性方程组Ax 的通解.如果 1 2 3 4,17安庆师范学院09计1班x 1cos,f(x) 220,0 x ,其他.2的次数,求Y的数学期望. 3对X独立地重复观察４次,用Y表示观察值大于十二、(本题满分7分) 设总体X的概率分布为其中 (01)是未知参数,利用总体X的如下样本值23,1,3,0,3,1,2,3,求 的矩估计值和最大似然估计值.2002年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】原式(2)【分析】方程两边对x两次求导得edlnx1l n2xlnxe1.eyy‘ 6xy‘ 6y 2x 0,①②eyy‘‘ e yy‘2 6xy‘‘ 12y‘ 2 0.以x 0代入原方程得y 0,以x y 0代入①得y‘ 0,,再以x y y‘ 0代入②得y‘‘(0) 2.(3)【分析】这是二阶的可降阶微分方程.18安庆师范学院09计1班令y‘ P(y)(以y为自变量),则y‘‘ dy‘dPdP P. dxdxdyx 0 代入方程得yPdPdP P2 0,即y P 0(或P 0,但其不满足初始条件y‘dydy1). 2分离变量得dPdy 0, Py积分得lnP l ny C‘,即P C1(P 0对应C1 0); y由x 0时y 1,P y‘ 11,得C1 .于是又由yx 0 1得C2 1,所求特解为y(4)【分析】因为二次型xAx经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵TA的特征值,所以6,0,0是A的特征值.又因(5)【分析】设事件A表示―二次方程 a ,故a a a 6 00, a 2. iiiy2 4y X 0无实根‖,则A {16 4X 0} {X 4}.依题意,有而即二、选择题1P(A) P{X 4} . 2 4 14 14 1 () , () , 0. 4.2 2 P{X 4} 1 P{X 4} 1 (4 ),(1)【分析】这是讨论函数f(x,y)的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关19安庆师范学院09计1班系.我们知道,f(x,y)的两个偏导数连续是可微的充分条件,若f(x,y)可微则必连续,故选(A).111u(2)【分析】由limn 1 0 n充分大时即N,n N时 0,且lim 0,不妨认为n n ununnn,un 0,因而所考虑级数是交错级数,但不能保证按定义考察部分和1的单调性. unSn ( 1)k 1nk 1nn111k 11 ( ) ( 1) ( 1)k 1ukuk 1ukk 1uk 1k 1( 1)kn 11( 1)n 11l1 ( 1) (n ), ulu1un 1u1k 1ukl 1n原级数收敛. 11 uun 1nn 1n11再考察取绝对值后的级数 ( 2, ).注意n1un 1unun 1n 1n 1unn111发散( )发散.因此选(C). nuun 1n 1nn 1(3)【分析】证明(B)对:反证法.假设limf (x) a 0,则由拉格朗日中值定理, xf(2x) f(x) f‘( )x (x )(当x 时, ,因为x 2x);但这与f(2x) f(x) f(2x) f(x) 2M矛盾(f(x) M).(4)【分析】因为r(A) r(A)一,因此应选(B).20 2 3,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯安庆师范学院09计1班(A)表示方程组有唯一解,其充要条件是r(A) r(A) 3.(C)中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行,故r(A) 2和r(A) 3,且A中任两个平行向量都线性无关.类似地,(D)中有两个平面平行,故r(A) 2,r(A) 3,且A中有两个平行向量共线.(5)【分析】首先可以否定选项(A)与(C),因[f1(x) f2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dx 2 1,F1( ) F2( ) 1 1 2 1.f2(x) 则对任何x ( , ),对于选项(B),若f1(x) 1, 2 x 1, 1,0 x 1,0,其他， 0,其他，f1(x)f2(x) 0,f1(x)f2(x)dx 0 1,因此也应否定(C),综上分析,用排除法应选(D). X max(X1,X2),而Xi~fi(x),i 1,2,则X的分布函数F(x)恰是进一步分析可知,若令F1(x)F2(x).F(x) P{max(X1,X2) x} P{X1 x,X2 x}P{X1 x}P{X2 x} F1(x)F2(x).三、【解】h 0用洛必达法则.由题设条件知lim[af(h) b f(2h) f(0)] (a b1)f(0).由于f (0) 0,故必有a b1 0.及f (0) 0,则有a 2b 0.四、【解】综上,得a 2,b 1. 由已知条件得21安庆师范学院09计1班f(0) 0,f‘(0) (arctanx0e t dt)‘x2x 0e a rctanx1 x22x 01,故所求切线方程为y x.由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得D是正方形区域如图.因在D上被积函数分块表示22五、【分析与求解】2x,x y,max{x,y} 2(x,y) D,y,x y,于是要用分块积分法,用y x将D分成两块:D D1UD2,D1 DI{y x},D2 DI{y x}.I emax{xD122,y2}dxdy emax{xD222,y2}dxdyexdxdy eydxdy 2 exdxdy(D关于y x对称)D1D2D122 dx exdy(选择积分顺序) 2 xexdx ex1x21221e 1.六、【分析与求解】(1)易知Pdx Q dy 原函数,Pdx Q dy1x1dx y f(xy)dx x f(xy)dy 2dy 2(ydx x dy) f(xy)(ydx x dy) yyyxyxxd() f(xy)d(xy) d[ f(t)dt].yy0xyxf(t)dt. y0在y 0上Pdx Q dy 原函数,即u(x,y) 积分I在y 0与路径无关.22安庆师范学院09计1班ca(2)因找到了原函数,立即可得I u(x,y)(c,d)(a,b) d b.七、【证明】与书上解答略有不同,参见数三2002第七题(1)因为幂级数(x) 1 x3x6x9x3ny3! 6! 9! L(3n)! L的收敛域是( x ),因而可在( x )上逐项求导数,得x2x5x8x3n 1y‘(x)2! 5! 8! L(3n 1)! L,x4x7x3n 2y‘‘(x) x 4! 7! L(3n 2)! L,所以y‘ y 1 x x2xny‘‘2! L n! L ex( x ).(2)与y‘‘ y‘ y ex相应的齐次微分方程为y‘‘ y‘ y 0,其特征方程为 2 1 0,特征根为 1,2 12 2.x因此齐次微分方程的通解为Y e 2(C1cos2x C2sin2x).设非齐次微分方程的特解为y Aex,将y 代入方程y‘‘ y‘ y ex可得A 11x 3,即有y 3e.于是,方程通解为y Y y e x2(C1cos2x C12sin2x) 3ex.y(0) 110 C1 ,当x 时,有 3 C21 ,C2y‘(0) 0 1C30.22 113.23安庆师范学院09计1班x2 21x3n于是幂级数的和函数为y(x) ex ex( x ) 33n 0(3n)!八、【分析与求解】(1)由梯度向量的重要性质:函数h(x,y)在点M处沿该点的梯度方向gradh(x,y)(x0,y0) { h h, x y(x0,y0) { 2x0 y0, 2y0 x0} 方向导数取最大值即gradh(x,y)(x0,y0)的模, g(x0,y0)(2)按题意,即求g(x,y)求在条件x2 y2 x y 75 0下的最大值点g2(x,y) (y 2x)2 (x 2y)2 5x2 5y2 8x y在条件x2 y2 x y 75 0下的最大值点. 这是求解条件最值问题,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函数L(x,y, ) 5x2 5y2 8xy (x2 y2 x y 75),L x 10x 8y (2x y) 0,L 10y 8x (2y x) 0,y则有L22 x y x y 75 0.解此方程组:将①式与②式相加得(x y)( 2) 0. x y或 2. 若y x,则由③式得3x 75即x 5,y m5.若22 2,由①或②均得y x,代入③式得x75即xy 于是得可能的条件极值点M1(5, 5),M2( 5,5),M3M4( f(x,y) g2(x,y) 5x2 5y2 8xy在这些点的函数值: f(M1) f(M2) 450,f(M3) f(M4) 150. 现比较24安庆师范学院09计1班因为实际问题存在最大值,而最大值又只可能在M1,M2,M3,M4中取到.因此g2(x,y)在M1,M2取到在D的边界上的最大值,即M1,M2可作为攀登的起点.九、【解】由 2, 3, 4线性无关及 1 2 2 3知,向量组的秩r( 1, 2, 3, 4) 3,即矩阵A的秩为3.因此Ax 0的基础解系中只包含一个向量.那么由1 2 ( 1, 2, 3, 4) 1 2 2 3 0 1 0T知,Ax 0的基础解系是(1, 2,1,0).知,(1,1,1,1)T是Ax 的一个特再由 1 1 1 1 A1 2 3 4 ( 1, 2, 3, )4 1 1 1 11 12 1解.故Ax 的通解是k ,其中k为任意常数. 1 1 0 1十、【解】(1)若A,B相似,那么存在可逆矩阵P,使P 1AP B,故 E B E P1AP P 1 EP P1APP 1( E A)P P 1 E A P E A.但A,B不相似.01 00 (2)令A ,B ,那么 E A 2 E B. 00 00否则,存在可逆矩阵P,使P 1AP B 0.从而A P0P 1 0,矛盾,亦可从r(A) 1,r(B) 而知0A 与B不相似.25安庆师范学院09计1班(3)由A,B均为实对称矩阵知,A,B均相似于对角阵,若A,B的特征多项式相等,记特征多项式的根为 1,L, n,则有相似于 O1 ,B也相似于 O n . n 1A1 1O即存在可逆矩阵P,Q,使PAP于是(PQ十一、【解】由于P{X 11 Q 1BQ. n )A(PQ 1) B.由PQ 1为可逆矩阵知,A与B相似. 11x1 cosdx ,依题意,Y服从二项分布B(4,),则有232232111EY2 DY (EY)2 npq (np)2 4 (4 )2 5. 222十二、【解】1EX 0 2 1 2 (1 ) 2 2 3 (1 2 ) 3 4 , (3 E X). 4ˆ 1(3 X),根据给定的样本观察值计算x 1(3 1303123) 的矩估计量为 84ˆ 1(3 x) 1. 2.因此 的矩估计值 44对于给定的样本值似然函数为L( ) 4 6(1 )2(1 2 )4,lnL( ) ln4 6ln 2ln(1 ) 4ln(1 2 ),dlnL( )62824 2 28 6 . d 1 1 2 (1 )(1 2 )令dlnL( )71 0,得方程12 2 14 3 0,解得( ,不合题意). d 122ˆ 于是的最大似然估计值为26安庆师范学院09计1班2003年硕士研究生入学考试（数学一）试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）1（1）lim(cosx)ln(1 x2)x 0 =______ .（2）曲面z x2 y2与平面2x 4y z 0平行的切平面的方程是______.，则a2.（3）设x2 ancosnx( x )n 0（4）从R2的基 1 1 1 1到基 1 1 , 2 2 的1 0 , 2 1过渡矩阵为_____（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y) 6x,0 x y 1,0,其他，. 27安庆师范学院09计1班则P{X Y 1} ______ .（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布N( ,1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则 的置信度为0.95的置信区间是_______ ., (1.645) 0.95.) (注：标准正态分布函数值 (1.96) 0.975二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号一个极小值点和两个极大值点.(B) 两个极小值点和一个极大值点.(C) 两个极小值点和两个极大值点.(D)[ ]（2）设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且liman 0,limbn 1,limcn ,则必有n n n(A) an bn对任意n成立. (B) bn cn对任意n成立.(C) 极限limancn不存在. (D) 极限limbncn不存在. [ ] n n（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域点(0,0)不是f(x,y)的极值点.(B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点.(C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ ]（4）设向量组I： 1, 2, , r可由向量组II： 1, 2, , s线性表示，则[ ] (A) 当r s时，向量组II必线性相关. (B) 当r s时，向量组II必线性相关.(C) 当r s时，向量组I必线性相关. (D) 当r s时，向量组I必线性相关.（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为m n矩阵，现有4个命题：28安庆师范学院09计1班①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A) 秩(B)；②若秩(A) 秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；④若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是[ ](A) ①②. (B) ①③.(C) ②④. (D) ③④.（6）设随机变量X~t(n)(n 1),Y(A) Y~1，则X2 [ ] 2(n). (B) Y~ 2(n 1).(C) Y~F(n,1). (D) Y~F(1,n).三、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D.(1) 求D的面积A;(2) 求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.四、（本题满分12分） 1 2x( 1)n将函数f(x) arctan展开成x的幂级数，并求级数 的和. 1 2x2n 1n 0，L为D的正向边界.五、（本题满分10分）已知平面区域D {(x,y)0 x ,0 y }试证：(1)(2) x eLLsinydy y e s inxdx xe s inydy y esinxdx; Lsiny s inx2xedy y edx 2 . 六、（本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？七、（本题满分12分）设函数y=y(x)在( , )内具有二阶导数，且y 0,x x(y)是y=y(x)的反函数.29安庆师范学院09计1班d2xdx3(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程(y s inx)() 0变换为y=y(x)满足的微分2dydy方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0) 0,y (0)八、（本题满分12分）设函数f(x)连续且恒大于零，3的解. 2f(xF(t) (t)D(t)2 y2 z2)dv2 f(x y)d 2，G(t) D(t) f(x t 12 y2)d ，2f(x)dx2222222其中 (t) {(x,y,z)x y z t}，D(t) {(x,y)x y t}.(1) 讨论F(t)在区间(0, )ax 2by 3c 0，l2: bx 2cy 3a 0，l3: cx 2ay 3b 0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a b c 0.十一、（本题满分10分）已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二、（本题满分8分）30 *安庆师范学院09计1班设总体X的概率密度为2e 2(x ),x , f(x) x , 0,其中 0是未知参数. 从总体X中抽取简单随机样本X1,X2, ,Xn，记 ˆ min(X1,X2, ,Xn).(1) 求总体X的分布函数F(x);(2) 求统计量 ˆ的分布函数F ˆ(x)；(3) 如果用 ˆ作为 的估计量，讨论它是否具有无偏性.31安庆师范学院09计1班2003年硕士研究生入学考试（数学一）试题答案一、1、1e2、2x 4y z 53、14、5、3 2 12 1 4,40.49) 6、(39.51二、三、【详解】(1) 设切点的横坐标为x0，则曲线y=lnx在点(x0,lnx0)处的切线方程是y lnx0 1(x x0). x0由该切线过原点知lnx0 1 0，从而x0 e. 所以该切线的方程为y平面图形D的面积A 1x. e 10(ey e y)dy 1e 1. 2（2）切线y 1x与x轴及直线x=e所围成的三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥体积为e1V1 e2. 3曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e旋转所得的旋转体体积为V2 y2 (e e)dy， 01因此所求旋转体的体积为32安庆师范学院09计1班11 V V2y221 V23 e 0 (e e)dy 6(5e 12e 3).四、【详解】因为f (x) 21 4x2 2 ( 1)n4nx2n,x ( 11n 02,2).又f(0)=4, 所以f(x) f(0) xf (t)dt x0 4 2 [ ( 1)n4nt2n0]dt n 0= ( 1)n4n2n 114 2 x,x ( 1n 02n 12,2).( 1)n因为级数 2n 1收敛，函数f(x)在x 1处连续，所以n 02f(x) ( 14 2 )n4n1x2n 1,x ( 1,1].令x 12，得f(1 (2) 4 2 [ 1)4n1 ( 1)nn 02n 122n 1] 4 ,n 02n 133安庆师范学院09计1班再由f(12) 0，得( 1)nf(1n 02n 142) 4.五、【详解】方法一：(1) 左边= siny00 edy e s inxdx=0(esinx e s inx)dx，右边= e s inydy 00 esinxdx= sinx0(esinx e)dx，所以Lxesinydy y e s inxdx xe s inyLdy y esinxdx. (2) 由于esinx e s inx 2，故由（1）得Lxesinydy y e s inxdx 0(esinx e s inx)dx 2 2.方法二：（1）根据格林公式，得sinyLxed y y e s inxdx (esiny e s inx)dxdy， DLxe s inydy y esinxdx (e s iny e sinx)dxdy. D因为D 具有轮换对称性，所以(esiny e s inx)dxdy=(e s iny e sinx)dxdy，D D故sinyLxedy y e s inxdx Lxe s inydy y esinxdx.(2) 由(1)知siny s inxsinyLxedy y edx (e e sinx)dxdy D= esi nydxdyD e s inxdxdy D= esinxdxdy e s inxdxdy （利用轮换对称性）D D34安庆师范学院09计1班=六、sinx s inx2(e e)dxdy 2dxdy 2 . DD【详解】(1) 设第n次击打后，桩被打进地下xn，第n次击打时，汽锤所作的功为Wn(n 1,2,3, ). 由题设，当桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力的大小为kx，所以W 11 x0kxdx k2k22x1 2a，Wx2k22k222 xkxdx (x2 x1) 2(x2 a).12由W2 rW1可得x222 a ra2即x22 (1 r)a2.W3 x3xkxdx k(x2 x2) k[x2223223 (1 r)a2].由W23 rW2 rW1可得x23 (1 r)a2 r2a2，从而x23 r r a，即汽锤击打3次后，可将桩打进地下r r2am.（2）由归纳法，设x r r2 r n 1n a，则Wxn 1n 1 kxdx kx2(x22nn 1x n)=k2[x2n 1(1 r r n 1)a2].由于W2Wnn 1 rWn rn 1 rW1，故得x2 1n 1(1 r r n)a2 rna2,35安庆师范学院09计1班从而xn 1r n 1 r r a a. 1 r n于是limxn 1 n 1a，1 r1a m. 1 r即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下七、【详解】(1) 由反函数的求导公式知dx1 ，于是有dyyy d2xddxd1dx y 1() ==. ()232dydydxy dyy y (y )dy代入原微分方程得y y sinx. ( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程y y 0的通解为Y C1e C2e.设方程( * )的特解为y Acosx B sinx，*x x11*，故y s inx，从而y y sinx的通解是221*x x y Y y C1e C2e s inx. 23由y(0) 0,y (0) ，得C1 1,C2 1. 故所求初值问题的解为21x x x. y e e s in2代入方程( * )，求得A 0,B八、【详解】(1) 因为F(t)2 0d d f(r)rsin dr t22 02 00d f(r)rdr0t2 2 f(r2)r2drt 0t，0f(r)rdr36 2 安庆师范学院09计1班2)tF (t) 2t f(t 0f(r2)r(t r)dr[ tf(r22，0)rd]r所以在(0, )上F (t) 0，故F(t) 在(0, ) g(t) t22t2t0f(r)rdr 0f(r)dr [ 0f(r2)rd]r2，则g (t) f(t2) t0f(r2)(t r)2dr 0，故g(t)在(0, )内单调增加.因为g(t)在t=0处连续，所以当t>0时，有g(t)>g(0). 又g(0)=0, 故当t>0时，g(t)>0, 因此，当t>0时，F(t) 2G(t).九、【详解】方法一：经计算可得A* 5 2225 2 01 1，P 1 100 ，225 001700B P 1A*P= 25 4 .223从而B 2E 90027 4 ，22537安庆师范学院09计1班9E (B 2E) 22004 ( 9)2( 3)， 72 5故B+2E的特征值为 1 2 9, 3 3.当 1 2 9时，解(9E A)x 0，得线性无关的特征向量为1 2 1 1, 2 0, 0 1所以属于特征值 1 2 9的所有特征向量为，其中k1,k2是不全为零的任意常数.1 2 k1 1 k2 2 k11 k200 1当 3 3时，解(3E A)x 0，得线性无关的特征向量为， 10 3 10 所以属于特征值 3 3的所有特征向量为k3 3 k31，其中k3 0为任意常数.1方法二：设A的特征值为 ，对应特征向量为 ，即A . 由于A 7 0，所以 0.又因A*A AE，故有A* A.A于是有B(P 1 ) P 1A*P(P 1 )A (P 1 )，(B 2E)P1 ( 2)P 1 . 38安庆师范学院09计1班因此，A2为B+2E的特征值，对应的特征向量为P 1 .322，由于 E A 2 32 ( 1)2( 7)22 3故A的特征值为 1 2 1, 3 7.1 1当 时，对应的线性无关特征向量可取为1 2 11 1， 2 0.1当 13 7时，对应的一个特征向量为 3 1.101 1 1由P 1 100 1 0，得P 1 1 ，P 1 11 2 ，P 1 3 1 .001 0 1 1因此，B+2E的三个特征值分别为9，9，3.对应于特征值9的全部特征向量为1k 11 11P 1 k2P 2 k1 1k2 1，其中k1,k2是不全为零的任意常数；0 1对应于特征值3的全部特征向量为k 1 03P 3 k3 1，其中k3是不为零的任意常数.1十、【详解】方法一：必要性设三条直线l1,l2,l3交于一点，则线性方程组ax 2by 3c,bx 2cy 3a, (*) cx 2ay 3b,39安庆师范学院09计1班有唯一解，故系数矩阵A b2c与增广矩阵 b2c 3a的秩均为2， a2b a2b 3c于是 0. ac2 c2a 3ba2b 3c由于 b2c 3a 6(a b c)[a2 b2 c2 a b a c b c]c2a 3b=3(a b c)[(a b)2 (b c)2 (c a)2],但根据题设(a b)2 (b c)2 (c a)2 0，故a b c 0.充分性：由a b c 0，则从必要性的证明可知， 0，故秩() 3.由于a2bb2c 2(ac b2) 2[a(a b) b2] = 2[(a 12b)2 34b2] 0，故秩(A)=2. 于是，秩(A)=秩()=2.因此方程组(*)有唯一解，即三直线l1,l2,l3交于一点.方法二：必要性x0设三直线交于一点(x，则 y0,y0)0为Ax=0的非零解，其中1a2b3cAb2c3a .c2a3b于是A 0.40安庆师范学院09计1班a2b3c而A b2c3a 6(a b c)[a2 b2 c2 a b a c b c]2a3bc= 3(a b c)[(a b)2 (b c)2 (c a)2],但根据题设(a b)2 (b c)2 (c a)2 0，故a b c 0.充分性：考虑线性方程组ax 2by 3c, bx 2cy 3a, (*) cx 2ay 3b,将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组ax 2by 3c, (* *)bx 2cy 3a.a2b因为 2(ac b2) 2[a(a b) b2] b2c=-[a b(a b)] 0,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线l1,l2,l3交于一点. 十一、【详解】(1) X的可能取值为0，1，2，3，X的概率分布为3 k C3kC3 P{X k} ，k=0,1,2,3. 3C6222即X 0 1 2 3因此EX 0 1991 2020202019913 1 2 3 . 202020202(2) 设A表示事件―从乙箱中任取一件产品是次品‖，由于{X 0}，{X 1}，{X 2}，{X 3}构成完备事件组，因此根据全概率公式，有41安庆师范学院09计1班3P(A) P{X k}P{AX k} k 03= P{X k} k 1k 066 3kP{X k} k 0=1136EX 6 2 14.【评注】本题对数学期望的计算也可用分解法：设X 0,从甲箱中取出的第i件产品是合格品,i 1,从甲箱中取出的第i件产品是次品,则Xi的概率分布为Xi 0 112 12 i 1,2,3.因为X X1 X2 X3，所以EX EX31 E X2 E X3 2.十二、【详解】(1)F(x) xf(t)dt 1 e2(x ),x ,0,x .(2) F ˆ(x) P{ ˆ x} P{min(X1,X2, ,Xn) x} =1 P{min(X1,X2, ,Xn) x} =1 P{X1 x,X2 x, ,Xn x} =1 [1 F(x)]n= 1 e2n(x ),x ,0,x .42安庆师范学院09计1班(3) ˆ概率密度为2n(x )fˆ(x) 2ne,x ,ˆ(x) dFdx0,x .因为E ˆxf ˆ(x)dx 2nxe 2n(x )dx= 12n ，所以 ˆ作为 的估计量不具有无偏性. 43安庆师范学院09计1班2004年数学一试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx上与直线x y 1垂直的切线方程为_________.（2）已知f (ex) xe x，且f(1)=0, 则f(x)= __________ .（3）设L为正向圆周x2 y2 2在第一象限中的部分，则曲线积分为____ . Lxdy 2ydx的值d2ydy 4x 2y 0(x 0)的通解为__________. （4）欧拉方程x2dxdx2210 矩阵B满足ABA* 2BA* E，*（5）设矩阵A 120，其中A为A的伴随矩阵， 001E是单位矩阵，则B _________ .（6）设随机变量X服从参数为 的指数分布，则P{X DX}= ________ .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号(B) , , . (C) , , . (D) , , . [ ]（8）设函数f(x)连续，且f (0) 0,则存在 0，使得[ ](A) f(x)在（0， ) （B）f(x)在( ,0)对任意的x (0, )有f(x)>f(0) . (D) 对任意的x ( ,0)有f(x)>f(0) .（9）设 an 1 n为正项级数，下列结论中正确的是[ ]44安庆师范学院09计1班(A) 若limnan=0，则级数nan 1n收敛.（B）若存在非零常数 ，使得limnan ，则级数nan 1n发散.(C) 若级数an 1n收敛，则limnan 0.n2(D) 若级数an 1n发散, 则存在非零常数 ，使得limnan .n（10）设f(x)为连续函数，F(t)dy1ttyf(x)dx，则F (2)等于[ ](A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0.（11）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C的可逆矩阵Q为[ ]010(A) 100. (B) 101010101 . (C) 001 010100 . (D) 011 011100 . 001（12）设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有[ ](A) A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关. (B) A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关. (C) A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关.(D) A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关.（13）设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的 (0 1)，数u 满足P{X u } ，若P{X x} ，则x等于2[1。

2001年考‎研数学一试题‎答案与解析一、(1)【分析】 由通解的形式‎可知特征方程‎的两个根是12,1r r i =±,从而得知特征‎方程为22121212()()()220r r r r r r r r rr r r --=-++=-+=.由此,所求微分方程‎为'''220y y y -+=.(2)【分析】 grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ∂∂∂⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎩⎭.再求 divgra‎d r=()()()x y z x r y r z r ∂∂∂++∂∂∂ =222222333311132()()()x y z x y z r r r r r r r r r++-+-+-=-=.于是 divgra ‎d r|(1,2,2)-=(1,2,2)22|3r -=. (3)【分析】 这个二次积分‎不是二重积分‎的累次积分,因为10y -≤≤时12y -≤.由此看出二次‎积分是二重积‎0211(,)ydy f x y dx --⎰⎰分的一个累次‎积分,它与原式只差‎一个符号.先把此累次积‎分表为0211(,)(,)yDdy f x y dx f x y dxdy --=⎰⎰⎰⎰.由累次积分的‎内外层积分限‎可确定积分区‎域D :10,12y y x -≤≤-≤≤.见图.现可交换积分‎次序原式=02202111111(,)(,)(,)xyxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(4)【分析】 矩阵的元素没‎A 有给出,因此用伴随矩‎阵、用初等行变换‎求逆的路均堵‎塞.应当考虑用定‎义法.因为 2()(2)240A E A E E A A E -+-=+-=,故()(2)2A E A E E -+=,即2()2A E A E E +-⋅=.按定义知11()(2)2A E A E --=+. (5)【分析】 根据切比雪夫‎不等式2(){()}D x P X E X εε-≥≤, 于是2()1{()2}22D x P XE X -≥≤=. 二、(1)【分析】 当0x <时,()f x 单调增'()0f x ⇒≥,(A ),(C )不对;当0x>时,()f x :增——减——增'()f x ⇒:正——负——正,(B )不对,(D )对.应选(D ).(2)关于(A ),涉及可微与可‎偏导的关系.由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导‎数⇒(,)f x y 在(0,0)处可微.因此(A )不一定成立.关于(B )只能假设(,)f x y 在(0,0)存在偏导数(0,0)(0,0),f f x y∂∂∂∂,不保证曲面在‎(,)z f x y =(0,0,(0,0))f 存在切平面.若存在时,法向量n=(0,0)(0,0)1f f x y ⎫∂∂⎧±-=±⎨⎬∂∂⎩⎭，，{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B )不成立.关于(C ),该曲线的参数‎方程为,0,(,0),x t y z f t =⎧⎪=⎨⎪=⎩它在点处的切‎(0,0,(0,0))f 向量为'0{',0,(,0)}|{1,0,(0,0)}{1,0,3}t x dt f t f dt===.因此,(C )成立. (3)【分析】 当(0)0f =时,'0()(0)lim x f x f x →=∃00()()lim lim x x f x f x x x→+→-⇔=∃.关于(A ):220001(1cos )1cos 1()lim (1cos )lim 1cos lim1cos 2h h t f h h f t f h t h h h h t→→→+---=⋅=--, 由此可知201lim (1cos )h f h h →-∃ ⇔ '(0)f + ∃.若()f x 在0x =可导⇒(A )成立,反之若(A )成立⇒'(0)f + ∃⇒'(0)f ∃.如()||f x x =满足(A ),但'(0)f 不∃.关于(D ):若()f x 在0x =可导,⇒''001(2)()lim [(2)()]lim[2]2(0)(0)2h h f h f h f h f h f f h h h→→-=-=-. ⇒(D )成立.反之(D )成立0l i m ((2)())0h f h f h →⇒-=⇒()f x 在0x =连续,⇒()f x 在0x =可导.如21,0()0,0x x f x x +≠⎧=⎨=⎩　满足(D ),但在处不连续‎()f x 0x =,因而'(0)f 也不∃.再看(C ):2220001sin (sin )sin ()lim(sin )lim lim sin h h h h h f h h h h f t f h h h h h h h t→→→----=⋅=⋅-(当它们都∃时). 注意,易求得20sin lim 0h h h h →-=.因而,若'(0)f ∃⇒(C )成立.反之若(C )成立⇒0()lim t f t t →(即 '(0)f ∃).因为只要有界‎()f t t ,任有(C )成立,如()||f x x =满足(C ),但'(0)f 不∃.因此,只能选(B ).(4)【分析】 由43||40E A λλλ-=-=,知矩阵的特征‎A 值是4,0,0,0.又因是实对称‎A 矩阵,A 必能相似对角‎化,所以与对角矩‎A 阵B 相似.作为实对称矩‎阵,当A B 时,知与有相同的‎A B 特征值,从而二次型与‎T x Ax T x Bx 有相同的正负‎惯性指数,因此A 与B 合同.所以本题应当‎选(A ).注意,实对称矩阵合‎同时,它们不一定相‎似,但相似时一定‎合同.例如1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与1003B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,它们的特征值‎不同,故A 与B 不相似,但它们的正惯‎性指数均为2‎,负惯性指数均‎为0.所以A 与B 合同.(5)【分析】 解本题的关键‎是明确和的关‎XY系:X Y n +=,即Y n X =-,在此基础上利‎用性质:相关系数的绝‎XY ρ对值等于1的‎充要条件是随‎机变量与之间‎XY存在线性关系‎,即Y aX b =+(其中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A ).事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,()DY D n X DX =-=,由此由相关系‎数的定义式有‎(,)1XY Cov X Y DXDX DY DX DYρ-===-.三、【解】原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)x x x x xx xde e d e e e e e ---=--+⎰⎰=2221(arctan )21x x x x x xde de e e e e---++⎰⎰=21(arctan arctan )2x x x xe e e e C ---+++. 四、【解】先求(1)(1,(1,1))(1,1)1f f f ϕ===.求32''1()|3(1)(1)3(1)x d x dxϕϕϕϕ===,归结为求'(1)ϕ.由复合函数求‎导法'''12()(,(,))(,(,))(,)dx f x f x x f x f x x f x x dxϕ=+,'''''1212(1)(1,1)(1,1)[(1,1)(1,1)]f f f f ϕ=++.注意 '1(1,1)(1,1)2f f x∂==∂,'2(1,1)(1,1)3f f y∂==∂.因此'(1)23(23)17ϕ=++=,31()|31751x d x dxϕ==⨯=. 五、【分析与求解】关键是将展成‎arctan x 幂级数,然后约去因子‎x ,再乘上并化简‎21x +即可. 直接将展开办‎arctan x不到,但'(arctan )x 易展开,即'221(arctan )(1),||11n n n x x x x ∞===-<+∑, ①积分得 '2210000(1)arctan (arctan )(1)21n xx nnn n n x t dt t dt x n ∞∞+==-==-=+∑∑⎰⎰,[1,1]x ∈-. ② 因为右端积分‎在1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在‎收敛区间端点‎1x =±成立.现将②式两边同乘以‎21x x+得2222220001(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞∞∞===+---=+=++++∑∑∑=12200(1)(1)2121n n n n n n x x n n -∞∞==--++-∑∑ =21111(1)()2121nnn x n n ∞=+--+-∑221(1)2114n nn x n∞=-=+-∑,[1,1]x ∈-,0x ≠上式右端当时‎0x=取值为1,于是221(1)2()1,[1,1]14n nn f x x x n ∞=-=+∈--∑.上式中令1x =21(1)111[(1)1](21422442n n f nππ∞=-⇒=-=⨯-=--∑.六、【解】用斯托克斯公‎式来计算.记为平面上所‎S2x y z ++=L为围部分.由L的定向,按右手法则取‎S 上侧,S 的单位法向量‎1(cos ,cos ,cos )(1,1,1)3n αβγ== .于是由斯托克‎斯公式得222222cos cos cos 23SI dSx y z y z z x x y αβγ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰=111[(24)(26)(22)]333Sy z z x x y dS --+--+--⎰⎰ =22(423)(2)(6)33S Sx y z dS x y z x y dS -++++=-+-⎰⎰⎰⎰利用.于是'2'211113x y Z Z ++=++=.按第一类曲面‎积分化为二重‎积分得2(6)32(6)3D DI x y dxdy x y dxdy =-+-=-+-⎰⎰⎰⎰,其中围在平面‎D S xy 上的投影区域‎||||1x y +≤(图）.由关于轴的对‎D ,x y 称性及被积函‎数的奇偶性得‎()0Dx y dxdy -=⎰⎰⇒ 21212(2)24DI dxdy =-=-=-⎰⎰.七、【证明】 (1)由拉格朗日中‎值定理,(1,1)x ∀∈-,0,(0,1)x θ≠∃∈,使'()(0)()f x f xf x θ=+(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单调,θ唯一. (2)对使用的定义‎'()f x θ''(0)f .由题(1)中的式子先解‎出'()f x θ,则有'()(0)()f x ff x xθ-=.再改写成'''()(0)(0)()(0)f x f xf f x f x θ---=.'''2()(0)()(0)(0)f x f f x f xf x x θθθ---⋅=, 解出θ,令x →取极限得'''''2''0001(0)()(0)(0)()(0)12lim lim /lim (0)2x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===. 八、【解】(1)设时刻雪堆的‎t 体积为()V t ,侧面积为()S t .t 时刻雪堆形状‎如图所示，先求()S t 与()V t .侧面方程是222222()()()((,):)()2xy x y h t z h t x y D x y h t +=-∈+≤.⇒44,()()z x z yx h t y h t ∂∂=-=-∂∂. ⇒ 22222()16()()1()()()xyxyD D z z h t x y S t dxdy dxdy x y h t ∂∂++=++=∂∂⎰⎰⎰⎰.作极坐标变换‎:cos ,sin x r y r θθ==,则1:02,0()2xy D r h t θπ≤≤≤≤. ⇒12()2220013()222221()()16()2113[()16]|().()4812h t h t S t d h t r rdr h t h t r h t h t πθππ=+=⋅+=⎰⎰用先二后一的‎积分顺序求三‎重积分()0()()h t D x V t dz dxdy=⎰⎰⎰,其中222()():()()()x y D z h t z t h t +≤-,即2221[()()]2x y h t h t z +≤-.⇒()233301()[()()][()()]()2224h t V t h t h t z dz h t h t h t πππ=-=-=⎰. (2)按题意列出微‎分方程与初始‎条件. (3)体积减少的速‎度是dVdt-,它与侧面积成‎正比(比例系数0.9),即将与的表达‎0.9dV S dt =-()V t ()S t 式代入得22133()0.9()412dh h t h t dt ππ=-,即1310dh dt =-. ①(0)130h =.②(3)解①得13()10h t t C =-+. 由②得130C =,即13()13010h t t =-+. 令()0h t =,得100t =.因此,高度为130‎厘米的雪堆全‎部融化所需时‎间为100小‎时. 九、【解】由于是线性组‎(1,2)i i s β= 12,,s ααα 合,又12,,s ααα 是0Ax =的解,所以根据齐次‎线性方程组解‎的性质知均为‎(1,2)i i s β= 0Ax =的解.从是的基础解‎12,,s ααα 0Ax =系,知()s n r A =-.下面来分析线‎12,,s βββ 性无关的条件‎.设11220s s k k k βββ++= ,即11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++++= .由于线性无关‎12,,s ααα ,因此有112211222132110,0,0,0.s s s t k t k t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩(*) 因为系数行列‎式1221121122100000000(1)000s s st t t t t t t t t t +=+-,所以当112(1)0s s st t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ==== .从而线性无关‎12,,s βββ .十、【解】(1)由于AP PB =,即22322(,,)(,,)(,,32)A x Ax A x Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-2000(,,)103012x Ax A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 所以000103012B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.(2)由(1)知A B ,那么A E B E ++ ,从而100||||1134011A EB E +=+==--.十一、【解】 (1){|}(1),0,0,1,2,m mn m n P Y m X n C p p m n n -===-≤≤= .(2){,}P X n Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ====(1),0,0,1,2,.!nm mn m n e C p p m n n n λλ--⋅-≤≤=十二、【解】 易见随机变量‎11()n X X ++,22()n X X ++,2,()n n X X + 相互独立都服‎从正态分布2(2,2)N μσ.因此可以将它‎们看作是取自‎总体的一个容‎2(2,2)N μσ量为的简单随‎n 机样本.其样本均值为‎21111()2n ni n i i i i X X X X n n +==+==∑∑,样本方差为2111(2)11n i n ii X X X Y n n +=+-=--∑. 因样本方差是‎总体方差的无‎偏估计,故21()21E Y n σ=-,即.2()2(1)E Y n σ=-。

目录第一卷北京大学 (1)1.1996年数学分析(1)2.1996年高等代数(1)3.1997年数学分析(2)4.1997年高等代数(2)5.1998年数学分析(3) 6.1998年高等代数(4)7.1999年数学分析(5)8.1999年高等代数(5)9.2000年数学分析(6)10.2000年高等代数(7)11.2001年数学分析(8)12.2001年高等代数(8)13.2002年数学分析(9)14.2002年高等代数(10)15.2005年数学分析(11)16.2005年高等代数(11)17.2006年数学分析(12)18.2006年高等代数(13)19.2007年数学分析(14)20.2007年高等代数(14)21.2008年数学分析(15)22.2008年高等代数(16)23.2009年数学分析(16)24.2010年数学分析(17)25.2010年高等代数(18)第二卷北京师范大学 (19)1.1998年数学分析(19)2.1998年高等代数(19)3.1999年数学分析(20)4.1999年高等代数(20)5.2000年数学分析(21) 6.2000年高等代数(22)7.2001年数学分析(22)8.2001年高等代数(23)9.2002年数学分析(23)10.2002年高等代数(23)11.2003年数学分析(24)12.2003年高等代数(25)13.2004年数学分析(25)14.2004年高等代数(26)15.2005年数学分析(26)16.2005年高等代数(27)17.2006年数学分析与高等代数(28)18.2007年数学分析与高等代数(29)第三卷四川大学 (30)1.1997年数学分析(30)2.1998年数学分析(30)3.1999年数学分析(31)4.1999年高等代数(31)5.2000年数学分析(32) 6.2000年高等代数(32)7.2001年数学分析(33)8.2001年高等代数(34)9.2002年数学分析(34)10.2002年高等代数(35)11.2003年数学分析与高等代数(35)12.2004年数学分析与高等代数(36)13.2005年数学分析与高等代数(37)14.2006年数学分析与高等代数(38)15.2007年数学分析(39)16.2007年高等代数(39)17.2008年数学分析(41)18.2008年高等代数(42)第四卷西南大学 (44)1.2002年数学分析(44)2.2002年高等代数(45)3.2003年数学分析(45)4.2003年高等代数(46)5.2004年数学分析(47) 6.2004年高等代数(47)7.2005年数学分析(48)8.2005年高等代数(49)9.2006年数学分析(50)10.2006年高等代数(51)11.2007年数学分析(52)12.2007年高等代数(53)13.2008年数学分析(54)14.2008年高等代数(55)北京大学1996年数学分析试题1.(25分)判断下列命题的真伪：(1)对数列{a n }作和S n =n ∑k =1a k ，若{S n }是有界数列，则{a n }是有界数列；(2)数列{a n }存在极限lim n →∞a n =a 的充要条件是：对任一正整数p ，都有lim n →∞ a n +p −a n =0；(3)设f (x )是[a,+∞)上的递增连续函数，若f (x )在[a,+∞)上有界，则f (x )在[a,+∞)上一致连续；(4)设f (x )在[a,b ]上连续，且在(a,b )上可微，若存在极限lim x →a +0f ′(x )=ℓ，则右导数f ′+(a )存在且等于ℓ；(5)若f (x )是[a,+∞)上的非负连续函数，且积分∫+∞a f (x )d x 收敛，则lim x →+∞f (x )=0．2.(13分)设f (x )在x =a 处可微，f (a )=0．求极限lim n →∞(f (a +1n )f (a ))x ．3.(20分)(1)求幂级数+∞∑n =1nx n −1(|x |<1)的和；(2)求级数+∞∑n =12n 3n 的和．4.(12分)求积分I =∫∫∫D (x +y +z )d x d y d z 的值，其中D 是由平面x +y +z =1以及3个坐标平面围成的区域．5.(20分)设a n =0(n =1,2,...)且lim n →∞a n =0．若存在极限limn →∞a n +1a n =ℓ，证明|ℓ| 1．6.(10分)设在[a,b ]上，f n (x )一致收敛于f (x )，g n (x )一致收敛于g (x )．若存在正数列{M n }，使得对任意x ∈[a,b ]，n =1,2,···，有f n (x ) M n ，g n (x ) M n ．证明，f n (x )g n (x )在[a,b ]上一致收敛于f (x )g (x )．北京大学1996年高等代数与解析几何试题1.(15分)在仿射坐标系中，求过点M 0(0,0,−2)，与平面π1:3x −y +2z −1=0平行，且与直线ℓ1:x −14=y −3−2=z −1相交的直线ℓ的方程．2.(25分)作直角坐标变换，把下述二次曲面方程化成标准方程，并且指出它是什么曲面：x 2+4y 2+z 2−4xy −8xz −4yz +2x +y +2z −2516=0．3.(16分)设线性空间V 中的向量组α1,α2,α3,α4线性无关．(1)试问，向量组α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1是否线性无关？要求说明理由；·2·博士家园首发(2)求向量组α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1生成的线性子空间W 的一个基以及W 的维数．4.(16分)设V 是数域K 上的n 维线性空间，并且V =U ⊕W ．任给α∈V ，设α=α1+α2，其中α1∈U ，α2∈W ．令P (α)=α1．证明：(1)P 是V 上的线性变换，并且P 2=P ；(2)P 的核Ker P =W ，P 的象Im P =U ；(3)V 中存在一个基，使得P 在这个基下的矩阵是(I r O O O)，其中I r 表示r 阶单位矩阵；请指出r 等于什么．5.(12分)n 阶矩阵A 称为周期矩阵，如果存在正整数m ，使得A m =I ，其中I 是单位矩阵．证明，复数域C 上的周期矩阵一定可以对角化．6.(16分)用R [x ]4表示实数域R 上次数小于4的一元多项式组成的集合，它是一个Euclid 空间，其上的内积为(f,g )=∫10f (x )g (x )d x ．设W 是由零次多项式组成的子空间，求W ⊥以及它的一个基．北京大学1997年数学分析试题1.(10分)将函数f (x )=arctan 2x 1−x 2在x =0点展开为幂级数，并指出收敛区间．2.(10分)判别广义积分的敛散性：∫+∞0ln(1+x )x pd x ．3.(15分)设f (x )在(−∞,+∞)上任意阶导数f (n )(x )，且对任意有限闭区间[a,b ]，f (n )(x )在[a,b ]上一致收敛于φ(x )(n →∞)．证明，φ(x )=c e x ，c 为常数．4.(15分)设x n >0(n =1,2,···)及lim n →+∞x n =a ．用ε−N 语言证明lim n →+∞√n =√．5.(15分)计算第二型曲面积分S (x d y d z +cos y d z d x +d x d y )，其中S 为x 2+y 2+z 2=1的外侧．6.(20分)设x =f (u,v )，y =g (u,v )，ω=ω(x,y )有2阶连续偏导数，满足∂f ∂u =∂g ∂v ，∂f ∂v =−∂g ∂u ，∂2ω∂x 2+∂2ω∂y2=0．证明：(1)∂2(fg )∂u 2+∂2(fg )∂v 2=0；(2)∂2ω∂u 2+∂2ω∂v 2=0．7.(15分)计算三重积分：∫∫∫x 2+y 2+z 2 2z(x 2+y 2+z 2)5/2d x d y d z ．北京大学1997年高等代数与解析几何试题1.(12分)判断下列二次曲线的类型：(1)x 2−3xy +y 2+10x −10y +21=0；(2)x 2+4xy +4y 2−20x +10y −50=0．2.(18分)过x 轴和y 轴分别做动平面，交角α是常数，求交线轨迹的方程，并且证明它是一个锥面．3.(20分)设A,B 是数域K 上的n 阶方阵，X 是未知量x 1,···,x n 所成的n ×1矩阵．已知齐次线性方程组AX =0和BX =0分别有ℓ,m 个线性无关解向量，这里ℓ 0，m 0．(1)证明(AB )X =0至少有max(ℓ,m )个线性无关的解向量；第一卷北京大学·3·(2)如果ℓ+m >n ，证明(A +B )X =0必有非零解；(3)如果AX =0和BX =0无公共非零解向量，且ℓ+m =n ；证明K n 中任一向量α可唯一表示成α=β+γ，这里β,γ分别是AX =0和BX =0的解向量．4.(20分)设A 是实数域R 上的3维线性空间V 上的一个线性变换，对V 的一组基ε1,ε2,ε3，有A (ε1)=3ε1+6ε2+6ε3，A (ε2)=4ε1+3ε2+4ε3，A (ε3)=−5ε1−4ε2−6ε3．(1)求A 的全部特征值和特征向量；(2)设B =A 3−5A ，求B 的一个非平凡的不变子空间．5.(10分)设f (x )是有理数域Q 上的一个m 次多项式(m 0)，n 是大于m 的正整数．证明，n √2不是f (x )的实根．6.(20分)设A 是n 维Euclid 空间V 上的一个线性变换，对任意α,β∈V ，有(A (α),β)=−(α,A (β))．(1)若λ是A 的一个特征值，证明λ=0；(2)证明V 内存在一组标准正交基，使得A 2在此基下的矩阵为对角矩阵．(3)设A 在V 的某组标准正交基下的矩阵．证明，把A 看做复数域C 上的n 阶方阵，其特征值比零．北京大学1998年数学分析试题1.(26分)单项选择题：(1)设f (x )定义在区间[a,b ]上．若对任意的g ∈R ([a,b ])，有f ·g ∈R ([a,b ])，则()．A.f ∈R ([a,b ]) B.f ∈C ([a,b ])C.f 可微 D.f 可微(2)f ∈C ((a,b ))．若存在lim x →a +f (x )=1，lim b →b −f (x )=2，则()．A.f (x )在[a,b ]一致连续B.f (x )在[a,b ]连续C.f (x )在(a,b )一致连续D.f (x )在(a,b )可微(3)若广义积分∫10f (x )d x 和∫10g (x )d x 都存在，则广义积分∫10f (x )g (x )d x ()．A.收敛B.发散C.不一定收敛D.一定不收敛(4)若lim n →∞na n =1，则∞∑n =1a n()．A.发散 B.收敛C.不一定收敛D.绝对收敛(5)设f (x,y )在区域{(x,y ) x 2+y 2<1}上有定义．若存在偏导数f ′x (0,0)=0=f ′y (0,0)，则f (x,y )()．A.在点(0,0)处连续B.在点(0,0)处可微C.在点(0,0)处不一定连续D.在点(0,0)处不可微2.(24分)计算下列极限：(1)lim n →∞n √1+a n (a >0)；(2)lim x →0(1x 2−cot x x )；(3)lim x →0+∞∑n =112n n x ．3.(10分)计算下列积分：·4·博士家园首发(1)∫∫S x 3d y d z +x 2y d z d x +x 2z d x d y ，其中S 为z =0，z =b 和x 2+y 2=a 2围成的区域；(2)∫C 1yd x +1x d y ，其中C 为y =1，x =4和y =√x 所围区域的边界，逆时针旋转一周．4.(16分)解答下列问题：(1)求幂级数∞∑n =1(−1)n n !(n e )n x n 的收敛半径；(2)求级数∞∑n =02n (n +1)n !的和．5.(24分)试证明下列命题：(1)广义积分∫+∞0sin x 21+x p d x (p 0)是收敛的；(2)设f (x,y )在G ={(x,y ) x 2+y 2<1}上有定义．若f (x,0)在x =0处连续，且f ′y (x,y )在G 上有界，则f (x,y )在(0,0)处连续．北京大学1998年高等代数与解析几何试题1.(15分)设在直角坐标系中给出了两条互相异面的直线ℓ1和ℓ2的普通方程：{x +y +z −1=0x +y +2z +1=0，{3x +y +1=0y +3z +2=0．(1)过ℓ1作平面π，使得π与ℓ2平行；(2)求ℓ1和ℓ2的距离；(3)求ℓ1和ℓ2的公垂线的方程．2.(15分)在直角坐标系中，球面的方程为：(x −1)2+y 2+(z +1)2=4．求所有与向量u (1,1,1)平行的球面的切线构成的曲面的方程．3.(16分)讨论a,b 满足什么条件时，数域K 上的方程组 ax 1+3x 2+3x 3=3x 1+4x 2+x 3=12x 1+2x 2+bx 3=2有唯一解，有无穷多个解，无解？当有解时，求出该方程组的全部解．4.(12分)设V 是定义域为实数集R 的所有实值函数组成的集合，对于f,g ∈V ，α∈R ，分别用下列式子定义f +g 与αf ：对任意x ∈V ，(f +g )(x )=f (x )+g (x )，(αf )(x )=α(f (x ))．则V 成为R 上的一个线性空间．设f 0(x )=1，f 1(x )=cos x ，f 2(x )=cos 2x ，f 3(x )=cos 3x ．(1)判断f 0,f 1,f 2,f 3的线性相关性，写出理由；(2)用⟨f,g ⟩表示f,g 生成的线性子空间，判断⟨f 0,f 1⟩+⟨f 2,f 3⟩是否为直和，写出理由．5.(20分)用J 表示元素全为1的n 阶方阵，n 2．设f (x )=a +bx 是有理数域Q 上的一元多项式，令A =f (J )．(1)求J 的全部特征值、全部特征向量、所有特征子空间；(2)A 是否可以对角化？如果可以对角化，求出有理数域Q 上的一个可逆矩阵，使得P −1AP 为对角矩阵，并且写出这个对角矩阵．6.(22分)用M 2(C )表示复数域C 上所有2阶矩阵组成的集合．令V ={A ∈M 2(C ) Tr(A )=0且A ∗=A }．其中Tr(A )表示A 的迹，A ∗表示A 的转置共轭矩阵．(1)证明V 对于矩阵的加法以及实数与矩阵的数量乘法作成实数域R 上的线性空间，并且说明V 中的元素形如：(a 1a 2+i a 3a 2−i a 3−a 1)，其中a 1,a 2,a 3∈R ，i =√−1．第一卷北京大学·5·(2)设A =(a 1a 2+i a 3a 2−i a 3−a 1)，B =(b 1b 2+i b 3b 2−i b 3−b 1)，考虑V 上的一个二元函数：(A,B )=a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3．证明，这个二元函数是V 上的一个内积，从而V 成为Euclid 空间；并且求出V 的一个标准正交基，要求写出理由．(3)设T 是一个酉矩阵（即，T 满足T ∗T =I ，其中I 是单位矩阵），对任意A ∈V ，规定ΨT (A )=T AT −1，证明ΨT 是V 上的正交变换．(4)ΨT 的意义通第(3)小题，求集合：S ={T det T =1且ΨT =1V }．其中det T 表示T 的行列式，1V 表示V 上的恒等变换．北京大学1999年数学分析试题1.(15分)判断下列命题的真伪：(1)设{a n }是一个数列．若存在一个子列{a n k }中存在收敛子列{a n k i }，则{a n }比为收敛列；(2)设f ∈C ((a,b ))．若存在lim x →a +f (x )=A <0，lim x →b −f (x )=B >0，则必存在ξ∈(a,b )，使得f (ξ)=0；(3)设f (x )在[a,b ]上有界．若对任意δ>0，f (x )在[a +δ,b ]上可积，则f (x )在[a,b ]上可积；(4)设f (x ),g (x )在[0,1]上的暇积分均存在，则乘积f (x )·g (x )在[0,1]上的暇积分必存在；(5)设级数∞∑n =1b n 收敛．若有a n b n (n =1,2,···)，则级数∞∑n =1a n 收敛．2.(40分)求下列极限值：(1)lim x →0a tan x +b (1−cos x )αlog(1−x )+β(1−e −x 2)(a 2+α2=0)；(2)lim n →∞∫10(1−x 2)n d x ；(3)lim n →∞(sin πn n +1+sin 2πn n +12+···+sin πn +1n)；(4)lim n →∞n √1+a n (a >0)．3.(45分)求解下列命题：(1)求级数∞∑n =0n 3n 2n 之和；(2)证明，级数∞∑n =1(−1)n arctan n √n 收敛；(3)设f ∈C ([0,1])，且在(0,1)上可微．若有8∫17/8f (x )d x =f (0)，证明，存在ξ∈(0,1)，使得f ′(ξ)=0；(4)证明，积分∫+∞0x e −xy d y 在(0,+∞)上不已知收敛；(5)设u =f (x,y,z )，g (x 2,e y ,z )=0，y =sin x ，且已知f 与g 都有一阶连续偏导数，∂g ∂z =0．求d u d x ；(6)设f (x )在[−1,1]上二次连续可微，且有lim x →0f (x )x =0．证明，级数∞∑n =1f (1n )绝对收敛．北京大学1999年高等代数与解析几何试题1.(20分)在仿射坐标系中，已知直线ℓ1,ℓ2的方程分别是：x +132=y −53=z 1，x −105=y +74=z 1．(1)判断ℓ1与ℓ2的位置关系，要求说出理由；(2)设直线ℓ的一个方向向量⃗v (8,7,1)，并且ℓ与ℓ1和ℓ2都相交，求直线ℓ的方程．·6·博士家园首发2.(10分)在直角坐标系O −xyz 中，设顶点在原点的二次锥面S 的方程为：a 11x 2+a 22y 2+a 33z 2+2a 12xy +2z 13xz +2a 23yz =0．(1)如果三条坐标轴都是S 的母线，求a 11,a 22,a 33；(2)证明，如果S 有三条互相垂直的直母线，则a 11+a 22+a 33=0．3.(16分)设实数域R 上的矩阵A = 110−101−300．(1)求A 的特征多项式f (λ)；(2)f (λ)是否为R 上的不可约多项式；(3)求A 的最小多项式；(4)A 在R 上是否可对角化，说明理由．4.(16分)设实数域R 上的矩阵A = 10106−21−22．(1)判断A 是否为正定矩阵，说明理由；(2)设V 是实数域R 上的3维线性空间，V 上的一个双线性函数f (α,β)在V 的一个基α1,α2,α3下的度量矩阵为A ．证明，f (α,β)是V 的一个内积；并且求出V 对于这个内积所成的Euclid空间的一个标准正交基．5.(16分)设V 是数域K 上的一个n 维线性空间，α1,α2,···,αn 是V 的一个基．用V 1表示由α1+α2+···+αn 生成的线性空间，令V 2={n ∑i =1k i αi n ∑i =1k i =0，k i ∈K }．(1)证明，V 2是V 的子空间，并且V =V 1⊕V 2；(2)设V 上的一个线性变换A 在基α1,α2,···,αn 下的矩阵A 是置换矩阵（即：A 的每一行与每一列都只有一个元素是1，其余元素全为0），证明V 1与V 2都是A 的不变子空间．6.(12分)设V 和U 分别是数域K 上的n 维、m 维线性空间，A 是V 到U 的一个线性映射，即A是V 到U 的映射，且满足对任意α,β∈V ，有A (α+β)=A (α)+A (β)；对任意α∈V ，k ∈K ，有A (kα)=k A (α)．令Ker A :={α∈V A (α)=0}，称Ker A 是A 的核，它是V 的一个子空间，用Im A 表示A 的象（值域）．(1)证明：dim(Ker A )+dim(Im A )=dim V ；(2)证明：如果dim V =dim U ，则A 是单射当且仅当A 是满射．7.(10分)设V 是实数域R 上的n 维线性空间．V 上的复值函数组成集合，对于函数的加法以及复数与函数的数量乘法，形成复数域C 上的一个线性空间，记为C V ．证明，如果f 1,f 2,···,f n +1是C V 中n +1个不同的函数，并且它们满足：对任意α,β∈V ，有f i (α+β)=f i (α)+f i (β)；对任意k ∈R ，α∈V ，有f i (kα)=kf i (α)，则f 1,f 2,···,f n +1是C V 中线性相关的向量组．北京大学2000年数学分析试题1.(40分)计算题．(1)求极限lim x →0(a +x )x −a x x 2，a >0；(2)求e 2x −x 2到含x 5项的Taylor 展开式；(3)求积分∫10x b −x a ln x d x ，其中a >b >0；(4)求积分∫∫∫V(x 2+y 2+z 2)αd x d y d z ，V 是实心球x 2+y 2+z 2 R 2，α>0；(5)求积分∫∫S x 2d y d z +y 3d x d z +z 3d x d y ，S 是x 2+y 2+z 2=a 2的外表面．第一卷北京大学·7·2.(10分)叙述定义．(1)lim x →−∞f (x )=+∞；(2)当x →a −0时，f (x )不以A 为极限．3.(13分)函数f (x )在[a,b ]上一致连续，又在[b,c ]上一致连续，a <b <c ．用定义证明f (x )在[a,c ]上一致连续．4.(10分)构造一个二元函数f (x,y )，使得它在原点(0,0)两个偏导数都存在，但在原点不可微．5.(12分)函数f (x )在[a,b ]连续．证明不等式：(∫b a f (x )d x )2(b −a )∫b af 2(x )d x ．6.(15分)(1)在区间(0,2π)内展开f (x )的Fourier 级数，其中f (x )=π−x 2．(2)证明它的Fourier 级数在(0,2π)内每一点上收敛与f (x )．北京大学2000年高等代数与解析几何试题1.(20分)(1)在直角坐标系中，一个柱面的准线方程为{xy =4z =0，母线方向为(1,−1,1)，求这个柱面的方程；(2)在平面直角坐标系O −xy 中，二次曲线的方程为：x 2−3xy +y 2+10x −10y +21=0，求I 1,I 2,I 3；指出这是什么二次曲线，并且确定其形状．2.(22分)(1)设实数域R 上的矩阵A =204060402，求正交矩阵T ，使得T −1AT 为对角矩阵，并且写出这个对角矩阵；(2)在直角坐标系O −xyz 中，二次曲面S 的方程为：2x 2+6y 2+2z 2+8xz =1，作直角坐标变换，把S 的方程化成标准方程，并且指出它是什么二次曲面．3.(12分)设实数域R 上的s ×n 矩阵A 的元素只有0和1，并且A 的每一行的元素之和是常数r ，A 的每两个行向量的内积为常数m ，其中m <r ．(1)求det(AA T )；(2)证明s n ；(3)证明AA T 的特征值全为正实数．4.(8分)设V 是数域K 上的n 维线性空间，A 是V 上的线性变换，且满足A 3−7A =−6I ，其中I 表示V 上的恒等变换．判断A 是否可以对角化，说明理由．5.(12分)设V 和V ′都是数域K 上的有限维线性空间，A 是V 到V ′的一个线性映射．证明，存在直和分解V =U ⊕W ，V ′=M ⊕N ，使得Ker A =U ，并且W ∼=M ．6.(10分)设f (x )和p (x )都是首项系数为1的整系数多项式，且p (x )在有理数域Q 上不可约．如果p (x )与f (x )有公共复根α，证明：(1)在Q [x ]中，p (x )整除f (x )；(2)存在首项系数为1的整系数多项式g (x )，使得f (x )=p (x )g (x )．7.(16分)(1)设V 是实数域R 上的线性空间，f 是V 上的正定的对称双线性函数，U 是V 的有限维子空间．证明，V =U ⊕U ⊥，其中U ⊥={α∈V f (α,β)=0，对任意β∈U }．·8·博士家园首发(2)设V 是数域K 上的n 维线性空间，g 是V 上的非退化的对称双线性函数，W 是V 的子空间．令W ⊥={α∈V g (α,β)=0，对任意β∈W }．证明：x dim V =dim W +dim W ⊥；y (W ⊥)⊥=W ．北京大学2001年数学分析试题1.(10分)求极限lim n →∞a 2n1+a 2n．2.(10分)设f (x )在点a 可导，f (a )=0．求极限lim n →∞(f (a +1n )f (a ))n ．3.(10分)证明函数f (x )=√x ln x 在[1,+∞)上一致连续．4.(10分)设D 是包含原点的平面凸区域，f (x,y )在D 上可微，且x∂f ∂x +y ∂f ∂y=0．证明，f (x,y )在D 上恒为常数．5.(10分)计算第一型曲面积分∫∫Σx d S ，其中Σ是锥面z =√x 2+y 2被柱面x 2+y 2=ax (a >0)割下的部分．6.(10分)求极限lim t →0+01t4∫∫∫x 2+y 2+z 2 t 2f (√x 2+y 2+z 2)d x d y d z ，其中f 在[0,1]上连续，f (0)=0，f ′(0)=1．7.(10分)求常数λ，使得曲线积分∫L x yr λd x −x 2y 2r λd y =0(r =√x 2+y 2)对上半平面的任何光滑闭曲线L 成立．8.(10分)证明函数f (x )=∞∑n =11n x 在(1,+∞)上无穷次可微．9.(10分)求广义积分∫+∞0arctan(bx 2)−arctan(ax 2)xd x ，b >a >0．10.(10分)设f (x )是以2π为周期的周期函数，且f (x )=x ，−π x <π．求f (x )与|f (x )|的Fourier 级数．它们的Fourier 级数是否一致收敛？说明理由．北京大学2001年高等代数与解析几何试题1.(15分)在空间直角坐标系中，点A,B,C 的坐标依次为：(−2,1,4)，(−2,−3,−4)，(−1,3,3)．(1)求四面体OABC 的体积；(2)求三角形ABC 的面积．2.(15分)在空间直角坐标系中，ℓ1:x −a 1=y −2=z 3与ℓ2:x 2=y −11=z −2是一对相交直线．(1)求a ；(2)求ℓ2绕ℓ1旋转出的曲面的方程．3.(12分)设ω是复数域C 上的本原n 次单位根（即，ωn =1，而当0<ℓ<n 时，ωℓ=1），s,b 都是正整数，而且s <n ．令A = 1ωb ω2b ···ω(n −1)b 1ωb +1ω2(b +1)···ω(n −1)(b −1)...............1ωb +s −1ω2(b +s −1)···ω(n −1)(b +s −1)任取β∈C s ，判断线性方程组AX =β无解？有多少解？说明理由．4.(18分)(1)设矩阵A = 010001−23−1．x 若把A 看成有理数域Q 上的矩阵，判断A 是否可对角化，说明理由；y 若把A 看成复数域C 上的矩阵，判断A 是否可对角化，说明理由．(2)设A 是有理数域Q 上的n 阶对称矩阵，并且在Q 上A 合同于单位矩阵I ．用δ表示元素全为1的列向量，b ∈Q ．证明，在Q 上(A bδbδT b )∼=(I 00b −b 2δT A −1δ)．5.(14分)在实数域R 上的n 维列向量空间R n 中，定义内积(α,β)=αT β，从而R n 成为Euclid 空间．(1)设R 上的矩阵A = 1−35−2−21−31−1−79−4．求齐次线性方程组AX =0的解空间的一个正交基；(2)设A 是R 上的s ×n 矩阵，用W 表示齐次线性方程组AX =0的解空间，用U 表示A T 的列向量（即，A T 的列向量生成的子空间）．证明：U =W ⊥．6.设A 是数域K 上n 维线性空间V 上的一个线性变换．在K [x ]中，f (x )=f 1(x )f 2(x )，且f 1(x )与f 2(x )互素．用Ker A 表示线性变化A 的核．证明：Ker f (A )=Ker f 1(A )⊕Ker f 2(A )．7.设A 是数域K 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，I 是恒等变换．证明，A 2=A 的充分必要条件是rank(A )+rank(A −I )=n ．北京大学2002年数学分析试题1.(10分)求极限lim x →0(sin x x)11−cos x．2.(10分)设a 0，x 1=√2+a,···,x n +1=√2+x n ,n =1,2,···，证明极限lim n →∞x n 存在并求其极限值．3.(10分)设f (x )在[a,a +2α]上连续，证明存在x ∈[a,a +α]，使得f (x +α)−f (x )=f (x +2α)−f (a )2．4.(10分)设f (x )=x √1−x 2+arctan x ，求f ′(x )．5.(10分)设u (x,y )有二阶连续偏导数．证明u 满足偏微分方程∂2u ∂x 2−2∂2u ∂x ∂y +∂2u ∂y 2=0当且仅当存在二阶连续可微函数φ(t ),ψ(t )，使得u (x,y )=xφ(x +y )+yψ(x +y )．6.(10分)计算三重积分∫∫∫Ωx 2√x 2+y 2d x d y d z ，其中Ω是曲面z =√x 2+y 2与z =x 2+y 2围成的有界区域．7.(10分)计算第二型曲面积分I =∫∫Σx 2d y d z +y 2d z d x +z 2d x d y ，其中Σ是球面x 2+y 2+z 2=az (a >0)的外侧．8.(10分)判断级数∞∑n =1ln cos 1n的敛散性，并给出证明．9.(10分)证明：(1)函数项级数∞∑n=1nx e−nx在区间(0,+∞)上不一致收敛；(2)函数项级数∞∑n=1nx e−nx在区间(0,+∞)上可逐项求导．10.(10分)设f(x)连续，g(x)=∫0xyf(x−y)d y．求g′′(x)．北京大学2002年高等代数与解析几何试题1.(18分)在空间直角坐标系中，直线ℓ1和ℓ2分别有方程{x+y+z−1=0 x+y+2z+1=0，{3x+y+1=0=0x+3z+2=0．(1)求过ℓ1且平行于ℓ2的平面的方程；(2)求ℓ1和ℓ2的距离；(3)求ℓ1和ℓ2的公垂线的方程．2.(12分)在空间直角坐标系中，求直线{z=3x+2z=2y−1绕z轴旋转所得旋转曲面的方程．3.(15分)设用正交变换化下面二次型为标准型：f(x1,x2,x3)=x21+x22+x23−4x1x2−4x1x3−4x2x3．(要求写出正交变换的矩阵的相应的标准型)4.(12分)对于任意非负整数n，令f n(x)=x n+2−(x+1)2n+1，证明：(x2+x+1,f n(x))=1．5.(18分)设正整数n 2，用M n(K)表示数域K上全体n×n阶矩阵关于矩阵加法和数乘构成的K上的线性空间．在M n(K)中定义变换A如下：对任意的(a ij)n×n∈M n(K)，令A((a ij)n×n)=(a′ij)n×n．其中a′ij ={a ij,当i=j时；i·Tr((a ij)n×n)，当i=j时．(1)证明A是M n(K)上的线性变换；(2)求出Ker(A)的维数与一组基；(3)求出A的全部特征子空间．6.(12分)用R表示实数域，定义R n到R的映射f如下：f(x)=|x1|+···+|x r|−|x r+1|−···−|x r+s|,∀x=(x1,x2,···,x n)T∈R n，其中r s 0．证明：(1)存在R n的一个n−r维子空间W，使得f(x)=0，对任意x∈W；(2)若W1,W2是R n的两个n−r维子空间，且满足对任意x∈W1∪W2，均有f(x)=0，那么一定有dim(W1∩W2) n−(r+s)．7.(13分)设V是数域K上n维线性空间，V1,V2,···,V s是V的s个真子空间，证明：(1)存在α∈V，使得α/∈V1∪V1∪V2∪···∪V s；(2)存在V中的一组基ε1,ε2,···,εn，使得{ε1,ε2,···,εn}∩(V1∪V1∪V2∪···∪V s)=∅．北京大学2005年数学分析试题1.设f(x)=x2sin x−1x2−sin xsin x，试求lim supx→+∞f(x)和lim infx→+∞f(x)．2.(1)设f(x)在开区间(a,b)上可微，且f′(x)在(a,b)上有界，证明f(x)在(a,b)上一致连续；(2)设f(x)在开区间(a,b)(−∞<a<b<+∞)上可微且一致连续，试问f′(x)在(a,b)是否一定有界．(若肯定回答，请证明；若否定回答，举例说明)3.设f(x)=sin2(x2+1)，(1)求f(x)的麦克劳林展开式；(2)求f(n)(0),n=1,2,3,···．4.试作出定义在R2中的一个函数f(x,y)，使得它在原点处同时满足一下三个条件：(1)f(x,y)两个偏导数都存在；(2)任何方向极限都存在；(3)在原点不连续．5.计算∫Lx2d s，其中L是球面x2+y2+z2=1与平面x+y+z=0的交线．6.设函数列{f n(x)}满足下列条件：(1)对∀n,f n(x)在区间[a,b]上连续且有f n(x) f n+1(x),x∈[a,b]；(2){f n(x)}点点收敛于[a,b]上的连续函数s(x)；证明{f n(x)}在[a,b]上一致收敛于s(x)．北京大学2005年高等代数与解析几何试题1.在直角坐标系中，求直线ℓ:{2x+y−z=0x+y+2z=0到平面π:3x+By+z=0的正交投影轨迹的方程，其中B是常数．2.在直角坐标系中对于参数λ的不同取值，判断平面二次曲线x2+y2+2λxy+λ=0的形状：(1)对于中心型曲线，写出对称中心的坐标；(2)对于线心型曲线，写出对称直线的方程．3.设数域K上的n级矩阵A的(i,j)元为a i−b j．(1)求det(A)；(2)当n 2时，a1=a2，b1 b2．求齐次线性方程组AX=0的解空间的维数和一个基．4.(1)设数域K上的n级矩阵，对任意正整数m，求C m；(2)用M n(K)表示数域K上所有n级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法成为K上的线性空间．数域K上n级矩阵A=a1a2a3···a na n a1a2···a n−1...............a2a3a4···a1称为循环矩阵．用U表示上所有n级循环矩阵组成的集合．证明U是M n(K)的一个子空间，并求U的一个基和维数．5.(1)设实数域R上n级矩阵的(i,j)元为1i+j−1(n>1)．在实数域上n维线性空间R n中，对于α,β∈R n，令f(α,β)=α′Hβ．试问f是不是R n上的一个内积，写出理由．(2)设A 是n 级正定矩阵(n >1)，α∈R n ，且α是非零列向量．令B =Aαα′，求B 的最大特征值以及B 的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基．6.设A 是数域R 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，用E 表示V 上的恒等变换，证明：A 3=E ⇐⇒rank(E −A )+rank(E +A +A 2)=n ．北京大学2006年数学分析试题1.确界原理是关于实数域完备性的一种描述．试给出一个描述实数域完备性的其它定理并证明其与确界原理等价．2.设f (x,y )=x 3+3xy −y 2−6x +2y +1，求f (x,y )在(−2,2)处的二阶带Peano 余项的Taylor展式．问f (x,y )在R 2上有哪些关于极值的判别点，这些判断点是否为极值点？3.设F (x,y )=y 3x 2+|x |y +y −5．(1)证明方程F (x,y )=0在(−∞,+∞)上确定惟一的隐函数y =f (x )；(2)求f (x )的极值点．4.计算第二型曲面积分I =∫∫Σx 3d y d z +y 3d z d x +z 3d x d y ，其中曲面Σ为椭球面x 2a 2+y 2b 2+z 2c 2=1，方向取外侧．5.证明，广义积分∫+∞0sin x xd x 收敛，并计算此积分．6.设f (x,y )定义在D =(a,b )×[c,d ]上，x 固定时对y 连续．设x 0∈(a,b )取定，对于任意y ∈[c,d ]，极限lim x →x 0f (x,y )=g (y )收敛．证明，重极限lim x →x 0y →y 0f (x,y )=g (y 0)对任意y 0∈[c,d ]成立的充分必要条件是，极限lim x →x 0f (x,y )=g (y )在[c,d ]上一致收敛．7.设f (x )是定义在[a,b ]上的有界函数，给出并证明f (x )在[a,b ]上的Riemann 和的极限lim λ(∆)→0n ∑i =1f (ξi )(x i −x i −1)收敛的Cauchy 准则．8.设{f n (x )}是(−∞,+∞)上的一致连续函数列，并且一致有界（即，存在常数M ，使得对于任意f n (x )和x ∈(−∞,+∞)恒有 f n (x ) M ）．假定对(−∞,+∞)中的任意区间[a,b ]都有lim n →∞∫ba f n (x )d x =0．证明，对于任意区间[c,d ]⊆(−∞,+∞)以及[c,d ]上绝对可积函数h (x )，恒有lim n →∞∫ba f n (x )h (x )d x =0．9.设存在一区间[a,b ]，使得以下两个Fourier 级数：a 02+∞∑n =1a n cos nx +b n sin nx ，α02+∞∑n =1αn cos nx +βn sin nx ．都在[a,b ]上收敛，并且其和函数[a,b ]上连续且相等．试问，对于任意自然数，a n =αn ，b n =βn 是否成立？如成立，请证明．如不成立，补充什么条件后能保证成立？说明理由．10.设f (x )在[0,+∞)上内闭Riemann 可积．证明，广义积分∫+∞0f (x )d x 绝对可积的充分必要条件是：对于任意满足x 0=0，x n →+∞的单调递增序列{x n }，级数∞∑n =0∫x n +1x nf (x )d x 绝对收敛．北京大学2006年高等代数与解析几何试题1.回答下列问题：(1)设A,B 分别是数域K 上的s ×n 和s ×m 矩阵，叙述矩阵方程AX =B 有解的充要条件，并且给予证明；(2)设A 是数域K 上s ×n 阶列满秩矩阵．试问，方程XA =E n 是否有解？有解，写出它的解集；无解，说明理由；(3)设A 是数域K 上s ×n 阶列满秩矩阵．试问，对于K 上任意s ×m 矩阵B ，矩阵方程AX =B是否一定有界？当有解时，它有多少要解？求出它的解集．说明理由．2.(1)证明，rank(A −ABA )=rank(A )+rank(E n −BA )−n ，其中A 与B 分别是数域K 上的s ×n 与n ×s 矩阵；(2)证明，实数域R 上的n 阶方阵A 与矩阵B 的相似关系不随数域扩大而改变．3.(1)设A 是数域K 上的n 阶方阵．证明，如果A 的各阶顺序主子式都不为0，那么A 可以惟一地分解成A =BC ，其中B 是主对角元都为1的下三角矩阵，C 是上三角矩阵；(2)设A 是数域K 上的n 阶可逆矩阵．试问：A 是否可以分解成A =BC ，其中B 是主对角元都为1的下三角矩阵，C 是上三角矩阵？说明理由．4.(1)设A 是实数域R 上的n 阶对称矩阵，它的特征多项式f (λ)的所有不同复根为实数：λ1,λ2,···,λs ．把A 的最小多项式分解成为R 上不可约多项式的乘积；(2)设A 是实数域R 上的n 阶对称矩阵，A 是R n 上的一个线性变换，满足对任意α∈R n ，有A (α)=Aα．利用(1)中m (λ)的分解，把R n 分解成线性变换A 的不变子空间的直和．5.设X ={1,2,···,n }，用C X 表示定义域为X 的所有复值函数组成的集合，它对于函数的加法和数量乘法称为复数域C 上的一个线性空间．对于任意f (x ),g (x )∈C X ，规定⟨f (x ),g (x )⟩=n ∑j =1f (j )g (j )．这个二元函数是复线性空间C X 上的一个内积，从而C X 成为一个酉空间．设p 1(x ),p 2(x ),···,p n (x )∈C X ，且对任意j ∈X ，满足p k (j )=1√n ωkj ，其中ω=e 2πn i ．(1)求复线性空间C X 的维数；(2)证明p 1(x ),p 2(x ),···,p n (x )是酉空间C X 上的一个标准正交基；(3)对任意f (x )∈C X ，令A (f (x ))=ˆf(x )，其中ˆf (x )在x =k 处的函数值ˆf (k )是f (x )在标准正交基p 1(x ),p 2(x ),···,p n (x )下的坐标的第k 个分量．证明，A 是酉空间C X 上的一个线性变换，并且求出A 在标准正交基p 1(x ),p 2(x ),···,p n (x )下的矩阵；(4)证明第(3)题中的A 是酉空间C X 上的一个酉变换．6.设V 是数域F 上的n 维线性空间，A 1,A 2,···,A s 均为V 上的线性变换，令A =A 1+A 2+···+A s ．证明，A 为幂等变换且rank(A )=rank(A 1)+rank(A 2)+···+rank(A s )的充分必要条件是各A i 均为幂等变换，且A i A j =0，i =j ．7.求一个过x 轴的平面π，使得其与单叶双曲面x 24+y 2−z 2=1的交线为一个圆．8.证明四面体的每个顶点到对面重心的连线都相交于一点，而且该点分线段比为3:1．9.一条直线与坐标平面Y OZ 面，XOZ 面，XOY 面的交点分别是A,B,C ．当直线变动时，直线上的三个定点A,B,C 也分别在坐标平面上变动．此外，直线上有第四点P ，点P 到三点的距离分别是a,b,c ．求该直线按照保持点A,B,C 分别在坐标平面上的规则移动时，点P 的轨迹．10.在一个仿射坐标系中，已知直线ℓ1的方程为{x −y +z +7=02x +y −6=0，直线ℓ2过点M (−1,1,2)，并且平行于向量⃗u (1,2,3)．判别这两条直线的位置关系，并说明理由．北京大学2007年数学分析试题1.用有限覆盖定理证明连续函数的介值性定理．2.f (x )和g (x )在有界区间上一致连续，证明在此区间上f (x )g (x )也一致连续．3.已知f (x )在[a,b ]上有4阶导数，且有f (4)(β)=0,f ′′(β)=0,β∈(a,b )；证明：存在x 1,x 2∈(a,b )，使成立f (x 1)−f (x 2)=f ′(β)(x 1−x 2)．4.构造一函数在R 上无穷次可微，且f (2n +1)(0)=n,f (2n )(0)=0，并说明满足条件的函数有任意多个．5.设D =[0,1]×[0,1]，f (x,y )是D 上的连续函数；证明∫∫D f (x,y )d x d y =f (ξ,η)，并且这样的ξ,η有无穷多个．6.求∫∫S sin 4x d y d z +e −|y |d z d x +z 2d x d y ，其中S 是x 2+y 2+z 2=1,z >0，方向向上．7.f (x )是R 2上连续函数，试作一无界区域D ，使f (x )在D 上广义积分收敛．8.已知f (x )=ln (1+sin x xp )，讨论不同p 对f (x )在(1,+∞)积分的敛散性．9.已知F (x,y )=+∞∑n =1ny e −n (x −y )，是否存在a 以及函数h (x )在(1−a,1+a )可导，且h (1)=0，使F (x,h (x ))=0．10.设f (x )和g (x )在[a,b ]上Riemann 可积，证明f (x )和g (x )的Fourier 展开式有相同系数的充要条件是∫b af (x )−g (x ) d x =0．北京大学2007年高等代数与解析几何试题1.回答下列问题：(1)是否存在n 阶方阵A,B ，满足AB −BA =E (单位矩阵)？又，是否存在n 维线性空间上的线性变换A ,B ，满足A B −BA =E (恒等变换)？若是，给出证明；若否，举出例子．(2)n 阶行列式A 各行元素之和为常数c ，则A 3的各行元素之和是否为常数？若是，是多少？说明理由．(3)m ×n 矩阵秩为r ．取r 个线性无关的行向量，再取r 个线性无关的列向量，组成的r 阶子式是否一定为0？若是，给出证明；若否，举出反例．(4)A,B 都是m ×n 矩阵．线性方程组AX =0与BX =0同解，则A 与B 的列向量是否等价？行向量是否等价？若是，给出证明；否，举出反例．(5)把实数域R 看成有理数域Q 上的线性空间，b =p 3q 2r ，这里的p,q,r 是互不相同的素数．判断向量组1,n √b,n √b 2,···,n √b n −1是否线性相关？说明理由．2.矩阵A,B 可交换．证明rank(A +B ) rank(A )+rank(B )−rank(AB )．3.f 为双线性函数，且对任意的α,β,γ都有f (α,β)f (γ,α)=f (β,α)f (α,γ)．试证明f 为对称的或反对称的．4.V 是Euclid 空间，U 是V 的子空间，α∈V ．试证明β是α在U 上的正交投影的充要条件是：对任意γ∈U ，都有|α−β| |α−γ|．5.复矩阵A 满足：对任意k ，有Tr(A k )=0．试求A 的特征值．6.n 维线性空间V 上的线性变换A 的最小多项式与特征多项式相同．试证明存在α∈V ，使得{α,A α,···,A n −1α}为V 的一个基．7.P 是球内一定点，A,B,C 是球面上三动点，∠AP B =∠BP C =∠CP A =π/2．以P A,P B,P C为棱作平行六面体，记与P 相对的顶点为Q ，求Q 点的轨迹．8.直线ℓ的方程为{A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0．问系数要满足什么条件，才能使得直线满足下列条件：(1)过原点；(2)平行于x 轴，但不与x 轴重合；(3)与y 轴相交；(4)与z 轴重合．9.证明双曲抛物面x 2a 2−y 2b2=2z 的相互垂直的直母线的交点在双曲线上．10.求椭球面x 225+y 216+z 29=2z 被点(2,−1,1)平分的弦．北京大学2008年数学分析试题1.证明有界闭区间上的连续函数一致有界．2.是否存在(−∞,+∞)上的连续函数f (x )，满足f (f (x ))=e −x ？证明你的结论．3.数列{x n }(n >1)，满足对任意n <m ，有|x n −x m |>1n ，求证x n 无界．4.f (x )是(−1,+1)上的无穷次可微函数，f (0)=1，f ′(0) 2，令g (x )=f ′(x )f (x )．若 g (n )(0) 2n ! ，证明对所有的正整数n ，均成立|f n (0)| (n −1)!．5.计算第二类曲面积分∫∫Σ(y −z )d y d z +(z −x )d z d x +(x −y )d x d y ，其中曲面Σ是球面x 2+y 2+z 2=2Rx 被圆柱面x 2+y 2=2rx (z >0,0<r <R )所截部分，定向取外侧．6.已知函数F (x,y )=2−sin x +y 3e −y 定义在全平面上，证明F (x,y )=0唯一确定了全平面上连续可微的隐函数y =y (x )．7.设函数f (x )是[0,+∞)上内闭Riemann 可积，且广义积分∫+∞0f (x )d x 收敛，证明lim a →0+∫+∞0e −ax f (x )d x =∫+∞0f (x )d x ．8.已知函数f (x )是(−∞,+∞)上2阶连续可微函数，满足lim |x |→+∞(f (x )−|x |)=0，且存在一点x 0，使得f (x 0) 0．证明f ′′(x )在(−∞,+∞)上变号．9.设函数f (x )在区间[0,1]上有一阶连续导数且f (0)=f (1)，g (x )是周期为1的连续函数，并且满足∫10g (x )d x =0．记a n =∫10f (x )g (nx )d x ，证明lim n →∞na n =0．10.若函数f (x )在区间[0,1]上Riemann 可积，并且对[0,1]中任意有限个两不相交的闭区间序列[a i ,b i ]都有 ∑i ∫b i a i f (x )d x 1．证明∫10|f (x )|d x 2．。

北京师范大学2001研究生入学考试试题专业：政治经济学、经济思想史、世界经济、金融学、企业管理、教育经济与管理考试科目：经济学科目代码：406一、名词解释（共10题，每题4分，共40分）1.恩格尔定律2.帕累托最优3.规模报酬4.机会成本5.自动稳定器6.市场失灵7.储蓄-投资恒等式8.IS-LM模型9.挤出效应10．新凯恩斯主义二、简述题（共4题，每题8分，共32分）1．已知某种商品的需求弹性E d=2，原先的价格为500元，月销售量为100，后降价10%，降价后厂商的收益是多少？2．完全竞争的市场结构有什么优点？3．什么是价格机制？价格机制在经济发展中有什么作用？4．政府参与经济所制定的宏观经济政策目标主要有哪些？每一目标的主要内容是什么？三、论述题（共计28分）根据你所学过的市场理论和有关宏观经济学理论，（1）分析我国国有企业改革的理论依据及其政策效应；（14分）（2）从货币政策和财政政策的角度分析我国开发西部对国民经济增长的意义。

（14分）答案部分北京师范大学2001研究生入学考试试题专业：政治经济学、经济思想史、世界经济、金融学、企业管理、教育经济与管理考试科目：经济学科目代码：406一、名词解释（共10题，每题4分，共40分）1．恩格尔定律：指需求的收入弹性表示在一定时期内消费者对某种商品的需求量的变动对于消费者收入量变动的反应程度。

它是商品的需求量的变动率和消费者的收入量的变动率的比值，是19世纪德国统计学家恩格尔根据统计资料对消费结构的变化得出一个规律。

在需求的收入弹性的基础上，如果具体地研究消费者用于购买食物的支出量对于消费者收入量变动的反应速度，就可以得到食物支出的收入弹性。

西方经济学中的恩格尔定律指出，在一个家庭或在一个国家中，食物支出在收入中所占的比例随着收入的增加而减少。

用弹性来定义恩格尔定律是，对于一个家庭或一个国家来说，富裕程度越高，则食物支出的收入弹性就越小；反之，则越大。

yOx2001考研数学一真题及答案一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.把答案填在题中横线上.)(1)设12(sin cos )x y e C x C x =+(12,C C 为任意常数〕为某二阶常系数线性齐次微分方程の通解,那么该方程为_____________.(2)设222z y x r ++=,那么div(grad r))2,2,1(-=_____________.(3)交换二次积分の积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)设矩阵A 满足240A A E +-=,其中E 为单位矩阵,那么1()A E --=_____________.(5)设随机变量X の方差是2,那么根据切比雪夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P_____________.二、选择题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.)(1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =の图形如右图所示,那么)(x f y '=の图形为(2)设),(y x f 在点(0,0)附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f ,那么(A) (0,0)|3z d dx dy =+.(B) 曲面),(y x f z =在(0,0,(0,0))f 处の法向量为{3,1,1}.(C) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处の切向量为{1,0,3}.(D) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处の切向量为{3,0,1}.(3)设0)0(=f ,那么)(x f 在x =0处可导の充要条件为(A) 201lim (1cosh)h f h →-存在.(B) 01lim(1)h h f e h →-存在. (C) 201lim (sinh)h f h h→-存在.(D) 01lim [(2)()]h f h f h h→-存在.(4)设111140011110000,,1111000011110000A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦那么A 与B (A) 合同且相似. (B) 合同但不相似.(C) 不合同但相似. (D) 不合同且不相似.(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上の次数, 那么X 和Y の相关系数等于(A)-1.(B) 0.(C)12. (D) 1.三、(此题总分值6分)求dx ee xx⎰2arctan .四、(此题总分值6分) 设函数),(y x f z =在点(1,1)处可微,且(1,1)1f =,(1,1)|2f x ∂=∂,(1,1)|3fy∂=∂,()(,x f x ϕ= (,))f x x .求13)(=x x dxd ϕ.五、(此题总分值8分)设)(x f =210,arctan ,0,1,x x x x x +⎧≠⎨=⎩将)(x f 展开成x の幂级数,并求级数∑∞=--1241)1(n nnの和.六、(此题总分值7分) 计算dz y x dy x z dx z y I L)3()2()(222222-+-+-=⎰,其中L 是平面2=++z y x 与柱面1=+y x の交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(此题总分值7分)设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f ,试证:(1)对于(1,1)-内の任一0x ≠,存在惟一の)1,0()(∈x θ,使)(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立;(2)01lim ()2x x θ→=.八、(此题总分值8分)设有一高度为()h t (t 为时间)の雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),体积减少の速率与侧面积成正比(比例系数为0.9),问高度为130(厘米)の雪堆全部融化需多少小时?九、(此题总分值6分)设s ααα,,,21 为线性方程组0Ax =の一个根底解系,11122t t βαα=+,21223,t t βαα=+,121s s t t βαα=+,其中21,t t 为实常数.试问21,t t 满足什么条件时,s βββ,,,21 也为0Ax =の一个根底解系.十、(此题总分值8分)3阶矩阵A 与三维向量x ,使得向量组2,,x Ax A x 线性无关,且满足x A Ax x A 2323-=.(1)记P =〔x A Ax x 2,,〕,求3阶矩阵B ,使1-=PBPA ;(2)计算行列式E A +.十一、(此题总分值7分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(0λ>)の泊松分布,每位乘客在中途下车の概率为p (01p <<),且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车の人数,求:(1)在发车时有n 个乘客の条件下,中途有m 人下车の概率;(2)二维随机变量(,)X Y の概率分布.十二、(此题总分值7分)设总体X 服从正态分布2(,)N μσ(0σ>),从该总体中抽取简单随机样本12,X X ,,2n X (2n ≥),其样本均值为∑==ni i X n X 2121,求统计量∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2(の数学期望()E Y .参考答案一、填空题(1)【分析】 由通解の形式可知特征方程の两个根是12,1r r i =±,从而得知特征方程为22121212()()()220r r r r r r r r rr r r --=-++=-+=.由此,所求微分方程为'''220y y y -+=.(2)【分析】 先求grad r.grad r=,,,,r r r x y z x y z r r r ∂∂∂⎧⎫⎧⎫=⎨⎬⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎩⎭. 再求 div grad r=()()()x y z x r y r z r∂∂∂++∂∂∂=222222333311132()()()x y z x y z r r r r r r r r r++-+-+-=-=. 于是div grad r|(1,2,2)-=(1,2,2)22|3r -=.(3)【分析】 这个二次积分不是二重积分の累次积分,因为10y -≤≤时12y -≤.由此看出二次积分0211(,)ydy f x y dx --⎰⎰是二重积分の一个累次积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为0211(,)(,)yDdy f x y dx f x y dxdy --=⎰⎰⎰⎰.由累次积分の内外层积分限可确定积分区域D :10,12y y x -≤≤-≤≤.见图.现可交换积分次序原式=0222111111(,)(,)(,)xyxdy f x y dx dx f x y dy dx f x y dy -----=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(4)【分析】 矩阵A の元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆の路均堵塞.应当考虑用定义法.因为2()(2)240A E A E E A A E -+-=+-=,故()(2)2A E A E E -+=,即2()2A EA E E +-⋅=. 按定义知11()(2)2A E A E --=+.(5)【分析】 根据切比雪夫不等式2(){()}D x P X E X εε-≥≤,于是2()1{()2}22D x P XE X -≥≤=.二、选择题(1)【分析】 当0x <时,()f x 单调增'()0f x ⇒≥,(A),(C)不对;当0x >时,()f x :增——减——增'()f x ⇒:正——负——正,(B)不对,(D)对. 应选(D).(2)【分析】 我们逐一分析.关于(A),涉及可微与可偏导の关系.由(,)f x y 在(0,0)存在两个偏导数⇒(,)f x y 在(0,0)处可微.因此(A)不一定成立.关于(B )只能假设(,)f x y 在(0,0)存在偏导数(0,0)(0,0),f f x y∂∂∂∂,不保证曲面(,)z f x y =在(0,0,(0,0))f 存在切平面.假设存在时,法向量n=(0,0)(0,0)1f f x y ⎫∂∂⎧±-=±⎨⎬∂∂⎩⎭，，{3,1,-1}与{3,1,1}不共线,因而(B)不成立.关于(C),该曲线の参数方程为,0,(,0),x t y z f t =⎧⎪=⎨⎪=⎩它在点(0,0,(0,0))f 处の切向量为'0{',0,(,0)}|{1,0,(0,0)}{1,0,3}t x dt f t f dt===. 因此,(C)成立.(3)【分析】 当(0)0f =时,'()(0)limx f x f x →=∃00()()lim lim x x f x f x x x→+→-⇔=∃.关于(A):220001(1cos )1cos 1()lim(1cos )lim 1cos lim 1cos 2h h t f h h f t f h t h h h h t→→→+---=⋅=--,由此可知201lim (1cos )h f h h →-∃ ⇔ '(0)f + ∃. 假设()f x 在0x =可导⇒(A)成立,反之假设(A)成立⇒'(0)f + ∃⇒'(0)f ∃.如()||f x x =满足(A),但'(0)f 不∃.关于(D):假设()f x 在0x =可导,⇒''001(2)()lim [(2)()]lim[2]2(0)(0)2h h f h f h f h f h f f h h h→→-=-=-. ⇒(D)成立.反之(D)成立0lim((2)())0h f h f h →⇒-=⇒()f x 在0x =连续,⇒()f x 在0x =可导.如21,0()0,0x x f x x +≠⎧=⎨=⎩　满足(D),但()f x 在0x =处不连续,因而'(0)f 也不∃. 再看(C):2220001sin (sin )sin ()lim(sin )lim lim sin h h h h h f h h h h f t f h h h h h h h t→→→----=⋅=⋅-(当它们都∃时).注意,易求得20sin lim0h h hh→-=.因而,假设'(0)f ∃⇒(C)成立.反之假设(C)成立⇒0()lim t f t t→(即'(0)f ∃).因为只要()f t t有界,任有(C)成立,如()||f x x =满足(C),但'(0)f 不∃.因此,只能选(B).(4)【分析】 由 43||40E A λλλ-=-=,知矩阵A の特征值是4,0,0,0.又因A 是实对称矩阵,A 必能相似对角化,所以A 与对角矩阵B 相似.作为实对称矩阵,当AB 时,知A 与B 有一样の特征值,从而二次型T x Ax 与T x Bx 有一样の正负惯性指数,因此A 与B 合同.所以此题应中选(A).注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与1003B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 它们の特征值不同,故A 与B 不相似,但它们の正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A 与B 合同.(5)【分析】 解此题の关键是明确X 和Y の关系:X Y n +=,即Y n X =-,在此根底上利用性质:相关系数XY ρの绝对值等于1の充要条件是随机变量X 与Y 之间存在线性关系,即Y aX b =+(其中,a b 是常数),且当0a >时,1XY ρ=;当0a <时,1XY ρ=-,由此便知1XY ρ=-,应选(A). 事实上,(,)(,)Cov X Y Cov X n X DX =-=-,()DY D n X DX =-=,由此由相关系数の定义式有1XY ρ===-.三、【解】 原式=222211arctan ()[arctan ]22(1)x x x x xx x de e d e e e e e ---=--+⎰⎰=2221(arctan )21x x x xx xde de e e e e ---++⎰⎰=21(arctan arctan )2xx x x e e e e C ---+++.四、【解】 先求(1)(1,(1,1))(1,1)1f f f ϕ===. 求32''1()|3(1)(1)3(1)x d x dxϕϕϕϕ===,归结为求'(1)ϕ.由复合函数求导法 '''12()(,(,))(,(,))(,)dx f x f x x f x f x x f x x dxϕ=+,'''''1212(1)(1,1)(1,1)[(1,1)(1,1)]f f f f ϕ=++.注意'1(1,1)(1,1)2f f x ∂==∂,'2(1,1)(1,1)3f f y∂==∂. 因此'(1)23(23)17ϕ=++=,31()|31751x d x dxϕ==⨯=. 五、【分析与求解】 关键是将arctan x 展成幂级数,然后约去因子x ,再乘上21x +并化简即可.直接将arctan x 展开办不到,但'(arctan )x 易展开,即'221(arctan )(1),||11n n n x x x x ∞===-<+∑,①积分得'2210000(1)arctan (arctan )(1)21n xx nnn n n x t dt t dt xn ∞∞+==-==-=+∑∑⎰⎰,[1,1]x ∈-. ②因为右端积分在1x =±时均收敛,又arctan x 在1x =±连续,所以展开式在收敛区间端点1x =±成立. 现将②式两边同乘以21x x+得2222220001(1)(1)(1)arctan (1)212121n n n n n n n n n x x x x x x x n n n +∞∞∞===+---=+=++++∑∑∑=12200(1)(1)2121n n n nn n x x n n -∞∞==--++-∑∑=21111(1)()2121n n n x n n ∞=+--+-∑221(1)2114n nn x n∞=-=+-∑ ,[1,1]x ∈-,0x ≠上式右端当0x =时取值为1,于是221(1)2()1,[1,1]14n nn f x x x n ∞=-=+∈--∑. 上式中令1x =21(1)111[(1)1](21)1422442n n f nππ∞=-⇒=-=⨯-=--∑.六、【解】 用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z ++=上L 所为围局部.由L の定向,按右手法那么S 取上侧,S の单位法向量(cos ,cos ,cos )3n αβγ==. 于是由斯托克斯公式得222222cos cos cos 23SI dS x y z y z z x x y αβγ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰=[(24(26(22333Sy z z x x y dS --+----⎰⎰=(423)(2)(6)33S Sx y z dS x y z x y dS ++++=-+-利用. 于是'2'211113x y Z Z ++=++=按第一类曲面积分化为二重积分得(6)32(6)3D DI x y dxdy x y dxdy =+-=-+-⎰⎰⎰⎰, 其中D 围S 在xy 平面上の投影区域||||1x y +≤(图〕.由D 关于,x y 轴の对称性及被积函数の奇偶性得()0Dx y dxdy -=⎰⎰⇒21212(2)24DI dxdy =-=-=-⎰⎰.七、【证明】(1)由拉格朗日中值定理,(1,1)x ∀∈-,0,(0,1)x θ≠∃∈,使'()(0)()f x f xf x θ=+(θ与x 有关);又由''()f x 连续而''()0f x ≠,''()f x 在(1,1)-不变号,'()f x 在(1,1)-严格单调,θ唯一.(2)对'()f x θ使用''(0)f の定义.由题(1)中の式子先解出'()f x θ,那么有'()(0)()f x f f x xθ-=.再改写成'''()(0)(0)()(0)f x f xf f x f xθ---=.'''2()(0)()(0)(0)f x f f x f xf x xθθθ---⋅=, 解出θ,令0x →取极限得'''''2''0001(0)()(0)(0)()(0)12lim lim /lim (0)2x x x f f x f xf f x f x x f θθθ→→→---===.八、【解】 (1)设t 时刻雪堆の体积为()V t ,侧面积为()S t .t 时刻雪堆形状如下图先求()S t 与()V t .侧面方程是222222()()()((,):)()2xy x y h t z h t x y D x y h t +=-∈+≤.⇒44,()()z x z yx h t y h t ∂∂=-=-∂∂. ⇒()xyxyD D S t dxdy ==⎰⎰.作极坐标变换:cos ,sin x r y r θθ==,那么:02,0()xy D r t θπ≤≤≤≤. ⇒2(003()22221()()2113[()16]().()4812t t S t d h t h t r h t h t πθππ==⋅+=⎰用先二后一の积分顺序求三重积分 ()()()h t D x V t dz dxdy =⎰⎰⎰,其中222()():()()()x y D z h t z t h t +≤-,即2221[()()]2x y h t h t z +≤-.⇒()233301()[()()][()()]()2224h t V t h t h t z dz h t h t h t πππ=-=-=⎰. (2)按题意列出微分方程与初始条件. 体积减少の速度是dVdt-,它与侧面积成正比(比例系数0.9),即0.9dVS dt=- 将()V t 与()S t の表达式代入得 22133()0.9()412dh h t h t dt ππ=-,即 1310dh dt =-.①(0)130h =.②(3)解①得13()10h t t C =-+. 由②得130C =,即13()13010h t t =-+.令()0h t =,得100t =.因此,高度为130厘米の雪堆全部融化所需时间为100小时.九、【解】 由于(1,2)i i s β=是12,,s ααα线性组合,又12,,s ααα是0Ax =の解,所以根据齐次线性方程组解の性质知(1,2)i i s β=均为0Ax =の解.从12,,s ααα是0Ax =の根底解系,知()s n r A =-.下面来分析12,,s βββ线性无关の条件.设11220s s k k k βββ++=,即11212112222133211()()()()0s s s s t k t k t k t k t k t k t k t k αααα-++++++++=. 由于12,,s ααα线性无关,因此有112211222132110,0,0,0.s s s t k t k t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩(*)因为系数行列式12211211221000000000(1)000s s st t t t t t t t t t +=+-,所以当112(1)0s s st t ++-≠时,方程组(*)只有零解120s k k k ====.从而12,,s βββ线性无关.十、【解】 (1)由于AP PB = ,即22322(,,)(,,)(,,32)A x Ax A x Ax A x A x Ax A x Ax A x ==-2000(,,)103012x Ax A x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,所以000103012B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.(2)由(1)知AB ,那么A E B E ++,从而100||||1134011A EB E +=+==--.十一、【解】(1){|}(1),0,0,1,2,m mn m n P Y m X n C p p m n n -===-≤≤=.(2){,}P X n Y m ==={}{|}P X n P Y m X n ====(1),0,0,1,2,.!nm mn m n e C p p m n n n λλ--⋅-≤≤=十二、【解】 易见随机变量11()n X X ++,22()n X X ++,2,()n n X X +相互独立都服从正态分布2(2,2)N μσ.因此可以将它们看作是取自总体2(2,2)N μσの一个容量为n の简单随机样本.其样本均值为21111()2n ni n i i i i X X X X n n +==+==∑∑, 样本方差为2111(2)11n i n i i X X X Y n n +=+-=--∑. 因样本方差是总体方差の无偏估计,故21()21E Y n σ=-,即2()2(1)E Y n σ=-.。

y O x 2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设12(sin cos )xy e C x C x =+(12,C C 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________. (2)设222z y x r ++=,则div (grad r ))2,2,1(-=_____________. (3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)设矩阵A 满足240A A E +-=,其中E 为单位矩阵,则1()A E --=_____________. (5)设随机变量X 的方差是2,则根据切比雪夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示, 则)(x f y '=的图形为(2)设),(y x f 在点(0,0)附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f ,则(A ) (0,0)|3z d dx dy =+.(B ) 曲面),(y x f z =在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}.(C ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}.(D ) 曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z 在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}.(3)设0)0(=f ,则)(x f 在x =0处可导的充要条件为(A ) 201lim (1cosh)h f h →-存在. (B ) 01lim (1)h h f e h →-存在.(C ) 201lim (sinh)h f h h →-存在. (D ) 01lim [(2)()]h f h f h h →-存在.(4)设1111400011110000,,1111000011110000A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则A 与B (A ) 合同且相似.(B ) 合同但不相似. (C ) 不合同但相似.(D ) 不合同且不相似.(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 的相关系数等于(A )-1. (B ) 0. (C ) 12. (D ) 1.三、(本题满分6分)求dx ee x x⎰2arctan .四、(本题满分6分)设函数),(y x f z =在点(1,1)处可微,且(1,1)1f =,(1,1)|2f x∂=∂,(1,1)|3f y ∂=∂,()(,x f x ϕ= (,))f x x .求13)(=x x dx d ϕ.。

2013年北京师范大学601专业基础（数学分析85分，高等代数65分）考研真题(回忆版)2013年北京师范大学数学科学学院硕士生入学考试真题（回忆版）601专业基础（数学分析85分，高等代数65分）1．叙述并证明克拉默法则．2．证明时，,其中．3．阶矩阵，证明可以分解为的形式，其中为可逆矩阵，有成立．4．为欧式空间的子空间，证明：5．求二元函数的极值点．6．求三元函数的积分．7．求的泰勒级数，并且求出（貌似是这个级数）．8．已知是上的函数（忘了是否连续了），的导函数在上黎曼可积，是的一个分割　求证：．9．在上连续，且，求证：(1)在上一致连续；(2)为上一固定数，,证明等度连续；(3)一致收敛．2012年北京师范大学601专业基础（数学分析85分，高等代数65分）考研真题(回忆版)2012年北京师范大学数学科学学院硕士生入学考试真题（回忆版）601专业基础（数学分析85分，高等代数65分）数学分析部分1．曲线是由和围成的封闭曲线（1）求曲线的外法向量（2）已知（不记得了），求，其中，为弧长微元，为外法向量2．求3．求，其中，由围成4．已知单调不减，连续，，连续，利用这些条件证明一个不等式5．判断（大概是这样的）的定义域，连续性，可微性高等代数部分1．给出了一个含参数a的线性方程组（1）当方程组有非零解时，求参数a的值（2）求线性方程组的秩2．计算行列式3．存在非零向量，使得，证明：（1）线性无关（2）秩=秩4．给出了一个阶实数矩阵（1）求矩阵的特征值和特征向量（2）求正交矩阵和对角矩阵，使得2007年北京师范大学数学分析与高等代数考研真题2006年北京师范大学数学分析与高等代数考研真题2005年北京师范大学数学分析考研真题2004年北京师范大学数学分析考研真题2003年北京师范大学数学分析考研真题2002年北京师范大学数学分析考研真题2001年北京师范大学数学分析考研真题2000年北京师范大学数学分析考研真题1999年北京师范大学数学分析考研真题1998年北京师范大学数学分析考研真题。

[作者姓名]1理工数学一试题详解及评析xsincosx )（c ,c 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的12(1)设2详解】 方法一 看出所给解对应的特征根为λ =1± i ，从而特征方程为 λ − 1+ i ,( ( )) 1,2 ( ( ))−2− 2λ + 2 = 0,于是所求方程为y ' 2y '方法二 将已知解代入y ' + by + cy = 0，得' ( ( ) ) ( ( ) )xxsin x ⋅ b c − c + cc − 2c +e xcos x ⋅ b c + c + cc + 2c . 由 于 e sin x 与x1 2 1 2 1 22 1= −2,c = 2cc 1 2c ,b c c 2c ，解得b 2 12 1 xsin x + c 2((c − c )sin x + (c + c )cos x 1212)y y ' = e '= e (−2c sin x + 2c cos x )2 1 从这三个式子消去c 与c ，得 y ' − 2y ' + 2y = 0 1 2r = x 2 + y 2 + z 2 , 则div gradr ( =3∂r ∂r ∂y ∂r ∂z x y zgradr = i + j + k = i +j + k ∂x r r r ⎛ ⎝ ∂x ⎞ r ⎠ x ⎛ y ⎞ ⎝ r ⎠∂y ⎛ z ⎞ ⎝ r ⎠ ∂z ∂ ∂ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 2 2 2 2 2 r − x r − y r − z 2 2 ( ) = + + = + + = = div gradr r 3 r 3 r 3 r 3 r2 ==21 2 + (−2) + 220 1−y∫( )f x , y dx =−122 1−x∫( )f x , y dy .1∫−1 2∫−10 1−y2( )D = {(x , y )| −1≤ y ≤ 0,1− y ≤ x ≤ 2},又可将 D 改写为{( ) } D = x , y |1≤ x ≤ 2,1− x ≤ y ≤ 2 ,0 2 2 0( )f x , y dy 12−11−y1dx∫1−x2( )=1( − )−1+ A − 4E = O ,其中 E 为单位矩阵，则 A E(4)设矩阵 A 满足 A212A 2 + A − 4E = O ，A 2 + A − 2E = 2E ，( − )( +) =A E A 2E 2E ,1( − )⋅ ( + ) =A E A 2E E , 2 1( − )−1 ( + A 2E)A E 2 { ( ) } 5）设随机变量 X 的方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 P X − E X ≥ 2 ≤.12( ) D X 12{ ( ) } P X − E X ≥ 2 ≤= 2 2( ) = ( )= ' ( )1）设函数 f x 在定义域内可导， y f x 的图形如右图所示，则导函数 y f x 的【 】( )是严格单调增加的，因此当 x < 0 详解】 从题设图形可见，在 y 轴的左侧，曲线 y f x= y = f (x )图形必在 x 轴的上方，由此可排除（A ），（C ）； ' ( )的图形在 y 轴右侧有三个零点，因此由罗尔中值定理知，其导函数 y = f (x )图' = 形在 y 轴一定有两个零点，进一步可排除（B ）. 故正确答案为（D ）.( ) '(0, 0) ='2）设函数 f x , y 在点 0,0 附近有定义，且 fx= 3dx + dy .(0,0)（ （ = ( )在点(0, 0, f (0, 0))的法向量为{3, 1, 1}B ）曲面 z f x , y ⎧ z = ( f x , y )( ( )){ }C ）曲线 ⎨在点 0, 0, f 0,0 的切向量为 1, 0,3 y = 0⎩⎧z f x , y )( ( )) { }D ）曲线 ⎨在点 0, 0, f 0,0 的切向量为 3, 0,1 ⎩【 】答】 应选（C ）详解】 题设只知道一点的偏导数存在，但不一定可微，因此可立即排除（A ）；( ) = − ( )令 F x , y , z z f x , y ，则有 F ' ' ' ' ' x xyyz( { }因此过点 0, 0, f 0,0 的法向量为 ± −3,−1,1 ，可排除（B ）； x = x⎧ z f x , y )( ( ))可表示为参数形式： ⎨ y = 0 ，其中点 0, 0, f 0,0 的切向量为 ⎩⎪ ) z = ⎩( 0,0 = ±1, 0, 3} )} { 'x( ) = = 3）设 f 0 0，则 f x 在点 x 0 可导的充要条件为 11 ( − ) hA ） lim→ 0 h 2h →0 h 1h 1( − ) f h ⎦ 存在 ⎡ ( )− ( )⎤C ） lim f h sinh 存在.（D ） lim ⎣ f 2h → 0 h2 h →0 hh 【 】f (x ) 1x(lim f 1− e h = x lim⋅ h → 0 hx → 0x1 ( ) = ( − h ) 可 见 ， 若 f x 在 点 x 0 可 导 ， 则 极 限 lim f 1 e 一 定 存 在 ； 反 过 来 ， 若 h → 0 h1( )lim f 1− e hh → 0 h( ) ( )f x xf 1 e − h f 1 e h h1− e lim x =1− e hlim⋅ = −lim h hx → 0 h → 0 h h → 0 ( ) = 存在，即 f x 在点 x 0可导，因此正确选项为（B ）.( ) = 至于（A ），（C ）,(D)均为必要而非充分条件，可举反例说明不成立.比如， f x x ,在1 cosh − 1 cosh− 1( − ) = limf 1 cosh lim lim2 h 2h 2h → 0 h h → 0h → 0 1 ( − ) = lim f h sinh lim lim2 h 2 h 3h → 0 h h → 0 h → 0⎧⎨ ⎩ 1, x ≠ 0=0, x = 011−1 ( )− ()⎤ = = 0 limf 2h f h lim h → 0 h h → 0 h1 1 1 1⎤⎡4 0 0 0⎤4）设 A =，则 A 与 B1 1 1 1⎦ ⎣0 0 0 0⎦【 】A 是实对称矩阵，且其特征值为： λ = 4,λ = λ = λ = 0, 故存在正交矩阵Q ,使得1 2 3 4 4 0 0 0⎤0 =TAQ可见，则 A 与 B 既合同又相似.(5)将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X 和Y 的相1 2【 】详解】 设 X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则有Y = n − X ，因此 X 和Y 的 相关系数为 r = −1arctan ex∫ 三、求 dxe2xarctan e x∫ ∫arctan e x() − dxd e 2x e 2x⎛ ⎞ ⎟ ⎠ 1 de x− ⎜ e −2x arctan e x − ⎜ (1+ e 2x ) ⎟ 2 e ⎝1 ( − e −2x arctan e x + e −x arctan e + x 2()在点(1, 1)处可微，且= f| = |= ϕ ( )= ( ( )) 2, 3, x f x , f x, x . x (1,1)d 3ϕ dxx =1详解】 由题设，有1 f 1, f 1,1f 1,1 1,ϕ ( ) = ( ( ))= ( ) =⎡ d ϕ ( )⎤ x (x )|(x ) ϕ 3 = 3ϕ 2 ⎢ ⎥dxx =1dx ⎣ ⎦⎡ (x , f (x , x ))+ f (x , x )+ fy= = 3ϕ 2 (x ) f ' ' '' ⎣ x y x 3 1 2 3 2 3 ⋅ ⋅⎡ + ( + )⎤ =51⎣ ⎦ ⎧ 1+ x 2 (− )n⎪∞ 1 ∑( ) = 五 、设 f x ⎨ x1 − 4n 2n =11 + x ∞∑ 【 详解】 因 = 2 (− ) 1 x , x 1, 1 n2n ∈(− ) 1 n =1(− ) n∞1 ∑∫ x( )'x 2n +1, x1,1∈[− ]= arctan x dx = 2 n +1 0n =1(− )n(− )n∞1 ∞1 ∑ ∑( )= ++ f x 1 2 n +1n =1 (− )n(− )n∞1 ∞1 ∑∑= 1+ x 2n+ x 2n2n +1 2n +1n =1 n =1n∞∑=1 + x∈[− ] 2n , x 1, 12 n +1n =1(− )n 1π 1∞1 ∑ =− . 1 − 4n224 2n =1∫ () () ( )dz ，其中 L 是平面 x y z 2 + =I = y 2 2dx + 2z 2− x 2dy + 3x2− y 2+ 与L柱面 x + y =1的交线，从 z 轴正向看去， L 为逆时针方向.详解 1】记 S 为平面 x + y + z = 2 上 L 所围成部分的上侧， D 为 S 在 xOy 坐标面上的投 影.由斯托克斯公式得∫2z 6x dzdx+ (− − ) 2x 6y dxdy + (− − )I =S 2∫ ∫ (4 + ) = −x 2y 3z dS + 3 S∫ ∫= −2 D∫ ∫ = = −12 dxdyD−24.【详解 2】转换投影法.用斯托克斯公式，取平面 x + y + z = 2 被 L 所围成的部分为 S ，按斯 托 克 斯 公 式 的 规 定 ， 它 的 方 向 向 上 ， S 在 xOy 平 面 上 的 投 影 域 记 为 z ∂z D , D = x , y | x + y ≤1 . S 为z = 2 − x − y , = −1, = −1, 于是 ∂y{( ) } ∂x∫ ( ) ( ) ( I = y 2 − z 2dx+ 2z 2− x 2 dy + 3x2− y+ (− − ) 2L∫ ∫(−2 − ) y 4z dydz 2z 6x dzdx+ (− − )= 2x 6y dxdyS⎧ ∂z ∂z ⎫ ∫ ∫{−2− }⋅ − = = = y 4z , 2z 6x , 2x 2y ⎨ − − − − ∂⎩ ⎭S−2∫∫(4x 2y 3z dxdy = −2 x y 6 dxdy ( − + ) + + ) ∫∫SD∫ ∫ −12 dxdy = −24D∫ ∫( − ) = ∫∫ =−∫∫ x y dxdy xdxdy ydxdy = 0 − 0 = 0 ，用得性质：x 为 x 得奇函数，D 对DDD称于 y 轴； y 为 y 的奇函数， D 对称于 x 轴；积分均应为零.降维法，取 S 如解法 1 中定义，代入 I 中，∫ () ( ( )) ( I = y 2 2dx + 2 (2 − x − y )22dy + 3x2− y2L 1∫ ( )()= y 2222+8xy −8x −8y +8 dy L 1∫ ∫格林公式− 2 D1逐个投影法，由斯托克斯公式∫− ) ∫∫ ( + ) I 1 =2y 4z dydz 2 y 2z dydz , − SD{( ) } 其中 D = y , z | 2 − y − z + y ≤1 , 分别令 y ≥ 0, y ≤ 0,2 − y − z ≥ 0,2 − y − z ≤ 0, 可 yz 得到 D 的 4 条边的方程：yz 右： 2y + z = 3 ；上： z = 3；左： 2y + z =1；下： z =1.13(3−z ) ∫ ∫(y + 2z )dy = −16于是 I 1 = − 2dz 2 112(1−z )∫ ∫( + ) 类似地， I 2−2 2 3x dzdx = −8 = S∫ ∫I 3 = −2 ( + ) x y dxdy = 0 （由奇、偶数及对称性）SI = I + I + I = −24 1 2 31( ) () ( y 2 − z 2 dx + 2z 2− x 2dy + 3x 2 21∫ 0⎡ ( − ) 2)(− ) ⎤= 1 x 21 1 7 3⎣ ⎦= . 当 x ≤ 0, y ≥ 0, L : y =1+ x , z =1− 2x , x 从 0 到-12 −1 ∫ (2 + )= − x 4= 3 0 37 9∫= −13当 x ≥ 0, y ≤ 0, L : y = x −1, z = 3− 2x , x 从 0 到 14 ∫ 1(−1 + ) = 8x 12 dx 3.= 0 ∫ = + + + = −24L= ( )在(−1, 1)内具有二阶连续导数且 f ' (x ) ≠ 0,试证：七、设 y f x(− ) ≠ 0,1 ，使 f x θ ( )∈( ) ( )= ( )+ ' ⎡θ ( ) ⎤f 0 xf ⎣ x x ⎦1）对于 1,1 内的任意 x 0, 存在唯一的 x 2）lim θ ( ) = x .x → 01）任给非零 x1,1∈(− )，由拉格朗日中值定理得( )= ( )+ '⎡θ ( ) ⎤( <θ ( )< )f x ⎣ ⎦ ' (x ) 在1,1 内 连 续 且 f(− ) '( ) ≠'( ) (− )0, 所 以 f x 在1,1 内 不 变 号 ， 不 妨 设因 为 f x ' (x ) > 0，则f'(x )在(−1, 1)内严格单调且增加，故唯一.f(− )，由拉格朗日中值定理得1,1( )= ( )+ ' ⎡θ ( )⎤( <θ ( )< )f x f 0 xf x x 0 x 1 ⎣ ⎦ f ' ⎡θ (x )x ⎤ − f ' (0) f (x )− f ( )− f 0 '⎣ ⎦ =x x 2f ' ' ⎡θ (x )x ⎤ − f ' (0) ⎣ ⎦ θ ( )= ' ( ) θ ( )x f 0 lim x x → 0x → 0(x )− f 2x ' (0) 1f lim= x → 0 2 1 lim θ ( ) = x . x → 0 2( )= ( )+ ' ( )+ ' (ξ ) 2 εf x f 0 f 0 x f 1 (0)x + xf f ' ⎡θ (x )x ⎤ = f (x )− f (0)= f ' ⎣ ⎦ 2 ' '⎣⎦'(ξ ),fθ ( ) =x ' ⎡θ (x )x ⎤ − f '(0) f ⎣ ⎦ '''= f ' (0)，lim flim θ ( )x x x → 0 x →0 ξ →0lim θ () = x .x → 0' (x ) ≠ 0,故 ' (x )存在单值连续可导的反函数，记为ϕ (x ), 则有f f⎡ ⎢⎣f x f 0 ( )− ( )⎤, ⎥ x ⎦ ⎡ f x f 0⎥ = 0, lim ϕ ⎢ x → 0 ⎣ x ⎦⎡ f x f 0 ( )− ( )⎤ ϕ ⎢ ⎣ ⎥⎡ f x f 0 ( )− ( )⎤ 'x ⎦ ' lim θ ( ) =x lim = lim ϕ ⋅ 2x → 0 x → 0 x x → 0 xx xf ' (x ) 2xϕ '⎡ f ' (0)⎤ lim ⎣ ⎦ x →0 ϕ ' ⎡ f''⎣ ⎦ϕ ⎡ f ' (x )⎤ = x ，两边对x 求导，有⎣ ⎦ ϕ ' ⎡ f ' (x )⎤ f ' (x )=1，以x = 0 代入，⎣ ⎦ 1 lim θ ( ) = x . x → 0 2' (θ ( ) ) '(θ ( ) )2） 由 f x f 0f x x x ,将 fx x 再展开，有 ( ) ( ) ( ) ( ( ) )f ''0 + f ' 0 θ x x + o θ x x 代入上式，得'( ) + ' ( )θ ( )2f x( )− ( )− ' ( ) − (θ ( ) )f x f 0 f 0 x o x x x θ ( ) =x ' (0) xf ( )− ( )+ ' ( )f x f 0 f 0 x = '(0)flim2 x → 0 x ( () ) o θ x x xlim == 0. 2x → 0x) 八 、 设 有 一 高 度 为 h t t 为时间 得 雪 堆 再 融 化 过 程 中 ， 其 侧 面 积 满 足 方 程2(x + y) 2 2()−z h t = （设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数 0.9），问高度为 130 厘米）的雪堆全部融化需多少小时？h (t )∫ ∫∫ V =dz =dxdy0 1 x 2 + y 2≤ h (t )2 −h (t )z ⎤ ⎡ ⎢⎣ ⎥⎦ 2 1 h (t ) ∫ ⎡ h t h t z dz ( ) − ( )2⎤ = = π 0⎣ ⎦2 π h 34∫ ∫( ) 2 2S =1+ z ' + z ' x yh 2 (t )x 2 + y 2≤2( ) 1 6 x 2 + y 2 ∫ ∫=1+ dxdy 2(t ) h h 2 (t ) x 2 + y 2≤21h (t )2π( )h t 2∫ ⎡(t ) 16r ⎤ = h 2+ 2rdr 2 ⎣ ⎦ 0 12=12()dVdt dh t = − ( ) 将上述V (t )和 S (t )代入，得 0.9S t ,= − dt13( )= − t + Ch t 1 1 1= 0 得t 100（小时）. 九 、 设 α ,α ,L ,α 为 线 性 方 程 组 Ax = 0 的 一 个 基 础 解 系 ，1 2 sβ = t α + t α ,β = t α + t α ,L ,β = t α + t α , 其中t ,t 为实常数.试问t ,t 满足什 1 1 1 2 2 2 1 2 2 3 s 1 s 2 1 1 21 2 么关系时，β ,β ,L ,β 也为Ax = 0的一个基础解系.1 2 s 由于α ,α ,L ,α 为均为α ,α ,L ,α 的线性组合，所以α ,α ,L ,α 为均为Ax = 0的解. 1 2 s 1 2 s 1 2 s 下面证明β ,β ,L ,β 线性无关.设1 2 s 1 122ss( + )α + ( + )α +L + (+t k t k t k t k 1 1 2 s 1 2 1 1 2 2 s −112s⎧t k + t k = 0 2 1 1 2 M ⎪ ⎪ t k + t k = 0⎩ 2 s −1 1 s t 1 0 0 0 0 t 2 t 1 0 L 0t 2 t 1 0 s 1 s 2 L M = t + (− )t 1 M M M M 0 0 0 t 2 t 1+ (− )t 0 ≠ ，即当s 为偶数，t ≠ ±t ；当s 为奇数，t ≠ t 时，上述方程组2 1 2 1 2 可见，当ts 1 s1只有零解k = k =L = k = 0，因此向量组β ,β ,L ,β 线性无关， 1 2 s 1 2 s 从而β ,β ,L ,β也为Ax = 0的一个基础解系.1 2 s 十、已知3 阶矩阵A 与三维向量x , 使得向量组x , Ax , A2x 线性无关，且满足A32( ) P = x , Ax , A2x ,求2 阶矩阵B , 使A PBP −1= ;（ 2） 计算行列式 A + E . 【 详解】Ax = Ax ( ) = 2 A Ax A x A A 232( A x , Ax , A2 2x , A 32 20 0 0 ⎤⎥ =x 1 0 3 , )⎢ 0 1⎡ ⎢ 0 0 0 ⎤⎥ AP = P 1 0 3 = PB⎢ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 1 ⎡ 0 0 0 ⎤ ⎢ ⎥A = PBP −1 ; ⎢ ⎥⎢ 0 1 ⎣ ⎦⎡ ⎢ a 1 a 2 a ⎤ 3 ⎥ 设 b b 2 b , 则由 AP = PB 得⎢ ⎥ 1 3 ⎢ ⎣ ⎥ ⎦c 1 c 2 c 3 a 1 a 2 a ⎤3 ⎥ ( ) Ax , A2x , A 32x b b 2 b , ⎢ ⎥ 1 3 ⎢ ⎣c 1 c 2 c 3 Ax = a x + b Ax + c A 2 x ,(1)(2) (3)1 1 1 A2 x = a x + b Ax + c A2x ,2 2 2A 3x = a x + b Ax + c A2 x ,3 3 3A 3 x = 3Ax − 2AAx − 2A x = a x + b Ax + c A x , Ax , A23 2 2 x（4）3 332x 线性无关，故由于a =b = 0,c =1; 2 2 1 a = 0,b = 0,c = −2;333⎡ ⎢ 0 0 0 ⎤⎥ B = 1 0 3 − ⎥2⎢ ⎥⎢ 0 1 ⎣ ⎦ A32( ) (A A 2 2故 λ = −3 为 A 的特征值， A 2x − Ax 为属于-3 的特征向量；1 λ =1为 A 的特征值， A 2x + 3Ax 为属于 1 的特征向量；2λ = 0 为 A 的特征值， A x + 2Ax −3Ax 为属于-3 的特征向量；2 3 ⎡ ⎢ 0 0 −3⎤ ⎡ 0 0 −3⎤⎥ ⎢ ⎥ ( ) Q = x , Ax , A2 x −13 2 = P −13 2 , ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣1 1 1 1 1 1 −1⎡ ⎢ 0 0 −3⎤⎡ 0 0 −3⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥Q −1 AQ = − 1 3 P − AP −1 3 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎦ ⎢ ⎥ ⎦1 1 1 1⎣ ⎣ −1 ⎡ 0 0 −3⎤ ⎡ 0 0 −3⎤ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ = −1 3 B −1 3 ⎥ ⎢ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎢ ⎥ ⎦1 1 1 1 ⎣ 但另一方面，Q 为特征向量组成的矩阵，所以 Q −1 AQ 为由对应的特征值组成的对角矩阵：⎡ ⎢ ⎢−3 0 0⎤⎥ Q −1 AQ = 0 0 1 0 , ⎥ ⎢ ⎣⎥ 0 0 ⎦1 ⎡ ⎢ 0 0 −3⎤ ⎡−3 0 0⎤ ⎡ 0 0 −3⎤−⎡0 0 0 ⎤ ⎢ B = −1 3 =1 0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 1 1 0 0 1 1 0 1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎣ ⎦2）由（1）知，A 与B 相似，故A + E 与B + E 也相似，于是有⎡ ⎢ 1 0 0 ⎤⎥ A + E = B + E = 1 13 = −4 ⎢ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 1 十一、设某班车起点站上客人数X 服从参数 λ (λ >)的泊松分布，每位乘客在中途下车的0 ( < < ) 概率为P 0 P 1 ，且途中下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数，求： 1） 在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率； 2） 二维随机变量 X ,Y 的概率分布.1） 求在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率，相当于求条件概率{ = = }因此有:{ = m m P Y m | XC P 1 Pn 2） 利用乘法公式，得{ = = }= { = = } { = }P Y m | X n P x nP X n |Y m e −λ m = C n m P m ⋅ λn n !( )( ) 十二、设总体 X 服从证态分布 N µ,σ 2 σ > 0 ，从该总体中抽取简单随机样本21 2nn∑ ∑( )2X( ≥ )= = + X , X ,L , Xn 2 其样本均值为X X ，求统计量Y i X X 1 2 2n i 2 n i =1 i =1( )的数学期望E Y .1 n 1 n∑ ∑ X , X = X 则有 2X = X + X n +i 121i 2n n i =1 i =1 ⎡ 2⎤ n ⎧ n∑( − ) = ∑ ⎡( − )+ ( − )⎤ 2 + E ⎢ X X 2X ⎥ E ⎨ X X X X ⎣ ⎦ i n +i i 1 n +i 2 ⎢ ⎣ ⎩ i =1 i =1 ⎧ n ∑ ⎡( ) 2 ( )( ) ( 2 X − X + X − X ⎢ n +i n +i ⎣i i 1 2 2 i =1 ⎡ n⎤ ⎡ n⎤∑( ) 2 ∑( 2X − X 1 + 0 + E X ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ i n +i⎣ i =1 ⎦⎣ i =1⎦= = ( − )σ n 1 2 + ( − )σn 1 2( − )σ2 2 n 1。