华工数学实验报告特征值与特征向量

实验12 特征值与特征向量实验目的1．理解方阵的特征值与特征向量的含义2．掌握求特征值与特征向量的方法3．理解矩阵相似对角化的含义4．掌握特征值与特征向量的应用实验准备1．特征值与特征向量的定义及其计算方法2．方阵相似的充分必要条件3．方阵的幂的计算实验内容1．特征值与特征向量的计算2．方阵相似的充分必要条件3．实对称矩阵的相似对角化软件命令表12-1 Matlab特征值与特征向量命令实验示例【例12.1】特征值与特征向量的定义及几何演示=。

几何上可理设λ是方阵A的特征值，ξ是对应于特征值λ的特征向量，则Aξλξλ≠时，非零向量ξ在线性变换A的作用下的像Aξ与向量ξ的方向平行解为当数0- 72 - 第一章 基础实验（方向相同或相反）；当数0λ=时，非零向量ξ在线性变换A 的作用下的像为零向量。

试用如下方阵验证。

（1）1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （2） 0.5 1.20.1 1.5A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （3）1111A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。

【原理】：二维情况：依次取单位圆周：c o s ,s i n ,0x y θθθπ==≤≤上的向量cos ()sin r r θθθ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，分别绘制向量r 、Ar ，当它们共线时就绘制一条直线。

【程序】：主程序：Exm12Demo01.m ；子程序：EigDemo.m【输出】：略。

【例12.2】特征值与特征向量的计算计算下列方阵的特征值与特征向量：1．123213336A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦；2．323111414A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；3．11231114561117891A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。

【命令】：% 第一小题Clear;clcA1=[1 2 3;2 1 3;3 3 6]; [V1,D1]=eig(A1); % 第二小题A2=[-3 2 3;-1 1 1;-4 1 4]; [V2,D2]=eig(A2); % 第三小题A3=[1 1/2 1/3;1/4 1/5 1/6;1/7 1/8 1/9]; [V3,D3]=eig(A3); 【输出】：特征值分别为： 第一小题：-1 0 9；第二小题：1+i,1-i,0；第三小题：0.002178，0.11475，1.1942。

实验七特征值与特征向量地点：计算中心202房实验台号：30 实验日期与时间：2018年6月6日评分：预习检查纪录：实验教师：刘小兰电子文档存放位置：电子文档文件名：信息工程3班-30-邢靖-实验七.docx批改意见：1．实验目的-掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论;-掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法;-理解由差分方程x k+1=Ax k所描述的动态系统的长期行为或演化;-提高对离散动态系统的理解与分析能力。

2．问题11.当捕食者-被捕食者问题中的捕食参数p是0.125时，试确定该动态系统的的计算公式).猫头鹰和森林鼠的数量随着时间如何变化?该系统趋向演化(给出xk一种被称为不稳定平衡的状态。

如果该系统的某个方面(例如出生率或捕食率)有轻微的变动，系统会如何变化?2.1实验原理1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的求法3.矩阵的对角化4.离散线性动态系统5.eig命令函数: d=eig(A)功能:求矩阵A的特征值。

说明:返回一列向量d，包含方阵A的所有特征值。

函数: [V,D]=eig(A)或[V,D]=eig(X,'nobalance') 功能:求矩阵A的特征值和特征向量。

说明:生成特征值矩阵D和特征向量构成的矩阵V,使得使得A*V=V*D。

矩阵D由A的特征值在主对角线构成的对角矩阵。

V是由A的特征向量按列构成的矩阵。

[V,D]=eig(A)中，先对A作相似变换再求A的特征值和特征向量;而[V,D]=eig(A,'nobalance)中，直接求矩阵A的特征值和特征向量。

2.2算法与编程% ex1.m求特征值与特征向量clcA = [0.5 0.4;-0.125 1.1];[pc,lambda] = eig(A); %求A的特征值和对应的特征向量[Y,I] = sort(diag(abs(lambda)),'descend');%对特征值的绝对值降序排列temp = diag(lambda);lambda = temp(I) %输出按特征值的绝对值降序排列的特征值pc = pc(:,I) %与特征值对应的特%P8_1.m捕食者-被捕食者解的图像表示% P8_1.m%捕食者-被捕食者解的图像表示clear, clca = 0;b = 2000;c = a;d = b; p = 0.1; %确定画图范围n = 100; %序列迭代次数xlabel('|\lambda| >1,|u|<1')axis([a b c d]),grid on,hold onx = linspace(a,b,30);A = [0.5 0.4;-0.125 1.1]; %特征值绝对值<1[pc,lambda] = eig(A); %求A的特征值和对应的特征向量[Y,I] = sort(diag(abs(lambda)),'descend'); %对特征值的绝对值降序排列temp = diag(lambda);lambda = temp(I) %输出按特征值的绝对值降序排列的特征值pc = pc(:,I)pc = -pc;z1 = pc(2,1)/pc(1,1)*x; %特征向量v1z2 = pc(2,2)/pc(1,2)*x; %特征向量v2h = plot(x,z1),set(h,'linewidth',2), text(x(7),z1(7)-100,'v1')h = plot(x,z2),set(h,'linewidth',2), text(x(20),z2(20)-100,'v2') button = 1;while button == 1[xi yi button] = ginput(1); %用鼠标选初始点plot(xi,yi,'go'),hold onX0 = [xi;yi];X = X0;for i=1:nX = [A*X, X0]; %用这种方式迭代，并画图h = plot(X(1,1),X(2,1),'R.',X(1,1:2),X(2,1:2),'r-'); hold on text(X0(1,1),X0(2,1),'x0')quiver([X(1,2),1]',[X(2,2),1]',[X(1,1)-X(1,2),0]',[X(2,1)-X(2,2),0]', p)set(h,'MarkerSize',6),grid,endend2.3实验结果>>P8_1A = [0.5 0.4;-0.125 1.1];平衡A = [0.5 0.41;-0.125 1.1];增加出生率A = [0.5 0.39;-0.125 1.1];降低出生率A = [0.5 0.4;-0.135 1.1]; 增加捕食参数A = [0.5 0.4;-0.135 1.1]; 降低捕食参数2.4结果分析答：该动态系统演化猫头鹰和森林鼠随时间数量趋于稳定，比值4：5。

特征值与特征向量特征值与特征向量的概念及其计算定义1. 设A是数域P上的一个n阶矩阵，λ是一个未知量，称为A的特征多项式，记ƒ(λ)=| λE-A|，是一个P上的关于λ的n次多项式，E是单位矩阵。

ƒ(λ)=| λE-A|=λn+α1λn-1+…+αn= 0是一个n次代数方程，称为A 的特征方程。

特征方程ƒ(λ)=| λE-A|=0的根 (如：λ0) 称为A的特征根(或特征值)。

n次代数方程在复数域内有且仅有n 个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。

以A的特征值λ0代入 (λE-A)X=θ，得方程组 (λ0E-A)X=θ，是一个齐次方程组，称为A的关于λ0的特征方程组。

因为 |λ0E-A|=0，(λ0E-A)X=θ必存在非零解X(0)，X(0) 称为A的属于λ0的特征向量。

所有λ0的特征向量全体构成了λ0的特征向量空间。

一.特征值与特征向量的求法对于矩阵A，由AX=λ0X，λ0EX=AX，得：[λ0E-A]X=θ即齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：即说明特征根是特征多项式 |λ0E-A| =0的根，由代数基本定理有n个复根λ1, λ2,…, λn，为A的n个特征根。

当特征根λi(I=1,2,…,n)求出后，(λi E-A)X=θ是齐次方程，λi 均会使 |λi E-A|=0，(λi E-A)X=θ必存在非零解，且有无穷个解向量，(λi E-A)X=θ的基础解系以及基础解系的线性组合都是A的特征向量。

例1. 求矩阵的特征值与特征向量。

解：由特征方程解得A有2重特征值λ1=λ2=-2，有单特征值λ3=4对于特征值λ1=λ2=-2，解方程组 (-2E-A)x=θ得同解方程组 x1-x2+x3=0解为x1=x2-x3 (x2,x3为自由未知量)分别令自由未知量得基础解系所以A的对应于特征值λ1=λ2=-2的全部特征向量为x=k1ξ1+k2ξ2 (k1,k2不全为零)可见，特征值λ=-2的特征向量空间是二维的。

摘要特征值与特征向量是代数中一个重要的部分，并在理论和学习和实际生活，特别是现代科学技术方面都有很重要的作用.本文主要讨论并归纳了特征值与特征向量的性质，通过实例展现特征值与特征向量的优越性，探讨特征值与特征向量及其应用有着非常重要的价值.正文共分四章来写，其中第一章介绍了写作背景以及研究目的.第二章介绍了特征值与特征向量的定义以及性质，并且写出了线性空间中线性变换的特征值、特征向量与矩阵的特征值、特征向量之间的关系.第三章介绍了特征值与特征向量的几种解法：利用特征方程求特征值进而求特征向量、列行互逆变换法、利用矩阵的初等变换求特征值和特征向量.第四章重点介绍了特征值特征向量的应用，如n阶矩阵的高次幂的求解以及矩阵特征值反问题的求解等等.本文充分利用特征值与特征向量的特性求解相关问题，这带有一定的技巧性，但并不难想象，特别是跟其它方法相比，计算显得非常简洁，在解决具体问题上具有很大的优越性.当然关于矩阵的特征值和特征向量的内容很广，本文仅就特征向量的性质以及一些应用展开研究.关键词：特征值；特征向量；矩阵；递推关系；初等变换AbstractAs an important part of algebra,Eigenvalue and Eigenvector of a Matrix have very important applications in theoretical study and practical life, especially in modern science and technology. In this paper,some properties of eigenvalue and eigenvector are discussed and summarized,it shows the superiority of eigenvalue and eigenvector through examples.It has a very important value of exploring eigenvalue and eigenvector and its application.The text is divided into four chapters to write,Among them,the first chapter presents the background and research purposes.The second chapter presents the definition of eigenvalue and eigenvector and their properties, it writes the relationship between the eigenvalue, eigenvector of the linear transform of the linear space and eigenvalues and eigenvectors of matrix. The third chapter presents several solutions of the eigenvalue and eigenvector:the characteristic equation for eigenvalue and eigenvector;the method of reversible transform on Rows and columns;the elementary transformation of matrix inverse for eigenvalues and eigenvectors. The fourth chapter introduces the application of eigenvalue eigenvector, such as solving the high power of n order matrix ,dealing with the inverse problem of matrix eigenvalues and etc. This paper fully utilize eigenvalue and eigenvector to solve related issues, this approach needs certain skills，but it is not hard to imagine that it has the great superiority in sovling specific issues, comparing with other methods.Of course, the content about matrix eigenvalues and eigenvectors is very wide, this article mainly deals with the properties of eigenvector and some application.Key words:eigenvalue；eigenvector；matrix；recursive relations；elementary；transformation目 录摘 要....................................................................................................................................... I Abstract .. (II)1 引 言 (1)1.1 研究背景 (1)1.2 研究现状 (1)1.3 本文研究目的及意义 (2)2 特征值与特征向量 (3)2.1 特征值与特征向量的定义和性质 (3)2.1.1 线性变换的特征值与特征向量 (3)2.1.2 n 阶方阵的特征值与特征向量 (3)2.2 (),V p n 中线性变换ℜ的特征值、特征向量与矩阵R 的特征值与特征向量之间的关系 (3)3 特征值与特征向量的解法 (5)3.1 求数字方阵的特征值与特征向量 (5)3.2 列行互逆变换法 (6)3.3 利用矩阵的初等变换解特征值特征向量 (10)4 矩阵的特征值与特征向量的应用研究 (15)4.1 n 阶矩阵()1*,,,,,m kA aA bI A A A f A -+的特征值和特征向量. (15)4.2 n 阶矩阵的高次幂的求解 (16)4.3 矩阵特征值反问题的求解 (17)4.4 特征值与特征向量在线性递推关系中的应用 (18)4.5 特征值法求解二次型的条件最值问题 (22)4.5.1 二次型的条件最值问题及求解该问题的特征值方法 (22)4.5.2 应用举例 (25)4.6 特征值与特征向量在矩阵运算中的作用 (26)4.6.1 特征值与特征向量在矩阵运算中使用的性质 (26)4.6.2 特征值与特征向量在矩阵运算中的应用 (26)总 结 (30)参考文献 (31)致 谢 (32)1 引言1.1研究背景矩阵是数学中的一个重要的基本概念之一,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具. 矩阵的特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分，它在高等代数和其他科技领域中占有重要的位置.同时它又贯穿了高等代数的许多重要方面，对于该课题的研究加深了我们对高等代数各个部分的认识，从而使我们更深刻的了解高等代数的相关理论.对矩阵的特征值与特征向量的理论研究和及其应用探究，不仅对提高高等代数以及相关课程的理解有很大帮助，而且在理论上也很重要，可以直接用来解决实际问题.现在矩阵已成为独立的一门数学分支，矩阵特征值与特征向量的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技方面都有十分广泛的应用.1.2研究现状在此之前已有很多专家学者涉足此领域研究该问题.吴江、孟世才、许耿在《浅谈<线性代数>中“特征值与特征向量”的引入》中从线性空间V中线性变换在不同基下的矩阵具有相似关系出发引入矩阵的特征值与特征向量的定义.郭华、刘小明在《特征值与特征向量在矩阵运算中的作用》中从方阵的特征值与特征向量的性质出发，结合具体的例子阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用.矩阵的特征值与特征向量在结构动力分析中有重要作用，矩阵迭代法是求矩阵的第一阶特征值与特征向量的一种数值方法,但是选取不同的初始向量使结果可能收敛于不同阶的特征值与特征向量，而不一定收敛与第一阶,陈建兵在《矩阵迭代法求矩阵特征值与特征向量初始向量选取的讨论》中讨论了初始向量的选取问题.特征值理论是线性代数中的一个重要的内容，当方阵阶数很高时实际计算比较繁琐，赵娜、吕剑峰在《特征值问题的MATLAB 实践》中从实际案例入手，利用MATLAB软件讨论了求解特征值问题的全过程.汪庆丽在《用矩阵的初等变换求矩阵的特征值与特征向量》中研究了一种只对矩阵作适当的初等行变换就能求到矩阵的特征值与特征向量的方法，论证其方法的合理性，并阐述此方法的具体求解步骤.岳嵘在《由特征值特征向量去顶矩阵的方法证明及应用》中探究了已知n阶对称矩阵A的k个互不相等的特征值及k-1个特征向量计算出矩阵A的计算方法.张红玉在《矩阵特征值的理论及应用》中讨论了通过n阶方阵A的特征值得出一系列相关矩阵的特征值,再由特征值与正定矩阵的关系得出正定矩阵的结论.刘学鹏、杨军在《矩阵的特征值、特征向量和应用》一文中讨论了矩阵的特征值和特征向量的一些特殊情况，以及在矩阵对角化方面的应用.冯俊艳、马丽在《讨论矩阵的特征值与行列式的关系》中讨论了利用矩阵的特征值解决行列式的问题.1.3本文研究目的及意义在前人研究的基础上，本文给出了特征值与特征向量的概念及其性质，特征值与特征向量性质是最基本的内容，特征值与特征向量的讨论使得这一工具的使用更加便利，解决问题的作用更强有力，其应用也就更广泛.在此基础上，对矩阵的特征值与特征向量的计算进行详尽的阐述和说明. 利用特征方程求特征值进而求特征向量法、列行互逆变换法、矩阵的初等变换求特征值和特征向量.由于特征值与特征向量的应用是多方面的，本文重点介绍了对特征值与特征向量的应用探究,阐述了特征值和特征向量在矩阵运算中的作用，利用特征值法求解二次型最值问题以及矩阵的高次幂和反求解问题的应用.在例题解析中运用一些特征值与特征向量的性质和方法，可以使问题更简单，运算上更方便，是简化有关复杂问题的一种有效途径.本文就是通过大量的例子加以说明运用特征值与特征向量的性质可以使问题更加清楚，从而使高等代数中的大量习题迎刃而解，把特征值与特征向量在解决实际问题中的优越性表现出来.2 特征值与特征向量2.1 特征值与特征向量的定义和性质2.1.1 线性变换的特征值与特征向量定义1：设．ℜ是数域．．．P 上的线性空间．．．．．V 的一个线性变换．．．．．．．，如果对于数域．．．．．．P 中一数．．．0λ，存在一个非零向量．．．．．．．．ξ，使得．．0ξλξℜ=那么．．0λ称为．．ℜ的一个．．．特征值．．．，而．ξ称为．．ℜ的属于特征值．．．．．．0λ的一个．．．特征向量．．．．. 2.1.2 n 阶方阵的特征值与特征向量定义2：设R 是n 阶方阵，如果存在数0λ和n 维非零向量X ，使得0RX X λ=成立，则称0λ为R 的特征值，X 是R 的对应特征值0λ的特征向量.性质1若i λ是R 的i r 重特征值，R 对应特征值i λ有i s 个线性无关的特征向量，则i i s r ≤.性质2 如果12,x x 都是矩阵R 的属于特征值0λ的特征向量,则当11220k x k x +≠时, 11220k x k x +≠仍是R 的属于特征值0λ的特征向量．性质3 如果12,,,n λλλ是矩阵R 的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是12,,,n x x x ，则12,,,n x x x 线性无关．性质4 若()ij n n R r ⨯=的特征值为12,,,n λλλ，则 121122n nn r r r λλλ+++=+++，12n R λλλ=． 性质5 实对称矩阵R 的特征值都是实数，属于不同特征值的特征向量正交． 性质 6 若i λ 是实对称矩阵R 的i r 重特征值，则对应特征值i λ恰有i r 个线性无关的特征向量，或()i i r R E n r λ-=-．性质7设λ为矩阵R 的特征值，()P x 为多项式函数，则()P λ为矩阵多项式()P R 的特征值．2.2 (),V p n 中线性变换ℜ的特征值、特征向量与矩阵R 的特征值与特征向量之间的关系定理：设12,,,n εεε是(),V p n 的一组基()L V ℜ∈,()()1212,,,,,,n n R εεεεεεℜ= 1）ℜ的特征值0λ必是R 的特征值，ℜ的属于0λ的特征向量1122n n x x x ξεεε=+++，则()12,,,n x x x 必是R 的属于特征值0λ的特征向量.2）设0λ是R 的一个特征值，且0λ∈P ，则0λ是ℜ的一个特征值.若()12,,,n x x x 是R 的一个属于特征值0λ的一个特征向量，则1122n n x x x ξεεε=+++是ℜ的一个属于0λ的特征向量.证明：1）设0λ是ℜ的特征值，于是有ξ≠0使得0ξλξℜ=，其中0λ∈P ，设1122n n x x x ξεεε=+++，则()12112212,,,n n n n x x x x x R x ξεεεεεε⎛⎫ ⎪ ⎪ℜ=ℜ+ℜ++ℜ ⎪ ⎪⎝⎭ = ， 又0ξλξℜ=，所以有()()112212120,,,,,,n n n n x x x x R x x εεεεεελ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=， 由他们的坐标列相等可得 ()120000n x x E R x λ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以其次线性方程组()00E R X λ-=有非零解，于是00E R λ-=，故0λ是R 的特征多项式的根，即0λ是R 的特征值，从而ξ的坐标是R 的属于0λ的特征向量.2）设0λ是R 的一个特征值，0λ∈P ，且00E R λ-=，于是()00E R X λ-=有非零解，()120,,,n n x x x ≠∈P ，令n n x x x V ξεεε≠=+++∈11220，()120000n x x E R x λ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11220=n n x x x x R x x λ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是0ξλξℜ=，故0λ是ℜ的一个特征值，且ξ是ℜ的属于0λ的特征向量.3 特征值与特征向量的解法3.1 求数字方阵的特征值与特征向量由方阵的特征值和特征向量的定义知:a ≠0是A 的属于λ的特征向量 因为Aa a λ=所以a 是齐次线性方程组()0E A x λ-=的非零解，所以λ是特征方程()0A f E A λλ-=的根。

特征值与特征向量的特点及应用LT特征值与特征向量的特点及应用摘要：这篇文章阐述了特征值与特征向量的特点及应用，给出了特征值与特征向量、特征多项式、特征子空间等的概念和性质定理。

并且给出了特征值与特征向量在物理学当中的应用，提供了一些经典习题的解答方法。

还给出了特征值与特征向量在实际生产生活当中的应用。

关键词:特征值，特征向量，特征多项式，不变子空间，特征子空间Abstract: this article expounds the characteristics of the eigenvalue and eigenvector and applications of eigenvalue and eigenvector is given, and characteristic polynomial, such as feature subspace concept and nature of the theorem. And eigenvalue and eigenvector are givenin the application of physics, provides some classical problem solution method. Eigenvalues and eigenvectors are also in the actual application of production and living.Key words: eigenvalues, eigenvectors and characteristic polynomial, invariant subspace, feature subspace矩阵的特征值和特征向量在现实实际拥有广泛的应用，矩阵的特征值和特征向量理论在经济分析、信息科学、天文物理学、生命科学和环境保护等领域都有联系。

结合数学模型来研究等一系列问题，我们主要从三方面着手：线性变换的特征值与特征向量，特征多项式和特征子空间的定义；矩阵的公共特征向量与同时三角化；特征值与特征向量的运用。

数学实验报告学院：班级：学号：姓名：完成日期：实验六矩阵的特征值与特征向量问题一一．实验目的1.掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论；2.掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；3.理解由差分方程x k+1 = Ax k所描述的动力系统的长期行为或演化；4.提高对离散动力系统的理解与分析能力.二．问题描述当捕食者-被捕食者问题中的捕食参数p是0.125时，是确定该动态系统的演化（给出X k的计算公式）。

猫头鹰和森林树的数量随着时间如何变化?该系统去向一种被称为不稳定平衡的状态。

如果该系统的某个方面（例如出生率或者捕食率）有轻微变动，系统会如何变化？三．问题分析将线性变换x Ax k的作用分解为易于理解的成分，其中特征值与特征向量是分析离散动态系统的关键。

根据已知信息，找到系统对应的差分方程x k+1 = Ax k，求出A的特征值和对应的特征向量，再根据不同特征值的个数、绝对值大于1还是小于1、是实特征值还是复数特征值等情形，分析出系统的演化过程。

四．实验过程问题对应的差分方程为x k+1 = Ax k，其中A= 0.5 0.4-0.125 1.1 ，演化过程求解如下：第一步：求A的特征值和对应的特征向量。

利用如下的代码即可获得：A=[0.5 0.4;-0.125 1.1];[pc,lambda]=eig(A);[Y,I]=sort(diag(abs(lambda)),'descend');temp=diag(lambda);lambda=temp(I)pc=pc(:,I)运行程序可得A的特征值为lambda =1.00000.6000A 的特征向量pc =-0.6247 -0.9701-0.7809 -0.2425显然，这两个特征向量（即pc的第一列和第二列）是线性无关的，它们构成R2的一组基，为消除小数，选取V1= 4 V2= 4 P= 4 4 P﹣1AP= 1.00 05 1 5 1 0 0.60 第二步：V1用和V2表示x0和x K ,k=1,2….因为{ V1，V2}是R2的一组基，所以存在系数c1和c2,使得x0= c1 V1+ c2 V2.因为V1，V2为矩阵A对应于λ=1.0，u=0.6的特征向量，所以A V1=λV1，A V2=λV2，于是X1=Ax0=A(c1 V1+ c2 V2)= c1λV1+ c2uV2.X2=Ax1=A(c1λV1+ c2λV2)= c1λ2V1+ c2u2V2.一般地，X k= c1λk V1+ c2u k V2.= c1 (1.0)k 4 + c2 (0.6)k 4 k=0,1,2,3….5 1当k趋近于无穷大时，0.6^k 趋近于0，假定c1>0,则对于所有足够大的k，xk近似地等于c1 (1.0)k V1，写为X k≈c1(1.0)k 45K越大，近似程度越高，所以对于足够大的k，X k+1≈c1(1.0)k+1 45= X k可知猫头鹰和老鼠的数量几乎每月都相当,而且X k约为 45 的倍数，所以每4只猫头鹰对应着5000只老鼠。

《数学实验》报告学院: 电子信息学院专业班级: 信息工程电联班学号:姓名:实验名称: 特征根与特征方程实验日期: 2016/05/31特征根与特征方程1．实验目的掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念与理论; 掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法;理解由差分方程x k+1=Ax k;提高对离散动态系统的理解与分析能力。

2．实验任务1．当捕食者-被捕食者问题中的捕食系数p就是 0、125时,试确定该动态系统的演化(给出xk的计算公式)。

猫头鹰与森林鼠的数量随时间如何变化？该系统趋向一种被称为不稳定平衡的状态。

如果该系统的某个方面(例如出生率或捕食率)有轻微的变动,系统如何变化？2．杂交育种的目的就是培养优良品种,以提高农作物的产量与质量。

如果农作物的三种基因型分别为AA,Aa,aa。

其中AA为优良品种。

农场计划采用AA型植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代,已知双亲基因型与其后代基因型的概率。

问经过若干年后三种基因型分布如何？要求: （1）建立代数模型,从理论上说明最终的基因型分布。

（2）用MATLAB求解初始分布为0、8,0、2,0时,20年后基概率父体－母体基因型AA-AA AA-Aa AA-aa Aa-Aa Aa-aa aa-aa后代基因型AA11/201/400Aa01/211/21/20aa0001/41/21 3．实验过程3、1实验原理1、特征值与特征向量2、特征值与特征向量的求法3、矩阵的对角化4、离散线性动态系统5、eig命令3、2算法与编程3、2、1clear, clca = -20*100;b = -a;c = a;d = b; p = 0、1;n = 100;xlabel('|\lambda| >1,|u|<1')axis([0 b 0 d]),grid on,hold onx = linspace(a,b,30);A = [0、5 0、4;-0、125 1、1];[pc,lambda] = eig(A);[Y,I] = sort(diag(abs(lambda)),'descend');temp = diag(lambda);lambda = temp(I)pc = pc(:,I)pc = -pc;z1 = pc(2,1)/pc(1,1)*x;z2 = pc(2,2)/pc(1,2)*x;h = plot(x,z1),set(h,'linewidth',2),text(x(7),z1(7)-100,'v1')h = plot(x,z2),set(h,'linewidth',2),text(x(20),z2(20)-100,'v2')button = 1;while button == 1[xi yi button] = ginput(1);plot(xi,yi,'go'),hold onX0 = [xi;yi];X = X0;for i=1:nX = [A*X, X0];h = plot(X(1,1),X(2,1),'R、',X(1,1:2),X(2,1:2),'r-'); hold ontext(X0(1,1),X0(2,1),'x0')quiver([X(1,2),1]',[X(2,2),1]',[X(1,1)-X(1,2),0]',[X(2, 1)-X(2,2),0]',p)set(h,'MarkerSize',6),grid,endend3、2、2clear;A=[1 0、5 0;0 0、5 1;0 0 0];X=[0、8;0、2;0];for i=1:20X=A*X;endX20=XX=[0、8;0、2;0];C=[1 1 1]';n=0;while norm(X-C,'fro')>1、0e-16 C=X;n=n+1;X=A*X;endformat long;X,n结果分析1、2、>>X20 =0、9999998092651370、48630 X =1、00000、00000 n =524.实验总结与实验感悟通过本次实验,我了解了掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念与理论;掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法;理解由差分方程xk+1=Axk;提高对离散动态系统的理解与分析能力。