初中数学实数(二次根式)重难点题型梳理归纳
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(中考数学)实数与二次根式(知识点梳理)(记诵版)
第05讲 实数与二次根式知识点梳理考点01 平方根一、平方根1.平方根的概念：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫作a 的平方根（或二次方根）。
2.平方根的表示方法：正数a 的平方根可记作a ±，读作：正负根号a ，读作根号，a 是被开方数。
3.平方根的性质：若a x =2，那么a x =-2）（，则x -也是a 的平方根，所以正数a 的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0；因为相同的两个数的乘积为正，所以任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根（即0≥±a a ，）。
二、算数平方根1.算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫作a 的算术平方根。
2.算术平方根的表示方法：正数a 的算术平方根可记作a ，读作：根号a 。
3.算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。
一个正数a 的正的平方根就是它的算术平方根。
三、开平方1.求一个数a （0≥a ）的平方根的运算叫作开平方，其中a 叫作被开方数。
开平方运算是已知指数和幂求底数。
2.因为平方与开平方互为逆运算，所以可以通过平方来寻找一个数的平方根。
3.正数、负数、0都可以进行平方运算，且平方的结果只有一个；但开平方只有正数和0可以，负数不能开平方。
考点02 立方根1.立方根的概念：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即a x =3，那么这个数x 就叫作a的立方根（或三次方根）。
2.立方根的表示方法：a 的立方根可记作3a ，读作：三次根号a ，其中“3”是根指数，a 是被开方数，注意根指数“3”不能省略。
3.立方根的性质：（1）一个正数有一个正的立方根；（2）一个负数有一个负的立方根；（3）0的立方根是0；4.开立方：求一个数a 的立方根的运算叫作开立方。
5.立方根中被开方数可以是正数、负数和0,；开立方运算与立方运算互为逆运算；求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根。
《二次根式》知识点总结-题型分类-复习专用.doc
《二次根式》题型分类知识点一：二次根式的概念 【知识要点】二次根式的定义：形如五的戎子叫二次根式，其中么叫被开 方数，只有当么是一个非负数时，石才有意义.【典型例题】题型一：二次根式的判定【例1】下列各式1)卫,2)底,3)-存714)扬,5)』(-A 6)举一反三:1、 使代数式有意义的X 的取值范围是x-4( )A 、x>3 B. x > 3C 、 x>4D 、 x 》3且XH 42、 若式子丁鼻有意义，则x 的取值范围\l x — 3是 _____________ .题型去二次根式定义的运用【例 31 若 y= Qx-5 +』5-x ,则 x+y= _______________7)J/著换三：若x 、y 都是实数，且yr 求xy 的值1、下列各式中，一定是二次根式的是( )A 、乔B 、V^IOC 、yfa + lD 、题型二：二次根式有意义【例2】J 兀-2有意义的x 的取值范围是 ---------已知a 是亦整数部分，b 是 亦的小数部分, 求a-b 的值。
V5V 3,其中是二次根式的是 ------------ (填序号). 举一反三： 2、在丽、Vl + x 2 、的中是二次根式的个数有 ------- 个3、当。
取什么值时，代数式血 + 1+1取值最小, 并求出这个最小值。
知识点二：二次根式的性质【知识要点】1.非负性：V^(a>0)是一个非负数.2. (V^)2 =a(a>0).注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全 平方的形式：a = (7a)2(a>0)4.公式=\a\=l a^~^ 与(Va)2 =a(a>0)的区别与联系-a(a < 0)(1) 品表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数. (2) (需尸表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数. (3) Q 和(石尸的运算结果都是非负的.【典型例题】題型二：二次根式的牲廣2(公式(石)2二a(a > 0)的运用)注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.f 例5】化简：卜一1| + (丁^二5)2的结果为()A 、4-2aB 、0C 、2a —4D 、4举一反三：在实数范围内分解因式：才-3二 _________________ ; 題型去二次根式餉濒3(公式7^? = |a| = J a(a ~0)的应用)注意：(1)字母不一定是正数.-a(a < 0)(2) 能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.(3) 可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外.f 例6】已知x<2,则化简J(x —2)2的结果是A % x — 2B 、兀+ 2C. —X — 2D. 2 — x3.=|a|= <a(a > 0)-a(a < 0)举一反三:1、根式J(-3)2的值是()A. -3B. 3 或-3C. 3D. 9那么|疑-2a |可化简为()2、已知a<0,A. - aB. aC. 一3aD. 3a【例71如果表示a, b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简| a-b | + J(a + b)2的结果等于() ---- ----- -- --- Ab a oA. -2bB. 2bC. -2aD. 2a举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简:0-1| +J(Q-2)2= ______________ . 寸—()j-*-I：例811、把二次根式agl化简，正确的结果是( )A. J—aB. — J-aC. — -VaD.2、__________________________________________________________ 把根号外的因式移到根号内：当b>0时，-V7 = ; (。
二次根式知识点归纳及题型总结
二次根式知识点及题型归纳1. 二次根式的概念二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义．2. 二次根式的性质1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2.)0()(2≥=a a a注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a3. ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．4. 二次根式混合运算二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。
3. 最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式4. 二次根式计算——分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用a a a =⋅来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如b a +与b a -，b a +与b a -，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。
3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；5. 二次根式计算——二次根式的乘除1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
(完整版)二次根式知识点归纳及题型总结精华版
二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.；2.；3.；4.积的算术平方根的性质：；5. 商的算术平方根的性质：.6.假设，那么.知识点二、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意每一步运算的算理；2．二次根式的加减运算先化简，再运算，3．二次根式的混杂运算(1) 明确运算的序次，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；(2) 整式、分式中的运算律、运算法那么及乘法公式在二次根式的混杂运算中也同样适用.一. 利用二次根式的双重非负性来解题〔a0 〔a≥0〕，即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
〕1.〕。
A、3；B、x ；C、x21；D、x1以下各式中必然是二次根式的是〔2．等式(x 1)2＝1－ x 成立的条件是 _____________ ．3．当 x____________ 时，二次根式2x 3 有意义．4.x 取何值时，以下各式在实数范围内有意义。
〔 1〕〔 2〕1〔3〕5x 2 x1x4〔 4〕假设x( x1)x x1，那么 x 的取值范围是〔 5〕假设x3x3，那么 x 的取值范围是。
x1x16.假设3m 1 有意义，那么m能取的最小整数值是；假设 20m 是一个正整数，那么正整数m的最小值是________．7.当 x 为何整数时，10x11有最小整数值，这个最小整数值为。
8. 假设2004 a a2005a ，那么a2004 2=_____________；假设y x33x 4 ，那么x y9．设 m、n 满足n m299m22mn =。
m 3，那么10. 假设三角形的三边a、 b、 c 满足a24a 4 b 3 =0，那么第三边c的取值范围是11. 假设|4x8 |x y m0 ，且 y 0 时，那么〔〕 A 、0m1 B 、m2C、m 2 D、 m 2利用二次根式的性质2a(a b)(即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题二． a =|a|=0(a0)a(a0)1.x33x2＝－x x 3 ，那么〔〕 A.x≤0 B. x≤－ 3Ｃ. x≥－ 3 D.－ 3≤x≤ 02.． a<b，化简二次根式 a 3b 的正确结果是〔〕A．a ab B ．a ab C． a ab D ．a ab3.假设化简 | 1-x |-28x16 的结果为2x-5 那么〔〕 A 、 x 为任意实数B、1≤ x≤ 4C、 x≥1 D 、x≤ 4 x4. a， b， c 为三角形的三边，那么(a b c)2(b c a) 2(b c a) 2=5.当 -3<x<5 时，化简26921025 =。
二次根式知识方法题型总结
⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 二次根式知识方法题型总结一、本章知识内容归纳1.概念：①二次根式——形如 的式子；当 时有意义，当 时无意义；②最简二次根式——根号中不含 和 的二次根式；③同类二次根式—— 的二次根式；2.性质：①)0(0≥≥a a 非负性; ②)0()(2≥=a a a ;③ (字母从根号中开出来时要带绝对值 再根据具体情况判断是否需要讨论)3.运算: 运算结果每一项都是最简二次根式，且无可合并的同类二次根式.①乘法和积的算术平方根可互相转化:)0,0(≥≥=⋅b a ab b a ;②除法和商的算术平方根可互相转化:)0,0(>≥=b a ba b a③加减法：先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式；④混合运算：有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用；⑤乘法公式的推广：)0,.....0,0(...............21321321≥⋅≥⋅≥⋅⋅⋅=⋅⋅⋅n n n a a a a a a a a a a a 二、本章常用方法归纳方法1.开方 ①偶数次方：a a n n =2； ②奇数次方：a a a n n ⋅=+12方法2.分母有理化：①概念：分母有理化就是通过 使得其中 叫做该分母的有理化因式；②常用的有理化因式：a 与a 、b a +与b a -、b a +与b a -互为有理化因式；③分母有理化步骤：先将二次根式尽量化简，找分母最简有理化因式；将计算结果化为最简二次根式的形式。
方法3. 非0的二次根式的倒数①a 的倒数：a aa a ==11（a>0）; ②b a 的倒数：a b（a>0, b>0）; ③※因为=-+++)1)(1(n n n n ， 所以)1(n n ++的倒数为 ；方法4.利用“”外的因数化简“” ①a a aa a ==1)0(≥a ； ②)0,0(2≥≥=b a b a b a ；三、本章典型题型归纳（一）二次根式的概念和性质1．x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）2+x －x 23-；（2）x -－11+x ；（3）2||12--x x ；2．若x 、y 为实数，y ＝2-x ＋x -2＋3．则y x =3．根据下列条件，求字母x 的取值范围：（1）3)3(2+=+x x ； （2）x x -=2；（3）122+-x x ＝1－x ； （4）※22)3()2(-+-x x ＝1 ；4．已知12-a ＋a b 2-＋c b a ++＝0．则a= , b= , c= .5.已知()039322=+-+-x x y x ，则11++y x =______________6．在实数范围内因式分解：x 4－4＝______________．7．已知a,b,c 为三角形的三边， 则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=8.若最简二次根式1452+x 与最简二次根式164-x 可以合并，则x 的取值为 ※9．已知a<0，化简二次根式b a 3- =※10．把mm 1-根号外的因式移到根号内，得 （二）二次根式的运算11．乘除法口算：（1）61 （3）8517÷= （5）312=（2）81= （4）322= （6）y x 5= （9）33= （11）326-= （8）y x xy 3212÷= （10）26= （12）b b2142= （15）)25(122)341(-÷⋅-= 12. 计算：（能简算的要简算）（1）0(π1)123+-+-． （2）8＋(－1)3－2×22(3) 2484554+-+(5) x xx x 3)1246(÷-(8)62332)(62332(+--+）（11）673)32272(-⋅++※(12) 21418122-+- 3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 314．在数轴上与表示3的点的距离最近的整数点所表示的数是___________15．若一个正方体的长为cm 62，宽为cm 3，高为cm 2，则它的体积为 3cm .※16．23231+-与的关系是17．甲、乙两人对题目“化简并求值：21122-++a a a ，其中51=a ”有不同的解答： 甲的解答：549211)1(1211222=-=-+=-+=-++a a a a a a a a a a a ， 乙的解答：5111)1(1211222==-+=-+=-++a a a a a a a a a a 。
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二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1. ；2. ；3. ；4.积的算术平方根的性质：；5.商的算术平方根的性质：.6.若，则.知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意每一步运算的算理；2.二次根式的加减运算先化简，再运算，3.二次根式的混合运算(1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里；(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.a - 3 x x 2 +1 x -1(x -1)2 2x -3 - 1 2x + 15 + x x + 4x (x -1) x x -1 x + 3 x +13m - 1 20m 10x -1 a - 2005 x - 3 3 - x m 2 - 9 + 9 - m 2 + 2 mn b - 3 x - y - m a 2 x 3 + 3x 2 - a 3b - ababab - ab(a + b - c )2 (b - c - a )2 (b + c - a )2 x 2 + 6x + 9 x 2 -10x + 25 1- 2a + a 2 ⎪⎩一. 利用二次根式的双重非负性来解题（ ≥ 0 （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
）1. 下列各式中一定是二次根式的是（）。
A 、 ； B 、 ；C 、 ；D 、2. 等式 ＝1－x 成立的条件是．3. 当 x时，二次根式 有意义．4.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
（1）（2）（3）（ 4） 若 = ， 则 x 的 取 值 范 围 是 （ 5） 若 = x + 3 ， 则 x 的 取 值 范 围x +1是。
6. 若有意义，则 m 能取的最小整数值是 ；若 是一个正整数，则正整数 m 的最小值是．7. 当 x 为何整数时，+1 有最小整数值，这个最小整数值为。
二次根式知识点归纳及题型总结-精华版
二次根式知识点归纳与题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式得主要性质:１、; 2、; ３、;ﻫ4、积得算术平方根得性质:;ﻫ5、商得算术平方根得性质:、6、若，则、知识点二、二次根式得运算1.二次根式得乘除运算（1) 运算结果应满足以下两个要求:①应为最简二次根式或有理式;②分母中不含根号、（2）注意每一步运算得算理;2.二次根式得加减运算先化简,再运算, ﻫ3.二次根式得混合运算（１）明确运算得顺序，即先乘方、开方,再乘除,最后算加减,有括号先算括号里;ﻫ(2）整式、分式中得运算律、运算法则及乘法公式在二次根式得混合运算中也同样适用、一、利用二次根式得双重非负性来解题((a≥０),即一个非负数得算术平方根就是一个非负数。
）1、下列各式中一定就是二次根式得就是（）。
A、; B、；C、; D、2．等式＝1－x成立得条件就是_＿___＿_＿＿_＿_＿.3.当x_＿____＿__＿_＿时,二次根式有意义.4、x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
(1) (２) (３) ﻫ（4)若,则x得取值范围就是(5)若,则x得取值范围就是。
６、若有意义,则m能取得最小整数值就是 ;若就是一个正整数,则正整数ｍ得最小值就是＿_＿_____．7、当x为何整数时,有最小整数值,这个最小整数值为。
８、若,则=_＿_____＿＿____;若,则９.设m、n满足,则＝。
10、若三角形得三边ａ、ｂ、c满足=0，则第三边c得取值范围就是１1、若，且时,则( ) Ａ、Ｂ、ﻩC、D、二.利用二次根式得性质＝|a|=(即一个数得平方得算术平方根等于这个数得绝对值)来解题1、已知=-x,则( ） A、ｘ≤0 B、x≤-3 C、x≥-3 D、-3≤x≤02、．已知ａ<ｂ，化简二次根式得正确结果就是（)A. B. C．Ｄ.３、若化简｜1-ｘ|－得结果为2x－５则（ ) Ａ、x为任意实数B、1≤x≤4 C、ｘ≥1 D、x≤4４、已知a,b，c为三角形得三边,则=５、当－3＜x<５时，化简= 。
(word完整版)二次根式知识点总结及常见题型,推荐文档
∴ a 6 b 8 c 2 20c 100 0
∴ a 6 b 8 c 102 0 ∵ a 6 ≥0, b 8 ≥0, c 102 ≥0
∴ a 6 0, b 8 0, c 10 0
∴ a 6, b 8, c 10
∵ a 2 b 2 62 82 100, c 2 102 100
应用与书写规范:∵ A B 2 C 0 ,
A ≥0, B 2 ≥0, C ≥0
∴ A 0, B 0, C 0 . 该性质常与配方法结合求字母的值.
第1页
（2）
A B2
AB
A B
BA AA
B B;主要用于二次根式的化简.
（3） A
B
A2 B A 0
,其中 B ≥0;
A2 B A 0
习题 8. 已知 y x 2 4 4 x 2 ,则 x y 的值为_________. x2
习题 9. 已知非零实数 a, b 满足 a 2 8a 16 b 3 a 5b 2 1 4 a ,求 ab1 的值. 提示:由 a 5b2 1≥0,且 b2 1 0 可得: a 5 ≥0,∴ a ≥5.
∵无论 x 取任何实数,代数式 x 2 6x m 都有意义 ∴ y x 2 6x m ≥0 恒成立
即抛物线 y x 2 6x m 与 x 轴最多有一个交点
∴ 62 4m 36 4m ≤0
第3页
解之得: m ≥9. 例 5. 已知 a, b, c 是△ABC 的三边长,并且满足 a 6 8 b c 2 100 20c ,试判断△ABC 的形状. 分析:非负数的性质常和配方法结合用于求字母的值. 解:∵ a 6 8 b c 2 100 20c
该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符
八年级数学实数之二次根式知识点总结
一、二次根式的概念及性质：① 二次根式的概念：一般地，形如 √a （a≥0）的式子叫作二次根式，其中“ √ ” 称为二次根号，a称为被开方数。
例如，√2 ，√（x^2+1) ，√(x-1) (x≥1) 等都是二次根式 。
② 二次根式的性质：当 a ≥ 0 时，√a 表示 a 的算术平方根，所以√a 是非负数 ( √a ≥ 0)，即对于式子 √a 来说，不但 a ≥ 0，而且 √a ≥ 0，因此可以说 √a 具有双重非负性 。
③ 最简二次根式：1、被开方数中不含有分母 ；2、被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式 。
④ 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
⑤ 商的算术平方根的性质：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
注：对于商的算术平方根，最后结果一定要进行分母有理化。
⑥ 分母有理化：化去分母中根号的变形叫作分母有理化，分母有理化的方法是根据分数的基本性质，将分子和分母分别乘分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式）化去分母中的根号。
⑦ 化成最简二次根式的一般方法：1、将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方；2、若被开方数含分母，先根据商的算术平方根的性质对二次根式进行变形，再根据分母有理化的方法化简二次根式；3、若分母中含二次根式，根据分母有理化的方法化简二次根式 。
判断一个二次根式是否为最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点：（1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）若被开方数是和（或差）的形式，则先把被开方数写成积的形式，再判断，若无法写成积（或一个数）的形式，则为最简二次根式 。
⑧ 二次根式的加减：（1）先把每个二次根式都化成最简二次根式；（2）把被开方数相同的二次根式合并，注意合并时只把“系数”相加减，根号部分不动，不是同类二次根式的不能合并，即二、知识点讲解：1、二次根式的概念及有意义的条件：例题1、下列式子中，是二次根式的有 （ B ）例题2、使式子 √(m-2) 有意义的最小整数 m 的值是 2 。
2019人教版八年级数学下册第十六章 二次根式 二次根式知识点归纳及题型总结
2019人教版八年级数学下册第十六章二次根式二次根式知识点归纳及题型总结二次根式知识点归纳和题型归类一、知识框图二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质：1.二次根式的定义：形如√a（a≥0）的式子称为二次根式，其中a为被开方数，√为根号符号。
2.二次根式的双重非负性：对于任何实数a，有√a≥0，且（√a）²=a。
3.二次根式的有理化：将二次根式的分母中含有根号的有理数化为分母中不含根号的有理数。
4.积的算术平方根的性质：√(ab)=√a×√b（a≥0，b≥0）。
5.商的算术平方根的性质：√(a/b)=（√a）/（√b）（b>0）。
6.若a≥0，则√a²=a。
知识点二、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算：1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号。
2) 注意每一步运算的算理。
3) 乘法公式的推广：（a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²-2ab+b²。
2.二次根式的加减运算：先化简，再运算。
3.二次根式的混合运算：1) 明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里。
2) 整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用。
例题：1.下列各式中一定是二次根式的是（）。
A、3；B、x；C、x²+1；D、x-12.x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1）√(2x-1)；（2）√(x+4)/(2x+1)；（3）1/(x+1)；（4）√(3-x)+1；（5）3-x+√(1/x)；（6）2x-1.7）若x(x-1)=1，则x的取值范围是（）。
8）若(x+3)/(x-3)=(x+3)/(x+3)，则x的取值范围是。
3.若3m-1有意义，则m能取的最小整数值是；若20m是一个正整数，则正整数m的最小值是________。
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实数章末重难点题型汇编【考点1 无理数的概念】【方法点拨】无限不循环小数又叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有三类：（135,2等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如13π等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； 【例1】（2019春•博兴县期中）在3.14、√12、227、−√5、√273、2π、0.2020020002这六个数中，无理数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】解：3.14、227、√273、0.2020020002是有理数，√12、−√5、2π是无理数，无理数的个数是3，故选：C ．【变式1-1】（2018春•新罗区校级期中）下列说法中 ①无限小数都是无理数 ②无理数都是无限小数③﹣2是4的平方根 ④带根号的数都是无理数．其中正确的说法有（ ） A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【答案】①无限不循环小数都是无理数，故①错误；②无理数都是无限不循环小数，故②正确；③﹣2是4的平方根，故③正确；④带根号的数不一定都是无理数，故④错误；故选：B ．【变式1-2】（2018秋•东台市期中）下列实数中，√12、√93、−17、π2、﹣3.14、√0.1、√−273、0、0.3232232223…（相邻两个3之间依次增加一个2），无理数的个数是（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】解：√12=2√3，√0.1=√1010，√−273=−3，则无理数有：√12、√93、π2、√0.1、0.3232232223…，共5个．故选：D ．【变式1-3】（2019秋•安宁区校级期中）在下列各数中是无理数的有（ ）−√(−5)2、√36、17、0、﹣π、√113、3.1415、√15、2.010101…（相邻两个1之间有1个0）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个故选：C ．【考点2 无理数的估算】【方法点拨】无理数的估算，关键掌握二次根式的性质，能对根式进行估算. 【例2】（2018春•巫山县期中）估计√13+12的值在（ ） A ．1到2之间 B ．2到3之间 C ．3到4之间 D ．4到5之间【答案】解：∵3＜√13＜4，∴4＜√13+1＜5，∴√13+12的值在2到3之间．故选：B ． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出√13的取值范是解题关键． 【变式2-1】（2019春•北流市期中）设n 为正整数，且n ＜√83＜n +1，则n 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】解：∵√81＜√83＜√100，∴9＜√83＜10，又∵n 为正整数，∴n ＝9．故选：D ．【变式2-2】（2019春•嘉陵区）已知a ，b 分别是6−√13的整数部分和小数部分，则2a ﹣b 的值是（ ）A ．√13−2B ．2−√13C ．√13D ．9−√13【答案】解：∵3＜√13＜4，∴6−√13的整数部分是2，即a ＝2，6−√13的小数部分是6−√13−2＝4−√13，即b ＝4−√13，∴2a ﹣b ＝4﹣4+√13=√13；故选：C ． 【变式2-3】（2019春•郯城县期中）若a 是√10−1的整数部分，b 是5+√5的小数部分，则a （√5−b ）的值为（ ） A ．6B ．4C ．9D ．3√5【答案】解：∵2＜√10−1＜3，∴a ＝2，又∵7＜5+√5＜8，∴5+√5的整数部分为7∴b ＝5+√5−7=√5−2； ∴a （√5−b ）＝2×（√5−√5+2）＝4．故选：B ．【考点3 实数的大小比较】【方法点拨】实数大小比较常见方法有：倒数法、作差法、作商法、放缩法、两边平方法等等.【例3】（2019秋•河北期中）已知a =√7−√5，b =√5−√3，c ＝3−√7，则a 、b 、c 三个数的大小关系是（ ） A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞a ＞b【答案】解：∵a =√7−√5，b =√5−√3，c ＝3−√7，∴1a=√7−√5=√7+√52， 1b=√5−√3=√5+√32，1c =3−√7=3+√72，∵√7＞√3，∴1a ＞1b ， ∵3＞√5，∴1a＜1c，∴1c＞1a＞1b，∴b ＞a ＞c ．故选：B ．【变式3-1】（2019春•洪山区期中）比较实数：2、√5、√73的大小，正确的是（ ）A ．√73＜2＜√5 B ．2＜√73＜√5 C ．√5＜√73＜2D ．2＜√5＜√73【答案】解：∵2=√4＜√5，∴2＜√5，∵√73＜√83=2，∴√73＜2，∴√73＜2＜√5．故选：A ．【变式3-2】（2019春•淮北期中）比较√3−1与√32的大小，结果是（ ） A ．前者大 B ．后者大C ．一样大D ．无法确定【答案】解：∵√3−1−√32=√32−1＜√42−1＝1﹣1＝0，∴√3−1−√32＜0，∴√3−1＜√32，∴比较√3−1与√32的大小，结果是后者大．故选：B ．【变式3-3】（2019秋•乐山校级期中）已知a =√2−1，b =√6−2，c =2√2−√6，那么a 、b 、c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．.b ＜a ＜cD ．.c ＜a ＜b【答案】解：∵a ﹣c =√2−1﹣（2√2−√6）=√6−（1+√2）≈2.449﹣2.414＞0，∴a ＞c ；∵a ﹣b =√2−1﹣（√6−2）=√2+1−√6≈2.414﹣2.449＜0， ∴a ＜b ，∴c ＜a ＜b ．故选：D ．【考点4 二次根式相关概念】【方法点拨】（1a a ≥0)的式子叫做二次根式。
（2）最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
（3）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断。
【例4】（2018春•禹州市期中）下列各式：√10，√2a ，√b 2−1，√x 2+y 2，√−3，√4，√m 2+1中，一定是二次根式的个数是（ ） A ．3个B ．4个C ．5个D ．7个【答案】解：√10，√2a ，√b 2−1，√x 2+y 2，√−3，√4，√m 2+1中，一定是二次根式的是：√10，√x 2+y 2，√4，√m 2+1共4个．故选：B ．【变式4-1】（2019春•莱芜期中）二次根式：①√9−x 2；②√(a +b)(a −b)；③√a 2−2a +1；④√1x ；⑤√0.75中最简二次根式是（ ） A ．①②B ．③④⑤C ．②③D ．只有④【答案】解：2−2a +1=√(a −1)2=|a ﹣1|，被开方数含有开得尽方的因式，不是最简二次根式；④√1x =√x x⋅x =√xx ，被开方数含有分母，不是最简二次根式；⑤√0.75=√34=√32，被开方数含有小数（分数），不是最简二次根式；因此只有①②符合最简二次根式的条件．故选：A ．【变式4-2】（2019春•泰兴市期中）如果√12与最简二次根式√7−2a 是同类二次根式，那么a 的值是（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2【答案】解：√12=2√3．由题意，得7﹣2a ＝3，解得a ＝2，故选：D ． 【变式4-3】（2019春•定州市期中）与√a 3b 不是同类二次根式的是（ ） A ．√ab2B ．√b aC ．√abD ．√b a3【答案】解：√a 3b =|a|√abA 、√ab 2=√2ab2与|a|√ab 被开方数不同，不是同类二次根式；B 、√b a =√ab|a|与|a|√ab 被开方数相同，是同类二次根式； C 、√ab=√abab与|a|√ab 被开方数相同，是同类二次根式； D 、√b a 3=√ab a 2与|a|√ab 被开方数相同，是同类二次根式．故选：A ． 【考点5 二次根式有意义条件】【方法点拨】二次根式有意义条件需满足被开方数大于等于0. 【例5】（2018秋•东营区校级期中）二次根式√2−xx+3在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ． 【答案】解：∵二次根式√2−xx+3在实数范围内有意义，∴2﹣x ≥0，且x +3≠0，解得：x ≤2且x ≠﹣3． 故答案为：x ≤2且x ≠﹣3．【变式5-1】（2019春•杭锦后旗期中）已知y =√x −1+√1−x +3，则x ﹣y ＝ ． 【答案】解：∵y =√x −1+√1−x +3，∴{x −1≥01−x ≥0解得：x ＝1∴y ＝3∴x ﹣y ＝﹣2故答案为：﹣2【变式5-2】（2019春•黄石期中）已知实数a 满足|2006﹣a |+√a −2007=a ，则a ﹣20062＝ ． 【答案】解：根据题意得，a ﹣2007≥0，解得a ≥2007，∴原式可化为：a ﹣2006+√a −2007=a ， 即√a −2007=2006，两边平方得，a ﹣2007＝20062，∴a ﹣20062＝2007．故答案为：2007．【变式5-3】（2018春•荔湾区校级期中）已知a =2√b 2−4+√4−b2b−2+3b ，则a +b 的立方根是 ．【答案】解：由题意，得b 2＝4且b ﹣2≠0．所以b ＝﹣2，所以a ＝﹣6．所以a +b ＝﹣8．所以√−83=−2．故答案是：﹣2．【考点6 二次根式的性质与化简】【方法点拨】掌握二次根式的性质是关键：①2(a a = (a ≥0)； 2a a = (a ≥0)； 2a a = (a取全体实数)。
【例6】（2019春•昌江区校级期中）把根号外的因式移到根号内：(a −1)√11−a = ． 【答案】解：原式＝﹣（1﹣a ）√11−a=−√(1−a)2•√11−a=−√(1−a)2⋅11−a=−√1−a ．故答案是：−√1−a ．【变式6-1】（2018春•宜兴市期中）已知xy ＞0，则化简代数式x √−yx 2的结果是 ． 【答案】解：∵xy ＞0，且√−y x 2有意义，∴x ＜0，y ＜0，∴x √−yx 2=x •√−y −x=−√−y ． 故答案为：−√−y ．【变式6-2】（2018春•肥城市期中）若√4x 2−4x +1=1﹣2x ，则x 的取值范围是 ． 【答案】解：已知等式变形得：√(2x −1)2=|2x ﹣1|＝1﹣2x ，∴2x ﹣1≤0，解得：x ≤12．故答案为：x ≤12．【变式6-3】（2018秋•杞县期中）实数a 、b 、c 在数轴上的对应点的位置如图，化简：√a 2+|a +b|+√(c −a)2−|b −c|= ．【答案】解：由题得，c ＞0＞b ＞a ，∴√a 2+|a +b|+√(c −a)2−|b −c|＝﹣a ﹣a ﹣b +c ﹣a +b ﹣c ＝﹣3a ．故答案为﹣3a ．【考点7 实数的运算】【例7】（2019春•老河口市期中）计算：（1）(−√2)2×√(−2)2+√(−4)33×(−12)2−√273（2）|√2−√3|+|1−√2|+√3(√3−1√3) 【答案】解：（1）原式=2×2+(−4)×14−3＝4﹣1﹣3＝0； （2）原式=√3−√2+√2−1+3−1=√3+1．【变式7-1】（2019春•费县期中）（1）计算：（1）(−2)2×√14+|√−83|+√2×(−1)2019（2）解方程：3（x ﹣2）2＝27【答案】解：（1）原式＝4×12+2+−√2＝4−√2；（2）3（x ﹣2）2＝27 （x ﹣2）2＝9，则x ﹣2＝±3，解得：x ＝﹣1或5．【变式7-2】（2019春•阆中市期中）计算 （1）√4−√273−|√−83|+√183−√(−2)2； （2）√3(1√3√3)−|√2−2|． 【答案】解：（1）原式＝2﹣3﹣2+12−2＝﹣412； （2）原式＝1﹣3﹣（2−√2）＝﹣4+√2． 【变式7-3】（2019春•泰山区期中）计算：（1）√32−√20+√50−√80（2）√313÷√116×√225（3）23√9x +7√x 2−3x √1x−32√18x （4）(√2−√3)2(5+2√6)． 【答案】解：（1）原式＝4√2−2√5+5√2−4√5＝9√2−6√5； （2）原式=√103×67×125=4√217； （3）原式＝2√x +7√2x2−3√x −9√2x2=−√x −√2x ；（4）原式＝（2+3﹣2√6）（5+2√6）＝25﹣24＝1． 【考点8 平方根与立方根的性质应用】【方法点拨】理解平方根、算术平方根、立方根的定义是关键：（1）一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。