8知识讲解_《空间几何体》全章复习与巩固(提高)

可编辑修改精选全文完整版第1讲空间几何体一、空间几何体1、空间几何体在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分。

如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。

2、多面体和旋转体多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱及棱的公共点叫做多面体的顶点。

旋转体：由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转几何体。

这条定直线叫做旋转体的轴。

多面体旋转体圆台圆柱-圆锥圆柱+圆锥圆台+大圆锥-小圆锥二、柱、锥、台、球的结构特征1.棱柱定义图形表示分类性质有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面。

用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如：棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1。

棱柱的分类一(底面）：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、……我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、……棱柱的分类二(根据侧棱及底面的关系）：斜棱柱: 侧棱不垂直于底面的棱柱.直棱柱: 侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱(1)上下底面平行,且是全等的多边形。

(2)侧棱相等且相互平行。

(3) 侧面是平行四边形。

正棱柱: 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱三棱柱四棱柱五棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱2.棱锥定义图形表示性质分类有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

用顶点及底面各顶点字母表示棱锥,如：棱锥Ｓ－ＡＢＣ侧面是三角形，底面是多边形。

按底面多边形的边数分类可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等等，其中三棱锥又叫四面体。

特殊的棱锥－正棱锥定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心三棱锥四棱锥五棱锥直棱锥2.棱台定义图形表示分类性质用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。

第1讲空间几何体一、空间几何体1、空间几何体在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分。

如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。

2、多面体和旋转体多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。

旋转体：由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转几何体。

这条定直线叫做旋转体的轴。

多面体旋转体圆台圆柱-圆锥圆柱+圆锥圆台+大圆锥-小圆锥二、柱、锥、台、球的结构特征1.棱柱定义图形表示分类性质有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面。

用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如：棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1。

棱柱的分类一(底面）：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、……我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、……棱柱的分类二(根据侧棱与底面的关系）：斜棱柱: 侧棱不垂直于底面的棱柱.直棱柱: 侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱正棱柱: 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱(1)上下底面平行,且是全等的多边形。

(2)侧棱相等且相互平行。

(3) 侧面是平行四边形。

三棱柱四棱柱五棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱2.棱锥定义图形表示性质分类有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

用顶点及底面各顶点字母表示棱锥,如：棱锥Ｓ－ＡＢＣ侧面是三角形，底面是多边形。

按底面多边形的边数分类可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等等，其中三棱锥又叫四面体。

特殊的棱锥－正棱锥定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心三棱锥四棱锥五棱锥直棱锥用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。

《人教A版必修二知识点汇总》第8章《立体几何初步》知识点汇总8.1 基本立体图形1.空间几何体、多面体、旋转体的定义（1）空间几何体的定义空间中的物体都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.（2）多面体的概念像纸箱、金字塔这样，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.①面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.如图，有面ABE, 面BCE，面ABF等.②棱：两个面的公共边叫做多面体的棱；如图，有棱BE，棱CE，棱DE等.③顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.如图，有顶点A,顶点B,顶点C等.（3）旋转体的概念像奶粉罐、篮球和足球这样，一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴 .如图：圆柱体就是由矩形OAA1O1绕轴OO1旋转而成.（4）小结2.特殊的多面体（1）棱柱①棱柱的概念与结构特征如图，一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.Ⅰ.底面(底)：两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形.Ⅱ.侧面：其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形.Ⅲ.侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，它们都是相互平行且相等的线段.Ⅳ.顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.温馨提示A.两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图（a）所示;B.过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图(b)所示;C.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如图(c)所示.②棱柱的表示与分类棱柱用表示底面各顶点的字母来表示，棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……，我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……例如，右图中的棱柱分别表示为三棱柱ABC−A1B1C1,四棱柱ABCD−A1B1C1D1,五棱柱ABCDE−A1B1C1D1E1.③几种特殊的棱柱Ⅰ.直棱柱：一般地，我们把侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.如右图中直四棱柱ABCD−A1B1C1D1.Ⅱ.斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.如右图中斜三棱柱ABC−A1B1C1.Ⅲ.正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.如右图中五棱柱ABCDE−A1B1C1D1E1.Ⅳ.平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体.如右图中平行六面体ABCD−A1B1C1D1.（2）棱锥①棱锥的概念与结构特征有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.Ⅰ.底面：这个多边形面叫做棱锥的底面；Ⅱ.侧面：有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；Ⅲ.侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；Ⅳ.顶点：各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.温馨提示：对于棱锥要注意，有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，如图所示，必须强调其余各面是具有公共顶点的三角形.②棱锥的表示与分类棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母来表示，棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形……，我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……注：其中三棱锥又叫四面体.例如，右图中的棱锥分别表示为三棱锥(四面体)O−ABC,四棱锥O−ABCD,五棱锥O−ABCDE.③特殊的棱锥——正棱锥底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.（3）棱台①棱台的概念与结构特征用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台.Ⅰ.上（下）底面：在棱台中，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，且上下底面是相似图形.Ⅱ.侧面：其余各个梯形面叫做棱台的侧面；Ⅲ.侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；Ⅳ.顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点.温馨提示：棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台.②棱台的表示与分类棱台用表示底面各顶点的字母来表示，由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……例如，右图中的棱台分别表示为三棱台ABC−A1B1C1,四棱台ABCD−A1B1C1D1,五棱锥ABCDE−A1B1C1D1E1.3.特殊的旋转体（1）圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.①轴：旋转轴叫做圆柱的轴；②底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；③侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；④母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱的母线.注：圆柱用表示它的轴的字母表示，如图中的圆柱记作圆柱O1O.（2）圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.①轴：旋转轴叫做圆锥的轴；②底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；③侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；④母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线.注：圆锥用表示它的轴的字母表示，如图中的圆锥记作圆锥SO.（3）圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.①轴：旋转轴叫做圆台的轴；②底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆台的底面；③侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面叫做圆台的侧面；④母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆台的母线.注：圆台用表示它的轴的字母表示，如图中的圆台记作圆台O1O.（4）球半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 .①球心：半圆的圆心叫做球的球心；②半径：连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；③直径：连接球面上两点并经过球心的线段叫做球的直径；注：球常用表示球心的字母表示，如图中的球记作球O.4.简单组合体（1）定义：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.（2）构成形式①一种是由简单几何体拼接而成的，如图1；②另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的，如图2.8.2 立体图形的直观图二.知识清单（导学、自学）1.直观图的概念像上面这样，把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使其既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图.2.用斜二测画法画水平放置平面图形的直观图（1）建系在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点 O′ ，且使∠x′O′ y′=45°或135°，它们确定的平面表示水平面.（2）划线（平行不变）已知图形中平行于 x 轴和 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴与y′轴的线段.3.取长度(与 x 轴平行长度不变，与y轴平行长度取半)已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.温馨提示画平面图形的直观图时，除多边形外，还经常会遇到画圆的直观图的问题，生活的经验告诉我们，水平放置的圆看起来非常像椭圆，因此我们一般用椭圆作为圆的直观图.2.用斜二测画法画空间几何体的直观图（1）探究用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm，2 cm，2 cm的长方体ABCD－A′ B′ C′ D′的直观图.解画法步骤如下①画轴：如图（1）画 x 轴，y 轴， z 轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.②画底面:如图（2），在 x 轴正半轴上取线段AB，使AB=4cm；在y 轴正半轴上取线段AD，使AD=1cm；过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C，则平行四边形ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图.③画侧棱:在z轴正半轴上取线段AA′，使AA=2cm，过B，C，D各点分别作的z轴的平行线，在这些平行线上分别截取2 cm长的线段 BB′，CC′，DD′.④连线成图：顺次连接A′ ，B′ ，C′ ，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图.（2）用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤①画轴：画 x 轴，y 轴， z 轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°或135°，∠xOz＝90°.②画底面：按照平面图形的画法，，在平面xOy画底面的直观图.③画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.④连线成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.温馨提示画空间几何体的直观图时，需特别注意实虚线的应用，被遮住的线必须用虚线，体现层次性和立体感.4.用斜二测画法画圆锥、球的直观图（1）圆锥体的直观图对于圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线，如图所示.（2）球的直观图画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆，同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性，如图所示.8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积1.复习导入——正方体、长方体的体积公式及其表面积公式（1）正方体体积公式及其表面积公式设正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a(a>0),那么S正方体=6×一个面的面积=6a2.V正方体=底面积×高=棱长×棱长×棱长=a3.（2）长方体体积公式及其表面积公式设长方体ABCD－A′B′C′D′的长、宽、高分别为 a,b ,c(a,b,c>0),那么S长方体=(S底+S正+S右)×2=2(ab+ac+bc).V长方体=底面积×高=长×宽×高=abc.2.多面体的表面积由刷漆原理可知：(1)多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.3.棱柱、棱锥、棱台的体积（1）棱柱的体积由堆积原理可知：一般地，如果棱柱的底面积是S，高是ℎ，那么这个棱柱的体积为V棱柱=底面积×高=Sh简述为：“棱柱的体积等于它底面积与高的乘积 . ”注：棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离.（2）棱锥的体积由灌注原理可知：一般地，如果棱锥的底面积是S，高是ℎ，那么这个棱锥的体积为V棱锥=13V棱柱=13Sh简述为：“棱锥的体积等于与它等底等高棱柱体积的13”注：棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离. （4）棱台的体积由截去原理可知：一般地，棱台的体积公式为V棱台=13h(S+√SS′+S′)其中S′与S分别为棱台的棱台的上、下底面面积，ℎ为棱台的高.简述为：“棱台的体积等于上下底面的面积与它们的几何平均数之和，再乘以棱台高的乘积的13.”注：棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离.（4）棱柱、棱锥、棱台的体积之间的关系①当S′=S时，棱台变为棱柱，棱台的体积公式也就是棱柱的体积公式;②当 S′=0时，棱台变为棱锥，棱台的体积公式也就是棱锥的体积公式.4.实例运用例1 如图，四面体P－ABC的各棱长均为a，求它的表面积．解：由题意可知四面体P－ABC是由4个边长为a的正三角形面围成∵S正三角形PBC =12a2sin60°=12×√32∙a2=√34∙a2∴S四面体P－ABC =4S正三角形PBC=4×√34∙a2=√3a2答：四面体P－ABC的表面积为√3a2.例2 如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面ABCD是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到0.01m)解：由题意可得V长方体ABCD－A′B′C′D′=Sℎ=12×0.5=0.5(m3)V棱锥P−ABCD =13Sℎ=13×12×0.5=16(m3)∴V漏斗=V长方体ABCD－A′B′C′D′+ V棱锥P−ABCD=0.5+ 16=23≈0.67(m3)答：这个漏斗的容积约是0.67m3.8.3.2 圆柱、圆锥、圆台的体积1.圆柱、圆锥、圆台的体积（互学）（1）圆柱的体积由堆积原理可知：一般地，如果圆柱的底面圆半径是r，高是ℎ，那么这个圆柱的体积为V圆柱=底面圆面积×高= Sh =π r2∙h.简述为：“圆柱的体积等于它底面圆面积与高的乘积”例如已知一圆柱的底面圆半径为2cm，高为3cm，则这个圆柱的体积为V圆柱=π r2∙ℎ=π× 22×3=12π(cm3)（2）圆锥的体积由灌注原理可知：一般地，如果圆锥的底面圆半径是r，高是ℎ，那么这个圆锥的体积为V圆锥=13V圆柱=13Sh=13π r2∙h简述为：“圆锥的体积等于与它等底等高圆柱体积的13”(3)例如已知一圆锥的底面圆半径为2m，高为3m，则这个圆柱的体积为V圆锥=13Sℎ=13π r2∙ℎ=13π×22×3=4π(m3)3.圆台的体积由截去原理可知：一般地，圆台的体积公式为V圆台=13h(S＇+√S＇S+S)=13h(πr＇2+√πr＇2πr2+πr2)=13πh(r＇2+r＇r+r2) .其中S′与S分别为圆台的上、下底面圆面积，ℎ为圆台的高，r′与r分别为上、下底面圆半径.简述为：“圆台的体积等于上下底面圆的面积与它们的几何平均数之和，再乘以圆台高的乘积的13”(3)例如已知一圆台的上下底面圆半径分别为1dm、2dm, 高为3dm，则这个圆台的体积为V圆台=13πℎ(r＇2+r＇r+r2)=13π×3×(12+1×2+22)=7πdm3.（4）圆柱、圆锥、圆台的体积之间的关系①当 r′=r时，圆台变为圆柱，圆台的体积公式也就是圆柱的体积公式;②当 r′=0 时，圆台变为圆锥，圆台的体积公式也就是圆锥的体积公式.2.实例运用例1 已知某圆柱高为10，底面周长为8π，求圆柱的体积.解：设圆柱的底面圆半径为 r (r>0)∵已知C底=8π∴满足2πr=8π ,解得r=4又∵已知 ℎ=10∴V圆柱=π r2∙ℎ=π× 42×10=160π答：这个圆柱的体积为160π例2 已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16√2π，求圆锥的体积.解：作圆锥的轴截面，如图所示∵已知轴截面是等腰直角三角形∴在∆SAB中，∠ASB=90°, 且SA=SB设圆锥的底面圆半径是r，高是 ℎ则 ℎ=r, SB=√2r又∵已知S侧=16√2π∴12×2πr∙SB=16√2π , 即πr×√2r=16√2π解得r=4，∴ℎ=r=4∴V圆锥=13Sℎ=13π r2∙ℎ=13π×42×4=64π3例3已知圆台的上、下底面半径分别为2和 3 ，它的高为 6 ，求圆台的体积. 解：设圆台的高为ℎ，上、下底面圆半径分别为r′与r，则V圆台=13ℎ(S＇+√S＇S+S)=13πℎ(r＇2+r＇r+r2)=13π×6×(22+2×3+32)=38π答：这个圆台的体积为38π8.4.1 平面1.平面的概念、画法及表示（1）面的概念几何里所说的“平面”，就是从生活中的平静的湖面、课桌面、美丽的草原抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延展的，没有厚薄、没有大小、没有形状.（2）平面的画法与表示①画法在立体几何中，平面通常画成一个含45°角的平行四边形.Ⅰ.当平面水平放置时，通常把平行四边形一组对边画成横向，如图（1）；Ⅱ.当平面竖直放置时，通常将平行四边形的一组对边画成竖向，如图Ⅲ.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来或者不画.②表示Ⅰ.我们常用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内;Ⅱ.也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图（1）中的平面α，也可以表示为平面ABCD、平面 AC 或者平面 BD.2.点、线、面之间的关系及符号表示∵直线上有无数个点，平面内有无数个点，∴直线、平面都可以看作以点为元素组成的集合，于是可将点、线、面之间的关系用符号表示如下所示：位置关系符号表示位置关系符号表示点P在直线l上P∈l点Q在直线l外Q∉l点P在平面α内P∈α点H在平面α外H∉α直线l在平面α内l⊂α直线m在平面α外m⊄α3.平面的基本事实及其推论（1）基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.简述为：“不共线的三点确定一个平面.”基本事实1用数学符号语言表示为：A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α，使 A，B，C∈α（2）基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.注1(作用)：利用基本事实2，可以判断直线是否在平面内.基本事实2用数学符号语言表示为：A∈l，B∈l，且 A∈α，B∈α ⇒l⊂α（3）基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.注：如无特殊说明，本章中的两个平面均指两个不重合的平面.基本事实3用数学符号语言表示为：P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l （4）平面基本事实的三个推论利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论:推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.平面基本事实的三个推论用数学符号语言表示为：推论1：点 A∉l⇒l与A共面于平面α，且平面唯一；推论2：a∩b＝P⇒a与b共面于平面α，且平面唯一；推论3：直线a∥b⇒直线a，b共面于平面α，且平面唯一.3.实例运用例1下列命题正确的是( )A. 三点确定一个平面B. 一条直线和一个点确定一个平面C. 圆心和圆上两点可确定一个平面D. 梯形可确定一个平面解：对于A，空间不共线的三点可以确定一个平面，∴A错;对于B，在空间中，如果这个点在直线上，就不能确定一个平面，∴B错；对于C，圆心和圆上的两点如果在一条直线上，就不能确定一个平面，∴C错;对于D，梯形只有一组对边平行，所以梯形可以确定一个平面，∴D正确.故选D.例2用符号表示下列语句，并画出相应的图形；(1)点A在平面α内，点B在平面α外；(2)直线a既在平面α内，又在平面β内．解：（1）“点A在平面α内，点B在平面α外”表示为：A∈α，B∉α，如图（1）所示.例4解（2）“直线a既在平面α内，又在平面β内”表示为：a⊂α，a⊂β,且 α⋂β=a，如图（2）所示.8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系1.空间中两条直线的位置关系由图可知，（1）平行直线：直线AB与DC在同一个平面ABCD内，它们没有公共点，它们是平行直线;（2）相交直线：直线AB与BC在同一个平面ABCD内，它们只有一个公共点B，它们是相交直线;（3）异面直线①定义：如图（1），像直线AB与CC′这样，空间中不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.②画法：如图（2），如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托.③判定方法：由异面直线的定义及画法可得如下异面直线的判定方法Ⅰ.定义法：不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线；Ⅱ.反证法：既不平行，也不相交的两条直线是异面直线；Ⅲ.定理法：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线.(如右图一)定理法数学语言表示为：“AB∩α=B,A∉α,a⊂α,B∉a⇒直线AB与a是异面直线”（4）实例运用例1选择题(1)如果两条直线a与b没有公共点，那么a与b( )A.共面B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线(2)设直线a,b分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线,则a与b( )A.平行B.相交C.是异面直线D.可能相交，也可能是异面直线解：（1）选D（2）选D例2 如图，在长方体ABCD−A′B′C′D′中，判定直线AB与AC，直线AC与A′C′，直线A′B与AC，直线A′B与C′D的位置关系．解:如图，在长方体ABCD−A′B′C′D′中直线AB与AC为相交直线，直线AC与A′C′为平行直线，直线A′B与AC为异面直线，直线A′B与C′D为异面直线2.空间中直线与平面的位置关系由探究可知，直线与平面的位置关系有且只有如下三种：（1）关系1：直线a在平面α内——有无数个公共点，记作 a⊂α.（2）关系2：直线a与平面α相交——只有1个公共点，记作 a∩α=A.（3）关系3：直线a与平面α平行——没有公共点，记作 a∥α.温馨提示：直线a在平面α外包括两种情形——a∥α与a∩α＝A.3.空间中平面与平面的位置关系（1）空间中平面与平面的位置关系由探究可知，平面与平面的位置关系有且只有如下两种：①关系1：平面a与平面β平行——没有公共点，记作α∥β.②关系2：平面a与平面β相交——有一条公共直线，记作 α∩β=l.温馨提示：画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.（2）实例运用例3如图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系．解：在图（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在图（2）中，α∩β=l,a⊂α, b⊂β a∩l=P,b∩l=P,a∩b=P.8.5.1 直线与直线平行1.基本事实4（平行线的传递性）（1）基本事实4（平行线的传递性）空间中平行于同一条直线的两条直线平行.基本事实4用数学符号表示为： a∥b,b∥c⇒a∥c温馨提示:基本事实4表明了平行的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法.（2）实例运用例1如图，空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形．证明：如图，连接BD,∵已知E,H分别是边AB，DA的中点∴EH为∆ABD的中位线∴ EH∥BD,且EH=12BD同理可得FG∥BD,且FG=12BD∴EH ∥= FG∴四边形EFGH是平行四边形．2.等角互补定理（互学）（1）等角互补定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.等角互补定理用数学符号表示为：已知空间中两个角∠BAC与∠B′A′C′,且AB∥A′B′ ,AC∥A′C′⇒∠BAC=∠B′A′C′,或∠BAC+∠B′A′C′=180°（2）实例运用例2如图，在四面体A−BCD中，E,F,G分别为AB,AC,AD上的点，若EF∥BC,FG∥CD，则∆EFG和∆BCD有什么关系？为什么？解:∵EF∥BC，∴AEAB =AFAC=EFBC又∵FG∥CD，∴AFAC =AGAD=FGCD，∴AEAB =AGAD,∴EG∥BD∴由等角定理可知∠EFG=∠BCD，∠FGE=∠CDB,∠GEF=∠DBC∴△EFG∽△BCD(三角定理)8.5.2 直线与平面平行1.直线与平面平行的判定定理（1）直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.直线与平面平行的判定定理用数学符号表示为：a⊄α,b⊂α,且a∥b⇒a∥α温馨提示:(1)定理中的三个条件“a⊄α，b⊂α，a∥b”缺一不可;(2)判定定理实质是——“ 线线平行⇒线面平行”.（2）实例运用例1 求证:空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.（四）成果展示1(迁移变通、检测实践)例1 解：第1步：作图第2步：数学语言翻译已知：如图，空间四边形ABCD中，E,F分别是AB,AD的中点.求证：EF∥平面BCD.第3步：证明证明：如图，连接BD,∵已知E,F分别是AB,AD的中点∴EF为∆ABD的中位线∴EF∥BD又∵ EF⊄平面BCD,BD⊂平面BCD,∴EF∥平面BCD故原命题成立2.直线与平面平行的性质定理（1）直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.直线与平面平行的性质定理用数学符号表示为：a∥α,a⊂β,且α⋂β=b⇒a∥b温馨提示(1)定理中的三个条件“a∥α,a⊂β,且α⋂β=b”缺一不可.(2)性质定理实质是——“线面平行⇒线线平行”.（2）实例运用例2 已知α⋂β=a,b⊂α,c⊂β,b∥c求证：a∥b∥c解：∵已知 b∥c，b⊄α,且c⊂β∴ b∥β又∵已知 b⊂α，α⋂β=a,∴ b∥a∴a∥b∥c8.5.3平面与平面平行1.平面与平面平行的定义如图，空间中没有公共点的两个平面叫做平行平面.记作：α∥β .温馨提示:两个平面平行的充要条件为（1）如果两个平面平行，那么这个平面内的任意一条直线都与另一个平面没有公共点.（2）如果一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行.2.平面与平面平行的判定定理（1）平面与平面平行的判定定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.平面与平面平行的判定定理用数学符号表示为：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α温馨提示:(1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的条件.(2)平面与平面判定定理实质是——“线面平行⇒面面平行”.（2）实例运用例1 如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1,求证平面AB1D1∥平面BC1D.证明：∵已知ABCD−A1B1C1D1为正方体∴D1C1∥=A1B1, AB∥=A1B1∴D1C1∥= AB∴四边形D1C1BA为平行四边形∴D1A∥C1B又∵D1A⊄平面BC1D,C1B⊂平面B C1D,∴D1A∥平面B C1D, 同理可得D1B1∥平面B C1D又∵D1A⋂D1B1=D1且D1A，D1B1⊂平面AB1D1∴平面AB1D1∥平面BC1D.3.直线与平面平行的性质定理（1）平面与平面平行的性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.平面与平面平行的性质定理用数学符号表示为：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b温馨提示(1)定理中的三个条件“ α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b”缺一不可.(2)性质定理实质是——“面面平行⇒线线平行”.（2）实例运用例2求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.第一步：作图；第二步：数学语言翻译；如图，已知α∥β，AB∥CD,且A∈α,C∈α,B∈β,C∈β求证：AB=CD.第三步：证明；证明：如图，过平行线AB，CD作平面γ，与平面α和β分别交于AC和BD∵已知 α∥β,α∩γ＝AC，β∩γ＝BD∴AC∥BD又∵已知AB∥CD∴四边形ABCD为平行四边形∴AB=CD8.6.1 直线与直线垂直1.异面直线所成的角（1）平面内相交直线所成的角规定：平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)，它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度.特别地，当两条相交直线a与b所成角为90°时，就称这两条相交直线互相垂直, 记作a⊥b .提示：类似地，我们也可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系.。

高中数学空间几何体知识点总结一、空间几何体的基本概念1、空间几何体的定义：在空间中，由一些平面和曲面所围成的封闭图形称为空间几何体。

2、空间几何体的分类：空间几何体可分为多面体和旋转体两大类。

多面体是由平面多边形围成的立体图形，而旋转体则是由平面图形绕其中一边旋转形成的。

二、空间几何体的表面积和体积1、空间几何体的表面积：表面积是指空间几何体的所有外露平面的面积之和。

对于一些规则的空间几何体，如长方体、圆柱体、球体等，表面积的计算公式相对简单。

对于不规则的空间几何体，一般需要通过拆分和组合的方法，将它们分解成简单的几何体来计算表面积。

2、空间几何体的体积：体积是指空间几何体所占空间的大小。

对于一些规则的空间几何体，如长方体、圆柱体、球体等，体积的计算公式相对简单。

对于不规则的空间几何体，一般需要通过拆分和组合的方法，将它们分解成简单的几何体来计算体积。

三、空间几何体的视图和直观图1、空间几何体的视图：视图是指从空间几何体的某一个方向看过去所得到的图形。

常见的视图包括主视图、俯视图、左视图等。

在求解空间几何体的体积或表面积时，通过视图可以帮助我们更好地理解空间几何体的形状和结构。

2、空间几何体的直观图：直观图是指用平行投影的方法将空间几何体投影到一个平面上所得到的图形。

直观图可以反映空间几何体的整体结构和相互关系，是求解空间几何问题的重要工具。

四、空间几何体的常见问题1、空间几何体的形状识别：在解决空间几何问题时，首先需要识别空间几何体的形状。

这可以通过观察空间几何体的特征、测量其边长和角度等方法来实现。

2、空间几何体的表面积和体积计算：表面积和体积是空间几何体的两个重要属性。

对于一些规则的空间几何体，其表面积和体积的计算公式相对简单。

对于不规则的空间几何体，需要采用拆分和组合的方法，将它们分解成简单的几何体来计算表面积和体积。

3、空间几何体的相交问题：当两个或多个空间几何体相交时，会产生交线或交面的问题。

空间几何体结构及其三视图【学习目标】（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.（2）能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图表示的立体模型，会用材料(如纸板)制作模型，并会用斜二测法画出它们的直观图.（3）通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.（4）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.【知识络】【要点梳理】要点一．空间几何体的结构及其三视图和直观图1．多面体的结构特征（1）棱柱（以三棱柱为例）如图：平面ABC与平面A1B1C1间的关系是平行，ΔABC与ΔA1B1C1的关系是全等．各侧棱之间的关系是：A1A∥B1B∥C1C，且A1A=B1B=C1C．（2）棱锥（以四棱锥为例）如图：一个面是四边形，四个侧面是有一个公共顶点的三角形．（3）棱台棱台可以由棱锥截得，其方法是用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面和底面之间的部分为棱台．2．旋转体的结构特征旋转体都可以由平面图形旋转得到，画出旋转出下列几何体的平面图形及旋转轴．要点二．空间几何体的三视图和直观图1．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的开关和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．2．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：（1）原图形中x轴．y轴．z轴两两垂直，直观图中，x’轴．y’轴的夹角为45o（或135o），z’轴与x’轴和y’轴所在平面垂直；（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行、平行于x轴和z轴的线段长度在直观图不变，平行于y轴的线段长度在直观图中减半．3．平行投影与中心投影平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点．要点诠释：空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上的区别是：（1）观察角度：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的图形；（2）投影效果：三视图是正投影下的平面图形，直观图是在平行投影下画出的空间图形．要点三．空间几何体的表面积和体积1．旋转体的表面积2．几何体的体积公式（1）设棱（圆）柱的底面积为S ，高为h ，则体积V =Sh ；（2）设棱（圆）锥的底面积为S ，高为h ，则体积V =13Sh ； （3）设棱（圆）台的上．下底面积分别为S '，S ，高为h ，则体积V =13（'S S ）h ；（4）设球半径为R ，则球的体积V =43π3R ． 要点诠释：1．对于求一些不规则几何体的体积常用割补的方法，转化成已知体积公式的几何体进行解决．2．重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型．3．要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长（正）方体、三棱锥等几何体的三视图．【典型例题】类型一．空间几何体的结构特征例1．若沿△ABC 三条边的中位线折起能拼成一个三棱锥，则△ABC （ ）A ．一定是等边三角形B ．一定是锐角三角形C ．可以是直角三角形D ．可以是钝角三角形【思路点拨】在三棱锥的展开图中：过底面任意一个顶点的三个角，应满足∠1+∠2＞∠3，其中∠3为底面三角形的内角，进而逐一分析△ABC为不同形状时沿△ABC三条边的中位线能否拼成一个三棱锥，最后结合讨论结果，可得答案．【答案】B【解析】在三棱锥的展开图中：过底面任意一个顶点的三个角，应满足∠1+∠2＞∠3，当△ABC为锐角三角形时，三个顶点处均满足此条件，故能拼成一个三棱锥，当△ABC为为直角三角形时，在斜边中点E处不满足条件，故不能拼成一个三棱锥，同理当△ABC为钝角三角形时，在钝角所对边中点处不满足条件，故不能拼成一个三棱锥，综上可得：△ABC一定是锐角三角形，故选B．【总结升华】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，三角形形状的判断，其中正确理解：三棱锥的展开图中，过底面任意一个顶点的三个角，应满足∠1+∠2＞∠3，其中∠3为底面三角形的内角，是解答的关键．举一反三：【变式】如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为（）A．梯形B．平行四边形C．可能是梯形也可能是平行四边形D．不确定【思路点拨】根据平面ABFE∥平面DCGH和面面平行的限制定理得EF∥GH，再由FG∥EH得四边形EFGH为平行四边形【答案】B【解析】∵平面ABFE∥平面DCGH，且平面EFGH分别截平面ABFE与平面DCGH得直线EF与GH，∴EF∥GH．同理，FG∥EH，∴四边形EFGH为平行四边形．故答案为B例2．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是（）A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形【思路点拨】根据几何体的直观图，得出该几何体的结构特征，由此判断选项A、B、C正确，选项D错误．【答案】D【解析】根据几何体的直观图，得该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体，且有棱MA、MB、MC、MD、AB、BC、CD、DA、NA、NB、NC和ND，共12条；顶点是M、A、B、C、D和N共6个；且有面MAB、面MBC、面MCD、面MDA、面NAB、面NBC、面NCD和面NDA共8个，且每个面都是三角形．所以选项A、B、C正确，选项D错误．故选D．【总结升华】本题考查了利用空间几何体的直观图判断几何体结构特征的应用问题．举一反三：【变式】用一个平面去截正面体，使它成为形状，大小都相同的两个几何体，则这样的平面的个数有（）A．6个B．7个C．10个D．无数个【思路点拨】根据几何体的性质判断正四面体是中心对称几何体，利用中心对称几何体的性质判断即可．【答案】D【解析】∵正四面体是中心对称图形，∴平面过正四面体的中心，则分成为形状，大小都相同的两个几何体，可判断这样的平面有无数个，故选D．类型二．空间几何体的三视图例3．在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）．【思路点拨】由正视图和俯视图想到三棱锥和圆锥．【解析】由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面（与半圆锥的轴截面为同一三角形）垂直于底面的三棱锥的组合体，故其侧视图应为D．【总结升华】（1）空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．（2）在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．举一反三：【变式】若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（）【答案】A【解析】A中，的三视图：，满足条件；B中，的侧视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；C中，的侧视图和俯图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；D 中，的三视图为：，与已知中三视图不符，不满足条件；故选A例4．将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）【思路点拨】根据主视图和俯视图作出几何体的直观图，找出所切棱锥的位置，得出答案．【解析】由主视图和俯视图可知切去的棱锥为1D AD C ，棱1CD 在左侧面的投影为1BA ，故选B ．举一反三：【变式1】某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为（ ）A ．32πB ．π+C ．32πD ．52π+【思路点拨】三视图复原可知几何体是圆锥的一半，根据三视图数据，求出几何体的表面积．【答案】A【解析】由题目所给三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和． 又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为1122ππ⨯⨯⨯=，底面积为12π， 观察三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为12222⨯⨯⨯=则该几何体的表面积为32π．故选A ．【变式2】一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【思路点拨】由三视图及题设条件知，此几何体为一个四棱锥，其较长的侧棱长已知，底面是一个正方形，对角线长度已知，故先求出底面积，再求出此四棱锥的高，由体积公式求解其体积即可．【答案】B【解析】由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为14112 2⨯⨯⨯=由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形23=此棱锥的体积为1232 3⨯⨯=故选B【总结升华】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是四棱锥的体积，其公式为13×底面积×高．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加强的可能．类型三．几何体的直观图例5．如图所示，正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A．6 B．8C．2＋3 2 D．2＋2 3【思路点拨】由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x'轴，长度保持不变，已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y'轴，且长度为原来一半．【答案】B【解析】根据水平放置平面图形的直观图的画法，可得原图形是一个平行四边形，如图，对角线OB＝22，OA＝1，∴AB＝3，所以周长为8．故选B【总结升华】本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中斜二测画法的规则，能够帮助我们快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化．举一反三：【变式】对于一个底边在x轴上的正三角形ABC，边长AB=2，采用斜二测画法做出其直观图，则其直观图的面积是________．【思路点拨】如图所示，A ＇B ＇=AB =2，1''22O C OC ==，作C ＇D ＇⊥x ＇，可得''''24C D C ==．因此其直观图的面积1''''2C D A B =⋅⋅．【解析】如图所示，A ＇B ＇=AB =2，1''22OC OC ==， 作C ＇D ＇⊥x ＇，则''''C D C ==．∴其直观图的面积11''''22244C D A B =⋅⋅=⨯=．故答案为：4类型四．空间几何体的表面积与体积例6．有一根长为3πcm ,底面半径为1cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？【思路点拨】把圆柱沿这条母线展开，将问题转化为平面上两点间的最短距离．【解析】把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD （如图），由题意知BC=3πcm，AB=4πcm，点A与点C分别是铁丝的起．止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度．AC5πcm，故铁丝的最短长度为5πcm．【总结升华】把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法，所以几何体的展开与折叠是高考的一个热点．举一反三：【变式】如图是某个圆锥的三视图，请根据正视图中所标尺寸，则俯视图中圆的面积为__________，圆锥母线长为______．【答案】圆半径r=10，面积S=100π，圆锥母线l==例7．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3．【思路点拨】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2 cm的小正方体所构成的，代入体积公式和面积公式计算即可．【答案】72，32【解析】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2 cm的小正方体所构成的，则其表面积为22×(24－6)=72 cm2，其体积为4×23=32，故答案为：72，32【总结升华】本题考查了由三视图求几何体的体积和表面积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量，考查空间想象力．举一反三：【变式】如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为（）A ．πB ．2)π+C ．D ．2)+ 【思路点拨】几何体是一个简单的空间组合体，前面是半个圆锥，圆锥的底面是半径为6的圆，母线长是12，后面是一个三棱锥，三棱锥的底边长是12、高为6的等腰三角形，三棱锥的高是12，求出两个几何体的体积，求和得到结果．【答案】B【解析】由三视图知，几何体是一个简单的空间组合体，前面是半个圆锥，圆锥的底面是半径为6的圆，母线长是12，∴根据勾股定理知圆锥的高是∴半个圆锥的体积是211623π⨯⨯⨯⨯=， 后面是一个三棱锥，三棱锥的底是边长12、高为6的等腰三角形，三棱锥的高是∴三棱锥的体积是1112632⨯⨯⨯⨯=∴几何体的体积是2)π+=+，故选B ．。

空间几何体知识点总结高三空间几何体是高中数学中的重要组成部分，特别是在高三阶段，对于空间几何体的理解和运用能力是解决高考数学题目的关键。

本文将对空间几何体的主要知识点进行总结，帮助学生巩固基础，提高解题能力。

一、空间几何体的基本概念空间几何体是指在三维空间中所占有一定体积的图形。

根据构成方式和形状的不同，空间几何体可以分为多面体、旋转体和曲面等几大类。

多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体，如正方体、长方体、棱锥、棱柱等。

旋转体则是由一个平面图形绕着某一条直线旋转所形成的几何体，如圆柱、圆锥和球体等。

曲面则是由参数方程或隐函数方程所定义的几何体，如圆环面、抛物面等。

二、空间几何体的性质1. 体积与表面积对于任何一个空间几何体，其体积和表面积是基本的几何量度。

对于规则的几何体，如正方体和球体，其体积和表面积都有固定的计算公式。

而对于不规则的几何体，则需要通过积分或其他方法来求解。

2. 空间关系空间几何体之间的相互位置关系，如平行、相交、包含等，是解决空间几何问题的基础。

在解析几何中，通过坐标系可以精确地描述这些关系。

3. 几何体的对称性许多空间几何体具有一定的对称性，如正方体具有六个面的对称性，球体则具有全方位的对称性。

对称性在解决几何体的计算和证明问题时具有重要作用。

三、空间几何体的计算1. 多面体的体积与表面积对于规则的多面体，其体积和表面积可以通过公式直接计算。

例如，正方体的体积V=a³，表面积S=6a²，其中a为正方体的边长。

对于不规则的多面体，则需要利用向量、平面几何等知识，通过分割和组合的方法来求解。

2. 旋转体的体积与表面积旋转体的体积和表面积计算通常涉及到积分。

例如，圆柱体的体积V=πr²h，表面积S=2πrh+2πr²，其中r为底面半径，h为高。

对于更复杂的旋转体，如圆锥和球体，也需要通过积分来计算其体积和表面积。

3. 组合体的计算在实际问题中，经常会遇到由多个简单几何体组合而成的复杂几何体。

空间几何体知识点总结空间几何体是几何学中研究的一个重要分支，主要研究在三维空间内的各种几何构造。

本文对一些常见的空间几何体进行知识点总结，帮助读者更好地理解和掌握空间几何体的相关知识。

一、点、线、面的基本概念在空间几何中，点、线、面是基本的几何构造，其中点是没有长度、宽度和高度的，它是空间中最基本的概念；线是由一连串的点组成的，具有长度，但没有宽度和高度；面是由一连串的线组成的，具有长度和宽度，但没有高度。

二、立方体立方体是一种特殊的长方体，它的六个面都是正方形。

立方体的特点是各个面都相等，对角线相等。

立方体的体积可以用边长的立方表示，即体积=边长³。

三、长方体长方体是由6个长方形面围成的空间几何体。

长方体的特点是各个面的长度和角度都不相等，但对角线相等。

长方体的体积可以用长、宽和高相乘得到，即体积=长×宽×高。

四、圆柱体圆柱体是由两个平行且相等的圆底面和一个侧面组成的空间几何体。

圆柱体的特点是底面的圆心与上面圆心相连与轴的距离相等，侧面是一个矩形。

圆柱体的体积可以用底面积乘以高得到，即体积=底面积×高。

五、圆锥体圆锥体是由一个圆锥底面和一个侧面组成的空间几何体。

圆锥体的特点是底面的圆心与上面圆心相连与轴的距离相等，侧面是一个扇形。

圆锥体的体积可以用底面积乘以高再除以3得到，即体积=底面积×高/3。

六、球体球体是由所有与球心距离相等的点所组成的空间几何体。

球体的特点是半径相等、表面光滑。

球体的体积可以用4/3乘以底面面积乘以半径得到，即体积=4/3πr³，其中π≈3.14。

七、棱锥体棱锥体是由一个多边形底面和一个侧面组成的空间几何体。

棱锥体的特点是底面的各个边都与侧面的顶点相连，所有侧面形成一个棱锥。

棱锥体的体积可以用底面积乘以高再除以3得到，即体积=底面积×高/3。

总结：本文对常见的空间几何体进行了知识点总结，涵盖了点、线、面的基本概念以及立方体、长方体、圆柱体、圆锥体、球体和棱锥体的特点与计算方法。

《几何图形初步》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1．认识一些简单的几何体的平面展开图及三视图，初步培养空间观念和几何直观；2．掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、性质、表示方法和画法；3．初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题；4．逐步掌握学过的几何图形的表示方法，能根据语句画出相应的图形，会用语句描述简单的图形．【知识网络】【要点梳理】要点一、多姿多彩的图形1．几何图形的分类立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.几何图形平面图形：三角形、四边形、圆等 ..要点诠释：在给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果2．立体图形与平面图形的相互转化（1）立体图形的平面展开图：把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形，通过展开与折叠能把立体图形和平面图形有机地结合起来．要点诠释：①对一些常见立体图形的展开图要非常熟悉，例如正方体的11 种展开图，三棱柱，圆柱等的展开图；②不同的几何体展成不同的平面图形，同一几何体沿不同的棱剪开，可得到不同的平面图形，那么排除障碍的方法就是：联系实物，展开想象，建立“模型”，整体构想，动手实践. （2）从不同方向看：几何体的三视图主（正）视图---------从正面看左视图 -----从左（右）边看俯视图 ---------------从上面看要点诠释：①会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图.②能根据三视图描述基本几何体或实物原型.（3）几何体的构成元素及关系几何体是由点、线、面构成的 . 点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成.要点二、直线、射线、线段1.直线，射线与线段的区别与联系2.基本性质(1)直线的性质 : 两点确定一条直线． (2) 线段的性质 : 两点之间，线段最短．要点诠释：①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离.3.画一条线段等于已知线段（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度 , 再画一条等于这个长度的线段 .（2）用尺规作图法：用圆规在射线 AC上截取 AB=ａ，如下图：4．线段的比较与运算（1）线段的比较：比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法. （2）线段的和与差：如下图，有AB+BC=AC，或 AC=a+b； AD=AB-BD。

《空间几何体》知识点总结一、 空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体旋转体一一把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其 中，这条定直线称为旋转体的轴。

（2 ）柱，锥，台，球的结构特征1.1棱柱一一有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2圆柱一一以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何 体叫圆柱.2.1棱锥一一有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的 几何体叫做棱锥。

2.2圆锥一一以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所 围成的几何体叫圆锥。

3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台 3.2圆台一一用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台4.1球一一以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球二、 空间几何体的三视图与直观图1. 投影：区分中心投影与平行投影。

平行投影分为正投影和斜投影。

2. 三视图一一正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而 画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等3. 直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。

4. 斜二测法：在坐标系 x'o'y'中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性 不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线 段长度减半。

三、空间几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面积① 棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和2② 圆柱的表面积S = 2二「I • 2二r 2 ③圆锥的表面积 S =理「I •二r 2、空间几何体的体积 ④圆台的表面积S 二rl + Tt r 2 2 2 R ⑤球的表面积S = 4二R ⑥扇形的面积公式s 扇形 360^1|r （其中I 表示弧长，r 表示半径） ①柱体的体积 v = s 底②锥体的体积 1 VjS 底 h③台体的体积 v =丄（S 上S 上 S 下 • S 下）h ④球体的体积v3 知识赠送以下资料英语万能作文（模板型）Along with the adva nee of the society more and more problems arebrought to our atte nti on, one of which is that....随着社会的不断发展，出现了越来越多的问题，其中之一便是As to whether it is a blessing or a curse, however, people take differe nt attitudes.然而，对于此类问题，人们持不同的看法。

数学必修（2）第一章《空间几何体》1．空间几何体的类型（1）多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。

（2）旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其中，这条定直线称为旋转体的轴。

2.几种空间几何体的结构特征（1）棱柱的结构特征①棱柱的定义：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五图1-1 棱柱棱柱……②棱柱的分类③棱柱的性质<1>侧棱都相等，侧面是平行四边形；<2>两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；<3>过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；<4>直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。

④长方体的性质长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和：AC12 = AB2 + AC2 + AA12⑤正棱柱的侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。

⑥棱柱的面积和体积公式S直棱柱侧面= c·h (c为底面周长，h为棱柱的高)S直棱柱全= c·h+ 2S底V棱柱= S底·h（2）圆柱的结构特征①圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

图1-3 圆柱②圆柱的性质<1>上、下底及平行于底面的截面都是等圆；<2>过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。