095.北师大版八年级数学上册5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数(导学案)

应用二元一次方程组——里程碑上的数教学目标1．会应用二元一次方程组解决数学问题．2．能归纳应用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤．教学重点用二元一次方程组解决数学问题．教学难点将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型.教学过程一、情景导入 感受新知小明爸爸骑着摩托车带着小明在马路上匀速行驶，下面是小明每隔1h 看到的里程情况，你能确定小明在12：00时看到里程碑上的数吗？12：00 是一个两位数，它的两个数字之和为7.13：00 十位与个位数数字与12：00时所看到的正好互换了．14：00 比12：00时看到的两位数中间多了个0.12：00－13：00与13：00－14：00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？你能列出相应的方程吗？二、自学互研 生成新知【自主探究】活动：师生合作完成下面问题的学习与探究．问题：两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数． 为了帮助学生理清思路，分析各数之间的关系，教师可以引导学生分析：设较大的两位数为x ，较小的两位数为y ，在较大数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为________；在较大的数的左边写上较小的数，所写的数可表示为________．为了让学生有一个清晰的解题过程，展示如下：解：设较大的两位数为x ，较小的两位数为y ，根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝68，（100x ＋y ）－（100y ＋x ）＝2178，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝68，99x －99y ＝2178，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝68，x －y ＝22，解这个方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝23.所以这两个两位数分别是45和23. 思考讨论：经历前面一系列的解决二元一次方程组的应用题，你认为列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？与同学们交流．归纳总结：列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤为：审、找、设、列、解、验、答．【师生活动】①明了学情：关注学生对根据实际问题建立数学模型的掌握情况；②差异指导：对学生在探究中产生的疑惑及时引导与点拨；③生生互助：学生小组内交流讨论，相互释疑，达成共识．三、典例剖析 再探新知【合作探究】例：某人骑车外出旅游，已知他的路程分为上坡和下坡，上坡速度为8 km/h ，下坡速度为12 km/h ，去时他共用了4.5 h ，原路返回共用了4.25 h ，求去时上坡路长和下坡路长．解：设去时上坡路长为x km ，下坡路长为y km ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 8＋y 12＝4.5，x 12＋y 8＝4.25.解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝24，y ＝18. 答：去时上坡路长为24 km ，下坡路长为18 km.四、课堂小结 回顾新知通过本节课的学习，你有什么收获？还有哪些疑惑？请谈一谈你的想法和同学们一起分享！五、检测反馈 落实新知(2018年永州中考)在永州市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观，以下是小明和奶奶的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数.解：设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为x 人，女生人数为y 人，依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝55，x ＝1.5y ＋5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，y ＝20. 答：小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为35人，女生人数为20人．六、课后作业 巩固新知(见学生用书)。

5.5应用二元一次方程组——里程碑上的数教学目标1．利用二元一次方程组解决数字问题和行程问题；(重点)2．进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程．课前准备教材，课件，电脑（视频播放器）教学过程第一环节知识回顾１．一个两位数的十位数字是ｘ，个位数字是ｙ，则这个两位数可表示为：１０ｘ＋ｙ.２．一个三位数，若百位数字为ａ，十位数字为ｂ，个位数字为ｃ，则这个三位数为：100a+10b+c.３．一个两位数，十位数字为ａ，个位数字为ｂ，若在这两位数中间加一个０，得到一个三位数，则这个三位数可表示为：100a+b.４．ａ为两位数，ｂ是一个三位数，若把ａ放在ｂ的左边得到一个五位数，则这个五位数可表示为：1000a+b.设计意图：通过复习，为本节课的继续学习做好铺垫.实际效果：提问学生，教师加以点评，这样经过知识的回顾，学生基本能熟练地用代数式表示有关数字问题.第二环节情境引入1．Flash动画，情景展示.小明星期天开车出去兜风，他在公路上匀速行驶，根据动画中的情景，你能确定他在１２：００看到的里程碑上的数吗？１２：００是一个两位数，它的两个数字之和为７；１３：００十位与个位数字与１２：００所看到的正好颠倒了；１４：００比１２：００时看到的两位数中间多了个０．分析：设小明在１２：００看到的数十位数字是ｘ，个位数字是y，那么相等关系：１．１２：００看到的数，两个数字之和是７：x＋y＝７.２．路程差：１２：００－１３：００：（１０y＋x）－（１０x＋y），１３：００－１４：００：（１００x＋y）－（１０y＋x），路程差相等：（１０y＋x）－（１０x＋y）＝（１００x＋y）－（１０y＋x）.根据以上分析，得方程组x＋y＝７，（１０y＋x）－（１０x＋y）＝（１００x＋y）－（１０y＋x）.解方程组x＋y＝７，（１０y＋x）－（１０x＋y）＝（１００x＋y）－（１０y＋x）.整理得x＋y＝７，x = 1，因此，小明在１２：００时看到的里程碑上的数是１６．提示：要学会在图表中用含未知数的代数式表示出要分析的量；然后利用相等关系列方程.2．Flash动画，情景再现.3．学法小结：（1）对较复杂的问题可以通过列表格的方法理清题中的未知量、已知量以及等量关系，这样，条理比较清楚．（２）借助方程组解决实际问题．设计意图：生动的情景引入，意在激发学生的学习兴趣；利用图表帮助分析使条理清楚，降低思维难度，并使列方程解决问题的过程更加清晰；学法小结，着重强调分析方法，养成归纳小结的良好习惯.实际效果：动画引入，使数字问题变的更有趣，确实有效地激发了学生的兴趣，学生参与热情很高；借助图表分析，有效地克服了难点，学生基本都能借助图表分析，在老师的引导下列出方程组.4．变式训练师生共同研究下题：有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小４５；又知百位数字的９倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小３，试求原来的３位数．分析：数字问题中，设未知数也很有技巧，此问题中由十位数字和个位数字组成的两位数是一个“整体”，可设为一个未知数y，百位数设为x：百位数字十位数字个位数字表达式原数x y100 x + y新数y x10 y + x相等关系：１．原三位数－４５＝新三位数２．９ 百位数字＝两位数－３解：设百位数字为x，由十位数字与个位数字组成的两位数为y，根据题意的得：１００x＋y＝１０y＋x，９x＝y－３.解得x＝４，y＝3９.答：原来的三位数是４３９．设计意图：设计本题，意在让学生了解，在具体解决问题时，不一定直接设未知数，设间接未知数是复杂问题简单化的解决途径之一，是转化思想的应用手段.实际效果：首先由学生思考，说出设未知数的方法，教师再给予点评、引导，然后共同完成问题的解决.本例中，要求一个三位数，学生习惯设三个未知数，可是只有两个等量关系，学生发现不太好解答，思维陷入僵局，这时通过教师的引导，发现这里十位数字与个位数字组成的两位数在问题中一直连在一起，因此可以将它们看成一个整体，这时学生一下子豁然开朗，然后列出了方程组并解出该题.第三环节 练习提高1．李刚骑摩托车在公路上高速行驶，早晨7:00时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；8:00时看里程碑上的两位数与7:00时看到的个位数和十位数颠倒了；9:00时看到里程碑上的数是7:00时看到的数的8倍，李刚在7:00时看到的数字是18 . 分析：设李刚在７：００看到的数十位数字是x ，个位数字是y ，那么设计意图：练习2是教材上“里程碑上的数”例题的变式，活学活用，强化图表分析法，使学生知识过手.（如果此例改为其他例题，未尝不可，但实践中我们发现，对同一问题的变式运用更有利于学生掌握图表分析法）. 实际效果：本例的解答学生比较得心应手，最重要的是学生基本上都学会了用图表来帮助分析数字问题.2．选一选小颖家离学校4800米，其中有一段为上坡路 ，另一段为下坡路.她跑步去学校共用了30分.已知小颖在上坡时的平均速度是6千米/时，下坡时的平均速度是12千米/时.问小颖上、下坡各多少千米？ Ａ．1.2，3.6； Ｂ．1.8，3； Ｃ．1.6，3.2．分析：本题间接设未知数更简洁.解：设上坡x 时，下坡y 时，据题意得：6x+12y=4.8 ，x ＋y ＝0.5. 解之得 x ＝0.2， y ＝0.3.选Ａ.设计意图：在解应用题时只考虑题目要求什么就设什么为未知数，有时关系式难寻求，方程也难解.因此，可以根据题目条件选择与要求的未知量有关的某个量为未知数，以便找出符合题意的相等关系，从而达到解题的目的.当然，这两个练习，也遵从了由易到难的原则. 实际效果：多数学生都解答本题目，都易考虑用间接设未知数，降低思维和计算难度.3．列方程 CIN 公司第二季度进出口总额是９８０万元，第二季度进口额比一季度增长了３９％，出口额增长了４１％，进出口总额增长了４０％，第二季度的进，出口额分别是多少？6.3123.0,2.162.0=⨯=⨯分析：设第二季度的进口额为x 万元，出口额为y 万元： 进口额出口额进出口总额一季度 %391+x %411+y %401980+二季度xy９８０%391++%411+=%401+，x + y =980.若设第一季度的进口额为x 万元，出口额为y 万元，则：x ＋y ＝ ９８０÷（１＋４０％），（１＋３９％）x ＋（１＋４１％）y ＝９８０.根据学生设不同未知数出现不同的方程组，若没有考虑到另一种设法，教师给予补充.设计意图：练习3的设置，着重于直接设未知数和间接设未知数列出方程的对照比较，使学生在设未知数时，以简洁和降低计算难度为优.实际效果：学生在直接设未知数时表示已知量未知量有部分学生出错，并且计算难度较大；转化为间接设未知数的学生表达量更准确，计算难度更低；由此对比，学生更易发现设间接未知数有时更利于方程组的建立和解答，从而把间接设未知数作为列方程组解应用题的重要方面来考虑.第四环节 合作学习现实生活和数学学习中，有许多问题可以借助二元一次方程组解决．试编制一个可以用下面的二元一次方程组解决的应用题．x ＋y ＝２， ５x －y ＝１０.学生分组进行编题和互评，然后每组请一个同学将本组评选出的编的最好的应用题向全班同学汇报.（评选方法：切合实际、联系生活、有想象力并且正确无误）设计意图：着重于逆向思维训练，体会自己编题，从编题人的高度审视列方程组解决实际应用题，同时培养学生的合作意识，通过合作，让学生互相评价、修正，使学生思维跳出固定进口额出口额进出口总额一季度 xy９８０÷（１＋４０％） 二季度 （１＋３９％） x（１＋４１％） y９８０50100150200250300350400450500第一季度第二季度进口出口单一的生活圈，更关注与现实世界的交融，开阔视野.实际效果：有部分学生缺乏想象力，视野狭窄，经过同学互评纠正和互相学习对现实问题与数学结合有了更深的体会.大多数学生对这种编题形式很感兴趣，课堂气氛轻松活跃.第五环节学习反思：１．在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题．２．这种处理问题的过程可以进一步概括为：分析求解问题解答抽象检验３．要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，设间接未知数可帮助转化问题，还可运用化归等数学思想方法，应根据具体问题灵活选用．设计意图：对学习内容作回顾整理，提炼方法思想.第六环节布置作业1．甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求这两个数．2．某车间每天能生产甲种零件600个，或者乙种零300个，或丙种零件500个，甲、乙、丙三种零件各1个就可以配成一套，要在63天内生产中,使生产的零件全部成套，问甲、乙、丙三种零件各应生产几天？3．请你寻找一个利用化归的思想方法解决数学问题的实例．教学反思1．突破难点的策略列方程解应用题的分析方法多种多样，本课继上一节增收节支继续介绍分析数字等问题的一种比较有效的方法——图表分析法.本节课除了要解决数字问题外，在设元的技巧上加以引导，如变式练习中设三个未知数无法解决的问题，可以转化为通过视为整体设两个未知数解决；同时在练习2，3中选择直接未知数和间接未知数列方程，比较设未知数的思维难度和计算难度，然后进行优化选择，这样可以培养学生多种思维方式，突破难点.2．关注数学思想方法的揭示数学思想方法是数学学习的灵魂.教学中注意关注蕴含其中的数学思想方法（如化归方法）的揭示，如果教学时间允许，可以专门介绍化归思想及其运用，这样既可提高学生的学习兴趣，开阔视野，同时也提高学生对数学思想的认识，提升解题经验．初中数学公式大全1过两点有且只有一条直线2两点之间线段最短3同角或等角的补角相等4同角或等角的余角相等5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9同位角相等，两直线平行10内错角相等，两直线平行11同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13两直线平行，内错角相等14两直线平行，同旁内角互补15定理三角形两边的和大于第三边16推论三角形两边的差小于第三边17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 °18推论1直角三角形的两个锐角互余19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形21平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形22平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形23平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形24矩形性质定理1矩形的四个角都是直角25矩形性质定理2矩形的对角线相等26矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形27矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形28菱形性质定理1菱形的四条边都相等29菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角30菱形面积= 对角线乘积的一半，即S= （a×b ）÷231菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形32菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形33正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等34正方形性质定理2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角35定理1关于中心对称的两个图形是全等的36定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分37逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称38等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。

5． 5应用二元一次方程组——里程碑上的数1．利用二元一次方程组解决数字问题和行程问题； ( 要点 )2．进一步经历和体验列方程组解决实质问题的过程．一、情境导入小刚的爸爸开车带着小刚出去玩，他们匀速行驶在公路上 .10 ： 00 时，小刚看到里程碑上是一个两位数，它的两个数字之和是8；11：00 时，他又看到里程碑上是一个两位数，它的两个数字与第一次看到的两位数的数字恰好交换了地点； 14：00 时他看到里程碑上的数变为了三位数，它的百位数字比第一次看到的两位数的十位数字少 1，十位数字比第一次看到的两位数的个位数字多1，个位数字是0. 你能算出小刚第一次看到的里程碑上的数是多少吗？二、合作研究研究点一：利用二元一次方程组解决数字问题【种类一】年纪问题父亲给儿子出了一道题，要儿子猜出答案：有一对母女， 5 年前母亲的年纪是女儿年纪的 15 倍， 15 年后，母亲的年纪比女儿年纪的 2 倍只多 6 岁．那么此刻这对母女的年纪分别是多少？分析：先分别设出此刻这对母女的年龄，再用它们表示出 5 年前母女的年纪和15年后母女的年纪，则依据①5年前，母亲的年纪是女儿年纪的15 倍；② 15年后，母亲的年纪是女儿年纪的 2 倍再加 6，列出方程组 .母亲女儿此刻年纪 / 岁x y5 年前的年纪 / 岁x－ 5y－ 515 年后的年纪 / 岁x＋ 15y＋ 15解：设此刻这对母女的年纪分别是x岁和 y 岁，由题意，得x－5＝ 15（ y－ 5），x＝ 35，x＋15＝ 2（ y＋ 15）＋ 6.解得y＝ 7.答：此刻这对母女的年纪分别是35 岁和 7岁．方法总结：解答年纪问题的要点是年纪差不变及增加年纪同样．【种类二】数字问题一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为 9，把这个两位数的十位数字和个位数字对换所得新两位数比原两位数大 9，求这个两位数．分析：若个位上的数字为x，十位上的数字为y，则这个两位数为10y＋ x. 由相等关系“数字之和为9”及“新两位数比原两位数大 9”可列方程组．解：设这个两位数的个位上的数字为 x，十位上的数字为 y.根据题意，得x＋y＝ 9，（ 10x＋ y）－（ 10y＋x）＝ 9.x＝ 5，解得则 10y ＋ x＝ 45.y＝ 4，故这个两位数是45.方法总结：数字问题中所求的未知量一般是原数，解题时，一般先设原数数位上的数字为未知数，再写出这个数．研究点二：利用二元一次方程组解决行程问题【种类一】相遇问题某体育场的一条环形跑道长400m. 甲、乙两人从跑道上同一地址出发，分别以不变的速度练习长跑和骑自行车．假如背向1而行，每隔2min 他们相遇一次；假如同向而1行，每隔 13min 乙就追上甲一次．问甲、乙每分钟各行多少米？分析：题中的两个相等关系为：① 乙骑车的行程＋甲跑步的行程＝400m(背向 ) ；②乙骑车的行程－甲跑步的行程＝400m(同向 ) ．解：设乙骑车每分钟行xm，甲每分钟跑112x＋2y＝ 400，ym ，由题意，得解得443x－3y＝ 400.x＝ 550，y＝ 250.答：甲每分钟跑250m，乙每分钟骑550m.方法总结：环路上的等量关系：若同时同地出发，当背向而行，第一次相遇时，二者行程之和＝环路的周长；若同时同地出发，同向而行，第一次相遇时，快者的行程－慢者的行程＝环路的周长．【种类二】行程问题A 、B 两码头相距 140km，一艘轮船在此间航行，顺流航行用了 7h，逆水航行用了 10h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度．分析：设这艘轮船在静水中的速度为xkm/h ，水流速度为ykm/h ，列表以下，行程速度时间顺流140km(x ＋ y)km/h7h逆流140km(x － y)km/h10h解：设这艘轮船在静水中的速度为xkm/h ，水流速度为 ykm/h. 由题意，得7（x＋ y）＝ 140，x＝ 17，10（x－ y）＝ 140.解得y＝ 3.答：这艘轮船在静水中的速度为17km/h ，水流速度为3km/h.方法总结：此题要点是找到各速度之间的关系，顺速＝静速＋水速，逆速＝静速－水速；再联合公式“行程＝速度× 时间” 列方程组．三、板书设计数字问题“里程碑上的数”问题行程问题数学思想方法是数学学习的灵魂．教课中注意关注包含此中的数学思想方法( 如化归方法 ) ，介绍化归思想及其运用，既可提高学生的学习兴趣，宽阔视线，同时也提高学生对数学思想的认识，提高解题能力．。

应用二元一次方程组 ——里程碑上的数教学目标1．用二元一次方程组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题。

2．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型。

3．归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。

教学过程教学反思一、学习目标：1．用二元一次方程组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题。

2．进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型。

3．归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。

二、自学指导：1．自觉思考：（1）小明的爸爸骑着摩托车，载着小明在公路上匀速行驶。

小明在12∶00时看到的里程碑上的数是一个两位数，它的两个数字之和是7；在13∶00时看到的里程碑上的数十位与个位数字与12∶00时看到的正好颠倒了；在14∶00时小明看见里程碑上的数比12∶00时看到的两位数中间多个0.试确定小明12∶00时看到里程碑上的数。

完成下面问题。

①设小明在12∶00时看到的数十位数字是x，个位数字是y，根据题意，你能将12∶00、13∶00、14∶00时小明看见里程碑上的数表示出来吗？②本题的等量关系有哪些？（2）两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数。

已知前一个四位数比后一个四位数大2718，求这两个两位数。

①假设较大的两位数为x，较小的两位数为y，在较大的数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为；在较大的数左边写上较小的数，所写的数可表示为。

②你能列出怎样的方程组？（3）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？2．小组交流，讨论。

3．教师点评。

三、当堂训练：1．课后习题2．北京和上海能制造同型号电子计算机，除本地使用外，北京支援外地10台，上海可支援外地4台，现在决定给重庆8台，武汉6台，每台运费如表所示。

北师大版数学八年级上册5《应用二元一次方程组——里程碑上的数》说课稿1一. 教材分析北师大版数学八年级上册5《应用二元一次方程组——里程碑上的数》这一节内容，是在学生已经掌握了二元一次方程组的基础知识上进行进一步的拓展和应用。

通过这一节内容的学习，学生将能够更好地理解和掌握二元一次方程组的应用，提高解决实际问题的能力。

本节课的主要内容是通过实际问题引入二元一次方程组，并通过解方程组的方法求解实际问题。

这些问题涉及到年龄问题、距离问题等，都是与生活实际密切相关的问题。

通过解决这些问题，学生不仅能够巩固和提高二元一次方程组的知识，还能够提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析在教学之前，我对学生的学情进行了分析。

根据我的了解，大部分学生对二元一次方程组的基础知识已经有了较好的掌握，能够熟练地列出和求解二元一次方程组。

但是，学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为数学问题，这就需要我们在教学中进行引导和培养。

同时，学生在解决实际问题时，往往对问题的理解不够深入，解题思路不够清晰。

因此，在教学过程中，我们需要引导学生深入理解问题，明确解题思路，提高解题效率。

三. 说教学目标根据教材内容和学情分析，我制定了以下教学目标：1.知识与技能：使学生能够理解和掌握二元一次方程组的应用，能够通过解方程组的方法求解实际问题。

2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生积极的学习态度和良好的学习习惯。

四. 说教学重难点根据教材内容和学情分析，我确定了以下教学重难点：1.重点：理解和掌握二元一次方程组的应用。

2.难点：如何将实际问题转化为数学问题，以及如何通过解方程组的方法求解实际问题。

五. 说教学方法与手段为了实现教学目标，我采用了以下教学方法与手段：1.情境教学法：通过实际问题引入二元一次方程组，激发学生的学习兴趣和解决问题的欲望。

5应用二元一次方程组——里程碑上的数典型例题题型一列二元一次方程组解决数字问题例1有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，如果把这两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数.分析：如果一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b，这个两位数就表示为10a+b；如果一个三位数百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，这个三位数就表示为100a+10b+c.本题中的相等关系：①个位上的数字-十位上的数字＝5，②原数+新数＝143.解：设原来的两位数中，个位上的数字为x，十位上的数字为y，则原数为10y+x，把这两个数字的位置对换后，所得的新数为10x+y.根据题意，得5, 1010143, x yy x x y-=⎧⎨+++=⎩解得9,4. xy=⎧⎨=⎩所以这个两位数为10y+x＝10×4+9＝49.答：这个两位数为49.点拨：利用方程组解决数字问题时，一般不直接设这个数，而是设这个数的各数位上的数字，再利用数的表示方法表示出这个数.例2有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45，又知百位数字的9倍比十位和个位数字组成的两位数小3，求原三位数.分析：根据两个条件，可知不必设成三个未知数，只需把它看成一个百位数字x和一个由十位与个位数字组成的两位数y，则这个三位数就可看成100x+y；若将最左边的数字移到最右边，则x就变成了个位数字，y就扩大了10倍，新三位数可表示为10y+x.因此相等关系为：(1)百位数字×9＝由十位与个位数字组成的两位数-3；(2)新三位数＝原三位数-45.解：设原三位数的百位数字为x，由十位与个位数字组成的两位数为y.根据题意，得93, 1010045, x yy x x y=-⎧⎨+=+-⎩解得4,39.xy=⎧⎨=⎩则4×100+39＝439.答：原三位数为439.点拨：此题通过灵活选设未知数，将一个三元问题转化成了二元问题.题型二列二元一次方程组解决行程问题例3某中学新建的塑胶操场环形跑道一圈长400 m，甲、乙两名同学从同一起点同时出发，相背而跑，40 s后首次相遇；若从同一起点同时同向而跑，200 s后甲首次追上乙，求甲、乙两名同学的速度.分析：在环形跑道上，同时同地出发，相背而跑，为相遇问题，首次相遇时，相等关系为：甲跑的路程+乙跑的路程＝跑道一圈的长；若从同一地点同时同向而跑，甲首次追上乙为追及问题，相等关系为：甲跑的路程-乙跑的路程＝跑道一圈的长.解：设甲同学的速度为x m/s，乙同学的速度为y m/s.根据题意，得()40400, 200200400, x yx y+⨯=⎧⎨-=⎩整理，得10,2,x yx y+=⎧⎨-=⎩解得6,4.xy=⎧⎨=⎩答：甲同学的速度为6 m/s，乙同学的速度为4 m/s.点拨：相遇问题中，(甲速+乙速)×时间＝总路程；追及问题中，(甲速-乙速)×时间＝甲、乙相距的路程.例4甲、乙两地相距160 km，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地出发，相向而行，43h 相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1 h 后调转车头原速返回，在汽车再次出发12h 时追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ 分析：画直线型示意图理解题意(如图1所示).图1这里有两个未知数：(1)汽车的行程；(2)拖拉机的行程.有两个相等关系：(1)相向而行：汽车43h 行驶的路程+拖拉机43h 行驶的路程＝160 km ； (2)同向而行：汽车12h 行驶的路程＝拖拉机112⎛⎫+ ⎪⎝⎭h 行驶的路程. 解：设汽车每小时行驶x km ，拖拉机每小时行驶y km. 根据题意，得4()160,3111,22x y x y ⎧⨯+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩解得90,30.x y =⎧⎨=⎩ 90×4132⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝165(km)，30×4332⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝85(km). 答：汽车行驶了165 km ，拖拉机行驶了85 km.题型三 列二元一次方程组解决航速问题例5 一轮船从甲地到乙地顺流航行需4 h ，从乙地到甲地逆流航行需6 h ，那么一木筏从甲地漂流到乙地需多长时间？分析：对于航速问题，主要有如下两个公式：①顺速＝静速+水(风)速；②逆速＝静速-水(风)速.显然本题中所求的木筏由甲地漂流到乙地所需的时间，实际上就是水从甲地流到乙地需要的时间，木筏漂流的速度就是水流的速度，如果本题采用直接设法，则难以解决，故选用间接设法，设出轮船在静水中的速度和水流速度，为了解题更简单，可增设一个未知数，即甲、乙两地间的路程.解：设轮船在静水中的速度为x km/h ，水流速度为y km/h ，甲、乙两地间的路程为a km.根据题意，得4(),6(),x y a x y a +=⎧⎨-=⎩解这个方程组，得x ＝5y .把x ＝5y 代入①，得a ＝4×(5y +y )＝24y . 所以木筏从甲地漂流到乙地所需时间为a y ＝24y y＝24(h). 答：木筏从甲地漂流到乙地需24 h.点拨：本题中有三个未知数，但是却只有两个方程，所以在解题后是得不到具体数据的，不过我们可以把其中的一个未知数看作一个常数，如上面的y ，其他的未知数就可以用这个未知数来表示.a 的参与增加了方程组的可理解性，更能提供操作的可能性，便于解题.题型四列二元一次方程组解决年龄问题例6一名学生问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时，你才出生；你到我这么大时，我已经36岁了.”请求出老师、学生今年的年龄.分析：本题的相等关系：①老师的年龄-学生的年龄＝相差年龄(学生今年年龄)；②增长的年龄+老师的年龄＝36.解：设老师今年x岁，学生今年y岁.根据题意，得,36,x y yx y x-=⎧⎨-+=⎩解得24,12.xy=⎧⎨=⎩答：老师今年24岁，学生今年12岁.注意：人与人的年龄是同时增长的，所以老师与学生的年龄差是不变的.题型四开放拓展题例7如图2所示，在3×3的方格内，填写了一些代数式和数.图2(1)在图①中，各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请求出x，y的值.(2)把满足(1)的其他6个数填入图2②中的方格中.分析：依题意可知图2①中有两个等式：2x+3+2＝2+(-3)+4y，2x+3+2＝2x+y+4y，由此可以列出二元一次方程组求解.解：(1)由已知条件可列出方程组2322(3)4, 23224,x yx x y y++=+-+⎧⎨++=++⎩整理，得2343,55,x yy+=-⎧⎨=⎩解得1,1.xy=-⎧⎨=⎩(2)由(1)可得如图3所示的方格.图3说明：本题列方程组时有不同的列法，具有一定的开放性，虽然所列的方程组可能不同，但结果是一样的.拓展资源经典有趣的行程问题1甲、乙两人分别从相距100 米的A、B两地出发，相向而行，其中甲的速度是2米/秒，乙的速度是3 米/秒.一只狗从A地出发，先以6米/秒的速度奔向乙，碰到乙后再掉头冲向甲，碰到甲之后再跑向乙，如此反复，直到甲、乙两人相遇.问在此过程中狗一共跑了多少米？这可以说是最经典的行程问题了.不用分析小狗具体跑过哪些路程，只需要注意到甲、乙两人从出发到相遇需要20 秒，在这20 秒的时间里小狗一直在跑，因此它跑过的路程就是120 米.2假设你站在甲、乙两地之间的某个位置，想乘坐出租车到乙地去.你看见一辆空车远远地从甲地驶来，而此时整条路上并没有别人与你争抢空车.我们假定车的行驶速度和人的步行速度都是固定不变的，并且车速大于人速.为了更快地到达目的地，你应该迎着车走过去，还是顺着车的方向往前走一点？在各种人多的场合下提出这个问题，此时大家的观点往往会立即分为鲜明的两派，并且各有各的道理.有人说，由于车速大于人速，我应该尽可能早地上车，充分利用汽车的速度优势，因此应该迎着空车走上去，提前与车相遇.另一派人则说，为了尽早到达目的地，我应该充分利用时间，马不停蹄地赶往目的地.因此，我应该自己先朝目的地走一段路，再让出租车载我走完剩下的路程.其实答案出人意料的简单，两种方案花费的时间显然是一样的.只要站在出租车的角度上想一想，问题就变得很显然了：不管人在哪儿上车，出租车反正都要驶完甲地到乙地的全部路程，因此你到达乙地的时间总等于出租车驶完全程的时间，加上途中接人上车可能耽误的时间.从省事儿的角度来讲，站在原地不动是最好的方案！不过不少人都找到了这个题的一个缺陷，那就是在某些极端情况下，顺着车的方向往前走可能会更好一些，因为你或许会直接走到终点，而此时出租车根本还没追上你！。