机械能守恒定律在连接体问题中的应用

ʏ四川省资中县教育研究室 邓贤彬以轻绳连接体为背景的物理试题往往能够充分考查物体的受力平衡㊁牛顿运动定律㊁运动的合成与分解㊁动量㊁能量守恒和功能关系等重要力学知识(如图1所示),以及平行四边形定则㊁三角函数等数学知识,对同学们的理解能力和数学计算能力的要求较高㊂要想快速准确地求解轻绳连接体问题,就必须清楚轻绳的力学特性和轻绳连接的两个物体间具有的速度关系㊁加速度关系㊁位移关系等㊂下面归纳整理典型的轻绳连接体问题的求解策略,供大家参考㊂图1一、轻绳之瞬间问题1.轻绳的定义:没有质量,形变量微小到可以忽略不计的绳子㊂2.轻绳的力学特性:轻绳不发生显著形变就能产生弹力,故形变的产生㊁恢复或改变几乎不需要时间,其弹力可以发生突变㊂图2例1 如图2所示,用两段不可伸长的轻绳悬挂质量为m 的小球,小球处于静止状态时,小球左侧轻绳水平,右侧轻绳与竖直方向间的夹角为θ㊂以下说法中正确的是( )㊂A.剪断水平轻绳的瞬间,小球的加速度为g t a n θB .剪断水平轻绳的瞬间,小球的加速度为g s i n θC .剪断倾斜轻绳的瞬间,小球的加速度为gD .剪断倾斜轻绳的瞬间,小球的加速度为gs i n θ解析:剪断轻绳的瞬间,其弹力会发生突变㊂分析此时轻绳的弹力情况需要根据小球以后的运动情况,因为此时轻绳的弹力应为小球以后的运动提供力学条件㊂剪断水平轻绳的瞬间,小球开始做圆周图3运动㊂小球的受力情况如图3所示,将重力沿绳和垂直于绳方向分解,则T =m g c o s θ,F 合=m gs i n θ,因此小球的加速度a =F 合m =gs i n θ,选项A 错误,B 正确㊂剪断倾斜轻绳的瞬间,小球开始做自由落体运动(水平绳无拉力),则小球的加速度a =g ,选项C 正确,D 错误㊂答案:BC图4例2 如图4所示,质量为M的木块用长为L 的轻绳悬挂于O 点,处于静止状态㊂一质量为m 的子弹以水平速度v 0高速射入木块,子弹没射出木块㊂不考虑一切阻力,求:(1)子弹射入木块后,子弹和木块的共同速度v 共㊂(2)子弹射入木块时轻绳的拉力F ㊂(3)子弹射入木块后,子弹和木块上升的最大高度H ㊂解析:(1)子弹射入木块的时间很短,木块的位置几乎没有变化,子弹和木块就达到共同速度㊂由子弹和木块组成的系统受轻绳对它竖直向上的拉力和竖直向下的重力,因而在水平方向上受到的合力为零,系统动量守恒,则m v 0=(m +M )v 共,解得v 共=m v 0m +M㊂图5(2)子弹射入木块后,由子弹和木块组成的系统开始做圆周运动,系统的受力情况如图5所示,根据运动学公式得F -(m +M )g =(m +M )v 2共L ,解得F =(m +M )g +m 2v2(m +M )L㊂(3)子弹和木块在向右运动的过程中,因为轻绳的拉力始终不做功,只有重力做功,所以由子弹和木块组成的系统机械能守恒,当系统的速度为零时运动到最高点㊂根据机械能守恒定律得12(m +M )v 2共=(m +M )g H ,解得H =m 22g (m +M)2v 20㊂二㊁轻绳连接之死结㊁活结问题1. 死结 :可理解为把轻绳分成两段,且不可以沿轻绳自由移动的结点㊂其特点是 死结 让结两侧的两段轻绳变成两根独立的轻绳,因此两段轻绳的张力一般不相等㊂理论上,一根轻绳可以存在无数个 死结 下的力学平衡状态㊂2.活结 :可理解为把轻绳分成两段,且可以沿轻绳自由移动的结点㊂其特点是轻绳在结点处发生弯曲,张力方向发生变化,但轻绳仍是同一根绳, 活结 两侧的两段轻绳的张力大小一定相等㊂一般情况下,处于确定的力学平衡状态下的一根轻绳只能有一个 活结㊂例3 (2020年高考全国Ⅲ卷)如图6所示,悬挂物体甲的细线拴牢在一不可伸长图6的轻质细绳上O 点处,细绳的一端固定在墙上A 点,另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连㊂甲㊁乙两物体的质量相等㊂系统平衡时,O 点两侧细绳与竖直方向间的夹角分别为α和β,若α=70ʎ,则β等于( )㊂A.45ʎ B .55ʎC .60ʎD .70ʎ解析:本题是轻绳连接体的平衡问题,既有 死结 ,又有 活结 ㊂选滑轮处为研究对象,滑轮处为一 活结 ,因而滑轮两侧的两段细绳的张力大小相等,且等于物体乙的重力㊂设甲㊁乙两物体的质量均为m ,选O 点为研图7究对象,进行受力分析,如图7所示,因为T 1=T 2,所以其合力T 在其角平分线上,即ø1=ø2,根据三力平衡条件可知,T O A 和T 等大反向,则ø1=β㊂根据几何关系得ø1+ø2+α=180ʎ,解得ø1=55ʎ,即β=55ʎ㊂答案:B三㊁轻绳连接体之系统问题例4 如图8所示,一根轻绳跨过光滑定滑轮,两端分别连接物体A 和B ,物体A 和图8B 的质量分别为m 和M ,物体A 悬挂在空中,物体B 放于水平地面上㊂假设轻绳的长度不发生改变,且滑轮的大小可忽略不计㊂在用水平变力F 拉物体B 沿水平方向向右做匀速直线运动的过程中,( )㊂A.物体A 也做匀速直线运动B .轻绳的拉力始终等于物体A 的重力C .物体A 做加速运动D .轻绳对物体A的拉力逐渐减小图9解析:根据运动的合成与分解,将物体B 在初始位置的瞬时速度分解到沿绳方向和垂直于绳方向,如图9所示,则物体A 的速度v A =vB //=v B c o s α㊂物体B 向右匀速运动的过程中,v B 保持不变,轻绳和水平方向间的夹角α逐渐减小,c o s α逐渐增大,则v A 逐渐增大,即物体A 做加速运动,选项A 错误,C 正确㊂对物体A 进行受力分析,根据牛顿第二定律得T A -m g =m a A ,即T A >m g ,选项B 错误㊂根据数学知识可知,随着α角的减小,c o s α的值变化减慢,物体A 的速度改变变慢,即a A 减小,故T A 逐渐减小,选项D 正确㊂答案:C D问题1:轻绳连接的两物体瞬时速度大小相等吗原理分析:为了研究方便,假设物体A和物体B 开始时分别处于位置A 和位置B ,令经过一段时间Δt ,物体A 和物体B 分别图10运动到图10中的A 1和B 1位置,设该段时间内,物体A 和物体B 的位移分别为x A 和x B ㊂以O 点为圆心,以O B 长为半径画圆弧B B 2交O B 1于B 2点㊂位移大小关系:轻绳不能伸长,根据几何关系得x A =x B //,x B >x B //㊂平均速度大小关系:v A =x A Δt ,v B //=x B //Δt,v B =x BΔt,则v A =v B //<v B ㊂瞬时速度大小关系:因为v A =l i mΔt ң0x AΔt,v B //=l i m Δt ң0x B //Δt ,v B =l i m Δt ң0x B Δt ,所以v A =v B //<v B ㊂又因为v A =v A //,所以v A //=v B //㊂原因分析:物体A 和物体B 在相等时间内的位移㊁速度大小不等的根本原因是物体B 沿垂直于轻绳方向发生了转动㊂结论1:轻绳连接的两物体沿绳方向的瞬时速度大小一定相等,即v A //=v B //㊂问题2:轻绳连接的两物体沿绳方向的瞬时加速度大小相等吗?原理分析:物体A 做加速运动,对物体A 应用牛顿第二定律得T A -m g =m a A ,其图11中a A >0㊂物体B 做匀速直线运动,物体B 受到重力M g ,拉力F ,轻绳拉力T ,地面摩擦力图12和支持力作用,处于平衡状态㊂如图11所示,以水平方向为x 轴,竖直方向为y 轴,将轻绳的拉力T 正交分解,则F =f +T c o s α,N +T s i n α=M g ,其中f =μN ㊂如图12所示,以沿绳方向为x 轴,垂直于绳方向为y 轴,设物体B 沿绳方向的加速度为a B //,则(M g -N )s i n α+(F -f )c o s α-T =M a B //㊂联立以上各式解得a B //=0㊂因此a A ʂa B //㊂结论2:轻绳连接的两物体沿绳方向的瞬时加速度大小不一定相等㊂问题3:什么条件下轻绳连接的两物体沿绳方向的瞬时加速度大小一定相等原理分析:因为轻绳连接的物体沿垂直于绳方向有转动造成了两物体位移㊁速度大小不等,所以当轻绳连接的两物体沿垂直于绳方向上均没有转动,即两物体都只在沿绳方向上运动时,两物体沿绳方向的位移㊁瞬时速度㊁瞬时加速度大小一定相等㊂结论3:当轻绳连接的两物体沿垂直于绳方向上没有转动,即两物体都只在沿绳方向上运动时,两物体沿绳方向的瞬时加速度大小和瞬间速度大小一定相等㊂图13练习1:如图13所示,一根轻绳跨过光滑轻质定滑轮,两端分别系在物体A ㊁B 上,物体A 的质量M 1=2k g,物体B 的质量M 2=1k g,初始状态下物体A 离地高度H =0.5m ㊂将物体A 与B 由静止开始释放,取重力加速度g =10m /s 2,则物体A 由静止下落0.3m 时的速度为( )㊂A.2m /s B .3m /sC .2m /sD .1m /s答案:A 提示:将物体A 与B 由静止开始释放后,物体A 竖直下落,物体B 竖直上升,均只沿绳方向运动,因此两物体的瞬间加速度大小㊁运动时间㊁瞬时速度大小均相等㊂对由两物体组成的系统应用机械能守恒定律得(M 1-M 2)gh =12(M 1+M 2)v 2,解得v =2m /s㊂问题4:既然物体B 做匀速直线运动,加速度a B =0,为什么物体B 沿绳方向和垂直于绳方向的速度都在发生变化?原理分析:将物体B 在B 点和B 1点的速度v B ㊁v B 1沿绳方向和垂直于绳方向进行分解,并将v B 1及其分量平移到B 点,如图14所示㊂从v B //矢量的末端向v B 1//矢量的末图14端引有向线段,即Δv B //;从v B ʅ矢量的末端向v B 1ʅ矢量的末端引有向线段,即Δv B ʅ㊂利用数学知识易证Δv B //=Δv B ʅ,方向相反㊂根据牛顿第二定律得a //=a ʅ,方向相反,同时其瞬时加速度也应等大反向,其矢量和为零,即a B =0㊂结论4:物体B 的匀速直线运动可以看成是这样的两个分运动的合运动,即一个为沿绳方向的加速运动和另一个沿垂直于绳方向的减速运动(其初速度矢量和为v B ),而且两个分运动的加速度始终大小相等,方向相反(但两个分运动的加速度方向与相应的速度方向不在同一条直线上)㊂问题5:轻绳对由其连接的两运动物体做功的代数和为多少为什么轻绳连接的两物体组成的系统只有重力做功时系统的机械能守恒原理分析:将两物体的速度分别分解在垂直于绳和平行于绳的方向上,则轻绳的拉力对每个物体做功的瞬间功率大小均为P =T v //㊂因为轻绳对两物体的拉力大小始终相等且与绳在同一条直线上,同时两物体沿绳方向的速度大小相等,所以轻绳对两物体做功的瞬间功率必然大小相等且互为相反数,即轻绳对两物体做功的代数和一定为零㊂通过轻绳对物体做功,实现了机械能在物体间的转移,故每个单一物体的机械能都不守恒㊂如果轻绳连接的物体系统外只有重力做功,那么系统的机械能一定守恒㊂结论5:轻绳对由其连接的两运动物体做功的代数和一定为零㊂轻绳连接的两物体组成的系统在只有重力做功的情况下,系统的机械能一定守恒㊂图15练习2:如图15所示,绕过光滑轻质定滑轮的一根轻绳两端分别连接物块A 和B ,物块B 的下面通过轻绳连接物块C ,已知物块B 和C 的质量均为m ,物块A 的质量为32m ,物块B 和C 之间的轻绳长度为L ,初始时物块C 离地的高度也为L ㊂最初物块A 锁定在地面上,现解除对物块A 的锁定,三个物块开始运动㊂假设三个物块均可视为质点,落地后不反弹,重力加速度大小为g ㊂求:(1)物块A 刚上升时的加速度大小a ㊂(2)物块A 上升过程中的最大速率v m a x ㊂(3)物块A 离地的最大高度H ㊂答案:(1)a =17g ;(2)v m a x =2g l 7;(3)H =127L ㊂ 提示:(1)解除对物块A 的锁定后,物块A 加速上升,物块B 和C 加速下降,加速度大小a 相等㊂设轻绳对物块A和B 的拉力大小为T ,根据牛顿第二定律,对物块A 有T -32m g =32ma ,对由物块B 和C 组成的系统有(m +m )g -T =(m +m )a ,解得a =17g ㊂(2)物块C 落地后,物块A 的重力大于物块B 的重力,物块A 减速上升,所以当物块C 刚着地时,物块A 的速度最大㊂从物块A 刚开始上升到物块C 刚着地的过程中,根据机械能守恒定律得2m gL -32m g L =12ˑ2m v 2m a x +12ˑ32m v 2m a x ,解得v m a x =2g l 7㊂(3)假设物块C 落地后物块A 继续上升h 时速度为零,此时物块B 未触及地面,根据机械能守恒定律得m g h -32m g h =0-12m +32mv 2m a x ,解得h =57L ㊂因为h =57L <L ,物块B 不会触地,假设成立,所以物块A 离地的最大高度H =L +h =127L ㊂总之,以轻绳为载体,可以有效地把力学主要知识点串联在一起㊂同学们在复习备考过程中,将轻绳连接体问题归纳整理在一起,从宏观视觉对知识加以把控,让知识融会贯通,可以达到复习一类掌握全部相关知识的目的㊂(责任编辑 张 巧)。

用机械能守恒定律解决连接体问题1．首先分析多个物体组成的系统所受的外力是否只有重力或弹力做功，内力是否造成了机械能与其他形式能的转化，从而判断系统机械能是否守恒．2．若系统机械能守恒，则机械能从一个物体转移到另一个物体，ΔE 1＝－ΔE 2，一个物体机械能增加，则一定有另一个物体机械能减少．例1 如图1所示，左侧为一个半径为R 的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O 点为球心，碗的内表面及碗口光滑．右侧是一个固定光滑斜面，斜面足够长，倾角θ＝30°.一根不可伸长的不计质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光滑定滑轮两端上，绳的两端分别系有可视为质点的小球m 1和m 2，且m 1＞m 2.开始时m 1恰在碗口水平直径右端A 处，m 2在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸直．当m 1由静止释放运动到圆心O 的正下方B 点时细绳突然断开，不计细绳断开瞬间的能量损失．图1(1)求小球m 2沿斜面上升的最大距离s ；(2)若已知细绳断开后小球m 1沿碗的内侧上升的最大高度为R 2，求m 1m 2.(结果保留两位有效数字) 当m 1由静止释放运动到圆心O 的正下方B 点时细绳突然断开．答案 (1)2(2＋1)m 12m 1＋m 2R (2)1.9 解析 (1)设重力加速度为g ，小球m 1到达最低点B 时，m 1、m 2速度大小分别为v 1、v 2 如图所示，由运动的合成与分解得v 1＝2v 2对m 1、m 2组成的系统由机械能守恒定律得m 1gR －m 2gh ＝12m 1v 12＋12m 2v 22 h ＝2R sin 30°联立以上三式得v 1＝ 22m 1－2m 22m 1＋m 2gR ，v 2＝ 2m 1－2m 22m 1＋m 2gR 设细绳断开后m 2沿斜面上升的距离为s ′，对m 2由机械能守恒定律得m 2gs ′sin 30°＝12m 2v 22 小球m 2沿斜面上升的最大距离s ＝2R ＋s ′ 联立以上两式并代入v 2得s ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋2m 1－2m 22m 1＋m 2R ＝2(2＋1)m 12m 1＋m 2R (2)对m 1由机械能守恒定律得： 12m 1v 12＝m 1g R 2代入v 1得m 1m 2＝22＋12≈1.9.。

绳牵连物”连接体模型问题归纳广西合浦廉州中学秦付平两个物体通过轻绳或者滑轮这介质为媒介连接在一起,物理学中称为连接体,连结体问题就是物体运动过程较复杂问题,连接体问题涉及多个物体,具有较强的综合性,就是力学中能考查的重要内容。

从连接体的运动特征来瞧,通过某种相互作用来实现连接的物体,如物体的叠合,连接体常会处于某种相同的运动状态,如处于平衡态或以相同的加速度运动。

从能量的转换角度来说,有动能与势能的相互转化等等,下面本文结合例题归纳有关“绳牵连物”连接体模型的几种类型。

一、判断物体运动情况例1如图1所示,在不计滑轮摩擦与绳质量的条件下,当小车匀速向右运动时,物体A的受力情况就是( )A.绳的拉力大于A的重力B.绳的拉力等于A的重力C.绳的拉力小于A的重力D.拉力先大于A的重力,后小于重力解析:把小车的速度为合速度进行分解,即根据运动效果向沿绳的方向与与绳垂直的方向进行正交分解,分别就是v2、v1。

如图1所示,题中物体A的运动方向与连结处绳子的方向相同,不必分解。

A的速度等于v2,,小车向右运动时,逐渐变小,可知逐渐变大,故A向上做加速运动,处于超重状态,绳子对A的拉力大于重力,故选项A正确。

点评:此类问题通常就是通过定滑轮造成绳子两端的连接体运动方向不一致,导致主动运动物体与被动运动物体的加速、减速的不一致性。

解答时必须运用两物体的速度在各自连接处绳子方向投影相同的规律。

二、求解连接体速度例2质量为M与m的两个小球由一细线连接(),将M置于半径为R的光滑半球形容器上口边缘,从静止释放,如图2所示。

求当M滑至容器底部时两球的速度。

两球在运动过程中细线始终处于绷紧状态。

解析:设M滑至容器底部时速度为,m的速度为。

根据运动效果,将沿绳的方向与垂直于绳的方向分解,则有:,对M、m系统在M从容器上口边缘滑至碗底的过程,由机械能守恒定律有:,联立两式解得:,方向水平向左;方向竖直向上。

点评:作为连接两个物体的介质绳,能实现力与能量的传递,这也就使两个物体的运动状态彼此都会发生影响,这就使物体的速度上存在一定的矢量关联,分解或者求解速度之间的约束关系就成为解决这类问题的关键。

实验6:验证机械能守恒定律一、实验目的验证机械能守恒定律.二、实验原理在只有重力做功的自由落体运动中，物体的重力势能和动能互相转化,但总的机械能守恒。

若物体从静止开始下落，下落高度为h 时的速度为v,恒有mgh＝错误!m v2。

故只需借助打点计时器，通过纸带测出重物某时刻的下落高度h和该时刻的瞬时速度v，即可验证机械能守恒定律。

测定第n点的瞬时速度的方法是：测出第n点相邻的前、后两段相等时间间隔T内下落的高度x n－1和x n＋1(或用h n－1和h n＋1）,然后由公式v n＝错误!或由v n＝错误!可得v n(如图所示)。

三、实验器材铁架台（带铁夹）、电磁打点计时器与低压交流电源（或电火花打点计时器)、重物(带纸带夹子)、纸带数条、复写纸片、导线、毫米刻度尺。

四、实验步骤1．安装器材：如图所示,将打点计时器固定在铁架台上,用导线将打点计时器与低压电源相连,此时电源开关应为断开状态。

2．打纸带：把纸带的一端用夹子固定在重物上，另一端穿过打点计时器的限位孔，用手竖直提起纸带，使重物停靠在打点计时器下方附近，先接通电源，待计时器打点稳定后再松开纸带，让重物自由下落，打点计时器就在纸带上打出一系列的点，取下纸带，换上新的纸带重打几条（3~5条)纸带。

3．选纸带:分两种情况说明（1)若选第1点O到下落到某一点的过程，即用mgh＝错误!m v2来验证,应选点迹清晰，且1、2两点间距离小于或接近2 mm的纸带,若1、2两点间的距离大于2 mm，这是由于打点计时器打第1个点时重物的初速度不为零造成的(如先释放纸带后接通电源等错误操作会造成此种结果)。

这样第1个点就不是运动的起始点了，这样的纸带不能选。

（2)用错误!m v错误!－错误!m v错误!＝mgΔh验证时，由于重力势能的相对性，处理纸带时选择适当的点为基准点，这样纸带上打出的第1、2两点间的距离是否为2 mm就无关紧要了，所以只要后面的点迹清晰就可以选用。

机械能守恒定律在轻绳连接体中的应用一、连接体物体系统的机械能守恒两个或两个以上的物体通过细绳或轻杆或弹簧联系在一起，系统仅在重力作用下运动，对系统中某一个物体来说机械能不守恒，但整个系统与外界无能量交换，机械能仅在系统内物体间转移或转化，所以系统机械能守恒。

二、系统机械能守恒的常用表达式三、绳连接的物体系统机械能守恒如图所示的两物体组成的系统，释放B而使A、B运动的过程中，A、B的速度均沿绳子方向，在相等时间内A、B运动的路程相等，A、B的速率也相等。

但有些问题中两物体的速率并不相等，这时就需要先进行运动的合成与分解找出两物体运动速度之间的关系。

【题型1】如图所示，质量分别为3kg和5kg的物体A、B，用足够长的轻绳连接跨在一个光滑轻质定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面与地接触，B物体距地面0.8m，不计空气阻力，求：(1)放开B物体，当B物体着地时A物体的速度大小；(2)B物体着地后(不反弹)A物体还能上升多高.(g取10m/s2)【题型2】一半径为R的半圆形竖直圆柱面，用轻质不可伸长的细绳连接的A、B两球悬挂在圆柱面边缘两侧，A球质量为B球质量的2倍，现将A球从圆柱边缘处由静止释放，如图所示．已知A球始终不离开圆柱内表面，且细绳足够长，若不计一切摩擦，求：A球沿圆柱内表面滑至最低点时速度的大小．【题型3】如图所示，跨过同一高度处的定滑轮的细线连接着质量相同的物体A 和B ，A 套在光滑水平杆上，定滑轮离水平杆的高度h ＝0.2 m ，开始时让连着A 的细线与水平杆的夹角θ1＝37°，由静止释放B ，当细线与水平杆的夹角θ2＝53°时，A 的速度为多大？在以后的运动过程中，A 所获得的最大速度为多大？(设B 不会碰到水平杆，sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，取g ＝10 m/s 2)针对训练1.有一竖直放置的“T”形架，表面光滑，滑块A 、B 分别套在水平杆与竖直杆上，A 、B 用一根不可伸长的轻细绳相连，A 、B 质量相等，且可看做质点，如图所示，开始时细绳水平伸直，A 、B 静止。

机械能守恒在模型中的应用（一）连绳模型【例1】 如图所示，甲、乙两个物体的质量分别为m 甲和m 乙(m 乙＞m 甲)，用细绳连接跨在半径为R 的光滑半圆柱的两端，连接体由图示位置从静止开始运动，当甲到达半圆柱体顶端时对圆柱体的压力为多大？解析：设甲到达半圆柱体顶部时，二者的速度的大小为v ，以半圆柱顶部为零势能面，由机械能守恒定律可得－(m 乙＋m 甲)gR ＝12(m 乙＋m 甲)v 2－m 乙g ⎝⎛⎭⎫R ＋π2R ① 或以半圆柱底部为零势能面，由机械能守恒定律有0＝m 甲gR ＋12(m 乙＋m 甲)v 2－m 乙g ·π2R (与上式一样，可见零势能面的选取与解题无关，可视问题方便灵活选择零势能面)设甲到达顶部时对圆柱体的压力为F N ，以甲为受力分析对象，则m 甲g －F N ＝m 甲v 2R ② 联立①②两式可得F N ＝m 甲g ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3m 甲－π－1 m 乙m 乙＋m 甲. 由牛顿第三定律对圆柱体压力 F N ′＝F N ＝m 甲g ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3m 甲－π－1 m 乙m 乙＋m 甲 点评：此类问题要认清物体的运动过程，注意物体运动到最高点或最低点时速度的隐含条件及认清两者的速度关系。

（二）连杆模型【例2】如图所示，两个质量分别为m 和2m 的小球a 和b ，之间用一长为2l 的轻杆连接，杆在绕中点O 的水平轴无摩擦转动。

今使杆处于水平位置，然后无初速释放，在杆转到竖直位置的过程中，求：（1）杆在竖直位置时，两球速度的大小（2）杆对b 球做的功【解析】（1）以a 、b 和地球组成的系统为研究对象，以轻杆的水平位置为零势能面，由机械能守恒定律得：0= (mv a 2/2+mgl ) + (2mv b 2/2 – 2mgl ) ①由圆周运动规律得：v a =v b =lw=v ②①②结合解得：32gl =υ（2）对b 球，由动能定理得：W F +2mgl=2mv 2/2 -0综合（1）结果解得：W F = -4mgl/3。

用机械能守恒定律求解连接体问题作者：丁玉莉来源：《新高考·高一物理》2012年第04期机械能守恒定律的内容是“在只有重力、弹力做功的情形下，物体的动能和势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变. ”在用机械能守恒定律解连接体问题时，一定要注研究对象的选取，中间过程的分析以及能量转化的过程，这样才能正确应用机械能守恒定律解决问题.■ 一、机械能守恒定律应用中研究对象系统的选取机械能守恒定律的研究对象必须是一个系统. 应用机械能守恒定律必须准确的选择系统. 系统选择得当，机械能守恒；系统选择不得当，机械能不守恒. 对机械能不守恒的系统应用机械能守恒定律必然得出错误的结果.■ 例1 如图1所示，长为2 L的轻杆OB，O端装有转轴，B端固定一个质量为m的小球B，OB中点A固定一个质量为m的小球A，若OB杆从水平位置静止开始释放转到竖直位置的过程中，求：（1） A、B球摆到最低点的速度大小各是多少？（2）轻杆对A、B球各做功多少？（3）轻杆对A、B球所做的总功为多少？■ 解析有学生分别选A、B球及地球为一系统，有机械能守恒定律得到：mgl=■mv2A，mg2l=■mv2B由上两式得：vA=■，vB=■上述解法其实是不对的，错在何处呢？是系统选择错误. 事实上，小球A（或B）与地球单独组成的系统机械能并不守恒，这是因为轻杆往下摆的过程中，轻杆分别对A、B两球做了功（注意轻杆可以产生切向力，不象轻绳，只能产生法向力）. 对机械能不守恒的系统应用守恒定律求解，当然出错. 那么，应该选择什么系统呢？应选A、B球及地球所组成的系统，机械能是守恒的.（1）选A、B及地球为研究系统，此系统中只有动能和重力势能发生转化，系统机械能守恒，有：■mv′2A+■mv′2B=mgl+mg2l vB=2vA由上面两式可得：v′A=■，v′B=■（2）由（1）不难得到：v′AvB即A、B间的轻杆对B球做正功，对A球做负功.轻杆对A球做功为：WA=■mv′2A-■mv2A=-0.4mgl同理可得，轻杆对B球做功为：WB=0.4mgl（3）轻杆对A、B所做总功为0.■ 分析从（2）不难看出轻杆对小球B做了正功，对A球做了负功. 从（3）可得到，A、B两球及轻杆这一系统，并没有机械能与其他形式能量的转化，故机械能守恒. A、B间轻杆的作用之一是实现了A球与B球之间机械能的传递.■ 二、机械能守恒定律应用中物理过程的选取机械能守恒定律也是一条过程规律，在使用时必须选取具体的物理过程，确定初、末状态. 选取物理过程必须遵循两个基本原则，一要符合求解要求，二要尽量使求解过程简化. 可选全过程，有时则必须将全过程分解成几个阶段，然后再分别应用机械能守恒定律求解.■ 例2 如图2所示，质量均为m的小球A、B、C，用两条长均为L的细线相连，置于高为h的光滑水平桌面上. L>h，A球刚跨过桌面. 若A球、B球下落着地后均不再反弹，则C球离开桌边缘时的速度大小是多少？■ 解析本题描述的物理过程是：A球下落带动B、C球运动. A球着地前瞬间，A、B、C三球速率相等，且B、C球均在桌面上. 因A球着地后不反弹，故A、B两球间线松弛，B球继续运动并下落，带动小球C，在B球着地前瞬间，B、C两球速率相等. 故本题的物理过程应划分为两个阶段：从A球开始下落到A球着地瞬间；第二个阶段，从A球着地后到B球着地瞬间.在第一个阶段，选三个球及地球为系统，机械能守恒，则有：mgh=■（3m）v21第二个阶段，选B、C两球及地球为系统，机械能守恒，则有：mgh=■（2m）v22-■（2m）v21由上面两式求解得：v2=■在A球撞地后受到冲击力，将A球速度瞬间减为0，之后就需要换取研究对象和过程，才能正确求解.■ 三、利用机械能守恒定律的另一表达式ΔEk+ΔEp=0解题在运用机械能守恒定律Ek1+Ep1=Ek2+Ep2时，必须选取零势能参考面，而且在同一问题中必须选取同一零势能参考面. 但在某些机械能守恒的问题中，运用Ek1+Ep1=Ek2+Ep2求解不太方便，而运用ΔEK+ΔEP=0较为简单. 运用ΔEK+ΔEP=0的一个最大优点是不必选取零势能参考面，只要弄清楚过程中物体重力势能的变化即可.■ 例3 如图3所示，一固定的斜面，θ=30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮，一软弱的细线跨过定滑轮，两边分别与A、B连接，A的质量为4m，B的质量为m，开始时将B 按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升，物块A与斜面间无摩擦，设当A 沿斜面下滑s距离后，细线突然断了，求物块B上升的最大距离H.■ 解析取A、B及地球为系统：ΔEK=-ΔEP■（4m+m）v2=4mg·s·sin30°-mgs①对B：0-v2=2（-g）h②H=s+h③由①②③得：H=1.2s物体系内“只有重力或弹簧的弹力做功”是机械能守恒的条件. 但由于做功的过程最终实现能量的转化，所以在实际应用时可从能量转化的角度去理解，即只有物体的动能、系统的重力势能和弹簧的弹性势能之间发生相互转化，则系统机械能总量保持不变.。

连接体机械能守恒问题的分析技巧1．对连接体，一般用“转化法”和“转移法”来判断其机械能是否守恒．2．注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．3．列机械能守恒方程时，可选用ΔE k ＝－ΔE p 的形式．例题1.如图1，可视为质点的小球A 、B 用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R 的光滑圆柱，A 的质量为B 的两倍．当B 位于地面时，A 恰与圆柱轴心等高．将A 由静止释放，B 上升的最大高度是( )图1A ．2RB.5R 3C.4R 3D.2R 3答案 C解析 设A 球刚落地时两球速度大小为v ，根据机械能守恒定律2mgR －mgR ＝12(2m ＋m )v 2得v 2＝23gR ，B 球继续上升的高度h ＝v 22g ＝R 3，B 球上升的最大高度为h ＋R ＝43R . 2．(多选)如图2，滑块a 、b 的质量均为m ，a 套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h ，b 放在地面上．a 、b 通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a 、b 可视为质点，重力加速度大小为g .则( )图2A ．a 落地前，轻杆对b 一直做正功B ．a 落地时速度大小为2ghC ．a 下落过程中，其加速度大小始终不大于gD ．a 落地前，当a 的机械能最小时，b 对地面的压力大小为mg答案 BD解析 滑块b 的初速度为零，末速度也为零，所以轻杆对b 先做正功，后做负功，选项A 错误；以滑块a 、b 及轻杆为研究对象，系统的机械能守恒，当a 刚落地时，b 的速度为零，则mgh ＝12m v a 2＋0，即v a ＝2gh ，选项B 正确；a 、b 的先后受力分析如图甲、乙所示．由a 的受力情况可知，a 下落过程中，其加速度大小先小于g 后大于g ，选项C 错误；当a 落地前b 的加速度为零(即轻杆对b 的作用力为零)时，b 的机械能最大，a 的机械能最小，这时b 受重力、支持力，且F N b ＝mg ，由牛顿第三定律可知，b 对地面的压力大小为mg ，选项D 正确．。

微专题32机械能守恒定律在连接体问题中的应用【核心要点提示】机械能守恒定律理解的三种形式：1．守恒观点(1)表达式：E k1＋E p1＝E k2＋E p2或E1＝E2．(2)意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能．(3)注意：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面．2．转化观点(1)表达式：ΔE k＝－ΔE p．(2)意义：系统的机械能守恒时，系统增加(或减少)的动能等于系统减少(或增加)的势能．3．转移观点(1)表达式：ΔE A增＝ΔE B减．(2)意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分机械能的增加量等于B部分机械能的减少量．【微专题训练】类型一：速率相等的连接体模型1．如图所示的两物体组成的系统，当释放B而使A、B运动的过程中，A、B的速度均沿绳子方向，在相等时间内A、B运动的路程相等，则A、B的速率相等。

2．判断系统的机械能是否守恒不从做功角度判断，而从能量转化的角度判断，即：如果系统中只有动能和势能相互转化，系统的机械能守恒。

这类题目的典型特点是系统不受摩擦力作用。

(2017·福建八县一中联考)(多选)如图所示，倾角为30°、高为L的固定斜面底端与水平面平滑相连，质量分别为3m、m的两个小球A、B用一根长为L的轻绳连接，A球置于斜面顶端。

现由静止释放A、B两球，B球与弧形挡板碰撞过程时间极短，无机械能损失，且碰后只能沿斜面下滑，两球最终均滑到水平面上。

已知重力加速度为g，不计一切摩擦，则(ABD)A．A球刚滑至水平面上时的速度大小为5gL2B．B球刚滑至水平面上时的速度大小为32gLC．两小球在水平面上不可能相撞D．在A球沿斜面下滑的过程中，轻绳对B球先做正功，后不做功[解析]从A球开始下滑到A球落地的过程中，系统的机械能守恒，A球到达水平面上时B球在斜面的中点上，则有3mgL－mg L2＝12(4m)v2，解得v＝5gL2，故A正确；A球滑到水平面后，A球的速度不再变化，而B球速度继续增大，此时轻绳对B球不再有力的作用，对B球由机械能守恒可知mg 12L＝12mv′2－12mv2，解得B球最终滑到水平面上时速度v′＝32gL，故B正确；B球滑到水平面上，由于B球的速度大于A球的速度，故两球最终一定会相撞，故C错误；由题意可知，开始时，B球动能增加，轻绳对B球做正功，当A球沿斜面下滑一半距离后，A、B球一起沿斜面下滑，速度和加速度均相等，故轻绳无拉力，轻绳不再做功，故D正确。

9 专题：动能定理和机械能守恒定律综合应用连接体和链条问题[学习目标]1.知道动能定理与机械能守恒定律的区别，体会二者在解题时的方法异同2.能灵活运用动能定理和机械能守恒定律解决综合题目．3.会分析多个物体组成系统的机械能守恒问题.4.会分析处理链条类机械能守恒问题一、机械能的变化量ΔE与其他力做功的关系质量为m的物块在竖直向上的恒力F的作用下由静止向上加速运动了h，此过程恒力F做功多少，物块机械能变化了多少？(空气阻力不计，重力加速度为g)二、多物体组成的系统机械能守恒问题1．当动能、势能仅在系统内相互转化或转移，则系统的机械能守恒．2．机械能守恒定律表达式的选取技巧①当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式E k1＋E p1＝E k2＋E p2或ΔE k＝－ΔE p来求解．②当研究对象为两个物体组成的系统时：a.若两个物体的重力势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式ΔE k＝－ΔE p来求解．b.若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔE A＝－ΔE B来求解．c.从机械能的转化角度来看，系统中一个物体某一类型机械能的减少量等于系统中其他类型机械能的增加量，可用ΔE减＝ΔE增来列式．d.注意寻找连接各物体间的速度关系的连接物，如绳子、杆或者其他物体，然后在寻找几个物体间的速度关系和位移关系。

3．对于关联物体的机械能守恒问题，应注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系、位移与高度变化量Δh 的关系．三、连接体问题解题思路与技巧1．不含弹簧的系统机械能守恒问题①对多个物体组成的系统，要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒．一般情况为：不计空气阻力和一切摩擦，系统的机械能守恒．②注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．③多个物体组成的系统，应用机械能守恒时，先确定系统中哪些能量增加、哪些能量减少，再用ΔE增＝ΔE减(系统内一部分增加的机械能和另一部分减少的机械能相等)解决问题．2．含弹簧的系统机械能守恒问题①通过其他能量求弹性势能，根据机械能守恒，列出方程，代入其他能量的数值求解．②对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，弹簧伸长量和压缩量相等时，弹簧弹性势能相等．③物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关．知识点一：动能定理和机械能守恒定律的比较动能定理和机械能守恒定律，都可以用来求能量或速度，但侧重不同，动能定理解决物体运动，尤其计算对该物体的做功时较简单，机械能守恒定律解决系统问题往往较简单，两者的灵活选择可以简化运算过程．【探究重点】【例题精讲】1.（2022届·河北省唐山市高三上学期期末）如图所示，一劲度系数为k的轻弹簧左端固定在竖直墙壁上，右端连接置于粗糙水平面的物块。

连接体的机械能守恒问题（基础好的学生可参考）典例、如图所示，左侧竖直墙面上固定不计为R=0.3m的光滑半圆环，右侧竖直墙面上与圆环的圆心O等高处固定一光滑直杆．质量为m a=100g的小球a套在半圆环上，质量为m b=36g的滑块b套在直杆上，二者之间用长为l=0.4m的轻杆通过两铰链连接．现将a从圆环的最高处由静止释放，使a沿圆环自由下滑，不计一切摩擦，a、b均视为质点，重力加速度g=10m/s2．求：（1）小球a滑到与圆心O等高的P点时的向心力大小；（2）小球a从P点下滑至杆与圆环相切的Q点的过程中，杆对滑块b做的功．分析（1）不计一切摩擦，a沿圆环自由下滑的过程中，a、b及杆组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律求出小球a滑到与圆心O等高的P点时的速度，再由向心力公式求解．（2）小球a从P点下滑至杆与圆环相切的Q点的过程中，根据杆不可伸长和缩短，两球沿杆的速度相等列式，得到两球速度关系式，再结合机械能守恒定律求出b球此时的速度，即可由动能定理求得杆对b球做的功．解：（1）当a滑到与O同高度P点时，a的速度v沿圆环切向向下，b的速度为零，由机械能守恒定律可得：m a gR=1/2m a v2；对小球a受力分析，由牛顿第二定律可得：F=mav2/R=2m a g=2N（2）杆与圆相切时，如图所示，a的速度沿杆方向，设此时b的速度为v b，根据杆不可伸长和缩短，有：v a=v b cosθ由几何关系可得：cosθ=0.8在图中，球a下降的高度h=Rcosθa、b系统机械能守恒，则有：m a gh=1/2m a v a2+1/2m b v b2-1/2m a v2；对滑块b，由动能定理得：W=1/2M b V b2=0.1944J答：（1）小球a滑到与圆心O等高的P点时的向心力大小是2N；（2）小球a从P点下滑至杆与圆环相切的Q点的过程中，杆对滑块b做的功是0.1944J．。

《科学验证：机械能守恒定律》导学案一、学习目标1、理解机械能守恒定律的内容及条件。

2、学会通过实验验证机械能守恒定律。

3、能够运用机械能守恒定律解决简单的实际问题。

二、知识回顾1、机械能机械能是动能与势能（重力势能和弹性势能）的总和。

动能：物体由于运动而具有的能量，表达式为$E_{k}＝＼frac{1}｛2}mv^｛2}＄（其中$m$为物体的质量，＄v$为物体的速度）。

重力势能：物体由于被举高而具有的能量，表达式为$E_{p}＝mgh$（其中$m$为物体的质量，＄g$为重力加速度，＄h$为物体的高度）。

弹性势能：物体由于发生弹性形变而具有的能量，其大小与形变程度有关。

2、功和能的关系做功的过程就是能量转化的过程，做了多少功就有多少能量发生转化。

三、实验原理在只有重力做功的自由落体运动中，物体的重力势能转化为动能，但总的机械能保持不变。

设物体的质量为$m$，下落高度为$h$时的速度为$v$。

则重力势能的减少量为$mgh$，动能的增加量为$＼frac{1}｛2}mv^｛2}＄。

若机械能守恒，则有$mgh ＝＼frac{1}｛2}mv^｛2}＄。

四、实验器材铁架台、打点计时器、纸带、重锤、刻度尺、低压交流电源。

五、实验步骤1、安装实验装置将打点计时器固定在铁架台上，用夹子把纸带的一端固定在重锤上，另一端穿过打点计时器的限位孔。

2、进行实验用手提着纸带，使重锤靠近打点计时器，然后先接通电源，再松开纸带，让重锤自由下落。

3、数据采集取下纸带，选取点迹清晰且第一、二两点间距约为 2mm 的纸带进行测量。

4、数据处理（1）测量下落高度$h$：选择纸带中起始点和其后某一点，用刻度尺测量这两点间的距离，即为下落高度$h$。

（2）计算瞬时速度$v$：根据匀变速直线运动中某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，求出与下落高度对应的瞬时速度$v$。

5、验证机械能守恒比较重力势能的减少量$mgh$和动能的增加量$＼frac{1}｛2}mv^｛2}＄，若在误差允许范围内相等，则机械能守恒定律得到验证。

高中生·高考指导文"汪志杰若干个物体通过一定的方式连接在一起，就构成了连接体，其连接方式一般是通过细绳、轻杆或轻弹簧等物体来实现的．连接体问题涉及多个物体，具有较强的综合性，是力学中能力考查的重要内容，在高考中也经常出现．连接体问题的解题关键是寻找连接体之间的内在联系．解决连接体问题的有效方法，除常用的整体法与隔离法外，还可利用机械能守恒定律求解．一、轻绳连接模型解答此类问题应注意：连接体运动过程中，与绳子连接的物体沿着绳子方向的速度大小一定相等；轻绳内部张力处处相等，且与运动状态无关．因此，此类模型中的单个物体机械能一般不守恒，但系统机械能守恒．例１如图１所示，质量分别为ｍ和Ｍ的物块Ａ和Ｂ用不可伸长的细绳连接，Ａ放在倾角为α的固定斜面上，Ｂ能沿杆在竖直方向上自由滑动．杆到滑轮中心的距离为Ｌ，开始时将Ｂ抬高到使细绳水平．求当Ｂ由静止开始下落ｈ时的速度．（滑轮和绳的质量及各种摩擦均不计）解析设Ｂ下降ｈ时速度为ｖ１，此时Ａ上升的速度为ｖ２，沿斜面上升的距离为ｓ．选Ａ、Ｂ和地球组成的系统为研究对象，由于系统在运动过程中只有重力做功，系统机械能守恒，其重力势能的减少量等于其动能的增加量，即有Ｍｇｈ－ｍｇｓ·ｓｉｎα＝１２Ｍｖ２１＋１２ｍｖ２２．①由于Ｂ下落，使杆与滑轮之间的一段绳子既沿其自身方向运动，又绕滑轮转动，故ｖ１可分解为图２所示的两个分速度．由图２知ｖ２＝ｖ１ｃｏｓθ＝ｖ１·ｈＬ２＋ｈ２!．②由几何关系知ｓ＝Ｌ２＋ｈ２!－Ｌ．③联立①、②、③三式可解得ｖ１＝２（Ｌ２＋ｈ２）［Ｍｇｈ－ｍｇｓｉｎα（Ｌ２＋ｈ２!－Ｌ）］ＭＬ２＋（Ｍ＋ｍ）ｈ２!．小结若系统内的物体通过不可伸长的轻绳相连接，则系统的机械能守恒．本题还需结合相关物体的速度关系式才能求解．例２如图３所示，质量均为ｍ的小球Ａ、Ｂ、Ｃ，用两条长均为Ｌ的细线相连，置于高为ｈ的光滑水平桌面上．Ｌ＞ｈ，Ａ球由静止状态从桌面边缘落下．若Ａ球、Ｂ球下落着地后均不再反弹，则Ｃ球离开桌面边缘时的速度大小是多少？（不计摩擦）解析本题的物理过程如下：Ａ球下落带动Ｂ球和Ｃ球运动．Ａ球着地前瞬间，Ａ、Ｂ、Ｃ三球速率相等，且Ｂ、Ｃ两球均在桌面上．因Ａ球着地后不反弹，故Ａ、Ｂ两球间细线松弛，Ｂ球继续运动并下落，带动小球Ｃ，在Ｂ球着地前瞬间，Ｂ、Ｃ两球速率相等．故本题的物理过程应划分为两个阶段：第一个阶段，从Ａ球开始下落到Ａ球着地瞬间；第二个阶段，从Ａ球着地后到Ｂ球着地瞬间．在第一个阶段，选三个球及地球为系统，根据机械能守恒定律有ｍｇｈ＝１２×３ｍ×ｖ２１．①在第二个阶段，选Ｂ、Ｃ两球及地球为系统，根据机械能守恒定律有ｍｇｈ＝１２×２ｍ×ｖ２２－１２×２ｍ×ｖ２１．②由①、②解得ｖ２＝１５ｇｈ!３．小结要重视对物体运动过程的分析，明确运动过程中有无机械能和其他形式能量之间的转换，对有能量形式转换的部分不能应用机械能守恒定律．二、轻杆连接模型由于轻杆不可伸长和压缩，所以沿杆方向速度相同．若轻杆一端固定，则杆转动时，杆上各点具有相同的角速度．求解此类问题需注意重力势能为零的位置的选择及重力势能的变化．例３如图４所示，一轻杆上有质量均为ｍ的小球ａ和ｂ，轻杆可绕Ｏ点在竖直平面内自由转动，Ｏａ＝ａｂ＝Ｌ．将杆拉成水平后，由静止开始释放，求轻杆转动到竖直方向时ａ、ｂ两球的速度．◎高考题库◎巧用机械能守恒定律求解连接体问题５１高中生·高考指导解析设杆转到竖直方向时，ａ、ｂ的速度大小分别为ｖａ、ｖｂ，规定ｂ球到达的最低点所在的水平面为零势面，由机械能守恒定律得ｍｇＬ＋ｍｇ·２Ｌ＝１２ｍｖ２ａ＋１２ｍｖ２ｂ．又ｖｂ＝２ｖａ，由此可得ｖａ＝３０ｇＬ!５，ｖｂ＝２５３０ｇＬ!．小结此题易误认为ａ、ｂ两小球在下摆过程中各自机械能守恒，而事实上重力和轻杆对ａ、ｂ均做功，并使其机械能不守恒，但是ａ、ｂ组成的系统与外界没有能量交换，系统机械能还是守恒的．例４如图５所示，长为ｌ的轻质杆两端有质量均为ｍ的两个相同的小球Ａ和Ｂ，Ａ靠在竖直墙壁上，Ｂ与地面接触，两处均不计摩擦．开始时杆与水平面成６０°角，放手后Ａ下滑、Ｂ右滑．当杆与水平夹角θ为多大时，Ａ刚好脱离墙壁？此时Ｂ球速度为多大？解析设Ａ刚好脱离墙壁时Ａ、Ｂ的速度分别为ｖＡ、ｖＢ，Ａ下滑、Ｂ右滑的过程中，系统机械能守恒，有ｍｇｌ（ｓｉｎ６０°－ｓｉｎθ）＝１２ｍｖ２Ａ＋１２ｍｖ２Ｂ．①又Ａ下滑、Ｂ右滑的过程中，两小球沿杆方向的速度相同，即ｖＡｓｉｎθ＝ｖＢｃｏｓθ．②由①、②两式解得ｖＢ＝２ｇｌ（ｓｉｎ６０°－ｓｉｎθ）ｓｉｎ２θ!．③令ａ＝２ｓｉｎ６０°－２ｓｉｎθ，ｂ＝ｓｉｎθ，ｃ＝ｓｉｎθ，则ａ＋ｂ＋ｃ＝３!．因为ａ＋ｂ＋ｃ３≥ａｂｃ３!，所以当ａ＝ｂ＝ｃ时，ａｂｃ有最大值，此时ｖＢ＝ｇｌａｂｃ!有最大值．由２ｓｉｎ６０°－２ｓｉｎθ＝ｓｉｎθ解得ｓｉｎθ＝３!３，则θ＝ａｒｃｓｉｎ３!３．将ｓｉｎθ＝３!３代入③式得ｖＢ＝１３３!ｇｌ!．此时Ａ受墙壁的水平作用力减小到零，刚好脱离竖直墙壁．故当θ＝ａｒｃｓｉｎ３!３时，Ａ刚好脱离竖直墙壁，此时ｖＢ＝１３３!ｇｌ!．小结运用机械能守恒定律，应注意研究对象的选取和定律守恒的条件．本题中Ａ下滑、Ｂ右滑的过程中，整个系统机械能守恒，但是系统的某一部分的机械能并不守恒．意识到Ａ、Ｂ组成的系统机械能守恒并找出Ａ、Ｂ之间的速度关系是解本题的关键．三、轻弹簧连接模型求解此类问题的关键在于分析物体的运动过程，认清弹簧的状态及不同能量之间的转化关系．由两个（或两个以上）物体与弹簧组成的系统，应注意弹簧伸长或压缩到最大程度时弹簧两端连接的物体具有相同的速度，弹簧处于自然长度时弹性势能最小（为零）等隐含条件．例５如图６所示，质量为ｍ１的物体Ａ经一轻质弹簧与其正下方地面上的质量为ｍ２的物体Ｂ相连，弹簧的劲度系数为ｋ，Ａ、Ｂ都处于静止状态．一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体Ａ，另一端连一轻挂钩．开始时各段绳都处于伸直状态，Ａ上方的一段绳沿竖直方向．在挂钩上挂一质量为ｍ３的物体Ｃ并从静止状态释放，已知它恰好能使Ｂ离开地面但不继续上升．若将Ｃ换成另一个质量为（ｍ１＋ｍ３）的物体Ｄ，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次Ｂ刚离地面时Ｄ的速度的大小是多少？（重力加速度为ｇ）解析开始时，Ａ、Ｂ静止，设弹簧压缩量为ｘ１，有ｋｘ１＝ｍ１ｇ．①挂上Ｃ并释放后，Ｃ向下运动，Ａ向上运动．设Ｂ刚要离地时弹簧伸长量为ｘ２，有ｋｘ２＝ｍ２ｇ．②Ｂ不再上升，表示此时Ａ和Ｃ的速度为零，Ｃ已降到最低点．根据机械能守恒定律，与初始状态相比，弹簧弹性势能的增加量为$Ｅ＝ｍ３ｇ（ｘ１＋ｘ２）－ｍ１ｇ（ｘ１＋ｘ２）．③Ｃ换成Ｄ后，当Ｂ刚离地时弹簧弹性势能的增量与前一次相同，由能量关系得１２（ｍ１＋ｍ３）ｖ２＋１２ｍ１ｖ２＝（ｍ１＋ｍ３）ｇ（ｘ１＋ｘ２）－ｍ１ｇ（ｘ１＋ｘ２）－$Ｅ．④由③、④两式得１２（２ｍ１＋ｍ３）ｖ２＝ｍ１ｇ（ｘ１＋ｘ２）．⑤由①、②、⑤三式得ｖ＝２ｍ１（ｍ１＋ｍ２）ｇ２（２ｍ１＋ｍ３）ｋ!．小结此题考查的知识点有胡克定律、共点力作用下物体的平衡、机械能守恒定律及其应用，其难点是系统弹性势能的增加量的计算和隐含条件（两种情况下弹簧弹性势能的增加量相等）的挖掘．四、轻盘连接模型求解这类问题应注意在运动过程中各个物体之间角速度和线速度的关系．例６如图７所示，半径为ｒ、质量不计的圆盘盘面与地面垂直，◎高考题库◎５２圆心处有一个垂直于盘面的光滑水平固定轴Ｏ，在盘的最右边固定一个质量为ｍ的小球Ａ，在Ｏ点的正下方离Ｏ点ｒ２处固定一个质量也为ｍ的小球Ｂ．放开盘，让其自由转动，求：（１）Ａ转到最低点时的线速度是多少？（２）在转动过程中半径ＯＡ向左偏离竖直方向的最大角度是多少？解析（１）该系统在自由转动过程中，只有重力做功，机械能守恒．设Ａ球转到最低点时的线速度为ｖＡ，此时Ｂ球的线速度为ｖＢ，则根据机械能守恒定律可得ｍｇｒ－ｍｇ·１２ｒ＝１２ｍｖ２Ａ＋１２ｍｖ２Ｂ．由圆周运动的知识可知ｖＡ＝２ｖＢ．由上述两式可求得ｖＡ＝２５５ｇｒ!．设在转动过程中半径ＯＡ向左偏离竖直方向的最大角度为θ（如图８所示），则由机械能守恒定律可得３２ｍｇｒ＝ｍｇｒ（１－ｃｏｓθ）＋ｍｇｒ（１＋１２ｓｉｎθ），易求得θ＝ａｒｃｓｉｎ３５．五、轻支架连接模型求解这类问题应注意在运动过程中各个物体之间的角速度、线速度的关系和重力势能为零的位置的选择．例７如图９所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在Ａ处固定质量为２ｍ的小球，Ｂ处固定质量为ｍ的小球，支架悬挂在Ｏ点，可绕过Ｏ点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动．开始时ＯＢ与水平面垂直，放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是Ａ．Ａ球到达最低点时速度为零Ｂ．Ａ球机械能减少量等于Ｂ球机械能增加量Ｃ．Ｂ球向左摆动所能达到的最高位置应高于Ａ球开始运动时的高度Ｄ．当支架从左向右回摆时，Ａ球一定能回到起始高度解析对三角支架和Ａ、Ｂ球组成的系统，在支架摆动过程中只有重力做功，遵守机械能守恒定律．支架向左摆动时，Ａ球的机械能减少，Ｂ球的机械能增加．根据机械能守恒定律可知Ｂ、Ｄ正确．设三角支架的边长为ｌ，当Ａ球摆到最低点时，Ｂ球向左到达Ａ球开始运动时的高度．因摆动中Ａ、Ｂ两球角速度ω相同，由ｖ＝ωｒ可知，Ａ、Ｂ两球的线速度大小也相同，设为ｖ．由机械能守恒定律得２ｍｇｌｃｏｓ６０°－ｍｇｌｃｏｓ６０°＝１２×２ｍ×ｖ２＋１２ｍｖ２，解得ｖ＝ｇｌ３!≠０．由于Ｂ球到达Ａ球开始运动时的高度时，Ａ、Ｂ两球都有一定的速度ｖ，两球还要继续向左摆动，使Ｂ球所能达到的最高位置高于Ａ球开始运动时的高度，所以选项Ａ错，选项Ｃ对．选Ｂ、Ｃ、Ｄ．小结对系统的机械能守恒，可依照题目采用适当的守恒形式．本题判断Ｂ、Ｄ选项采用的是“系统一部分机械能的减少量等于另一部分机械能的增加量”形式，即!ＥＡ＝!ＥＢ；在判断Ａ、Ｃ选项时，又采用了“系统重力势能的减少量等于系统动能的增加量”形式，即!Ｅｋ＝!Ｅｐ．一般在初、末态总机械能不易简单写出，而机械能的增加或减少部分又较明显时，利用!ＥＡ＝!ＥＢ或!Ｅｋ＝!Ｅｐ求解会更简便些．从上面各例可以看出，在用机械能守恒定律解连接体问题时，要注意下面几个问题：１．准确地选取系统．应用机械能守恒定律必须准确地选择系统．系统选择得当，机械能守恒；系统选择不得当，机械能不守恒．当研究一个问题涉及到的不是一个物体而是两个或两个以上的物体时，应具有整体意识，将不同的物体组成系统，这样往往会化繁为简、化难为易．２．选取具体的物理过程．在运用机械能守恒定律解题时必须选取具体的物理过程，确定初、末状态．选取物理过程必须遵循两个基本原则：一要符合求解要求，二要尽量使求解过程简化．有时可选全过程，而有时则必须将全过程分解成几个阶段，然后再分别应用机械能守恒定律求解．同时，要重视对物体运动过程的分析，把握守恒条件，明确哪些运动过程中系统机械能守恒．３．灵活选取机械能守恒定律的不同表达式来解题．在运用机械能守恒定律Ｅｋ１＋Ｅｐ１＝Ｅｋ２＋Ｅｐ２时，必须选取零势面，而且在分析同一问题时只能选取同一零势面．在某些机械能守恒的问题中，运用Ｅｋ１＋Ｅｐ１＝Ｅｋ２＋Ｅｐ２求解不太方便，而运用!Ｅｋ＋!Ｅｐ＝０则较为简单．运用!Ｅｋ＋!Ｅｐ＝０求解的一个特点是不必选取零势面，只要弄清楚过程中物体重力势能的变化即可．４．对相互关联的多个物体构成的连接体问题一定要搞清各物体速度之间的关系．（责任编校/冯宪ｘｙｘ１２１２１＠ｙａｈｏｏ．ｃｏｍ．ｃｎ）◎高考题库◎５３高中生·高考指导。

2021届高考物理粤教版一轮学案：第五章第3讲机械能守恒定律及其应用含解析第3讲机械能守恒定律及其应用知识要点一、重力做功与重力势能1.重力做功的特点(1)重力做功与路径无关，只与始、末位置的高度差有关。

(2）重力做功不引起物体机械能的变化。

2.重力势能(1)表达式：E p＝mgh。

（2)重力势能的特点①系统性：重力势能是物体和地球所共有的.②相对性:重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关.3。

重力做功与重力势能变化的关系（1）定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减小；重力对物体做负功，重力势能就增大。

（2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量,即W G＝－（E p2－E p1)＝－ΔE p。

二、弹性势能1.定义:物体由于发生弹性形变而具有的能.2。

弹力做功与弹性势能变化的关系:弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加,即W＝－ΔE p。

三、机械能守恒定律及应用1.机械能：动能和势能统称为机械能，其中势能包括弹性势能和重力势能.2。

机械能守恒定律（1)内容：在只有重力或弹簧弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变.（2）表达式:mgh1＋错误!mv错误!＝mgh2＋错误!mv错误!.3。

守恒条件：只有重力或弹簧的弹力做功。

基础诊断1.（多选）[粤教版必修2·P73·T4改编]质量为50 kg 的人，沿着倾角为30°的斜坡向上走了150 m，则（)A。

重力对他做的功为37 500 JB.他克服重力做功为37 500 JC。

他的重力势能增加了37 500 JD.他的重力势能减少了37 500 J答案BC2。

如图1所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连接着一轻弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F作用下物体处于静止状态,当撤去力F后，物体将向右运动,在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是()图1A。