第一章检测(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设首项为1,公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则( ) A .S n =2a n -1 B .S n =3a n -2 -3a n D .S n =3-2a nn =a 1(1-q n )1-q=a 1-a n q 1-q=1-23a n 1-23=3-2a n ,故选D .{a n }的公差为2,若a 2,a 4,a 8成等比数列,则{a n }的前n 项和S n =( ) A.n (n+1)B.n (n-1)C.n (n+1)2D.n (n -1)2a 2,a 4,a 8成等比数列,a 42=a 2·a 8,即(a 1+6)2=(a 1+2)(a 1+14), 解得a 1=2.∴S n =na 1+n (n -1)d=2n+n 2-n=n 2+n=n (n+1).故选A .3.若数列{a n }为等比数列,且a 1=1,q=2,则T n =1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a n a n+1的结果可化为( )A.1-14n B.1-12nC.23(1-14n ) D.23(1-12n) n =2n-1,设b n =1a n a n+1=(12)2n -1,T n =b 1+b 2+…+b n =12+(12)3+…+(12)2n -1=12(1-14n )1-14=23(1-14n).4.在正项等比数列{a n }中,a 3=2,S 3=26,则数列{a n }的通项公式为( ) A .34×(23)nB .2×(13)nC .2×(13)n -1D .281×3n-15.某型号计算机的成本不断降低,若每隔两年该型号计算机价格降低13,现在的价格是8 100元,则6年后,价格降低为( )A.2 200元B.900元元 D.3 600元年后价格降低了3次,则价格降低为8 100×(1-13)3=2 400(元).6.若数列{a n }满足1an+1−1a n=d (n ∈N +,d 为常数),则称数列{a n }为“调和数列”.已知正项数列{1b n}为“调和数列”,且b 1+b 2+…+b 9=90,则b 4b 6的最大值是( ) A.10 B.100 C.200 D.400{1b n}为“调和数列”,所以b n+1-b n =d ,即数列{b n }为等差数列,由等差数列的性质,得12…+b 9=9b 5=90,所以b 5=10,则b 4+b 6=2b 5=20,所以b 4b 6=b 4(20-b 4)=-(b 4-10)2+100,则当b 4=10取得最大值100.{a n }的公差和等比数列{b n }的公比都是d (d ≠1),且a 1=b 1,a 4=b 4,a 10=b 10,则a 1和d 的值分别为( ) A.√23,√23 B.-√23,√23 √23,-√23 D.√23,-√23{a 4=b 4,a 10=b 10,得{a 1+3d =a 1d 3,a 1+9d =a 1d 9,①②由两式得a 1=9d -3d7d 6-1, 代入①式中得9d -3d 7d 6-1+3d=9d -3d 7d 6-1·d 3,化简得d 9-3d 3+2=0,即(d 3-1)(d 6+d 3-2)=0. ∵d ≠1,由d 6+d 3-2=0,得d=-√23,a 1=-d=√23.f (n )=n 2cos n π,且a n =f (n )+f (n+1),则a 1+a 2+a 3+…+a 100=( ) B.0 C.100 D.10 200n 为偶数,则cos n π=1,cos(n+1)π=-1,a n =f (n )+f (n+1)=n 2-(n+1)2=-2n-1.所以数列{a n }的偶数项是首项为a 2=-5,公差为-4的等差数列; 若n 为奇数,则cos n π=-1,cos(n+1)π=1, 所以a n =f (n )+f (n+1)=-n 2+(n+1)2=2n+1.所以数列{a n }的奇数项是首项为a 1=3,公差为4的等差数列.所以a 1+a 2+a 3+…+a 100=(a 1+a 3+…+a 99)+(a 2+a 4+…+a 100)=50×3+50×492×4+50×(-5)+50×492×(-.a 1,a 2,a 3,a 4是各项均为正数的等比数列,且公比q ≠1,若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等差数列,则q 等于( )A.1+√52或-1+√52 B.1+√52C.-1+√52D.1+√5,知a 1>0,q>0,且q ≠1,若删去a 1,则2a 3=a 2+a 4,得2a 1q 2=a 1q+a 1q 3,解得q=1(舍去);若删去a 2,则2a 3=a 1+a 4,得2a 1q 2=a 1+a 1q 3,即(q-1)(q 2-q-1)=0,解得q=1+√52;若删去a 3,则2a 2=a 1+a 4,得2a 1q=a 1+a 1q 3,即(q-1)(q 2+q-1)=0,解得q=-1+√52; 若删去a 4,则2a 2=a 1+a 3,得2a 1q=a 1+a 1q 2,解得q=1(舍去),综上可得q=1+√52或-1+√52.,但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产n 年的累计产量(单位:t)为f (n )=12n (n+1)(2n+1),但如果年产量超过150 t,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 ( ) B.6年 C.7年 D.8年n 年的产量a n =f (n )-f (n-1)=3n 2.当n=1时也适合.根据题意令a n ≥150,则n ≥5√2,8项开始超过150,即这条生产线最多生产7年.11.定义运算“*”,对任意a ,b ∈R ,满足:①a*b=b*a ;②a*0=a ;③(a*b )*c=c*(ab )+(a*c )+(c*b ).设数列{a n }的通项公式为a n =n*1*0,则数列{a n }为( ) A.等差数列 B.等比数列 D.递减数列a n =(n *1n )*0=0*(n ·1n )+(n*0)+(0*1n )=1+n+1n,显然数列{a n }既不是等差数列也不是等.因为函数y=x+1x在[1,+∞)上是增加的, {a n }为递增数列.12.已知等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,其前n 项和为S n ,若直线y=12a 1x+m 与圆(x-2)2+y 2=1的两个交点关于直线x+y-d=0对称,则数列{1S n}的前100项和等于( )A.100101B.99100C.9899D.1y=12a 1x+m 与圆(x-2)2+y 2=1的两个交点关于直线x+y-d=0对称,所以直线x+y-d=0经过圆心,且直线y=12a 1x+m 与直线x+y-d=0垂直,所以2+0-d=0,12a 1=1,解得d=2,a 1=2,则S n =2n+n (n -1)2×2=n (n+1),1S n =1n (n+1)=1n −1n+1,所以数列{1S n}的前100项和为1-12+12−13+…+1100−1101=1-1101=100101. (本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)a ,b ,c 成等比数列,其中a=5+2√6,c=5-2√6,则b= .a ,b ,c 成等比数列,所以b 2=ac ,b 2=(5+2√6)(5-2√6)=1. b 是正数,所以b=1.:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … …,数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是 .n-1行的正整数的个数为1+2+…+(n-1)=n 2-n2,因此第n 行从左到右的第3个数是全体正整数中的第(n 2-n 2+3)个数,即为n 2-n+62.n }的通项公式为a n =2n-7(n ∈N +),则|a 1|+|a 2|+…+|a 15|= .a n =2n-7≤0,得n ≤72,即a i ≤0(i=1,2,3),S n 为数列{a n }的前n 项和,易得S n =a 1+a 2+…+a n =n 2-6n.|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=-a 1-a 2-a 3+a 4+a 5+…+a 15=-2S 3+S 15=-2×(-9)+135=153.16.数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=15,且对任意正整数m ,n ,都有a m+n =a m a n ,若S n <t 恒成立,则实数t 的最小值为 .m=1,则an+1a n =a 1=15,∴{a n }是以15为首项,15为公比的等比数列,∴a n =(15)n.∴S n =15-(15)n+11-15=14(1-15n) =14−14×5n<14.∵S n <t 恒成立,∴t 大于S n 的最大值,故t 的最小值为14.(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)分)在等差数列{a n }中,a 3a 7=-16,a 4+a 6=0,求{a n }的前n 项和S n .{a n }的公差为d ,则{(a 1+2d )(a 1+6d )=-16,a 1+3d +a 1+5d =0, 即{a 12+8da 1+12d 2=-16,a 1=-4d ,解得{a 1=-8,d =2或{a 1=8,d =-2.故S n =-8n+n (n-1)=n 2-9n , 或S n =8n-n (n-1)=-n 2+9n.18.(12分)在等差数列{a n }中,a 2=4,a 4+a 7=15. (1)求数列{a n }的通项公式;b n =2a n -2+n ,求b 1+b 2+b 3+…+b 10的值.设等差数列{a n }的公差为d.由题意得{a 1+d =4,(a 1+3d )+(a 1+6d )=15,解得{a 1=3,d =1.所以a n =a 1+(n-1)d=n+2. (2)由(1)可得b n =2n +n.所以b 1+b 2+b 3+…+b 10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10) =(2+22+23+…+210)+(1+2+3+…+10) =2(1-210)1-2+(1+10)×102=(211-2)+55=211+53=2 101.19.(12分)已知等差数列{a n }满足a 3=2,前3项和S 3=92. (1)求{a n }的通项公式;{b n }满足b 1=a 1,b 4=a 15,求{b n }的前n 项和T n .设{a n }的公差为d ,则由已知条件得a 1+2d=2,3a 1+3×22d=92,化简得a 1+2d=2,a 1+d=3,解得a 1=1,d=12,故通项公式a n =1+n -12,即a n =n+12.(2)由(1)得b 1=1,b 4=a 15=15+12=8.设{b n }的公比为q ,则q 3=b4b 1=8,从而q=2,故{b n }的前n 项和T n =b 1(1-q n )1-q =1×(1-2n )1-2=2n-1.20.(12分)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=3a n +1. (1)证明:{a n +12}是等比数列,并求{a n }的通项公式; (2)证明:1a 1+1a 2+…+1a n <32.a n+1=3a n +1得a n+1+12=3(a n +12).又a 1+12=32,所以{a n +12}是首项为32,公比为3的等比数列.a n +12=3n 2,因此{a n }的通项公式为a n =3n -12. (1)知1a n =23n -1.n ≥1时,3n -1≥2×3n-1, 所以13n-1≤12×3n -1. 于是1a 1+1a 2+…+1a n ≤1+13+…+13n -1=32(1-13n )<32. 所以1a 1+1a 2+…+1a n <32.21.(12分)将数列{a n }中所有的项排成如下数阵:a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10……记数阵中的第1列数a 1,a 2,a 4,a 7,…构成的数列为{b n },其中b 1=a 1=1,S n 为数列{b n }的前n 项和,且满足2b nb n S n -S n 2=1(n ≥2,n ∈N +).(1)证明:数列{1S n}是等差数列,并求数列{b n }的通项公式.(2)上述数阵中,若从第3行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当a 81=-491时,求上述数阵中第k (k ≥3)行所有项的和. ,当n ≥2时,2b nb n S n -S n 2=1,n =S n -S n-1, 所以2(S n -S n -1)(S n -S n -1)S n -S n2=1,即2(S n -S n -1)-S n -1S n=1, 所以1S n −1S n -1=12.又S 1=b 1=a 1=1,所以数列{1S n }是首项为1,公差为12的等差数列.所以1S n=1+12(n-1)=n+12,即S n =2n+1.所以当n ≥2时,b n =S n -S n-1=2n+1−2n =-2n (n+1).因此b n ={1,n =1,-2,n ≥2.3行起,每行的公比都为q ,且q>0.因为1+2+…+12=12×132=78,所以数阵中第1行至第12行含有数列{a n }中的前78项.所以a 81在数阵中的第13行第3列,因此a 81=b 13q 2=-491,又b 13=-213×14=-191,所以q=2(q=-2舍去).记数阵中第k (k ≥3)行所有项的和为S ,则S=b k (1-q k )1-q =-2k (k+1)·1-2k 1-2=2-2k+1k (k+1). 22.(12分)设数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =a n+1-2n+1+1,n ∈N +,且a 1,a 2+5,a 3成等差数列. (1)求a 1的值;(2)求数列{a n }的通项公式;(3)证明:对一切正整数n ,有1a 1+1a 2+…+1a n <32.a 1,a 2+5,a 3成等差数列,∴2(a 2+5)=a 1+a 3.2a 1=2S 1=a 2-22+1,2(a 1+a 2)=2S 2=a 3-23+1,∴a 2=2a 1+3,a 3=6a 1+13.∴4a 1+16=7a 1+13,解得a 1=1.,当n≥2时,2S n-1=a n-2n+1,2S n=a n+1-2n+1+1.∴2a n=a n+1-a n-2n,于是a n+1a n+2n(n≥2).而由(1)知,a2=2a1+3=5=3a1+2,因此对一切正整数n,有a n+1=3a n+2n,∴a n+1=3(a n+2n).又a1+21=3,∴{a n+2n}是以3为首项,3为公比的等比数列.故a n+2n=3n,即a n=3n-2n.a n=3n-2n=3·3n-1-2n=3n-1+2(3n-1-2n-1)≥3n-1,∴1a n ≤13n-1.∴1a1+1a2+…+1a n≤1+13+132+…+13n-1=1-13n1-13<32.。
