概率论与数理统计JA(48,27-28)

概率论与数理统计目录一、随机事件及其概率1.1 随机事件的基本概念定义与分类事件的运算1.2 概率的定义与性质概率的公理化定义概率的基本性质1.3 古典概型与几何概型古典概型的计算几何概型的计算1.4 条件概率与独立性条件概率事件的独立性1.5 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式贝叶斯公式及其应用二、随机变量及其分布2.1 随机变量的概念随机变量的定义随机变量的分类2.2 离散型随机变量及其分布常见的离散型分布分布律与分布函数2.3 连续型随机变量及其分布常见的连续型分布概率密度函数与分布函数2.4 随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布三、多维随机变量及其分布3.1 多维随机变量的概念联合分布函数边缘分布3.2 多维离散型随机变量联合分布律边缘分布律3.3 多维连续型随机变量联合概率密度函数边缘概率密度函数3.4 条件分布离散型条件分布连续型条件分布3.5 随机变量的独立性独立性的定义独立性的判定与性质四、数字特征4.1 数学期望数学期望的定义与性质数学期望的计算4.2 方差方差的定义与性质方差的计算4.3 协方差与相关系数协方差的定义与性质相关系数的定义与性质4.4 矩与协矩阵矩的定义与计算协矩阵的定义与计算五、大数定律与中心极限定理5.1 大数定律切比雪夫大数定律伯努利大数定律5.2 中心极限定理林德贝格-莱维中心极限定理德莫佛尔-拉普拉斯中心极限定理六、数理统计的基本概念6.1 总体与样本总体的定义与性质样本的定义与性质6.2 统计量与抽样分布统计量的定义与性质常见的抽样分布七、参数估计与假设检验7.1 参数估计点估计区间估计7.2 假设检验假设检验的基本概念单侧检验与双侧检验正态总体的假设检验八、回归分析与方差分析8.1 回归分析一元线性回归多元线性回归回归模型的检验与预测8.2 方差分析单因素方差分析双因素方差分析方差分析的应用。

概率论与数理统计概率论与数理统计是一门研究随机事件发生的规律和数理统计方法的学科。

它在科学研究、工程技术、经济管理以及社会科学等领域具有广泛的应用。

本文将从概率论和数理统计两方面介绍该学科的基本概念和应用。

一、概率论概率论研究的是随机事件的发生概率及其规律。

其中，随机事件是指有多种可能结果的试验，而概率则是用来描述这些结果出现的可能性大小。

1. 随机事件与概率随机事件是指在相同条件下，不能预知结果的试验。

例如，掷骰子的结果就是一个随机事件，它有可能出现1、2、3、4、5或6。

而概率则是描述这些结果出现的可能性大小。

概率的取值范围是0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。

2. 概率的计算方法概率的计算方法主要包括古典概型、几何概型和统计概型三种方法。

- 古典概型，也称为等可能概型，指的是试验结果有限且每种结果出现的概率相等。

例如，抛硬币的结果就是古典概型，因为抛硬币的可能结果只有正面和反面，而且两种结果出现的概率相等。

- 几何概型，指的是试验结果是某一几何形状或空间的一部分。

例如，从一个半径为1的圆盘中随机抽取一个点，抽取的点落在圆上的任意位置都是几何概型。

- 统计概型，也称为统计实验概型，指的是试验结果是从一个总体中随机抽取样本。

例如，进行抽样调查时，抽取的样本就是统计概型。

3. 事件的运算与概率的性质在概率论中，我们可以利用事件的运算来求解复杂随机事件的概率。

常见的事件运算包括并运算、交运算和补运算。

此外，概率还具有一些基本的性质，例如概率的加法定理、概率的乘法定理和条件概率等。

二、数理统计数理统计主要研究的是收集和分析随机数据以及从数据中对总体进行推断的方法。

它包括统计推断和统计描述两个部分。

1. 统计推断统计推断是根据样本数据对总体的未知参数进行估计和假设检验。

其中，参数估计是用样本数据去估计总体的参数，例如平均值、方差等；假设检验则是根据样本数据去检验某个关于总体参数的假设。

2. 统计描述统计描述是对样本数据进行整理和分析以便于理解和表达的过程。

概率论与数理统计知识点总结(详细)[整理]概率论与数理统计（Probability and Mathematics Statistics）是一门基础性学科，广泛应用于统计学、管理科学、数学、计算机科学、社会学、地理学等领域。

它建立在概率论、数理逻辑、微积分以及线性代数的基础上，把统计与数学有机地结合起来，以高效的数学建模对不确定的实际事件分析、推断、做出预测，从而达到指导管理决策的目的。

概率论是概率论与数理统计的重要组成部分，研究概率事件的拓扑结构，以及随机变量的分布规律和抽样特征，用于表示评价系统不确定性及极端情况的几率分析，并且发展出概率密度函数、累积分布函数等数学工具来描述不确定性的变化趋势。

数理统计包括描述性统计和推断性统计两个主要部分。

其中，描述性统计是利用统计指标来描述从待研究对象获取的样本实际数据；推断性统计是利用概率推断理论对样本数据进行分析，以此来得出可推断出总体相应参数和特性的结论。

它所依据的基本概念有抽样统计和统计推断，数理统计关键技术有抽样调查方案的设计、统计量的估计、差异和相关分析等。

数理统计的重要技术有抽样调查方案的设计，它将抽样技术结合统计思想，以达到把握系统性质的目的；统计量的估计，它是用以衡量总体特征的参数估计，它不仅仅只是给出数据量，而且可以推断出总体特征；差异分析，通过它可以看出变量之间的差异情况，从而得出不同水平所代表的总体特征；相关分析，它是一种估计变量之间的相关系数，主要的指标有多元线性回归分析、卡方分析等。

概率论与数理统计在社会中已经得到广泛的应用，主要表现在以下几个方面：在财务分析中，可以根据现实数学模型和概率论分析技术，构建合适的经济风险模型，实现优化的资源配置；在互联网流量分析中，可以根据用户行为分析来挖掘用户特征，指导电子商务推广；在决策分析中，可以利用决策树和数据挖掘技术，建立逻辑模型，形成系统性决策，从而指导业务发展；在信息系统测试中，可以根据质量参数估计系统各项技术指标，为用户提供高质量的信息服务。

概率论与数理统计知识点总结概率论和数理统计是现代科学领域中广泛应用的数学分支。

它们研究和揭示了随机现象背后的规律和规则，为科学研究和决策提供了重要的工具。

本文将对概率论和数理统计的一些基本知识点进行总结和概述。

一、概率论概率论是研究随机试验和随机现象的理论。

在概率论中，我们关注的是事件发生的可能性大小，用概率来描述事件的可能性大小。

1.1 事件与样本空间在概率论中，我们首先要确定一个随机试验的所有可能结果构成的集合，这个集合称为样本空间。

样本空间通常用S表示。

当我们关注一个或一组特定的结果时，我们将其称为事件。

1.2 概率概率是描述事件发生可能性的数值，它的取值范围在0到1之间。

当一个事件发生的可能性接近1时，我们说该事件具有很高的概率；反之，当事件发生的可能性接近0时，我们说该事件具有很低的概率。

1.3 基本概率公式在概率论中，我们可以采用不同的方法来计算事件的概率。

基本概率公式是最基本的计算概率的方法。

它表达了事件A在样本空间中所有可能结果的比率。

其计算公式为：P(A) = m/n其中，m表示事件A发生的次数，n表示样本空间中可能结果的总数。

1.4 条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

其计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

二、数理统计数理统计是研究如何从样本中推断总体特征的一门学科。

在数理统计中，我们通过对样本数据的搜集和分析，得出总体的统计特征，并对总体做出推论。

2.1 总体和样本在数理统计中，我们关注的是统计总体，它是我们所要研究的对象的全体。

当我们从总体中抽取一部分个体进行研究时，这部分个体称为样本。

通过对样本的分析，我们可以推断出总体的一些特征。

2.2 抽样方法在数理统计中，我们需要选择合适的抽样方法来获得样本数据。

常用的抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样、系统抽样等。

概率论与数理统计知识点概率论与数理统计是一门研究随机现象及其规律的学科，它在众多领域都有着广泛的应用，如自然科学、工程技术、社会科学、经济金融等。

下面就让我们一起来了解一下这门学科的一些重要知识点。

一、随机事件与概率随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。

比如掷骰子出现的点数，明天是否下雨等。

而概率则是用来衡量随机事件发生可能性大小的数值。

概率的计算方法有多种。

古典概型是一种常见的情形，假设某个试验有 n 个等可能的结果，而事件 A 包含其中的 m 个结果，那么事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。

还有几何概型，比如在一个区间内随机取一个点，计算这个点落在某个特定子区间的概率。

条件概率也是一个重要概念。

如果已知事件 B 发生的条件下，事件A 发生的概率，称为条件概率，记作 P(A|B)。

二、随机变量及其分布随机变量是用来表示随机现象结果的变量。

它可以是离散型的，比如掷骰子的点数；也可以是连续型的，比如某地区一天的气温。

常见的离散型随机变量分布有二项分布和泊松分布。

二项分布适用于 n 次独立重复试验中成功的次数，比如抛硬币正面朝上的次数。

泊松分布则常用于描述在一定时间或空间内稀有事件发生的次数。

连续型随机变量的分布通常用概率密度函数来描述，常见的有正态分布。

正态分布在自然界和社会现象中非常常见，很多测量数据都近似服从正态分布。

三、多维随机变量及其分布当考虑多个随机变量时，就有了多维随机变量。

比如同时考虑一个学生的数学和语文成绩。

联合分布函数可以描述多维随机变量的概率分布情况。

边缘分布则是从多维随机变量中单独取出某个变量的分布。

条件分布是在已知某个变量取值的条件下，另一个变量的分布。

四、随机变量的数字特征期望是随机变量取值的平均值，它反映了随机变量取值的平均水平。

方差则衡量了随机变量取值相对于期望的分散程度。

协方差和相关系数用于描述两个随机变量之间的线性关系程度。

五、大数定律和中心极限定理大数定律表明，在大量重复试验中，随机事件发生的频率接近于其概率。

概率论与数理统计知识点总结免费超详细版概率论与数理统计是一门研究随机现象及其统计规律的数学学科，在自然科学、工程技术、社会科学、经济管理等众多领域都有着广泛的应用。

以下是对概率论与数理统计中一些重要知识点的详细总结。

一、随机事件与概率1、随机试验随机试验是指在相同条件下可以重复进行，试验结果不止一个且事先不能确定的试验。

2、样本空间样本空间是随机试验所有可能结果组成的集合。

3、随机事件随机事件是样本空间的子集。

4、事件的关系与运算包括包含、相等、和事件、积事件、差事件、互斥事件、对立事件等。

5、概率的定义概率是对随机事件发生可能性大小的度量。

6、古典概型具有有限个等可能结果的随机试验。

7、几何概型样本空间是某个区域，且每个样本点出现的可能性与区域的面积、体积等成正比。

8、条件概率在已知某事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

9、乘法公式用于计算两个事件同时发生的概率。

10、全概率公式将复杂事件的概率通过划分样本空间分解为简单事件的概率之和。

11、贝叶斯公式在已知结果的情况下，反推导致该结果的原因的概率。

二、随机变量及其分布1、随机变量用数值来描述随机试验的结果。

2、离散型随机变量取值可以一一列举的随机变量。

3、离散型随机变量的概率分布列出随机变量的取值以及对应的概率。

4、常见的离散型随机变量分布包括 0-1 分布、二项分布、泊松分布等。

5、连续型随机变量取值充满某个区间的随机变量。

6、连续型随机变量的概率密度函数用于描述连续型随机变量的概率分布。

7、常见的连续型随机变量分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。

8、随机变量的函数的分布已知随机变量的分布，求其函数的分布。

三、多维随机变量及其分布1、二维随机变量由两个随机变量组成的向量。

2、二维随机变量的联合分布函数描述二维随机变量的概率分布。

3、二维离散型随机变量的联合概率分布列出二维离散型随机变量的取值组合以及对应的概率。

4、二维连续型随机变量的联合概率密度函数用于描述二维连续型随机变量的概率分布。

概率论与数理统计知识点总结免费超详细版概率论与数理统计是一门研究随机现象数量规律的学科，它在众多领域都有着广泛的应用，如统计学、物理学、工程学、经济学等。

以下是对概率论与数理统计知识点的超详细总结。

一、随机事件与概率（一）随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。

随机事件通常用大写字母 A、B、C 等来表示。

（二）样本空间样本空间是指随机试验的所有可能结果组成的集合，通常用Ω表示。

（三）事件的关系与运算1、包含关系：若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A，记作 A⊂B。

2、相等关系：若 A⊂B 且 B⊂A，则称事件 A 与事件 B 相等，记作A ＝ B。

3、并事件：事件 A 与事件 B 至少有一个发生的事件称为 A 与 B的并事件，记作 A∪B。

4、交事件：事件 A 与事件 B 同时发生的事件称为 A 与 B 的交事件，记作A∩B 或 AB。

5、互斥事件：若事件 A 与事件 B 不能同时发生，则称 A 与 B 为互斥事件，即 AB ＝∅。

6、对立事件：若事件 A 与事件 B 满足 A∪B ＝Ω 且 AB ＝∅，则称 A 与 B 为对立事件，记作 B ＝A。

（四）概率的定义与性质1、概率的古典定义：若随机试验的样本空间Ω只包含有限个基本事件，且每个基本事件发生的可能性相等，则事件 A 的概率为 P(A) ＝n(A) ／n(Ω) ，其中 n(A) 为事件 A 包含的基本事件个数，n(Ω) 为样本空间Ω包含的基本事件个数。

2、概率的统计定义：在大量重复试验中，事件 A 发生的频率稳定在某个常数 p 附近，则称 p 为事件 A 的概率，即 P(A) ＝ p 。

3、概率的公理化定义：设随机试验的样本空间为Ω，对于Ω中的每一个事件 A，都赋予一个实数 P(A)，如果满足以下三个条件：（1）非负性：0 ≤ P(A) ≤ 1 ；（2）规范性：P(Ω) ＝ 1 ；（3）可列可加性：对于两两互斥的事件 A1，A2，，有P(A1∪A2∪）＝ P(A1) ＋ P(A2) ＋，则称 P(A) 为事件 A 的概率。

统计学中的概率论与数理统计统计学是一门集数学、经济、社会学、政治学、自然科学、医学等众多学科于一体的综合性学科。

在其中，概率论和数理统计是其中最基础、最重要、最应用的两个分支。

一、概率论概率论是指对不确定事物可能性的研究，是一种描述不确定性的数学方法。

它是由法国数学家Pierre-Simon Laplace首次提出的概念。

概率论是一种研究随机现象的数学，应用于风险评估与决策制定。

其基本思想是预测随机事件在大量实验中出现的可能性大小。

例如，在一次硬币抛掷实验中，正面朝上和反面朝上的可能性是相等的，即1/2，这个概率是可以计算出来的。

概率论被广泛应用于自然科学、社会科学、金融与投资、工程等众多领域，对于生产、经济、社会、管理等领域的决策有着重要的指导意义。

二、数理统计数理统计是指对统计数据的处理、分析、概括、推断和决策的方法和理论体系。

它的基本概念包括如下：1.总体：指研究对象的全体。

2.样本：指从总体中抽取的一部分。

3.参数：指总体的某种特征，如总体的均值、标准差、偏度、峰度等。

4.统计量：指样本的某种特征，如样本均值、样本标准差等。

数理统计方法广泛地应用于各行各业的实际问题中。

例如，我们研究一个总体的平均值，但是有些总体并不是容易取得的，如一个国家的全部人口、一种实验室的全部材料等。

这时候可以从这个总体中抽取一部分，得到一个可以概括这个总体的样本，再通过样本来研究总体，这就是数理统计的重要应用之一。

三、概率论与数理统计的关系概率论和数理统计有着密切的联系和相互依存。

概率论可以为数理统计提供基础理论，使统计推断的结论更精确、更可靠；而统计的实际分析结果与总体的真实分布密切相关，概率论也可以为统计学提供数据分布的理论依据。

概率论与数理统计在统计实践中的具体应用包括：1.统计推断：统计推断是基于样本信息对总体特征进行推断的方法。

其中，概率论提供了概率分布及其特性，可用于分析样本统计量的不确定性，从而判断样本统计量与总体参数之间的关系，为统计推断提供了基本的理论支持。

概率论与数理统计课程概述概率论与数理统计是一门研究随机事件发生规律以及通过观测数据推断总体特征的学科。

在现代科学和工程领域中，概率论与数理统计扮演着重要的角色。

通过理解概率和统计的基本概念、原理和方法，我们能够更好地理解和解释现实世界中的不确定性，并基于数据进行科学决策。

概率论基础概率的定义概率是描述随机事件发生可能性的数学度量。

基于概率的结果，我们可以判断一个事件发生的可能性大还是小，从而做出相应的决策。

概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能发生，1表示必然发生。

概率的性质概率具有以下性质： 1. 非负性：概率不会是负数，即概率值始终大于等于0； 2. 规范性：当对所有可能事件进行考虑时，它们的概率之和应为1； 3. 可列可加性：对于任意两个不相容事件（即互斥事件），它们的概率之和等于它们分别的概率之和； 4. 容斥原理：对于两个事件A和B，它们的概率之和等于它们各自的概率之和减去同时发生的概率。

统计学基础总体与样本在统计学中，总体（population）是指我们研究的对象的全体，而样本（sample）是从总体中抽取出来的一部分。

通过对样本进行统计分析，我们可以推断出关于总体的一些特征。

随机变量是一种将随机试验的结果映射到数值的函数。

离散随机变量只取有限个或可列个值，而连续随机变量则可取任意实数。

通过随机变量，我们可以描述和分析随机事件的概率分布。

概率分布概率分布描述了随机变量取各个取值的概率。

对于离散随机变量，我们可以通过概率质量函数（probability mass function，PMF）来表示；对于连续随机变量，我们则使用概率密度函数（probability density function，PDF）。

统计量统计量是对样本中数据的某种统计特征的度量。

常见的统计量有均值、方差、标准差等。

通过对样本统计量的计算，我们可以推断出总体的特征。

概率论与数理统计的应用假设检验假设检验是一种基于样本数据对总体特征进行推断的方法。

概率论与数理统计1. 前言概率论与数理统计是数学的一个重要分支，它是研究随机现象规律性的数学学科。

概率论是研究随机现象的规律性和数量关系的学科，而数理统计则是利用数学方法研究大量数据中的规律性和趋势的学科。

本文将介绍概率论与数理统计的基本概念、方法和应用。

2. 概率论概率论是研究随机现象的规律性和数量关系的数学学科。

随机现象是指在一定条件下，每次实验的结果无法预知，但在一系列相同实验中，某些现象出现的频率具有稳定的规律性。

概率论通过概率分布、概率密度函数、条件概率等概念来描述随机现象，并提供了一系列计算概率的方法。

2.1 基本概念•样本空间：样本空间是随机现象所有可能结果的集合，常用符号为S。

例如，抛一枚硬币的样本空间为$\\{H, T\\}$，其中H表示正面，T表示反面。

•事件：事件是样本空间的一个子集，表示随机现象的一个可能结果或一组可能结果组成的集合。

如果随机事件A中包含了样本空间S中的某些结果，则称事件A发生。

•概率：概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P(A)表示，表示事件A发生的可能性大小。

概率的取值范围在[0,1]之间。

•概率分布：概率分布是随机变量所有可能取值及其发生的概率的描述。

常见的概率分布包括二项分布、泊松分布、正态分布等。

2.2 概率计算概率计算是概率论的核心内容之一，常用的计算方法包括加法法则、乘法法则、全概率公式和贝叶斯定理等。

这些方法可以帮助我们计算复杂事件的概率，进行概率分布的推导和分析。

3. 数理统计数理统计是利用数学方法研究大量数据中的规律性和趋势的学科。

在现代社会中，大量的数据被广泛应用于科学研究、经济分析、医学诊断等领域，而数理统计提供了一系列工具和方法来处理和分析这些数据。

3.1 基本概念•总体与样本：总体是指研究对象的全部个体或事物的集合，样本是从总体中选取的一部分个体或事物。

数理统计的目标通常是通过对样本的统计量进行分析来进行对总体的推断。

概率论与数理统计课程概述概率论与数理统计是一门重要的数学课程，它主要研究随机现象的规律性及其应用。

在现代科学、工程技术、经济管理等领域中，概率论和数理统计都有着广泛的应用，因此掌握这门课程对于学生来说非常重要。

一、概率论1.1 概率的基本概念概率是指一个事件发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的数来表示。

在概率论中，我们通常将样本空间、事件和概率三者联系起来。

样本空间是指所有可能出现的结果组成的集合，事件是指样本空间中某些结果组成的子集，而概率则是指事件发生的可能性大小。

1.2 随机变量与分布随机变量是指取值不确定、由随机试验产生的变量。

在概率论中，我们通常将随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。

离散型随机变量取值有限或可数无限个，而连续型随机变量则可以取任意实数值。

对于离散型随机变量，我们可以通过定义它的分布函数来描述它的概率分布。

而对于连续型随机变量，则需要使用概率密度函数来描述其概率分布。

1.3 期望与方差期望是指随机变量的平均值，通常用E(X)表示。

方差是指随机变量的取值偏离其期望的程度，通常用Var(X)表示。

在概率论中，我们通常使用期望和方差来描述随机变量的性质。

二、数理统计2.1 统计学基础统计学是一门研究如何收集、处理和分析数据的学科。

在数理统计中，我们通常将数据分为总体和样本两类。

总体是指所有可能出现的结果组成的集合，而样本则是从总体中抽取出来的一部分数据。

2.2 参数估计与假设检验参数估计是指根据样本数据推断总体参数值的过程。

在参数估计中，我们通常使用点估计和区间估计两种方法来推断总体参数值。

假设检验是指根据样本数据对总体参数进行推断并进行决策的过程。

在假设检验中，我们通常将原假设和备择假设进行比较，并通过显著性水平来判断是否拒绝原假设。

2.3 方差分析与回归分析方差分析是一种用于比较多个总体均值是否相等的方法。

在方差分析中，我们通常使用F检验来判断多个总体均值是否相等。

概率论和数理统计是数学中的两个重要分支，它们涉及了随机性、概率、数据分析和模型建立等方面的内容。

以下是对概率论和数理统计的简要介绍：
1.概率论（Probability Theory）：
概率论研究的是随机现象的规律和概率的数学基础。

它涉及事件发生的可能性、随机变量的分布、概率分布函数、期望值、方差等。

概率论的应用范围非常广泛，包括风险评估、统计推断、金融建模、物理学中的量子力学、通信系统、生物学中的遗传学等等。

重要的概念包括概率、条件概率、贝叶斯定理、随机变量、概率分布等。

2.数理统计（Mathematical Statistics）：
数理统计研究的是如何从收集到的数据中提取信息和做出推断。

它包括描述统计和推断统计两个方面。

描述统计涉及对数据的整理、总结和可视化，例如平均数、中位数、标准差等。

推断统计涉及根据样本数据来推断总体的参数，通过估计和假设检验来进行。

数理统计在科学研究、社会调查、医学试验、工程设计等领域有着重要应用。

概率论和数理统计相互关联，统计分析通常基于概率模型，而概率论提供了数理统计的理论基础。

在现实应用中，概率论和数理统计经常一起被用来解决实际问题，如市场分析、风险评估、医学研究等。

这两个领域在现代科学和工程中具有广泛的应用，为人们从数据中获取有用信息、做出合理决策提供了重要的数学工具和方法。

概率论与数理统计公式
全
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第1章随机事件及其概率
每次试验只有两种可能结果，A 发生或A 不发生； n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一样；
每次试验是独立的，即每次试验A 发生与否与其他次试验A 发生与否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。

用p 表示每次试验A 发生的概率，则A 发生的概率为q p =-1，用
)(k P n 表示n 重伯努利试验中A 出现)0(n k k ≤≤次的概率，
k n k k
n n q p k P C -=)(，n k ,,2,1,0 =。

第二章 随机变量及其分布
第三章二维随机变量及其分布
第四章随机变量的数字特征
第五章大数定律和中心极限定理
第六章样本及抽样分布
第七章参数估计
第八章假设检验
单正态总体均值和方差的假设检验。

概率与数理统计概率与数理统计是一门研究随机现象的规律与规律性的学科，广泛应用于各个领域，包括科学、工程、经济和社会等。

它的核心概念包括随机变量、概率分布、统计量和假设检验等。

本文将介绍概率与数理统计的基本原理和应用。

一、概率理论概率是描述随机现象可能性大小的数值，它的取值范围是0到1之间。

在概率理论中，事件的概率可以通过频率、古典概率和几何概率等方法进行计算。

1. 频率概率频率概率是以实验的频率为基础，计算事件发生的概率。

当实验次数无限增大时，事件发生的频率会逐渐趋近于概率。

频率概率的计算需要进行多次实验，统计事件发生的次数，并计算事件发生的频率。

2. 古典概率古典概率是根据古典统计思想，假设每个事件发生的可能性是相等的，通过计算所关心事件的有利结果与总结果数的比值来计算概率。

古典概率适用于样本空间有限且每个事件发生的概率相等的情况。

3. 几何概率几何概率是通过计算事件的几何形状和空间关系来计算概率。

它适用于几何结构已知且各种事件发生的可能性与其几何结构的大小成正比的情况。

二、数理统计数理统计是通过对数据进行收集、分析和解释，研究总体特征和个体之间关系的学科。

数理统计包括描述统计和推断统计两个方向。

1. 描述统计描述统计是通过对数据的计算与图表展示，对数据的特征进行整理和总结。

描述统计方法包括测度中心位置、离散程度和数据分布的形状等。

- 中心位置测度可以通过平均数、中位数和众数等指标来衡量。

- 离散程度测度可以用范围、方差和标准差等来衡量数据的离散程度。

- 数据分布的形状可以通过直方图、频率分布表和概率密度函数等来描述数据的分布情况。

2. 推断统计推断统计是通过对样本数据进行推断，推断总体的特征和参数。

推断统计方法包括参数估计和假设检验等。

- 参数估计是通过样本数据估计总体参数的值，如置信区间估计和点估计等。

- 假设检验是通过对样本数据进行假设检验，判断总体参数是否具有统计学显著性。

三、概率与数理统计的应用概率与数理统计在各个领域中有着广泛的应用。