广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考届高考数学三模试卷文(含解析)【含答案】

2016年广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题：（每小题5分，共60分）．1．复数（1+2i ）2（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．4B ．﹣4C ．4iD ．﹣4i2．已知集合，则满足A∩B=B 的集合B 可以是（ ）A ．{0， }B ．{x|﹣1≤x ≤1}C ．{x|0＜x ＜}D ．{x|x ＞0} 3．各项为正的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为2，则log 2a 7+log 2a 11=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．已知平面向量，，，则λ的值为（ ） A ．1+B ．﹣1C ．2D ．15．不等式组，表示的平面区域内的点都在圆x 2+（y ﹣）2=r 2（r ＞0）内，则r 的最小值是（ ） A ．B ．C ．1D ．6．如图所示为函数f （x ）=2sin （ωx +φ）（ω＞0，≤φ≤π）的部分图象，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么fA ．B ．﹣C ．﹣1D ．17．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．16B ．17C ．14D ．158．在棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BD 1上，且，M 为线段B 1C 1上的动点，则三棱锥M ﹣PBC 的体积为（ ） A ．1 B ．C ．D ．与M 点的位置有关9．已知抛物线y 2=6x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF|=2，则直线AF 的倾斜角为（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知点F 1、F 2分别是双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，若|AB|：|BF 2|：|AF 2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．4C ．D ．11．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（ ）A ．4+B ．6C ．4+D ．612．设函数y=f （x ）对任意的x ∈R 满足f （4+x ）=f （﹣x ），当x ∈（﹣∞，2]时，有f （x ）=2﹣x ﹣5．若函数f （x ）在区间（k ，k+1）（k ∈Z ）上有零点，则k 的值为（ ） A ．﹣3或7 B ．﹣4或7 C ．﹣4或6 D ．﹣3或6二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知数列{a n }满足a 1=1，a n ﹣a n ﹣1=n （n ≥2），则数列{a n }的通项公式a n = ． 14．若直线2ax+by ﹣1=0（a ＞0，b ＞0）经过曲线y=cosπx +1（0＜x ＜1）的对称中心，则+的最小值为 ．15．已知△EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，则多面体E ﹣ABCD 的外接球的表面积为 ． 16．已知函数f （x ）=，g （x ）=acos+5﹣2a （a ＞0）若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．（Ⅰ）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，求甲停车付费恰为6元的概率；（Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知=（1）求角C 的大小，（2）若c=2，求使△ABC 面积最大时a ，b 的值．19．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，D 、E 分别为A 1B 1、AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且．（Ⅰ）求证：EF ∥平面BDC 1；（Ⅱ）在棱AC 上是否存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．20．已知椭圆M 的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（，0）．（1）求椭圆M 的方程；（2）设直线l 与椭圆M 相交于A 、B 两点，以线段OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中点P 在椭圆M 上，O 为坐标原点，求点O 到直线l 的距离的最小值． 21．已知函数f （x ）=e 2x ﹣1﹣2x ﹣kx 2．（1）当k=0时，求f （x ）的单调区间；（2）若x ≥0时，f （x ）≥0恒成立，求k 的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB 是圆O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交圆O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F ． （Ⅰ）求证：DE 是圆O 的切线； （Ⅱ）若=，求的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数，t∈R），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（Ⅰ）求直线l与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C上求一点D，使它到直线l的距离最短．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|．（Ⅰ）若不等式f（x）﹣f（x+5）≥|m﹣1|有解，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜3，且a≠0，证明：＞f（）．2016年广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考高考数学模拟试卷（文科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分）．1．复数（1+2i ）2（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．4 B ．﹣4 C ．4i D ．﹣4i 【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数（1+2i ）2，则答案可求． 【解答】解：复数（1+2i ）2=1+4i+4i 2=﹣3+4i ， 则复数（1+2i ）2的虚部为：4． 故选：A ．2．已知集合，则满足A∩B=B 的集合B 可以是（ ）A ．{0， }B ．{x|﹣1≤x ≤1}C ．{x|0＜x ＜}D ．{x|x ＞0}【考点】交集及其运算．【分析】求出A 中y 的范围确定出A ，根据A∩B=B，找出满足题意的集合B 即可． 【解答】解：∵x 2+1≥1，∴0＜y=（）x2+1≤（）1=， ∴A={y|0＜y ≤}．则满足A∩B=B 的集合B 可以{x|0＜x ＜}． 故选：C ．3．各项为正的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为2，则log 2a 7+log 2a 11=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【考点】等比数列的性质．【分析】利用a 4•a 14=（a 9）2，各项为正，可得a 9=2，然后利用对数的运算性质，即可得出结论．【解答】解：∵各项为正的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为2，∴a 4•a 14=（2）2=8，∵a 4•a 14=（a 9）2， ∴a 9=2，∴log 2a 7+log 2a 11=log 2a 7a 11=log 2（a 9）2=3， 故答案为：3．4．已知平面向量，，，则λ的值为（ ）A ．1+B ．﹣1C ．2D ．1 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】求出的坐标，代入模长公式列出方程解出λ． 【解答】解： =（2，2﹣λ）， ∵||=2， ∴22+（2﹣λ）2=4，解得λ=2． 故选：C ．5．不等式组，表示的平面区域内的点都在圆x 2+（y ﹣）2=r 2（r ＞0）内，则r 的最小值是（ ） A ．B ．C ．1D ．【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合判断点与圆的位置关系进行求解即可． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 圆x 2+（y ﹣）2=r 2（r ＞0）对应的圆心坐标为（0，）， 由图象知只需要点B （1，0）或A （﹣1，0）在圆内即可， 即r ≥==，在r 的最小值为， 故选：A ．6．如图所示为函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，≤φ≤π）的部分图象，其中A，B两点之间的距离为5，那么fA．B．﹣C．﹣1 D．1【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】由图象得到振幅A，由A、B两点的距离结合勾股定理求出B和A的横坐标的差，即半周期，然后求出ω，再由f（0）=1求φ的值，则解析式可求，从而求得f=2sin（x+φ）．由f（0）=1，得2sinφ=1，∴sinφ=．又≤φ≤π，∴φ=．则f（x）=2sin（x+）．∴f=2×=1．故选：D．7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．16B ．17C ．14D ．15 【考点】程序框图．【分析】通过分析循环，推出循环规律，利用循环的次数，求出输出结果． 【解答】解：第一次循环：S=log 2，n=2； 第二次循环：S=log 2+log 2，n=3； 第三次循环：S=log 2+log 2+log 2，n=4； …第n 次循环：S=log 2+log 2+log 2+…+log 2=log 2，n=n+1；令log 2＜﹣3，解得n ＞15．∴输出的结果是n+1=16． 故选：A ．8．在棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BD 1上，且，M 为线段B 1C 1上的动点，则三棱锥M ﹣PBC 的体积为（ ） A ．1 B ．C ．D ．与M 点的位置有关【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】如图所示，连接BC 1，取=，可得PN ∥D 1C 1，=1，由于D 1C 1⊥平面BCC 1B 1，可得PN ⊥平面BCC 1B 1，利用三棱锥M ﹣PBC 的体积=V 三棱锥P ﹣BCM =即可得出．【解答】解：如图所示，连接BC 1，取=，则PN ∥D 1C 1，，PN=1，∵D 1C 1⊥平面BCC 1B 1， ∴PN ⊥平面BCC 1B 1，即PN 是三棱锥P ﹣BCM 的高． ∴V 三棱锥M ﹣PBC =V 三棱锥P ﹣BCM ===．故选：B ．9．已知抛物线y 2=6x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF|=2，则直线AF 的倾斜角为（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】抛物线的简单性质． 【分析】可先画出图形，得出F （），由抛物线的定义可以得出|PA|=2，从而可以得出P 点的横坐标，带入抛物线方程便可求出P 点的纵坐标，这样即可得出A 点的坐标，从而求出直线AF 的斜率，根据斜率便可得出直线AF 的倾斜角． 【解答】解：如图，由抛物线方程得；|PF|=|PA|=2；∴P 点的横坐标为； ∴，P 在第一象限；∴P 点的纵坐标为；∴A 点的坐标为；∴AF 的斜率为；∴AF 的倾斜角为． 故选：D ．10．已知点F 1、F 2分别是双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，若|AB|：|BF 2|：|AF 2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．4C ．D ．【考点】双曲线的简单性质． 【分析】根据双曲线的定义可求得a=1，∠ABF 2=90°，再利用勾股定理可求得2c=|F 1F 2|，从而可求得双曲线的离心率．【解答】解：∵|AB|：|BF 2|：|AF 2|=3：4：5，不妨令|AB|=3，|BF 2|=4，|AF 2|=5，∵|AB|2+|BF 2|2=|AF 2|2，∴∠ABF 2=90°，又由双曲线的定义得：|BF 1|﹣|BF 2|=2a ，|AF 2|﹣|AF 1|=2a ，∴|AF 1|+3﹣4=5﹣|AF 1|，∴|AF 1|=3．∴|BF 1|﹣|BF 2|=3+3﹣4=2a ，∴a=1．在Rt △BF 1F 2中，|F 1F 2|2=|BF 1|2+|BF 2|2=62+42=52，又|F 1F 2|2=4c 2，∴4c 2=52，∴c=，∴双曲线的离心率e==． 故选：C ．11．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（ ）A ．4+B ．6C ．4+D ．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】作出几何体侧面展开图，将问题转化为平面上的最短问题解决．【解答】解：由三视图可知几何体为圆锥的一部分，圆锥的底面半径为2，几何体底面圆心角为120°，∴几何体底面弧长为=．圆锥高为2．∴圆锥的母线长为．作出几何体的侧面展开图如图所示：其中，AB=AB′=2，AB⊥BC，AB′⊥B′D，B′D=BC=2，AC=AD=4，．∴∠BAC=∠B′AD=30°，∠CAD=．∴∠BAB′=120°．∴BB′==6．故选D．12．设函数y=f（x）对任意的x∈R满足f（4+x）=f（﹣x），当x∈（﹣∞，2]时，有f（x）=2﹣x﹣5．若函数f（x）在区间（k，k+1）（k∈Z）上有零点，则k的值为（）A．﹣3或7 B．﹣4或7 C．﹣4或6 D．﹣3或6【考点】二分法求方程的近似解．【分析】由已知可得函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，画出函数的图象，进而可得满足条件的k值．【解答】解：∵函数y=f（x）对任意的x∈R满足f（4+x）=f（﹣x），∴函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，又∵当x∈（﹣∞，2]时，有f（x）=2﹣x﹣5．故函数y=f（x）的图象如下图所示：由图可知，函数f （x ）在区间（﹣3，﹣2），（6，7）各有一个零点，故k=﹣3或k=6，故选：D二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知数列{a n }满足a 1=1，a n ﹣a n ﹣1=n （n ≥2），则数列{a n }的通项公式a n = n （n+1） ． 【考点】数列递推式．【分析】由已知得a n ﹣a n ﹣1=n （n ≥2），由此利用累加法能求出该数列的通项公式．【解答】解：∵数列{a n }满足：a 1=1，a n ﹣a n ﹣1=n （n ≥2），（n ≥2），∴a n =a 1+a 2﹣a 1+a 3﹣a 2+…+a n ﹣a n ﹣1=1+2+3+4+…+n=n （n+1），故答案为：．14．若直线2ax+by ﹣1=0（a ＞0，b ＞0）经过曲线y=cosπx +1（0＜x ＜1）的对称中心，则+的最小值为 3+2 ．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】求出函数的对称中心坐标，推出ab 关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最值．【解答】解：曲线y=cosπx +1（0＜x ＜1）的对称中心（，1）．直线2ax+by ﹣1=0（a ＞0，b ＞0）经过曲线y=cosπx +1（0＜x ＜1）的对称中心，可得a+b=1．+=（+）（a+b ）=3+≥3+2=3+2， 当且仅当b=，a+b=1，即b=2，a=时，表达式取得最小值．故答案为：3+2．15．已知△EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，则多面体E ﹣ABCD 的外接球的表面积为 16π ．【考点】球的体积和表面积．【分析】设球心到平面ABCD 的距离为d ，利用△EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EA=EB=3，∠AEB=60°，可得E 到平面ABCD 的距离为，从而R 2=（）2+d 2=12+（﹣d ）2，求出R 2=4，即可求出多面体E ﹣ABCD 的外接球的表面积．【解答】解：设球心到平面ABCD 的距离为d ，则∵△EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EA=EB=3，∠AEB=60°， ∴E 到平面ABCD 的距离为， ∴R 2=（）2+d 2=12+（﹣d ）2，∴d=，R 2=4， ∴多面体E ﹣ABCD 的外接球的表面积为4πR 2=16π．故答案为：16π．16．已知函数f （x ）=，g （x ）=acos +5﹣2a （a ＞0）若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，则实数a 的取值范围是 [，5] ．【考点】分段函数的应用．【分析】由存在性，得到只需两个函数的值域相交不为空集即可，所以转换为求函数值域问题．【解答】解：∵函数f （x ）=，∴f （x ）∈[0，]；∵g （x ）=acos +5﹣2a （a ＞0），当x 2∈[0，1]时，∴acos ∈[0，a]∴g （x ）∈[5﹣2a ，5﹣a]∵存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，∴[5﹣2a ，5﹣a]∩[0，]≠∅，∴只需排除[5﹣2a ，5﹣a]∩[0，]=∅的情况，即5﹣2a ＞，或5﹣a ＜0，得a ＜或a ＞5∴a 的取值范围是[，5]．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．某商区停车场临时停车按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙二人在该商区临时停车，两人停车都不超过4小时．（Ⅰ）若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车付费多于14元的概率为，求甲停车付费恰为6元的概率；（Ⅱ）若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙二人停车付费之和为36元的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；互斥事件与对立事件．【分析】（Ⅰ）根据题意，由全部基本事件的概率之和为1求解即可．（Ⅱ）先列出甲、乙二人停车付费之和为36元的所有情况，再利用古典概型及其概率计算公式求概率即可．【解答】解：（Ⅰ）设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A ， 则．所以甲临时停车付费恰为6元的概率是．（Ⅱ）设甲停车付费a 元，乙停车付费b 元，其中a ，b=6，14，22，30．则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：（6，6），（6，14），（6，22），（6，30），（14，6），（14，14），（14，22），（14，30），（22，6），（22，14），（22，22），（22，30），（30，6），（30，14），（30，22），（30，30），共16种情形．其中，（6，30），（14，22），（22，14），（30，6）这4种情形符合题意．故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知= （1）求角C 的大小，（2）若c=2，求使△ABC 面积最大时a ，b 的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA 不为0求出cosC 的值，即可确定出C 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将c 与cosC 的值代入并利用基本不等式求出ab 的最大值，进而确定出三角形ABC 面积的最大值，以及此时a 与b 的值即可．【解答】解：（1）∵A+C=π﹣B ，即cos （A+C ）=﹣cosB ， ∴由正弦定理化简已知等式得： =，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB ，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin （B+C ）=sinA ，∵sinA ≠0，∴cosC=﹣，∵C 为三角形内角，∴C=；（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，即4=a 2+b 2+ab ≥2ab+ab=3ab ，∴ab ≤，（当且仅当a=b 时成立），∵S=absinC=ab ≤，∴当a=b 时，△ABC 面积最大为，此时a=b=， 则当a=b=时，△ABC 的面积最大为． 19．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，D 、E 分别为A 1B 1、AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且．（Ⅰ）求证：EF ∥平面BDC 1；（Ⅱ）在棱AC 上是否存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（I ）取AB 的中点M ，根据，得到F 为AM 的中点，又E 为AA 1的中点，根据三角形中位线定理得EF ∥A 1M ，从而在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1DBM 为平行四边形，进一步得出EF ∥BD ．最后根据线面平行的判定即可证出EF ∥平面BC 1D ．（II ）对于存在性问题，可先假设存在，即假设在棱AC 上存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，再利用棱柱、棱锥的体积公式，求出AG 与AC 的比值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．【解答】证明：（I ）取AB 的中点M ，∵，∴F 为AM 的中点，又∵E 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1M在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，M 分别为A 1B 1，AB 的中点，∴A 1D ∥BM ，A 1D=BM ，∴A 1DBM 为平行四边形，∴AM ∥BD∴EF ∥BD ．∵BD ⊂平面BC 1D ，EF ⊄平面BC 1D ，∴EF ∥平面BC 1D ．（II ）设AC 上存在一点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成两部分的体积之比为1：15， 则， ∵= =∴，∴，∴AG=． 所以符合要求的点G 不存在．20．已知椭圆M 的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为（，0）．（1）求椭圆M 的方程；（2）设直线l 与椭圆M 相交于A 、B 两点，以线段OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中点P 在椭圆M 上，O 为坐标原点，求点O 到直线l 的距离的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由题意可设椭圆的标准方程为：，可得，解得即可得出．（2）当直线l 的向量存在时，设直线l 的方程为：y=kx+m ，与椭圆方程联立化为（1+2k 2）x 2+4kmx+2m 2﹣4=0，由△＞0，化为2+4k 2﹣m 2＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 0，y 0）．可得x 0=x 1+x 2，y 0=y 1+y 2．代入椭圆方程．利用点到直线的距离公式可得：点O 到直线l 的距离d==即可得出．当直线l 无斜率时时，由对称性可知：点O 到直线l 的距离为1．即可得出．【解答】解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：，∴，解得a=2，b 2=2，∴椭圆M 的方程为．（2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y=kx+m ， 联立，化为（1+2k 2）x 2+4kmx+2m 2﹣4=0，△=16k 2m 2﹣4（1+2k 2）（2m 2﹣4）＞0，化为2+4k 2﹣m 2＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 0，y 0）．∴x 0=x 1+x 2=，y 0=y 1+y 2=k （x 1+x 2）+2m=．∵点P 在椭圆M 上，∴， ∴+=1，化为2m 2=1+2k 2，满足△＞0．又点O 到直线l 的距离d====．当且仅当k=0时取等号．当直线l 无斜率时时，由对称性可知：点P 一定在x 轴上，从而点P 的坐标为（±2，0），直线l 的方程为x=±1，∴点O 到直线l 的距离为1．∴点O 到直线l 的距离的最小值为．21．已知函数f （x ）=e 2x ﹣1﹣2x ﹣kx 2．（1）当k=0时，求f （x ）的单调区间；（2）若x ≥0时，f （x ）≥0恒成立，求k 的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当k=0时，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可求f （x ）的单调区间；（2）若x ≥0时，f （x ）≥0恒成立，求函数导数，讨论k 的范围，结合函数的单调性研究最值即可求k 的取值范围．【解答】解：（1）当k=0时，f（x）=e2x﹣1﹣2x，f'（x）=2e2x﹣2，…令f'（x）＞0，则2e2x﹣2＞0，解得：x＞0，令f'（x）＜0，则2e2x﹣2＜0，解得：x＜0，…所以，函数f（x）=e2x﹣1﹣2x的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（﹣∞，0）．…．（2）由函数f（x）=e2x﹣1﹣2x﹣kx2，则f'（x）=2e2x﹣2kx﹣2=2（e2x﹣kx﹣1），令g（x）=e2x﹣kx﹣1，则g'（x）=2e2x﹣k．…由x≥0，所以，①当k≤2时，g'（x）≥0，g（x）为增函数，而g（0）=0，所以g（x）≥0，即f'（x）≥0，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数，而f（0）=0，所以f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．…②当k＞2时，令g'（x）＜0，即2e2x﹣k＜0，则．即g（x）在上为减函数，而g（0）=0，所以，g（x）在上小于0．即f'（x）＜0，所以f（x）在上为减函数，而f（0）=0，故此时f（x）＜0，不合题意．综上，k≤2．…[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是圆O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交圆O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．（Ⅰ）求证：DE是圆O的切线；（Ⅱ）若=，求的值．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（Ⅰ）根据OA=OD，得到∠ODA=∠OAD，结合AD是∠BAC的平分线，得到∠OAD=∠DAC=∠ODA，可得OD∥AE．再根据DE⊥AE，得到DE⊥OD，结合圆的切线的判定定理，得到DE是⊙O的切线．（Ⅱ）连接OD，BC，设AC=2k，AB=5k，可证OD垂直平分BC，利用勾股定理可得到OG，得到DG，于是AE=k，然后通过OD∥AE，利用相似比即可求出的值．【解答】（Ⅰ）证明：连接OD，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD∵∠BAC的平分线是AD∴∠OAD=∠DAC∴∠DAC=∠ODA，可得OD∥AE…又∵DE⊥AE，∴DE⊥OD∵OD是⊙O的半径∴DE是⊙O的切线；…5分（Ⅱ）解：连接OD，如图，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，又OD∥AE，∴∠OGB=∠ACB=90°，∴OD⊥BC，∴G为BC的中点，即BG=CG，又∵=，∴设AC=2k，AB=5k，根据中位线定理得OG=k，∴DG=OD﹣OG=k，又四边形CEDG为矩形，∴CE=DG=k，∴AE=AC+CE=k，而OD∥AE，∴可得…10分[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数，t∈R），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（Ⅰ）求直线l与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C上求一点D，使它到直线l的距离最短．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），即ρ2=2ρsinθ．把ρ2=x2+y2，代入可得C的直角坐标方程．由直线l的参数方程为（t为参数，t∈R），消去t得直线l的普通方程．（Ⅱ）由曲线C：x2+（y﹣1）2=1是以G（0，1）为圆心，1为半径的圆，点D在曲线C上，可设点D（cosφ，1+sinφ）（φ∈[0，2π）），利用点到直线的距离公式即可得出点D到直线l 的距离d及其最小值．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），即ρ2=2ρsinθ．∴曲线C的普通方程为x2+y2﹣2y=0，配方为x2+（y﹣1）2=1，∵直线l的参数方程为（t为参数，t∈R），消去t得直线l的普通方程为x+y﹣5=0．（Ⅱ）∵曲线C：x2+（y﹣1）2=1是以G（0，1）为圆心，1为半径的圆，∵点D在曲线C上，∴可设点D（cosφ，1+sinφ）（φ∈[0，2π）），∴点D到直线l的距离为d==2﹣sin（φ+），∵φ∈[0，2π），当φ=时，d=1，min此时D点的坐标为．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|．（Ⅰ）若不等式f（x）﹣f（x+5）≥|m﹣1|有解，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜3，且a≠0，证明：＞f（）．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的意义得到|m﹣1|≤5，求出m的范围即可；（Ⅱ）问题转化为证明（ab﹣3）2＞（b﹣3a）2，通过作差证明即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）﹣f（x+5）=|x﹣3|﹣|x+2|≤|（x﹣3）﹣（x+2）|=5，当且仅当x≤﹣2时等号成立，所以|m﹣1|≤5，解得﹣4≤m≤6；…（Ⅱ）证明：要证，即证，只需证|ab﹣3|＞|b﹣3a|，即证（ab﹣3）2＞（b﹣3a）2，又（ab﹣3）2﹣（b﹣3a）2=a2b2﹣9a2﹣b2+9=（a2﹣1）（b2﹣9），|a|＜1，|b|＜3，所以（a2﹣1）（b2﹣9）＞0，所以（ab﹣3）2＞（b﹣3a）2，故原不等式成立…2016年9月4日如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

广东省揭阳一中、潮州金山中学2025届高考数学三模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 公差d =（ ） A ．2B ．32C ．3D ．43．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ）A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x4．半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ） A ．3B ．123C ．3D ．1835．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a –1，2a]上的偶函数，那么a+b 的值是A ．13-B ．13 C ．12-D ．126．如图是函数sin()R,A 0,0,02y A x x πωφωφ⎛⎫=+∈>><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将sin (R)y x x =∈的图象上的所有的点( )A ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 D ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 7．已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆是等边三角形，43,25,AB PA PC PA BC ===⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．25πB ．75πC ．80πD ．100π8．已知函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则方程[]()3f f x =的实数根的个数是（ ） A ．6B ．3C ．4D ．59．据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列结论错误的是（ ）A ．CPI 一篮子商品中所占权重最大的是居住B ．CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C ．猪肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为2.5%D ．猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为0.18%10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同的两点A ，B ，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）． A ．103B ．62C ．233D ．311．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）A ．10000立方尺B ．11000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺12．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021—2021学年度两校三模联考数学科试题(文科)本试卷共4页，21题，总分值150分．考试时刻为l20分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内． 2．非选择题必需用黑色笔迹钢笔或签字笔作答.3. 答案一概写在答题区域内，不准利用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．一．选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1． 若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，那么实数a 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. -1 2．设集合2{|2}A x y x x ==-,{|2}x B y y ==，那么A B =（ ）A ．02)（，B ．[02]，C ．(1,2]D ．02]（， 3． 某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，此刻要用分层抽样的方式从两个班抽出16人参加军训演出，那么一班和二班别离被抽取的人数是( )A. 8，8B. 10，6C. 9，7D. 12，4 4.已知()1,2=→a ，52=→b ，且→a ∥→b ，那么b →为（ ）A.()2,4-B.()2,4C.()2,4-或()2,4-D.()2,4--或()2,45．“1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y +=相交”的( ) A ．充分没必要要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6.一个算法的程序框图如下图，该程序输出的结果为( ) A ．89 B ．910 C ．1011 D ．1112侧视图俯视图7.已知3x ≥，那么11y x x=--的最小值为（ ）A.2B. 72C. D. 38．数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为a ，且21()n n n S a a n N +=-+∈．假设实数x y ，知足100x y x y x a ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则2z x y =+的最小值是（ ）A ．-1B ．12C ．5D ．19.已知函数()f x 是概念在R 上的奇函数，且当(],0x ∈-∞时，2()xf x eex a -=-+，那么函数()f x 在1x =处的切线方程为( )A ．0x y +=B ．10ex y e -+-=C ．10ex y e +--=D ．0x y -=10．关于函数(),y f x x D =∈，假设存在常数C ，对任意1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，C =，那么称函数()f x 在D 上的几何平均数为C.已知(),[2,4]f x x D ==，那么函数()f x 在D 上的几何平均数为（ ）A． B ．3 C ．2D 二．填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分，把答案填在答题卡相应横线上.（一）必做题（第11至13题为必做题，每道题目考生都必需作答.） 11．在ABC ∆中，a 、b 、c 别离是角A 、B 、C 所对的边，,13A a c π===，那么ABC ∆的面积S= ______．12.椭圆2221(1)x y a a +=>上存在一点P ，使得它对两个核心1F ，2F 张角122F PF π∠=，那么该椭圆的离心率的取值范围是13．已知某几何体的三视图如下图，那么该几何体的全面积为 .(二)选做题(14～15题,考生只能从当选做一题) 14．（坐标系与参数方程）在极坐标中，已知点P 为方程()cos sin 1ρθθ+=所表示的曲线上一动点⎪⎭⎫⎝⎛3,2πQ ，则PQ 的最小值为____________．15．（几何证明选讲）如图,以4AB =为直径的圆与△ABC 的两边 别离交于,E F 两点，60ACB ∠=，那么EF = .三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解许诺写出必要的文字说明、证明进程或演算步骤. 16.（本小题总分值12分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π，且函数()f x 的图象过点,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭． （1）求ω和ϕ的值； （2）设()()()4g x f x f x π=+-，求函数()g x 的单调递增区间．17．（本小题总分值12分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后取得如下部份频率散布直方图.观看图形的信息，回答以下问题：(1)求分数在[)70,80内的频率，并补全那个频率散布直方图； （2）统计方式中，同一组数据经常使用该组区间的中点值作为代表，据此估量本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方式在分数段为[)80,60的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个整体，从中任取2人，求最多有1人在分数段[)80,70的概率. 18.（本小题总分值14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，极点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ， 且12AB AC A B ===．（1）求证：11A C ⊥平面11AA B B ；（2）假设P 为线段11B C 的中点，求四棱锥11P AA B B -的体积. 19．（本小题总分值14分）在等比数列{a n }中，)(0*N n a n ∈>，公比)1,0(∈q ，且252825351=++a a a a a a ，又a 3与a 5的等比中项为2.CBAEF 第15题第17题（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设n n a b 2log =，求数列{b n }的前n 项和S n. （3）是不是存在*,k N ∈使得1212nS S S k n+++<对任意*n N ∈恒成立，假设存在，求出k 的最小值，假设不存在，请说明理由. 20．（本小题总分值14分）如图，抛物线21:8C y x =与双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>有公共核心2F ，点A 是曲线12,C C 在第一象限的交点，且25AF =. （1）求双曲线2C 的方程；（2）以1F 为圆心的圆M 与双曲线的一条渐近线相切，圆N ：22(2)1x y -+=．已知点(1,3)P ，过点P 作相互垂直且别离与圆M 、圆N 相交的直线1l 和2l ，设1l 被圆M 截 得的弦长为s ，2l 被圆N 截得的弦长为t ． st是不是为定值？ 请说明理由．21．（本小题总分值14分）已知函数x x a x x f --+=2)ln()(在点0=x 处取得极值.（1）求实数a 的值；（2）假设关于x 的方程b x x f +-=25)(在区间[0，2]上有两个不等实根，求b 的取值范围； （3）证明：关于任意的正整数n ，不等式211ln nn n n +<+.2021—2021学年度两校三模联考数学科 (文科) 参考答案及评分说明一．选择题：BDCDA BBABA 二．填空题：11. 32，12. 2[,1)2，13.19192+，14.62, 15.2三．解答题：16.解：（1）由图可知222T ππωπ===， ………………………………………………2分 又由()12f π=-得，sin(2)12πϕ⋅+=-，得sin 1ϕ= 0ϕπ<<2πϕ∴=， …………4分（2）由（1）知：()sin(2)cos 22f x x x π=+= ………………………………6分因为()cos 2cos(2)cos 2sin 22g x x x x x π=+-=+2)4x π=+ …………9分 因此，222242k x k πππππ-≤+≤+，即3 (Z)88k x k k ππππ-≤≤+∈.………11分故函数()g x 的单调增区间为3, (Z)88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.…12分 17. 解：（1）分数在[)70,80内的频率为：1(0.0100.0150.0150.0250.005)10-++++⨯10.70.3=-=，故0.30.0310=，……2分 如下图： ----4分（求频率2分，作图2分） （2）平均分为：450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．------------6分（3）由题意，[)60,70分数段的人数为：0.15609⨯=人； ----------------7分[)70,80分数段的人数为：0.36018⨯=人； ----------------8分∵在[)80,60的学生中抽取一个容量为6的样本，∴[)60,70分数段抽取2人，别离记为,m n ；[)70,80分数段抽取4人，别离记为,,,a b c d ；设从样本中任取2人，最多有1人在分数段[)80,70为事件A ，那么大体事件空间包括的大体事件有： (,)m n 、(,)m a 、(,)m b 、(,)m c 、(,)m d 、……、(,)c d 共15种， 那么事件A 包括的大体事件有：(,)m n 、(,)m a 、(,)m b 、(,)m c 、(,)m d 、(,)n a 、(,)n b 、(,)n c 、(,)n d 共9种，-11分 ∴93()155P A ==． --------------------------------12分18.（1） 证明：1A B ⊥平面ABC ， …………………1分AC ⊂平面ABC ，1AC A B ∴⊥ …………………2分又AC AB ⊥， ………………3分AB ⊂平面11AA B B ， 1A B ⊂平面11AA B B ，1A B AB B = AC ∴⊥平面11AA B B…………5分又在三棱柱111ABC A B C -中，11AC AC //11A C ∴⊥平面11AA B B…………6分（2）解：111224AA B B S AB A B =⨯=⨯=平行四边形………………8分取11A B 的中点R ，连结PR ， 那么11PR A C //，111PR AC 1==2………………10分 又11A C ⊥平面11AA B B ，PR ∴⊥平面11AA B B………………12分故点P 到平面11AA B B 的距离1d =，11111433P AA B B AA B B V S d -∴=⨯⨯=平行四边形…………………14分 19. 解：（1）252,252255323825151=++∴=++a a a a a a a a a a ，又5,053=+∴>a a a n ， …………………………………………2分又53a a 与的等比中项为2，453=∴a a ， 而1,4,),1,0(5353==∴>∴∈a a a a q ，………3分 n n n a a q --=⨯=∴==∴5112)21(16,16,21 ， ……………………………5分 （2）n a b n n -==5log 2， 11-=-∴+n n b b ，4}{1=∴b b n 是以为首项，－1为公差的等差数列. …………… 7分(9)2n n n S -∴=， ……………9分 （3）由（2）知(9)9,22n n S n n n S n --=∴= 0,8>≤∴n S n n 时当；当0,9==n S n n 时；当0,9<>nSn n 时，.……………11分 31289,18123n S S S S n n∴=++++=当或时最大.…………………………13分 故存在*,k N ∈使得1212n S S S k n+++<对任意*n N ∈恒成立，k 的最小值为19.…14分20. 解：（1）∵抛物线21:8C y x =的核心为2(2,0)F ， ……………………………… 1分∴双曲线2C 的核心为1(2,0)F -、2(2,0)F ， …………………………… 2分设00(,)A x y 在抛物线21:8C y x =上，且25AF =，由抛物线的概念得，025x +=，∴03x =， …………………………3分∴2083y =⨯，∴0y =± ……………………… 4分∴1||7AF ==， ………………………… 5分 又∵点A 在双曲线上，由双曲线概念得，2|75|2a =-=，∴1a =， ……… 6分∴双曲线的方程为：2213y x -=． ……………………………………… 7分 （2）st为定值.下面给出说明. …………………… 8分设圆M 的方程为：222(2)x y r ++=，双曲线的渐近线方程为：y =，∵圆M 与渐近线y =相切，∴圆M 的半径为2r == ………… 9分故圆M ：22(2)3x y ++=， ………………………… 10分设1l 的方程为(1)y k x -=-，即0kx y k -+=，设2l 的方程为1(1)y x k=--，即10x ky +--=，∴点M 到直线1l 的距离为1d =，点N 到直线2l 的距离为2d =，…11分∴直线1l 被圆M 截得的弦长s == ……… 12分直线2l 被圆N 截得的弦长t = ………… 13分∴s t ==s t ． …………… 14分 21. 解：（1）()()()12x x a x a f x x a-+-+'=+由题意， ()00f '= 解得1a = ………………………………2分 （2）构造函数()[]()25()ln 10,22h x x x x x b x ⎛⎫=+----+∈ ⎪⎝⎭，那么 令 ()0h x '= 得 5114x x x =-=-=或或 又知[]0,2x ∈ ∴ 当01x ≤<时，函数()h x 单调递增，当12x <≤函数()h x 单调递减方程5()2f x x b =-+在区间[]02，上有两个不同的实根，等价于函数()h x 在[]02，上有两个不同的零点，那么只需()()()0031ln 21022ln 3430h b h b h b =-≤⎧⎪⎪=-+->⎨⎪⎪=-+-≤⎩ 即1ln 22ln 31b b b ≥⎧⎪⎪<+⎨⎪≥-⎪⎩ ∴ 所求实数b 的取值范围是1ln 31ln 22b -≤<+…………………6分 （3）构造函数()2()ln 1g x x x x =+--，那么 ()23()1x x g x x -+'=+ 令 ()0g x '= 解得 302x x ==-或 …………8分 当 10x -<< 时 ()0g x '>，()g x 是增函数当 0x > 时 ()0g x '<，()g x 是减函数 ……………………………10分 ∴ []()max ()00g x g == ∴ ()2ln 10x x x +--≤ 当0x ≠时，有 ()2ln 10x x x +--<取 1x n =，得 2111ln 10n n n⎛⎫⎛⎫+--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即 211ln n n n n ++<．。

广东省揭阳一中、金山中学2020届高三三模联考数学【文】试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知下面四个命题：①“若20x x -=，则0x =或1x =”的逆否命题为“若0x ≠且1x ≠，则20x x -≠” ②“1x ＜”是“2320x x -+＞”的充分不必要条件③命题:p 存在0x R ∈，使得20010x x ++＜，则p ⌝：任意x R ∈，都有210x x ++≥④若p 且q 为假命题，则,p q 均为假命题，其中真命题个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．若0m n <<，则下列结论正确的是（ ） A ．2m ＞2nB ．11()()22mn<C ．1122log log m n> D ．22log log m n>3．已知椭圆：2221(02)4x y b b+=<<，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若22||||BF AF +u u u u r u u u u r的最大值为5，则b 的值是（ ）A ．1B ．2C ．32 D ．34．已知p ：k ＝3；q ：直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＝1相切．则p ⌝是q ⌝的( ) A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．6πB ．3πC ．6π-D ．3π-6．阅读如图所示的程序框图，若输入的9k =，则该算法的功能是（ ）A ．计算数列{}12n -的前10项和B ．计算数列{}12n -的前9项和C ．计算数列{}21n-的前10项和D ．计算数列{}21n-的前9项和7．如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．3π- B ．33π-C ．33π-D ．3π-8．已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．9．在△ABC 中，,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ， M 是AB 的中点，N 是CM 的中点，则AN =u u u r ( ) A ．1233a b+r r ,B ．1132a b +r rC ．1124a b+r r D ．1142a b+r r10．已知平面向量m r ，n r 均为单位向量，若向量m r ，n r的夹角为23π，则23(m n +=r r ) A ．25B ．7C ．5D 711．若直线220(0,0)ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得弦长为4，则41a b+的最小值是（ ）A ．9B ．4C ．12D ．1412．函数()sin cos f x x x =-在[],3ππ-上零点的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2015-2016学年度理数三模联考一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

） 1．设复数i 2i 1i-=++a b (,R)∈a b ，则=+b a （ ）． A ．1 B ．2 C ．1- D ．2- 2．已知集合P ={x |1＜2x ＜2}，Q ={}1log |5.0>x x ，则P ∩Q =（ ）．A ．（0，21） B ．（21，1） C ．（﹣1，21） D ．（0，1） 3．已知0,0>>b a ，则“1>ab ”是“2>+b a ”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．在△ABC 中，若sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )，则△ABC 的形状一定是（ ）．A ．等边三角形B ．不含60°的等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形5．已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0， 数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 7b 8等于（ ）．A ．1B ．2C ．4D ．8 6．如果执行程序框图，且输入n =6，m =4，则输出的p =（ ）．A ．240B ．120C ．720D ．3607．设F 1，F 2为椭圆C ：1422=+y x 的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝（ ）． A ．167B ．1625C ．167- D ．1625-8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）．A.163 B. 203 C. 152 D. 1329．对于函数3()cos3()6f x x x π=+，下列说法正确的是（ ）． A ．()f x 是奇函数且在（6π6π，-）上递增 B ．()f x 是奇函数且在（6π6π，-）上递减 mn ,1,1==p k )(k m n p p +-=?m k <输出p1+=k kC ．()f x 是偶函数且在（6π0，）上递增 D ．()f x 是偶函数且在（6π0，）上递减10．当实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+101042x y x y x 时，41≤+≤y ax 恒成立，则实数a 的取值范围（ ）．A ．[1，23] B ．[﹣1，2] C ．[﹣2，3] D ．[1，2] 11．已知等()()()()432432123412341111x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++，定义映射()()12341234:,,,,,,f a a a a b b b b →，则()4,3,2,1f =（ ）．A ．()1,2,3,4B ．()0,3,4,0C ． ()0,3,4,1--D ．()1,0,2,2-- 12．对R,[0,2]∀∈∈n α，向量)sin 3,cos 32(αα-+=n n c 的长度不超过6的概率为（ ）．A ．105 B ．1052 C ．1053 D ．552 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

数学( 理科 )一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知函数()f x =的定义域为M ，()ln(1)g x x =+的定义域为N ，则M N 等于（ ）A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x <C ．{|11}x x -<<D ．∅2．若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b 等于（ ）A ．2B ．12C ．12-D ．2-3．若函数21()sin ()2f x x x R =-∈，则()f x 是（ ） A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数4．已知向量(1,)a n =，(1,)b n =-，若2a b -与b 垂直，则a 等于（ ）A ．1BC ．2D ．45．曲线xy e =在点2(2,)e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．294eB ．22eC ．2eD ．22e6．已知某本个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A ．340003cm B ．380003cm C ．32000cmD ．34000cm侧视图7．设1F 、2F 分别是双曲线2219y x -=的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且120PF PF ⋅=，则12PF PF +等于（ ）AB．CD．8．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。

设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h 、2h 、h ，则12::h h h 等于（ ） AB2:2 C2:D2二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共30分，其中9—13题为必做题，14、15为选做题，考生只选做一题） 9．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1,),(0)N σσ>，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为 。

广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考2015届高考数学三模试卷（文科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i为虚数单位，则复数=( ) A．2+i B．2﹣i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i 2．已知集合P={0，1，2}，Q={y|y=3x}，则P∩Q=( ) A．{0，1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．? 3．已知=（1，k），=（k，4），那么“k=﹣2”是“，共线”的( ) A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．非充分非必要条件 D．充要条件 4．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为( ) A．B．C．D． 5．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A．48 B．C．16 D．32 7．已知偶函数f（x），当x∈，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人． （1）求该组织的人数； （2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？ （3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，用列举法求出第3组至少有一名志愿者被抽中的概率． 18．如图，三棱锥C﹣ABD中，AB=AD=BD=BC=CD=2，O为BD的中点，∠AOC=120°，P为AC 上一点，Q为AO上一点，且． （Ⅰ）求证：PQ∥平面BCD； （Ⅱ）求证：PO⊥平面ABD； （Ⅲ）求四面体ABCD的体积． 19．已知{an}是等差数列，公差为d，首项a1=3，前n项和为Sn．令，{cn}的前20项和T20=330．数列{bn}满足bn=2（a﹣2）dn﹣2+2n﹣1，a∈R． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若bn+1≤bn，n∈N*，求a的取值范围． 20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F1与抛物线y2=4x的焦点重合，原点到过点A （a，0），B（0，﹣b）的直线的距离是． （1）求椭圆C的方程； （2）设动直线l：y=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P，过F1作PF1的垂直于直线l 交于点Q，求证：点Q在定直线上，并求出定直线的方程． 21．已知函数f（x）=x3﹣3x2+ax（a∈R） （1）求函数y=f（x）的单调区间； （2）当a≥2时，求函数y=|f（x）|在0≤x≤1上的最大值． 广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考2015届高考数学三模试卷（文科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i为虚数单位，则复数=( ) A．2+i B．2﹣i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i 考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充和复数． 分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值． 解答：解：=， 故选：C． 点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念，是基础题． 2．已知集合P={0，1，2}，Q={y|y=3x}，则P∩Q=( ) A．{0，1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．? 考点：交集及其运算． 专题：集合． 分析：根据集合的基本运算进行求解即可． 解答：解：Q={y|y=3x}={y|y＞0}， 则P∩Q={1，2}， 故选：B 点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 3．已知=（1，k），=（k，4），那么“k=﹣2”是“，共线”的( ) A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．非充分非必要条件 D．充要条件 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：简易逻辑． 分析：根据向量共线的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判定即可． 解答：解：若k=﹣2，则=（1，﹣2），=（﹣2，4），满足=﹣2，即，共线，充分性成立， 若，共线，则k2=4，即k=±2，即必要性不成立， 故“k=﹣2”是“，共线”的充分不必要条件， 故选：A 点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判定，利用向量共线的等价条件是解决本题的关键，比较基础． 4．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为( ) A．B．C．D． 考点：古典概型及其概率计算公式． 专题：概率与统计． 分析：根据题意得出基本事件为（x，y），总共有6×6=36，列举两次朝上的点数之积为奇数事件求解个数，运用古典概率公式求解即可． 解答：解：骰子的点数为：1，2，3，4，5，6， 先后抛掷两颗质地均匀的骰子，基本事件为（x，y）， 总共有6×6=36， 两次朝上的点数之积为奇数事件为：A 有（1，1），（1，3），（1，5）， （3，1），（3，3），（3，5）， （5，1），（5，3），（5，5）， 共有9个结果， ∴两次朝上的点数之积为奇数的概率为P（A）==故选：C 点评：本题考查了古典概率的求解，关键是求解基本事件的个数，运用列举的方法求解符合题意的事件的个数，属于中档题． 5．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定 考点：余弦定理的应用；三角形的形状判断． 专题：解三角形． 分析：由sin2A+sin2B＜sin2C，结合正弦定理可得，a2+b2＜c2，由余弦定理可得CosC=可判断C的取值范围 解答：解：∵sin2A+sin2B＜sin2C， 由正弦定理可得，a2+b2＜c2 由余弦定理可得cosC=∴ ∴△ABC是钝角三角形 故选C 点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础试题 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A．48 B．C．16 D．32 考点：由三视图求面积、体积． 专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离． 分析：由题意作出其直观图，从而由三视图中的数据代入求体积． 解答：解：该几何体为四棱柱，如图， 其底面是直角梯形， 其面积S=×（3+5）×2=8， 其高为4； 故其体积V=8×4=32； 故选：D． 点评：本题考查了学生的空间想象力与计算能力，属于基础题． 7．已知偶函数f（x），当x∈ A．B．1 C．3 D． 考点：函数奇偶性的性质． 专题：函数的性质及应用． 分析：函数f（x）为偶函数，可得f（﹣）=f（）再将其代入f（x）=2sinx，进行求解，再根据x∈ 曲线=1（k＜9）表示焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2， 离心率为，焦距为16． 对照选项，则D正确． 故选D． 点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题． 9．指数函数y=（）x与二次函数y=ax2+2bx（a∈R，b∈R）在同一坐标系中的图象可能的是( ) A．B．C．D． 考点：函数的图象；二次函数的性质． 分析：根据二次函数的对称轴首先排除B选项，再根据与1关系，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案 解答：解：根据指数函数的解析式为y=（）x，∴＞0， ∴﹣＜0， 故二次函数y=ax2+bx的对称轴x=﹣位于y轴的左侧，故排除B． 对于选项A，由二次函数的图象可得a＞0，故二次函数y=ax2+bx的对称轴x=﹣＞﹣1，∴＜1，则指数函数应该单调递减，故A不正确． 对于选项C，由二次函数的图象可得a＜0，故二次函数y=ax2+bx的对称轴x=﹣＜﹣1，∴＞1，则指数函数应该单调递增，故C正确． 对于选项C，由二次函数的图象可得a＞0，故二次函数y=ax2+bx的对称轴x=﹣＜﹣1，∴＞1，则指数函数应该单调递增，故D不正确 故选：C 点评：本题考查了同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系，根据指数函数图象确定出a、b的正负情况是求解的关键，属于基础题 10．对于集合A，如果定义了一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足下列4个条件： （Ⅰ）?a，b∈A，都有a⊕b∈A （Ⅱ）?e∈A，使得对?a∈A，都有e⊕a=a⊕e=a； （Ⅲ）?a∈A，?a′∈A，使得a⊕a′=a′⊕a=e； （Ⅳ）?a，b，c∈A，都有（a⊕b）⊕c=a⊕（b⊕c）， 则称集合A对于运算“⊕”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”： ①A={整数}，运算“⊕”为普通加法； ②A={复数}，运算“⊕”为普通减法； ③A={正实数}，运算“⊕”为普通乘法． 其中可以构成“对称集”的有( ) A．①②B．①③C．②③D．①②③ 考点：元素与集合关系的判断． 专题：计算题；集合． 分析：根据新定义，对所给集合进行判断，即可得出结论． 解答：解：①A={整数}，运算“⊕”为普通加法，根据加法运算可知满足4个条件，其中e=0，a、a′互为相反数； ②A={复数}，运算“⊕”为普通减法，不满足4个条件； ③A={正实数}，运算“⊕”为普通乘法，根据乘法运算可知满足4个条件，其中e=1，a、a′互为倒数． 故选：B． 点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题） 11．已知函数f（x）=，则在点（2，f（2））处的切线方程为y=﹣2x+8． 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：导数的综合应用． 分析：求出原函数的导函数，得到f′（0）=2，再求出f（0），由直线方程的点斜式得答案． 解答：解：∵f（x）=， ∴， ∴f′（2）=﹣2， 又f（2）=4， ∴函数f（x）=在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣4=﹣2（x﹣2）， 即y=﹣2x+8． 故答案为：y=﹣2x+8． 点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题． 12．设z=kx+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则实数k=2． 考点：简单线性规划． 专题：不等式的解法及应用． 分析：先画出可行域，得到角点坐标．再对k进行分类讨论，通过平移直线z=kx+y得到最大值点A，即可得到答案． 解答：解：可行域如图： 由得：A（4，4）， 同样地，得B（0，2）， z=kx+y，即y=﹣kx+z，分k＞0，k＜0两种情况． 当k＞0时， 目标函数z=kx+y在A点取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，即12=4k+4，得k=2； 当k＜0时， ①当k＞﹣时，目标函数z=kx+y在A点（4，4）时取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大， 此时，12=4k+4， 故k=2． ②当k时，目标函数z=kx+y在B点（0，2）时取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z 最大， 此时，12=0×k+2， 故k不存在． 综上，k=2． 故答案为：2． 点评：本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义． 13．在各项均为正项的等比数列{an}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=31，=，则a3=4． 考点：等比数列的通项公式． 专题：等差数列与等比数列． 分析：设出等比数列的首项和公比，由题意列式，整体运算得到，则a3可求． 解答：解：设等比数列an的公比为q，则{}也是等比数列， 且公比为，依题意得：， 两式作比得：，即， ∵an＞0，∴a3=4． 故答案为：4． 点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题． （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）【几何证明选讲选做题】 14．在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=5，点E、F分别在AB、CD上，且EF∥AD，若，则EF的长为． 考点：平行线分线段成比例定理． 专题：计算题． 分析：先设EF交AC与点H，利用平行线分线段成比例定理求出EH以及HF，即可求得EF 的长． 解答：解：设EF交AC与点H， 因为EF∥AD，且， 所以有==，故EH=×5=， 同理=，得HF=2=． 所以：EF==． 故答案为：． 点评：本题主要考查平行线分线段成比例定理．解决本题的关键在于把EF的长转化为EH 以及HF． 【坐标系与参数方程选做题】 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l与曲线C的参数方程分别为l：（s为参数）和C：（t为参数），若l与C相交于A、B两点，则|AB|=． 考点：直线的参数方程；抛物线的参数方程． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：把直线l的参数方程化为直角坐标方程，把曲线C的参数方程化为直角坐标方程，联立方程组求出交点坐标， 再利用两点间的距离公式求出结果． 解答：解：把直线l：（s为参数）消去参数，化为直角坐标方程为 x+y﹣2=0． 把曲线C：（t为参数）消去参数，化为直角坐标方程为 y=（x﹣2）2． 把直线方程和曲线C的方程联立方程组解得，或． 故|AB|==， 故答案为． 点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，求直线和曲线的交点坐标，两点间的距离公式，属于基础题． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．已知函数． （1）求f（x）的最大值和最小正周期； （2）若f（）=，α是第二象限的角，求sin2α． 考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法． 专题：三角函数的图像与性质． 分析：（1）利用两角和的正弦公式对解析式化简，由正弦函数的最值和三角函数的周期公式求出函数的最大值和周期； （2）将x=代入由（1）求出的解析式，化简后求出正弦值，再由角的范围和平方关系求出余弦值，再代入二倍角的正弦公式求值即可． 解答：解（1）由题意得，=2sin（2x+）， ∴f（x）的最大值为2， 且函数的最小正周期为T==π， （2）由（1）知，， ∵，∴， 即sinα=， 又∵α是第二象限的角， ∴cosα=﹣=﹣， ∴sin2α=2sinαcosα=2××（﹣）=﹣． 点评：本题考查了倍角公式和两角和的正弦公式，以及正弦函数的性质综合应用，考查了的知识点较多，需要熟练掌握． 17．近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织．现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人． （1）求该组织的人数； （2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？ （3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，用列举法求出第3组至少有一名志愿者被抽中的概率． 考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图． 专题：概率与统计． 分析：（1）根据频数=频率×样本容量，频率=对应矩形面积，构造关于n的方程，解方程可得该组织的人数； （2）先计算出第3，4，5组中每组的人数，进而根据比例，可得到应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者； （3）选求出这6名志愿者中随机抽取2名志愿者的基本事件总数和第3组至少有一名志愿者被抽中的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案． 解答：解：（1）由题意：第2组的人数：35=5×0.07?n，得到：n=100， 故该组织有100人．… （2）第3组的人数为0.3×100=30， 第4组的人数为0.2×100=20， 第5组的人数为0.1×100=10． ∵第3，4，5组共有60名志愿者， ∴利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为： 第3组：；第4组：；第5组：． ∴应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人．… （3）记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1B2，第5组的1名志愿者为C1．则从6名志愿者中抽取2名志愿者有： （A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1）， （A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1）， （A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共有15种． 其中第3组的3名志愿者A1，A2，A3，至少有一名志愿者被抽中的有： （A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3）， （A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），共有12种， 则第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为． … 点评：本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键． 18．如图，三棱锥C﹣ABD中，AB=AD=BD=BC=CD=2，O为BD的中点，∠AOC=120°，P为AC 上一点，Q为AO上一点，且． （Ⅰ）求证：PQ∥平面BCD； （Ⅱ）求证：PO⊥平面ABD； （Ⅲ）求四面体ABCD的体积． 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 专题：综合题；空间位置关系与距离． 分析：（Ⅰ）证明：PQ∥CO，利用线面平行的判定定理证明PQ∥平面BCD； （Ⅱ）证明BD⊥PO，OP⊥OA，即可证明：PO⊥平面ABD； （Ⅲ）求出P﹣ABD的体积，即可求四面体ABCD的体积． 解答：（Ⅰ）证明：∵，∴PQ∥CO 又∵PQ?平面BCD，CO?平面BCD， ∴PQ∥平面BCD… （Ⅱ）证明：由等边△ABD，等边△BCD，O为BD的中点得：BD⊥AO，BD⊥OC，AO∩OC=O， ∴BD⊥平面AOC． 又∵PO?平面AOC，∴BD⊥PO 在△AOC中，∠AOC=120°，， ∴∠OAC=30°，… ∴AP=2 在△AOP中，由余弦定理得：OP=1… ∴OP⊥OA… 又OA∩BD=O， ∴PO⊥平面ABD… （Ⅲ）解：∵PO⊥平面ABD， ∵ ∴… 点评：本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查体积的计算，正确运用线面平行、线面垂直的判定定理是关键． 19．已知{an}是等差数列，公差为d，首项a1=3，前n项和为Sn．令，{cn}的前20项和T20=330．数列{bn}满足bn=2（a﹣2）dn﹣2+2n﹣1，a∈R． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若bn+1≤bn，n∈N*，求a的取值范围． 考点：数列递推式；等差数列的性质． 专题：综合题；等差数列与等比数列． 分析：（Ⅰ）利用T20=330，求出公差，即可求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）先求出bn，再根据bn+1≤bn，n∈N*，结合函数的单调性，即可求a的取值范围． 解答：解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d， 因为， 所以T20=﹣S1+S2﹣S3+S4+…+S20=330， 则a2+a4+a6+…+a20=330… 则 解得d=3 所以an=3+3（n﹣1）=3n… （Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=2（a﹣2）3n﹣2+2n﹣1bn+1﹣bn=2（a﹣2）3n﹣1+2n﹣=4（a﹣2）3n﹣2+2n﹣1=由bn+1≤bn?… 因为随着n的增大而增大， 所以n=1时，最小值为， 所以… 点评：本题考查数列的通项，考查数列与不等式的联系，考查学生的计算能力，属于中档题． 20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F1与抛物线y2=4x的焦点重合，原点到过点A （a，0），B（0，﹣b）的直线的距离是． （1）求椭圆C的方程； （2）设动直线l：y=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P，过F1作PF1的垂直于直线l 交于点Q，求证：点Q在定直线上，并求出定直线的方程． 考点：直线与圆锥曲线的综合问题． 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析：（1）由已恬条件得a2=b2+1，，由此能求出椭圆C的方程． （2）由，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由直线与椭圆相切，得4k2﹣m2+3=0，由此能证明点Q在定直线x=4上． 解答：（1）解：由于抛物线的y2=4x的焦点坐标为（1，0），∴c=1， ∴a2=b2+1， ∵顶点到直线AB：的距离d=， ∴a2=4，b2=3， ∴椭圆C的方程为． （2）证明：由，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0（*） 由直线与椭圆相切得m≠0，且△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0， 整理，得4k2﹣m2+3=0， 将4k2+3=m2，m2﹣3=4k2代入（*）式得 m2x2+8kmx+16k2=0，即（mx+4k）2=0，解得x=﹣， ∴P（﹣，），又F1（1，0），∴==﹣， ∴=，∴直线F1Q的方程为：y=， 联立，得x=4， ∴点Q在定直线x=4上． 点评：本题考查椭圆方程的求法，考查点在定直线上的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用． 21．已知函数f（x）=x3﹣3x2+ax（a∈R） （1）求函数y=f（x）的单调区间； （2）当a≥2时，求函数y=|f（x）|在0≤x≤1上的最大值． 考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题：函数的性质及应用；导数的综合应用． 分析：（1）求出函数的导数，讨论判别式小于或等于0，和大于0，令导数大于0，得增区间；令导数小于0，得减区间； （2）由（1）讨论当a≥3时，当2≤a＜3时，求得函数的单调区间，通过函数值的符号，去绝对值符号，即可得到最大值． 解答：解：（1）函数f（x）=x3﹣3x2+ax的导数为f′（x）=3x2﹣6x+a， 判别式△=36﹣12a， 当△≤0时，即a≥3，f′（x）≥0恒成立，f（x）为增函数； 当a＜3时，即△＞0，3x2﹣6x+a=0有两个实根，x1=1﹣，x2=1+， f′（x）＞0，可得x＞x2或x＜x1；f′（x）＜0，可得x1＜x＜x2． 综上可得，a≥3时，f（x）的增区间为R； a＜3时，f（x）的增区间为（﹣∞，1﹣），（1+，+∞）， 减区间为（1﹣，1+）． （2）由于y=|f（x）|的图象经过原点， 当a≥3时，由（1）可得y=|f（x）|=f（x）在递增， 即有x=1处取得最大值，且为a﹣2； 当2≤a＜3时，由（1）可得f（x）在递减， 则f（x）在x=1﹣处取得最大值，且大于0， 又f（0）=0，f（1）=a﹣2≥0， 则y=|f（x）|=f（x）（0≤x≤1）的最大值即为f（1﹣）． 综上可得，当a≥3时，函数y的最大值为a﹣2； 当2≤a＜3时，函数y的最大值为f（1﹣）． 点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查分类讨论的思想方法和函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．。

广东省揭阳市第一中学、潮州市金山中学高三数学5月联考（三模）试题文文科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 为虚数单位，则复数131ii -=+A ． 2i +B ． 2i -C ． 12i --D ． 12i -+2．已知集合{}0,1,2P =,{}|3x Q y y ==，则P Q =A ． {}0,1B ． {}1,2C ． {}0,1,2D ． ∅3. 已知(1,),(,4)a k b k ==，那么“2k =-”是“,a b 共线”的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．非充分非必要条件 D ．充要条件4．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为A ．112 B ．16 C ．14 D ．135.在ABC △中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC △的形状是A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. 48 B.323C.16D. 327．已知偶函数f （x ），当[0,2)x ∈时，f （x ）=2sinx ， 当[2,)x ∈+∞时，()2log f x x =，则()43f f π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭A ．32+B ．1C ．3D ．32-+8.曲线221259x y +=与曲线221(9)259x y k k k+=<--的A.长轴长相等B. 短轴长相等C.离心率相等D. 焦距相等9.指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭与二次函数()22,y ax bx a R b R =+∈∈在同一坐标系中的图象可能的是10．对于集合A ，如果定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足下列4个条件： （ⅰ）,a b A ∀∈，都有a b A ⊕∈；（ⅱ）e A ∃∈，使得对a A ∀∈，都有e a a e a ⊕=⊕=； （ⅲ）a A ∀∈，a A '∃∈，使得a a a a e ''⊕=⊕=； （ⅳ）,,a b c A ∀∈，都有()()a b c a b c ⊕⊕=⊕⊕，则称集合A 对于运算“⊕”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”： ①{}A =整数，运算“⊕”为普通加法；②{}A =复数，运算“⊕”为普通减法； ③{}A =正实数，运算“⊕”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11．已知函数12)(-=x xx f ，则在点))2(,2(f 处的切线方程为 . 12．设y kx z +=,其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+04204202y x y x y x ,若z 的最大值为12,则实数=k ________.13、在各项均为正项的等比数列{}n a ，已知1234512345111113131,16a a a a a a a a a a ++++=++++=，则3a = （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2AD =，5BC =，点E 、F分别在AB 、CD 上，且EF ∥AD ，若34AE EB =，则EF 的长为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：1,1x s y s =+⎧⎨=-⎩（s 为参数）和C ：22,x t y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数）， 若l 与C 相交于A 、B 两点，则AB = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()2sin 22cos 2,f x x x x R =+∈.(1)求()f x 的最大值和最小正周期；(2) 若3282f απ⎛⎫-=⎪⎝⎭，α是第二象限的角，求sin 2α.17．（本小题满分12分）近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征 召n 名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织．现把该组织的成员按年龄分成5组： 第1组[)20,25，第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40， 第5组[40,45]， 得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人． （Ⅰ）求该组织的人数．（Ⅱ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．18．（本小题满分14分）如图，三棱锥C ABD -中，2AB AD BD BC CD =====，O 为BD 的中点，120AOC ∠=， P 为AC 上一点，Q 为AO 上一点，且2AP AQPC QO==． （Ⅰ）求证：PQ ∥平面BCD ； （Ⅱ）求证：PO ⊥平面ABD ； （Ⅲ）求四面体ABCD 的体积。

Unit 2 They have seen the Pyramids 教学内容：Unit 2 They have seen the Pyramids. 课型：Reading and writing 教学目标： 1、正确使用下列词语和词组：move, send, Germany, France, tower, ancient, king, queen, Arabic, way, mix, miss, count, count down 2、能读懂描述经历的文章，理解语篇主题和细节。

3、能够简单的运用现在完成时叙述自己或他人的一次特别的旅行经历。

教学重难点： 理解短文细节，并能运用所学的知识描写自己的经历。

教学准备： 预习要求： 1、根据音标自学本课新单词； 2、查找相关资料，找出你认为本课较重要的语言点和短语。

教学过程： 教学步骤教师活动学生活动设计意图 Step One (5’) 1.Lead in Look and say : Look at some pictures about famous places in China and talk : ①Which interesting places in China have you visited ? ②Have you ever seen the Great Wall ? ③Have you ever visited another country ? 2． Ask the students to make dialogues with partners according to activity 4. Where you went When you went there Why it was special 1.Lead in Look and say : Look at some pictures about famous places in China and talk : ①Which interesting places in China have you visited ? ②Have you ever seen the Great Wall ? ③Have you ever visited another country ? Make dialogues with their partners according to activity 4. Where you went When you went there Why it was special 通过看图片回答问题，引导学生回顾上节课的内容通过，.也能从说句子中考验学生对Unit1知识的掌握程度，还训练了学生的反应。

广东省揭阳一中、潮州金山中学2013-2014学年高三上学期期中联考文数学试卷（带word 解析）第I 卷（选择题）1．已知{}|10A xx =+>,{}2,1,0,1B =--，则()RA B = ð（ ）A ．{}2,1--B ．{}2-C ．{}1,0,1-D ．{}0,1 【答案】A【解析】试题分析：{}{}101A x xxx =+>=>- ，{}1R A x x ∴=≤-ð，(){}2,1R A B ∴=-- ð，故选A.考点：集合的基本运算 2．()2121ii +=- （ ）A ．112i --B ．112i -+ C ．112i +D ．112i -【答案】B 【解析】 试题分析：()2121211221ii i i i ++==-+--，故选B. 考点：复数的四则运算3．设p 、q 是简单命题，则“p 或q 是假命题” 是 “非p 为真命题”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：因为命题“p 或q 是假命题”，故命题p 和q 都是假命题，从而“非p ”为真命题；另一方面，“非p ”为真命题，只能说明命题p 为假命题，不能保证命题q 的真假性，从而命题“p 或q ”的真假性不确定，故“p 或q 是假命题” 是 “非p 为真命题”的充分而不必要条件，故选A.考点：1.简单的逻辑联结词；2.充分必要条件 4．函数()()1lg 11f x x x=++- 的定义域是 （ ） A.(),1-∞- B.()1,+∞ C.()()1,11,-+∞ D.(),-∞+∞【答案】C 【解析】试题分析：自变量x 满足1010x x -≠⎧⎨+>⎩，解得1x >-且1x ≠，故函数()()1lg 11f x x x=++- 的定义域是 ()()1,11,-+∞ ，故选C.考点：函数的定义域5．已知向量()1,1m λ=+ ，()2,2n λ=+ ，若()()m n m n +⊥-，则λ=（ ）A.4-B.3-C.2-D.1-【答案】B 【解析】试题分析：()()m n m n +⊥- ，()()0m n m n ∴+⋅-= ，即22m n = ，所以()()22221122λλ++=++，即263λλ=-⇒=-，故选B.考点：1.向量的垂直；2.向量的数量积6．函数()()3xf x x e =-⋅的单调递增区间是（ ）A.(),2-∞B.()0,3C.()1,4D.()2,+∞ 【答案】D 【解析】试题分析：()()3x fx x e =-⋅ ，()()()32x x x f x e x e x e '∴=+-⋅=-⋅，令()0f x '>，即20x ->，解得2x >，故函数()f x 的单调递增区间为()2,+∞，故选D. 考点：利用导数求函数的单调区间 7．如果1tan 20131tan αα+=-，那么1ta n 2cos2αα+= （ ）A.2010B.2011C.2012D.2013 【答案】D 【解析】 试题分析：()()()222222221tan 1cos sin 2tan 1tan 2tan tan 2cos 2cos sin 1tan 1tan 1tan 1tan αααααααααααααα+++++=+==----+1tan 20131tan αα+==-，故选D.考点：1.二倍角；2.弦化切8．已知O 是坐标原点，点()1,1A -，若点(),M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅的取值范围是（ ）A.[]1,0-B.[]0,1C.[]0,2D.[]1,2- 【答案】C 【解析】试题分析：OA OM x y ⋅=-+，令z x y =-+，则z 为直线:l z x y =-+在y 轴上的截距，作出不等式组212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩所表示的平面区域如下图所示，作直线:l z x y =-+，当直线l 经过平面区域内的点()1,1A ，此时，直线l 在y 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即min 111z =-+=；当直线l 经过平面区域内的点()0,2B ，此时直线l 在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max022z =-+=，故OA OM ⋅的取值范围是[]0,2，故选C.考点：1.线性规划；2.平面向量的数量积 9．下列说法，正确的是（ ） A. 对于函数()1f x x=，因为()()110f f -⋅<，所以函数()f x 在区间()1,1-内必有零点B. 对于函数()2f x x x =-，因为()()120f f -⋅>，所以函数()f x 在区间()1,2-内没有零点C. 对于函数()32331f x x x x =-+-，因为()()020f f ⋅<，所以函数()f x 在区间()0,2内必有零点D. 对于函数()3232f x x x x =-+，因为()()130f f -⋅<，所以函数()f x 在区间()1,3-内有唯一零点【答案】C 【解析】试题分析：函数()1f x x=的图象在区间()1,1-不是连续的，另一方面，当10x -<<，()0f x <，当01x <<时，()0f x >，故函数()f x 在区间()1,1-内无零点，故选项A 错误；令()0f x =，可得0x =或1x =，故()f x 在区间()1,2-内有两个零点，选项B 错误；由于函数()32331f x x x x =-+-的图象在区间()0,2内连续，且()()020f f ⋅<，所以函数()f x 在区间()0,2内必有零点，选项C 正确；对于函数()3232f x x x x =-+，因为()()130f f -⋅<，所以函数()f x 在区间()1,3-内有零点，另一方面，令()0f x =，即32320x x x -+=，即()()120x x x --=，解得0x =，1x =或2x =，即函数()f x 在区间()1,3-内有三个零点，选项D 错误，综上所述，选C.考点：零点存在定理10．设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在[],x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[],a b 上是“关联函数”，区间[],a b 称为“关联区间”．若()234f x x x =-+与()2g x x m =+在[]0,3上是“关联函数”，则m 的取值范围为（ ）A.9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦B.[]1,0-C.(],2-∞-D.9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析：令()()0f x g x -=，得()()fx g x =，即2342x x x m -+=+，即254m x x =-+，若函数()234f x x x =-+与()2g x x m =+在[]0,3上是“关联函数”，则问题转化为直线y m =与曲线254y x x =-+在区间[]0,3上有两个交点，在同一坐标系中作出直线y m =与曲线254y x x =-+在区间[]0,3图象，由图象知，当924m -<≤-时，直线y m =与曲线254y x x =-+在区间[]0,3上有两个交点，故选A.考点：1.新定义；2.函数的零点第II 卷（非选择题）11．在ABC ∆中，若3a =，b =，3A π∠=，则C ∠的大小为_________.【答案】2π 【解析】试题分析：由正弦定理的sin 11sin sin sin 232a b b A B A B a =⇒===，a b > ，A B ∴>，故6B π∠=，因此()362C A B πππππ⎛⎫∠=-∠+∠=-+=⎪⎝⎭. 考点：1.正弦定理；2.三角形的内角和定理12．如果等差数列{}n a 中，35712a a a ++=，那么129a a a +++ 的值为 . 【答案】36 【解析】 试题分析：357553124a a a a a ++==⇒= ，()19129599362a a a a a a +∴+++=== .考点：等差数列的性质13．已知函数()3sin 2f x x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象为C ，则下列说法： ①图象C 关于点(),0π对称； ②图象C 关于直线1112x π=对称； ③函数()f x 在区间51212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数； ④由3sin 2y x =的图象向左平移6π个单位长度可以得到图象C ．其中正确的说法的序号为 . 【答案】②③ 【解析】试题分析：()3sin 23sin 033f ππππ⎛⎫=-=-=≠ ⎪⎝⎭ ，故图象C 不关于点(),0π对称，命题①错误；111133sin 23sin 3121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()f x取到最小值，故图象C 关于直线1112x π=对称，命题②正确；当51212x ππ-<<，2232x πππ-<-<，故函数()f x 在区间51212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数，命题③正确；将函数3sin 2y x =图象向左平移6π个单位长度得到函数()3sin 26h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，而不是曲线C ，故命题④错误.综上所述，正确的命题序号是②③.考点：1.三角函数的对称性；2.三角函数的单调性；3.三角函数图象变换 14．已知函数()()40,0af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =__________. 【答案】36 【解析】试题分析：当0x >，0a >时，由基本不等式得()4a f x x x =+≥=当且仅当4ax x=，即当x =()f x 336a =⇒=.考点：基本不等式15．已知函数()()2sin cos cos 2f x x x x x R =+∈. （1）求()f x 的最小正周期和最大值；（2）若θ为锐角，且83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan 2θ的值.【答案】（1）函数()f x 的最小正周期为π2）tan 2θ=. 【解析】试题分析：（1）先将函数解析式化简为()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后根据相应公式求出函数()f x 的最小正周期与最大值；（2）先利用83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求出cos2θ的值，然后利用已知条件确定2θ的取值范围，进而确定sin 2θ的正负，并利用平方关系求出sin 2θ的值，最终求出tan 2θ的值.试题解析：（1）()2sin cos cos 2sin 2cos 224f x x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭， 22T ππ∴==，即函数()f x 的最小正周期为π，()max f x =()f x；（2）22288423f ππππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1cos 23θ∴=， θ 为锐角，所以02πθ<<，故02θπ<<，因此sin 20θ>，sin 2θ∴===sin 2tan 23cos 23θθθ∴===考点：1.三角函数的周期性与最值；2.同角三角函数的基本关系16．设函数()cos f θθθ=+，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点(),P x y ，且0θπ≤≤.（1）若点P的坐标为12⎛ ⎝⎭，求()f θ的值；（2）若点(),P x y 为平面区域1:11x y x y +≥⎧⎪Ω≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数()f θ的最小值和最大值.【答案】（1）()2f θ=；（2）()max 2f θ=，()min 1f θ=. 【解析】试题分析：（1）先利用定义求出sin θ和cos θ的值，然后代入()f θ的表达式中求出()f θ的值；（2）先利用线性规划所表示的可行域求出角θ的取值范围，并将()f θ的表达式化为()2sin 6f πθθ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭，结合角θ的取值范围求出6πθ+的取值范围，利用正弦函数的图象确定函数()f θ的最小值和最大值.试题解析：（1）由三角函数的定义知1cos 2θ=，sin 2θ=()1cos 222f θθθ∴=+=+=； （2）作出平面区域M （即三角形区域ABC ），如图所示，其中()1,0A 、()1,1B 、()0,1C ，于是02πθ≤≤，又()cos 2sin 6f πθθθθ⎛⎫∴=+=+⎪⎝⎭，且2663πππθ≤+≤， 当62ππθ+=时，即3πθ=时，()max 23f f πθ⎛⎫==⎪⎝⎭， 当66ππθ+=时，即0θ=时，()()min 01f f θ==.考点：1.三角函数的定义；2.三角函数的最值；3.线性规划 17．设函数()323a f x x bx cx d =+++（其中0a >），且方程()90f x x '-=的两个根分别为1、4.（1）当3a =且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式； （2）若()f x 在(),-∞+∞无极值点，求a 的取值范围.【答案】（1）()32312f x x x x =-+；（2）实数a 的取值范围是[]1,9.【解析】试题分析：（1）先将3a =代入函数()f x 的解析式，利用“曲线()y f x =过原点”先求出d 的值，然后求出二次函数()()9g x f x x '=-的解析式，利用“1、4为二次方程()90f x x '-=的两个根”并结合韦达定理求出b 、c 的值，最终确定函数()f x 的解析式；（2）先利用“1、4为二次方程()90f x x '-=的两个根”并结合韦达定理确定b 、c 与a 的关系，然后求出()f x '，对0a =与0a ≠进行分类讨论，将()f x 在(),-∞+∞无极值点进行转化，对0a =进行检验；当0a ≠时，得到0∆≤，从而求出实数a 的取值范围.试题解析：（1）当3a =时，()32f x x bx cx d =+++，由于曲线()y f x =过原点，则有()00f d ==，()32f x x bx cx ∴=++，()232f x x bx c '∴=++，令()()()29329g x f x x x b x c '=-=+-+，由题意知，1、4是二次函数()g x 的两个零点，由韦达定理得291433b b -+=-⇒=-， 14123cc ⨯=⇒=，()32312f x x x x ∴=-+； （2）()()()2929g x f x x ax b x c '=-=+-+，由于1、4是二次函数()g x 的两个零点，由韦达定理得2914b a -+=-，14ca⨯=， 解得952a b -=，4c a =，()3295432a a f x x x ax d -∴=+++， ()()2954f x ax a x a '∴=+-+，当0a =时，()9f x x '=，令()0f x '=，解得0x =，当0x <时，()0f x '<，当0x >，()0f x '>，此时0x =为函数()f x 的极小值点，不合乎题意；故0a ≠，由于函数()f x 在(),-∞+∞无极值点，则()295440a a a ∆=--⨯⨯≤，即()()9549540a a a a ---+≤，化简得()()9190a a --≤，解得19a ≤≤， 故实数a 的取值范围是[]1,9. 考点：1.导数；2.韦达定理 18．已知函数()()1ln f x a x a R x=-∈. （1）当1a =-时，试确定函数()f x 在其定义域内的单调性； （2）求函数()f x 在(]0,e 上的最小值；（3）试证明：()111 2.718,n e e n N n +*⎛⎫+>=∈ ⎪⎝⎭.【答案】（1）当1a =-时，函数()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞；（2）()()min11,1ln ,aea e ef x a a a a e -⎧≥-⎪⎪=⎨⎪-+-<-⎪⎩；（3）详见解析. 【解析】试题分析：（1）先求出函数()f x 的定义域求出，然后将1a =-代入函数()f x 的解析式，求出导数()f x '，并利用导数求出函数()f x 的减区间与增区间 ；（2）求出()f x '，并求出方程()0f x '=的1x a =-，对a 的符号以及1a-是否在区间(]0,e 内进行分类讨论，结合函数()f x 的单调性确定函数()f x 在(]0,e 上的最小值；（3）利用分析法将不等式111n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭等价转化为11ln 1n n n +>+，然后令1n x n +=，将原不等式等价转化为1ln 1x x+>在()1,+∞，利用（1）中的结论进行证明. 试题解析：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，当1a =-时，()1ln f x x x =+，则()22111x f x x x x-'=-+=， 解不等式()0f x '<，得01x <<；解不等式()0f x '>，得1x >，故函数()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞；（2）()1ln f x a x x =- ，()211a ax f x x x x+'∴=--=-， 当0a ≥时，()0,x e ∀∈，()0f x '<，此时函数()f x 在区间(]0,e 上单调递减， 函数()f x 在x e =处取得最小值，即()()min 11ln ae f x f e a e e e -==-=； 当0a <时，令()10f x x a '=⇒=-， 当1e a -≥时，即当10a e-≤<，()0,x e ∀∈，()0f x '<，此时函数()f x 在区间(]0,e 上单调递减，函数()f x 在x e =处取得最小值，即()()min 11ln ae f x f e a e e e-==-=； 当10e a <-<，即当1a e <-时，当10x a <<-，()0f x '<，当1x e a -<<时，()0f x '>，此时函数()f x 在1x a =-处取得极小值，亦即最小值， 即()()min 11ln ln f x f a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-=---=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 综上所述，()()min 11,1ln ,ae a e e f x a a a a e -⎧≥-⎪⎪=⎨⎪-+-<-⎪⎩；（3）要证不等式111n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭，即证不等式()11ln 11n n ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即证不等式11ln 11n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭， 即证不等式11ln1n n n +>+， 令111n x n n +==+，则12x <≤ 则11n x =-，故原不等式等价于111ln 1111x x x x x ->==-+-， 即不等式1ln 10x x+->在(]1,2上恒成立， 由（1）知，当1a =-时，函数()1ln f x x x =+在区间()1,+∞上单调递增， 即函数()f x 在区间(]1,2上单调递增，故()()11f x f >=， 故有1ln 1x x +>，因此不等式1ln 10x x+->在(]1,2上恒成立，故原不等式得证， 即对任意n N *∈，111n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭.考点：1.利用导数求函数的单调区间；2.函数的最值；3.分析法证明不等式。