北师大版高二数学选修1-1检测题及答案

第一章综合素质检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题是真命题的是( ) A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x <y ，则x 2<y 2[答案] A[解析] 相应选项中的式子为等式或不等式，通过取特殊值判断命题是假命题．当x ＝－1时，B 是假命题；当x ＝y ＝－1时，C 是假命题；当x ＝－2，y ＝－1时，D 是假命题．易知A 是真命题．2．设a ∈R ，则“a >1”是“1a<1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析]a >1⇒1a <1，1a<1⇒/a >1，故选A.3．“若a ⊥α，则a 垂直于α内任一条直线”是( ) A ．全称命题 B ．特称命题 C ．不是命题 D ．假命题[答案] A[解析] 命题中含有全称量词，故为全称命题，且是真命题． 4．“B ＝60°”是“△ABC 三个内角A 、B 、C 成等差数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．充要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 在△ABC 中，若B ＝60°，则A ＋C ＝120°， ∴2B ＝A ＋C ，则A 、B 、C 成等差数列；若三个内角A、B、C成等差，则2B＝A＋C，又A＋B＋C＝180°，∴3B＝180°，B＝60°.5．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]由“m＝2”可知A＝{1,4}，B＝{2,4}，所以可以推得A∩B＝{4}，反之，如果“A∩B＝{4}”可以推得m2＝4，解得m＝2或－2，不能推得m＝2，所以“m＝2”是“A∩B ＝{4}”的充分不必要条件．6．(2014·某某理，5)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是( ) A．p或q B．p且qC．(¬p)且(¬q) D．p或(¬q)[答案] A[解析]取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)知，a·b＝0，b·c＝0，但a·c≠0，∴命题p为假命题；∵a∥b，b∥c，∴∃λ，μ∈R，使a＝λb，b＝μc，∴a＝λμc，∴a∥c，∴命题q是真命题．∴p或q为真命题．7．有下列四个命题①“若b＝3，则b2＝9”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若c≤1，则x2＋2x＋c＝0有实根”；④“若A∪B＝A，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] A[解析]“若b＝3，则b2＝9”的逆命题：“若b2＝9，则b＝3”，假；“全等三角形的面积相等”的否命题是：“不全等的三角形，面积不相等”，假；若c≤1，则方程x2＋2x＋c＝0中，Δ＝4－4c＝4(1－c)≥0，故方程有实根；“若A∪B＝A，则A⊆B”为假，故其逆否命题为假．8．已知实数a >1，命题p ：函数y ＝log 12(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ，命题q ：x 2<1是x <a的充分不必要条件，则( )A ．p 或q 为真命题B ．p 且q 为假命题C ．¬p 且q 为真命题D ．¬p 或¬q 为真命题[答案] A[解析]∵a >1，∴Δ＝4－4a <0，∴x 2＋2x ＋a >0恒成立，∴p 为真命题；由x 2<1得－1<x <1，∴－1<x <1时，x <a 成立，但x <a 时，－1<x <1不一定成立，∴q 为真命题，从而A 正确．9．“a ＝－1”是方程“a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0”表示圆的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 [答案] C[解析] 当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2－2x －1＝0， 即(x －1)2＋y 2＝2表示圆，若a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a ＋2≠02a 2－4a 3>0，解得a ＝－1，故选C.10．已知命题p ：存在x 0∈R ，使mx 20＋1≤1；命题q ：对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0.若p ∨(¬q )为假命题，则实数m 的取值X 围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(0,2]C ．[0,2]D ．R[答案] B[解析] 对于命题p ，由mx 2＋1≤1，得mx 2≤0，若p 为真命题，则m ≤0，若p 为假命题，则m >0；对于命题q ，对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若命题q 为真命题，则m 2－4≤0，即－2≤m ≤2，若命题q 为假命题，则m <－2或m >2.因为p ∨(¬q )为假命题，所以命题p 为假命题且命题q 为真命题，则有⎩⎪⎨⎪⎧m >0－2≤m ≤2，得0<m ≤2.故选B.二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将正确答案填在题中横线上) 11．命题：“在平面直角坐标系中，若直线l 1垂直于直线l 2，则它们的斜率之积为－1”的逆命题为________________________．[答案] 在平面直角坐标系中，若直线l 1与直线l 2的斜率之积为－1，则这两条直线互相垂直12．存在实数x 0，y 0，使得2x 20＋3y 20≤0，用符号“∀”或“∃”可表示为____________，其否定为________________．[答案]∃x 0，y 0∈R,2x 20＋3y 20≤0 ∀x ，y ∈R,2x 2＋3y 2>013．在平面直角坐标系中，点(2m ＋3－m 2，2m －32－m )在第四象限的充要条件是________．[答案] －1<m <32或2<m <3[解析] 点(2m ＋3－m 2，2m －32－m )在第四象限⇔⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋3－m 2>02m －32－m <0⇔－1<m <32或2<m <3.14．给出下列四个命题： ①∀x ∈R ，x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，故x >1；③命题“若a >b >0，且c <0，则c a >c b”的逆否命题是真命题；④“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直”的充分不必要条件． 其中正确的命题为________(只填正确命题的序号)． [答案]①②③[解析]①中，x 2＋2x >4x －3⇔x 2－2x ＋3>0⇔(x －1)2＋2>0，故①正确．②中，显然x ≠1且x >0，若0<x <1，则log 2x <0，log x 2<0，从而log 2x ＋log x 2<0，与已知矛盾，故x >1，故②正确③中，命题“若a >b >0，且c <0，则c a >c b”为真命题，故其逆否命题是真命题，∴③正确． ④“a ＝1”是直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直的充要条件，故④不正确． 15．在下列所示电路图中，闭合开关A 是灯泡B 亮的什么条件：(1)如图①所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的______条件； (2)如图②所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的______条件； (3)如图③所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的______条件； (4)如图④所示，开关A 闭合是灯泡B 亮的______条件． [答案] 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要[解析] (1)A 闭合，B 亮；而B 亮时，A 不一定闭合，故A 是B 的充分不必要条件．(2)A 闭合，B 不一定亮；而B 亮，A 必须闭合，故A 是B 的必要不充分条件．(3)A 闭合，B 亮；而B 亮，A 必闭合，所以A 是B 的充要条件．(4)A 闭合，B 不一定亮；而B 亮，A 不一定闭合，所以A 是B 的既不充分也不必要条件．三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．写出命题“若x 2＋7x －8＝0，则x ＝－8或x ＝1的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．”[答案] 逆命题：若x ＝－8或x ＝1，则x 2＋7x －8＝0. 逆命题为真．否命题：若x 2＋7x －8≠0，则x ≠－8且x ≠1. 否命题为真．逆否命题：若x ≠－8且x ≠1，则x 2＋7x －8≠0. 逆否命题为真．17．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假． (1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； (3)∀x ∈{x |x >0}，x ＋1x≥2；(4)∃x 0∈Z ，log 2x 0>2.[答案] (1)(3)是全称命题，(2)(4)是特称命题，都是真命题[解析] (1)本题隐含了全称量词“所有的”，其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题． (3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，真命题． (4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，真命题． 18．指出下列各题中，p 是q 的什么条件． (1)p ：(x －2)(x －3)＝0，q ：x －2＝0；(2)p ：四边形的对角线相等；q ：四边形是平行四边形．[答案] (1)p 是q 的必要不充分条件 (2)p 是q 的既不充分也不必要条件[解析] (1)p 是q 的必要不充分条件．这是因为：若(x －2)(x －3)＝0，则x －2＝0或x －3＝0，即(x －2)(x －3)＝0⇒/x －2＝0，而由x －2＝0可以推出(x －2)(x －3)＝0.(2)p 是q 的既不充分也不必要条件．这是因为：四边形的对角线相等⇒/四边形为平行四边形；反之，四边形是平行四边形⇒/四边形的对角线相等．19．对于下列命题p ，写出¬p 的命题形式，并判断¬p 命题的真假：(1)p ：91∈(A ∩B )(其中全集U ＝N *，A ＝{x |x 是质数}，B ＝{x |x 是正奇数})； (2)p ：有一个素数是偶数； (3)p ：任意正整数都是质数或合数； (4)p ：一个三角形有且仅有一个外接圆． [答案] (1)(2)(4)¬p 为假命题 (3)¬p 为真命题 [解析] (1)¬p ：91∉A 或91∉B ；假命题． (2)¬p ：所有素数都不是偶数；假命题．(3)¬p ：存在一个正整数不是质数且不是合数；真命题．(4)¬p ：存在一个三角形至少有两个外接圆或没有外接圆；假命题．20．已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若¬p 是¬q 的充分而不必要条件，某某数m 的取值X 围．[答案] [2,4][解析] 由题意p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5. ∴¬p ：x <1或x >5.q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴¬q ：x <m －1或x >m ＋1.又∵¬p 是¬q 的充分而不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥1m ＋1≤5，∴2≤m ≤4.经检验m ＝2，m ＝4适合条件，即实数m 的取值X 围为2≤m ≤4. ∴m 的取值X 围为[2,4]．21．(2014·马某某二中期中)设命题p ：f (x )＝2x －m在区间(1，＋∞)上是减函数；命题q ：x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，且不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意的实数a ∈[－1,1]恒成立，若(¬p )且q 为真，试某某数m 的取值X 围．[答案]m >1[解析] 对命题p ：x －m ≠0，又x ∈(1，＋∞)，故m ≤1， 对命题q ：|x 1－x 2|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝a 2＋8对a ∈[－1,1]有a 2＋8≤3，∴m 2＋5m －3≥3⇒m ≥1或m ≤－6. 若(¬p )且q 为真，则p 假q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m ≥1或m ≤－6，∴m >1.。

选修1－1本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至6页。

考试结束后. 只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。

参考公式：1()x x ααα-'=（α为实数）； (s i n)c o s x x '=；(cos )sin x x '=-； ()x x e e '=；1(ln )x x'=第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 命题“若A B =，则cos cos A B =”的否命题是A. 若A B =，则cos cos A B ≠B. 若cos cos A B =，则A B =C. 若cos cos A B ≠，则A B ≠D. 若A B ≠，则cos cos A B ≠ 2. “直线l 与平面α平行”是“直线l 与平面α内无数条直线都平行”的（ ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分又非必要 3.已知命题p ：23<，q ：23>，对由p 、q 构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“ ⌝p ”形式的命题，给出以下判断：①“p 或q ”为真命题； ②“p 或q ”为假命题； ③“p 且q ”为真命题； ④“p 且q ”为假命题； ⑤“⌝p ”为真命题； ⑥“⌝p ”为假命题. 其中正确的判断是A ．①④⑥ B. ①③⑥ C. ②④⑥ D ．②③⑤ 4.“512απ=”是“221cos sin 2αα-=-”的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分又不必要条件5.若方程22113x y k k +=--表示双曲线，则实数k 的取值范围是 A.1k < B. 13k << C. 3k > D. 1k <或3k >6. 抛物线22y x =的焦点坐标是A. 108（，）B. 104（，） C. 1,08（） D. 1,04（）7.设()sin cos f x x x =，那么()f x '=A ．cos sin x x -B ． cos 2xC ．sin cos x x +D ．cos sin x x - 8. 以下有四种说法，其中正确说法的个数为：（1）“2b ac =”是“b 为a 、c 的等比中项”的充分不必要条件；(2) “a b >”是“22a b >”的充要条件；(3) “A B =”是“tan tan A B =”的充分不必要条件；（4）“a b +是偶数”是“a 、b 都是偶数”的必要不充分条件. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 9.抛物线21,(0)y x a a=->的准线方程是 A. 4ay =B. 4y a =-C. 4a y =-D. 4y a =10.抛物线x y 122=上与焦点的距离等于7的点的横坐标是（ ）A. 6B.5C.4D.3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

高二文科数学周练试题一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分） 1．已知命题 :p x ∀∈R ，sin 1x …，则（ ）A ．:p x ⌝∃∈R, sin 1x …B ．:p x ⌝∀∈R, sin 1x …C ．:p x ⌝∃∈R, sin 1x >D ．:p x ⌝∀∈R, sin 1x > 2．“p ∨q 为真”是“⌝p 为假”的 （ ）A ．充分不必要条件.B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．“220x x +-=”成立的一个充分而不必要条件是（ ）A ．1x =．B ．1x =-．C ．1x =或2x =-．D ．1x =-或2x =4.平面内有一长度为2的线段AB 和一动点P,若满足|PA|+|PB|=8,则|PA|的取值范围是( )A.[1,4];B.[2,6];C.[3,5 ];D. [3,6].5．椭圆x 2m + y 24 = 1 的焦距为2,则m 的值等于（ ）A ．5或3B ．8C ．5D ．35或6．设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分而不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要而不充分条件，那么丁是甲的 （ ） A ．充分不必要条件. B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7．已知P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F 1 、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|P F 1 |=3，则|P F 2|= （ ）A ．7B ．6C ．5D ．3 8．△ABC 一边的两个顶点为B （-3，0），C （3，0）另两边所在直线的斜率之积为λ （λ 为常数），则顶点A 的轨迹不．可能落在下列哪一种曲线上 （ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 9.曲线f(x)=x 3+x －2在P 0点处的切线平行于直线y=4x －1，则P 0点坐标为（ ） A.(1,0); B.(2,8); C.(1,0)和(－1,－4); D.(2,8)和(－1,－4)10.若方程15222=-+-ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是（ ） A.2<k<5 ； B.k>5 ； C.k<2或k>5； D.以上答案均不对11.已知双曲线13622=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上,且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( ) A.563； B.665 ； C.56 ； D.6512、一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A 、7米/秒B 、6米/秒C 、5米/秒D 、8米/秒二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分）13．抛物线y x =2的焦点到准线的距离为______________.14．命题“若a =1, 则a 2=1”的逆命题是______________.15．设21,F F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足02190=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是____________________16．若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，线段21F F 被抛物线bxy 22=的焦点F 分成5﹕3的两段，则此椭圆的离心率为 .三、解答题 17、（本小题满分12分）设命题:p “方程012=++mx x 有两个实数根”，命题:q “方程244(2)10x m x +-+=无实根”，若p q ∧为假，q ⌝为假，求实数m 的取值范围．18、已知双曲线与椭圆2216439x y +=共焦点，且以x y 34±=为渐近线，求双曲线的标准方程和离心率19、（本小题满分12分） 已知函数2()ln f x x x x =+ （Ⅰ）、求这个函数的导数()f x ' （Ⅱ）、求这个函数在1x =处的切线方程20、抛物线C 的顶点在原点，焦点F 与双曲线16322=-y x 的右焦点重合，过点P （2，0）且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点。

模块综合检测(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线x2＝－8y的焦点坐标是()A．(0,2)B．(0，－2)C．(0,4) D．(0，－4)解析：由定义可得焦点坐标为(0，－2)．答案：B2．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的()A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题解析：设p为“若A，则B”，则r为“若非A，则非B”，s为“若非B，则非A”，即s为p的逆否命题．答案：A3．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由m>n>0可以得方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，反之亦成立．答案：C4．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)解析：f′(x)＝e x＋(x－3)e x＝e x(x－2)，由f′(x)>0，得x>2.∴f(x)在(2，＋∞)上是增加的．答案：D5．(2011·安徽高考)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A．所有不能被2整除的整数都是偶数B ．所有能被2整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数 解析：否定原命题结论的同时要把量词做相应改变，故选D. 答案：D 6．若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a 等于( ) A ．2B. 3C.32 D ．1解析：∵c 2＝a 2＋3，∴c 2a 2＝a 2＋3a2＝4，得a ＝1. 答案：D7．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( )A ．0≤a ≤21B ．a ＝0或a ＝7C ．a <0或a >21D ．a ＝0或a ＝21解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，当Δ＝4a 2－84a ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数不存在极值点．答案：A8．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 解析：双曲线x 24－y 212＝－1，即y 212－x 24＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．所以对椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1而言，a 2＝16，c 2＝12.∴b 2＝4，因此方程为y 216＋x 24＝1. 答案：D[]9.已知函数y ＝xf ′(x )的图像如右图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图像中，y ＝f (x )的图像大致是( )解析：x >0时，f ′(x )在(0,1)上有f ′(x )<0，[]在(1，＋∞)上有f ′(x )>0；且x ＝1处f (x )取极小值．x <0时，f ′(x )在(－1,0)上有f ′(x )<0，在(－∞，－1)上有f ′(x )>0且x ＝－1处f (x )取极大值，即函数f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上增加，在(－1,1)上减少，选项C 符合题意． 答案：C10．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：a >0时，F ⎝⎛⎭⎫a 4，0，直线l 方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4， 令x ＝0得y ＝－a 2. ∴S △OAF ＝12·a 4·|－a 2|＝4.解得a ＝8.同理a <0时，得a ＝－8.∴抛物线方程为y 2＝±8x .答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)11．命题：任意x ∈R ，使x 2＋x ＋7>0的否定为________．解析：全称命题的否定为特称命题，即存在x ∈R ，使x 2＋x ＋7≤0.答案：存在x ∈R ，使x 2＋x ＋7≤012．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．解析：f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，当x <－1或x >11时，f ′(x )>0，f (x )增加；当－1<x <11时，f ′(x )<0，f (x )减少．答案：(－1,11)13．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则曲线f (x )＝x ln x 在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为________．解析：∵f ′(x )＝ln x ＋1，f ′(x 0)＝2，∴ln x 0＋1＝2，x 0＝e ，f (x 0)＝e.则切线方程为y －e ＝2(x －e )，即2x －y －e ＝0.答案：2x －y －e ＝014．(2011·北京高考)曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a ＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2. 其中，所有正确结论的序号是________．解析：因为原点O 到两个定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离的积是1，而a ＞1，所以曲线C 不过原点，即①错误；因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以|PF 1||PF 2|＝a 2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝12a 2，即面积不大于12a 2，所以③正确． 答案：②③三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知p ：方程x 22m －y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，q ：双曲线y 25－x 2m＝1的离心率e ∈(1,2)，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．解：p ：0<2m <1－m ⇒0<m <13， q ：1<5＋m 5<2⇒0<m <15， p 且q 为假，p 或q 为真⇒p 假q 真，或p 真q 假．p 假q 真⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤0或m ≥130<m <15⇒13≤m <15， q 假p 真⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<m <13m ≤0或m ≥15⇒m ∈∅. 综上可知m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫13，15. 16．(本小题满分12分)椭圆和双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，它们有相同的焦点(－5,0)，(5,0)，且它们的离心率都可以使方程2x 2＋4(2e －1)x ＋4e 2－1＝0有相等的实根，求椭圆和双曲线的方程．解：由题意得Δ＝16(2e －1)2－4×2×(4e 2－1)＝0，即4e 2－8e ＋3＝0，解得e ＝32或e ＝12. 当e ＝12时，曲线为椭圆，c ＝5，e ＝c a ＝12， 则a ＝2c ＝10，b 2＝a 2－c 2＝100－25＝75，所以椭圆的方程为x 2100＋y 275＝1. 当e ＝32时，曲线为双曲线，c ＝5，e ＝c a ＝32， 则a ＝23c ＝103，b 2＝c 2－a 2＝25－1009＝1259， 所以双曲线的方程为9x 2100－9y 2125＝1. 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋2bx 在x ＝1处有极小值－1.(1)求a 、b 的值；(2)求出函数f (x )的单调区间．解：(1)因为f (x )＝x 3－3ax 2＋2bx ，所以f ′(x )＝3x 2－6ax ＋2b ，因为f (x )在x ＝1处有极小值－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0f (1)＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 3－6a ＋2b ＝01－3a ＋2b ＝－1⇒⎩⎨⎧ a ＝13，b ＝－12.(2)解方程f ′(x )＝0，得x 1＝－13，x 2＝1， 所以，当x <－13或x >1时，f ′(x )>0； 当－13<x <1时，f ′(x )<0. 综上，f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－13和(1，＋∞)；f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－13，1. 18．(本小题满分14分)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，O 为坐标原点，点P ⎝⎛⎭⎫－1，22在椭圆上，且1PF ·12F F ＝0，⊙O 是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并且与椭圆交于不同的两点A ，B . (1)求椭圆的标准方程；(2)当OA ·OB ＝23，求k 的值． 解：(1)依题意，可知PF 1⊥F 1F 2，∴c ＝1，1a 2＋12b2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O ：x 2＋y 2＝1相切， 则|m |k 2＋1＝1，即m 2＝k 2＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∴Δ>0⇒k 2>0⇒k ≠0，x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2， x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2， ∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2＝1－k 21＋2k 2， OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝1＋k 21＋2k 2＝23，∴k ＝±1.。

选修－模块综合测试(一)(时间分钟满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．若命题：∀∈＋>，则¬是( )．∀∈＋≤．∃∈＋>．∃∈＋<．∃∈＋≤解析：¬：∃∈＋≤.答案：．不等式－>成立的一个充分不必要条件是( ). －<<或>. <－或<<. >－. >解析：本题主要考查充要条件的概念、简单的不等式的解法．画出直线＝与双曲线＝的图像，两图像的交点为()、(－，－)，依图知－>⇔－<<或>(*)，显然>⇒(*)；但(*)>，故选.答案：．[·西安模拟]命题“若>，则＋>”的逆否命题是( )．若＋≤，则>．若＋<，则>．若＋≤，则≤．若＋<，则<解析：“若>，则＋>”的逆否命题为“若＋≤，则≤”，故选.答案：．[·山东省日照一中模考]下列命题中，为真命题的是( ). ∀∈，－－>. ∀α，β∈，(α＋β)<α＋β. 函数＝(＋)的图像的一条对称轴是＝π. 若“∃∈，－＋≤”为假命题，则的取值范围为(－)解析：本题主要考查命题的判定及其相关知识的理解．因为－－＝(－)－，所以错误；当α＝β＝时，有(α＋β)＝α＋β，所以错误；当＝时，＝，故错误；因为“∃∈，－＋≤”为假命题，所以“∀∈，－＋>”为真命题，即Δ<，即－<，解得－<<，即的取值范围为(－)．故选.答案：．已知△的顶点、在椭圆＋＝上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则△的周长是( )．．．．解析：设椭圆的另一焦点为，由椭圆的定义知＋＝，且＋＝，所以△的周长＝＋＋＝＋＋＋＝.答案：．过点(，－)与双曲线－＝有公共渐近线的双曲线方程为( )－＝－＝－＝－＝解析：与双曲线－＝有公共渐近线方程的双曲线方程可设为－＝λ，由过点(，－)，可解得λ＝－.所以所求的双曲线方程为－＝.答案：．若双曲线－＝(>，>)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线离心率的取值范围是()．<<．>．<<．>解析：由题意，以原点及右焦点为端点的线段的垂直平分线必与右支交于两个点，故>，∴>.答案：．已知二次函数()＝＋＋的导数为′()，′()>，对于任意实数都有()≥，则的最小值为( )....解析：′()＝＋，∵′()>，∴>.∵()≥，∴>，－≤，即≤.∴>.∴＝＝＋≥＋≥，即所求的最小值为.答案：．[·山东高考]已知>>，椭圆的方程为＋＝，双曲线的方程为－＝，与的离心率之积为，则的渐近线方程为( )。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1综合学习与测试(一)一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分)1．以下四个命题，判断正确的是( )(1)原命题：若一个自然数的末位数字为零，则这个自然数能被5整除．(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则这个自然数的末位数字为零．(3)否命题：若一个自然数的末位数字不为零，则这个自然数不能被5整除．(4)逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则这个自然数末位数字不为零．A.(1)与(3)为真，(2)与(4)为假B.(1)与(2)为真，(3)与(4)为假C.(1)与(4)为真，(2)与(3)为假D.(1)与(4)为假，(2)与(3)为真2．若a，b∈R,且a2+b2≠0，则(1)a、b全为零；(2)a、b不全为零；(3)a、b全不为零；(4)a、b至少有一个不为零，其中真命题的个数为( )A.0B. 1C.2D.33．设命题p：已知a、b为实数，若a+b是无理数．则a是无理数或b是无理数．则下列结论中正确的是( )A.p为真命题B．p的逆命题为真命题C.p 的否命题为真命题D. p 的逆否命题为假命题4．抛物线2y x =的焦点坐标是（ ）A ．()1,0B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ． 1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭5.若抛物线22(0)y px p =>上横坐标为6的点到焦点的距离等于8，则焦点到准线的距离是（ ）A ．6B ．2C ．8D ．46. 对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“b a =”是“bc ac =”充要条件；②“5+a 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件③“a>b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件.其中真命题的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 7．若椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是（ ）A ．4B ．194C ．94D ．148.下列命题是真命题的是 ( )A “a(a-b)≤0”是“b a≥1”的必要条件 B “x ∈{1，2}”是“1-x =0”的充分条件C “A ∩B ≠φ”是“A ⊂B ”的充分条件D “x>5”是“x>2”的必要条件9.抛物线28x y =-的准线方程是 （ ） A 132x = B.y ＝2 C.14x = D.y=4 10.双曲线229436x y -=-的渐近线方程是（ ） A 23y x =± B.32y x =± C.94y x =± D.49y x =± 二,填空题:(每小题5分,共20分)11．命题: 若a 、b 都是偶数，则a+b 是偶数. 其逆否命题为_______________.12．下列命题: ①5≥5 ②5>1且1<2 ③3>4或3<4 ④. x,y ∈R. “若x 2+y 2=0，则x,y 全为0”的否命题 ⑤“全等三角形是相似三角形”的逆命题 ⑥若ac 2>bc 2，则a>b. 其中假命题的序号是_______________.13．当a+b=10, c=25时的椭圆的标准方程是.14．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ’，则线段PP ’的中点M 的轨迹方程为.三、解答题：15．（本小题满分5分）求经过点P（―3，27）和Q（―62，―7）且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程。

选修1－1 模块综合测试(二)(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知命题p ：∀x ∈R ，x ≥1，那么命题¬p 为( ) A ．∀x ∈R ，x ≤1 B ．∃x ∈R ，x <1 C ．∀x ∈R ，x ≤－1D ．∃x ∈R ，x <－1解析：全称命题的否定是特称命题． 答案：B2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个相同的焦点F ，且该点到双曲线的渐近线的距离为1，则该双曲线的方程为( )A. x 2－y 2＝2B. x 23－y 2＝1C. x 2－y 2＝3D. x 2－y 23＝1 解析：本题主要考查双曲线与抛物线的有关知识．由已知，a 2＋b 2＝4 ①，焦点F (2,0)到双曲线的一条渐近线bx －ay ＝0的距离为|2b |a 2＋b 2＝1 ②，由①②解得a 2＝3，b 2＝1，故选B.答案：B3．已知命题p ，q ，如果命题“¬p ”与命题“p ∨q ”均为真命题，那么下列结论正确的是( )A ．p ，q 均为真命题B ．p ，q 均为假命题C ．p 为真命题，q 为假命题D ．p 为假命题，q 为真命题解析：命题“¬p ”为真，所以命题p 为假命题．又命题“p ∨q ”也为真命题，所以命题q 为真命题．答案：D4．[2014·福建高考]直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件解析：若k ＝1，则直线l ：y ＝x ＋1与圆相交于(0,1)，(－1，0)两点，所以△OAB 的面积S △OAB ＝12×1×1＝12，所以“k ＝1”⇒“△OAB 的面积为12”；若△OAB 的面积为12，则k ＝±1，所以“△OAB 的面积为12”D ⇒/“k ＝1”，所以“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分而不必要条件，故选A.答案：A5．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( ) A. e 2 B. e C. ln22D. ln2解析：f ′(x )＝x ′·ln x ＋x ·(ln x )′＝ln x ＋1， ∴f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2，∴ln x 0＝1，∴x 0＝e. 答案：B6．若直线y ＝x ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，则|AB →|等于( )A.43B.423C.83D.823解析：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1，得3x 2＋4x ＝0，解得A (0,1)，B (－43，－13)，所以|AB →|＝(－43－0)2＋(－13－1)2＝423. 答案：B7．若函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )>0，f ′(x )>0，那么下列关于函数y ＝xf (x )的说法正确的是( )A. 存在极大值B. 存在极小值C. 是减少的D. 是增加的解析：y′＝f(x)＋xf′(x)，∵x∈(0，＋∞)，且f(x)>0，f′(x)>0，∴y′>0，即函数y＝xf(x)在(0，＋∞)上是增加的．答案：D8．下列四个结论中正确的个数为()①命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x>1或x<－1，则x2>1”；②已知p：∀x∈R，sin x≤1，q：若a<b，则am2<bm2，则p∧q为真命题；③命题“∃x∈R，x2－x>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”；④“x>2”是“x2>4”的必要不充分条件．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：只有③中结论正确．答案：B9．如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图像，则x21＋x22等于()A. 23 B.43C. 83 D. 4解析：由图像可知，函数f(x)的图像过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，∴f(x)＝x(x－1)(x－2)＝x3－3x2＋2x.∴f′(x)＝3x2－6x＋2.∵x1，x2是极值点，∴x1，x2是方程f′(x)＝3x2－6x＋2＝0的两根．∵x1＋x2＝2，x1x2＝23.∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝83.答案：C10. 把函数f(x)＝x3－3x的图像c1向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图像c2.若对任意u>0，曲线c1与c2至多有一个交点，则v的最小值为()A. 2B. 4C. 6D. 8解析：f ′(x )＝3x 2－3. 令f ′(x )>0，得x >1或x <－1.x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋ f (x )2－2由此根据图像c 1可得v min ＝4.答案：B11．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为3的直线交抛物线于A 、B 两点，则||FA |－|FB ||的值为( )A. 83B. 163C. 833D. 823解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及抛物线的有关性质．直线AB 的方程为y ＝3(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝3(x －1)得3x 2－10x ＋3＝0，故x 1＝3，x 2＝13，所以||FA |－|FB ||＝|x 1－x 2|＝83.故选A.答案：A12．[2012·浙江高考]如图，F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则双曲线C 的离心率是( )A. 233B.62C. 2D. 3解析：本题主要考查双曲线离心率的求解．结合图形的特征，通过PQ 的中点，利用线线垂直的性质进行求解．不妨设c ＝1，则直线PQ ：y ＝bx ＋b ，双曲线C 的两条渐近线为y ＝±b a x ，因此有交点P (－a a ＋1，b a ＋1)，Q (a 1－a ，b 1－a )，设PQ 的中点为N ，则点N 的坐标为(a 21－a 2，b 1－a 2)，因为线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的坐标为(3,0)，因此有k MN ＝b1－a 2－0a 21－a 2－3＝－1b ，所以3－4a 2＝b 2＝1－a 2，所以a 2＝23，所以e ＝62.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0”的否定是__________．解析：特称命题的否定是全称命题，故原命题的否定是∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0. 答案：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>014．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与方向向量为k ＝(6,6)的直线交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(4,1)，则该双曲线的渐近线方程是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2－y 21b 2＝1且x 22a 2－y 22b 2＝1得：y 2－y 1x 2－x 1＝b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝4b 2a 2，又k ＝1，∴4b 2a 2＝1即：b a ＝±12.即双曲线的渐近线方程为：y ＝±12x .答案：y ＝±12x15．函数f (x )＝ax 4－4ax 3＋b (a >0)，x ∈[1,4]，f (x )的最大值为3，最小值为－6，则a ＋b ＝________.解析：f ′(x )＝4ax 3－12ax 2.令f ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)，或x ＝3. 所以f (x )的最小值为f (3)＝b －27a . 又f (1)＝b －3a ，f (4)＝b ， ∴f (4)为最大值，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，b －27a ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝3，∴a ＋b ＝103.答案：10316. [2014·湖北省襄阳五中月考]已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题：①若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；②若a 2－b >0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；③当x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2；④当a 2－b ≤0时，f (x )有最小值b －a 2.其中正确命题的序号是________．解析：本题考查含绝对值的二次函数单调区间和最小值问题的求解．由题意知f (x )＝|x 2－2ax ＋b |＝|(x －a )2＋b －a 2|.若a 2－b ≤0，则f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2，可知f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数，所以①正确，②错误；只有在a 2－b ≤0的条件下，才有x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2，所以③错误，④正确．答案：①④三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)(1)设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，则“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的什么条件？(2)求使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件． 解：(1)x ∈R ，x ∈(M ∩P )⇔x ∈(2,3)． 因为“x ∈M 或x ∈P ”x ∈(M ∩P )． 但x ∈(M ∩P )⇒x ∈M 或x ∈P .故“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的必要不充分条件．(2)当m ≠0时，不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧4m <0Δ＝4m 2＋16m <0⇔－4<m <0.又当m ＝0时，不等式4mx 2－2mx －1<0对x ∈R 恒成立， 故使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件是－4<m ≤0. 18．(12分)[2014·山西忻州联考]设函数f (x )＝x e x －x (a2x ＋1)＋2.(1)若a ＝1，求f (x )的单调区间；(2)当x ≥0时，f (x )≥x 2－x ＋2恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)∵a ＝1，∴f (x )＝x e x －x (12x ＋1)＋2＝x e x －12x 2－x ＋2，∴f ′(x )＝(e x －1)(x ＋1)，∴当－1<x <0时，f ′(x )<0； 当x <－1或x >0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－1,0)上单调递减，在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增． (2)由f (x )≥x 2－x ＋2，得x (e x －a ＋22x )≥0，即要满足e x ≥a ＋22x ，当x ＝0时，显然成立；当x >0时，即e x x ≥a ＋22，记g (x )＝e xx ，则g ′(x )＝e x (x －1)x 2，易知g (x )的最小值为g (1)＝e ，∴a ＋22≤e ，得a ≤2(e －1)．19．(12分)设直线l ：y ＝x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两个不同的点，l 与x 轴相交于点F .(1)证明：a 2＋b 2>1；(2)若F 是椭圆的一个焦点，且AF →＝2FB →，求椭圆的方程．(1)证明：将x ＝y －1代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去x ，整理，得(a 2＋b 2)y 2－2b 2y ＋b 2(1－a 2)＝0.由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得Δ＝4b 4－4b 2(a 2＋b 2)(1－a 2)＝4a 2b 2(a 2＋b 2－1)>0，所以a 2＋b 2>1. (2)解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(a 2＋b 2)y 21－2b 2y 1＋b 2(1－a 2)＝0，① 且(a 2＋b 2)y 22－2b 2y 2＋b 2(1－a 2)＝0.②因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.将y 1＝－2y 2代入①，与②联立，消去y 2，整理得(a 2＋b 2)(a 2－1)＝8b 2.③ 因为F 是椭圆的一个焦点，则有b 2＝a 2－1. 将其代入③式，解得a 2＝92，b 2＝72，所以椭圆的方程为2x 29＋2y 27＝1.20．(12分)已知两点M (－1,0)、N (1,0)，动点P (x ，y )满足|MN →|·|NP →|－MN →·MP →＝0， (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)假设P 1、P 2是轨迹C 上的两个不同点，F (1,0)，λ∈R ，FP 1→＝λFP 2→，求证：1|FP 1→| ＋1|FP 2→|＝1.解：(1)|MN →|＝2，则MP →＝(x ＋1，y )， NP →＝(x －1，y )． 由|MN →||NP →|－MN →·MP →＝0， 则2(x －1)2＋y 2－2(x ＋1)＝0，化简整理得y 2＝4x .(2)由FP 1→＝λ·FP 2→，得F 、P 1、P 2三点共线，设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，斜率存在时，直线P 1P 2的方程为：y ＝k (x －1)． 代入y 2＝4x 得：k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. 则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.∴1|FP 1→| ＋1|FP 2→| ＝1x 1＋1＋1x 2＋1 ＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＝1.当P 1P 2垂直x 轴时，结论照样成立．21．(12分)[2014·吉林长春调研]已知函数f (x )＝(3x 2－6x ＋6)e x －x 3. (1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若x 1≠x 2，满足f (x 1)＝f (x 2)，求证：x 1＋x 2<0. 解：(1)∵f ′(x )＝3x 2e x －3x 2＝3x 2(e x －1)， ∴当x >0时，f ′(x )>0；当x <0时，f ′(x )<0.则f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)． ∴f (x )在x ＝0处取得极小值f (0)＝6，无极大值． (2)f (x 1)＝f (x 2)且x 1≠x 2，由(1)可知x 1，x 2异号． 不妨设x 1<0，x 2>0，则－x 1>0.令g (x )＝f (x )－f (－x )＝(3x 2－6x ＋6)e x －(3x 2＋6x ＋6)·e －x －2x 3， 则g ′(x )＝3x 2e x ＋3x 2e －x －6x 2＝3x 2(e x ＋e －x －2)≥0， ∴g (x )在R 上是增函数． 又g (x 1)＝f (x 1)－f (－x 1)<g (0)＝0， ∴f (x 2)＝f (x 1)<f (－x 1)，又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴x 2<－x 1，即x 1＋x 2<0.22．(12分)[2014·四川高考]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，求F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)；②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．解：(1)由已知可得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4，解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)①由(1)可得，F 的坐标是(－2,0)，设T 点的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率k TF＝m －0－3－(－2)＝－m . 当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m ，直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y 22＝1，消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0， 其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 所以y 1＋y 2＝4mm 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.所以PQ 的中点M 的坐标为(－6m 2＋3，2mm 2＋3)，所以直线OM 的斜率k OM ＝－m3.又直线OT 的斜率k OT ＝－m3，所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ .②由①可得， |TF |＝m 2＋1，|PQ |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(m 2＋1)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2] ＝(m 2＋1)[(4mm 2＋3)2－4·－2m 2＋3]＝24(m 2＋1)m 2＋3.所以|TF ||PQ |＝124·(m 2＋3)2m 2＋1＝124·(m 2＋1＋4m 2＋1＋4)≥124·(4＋4)＝33. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1即m ＝±1时，等号成立，此时⎪⎪⎪⎪TF PQ 取得最小值． 所以当⎪⎪⎪⎪TF PQ 最小时，T 点的坐标是(－3,1)或(－3，－1)．。

高二数学选修1-1圆锥曲线方程检测题姓名：_________班级：________ 得分：________一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、设定点()10,3F -，()20,3F ，动点(),P x y 满足条件a PF PF =+21(a＞)0，则动点P 的轨迹是（ ）.A. 椭圆B. 线段C. 不存在D.椭圆或线段或不存在2、抛物线21y x m = 的焦点坐标为（ ） . A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛0,41m B ． 10,4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ． ,04m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．0,4m ⎛⎫⎪⎝⎭3、双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为（ ）. A ．14-B ．4-C ．4D ．144、设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y=±x 21，则该双曲线的离心率e 为（ ） （A ）5 （B ）5 （C ）25 （D ）45 5、线段∣AB ∣=4，∣PA ∣+∣PB ∣=6，M 是AB 的中点，当P 点在同一平面内运动时，PM 的长度的最小值是（ ） （A ）2 （B ）2（C ）5（D ）56、若椭圆13222=++y m x 的焦点在x 轴上，且离心率e=21，则m 的值为（ ）（A ）2（B ）2 （C ）－2（D ）±27、过原点的直线l 与双曲线42x －32y =－1有两个交点，则直线l 的斜率的取值范围是 A.(－23，23) B.(－∞,－23)∪(23,+∞) C.［－23,23］ D.(－∞,－23］∪［23,+∞)8、如图，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，P 是侧面BB1C1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C1D1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）. A.直线B. 抛物线C.双曲线D. 圆9、已知椭圆x 2sin α－y 2cos α=1（0＜α＜2π）的焦点在x 轴上，则α的取值范围是（ ）（A ）（43π，π） （B ）（4π，43π） （C ）（2π，π） （D ）（2π，43π）10、 F 1、F 2是双曲线116922=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∣P F 1∣·∣P F 2∣=32，则∠F 1PF 2是（ ）（A ） 钝角 （B ）直角 （C ）锐角 （D ）以上都有可能BA 1C 111、与椭圆1251622=+y x 共焦点，且过点（－2，10）的双曲线方程为（ ）（A ）14522=-x y （B ）14522=-y x （C ）13522=-x y （D ）13522=-y x12．若点 到点 的距离比它到直线 的距离小1，则 点的轨迹方程是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13、已知双曲线的渐近线方程为y=±34x，则此双曲线的离心率为________.14．在抛物线 上有一点 ，它到焦点的距离是20，则 点的坐标是_________．15．抛物线上的一点到 轴的距离为12，则与焦点间的距离=______．.16、椭圆具有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A 、B 是它的焦点,长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A 的小球(小球的半径忽略不计)从点A 沿直线出发,经椭圆壁反射后第一次回到点A 时,小球经过的路程是_____________.三、解答题：本大题共6小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分15分)椭圆短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆长轴端点的最短距离为3，求此椭圆的标准方程。

学业分层测评(十七)(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1．一物体运动的路程s与时间t之间的关系为s＝2t，则该物体()A．做匀加速运动B．做匀减速运动C．做匀速运动D．处于静止状态【解析】∵s′＝2，∴物体做匀速运动．【答案】 C2．圆的面积S是半径r的函数S(r)＝πr2，那么在r＝3时，面积的变化率是()A．6 B．9C．9π D．6π【解析】面积S在r＝3时的变化率即为S′(3)＝2π×3＝6π.【答案】 D3．一次降雨过程中，降雨量y是时间t的函数，用y＝f(t)表示，则f′(10)表示()【导学号：63470087】A．t＝10时的降雨强度B．t＝10时的降雨量C．t＝10时的时间D．t＝10时的温度【解析】f′(t)表示t时刻的降雨强度．【答案】 A4．从时刻t＝0开始的t s内，通过某导体的电量(单位：C)可由公式q＝2t2＋t表示，则第3 s时电流强度为()A．10 C/s B．11 C/s C．12 C/s D．13 C/s【解析】∵q′＝4t＋1，∴q′|t＝3＝13，即第3 s时的电流强度为13 C/s.【答案】 D5．人在吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的速度()A．越来越慢B．越来越快C．先慢后快D．先快后慢【解析】∵气球半径与体积的关系式为r(V)＝33V4π，r′(V)＝334π·13·13V2随着V的增加，r′(V)越来越小．【答案】 A二、填空题6．某人拉动一物体前行，他所做的功W是时间t的函数W＝W(t)，则W′(t0)表示________．【解析】因为功率是功关于时间的导数，故W′(t0)表示t＝t0时的功率．【答案】t＝t0时的功率7．某物体的运动速度与时间的关系为v(t)＝2t2－1，则t＝2时的加速度为________．【解析】v'(t)＝4t，∴v′(2)＝8.【答案】88．某收音机制造厂的管理者通过对上午上班工人工作效率的研究表明：一个中等技术水平的工人，从8：00开始工作，t小时后可装配晶体管收音机的台数为Q(t)＝－t3＋9t2＋12t，则Q′(2)＝________，它的实际意义是________．【解析】Q′(t)＝－3t2＋18t＋12，Q′(2)＝36台/小时．【答案】36台/小时10：00时，工人装配晶体管收音机的速度为36台/小时三、解答题9．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(时间：s)间的关系式为h(t)＝－4t2＋7t＋16.(1)求t从2 s到3 s时，高度关于时间t的平均变化率；(2)求h′(2)，h′(3)，并解释它们的实际意义．【解】(1)∵h(2)＝14，h(3)＝1，∴t从2 s到3 s时，h关于t的平均变化率为h(3)－h(2)3－2＝1－141＝－13(m/s)．(2)∵h′(t)＝－8t＋7，∴h′(2)＝－9 m/s，h′(3)＝－17 m/s.h′(2)和h′(3)分别表示t＝2 s和t＝3 s时，运动员每秒向下运动的高度为9 m和17 m.10．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝120t＋5＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)．(1)从t ＝0 min 到t ＝10 min ，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t ＝0 min 到t ＝10 min ，蜥蜴的体温下降的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？(3)求T ′(5)，并解释它的实际意义．【解】 (1)∵T (10)－T (0)＝12010＋5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫1205＋15＝－16(℃)， ∴从t ＝0 min 到t ＝10 min ，蜥蜴的体温下降了16 ℃.(2)从t ＝0 min 到t ＝10 min ，蜥蜴体温下降的平均变化率是：T (10)－T (0)10＝－1610＝－1.6(℃/min)，它表示从t ＝0 min 到t ＝10 min 这段时间内，蜥蜴体温平均每分钟下降1.6 ℃.(3)∵T ′(t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120t ＋5＋15′＝－120(t ＋5)2， ∴T ′(5)＝－120102＝－1.2(℃/min)．它表示t ＝5 min 时，蜥蜴体温的下降速度为1.2 ℃/min.能力提升]1．设一辆汽车在公路上做加速直线运动，已知速度v (单位：m/s)与时间t (单位：s)的函数关系为v ＝v (t )＝t 3＋2t ，则t ＝t 0时汽车的加速度为( )A ．t 30＋2t 0B ．3t 30＋2t 0C ．3t 20＋2D ．t 30＋2【解析】 v ′(t )＝3t 2＋2，当t ＝t 0时，速度的变化率v ′(t 0)＝3t 20＋2(m/s 2)，则t ＝t 0时，汽车的加速度为(3t 20＋2)m/s 2.【答案】 C2．如图4-2-1所示，设有定圆C 和定点O ，当l 从l 0开始在平面上绕O 匀速旋转(旋转角度不超过90 °)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，则函数的图像大致是( )图4-2-1【解析】由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快．选项A表示面积的增速是常数，与实际不符；选项B表示最后时段面积的增速较快，与实际不符；选项C表示开始和最后时段面积的增速比中间时段面积的增速快，与实际不符；选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快，符合实际．【答案】 D3．一物体按规律s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若物体在t＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s，则常数a＝________.【导学号：63470088】【解析】∵s′(t)＝2at，∴物体在t＝2 s时的瞬时速度为4a，即4a＝8，∴a＝2.【答案】 24．某食品厂生产某种食品的总成本C(单位：元)和总收入R(单元：元)都是日产量x(单位：kg)的函数，分别为C(x)＝100＋2x＋0.02x2，R(x)＝7x＋0.01x2，试求边际利润函数，以及当日产量分别为200 kg,250 kg,300 kg时的边际利润，并说明其经济意义．【解】(1)根据定义知，总利润函数为L(x)＝R(x)－C(x)＝5x－100－0.01x2.所以边际利润函数为L′(x)＝5－0.02x.(2)当日产量分别为200 kg,250 kg,300 kg时，边际利润分别为L′(200)＝1(元)，L′(250)＝0(元)，L′(300)＝－1(元)．其经济意义是：当日产量为200 kg时，再增加1 kg，则总利润可增加1元；当日产量为250 kg时，再增加1 kg，则总利润无增加；当日产量为300 kg时，再增加1 kg，则总利润反而减少1元．由此可得：当企业的某一产品的生产量超过了边际利润的零点时，反而会使企业“无利可图”．。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1 章末综合测评(三) 变化率与导数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若y＝5x，则y′＝( )A.15x4B．155x4C.5x43D．15x x【解析】y＝x 15，则y′＝15x-45＝155x4.【答案】 B2．某质点沿直线运动的位移方程为f(x)＝－2x2＋1，那么该质点从x＝1到x＝2的平均速度为( )A．－4 B．－5C．－6 D．－7【解析】v＝f(2)－f(1)2－1＝－2×22＋1－(－2×12＋1)2－1＝－6.【答案】 C3．如果物体做S(t)＝2(1－t)2的直线运动，则其在t ＝4 s 时的瞬时速度为( )A ．12B ．－12C ．4D ．－4【解析】 S(t)＝2(1－t)2＝2t 2－4t ＋2，则S ′(t)＝4t －4，所以S ′(4)＝4×4－4＝12.【答案】 A4．曲线y ＝e x 在点A(0,1)处的切线斜率为( ) A ．1 B ．2 C ．eD ．1e【解析】 由题意知y ′＝e x ，故所求切线斜率k ＝e x |x ＝0＝e 0＝1. 【答案】 A5．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1B ．12C ．－2D ．2【解析】 ∵y ′＝－sin 2x －(1＋cos x )cos x sin 2x ＝－1－cos xsin 2x ，又f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝－1，∴1a ＝－1，∴a ＝－1，故选A. 【答案】 A6．(2016·淮北高二检测)若曲线y ＝f(x)＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b)处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1【解析】 y ′＝2x ＋a ，∴f ′(0)＝a ＝1，∴y ＝x 2＋x ＋b ，又点(0，b)在切线上，故－b ＋1＝0， ∴b ＝1. 【答案】 A7．若函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图像的顶点在第四象限，则函数f ′(x)的图像是( )【解析】 f ′(x)＝2x ＋b ，因为f(x)顶点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－b 2，4c －b 24在第四象限．所以b<0，则f ′(x)图像与y 轴交于负半轴．【答案】 A 8．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，π2B ．⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4，π D ．⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤π2，3π4【解析】 y ′＝3x 2－1≥－1，则tan α≥－1. ∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4，π.【答案】 B9．抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 在点(1,2)处的切线与其平行直线bx ＋y ＋c ＝0间的距离是( )A.24B ．22C.322D ． 2【解析】 ∵抛物线过点(1,2)，∴b ＋c ＝1.又∵f ′(1)＝2＋b ，由题意得2＋b ＝－b ，∴b ＝－1，c ＝2. ∴所求的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0，∴两平行直线x －y ＋1＝0和x －y －2＝0间的距离d ＝|1＋2|2＝322.【答案】 C 10．设函数f(x)＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]【解析】 ∵f ′(x)＝x 2sin θ＋3xcos θ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π3因为θ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，5π12，所以θ＋π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π3∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22，1，故f ′(1)∈[2，2]．【答案】 D11．过点(－1,0)作抛物线y ＝x 2＋x ＋1的切线，则其中一条切线为( ) A ．2x ＋y ＋2＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0【解析】 y ′＝2x ＋1，设所求切线的切点为(x 0，x 20＋x 0＋1)． 则x 20＋x 0＋1x 0＋1＝2x 0＋1，∴x 0＝0或x 0＝－2.当x 0＝0时，曲线y ＝x 2＋x ＋1在点(0,1)处的切线斜率为1，方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.当x 0＝－2时，切线方程为3x ＋y ＋3＝0.【答案】 D12．点P 是曲线x 2－y －2ln x ＝0上任意一点，则点P 到直线4x ＋4y ＋1＝0的最短距离是( )A.22(1－ln 2)B ．22(1＋ln 2)C.22⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋ln 2 D ．12(1＋ln 2)【解析】 将直线4x ＋4y ＋1＝0平移后得直线l ：4x ＋4y ＋b ＝0，使直线l 与曲线切于点P(x 0，y 0)，由x 2－y －2lnx ＝0得y ′＝2x －1x，∴直线l 的斜率k ＝2x 0－1x 0＝－1解得x 0＝12或x 0＝－1(舍去)，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，14＋ln 2， 所求的最短距离即为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，14＋ln 2到直线4x ＋4y ＋1＝0的距离d ＝|2＋(1＋4ln 2)＋1|42＝22(1＋ln 2)． 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)13．若y ＝－3cot x ，则y ′＝________.【导学号：63470074】【解析】 y ′＝－3(cot x)′＝－3·－1sin 2x ＝3sin 2x .【答案】3sin 2x14．下列四个命题中，正确命题的序号为________． ①若f(x)＝x ，则f ′(0)＝0；②(log a x)′＝xln a ；③加速度是质点的位移s对时间t 的导数；④曲线y ＝x 2在点(0,0)处有切线．【解析】 ①因为f ′(x)＝12x，当x 趋近于0时平均变化率不存在极限，所以函数f(x)在x ＝0处不存在导数，故错误；②(log a x)′＝1xln a ，故错误；③瞬时速度是位移s 对时间t 的导数，故错误；④曲线y ＝x 2在点(0,0)处的切线方程为y ＝0，故正确．【答案】 ④15．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝x 3＋2的一条切线，则k 的值为________． 【解析】 设切点为M(x 0，y 0)，则y 0＝x 30＋2， ① y 0＝kx 0，② ∵y ′＝3x 2，∴k ＝3x 20， ③ 将③代入②得y 0＝3x 30， ④将④代入①得x 0＝1， ∴y 0＝3，代入②得k ＝3. 【答案】 316．(2016·临沂高二检测)设函数f(x)的导数为f ′(x)，且f(x)＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＝________.【解析】 因为f(x)＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2sin x ＋cos x ，所以f ′(x)＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2cos x －sin x ，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2cos π2－sin π2.即f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝－1，所以f(x)＝－sin x ＋cos x ，故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－2.【答案】 －2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝t －1t 2＋2t 2(路程单位：m ，时间单位：s)，求s ′(3)，并解释它的实际意义.【导学号：63470075】【解】 ∵s(t)＝t －1t 2＋2t 2＝tt 2－1t 2＋2t 2＝1t －1t 2＋2t 2， ∴s ′(t)＝－1t 2＋2·1t 3＋4t ， ∴s ′(3)＝－19＋227＋12＝32327，即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为32327m/s.18．(本小题满分12分)求过曲线y ＝cos x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，12且与过这点的切线垂直的直线方程．【解】 ∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x. 曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3，12处的切线斜率是y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为23.∴所求直线方程为y －12＝23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π3. 19．(本小题满分12分)求满足下列条件的函数f(x)．(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0； (2)f(x)是二次函数，且x 2f ′(x)－(2x －1)f(x)＝1. 【解】 (1)由题意设f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a ≠0)， 则f ′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c.由已知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝d ＝3，f ′(0)＝c ＝0，f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝－3，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝0，解得a ＝1，b ＝－3，c ＝0，d ＝3. 故f(x)＝x 3－3x 2＋3.(2)由题意设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，则f ′(x)＝2ax ＋b.所以x 2(2ax ＋b)－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c)＝1， 化简得(a －b)x 2＋(b －2c)x ＋c ＝1，此式对任意x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ，b ＝2c ，c ＝1，得a ＝2，b ＝2，c ＝1，即f(x)＝2x 2＋2x ＋1.20．(本小题满分12分)已知两曲线f(x)＝x 3＋ax 和g(x)＝x 2＋bx ＋c 都经过点P(1,2)，且在点P 处有公切线，试求a ，b ，c 的值．【解】 ∵点P(1,2)在曲线f(x)＝x 3＋ax 上， ∴2＝1＋a ，∴a ＝1，函数f(x)＝x 3＋ax 和g(x)＝x 2＋bx ＋c 的导数分别为f ′(x)＝3x 2＋a 和g ′(x)＝2x ＋b ，且在点P 处有公切线，∴3×12＋a ＝2×1＋b ，得b ＝2，又由点P(1,2)在曲线g(x)＝x 2＋bx ＋c 上可得2＝12＋2×1＋c ，得c ＝－1. 综上，a ＝1，b ＝2，c ＝－1.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x 在x ＝14处的切线为l ，直线g(x)＝kx ＋94与l 平行，求f(x)的图像上的点到直线g(x)的最短距离．【解】 因为f(x)＝x ，所以f ′(x)＝12x.所以切线l 的斜率为k ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14＝1， 切点为T ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，12. 所以切线l 的方程为x －y ＋14＝0. 因为切线l 与直线g(x)＝kx ＋94平行， 所以k ＝1，即g(x)＝x ＋94. f(x)的图像上的点到直线g(x)＝x ＋94的最短距离为切线l ：x －y ＋14＝0与直线x －y ＋94＝0之间的距离， 所以所求最短距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪94－142＝ 2.22．(本小题满分12分)已知直线l 1为曲线f(x)＝x 2＋x －2在点P(1,0)处的切线，l 2为曲线的另一条切线，且l 2⊥l 1.(1)求直线l 2的方程；(2)求直线l 1，l 2与x 轴所围成的三角形的面积S.【解】 (1)设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，由题意可知k 1＝f ′(1)＝3，故直线l 1的方程为y ＝3x －3，由l 1⊥l 2，可知直线l 2的斜率为－13，设l 2与曲线相切于点Q(x 0，y 0)，则k 2＝f ′(x 0)＝－13， 解得x 0＝－23，代入曲线方程解得y 0＝－209， 故直线l 2的方程为y ＋209＝－13⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋23，化简得到3x ＋9y ＋22＝0. (2)直线l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－223，0， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －3＝0，3x ＋9y ＋22＝0解得两直线交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16，－52， 故所求三角形的面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－223－1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52＝12512.。