高考数学总复习 8-6 抛物线但因为测试 新人教B版

高考数学总复习 10-6 排列与组合(理)但因为测试新人教B版1.(2011·福州三中月考)某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为()A．120B．84C．52D．48[答案] C[解析]间接法：C38－C34＝52种．2．(2011·成都模拟)甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有()A．20种B．30种C．40种D．60种[答案] A[解析]分三类：甲在周一，共有A24种排法；甲在周二，共有A23种排法；甲在周三，共有A22种排法；∴A24＋A23＋A22＝20.3．(2011·沧州模拟)10名同学合影，站成了前排3人，后排7人．现摄影师要从后排7人中抽2个站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为() A．C27A55B．C27A22C．C27A25D．C27A35[答案] C[解析]从后排抽2人的方法种数是C27；前排的排列方法种数是A25，由分步计数原理知不同调整方法种数是C27A25.4．(2011·广东揭阳模拟)一个汽车牌照号码共有五位，某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B、C、D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3、5、6、8、9中选择，其他号码只想在1、3、6、9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有() A．180种B．360种C．720种D．960种[答案] D[解析]按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二位号码有3种选法，其余三位各有4种选法，因此该车主的车牌号码可选的所有可能情况共有A 15·A 13·A 14·A 14·A 14＝960种，故选D.5.(2011·柳州模拟)如图所示的几何体是由一个正三棱锥P －ABC 与正三棱柱ABC －A 1B 1C 1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A 1B 1C 1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有( )A ．24种B ．18种C ．16种D ．12种[答案] D[解析] 先涂三棱锥P －ABC 的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C 13×C 12×C 11C 12＝3×2×1×2＝12种不同的涂法．6．(2011·菏泽模拟)从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A ．3B ．4C ．6D ．8[答案] D[解析] 当公比为2时，等比数列可为1、2、4,2、4、8. 当公比为3时，等比数列可为1、3、9. 当公比为32时，等比数列可为4、6、9.同时，4、2、1,8、4、2,9、3、1和9、6、4也是等比数列，共8个．7．(2011·昆明模拟)将4名新来的同学分配到A 、B 、C 三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A 班，那么不同的分配方案有________．[答案] 24种[解析] 将4名新来的同学分配到A 、B 、C 三个班级中，每个班级至少安排一名学生有C 24A 33种分配方案，其中甲同学分配到A 班共有C 23A 22＋C 13A 22种方案．因此满足条件的不同方案共有C 24A 33－C 23A 22－C 13A 22＝24(种)．8.有6个大小不同的数按如图的形式随机排列，设第一行的数为M1，第二、三行中的最大数分别为M2、M3，则满足M1<M2<M3的所有排列的个数是________．[答案]240[解析]设6个数按从小到大顺序依次为a1、a2、a3、a4、a5、a6.据题设条件知M3＝a6，可依第二行最大数M2分类讨论．①若M2＝a5，有排法C14·C13·A22·A33＝144种．②若M2＝a4，则a5必在第三行有排法C13·C12·A22A33＝72种．③若M2＝a3，则a4、a5都在第三行有排法C12·A22A33＝24种，据条件知M2不能小于a3.∴满足题设条件的所有不同排列的个数为144＋72＋24＝240个．9．在空间直角坐标系O－xyz中有8个点：P1(1,1,1)、P2(－1,1,1)、…、P7(－1，－1，－1)、P8(1，－1，－1)(每个点的横、纵、竖坐标都是1或－1)，以其中4个点为顶点的三棱锥一共有________个(用数字作答)．[答案]58[解析]这8个点构成正方体的8个顶点，此题即转化成以正方体的8个顶点中的4个点为顶点的三棱锥一共有多少个，则共有三棱锥C14C34＋(C24C24－2×4－2)＋C34C14＝58个．[点评]用间接法求解更简便些，从正方体的8个顶点中任取4个，有不同取法C48种，其中这四点共面的(6个对角面、6个表面)共12个，∴这样的三棱锥有C48－12＝58个．10．(2011·苏州调研)某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，求该外商不同的投资方案有多少种？[解析]根据题意分两类，一类：先将3个项目分成两组，一组有1个项目，另一组有2个项目，然后再分配给4个城市中的2个，共有C23A24种方案；另一类1个城市1个项目，即把3个元素排在4个不同位置中的3个，共有A34种方案．由分类加法计数原理可知共有C23A24＋A34＝60(种)方案.11.(2011·广东广州综合测试)将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3个学校，要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为()A．96 B．114C．128 D．136[答案] B[解析]若某一学校的最少人数是1,2,3,4,5，则各有7,5,4,2,1种不同的分组方案．故不同的分配方法种数是(7＋5＋4＋2＋1)A33＝19×6＝114.12．(2011·甘肃兰州高手诊断)某位高三学生要参加高校自主招生考试，现从6所高校中选择3所报考，其中两所学校的考试时间相同．则该学生不同的报名方法种数是() A．12 B．15C．16 D．20[答案] C[解析]若该考生不选择两所考试时间相同的学校，有C34＝4种报名方法；若该考生选择两所考试时间相同的学校之一，有C24C12＝12种报名方法，故共有4＋12＝16种不同的报名方法．13.(2010·天津理)如图，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有()A．288种B．264种C．240种D．168种[答案] B[解析]当涂四色时，先排A、E、D为A34，再从B、F、C三点选一个涂第四种颜色，如B，再F，若F与C同色，则涂C有2种方法，若F与C异色则只有一种方法，故A34A13 (2＋1)＝216种．当涂三色时，先排A、E、D为C34A33，再排B有2种，F、C各为一种，故C34A33×2＝48，故共有216＋48＝264种，故选B.14.(2010·洛阳模拟)一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有()A．6种B．8种C．36种D．48种[答案] D[解析]如图所示，三个区域按参观的先后次序共有A23种参观方法，对于每一种参观次序，每一个植物园都有2类参观路径，∴共有不同参观路线2×2×2×A23＝48种．15．(2010·重庆一中)为配合即将开幕的2010年上海世博会，某大学拟成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队，经过初选，2名男同学，4名女同学成为了候选人，每位候选人当选正式队员的机会是相等的．(1)求当选的4名同学中恰有1名男同学的概率．(2)求当选的4名同学中至少有3名女同学的概率．[解析]从2男4女共6名同学中选取4人，不同选法共有C46＝15种，(1)恰有1名男同学当选的情况有C12·C34＝8种，∴所求概率P＝815.(2)当选的4名同学中至少有3名女同学的情况有C34C12＋C44＝9种，∴所求概率P＝9 15＝35. 16．(2011·深圳模拟)用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？(1)被4整除； (2)比21034大的偶数；(3)左起第二、四位是奇数的偶数．[解析] (1)被4整除的数，其特征应是末两位数是4的倍数，可分为两类：当末两位数是20、40、04时，其排列数为3A 33＝18，当末两位数是12、24、32时，其排列数为3A 12·A 22＝12.故满足条件的五位数共有18＋12＝30(个)．(2)①当末位数字是0时，首位数字可以为2或3或4，满足条件的数共有3×A 33＝18个． ②当末位数字是2时，首位数字可以为3或4，满足条件的数共有2×A 33＝12个． ③当末位数字是4时，首位数字是3的有A 33＝6个，首位数字是2时，有3个，共有9个．综上知，比21034大的偶数共有18＋12＋9＝39个． (3)方法一：可分为两类： 末位数是0，有A 22·A 22＝4(个)； 末位数是2或4，有A 22·A 12＝4(个)；故共有A 22·A 22＋A 22·A 12＝8(个)． 方法二：第二、四位从奇数1,3中取，有A 22个；首位从2,4中取，有A 12个；余下的排在剩下的两位，有A 22个，故共有A 22A 12A 22＝8(个)．1．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A ．85B ．56C ．49D ．28[答案] C[解析] 分两类计算，C 22C 17＋C 12C 27＝49，故选C.2．(2010·安徽芜湖一中)从编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10个球中，任取5个球，则这5个球的编号之和为偶数的概率是( )A.16B.13C.12D.23[答案] C[解析] 从10个球中选5个有C 510种选法，取出的5个球编号之和为偶数的取法有：1偶4奇C 15C 45，3偶2奇C 35C 25，5偶C 55，∴所求概率P ＝C 15C 45＋C 35C 25＋C 55C 510＝12. 10个球的编号5奇5偶，从中任取5个，编号之和为奇数的与编号之和为偶数的一样多，∴P ＝12.3．定义整数集合A 与B 的运算A *B 如下：A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B ，且x ＋y 为偶数}，若A ＝{－1,0,1}，B ＝{1,2,3,4}，则集合A *B 中的元素个数为( )[来源:]A ．12B ．6C ．4D ．2[答案] B[解析] x ＝－1时，y ＝1,3；x ＝0时，y ＝2,4；x ＝1时，y ＝1,3.故选B.4．(2010·全国Ⅱ)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种[答案] B[解析] 先从三个信封中选取一个放数字1,2，有C 13种选法，再从3,4,5,6中选取两个放入一个信封中，则剩下的两个数字在另一个信封中，有放法C 24种，∴共有不同放法，C 13·C 24＝18种．5．(2011·广西桂林调研考试)从9名学生中选出4人参加辨论比赛，其中甲、乙、丙三人至少有两人入选的不同选法的种数为( )A ．36B ．96C ．63D ．51[答案] D[解析] 若甲、乙、丙三人均入选，只需再从其余的6人中任选1人即可，有C 16种选法，若甲、乙、丙三人中只有2人入选，有C 23种方法，然后再从其余的6人中任选2人即可，有C 26种选法，所以一共有C 16＋C 23C 26＝51种选法．6．若三角形的三边长均为正整数，其中一边长为4，另外两边长分别为b 、c ，且满足b ≤4≤c ，则这样的三角形有( )A ．10个B ．14个C ．15个D ．21个[答案] A[解析]当b＝1时，c＝4；当b＝2时，c＝4,5；当b＝3时，c＝4,5,6；当b＝4时，c ＝4,5,6,7.故共有10个这样的三角形．选A.[点评]注意三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．7．(2010·绵阳市模拟)某地为上海“世博会”招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号、2号、…，19号、20号．若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的在另一组．那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是()A．16 B．21C．24 D．90[答案] B[解析]由题意知5号和14号在所选4人中，且在同一组，故再从其余志愿者中选2人，如果5号和14号是编号较大的一组，则另二人只能从编号为1至4号的志愿者中选取，有C24种方法；如果5号和14号是编号较小的一组，则另二人只能从15至20号中选，有C26种选法，∴不同选法共有C24＋C26＝21种．8．身穿兰、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿红色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有()A．48种B．72种C．78种D．84种[答案] A[解析]解法一：两种穿相同颜色衣服的人相邻的排法有A33A22A22＝24种，只有一种穿相同颜色衣服的人相邻的排法有2(A44A22－24)＝48，则穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法有A55－24－48＝48，故选A.解法二：按穿兰衣服的两人站位分有以下6类：对于①②⑤⑥排上穿黄衣服的两人都只有两类方法．第③类中排上穿黄衣服的两人只有一类方法．第④类中排上穿黄衣服的两人有三类方法．对于上述每一类安排方法，五人的不同站法共有A22A22＝4种，∴共有不同排法(4×2＋1＋3)×4＝48种．。

高考数学总复习 8-1 直线的方程与两条直线的位置关系但因为测试 新人教B 版1.(2011·北京海淀模拟)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A. 13B ．－13C ．－32D. 23[答案] B[解析] 设P(x,1)，Q(7，y)， ∵PQ 的中点为(1，－1)，∴⎩⎨⎧x ＋72＝1y ＋12＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－3，∴P(－5,1)，Q(7，－3)，∴直线l 的斜率k PQ ＝－3－17－－5＝－13.2．(文)(2011·湛江市调研)如果直线ax ＋3y ＋1＝0与直线2x ＋2y －3＝0互相垂直，那么a 的值等于( )A ．3B ．－13C ．－3 D.13[答案] C[解析] 由两直线垂直可得2a ＋3×2＝0，所以a ＝－3，故选C.(理)(2011·梅州模拟)已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为( )A ．5B ．4C ．2D ．1[答案] C[解析] 由题意知，a 2b －(a 2＋1)＝0且a≠0， ∴a 2b ＝a 2＋1，∴ab ＝a 2＋1a ＝a ＋1a，∴|ab|＝|a ＋1a |＝|a|＋1|a|≥2.(当且仅当a ＝±1时取“＝”)．3．(文)(2011·辽宁沈阳二中检测)“a ＝2”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线ax ＋2y －2＝0平行”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 两直线平行的充要条件是2a ＝a 2≠－1－2，即两直线平行的充要条件是a ＝±2.故a ＝2是直线2x ＋ay －1＝0与直线ax ＋2y －2＝0平行的充分不必要条件．[点评] 如果适合p 的集合是A ，适合q 的集合是B ，若A 是B 的真子集，则p 是q 的充分不必要条件，若A ＝B ，则p ，q 互为充要条件，若B 是A 的真子集，则p 是q 的必要不充分条件．(理)(2011·东营模拟)已知两条直线l 1：ax ＋by ＋c ＝0，直线l 2：mx ＋ny ＋p ＝0，则an ＝bm 是直线l 1∥l 2的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] l 1∥l 2时，an －bm ＝0，an －bm ＝0时⇒/ l 1∥l 2，故an ＝bm 是直线l 1∥l 2的必要不充分条件．4．(文)(2011·烟台模拟)点P(－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(－2,5) C ．(2，－5) D ．(4，－3) [答案] B[解析] x ＝2－4＝－2，y ＝2－(－3)＝5，故选B.(理)(2011·皖南八校第三次联考)直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －5＝0D ．x ＋2y －5＝0 [答案] C[解析] 由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所以所求直线方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0，选C.[点评] 可由点的对称特征及特值法求解．设所求直线上任一点P(x ，y)，P 关于x ＝1对称的点P 1(2－x ，y)在直线2x －y ＋1＝0上，∴2(2－x)－y ＋1＝0，∴2x ＋y －5＝0.5．已知两直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的位置如下图所示，那么( )A ．b>0，d<0，a<cB ．b>0，d<0，a>cC ．b<0，d>0，a>cD ．b<0，d>0，a<c[答案] C[解析] 由题意知l 1：y ＝－1a x －ba，⎩⎨⎧－1a>0，－ba <0，，∴⎩⎪⎨⎪⎧a<0，b<0.l 2：y ＝－1c x －dc，由上图知⎩⎨⎧－1c>0，－dc >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧c<0，d>0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＋b ＝0，x ＋cy ＋d ＝0，得(a －c)y ＝d －b ，交点在第一象限，所以y ＝d －ba －c >0，因为d －b>0，所以a>c ，故选C.[点评] 由直线的位置提供直线的斜率、在y 轴上的截距和两直线交点的信息，将这些信息用数学表达式表达出来即可解决问题．6．(2011·安徽省示范高中皖北协作区高三联考)若过点P(2,1)的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则这样的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条[答案] C[解析] 设过点P(2,1)的直线方程为x a ＋yb ＝1，则2a ＋1b ＝1，即2b ＋a ＝ab ， 又S ＝12|a||b|＝4，即|ab|＝8，由⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋a ＝ab ，|ab|＝8，解得a 、b 有三组解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝2，⎩⎨⎧ a ＝－4－42b ＝－2＋22或⎩⎨⎧a ＝42－4b ＝－2－22. 所以所求直线共有3条，故选C.7．(2011·宁夏银川一中月考)直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是________．[答案] －2或1[解析] 令x ＝0得y ＝2＋a ，令y ＝0得x ＝a ＋2a ，由条件知2＋a ＝a ＋2a，∴a ＝－2或1.8．(文)设点A(1,0)，B(－1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．[答案] [－2,2][解析] 当直线过A 点时，b ＝2，当直线过B 点时，b ＝－2，∴－2≤b≤2.(理)若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°其中正确答案的序号为________．(写出所有正确答案的序号) [答案] ①⑤[解析] 求得两平行线间的距离为2，则m 与两平行线的夹角都是30°，而两平行线的倾斜角为45°，则m 的倾斜角为75°或15°，故填①⑤.9．(2011·大连模拟)已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是________．[答案] 3[解析] 由已知条件可知线段AB 的中点⎝⎛⎭⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，代入直线方程解得m ＝3.[点评] 还可利用k AB ⊥k l 求解，或AB →为l 的法向量，则AB →∥a ，a ＝(1,2)，或先求AB 中点纵坐标y 0，利用AB 的中点在直线上求出其横坐标x 0再求m.10．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0.试确定m 、n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P(m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝02m －m －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7m ＝1，∴当m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P(1，－1)． (2)l 1∥l 2⇔m 2＝8m ≠n －1，得：m ＝4，n≠－2，或m ＝－4，n≠2. (3)l 1⊥l 2⇔m×2＋8×m ＝0， ∴m ＝0，则l 1：8y ＋n ＝0. 又l 1在y 轴上的截距为－1， 则n ＝8.[点评] 讨论l 1∥l 2时要排除两直线重合的情况．处理l 1⊥l 2时，利用l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0可避免对斜率存在是否的讨论.11.(文)(2011·西安八校联考)已知直线l 的倾斜角为3π4，直线l 1经过点A(3,2)，B(a ，－1)，且直线l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2[答案] B[解析] 依题意知，直线l 的斜率为k ＝tan 3π4＝－1，则直线l 1的斜率为1，于是有2＋13－a ＝1，∴a ＝0，又直线l 2与l 1平行，∴1＝－2b ，∴b ＝－2，∴a ＋b ＝－2，选B.(理)直线l 1：3x －y ＋1＝0，直线l 2过点(1,0)，且l 2的倾斜角是l 1的倾斜角的2倍，则直线l 2的方程为( )A ．y ＝6x ＋1B ．y ＝6(x －1)C ．y ＝34(x －1)D ．y ＝－34(x －1)[答案] D[解析] 设直线l 1的倾斜角为α，则由tanα＝3可求出直线l 2的斜率k ＝tan2α＝2tanα1－tan 2α＝－34，再由l 2过点(1,0)可得直线方程为y ＝－34(x －1)，故选D.[点评] 由l 2过点(1,0)排除A ，由l 1的斜率k 1＝3>1知，其倾斜角大于45°，从而直线l 2的倾斜角大于90°，斜率为负值，排除B 、C ，选D.12．(2011·广州二测)一条光线沿直线2x －y ＋2＝0入射到直线x ＋y －5＝0后反射，则反射光线所在的直线方程为( )A ．2x ＋y －6＝0B ．x －2y ＋7＝0C ．x －y ＋3＝0D ．x ＋2y －9＝0[答案] B[解析] 取直线2x －y ＋2＝0上一点A(0,2)，设点A(0,2)关于直线x ＋y －5＝0对称的点为B(a ，b)，则⎩⎨⎧a 2＋b ＋22－5＝0b －2a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝5，∴B(3,5)．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2＝0x ＋y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝4，∴直线2x －y ＋2＝0与直线x ＋y －5＝0的交点为P(1,4)，∴反射光线在经过点B(3,5)和点P(1,4)的直线上，其直线方程为y －4＝4－51－3(x －1)，整理得x －2y ＋7＝0，故选B.13．(文)若三直线l ：2x ＋3y ＋8＝0，l 2：x －y －1＝0，l 3：x ＋ky ＋k ＋12＝0能围成三角形，则k 不等于( )A.32 B ．－2 C.32和－1 D.32、－1和－12[答案] D[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝02x ＋3y ＋8＝0得交点P(－1，－2)，若P 在直线x ＋ky ＋k ＋12＝0上，则k ＝－12.此时三条直线交于一点； k ＝32时，直线l 1与l 3平行． k ＝－1时，直线l 2与l 3平行，综上知，要使三条直线能围成三角形，应有k≠－12，32和－1.(理)(2011·北京文，8)已知点A(0,2)，B(2,0)．若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] A[解析] 因为|AB|＝22，要使三角形面积是2，则C 点到直线AB 的距离为 2.直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，设C 点所在的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，所以d ＝|m ＋2|2＝2，解得m ＝0或m ＝－4，所以C 点的轨迹为x ＋y ＝0，或x ＋y －4＝0.又因为点C 在函数y ＝x 2的图象上，x ＋y ＝0，和x ＋y －4＝0与y ＝x 2分别有两个交点．故这样的点共有4个．[点评] 可利用点到直线距离公式，转化为方程解的个数的判定．14．(文)已知两条直线l 1：(3＋m)x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m)y ＝8.当m 分别为何值时，l 1与l 2：(1)相交？ (2)平行？ (3)垂直？[解析] (1)当m ＝－5时，显然l 1与l 2相交；当m≠－5时，两直线l 1和l 2的斜率分别为k 1＝－3＋m 4，k 2＝－25＋m，它们在y 轴上的截距分别为 b 1＝5－3m 4，b 2＝85＋m .由k 1≠k 2，得－3＋m 4≠－25＋m ，即m≠－7，且m≠－1.∴当m≠－7，且m≠－1时，l 1与l 2相交．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝k 2，b 1≠b 2，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＋m 4＝－25＋m ，5－3m 4≠85＋m，得m ＝－7.∴当m ＝－7时，l 1与l 2平行．(3)由k 1k 2＝－1，得－3＋m 4·(－25＋m )＝－1，m ＝－133.∴当m ＝－133时，l 1与l 2垂直．(理)(2011·青岛模拟)已知三点A(5，－1)、B(1,1)、C(2，m)，分别求满足下列条件的m值．(1)三点构成直角三角形ABC ； (2)A 、B 、C 三点共线．[解析] (1)若角A 为直角，则A C ⊥AB ， ∴k AC ·k AB ＝－1， 即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7； 若角B 为直角，则AB ⊥BC ， ∴k AB ·k BC ＝－1，即－12·m －12－1＝－1，得m ＝3；若角C 为直角，则AC ⊥BC ， ∴k AC ·k BC ＝－1， 即m ＋1－3·m －12－1＝－1，得m ＝±2， 综上可知，m ＝－7，或m ＝3，或m ＝±2. (2)方法一：∵A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)， ∴k AB ＝－1－15－1＝－12，k AC ＝－1－m 5－2＝－1＋m3，由k AB ＝k AC ，得－12＝－1＋m 3，即m ＝12.∴当m ＝12时，三点A 、B 、C 共线．方法二：∵A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)， ∴AB →＝(－4,2)，AC →＝(－3，m ＋1)， 由AB →＝λAC →，得⎩⎪⎨⎪⎧－4＝－3λ2＝λ m ＋1 ，得λ＝43，m ＝12，∴当m ＝12时，三点A 、B 、C 共线．方法三：∵A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)， ∴|AB|＝25，|BC|＝m 2－2m ＋2，|AC|＝m 2＋2m ＋10.由三点横坐标可知，|BC|＋|AC|＝|AB|， 即m 2－2m ＋2＋m 2＋2m ＋10＝25，m 2＋2m ＋10＝－m 2－2m ＋2＋25，两边平方，得5·m 2－2m ＋2＝3－m ，两边平方，得4m 2－4m ＋1＝0，∴m ＝12，经验证m ＝12符合题意，故m ＝12时，三点A 、B 、C 共线．方法四：点A(5，－1)与B(1,1)确定的直线方程为x ＋2y －3＝0，将C(2，m)的坐标代入得m ＝12，故m ＝12时，三点A 、B 、C 共线．15．(文)(2011·西安模拟)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R)． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程． (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． [解析] (1)令x ＝0，得y ＝a －2. 令y ＝0，得x ＝a －2a ＋1(a≠－1)．由a －2＝a －2a ＋1，解得a ＝2，或a ＝0.∴所求直线l 的方程为3x ＋y ＝0，或x ＋y ＋2＝0. (2)直线l 的方程可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2.∵l 不过第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋1 ≥0，a －2≤0.∴a≤－1.∴a 的取值范围为(－∞，－1]．(理)过点A(3，－1)作直线l 交x 轴于点B ，交直线l 1：y ＝2x 于点C ，若|BC|＝2|AB|，求直线l 的方程．[解析] 当k 不存在时B(3,0)，C(3,6)． 此时|BC|＝6，|AB|＝1，|BC|≠2|AB|，∴直线l 的斜率存在，∴设直线l 的方程为：y ＋1＝k(x －3) 令y ＝0得B(3＋1k，0)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x y ＋1＝k x －3 得C 点横坐标x c ＝1＋3k k －2若|BC|＝2|AB|则|x B －x C |＝2|x A －x B | ∴|1＋3k k －2－1k －3|＝2|1k |∴1＋3k k －2－1k－3＝2k 或1＋3k k －2－1k －3＝－2k解得k ＝－32或k ＝14∴所求直线l 的方程为：3x ＋2y －7＝0或x －4y －7＝0.1．函数y ＝asinx －bcosx 的图象的一条对称轴方程为x ＝π4，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°[答案] D[分析] 由函数的对称轴方程可以得到a 、b 的关系式，进而可求得直线ax －by ＋c ＝0的斜率k ，再由k ＝t anα可求倾斜角α.[解析] 令f(x)＝asinx －bcosx ， ∵f(x)的一条对称轴为x ＝π4，∴f(0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，即－b ＝a ，∴ab＝－1. ∴直线ax －by ＋c ＝0的斜率为－1，倾斜角为135°.2．若三直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，x ＋ky ＋k ＋12＝0相交于一点，则k 的值为( )A ．－2B ．－12C ．2 D. 12[答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝02x ＋3y ＋8＝0得交点P(－1，－2)，P 在直线x ＋ky ＋k ＋12＝0上，∴k ＝－12.3．曲线y ＝k|x|及y ＝x ＋k(k>0)能围成三角形，则k 的取值范围是( ) A ．0<k<1 B ．0<k≤1 C ．k>1 D ．k≥1[答案] C[解析] 数形结合法．在同一坐标系中作出两函数的图象，可见k≤1时围不成三角形，k>1时能围成三角形．4．(2011·山东青岛模拟)已知函数f(x)＝a x (a>0且a≠1)，当x<0时，f(x)>1，方程y ＝ax ＋1a表示的直线是( )[答案] C[解析] ∵x<0时，a x >1，∴0<a<1. 则直线y ＝ax ＋1a的斜率0<a<1，在y 轴上的截距1a>1.故选C.5．设a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 所对边的边长，则直线xsinA ＋ay ＋c ＝0与bx －ysinB ＋sinC ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直[答案] C[解析] 由已知得a≠0，sinB≠0，所以两直线的斜率分别为k 1＝－sinA a ，k 2＝bsinB ，由正弦定理得：k 1·k 2＝－sinA a ·bsinB＝－1，所以两条直线垂直，故选C.6．(2011·深圳二月模拟)设l 1的倾斜角为α，α∈(0，π2)，l 1绕其上一点P 沿逆时针方向旋转α角得直线l 2，l 2的纵截距为－2，l 2绕P 沿逆时针方向旋转π2－α角得直线l 3：x ＋2y －1＝0，则l 1的方程为___ _____．[答案] 2x －y ＋8＝0[解析] 由条件知l 1⊥l 3，∴kl 1＝2，∴tanα＝2， 又l 2的倾斜角为2α，tan2α＝－43，∴l 2：y ＝－43x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－43x －2，x ＋2y －1＝0，得P(－3,2)， 又P 在l 1上，∴l 1：2x －y ＋8＝0.7．(2011·苏北四市二调)已知直线l 1：ax －y ＋2a ＋1＝0和l 2：2x －(a －1)y ＋2＝0(a ∈R)，则l 1⊥l 2的充要条件是a ＝____________.[答案] 13[解析] 两条直线垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0，对于本题而言就是2a ＋(a －1)＝0，解得a ＝13.。

高中数学高考总复习抛物线习题(附参考答案)一、选择题1．(2010·湖北黄冈)若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4[答案] D[解析] 椭圆中，a 2＝6，b 2＝2，∴c ＝a 2－b 2＝2， ∴右焦点(2,0)，由题意知p2＝2，∴p ＝4.2．已知点M 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的一点，F 为抛物线的焦点，若以|MF |为直径作圆，则这个圆与y 轴的关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上三种情形都有可能[答案] B[解析] 如图，由MF 的中点A 作准线l 的垂线AE ，交直线l 于点E ，交y 轴于点B ；由点M 作准线l 的垂线MD ，垂足为D ，交y 轴于点C ，则MD ＝MF ，ON ＝OF ， ∴AB ＝OF ＋CM 2＝ON ＋CM2＝DM 2＝MF 2， ∴这个圆与y 轴相切．3．(2010·山东文)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴y 1＋y 22＝2，∵A 、B 在抛物线y 2＝2px 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ② ①－②得y 12－y 22＝2p (x 1－x 2)，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝p 2，∵k AB ＝1，∴，p ＝2∴抛物线方程为y 2＝4x ，∴准线方程为：x ＝－1，故选B.4．双曲线x 29－y 24＝1的渐近线上一点A 到双曲线的右焦点F 的距离等于2，抛物线y 2＝2px (p >0)过点A ，则该抛物线的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝4xC ．y 2＝41313xD ．y 2＝21313x[答案] C[解析] ∵双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，F 点坐标为(13，0)，设A 点坐标为(x ，y )，则y ＝±23x ，由|AF |＝2⇒(x －13)2＋⎝⎛⎭⎫23x 2＝2⇒x ＝913，y ＝±613，代入y 2＝2px 得p ＝21313，所以抛物线方程为y 2＝41313x ，所以选C.5．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3 C. 5D.92[答案] A[解析] 记抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫12，0，准线是l ，由抛物线的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2)的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点F 的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F 与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于⎝⎛⎭⎫122＋22＝172，选A. 6．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为，则点A 的坐标为( )A ．(2,22)B ．(2，－22)C ．(2，±2)D ．(2，±22)[答案] D[解析] 如图，由题意可得，|OF |＝1，由抛物线定义得，|AF |＝|AM |，∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，∴S △AMFS △AOF ＝12×|AF |×|AM |×sin ∠MAF 12×|OF |×|AF |×sin (π－∠MAF )＝3， ∴|AM |＝3，设A ⎝⎛⎭⎫y 024，y 0，∴y024＋1＝3， 解得y 0＝±22，∴y 024＝2，∴点A 的坐标是(2，±22)，故选D.7．(2010·河北许昌调研)过点P (－3,1)且方向向量为a ＝(2，－5)的光线经直线y ＝－2反射后通过抛物线y 2＝mx ，(m ≠0)的焦点，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝－2xB ．y 2＝－32xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x[答案] D[解析] 设过P (－3,1)，方向向量为a ＝(2，－5)的直线上任一点Q (x ，y )，则PQ →∥a ，∴x ＋32＝y －1－5，∴5x ＋2y ＋13＝0，此直线关于直线y ＝－2对称的直线方程为5x ＋2(－4－y )＋13＝0，即5x －2y ＋5＝0，此直线过抛物线y 2＝mx 的焦点F ⎝⎛⎭⎫m 4，0，∴m ＝－4，故选D.8．已知mn ≠0，则方程是mx 2＋ny 2＝1与mx ＋ny 2＝0在同一坐标系内的图形可能是()[答案] A[解析] 若mn >0，则mx 2＋ny 2＝1应为椭圆，y 2＝－mn x 应开口向左，故排除C 、D ；∴mn <0，此时抛物线y 2＝－mnx 应开口向右，排除B ，选A.9．(2010·山东聊城模考)已知A 、B 为抛物线C ：y 2＝4x 上的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若F A →＝－4FB →，则直线AB 的斜率为( )A ．±23B ．±32C ．±34D ．±43[答案] D[解析] ∵F A →＝－4FB →，∴|F A →|＝4|FB →|，设|BF |＝t ，则|AF |＝4t ，∴|BM |＝|AA 1|－|BB 1|＝|AF |－|BF |＝3t ，又|AB |＝|AF |＋|BF |＝5t ，∴|AM |＝4t ，∴tan ∠ABM ＝43，由对称性可知，这样的直线AB 有两条，其斜率为±43.10．已知抛物线C 的方程为x 2＝12y ，过点A (0，－4)和点B (t,0)的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞ C ．(－∞，－22)∪(22，＋∞) D ．(－∞，－22)∪(2，＋∞) [答案] B[解析] 由题意知方程组⎩⎨⎧x 2＝12y ①x t ＋y－4＝1 ②无实数解由②得y ＝4xt －4，代入①整理得，2x 2－4x t ＋4＝0，∴Δ＝16t 2－32<0，∴t >22或t <－22，故选B. [点评] 可用数形结合法求解，设过点A (0，－4)与抛物线x 2＝12y 相切的直线与抛物线切点为M (x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)， ∵过A 点，∴－4－2x 02＝4x 0(0－x 0)， ∴x 0＝±2，∴y 0＝4，∴切线方程为y －4＝±42x －8， 令y ＝0得x ＝±22，即t ＝±22，由图形易知直线与抛物线无公共点时，t <－22或t >22. 二、填空题11．已知点A (2,0)、B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·BP →取得最小值时的点P 的坐标是______．[答案] (0,0)[解析] 设P ⎝⎛⎭⎫－y 24，y ，则AP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－2，y ，BP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－4，y ，AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫－y24－2⎝⎛⎭⎫－y 24－4＋y 2＝y 416＋52y 2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)．12．(文)(2010·泰安市模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，交抛物线于A 、B 两点，且|F A |＝3，则抛物线的方程是________．[答案] y 2＝3x[解析] 设抛物线准线为l ，作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，FQ ⊥l ，垂足分别为A 1、B 1、Q ，作BM ⊥AA 1垂足为M ，BM 交FQ 于N ，则由条件易知∠ABM ＝30°，设|BF |＝t ，则|NF |＝t 2，|MA |＝t ＋32，∵|AM |＝|QN |，∴3－t ＋32＝p －t 2，∴p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .(理)(2010·泰安质检)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程是________．[答案] y 2＝3x[解析] 解法1：过A 、B 作准线垂线，垂足分别为A 1，B 1，则|AA 1|＝3，|BB 1|＝|BF |，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴|AC |＝2|AA 1|＝2|AF |＝6，∴|CF |＝3，∴p ＝12|CF |＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .解法2：由抛物线定义，|BF |等于B 到准线的距离，由|BC |＝2|BF |得∠BCB 1＝30°，又|AF |＝3，从而A ⎝⎛⎭⎫p 2＋32，332在抛物线上，代入抛物线方程y 2＝2px ，解得p ＝32.点评：还可以由|BC |＝2|BF |得出∠BCB 1＝30°，从而求得A 点的横坐标为|OF |＋12|AF |＝p2＋32或3－p 2，∴p 2＋32＝3－p 2，∴p ＝32. 13．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A 、B 两点．设|F A |>|FB |，则|F A |与|FB |的比值等于________．[答案] 3＋2 2[解析] 分别由A 和B 向准线作垂线，垂足分别为A 1，B 1，则由条件知， ⎩⎪⎨⎪⎧|AA 1|＋|BB 1|＝|AB |，|AA 1|－|BB 1|＝22|AB |，解得⎩⎪⎨⎪⎧|AA 1|＝2＋24|AB ||BB 1|＝2－24|AB |，∴|AA 1||BB 1|＝3＋22，即|F A ||FB |＝3＋2 2. 14．(文)若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p ＝________.[答案] 2[解析] 设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2px 1y 22＝2px 2，两式相减得，y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝2，∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.(理)(2010·衡水市模考)设抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，经过点P (2,1)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝________.[答案] 8[解析] 过A 、B 、P 作准线的垂线AA 1、BB 1与PP 1，垂足A 1、B 1、P 1，则|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1|＝2|PP 1|＝2[1－(－3)]＝8.三、解答题15．(文)若椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率等于32，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点在椭圆C 1的顶点上．(1)求抛物线C 2的方程；(2)若过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C 2的切线l 1、l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．[解析] (1)已知椭圆的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2， 由离心率e ＝c a ＝4－b 22＝32得，b 2＝1.∴椭圆的上顶点为(0,1)，即抛物线的焦点为(0,1)， ∴p ＝2，抛物线的方程为x 2＝4y .(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2，当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)x 2＝4y 得：x 2－4kx －4k ＝0， 由Δ＝(－4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0. 又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1. ∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0.(理)在△ABC 中，CA →⊥CB →，OA →＝(0，－2)，点M 在y 轴上且AM →＝12(AB →＋CD →)，点C在x 轴上移动．(1)求B 点的轨迹E 的方程；(2)过点F ⎝⎛⎭⎫0，－14的直线l 交轨迹E 于H 、E 两点，(H 在F 、G 之间)，若FH →＝12HG →，求直线l 的方程．[解析] (1)设B (x ，y )，C (x 0,0)，M (0，y 0)，x 0≠0， ∵CA →⊥CB →，∴∠ACB ＝π2，∴2x 0·y 0－x 0＝－1，于是x 02＝2y 0① M 在y 轴上且AM →＝12(AB →＋AC →)，所以M 是BC 的中点，可得 ⎩⎨⎧x 0＋x 2＝0y ＋02＝y，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ②y 0＝y2③ 把②③代入①，得y ＝x 2(x ≠0)，所以，点B 的轨迹E 的方程为y ＝x 2(x ≠0)． (2)点F ⎝⎛⎭⎫0，－14，设满足条件的直线l 方程为： y ＝kx －14，H (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －14y ＝x 2消去y 得，x 2－kx ＋14＝0.Δ＝k 2－1>0⇒k 2>1，∵FH →＝12HG →，即⎝⎛⎭⎫x 1，y 1＋14＝12(x 2－x 1，y 2－y 1)， ∴x 1＝12x 2－12x 1⇒3x 1＝x 2.∵x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝14，∴k ＝±233，故满足条件的直线有两条，方程为：8x ＋43y ＋3＝0和8x －43y －3＝0. 16．(文)已知P (x ，y )为平面上的动点且x ≥0，若P 到y 轴的距离比到点(1,0)的距离小1.(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点M (m,0)的直线交曲线C 于A 、B 两点，问是否存在这样的实数m ，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点．[解析] (1)由题意得：(x －1)2＋y 2－x ＝1，化简得：y 2＝4x (x ≥0)． ∴点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)．(2)设直线AB 为y ＝k (x －m )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －m )y 2＝4x，得ky 2－4y －4km ＝0， ∴y 1＋y 2＝4k ，y 1·y 2＝－4m .∴x 1·x 2＝m 2，∵以线段AB 为直径的圆恒过原点， ∴OA ⊥OB ，∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝0.即m 2－4m ＝0⇒m ＝0或4.当k 不存在时，m ＝0或4. ∴存在m ＝0或4，使得以线段AB 为直径的圆恒过原点．[点评] (1)点P 到定点F (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，即点P 到定点F (1,0)的距离与到定直线l ：x ＝－1的距离相等．∴P 点轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，∴p ＝2，∴方程为y 2＝4x .(理)已知抛物线y 2＝4x ，过点(0，－2)的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点． (1)若OA →·OB →＝4，求直线AB 的方程．(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点(n,0)，求n 的取值范围．[解析] (1)设直线AB 的方程为y ＝kx －2 (k ≠0)，代入y 2＝4x 中得，k 2x 2－(4k ＋4)x ＋4＝0①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ＋4k 2，x 1x 2＝4k 2.y 1y 2＝(kx 1－2)·(kx 2－2)＝k 2x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝－8k.∵OA →·OB →＝(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝4k 2－8k ＝4，∴k 2＋2k －1＝0，解得k ＝－1±2.又由方程①的判别式Δ＝(4k ＋4)2－16k 2＝32k ＋16>0得k >－12，∴k ＝－1＋2，∴直线AB 的方程为(2－1)x －y －2＝0.(2)设线段AB 的中点的坐标为(x 0，y 0)，则由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝2k ＋2k 2，y 0＝kx 0－2＝2k， ∴线段AB 的垂直平分线的方程是 y －2k ＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k ＋2k 2. 令y ＝0，得n ＝2＋2k ＋2k 2＝2k 2＋2k ＋2＝2⎝⎛⎭⎫1k ＋122＋32.又由k >－12且k ≠0得1k <－2，或1k>0，∴n >2⎝⎛⎭⎫0＋122＋32＝2.∴n 的取值范围为(2，＋∞)． 17．(文)(2010·全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点K (－1,0)的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .(1)证明：点F 在直线BD 上；(2)设F A →·FB →＝89，求△BDK 的内切圆M 的方程．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 1，－y 1)，l 的方程为x ＝my －1(m ≠0) (1)将x ＝my －1(m ≠0)代入y 2＝4x 并整理得 y 2－4my ＋4＝0，从而y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4① 直线BD 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)即y －y 2＝4y 2－y 1⎝⎛⎭⎫x －y 224 令y ＝0，得x ＝y 1y 24＝1，所以点F (1,0)在直线BD 上．(2)由(1)知，x 1＋x 2＝(my 1－1)＋(my 2－1)＝4m 2－2， x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝1因为F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，F A →·FB →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4＝8－4m 2，故8－4m 2＝89，解得m ＝±43，精选文档 可编辑修改11 直线l 的方程为3x ＋4y ＋3＝0,3x －4y ＋3＝0.从而y 2－y 1＝±(4m )2－4×4＝±437， 故4y 2－y 1＝±37因而直线BD 的方程为3x ＋7y －3＝0,3x －7y －3＝0.因为KF 为∠BKD 的角平分线，故可设圆心M (t,0)，(－1<t <1)，M (t,0)到直线l 及BD 的距离分别为3|t ＋1|5，3|t －1|4， 由3|t ＋1|5＝3|t －1|4得t ＝19或t ＝9(舍去)，故圆M 的半径为r ＝3|t ＋1|5＝23， 所以圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －192＋y 2＝49. (理)(2010·揭阳市模考)已知点C (1,0)，点A 、B 是⊙O ：x 2＋y 2＝9上任意两个不同的点，且满足AC →·BC →＝0，设P 为弦AB 的中点．(1)求点P 的轨迹T 的方程；(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：它到直线x ＝－1的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．[解析] (1)法一：连结CP ，由AC →·BC →＝0知，AC ⊥BC ，∴|CP |＝|AP |＝|BP |＝12|AB |， 由垂径定理知|OP |2＋|AP |2＝|OA |2，即|OP |2＋|CP |2＝9，设点P (x ，y )，有(x 2＋y 2)＋[(x －1)2＋y 2]＝9，化简得，x 2－x ＋y 2＝4.精选文档 可编辑修改12法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，根据题意知，x 12＋y 12＝9，x 22＋y 22＝9,2x ＝x 1＋x 2,2y ＝y 1＋y 2，∴4x 2＝x 12＋2x 1x 2＋x 22,4y 2＝y 12＋2y 1y 2＋y 22故4x 2＋4y 2＝(x 12＋y 12)＋(2x 1x 2＋2y 1y 2)＋(x 22＋y 22)＝18＋2(x 1x 2＋y 1y 2)①又∵AC →·BC →＝0，∴(1－x 1，－y 1)·(1－x 2，－y 2)＝0∴(1－x 1)×(1－x 2)＋y 1y 2＝0，故x 1x 2＋y 1y 2＝(x 1＋x 2)－1＝2x －1，代入①式得，4x 2＋4y 2＝18＋2(2x －1)，化简得，x 2－x ＋y 2＝4.(2)根据抛物线的定义，到直线x ＝－1的距离等于到点C (1,0)的距离的点都在抛物线y 2＝2px 上，其中p 2＝1，∴p ＝2，故抛物线方程为y 2＝4x ， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x x 2－x ＋y 2＝4得，x 2＋3x －4＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－4，由于x ≥0，故取x ＝1，此时y ＝±2，故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．。

第1课时 抛物线的几何性质学习目标 1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一 抛物线的几何性质知识点二 焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1．椭圆、双曲线和抛物线都是中心对称图形．( × ) 2．抛物线和双曲线一样，开口大小都与离心率有关．( × ) 3．抛物线只有一条对称轴和一个顶点．( √ ) 4．抛物线的开口大小与焦点到准线的距离有关．( √ )题型一 由抛物线的几何性质求标准方程例1 已知抛物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此抛物线的标准方程．解 由题意，设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，0.直线l ：x ＝m2，所以A ，B 两点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m ， 所以|AB |＝2|m |. 因为△OAB 的面积为4， 所以12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 2·2|m |＝4，所以m ＝±2 2.所以抛物线的标准方程为y 2＝±42x . 引申探究等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2＝2px (p >0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，则△AOB 的面积是( )A ．8p 2B ．4p 2C ．2p 2D ．p 2答案 B解析 因为抛物线的对称轴为x 轴，内接△AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA 与x 轴的夹角为45°.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝2px ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p ，所以点A 的坐标为(2p,2p )，同理可得B (2p ，－2p )， 所以|AB |＝4p ，所以S △AOB ＝12×4p ×2p ＝4p 2.反思感悟 把握三个要点确定抛物线的几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x 还是y ，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p ；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p ；离心率恒等于1.跟踪训练1 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴重合于椭圆x 29＋y 216＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的方程． 解 ∵椭圆x 29＋y 216＝1的短轴所在直线为x 轴，∴抛物线的对称轴为x 轴． 设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)， 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4＝5，∴a ＝±20. ∴抛物线的方程为y 2＝20x 或y 2＝－20x . 题型二 抛物线的焦点弦问题例2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝ 3.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，消去y ，得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5. 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，所以线段AB 的中点M 的横坐标是3. 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.引申探究本例中，若A ，B 在其准线上的射影分别为A 1，B 1，求∠A 1FB 1. 解 由抛物线定义|AA 1|＝|AF |，得∠AA 1F ＝∠AFA 1，又AA 1∥x 轴， ∴∠OFA 1＝∠AA 1F ， ∴∠OFA 1＝∠AFA 1， 同理得∠OFB 1＝∠BFB 1，∴∠A 1FO ＋∠B 1FO ＝90°，即∠A 1FB 1＝90°. 反思感悟 (1)抛物线的焦半径(2)过焦点的弦长的求解方法设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p .然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x 1＋x 2即可． 跟踪训练2 直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为________________．答案 x ＋y －1＝0或x －y －1＝0解析 因为抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)， 若l 与x 轴垂直，则|AB |＝4，不符合题意． 所以可设所求直线l 的方程为y ＝k (x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，则由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.又AB 过焦点，由抛物线的定义可知|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2k 2＋4k 2＋2＝8，即2k 2＋4k2＝6，解得k＝±1.所以所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0或x －y －1＝0.1．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x 轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8x D ．x 2＝8y 或x 2＝－8y 答案 C解析 设抛物线y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，p ＝4.2．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±24B.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±24C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，24 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，24 答案 B解析 由题意知，点P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离，因此点P 在线段OF 的垂直平分线上，而F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，所以P 点的横坐标为18，代入抛物线方程得y ＝±24，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±24，故选B.3．已知过抛物线y 2＝8x 的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB |的值为________． 答案 10解析 由y 2＝8x ，得p ＝4，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由焦点弦公式得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2×x 1＋x 22＋4＝2×3＋4＝10.4．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．符合抛物线方程为y 2＝10x 的条件是________．(要求填写合适条件的序号) 答案 ②⑤解析 由抛物线方程y 2＝10x ，知它的焦点在x 轴上， 所以②符合．又因为它的焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，原点O (0,0)， 设点P (2,1)，可得k PO ·k PF ＝－1，所以⑤也符合． 而①显然不符合，通过计算可知③，④不合题意． 所以应填②⑤.5．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；(2)顶点是双曲线16x 2－9y 2＝144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴． 解 (1)由抛物线标准方程对应的图形易知：顶点到准线的距离为p 2，故p2＝4，p ＝8.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝±16x 或x 2＝±16y .(2)双曲线方程16x 2－9y 2＝144化为标准形式为x 29－y 216＝1，中心为原点，左顶点为(－3,0)，故抛物线顶点在原点，准线为x ＝－3.由题意可设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，可得p2＝3，故p ＝6.因此，所求抛物线的标准方程为y 2＝12x .1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解． 3．设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．一、选择题1．抛物线y ＝ax 2(a <0)的焦点坐标和准线方程分别为( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫14a ，0，x ＝－14aB.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ，0，x ＝14aC.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，y ＝－14a D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14a ，y ＝14a答案 C解析 y ＝ax 2可化为x 2＝1ay ，∴其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a .2．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，点P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( ) A ．18B ．24C ．36D ．48 答案 C解析 由题意知|AB |＝2p ，则S △ABP ＝12×2p ×p ＝p 2，又∵2p ＝12，∴p ＝6，S △ABP ＝62＝36.3．抛物线C 1：y 2＝2x 的焦点为F 1，抛物线C 2：x 2＝12y 的焦点为F 2，则过F 1且与直线F 1F 2垂直的直线l 的方程为( ) A ．2x －y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．4x －y －2＝0 D ．4x －3y －2＝0答案 C解析 由题意知，F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18. 所以直线F 1F 2的斜率为－14，则直线l 的斜率为4.故直线l 的方程为y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12， 即4x －y －2＝0.4．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PQ 中点的横坐标为3，|PQ |＝10，则抛物线方程是( ) A ．y 2＝4x B ．y 2＝2x C ．y 2＝8x D ．y 2＝6x答案 C解析 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 22＝3，即x 1＋x 2＝6.又|PQ |＝x 1＋x 2＋p ＝10， 即p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝8x .5．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，点A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |等于( ) A ．43B ．8C ．83D ．16 答案 B解析 抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2，焦点F (2,0)，设A (－2，y 0)，k AF ＝y 0－0－2－2＝－3，则y 0＝43，∴P (x 0,43)，将P 点坐标代入抛物线方程y 2＝8x ， (43)2＝8x 0，得x 0＝6.由抛物线定义可知|PF |＝|PA |＝x 0＋p 2＝6＋42＝8.6．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |等于( ) A.303B ．6C ．12D ．7 3答案 C解析 设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1，)(x 2，y 2)．∵F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，∴AB 的方程为y －0＝tan30°⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34， 即y ＝33x －34. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝3x ，y ＝33x －34，消去y ，得13x 2－72x ＋316＝0.∴x 1＋x 2＝－－7213＝212，由于|AB |＝x 1＋x 2＋p ， ∴|AB |＝212＋32＝12.7．直线y ＝x ＋b 交抛物线y ＝12x 2于A ，B 两点，O 为抛物线顶点，OA ⊥OB ，则b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 考点 题点 答案 D解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将y ＝x ＋b 代入y ＝12x 2，化简可得x 2－2x －2b ＝0，故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ， 所以y 1y 2＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2. 又OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0， 即－2b ＋b 2＝0，则b ＝2或b ＝0， 经检验当b ＝0时，不符合题意，故b ＝2. 二、填空题8．设抛物线y 2＝16x 上一点P 到对称轴的距离为12，则点P 与焦点F 的距离|PF |＝________. 答案 13解析 设P (x,12)，代入y 2＝16x ，得x ＝9， ∴|PF |＝x ＋p2＝9＋4＝13.9．抛物线y ＝116x 2的焦点与双曲线y 23－x2m ＝1的上焦点重合，则m ＝________.答案 13解析 抛物线y ＝116x 2可化为x 2＝16y ，则其焦点为(0,4)，∴3＋m ＝16，则m ＝13.10．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，|AF |＝3，则|BF |＝________. 答案 32解析 由题意知F (1,0)，且AB 与x 轴不垂直， 则由|AF |＝3，知x A ＝2.设l AB ：y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ， 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 所以x A ·x B ＝1，故x B ＝12，故|BF |＝x B ＋1＝32.11．一个正三角形的顶点都在抛物线y 2＝4x 上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积是________． 答案 48 3解析 设一个顶点为(x,2x )，则tan30°＝2x x ＝33，∴x ＝12.∴S ＝12×12×83＝48 3.三、解答题12．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，求此抛物线的标准方程．解 设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)，A (x 0，y 0)，由题知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2.∵|AF |＝3，∴y 0＋p2＝3.∵|AM |＝17，∴x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋p 22＝17，∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0得 8＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 2，解得p ＝2或p ＝4.∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y . 13．已知抛物线y 2＝2x .(1)设点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA |； (2)在抛物线上求一点P ，使P 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值． 解 (1)设抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )(x ≥0)，则|PA |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋13. ∵x ≥0，且在此区间上函数单调递增，故当x ＝0时，|PA |min ＝23， 故距点A 最近的点P 的坐标为(0,0)．(2)设点P (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点，则P 到直线x －y ＋3＝0的距离为 d ＝|x 0－y 0＋3|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 202－y 0＋32 ＝y 0－2＋5|22，当y 0＝1时，d min ＝522＝524， ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.14．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，点F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞) 答案 C解析 M 到准线的距离大于p ，即y 0＋2＞4，∴y 0＞2.15．设F (1,0)，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →·PF →＝0.(1)当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹C 的方程；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)是曲线C 上除去原点外的不同三点，且|AF →|，|BF →|，|DF →|成等差数列，当线段AD 的垂直平分线与x 轴交于点E (3,0)时，求点B 的坐标．解 (1)设N (x ，y )，由MN →＝2MP →，得点P 为线段MN 的中点，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，M (－x,0)， ∴PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2，PF →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－y 2.由PM →·PF →＝－x ＋y 24＝0，得y 2＝4x . 即点N 的轨迹方程为y 2＝4x .(2)由抛物线的定义，知|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，|DF |＝x 3＋1，∵|AF →|，|BF →|，|DF →|成等差数列，∴2x 2＋2＝x 1＋1＋x 3＋1，即x 2＝x 1＋x 32. ∵线段AD 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 32，y 1＋y 32，且线段AD 的垂直平分线与x 轴交于点E (3,0)， ∴线段AD 的垂直平分线的斜率为k ＝y 1＋y 32－0x 1＋x 32－3. 又k AD ＝y 3－y 1x 3－x 1，∴y 3－y 1x 3－x 1·y 1＋y 3x 1＋x 3－6＝－1， 即4x 3－4x 1x 23－x 21－x 3－x 1＝－1. ∵x 1≠x 3，∴x 1＋x 3＝2，又x 2＝x 1＋x 32，∴x 2＝1.∵点B 在抛物线上，∴B (1,2)或B (1，－2)．。

第六节抛物线命题分析预测学科核心素养从近五年的考查情况来看，抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系是高考的命题热点，常以选择题和填空题的形式出现，直线与抛物线的位置关系常以解答题的形式出现．本节主要考查考生的转化与化归思想的运用，提升考生数学运算、直观想象核心素养．授课提示：对应学生用书第181页知识点一抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：（1）在平面内；（2）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；（3）定点不在定直线上．•温馨提醒•抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．1．抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点P有（）A．0个B．1个C．2个D．4个〖解析〗设P（x1，y1），则|PF|＝x1＋2＝5，y21＝8x1，所以x1＝3，y1＝±26．故满足条件的点P有两个．〖答案〗C2．（易错题）设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是_________．〖解析〗抛物线y2＝8x的准线方程x＝－2，因为点P到y轴的距离为4，所以点P到准线的距离为6，由抛物线定义知点P到焦点的距离为6．〖答案〗6知识点二 抛物线的标准方程和几何性质标准方程y 2＝2px（p >0）y 2＝－2px （p >0）x 2＝2py （p >0）x 2＝－2py （p >0）p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O （0，0）对称轴 x 轴y 轴焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p2 离心率 e ＝1续表准线方程 x ＝－p2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向向右 向左 向上 向下 焦半径（其中P （x 0，y 0）） |PF |＝x 0＋p2|PF |＝－x 0＋p 2|PF |＝y 0＋p2|PF |＝－y 0＋p 2• 温馨提醒 •抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 的弦， 若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则： （1）x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2．（2）弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α（α为弦AB 的倾斜角）．（3）以弦AB 为直径的圆与准线相切．（4）通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p ．1．（易错题）抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为（ ）A ．14B ．－14C ．4D ．－4〖解 析〗由题意知抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，所以准线方程y ＝－14a ＝1，解得a ＝－14．〖答 案〗B2．过点P （－2，3）的抛物线的标准方程是（ ） A ．y 2＝－92x 或x 2＝43yB ．y 2＝92x 或x 2＝43yC ．y 2＝92x 或x 2＝－43yD ．y 2＝－92x 或x 2＝－43y〖解 析〗设抛物线的标准方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P （－2，3），解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y ．〖答 案〗A3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝_________．〖解 析〗抛物线y 2＝4x 的焦点为F （1，0），准线方程为x ＝－1．根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8． 〖答 案〗8授课提示：对应学生用书第182页题型一 抛物线的标准方程及几何性质1．（2021·宜春联考）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，点M 是抛物线C 上一点，圆M 与y 轴相切，且被直线x ＝p 2截得的弦长为2p ，若|MF |＝52，则抛物线的方程为（ ）A ．y 2＝4xB ．y 2＝2xC ．y 2＝8xD ．y 2＝x〖解 析〗设圆M 与y 轴相切于点N ，直线x ＝p2与圆M 交于A ，B 两点，如图所示，设M （x 0，y 0），则|MN |＝|MA |＝|MB |＝x 0，|AB |＝2p ，所以⎝⎛⎭⎫22p 2＋⎝⎛⎭⎫x 0－p 22＝x 20，解得x 0＝34p ，由抛物线的定义知，|MF |＝x 0＋p 2，因为|MF |＝52，所以52＝34p ＋12p ，即p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x ．〖答 案〗A2．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝（ ） A ．72B ．52C ．3D ．2〖解 析〗因为FP →＝4FQ →，所以|PQ ||PF |＝34．如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4，所以|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34．所以|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3．〖答 案〗C3．（2021·辽宁五校联考）抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，N 为准线上一点，M 为y 轴上一点，∠MNF 为直角，若线段MF 的中点E 在抛物线C 上，则△MNF 的面积为（ ） A ．22B ． 2C ．322D ．3 2〖解 析〗如图所示，不妨设点N 在第二象限，连接EN ，易知F （1，0），因为∠MNF 为直角，点E 为线段MF 的中点，所以|EM |＝|EF |＝|EN |，又E 在抛物线C 上，所以EN ⊥l ，E ⎝⎛⎭⎫12，2，所以N （－1，2），M （0，22），所以|NF |＝6，|NM |＝3，所以△MNF 的面积为322．〖答 案〗C4．（2020·高考全国卷Ⅲ）设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（ ） A ．⎝⎛⎭⎫14，0 B ．⎝⎛⎭⎫12，0 C ．（1，0）D ．（2，0）〖解 析〗法一：∵抛物线C 关于x 轴对称，∴D ，E 两点关于x 轴对称．可得出直线x ＝2与抛物线的两交点的坐标分别为（2，2p ），（2，－2p ）．不妨设D （2，2p ），E （2，－2p ），则OD →＝（2，2p ），OE →＝（2，－2p ）．又∵OD ⊥OE ，∴OD →·OE →＝4－4p ＝0，解得p ＝1，∴C 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0．法二：∵抛物线C 关于x 轴对称，∴D ，E 两点关于x 轴对称．∵OD ⊥OE ，∴D ，E 两点横、纵坐标的绝对值相等．不妨设点D （2，2），将点D 的坐标代入C ：y 2＝2px ，得4＝4p ，解得p ＝1，故C 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0． 〖答 案〗B1．求抛物线方程的三个注意点（1）当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种． （2）要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系． （3）要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题． 2．运用抛物线几何性质的技巧涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．题型二 抛物线的定义及应用与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等等．常见的命题角度有：（1）焦点与定点距离之和最小问题；（2）点与准线的距离之和最小问题；（3）焦点弦中距离之和最小问题．〖例1〗 （2021·赣州模拟）若点A 的坐标为（3，2），F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为（ ） A ．（0，0） B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．（1，2）D ．（2，2）〖解析〗 过M 点作准线的垂线，垂足是N （图略），则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M （2，2）． 〖答案〗 D考法（二） 点与准线的距离之和最小问题〖例2〗 （2021·邢台摸底）已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：（x ＋1）2＋（y －5）2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是_________．〖解析〗 依题意，由点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1（图略），则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形可知|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C （－1，5）到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5．〖答案〗 5考法（三） 焦点弦中距离之和最小问题〖例3〗 已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为_________．〖解析〗 由题意知F （1，0），|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值，依抛物线定义知当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2． 〖答案〗 2与抛物线有关的最值问题的两个转化策略（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．〖题组突破〗1．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，则抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是_________．〖解 析〗由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点F 为（1，0），则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值即为焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2．〖答 案〗22．（2021·上海虹口区模拟）已知点M （20，40），抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ．若对于抛物线上的任意点P ，|PM |＋|PF |的最小值为41，则p 的值等于_________．〖解 析〗过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为D ，则|PF |＝|PD |．根据点M 与抛物线的位置分类讨论，当点M （20，40）位于抛物线内时， 如图（1），|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |．当点M ，P ，D 共线时，|PM |＋|PF |的值最小． 由最小值为41，得20＋p2＝41，解得p ＝42．当点M （20，40）位于抛物线外时，如图（2），当点P ，M ，F 共线时，|PM |＋|PF |的值最小． 由最小值为41，得402＋⎝⎛⎭⎫20－p 22＝41，解得p ＝22或58．当p ＝58时，y 2＝116x ，点M （20，40）在抛物线内，故舍去． 综上，p ＝42或22．〖答 案〗42或22题型三 直线与抛物线的位置关系〖例〗 （2019·高考全国卷Ⅲ）已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C的两条切线，切点分别为A ，B ． （1）证明：直线AB 过定点；（2）若以E ⎝⎛⎭⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．〖解析〗 （1）证明：设D ⎝⎛⎭⎫t ，－12，A （x 1，y 1）， 则x 21＝2y 1．因为y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t ＝x 1．整理得2tx 1－2y 1＋1＝0．设B （x 2，y 2），同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0．故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0． 所以直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫0，12． （2）由（1）得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12．由⎩⎨⎧y ＝tx ＋12，y ＝x 22可得x 2－2tx －1＝0．于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1， y 1＋y 2＝t （x 1＋x 2）＋1＝2t 2＋1， |AB |＝1＋t 2|x 1－x 2|＝1＋t 2×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2（t 2＋1）．设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离， 则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1．因此，四边形ADBE 的面积 S ＝12|AB |（d 1＋d 2）＝（t 2＋3）t 2＋1．设M 为线段AB 的中点，则M ⎝⎛⎭⎫t ，t 2＋12． 因为EM →⊥AB →，而EM →＝（t ，t 2－2），AB →与向量（1，t ）平行， 所以t ＋（t 2－2）t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1． 当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝42． 因此，四边形ADBE 的面积为3或42．直线与抛物线相交问题处理规律（1）凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用根与系数的关系，避免求交点坐标的复杂运算．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．（2）对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图像结合几何性质做出解答．并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用． （3）对于抛物线x 2＝2py的切线问题，常结合导数的几何意义求解切线的斜率．由y ＝x 22p得k＝y ′＝x 0p．〖对点训练〗设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．〖解 析〗（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4，于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1．（2）由y ＝x 24，得y ′＝x 2．设M （x 3，y 3），由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M （2，1）．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N （2，2＋m ），|MN |＝|m ＋1|．将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0．当Δ＝16（m ＋1）＞0，即m ＞－1时，x 1，2＝2±2m ＋1．从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42（m ＋1）．由题设知|AB |＝2|MN |，即42（m ＋1）＝2（m ＋1），解得m＝7．所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7．抛物线几何性质应用中的核心素养直观想象——抛物线几何性质的创新应用〖例〗 （2021·合肥调研）设抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，斜率为k 的直线过F 交C 于点A ，B ，AF →＝2FB →，则直线AB 的斜率为（ ） A ．22 B ．2 3 C ．±2 2D ．±2 3〖解析〗 法一：由题意知k ≠0，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，代入抛物线方程消去x ，得y 2－2p ky －p 2＝0．不妨设A （x 1，y 1）（x 1＞0，y 1＞0），B （x 2，y 2），因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2．又y 1y 2＝－p 2，所以y 2＝－22p ，x 2＝p 4，所以k AB ＝－22p －0p 4－p 2＝22．根据对称性可得直线AB 的斜率为±22．法二：如图，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为D ，E ，设直线AB 交准线于M ，由抛物线的定义知|AF |＝|AD |，|BF |＝|BE |，结合AF →＝2FB →，知|BE |＝12|AD |＝13|AB |，则BE 为△AMD 的中位线，所以|AB |＝|BM |，所以|BE |＝13|BM |，所以|ME |＝|BM |2－|BE |2＝22|BE |，所以tan ∠MBE ＝|ME ||BE |＝22，即此时直线AB 的斜率为22，根据对称性可得直线AB 的斜率为±22．〖答案〗 C求解此类问题有两种方法：一是利用条件坐标化解决，注意几何性质的运用；二是数形结合充分利用平面几何性质，结合定义转化求解，注意向量的工具作用．〖对点训练〗（2021·惠州调研）已知F 是抛物线C ：y ＝2x 2的焦点，N 是x 轴上一点，线段FN 与抛物线C相交于点M ，若2FM →＝MN →，则|FN |＝（ ）A ．58B ．12C ．38D ．1 〖解 析〗法一：因为抛物线C ：y ＝2x 2，所以F ⎝⎛⎭⎫0，18，抛物线C 的准线方程为y ＝－18．如图，过点M 作抛物线准线的垂线，交x 轴于点A ，交抛物线C 的准线于点B ，则MA ∥OF ，所以|MA ||OF |＝|MN ||FN |．因为2FM →＝MN →，所以|MA |＝23×18＝112，|MF |＝|MB |＝112＋18＝524，|FN |＝3|FM |＝58．法二：因为抛物线y ＝2x 2，所以F ⎝⎛⎭⎫0，18．设N （x 0，0），则由2FM →＝MN →，可得M ⎝⎛⎭⎫13x 0，112，代入抛物线方程，得112＝2⎝⎛⎭⎫13x 02，解得x 20＝38，则|FN |＝|ON |2＋|OF |2＝ 38＋164＝58． 〖答 案〗A。

8.6 抛物线 【高考新动向】 1．考纲点击（1）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。

（2）理解数形结合的思想。

（3）了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用。

2．热点提示（1）抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，抛物线与直线、椭圆、双曲线的交汇综合题是考查的热点。

（2）多以选择、填空题为主，多为中低档题。

有时也与直线、椭圆、双曲线交汇考查的解答题，此时属中高档题。

【考纲全景透析】 1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。

注：当定点F 在定直线l 时，动点的轨迹是过点F 与直线l 垂直的直线。

标准方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =-> 22(0)x py p =>图 形性 质对称轴 x 轴x 轴y 轴y 轴焦点坐标 (,0)2p F (,0)2p F -(0,)2p F - (0,)2p F 准线方程 2p x =-2p x =2p y =2p y =-焦半径 0||2p PF x =+0||2p PF x =-+0||2p PF y =-+0||2p PF y =+范围 0x ≥0x ≤0y ≤ 0y ≥顶点 (0,0)O(0,0)O离心率e1e = 1e =【热点难点全析】（一）抛物线的定义及应用 ※相关链接※1．抛物线的离心率e =1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距离，这样就可以使问题简单化。

2．焦半径它们在解题中有重要作用，注意灵活运用。

※例题解析※〖例〗已知抛物线C 的对称轴与y 轴平行，顶点到原点的距离为5。

若将抛物线C 向上平移3个单位，则在x 轴上截得的线段长为原抛物线C 在x 轴上截得的线段长的一半；若将抛物线C 向左平移1个单位，则所得抛物线过原点，求抛物线C 的方程。