金老师教育-中考数学总复习：28特殊三角形--知识讲解(附培优提高题练习含答案解析)

专题28解直角三角形（58题）一、单选题1．（2024·吉林长春·中考真题）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A 时，位于海平面R 处的雷达测得点R 到点A 的距离为a 千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL 为（）A ．sin a θ千米B ．sin aθ千米C ．cos a θ千米D ．cos aθ千米2．（2024·天津·2cos451- 的值等于（）A ．0B ．1C ．212-D 213．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在ABC 中，5AB AC ==，4sin 5B =，则BC 的长是（）A ．3B ．6C ．8D ．94．（2024·四川自贡·中考真题）如图，等边ABC 钢架的立柱CD AB ⊥于点D ，AB 长12m ．现将钢架立柱缩短成DE ，60BED ∠=︒．则新钢架减少用钢（）A ．(243m-B ．(243m-C ．(2463m-D ．(243m-5．（2024·四川德阳·中考真题）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD 的高度，在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房AB ，小李同学在小楼房楼底B 处测得C 处的仰角为60︒，在小楼房楼顶A 处测得C 处的仰角为30︒．（AB CD 、在同一平面内，B D 、在同一水平面上），则建筑物CD 的高为（）米A ．20B ．15C ．12D ．10+6．（2024·广东深圳·中考真题）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m 的测量仪EF 测得的仰角为45︒，小军在小明的前面5m 处用高1.5m 的测量仪CD 测得的仰角为53︒，则电子厂AB 的高度为（）（参考数据：sin 5345︒≈，cos5335︒≈，tan 5343︒≈）A ．22.7mB ．22.4mC ．21.2mD ．23.0m7．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，,E F 是边BC 上两点，且BE EF FC ==，连接,,DE AF DE 与AF 相交于点G ，连接BG ．若4AB =，6BC =，则sin GBF ∠的值为（）A ．10B ．10C ．13D ．238．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，菱形ABCD 中，点O 是BD 的中点，AM BC ⊥，垂足为M ，AM 交BD 于点N ，2OM =，8BD =，则MN 的长为（）A 5B 455C 355D 259．（2024·四川乐山·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，1AB =，点P 是BC 边上一个动点，在BC 延长线上找一点Q ，使得点P 和点Q 关于点C 对称，连接DP AQ 、交于点M ．当点P 从B 点运动到C 点时，点M 的运动路径长为（）A ．36B 33C 32D 310．（2024·山东泰安·中考真题）如图，菱形ABCD 中，=60B ∠︒，点E 是AB 边上的点，4AE =，8BE =，点F 是BC 上的一点，EGF △是以点G 为直角顶点，EFG ∠为30︒角的直角三角形，连结AG ．当点F 在直线BC 上运动时，线段AG 的最小值是（）A ．2B ．432-C ．23D ．411．（2024·四川泸州·512-的美感．如图，把黄金矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点B '处，AB '交CD 于点E ，则sin DAE ∠的值为（）A 55B ．12C ．35D 25512．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在正方形ABCD 中，点H 在AD 边上（不与点A 、D 重合），90BHF ∠=︒，HF 交正方形外角的平分线DF 于点F ，连接AC 交BH 于点M ，连接BF 交AC 于点G ，交CD 于点N ，连接BD ．则下列结论：①45HBF ∠=︒；②点G 是BF 的中点；③若点H 是AD 的中点，则sinNBC ∠BN =；⑤若12AH D H =，则112BND AHM S S =△△，其中正确的结论是（）A ．①②③④B ．①③⑤C ．①②④⑤D ．①②③④⑤二、填空题13．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A 测得该楼顶部点C 的仰角为60︒，测得底部点B 的俯角为45︒，点A 与楼BC 的水平距离50m AD =，则这栋楼的高度为m （结果保留根号）．14．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树AB 的高度．如图，点C 处与古树底部A 处在同一水平面上，且10AC =米，无人机从C 处竖直上升到达D 处，测得古树顶部B 的俯角为45︒，古树底部A 的俯角为65︒，则古树AB 的高度约为米（结果精确到0.1米；参考数据：sin 650.906︒≈，cos 650.423︒≈，tan 65 2.145︒≈）．15．（2024·湖北武汉·中考真题）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB 的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m 的C 处，测得黄鹤楼顶端A 的俯角为45︒，底端B 的俯角为63︒，则测得黄鹤楼的高度是m ．（参考数据：tan632︒≈）16．（2024·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，5AD =，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，那么tan ∠=EFC ．17．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面30m 的点P 处，测得教学楼底端点A 的俯角为37︒，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m 至点Q 处，测得教学楼顶端点B 的俯角为45︒，则教学楼AB 的高度约为m ．（精确到1m ，参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈）18．（2024·北京·中考真题）如图，在正方形ABCD 中，点E 在AB 上，AF D E ⊥于点F ，CG DE ⊥于点G ．若5AD =，CG 4=，则AEF △的面积为．19．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD ，OM 为折痕，以点O 为圆心，OM 为半径作弧，分别交AD ，BC 于E ，F 两点，则 EF的长度为（结果保留π）．20．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC 置于平面直角坐标系中，点O 的坐标为(00)，，点B 的坐标为(1)0，，点C 在第一象限，120OBC ∠=︒．将OBC △沿x 轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x 轴重合，第一次滚动后，点O 的对应点为O '，点C 的对应点为C '，OC 与O C ''的交点为1A ，称点1A 为第一个“花朵”的花心，点2A 为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，OBC △滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为．21．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，将AB 沿过点A 的一条直线折叠，折痕交直线BC 于点P （点P 不与点B 重合），点B 的对称点落在矩形对角线所在的直线上，则PC 长为．22．（2024·山东泰安·中考真题）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点P 处测得瞭望台正对岸A 处的俯角为50︒，测得瞭望台顶端C 处的俯角为63.6︒，已知瞭望台BC 高12米（图中点A ，B ，C ，P 在同一平面内），那么大汶河此河段的宽AB 为米．（参考数据：3sin 405︒≈，9sin 63.610︒≈，6tan 505︒≈，tan 63.62︒≈）23．（2024·四川达州·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒．点D 在线段BC 上，45BAD ∠=︒．若4AC =，1CD =，则ABC 的面积是．24．（2024·贵州·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，CD 的中点，连接AE ，AF ．若4sin 5EAF ∠=，5AE =，则AB 的长为．25．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在ABC 中，AB BC =，5tan 12B ∠=，D 为BC 上一点，且满足85BD CD =，过D 作DE AD ⊥交AC 延长线于点E ，则CEAC=．26．（2024·黑龙江绥化·中考真题）在矩形ABCD 中，4cm AB =，8cm BC =，点E 在直线AD 上，且2cm DE =，则点E 到矩形对角线所在直线的距离是cm ．三、解答题27．（2024·内蒙古通辽·0322sin60(π)-+︒--．28．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东37︒方向，距离灯塔100海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45︒方向上的B 处．这时，B 处距离A 处有多远？（参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈）29．（2024·北京·中考真题）计算：()0582sin 302π-︒+-30．（2024·湖南长沙·中考真题）计算：()011(32cos 30π 6.84-+-︒-．31．（2024·广东深圳·中考真题）计算：()112cos 45 3.14124π-⎛⎫-⋅︒+-++ ⎪⎝⎭．32．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）先化简，再求值：22222111m m m m m m ⎛⎫-+÷- ⎪-+⎝⎭，其中cos60m =︒．33．（2024·吉林·中考真题）图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A 处探测到吉塔，此时飞行高度873m AB =，如图②，从直升飞机上看塔尖C 的俯角37EAC ∠=︒，看塔底D 的俯角45EAD ∠=︒，求吉塔的高度CD （结果精确到0.1m ）．（参考数据：sin 370.60︒=，cos370.80︒=，tan 370.75︒=）34．（2024·青海·018tan 452π︒+--．35．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）计算：301tan6032(π2024)2-⎛⎫--+︒-+- ⎪⎝⎭．36．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的D 处，测得操控者A 的俯角为30︒，测得楼BC 楼顶C 处的俯角为45︒，又经过人工测量得到操控者A 和大楼BC 之间的水平距离是80米，则楼BC 的高度是多少米？（点A B C D ，，，都3 1.7≈）37．（2024·内蒙古通辽·中考真题）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C 点测得杨树底端B 点的仰角是30︒，BC 长6米，在距离C 点4米处的D 点测得杨树顶端A 点的仰角为45︒，求杨树AB 的高度（精确到0.1米，AB ，BC ，CD 在同一平面内，点C ，D 在同一水平线上．参考数据：3 1.73)≈．38．（2024·湖南·中考真题）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．活动主题测算某水池中雕塑底座的底面积测量工具皮尺、测角仪、计算器等活动过程模型抽象某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD ，其示意图如下：测绘过程与数据信息①在水池外取一点E ，使得点C ，B ，E 在同一条直线上；②过点E 作GH CE ⊥，并沿EH 方向前进到点F ，用皮尺测得EF 的长为4米；③在点F 处用测角仪测得60.3CFG ∠=︒，45BFG ∠=︒，21.8AFG ∠=︒；④用计算器计算得：sin60.30.87︒≈，cos60.30.50︒≈，tan60.3 1.75︒≈．sin21.80.37︒≈，cos21.80.93︒≈，tan21.80.40︒≈．请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：(1)求线段CE 和BC 的长度：(2)求底座的底面ABCD 的面积．39．（2024·贵州·中考真题）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A 处投射到底部B 处，入射光线与水槽内壁AC 的夹角为A ∠；第二步：向水槽注水，水面上升到AC 的中点E 处时，停止注水．（直线NN '为法线，AO 为入射光线，OD 为折射光线．）【测量数据】如图，点A ，B ，C ，D ，E ，F ，O ，N ，N '在同一平面内，测得20cm AC =，45A ∠=︒，折射角32DON ∠=︒．【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：(1)求BC 的长；(2)求B ，D 之间的距离（结果精确到0.1cm ）．（参考数据：sin 320.52︒≈，cos320.84︒≈，tan 320.62︒≈）40．（2024·河南·中考真题）如图1，塑像AB 在底座BC 上，点D 是人眼所在的位置．当点B 高于人的水平视线DE 时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A ，B 两点的圆与水平视线DE 相切时（如图2），在切点P 处感觉看到的塑像最大，此时APB ∠为最大视角．(1)请仅就图2的情形证明APB ADB ∠>∠．(2)经测量，最大视角APB ∠为30︒，在点P 处看塑像顶部点A 的仰角APE ∠为60︒，点P 到塑像的水平距离PH 为6m ．求塑像AB 的高（结果精确到0.1m 3 1.73≈）．41．（2024·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB 的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点,,C D E 依次在同一条水平直线上，36m,DE EC AB =⊥，垂足为C ．在D 处测得桥塔顶部B 的仰角（CDB ∠）为45︒，测得桥塔底部A 的俯角（CDA ∠）为6︒，又在E 处测得桥塔顶部B 的仰角（CEB ∠）为31︒．(1)求线段CD 的长（结果取整数）；(2)求桥塔AB 的高度（结果取整数）．参考数据：tan310.6,tan60.1︒≈︒≈．42．（2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）(1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA 的长度；(2)如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA '释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA ''，两次位置的高度差PQ h =．根据上述条件能否求出秋千绳索OA 的长度？如果能，请用含α、β和h 的式子表示；如果不能，请说明理由．43．（2024·山东·中考真题）【实践课题】测量湖边观测点A 和湖心岛上鸟类栖息点P 之间的距离【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点B ．测量A ，B 两点间的距离以及∠PAB 和PBA ∠，测量三次取平均值，得到数据：60AB =米，79PAB ∠=︒，64PBA ∠=︒．画出示意图，如图【问题解决】（1）计算A ，P 两点间的距离．（参考数据：sin640.90︒≈，sin790.98︒≈，cos790.19︒≈，sin370.60︒≈，tan370.75︒≈）【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：如图2，选择合适的点D ，E ，F ，使得A ，D ，E 在同一条直线上，且AD DE =，DEF DAP ∠=∠，当F ，D ，P 在同一条直线上时，只需测量EF 即可．（2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号）①解直角三角形②三角形全等【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．44．（2024·北京·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，DB ，CE 交于点F ，DF FB =，AF DC .(1)求证：四边形AFCD 为平行四边形；(2)若90EFB ∠=︒，tan 3FEB ∠=，1EF =，求BC 的长.45．（2024·甘肃临夏·中考真题）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度AB 的实践活动．A 为乾元塔的顶端，AB BC ⊥，点C ，D 在点B 的正东方向，在C 点用高度为1.6米的测角仪（即 1.6CE =米）测得A 点仰角为37︒，向西平移14.5米至点D ，测得A 点仰角为45︒，请根据测量数据，求乾元塔的高度AB ．（结果保留整数，参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈）46．（2024·安徽·中考真题）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B 处发出，经水面点E 折射到池底点A 处．已知BE 与水平线的夹角36.9α=︒，点B 到水面的距离 1.20BC =m ，点A 处水深为1.20m ，到池壁的水平距离 2.50m AD =，点B C D ，，在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为β，折射角为γ，求sin sin βγ的值（精确到0.1，参考数据：sin 36.90.60︒≈，cos36.90.80︒≈，tan 36.90.75︒≈）．47．（2024·浙江·中考真题）如图，在ABC 中，AD BC ⊥，AE 是BC 边上的中线，10,6,tan 1AB AD ACB ==∠=．(1)求BC 的长；(2)求sin DAE ∠的值．48．（2024·甘肃·中考真题）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒AH 垂直于地面，测角仪CD ，EF 在AH 两侧， 1.6m CD EF ==，点C 与点E 相距182m （点C ，H ，E 在同一条直线上），在D 处测得简尖顶点A 的仰角为45︒，在F 处测得筒尖顶点A 的仰角为53︒．求风电塔筒AH 的高度．（参考数据：sin 5345︒≈，cos5335︒≈，tan 5343︒≈．）49．（2024·河北·中考真题）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P 恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离4m BQ =，仰角为α；淇淇向前走了3m 后到达点D ，透过点P 恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ 的距离 1.6m ==AB CD ，点P 到BQ 的距离 2.6m PQ =，AC 的延长线交PQ 于点E ．（注：图中所有点均在同一平面）(1)求β的大小及tan α的值；(2)求CP 的长及sin APC ∠的值．50．（2024·四川广元·中考真题）计算：()2012024π32tan 602-⎛⎫-++︒- ⎪⎝⎭．51．（2024·四川广元·中考真题）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值sin sin αβ叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．(1)若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且7cos 4α=30β=︒，求该介质的折射率；(2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A ，B ，C ，D 分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形2121A D D A 对角线交点O 处射入，其折射光线恰好从点C 处射出．如图②，已知60α=︒，10cm CD =，求截面ABCD 的面积．52．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼AB 的高度”的实践活动．教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）．(1)请你设计测量教学楼AB 的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标记在所画的图形上（测出的距离用,m n 等表示，测出的角用,αβ等表示），并对设计进行说明；(2)根据你测量的数据，计算教学楼AB 的高度（用字母表示）．53．（2024·甘肃·中考真题）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知O 和圆上一点M ．作法如下：①以点M 为圆心，OM 长为半径，作弧交O 于A ，B 两点；②延长MO 交O 于点C ；即点A ，B ，C 将O 的圆周三等分．(1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将O 的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）；(2)根据（1）画出的图形，连接AB ，AC ，BC ，若O 的半径为2cm ，则ABC 的周长为______cm ．54．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，某数学活动小组用高度为1.5米的测角仪BC ，对垂直于地面CD 的建筑物AD 的高度进行测量，BC CD ⊥于点C ．在B 处测得A 的仰角=45ABE ∠︒，然后将测角仪向建筑物方向水平移动6米至FG 处，FG CD ⊥于点G ，测得A 的仰角58AFE ∠=︒，BF 的延长线交AD 于点E ，求建筑物AD 的高度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin580.85,cos580.53,tan58 1.60︒≈︒≈︒≈）55．（2024·广东·中考真题）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN 充电站的平面示意图，矩形ABCD 是其中一个停车位．经测量，60ABQ ∠=︒， 5.4m AB =， 1.6m CE =，GH CD ⊥，GH 是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1m 3 1.73≈）(1)求PQ 的长；(2)该充电站有20个停车位，求PN 的长．56．（2024·广东广州·中考真题）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A 点垂直下降到B 点，再垂直下降到着陆点C ，从B 点测得地面D 点的俯角为36.87︒，17AD =米，10BD =米．(1)求CD 的长；(2)若模拟装置从A 点以每秒2米的速度匀速下降到B 点，求模拟装置从A 点下降到B 点的时间．（参考数据：sin 36.870.60︒≈，cos36.870.80︒≈，tan 36.870.75︒≈）57．（2024·青海·中考真题）如图，某种摄像头识别到最远点A 的俯角α是17︒，识别到最近点B 的俯角β是45︒，该摄像头安装在距地面5m 的点C 处，求最远点与最近点之间的距离AB （结果取整数，参考数据：sin170.29︒≈，cos170.96︒≈，tan170.31︒≈）．58．（2024·陕西·中考真题）问题提出（1）如图1，在ABC 中，15AB =，30C ∠=︒，作ABC 的外接圆O ．则 ACB 的长为________；（结果保留π）问题解决（2）如图2所示，道路AB 的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D ，E ，C ，线段AD AC ，和BC 为观测步道，其中点A 和点B 为观测步道出入口，已知点E 在AC 上，且AE EC =，60DAB ∠=︒，120ABC ∠=︒，1200m AB =，900m AD BC ==，现要在湿地上修建一个新观测点P ，使60DPC ∠=︒．再在线段AB 上选一个新的步道出入口点F ，并修通三条新步道PF PD PC ，，，使新步道PF 经过观测点E ，并将五边形ABCPD 的面积平分．请问：是否存在满足要求的点P 和点F ?若存在，求此时PF 的长；若不存在，请说明理由．（点A ，B ，C ，P ，D 在同一平面内，道路AB 与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号）。

《特殊三角形》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1．认识轴对称图形的基本特征；掌握判断轴对称图形的方法，并能正确画出简单的轴对称图形；2. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法；3．理解命题与逆命题、定理与逆定理的意义，并能判断命题的真假；4．了解尺规作图的常用工具；理解并掌握线段垂直平分线定理的逆定理、角平分线性质的第二个定理，并能够熟练地应用它们；5．理解直角三角形的概念及性质的广泛应用，掌握直角三角形斜边上中线性质，并能灵活应用. 领会直角三角形中常规辅助线的添加方法．6．掌握勾股定理及其勾股定理的逆定理的内容及应用，学会用勾股定理解决简单的几何问题，应用勾股定理的逆定理来判断直角三角形．7.理解并能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法“斜边，直角边”（即“HL”）判定两个直角三角形全等；【知识网络】【要点梳理】要点一、图形的轴对称1.图形轴对称的定义及其性质如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这两个图形叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴.性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段.图形的轴对称：一般的，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形是全等形.2.利用轴对称的性质求两点之间的最短距离已知点A,B（A,B）在直线的同侧，和直线a,在直线上求作一点C，使AC+BC的距离和最小.作法：1.作点A关于直线a的对称点A′；2.连接A′B,交直线a与点C;3.连接AC.点C就是所求作的点.下面给出证明：设P是直线a上任意一点，连结AP，A′P．由作图知，直线a垂直平分AA′，则AC=A′C，AP=A′P（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）．．．．AP+BP=A′P+BP≥A′B，A′B=A ′C+BC=AC+BC，即AP十BP≥AC+BC，所以沿折线A-C-B的路线行走时路程最短．要点诠释：1.轴对称图形与图形的轴对称是两个不同的概念，轴对称图形是指一个图形的两个部分，也就是说，一条直线把一个图形（一个等腰三角形）分成两个部分，这两个部分之间的关系；而图形的轴对称是指两个图形之间的关系，比如两个全等的等腰直角三角形.2.对称轴的实质是一条直线，向两方无限延伸的.3.两点之间的最短距离要分情况讨论，看这两点是否在某一条直线的同侧还是异侧. 要点二、等腰三角形及等边三角形的性质与判定1.等腰三角形的定义及其对称性有相等两边的三角形叫做等腰三角形.三边相等的三角形叫做等边三角形.等腰三角形是轴对称图形，对称轴只有一条，就是顶角的平分线或是底边的高、中线.等边三角形也是轴对称图形，对称轴有三条，等边三角形是特殊的等腰三角形.2.等腰三角形的性质与判定定理性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“在同一三角形中，等边对等角”）．推论：等边三角形的各个内角都等于60°；性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合（简称“等腰三角形三线合一”）.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角（简称“在同一三角形中，等角对等边”）.等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.要点诠释：等腰三角形的性质与判定定理是三角形中边与角之间相互转化的重要依据，性质定理是由边的相等得出角的相等，判定定理是由角的相等得出边的相等..等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.要点三、尺规作图，命题、定理与逆命题、逆定理1.尺规作图的定义利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图.要点诠释：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.2.命题与逆命题判断一件事件的句子叫命题.其判断为正确的命题叫做真命题；其判断为错误的命题叫做假命题.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.要点诠释：（1）对于命题的定义要正确理解，也即是通过这句话可以确定一件事是发生了还是没发生，如果这句话不能对于结果给予肯定或者否定的回答，那它就不是命题；（2）每一个命题都可以写成“如果…,那么…”的形式，“如果”后面为题设部分，“那么”后面为结论部分；（3）所有的命题都有逆命题.原命题正确，它的逆命题不一定是正确的.3.定理与逆定理如果一个命题是真命题（正确的命题），那就可以称它为定理.如果一个定理的逆命题也是真命题，那就称它为原定理的逆定理.要点诠释：一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理.4.角平分线性质的第二个定理角的内部,到角两边的距离相等的点,在这个角平分线上.要点诠释：性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；第二个性质定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.5.线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理的逆定理逆定理：到线段两端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上．要点诠释：性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理则是在结论中确定线段被垂直平分，一定要注意着两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了.要点四、直角三角形性质及判定直角三角形的性质性质定理1：直角三角形的两个锐角互余.性质定理2：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.性质定理2的逆命题也同样正确，在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.要点五、勾股定理及其逆定理1.勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系；（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：，，.2.勾股定理逆定理如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点六、判定直角三角形全等的一般方法和全等的特殊方法——斜边，直角边定理由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。

《三角形培优专题》参考答案【例题讲解】例题1．已知等腰三角形的周长为24，试求腰长x 的取值范围和底边长y 的取值范围．【解答】解：依题意有2x +y = 24 ；对于腰长，有：y < 2x < 24 ，即：24 - 2x < 2x < 24 ，解得：6 <x < 12 ；对于底长，有：0 <y < 2x ，即：0 <y < 24 -y ，解得：0 <y < 12 ．故腰长x 的取值范围是 6 <x < 12 ，底边长y 的取值范围是0 <y < 12 ．例题2．如图，已知∠B =∠C =∠BAD ，∠ADC =∠DAC ，AE ⊥BC ，求∠DAE 的度数．【解答】解： ∠ADC =∠B +∠BAD ，∠B =∠C =∠BAD ，∠ADC =∠DAC ，∴∠B +∠C +∠BAD +∠DAC = 180︒，∴ 5∠B = 180︒，解得∠B = 36︒，∴∠ADC = 72︒．AE ⊥BC ，∴∠DAE = 90︒-∠ADE = 90︒- 72︒= 18︒．例题3．（1）如图1，这是一个五角星ABCDE，你能计算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数吗？为什么？（必须写推理过程）（2）如图2，如果点B 向右移动到AC 上，那么还能求出∠A +∠DBE +∠C +∠D +∠E 的大小吗？若能结果是多少？（可不写推理过程）（3）如图，当点 B 向右移动到AC 的另一侧时，上面的结论还成立吗？（4）如图4，当点B 、E 移动到∠CAD 的内部时，结论又如何？根据图3 或图4，说明你计算的理由．【解答】解：（1）如图，由三角形的外角性质，∠A+∠C=∠1，∠B+∠D=∠2，∠1 +∠2 +∠E = 180︒，∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180︒；（2）如图，由三角形的外角性质，∠A +∠D =∠1 ，∠1 +∠DBE +∠C +∠E = 180︒，∴∠A +∠DBE +∠C +∠D +∠E = 180︒；（3）如图，由三角形的外角性质，∠A +∠C =∠1，∠B +∠D =∠2 ，∠1 +∠2 +∠E = 180︒，∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180︒；（4）如图，延长CE 与AD 相交，由三角形的外角性质，∠A +∠C =∠1，∠B +∠E =∠2 ， ∠1 +∠2 +∠D = 180︒，∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180︒．例题4．Rt∆ABC 中，∠C = 90︒，点D 、E 分别是∆ABC 边AC 、BC 上的点，点P 是一动点．令∠PDA =∠1，∠PEB =∠2 ，∠DPE =∠α．（1）若点 P 在线段 AB 上，如图（1）所示，且∠α= 50︒，则∠1 +∠2 =140 ︒；（2）若点P 在边AB 上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2 之间有何关系？（3）若点P 在Rt∆ABC 斜边BA 的延长线上运动(CE <CD) ，则∠α、∠1、∠2 之间有何关系？猜想并说明理由．【解答】解：（1）如图，连接PC ，由三角形的外角性质，∠1 =∠PCD +∠CPD ，∠2 =∠PCE +∠CPE ，∴∠1+∠2 =∠PCD +∠CPD +∠PCE +∠CPE =∠DPE +∠C ，∠DPE =∠α= 50︒，∠C = 90︒，∴∠1+∠2 = 50︒+ 90︒=140︒，故答案为：140︒；（2）连接PC ，由三角形的外角性质，∠1 =∠PCD +∠CPD ，∠2 =∠PCE +∠CPE ，∴∠1+∠2 =∠PCD +∠CPD +∠PCE +∠CPE =∠DPE +∠C ，∠C = 90︒，∠DPE =∠α，∴∠1+∠2 = 90︒+∠α；（3）如图1，由三角形的外角性质，∠2 =∠C +∠1+∠α，∴∠2 -∠1 = 90︒+∠α；如图2，∠α= 0︒，∠2 =∠1+ 90︒；如图3，∠2 =∠1-∠α+∠C ，∴∠1-∠2 =∠α- 90︒．例题 5．如图 1，在 ∆ABC 中， BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，若∠A = 82︒，则∠BEC = 131︒；若∠A =a︒，则∠BEC = ．【探究】（1）如图2，在∆ABC 中，B D ，B E 三等分∠ABC ，CD ，CE 三等分∠ACB ，若∠A =a︒，则∠BEC = ；（2）如图3，O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 和∠A 有怎样的关系？请说明理由；（3）如图4，O 是外角∠DBC 与外角∠BCE 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？请说明理由．【解答】解： ∠A = 82︒，∴∠ABC +∠ACB = 180︒-∠A = 180︒- 82︒= 98︒， BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，∴∠EBC =1∠ABC ，∠ECB =1∠ACB ，2 2∴∠EBC +∠ECB =1(∠ABC +∠ACB) =1⨯ 98︒= 49︒，2 2∴∠BEC = 180︒- (∠EBC +∠ECB) = 180︒- 49︒= 131︒；由三角形的内角和定理得，∠ABC +∠ACB = 180︒-∠A = 180︒-a︒， BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，∴∠EBC =1∠ABC ，∠ECB =1∠ACB ，2 2∴∠EBC +∠ECB =1(∠ABC +∠ACB) =1⨯ (180︒-a︒) = 90︒-1a︒，2 2 2∴∠BEC = 180︒- (∠EBC +∠ECB) = 180︒- (90︒-1a︒) = 90︒+1a︒；2 2故答案为：131︒，90︒+1a︒；2探究：（1）由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180︒-∠A=180︒-a︒， BD ，BE 三等分∠ABC ，CD ，CE 三等分∠ACB ，∴∠EBC =2∠ABC ，∠ECB =2∠ACB ，3 3∴∠EBC +∠ECB =2(∠ABC +∠ACB) =2⨯ (180︒-a︒) = 120︒-2a︒，3 3 3∴∠BEC = 180︒- (∠EBC +∠ECB) = 180︒- (120︒-2a︒) = 60︒+2a︒；3 3故答案为：60︒+2a︒；3（2）∠BOC =1∠A ．2理由如下：由三角形的外角性质得，∠ACD =∠A +∠ABC ，∠OCD =∠BOC +∠OBC ，O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，∴∠ABC = 2∠OBC ，∠ACD = 2∠OCD ，∴∠A +∠ABC = 2(∠BOC +∠OBC ) ，∴∠A = 2∠BOC ，∴∠BOC =1∠A ；2（3）∠BOC = 90︒-1∠A ．2理由如下： O 是外角∠DBC 与外角∠BCE 的平分线BO 和CO 的交点，∴∠OBC =1(180︒-∠ABC) = 90︒-1∠ABC ，∠OCB =1(180︒-∠ACB) = 90︒-1∠ACB ，2 2 2 2在∆OBC 中，∠BOC =180︒-∠OBC -∠OCB =180︒- (90︒-1∠ABC) - (90︒-1∠ACB) =1(∠ABC +∠ACB) 2 2 2，由三角形的内角和定理得，∠ABC +∠ACB = 180︒-∠A ，∴∠BOC =1(180︒-∠A) = 90︒-1∠A ．2 2【巩固练习】1．已知线段AB = 3cm ，BC =1cm ，则线段AC 的长度为( )A ．一定是4cmB ．一定是2cmC ．一定是2cm 或4cmD ．以上都不对【解答】选：D．2．如图，∠ABC =∠ACB ，AD ，BD ，CD 分别平分∆ABC 的外角∠EAC 、内角∠ABC 、外角∠ACF ．以下结论：①AD / / B C ；②∠ACB = 2∠ADB ；③DB 平分∠ADC ；④∠ADC = 90︒-∠ABD ；⑤∠BDC =1∠BAC ．其中正确的结论有( ) 2A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【解答】解： AD 平分∠EAC ，∴∠EAC = 2∠EAD ，∠EAC =∠ABC +∠ACB ，∠ABC =∠ACB ，∴∠EAD =∠ABC ，∴AD / / BC ，∴①正确；AD / / BC ，∴∠ADB =∠DBC ，BD 平分∠ABC ，∠ABC =∠ACB ，∴∠ABC =∠ACB = 2∠DBC ，∴∠ACB = 2∠ADB ，∴②正确；BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠DBC ，∠ADB =∠DBC ，∠ADC = 90︒-1∠ABC ，2∴∠ADB 不等于∠CDB ，∴③错误； AD 平分∠EAC ，CD 平分∠ACF ，∴∠DAC =1∠EAC ，∠DCA =1∠ACF ，2 2∠EAC =∠ACB +∠ACB ，∠ACF =∠ABC +∠BAC ，∠ABC +∠ACB +∠BAC = 180︒，∴∠ADC = 180︒- (∠DAC +∠ACD)= 180︒-1(∠EAC +∠ACF ) 2= 180︒-1(∠ABC +∠ACB +∠ABC +∠BAC) 2= 180︒-1(180︒+∠ABC) 2= 90︒-1∠ABC ，∴④正确；2∠BDC =∠DCF -∠DBF =1∠ACF -1∠ABC =1∠BAC ，∴⑤正确，2 2 2故选：D ．3．如图，要使六边形木架（用六根木条钉成）不变形，至少要再钉上木条的根数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：过六边形的一个顶点作对角线，有6 - 3 = 3 条对角线， 所以至少要钉上 3 根木条． 故选： C ．4．如图，在 ∆ABC 中， ∠ABC 的平分线与 ∠ACD 的平分线交于点 A 1 ， ∠A 1BC 的平分线与∠A CD 的平分线交于点 A ，依此类推 ．已知∠A = α，则∠A 的度数为α（用含12n 、α的代数式表示）．n2n【解答】解： ∆ABC 中， ∠A = ∠ACD - ∠ABC ， A 1 是 ∠ABC 角平分与 ∠ACD 的平分线的交点， ∠A = α，∴∠A = ∠A CD - ∠A BC = 1 (∠ACD - ∠ABC ) = 1∠A ；1 1 12 2同理可得， ∠A = 1 ∠A = 1∠A ，22 1 22∠A = 1 ∠A = 1∠A ， 32 2 23依此类推， ∠A = 1∠A ，即∠A = α ．n 2n 故答案为： α．2nn2n5．如图，线段 AB 、CP 相交于点O ，连接 AD 、CB ， ∠DAB 、∠BCD 的平分线 AP 、CP 相交于点 P ，并且为CD 、 AB 分别相交于 M 、N 两点，若∠D = 40︒ ，∠B = 30︒ ，则∠P 的度数为 35︒ ．【解答】解：在∆AOD 中，∠AOD =180︒-∠OAD -∠D ，在∆BOC 中，∠BOC = 180︒-∠B -∠OCB ，∠AOD=∠BOC（对顶角相等），∴180︒-∠OAD -∠D = 180︒-∠B -∠OCB ，∴∠OAD +∠D =∠B +∠OCB ，∠D = 40︒，∠B = 30︒，∴∠OAD + 40︒=∠OCB + 30︒，∴∠OCB -∠OAD = 10︒，AP 、CP 分别是∠DAB 和∠BCD 的角平分线，∴∠1 =1∠OAD ，∠3 =1∠OCB ，2 2又 ∠1 +∠D =∠3 +∠P ，∴∠P =∠1 +∠D -∠3 =1(∠OAD -∠OCB) +∠D =1⨯ (-10︒) + 40︒= 35︒．2 2故答案为：35︒．6．在∆ABC 中，AB =AC ，AC 边上的中线BD 把三角形ABC 的周长分为9cm 和12cm 的两部分，求三角形各边的长．【解答】解：根据题意画出图形，如图，设等腰三角形的腰长AB =AC = 2x ，BC =y ，BD 是腰上的中线，∴AD =DC =x ，若AB +AD 的长为12，则2x +x = 12 ，解得x = 4cm ，则x +y = 9 ，即 4 +y = 9 ，解得y = 5cm ；若AB +AD 的长为9，则2x +x = 9 ，解得x = 3cm ，则x +y = 12 ，即3 +y = 12 ，解得y = 9cm ；所以等腰三角形的腰长为8 厘米，底边长为 5 厘米．或腰长为6cm ，底长为9cm ．7．已知a，b，c 是△ABC 的三边长，a=4，b=6，设三角形的周长是x．（1）直接写出c 及x 的取值范围；（2）若x 是小于18 的偶数①求c 的长；②判断△ABC 的形状．【解答】解：（1）因为a=4，b=6，所以2＜c＜10．故周长x 的范围为12＜x＜20．（2）①因为周长为小于18 的偶数，所以x=16 或x=14．当x 为16 时，c=6；当x 为14 时，c=4．②当c=6 时，b=c，△ABC 为等腰三角形；当c=4 时，a=c，△ABC 为等腰三角形．综上，△ABC 是等腰三角形．8．如图，四边形ABCD 中，BE 、CF 分别是∠B 、∠D 的平分线．且∠A =∠C = 90︒，试猜想BE 与DF 有何位置关系？请说明理由．【解答】解：BE / / DF ，理由是： 四边形内角和等于360︒，∠A =∠C = 90︒，∴∠ABC +∠ADC = 180︒，BE 、CF 分别是∠B 、∠D 的平分线，∴∠1 =1∠ABC ，∠2 =1∠ADC ，2 2∴∠1 +∠2 = 90︒，在Rt∆DCF 中，∠3 +∠2 = 90︒，∴∠1 =∠3 ，∴BE / / DF ．9．如图，∆ABC 中，三条内角平分线AD 、BE 、CF 相交于点O ，OG ⊥BC 于点G ．（1）若∠ABC = 40︒，∠BAC = 60︒，求∠BOD 和∠COG 的度数．（2）若∠ABC =α，∠BAC =β，则∠BOD 和∠COG 相等吗？请说明理由．【解答】解：（1）∠BOD=∠OAB+∠OBA=1∠BAC +1∠ABC = 50︒2 2∠COG = 90︒-∠OCG= 90︒-1(180︒-∠ABC -∠BAC) 2= 90︒- 40︒= 50︒；（2）∠BOD 和∠COG相等． 理由： ∠BOD =∠OAB +∠OBA=1∠BAC +1∠ABC 2 2=1(α+β) 2=1(180︒-∠ACB) 2= 90︒-1∠ACB 2= 90︒-∠OCG =∠COG ．10．如图1 ，在∆ABC 中，∠B = 90︒，分别作其内角∠ACB 与外角∠DAC 的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点 E ．（1）∠E = 45 ︒；（2）分别作∠EAB 与∠ECB 的平分线，且两条角平分线交于点F ．①依题意在图1 中补全图形；②求∠AFC 的度数；（3）在（2）的条件下，射线FM 在∠AFC 的内部且∠AFM =1∠AFC ，设3EC 与AB 的交点为H ，射线HN 在∠AHC 的内部且∠AHN =1∠AHC ，射线3HN 与 FM 交于点 P ，若∠FAH ，∠FPH 和∠FCH 满足的数量关系为∠FCH =m∠FAH +n∠FPH ，请直接写出m ，n 的值．【解答】解：（1）如图 1 ， EA平分∠DAC ，EC 平分∠ACB ，∴∠CAF =1∠DAC ，∠ACE =1∠ACB ，2 2设∠CAF =x ，∠ACE =y ，∠B = 90︒，∴∠ACB +∠BAC = 90︒，∴ 2 y +180 - 2x = 90，x -y = 45，∠CAF =∠E +∠ACE ，∴∠E =∠CAF -∠ACE =x -y = 45︒，故答案为： 45 ；（2）①如图 2 所示，②如图 2 ， CF 平分∠ECB ，∴∠ECF = 1 y ， 2∠E + ∠EAF = ∠F + ∠ECF ，∴ 45︒ + ∠EAF = ∠F + 1 y ①， 2同理可得： ∠E + ∠EAB = ∠B + ∠ECB ， ∴ 45︒ + 2∠EAF = 90︒ + y ，∴∠EAF = 45 + y ②，2把②代入①得： 45︒ + 45 + y = ∠F + 1 y ，2 2∴∠F = 67.5︒，即∠AFC = 67.5︒ ；（3） 如图 3 ，设∠FAH =α，AF 平分∠EAB ，∴∠FAH = ∠EAF =α，∠AFM = 1∠AFC = 1⨯ 67.5︒ = 22.5︒ ，3 3 ∠E + ∠EAF = ∠AFC + ∠FCH ，∴45 +α= 67.5 + ∠FCH ，∴∠FCH =α- 22.5①，∠AHN = 1 ∠AHC = 1 (∠B + ∠BCH ) = 1 (90 + 2∠FCH ) = 30 + 2∠FCH ， 3 3 3 3 ∠FAH + ∠AFM = ∠AHN + ∠FPH ，∴α+ 22.5 = 30 + 2∠FCH + ∠FPH ，②3 把①代入②得： ∠FPH = α+ 22.5 ，3∠FCH = m ∠FAH+ n ∠FPH ，α- 22.5 = m α+ n α+ 22.5 ，3解得： m = 2 ， n = -3．。

特殊三角形考点1：等腰三角形的性质与判定1．（2021·江苏苏州市）如图．在Rt ABC △中.90C ∠=︒.AF EF =．若72CFE ∠=︒.则B ∠=______．【答案】54°【分析】首先根据等腰三角形的性质得出∠A =∠AEF .再根据三角形的外角和定理得出∠A +∠AEF =∠CFE .求出∠A 的度数.最后根据三角形的内角和定理求出∠B 的度数即可．【详解】∠ AF =EF .∠ ∠A =∠AEF .∠∠A +∠AEF =∠CFE=72°.∠ ∠A =36°.∠ ∠C =90°.∠A +∠B +∠C =180°.∠ ∠B =180°-∠A -∠C =54°．故答案为：54°．2．（2021·江苏南京市·中考真题）如图.在四边形ABCD 中.AB BC BD ==．设ABC α∠=.则ADC ∠=______（用含α的代数式表示）．【答案】11802α︒-【分析】由等腰的性质可得：∠ADB =1902ABD ︒-∠.∠BDC =1902CBD ︒-∠.两角相加即可得到结论．【详解】解：在∠ABD 中.AB =BD∠∠A =∠ADB =11(180)9022ABD ABD ︒-∠=︒-∠ 在∠BCD 中.BC =BD∠∠C =∠BDC =11(180)9022CBD CBD ︒-∠=︒-∠ ∠ABC ABD CBD α∠=∠+∠=∠ADC ADB CBD ∠=∠+∠ =11909022ABD CBD ︒-∠+︒-∠ =1180()2ABD CBD ︒-∠+∠ =11802ABC ︒-∠ =11802α︒- 故答案为：11802α︒-．3．（2021·四川资阳市·中考真题）将一张圆形纸片（圆心为点O ）沿直径MN 对折后.按图1分成六等份折叠得到图2.将图2沿虚线AB 剪开.再将AOB 展开得到如图3的一个六角星．若75CDE ∠=︒.则OBA ∠的度数为______．【答案】135°【分析】利用折叠的性质.根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理解题．【详解】解：连接OC.EO由折叠性质可得：∠EOC=3603012︒=︒.EC=DC.OC平分∠ECD∠∠ECO=11(180275)15 22ECD∠=︒-⨯︒=︒∠∠OEC=180°-∠ECO-∠EOC=135°即OBA∠的度数为135°故答案为：135°4．（2021·山东中考真题）如图.在ABC中.ABC∠的平分线交AC于点D.过点D作//DE BC；交AB于点E．（1）求证：BE DE =；（2）若80,40A C ∠=︒∠=︒.求BDE ∠的度数．【答案】（1）见详解；（2）30BDE ∠=︒【分析】（1）由题意易得,ABD CBD CBD EDB ∠=∠∠=∠.则有ABD EDB ∠=∠.然后问题可求证； （2）由题意易得60ABC ∠=︒.则有30ABD CBD ∠=∠=︒.然后由（1）可求解．【详解】（1）证明：∠BD 平分ABC ∠.∠ABD CBD ∠=∠.∠//DE BC .∠CBD EDB ∠=∠.∠ABD EDB ∠=∠.∠BE DE =；（2）解：∠80,40A C ∠=︒∠=︒.∠18060ABC A C ∠=︒-∠-∠=︒.由（1）可得30ABD CBD BDE ∠=∠=∠=︒．5．（2020•台州）如图.已知AB ＝AC .AD ＝AE .BD 和CE 相交于点O ．（1）求证：∠ABD ∠∠ACE ；（2）判断∠BOC 的形状.并说明理由．【分析】（1）由“SAS ”可证∠ABD ∠∠ACE ；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD ＝∠ACE .由等腰三角形的性质可得∠ABC ＝∠ACB .可求∠OBC ＝∠OCB .可得BO ＝CO .即可得结论．【解答】证明：（1）∠AB ＝AC .∠BAD ＝∠CAE .AD ＝AE .∠∠ABD∠∠ACE（SAS）；（2）∠BOC是等腰三角形.理由如下：∠∠ABD∠∠ACE.∠∠ABD＝∠ACE.∠AB＝AC.∠∠ABC＝∠ACB.∠∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE.∠∠OBC＝∠OCB.∠BO＝CO.∠∠BOC是等腰三角形．考点2：等边三角形的性质与判定6．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图.等边三角形ABC的边长为4.C的半3P为AB边上一动点.过点P作C的切线PQ.切点为Q.则PQ的最小值为________．【答案】3【分析】连接OC和PC.利用切线的性质得到CQ∠PQ.可得当CP最小时.PQ最小.此时CP∠AB.再求出CP.利用勾股定理求出PQ即可．【详解】解：连接QC和PC.∠PQ和圆C相切.∠CQ∠PQ.即∠CPQ始终为直角三角形.CQ为定值.∠当CP最小时.PQ最小.∠∠ABC是等边三角形.∠当CP∠AB时.CP最小.此时CP∠AB.∠AB=BC=AC=4.∠AP=BP=2.∠CP22-3AC AP∠圆C的半径CQ3∠PQ22-=3.CP CQ故答案为：3．7．（2020•台州）如图.等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点．分别过点E.F沿着平行于BA.CA方向各剪一刀.则剪下的∠DEF的周长是．【分析】根据三等分点的定义可求EF的长.再根据等边三角形的判定与性质即可求解．【解析】∠等边三角形纸片ABC的边长为6.E.F是边BC上的三等分点.∠EF＝2.∠DE∠AB.DF∠AC.∠∠DEF是等边三角形.∠剪下的∠DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．8．（2020•凉山州）如图.点P、Q分别是等边∠ABC边AB、BC上的动点（端点除外）.点P、点Q以相同的速度.同时从点A、点B出发．（1）如图1.连接AQ、CP．求证：∠ABQ∠∠CAP；（2）如图1.当点P、Q分别在AB、BC边上运动时.AQ、CP相交于点M.∠QMC的大小是否变化？若变化.请说明理由；若不变.求出它的度数；（3）如图2.当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时.直线AQ、CP相交于M.∠QMC的大小是否变化？若变化.请说明理由；若不变.求出它的度数．【分析】（1）根据等边三角形的性质.利用SAS 证明∠ABQ ∠∠CAP 即可；（2）先判定∠ABQ ∠∠CAP .根据全等三角形的性质可得∠BAQ ＝∠ACP .从而得到∠QMC ＝60°；（3）先判定∠ABQ ∠∠CAP .根据全等三角形的性质可得∠BAQ ＝∠ACP .从而得到∠QMC ＝120°．【解析】（1）证明：如图1.∠∠ABC 是等边三角形∠∠ABQ ＝∠CAP ＝60°.AB ＝CA .又∠点P 、Q 运动速度相同.∠AP ＝BQ .在∠ABQ 与∠CAP 中.{AB =CA∠ABQ =∠CPA AP =BQ. ∠∠ABQ ∠∠CAP （SAS ）；（2）点P 、Q 在AB 、BC 边上运动的过程中.∠QMC 不变．理由：∠∠ABQ ∠∠CAP .∠∠BAQ ＝∠ACP .∠∠QMC 是∠ACM 的外角.∠∠QMC ＝∠ACP +∠MAC ＝∠BAQ +∠MAC ＝∠BAC∠∠BAC ＝60°.∠∠QMC ＝60°；（3）如图2.点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动时.∠QMC 不变 理由：同理可得.∠ABQ ∠∠CAP .∠∠BAQ ＝∠ACP .∠∠QMC 是∠APM 的外角.∠∠QMC ＝∠BAQ +∠APM .∠∠QMC ＝∠ACP +∠APM ＝180°﹣∠P AC ＝180°﹣60°＝120°.即若点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动.∠QMC 的度数为120°．考点3：直角三角形的性质9．（2020•衡阳）如图.在∠ABC 中.∠B ＝∠C .过BC 的中点D 作DE ∠AB .DF ∠AC .垂足分别为点E 、F ．（1）求证：DE ＝DF ；（2）若∠BDE ＝40°.求∠BAC 的度数．【分析】（1）根据DE ∠AB .DF ∠AC 可得∠BED ＝∠CFD ＝90°.由于∠B ＝∠C .D 是BC 的中点.AAS 求证∠BED ∠∠CFD 即可得出结论．（2）根据直角三角形的性质求出∠B ＝50°.根据等腰三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：∠DE ∠AB .DF ∠AC .∠∠BED ＝∠CFD ＝90°.∠D 是BC 的中点.∠BD ＝CD .在∠BED 与∠CFD 中.{∠BED =∠CFD∠B =∠CBD =CD. ∠∠BED ∠∠CFD （AAS ）.∠DE ＝DF ；（2）解：∠∠BDE ＝40°.∠∠B＝50°.∠∠C＝50°.∠∠BAC＝80°．10．（2020•泰安）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上.抽象出如图（2）的平面图形.∠ACB与∠ECD恰好为对顶角.∠ABC＝∠CDE＝90°.连接BD.AB ＝BD.点F是线段CE上一点．探究发现：（1）当点F为线段CE的中点时.连接DF（如图（2））.小明经过探究.得到结论：BD∠DF．你认为此结论是否成立？．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换.即：BD∠DF.则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立.请写出证明过程；若不成立.请说明理由．问题解决：（3）若AB＝6.CE＝9.求AD的长．【分析】（1）证明∠FDC+∠BDC＝90°可得结论．（2）结论成立：利用等角的余角相等证明∠E＝∠EDF.推出EF＝FD.再证明FD＝FC 即可解决问题．（3）如图3中.取EC的中点G.连接GD．则GD∠BD．利用（1）中即可以及相似三角形的性质解决问题即可．【解析】（1）如图（2）中.∠∠EDC＝90°.EF＝CF.∠DF＝CF.∠∠FCD＝∠FDC.∠∠ABC＝90°.∠∠A+∠ACB＝90°.∠BA＝BD.∠∠A＝∠ADB.∠∠ACB＝∠FCD＝∠FDC.∠∠ADB+∠FDC＝90°.∠∠FDB＝90°.∠BD∠DF．故答案为是．（2）结论成立：理由：∠BD∠DF.ED∠AD.∠∠BDC+∠CDF＝90°.∠EDF+∠CDF＝90°.∠∠BDC＝∠EDF.∠AB＝BD.∠∠A＝∠BDC.∠∠A＝∠EDF.∠∠A+∠ACB＝90°.∠E+∠ECD＝90°.∠ACB＝∠ECD.∠∠A＝∠E.∠∠E＝∠EDF.∠EF＝FD.∠∠E+∠ECD＝90°.∠EDF+∠FDC＝90°.∠FD ＝FC .∠EF ＝FC .∠点F 是EC 的中点．（3）如图3中.取EC 的中点G .连接GD ．则GD ∠BD ．∠DG =12EC =92. ∠BD ＝AB ＝6.在Rt∠BDG 中.BG =√DG 2+BD 2=√(92)2+62=152. ∠CB =152−92=3.在Rt∠ABC 中.AC =√AB 2+BC 2=√62+32=3√5.∠∠ACB ＝∠ECD .∠ABC ＝∠EDC .∠∠ABC ∠∠EDC .∠AC EC =BC CD. ∠3√59=3CD. ∠CD =9√55. ∠AD ＝AC +CD ＝3√5+9√55=24√55． 11．（2020•常德）已知D 是Rt∠ABC 斜边AB 的中点.∠ACB ＝90°.∠ABC ＝30°.过点D 作Rt∠DEF 使∠DEF ＝90°.∠DFE ＝30°.连接CE 并延长CE 到P .使EP ＝CE .连接BE .FP .BP .设BC 与DE 交于M .PB 与EF 交于N ．（1）如图1.当D .B .F 共线时.求证：∠EB ＝EP ；（2）如图2.当D .B .F 不共线时.连接BF .求证：∠BFD +∠EFP ＝30°．【分析】（1）∠证明∠CBP 是直角三角形.根据直角三角形斜边中线可得结论； ∠根据同位角相等可得BC ∠EF .由平行线的性质得BP ∠EF .可得EF 是线段BP 的垂直平分线.根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE ＝∠BFE ＝30°；（2）如图2.延长DE 到Q .使EQ ＝DE .连接CD .PQ .FQ .证明∠QEP ∠∠DEC （SAS ）.则PQ ＝DC ＝DB .由QE ＝DE .∠DEF ＝90°.知EF 是DQ 的垂直平分线.证明∠FQP ∠∠FDB （SAS ）.再由EF 是DQ 的垂直平分线.可得结论．【解答】证明（1）∠∠∠ACB ＝90°.∠ABC ＝30°.∠∠A ＝90°﹣30°＝60°.同理∠EDF ＝60°.∠∠A ＝∠EDF ＝60°.∠AC ∠DE .∠∠DMB ＝∠ACB ＝90°.∠D 是Rt∠ABC 斜边AB 的中点.AC ∠DM .∠BM BC =BD AB =12. 即M 是BC 的中点.∠EP ＝CE .即E 是PC 的中点.∠ED ∠BP .∠∠CBP ＝∠DMB ＝90°.∠∠CBP 是直角三角形.∠BE =12PC ＝EP ； ∠∠∠ABC ＝∠DFE ＝30°.∠BC ∠EF .由∠知：∠CBP ＝90°.∠BP ∠EF .∠EB＝EP.∠EF是线段BP的垂直平分线.∠PF＝BF.∠∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2.延长DE到Q.使EQ＝DE.连接CD.PQ.FQ.∠EC＝EP.∠DEC＝∠QEP.∠∠QEP∠∠DEC（SAS）.则PQ＝DC＝DB.∠QE＝DE.∠DEF＝90°∠EF是DQ的垂直平分线.∠QF＝DF.∠CD＝AD.∠∠CDA＝∠A＝60°.∠∠CDB＝120°.∠∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP.∠∠FQP∠∠FDB（SAS）.∠∠QFP＝∠BFD.∠EF是DQ的垂直平分线.∠∠QFE＝∠EFD＝30°.∠∠QFP+∠EFP＝30°.∠∠BFD+∠EFP＝30°．考点4：勾股定理及其逆定理12．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图.ABC中.∠=︒==.将ADE沿DE翻折.使点A与点B重合.则CE的长为90,8,6ACB AC BC（）A．198B．2C．254D．74【答案】D【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10.再利用折叠的性质得到AE=BE.AD=BD=5.设AE=x.则CE=AC-AE=8-x.BE=x.在Rt∠BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2.解得x.可得CE．【详解】解：∠∠ACB=90°.AC=8.BC=6.∠AB22AC BC+∠∠ADE沿DE翻折.使点A与点B重合.∠AE=BE.AD=BD=12AB=5.设AE=x.则CE=AC-AE=8-x.BE=x.在Rt∠BCE中∠BE2=BC2+CE2.∠x2=62+（8-x）2.解得x=25 4.∠CE=2584-=74.故选：D．。

重难点02三角形与特殊三角形考点一：三角形的基础知识三角形的基础知识是学习三角形后续知识的基础，也是其他几何图形学习的基础，虽然中考中单独考察的几率不是很大，但是它却可以融合在其他图形中辅助解题。

特别是三角形内角和定理、外角定理、角平分线的性质、线段中垂线的性质，都是解决几何问题中不可或缺的辅助手段，也更需要我们重视这块知识的复习。

题型01三角形的内角和与外角定理易错点：三角形内角和定理：三角形三个内角的和=180°三角形外角定理：三角形的一个外角=与它不相邻两个内角的和三角形内角和与外角定理是几何图形求解角度时常用的等量关系；即使是其他多边形，也常转化为三角形求角度；【中考真题练】1．（2023•十堰）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝35°，则∠DFC ＝100°．【分析】由题意可得∠BAC＝60°，∠C＝30°，∠D＝45°，由平角的定义可求得∠CAD＝85°，再由三角形的内角和可求得∠AGD＝50°，利用对顶角相等得∠CGF＝50°，再利用三角形的内角和即可求∠DFC．【解答】解：如图，由题意得：∠BAC＝60°，∠C＝30°，∠D＝45°，∵∠EAB＝35°，∴∠CAD＝180°﹣∠EAB﹣∠BAC＝85°，∴∠AGD＝180°﹣∠D﹣∠CAD＝50°，∴∠CGF＝∠AGD＝50°，∴∠DFC＝180°﹣∠C﹣∠CGF＝100°．故答案为：100°．2．（2023•聊城）如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE．若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠ACB 的度数为（）A．65°B．75°C．85°D．95°【分析】由平行线的性质可求∠ADC得度数，再利用三角形的内角和定理可求解．【解答】解：∵AD∥BE，∴∠ADC＝∠EBC＝80°，∵∠CAD+∠ADC+∠ACB＝180°，∠CAD＝25°，∴∠ACB＝180°﹣25°﹣80°＝75°，故选：B．3．（2023•遂宁）若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是直角三角形．【分析】设这个三角形最小的内角是x°，则另外两内角的度数分别为2x°，3x°，利用三角形内角和是180°，可得出关于x的一元一次方程，解之可求出x的值，再将其代入3x°中即可得出结论．【解答】解：设这个三角形最小的内角是x°，则另外两内角的度数分别为2x°，3x°，根据题意得：x+2x+3x＝180，解得：x＝30，∴3x°＝3×30°＝90°，∴这个三角形是直角三角形．故答案为：直角．4．（2023•株洲）《周礼•考工记》中记载有：“…半矩谓之宣（xuān），一宣有半谓之欘（zhú）…”．意思是：“…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…”即：1宣＝矩，1欘＝1宣（其中，1矩＝90°）．问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A＝1矩，∠B ＝1欘，则∠C＝22.5度．【分析】根据题意可知：∠A＝90°，∠B＝67.5°，然后根据三角形内角和即可求得∠C的度数．【解答】解：∵1宣＝矩，1欘＝1宣，1矩＝90°，∠A＝1矩，∠B＝1欘，∴∠A＝90°，∠B＝1××90°＝67.5°，∴∠C＝180°﹣90°﹣∠B＝180°﹣90°﹣67.5°＝22.5°，故答案为：22.5．5．（2023•徐州）如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，则∠C＝55°．【分析】根据平行线的性质，三角形内角和定理进行计算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∠BDE＝120°，∴∠B＝180°﹣120°＝60°，∵FG∥AC，∠DFG＝115°，∴∠A＝180°﹣115°＝65°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝55°，故答案为：55．【中考真题练】1．（2024•盐城模拟）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A．105°B．75°C．65°D．55°【分析】根据三角形的外角性质解答即可．【解答】解：由三角形的外角性质可知：∠α＝30°+45°＝75°，故选：B．2．（2023•新邵县校级一模）如图，在△ABC中，延长AB至D，延长BC至E如果∠1+∠2＝230°，则∠A＝50°．【分析】由三角形的外角性质可得∠1＝∠A+∠ACB，∠2＝∠A+∠ABC，再结合∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，从而可求∠A的度数．【解答】解：∵∠1，∠2是△ABC的外角，∴∠1＝∠A+∠ACB，∠2＝∠A+∠ABC，∵∠1+∠2＝230°，∴∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝230°，即2∠A+∠ACB+∠ABC＝230°，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴2∠A+180°﹣∠A＝230°，解得：∠A＝50°．故答案为：50°．3．（2023•绍兴模拟）将一副三角尺按如图所示的位置摆放，其中O，E，F在直线l上，点B恰好落在DE 边上，∠1＝20°，∠A＝45°，∠AOB＝∠DEF＝90°．则∠ABE的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°【分析】先根据三角形内角和定理和平角的定义求出∠ABO＝45°，∠BOE＝70°，再由三角形外角的性质求出∠OBE＝20°，进一步即可得到∠ABE的度数．【解答】解：∵∠1＝20°，∠A＝45°，∠AOB＝∠DEF＝90°．∴∠ABO＝180°﹣∠AOB﹣∠A＝45°，∠BOE＝180°﹣∠AOB﹣∠1＝70°，∴∠OBE＝∠DEF﹣∠BOE＝20°，∴∠ABE＝∠ABO+∠OBE＝65°．故选：B．4．（2023•碑林区校级二模）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD为∠ACB的平分线，CE⊥AB于点E，则∠ECD度数为（）A．5°B．8°C．10°D．12°【分析】利用三角形的内角和定理求出∠ACB的度数，再利用角平分线的性质求出∠ACD的度数数，根据直角三角形的性质得出∠ACE的度数，进而可得出结论．【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝30°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝100°．∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠ACB＝50°．∵CE⊥AB于点E，∴∠CEB＝90°．∴∠ACE＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝60°﹣50°＝10°．故选：C．5．（2023•石峰区一模）如图，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在B，C处开工挖出“V”字形通道．如果∠DBA＝120°，∠ECA＝135°，那么∠A的度数是75°．【分析】先求出∠ABC，∠ACB，再根据三角形的内角和定理即可求解．【解答】解：∵∠DBA＝120°，∠ECA＝135°，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，∠ACB＝180°﹣135°＝45°，∴∠A＝180°﹣60°﹣45°＝75°，故答案为：75°．题型02三角形的三边关系解题大招01：三角形两边之差＜第三边＜三角形两边之和解题大招02：判定三边能否组成三角形，直接用“定理”，且只需要较小的两边之和大于最大的边长即可解题大招03：“三点共线”类最值：当两线段长固定，且首尾相连，可用三点共线来求其最大值与最小值1．（2023•福建）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（）A．1B．5C．7D．9【分析】根据三角形的三边关系定理得出4﹣3＜m＜4+3，求出即可．【解答】解：根据三角形的三边关系定理得：4﹣3＜m＜4+3，解得：1＜m＜7，即符合的只有5，故选：B．2．（2023•长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．1，3，4B．2，2，7C．4，5，7D．3，3，6【分析】根据三角形的三边关系分别判断即可．【解答】解：∵1+3＝4，∴1，3，4不能组成三角形，故A选项不符合题意；∵2+2＜7，∴2，2，7不能组成三角形，故B不符合题意；∵4+5＞7，∴4，5，7能组成三角形，故C符合题意；∵3+3＝6，∴3，3，6不能组成三角形，故D不符合题意，故选：C．3．（2023•金华）在下列长度的四条线段中，能与长6cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是（）A．1cm B．2cm C．13cm D．14cm【分析】首先设第三条线段长为x cm，再利用三角形的三边关系可得x的范围，然后可得答案．【解答】解：设第三条线段长为x cm，由题意得：8﹣6＜x＜8+6，解得：2＜x＜14，只有13cm适合，故选：C．4．（2023•徐州）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为3或4或5或6或7（答案不唯一）（写出一个即可）．【分析】根据三角形两边之和大于第三边确定第三边的范围，根据题意计算即可．【解答】解：设三角形的第三边长为x，则5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，∵第三边的长为整数，∴x＝3或4或5或6或7．故答案为：3或4或5或6或7（答案不唯一）．【中考模拟练】1．（2024•韶关模拟）如图，人字梯的支架AB，AC的长度都为2m（连接处的长度忽略不计），则B、C 两点之间的距离可能是（）A．3m B．4.2m C．5m D．6m【分析】根据三角形任意一边小于其它两边两边之和求出BC的取值范围，判断各选项即可得的答案．【解答】解：∵AC＝AC＝2m，∴2﹣2＜BC＜2+2，即0m＜BC＜4m．故选：A．2．（2024•新华区一模）为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得OA ＝16m，OB＝12m，那么AB的距离不可能是（）A．5m B．15m C．20m D．30m【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得16﹣12＜AB＜16+12，再解即可．【解答】解：根据三角形的三边关系可得：16﹣12＜AB＜16+12，即4＜AB＜28，30m不可能．故选：D．3．（2024•邳州市校级一模）三角形的两边长分别为2和9，周长为偶数，则第三边长为9．【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再求得周长的取值范围．根据周长为偶数，确定第三边的长．【解答】解：设第三边长x．根据三角形的三边关系，得7＜x＜11．∴三角形的周长l的取值范围是：18＜l＜22．又∵三角形的周长为偶数，因而满足条件的数有20．∴第三边长为20﹣2﹣9＝9．故答案为9．4．（2023•六安三模）三角形的两边长分别是10和8，则第三边的取值范围是2＜x＜18．【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得答案．【解答】解：根据三角形的三边关系：10﹣8＜x＜10+8，解得：2＜x＜18．故答案为：2＜x＜185．（2023•二道区校级模拟）已知一个三角形的两边长分别为4和5，若第三边的长为整数，则此三角形周长的最大值17．【分析】第三边的长为x，根据三角形的三边关系得出x的取值范围，再由第三边的长为整数得出x的值，进而可得出结论．【解答】解：第三边的长为x，∵一个三角形的两边长分别为4和5，∴5﹣4＜x＜5+4，即1＜x＜9，∵第三边的长为整数，∴x的值可以为2，3，4，5，6，7，8，∴当x＝8时，此三角形周长的最大值＝4+5+8＝17．故答案为：17．6．（2023•娄星区一模）已知四根小棒的长度分别为5cm、6cm、10cm、12cm，从中取出三根小棒，能围成三角形的概率为．【分析】取四根木棒中的任意三根，共有4中取法，然后依据三角形三边关系定理将不合题意的方案舍去，最后根据概率计算公式求解即可．【解答】解：共有4种方案：①取5cm、6cm、10cm；由于10﹣5＜6＜10+5，能构成三角形；②取5cm、6cm、12cm；由于5+6＜12，不能构成三角形；③取6cm、10cm、12cm；由于12﹣6＜10＜12+6，能构成三角形；④取5cm、10cm、12cm；由于12﹣5＜10＜12+5，能构成三角形．∴一个有4种等可能性的结果数，其中能构成三角形的结果数有3种，∴能围成三角形的概率为．故答案为：．题型03三角形“三线”的性质由△的三线组成的几个“心”：△三边中线交点—→重心—→性质：△的重心到一中线中点的距离=重心到这条中线定点距离的一半；△三条角平分线交点—→内心—→性质：△的内心到△三边的距离（垂线段）相等；△三边中垂线交点—→外心—→性质：△的外心到△三个顶点的距离（连接）相等；解题大招01：三角形中线常见作用及其辅助线常见“用途”：平分线段、平分面积；辅助线类型：倍长中线造全等—→延伸：倍长中线类模型；解题大招02：三角形高线常见作用及其辅助线常见“用途”：求面积（等积法）、求角度（余角）；辅助线类型：见特殊角做⊥，构特殊直角△、见等腰做底边上高线，构三线合一；解题大招03：角平分线常见作用及其辅助线常见“用途”：得角相等（定义）、得线段相等（性质）、SAS证全等、知2得1等；辅助线类型：见角平分线作双垂、见角平分线作对称、截长补短构全等、见角平分线＋垂直，延长出等腰；解题大招04：中垂线常见作用及其辅助线常见“用途”：平分线段、得90°、证全等、求新形成三角形周长等；辅助线类型：连接两点【中考真题练】1．（2023•广州）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，则点E到直线AD的距离为．【分析】过E作EH⊥AD于H，由角平分线的性质得到DE＝DF＝5，由勾股定理求出AD＝＝13，由三角形面积公式得到13EH＝12×5，因此EH＝，即可得到点E到直线AD的距离．【解答】解：过E作EH⊥AD于H，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF＝5，∵AE＝12，∴AD＝＝13，∵△ADE的面积＝AD•EH＝AE•DE，∴13EH＝12×5，∴EH＝，点E到直线AD的距离为．故答案为：．2．（2023•青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是13．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到BD＝CD，即可求解．【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线．∴BD＝CD，∴AC＝AD+CD＝AD+BD，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AC＝5+8＝13，故答案为：13．3．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若AB＝4，则DC 的长是4．【分析】根据等腰三角形的判定定理求出AD，再根据线段垂直平分线的性质求出DC．【解答】解：∵∠B＝∠ADB，AB＝4，∴AD＝AB＝4，∵DE是AC的垂直平分线，∴DC＝AD＝4，故答案为：4．4．（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC＝10°．【分析】由∠C＝90°，∠A＝40°，求得∠ABC＝50°，根据线段的垂直平分线、等边对等角和直角三角形的两锐角互余求得．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠EBA＝∠A＝40°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝50°﹣40°＝10°，故答案为：10°．5．（2023•随州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC 的角平分线，则AD＝5．【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质得到CD＝DE，再通过HL证明Rt△BCD≌Rt△BED，得到BC＝BE＝6，根据勾股定理可求出AB＝10，进而求出AE＝4，设CD＝DE＝x，则AD＝8﹣x，在Rt△ADE中，利用勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵∠C＝90°，∴CD⊥BC，∵BD是∠ABC的角平分线，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE，在Rt△BCD和Rt△BED中，，∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BC＝BE＝6，在Rt△ABC中，＝＝10，∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，设CD＝DE＝x，则AD＝AC﹣CD＝8﹣x，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，∴42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴AD＝8﹣x＝5．故答案为：5．【中考模拟练】1．（2024•沭阳县校级模拟）已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，＝4cm2，则阴影部分的面积为1cm2．且S△ABC【分析】易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半．【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，＝S△ACD＝S△ABC＝×4＝2（cm2），∴S△ABD＝S△CDE＝S△BCE＝×2＝1（cm2），同理S△BDE＝2（cm2），∴S△BCE∵F为EC中点，＝S△BCE＝×2＝1（cm2）．∴S△BEF故答案为1．2．（2024•天山区一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【分析】当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．再根据角平分线的性质定理可得DP ＝CD解决问题；【解答】解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．由作图可知：AE平分∠BAC，∵DC⊥AC，DP⊥AB，∴DP＝CD＝2，∴PD的最小值为2，故选：A．3．（2024•南昌一模）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则OC的长度是3cm．【分析】过P作PN⊥OB于N，由角平分线性质定理的逆定理推出PO平分∠AOB，得到∠COP＝∠NOP，由平行线的性质推出∠CPO＝∠NOP，得到∠COP＝∠CPO，因此OC＝PC，由PC＝5﹣2＝3（cm），即可得到OC的长度是3cm．【解答】解：过P作PN⊥OB于N，由题意得：PM＝PN，∵PM⊥OA，∴PO平分∠AOB，∴∠COP＝∠NOP，∵PC∥OB，∴∠CPO＝∠NOP，∴∠COP＝∠CPO，∴OC＝PC，∵C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，∴PC＝5﹣2＝3（cm），∴OC的长度是3cm．故答案为：3cm．4．（2024•永靖县一模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝1．【分析】过点D作DF⊥AC，垂足为F，根据角平分线的性质可得DE＝DF＝1，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．【解答】解：过点D作DF⊥AC，垂足为F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF＝1，∵AC＝2，＝AC•DF∴S△ACD＝×2×1＝1，故答案为：1．5．（2023•长清区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC 于点E．已知CE＝3，BE＝5，则AC的长为（）A．8B．7C．6D．5【分析】直接利用基本作图方法得出AE是∠CAB的平分线，进而结合全等三角形的判定与性质得出AC ＝AD，再利用勾股定理得出AC的长．【解答】解：过点E作ED⊥AB于点D，由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线，∵EC⊥AC，ED⊥AB，∴EC＝ED＝3，在Rt△ACE和Rt△ADE中，，∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AD，∵在Rt△EDB中，DE＝3，BE＝5，∴BD＝4，设AC＝x，则AB＝4+x，故在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，即x2+82＝（x+4）2，解得：x＝6，即AC的长为：6．故选：C．考点二：全等三角形全等三角形的性质是对应边相等、对应角相等。

第二章、特殊三角形单元测试（难度：困难）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列图标中轴对称图形的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：图①是轴对称图形，图②是轴对称图形；图③是轴对称图形；图④不是轴对称图形，轴对称图形共3个，故选：B．【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．在△ABC中，已知D为直线BC上一点，若∠ABC＝α，∠BAD＝β，且AB＝AC＝CD，则β与α之间不可能存在的关系式是（）A．β＝90°﹣αB．β＝180°﹣αC．β＝D．β＝120°﹣α【分析】分点D在线段BC上，在BC延长线上，在CB延长线上讨论，根据外角和等于不相邻的两个内角和及三角形内角和定理可求β与α的等量关系式．【解答】解：当点D在线段BC上，∵∠ABC＝α，CA＝AB，∴∠C＝∠ABC＝α，∵CD＝CA，∴∠ADC＝∠CAD＝＝90°﹣α，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∴90°﹣α＝α+β，即β＝90°﹣α；当点D在线段BC的延长线上，同理可得：β＝180°﹣α；当点D在线段CB的延长线上，同理可得：β＝α﹣90°．故选：D．【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形外角的性质．注意分类思想的应用是解此题的关键．3．若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（）A．至少有一个角是钝角或直角B．没有一个角是锐角C．没有一个角是钝角或直角D．每一个角都是钝角或直角【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．【解答】解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中没有一个角是钝角或直角．故选：C．【点评】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．4．下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（）A．菱形B．三角形C．等腰梯形D．正五边形【分析】针对各图形的对称轴，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、菱形，对角线所在的直线即为对称轴，可以用直尺画出，故A选项错误；B、三角形对称轴只用一把无刻度的直尺无法画出，故B选项正确；C、等腰梯形，延长两腰相交于一点，作两对角线相交于一点，根据等腰梯形的对称性，过这两点的直线即为对称轴，故C选项错误；D、正五边形，作一条对角线把正五边形分成一个等腰三角形与一个等腰梯形，根据正五边形的对称性，过等腰三角形的顶点与梯形的对角线的交点的直线即为对称轴，故D选项错误．故选：B．【点评】本题主要考查了轴对称图形的对称轴，熟练掌握常见多边形的对称轴是解题的关键．5．如图将长方形ABCD沿EF折叠，B、C分别落在点H、G的位置，延长EH交边CD于点M．下列说法不正确的是（）A．∠1＜∠2B．∠2＝∠3C．∠MEB＝2∠2D．∠2与∠4互补【分析】过点F作FN⊥EH，垂足为N，且点N在线段EH上，根据矩形的性质可得AB ∥CD，∠B＝90°，再根据折叠可得：∠B＝∠GHE＝90°，从而可得GH∥FN，进而可得∠1＝∠MFN，即可判断A；根据角平分线和平行线的性质即可判断B和C；根据平角定义即可判断D．【解答】解：过点F作FN⊥EH，垂足为N，且点N在线段EH上，∴∠FNE＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠B＝90°，由折叠得：∠B＝∠GHE＝90°，∴∠GHE＝∠FNE＝90°，∴GH∥FN，∴∠1＝∠MFN，∵∠2＝∠MFN+∠EFN，∴∠1＜∠2，故A不符合题意；∵AB∥CD，∴∠2＝∠FEB，由折叠得：∠FEB＝∠3，∴∠2＝∠3，故B不符合题意；∵∠FEB＝∠3，∴∠MEB＝2∠3，∵∠3＝∠2，∴∠MEB＝2∠2，故C不符合题意；∵ME≠EF，∴∠2≠∠EMF，∵∠4+∠EMF＝180°，∴∠4与∠2不一定互补，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，余角和补角，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质是解题的关键．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B﹣∠A＝10°，D是AB上一点，将△ACD沿CD翻折后得到△CED，边CE交AB于点F．若△DEF中有两个角相等，则∠ACD的度数为（）A．15°或20°B．20°或30°C．15°或30°D．15°或25°【分析】由三角形的内角和定理可求解∠A＝40°，设∠ACD＝x°，则∠CDF＝（40+x）°，∠ADC＝（140﹣x）°，由折叠可知：∠ADC＝∠CDE，∠E＝∠A＝40°，可分三种情况：当∠DFE＝∠E＝40°时；当∠FDE＝∠E＝40°时；当∠DFE＝∠FDE时，根据∠ADC＝∠CDE列方程，解方程可求解x值，即可求解．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∵∠B﹣∠A＝10°，∴∠A＝40°，∠B＝50°，设∠ACD＝x°，则∠CDF＝（40+x）°，∠ADC＝180°﹣40°﹣x°＝（140﹣x）°，由折叠可知：∠ADC＝∠CDE，∠E＝∠A＝40°，当∠DFE＝∠E＝40°时，∵∠FDE+∠DFE+∠E＝180°，∴∠FDE＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴140﹣x＝100+40+x，解得x＝0（不存在）；当∠FDE＝∠E＝40°时，∴140﹣x＝40+40+x，解得x＝30，即∠ACD＝30°；当∠DFE＝∠FDE时，∵∠FDE+∠DFE+∠E＝180°，∴∠FDE＝，∴140﹣x＝70+40+x，解得x＝15，即∠ACD＝15°，综上，∠ACD＝15°或30°，故选：C．【点评】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据∠ADC＝∠CDE分三种情况列方程是解题的关键．7．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ABC的平分线BE交AC于点E，AD、BE相交于点F，过点D作DG∥AB，过点B作BG⊥DG交DG于点G．有以下结论：①∠AFB＝135°；②∠BDG＝2∠CBE；③BC平分∠ABG；④∠BEC＝∠FBG．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由三角形的内角和与角平分线的定义求∠AFB，由DG∥AB和BE平分∠ABC判断②，结合DG⊥DG求∠GBC与∠ABC的关系判断③，由三角形的内角和与平行线的性质判断④．【解答】解：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAF＝∠CAF＝∠BAC，∠FBA＝∠CBE＝∠ABC，∵∠C＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣90°＝90°，∴∠F AB+∠FBA＝（∠BAC+∠ABC）＝45°，∴∠AFB＝180°﹣（∠F AB+∠FBA）＝180°﹣45°＝135°，故①正确，符合题意；∵DG∥AB，∴∠BDG＝∠ABC，∵∠CBE＝∠ABC，∴∠BDG＝2∠CBE，故②正确，符合题意；∵BG⊥DG，∴∠G＝90°，∴∠GDB+∠GBD＝90°，又∵∠GDB＝∠ABC，∴∠ABC+∠GBD＝90°，无法判定∠GBD＝∠ABC，故③错误，不符合题意；又∵∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠GBD，∵∠ABF＝∠EBC，∴∠ABF+∠BAC＝∠EBC+∠GBD，∴∠BEC＝∠EBG，故④正确，符合题意；故选：C．【点评】本题考查了三角形的内角和与外角和、平行线的性质、垂直的定义和角平分线的定义，整体思想的应用是判断①的关键，解题的时候要多次应用等量代换．8．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（）A．1+B．2+C．5﹣D．【分析】先证明△BPG≌△BCG（ASA），得出PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x，则EG＝2x，FG＝x，再由勾股定理得出BC2＝（4+2）x2，即可得出答案．【解答】解：∵四边形EFGH为正方形，∴∠EGH＝45°，∠FGH＝90°，∵OG＝GP，∴∠GOP＝∠OPG＝67.5°，∴∠PBG＝22.5°，∵∠DBC＝45°，∴∠GBC＝22.5°，∴∠PBG＝∠GBC，∵∠BGP＝∠BGC＝90°，在△BPG和△BCG中，，∴△BPG≌△BCG（ASA），∴PG＝CG．设OG＝PG＝CG＝x，∵O为EG，BD的交点，∴EG＝2x，FG＝x，∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，∴BF＝CG＝x，∴BG＝x+x，∴BC2＝BG2+CG2＝x2（+1）2+x2＝（4+2）x2，∴＝＝＝2+．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．9．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，∠BAC的角平分线AD⊥BD于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（）A．1.5B．3C．4.5D．9【分析】首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．【解答】解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．∵AD⊥BH，∴∠ADB＝∠ADH＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°，∵∠BAD＝∠HAD，∴∠ABD＝∠H，∴AB＝AH，∵AD⊥BH，∴BD＝DH，∵DC＝CA，∴∠CDA＝∠CAD，∵∠CAD+∠H＝90°，∠CDA+∠CDH＝90°，∴∠CDH＝∠H，∴CD＝CH＝AC，∵AE＝EC，∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，∵S△OBD﹣S△AOE＝S△ADB﹣S△ABE＝S△ADH﹣S△CDH＝S△ACD，∵AC＝CD＝3，∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝．故选：C．【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．10．如图，∠ABC＝30°，点D、E分别在射线BC、BA上，且BD＝2，BE＝4，点M、N 分别是射线BA、BC上的动点，当DM+MN+NE最小时，（DM+MN+NE）2的值为（）A．20B．26C．32D．36【分析】如图，作点D关于BA的对称点G，作点E关于BC的对称点H，连接GH交AB有M，交BC有N，连接DM、EN，此时DM+MN+NE的值最小．再证明∠HBG＝90°，利用勾股定理即可解决问题；【解答】解：如图，作点D关于BA的对称点G，作点E关于BC的对称点H，连接GH 交AB有M，交BC有N，连接DM、EN，此时DM+MN+NE的值最小．根据对称的性质可知：BD＝BG＝2，BE＝BH＝4，DM＝GM，EN＝NH，∴DM+MN+NE的最小值为线段GH的长，∵∠ABC＝∠GBM＝∠HBC＝30°，∴∠HBG＝90°，∴GH2＝BG2+BH2＝20，∴当DM+MN+NE最小时，（DM+MN+NE）2的值为20，故选：A．【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．二．填空题（共6小题）11．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2+AC2+BC2的值为16．【分析】由勾股定理得AB2+AC2＝BC2，＝（2）2＝8，则AB2+AC2+BC2＝2BC2，即可得出结论【解答】解：∵Rt△ABC中，斜边BC＝2，∴AB2+AC2＝BC2＝（2）2＝8，∴AB2+AC2+BC2＝2BC2＝2×8＝16．故答案为：16．【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．12．如图，已知，∠MON＝∠BAC＝90°，且点A在OM上运动，点B在ON上运动，若AB＝8，AC＝6，则OC的最大值为4+2．【分析】取AB的中点E，连接OE，CE，利用勾股定理求出CE，再利用直角三角形斜边上中线的性质得OE的长，最后利用三角形三边关系可得答案．【解答】解：取AB的中点E，连接OE，CE，∴AE＝4，在Rt△ACE中，由勾股定理得，CE＝＝＝2，∵∠AOB＝90°，点E为AB的中点，∴OE＝AB＝4，∵OC≤OE+CE，∴当点O、E、C共线时，OC最大值为4+2，故答案为：4+2．【点评】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握三角形三边关系求单线段的最值是解题的关键．13．如图，已知四边形ABCD中，AB＝AD＝，CB＝CD＝，∠DAB＝90°，若线段DE平分四边形ABCD的面积，则DE＝．【分析】连接BD交AC于点O，证明AC垂直平分BD，利用勾股定理可求解BD＝2，OC＝2，再利用面积法可求解DE的长．【解答】解：连接BD交AC于点O，过D点作DM⊥BC于点M，∵AB＝AD＝，CB＝CD＝，∴A，C在BD的垂直平分线上，即AC垂直平分BD，∵∠DAB＝90°，∴BD＝，S△ABD＝AB•AD＝，∴AO＝DO＝BO＝1，∴CO＝，∴S△BCD＝＝，∴四边形ABCD的面积＝1+2＝3，∵S△BCD＝BC•DM＝2，∴DM＝＝，∴BM＝，∵线段DE平分四边形ABCD的面积，∴S△CDE＝，S△BDE＝，∴BE：CE＝1：3，∴BE＝，∴EM＝BM﹣BE＝，∴DE＝．故答案为：．【点评】本题主要考查线段垂直平分线，勾股定理，三角形的面积，证明AC垂直平分BD是解题的关键．14．如图，△ABC中，∠A＝45°，AB＝3，AC＝2，若点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的动点，则△DEF周长的最小值为．【分析】如图，作E关于AB的对称点，作E关于AC的对称点N，连接AE，MN，MN 交AB于D，交AC于F，作AH⊥BC于H，CK⊥AB于K．由对称性可知：DE＝DM，FE＝FN，AE＝AM＝AN，推出△DEF的周长DE+EF+FD＝DM+DF+FN，推出当点E固定时，此时△DEF的周长最小，再证明△MNA是等腰直角三角形，推出MN＝AE，推出当AE的值最小时，MN的值最小，求出AE的最小值即可解决问题．【解答】解：如图，作E关于AB的对称点M，作E关于AC的对称点N，连接AE，MN，MN交AB于D，交AC于F，作AH⊥BC于H，CK⊥AB于K．由对称性可知：DE＝DM，FE＝FN，AE＝AM＝AN，∴△DEF的周长DE+EF+FD＝DM+DF+FN，∴当点E固定时，此时△DEF的周长最小，∵∠BAC＝45°，∠BAE＝∠BAM，∠CAE＝∠CAN，∴∠MAN＝90°，∴△MNA是等腰直角三角形，∴MN＝AE，∴当AE的值最小时，MN的值最小，∵AC＝2，∴AK＝KC＝2，∵AB＝3，∴BK＝AB﹣AK＝1，在Rt△BKC中，∠BKC＝90°，BK＝1，CK＝2，∴BC＝＝，∵•BC•AH＝•AB•CK，∴AH＝，根据垂线段最短可知：当AE与AH重合时，AE的值最小，最小值为，∴MN的最小值为，∴△DEF的周长的最小值为．【点评】本题考查了轴对称问题，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．15．一个三角形有一内角为48°，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰三角形，那么它的最大内角可能是88°，90°，99°，108°，116°．【分析】当它为顶角时，根据等腰三角形的性质，可以求得最大角是90度，如图①所示；当它是侧角时，用同样的方法，可求得最大角有4种情况．【解答】解：如图①所示，当∠BAC＝48°时，那么它的最大内角是90°当∠ACB＝48°时，有以下4种情况，故答案为：88°，90°，99°，108°，116°【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，此题涉及等知识点并不多，但是要分4种情况解答，因此，属于难题．16．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，AC＝4，AB＝8，点D在△ABC内，连接DA、DB、DC，则DC+DB+AD的最小值是4．【分析】如图，将△ADB绕点A顺时针旋转120°得到△AEF，连接DE，CF，过点F 作FH⊥CA交CA的延长线于H．则DE＝AD，则DC+DB+DA＝DC+DE+EF≥CF，求出CF即可得出结论．【解答】解：如图，将△ADB绕点A顺时针旋转120°得到△AEF，连接DE，CF，过点F作FH⊥CA交CA的延长线于H．∵AD＝AE，∠DAE＝120°，BD＝EF，∴DE＝AD，∴DC+DB+DA＝DC+DE+EF，∵CD+DE+EF≥CF，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝30°，∴AB＝AB•cos30°＝4，在Rt△AFH中，∠H＝90°，AF＝AB＝8，∠F AH＝30°，∴FH＝AF＝4，AH＝FH＝4，∴CH＝AC+AH＝8，∴CF＝＝＝4，∴CD+DB+AD≥4，∴CF的最小值为4．故答案为：．【点评】本题考查轴对称最短问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用旋转变换，把问题转化为两点之间线段最短，属于中考填空题中的压轴题．三．解答题（共7小题）17．图①、图②、图③均是9×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，保留适当的作图痕迹．（1）在图①中，画△ABC关于AC的轴对称图形，得到四边形ABCD．（2）在图②中，画EF∥BC，点E在AC上，点F在AB上，且AE＝2EC．（3）在图③中，画△ABC关于BC的轴对称图形，得到四边形ACMB．【分析】（1）依据要求，根据轴对称的性质作图即可．（2）利用平行线分线段成比例定理作图即可．（3）取格点P，Q，连接PQ，过点A作BC的垂线，与PQ交于点M，连接CM，BM 即可．【解答】解：（1）如图①，四边形ABCD即为所求．（2）如图②，EF即为所求．（3）如图③，四边形ACMB即为所求．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，且∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点B、F．（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长；（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得BD＝5，由勾股定理计算可得AD的长，由等腰直角三角形性质得DF＝5，最后由线段的差可得结论；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△CHB≌△AEF（SAS），得AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，由等腰三角形三线合一的性质得EF＝FH，最后由勾股定理和等量代换可得结论．【解答】（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BC＝10，∴BD＝5，Rt△ABD中，∵AB＝13，∴AD＝＝＝12，在Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴DF＝BD＝5，∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH，在△CHB和△AEF中，，∴△CHB≌△AEF（SAS），∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，∴∠CEF＝∠CHE，∴CE＝CH，∵BD＝CD，FD⊥BC，∴CF＝BF，∴∠CFD＝∠BFD＝45°，∴∠CFB＝90°，∴EF＝FH，在Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，∴BF2+EF2＝AE2．【点评】本题考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，第二问有难度，正确作出辅助线是关键．19．求证：等腰三角形两底角的平分线相等．【分析】根据等腰三角形的两底角相等可得到∠ABC＝∠ACB，再根据角平分线的性质可得到∠BCE＝∠CBF，从而可利用ASA判定△BCE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等即可证得结论．【解答】已知：△ABC中，AB＝AC，BF，CE分别∠ABC，∠ACB的角平分线．求证：BF＝CE，即等腰三角形的两底角的平分线相等证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BF，CE分别是∠ABC，∠ACB的角平分线，∴∠BCE＝∠CBF，∵∠ABC＝∠ACB，BC＝BC，∴△BCE≌△CBF，∴BF＝CE，即等腰三角形两底角的平分线相等．【点评】此题主要考查等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合运用．20．如图，点P是∠AOB外的一点，点Q是点P关于OA的对称点，点R是点P关于OB 的对称点，直线QR分别交∠AOB两边OA，OB于点M，N，连接PM，PN，如果∠PMO ＝33°，∠PNO＝70°，求∠QPN的度数．【分析】先根据点P与点Q关于直线OA对称可知OM是线段PQ的垂直平分线，故PM ＝MQ，∠PMQ＝2∠PMO，根据三角形内角和定理求出∠PQM的度数，同理可得出PN ＝RN，故可得出∠PNR＝2∠PNO，再由平角的定义得出∠PNQ的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵点Q和点P关于OA的对称，点R和点P关于OB的对称∴直线OA、OB分别是PQ、PR的中垂线，∴MP＝MQ，NP＝NR，∴∠PMO＝∠QMO，∠PNO＝∠RNO，∵∠PMO＝3 3°，∠PNO＝70°∴∠PMO＝∠QMO＝33°，∠PNO＝∠RNO＝70°∴∠PMQ＝66°，∠PNR＝140°∴∠MQP＝57°，∴∠PQN＝123°，∠PNQ＝40°，∴∠QPN＝17°．【点评】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解答此题的关键．21．已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．求证：AC﹣AB＝2BE．【分析】延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，得出∠3＝∠4，AB＝AM，∴AC ﹣AB＝AC﹣AM＝CM．再利用∠4是△BCM的外角，再利用等腰三角形对边相等，CM＝BM利用等量代换即可求证．【解答】证明：延长BE交AC于M∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEM＝90°在△ABE中，∵∠1+∠3+∠AEB＝180°，∴∠3＝90°﹣∠1同理，∠4＝90°﹣∠2∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM∵BE⊥AE，∴BM＝2BE，∴AC﹣AB＝AC﹣AM＝CM，∵∠4是△BCM的外角∴∠4＝∠5+∠C∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C∴∠5＝∠C∴CM＝BM∴AC﹣AB＝BM＝2BE【点评】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题的关键是作好辅助线，延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，三角形外角的性质，考查的知识点较多，是一道难题．22．在△ABC中，∠B＝∠C，点D在BC上，点E在AC上，连接DE且∠ADE＝∠AED．（1）当点D在BC（点B，C除外）边上运动时（如图1），且点E在AC边上，猜想∠BAD与∠CDE的数量关系，并证明你的猜想．（2）当点D在直线BC上运动时（如图2），且点E在AC边所在的直线上，若∠BAD＝25°，求∠CDE的度数（直接写出结果）．【分析】（1）设∠B＝x，∠ADE＝y，根据已知等量求得∠C与∠AED，再通过三角形的外角性质求得∠CDE，通过三角形的内角和定理求得∠BAD，便可得出结论；（2）分四种情形画出图形分别求解可得结论．【解答】解：（1）结论：∠BAD＝2∠CDE．理由如下：设∠B＝x，∠ADE＝y，∵∠B＝∠C，∴∠C＝x，∵∠AED＝∠ADE，∴∠AED＝y，∴∠CDE＝∠AED﹣∠C＝y﹣x，∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣2y，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠C﹣∠DAE＝180°﹣x﹣x﹣（180°﹣2y）＝2（y﹣x），∴∠BAD＝2∠CDE；（2）当E点在AC的延长线上时，AD＜AC＜AE，此时∠ADE≠∠AED，故点E不可能在AC的延长线上，分两种情况：当点E在线段AC上时，与①相同，∠CDE＝12.5°；当点E在CA的延长线上时，如图2，在AC边上截取AE′＝AE，连接DE′，∵∠ADE＝∠AED，∴AE＝AD＝AE′，∴∠ADE＝∠AE′D，由①知，∠CDE′＝12.5°，∴∠ADE+∠ADE′＝∠AED+∠AE′D，∵∠ADE+∠ADE′+∠AED+∠AE′D＝180°，∴∠ADE+∠ADE′＝∠AED+∠AE′D＝90°，∴∠CDE＝90°+12.5°＝102.5°．如图3中，当点D在CB的延长线上时，同法可得∠CDE′＝12.5°，∠CDE＝77.5°综上所述：∠CDE的度数为12.5°或102.5°或77.5°．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形性质的外角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．23．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD ＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？【分析】（1）根据动点的运动速度和时间先求出PC，再根据勾股定理即可求解；（2）根动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解；（3）根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．【解答】解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP＝＝＝2．答：AP的长为2．（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，根据勾股定理，得AB＝＝＝8若BA＝BP，则2t＝8，解得t＝4；若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；若P A＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4、16、5．（3）①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：则∠AED＝∠PED＝90°，∴∠PED＝∠ACB＝90°，∴PD平分∠APC，∴∠EPD＝∠CPD，又∵PD＝PD，∴△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，解得：t＝5；②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：同①得：△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，解得：t＝11；综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形．。

考点16.特殊三角形（等腰三角形与直角三角形）（精讲）【命题趋势】特殊的三角形重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为10分左右，预计2024年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查等腰（等边）三角形性质与判定和勾股（逆）定理、直角三角形的性质、尺规作图等知识点结合考查，这部分知识需要学生扎实地掌握基础，并且会灵活运用。

在解答题中会出现等腰三角形与直角三角形的性质和判定，这部分知识主要考查基础。

【知识清单】1：等腰（等边）三角形的性质与判定（☆☆☆）1）等腰三角形的定义：有两边相等的三角形角等腰三角形。

2）等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）。

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）。

3）等腰三角形的判定：若某三角形有两个角相等，那这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。

4）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形。

5）等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边相等；（2）三个内角都相等，且每个内角都是60°；（3）等边三角形（边长为a6）等边三角形的判定：（1）三边相等或三个内角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

2：垂直平分线的性质与判定（☆☆）1）垂直平分线的定理：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）。

2）垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

3）垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

3：勾股定理与逆定理及其应用（☆☆）1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．2）勾股定理的逆定理：若三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．4：直角三角形的性质及计算（☆☆☆）1）直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．2）直角三角形的性质：（1）直角三角形两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

中考内容中考要求ABC等腰三角形与直角三角形了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩定义等边对等角等腰三角形性质三线合一等腰三角形判定定义特殊三角形等边三角形性质判定定义直角三角形性质判定一、 等腰三角形1、定义：有两边相等的三角形是等腰三角形．相等的两边叫做腰，第三边为底．2、性质：(1)轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴． (2)定理1：等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”．(3)定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”． 3、判定：如果一个三角形有两角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称“等角对等边”．知识精讲中考大纲 特殊三角形知识网络图【补充】1、等腰三角形两腰上的高相等；2、等腰三角形两腰上的中线相等；3、等腰三角形两底角的平分线相等；二、等边三角形1、定义：三边相等的三角形是等边三角形．2、性质：(1)轴对称性：等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴．(2)等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3、判定：(1)判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形．(2)判定2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．三、线段的垂直平分线1、定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线．2、性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．3、判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．4、实质构成：线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点距离相等的所有点的集合．四、直角三角形1、直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半．2、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．解题方法技巧1、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．AC 2、等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行3、等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．如图，即DE DF BG +=．本结论可以用面积列等式推得．ABCABCDE F G4、等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高．5、要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，得到两边相等的方法主要有：(1)通过等角对等边；(2)通过三角形全等得两边相等；(3)利用垂直平分线的性质得到两边相等．1、遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，角有底角和顶角之分．2、遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况．3、等腰三角形三线合一定理没有逆定理，定理的逆推论需要用全等去证明．易错点辨析题型一：等腰三角形的性质与判定【例1】 已知ABC △中，AB AC =．36A ∠=︒，则C ∠______． 【例2】 等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为_______． 【例3】 等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为__________． 【例4】 已知等腰三角形的周长为24cm ，一腰长是底边长的2倍，则腰长是( ) A ．4.8cm B ．9.6cm C ．2.4cm D ．1.2cm【例5】 在等腰ABC △中，AB AC =，其周长为20cm ，则AB 边的取值范围是__________．（2014年玉林中考）【例6】 如图，在ABC △中，AB AC =，且D 为BC 上一点，CD AD =，AB BD =，则B ∠的度数为__________．（2014年南充中考）DCBA【例7】 如图，在Rt ABC △中，D E ，为斜边AB 上的两个点，且BD BC AE AC ==，，则DCE ∠的大小为__________．（2014年天津）EDCBA【例8】 如图，ABC ∆中，30A ∠=︒，CD 是BCA ∠的平分线，ED 是CDA ∠的平分线，EF 是DEA ∠的平分线，DF FE =，求B ∠.ABCDEF特殊三角形习题集课堂练习【例9】 如图，P 为等腰三角形ABC 的底边AB 上的任意一点，PE AC ⊥于点E ，PF ⊥BC 于点F ，AD BC ⊥点D ，求证：PE PF AD +=．ABCE D PF【例10】 如图，点P 为等腰三角形ABC 的底边BA 的延长线上的一点，PE CA ⊥的延长线于点E ，PF BC⊥于点F ，AD BC ⊥于点D ．PE 、PF 、AD 之间存在着怎样的数量关系?ABCEDP F【例11】 如图所示，已知ABC △中，D 、E 为BC 边上的点，且AD AE =，BD EC =，求证：AB AC =．AB CD E【例12】 如图，请在下列四个等式中，选出两个作为条件，推出AED △是等腰三角形，并予以证明．（写出一种即可）等式：①AB DC =，②BE CE =，③B C ∠=∠，④BAE CDE ∠=∠． 已知：____________________ 求证：AED △是等腰三角形． 证明：【例13】 如图1，已知矩形ABED ，点C 是边DE 的中点，且2AB AD =．（1）判断ABC △的形状，并说明理由；（2）保持图1中ABC △固定不变，绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图2中（当垂线段AD 、BE 在直线MN 的同侧），试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明； （3）保持图2中ABC △固定不变，继续绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图3中的位置（当垂线段AD 、BE 在直线MN 的异侧）．试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明．（2010年临沂）题型二：等腰三角形的作图题【例14】 已知ABC ∆中，90A ∠=︒，67.5B ∠=︒.请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形.（请你利用下面给出的备用图，画出两种不同的分割方法.只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）.CB ACB A【例15】 已知菱形ABCD 中，72A ∠=︒，请设计两种不同的分法，将菱形ABCD 分割成四个三角形，使得分割成的每个三角形都是等腰三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，例如第20题图，不要求写出画法，不要求证明.）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法.36︒36︒36︒18︒18︒54︒72︒72︒72︒54︒DCBAA分A BC D分法2A BC D分法1题型三：等边三角形的性质【例16】 如图，DAC △和EBC △均是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结论：① ACE DCB △≌△；②CM CN =；③AC DN =．其中正确结论的个数是_____ A ． 3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个NM ED BA【例17】 如图，在等边ABC △中，点D E ，分别在边BC AB ，上，BD AE =，AD 与CE 交于点F ．（1）求证：AD CE =； （2）求DFC ∠的度数．FE DCBA【例18】 如图，已知ABC △为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且DEF ∆也是等边三角形．除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的．F EDCBA【例19】 已知，如图，延长ABC △的各边，使得BF AC =， AE CD AB ==，顺次连接D ，E ，F ，得到DEF △为等边三角形．求证：(1)AEF △≌CDE △； (2)ABC △为等边三角形．F DECB A【例20】 如下图，ABC ∆是等边三角形，122CBF ACD BAE ∠∠∠=∶∶∶∶，38DEF DFE ∠-∠=︒．求出DEF∆的每个内角度数．FEDCBA【例21】 如图，三角形ABC 中，AB BC CA ==，AE CD =，AD ，BE 相交于P ，BQ 垂直AD 于Q ，求证：2BP PQ =．P QA BC DE【例22】 如图，在等边ABC △中，点D E ，分别在边BC AB ，上，BD AE =，AD 与CE 交于点F ．(1)求证：AD CE =；(2)求DFC ∠的度数．FE DCBA题型四：直角三角形的性质与判定【例23】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，6cm BC AB +=，则AB =_______cm ．【例24】 如图，在Rt ABC ∆中，9060B ACB D ∠=︒∠=︒，，是BC 延长线上一点，且AC CD =，则:BC CD =_________．DCBA【例25】 若AD 为ABC ∆的高，且1AD =，1BD =，DC BAC ∠=____________．【例26】 已知：如图，在ABC △中，AB BC =，90ABC ∠=︒．F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =，连接AE 、EF 和CF ． （1）求证：AE CF =；（2）若30CAE ∠=︒，求EFC ∠的度数．FECBA【例27】 如图，在ABC ∆中，BF AC ⊥于F ，CG AB ⊥于G D E ，，分别是BC FG ，的中点．求证：DE GF ⊥．GFE D CB A【练1】 等腰三角形的一边长为3cm ，另一边长为4cm ，则它的周长是 ___________．【练2】 如图，ABC ∆和BDE ∆都是等边三角形，AB BD <，若ABC ∆不 动，将BDE ∆绕点B 旋转，则在旋转过程中，AE 与CD 的大小关系为( )．A ． AE CD =B ． AE CD >C ． AE CD < D ． 无法确定EDCBA【练3】 MON ∠是一个钢架，10MON ∠=︒，在其内部添加一些钢管BC ，CD ，DE ，EF ，FG ，…添加的钢管长度都与OB 相等．（1）当添加到第五根钢管时，求FGM ∠的度数．（2）假设OM 、ON 足够长，能无限地添加下去吗?如果能，请说明理由．如果不能，则最多能添加几根?D NMFEO CBG【练4】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是ABC ∆外的一点，且60ABD ∠=，60ACD ∠=．求证：BD DC AB +=．DCBA课后作业【练5】 如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=，CA BA =，15DAC DCA ∠=∠=，求证：BA BD =．DACB【练6】 如图ABC △中，AD 平分BAC ∠，DG BC ⊥且平分BC ，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F .⑴说明BE CF =的理由；⑵如果AB a =，AC b =，求AE ，BE 的长.GFE DC BA。

特殊三角形二十个考点归纳总结考点1轴对称图形的识别解决此类问题关键是掌握如果一个图形沿一条直线折丧，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴 对称图形.例题1 2020年初，新型冠状病毒引发肺炎疫情.一方有难，八方支援，全国多家医院纷纷选派医护人员 驰援武汉.下面是四家医院标志的图案部分，其中图案部分是轴对称图形的是（ ）功盘 ⑥曲A.协和医院B.湘雅医院C.齐鲁医院D.华西医院【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可.【解析】工、不是轴对称图形，故此选项不合题意：不是轴对称图形，故此选项不符合题意：C 、是轴对称图形，故此选项符合题意；。

、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C.变式1 下列交通指示标识中，是轴对称图形的有（ ）【分析】根据轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合解答.【解析】第一、二、四个图形是轴对称图形，第三个图形不是轴对称图形，故选：C.【小结】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合. 变式2 下列与防疫有关的图案中不是轴对称图形的有（ ）A A ® A 当心辐射I I 当心感染I I 必须戴防护手套］I 小心腐蚀A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个A.1个B. 2个C. 3个D. 4个【分析】根据轴对称图形定义进行分析即可.【解析】第一个图案和第二个图案是轴对称图形，第三个图案和第四个图案不是轴对称图形，则不是轴对称图形的有2个，故选：B.【小结】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念.变式3 下列图形中，是轴对称图形的有（）个.①角②线段③等腰三角形④等边三角形⑤扇形⑥圆⑦平行四边形A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个【分析】直接利用轴对称图形的定义分析得出答案.【解析】①角②线段③等腰三角形④等边三角形⑤扇形⑥圆⑦平行四边形中只有平行四边形不是轴对称图形.故轴对称图形有6个.故选：C.【小结】此题主要考查了轴对称变换，正确把握轴对称图形的定义是解题关键.考点2轴对称的性质与运用轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等.例题2 如图，尸为内一点，分别画出点尸关于。

解直角三角形一.选择题1．（2018·重庆市B卷）（4.00分）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75.坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）（）A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°=，构建方程即可解决问题；【解答】解：作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．在Rt△CDN中，∵==，设CN=4k，DN=3k，∴CD=10，∴（3k）2+（4k）2=100，∴k=2，∴CN=8，DN=6，∵四边形BMNC是矩形，∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66，在Rt△AEM中，tan24°=，∴0.45=，∴AB=21.7（米），故选：A．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．2．（2018·吉林长春·3分）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A.B在同一水平面上）．为了测量A.B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A.B两地之间的距离为（）A．800sinα米B．800tanα米C．米D．米【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=，即可解决问题；【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，∴tanα=，∴AB==．故选：D．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．（2018·江苏常州·2分）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是（）A．B．C．D．【分析】如图，连接AD．只要证明∠AOB=∠ADO，可得sin∠AOB=sin∠ADO==；【解答】解：如图，连接AD．∵OD是直径，∴∠OAD=90°，∵∠AOB+∠AOD=90°，∠AOD+∠ADO=90°，∴∠AOB=∠ADO，∴sin∠AOB=sin∠ADO==，故选：D．【点评】本题考查圆周角定理、直径的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考创新题目．二.填空题1.（2018·湖北江汉·3分）我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B在海岛A，C 附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A的北偏东45°方向上．在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18（1+）n mile处，则海岛A，C之间的距离为18n mile．【分析】作AD⊥BC于D，根据正弦的定义、正切的定义分别求出BD.CD，根据题意列式计算即可．【解答】解：作AD⊥BC于D，设AC=x海里，在Rt△ACD中，AD=AC×sin∠ACD=x，则CD=x，在Rt△ABD中，BD=x，则x+x=18（1+），解得，x=18，答：A，C之间的距离为18海里．故答案为：182.（2018·湖北荆州·3分）荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a的值约为米（≈1.73，结果精确到0.1）．【解答】解：如图，设CD为塔身的高，延长AB交CD于E，则CD=40，DE=7，∴CE=33，∵∠CBE=45°=∠BCE，∠CAE=30°，∴BE=CE=33，∴AE=a+33，∵tanA=，∴tan30°=，即33=a+33，解得a=33（﹣1）≈24.1，∴a的值约为24.1米，故答案为：24.1．3．(2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，某景区的两个景点A.B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时、测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为知30°，此时C到地面的距离CD 为100米，则两景点A.B间的距离为100+100米（结果保留根号）．【解答】解：∵∠MCA=45°，∠NCB=30°，∴∠ACD=45°，∠DCB=60°，∠B=30°．∵CD=100米，∴AD=CD=100米，DB=米，∴AB=AD+DB=100+100（米）．故答案为：100+100．4. （2018·湖北咸宁·3分）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110m，那么该建筑物的高度BC约为_____m（结果保留整数，≈1.73）．【答案】300【解析】【分析】在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD=AD•tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD=AD•tan∠CAD，再根据BC=BD+CD，代入数据计算即可．【详解】如图，∵在Rt△ABD中，AD=110，∠BAD=45°，∴BD= AD•tan45° =110（m），∵在Rt△ACD中，∠CAD=60°，∴CD=AD•tan60°=110×≈190（m），∴BC=BD+CD=110+190=300（m），即该建筑物的高度BC约为300米，故答案为：300．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．5.（2018·辽宁大连·3分）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）解：过D作DE⊥AB，∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，∴∠ADE=53°．∵BC=DE=6m，∴AE=DE•tan53°≈6×1.33≈7.98m，∴AB=AE+BE=AE+CD=7.98+1.5=9.48m≈9.5m．故答案为：9.5．三.解答题1.（2018·广西贺州·8分）如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：≈1.41，≈1.73）【解答】解：过点C作CM⊥AB，垂足为M，在Rt△ACM中，∠MAC=90°﹣45°=45°，则∠MCA=45°，∴AM=MC，由勾股定理得：AM2+MC2=AC2=（20×2）2，解得：AM=CM=40，∵∠ECB=15°，∴∠BCF=90°﹣15°=75°，∴∠B=∠BCF﹣∠MAC=75°﹣45°=30°，在Rt△BCM中，tanB=tan30°=，即=，∴BM=40，∴AB=AM+BM=40+40≈40+40×1.73≈109（海里），答：A处与灯塔B相距109海里．2.（2018·广西梧州·8分）随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上D点处测得瀑布顶端A点的仰角是30°，测得瀑布底端B点的俯角是10°，AB与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得CG=27m，GF=17.6m（注：C.G、F三点在同一直线上，CF⊥AB于点F）．斜坡CD=20m，坡角∠ECD=40°．求瀑布AB的高度．（参考数据：≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）【分析】过点D作DM⊥CE，交CE于点M，作DN⊥AB，交AB于点N，在Rt△CMD中，通过解直角三角形可求出CM的长度，进而可得出MF、DN的长度，再在Rt△BDN、Rt△ADN中，利用解直角三角形求出BN、AN的长度，结合AB=AN+BN即可求出瀑布AB的高度．【解答】解：过点D作DM⊥CE，交CE于点M，作DN⊥AB，交AB于点N，如图所示．在Rt△CMD中，CD=20m，∠DCM=40°，∠CMD=90°，∴CM=CD•cos40°≈15.4m，DM=CD•sin40°≈12.8m，∴DN=MF=CM+CG+GF=60m．在Rt△BDN中，∠BDN=10°，∠BND=90°，DN=60m，∴BN=DN•tan10°≈10.8m．在Rt△ADN中，∠ADN=30°，∠AND=90°，DN=60m，∴AN=DN•tan30°≈34.6m．∴AB=AN+BN=45.4m．答：瀑布AB的高度约为45.4米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题及坡度坡角问题，通过解直角三角形求出AN、BN的长度是解题的关键．3.（2018·湖北十堰·7分）如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东45方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东30°方向上的B处，求此时船距灯塔的距离（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果取整数）．【分析】过C作CD垂直于AB，根据题意求出AD与BD的长，由AD+DB求出AB的长即可．【解答】解：过C作CD⊥AB，在Rt△ACD中，∠A=45°，∴△ACD为等腰直角三角形，∴AD=CD=AC=50海里，在Rt△BCD中，∠B=30°，∴BC=2CD=100海里，根据勾股定理得：BD=50海里，则AB=AD+BD=50+50≈193海里，则此时船锯灯塔的距离为193海里．【点评】此题考查了解直角三角形﹣方向角问题，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．4.（2018·云南省昆明·7分）小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD．她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，测得隧道底端B处的俯角为30°（B，C，D在同一条直线上），AB=10m，隧道高6.5m（即BC=65m），求标语牌CD的长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73）【分析】如图作AE⊥BD于E．分别求出BE.DE，可得BD的长，再根据CD=BD﹣BC计算即可；【解答】解：如图作AE⊥BD于E．在Rt△AEB中，∵∠EAB=30°，AB=10m，∴BE=AB=5（m），AE=5（m），在Rt△ADE中，DE=AE•tan42°=7.79（m），∴BD=DE+BE=12.79（m），∴CD=BD﹣BC=12.79﹣6.5≈6.3（m），答：标语牌CD的长为6.3m．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．5.（2018·浙江省台州·8分）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m．当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC 为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）【分析】作CE⊥BD于F，AF⊥CE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，则EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，再计算出∠CAF=28°，则在Rt△ACF中利用正弦可计算出CF，然后计算CF+EF 即可．【解答】解：作CE⊥BD于F，AF⊥CE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，∴EF=AH=3.4m，∠HAF=90°，∴∠CAF=∠CAH﹣∠HAF=118°﹣90°=28°，在Rt△ACF中，∵sin∠CAF=，∴CF=9sin28°=9×0.47=4.23，∴CE=CF+EF=4.23+3.4≈7.6（m），答：操作平台C离地面的高度为7.6m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用勾股定理和三角函数的定义进行几何计算．6．（2018·辽宁省盘锦市）两栋居民楼之间的距离CD=30米，楼AC和BD均为10层，每层楼高3米．（1）上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻B楼的影子落在A楼的第几层？（2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部．【解答】解：（1）延长BG，交AC于点F，过F作FH⊥BD于H，由图可知，FH=CD=30m．∵∠BFH=∠α=30°．在Rt△BFH中，BH=，，答：此刻B楼的影子落在A楼的第5层；（2）连接BC\1BD=3×10=30=CD，∴∠BCD=45°，答：当太阳光线与水平面的夹角为45度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部．7．（2018·辽宁省抚顺市）（12.00分）如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A.B.C.D.M、N均在同一平面内，CM∥AN）．（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：=1.73．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】（1）延长DC交AN于H．只要证明BC=CD即可；（2）在Rt△BCH中，求出BH、CH，在Rt△ADH中求出AH即可解决问题；【解答】解：（1）延长DC交AN于H．∵∠DBH=60°，∠DHB=90°，∴∠BDH=30°，∵∠CBH=30°，∴∠CBD=∠BDC=30°，∴BC=CD=10（米）．（2）在Rt△BCH中，CH=BC=5，BH=5≈8.65，∴DH=15，在Rt△ADH中，AH===20，∴AB=AH﹣BH=20﹣8.65=11.4（米）．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．8.（2018•呼和浩特•8分）如图，一座山的一段斜坡BD的长度为600米，且这段斜坡的坡度i=1：3（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）．已知在地面B处测得山顶A的仰角为33°，在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°．求山顶A到地面BC的高度AC是多少米？（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）解：作DH⊥BC于H．设AE=x．∵DH：BH=1：3，在Rt△BDH中，DH2+（3DH）2=6002，∴DH=60，BH=180，在Rt△ADE中，∵∠ADE=45°，∴DE=AE=x，∵又HC=ED，EC=DH，∴HC=x，EC=60，在Rt△ABC中，tan33°=，∴x=，∴AC=AE+EC=+60=．答：山顶A到地面BC的高度AC是米9.（2018•广安•8分）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速，如图所示，观测点C到公路的距离CD=200m，检测路段的起点A位于点C的南偏东60°方向上，终点B位于点C的南偏东45°方向上．一辆轿车由东向西匀速行驶，测得此车由A处行驶到B处的时间为10s．问此车是否超过了该路段16m/s的限制速度？（观测点C离地面的距离忽略不计，参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】根据直角三角形的性质和三角函数得出DB，DA，进而解答即可．【解答】解：由题意得：∠DCA=60°，∠DCB=45°，在Rt△CDB中，tan∠DCB=，解得：DB=200，在Rt△CDA中，tan∠DCA=，解得：DA=200，∴AB=DA﹣DB=200﹣200≈146米，轿车速度，答：此车没有超过了该路段16m/s的限制速度．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解答本题的关键是利用三角函数求出AD与BD的长度，难度一般．10.（2018•莱芜•9分）在小水池旁有一盏路灯，已知支架AB的长是0.8m，A端到地面的距离AC是4m，支架AB与灯柱AC的夹角为65°．小明在水池的外沿D测得支架B端的仰角是45°，在水池的内沿E测得支架A端的仰角是50°（点C.E.D在同一直线上），求小水池的宽DE．（结果精确到0.1m）（sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan50°≈1.2）【分析】过点B作BF⊥AC于F，BG⊥CD于G，根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．【解答】解：过点B作BF⊥AC于F，BG⊥CD于G，在Rt△BAF中，∠BAF=65°，BF=AB•sin∠BAF=0.8×0.9=0.72，AF=AB•cos∠BAF=0.8×0.4=0.32，∴FC=AF+AC=4.32，∵四边形FCGB是矩形，∴BG=FC=4.32，CG=BF=0.72，∵∠BDG=45°，∴∠BDG=∠GBD，∴GD=GB=4.32，∴CD=CG+GD=5.04，在Rt△ACE中，∠AEC=50°，CE=，∴DE=CD﹣CE=5.04﹣3.33=1.71≈1.7，答：小水池的宽DE为1.7米．【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，关键是本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．11．（2018·江苏镇江·6分）如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24米，小明在点E（B，E，D在一条直线上）处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8米到达点G处，测得教学楼CD 顶部的仰角为30°．已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB 的高度AB长．（精确到0.1米）参考值：≈1.41，≈1.73．【解答】解：延长HF交CD于点N，延长FH交AB于点M，如右图所示，由题意可得，MB=HG=FE=ND=1.6m，HF=GE=8m，MF=BE，HN=GD，MN=BD=24m，设AM=xm，则CN=xm，在Rt△AFM中，MF=，在Rt△CNH中，HN=，∴HF=MF+HN﹣MN=x+x﹣24，即8=x+x﹣24，解得，x≈11.7，∴AB=11.7+1.6=13.3m，答：教学楼AB的高度AB长13.3m．12．（2018·江苏常州·8分）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A.B和点C.D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH 的长）．【分析】过D作DE⊥AB，可得四边形CHED为矩形，由矩形的对边相等得到两对对边相等，分别在直角三角形ACH与直角三角形BDE中，设CH=DE=xm，利用锐角三角函数定义表示出AH与BE，由AH+HE+EB=AB列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：过D作DE⊥AB，可得四边形CHED为矩形，∴HE=CD=40m，设CH=DE=xm，在Rt△BDE中，∠DBA=60°，∴BE=xm，在Rt△ACH中，∠BAC=30°，∴AH=xm，由AH+HE+EB=AB=160m，得到x+40+x=160，解得：x=30，即CH=30m，则该段运河的河宽为30m．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．。