空间解析几何数学竞赛辅导

空间解析几何数学竞赛辅导一. 向量代数1、已知空间中任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，则向量),,(12121221z z y y x x M M ---=→2、已知向量),,(321a a a a =→、),,(321b b b b =→，则 （1）向量→a 的模为232221||a a a a ++=→（2）),,(332211b a b a b a b a ±±±=±→→（3）),,(321a a a a λλλλ=→ 3、向量的内积→→⋅b a（1）><⋅⋅=⋅→→→→→→b a b a b a ,cos |||| （2）332211b a b a b a b a ++=⋅→→其中><→→b a ,为向量→→b a ,的夹角，且π>≤≤<→→b a ,0注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。

4、向量的外积→→⨯b a （遵循右手原则，且→→→⊥⨯a b a 、→→→⊥⨯b b a ）321321b b b a a a k j ib a →→→→→=⨯ （1）332211//b a b a b a b a b a ==⇔=⇔→→→→λ （2）00332211=++⇔=⋅⇔⊥→→→→b a b a b a b a b a（3）几何意义： ||a b ⨯代表以,a b 为邻边的平行四边形的面积S ；平面上三点11(,,0)A x y ,22(,,0)B x y ,33(,,0)C x y 构成的三角形的面积为2121313111|||0|22ABCij k SAB AC x x y y x x y y =⨯=---- 2121313112x x y y x x y y --=--的绝对值也可以写成11223311121ABCx y Sx y x y =的绝对值。

高中数学竞赛专题讲座之五： 《解析几何》各类竞赛试题选讲一、选择题1．（04湖南）湖南）已知曲线已知曲线C ：x x y 22--=与直线0:=-+m y x l 有两个交点，则m 的取值范围是(C) A ．)2,12(-- B ．)12,2(--C ．)12,0[-D ．)12,0(-2．（05全国）方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线轴上的双曲线3．（06浙江）已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有（共有（ C ）条. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解: 由,5=AB 分别以A ，B 为圆心，2，5为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。

正确答案为C. 4．（06安徽）过原点O 引抛物线224y x ax a =++的切线，当a 变化时，两个切点分别在抛物线（线（ ）上）上A ．2213,22y x y x == B ．2235,22y x y x ==C ．22,3y x y x ==D ．223,5y x y x ==5．若在抛物线)0(2>=a ax y 的上方可作一个半径为r 的圆与抛物线相切于原点O ，且该圆与抛物线没有别的公共点，则r 的最大值是(A ) A ．a 21 B ．a1C ．aD ．a 26．（06江苏）已知抛物线y 2=2px ，o 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF 是直角三角形，则这样的点P 共有(B) A ．0个B ．2个C ．4个D ．6个7．（06全国）如图3，从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ．延长FT 交双曲线右支于P 点.若M 为线段FP 的中点，O 为坐为坐 标原点，则||||MO MT -与b a -的大小关系为（的大小关系为（ ） A ．||||MO MT b a ->-B ．||||MO MT b a -=-C ．||||MO MT b a -<-D ．不确定．不确定8．（05四川）双曲线12222=-b y a x 的左焦点为1F ，顶点为21,A A ，P 是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段211,A A PF 为直径的两圆一定为直径的两圆一定 （ ）A ．相交．相交B ．内切．内切C ．外切．外切D ．相离．相离解：设双曲线的另一个焦点为2F ，线段1PF 的中点为C ，在△PF F 21中，C 为1PF 的中点，O 为21F F 的中点，从而|)||(|21||212112A A PF PF OC -==，从而以线段211,A A PF 为直径的两圆一定内切. 9．点A 是直线x y l 3:=上一点，且在第一象限，点B 的坐标为（3，2），直线AB 交x 轴正半轴于点C ，那么三角形AOC 面积的最小值是（A ）10．（02湖南）已知A （-7，0），B （7，0），C （2，-12）三点，若椭圆的一个焦点为C ，且过A 、B 两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为（两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为（ ）（奥析263） A ．双曲线．双曲线 B ．椭圆．椭圆 C ．椭圆的一部分．椭圆的一部分 D ．双曲线的一部分．双曲线的一部分11．（03全国）过抛物线)2(82+=x y 的焦点F 作倾斜角为60O的直线。

数学竞赛中解析几何问题的解法（一）
解析几何是各种考试中的重点和难点内容，解析几何题的运算量往往较大，所以很多同学容易出错或者做着做着就做不下去了.所以减少运算量、降低难度常常是解析几何题能否顺利做出来的关键.本文就选了近年的部分考题，来说明解好解析几何题的一些方法.
一、抓住定义解题――要熟练掌握圆锥曲线的两个定义，很多考题都是从定义出发求解的
二、用好韦达定理――韦达定理是解题的重要工具，圆锥曲线问题中恰当运用韦达定理可以减少不必要的运算
三、结合向量――近年解析几何题常常安一个向量的外壳，所以熟练运用向量知识在解这类题中至关重要
例6对于两条互相垂直的直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切，求椭圆中心轨迹.（上海交大自主招生考试）
解以两条直线的交点为原点，两条直线为坐标轴建立直角坐标系.设椭圆的长轴长与短轴长分别为2a，2b（a>b>0）.中心为P（x，y），两个焦点分别为F1，F2.
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数学竞赛中解析几何问题的解法（一）
解析几何是各种考试中的重点和难点内容，解析几何题的运算量往往较大，所以很多同学简易出错或者做着做着就做不下去了.所以减少运算量、降低难度常常是解析几何题能否顺利做出来的关键.本文就选了近年的部分考题，来说明解好解析几何题的一些方法.
一、抓住定义解题――要烂熟掌握圆锥曲线的两个定义，很多考题都是从定义出发求解的
二、用好韦达定理――韦达定理是解题的严重工具，圆锥曲线问题中恰当运用韦达定理可以减少不必要的运算
三、结合向量――近年解析几何题常常安一个向量的外壳，所以烂熟运用向量知识在解这类题中至关严重
例6对于两条互相垂直的直线和一个椭圆，已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切，求椭圆中心轨迹.（上海交大自主招生考试）
解以两条直线的交点为原点，两条直线为坐标轴建立直角坐标系.设椭圆的长轴长与短轴长分别为2a，2b（a>b>0）.中心为P（x，y），两个焦点分别为F1，F2.
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解析几何竞赛题求解的几种常见策略 陈硕罡 吴国建（浙江省东阳中学322100）解析几何作为高中数学的重要内容之一，研究问题的主要方法是坐标法，解题的基本过程是：首先用代数语言（坐标及其方程）描述几何元素及其关系，将几何问题代数化，解决代数问题，得到结果，分析代数结果的几何意义，最终解决几何问题。

解决几何问题的解决往往需要具有较强的观察、分析问题、解决问题的能力，需要熟练掌握数形结合与转换的思想，同时还要具有较强的运算能力，所以解析几何一直是各级高中数学竞赛命题的热点和难点。

在近几年的全国数学联赛中一试试题中，一般有一或两道填空题和一道解答题，分值在30分左右，占一试总分值的四分之一，其重要性不言而喻。

下面笔者结合自己的教学实践，提出解析几何竞赛题求解的几种常见策略，与同仁们探讨。

一、用函数(变量)的观点来解决问题函数是描述客观世界中变量间依赖关系的重要数学模型。

抓住问题中引起变化的主变量，并用一个具体的量（斜率或点的坐标等）来表示它，同时把问题中的的因变量用主变量表示出来，从而变成一个函数的问题， 这就是解决问题的函数观点。

在解析几何问题中，经常会碰到由于某个量（很多时候是线或点）的变化，而引起图形中其它量（面积或长度等）的变化的情况，所以函数观点成为了解决解析几何的一种重要方法。

【例1】（2010全国高中数学联赛试题）已知抛物线26y x =上的两个动点11(,)A x y 和22(,)B x y ,其中12x x ≠且124x x +=.线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ,求△ABC 面积的最大值.【分析】通过对题目的分析可以发现线段AB 中点的横坐标已经是定值，只有纵坐标在变化，可以把AB 中点的纵坐标作为主变量，这样只要把∆ABC 的面积表示成以AB 中点的纵坐标的函数即可，这是问题就转化为求函数的最值问题。

【解析】设线段AB 的中点M 坐标为（0(2,)y ，则 则直线AB 的斜率：12122212121206366--====-+-y y y y k y y x x y y y 线段AB 的中垂线方程：00(2)3-=--y y y x ，易知线段AB 的中垂线与x 轴的交点为定点(5,0)C 直线AB 的方程：003(2)-=-y y x y ，联立抛物线方程消去x 可得：220022120-+-=y y y y （1）， 由题意，12,y y 是方程（1）的两个实根，且12≠y y，所以2200044(212)0∆=-->⇒-<y y y弦长12|||=-==AB y y 点C(5，0)到直线AB的距离：||==h CM则1||2∆=⋅==ABC S AB h≤=当且仅当22009242+=-y y ，即0=y ，点5,A B或A B 时等号成立，所以∆ABC。

数学竞赛精品课解析几何的高效解题方法解析几何是数学竞赛中的重要内容之一，也是相对较难的部分。

为了提高在解析几何题目上的解题效率，我们需要掌握一些高效的解题方法和技巧。

本文将介绍一些数学竞赛精品课中教授的解析几何的高效解题方法。

一、题目分析与几何性质的归纳在解析几何的题目中，首先我们需要仔细分析题目，理解题目的要求和条件。

同时，我们需要总结几何图形的性质和定理，将题目中的几何要素和已知条件归纳整理。

这样不仅可以帮助我们更好地理解题目，还能够为后续解题过程中的思路提供指导。

二、构建辅助线与辅助图形在解析几何的题目中，合理地构建辅助线与辅助图形是提高解题效率的重要一环。

通过构建辅助线和辅助图形，我们可以产生新的几何关系，简化原题的解决过程。

在构建辅助图形时，我们可以根据题目中的几何要素和已知条件来选择合适的辅助线和辅助图形，以减少问题的复杂性。

三、利用相似性与对称性在解析几何的题目中，相似性和对称性是经常使用的思想和方法。

通过观察几何图形的相似性和对称性，我们可以得到一些有用的信息，简化题目的解决过程。

当题目中的几何图形具有相似性或对称性时，我们可以利用相似性定理、对称轴等性质来推导和求解题目。

四、利用三角函数和向量方法解析几何中常常涉及到角度、距离和方向等概念，因此利用三角函数和向量方法可以帮助我们更快地解决问题。

通过运用三角函数的性质和向量的运算法则，我们可以得到一些有用的结论，从而更好地解析几何的题目。

五、利用面积和体积的性质在解析几何中，面积和体积的性质经常用于推导和求解题目。

通过利用面积和体积的性质，我们可以得到一些有关几何图形的关键信息，帮助我们更快地解决问题。

在解析几何的题目中，常用的面积和体积的性质包括三角形的面积公式、平行四边形的面积公式、立体图形的体积公式等。

六、几何题目的综合解题方法除了以上介绍的一些高效解题方法和技巧外，还有一些综合解题方法可以帮助我们更好地解决解析几何题目。

比如运用直线的垂直性与平行性、利用圆的切线与弦的性质、通过解析几何与代数几何的结合等等。

数学竞赛数学类b类解析几何知识点摘要：1.数学竞赛简介2.数学类B类竞赛大纲概述3.解析几何知识点概述4.解析几何在数学竞赛中的应用5.提高解析几何能力的方法和建议6.总结正文：一、数学竞赛简介数学竞赛是一项旨在选拔和培养数学人才的重要活动。

在我国，数学竞赛分为不同类别，其中数学类B类竞赛针对中学生，注重考察学生的基本数学素养和数学应用能力。

解析几何作为数学的重要组成部分，在数学竞赛中占据一定比重。

二、数学类B类竞赛大纲概述数学类B类竞赛大纲涵盖了初等代数、几何、三角函数、概率与统计等多个领域。

对于几何部分，大纲要求掌握基本几何图形的性质和计算方法，了解几何变换、坐标几何等相关知识。

而解析几何作为现代几何的基石，更是竞赛中的关键内容。

三、解析几何知识点概述解析几何主要研究平面直角坐标系中点、线、面及其相关性质。

数学类B类竞赛要求掌握以下知识点：1.平面直角坐标系中的基本概念和运算；2.直线、圆、椭圆、双曲线等二次曲线的性质和方程；3.空间几何中的坐标变换；4.解析几何中的数学建模。

四、解析几何在数学竞赛中的应用在数学竞赛中，解析几何知识点的应用主要体现在以下几个方面：1.解题思路：运用解析几何方法，可以将复杂问题转化为简单问题，提高解题效率；2.数学建模：竞赛题目常常涉及实际问题，通过建立解析几何模型，可以更好地理解和解决问题；3.题目创新：解析几何内容丰富，可以为竞赛题目提供更多创新空间。

五、提高解析几何能力的方法和建议1.扎实掌握基本概念和公式；2.多做竞赛题目，积累经验，提高解题速度；3.学习高等数学，拓宽知识面；4.参加培训班或请教专业人士，提升自己的解析几何水平。

六、总结数学类B类竞赛中的解析几何部分，对于选拔和培养数学人才具有重要意义。

要想在竞赛中取得好成绩，就需要扎实掌握解析几何的基本知识和应用，不断提高自己的解题能力。

数学竞赛《解析几何》专题训练一、选择题1、在平面直角坐标系中,方程1(,22x yx ya b a b +-+=为相异正数),所表示的曲线是（ ）A.三角形B.正方形C.非正方形的长方形D.非正方形的菱形2、若椭圆2213620x y +=上一点P 到左焦点的距离等于它到右焦点距离的2倍,则P 点坐为 ( )A. B.(- C.(3, D.(3,-3、设双曲线22221x y a b -= 的离心率,23e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈，则双曲线的两条渐近线夹角α的取值范围是 ( )A. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦4、已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有 条。

（ ）A ．1 B.2 C.3 D.45、双曲线12222=-by a x 的一个焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线上任意一点．则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆一定 ( )A.相交B.相切C.相离D.以上情况均有可能6、设方程1)19cos()19sin(2007220072=+ y x 所表示的曲线是 ( )A.双曲线B.焦点在x 轴上的椭圆C.焦点在y 轴上的椭圆D.以上答案都不正确7、过椭圆22221x y a b+=(0)a b >>中心的弦AB,(,0)F c 是右焦点,则AFB ∆的最大面积为( ) A,bc B,ab C,ac D,2b二、填空题 8、已知030330y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则22x y +的最大值是 ．9、若直线x cos θ＋y sin θ＝cos 2θ－sin 2θ（0＜θ＜π）与圆x 2＋y 2＝41有公共点，则θ 的取值范围是 ． 10、过椭圆12322=+y x 上任意一点P ，作椭圆的右准线的垂线PH （H 为垂足），并延长PH 到Q ，使得HQ =λPH （λ≥1）．当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值 范围是 ．11、抛物线顶点为O ，焦点为F ，M 是抛物线上的动点，则MO MF的最大值为 . 12、过直线l ：9y x =+上的一点P 作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为()()123,0,3,0F F -，则椭圆的方程为 .三、解答题13、已知抛物线2128y x x =-+-和点111(,)48A 。

数学竞赛空间解析几何部分课件(一)数学竞赛是近年来备受学生青睐的一项竞赛项目，它能够为学生提供一个拓展知识面、培养思维能力和激发数学兴趣的平台。

其中，空间解析几何是数学竞赛中非常重要的一部分，而针对这一部分，国内许多学校和机构都推出了相应的课程和课件，下面我们就来对空间解析几何部分的课件进行分析和介绍。

一、空间解析几何部分课件的组成一般而言，一份完整的空间解析几何部分课件，应该包括以下几个组成部分：1. 知识框架：主要介绍空间解析几何的基本概念和知识体系，帮助学生建立完整的知识框架，把握学科的总体观念。

2. 题型分类：根据空间解析几何的不同类型和难度，将题目进行分类整理，让学生更好地了解不同类型的题目及其解法。

3. 解题技巧：讲解空间解析几何题目的解题思路和方法，以及常用的技巧和注意事项，帮助学生提高解题效率和成功率。

4. 经典例题：选取一些典型的题目，详细讲解题目的解题思路和方法，帮助学生更好地理解知识点，掌握解题方法。

二、空间解析几何部分课件的特点空间解析几何部分与其他几何部分有所不同，它的课程特点主要表现在以下几个方面：1. 地位重要：空间解析几何部分在数学竞赛中的地位非常重要，因此课件的编写和体系设置都非常完善。

2. 案例多样：不同类型和难度的空间解析几何题目案例很多，课件编写者会根据实际需求，选取一些经典的例题进行讲解。

3. 独立性强：空间解析几何与其他几何部分虽有交汇之处，但是它的独立性非常强，需要针对其特点进行单独学习。

三、针对空间解析几何部分课件的学习方法为了更好地利用空间解析几何部分的课件，提高学习效率和成绩，我们可以采用以下几种学习方法：1. 认真阅读：先阅读整个课件，了解知识框架和难度分类，并做好阅读笔记，把握知识结构和篇章逻辑。

2. 独立思考：在掌握知识框架和题目分类基础上，可选取不同类型的题目进行独立思考和解题练习，边思考、边总结经验。

3. 学习问答：学习过程中遇到问题，可以与同学、老师互动交流，互相问答，开展课外学习，提高学习水平。