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第一课时 1.1.1 数列的概念一、教学目标1、知识与技能：（1）理解数列及其有关概念；（2）了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；（3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式。
2、过程与方法：（1）采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；（2）发挥学生的主体作用，作好探究性学习；（3）理论联系实际，激发学生的学习积极性。
3、情感态度与价值观：（1）.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；（2）.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣二、教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.三、教学方法：探究、交流、实验、观察、分析四、教学过程（一）、揭示课题:今天开始我们研究一个新课题．先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列．（二）、推进新课［合作探究］折纸问题师请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了师你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？生随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；随着对折数面积依次为21,41 ,81 ,161 ,…,2561生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分 1[]256式，再折下去太困难了师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？生 均是一列数生 还有一定次序师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数［教师精讲］1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n 项，….同学们能举例说明吗？生 例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项为表述方便给出几个名称：项--------数列中的每一个数叫做这个数列的项.首项-------其中数列的第一项也称首项.通项-------数列的第n 项叫数列的通项．以上述两个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数．由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，……，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系．3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列请同学们观察：课本的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？ 生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列4、通项公式法:如数列的通项公式为 ；的通项公式为 ；的通项公式为 ；数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．例如，数列 的通项公式 ，则 ． 值得注意的是，正如一个函数未必能用解析式表示一样，不是所有的数列都有通项公式，即便有通项公式，通项公式也未必唯一． ［知识拓展］师 你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n 项？ 生 256是这数列的第8项，我能写出它的第n 项，应为a n =2n［例题剖析］例1.根据下面数列{a n }的通项公式，写出前5项：(1)a n =1 n n ;(2)a n =(-1)n ·n师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项生 解：(1)n =1,2,3,4,5.a 1=21;a 2=32;a 3=43;a 4=54;a 5=65 (2)n =1,2,3,4,5.a 1=-1;a 2=2;a 3=-3;a 4=4;a 5=-师 好！就这样解例2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3，5，7，9，11，…；(2)32，154，356，638，9910，…； (3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…；(5)2，-6，12，-20，30，-42，师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定的思考时间生老师，我写好了！解：(1)a n ＝2n ＋1；(2)a n ＝)12)(12(2+-n n n ；(3)a n ＝2)1(1n-+； (4)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，a n ＝n ＋2)1(1n -+；(5)将数列变形为1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，…，a n ＝(-1)n +1n (n ＋师 完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式（三）、学生课堂练习：课本本节练习1、2、3、4补充题：已知数列{a n }的通项公式是a n =2n 2-n ，那么(A.30是数列{a n }的一项B .44是数列{a n }的一项C.66是数列{a n }的一项 D .90是数列{a n }的一项分析：注意到30，44，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正整数解的方法加以解决答案：点评：看一个数A 是不是数列{a n }中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数n ，使得a n =A（四）、课堂小结：对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式。
第一讲 数列复习 （高二数学）尖子班
【基本概念】
一、写出数列的通项公式
（1）关键是寻找n a 与n 的对应关系)(n f a n
=； （2）符号用n )1(-或1)1(+-n 来调节；
（3）分式的分子，分母可以分别找通项，但要充分借助分子与分母的关系；
（4）并不是每一个数列都有通项公式，即使有通项公式，通项公式也未必是唯一的；
（5）对于形如a ，b ，a ，b ，．．．，的数列，其通项公式均可写成2)1(21b a b a a n n --++=
+． 二、n a 与n S 的关系：11(1)(2)
n n n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩ 三、等差数列的概念及性质
（1）定义：d a a n n =-+1（常数）
（2）等差数列的通项公式 d n a a n )1(1-+=)(1d a dn -+= （3）等差数列的前n 项和公式 S n =2
)(1n a a n + =1na +n d a n d d n n )2(22)1(12-+⋅=- 说明：◆等差数列的前n 和等于首末两项和的一半的n 倍；
◆在等差数列前n 项和公式及通项公式中有1a ，n a ，n ，d ，n S 五个量，已知其中三个可以求出另外两个。
（4）等差中项的概念：
如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。
其中2
a b A +=
a ，A ，
b 成等差数列⇔2
a b A +=． （5）等差数列的性质：在等差数列{}n a 中
① 若m ，n ，p ，q …成等差数列，则q p n m a a a a ,,,…也成等差数列；
② 对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n m a a d n m
-=-()m n ≠； ③ 若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+
④ 若前n 项为n S ，则,....,,232n n n n n S S S S S --仍成等差数列，公差为d n 2（n 为确定的正整数）。
⑤◆对于项数为n 2的等差数列{}n a ，记奇S ，偶S 分别表示前
项中的奇数项的和与 偶数项的和，则奇S —偶S =nd ，偶奇
S S =1
+n n a a ； ◆对于项数为12-n 的等差数列{}n a ，有奇S —偶S =n a ，偶奇
S S =1
-n n ； ◆n S 是等差数列的前项和，则n n a n S )12(12-=-；
⑥ 若等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 和'n S ，则212
1n n n n a S b S --=' 【专题选讲】
递推
1、已知数列}{n a 满足)(133
,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a =
2、已知数列}{n a 满足*1112,()1n n n
a a a n N a ++==∈-，则2012a =
3、已知数列}{n a 满足*1111,()21n n
a a n N a +=
=∈-，则2012a = 最值 1、在数列{}n a 中，n a =()243n n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
中的最大项是第 项。
2、在数列{}n a 中，n a =
2240n n +中的最大项是第 项。
3、在数列{}n a 中，n a
=
中的最大项是第 项，最小项是第 项。
公式活用：
1、数列{}n a 中，1015=a ，9045=a ，若{}n a 是等差数列，则=60a ；
2、已知{a n }为等差数列,a 15=8，a 60=20,则a 75=
3、设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若1020S S =，则30S 的值是 。
性质应用
1、在等差数列{a n }中,若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120,则a 9-31a 11的值为 ( )
A.14
B.15
C.16
D.17
2、若｛a n ｝是等差数列，首项a 1＞0，a 2003+a 2004>0，a 2003·a 2004＜0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是 ( )
A.4005 B ．4006 C.4007 D.4008
3、等差数列｛a n ｝的前n 项和S n ，且S 15 >0,S 16<0,则离0最近的项为
A 、a 8
B 、a 9
C 、a 8或a 9
D 、不能确定
4、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）
A 、13项
B 、12项
C 、11项
D 、10项
5、设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若
==5935,95S S a a 则（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．2
1 性质232,,n n n n n S S S S S --，成等差的应用
1、等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为
2、设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知77=S ，7515=S ，
n T 为数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前n 项和，求n T 。
特殊题： 1、在等差数列{}n a 中，n a m =，m a n = （,m n 为常数且不相等），则m n a += 。
2、等差数列{}n a 中，n S m =，m S n =（,m n 为常数且不相等），则m m S += 。
性质奇数项、偶数项关系的应用
1、项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求此数列中间项；共有多少项？
2、如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32：27，求公差；
3、已知等差数列｛a n ｝的公差为1,且a 1＋a 2＋…＋a 98＋a 99=99,则a 3＋a 6＋…＋a 96＋a 99的值是 。
最值
1、已知数列{a n }的通项为a n =26-2n ，若要此数列的前n 项之和S n 最大，则n 的值为
2、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 12>0,S 13<0，若要此数列的前n 项之和S n 最大，则n 的值为
3、在等差数列{}n a 中，已知34a a =，0d <，则使它的前n 项和n S 取得最大值的自然 数n ＝______．
4、等差数列{}n a 中，a 1<0，S 9=S 12，则数列前____项和最小。
5、设a n =-n 2+10n+11,则数列{a n }从首项到第( )项的和最大。
A 10
B 11
C 10或11
D 12
6、已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-。
（1）求{}n a 的通项n a ；（2）求{}n a 前n 项和n S 的最大值。
n S 与n a
1、数列{}n a 的前n 项和23n S n n -＝，则n a ＝___________
2、数列{}n a 的前n 项和23-2+=n n S n ，则n a ＝___________。
