2019高中数学 第2章 平面解析几何初步 第一节 直线的方程3 两条直线的平行与垂直习题

2.1.3 两条直线的平行与垂直[学业水平训练]1．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________.解析：l 1⊥l 2时，k 1k 2＝－1，由一元二次方程根与系数的关系得k 1k 2＝－b 2，∴－b 2＝－1，得b ＝2.l 1∥l 2时，k 1＝k 2，即关于k 的二次方程2k 2－3k －b ＝0有两个相等的实根，∴Δ＝(－3)2－4×2·(－b )＝0，即b ＝－98. 答案：2 －982．设a ∈R ，如果直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行，那么a ＝________.解析：当a ＝0时，l 1：y ＝12，l 2：x ＋y ＋4＝0，这两条直线不平行；当a ＝－1时，l 1：x －2y ＋1＝0，l 2：x ＋4＝0，这两条直线不平行；当a ≠0且a ≠－1时，l 1：y ＝－a 2x ＋12，l 2：y ＝－1a ＋1x －4a ＋1，由l 1∥l 2得－a 2＝－1a ＋1且12≠－4a ＋1，解得a ＝－2或a ＝1. 答案：－2或13.如图，已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－1,1)，B (1,5)，C (－3,2)，则△ABC 的形状为________．解析：因为k AB ＝1－5－1－1＝－4－2＝2，k AC ＝1－2－1－－＝－12，所以k AB ·k AC ＝－1，且A 、B 、C 、D 4点不共点，所以AB ⊥AC ，即∠BAC ＝90°.所以△ABC 是直角三角形．答案：直角三角形4．已知A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，则下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥CD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD ，其中正确的序号为________．解析：k AB ＝－4－26－－＝－35，k CD ＝12－62－12＝－35，且A 、B 、C 、D 4点不共线，所以AB ∥CD ，k AC ＝6－212－－＝14，k BD ＝12－－2－6＝－4， k BD ·k AC ＝－1，所以AC ⊥BD .答案：①④5．已知P (－2，m )，Q (m,4)，M (m ＋2,3)，N (1,1)，若直线PQ ∥直线MN ，则m ＝________. 解析：当m ＝－2时，直线PQ 的斜率不存在，而直线MN 的斜率存在，MN 与PQ 不平行，不合题意；当m ＝－1时，直线MN 的斜率不存在，而直线PQ 的斜率存在，MN 与PQ 不平行，不合题意；当m ≠－2且m ≠－1时，k PQ ＝4－m m －－＝4－m m ＋2， k MN ＝3－1m ＋2－1＝2m ＋1，因为直线PQ ∥直线MN ， 所以k PQ ＝k MN ，即4－m m ＋2＝2m ＋1，解得m ＝0或m ＝1.经检验m ＝0或m ＝1时直线MN ，PQ 都不重合．综上，m 的值为0或1.答案：0或16．已知两条直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋c ＝0互相垂直，垂足为(1，b )，则a ＋c －b ＝________.解析：∵k 1k 2＝－1，∴a ＝10.∵垂足(1，b )在直线10x ＋4y －2＝0上，∴b ＝－2.将(1，－2)代入2x －5y ＋c ＝0得c ＝－12，故a ＋c －b ＝0.答案：07．(1)求与直线y ＝－2x ＋10平行，且在x 轴、y 轴上的截距之和为12的直线的方程；(2)求过点A (1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线的方程．解：(1)设所求直线的方程为y ＝－2x ＋λ，则它在y 轴上的截距为λ，在x 轴上的截距为12λ，则有λ＋12λ＝12， ∴λ＝8.故所求直线的方程为y ＝－2x ＋8，即2x ＋y －8＝0.(2)法一：由直线方程2x ＋3y ＋5＝0得直线的斜率是－23， ∵所求直线与已知直线平行，∴所求直线的斜率也是－23. 根据点斜式，得所求直线的方程是y ＋4＝－23(x －1)， 即2x ＋3y ＋10＝0.法二：设所求直线的方程为2x ＋3y ＋b ＝0，∵直线过点A (1，－4)，∴2×1＋3×(－4)＋b ＝0，解得b ＝10.故所求直线的方程是2x ＋3y ＋10＝0.8．已知在▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)．(1)求点D 的坐标；(2)试判断▱ABCD 是否为菱形？解：(1)设D (a ，b )，由▱ABCD ，得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝6，∴D (－1,6)．(2)∵k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1， ∴k AC ·k BD ＝－1，∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．[高考水平训练]1．已知A (1，－1)，B (2,2)，C (3,0)三点，若存在点D ，使CD ⊥AB ，且BC ∥AD ，则点D 的坐标为________．解析：设点D 的坐标为(x ，y )．因为k AB ＝2－－2－1＝3，k CD ＝y x －3， 且CD ⊥AB ，所以k AB ·k CD ＝－1，即3×yx －3＝－1. ①因为k BC ＝2－02－3＝－2，k AD ＝y ＋1x －1， 且BC ∥AD ，所以k BC ＝k AD ，即－2＝y ＋1x －1， ② 由①②得x ＝0，y ＝1，所以点D 的坐标为(0,1)．答案：(0,1)2．△ABC 的顶点A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，则m 的值为________．解析：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，所以k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7； 若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，所以k AB ·k BC ＝－1，即1＋11－5·m －12－1＝－1，得m ＝3； 若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，即m ＋12－5·m －12－1＝－1，得m ＝±2. 综上可知，m ＝－7或m ＝3或m ＝±2.答案：－7或±2或33．已知A (－m －3,2)，B (－2m －4,4)，C (－m ，m )，D (3,3m ＋2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值． 解：因为A ，B 两点纵坐标不等，所以AB 与x 轴不平行．因为AB ⊥CD ，所以CD 与x 轴不垂直，故m ≠－3.当AB 与x 轴垂直时，－m －3＝－2m －4，解得m ＝－1，而m ＝－1时，C ，D 纵坐标均为－1，所以CD ∥x 轴，此时AB ⊥CD ，满足题意．当AB 与x 轴不垂直时，由斜率公式得k AB ＝4－2－2m －4－－m －＝2－m ＋， k CD ＝3m ＋2－m 3－－m ＝m ＋m ＋3. 因为AB ⊥CD ，所以k AB ·k CD ＝－1，解得m ＝1.综上，m 的值为1或－1.4．在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为O (0,0)，P (1，t )，Q (1－2t,2＋t )，R (－2t,2)，其中t ＞0.试判断四边形OPQR 的形状．解：如图所示，由已知两个点的坐标得：k OP ＝t －01－0＝t ， k RQ ＝＋t －2－2t －－2t＝t ， k OR ＝2－0－2t －0＝－1t. k PQ ＝t －＋t 1－－2t ＝－1t， 所以k OP ＝k RQ ，k OR ＝k PQ ，所以OP ∥RQ ，OR ∥PQ ，所以四边形OPQR 是平行四边形；又k OP ·k OR ＝t ·(－1t)＝－1， 所以OP ⊥OR ，∠POR 是直角， 所以四边形OPQR 是矩形；过点P 作PA ⊥x 轴，垂足为A ， RB ⊥x 轴，垂足为B ，那么由勾股定理得： OP 2＝OA 2＋AP 2＝1＋t 2.∴OP ＝1＋t 2，OR 2＝OB 2＋BR 2＝(－2t )2＋22＝4(1＋t 2)，∴OR ＝21＋t 2.∴OP ≠OR ，所以四边形OPQR 不是正方形， 综上可知，四边形OPQR 是矩形．。

湘教版（2019）高中数学目录湘教版数学必修第一册第1章集合与逻辑1.1 集合1.2 常用逻辑用语数学文化从德·摩根到康托尔：逻辑与集合小结与复习复习题一第2章一元二次函数、方程和不等式2.1 相等关系与不等关系2.2 从函数观点看一元二次方程2.3 一元二次不等式小结与复习复习题二第3章函数的概念与性质3.1 函数数学实验用计算机作函数图像和列函数表3.2 函数的基本性质数学文化函数概念的形成与发展小结与复习复习题三第4章幂函数、指数函数和对数函数4.1 实数指数幂和幂函数4.2 指数函数4.3 对数函数数学文化历史上的对数4.4 函数与方程数学实验用二分法求方程的近似解4.5 函数模型及其应用小结与复习复习题四第5章三角函数5.1 任意角与弧度制5.2 任意角的三角5.3 三角函数的图像与性质5.4 函数()ϕω+=xy sinA的图像与性质数学实验用计算机作函数()ϕω+=xy sinA的图像5.5 三角函数模型的简单应用数学文化三角学的历史小结与复习复习题五第6章统计学初步6.1 获取数据的途径及统计概念6.2 抽样数学文化《文学摘要》的破产6.3 统计图表数学实验利用计算机制作统计图表6.4 用样本估计总体数学文化统计与文学作品鉴定数学文化大数据小结与复习复习题六数学词汇中英文对照表后记湘教版数学必修第二册第1章平面向量及其应用1.1 向量1.2 向量的加法1.3 向量的数乘1.4 向量的分解与坐标表示1.5 向量的数量积1.6 解三角形1.7 平面向量的应用举例小结与复习复习题一第2章三角恒等变换2.1 两角和与差的三角函数2.2 二倍角的三角函数2.3 简单的三角恒等变换小结与复习复习题二第3章复数3.1 复数的概念3.2 复数的四则运算3.3 复数的几何表示*3.4 复数的三角表示数学文化数系扩充简史小结与复习复习题三第4章立体几何初步4.1 空间的几何体4.2 平面4.3 直线与直线、直线与平面的位置关系4.4 平面与平面的位置关系数学实验正四棱锥的截面4.5 几种简单几何体的表面积和体积数学文化几何学的产生和发展小结与复习复习题四第5章概率5.1 随机事件与样本空间5.2 概率及运算5.3 用频率估计概率数学实验用计算机模拟掷质地均匀的硬币实验5.4 随机事件的独立性数学文化概率论发展简史小结与复习复习题五第6章数学建模6.1 走进异彩纷呈的数学建模世界6.2 数学建模——从自然走向理性之路6.3 数学建模案例（一）：最佳视角6.4 数学建模案例（二）：曼哈顿距离6.5 数学建模案例（三）：人数估计数学词汇中英文对照表后记湘教版数学选择性必修第一册第1章数列1.1 数列的概念1.2 等差数列1.3 等比数列数学实验用计算机探究无穷递减等比数列的和*1.4 数学归纳法数学文化中国古代数学中的数列数学文化从兔子问题引出的斐波那契数列小结与复习复习题一数学建模乐音频率与等比数列第2章平面解析几何初步2.1 直线的斜率2.2 直线的方程2.3 两条直线的位置关系2.4 点到直线的距离2.5 圆的方程2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系2.7 用坐标方法解决几何问题数学文化解析几何的诞生与发展小结与复习复习题二第3章圆锥曲线与方程数学实验生活中的圆锥曲线3.1 椭圆3.2 双曲线3.3 抛物线3.4 曲线与方程3.5 圆锥曲线的应用数学实验用计算机探究圆锥曲线的光学性质数学文化圆锥曲线小史小结与复习复习题三数学建模冰川融化模型第4章计数原理4.1 两个计数原理4.2 排列4.3 组合4.4 二项式定理数学文化中国古代的排列组合数学文化杨辉三角小结与复习复习题四数学词汇中英文对照表后记湘教版数学选择性必修第二册第1章导数及其应用1.1 导数概念及其意义1.2 导数的运算数学实验曲线的切线与函数的导数1.3 导数在研究函数中的应用数学文化微积分的故事小结与复习复习题一数学建模易拉罐的优化设计第2章空间向量与立体几何2.1 空间直角坐标系2.2 空间向量及其运算2.3 空间向量基本定理及坐标表示2.4 空间向量在立体几何中的应用小结与复习复习题二第3章概率3.1 条件概率与事件的独立性3.2 离散型随机变量及其分布列3.3 正态分布数学文化高斯与正态分布数学实验利用计算机探究正态分布密度曲线小结与复习复习题三第4章统计4.1 成对数据的统计相关性4.2 一元线性回归模型数学实验用计算机探究线性回归模型4.3 独立性试验数学文化高尔顿与回归小结与复习复习题四数学建模体重与脉搏的数据拟合模拟数学词汇中英文对照表后记。

第1课时 两条直线相交、平行与重合的条件1．了解平面内两条直线的位置关系． 2．理解直线相交、平行、重合的概念． 3．会求两条直线的交点． 4．掌握两直线相交、平行、重合的判定方法．两条直线相交、平行与重合的条件 (1)代数方法判断两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系，可以用方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解的个数进行判断，也可用直线方程的系数进行判断，方法如下： 方程组的解位置 关系交点个数代数条件无解平行无交点A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(A 2C 1－A 1C 2≠0)或A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) 有唯一解相交有一个交点 A 1B 2－A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0)有无数个解重合无数个 交点A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2(λ≠0)或A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)(2)几何方法判断两条直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2的位置关系，也可用两直线的斜率和在y 轴上的截距来进行判断．具体判断方法如表所示．位置关系平行重合相交图示k ，b 满足条件k 1＝k 2且b 1≠b 2k 1＝k 2且b 1＝b 2k 1≠k 21．若两条直线平行，斜率一定相等吗？解：不一定．例如直线x ＝3和x ＝－2平行，但是，两条直线斜率不存在． 2．判断下列各组中两条直线的位置关系，若相交，求出交点坐标． (1)l 1：y ＝3x ＋4，l 2：2x －6y ＝0；(2)l 1：2x －6y ＋4＝0，l 2：y ＝x 3＋23；(3)l 1：(2－1)x ＋y ＝3，l 2：x ＋(2＋1)y ＝2． 解：(1)因为32≠－1－6＝16，即A 1A 2≠B 1B 2，所以l 1与l 2相交．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋4，2x －6y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝－12.所以交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12．(2)把l 2化为一般式为x －3y ＋2＝0． 因为A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2＝2， 所以l 1与l 2重合． (3)因为A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2， 所以l 1与l 2平行．判断直线的位置关系判断下列各小题中的直线l 1与l 2是否平行：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (2，1)，l 2经过点M (3，4)，N (－1，－1)； (2)l 1的斜率为1，l 2经过点A (1，1)，B (2，2)；(3)l 1经过点A (0，1)，B (1，0)，l 2经过点M (－1，3)，N (2，0)； (4)l 1经过点A (－3，2)，B (－3，10)，l 2经过点M (5，－2)，N (5，5)．【解】 (1)k 1＝1－(－2)2－(－1)＝1，k 2＝－1－4－1－3＝54，因为k 1≠k 2，所以l 1与l 2不平行． (2)k 1＝1，k 2＝2－12－1＝1，因为k 1＝k 2，所以l 1∥l 2或l 1与l 2重合．(3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－(－1)＝－1，则有k 1＝k 2．又k AM ＝3－1－1－0＝－2≠－1，即A ，B ，M 不共线， 故l 1∥l 2．(4)由已知点的坐标，得l 1与l 2均与x 轴垂直且不重合，故有l 1∥l 2．当两条直线的斜率存在且斜率相等时，未必有两直线平行，应进一步作判断是否有两直线重合；当两条直线的斜率均不存在时，则两直线重合或平行．解答此类问题应考虑周全．已知P (－2，m )，Q (m ，4)，M (m ＋2，3)，N (1，1)，若直线PQ ∥直线MN ，求m 的值．解：由题意可知，直线PQ 和MN 的斜率显然都存在． 因为PQ ∥MN ，所以k PQ ＝k MN ． 即4－m m ＋2＝1－31－(m ＋2)，解得m ＝0或1． 利用两直线平行的条件求参数已知两条直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0．问：当m 为何值时，l 1与l 2(1)平行；(2)重合？ 【解】 (1)因为l 1∥l 2， 所以3－m (m －2)＝0． 即m 2－2m －3＝0． 所以m ＝－1或m ＝3．经检验当m ＝3时两直线重合，故m ＝3舍去． 所以m ＝－1．(2)由(1)可知当m＝3时两直线重合．利用两直线相交、平行、重合的条件进行判断时要根据题目合理选择，要特别注意系数为0和不为0，直线的斜率存在和不存在的情况，可进行分类讨论．已知直线l1：(m－2)x＋2y＋m－2＝0，l2：2x＋(m－2)y＋3＝0，当m为何值时，满足下列条件(1)l1与l2相交；(2)l1∥l2；(3)l1与l2重合？解：(1)A1B2－A2B1＝(m－2)(m－2)－2×2＝(m－2)2－4≠0，得(m－2)2≠4即m－2≠±2，所以当m≠4且m≠0时l1与l2相交．(2)由A1B2－A2B1＝0得m＝0或m＝4，当m＝0时，两直线方程分别为－2x＋2y－2＝0，2x－2y＋3＝0，此时l1∥l2；当m＝4时，两直线方程为2x＋2y＋2＝0，2x＋2y＋3＝0，此时l1∥2．故m＝0或m＝4时，两直线l1∥l2．(3)由(2)知，直线l1与l2不可能重合．求直线方程已知A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求过点A和直线l平行的直线方程．【解】设所求直线方程为3x＋4y＋C＝0，由(2，2)在直线l上，可得3×2＋4×2＋C＝0，所以C＝－14．所以过点A与直线l平行的直线方程为3x＋4y－14＝0．直线方程的设法(1)直线Ax＋By＋C＝0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，这是经常采用的解题技巧．(2)经过点A(x0，y0)，且与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0．求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l的方程．解：法一：设直线l 的斜率为k ，因为直线l 与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，所以k ＝－34．又因为直线l 过点(1，2)，所以所求直线方程为y －2＝－34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0．法二：设与直线3x ＋4y ＋1＝0平行的直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0，因为直线l 过点(1，2)，所以3×1＋4×2＋m ＝0，解得m ＝－11，所以所求直线l 的方程为3x ＋4y －11＝0．1．判断两条直线是否平行的步骤2．平行直线的求法(1)求与直线y ＝kx ＋b 平行的直线方程时，根据两直线平行的条件可巧设为y ＝kx ＋m (m ≠b )，然后通过待定系数法，求参数m 的值；(2)求与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程时，可设方程为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，代入已知条件求出m 即可．1．若已知直线上点的坐标，判断直线是否平行时，要考虑直线重合的情况． 2．求平行直线的方程时，对于斜率为零及不存在的情形要单独讨论．1．已知A (2，0)，B (3，3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k ＝( ) A ．－3 B ．3 C ．－13D ．13解析：选B ．因为直线l ∥AB ，所以k ＝k AB ＝3－03－2＝3．2．直线l 1：x ＝1与直线l 2：x ＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．重合D ．不确定解析：选B ．直线l 1与l 2的斜率都不存在，且1≠0， 所以l 1∥l 2．3．直线y ＝2x 与直线x ＋y ＝3的交点坐标是 ．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2xx ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，所以交点坐标为(1，2)． 答案：(1，2)4．直线l 过A (1，1)点且与过B (2，5)，C (3，－1)两点的直线平行，则直线l 的方程为 ．答案：6x ＋y －7＝0[学生用书P115(单独成册)])[A 基础达标]1．直线2x －y ＋k ＝0和直线4x －2y ＋1＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．不平行C ．平行或重合D ．既不平行也不重合解析：选C ．当k ＝12时，两直线重合，当k ≠12时，两直线平行．2．经过点A (1，1)和点B (－3，2)的直线l 1与过点C (4，5)和点D (a ，－7)的直线l 2平行，则a ＝( )A ．1B ．4C ．52D ．44解析：选C ．因为k 1＝2－1－3－1＝－14，又l 1∥l 2，所以k 2＝－7－5a －4＝－14，故a ＝52．3．已知两平行直线的斜率是方程2x 2－4x ＋m －1＝0的两实根，则m 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．3D ．－3解析：选C ．由题意知方程2x 2－4x ＋m －1＝0的两实根相等，所以Δ＝(－4)2－4×2×(m －1)＝0．解之得m ＝3．4．如果直线l 1：2x －ay ＋1＝0与直线l 2：4x ＋6y －7＝0平行，则a 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．5D ．0解析：选B ．因为l 1∥l 2，所以2×6－(－a )·4＝0，解得a ＝－3．5．若三条直线x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋ay ＝3构成三角形，则a 的取值范围是( ) A ．a ≠±1 B ．a ≠1，a ≠2 C ．a ≠－1D ．a ≠±1，a ≠2解析：选A ．因为直线x ＋ay ＝3恒过点(3，0)，所以此直线只需不和x ＋y ＝0，x －y ＝0两直线平行就能构成三角形．所以a ≠±1．6．经过点P (－2，－1)和点Q (3，a )的直线与倾斜角是45°的直线平行，则a ＝ ．解析：由题意得tan 45°＝a ＋13＋2，解得a ＝4．答案：47．过l 1：3x －5y －10＝0和l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且平行于l 3：x ＋2y －5＝0的直线方程为 ．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y －10＝0x ＋y ＋1＝0得交点为(58，－138)，又l 3的斜率为－12，所以所求直线方程为y ＋138＝－12(x －58)，得8x ＋16y ＋21＝0． 答案：8x ＋16y ＋21＝08．已知直线l 1经过点A (0，－1)和点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a，1，直线l 2经过点M (1，1)和点N (0，－2)，若l 1与l 2没有公共点，则实数a 的值为 ．解析：由题意得l 1∥l 2，则1＋1－4a－0＝－2－10－1，解得a ＝－6． 答案：－69．求满足下列条件的直线的方程：(1)经过点A (3，2)，且与直线4x ＋y －2＝0平行；(2)经过点C (2，－3)，且平行于过点M (1，2)和N (－1，－5)的直线．解：(1)设所求直线的方程为：4x ＋y ＋m ＝0．又过点A (3，2)，所以4×3＋2＋m ＝0，所以m ＝－14，所以所求直线的方程为4x ＋y －14＝0．(2)因为M (1，2)，N (－1，－5)， 所以k MN ＝2－(－5)1－(－1)＝72．又所求直线与过M 、N 的直线平行，故可设所求直线的方程为y ＝72x ＋b ．又直线过点C (2，－3)，所以－3＝72×2＋b ，所以b ＝－10．所以所求直线的方程为y ＝72x －10．即7x －2y －20＝0．10．光线从点A (－3，4)射出，到x 轴上的点B 后，被x 轴反射到y 轴上的点C ，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1，6)，求光线BC 所在直线的斜率．解：设B (a ，0)，C (0，b )，过点B 、C 作两条法线交于点E ， 则∠E ＝90°．所以∠ECB ＋∠EBC ＝90°， 所以2∠ECB ＋2∠EBC ＝180°． 由入射角等于反射角，得∠DCB ＋∠ABC ＝180°， 所以AB ∥CD ． 所以k AB ＝k CD ，即－4a ＋3＝b －6． ①由入射角等于反射角，还可得直线AB 的倾斜角与直线BC 的倾斜角互补， 所以k AB ＝－k BC ，即－4a ＋3＝－b－a． ②解①②得a ＝－75，b ＝72．所以B (－75，0)，C (0，72)．所以k BC ＝52．[B 能力提升]11．已知过A (－2，m )和B (m ，4)的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值是( ) A ．－8 B ．0 C ．2D ．10解析：选A ．由题意可知，k AB ＝4－mm ＋2＝－2，所以m ＝－8．12．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC ，已知A (－2，0)，B (6，8)，C (8，6)，则D 点的坐标为 ．解析：依题意，直线CD 的斜率k CD ＝k AB ＝8－06－(－2)＝1，且过C (8，6)，则CD 的方程为y －6＝1×(x －8)，即x －y －2＝0．直线AD 的斜率为k AD ＝k BC ＝6－88－6＝－1，且过点A (－2，0)，则AD 的方程为y ＝－1×(x ＋2)，即x ＋y ＋2＝0．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0x ＋y ＋2＝0得D (0，－2)． 答案：(0，－2)13．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0．试确定m 、n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2．解：(1)因为m 2－8＋n ＝0且2m －m －1＝0，所以m ＝1，n ＝7． (2)由m ·m －8×2＝0，得m ＝±4． 由8×(－1)－n ·m ≠0，得n ≠∓2．即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2．14．(选做题)已知▱ABCD 的三个顶点的坐标分别是A (0，1)，B (1，0)，C (4，3)，求顶点D 的坐标．解：设D (m ，n )，由题意，得AB ∥DC ，AD ∥BC ， 则有k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ．所以⎩⎪⎨⎪⎧0－11－0＝3－n 4－m ，n －1m －0＝3－04－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝4.所以点D 的坐标为(3，4)．。