2020--2021学年苏科版九年级上册 第二章 2.3 确定圆的条件 同步训练(含答案)

苏科版九年级上册数学周周练（3）（练习范围：2.1圆~2.3确定圆的条件）一、选择题（每小题4分，合计24分）1、给出下列命题：①弦是直径；②圆上两点间的距离叫弧；③长度相等的两段弧是等弧；④圆心角的度数与它所对的弧的度数相等；⑤圆是轴对称图形，不是中心对称图形；⑥直径是弦。

其中正确的个数为（）A、1B、2C、3D、42、在数轴上点A所表示的实数为5，点B所表示的实数为8，⊙A的半径为r，则下列说法中不正确的是（）A、当r=3时，点B在⊙A上B、当r＞3时，点B在⊙A内C、当r≤3时，点B在⊙A外D、当0＜r＜3时，点B在⊙A外3、在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别是（0，-3），（2，-1），（2,3），则△ABC的外接圆的圆心坐标是（）A、（0,0）B、（-1,1）C、（-2，-1）D、（-2,1）4、如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，连接DE，EF，FD。

若DE+DF=6.5，△ABC的周长为21，则EF的长为（）A、8B、4C、3.5D、35、如图，线段AB=6，C为线段AB上的一个动点，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接DE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为（）A 、6B 、√3C 、2√3D 、36、如图，⊙O 的半径为5，四边形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，AD ∥BC （AD ，BC 位于圆心O 的两侧），AD=6，BC=8，将AB̂,CD ̂分别沿AB ，CD 翻折得到AEB ̂，CFD ̂，M 为AEB ̂上一点，过点M 作MN ∥AD 交CFD̂于点N ，则MN 的长的最小值为（ ） A 、4 B 、4√2 C 、92 D 、5√32二、填空题（每小题4分，合计24分）7、已知点P 到⊙O 的最远距离为7，最近距离为3，则⊙O 的半径为8、已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为 cm9、如图，⊙O 的半径等于4cm ，AB 是直径，C ，D 是⊙O 上的两点且AD̂=DC ̂=CB ̂，则四边形ABCD 的面积等于10、如图，AB 是⊙O 的直径，D ，M 分别是弦AC ，弧AC 的中点，AC=12，BC=5，则MD 的长是11、如图，E 是△ABC 的外心，P 、Q 分别是AB 、AC 的中点，连接EP ，EQ ，交BC 于F ，D 两点。

2.3 确定圆的条件一、选择题（共6小题；共30分）1. 下列说法中，正确的是 ( )A. 三点确定一个圆B. 三角形有且只有一个外接圆C. 经过两点有且只有一个圆D. 圆有且只有一个内接三角形2. 下列条件中，能确定圆的是 ( )A. 以已知点 O 为圆心B. 以 1 cm 长为半径C. 经过已知点 A ，且半径为 2 cmD. 以点 O 为圆心，1 cm 为半径3. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是 ( )A. ①B. ②C. ③D. ④4. 在 △ABC 中，AB =AC ，BC =6，已知 ⊙O 是 △ABC 的外接圆，且 ⊙O 的半径为 5，则 AB 的长为 ( )A. √10B. 3√10C. √10 或 3√10D. √10 或 2√105. 如图，已知平面直角坐标系内三点 A (3,0)，B (5,0)，C (0,4)，⊙P 经过点 A ，B ，C ，则点 P 的坐标为 ( )A. (6,8)B. (4,5)C. (4,318)D. (4,338)6. 小颍同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上．若三角形的单个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为( )A. 2√3cmB. 4√3cmC. 6√3cmD. 8√3cm二、填空题（共6小题；共30分）7. 直角三角形的两直角边长分别为6和8，它的外接圆半径为．8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标为．9. 如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是．10. 已知直线l:y=x−4，点A(0,2)，点B(2,0)，设点P为直线l上一动点，当点P的坐标为时，过P，A，B三点不能作出一个圆．11. 如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r上，下方的弧半径为r下，则r 上r下．（填“>”“=”或“<”）12. 根据三角形外心的概念．我们可引入一个新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．根据准外心的定义，探究如下问题：如图，在Rt△ABC中，∠A=90∘，BC=10，AB=6，如果准外心P在AC上，那么PA的长为．三、解答题（共5小题；共60分）13. 如图1所示，△ABC中，BA=BC，D是平面内不与点A，B，C重合的任意一点．∠ABC=∠DBE，BD=BE．（1）求证：△ABD≌△CBE．（2）如图2所示，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论．14. 已知等腰三角形的腰和底边的长分别为13和10，求其外接圆的半径．15. 下面有一个圆，但没有标出圆心，请你确定这个圆的圆心，并简述一下你的方法．（至少要有两种方法，不要求证明）16. 如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．17. 定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．（1）如图①，损矩形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90∘，则该损矩形的直径是线段；（2）在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你理由．友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹；（3）如图②，△ABC中，∠ABC=90∘，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D 为菱形ACEF的中心，连接BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形，请说明理由．若此时AB=3，BD=4√2，求BC的长．答案第一部分1. B 【解析】A项，不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误；B项，三角形有且只有一个外接圆，原命题正确；C项，经过两点的圆有无数个，原命题错误；D项，圆有无数个内接三角形，原命题错误．2. D3. A 【解析】第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．4. C 【解析】如图① 所示，过点A作AE⊥BC交BC于点D，交⊙O于点E，则AE必过圆心O，连接OB．因为AB=AC，BC=6，⊙O的半径为5，所以BO=5，BD=DC=3，所以DO=√52−32=4，所以AD=5+4=9，所以AB=√AD2+BD2=√81+9=3√10；如图② 所示，过点A作AE⊥BC交BC于点D，交⊙O于点E，则AE必过圆心O，连接OB，因为AB=AC，BC=6，⊙O的半径为5，所以BO=5，BD=DC=3，所以DO=√52−32=4，所以AD=5−4=1，所以AB=√AD2+BD2=√32+12=√10，故AB的长为3√10或√10．5. C【解析】∵⊙P经过点A，B，C，∴点P在线段AB的垂直平分线上，∴点P的横坐标为4，设点P的坐标为(4,y)，作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F，由题意，得√42+(y−4)2=√12+y2，．解得y=3186. B 【解析】BD=6，∠BOD=60，=4√3 .∴BO=2×√3第二部分7. 58. (5,2)9. √【解析】如图所示，点O为△ABC外接圆圆心，则AO为外接圆半径．利用勾股定理得出能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径为OA=√22+12=√5．10. (3,−1)【解析】设直线AB的表达式为y=kx+b．∵A(0,2)，B(2,0)，∴{b=2,2k+b=0,解得{k=−1,b=2.∴直线AB的表达式为y=−x+2．解方程组{y=−x+2,y=x−4,得{x=3,y=−1,∴当点P的坐标为(3,−1)时，过P，A，B三点不能作出一个圆．11. <【解析】利用垂径定理，分别作出两段弧所在圆的圆心，然后比较两个圆的半径即可．如图，r上<r下．12. 4或74【解析】在Rt△ABC中，∵∠A=90∘，BC=10，AB=6，∴AC=√BC2−AB2=√102−62=8，若PB=PC，连接PB，设 PA =x ，则 PB =PC =8−x ，在 Rt △PAB 中，∵PB 2=AP 2+AB 2，∴(8−x )2=x 2+62，∴x =74，即 PA =74，若 PA =PC ，如图：则 PA =4，若 PA =PB ，由图知，在 Rt △PAB 中，不可能，故 PA 的长为 4 或 74．第三部分13. （1） ∵ ∠ABC =∠DBE ，∴ ∠ABC +∠CBD =∠DBE +∠CBD ．∴ ∠ABD =∠CBE ．在 △ABD 与 △CBE 中，∵ {BA =BC,∠ABD =∠CBE,BD =BE,∴ △ABD ≌△CBE ．（2） 四边形 BDCE 是菱形．证明：同（1）可证 △ABD ≌△CBE ，∴ CE =AD ．∵ 点 D 是 △ABC 外接圆圆心，∴ DA =DB =DC ．∵BD=BE，∴BD=BE=CE=CD．∴四边形BDCE是菱形．14. 如图，作等腰△ABC的底边BC的中垂线AD交BC于点D，作AC的中垂线交AD于点O，连接OC．则O点即为等腰△ABC的外接圆圆心，OC即为外接圆半径．BC=5，AC=13，在Rt△ADC中，DC=12∴AD=12．设OC=r，在Rt△ODC中，DC=5，OD=12−r，．∴52+(12−r)2=r2，解得r=16924∴其外接圆的半径为169．2415. 方法一：将圆进行一次对折，则折痕就是圆的直径，另外再折叠一次，得到另一条直径，则两直径的交点就是这个圆的圆心．方法二：作圆的两条不平行的弦，然后作两条弦的中垂线，两中垂线的交点就是这个圆的圆心．16. 如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE是△ABC的高，∴△BCD和△BCE都是直角三角形．∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，∴DF=EF=BF=CF．BC为半径的圆上．∴E，B，C，D四点在以F为圆心，1217. （1）AC（2）作AC的垂直平分线交AC于P，如图：∵点P为AC中点，AC．∴PA=PC=12∵∠ABC=∠ADC=90∘，AC，∴BP=DP=12∴PA=PB=PC=PD，AC为半径的同一圆上．∴点A，B，C，D在以P为圆心，12（3）四边形ACEF为正方形．∵四边形ACEF为菱形，∴∠ADC=90∘，AE=2AD，CF=2CD，∴四边形ABCD为损矩形，∴由（2）可知，点A，B，C，D在同一圆上．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=45∘，⏜=CD⏜，∴AD∴AD=CD，∴四边形ACEF为正方形．∵BD平分∠ABC，BD=4√2，∴点D到AB，BC的距离ℎ为4，∴S△ABD=12AB⋅ℎ=2AB=6，S△ABC=12AB⋅BC=32BC，S△BDC=12BC⋅ℎ=2BC，S△ACD=14S正方形ACEF=14AC2=14(BC2+9)．∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=S△ABD+S△BCD，∴32BC+14(BC2+9)=6+2BC，∴BC=5或BC=−3（舍去），∴BC=5．第11页（共11 页）。

2.3 确定圆的条件确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.(4)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.【点拨】（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.【例题1】（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O；（2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆⊙O的面积．【例题2】如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，尺规作图，作Rt△ABC外接圆⊙O．（保留作图痕迹，不写作法）【例题3】我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如图，将△ABC放在每个看例题，涨知识教材知识总结小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．（1）用无刻度直尺画出△ABC的最小覆盖圆的圆心（保留作图痕迹）；（2）该最小覆盖圆的半径是．【例题4】已知，如图，点A为⊙O上的一点（1）用没有刻度的直尺和圆规作一个⊙O的内接正三角形ABC(保留作图痕迹并标出B、C)；（2）若⊙O半径为10，则三角形ABC的边长为一、单选题1．下列判断中正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．垂直于弦的直线平分弦所对的弧C．平分弧的直径平分弧所对的的弦D．三点确定一个圆2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC 的外接圆的圆心坐标是（）A．（－2，－1）B．（－1，0）C．（－1，－1）D．（0，－1）3．对于以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三角形是正三角形；③各角相等的圆内课后习题巩固一下接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．给定下列条件可以确定唯一的一个圆的是（）A．已知圆心B．已知半径C．已知直径D．不在同一直线上的三个点5．从一块圆形玻璃镜残片的边缘描出三点A、B、C，得到△ABC，则这块玻璃镜的圆心是（）A．AB、AC边上的高所在直线的交点B．AB、AC边的垂直平分线的交点C．AB、AC边上的中线的交点D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点6．下列说法中错误的是（）A．直径是弦B．经过不在同一直线上三点可以确定一个圆C．三角形的外心到三个顶点的距离相等D．两个半圆是等弧7．如图，点O是△ABC的外心（三角形三边垂直平分线的交点），若∠BOC=96°，则∠A的度数为（）A．49°B．47.5°C．48°D．不能确定A B，C在平面直角坐标系中，则ABC的外心在（）8．如图，点(0,3),(2,1)A．第四象限B．第三象限C．原点O处D．y轴上9．如图，已知平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（）A．（6，8）B．（4，5）C．（4，318）D．（4，338）10．如图，ABC为锐角三角形，6BC=，45A∠=︒，点O为ABC的重心，D为BC中点，若固定边BC，使顶点A在ABC所在平面内进行运动，在运动过程中，保持A∠的大小不变，设BC的中点为D，则线段OD的长度的取值范围为（）A521OD≤B531OD≤C．131OD≤<D．121OD<≤二、填空题11．如图，点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBA＝17°，则∠C的度数为_________°．12．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程2-12+35=0x x的根，则该三角形外接圆的半径为______．13．如图，已知AB＝AC＝BE＝CD，AD＝AE，点F为△ADE的外心，若∠DAE＝40°，则∠BFC＝______°．14．有一种化学实验中用的圆形过滤纸片，如果需要找它的圆心，请你简要说明你找圆心的方法是__________________15．如图，在57⨯网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来__________________________．16．已知ABC的三边a，b，c满足|c﹣4|+b+a2﹣10a＝1b+30，则ABC的外接圆半径的长为___．三、解答题17．为了美化校园，某小区要在如图所示的三角形空地（ABC）上作一个半圆形花坛并使之满足以下要求；①圆心在边BC上，②该半圆面积最大．请你帮忙设计这一花坛．18．如图，学校某处空地上有A、B、C三棵树，现准备建一个圆形景观鱼池，要求A、B、C三棵树恰在圆周上，请你帮助设计鱼池，在图中作出它的鱼池轮廓，保留作图痕迹并将圆心标记为点O．19．有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案：①在⊙O中作直径AB，分别以A、B为圆心，大于1AB长为半径画弧，两弧在直径AB上方交于点C，作2射线OC交⊙O于点D；②连接BD，以O为圆心BD长为半径画圆；③大⊙O 即为所求作．(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成如下证明： 证明：连接CA 、CB在△ABC 中，∵CA ＝CB ，O 是AB 的中点， ∴CO ⊥AB （ ）（填推理的依据） 设小O 半径长为r ∵OB ＝OD ，∠DOB ＝90° ∴BD 2∴S 大⊙O ＝π2）2＝ S 小⊙O ． 20．如图，ABC 是直角三角形，90ACB ∠=︒．(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）． ①作ABC 的外接圆O ；②以线段AC 为一边，在AC 的右侧作等边三角形ACD ； ③连接BD ，交O 于点E ，连接AE ；(2)在（1）中所作的图中，若4AB =，2BC =，则线段AE 的长为______．2.3 确定圆的条件解析确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A 、B 能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上； (3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.(4)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的教材知识总内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等. 【点拨】（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.【例题1】（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出△ABC的外心点O；（2）设每个小方格的边长为1，求出外接圆⊙O的面积．【答案】（1）见解析；（2）10π【分析】（1）根据三角形的外心是三边垂直平分线的交点作出点O；（2）根据勾股定理求出圆的半径，根据圆的面积公式计算，得到答案．【解析】解：（1）如图所示，点O即为所求；（2）连接OB，由勾股定理得：OB223110+=∴外接圆⊙O的面积为：π×102＝10π．看例题，涨知识【例题2】如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，尺规作图，作Rt△ABC外接圆⊙O．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见详解【分析】作AB的垂直平分线，找到AB的中点，则以AB为直径作圆就是三角形的外接圆．【解析】解：如图所示：【例题3】我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如图，将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．（1）用无刻度直尺画出△ABC的最小覆盖圆的圆心（保留作图痕迹）；（2）该最小覆盖圆的半径是．【答案】（1）见解析；（25【分析】（1）作出线段AB，AC的垂直平分线的交点O即可．（2）连接OA，利用勾股定理求出OA即可．【解析】解：（1）如图，点O即为所求．（2）半径OA22+1255【例题4】已知，如图，点A为⊙O上的一点（1）用没有刻度的直尺和圆规作一个⊙O的内接正三角形ABC(保留作图痕迹并标出B、C)；（2）若⊙O半径为10，则三角形ABC的边长为【答案】（1）图见详解；（2）三角形ABC的边长为103【分析】（1）以OA为半径，在圆上依次截取得到圆的6等分点，从而得到圆的三等分点，进而问题可求解；（2）连接OB、OC，延长AO交BC于点D，则有AD⊥BC，然后根据等边三角形的性质及垂径定理可求解．【解析】接：（1）等边三角形ABC如图所示：（2）连接OB、OC，延长AO交BC于点D，如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，∴AD⊥BC，∠BOD=∠COD=60°，∴∠OBD=30°，BC=2BD，∵⊙O半径为10，∴152OD OB==，∴2253 BD OB OD-∴103BC=∴三角形ABC的边长为103故答案为3一、单选题1．下列判断中正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．垂直于弦的直线平分弦所对的弧C．平分弧的直径平分弧所对的的弦D．三点确定一个圆【答案】C【分析】根据垂径定理和确定圆的条件对各选项进行逐一解答即可．【解析】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故选项错误；B、垂直于弦的直径平分弦所对的弧，故选项错误；C、平分弧的直径平分弧所对的的弦，故选项正确；D、不共线的三点确定一个圆，故选项错误；故选C．2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），点B（2，1），点C（2，－3）．则经画图操作可知：△ABC 的外接圆的圆心坐标是（）A．（－2，－1）B．（－1，0）C．（－1，－1）D．（0，－1）【答案】A【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．【解析】解：∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，如图所示：EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，课后习题巩固一∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．故选：A3．对于以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三角形是正三角形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】①没有边相等的信息不能判定其是正多边形；②符合正三角形的定义；③仅有各角相等没有边相等的信息不能判定其是圆内正多边形；④符合圆内接多边形的定义．【解析】①错误，如矩形，满足条件，却不是正多边形；②正确；③错误，如圆内接矩形，满足条件，却不是正多边形；④正确．共有2个正确．故选B4．给定下列条件可以确定唯一的一个圆的是（）A．已知圆心B．已知半径C．已知直径D．不在同一直线上的三个点【答案】D【分析】根据确定圆的条件，逐一判断选项，即可得到答案．【解析】A. 已知圆心，但半径不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意，B. 已知半径，但圆心位置不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意，C. 已知直径，但圆心位置不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意，D. 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，符合题意．故选D．5．从一块圆形玻璃镜残片的边缘描出三点A、B、C，得到△ABC，则这块玻璃镜的圆心是（）A．AB、AC边上的高所在直线的交点B．AB、AC边的垂直平分线的交点C．AB、AC边上的中线的交点D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点【答案】B【分析】结合图形可知所求玻璃镜的圆心是ABC外接圆的圆心，据此可得出答案．【解析】根据题意可知，所求的玻璃镜的圆心是ABC外接圆的圆心，而ABC外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，故选：B．6．下列说法中错误的是（）A．直径是弦B．经过不在同一直线上三点可以确定一个圆C．三角形的外心到三个顶点的距离相等D．两个半圆是等弧【答案】D【分析】根据圆的性质：弦的定义、确定圆的条件、外心性质、弧的定义逐一判断解答．【解析】解：A. 直径是弦，故A正确；B. 经过不在同一直线上三点可以确定一个圆，故B正确；C. 三角形的外心到三个顶点的距离相等，故C正确；D. 两个半圆不一定是等弧，故D错误，故选：D．7．如图，点O是△ABC的外心（三角形三边垂直平分线的交点），若∠BOC=96°，则∠A的度数为（）A．49°B．47.5°C．48°D．不能确定【答案】C【分析】根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理计算即可．【解析】解：如图，连接AO，∵点O是△ABC三边垂直平分线的交点，∴AO=BO=CO，∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，∴∠AOB=180°-2∠OAB，∠AOC=180°-2∠OAC，∴∠BOC=360°-（∠AOB+∠AOC）=360°-（180°-2∠OAB+180°-2∠OAC）=2∠OAB+2∠OAC=2∠BAC；∵∠BOC=96°，∴∠BAC=48°，故选：C．A B，C在平面直角坐标系中，则ABC的外心在（）8．如图，点(0,3),(2,1)A．第四象限B．第三象限C．原点O处D．y轴上【答案】B【分析】根据直角坐标系的特点作AB、BC的垂直平分线即可求解．【解析】如图，作AB、BC的垂直平分线，交点在第三象限，故选B．9．如图，已知平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（）A ．（6，8）B ．（4，5）C ．（4，318） D ．（4，338） 【答案】C【分析】先由题意可知，点P 在线段AB 的垂直平分线上，可确定P 的横坐标为4；设点P 的坐标为（4，y ），如图作PE ⊥OB 于E ，PF ⊥OC 于F ，运用勾股定理求得y 即可． 【解析】解：∵⊙P 经过点A 、B 、C ， ∴点P 在线段AB 的垂直平分线上， ∴点P 的横坐标为4， 设点P 的坐标为（4，y ）， 作PE ⊥OB 于E ，PF ⊥OC 于F ， 22224(4)1y y +-+ 解得，y 318=， 故选：C ．10．如图，ABC 为锐角三角形，6BC =，45A ∠=︒，点O 为ABC 的重心，D 为BC 中点，若固定边BC ，使顶点A 在ABC 所在平面内进行运动，在运动过程中，保持A ∠的大小不变，设BC 的中点为D ，则线段OD 的长度的取值范围为（ ）A 521OD ≤B 531OD ≤C ．131OD ≤< D ．121OD <≤【答案】D【分析】如图，作ABC 的外接圆，点E 为圆心，AD BC ⊥，由题意知1OD AD 3=且90BEC ∠=︒，3BD DE ==，由勾股定理知2232BE BD DE =+=，332AD DE AE =+=+当AD BC⊥时，AD 最长，可求此时OD 最大值；由于3AD BD >=，可得此时OD 最小值，进而可得OD 的取值范围． 【解析】解：如图，作ABC 的外接圆，点E 为圆心，AD BC ⊥由题意知1OD AD 3=∵45A ∠=︒ ∴90BEC ∠=︒ ∴45EBD BED ∠=∠=︒∴3BD DE ==，由勾股定理知2232BE BD DE =+= ∴332AD DE AE =+=+∵AD BC ⊥时，AD 最长， ∴OD 最大值为12∵3AD BD >= ∴1OD > ∴112OD <≤故选D ． 二、填空题11．如图，点O 是△ABC 的外心，连接OB ，若∠OBA ＝17°，则∠C 的度数为_________°．【答案】73【分析】连接OA ，OC ，根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论． 【解析】解：连接OA ，OC ，点O 是ABC ∆的外心，OA OB OC ∴==，OBA OAB ∴∠=∠，OAC OCA ∠=∠，OBC OCB ∠=∠， 17OBA ∠=︒， 17OAB ∴∠=︒，1801801717146OBC OCB OCA ACO OBA OAB ∠+∠+∠+∠=-∠-∠=︒-︒-︒=︒即146OBC OCB OCA ACO ∠+∠+∠+∠=︒，22146OCB ACO ∴∠+∠=︒， 73OCB ACO ∴∠+∠=︒， 73BCA ∴∠=︒．故答案为：73．12．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程2-12+35=0x x 的根，则该三角形外接圆的半径为______． 【答案】52【分析】先解一元二次方程，根据构成三角形的条件取舍，勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，进而根据90度角所对的弦为直径，进而求得三角形外接圆的半径． 【解析】解：2-12+35=0x x ，()()570x x --=，解得215,7x x ==，当7x =时，347+=不能构成三角形； 当5x =时，22234255+==，∴这个三角形是斜边为5的直角三角形， ∴该三角形外接圆的半径为52， 故答案为：52． 13．如图，已知AB ＝AC ＝BE ＝CD ，AD ＝AE ，点F 为△ADE 的外心，若∠DAE ＝40°，则∠BFC ＝______°．【答案】140【分析】由等腰三角形的性质得出∠BEA =∠BAE = 70°，求出∠ABE = 40°，连接AE ，EF ，DF ，由三角形外心的性质求出∠EBF =∠FCB =20°，由三角形内角和定理可得出答案． 【解析】解:∵∠DAE ＝40°，AD ＝AE ， ∴∠ADE ＝∠AED ，∴∠AED ＝12（180°﹣40°）＝70°， ∵AB ＝BE ，∴∠BEA ＝∠BAE ＝70°， ∴∠ABE ＝40°， 连接AE ，EF ，∵点F 为△ADE 的外心， ∴AF ＝EF ，AF ＝DF ， ∴点F 在AE 的垂直平分线上， 同理点B 在AE 的垂直平分线上， ∴∠ABF ＝∠EBF ， ∴∠EBF ＝12∠ABE ＝20°，同理∠FCB ＝20°，∴∠BFC ＝180°﹣∠FBC ﹣∠FCB ＝180°﹣20°﹣20°＝140°． 故答案为：14014．有一种化学实验中用的圆形过滤纸片，如果需要找它的圆心，请你简要说明你找圆心的方法是__________________【答案】在圆形纸片的边缘上任取三点,,,A B C 则线段,AB AC 的垂直平分线的交点O 是圆形纸片的圆心. 【分析】如图，在圆形纸片的边缘上任取三点,,,A B C 连接,,AB AC 再作,AB AC 的垂直平分线得到两条垂直平分线的交点即可.【解析】解：如图，在圆形纸片的边缘上任取三点,,,A B C连接,,AB AC 则,AB AC 的垂直平分线的交点O 是圆形纸片的圆心.故答案为：在圆形纸片的边缘上任取三点,,,A B C 则线段,AB AC 的垂直平分线的交点O 是圆形纸片的圆心. 15．如图，在57⨯网格中，各小正方形边长均为1，点O ，A ，B ，C ，D ，E 均在格点上，点O 是ABC 的外心，在不添加其他字母的情况下，则除ABC 外把你认为外心也是O 的三角形都写出来__________________________．【答案】△ADC 、△BDC 、△ABD【分析】先求出△ABC 的外接圆半径r ，再找到距离O 点的长度同为r 的点，即可求解． 【解析】由网格图可知O 点到A 、B 、C 22125+ 则外接圆半径5r =图中D 点到O 22125r +=， 图中E 点到O 221310+=则可知除△ABC 外把你认为外心也是O 的三角形有：△ADC 、△ADB 、△BDC ， 故答案为：△ADC 、△ADB 、△BDC ．16．已知ABC 的三边a ，b ，c 满足|c ﹣4|+b +a 2﹣10a ＝1b +30，则ABC 的外接圆半径的长为___． 【答案】2.5【分析】先根据|c ﹣4|+b +a 2﹣10a ＝1b +30变形可得22|4|(12)(5)0c b a -+++-=，再根据绝对值和完全平方公式的非负性即可求得a 、b 、c 的值，进而根据勾股定理的逆定理可得ABC 为直角三角形，由此可得ABC 外接圆半径的长为斜边的一半． 【解析】解：∵|c ﹣4|+b +a 2﹣10a ＝1b +30，2|4|(1414)(1025)0c b b a a ∴-++-++-+=， 22|4|(12)(5)0c b a ∴-+++-=，又∵22|4|0,(12)0,(5)0c b a -≥+≥-≥， ∴40c -=120b +=，50a -=，解得：4c =，3b =，5a =， ∴22225c b a +==，∴ABC 为直角三角形，且斜边长为5， ∴ABC 的外接圆的半径r ＝5×12＝2.5，故答案为：2.5． 三、解答题17．为了美化校园，某小区要在如图所示的三角形空地（ABC ）上作一个半圆形花坛并使之满足以下要求；①圆心在边BC 上，②该半圆面积最大．请你帮忙设计这一花坛．【答案】见解析【分析】作∠A 的角平分线AD 交BC 于点O ，以点O 为圆心，点O 到AC 的距离OD 为半径画半圆，此时半圆和AC ，AB 都相切，则该半圆面积最大． 【解析】如图所示：该半圆即为所求．18．如图，学校某处空地上有A 、B 、C 三棵树，现准备建一个圆形景观鱼池，要求A 、B 、C 三棵树恰在圆周上，请你帮助设计鱼池，在图中作出它的鱼池轮廓，保留作图痕迹并将圆心标记为点O ．【答案】见解析【分析】连接,AB BC ,分别作,AB BC 的垂直平分线，交于点O ，以OA 的长度为半径，O 为圆心作圆即可． 【解析】如图所示．连接,AB BC ,分别作,AB BC 的垂直平分线，交于点O ，以OA 的长度为半径，O 为圆心作圆，则O 即为所求，19．有趣的倍圆问题：校园里有个圆形花坛，春季改造，负责该片花园维护的某班同学经过协商，想把该花坛的面积扩大一倍．他们在图纸上设计了以下施工方案：①在⊙O 中作直径AB ，分别以A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧在直径AB 上方交于点C ，作射线OC 交⊙O 于点D ；②连接BD ，以O 为圆心BD 长为半径画圆； ③大⊙O 即为所求作．(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成如下证明：证明：连接CA 、CB在△ABC 中，∵CA ＝CB ，O 是AB 的中点，∴CO ⊥AB （ ）（填推理的依据）设小O 半径长为r∵OB ＝OD ，∠DOB ＝90°∴BD 2∴S 大⊙O ＝π2）2＝ S 小⊙O ．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）按照题意作图即可；（2）先根据三线合一定理得到CO ⊥AB ，然后证明BD 2r 即可得到S 大⊙O ＝π2r ）2＝2S 小⊙O ．【解析】(1)解：如图所示，即为所求；(2)证明：连接CA 、CB在△ABC 中，∵CA ＝CB ，O 是AB 的中点，∴CO ⊥AB （三线合一定理）（填推理的依据）设小O 半径长为r∵OB ＝OD ，∠DOB ＝90°∴BD 2∴S 大⊙O ＝π2）2＝2S 小⊙O ．20．如图，ABC 是直角三角形，90ACB ∠=︒．(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．①作ABC 的外接圆O ；②以线段AC 为一边，在AC 的右侧作等边三角形ACD ；③连接BD ，交O 于点E ，连接AE ；(2)在（1）中所作的图中，若4AB =，2BC =，则线段AE 的长为______．【答案】(1)作图见解析；4217【分析】（1）利用直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点，先做AB 的垂直平分线，找出圆心O ，以O 为圆心，OA 为半径画圆即可，再分别以A ，B 为圆心，AB 为半径画弧交于点D ，连接AD ，CD ，即可做出等边三角形ACD ；（2）证明∠BAD =90°，利用勾股定理求出2227BD AB AD =+=AE 的长．【解析】(1)解：作图如下：(2)解：∵AB =4，BC =2，△ACD 是等边三角形，∴∠BAD =∠BAC +∠CAD =30°+60°=90°， ∴323===AD AC AB ∴2227BD AB AD =+= ∴14221172=AB AD AE BD 故线段AE 的长为4217。

2.3 确定圆的条件教案-苏科版九年级数学上册
一、教学目标
1.了解圆的定义和性质；
2.掌握圆的常识和圆的元素的特点；
3.能够根据给定的条件确定圆。

二、教学重点
1.圆的定义和性质；
2.圆的元素的特点。

三、教学难点
1.根据给定的条件确定圆。

四、教学准备
1.教学课件和投影仪；
2.学生作业本和练习题。

五、教学过程
1. 导入
首先通过展示多种圆形的图片，引出本课的话题——圆。

让学生讨论圆的形状、特点和应用领域。

2. 引入
在第一部分中，我们了解到如果在平面上取一个点，并以该点为圆心，以一定的长度为半径作圆，那么这个平面范围内的所有点与圆心的距离都相等。

这个几何图形就是圆。

3. 圆的定义和性质
1.请同学们读一读关于圆的定义。

圆是平面上的一个点到另一个点的距离固定且小于这个固定值的所有点的集合。

2.根据定义可知，圆有以下性质：
–圆的边界叫做圆周；
–圆周上任意两点与圆心的距离相等；
–圆周的中心即为圆心。

4. 圆的元素
1.圆心：圆的中心点，用字母。

2.3 确定圆的条件教学设计-苏科版九年级数学上册1. 教学目标•理解圆的定义和性质；•掌握确定圆的条件；•能够利用圆的条件进行解题。

2. 教学准备•教材：苏科版九年级数学上册；•板书工具：黑板/白板、彩色粉笔/挂画；•教具：圆规、直尺。

3. 教学过程3.1 导入新课教师出示圆规和直尺，引导学生回顾并复习圆的定义和性质。

通过提问，帮助学生回忆圆的特点，如圆是由一条弧线围成的，圆上任意两点的距离相等等。

3.2 确定圆的条件教师通过板书或展示教材上的相关内容，向学生介绍确定圆的条件。

这些条件包括：3.2.1 半径相等的条件•定理1：如果一个平面上的两条线段的长度相等，且它们的一个端点和中点重合，那么这两条线段所在的直线和中线所确定的装置是圆。

3.2.2 直径和弦的关系•定理2：如果一个弦和一个直径相等，那么这个弦是这个圆的直径。

3.2.3 垂直弦的关系•定理3：如果一条弦垂直于另一条弦，那么这两条弦所在的圆是一个直径垂直于第一条弦的圆。

3.3 实例讲解教师通过练习题的方式，给出几个具体的实例进行讲解。

例如：例1已知平面上的四个点A、B、C、D，且AC = BD = 5cm，并且AD ⊥ BC。

问：ABCDE 是否能确定一个圆？解：首先，根据定理1，当AC = BD且AD ⊥ BC时，可以确定一个圆。

其次，根据定理3，如果一条弦垂直于另一条弦，那么这两条弦所在的圆是一个直径垂直于第一条弦的圆。

由于AD ⊥ BC，所以AC 和 BD 所在的圆的直径应该与AC 和 BD垂直。

综上所述，根据所给条件，可以确定一个圆。

例2已知ABCD 是一个正方形，AC 直线上的一点E 满足AE = BC，连接BE，求证：BCED 能确定一个圆。

解：首先，根据定理1，当AC = BD且AD ⊥ BC时，可以确定一个圆。

其次，根据定理2，如果一个弦和一个直径相等，那么这个弦是这个圆的直径。

由已知条件可知AE = BC，所以BCED 中的BE 是AC上的弦，且BE = AC，根据定理2，可以得出BCED 能确定一个圆。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！课时练2.3确定圆的条件1．在平面直角坐标系中，如果⊙O是以原点为圆心，以7为半径的圆，那么A（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（）A．在⊙O外B．在⊙O上C．在⊙O内D．不能确定2．已知⊙O的半径r＝3，PO＝，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．不能确定3．如图小明为检验M、N、P、Q四点是否共圆，用尺规分别作了MN、MQ的垂直平分线交于点O，则M、N、P、Q四点中，不一定在以O为圆心，OM为半径的圆上的点是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q4．以坐标原点为圆心，以2个单位为半径画⊙O，下面的点中，在⊙O上的是（）A．（1，1）B．（，）C．（1，3）D．（1，）5．⊙O的直径为15cm，O点与P点的距离为8cm，点P的位置（）A．在⊙O外B．在⊙O上C．在⊙O内D．不能确定6．下随有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，④圆内接四边形对角互补．其中错误的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．下列说法中正确的是（）A．不在同一条直线上的三个点确定一个圆B．相等的圆心角所对的弧相等C．平分弦的直径垂直于弦D．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等8．下列有关圆的一些结论①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接四边形对角互补．其中正确的结论是（）A．①B．②C．③D．④9．如图，已知平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P经过点A、B、C，则点P的坐标为（）A．（6，8）B．（4，5）C．（4，）D．（4，）10．下列说法正确的是（）A．等弧所对的圆心角相等B．平分弦的直径垂直于这条弦C．经过三点可以作一个圆D．相等的圆心角所对的弧相等11．如图，△ABC内接于⊙O，若sin∠BAC＝，BC＝2，则⊙O的半径为（）A．3B．6C．4D．212．如图，△ABC内接于圆O，连接OA、OB，∠C＝40°，则∠AOB的度数是（）A．80°B．50°C．45°D．40°13．如图，每个小三角形都是正三角形，则△ABC的外心是（）A．D点B．E点C．F点D．G点14．有下列结论：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各边的距离相等．其中正确结论的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个15．正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接等边三角形EFG的边长为（）A．B．C．D．16．在同一平面内，⊙O的直径为2cm，点P到圆心O的距离是3cm，则点P与⊙O的位置关系是．17．有一张矩形的纸片，AB＝3cm，AD＝4cm，若以A为圆心作圆，并且要使点D在⊙A 内，而点C在⊙A外，⊙A的半径r的取值范围是．18．P是直线l上的任意一点，点A在圆O上，设OP的最小值为m，若直线l过点A，则m与OA的大小关系是．19．已知⊙O的半径为3cm，OP＝4cm，A是OP的中点，则点A与⊙O的位置关系是点A 在．（填圆内、圆外或圆上）20．下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；（3）圆周角等于圆心角的一半；（4）平分弦的直径平分弦所对的优弧．其中正确的有（只填序号）21．如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为．22．要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是，另一个是，其中，确定圆的位置，确定圆的大小．23．若A（1，2），B（3，﹣3），C（x，y）三点可以确定一个圆，则x、y需要满足的条件是．24．若⊙O是等边△ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边△ABC的边长为．25．已知一个三角形三边分别为13cm，12cm，5cm，则此三角形外接圆半径为cm．26．如图，矩形ABCD中AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F．（1）求AF、AE的长；（2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．27．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；（2）点M的坐标为；（3）判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．28．如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．29．已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B．C．D．E在以点M为圆心的同一个圆上．30．如图，△ABC为⊙O的内接三角形．点D为劣弧上一点，连接AD、CD、CO、BO，延长CO交AB于点F，CD＝BC．（1）求证：∠DAC＝∠ACO+∠ABO；（2）点E在OC上，连接EB，若∠DAB＝∠OBA+∠EBA，求证：EF＝EB．参考答案1．C．2．C．3．C．4．B．5．A．6．C．7．A．8．D．9．C．10．A．11．A．12．A．13．B．14．A．15．C．16．点P在⊙O外．17．4cm＜r＜5cm．18．m≤OA19．圆内．20．（2）．21．5．22．圆心，半径，圆心，半径．23．5x+2y≠9．24．2．25．6.5．26．解：（1）∵矩形ABCD中AB＝3，AD＝4，∴AC＝BD＝＝5，∵AF•BD＝AB•AD，∴AF＝＝，同理可得DE＝，在Rt△ADE中，AE＝＝；（2）∵AF＜AB＜AE＜AD＜AC，∴若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，即点F在圆内，点D、C在圆外，∴⊙A的半径r的取值范围为2.4＜r＜4．27．解：（1）如图1，点M就是要找的圆心；（2）圆心M的坐标为（2，0）．故答案为（2，0）；（3）圆的半径AM＝＝2．线段MD＝＝＜2，所以点D在⊙M内．28．证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE是△ABC的高，∴△BCD和△BCE都是直角三角形．∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，∴DF＝EF＝BF＝CF．∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，BC为半径的圆上．29．证明：连接ME、MD，∵BD、CE分别是△ABC的高，M为BC的中点，∴ME＝MD＝MC＝MB＝BC，∴点B、C、D、E在以点M为圆心的同一圆上．30．解：（1）如图1中，连接OA，∵OA＝OC，∴∠1＝∠ACO，∵OA＝OB，∴∠2＝∠ABO，∴∠CAB＝∠1+∠2＝∠ACO+∠ABO，∵DC＝BC，∴＝，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠ACO+∠ABO．（2）如图2中，∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝2∠CAB，∠COB＝2∠BAC，∴∠BAD＝∠BOC，∵∠DAB＝∠OBA+∠EBA，∴∠BOC＝∠OBA+∠EBA，又∵∠COB＝∠OBA+∠EBA，∴∠EFB＝∠EBF，∴EF＝EB．。

苏科版数学九年级上册第二章第三节《确定圆的条件》教学设计图1苏科版数学九年级上册第二章第三节《确定圆的条件》导学一、课前准备1．确定一个圆需要两个要素：决定圆的大小的是圆的 ，决定圆的位置的是 . 2．线段垂直平分线的点到 . 3．画出线段AB 的垂直平分线4.过一点可以画 条直线；过两点可以画 条直线。

二、课中操作1、（1）经过一个已知点Ａ画圆； （2）经过两个已知点Ａ、Ｂ画圆.A . A . .B2、例题：作圆，使它经过不在同一直线上的三个已知点.已知：不在同一直线上的三点Ａ、Ｂ、Ｃ（如图4） 求作：⊙Ｏ，使它经过点Ａ、Ｂ、Ｃ。

A .B . ．C3、分别画出下列三角形的外接圆，并说明它们的外心与三角形的位置关系.4．按图填空： （1）△ABC 是⊙Ｏ的 三角形；（2）⊙Ｏ是△ABC 的 圆5、判断：（1）经过三个点一定可以作圆（ ）（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆（ ）（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形（ ） （4）三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等（ ） （5）三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点（ ） （6）直角三角形的外心在三角形的内部（ ） （7）钝角三角形的外心在三角形的外部（ ）6、解决开始问题BA附件3：教学反思探寻自然生长的数学课堂教学——以苏科版数学九年级上册《2.3确定圆的条件》教学为例“教学既是科学又是艺术”，它则提示教学既要表现出科学性和合理性，又要表现出艺术性和创新性。

但无论如何，好的课堂应是最基本、最重要、最自然生成的，也是能引起师生认知共鸣的交流舞台。

崇尚自然流畅、本真生长的数学课堂教学，应是数学教师孜孜以求的。

一、源头活水来，情境自然得数学来源于生活，问题取之于教材，生活是数学生命之源，教材是教学生长之本。

生活中经常会出现“破镜重圆”、“残缺圆形车轮修复”、“残破圆形物体重置”等情况。

另外，教材在本节练习（课本第52页）中，两次出现已知一条弧，试确定其圆心的问题。

确定圆的条件知识点一、圆的确定1.过一点作圆经过一点A作圆，只要以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径作圆即可，这样的圆可以作无数个，如图所示：2.过两点作圆经过两点A、B作圆，只要以与点A、B距离相等的点为圆心（线段AB垂直平分线上任一一点），以这一点与点A（B）的距离为半径作圆即可，这样的圆也可以作无数个，如图所示：3.过不在同一条直线上的三个点作圆经过不在同一条直线上的三个点A、B、C作圆，圆心到这三个点的距离相等，所以圆心在线段AB、线段BC的垂直平分线的交点O处，以点O为圆心，以OA（OB/OC）为半径作圆即可，这样的圆有且只有一个，如图所示：重要结论：不在同一条直线直线上的三个点可以确定（有且只有）一个圆.（1）过在同一条直线上的三个点不能作圆；（2）过不在同一条直线上的四个点不一定能作圆.例：已知A、B、C是平面内的三点，AB＝3，BC＝3，AC＝6，下列说法正确的是（）A. 可以作一个圆，使点A、B、C都在圆上B. 可以作一个圆，使点A、B在圆上，点C在圆外C. 可以作一个圆，使点A、C在圆上，点B在圆外D. 可以作一个圆，使点B、C在圆上，点A在圆内【解答】B【解析】∵AB＝3，BC＝3，AC＝6，∴点A、B、C依次在同一条直线上，∴这三点不能确定一个圆；若作一个圆，使点A、B在圆上，点C在圆外；若作一个圆，使点A、C在圆上，点B在圆内；若作一个圆，使点B、C在圆上，点A在圆外.综上，故选B.知识点二、三角形的外接圆经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，如图所示：ABC的外接圆，△ABC O为△ABC的外心.1.锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点处，钝角三角形的外心在三角形的外部，如图所示：2.一个三角形只有一个外接圆，而一个圆有无数个内接三角形；3.三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三个顶点的距离相等.，则该正三角形的面积为.【解析】如图所示：有题与图可得∠ODB＝90°，BD＝CD，∠OBC＝30°，.巩固练习一．选择题1．在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°，则△ABC的外心在（）A．△ABC的内部B．△ABC的外部C．△ABC的边上D．不确定【解答】A【解析】∵∠A＝40°，∠B＝80°，∴∠C＝60°，∴△ABC是锐角三角形，∴△ABC的外心在△ABC的内部，故选A．2．直角三角形的外心在（）A．直角顶点B．直角三角形内C．直角三角形外D．斜边中点【解析】直角三角形的外心是斜边的中点，故选D．3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠B＝30°，AC=√3，则⊙O的直径为（）A．1 B．√3C．2 D．2√3【解答】D【解析】作直径AD，连结CD，如图，∵AD为直径，∴∠ACD＝90°，∵∠D＝∠B＝30°，∴AD＝2AC＝2√3．故选D．4．对于三角形的外心，下列说法错误的是（）A．它到三角形三个顶点的距离相等B．它是三角形外接圆的圆心C．它是三角形三条边垂直平分线的交点D．它一定在三角形的外部【解答】D【解析】∵三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，∴A，B，C正确；∵锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部，故选D．5．已知⊙O是半径为2的圆形纸板，现要在其内部设计一个内接正三角形的图案，则内接三角形的边长为（）A．2√3B．√3C．4√3D．3√3【解答】A【解析】如图所示：∵△ABC是等边三角形，⊙O的半径为2，∴在Rt△BOD中，OB＝2，∠OBD＝30°，×2=√3，∴BD＝cos30°×OB=√32∵BD＝CD，∴BC＝2BD＝2√3，即它的内接正三角形的边长为2√3，故选A．6．如图，△ABC，AC＝3，BC＝4√3，∠ACB＝60°，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一动点，⊙O 为△APC的外接圆，直线BP交⊙O于E点，则AE的最小值为（）A．√3−1B．7﹣4√3C．√3D．1【解答】D【解析】如图，连接CE．∵AP∥BC，∴∠PAC＝∠ACB＝60°，∴∠CEP＝∠CAP＝60°，∴∠BEC＝120°，̂上运动，∴点E在以O'为圆心，O'B为半径的BĈ于E′，此时AE′的值最小．此时⊙O与⊙O'交点为E'．连接OA交BC∵∠BE'C＝120°̂所对圆周角为60°，∴BC∴BOC＝2×60°＝120°，∵△BOC是等腰三角形，BC＝4√3，OB＝OC＝4，∵∠ACB＝60°，∠BCO'＝30°，∴∠ACO'＝90°∴O'A=√O′C2+AC2=√42+32=5，∴AE′＝O'A﹣O'E′＝5﹣4＝1．故选D．二．填空题7．已知⊙O的半径r＝2cm，当OP＝时，点P在⊙O上；当OA＝1cm时，点A在圆；当OB＝4cm 时，点B在圆．【解答】2，内，外【解析】⊙O的半径r＝2cm，当OP＝2时，点P在⊙O上；当OA＝1cm时，点A在圆内；当OB＝4cm时，点B在圆外，故答案为2，内，外．8．设OA＝m，⊙O的半径r＝n，且|m﹣1|+√n2−6n+9=0，则点A在圆．【解答】点A在⊙O的内部【解析】根据非负性的性质，显然绝对值与根号里都应等于0，从而由得m＝1，n＝3，所以m＜r，即圆心到点A的距离小于半径，所以点A在⊙O的内部．9．按图填空：（1）△ABC是⊙O的三角形；（2）⊙O是△ABC的圆；（3）点O是△ABC的心；（4）OA，OB，OC三条线段的长度有关系：．【解答】（1）内接；（2）外接；（3）外；（4）OA＝OB＝OC【解析】（1）△ABC是⊙O的内接三角形；（2）⊙O是△ABC的外接圆；（3）点O是△ABC的外心；（4）OA，OB，OC三条线段的长度有关系：OA＝OB＝OC；故答案为（1）内接；（2）外接；（3）外；（4）OA＝OB＝OC．10．已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则△ABC的外接圆的半径是．【解答】258【解析】过A作AD⊥BC于D，连接BO，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，则AD必过圆心O，Rt△ABD中，AB＝5，BD＝3，∴AD＝4设⊙O的半径为x，Rt△OBD中，OB＝x，OD＝4﹣x，根据勾股定理，得：OB2＝OD2+BD2，即：x2＝（4﹣x）2+32，解得：x=25，8．故答案为25811．经过三角形各顶点的圆叫做三角形的，外接圆的圆心叫做三角形的，外心是三角形的交点．【解答】外接圆，外心，三条边垂直平分线的交点【解析】经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点．故答案为外接圆，外心，三条边垂直平分线的交点．12．锐角三角形的外心在．如果一个三角形的外心在它的一边的中点上，则该三角形是．如果一个三角形的外心在它的外部，则该三角形是．【解答】三角形内部，直角三角形，钝角三角形【解析】三角形内部，直角三角形，钝角三角形．三．解答题13．如图，⊙O的半径r＝5，圆心O到直线l的距离OD＝3，在直线1上有P，Q，R三点，并且PD＝4，QD ＞4，RD＜4，点P，Q，R与圆的位置关系分别是怎样的？【解答】点P在圆上，点Q在圆内，点R在圆外【解析】如图，连接AO，则AO＝5，∵OD＝3，∴AD＝4，∵PD＝4，QD＜4，RD＞4，∴点P在圆上，点Q在圆内，点R在圆外．14．如图，某海域以点A为圆心、3km为半径的圆形区域为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富，渔船要从点B处前往A处进行捕鱼，B，A两点之间的距离是10km，如果渔船始终保持10km/h的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？【解答】0h到0.7h之间，渔船是安全的；0.7h渔船进入危险区域【解析】如图，∵AB＝10km，AC＝3km，∴BC＝7km，由7÷10＝0.7，综上，0h到0.7h之间，渔船是安全的；0.7h渔船进入危险区域．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，AD是高线，AE是中线．（1）以点A为圆心，3cm为半径作⊙A，则点B，D，E，C与⊙A的位置关系怎样？（2）若以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r 的取值范围．【解答】（1）点B 在⊙A 上，点D 、点E 在⊙A 内，点C 在⊙A 外；（2）125＜r ＜4 【解析】（1）∵∠BAC ＝90°，AB ＝3cm ，AC ＝4cm ，∴BC =√AB 2+AC 2=5cm ，∵12AD •BC =12AB •AC ， ∴AD =125cm ，∵AE 是中线，∴AE =12BC ＝2.5cm ，∵r ＝3cm ，∴AB ＝r ，AD ＜r ，AE ＜r ，AC ＞r ，∴点B 在⊙A 上，点D 、点E 在⊙A 内，点C 在⊙A 外；（2）⊙A 的半径r 的取值范围为125＜r ＜4． 16．已知：如图，AD 是△ABC 外角∠EAC 的平分线，AD 与△ABC 的外接圆交于点D ．求证：DB ＝DC ．【解答】见解析【解析】证明：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD ＝∠CAD ，∵A ，D ，C ，B 四点共圆，∴∠EAD ＝∠DCB ，由圆周角定理得，∠CAD ＝∠CBD ，∴∠DCB ＝∠DBC ，∴DB ＝DC ．17．如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，直径AD ＝3cm ，∠B =12∠DAC ．试求AC 的长．【解答】32【解析】如图，连接OC ，∵∠AOC ＝2∠B ，∠DAC ＝2∠B ，∴∠AOC ＝∠DAC ，∴AO ＝AC ，又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形，∴AC ＝AO =12AD =32cm ．18．如图，△ABC 为锐角三角形，△ABC 内接于圆O ，∠BAC ＝60°，H 是△ABC 的垂心，BD 是⊙O 的直径． 求证：AH =12BD ．【解答】见解析【解析】证明：连接AD ，CD ，CH ，∵BD 是⊙O 直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，又∠BAC＝60°，∴∠CAD＝30°，∠DBC＝∠CAD＝30°，BD，H是△ABC的垂心，AH⊥BC，CH⊥AB，在Rt△BCD中，CD=12又DC⊥BC，DA⊥AB，∴四边形AHCD为平行四边形，∵AH＝CD，BD．∴AH=1219．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CB＝8，AD是△ABC的角平分线，过A，D，C三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求证：AC＝AE；（2）求△ACD外接圆的直径．【解答】（1）见解析；（2）3√5【解析】（1）证明：∵∠ACB＝90°，且∠ACB为⊙O的圆周角，∴AD为⊙O的直径，∴∠AED＝90°，∴∠ACB＝∠AED．∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，∴∠CAD＝∠EAD，∴CD＝DE，在Rt△ACD与Rt△AED中，{AD=ADCD=ED，∴△ACD≌△AED（HL），∴AC＝AE；（2）∵△ABC是直角三角形，且AC＝6，BC＝8，∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10，∵由（1）得，∠AED＝90°，∴∠BED＝90°．设CD＝DE＝x，则DB＝BC﹣CD＝8﹣x，EB＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，在Rt△BED中，根据勾股定理得，BE2＝BE2+ED2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，∴CD＝3，∵AC＝6，△ACD是直角三角形，∴AD2＝AC2+CD2＝62+32＝45，∴AD＝3√5．20．如图，锐角△ABC是⊙O内接三角形，弦AE⊥BC，垂足为D．在AD上取点F，使FD＝DE，连接CF，并延长交AB于点G．求证：CG⊥AB．【解答】见解析【解析】证明：连接CE，则∠BAE＝∠DCB，∵AE⊥BC，使FD＝DE，∴CF＝CE，∵AE⊥BC，∴∠ECB＝∠BCG，∴∠BAE＝∠BCG，∵∠BAE+∠ABD＝90°，∴∠BCG+∠ABD＝90°，∴∠BGC＝90°，∴CG⊥AB．。