2020届高三数学专题练习之函数零点

第一部分函数零点题组一：零点判断1.已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞2.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图象的交点个数为（）A.3B.2C.1D.03.函数0.5()2|log |1xf x x =-的零点个数为（）A.1B.2C.3D.44.设函数2()23xf x x =+-，则函数()y f x =的零点个数是()A.4B.3C.2D.15.设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不．存在零点的是（）A.[]4,2-- B.[]2,0- C.[]0,2 D.[]2,46.已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时，3()f x x x =-，则函数()y f x =的图象在区间[]0,6上与x 轴的交点的个数为()．A．6B．7C．8D．9题组二函数零点中的参数1.函数2()2xf x a x=--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)2.若关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）A.(1,1)- B.(2,2)- C.(),2(2,)-∞-⋃+∞ D.(),1(1,)-∞-⋃+∞3.已知函数3ln(1),0()3,0x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩，若函数()y f x k =-有三个不同的零点，则实数k的取值范围是()A.(2,2)- B.(2,1)- C.(0,2)D.(1,3)4.已知函数01,()1,1.x f x x x⎧⎪=⎨>⎪⎩ 若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为（）A.59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.59,44⎛⎤⎥⎝⎦C.59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦D.59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦5.已知函数2()3,f x x x x R =+∈，若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是________．题组三综合问题1.若函数2()f x x ax b =++的两个零点是2-和3，则不等式(2)0af x ->的解集是______．2.函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（）A.2B.4C.6D.83.已知()f x 是奇函数且是R 上的单调函数，若函数2(21)()y f x f x λ=++-只有一个零点，则实数λ的值是()A.14B.18C.－78D.－384.已知lg ,0()2,0x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，则函数[]22()3()1y f x f x =-+的零点个数是________.5.已知0a >，函数222,0()22,0x ax a x f x x ax a x ⎧++≤⎪=⎨-+->⎪⎩.若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是________.第二部分综合训练一、填空题.1.设集合{|2}S x x =≥，}5|{≤=x x T ，则S T = （）A.]5,(-∞ B.),2[+∞ C.)5,2( D.]5,2[2.设四边形ABCD 的两条对角线为AC 、BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“BD AC ⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不成分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数x y 3cos 2=的图象（）A.向右平移12π个单位长 B.向右平移4π个单位长C.向左平移12π个单位长 D.向左平移4π个单位长4.已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值为（）A.2- B.4- C.6- D.8-5.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（）A.若n m ⊥，α//n ，则α⊥mB.若β//m ，αβ⊥，则α⊥mC.若β⊥m ，β⊥n ，α⊥n ，则α⊥m D.若n m ⊥，β⊥n ，αβ⊥，则α⊥m 6.正项等比数列{}n a 满足：4321228a a a a +=++，则652a a +的最小值是（）A.64B.32C.16D.87.已知函数c bx ax x x f +++=23)(，且3)3()2()1(0≤-=-=-<f f f ，则（）A.3≤c B.63≤<c C.96≤<c D.9>c8.在同一坐标系中，函数)0()(>=x x x f a，x x g a log )(=的图象可能是（）9.设θ为两个非零向量,a b 的夹角，已知对任意实数t ，b ta +的最小值为1（）A.若θ确定，则a唯一确定B.若θ确定，则b唯一确定C.若a 确定，则θ唯一确定D.若b确定，则θ唯一确定10.设()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，且对任意(0,)x ∈+∞都有(()ln )1f f x x e -=+，则方程()()f x f x e '-=的实数解所在区间为（）A.1(0,)eB.1(,1)eC.(1,)eD.(,4)e 二、填空题.1.设已知i 是虚数单位，计算21(1)ii -=+________.2.若,x y 满足和240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则y x +的取值范围是________.3.在三张奖劵中有一、二等各一张，另有一张无奖，甲乙两人各抽取一张，两人都中奖的概率为.4.设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,0,22)(22x x x x x x f ，若2))((=a f f ，则=a .。

专题13 函数的零点的问题一、题型选讲题型一 函数零点问题中参数的范围已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题．(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解． 例1、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －12，x>0，x 3－3mx －2，x ≤0(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】 (1，＋∞)【解析】解法1(直接法) 当x>0时，令f(x)＝e －x －12＝0，解得x ＝ln 2>0，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R 上有3个不同的零点，则当x ≤0时，f (x )＝x 3－3mx －2有2个不同的零点，因为f ′(x )＝3x 2－3m ，令f ′(x )＝0，则x 2－m ＝0，若m ≤0，则函数f (x )为增函数，不合题意，故m >0，所以函数f (x )在(－∞，－m )上为增函数，在(－m ，0]上为减函数，即f (x )max ＝f (－m )＝－m m ＋3m m －2＝2m m －2，f (0)＝－2<0，要使f (x )＝x 3－3mx －2在(－∞，0]上有2个不同的零点，则f (x )max ＝2m m －2>0，即m >1，故实数m 的取值范围是(1，＋∞)．解法2(分离参数) 当x>0时，令f(x)＝e －x －12＝0，解得x ＝ln 2>0，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R 上有3个不同的零点，则当x ≤0时，f (x )＝x 3－3mx －2有2个不同的零点，即x 3－3mx －2＝0，显然x ＝0不是它的根，所以3m ＝x 2－2x ，令y ＝x 2－2x (x <0)，则y ′＝2x ＋2x 2＝2（x 3＋1）x 2，当x ∈(－∞，－1)时，y ′<0，此时函数单调递减；当x ∈(－1，0)时，y ′>0，此时函数单调递增，故y min ＝3，因此，要使f (x )＝x 3－3mx －2在(－∞，0)上有两个不同的零点，则需3m >3，即m >1.例2、(2018扬州期末）已知函数f(x)＝e x ，g(x)＝ax ＋b ，a ，b ∈R . 若对任意实数a ，函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上总有零点，求实数b 的取值范围．【解析】研究函数的零点问题，主要是抓住两点，一是函数的单调性，二是寻找支撑点，要避免由“图”来直观地说明．规范解答 (1) 由g(－1)＝0知，g(x)的图像过点(－1，0)．若a<0，F(x)＝f(x)－g(x)＝e x －ax －b 在(0，＋∞)上单调递增，故F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上总有零点的必要条件是F(0)<0，即b>1.(10分)以下证明当b>1时，F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上总有零点． ①若a<0.由于F(0)＝1－b<0，F ⎝⎛⎭⎫－b a ＝e －b a －a ⎝⎛⎭⎫－b a －b ＝e －ba >0，且F(x)在(0，＋∞)上连续，由零点存在定理可知F(x)在⎝⎛⎭⎫0，－ba 上必有零点．(12分) ②若a ≥0.由(2)知e x >x 2＋1>x 2在x ∈(0，＋∞)上恒成立．取x 0＝a ＋b ，则F(x 0)＝F(a ＋b)＝e a ＋b －a(a ＋b)－b>(a ＋b)2－a 2－ab －b ＝ab ＋b(b －1)>0.由于F(0)＝1－b<0，F(a ＋b)>0，且F(x)在(0，＋∞)上连续，由零点存在定理可知F(x)在(0，a ＋b)上必有零点．综上得实数b 的取值范围是(1，＋∞)．(16分)第(3)问是函数零点问题，不能从粗糙的图像来确定，必须按零点存在定理来确定，这是此题的难点所在，难在所谓的“支撑点”的寻找，这要在平时的解题中加以积累．此外第(3)问的参数范围的确定，采用的是以证代求，这也是值得关注的地方例3、(2019苏州期末）已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－4a(a ，b ∈R )．(1) 当a ＝b ＝1时，求f (x )的单调增区间；(2) 当a ≠0时，若函数f (x )恰有两个不同的零点，求ba 的值；【解析】 思路分析 (1) 先解不等式f′(x)>0，再写出函数f(x)的单调递增区间．(2) 记ba ＝k ，则转化为函数g(x)＝x 3＋kx 2－4恰有两个不同的零点．由三次函数的图像可知，g(x)在极值点处取得零点．解后反思 在第(2)题中，也可转化为b a ＝4x2－x 恰有两个不同的实数解．另外，由g(x)＝x 3＋kx 2－4恰有两个不同的零点，可设g(x)＝(x －s)(x －t)2.展开，得x 3－(s ＋2t)x 2＋(2st ＋t 2)x －st 2＝x 3＋kx 2－4，所以⎩⎪⎨⎪⎧－（s ＋2t ）＝k ，2st ＋t 2＝0，－st 2＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1，t ＝－2，k ＝3.解：(1)当a ＝b ＝1时，f(x)＝x 3＋x 2－4，f ′(x)＝3x 2＋2x.(2分) 令f′(x)>0，解得x>0或x<－23，所以f(x)的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(0，＋∞)．(4分) (2)法一：f′(x)＝3ax 2＋2bx ，令f′(x)＝0，得x ＝0或x ＝－2b3a ，(6分)因为函数f(x)有两个不同的零点，所以f(0)＝0或f ⎝⎛⎭⎫－2b3a ＝0. 当f(0)＝0时，得a ＝0，不合题意，舍去；(8分) 当f ⎝⎛⎭⎫－2b 3a ＝0时，代入得a ⎝⎛⎭⎫－2b 3a ＋b ⎝⎛⎭⎫－2b3a 2－4a ＝0， 即－827⎝⎛⎭⎫b a 3＋49⎝⎛⎭⎫b a 3－4＝0，所以ba ＝3.(10分)法二：由于a ≠0，所以f(0)≠0，由f(x)＝0得，b a ＝4－x 3x 2＝4x2－x(x ≠0)．(6分)设h(x)＝4x 2－x ，h ′(x)＝－8x3－1，令h′(x)＝0，得x ＝－2，当x ∈(－∞，－2)时，h ′(x)<0，h(x)递减；当x ∈(－2，0)时，h ′(x)>0，h(x)递增， 当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x)>0，h(x)单调递增， 当x>0时，h(x)的值域为R ，故不论b a 取何值，方程b a ＝4－x 3x 2＝4x 2－x 恰有一个根－2，此时函数f (x )＝a (x ＋2)2(x －1)恰有两个零点－2和1.(10分)题型二 函数零点个数证明与讨论函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点。

广东实验学校2020届高三理科数学寒假作业----导数专题函数的切线及函数零点问题1.已知函数f (x)＝a x＋b x(a＞0，b＞0，a≠1，b≠1).(1)设a＝2，b＝12.①求方程f (x)＝2的根；②若对任意x∈R，不等式f (2x)≥mf (x)－6恒成立，求实数m的最大值；(2)若0＜a＜1，b＞1，函数g(x)＝f (x)－2有且只有1个零点，求ab的值.考点整合1.求曲线y＝f (x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程.(2)已知切线的斜率为k，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k ＝f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程.(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程.2.三次函数的零点分布三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x→∞时，函数值也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且x1＜x2的函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零点分布情况如下：3.(1)研究函数零点问题或方程根问题的思路和方法研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底还是研究函数的图象，如单调性、值域、与x轴的交点等，其常用解法如下：①转化为形如f (x1)·f (x2)＜0的不等式：若y＝f (x)满足f (a)f (b)＜0，则f (x)在(a，b)内至少有一个零点；②转化为求函数的值域：零点及两函数的交点问题即是方程g(x)＝0有解问题，将方程分离参数后(a＝f (x))转化为求y＝f (x)的值域问题；③数形结合：将问题转化为y＝f (x)与y＝g(x)的交点问题，利用函数图象位置关系解决问题.(2)研究两条曲线的交点个数的基本方法①数形结合法，通过画出两个函数图象，研究图象交点个数得出答案.②函数与方程法，通过构造函数，研究函数零点的个数得出两曲线交点的个数.2.已知函数f (x)＝2x3－3x.①求f (x)在区间[－2，1]上的最大值；②若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f (x)相切，求t的取值范围.探究提高解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标，解题时先不要管其他条件，先使用曲线上点的横坐标表达切线方程，再考虑该切线与其他条件的关系，如本题第(2)问中的切线过点(1，t).3. 已知函数f (x)＝x3－x.(1)设M(λ0，f (λ0))是函数f (x)图象上的一点，求图象在点M处的切线方程；(2)证明：过点N(2，1)可以作曲线f (x)＝x3－x的三条切线.热点二利用导数解决与函数零点(或方程的根)有关的问题[命题角度1]讨论函数零点的个数4.(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x)＝x3＋ax＋14，g(x)＝－ln x.(1)当a为何值时，x轴为曲线y＝f (x)的切线；(2)用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h(x)＝min{f (x)，g(x)}(x>0)，讨论h(x)零点的个数.探究提高对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题求解的通法是：(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；(2)求导数，得单调区间和极值点；(3)画出函数草图；(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解.[命题角度2]根据函数零点求参数范围5.(2017·徐州考前信息卷)已知函数f (x)＝x ln x，g(x)＝－x2＋ax－2(e为自然对数的底数，a∈R).(1)判断曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线与曲线y＝g(x)的公共点个数；(2)当x∈\f(1e)，e)时，若函数y＝f (x)－g(x)有两个零点，求a的取值范围.探究提高研究方程的根(或函数零点)的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根(函数零点)的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用.6. (2017·南通调研节选)已知函数f (x)＝ax2－x－ln x，a∈R.(1)当a＝38时，求函数f (x)的最小值；(2)若－1≤a≤0，证明：函数f (x)有且只有一个零点..1.求曲线的切线方程的方法是利用切线方程的公式y－y0＝f ′(x0)(x－x0)，它的难点在于分清“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异.突破这个难点的关键是理解这两种切线的不同之处在哪里，在过点P(x0，y0)的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P(x0，y0)处的切线，必以点P为切点，则此时切线的方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0).2.我们借助于导数探究函数的零点，不同的问题，比如方程的解、直线与函数图象的交点、两函数图象交点问题都可以转化为函数零点问题.3.对于存在一个极大值和一个极小值的函数，其图象与x轴交点的个数，除了受两个极值大小的制约外，还受函数在两个极值点外部函数值的变化的制约，在解题时要注意通过数形结合找到正确的条件.4.求函数零点或两函数的交点问题，综合了函数、方程、不等式等多方面知识，可以全面地考察学生对函数性质、函数图象等知识的综合应用能力，同时考察学生的变形、转化能力.因此在高考压轴题中占有比较重要的地位.7..(2017·泰州质检)已知函数f (x)＝2ln x－x2＋ax(a∈R).(1)当a＝2时，求f (x)的图象在x＝1处的切线方程；(2)若函数g(x)＝f (x)－ax＋m在\f(1e)，e)上有两个零点，求实数m的取值范围.8.已知函数f (x)＝x2－a ln x－1，函数F(x)＝x)－1\r(x)＋1.(1)如果函数f (x)的图象上的每一点处的切线斜率都是正数，求实数a的取值范围；(2)当a＝2时，你认为函数y＝f（x）x－1的图象与y＝F(x)的图象有多少个公共点？请证明你的结论.9..(2017·山东卷)已知函数f (x)＝13x3－12ax2，a∈R.(1)当a＝2时，求曲线y＝f (x)在点(3，f (3))处的切线方程；(2)设函数g(x)＝f (x)＋(x－a)cos x－sin x，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.导数专题答案1.解(1)①由已知可得2x＋\a\vs4\al\co1(\f(12))x＝2，即2x＋12x＝2.∴(2x)2－2·2x＋1＝0，解得2x＝1，∴x＝0.②f (x)＝2x＋\a\vs4\al\co1(\f(12))x＝2x＋2－x，令t＝2x＋2－x，则t≥2.又f (2x)＝22x＋2－2x＝t2－2，故f (2x)≥mf (x)－6可化为t2－2≥mt－6，即m≤t＋4t，又t≥2，t＋4t≥24t)＝4(当且仅当t＝2时等号成立)，∴m≤\a\vs4\al\co1(t＋\f(4t))min＝4，即m的最大值为4.(2)∵0＜a＜1，b＞1，∴ln a＜0，ln b＞0.g(x)＝f (x)－2＝a x＋b x－2，g′(x)＝a x ln a＋b x ln b且g′(x)为单调递增，值域为R的函数.∴g′(x)一定存在唯一的变号零点，∴g(x)为先减后增且有唯一极值点.由题意g(x)有且仅有一个零点，则g(x)的极值一定为0，而g(0)＝a0＋b0－2＝0，故极值点为0.∴g′(0)＝0，即ln a＋ln b＝0，∴ab＝1.2.解①由f (x)＝2x3－3x得f ′(x)＝6x2－3.令f ′(x)＝0，得x＝－2)2或x＝2)2.因为f (－2)＝－10，f \a\vs4\al\co1(－\f(\r(2)2))＝2，f \a\vs4\al\co1(\f(\r(2)2))＝－2，f (1)＝－1，所以f (x)在区间[－2，1]上的最大值为f \a\vs4\al\co1(－\f(\r(2)2))＝2.②设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f (x)相切于点(x0，y0)，则y0＝2x30－3x0，且切线斜率为k＝6x20－3，所以切线方程为y－y0＝(6x20－3)(x－x0)，因为t－y0＝(6x20－3)(1－x0).整理得4x30－6x20＋t＋3＝0，设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f (x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”. g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)，当x变化时，g(x)与g′(x)的变化情况如下：所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值.当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，此时g(x)在区间(－∞，1)和[1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点.当g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1时，此时g(x)在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点.当g(0)＞0且g(1)＜0，即－3＜t＜－1时，因为g(－1)＝t－7＜0，g(2)＝t＋11＞0，所以g(x)分别在区间[－1，0)，[0，1)和[1，2)上恰有1个零点，由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点.综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f (x)相切时，t的取值范围是(－3，－1).3.解因为f ′(x)＝3x2－1.所以曲线f (x)＝x3－x在点M(λ0，f (λ0))处的切线的斜率为k＝f ′(λ0)＝3λ20－1. 所以切线方程为y－(λ30－λ0)＝(3λ20－1)(x－λ0)，即y＝(3λ20－1)x－2λ30.(2)证明由(1)知曲线f (x)＝x3－x在点(λ，f (λ))处的切线的方程为y＝(3λ2－1)x －2λ3.若切线过点N(2，1)，则1＝2(3λ2－1)－2λ3，即2λ3－6λ2＋3＝0.过点N可作曲线f (x)的三条切线等价于方程2λ3－6λ2＋3＝0有三个不同的解. 设g(λ)＝2λ3－6λ2＋3，则g′(λ)＝6λ2－12λ＝6λ(λ－2).当λ变化时，g′(λ)，g(λ)的变化情况如下表：因为g(λ)在R上只有一个极大值3和一个极小值－5，所以过点N可以作曲线f (x)＝x3－x的三条切线.4.解(1)设曲线y＝f (x)与x轴相切于点(x0，0)，则f (x0)＝0，f ′(x0)＝0.即3020x＋ax0＋\f(143x＋a＝0，解得x0＝12，a＝－34.因此，当a＝－34时，x轴为曲线y＝f (x)的切线.(2)当x∈(1，＋∞)时，g(x)＝－ln x<0，从而h(x)＝min{f (x)，g(x)}≤g(x)<0，故h(x)在(1，＋∞)上无零点.当x＝1时，若a≥－54，则f (1)＝a＋54≥0，h(1)＝min{f (1)，g(1)}＝g(1)＝0，故x＝1是h(x)的零点；若a<－54，则f (1)<0，h(1)＝min{f (1)，g(1)}＝f (1)<0，故x＝1不是h(x)的零点. 当x∈(0，1)时，g(x)＝－ln x>0.所以只需考虑f (x)在(0，1)的零点个数.(ⅰ)若a≤－3或a≥0，则f ′(x)＝3x2＋a在(0，1)上无零点，故f (x)在(0，1)上单调.而f (0)＝14，f (1)＝a＋54，所以当a≤－3时，f (x)在(0，1)内有一个零点；当a≥0时，f (x)在(0，1)上没有零点.(ⅱ)若－3<a<0，则f (x)在\a\vs4\al\co1(0，\r(－\f(a3)))上单调递减，在\a\vs4\al\co1(\r(－\f(a3))，1)上单调递增，故在(0，1)中，当x＝a3)时，f (x)取得最小值，最小值为f \a\vs4\al\co1(\r(－\f(a3)))＝2a3a3)＋14.①若f \a\vs4\al\co1(\r(－\f(a3)))>0，即－34<a<0，f (x)在(0，1)无零点；②若f \a\vs4\al\co1(\r(－\f(a3)))＝0，即a＝－34，则f (x)在(0，1)有唯一零点；③若f \a\vs4\al\co1(\r(－\f(a3)))<0，即－3<a<－34，由于f (0)＝14，f (1)＝a＋54，所以当－54<a<－34时，f (x)在(0，1)有两个零点；当－3<a≤－54时，f (x)在(0，1)有一个零点.综上，当a>－34或a<－54时，h(x)有一个零点；当a＝－34或a＝－54时，h(x)有两个零点；当－54<a<－34时，h(x)有三个零点.5.解(1)f ′(x)＝ln x＋1，所以切线斜率k＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，∴曲线在点(1，0)处的切线方程为y＝x－1.由y＝－x2＋ax－2，y＝x－1)⇒x2＋(1－a)x＋1＝0.由Δ＝(1－a)2－4＝a2－2a－3＝(a＋1)(a－3)可知：当Δ＞0时，即a＜－1或a＞3时，有两个公共点；当Δ＝0时，即a＝－1或a＝3时，有一个公共点；当Δ＜0时，即－1＜a＜3时，没有公共点.(2)y＝f (x)－g(x)＝x2－ax＋2＋x ln x，由y＝0，得a＝x＋2x＋ln x.令h(x)＝x＋2x＋ln x，则h′(x)＝（x－1）（x＋2）x2.当x∈\f(1e)，e)时，由h′(x)＝0，得x＝1.所以h(x)在\f(1e)，1)上单调递减，在[1，e]上单调递增，因此h(x)min＝h(1)＝3.由h\a\vs4\al\co1(\f(1e))＝1e＋2e－1，h(e)＝e＋2e＋1，比较可知h\a\vs4\al\co1(\f(1e))＞h(e)，所以，结合函数图象可得，当3＜a≤e＋2e＋1时，函数y＝f (x)－g(x)有两个零点.6.(1)解当a＝38时，f (x)＝38x2－x－ln x.所以f ′(x)＝34x－1－1x＝（3x＋2）（x－2）4x(x>0).令f ′(x)＝0，得x＝2，当x∈(0，2)时，f′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f (x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增.所以当x＝2时，f (x)有最小值f (2)＝－12－ln 2.(2)证明由f (x)＝ax2－x－ln x得f′(x)＝2ax－1－1x＝2ax2－x－1x，x>0.所以当a≤0时，f′(x)＝2ax2－x－1x<0，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减，所以当a≤0时，函数f (x)在(0，＋∞)上最多有一个零点.因为当－1≤a≤0时，f (1)＝a－1<0，f \a\vs4\al\co1(\f(1e))＝e2－e＋ae2>0，所以当－1≤a≤0时，函数f (x)在(0，＋∞)上有零点.综上，当－1≤a≤0时，函数f (x)有且只有一个零点7.解(1)当a＝2时，f (x)＝2ln x－x2＋2x，f′(x)＝2x－2x＋2，切点坐标为(1，1)，切线的斜率k＝f ′(1)＝2，则切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.(2)g(x)＝2ln x－x2＋m，则g′(x)＝2x－2x＝－2（x＋1）（x－1）x.因为x∈\f(1e)，e)，所以当g′(x)＝0时，x＝1.当1e＜x＜1时，g′(x)＞0，此时函数单调递增；当1＜x＜e时，g′(x)＜0，此时函数单调递减.故g(x)在x＝1处取得极大值g(1)＝m－1.又g\a\vs4\al\co1(\f(1e))＝m－2－1e2，g(e)＝m＋2－e2，g(e)－g\a\vs4\al\co1(\f(1e))＝4－e2＋1e2＜0，则g(e)＜g\a\vs4\al\co1(\f(1e))，所以g(x)在\f(1e)，e)上的最小值是g(e).g(x)在\f(1e)，e)上有两个零点的条件是g（1）＝m－1＞0，\rc\1e2)≤0，解得1＜m≤2＋1e2，所以实数m的取值范围是\a\vs4\al\co1(1，2＋\f(1e2)).8.解(1)∵f (x)＝x2－a ln x－1的定义域为(0，＋∞)，函数f (x)的图象上的每一点处的切线斜率都是正数，∴f ′(x)＝2x－ax＞0在(0，＋∞)上恒成立.∴a＜2x2在(0，＋∞)上恒成立，∵y＝2x2＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴a≤0.∴所求的a的取值范围为(－∞，0].(2)当a＝2时，函数y＝f（x）x－1的图象与y＝F(x)的图象没有公共点.证明如下：当a＝2时，y＝f（x）x－1＝x2－2ln x－1x－1，它的定义域为{x|x＞0且x≠1}，F(x)的定义域为[0，＋∞).当x＞0且x≠1时，由f（x）x－1＝F(x)得x2－2ln x－x＋2x－2＝0.设h(x)＝x2－2ln x－x＋2x－2，则h′(x)＝2x－2x－1＋1\r(x)＝x)－1）（2x\r(x)＋2x＋\r(x)＋2）x.∴当0＜x＜1时，h′(x)＜0，此时，h(x)单调递减；当x＞1时，h′(x)＞0，此时，h(x)单调递增.∴当x＞0且x≠1时，h(x)＞h(1)＝0，即h(x)＝0无实数根.∴当a＝2，x＞0且x≠1时，f（x）x－1＝F(x)无实数根.∴当a＝2时，函数y＝f（x）x－1的图象与y＝F(x)的图象没有公共点.9.解(1)由题意f ′(x)＝x2－ax，所以当a＝2时，f (3)＝0，f ′(x)＝x2－2x，所以f ′(3)＝3，因此曲线y＝f (x)在点(3，f (3))处的切线方程是y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.(2)因为g(x)＝f (x)＋(x－a)cos x－sin x，所以g′(x)＝f ′(x)＋cos x－(x－a)sin x－cos x＝x(x－a)－(x－a)sin x＝(x－a)(x－sin x)，令h(x)＝x－sin x，则h′(x)＝1－cos x≥0，所以h(x)在R上单调递增.因为h(0)＝0，所以，当x>0时，h(x)>0；当x<0时，h(x)<0.①当a<0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，当x∈(－∞，a)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(a，0)时，x－a>0，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增.所以，当x＝a时，g(x)取到极大值，极大值是g(a)＝－16a3－sin a，当x＝0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)＝－a.②当a＝0时，g′(x)＝x(x－sin x)，当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，g(x)单调递增；所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值.③当a>0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，当x∈(－∞，0)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(0，a)时，x－a<0，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增.所以，当x＝0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)＝－a；当x＝a时g(x)取到极小值，极小值是g(a)＝－16a3－sin a.综上所述：当a<0时，函数g(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递增，在(a，0)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(a)＝－16a3－sin a，极小值是g(0)＝－a；当a＝0时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；当a>0时，函数g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)＝－a，极小值是g(a)＝－16a3－sin a.。

§3.4 函数的应用3.4.1 函数与方程第1课时函数的零点课时目标1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理．1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应的ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系2.函数的零点一般地，我们把使函数y ＝f (x )的值为0的实数x 称为函数y ＝f (x )的______．3．函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的________，也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的______．4．方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有______⇔函数y ＝f (x )有______．函数零点的存在性的判断方法若函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条不间断的曲线，且f (a )·f (b )<0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点．一、填空题1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数的零点个数是________．2．若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法不正确的是________．(填序号)①若f (a )f (b )>0，不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0；②若f (a )f (b )<0，存在且只存在一个实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0；③若f (a )f (b )>0，有可能存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0；④若f (a )f (b )<0，有可能不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0.3．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点为2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．4．已知函数y ＝f (x )是偶函数，其部分图象如图所示，则这个函数的零点至少有________个．5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3， x ≤0，－2＋ln x ， x >0零点的个数为________． 6．已知函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则实数b 的取值范围是________．7．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______．8．函数f (x )＝ln x －x ＋2的零点个数为________．9．根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个实根所在的区间为(k ，k ＋1)(k∈N )，则k二、解答题10．证明：方程x 4－4x －2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．11．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围．能力提升12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则方程f (x )＝x 的解的个数是_______________________．13．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之2．5.1 函数的零点知识梳理1．2个 1个 0个 2个 1个 2.零点 3.实数根 横坐标4．交点 零点作业设计1．2个解析 方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，∵ac <0，∴a ≠0，∴Δ＝b 2－4ac >0，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有2个不同实数根，则对应函数的零点个数为2个．2．①②④解析 对于①，可能存在根；对于②，必存在但不一定唯一；④显然不成立．3．0，－12 解析 ∵a ≠0,2a ＋b ＝0，∴b ≠0，a b ＝－12. 令bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12. 4．4解析 由图象可知，当x >0时，函数至少有2个零点，因为偶函数的图象关于y 轴对称，故此函数的零点至少有4个．5．2解析 x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3.x >0时，f (x )＝ln x －2在(0，＋∞)上递增，f (1)＝－2<0，f (e 3)＝1>0，∴f (1)f (e 3)<0，∴f (x )在(0，＋∞)上有且只有一个零点．综上，f (x )在R 上有2个零点．6．(－∞，0)解析 设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则由f (0)＝0可得d ＝0，f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )＝ax (x－1)(x －2)⇒b ＝－3a ，又由x ∈(0,1)时f (x )>0，可得a >0，∴b <0.7．3 0解析 ∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f (x )在(－∞，0)上也单调递增，由f (2)＝－f (－2)＝0.因此在(0，＋∞)上只有一个零点，综上f (x )在R 上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.8．2解析 该函数零点的个数就是函数y ＝ln x 与y ＝x －2图象的交点个数．在同一坐标系中作出y ＝ln x 与y ＝x －2的图象如下图：由图象可知，两个函数图象有2个交点，即函数f (x )＝ln x －x ＋2有2个零点．9．1解析 设f (x )＝e 2－(x ＋2)，由题意知f (－1)<0，f (0)<0，f (1)<0，f (2)>0，所以方程的一个实根在区间(1,2)内，即k ＝1.10．证明 设f (x )＝x 4－4x －2，其图象是连续曲线．因为f (－1)＝3>0，f (0)＝－2<0，f (2)＝6>0.所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．11．解 令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m >0f 4<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0f 4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >026m ＋38<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <026m ＋38>0，解得－1913<m <0. 12．3 解析 由已知⎩⎪⎨⎪⎧ 16－4b ＋c ＝c ，4－2b ＋c ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝4，c ＝2. ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋2，x ≤0，2， x >0. 当x ≤0时，方程为x 2＋4x ＋2＝x ，即x 2＋3x ＋2＝0，∴x ＝－1或x ＝－2；当x >0时，方程为x ＝2，∴方程f (x )＝x 有3个解．13．解 设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1.∵方程f (x )＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f 0>0f 1<0f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －4＋2k －1>0∴12<k <23.。

第九讲 零点定理1.函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点． (2)三个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系(x ,0)，(x ,0)(x ,0) 无交点 3设x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c ∈R ，且a >0)的两实数根，则x 1，x 2的分布情况与一元二次方程的系数之间的关系如下表：(m ，n ，p 为常数，且m <n <p )二、二分法 （1）二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法。

（2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： 第一步：确定区间[,]a b ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε。

第二步：求区间(,)a b 的中点1x 。

第三步：计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x <，则令1b x =（此时零点01(,)x a x ∈）③若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）第四步：判断是否达到精确度ε即若a b ε-<，则得到零点值a 或b ，否则重复第二至第四步。

2020年高考数学（理）总复习：利用导数解决函数零点问题题型一 利用导数讨论函数零点的个数 【题型要点解析】对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； (2)求导数，得单调区间和极值点； (3)画出函数草图；(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．1.已知f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a >0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )<g (x ).(1)求函数f (x )的极值；(2)若g (x )＝xf ′(x )，且存在x ∈[1,2]使h (x )＝f (x )，求实数a 的取值范围； (3)若g (x )＝ln x ，试讨论函数h (x )(x >0)的零点个数．【解】 (1)∵函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，∴f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0或x 2＝2a，∵a >0，∴x 1<x 2，列表如下：∴f (x )的极大值为f (0)＝1，极小值为f ⎪⎭⎫⎝⎛a 2＝8a 2－12a 2＋1＝1－4a 2. (2)g (x )＝xf ′(x )＝3ax 3－6x 2，∵存在x ∈[1,2]，使h (x )＝f (x )，∴f (x )≥g (x )在x ∈[1,2]上有解，即ax 3－3x 2＋1≥3ax 3－6x 2在x ∈[1,2]上有解， 即不等式2a ≤1x 3＋3x 在x ∈[1,2]上有解．设y ＝1x 3＋3x ＝3x 2＋1x 3(x ∈[1,2])，∵y ′＝－3x 2－3x 4<0对x ∈[1,2]恒成立，∴y ＝1x 3＋3x 在x ∈[1,2]上单调递减，∴当x ＝1时，y ＝1x 3＋3x 的最大值为4，∴2a ≤4，即a ≤2.(3)由(1)知，f (x )在(0，＋∞)上的最小值为f ⎪⎭⎫⎝⎛a 2＝1－4a 2， ①当1－4a 2>0，即a >2时，f (x )>0在(0，＋∞)上恒成立，∴h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋∞)上无零点．②当1－4a2＝0，即a ＝2时，f (x )min ＝f (1)＝0.又g (1)＝0，∴h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋∞)上有一个零点． ③当1－4a2<0，即0<a <2时，设φ(x )＝f (x )－g (x )＝ax 3－3x 2＋1－ln x (0<x <1)，∵φ′(x )＝3ax 2－6x －1x <6x (x －1)－1x <0，∴φ(x )在(0,1)上单调递减．又φ(1)＝a －2<0，φ⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1＝a e3＋2e 2－3e 2>0，∴存在唯一的x 0∈⎪⎭⎫⎝⎛1,1e ，使得φ(x 0)＝0，(ⅰ)当0<x ≤x 0时，∵φ(x )＝f (x )－g (x )≥φ(x 0)＝0， ∴h (x )＝f (x )且h (x )为减函数． 又h (x 0)＝f (x 0)＝g (x 0)＝ln x 0<ln 1＝0， f (0)＝1>0，∴h (x )在(0，x 0)上有一个零点； (ⅱ)当x >x 0时，∵φ(x )＝f (x )－g (x )<φ(x 0)＝0， ∴h (x )＝g (x )且h (x )为增函数，∵g (1)＝0，∴h (x )在(x 0，＋∞)上有一零点；从而h (x )＝max{f (x )，g (x )}在(0，＋∞)上有两个零点，综上所述，当0<a <2时，h (x )有两个零点；当a ＝2时，h (x )有一个零点； 当a >2时，h (x )无零点．题组训练一 利用导数讨论函数零点的个数 已知函数f (x )＝ln x －12ax ＋a －2，a ∈R .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a <0时，试判断g (x )＝xf (x )＋2的零点个数． 【解析】 (1)f ′(x )＝1x －a 2＝2－ax2x(x >0)．若a ≤0，则f ′(x )>0，∴函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；若a >0，当0<x <2a 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x >2a 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，综上，若a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；若a >0时，函数f (x )的单调递增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛a 2,0，单调递减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+a 2. (2)g (x )＝x ln x －12ax 2＋ax －2x ＋2，g ′(x )＝－ax ＋ln x ＋a －1.又a <0，易知g ′(x )在(0，＋∞)上单调递增， g ′(1)＝－1<0，g ′(e)＝－a e ＋a ＝a (1－e)>0， 故而g ′(x )在(1，e)上存在唯一的零点x 0， 使得g ′(x 0)＝0.当0<x <x 0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >x 0时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， 取x 1＝e a ，又a <0，∴0<x 1<1，∴g (x 1)＝x 1)2221(ln 111x a ax x +-+-＝e a⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-a a e a ae a 2221， 设h (a )＝a －12a e a ＋a －2＋2ea ，(a <0)，h′(a)＝－12a ea－12ea－2e a＋2，(a<0)，h′(0)＝－12，h″(a)＝e－a－e a＋e－a－12a ea>0，∴h′(a)在(－∞，0)上单调递增，h′(a)<h′(0)<0，∴h(a)在(－∞，0)上单调递减，∴h(a)>h(0)＝0，∴g(x1)>0，即当a<0时，g(e a)>0.当x趋于＋∞时，g(x)趋于＋∞，且g(2)＝2ln2－2<0.∴函数g(x)在(0，＋∞)上始终有两个零点．题型二由函数零点个数求参数的取值范围【题型要点解析】研究方程的根(或函数零点)的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根(函数零点)的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用．已知函数f(x)＝mxln x，曲线y＝f(x)在点(e2，f(e2))处的切线与直线2x＋y＝0垂直(其中e 为自然对数的底数)．(1)求f(x)的解析式及单调减区间；(2)若函数g(x)＝f(x)－kx2x－1无零点，求k的取值范围．【解析】(1)函数f(x)＝mxln x的导数为f′(x)＝m(ln x－1)(ln x)2，又由题意有：f′(e2)＝12⇒m4＝12⇒m＝2，故f(x)＝2xln x.此时f′(x)＝2(ln x－1)(ln x)2，由f′(x)≤0⇒0<x<1或1<x≤e，所以函数f(x)的单调减区间为(0,1)和(1，e]．(2)g (x )＝f (x )－kx 2x －1⇒g (x )＝x ⎪⎭⎫ ⎝⎛--1ln 2x kx x ，且定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，要函数g (x )无零点，即要2ln x ＝kxx －1在x ∈(0,1)∪(1，＋∞)内无解，亦即要k ln x －2(x －1)x ＝0在x ∈(0,1)∪(1，＋∞)内无解．构造函数h (x )＝k ln x －2(x －1)x ⇒h ′(x )＝kx －2x2.①当k ≤0时，h ′(x )<0在x ∈(0,1)∪(1，＋∞)内恒成立，所以函数h (x )在(0,1)内单调递减，h (x )在(1，＋∞)内也单调递减.又h (1)＝0，所以在(0,1)内无零点，在(1，＋∞)内也无零点，故满足条件；②当k >0时，h ′(x )＝kx －2x 2⇒h ′(x )＝22xkx k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-，(i)若0<k <2，则函数h (x )在(0,1)内单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛k 2,1内也单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,2k 内单调递增，又h (1)＝0，所以在(0,1)内无零点；易知h ⎪⎭⎫ ⎝⎛k 2<0，而h (e 2k )＝k ·2k －2＋2e2k>0，故在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,2k 内有一个零点，所以不满足条件；(ii)若k ＝2，则函数h (x )在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．又h (1)＝0，所以x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h (x )>0恒成立，故无零点，满足条件；(iii)若k >2，则函数h (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛k 2,0内单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛1,2k 内单调递增，在(1，＋∞)内单调递增，又h (1)＝0，所以在⎪⎭⎫⎝⎛1,2k 及(1，＋∞)内均无零点． 又易知h ⎪⎭⎫⎝⎛k 2<0，而h (e －k )＝k (－k )－2＋2e k ＝2e k －k 2－2，又易证当k >2时，h (e －k )>0，所以函数h (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛k 2,0内有一零点，故不满足条件．综上可得：k 的取值范围为：k ≤0或k ＝2.题组训练二 由函数零点个数求参数的取值范围 已知函数f (x )＝ln x －ax (ax ＋1)，其中a ∈R . (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )在(0,1]内至少有1个零点，求实数a 的取值范围． 【解析】(1)依题意知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝1x－2a 2x －a＝2a 2x 2＋ax －1－x ＝(2ax －1)(ax ＋1)－x，当a ＝0时，f (x )＝ln x ，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a >0时，由f ′(x )>0，得0<x <12a，由f ′(x )<0，得x >12a ，函数f (x )⎪⎭⎫⎝⎛a 21,0上单调递增， 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21a 上单调递减．当a <0时，由f ′(x )>0，得0<x <－1a ，由f ′(x )<0，得x >－1a，函数f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,0上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,1a 上单调递减． (2)当a ＝0时，函数f (x )在(]0，1内有1个零点x 0＝1；当a >0时，由(1)知函数f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 21,0上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21a 上单调递减． ①若12a ≥1，即0<a ≤12时，f (x )在(0,1]上单调递增，由于当x →0时，f (x )→－∞且f (1)＝－a 2－a <0知，函数f (x )在(0,1]内无零点；②若0<12a <1，即当a >12时，f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 21,0上单调递增，在⎥⎦⎤ ⎝⎛1,21a 上单调递减，要使函数f (x )在(0,1]内至少有1个零点，只需满足f ⎪⎭⎫⎝⎛a 21≥0，即ln 12a ≥34， 又∵a >12，∴ln 12a <0，∴不等式不成立．∴f (x )在(0,1]内无零点；当a <0时，由(1)知函数f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,0上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,1a 上单调递减． ③若－1a ≥1，即－1≤a <0时，f (x )在(0,1]上单调递增，由于当x →0时，f (x )→－∞，且f (1)＝－a 2－a >0，知函数f (x )在(0,1]内有1个零点；④若0<－1a <1，即a <－1时，函数f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,0上单调递增，在⎥⎦⎤⎝⎛-1,1a 上单调递减，由于当x →0时，f (x )→－∞，且当a <－1时，f ⎪⎭⎫⎝⎛-a 1＝ln ⎪⎭⎫⎝⎛-a 1<0，知函数f (x )在(0,1]内无零点．综上可得a 的取值范围是[－1,0]．题型三 利用导数证明复杂方程在某区间上仅有一解 【题型要点解析】证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤： (1)在该区间上构造与方程相应的函数； (2)利用导数研究该函数在该区间上的单调性； (3)判断该函数在该区间端点处的函数值的符号； (4)作出结论．已知函数f (x )＝(x 2－2x )ln x ＋ax 2＋2.(1)当a ＝－1时，求f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a >0时，设函数g (x )＝f (x )－x －2，且函数g (x )有且仅有一个零点，若e －2<x <e ，g (x )≤m ，求m 的取值范围．【解析】 (1)当a ＝－1时，f (x )＝(x 2－2x )ln x －x 2＋2，定义域为(0，＋∞)，∵f ′(x )＝(2x －2)ln x ＋x －2－2x ＝(2x －2)ln x －x －2.∴f ′(1)＝－3，又f (1)＝1，f (x )在(1，f (1))处的切线方程3x ＋y －4＝0.(2)令g (x )＝f (x )－x －2＝0，则(x 2－2x )ln x ＋ax 2＋2＝x ＋2，即a ＝1－(x －2)·ln xx ，令h (x )＝1－(x －2)·ln xx，则h ′(x )＝－1x 2－1x ＋2－2ln x x 2＝1－x －2ln xx 2.令t (x )＝1－x －2ln x ，t ′(x )＝－1－2x ＝－x －2x ，∵t ′(x )<0，t (x )在(0，＋∞)上是减函数， 又∵t (1)＝h ′(1)＝0，所以当0<x <1时，h ′(x )>0， 当x >1时，h ′(x )<0，所以h (x )在(0,1)上单调递增， 在(1，＋∞)上单调递减，∴h (x )max ＝h (1)＝1.因为a >0，所以当函数g (x )有且仅有一个零点时，a ＝1.g (x )＝(x 2－2x )ln x ＋x 2－x ，若e －2<x <e ，g (x )≤m ，只需g (x )max ≤m ， g ′(x )＝(x －1)(3＋2ln x )，令g ′(x )＝0得x ＝1，或x ＝e －32，又∵e －2<x <e∴函数g (x )在(e －2，e －32)上单调递增，在(e －32，1)上单调递减，在(1，e)上单调递增，又g (e －32)＝－12e －3＋2e －32，g (e)＝2e 2－3e ，∵g (e －32)＝－12e －3＋2e －32<2e －32<2e<2e ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23e ＝g (e)，即g (e －32)<g (e)，g (x )max ＝g (e)＝2e 2－3e ，∴m ≥2e 2－3e .题组训练三 利用导数证明复杂方程在某区间上仅有一解 已知y ＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1，x ∈R ，t ∈R .(1)当x 为常数时，t 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0变化时，求y 的最小值φ(x )；(2)证明：对任意的t ∈(0，＋∞)，总存在x 0∈(0,1)，使得y ＝0.【解析】 (1)当x 为常数时，设f (t )＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1＝－6xt 2＋(3x 2＋1)t ＋4x 3－1，f ′(t )＝－12xt ＋3x 2＋1.①当x ≤0时，由t ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0知f (t )>0，f (t )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0上递增，其最小值φ(x )＝f (0)＝4x 3－1； ②当x >0时，f (t )的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为直线；t ＝－3x 2＋1－12x ＝3x 2＋112x ，若⎩⎪⎨⎪⎧x >0，3x 2＋112x ≤13，即13≤x ≤1，则f (t )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0上的最小值为 φ(x )＝f ⎪⎭⎫⎝⎛32＝4x 3＋2x 2－83x －13.若⎩⎪⎨⎪⎧x >0，3x 2＋112x >13，即0<x <13或x >1，则f (t )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,0上的最小值为φ(x )＝f (0)＝4x 3－1.综合①②，得φ(x )＝⎩⎨⎧4x 3－1，x <13或x >1，4x 3＋2x 2－83x －13，13≤x ≤1.(2)证明：设g (x )＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1，则g ′(x )＝12x 2＋6tx －6t 2＝12(x ＋t )⎪⎭⎫ ⎝⎛-2t x 由t ∈(0，＋∞)，当x 在区间(0，＋∞)内变化时，g ′(x )，g (x )取值的变化情况如下表：①当t2≥1，即t ≥2时，g (x )在区间(0,1)内单调递减，g (0)＝t －1>0，g (1)＝－6t 2＋4t ＋3＝－2t (3t －2)＋3≤－4(3－2)＋3<0.所以对任意t ∈[2，＋∞)，g (x )在区间(0,1)内均存在零点，即存在x 0∈(0,1)，使得g (x 0)＝0.②当0<t 2<1，即0<t <2时，g (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0t 内单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛1,2t 内单调递增，若t ∈(0,1)，则g ⎪⎭⎫⎝⎛2t ＝－74t 3＋t －1≤－74t 3<0，g (1)＝－6t 2＋4t ＋3≥－6t ＋4t ＋3＝－2t ＋3≥1>0，所以g (x )在⎪⎭⎫⎝⎛1,2t 内存在零点；若t ∈(1,2)，则g (0)＝t －1>0，g ⎪⎭⎫ ⎝⎛2t ＝－74t 3＋t －1<－74×13＋2－1<0，所以g (x )在⎪⎭⎫⎝⎛2,0t 内存在零点．所以，对任意t ∈(0,2)，g (x )在区间(0,1)内均存在零点，即存在x 0∈(0,1)，使得g (x 0)＝0， 综合①②，对任意的t ∈(0，＋∞)，总存在x 0∈(0,1)，使得y ＝0.【专题训练】1．已知函数f (x )＝xln x＋ax ，x >1.(1)若f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)若a ＝2，求函数f (x )的极小值；(3)若方程(2x －m )ln x ＋x ＝0，在(1，e]上有两个不等实根，求实数m 的取值范围．[解析] (1)f ′(x )＝ln x －1ln 2x ＋a ，由题意可得f ′(x )≤0在(1，＋∞)上恒成立，∴a ≤1ln 2x －1ln x＝221ln 1⎪⎭⎫⎝⎛-x －14.∵x ∈(1，＋∞)，∴ln x ∈(0，＋∞)， ∴当1ln x －12＝0时，函数t ＝221ln 1⎪⎭⎫ ⎝⎛-x －14的最小值为－14，∴a ≤－14. 故实数a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-41,(2)当a ＝2时，f (x )＝xln x ＋2x ，f ′(x )＝ln x －1＋2ln 2x ln 2x，令f ′(x )＝0，得2ln 2x ＋ln x －1＝0， 解得ln x ＝12或ln x ＝－1(舍)，即x ＝e 12.当1<x <e 12时，f ′(x )<0，当x >e 12时，f ′(x )>0，∴f (x )的极小值为f (e 12)＝e 1212＋2e 1e ＝4e 12.(3)将方程(2x －m )ln x ＋x ＝0两边同除以ln x 得(2x －m )＋x ln x ＝0，整理得xln x ＋2x ＝m ，即函数g (x )＝xln x ＋2x 的图象与函数y ＝m 的图象在(1，e]上有两个不同的交点．由(2)可知，g (x )在(1，e 12)上单调递减，在(e 12，e]上单调递增，g (e 12)＝4e 12，g (e)＝3e ，在(1，e]上，当x →1时，x ln x →＋∞，∴4e 12<m ≤3e ，故实数m 的取值范围为(4e 12，3e]．2．已知f (x )＝2x ln x ，g (x )＝x 3＋ax 2－x ＋2.(1)如果函数g (x )的单调递减区间为⎪⎭⎫⎝⎛-1,31，求函数g (x )的解析式； (2)在(1)的条件下，求函数y ＝g (x )的图象在点P (－1，g (－1))处的切线方程； (3)已知不等式f (x )≤g ′(x )＋2恒成立，若方程a e a －m ＝0恰有两个不等实根，求m 的取值范围．【解】 (1)g ′(x )＝3x 2＋2ax －1，由题意知，3x 2＋2ax －1<0的解集为⎪⎭⎫⎝⎛-1,31， 即3x 2＋2ax －1＝0的两根分别是－13，1，代入得a ＝－1，∴g (x )＝x 3－x 2－x ＋2. (2)由(1)知，g (－1)＝1，∴g ′(x )＝3x 2－2x －1，g ′(－1)＝4，∴点P (－1,1)处的切线斜率k ＝g ′(－1)＝4，∴函数y ＝g (x )的图象在点P (－1,1)处的切线方程为y －1＝4(x ＋1)，即4x －y ＋5＝0.(3)由题意知，2x ln x ≤3x 2＋2ax ＋1对x ∈(0，＋∞)恒成立，可得a ≥ln x －32x －12x 对x ∈(0，＋∞)恒成立．设h (x )＝ln x －32x －12x，则h ′(x )＝1x －32＋12x 2＝－(x －1)(3x ＋1)2x 2，令h ′(x )＝0，得x ＝1，x ＝－13(舍)，当0<x <1时，h ′(x )>0；当x >1时，h ′(x )<0，∴当x ＝1时，h (x )取得最大值，h (x )max ＝h (1)＝－2，∴a ≥－2.令φ(a )＝a e a ，则φ′(a )＝e a ＋a e a ＝e a (a ＋1)， ∴φ(a )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，∵φ(－2)＝－2e －2＝－2e 2，φ(－1)＝－e －1＝－1e ，当a →＋∞时，φ(a )→＋∞，∴方程a e a －m ＝0恰有两个不等实根，只需－1e <m ≤－2e 2.3．设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围； (3)求证：a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件．【解析】 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .因为f (0)＝c ，f ′(0)＝b ，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx ＋c .(2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ， 所以f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4. 令f ′(x )＝0，得3x 2＋8x ＋4＝0， 解得x ＝－2或x ＝－23.f (x )与f ′(x )在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：所以，当c >0且c －3227<0时，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈⎪⎭⎫ ⎝⎛--3,2，x 3∈⎪⎭⎫⎝⎛-0,3，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈⎪⎭⎫⎝⎛2732,0时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点．(3)证明：当Δ＝4a 2－12b <0时，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b >0，x ∈(－∞，＋∞)，此时函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递增，所以f (x )不可能有三个不同零点．当Δ＝4a 2－12b ＝0时，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 只有一个零点，记作x 0. 当x ∈(－∞，x 0)时，f ′(x )>0，f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递增； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在的区间(x 0，＋∞)上单调递增． 所以f (x )不可能有三个不同零点．综上所述，若函数f (x )有三个不同零点，则必有Δ＝4a 2－12b >0. 故a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要条件．当a ＝b ＝4，c ＝0时，a 2－3b >0，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＝x (x ＋2)2只有两个不同零点，所以a 2－3b >0不是f (x )有三个不同零点的充分条件．因此a 2－3b >0是f (x )有三个不同零点的必要而不充分条件．。

函数的零点问题一、题型选讲题型一 、运用函数图像判断函数零点个数可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。

作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。

例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上⎩⎨⎧<≤-<≤-=43,432,2)(x x x x x f 则函数x x f y log 5)(-=的零点的个数为 例2、(2017苏锡常镇调研）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x－1，x ＜1，ln xx 2，x ≥1，)则函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为________．例3、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________． 题型二、函数零点问题中参数的范围已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题．(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．例4、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知ln ,1()(2),1x x f x f x k x ≥⎧=⎨-+<⎩若函数()1y f x =-恰有一个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞例5、（2020·全国高三专题练习（文））函数()()22log ,1,1,1,x x f x f x x ≥⎧=⎨+<⎩，若方程()2f x x m =-+有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．(),4-∞B ．(],4-∞C ．()2,4-D ．(]2,4-例6、【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是 A ．1(,)(22,)2-∞-+∞ B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞ D ．(,0)(22,)-∞+∞例7、【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则A ．a <–1，b <0B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >0例8、（2020·浙江学军中学高三3月月考）已知函数2(4),53()(2),3x x f x f x x ⎧+-≤<-=⎨-≥-⎩，若函数()()()1g x f x k x =-+有9个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1111,,4664⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．1111,,3553⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,64⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭例9、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）已知函数()()2,22,2,x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩()2g x kx =+，若函数()()()F x f x g x =-在[)0,+∞上只有两个零点，则实数k 的值不可能为A ．23- B ．12-C ．34-D ．1-二、达标训练1、（2019·山东师范大学附中高三月考）函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（ ） A ．()1,0-B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,22、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()e 0ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）3、（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）已知,a b ∈R ，函数(),0(),0x x a e ax x f x x x ⎧++≤=⎨>⎩，若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则（ ） A ．1,0a b >>B ．1,0a b ><C ．1,0a b <>D ．1,0a b <<4、（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a=-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（ ） A ．12BC ．2e D5、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数(01)()2(1)x f x x x⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x x a =-+有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是________．6、【2018年高考浙江】已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．7、【2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】已知函数()222,01,03x x ax a x f x e ex a x x⎧++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若存在实数k ，使得函数()y f x k =-有6个零点，则实数a 的取值范围为__________.一、题型选讲题型一 、运用函数图像判断函数零点个数可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。

2020高考数学选填题专项测试01（函数零点）（文理通用）第I卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（2020·河北高三期末（文））函数131()2xf x x=-的零点所在的区间为（）A．1(0,)4B ．11(,)43C ．11(,)32D．1(,1)2【答案】C【解析】【分析】先判断出函数的单调性,结合零点存在定理即可判断出零点所在区间.【详解】函数131 ()2xf x x=-，所以函数在R上单调递增，因为111333131111133322f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-<⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111332121111122222f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=->⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数零点在11,32⎛⎫⎪⎝⎭故选:C【点睛】本题考查了根据零点存在定理判断零点所在区间,注意需判断函数的单调性,说明零点的唯一性,属于基础题.2．（2020·江西高三（文））方程()3sin=-f x x x零点的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】大致图形如图所示,接下来比较与在处的切线斜率,,时,,即在处的切线方程为轴,又,在,因此在轴右侧图象较缓,由图象可知,共有个交点,故选C．【点晴】本题考查的是两个函数的交点个数问题．首先运用函数与方程的思想,把给定方程转化成为两个基本函数的交点问题,再通过函数的性质与比较函数在相同自变量处的函数值的大小关系画出两个基本函数图象,需要注意的是,两个函数都过点,而轴右侧的高低情况需要比较两个函数在处的切线斜率得到,为本题的易错点．3.（2019·四川高三月考（理））函数()332,0log 6,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩的零点之和为（）A ．-1B ．1C ．-2D ．2【答案】A 【解析】【分析】由函数零点与方程的根的关系可得函数()332,0log 6,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩的零点即方程320x -=，3log 60x +=的根，解方程后再将两根相加即可得解.【详解】令320x -=，解得3log 2x =，令3log 60x +=，解得3log 6x =-，则函数()f x 的零点之和为3331log 2log 6log 13-==-，故选A. 【点睛】本题考查了分段函数零点的求解，重点考查了对数的运算，属基础题.4．（2020·河南高三期末（理））已知函数()2943,02log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（ ）A ．73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．7,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,5【答案】A 【解析】【分析】首先求得0x ≤时，()f x 的取值范围.然后求得0x >时，()f x 的单调性和零点，令()()0ff x =，根据“0x ≤时，()f x 的取值范围”得到()32log 93xf x x =+-=，利用零点存在性定理，求得函数()()y f f x =的零点所在区间.【详解】当0x ≤时，()34f x <≤.当0x ≥时，()2932log 92log 9xxx f x x =+-=+-为增函数，且()30f =，则3x =是()f x 唯一零点.由于“当0x ≤时，()34f x <≤.”，所以令()()0f f x =，得()32log 93x f x x =+-=，因为()303f =<，3377log 98 1.414log 39 3.312322f ⎛⎫=->⨯+-=> ⎪⎝⎭，所以函数()()y ff x =的零点所在区间为73,2⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A 【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.5．（2020·山东枣庄八中高三月考）已知()f x 是定义在[10,10]-上的奇函数，且()(4)f x f x =-，则函数()f x 的零点个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】【分析】由定义在[10,10]-上的奇函数可知(0)0f =且零点关于原点对称,利用(0)0f =,由()(4)f x f x =-可得到部分零点【详解】()f x Q 是定义在[10,10]-上的奇函数,(0)0f ∴=,且零点关于原点对称,∴零点个数为奇数,又()(4)f x f x =-Q ,(0)(4)0f f ∴==,(4)(4)0f f -=-=,(4)(44)(8)0f f f ∴-=+==,(8)(8)0f f -=-=,()f x ∴的零点至少有0,4,±8±这5个,【点睛】本题主要考查函数的零点、函数奇偶性的应用以及抽象函数的解析式,意在考查综合应用所学知识解答问题的能力,属于中档题.6. （2020·江西高三（理））已知函数()ln(||1)cos 2f x x a x =+++只有一个零点，则a =（ ）A ．2B ．4C ．3D ．2-【答案】D 【解析】【分析】判断函数为偶函数，根据偶函数的对称性即可求解.【详解】因为()ln(||1)cos()2()f x x a x f x -=-++-+=,所以函数()f x 为偶函数， 又函数()f x 只有一个零点， 故(0)0f =，所以2a =-.故答案为：2- 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，函数的零点，属于容易题.7．（2020·湖北高三月考（理））已知函数23()123x x f x x =+-+，若()(2020)h x f x =-的零点都在(),a b 内，其中a ，b 均为整数，当b a -取最小值时，则b a +的值为（ ）A ．4038B ．2019C ．4037D ．4039【答案】D 【解析】【分析】求导分析23()123x x f x x =+-+的单调性,再根据零点存在定理与函数的平移分析即可.【详解】因为2'()10f x x x =-+>恒成立.故23()123x x f x x =+-+为增函数.所以()f x 有且仅有一个零点.又(0)10=>f ,115(1)110236f -=---=-<,故()f x 零点在区间()1,0-之间.又()(2020)h x f x =-为函数()f x 往右平移2020个单位,所以()(2020)h x f x =-的零点落在()2019,2020上.由题意可知, b a -取最小值时2020,2019b a ==,所以4039b a +=.故答案为：4039【点睛】本题主要考查了函数的零点存在性定理与函数平移的问题,属于基础题.8.（2020·河南南阳中学高三月考（理））已知函数()()2sin 10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>≤ ⎪⎝⎭，其图象与直线1y =-相邻两个交点的距离为π，若()1f x >对于任意的,123x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭恒成立，则ϕ的取值范围是( ) A ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,62ππ⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A【解析】由题意可得相邻最低点距离1个周期，T π=，2ω=，()1f x >，即()sin 20x ϕ+>，222,k x k k Z πϕππ≤+≤+∈，即,,222x k k k Z ϕϕπππ⎡⎤∈-+-++∈⎢⎥⎣⎦所以,123ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭⊆,,222k k k Z ϕϕπππ⎡⎤-+-++∈⎢⎥⎣⎦，包含0,所以k=0, ,,222k Z ϕϕπ⎡⎤--+∈⎢⎥⎣⎦,122223πϕϕππ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩,63ππϕ≤≤． 【点睛】由于三角函数是周期周期函数，所以不等式解集一般是一系列区间并集，对于恒成立时，需要令k 为几个特殊值，再与已知集合做运算．9．（2020·天津南开中学高三月考）已知函数22,2()(2),2⎧-≤=⎨->⎩x x f x x x ，函数()3(2)g x f x =--，则函数()()y f x g x =-的零点的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】由22,2()(2),2⎧-≤=⎨->⎩x x f x x x ，()3(2)g x f x =--，所以2222231,0()()231,0244155,2⎧+-+=+-≤⎪=-=--+=-<≤⎨⎪-+-+=-+>⎩x x x x x y f x g x x x x x x x x x x 所以当0x ≤时，零点为12x --=一个，当02x <≤时，无零点，当2x >时，零点为52+以零点个数为2个，故选A ． 考点：函数的零点个数的判断．【方法点睛】该题属于考查函数的零点个数的问题，在解题的过程中，需要先确定出函数解析式，根据题中所给的函数()f x 的解析式求得函数()g x 的解析式，从而得到()()f x g x -关于x 的分段函数，通过对每一段上的解析式进行分析，求得相应的函数的零点，注意结合自变量的取值范围进行相应的取舍，最后确定出该题的答案．10.（2020·河南鹤壁高中高三月考（文））已知函数2()cos2cos 1(0)222xxxf x ωωωω=+->的周期为π，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()f x m ＝恰有两个不同的实数解1x ，2x ，则()12f x x +=（ ） A ．2 B ．1C ．﹣1D ．﹣2【答案】B 【解析】【分析】对()f x 进行化简，利用周期为π，求出2ω=，根据()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象，得到12x x +的值，再求出()12f x x +的值.【详解】2()cos2cos 1222xxxf x ωωω=+-cos 2sin 6x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由2T ππω== ，得2ω=．()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭．作出函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象如图：由图可知，123x xπ+=，()1212sin 221362f x x ππ⎛⎫∴+=⨯+=⨯= ⎪⎝⎭．故选B 项． 【点睛】本题考查正弦型函数的化简及其图像与性质，属于简单题.11. （2020·河北工业大学附属红桥中学高三月考）已知函数32,0(),0x x x f x lnx x ⎧-=⎨->⎩…，若函数()()g x f x x a=--有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[0，2)B ．[0，1)C ．(-∞，2]D ．(-∞，1]【答案】A 【解析】【分析】本道题先绘制()f x 图像，然后将零点问题转化为交点问题，数形结合，计算a 的范围，即可． 【详解】绘制出()f x 的图像，()f x x a =+有3个零点，令()h x x a =+与()f x 有三个交点，则()h x 介于1号和2号之间，2号过原点，则0a =，1号与()f x 相切，则()2'321,1f x x x =-==-，1y =，代入()h x 中，计算出2a =，所以a 的范围为[)0,2，故选A ．【点睛】本道题考查了数形结合思想和函数与函数交点个数问题，难度中等．12．（2020·湖南长沙一中高三月考（理））已知偶函数()y f x =的定义域为R ，当0x ≥时，()23sin,01221,1x x x f x x π-⎧≤≤⎪=⎨⎪+>⎩函数()()2221g x x ax a a R =-+-∈，若函数()()y g f x =有且仅有6个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(]1,2B ．()1,2C ．(]2,3D ．()2,3【答案】B 【解析】【分析】画出()f x 的图像,先求解()22210g x x ax a =-+-=,再数形结合列出关于a 的不等式求解即可.【详解】由题意画出()f x 的图像如图所示,由()22210g x x ax a =-+-=解得11x a =+,21x a =-,由函数()()y g f x =有且仅有6个零点知113011a a <+<⎧⎨<-≤⎩,解得12a <<,【点睛】本题主要考查了数形结合解决函数零点个数的问题,需要根据函数图像与带参数的方程交点的个数,列出对应的不等式进行求解.属于中等题型.第II 卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

函数的零点问题一、题型选讲 题型一、运用函数图像判断函数零点个数可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。

作图与根分布综合的题目，英中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要 注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。

例1、(2019苏州三市、苏北四市二调)立义在R 上的奇函数金)满足Λx+4)=Λx),且在区间[2, 4)上例3、【2018年高考全国III 卷理数】函数/(x) = COS^3Λ + ^ ∣^[0,π]的零点个数为 ______ 题型二、函数零点问题中参数的范围已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范囤.(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法.它的本质就是将 函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便 地研究问题.(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画岀函数的图像，然后数形结合求解.1∏Λ∖X≥ 1例4. (2020届山东省枣庄.滕州市髙三上期末)已知/(X) = {…、f ,若函数y = ∕(x)-l 恰有f(2-x) + k,x<∖一个零点，则实数A ∙的取值范围是( )A. (l,4∙s) B ・ ILC. (YU)D ・(Y M]Z、21og^ x,x≥∖. Z 、例5、(2020全国高三专题练习(文))函数/(M = [f(w]) JI yl ，若方程f(x) = ~2x + m 有且只有两个不相等的实数根，则实数加的取值范围是()A. (-oo,4)B. (Y ,4]C. (-2,4)D. (-2,4]2-x,2≤x<3x-4,3≤x<4则函数y=∕ω-iog s H 的零点的个数为 ____________x<b例2、(2017苏锡常镇调研)若函数Λx)=≤ IInx<x>l, )则函数y=^χ)∣~∣的零点个数为 ______若函数F(X) =/(x)-g(x)在［0,2)上只有两个零点，则实数R 的值不可能为A.丄 3 3 C.——4例6、［2020年高考天津】已知函数f(x) = < Λ j'0,若函数g(γ) =γ,(j).∣AΛ^2点，则k 的取值范围是A. (→>,-∣)U(2√2,+oo)B ∙ U(0,2√Σ)c ・(Y,0)U(0,2√Σ) D ・ YO)U(2√Σ,S例7. ［2019年髙考浙江】已知t 函数f(x) = < 1x,x < O1 c ・若函数一F --(α + l)f +ax.x≥O 13 2y = f(x)-cιx -b 恰有3个零点，则A. Λ<-L b<0B. αv -l, b>0C. α>-l, XoD ・ α>-l, b>Q例8. (2020浙江学军中学髙三3月月考)已知函数/(X)=(A -÷4)V5≤X <-3J 若函数 /(x-2),x≥-3g(x) = ∕α)-W(X+ 1)1有9个零点，则实数M 的取值范围是()A.［科丿B.1 1)匕'FD.1 1 <55例9.(2020届浙江省杭州市第二中学髙三3月月考)已知函数/(X)=2/V 『心2'B- 4D ・-1-2彳伙WR)恰有4个零二、达标训练1、(2019 IlJ 东师范大学附中高三月考)函数/(x) = √-W 的零点所在区间为()A- (一 1'O)B- [θ,^j C - (Al D- (1'2)e 丫 X V 02、 【2018年髙考全国I 卷理数】已知函数/(X)=g(χ) = f(χ) + x + a •若g(x)存在2个lnx, x>O,零点，则α的取值范用是A. [一 1, 0)B. [0, +∞)C. [-1, +oo)D. [1, +∞)3、 (2020届浙江省“山水联盟"髙三下学期开学)已知αbwR,函数f(x) = <(A+(l)e +αr "≤°,若函x,x>0数y = f{x)-ax-b 恰有3个零点，则()A. a>∖J)>OB. d>l,D<0C. a<tb>OD. a<^b<O4. (2020届山东实验中学髙三上期中)设定义在/?上的函数/(X)满足/(→) + /(X) = X 2,K 当X WO 时,__________ ・若函数沧)恰有2个零点，则2的取值范圉是 _____________≥∕(1~x ))2}且★为函数 g(x) = e λ-y[ex-aZR 疋为自然对数的底数)的一个零点，则实数α的取值可能是()A. 1√E 2D ・√72√7(0<x≤l)5、(2020届山东师范大学附中髙三月考)已知函数fW = ∖2—(X > DIX若方程/(兀)=一力+ α有三个不同的实根，则实数α的取值范围是 _______6、［2018年髙考浙江】已知z∈R.函数沧)=<X - 4, % ≥ Λ X 2-4x + 3,x<2,当z=2时，不等式√(x)vθ的解集是广(X)Vx .己知存在如Λ 2+2ax + a,x ≤ O 74202O届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】已知函数f(x) = \e x_ex I ,,若存在实数+-a2,x>O X 3使得函数y = f(χ)-k有6个零点，则实数。

高考数学导数专题：零点理论一：零点个数。

①在一个单调区间中：两个端点的函数值同时为正或者同时为负，在这个单调区间中函数没有零点。

②在一个单调区间中：两个端点的函数值一正一负，在这个单调区间中函数有一个零点。

例题一：2020年高考文科数学新课标Ⅰ卷第20题：已知函数)2()(+-=x a e x f x。

（1）当1=a 时，讨论)(x f 的单调性；（2）若)(x f 有两个零点，求a 的取值范围。

本题解析：（1）当1=a 时：2)2()(--=+-=x e x e x f xx。

定义域：R x ∈；导函数：1)('-=xe xf ；令导函数1010)('≥⇒≥-⇒≥xxe e xf ，010≥⇒≥⇒=x e e e x。

如下图所示：所以：当)0,(-∞∈x 时：导函数0)('<x f ，原函数)(x f 单调递减；当),0[+∞∈x 时：导函数0)('≥x f ，原函数)(x f 单调递增。

（2）令0)(=x f ，)2()(+-=x a e x f xxxex a x a e =+⇒=+-⇒)2(0)2(2+=⇒x e a x 。

假设：2)(+=x e x g x。

)(x f 的零点为方程)(x g a =的解（)(x g 与直线a y =的交点）。

导函数：22)2()1()2(1)2()('++=+⋅-+=x x e x e x e x g x x 。

令导函数1010)('-≥⇒≥+⇒≥x x x g 。

如下图所示：x ∞-)1,(--∞1-),1[+∞-∞+)('x g -+)(x g ∞+↓e1↑∞+ee e e g 1121)1(111===+-=----。

如下图所示：)(x g 与直线a y =有两个交点ea 1>⇒。

所以：a 的取值范围为：),1(+∞e。

例题二：2020年高考文科数学新课标Ⅲ卷第20题：已知函数23)(k kx x x f +-=。

高考数学函数零点问题专题四“用好零点”，确定参数的最值或取值范围函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间——零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕利用函数零点，确定参数的最值或取值范围问题，例题说法，高效训练.【典型例题】例1.【山东省淄博市2019届高三3月模拟】已知函数.（1）若是的极大值点，求的值；（2）若在上只有一个零点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】(1)，因为是的极大值点，所以，解得，当时，，，令，解得，当时，，在上单调递减，又，所以当时，；当时，，故是的极大值点；(2)令，，在上只有一个零点即在上只有一个零点,当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以.（Ⅰ）当，即时，时，在上只有一个零点，即在上只有一个零点.（Ⅱ）当，即时，取，，①若，即时，在和上各有一个零点，即在上有2个零点，不符合题意；②当即时，只有在上有一个零点，即在上只有一个零点，综上得，当时，在上只有一个零点.例2.【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟】已知函数（为自然对数的底数），.（1）当时，求函数的极小值；（2）若当时，关于的方程有且只有一个实数解，求的取值范围.【答案】（1）0（2）【解析】（1）当时，，，令则列表如下：所以.（2）设，，设，，由得，，，在单调递增，即在单调递增，，①当，即时，时，，在单调递增,又，故当时，关于的方程有且只有一个实数解，符合题意.②当，即时，由（1）可知，所以，又故，当时，，单调递减，又，故当时，，在内，关于的方程有一个实数解1.又时，，单调递增，且，令，,,故在单调递增，又在单调递增，故，故，又，由零点存在定理可知，，故在内，关于的方程有一个实数解.又在内，关于的方程有一个实数解1，不合题意.综上，.例3. 已知函数()()ln 1axf x e x =+，其中a R ∈. （1）设()()axF x ef x -='，讨论()F x 的单调性；（2）若函数()()g x f x x =-在()0,+∞内存在零点，求a 的范围. 【答案】（1）见解析；（2）a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】（i ） 当 0a <时，则 111x a=-<-，因此在()1,-+∞ 上恒有 ()'0F x < ，即 ()F x 在()1,-+∞ 上单调递减；（ii ）当0a >时， 111x a =->-，因而在11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上有()'0F x <，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上有()'0F x > ；因此 ()F x 在 11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增. （2）设 ()()()()ln 1,0,axg x f x x e x x x =-=+-∈+∞,()()()()1''1ln 1111ax axg x f x e a x e F x x ⎛⎫=-=++-=- ⎪+⎝⎭，设()()()'1ax h x g x e F x ==-，则 ()()()()()22221''ln 11axaxax a h x e aF x F x e a x x ⎛⎫+- ⎪⎡⎤=+=++⎣⎦ ⎪+⎝⎭. 先证明一个命题：当0x >时， ()ln 1x x +<.令()()ln 1S x x x =+-， ()1'1011xS x x x-=-=<++，故()S x 在()0,+∞上是减函数，从而当0x >时， ()()00S x S <=，故命题成立.若0a ≤ ,由 0x >可知， 01ax e <≤.()()()ln 1110ax ax ax g x e x e x x x e ∴=+-<-=-≤，故()0g x <，对任意()0,x ∈+∞都成立，故 ()g x 在()0,+∞上无零点，因此0a >.（ii ）当102a <<，考察函数 ()'h x ，由于 ()()1'0210,'0,'2h a h h x a ⎛⎫=-∴ ⎪⎝⎭在 ()0,+∞上必存在零点.设()'h x 在 ()0,+∞的第一个零点为0x ，则当()00,x x ∈时， ()'0h x <，故 ()h x 在 ()00,x 上为减函数，又 ()()000h x h <=，所以当 ()00,x x ∈时， ()'0g x <，从而 ()g x 在 ()00,x 上单调递减，故在 ()00,x 上恒有()()00g x g <=.即 ()00g x < ，注意到 ax e x ax >，因此()()()()()ln 1ln 11ln 11axg x e x x x ax x x a x =+->+-=+-，令1ax e =时，则有()0g x >，由零点存在定理可知函数 ()y g x =在 10,ax e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有零点，符合题意. 学科%网例4．【广东省广州市天河区2019届高三综合测试（一)】设函数．若函数在处的切线与直线垂直，求实数a的值；讨论函数的单调区间与极值；若函数有两个零点，求满足条件的最小整数a的值．【答案】（1）；（2）见解析；（3）3【解析】，．，函数在处的切线与直线垂直，，解得．，时，，此时函数在内单调递增，无极值．时，可得函数在内单调递减，在内单调递增．可得时，函数取得极小值，．由可得：时，函数在内单调递增，不可能有两个零点，舍去．时，可得时，函数取得极小值，时，；时，．因此极小值．即．令函数，在上单调递增．，，，可得，满足条件的最小整数．【规律与方法】根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.（4）如果导函数的解析式具有分式特征,且容易判断出分母是正数,此时往往将分子看成一个新的函数,进而对该函数进行研究从而得到相应的结论.（5）参变分离法、构造函数法、数形结合法等，均应灵活运用.【提升训练】1.【四川省高中2019届高三二诊】已知．求的极值；若有两个不同解，求实数的取值范围．【答案】（1）有极小值，为；无极大值；（2）【解析】的定义域是，，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故时，；记，，则，故可转化成，即：，令，，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，且时，，时，故，由，，的性质有：，和有两个不同交点，，且，，各有一解，即有2个不同解，，和仅有1个交点，且，有2个不同的解，即有两个不同解，取其它值时，最多1个解，综上，的范围是2．【陕西省咸阳市2019年高考模拟（二)】已知函数. （1）当，求证；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)见证明；(2)【解析】（1）证明：当时，，得，知在递减，在递增，，综上知，当时，.（2）法1：，，即，令，则，知在递增，在递减，注意到，当时，；当时，，且，由函数有个零点，即直线与函数图像有两个交点，得.法2：由得，，当时，，知在上递减，不满足题意；当时，，知在递减，在递增.，的零点个数为，即，综上，若函数有两个零点，则.3.【湖南省怀化市2019届高三3月一模】设函数.（1）若是的极大值点，求的取值范围；（2）当，时，方程（其中）有唯一实数解，求的值. 【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意，函数的定义域为，则导数为由，得，∴①若，由，得.当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减.所以是的极大值点②若，由，得，或.因为是的极大值点，所以，解得综合①②：的取值范围是（2）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解设，则，令，即.因为，，所以（舍去），当时，，在上单调递减，当时，，在单调递增当时，，取最小值则，即，所以，因为，所以（*）设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解因为，所以方程（*）的解为，即，解得4.【安徽省马鞍山市2019届高三高考一模】已知函数在上是增函数．求实数的值；若函数有三个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】当时，是增函数，且，故当时，为增函数，即恒成立，当时，函数的导数恒成立，当时，，此时相应恒成立，即恒成立，即恒成立，当时，，此时相应恒成立，即恒成立，即恒成立，则，即．若，则在上是增函数，此时最多有一个零点，不可能有三个零点，则不满足条件．故，当时，有一个零点，当时，，故0也是故的一个零点，故当时，有且只有一个零点，即有且只有一个解，即，得，，则，在时有且只有一个根，即与函数，在时有且只有一个交点，，由得，即得，得，此时函数递增，由得，即得，得，此时函数递减，即当时，函数取得极小值，此时极小值为，，作出的图象如图，要使与函数，在时有且只有一个交点，则或，即实数的取值范围是．5.【吉林省长春市普通高中2019届高三监测（二)】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若方程有两个实数根，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)【解析】（1）由题可得，当时，，在上单调递增；当时，，，在上单调递增；，，在上单调递减.（2）令，，易知单调递增且一定有大于0的零点，不妨设为，，即，，故若有有两个零点，需满足，即，令，，所以在上单调递减.，所以的解集为，由，所以.当时，，有，令，由于，所以，，故，所以，故，在上有唯一零点，另一方面，在上，当时，由增长速度大，所以有，综上，.6. 设函数()()()22ln 11f x x x =---. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若关于x 的方程()230f x x x a +--=在区间[]24，内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 函数()f x 的单调递增区间为()2,+∞;(2) a 的取值范围是[)2ln352ln24--，. 【解析】（1）函数()f x 的定义域为()1+∞， ∵()()()2212111x x f x x x x --⎡⎤=--=⎢⎥--⎣⎦'∵1x >，则使()0f x '<的x 的取值范围为()2,+∞， 故函数()f x 的单调递减区间为()2,+∞故()230f x x x a +--=在区间[]24，内恰有两个相异实根()()()20{30 40.g g g ≥⇔<≥，，即30{4220 5230a a ln a ln +≥+-<+-≥，解得： 2ln352ln24a -≤<-综上所述， a 的取值范围是[)2ln352ln24--，7. 已知函数()()21xf x e a x b =---，其中e 为自然对数的底数.（1）若函数()f x 在区间[]0,1上是单调函数，试求实数a 的取值范围；（2）已知函数()()211xg x e a x bx =----，且()10g =，若函数()g x 在区间[]0,1上恰有3个零点，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) ][3,1,22e⎛⎫-∞⋃++∞ ⎪⎝⎭(2) ()1,2e - 【解析】（2）()()()'21xg x e a x b f x =---=．由()()010g g ==，知()g x 在区间()0,1内恰有一个零点， 设该零点为0x ，则()g x 在区间()00,x 内不单调， 所以()f x 在区间()00,x 内存在零点1x ， 同理， ()f x 在区间()0,1x 内存在零点2x ， 所以()f x 在区间()0,1内恰有两个零点． 由（1）知，当32a ≤时， ()f x 在区间[]0,1上单调递增，故()f x 在区间()0,1内至多有一个零点，不合题意． 当12ea ≥+时， ()f x 在区间[]0,1上单调递减， 故()f x 在()0,1内至多有一个零点，不合题意； 所以3122ea <<+．8．已知函数()()22ln R f x a x x ax a =-+∈.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a >时，若()f x 在()1,e 上有零点，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）)1e 1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()2222a x a x a ax x f x x x-++='-=.由()0f x '=得x a =或2ax =-. 当0a =时， ()0f x '<在()0,+∞上恒成立，所以()f x 的单调递减区间是()0,+∞，没有单调递增区间. 当0a >时， ()(),,x f x f x '的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间是()0,a ，单调递减区间是(),a +∞. 当0a <时， ()(),,x f x f x '的变化情况如下表：所以()f x 的单调递增区间是0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭，单调递减区间是,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.9．已知()()()3231ln ,2x f x x e e x g x x x a =--=-++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若存在()10,x ∈+∞及唯一正整数2x ，使得()()12f x g x =，求a 的取值范围．【答案】（1）()f x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞;(2) a 的取值范围是1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 【解析】（2）由（1）知当1x =时， ()f x 取得最小值， 又()10f =，所以()f x 在()0,+∞上的值域为[)0,+∞．因为存在()10,x ∈+∞及唯一正整数2x ，使得()()12f x g x =， 所以满足()0g x ≥的正整数解只有1个． 因为()3232g x x x a =-++， 所以()()23331g x x x x x =-+'=--，所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()10{20g g ≥<，即1{ 220a a +≥-+<， 解得122a -≤<． 所以实数a 的取值范围是1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭． 10．设函数()ln f x x =， ()bg x ax c x=+-（,,a b c R ∈）. （1）当0c =时，若函数()f x 与()g x 的图象在1x =处有相同的切线，求,a b 的值；（2）当3b a =-时，若对任意()01,x ∈+∞和任意()0,3a ∈，总存在不相等的正实数12,x x ，使得()()()120g x g x f x ==，求c 的最小值；（3）当1a =时，设函数()y f x =与()y g x =的图象交于()11,,A x y ()2212,()B x y x x <两点．求证：122121x x x b x x x -<<-.【答案】（1）12{ 12a b ==-（2）3（3）见解析【解析】（2）当01x >时，则()00f x >，又3b a =-，设()0t f x =， 则题意可转化为方程3(0)aax c t t x-+-=>在()0,+∞上有相异两实根12,x x ．即关于x 的方程()()230(0)ax c t x a t -++-=>在()0,+∞上有相异两实根12,x x ．所以()()2121203430{ 030a c t a a c t x x a a x x a<<∆=+-->++=>-=>，得()()203{43 0a c t a a c t <<+>-+>， 所以c t >对()()0,,0,3t a ∈+∞∈恒成立．因为03a <<，所以（当且仅当32a =时取等号）， 又0t -<，所以的取值范围是(),3-∞，所以3c …． 故c 的最小值为3. （3）当1a =时，因为函数()f x 与()g x 的图象交于,A B 两点，所以111222{b lnx xc x b lnx x c x =+-=+-，两式相减，得211221ln ln 1x x b x x x x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭. 要证明122121x x x b x x x -<<-，即证211221212121ln ln 1x x x x x x x x x x x x ⎛⎫--<-<- ⎪-⎝⎭，即证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，即证1222111ln 1x x x x x x -<<-. 令21x t x =，则1t >，此时即证11ln 1t t t-<<-． 令()1ln 1t t tϕ=+-，所以()221110t t t t t ϕ'-=-=>，所以当1t >时，函数()t ϕ单调递增． 又()10ϕ=，所以()1ln 10t t t ϕ=+->，即11ln t t-<成立；再令()ln 1m t t t =-+，所以()1110tm t t t-=-=<'，所以当1t >时，函数()m t 单调递减，又()10m =，所以()ln 10m t t t =-+<，即ln 1t t <-也成立． 综上所述， 实数12,x x 满足122121x x x b x x x -<<-.。

1．零点的判断与证明例1：已知定义在1,上的函数ln 2f x x x ，求证：f x 存在唯一的零点，且零点属于3,4．2．零点的个数问题例2：已知函数f x 满足3f xf x ，当1,3x，ln f xx ，若在区间1,9内，函数g xf xax 有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（）A ．ln 31,3eB ．ln 31,93eC ．ln 31,92eD ．ln3ln3,933．零点的性质例3：已知定义在R 上的函数f x 满足：2220,121,0x x f xxx，且2f xf x ，252x g xx，则方程f x g x 在区间5,1上的所有实根之和为（）A ．5B ．6C ．7D ．84．复合函数的零点例4：已知函数243f x xx，若方程20f xbf x c恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是（）A ．2,0 B ．2,1 C ．0,1 D ．0,2对点增分集训一、选择题1．设ln 2f xxx，则函数f x 的零点所在的区间为（）A ．0,1B ．1,2C ．2,3D ．3,42．已知a 是函数12log 2xx f x的零点，若0x a ，则0f x 的值满足（）A ．00f x B ．00f x C ．00f x D ．0f x 的符号不确定3．函数2()2f x xa x的一个零点在区间1,2内，则实数a 的取值范围是（）A ．1,3B ．1,2C ．0,3D ．0,24．若a bc ，则函数()()()()()()f xxa xb xb xc xc xa 的两个零点分别位于区间（）A ．(),a b 和(),b c 内B ．(,)a 和(),a b 内C ．(),b c 和(),c 内 D ．(,)a 和(),c 内5．设函数f x 是定义在R 上的奇函数，当0x 时，e3xf xx ，则f x 的零点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 6．函数2201ln 0xx x xxf x的零点个数为（）A ．3B ．2C ．7D ．07．已知函数1010x xxf x，则使方程x f x m 有解的实数m 的取值范围是（）A ．1,2B ．(],2C ．()(),12,D ．(][),12,8．若函数312f xax a 在区间()1,1内存在一个零点，则a 的取值范围是（）A ．1,5 B ．1,1,5C ．11,5D ．(),19．已知函数00exxxf x，则使函数g x f xxm 有零点的实数m 的取值范围是（）A ．0,1B ．(1),C ．(](),12,D ．(](),01,10．已知f x 是奇函数且是R 上的单调函数，若函数221()()yf xf x 只有一个零点，则实数的值是（）A ．14B ．18 C ．78 D ．38二、填空题13．函数052log ||xf xx ．的零点个数为________．14．设函数31y x 与2212x y 的图象的交点为00(,)x y ，若0,1()x n n ，n ，则0x 所在的区间是______．15．函数22026ln 0f xxx xxx的零点个数是________．16．已知函数23||f xxx ，R x ，若方程1|0|f x a x 恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是________________．三、解答题17．关于x 的二次方程21()10xm x 在区间0,2上有解，求实数m 的取值范围．18．设函数1()1(0)f x xx．（1）作出函数f x 的图象；（2）当0a b 且f a f b 时，求11ab的值；（3）若方程f x m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．1．零点的判断与证明例1：已知定义在1,上的函数ln 2f xx x ，求证：f x 存在唯一的零点，且零点属于3,4．【解析】111x fxxx，1,x ，0fx，f x 在1,+单调递增，31ln30f ，42ln 20f ，340f f ，03,4x ，使得0f x 因为f x 单调，所以f x 的零点唯一．2．零点的个数问题例2：已知函数f x 满足3f xf x ，当1,3x，ln f xx ，若在区间1,9内，函数g xf xax 有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（）A ．ln 31,3eB ．ln 31,93eC ．ln 31,92eD ．ln3ln3,93【答案】B 【解析】33x f xf x f x f，当3,9x 时，ln33x x f xf，所以ln 13ln393xx f xx x，而g xf xax 有三个不同零点y f x 与yax 有三个不同交点，如图所示，可得直线y ax 应在图中两条虚线之间，所以可解得：ln3193ea3．零点的性质例3：已知定义在R 上的函数f x 满足：2220,121,0x x f xxx，且2f xf x ，252x g xx，则方程f x g x 在区间5,1上的所有实根之和为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】先做图观察实根的特点，在1,1中，通过作图可发现f x 在1,1关于0,2中心对称，由2f xf x 可得f x 是周期为2的周期函数，则在下一个周期3,1中，f x 关于2,2中心对称，以此类推。

2020届高三理科数学精准培优专练：函数的零点（附解析）一、求函数的零点例1：若幂函数()f x 的图象过点，则函数()()3g x f x =-的零点是（ ）A ．9 C ．0) D ．(9,0)二、根据零点求解析式中的参数值例2：若函数2()log ()f x x a =+与2()(1)4(5)g x x a x a =-+-+存在相同的零点，则a 的值为（）A ．4或52- B ．4或2- C ．5或2- D ．6或52-三、零点存在性定理应用例3：函数3()21f x x x =+-一定存在零点的区间是（ ）A ．1(0,)4B ．11(,)42C ．1(,1)2 D ．(1,2)四、讨论含参数方程根的个数或函数零点的个数例4：函数3()log |||sin π|f x x x =-在区间[2,3]-上零点的个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8五、根据函数零点的个数求参数范围例5：已知函数2161,0()1(),02xx x xf xx+⎧-+≥⎪=⎨<⎪⎩，若()()g x f x a=-恰好有3个零点，则a的取值范围为（）A．[0,1) B．(0,1) C．1[,1)2D．1(,1]2六、根据函数零点的分布求参数范围例6：函数2()2xf x ax=--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是（）A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2)对点增分集训一、选择题1．下列函数中，既是奇函数又在(1,2)上有零点的是（ ）A ．ln(1)ln(1)y x x =--+B ．33x x y -=-C ．23y x =-D ．33y x x =-2．函数()42x x f x -=-的零点所在区间是（ ） A ．(1,0)- B ．1(0,)4 C ．11(,)42 D ．1(,1)23．函数33()log 9f x x x =+-的零点所在区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)4．函数()|sin |lg f x x x =-的零点个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．函数23,0()43,0x a x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若函数()f x 在R 上有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(,1]-∞-C ．(1,0)-D ．[1,0)-6．已知22,0()log ,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()()g x f x x m =++，若()g x 存在两个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．[1,0)- C ．[0,)+∞ D ．[1,)+∞7．已知一次函数()12f x ax a =+-的零点在(3,4)内，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11(,)34-- B ．11(,)23-- C ．1(1,)2-- D ．(2,1)--二、填空题8．函数(1)ln ()3x x f x x -=-的零点是 ． 9．若函数()x f x a x a =--（0a >且1a ≠）有两个零点，则实数a 的取值范围是 ．10．如果函数22y x x m =++只有一个零点，则m 的值是 ．11．若方程ln 260x x +-=在(,1)()n n n +∈Z 上有一实数根，则n = ．12．函数2ln 2,0()21,0x x x x f x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩的零点个数为 ． 13．设函数1sin π,20()1(),09x x x f x x --≤<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程()0f x a -=有三个不等实根1x ，2x ，3x ，且12352x x x ++=-，则a = ． 14．已知函数22,2()log ,2x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，若函数()y f x k =-有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是 ．15．设a ∈Z ，函数()x f x e x a =+-，若(1,1)x ∈-时，函数有零点，则a 的取值个数有 ．16．函数()lg(2)1f x x x =+-的零点在区间(,1)()k k k +∈Z 内，则k = ．三、解答题17．已知函数2()22(4)f x x ax a =+--．（1）若方程()0f x =有两个均大于2的根，求实数的取值范围；（2）若方程()0f x =有两个根1x ，2x ，且11x <-，20x >，求实数的取值范围．18．已知函数2()22(0)f x ax x a a =+--≤．（1）若1a =-，求函数的零点；（2）若函数在区间(0,1]上恰有一个零点，求取值范围．2020届高三好教育精准培优专练：函数的零点（解析）一、求函数的零点例1：若幂函数()f x 的图象过点，则函数()()3g x f x =-的零点是（ ）A ．9 C ．0) D ．(9,0)【答案】B【解析】设()a f x x =，则2a =12a =，所以12()3g x x =-， 由12()30g x x =-=，得9x =，所以函数()g x 的零点为9．二、根据零点求解析式中的参数值例2：若函数2()log ()f x x a =+与2()(1)4(5)g x x a x a =-+-+存在相同的零点，则a 的值为（）A ．4或52- B ．4或2- C ．5或2- D ．6或52-【答案】C【解析】由2(1)4(5)0x a x a -+-+=，解得4x =-或5x a =+．∵函数2()log ()f x x a =+与2()(1)4(5)g x x a x a =-+-+存在相同的零点，∴4x =-，5x a =+也是方程2log ()0x a +=的根．即2log (4)0a -+=或2log (5)0a a ++=，解得5a =或2a =-．三、零点存在性定理应用例3：函数3()21f x x x =+-一定存在零点的区间是（ ）A ．1(0,)4B ．11(,)42C ．1(,1)2 D ．(1,2)【答案】B【解析】∵3()21f x x x =+-在(0,)+∞上单调递增，根据零点存在性定理，∴()()0f a f b ⋅<，易知B 选项符合条件．四、讨论含参数方程根的个数或函数零点的个数例4：函数3()log |||sin π|f x x x =-在区间[2,3]-上零点的个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】令()0f x =，所以3log |||sin π|x x -，在同一坐标系下作出函数3()log ||g x x =和()|sin π|h x x =在区间[2,3]-的图像，观察图像得两函数在[2,0]-有两个交点，在[0,3]有4个交点，所以函数3()log |||sin π|f x x x =-在区间[2,3]-上零点的个数为6．五、根据函数零点的个数求参数范围例5：已知函数2161,0()1(),02x x x x f x x +⎧-+≥⎪=⎨<⎪⎩，若()()g x f x a =-恰好有3个零点，则a 的取值范围为（ ）A ．[0,1)B ．(0,1)C ．1[,1)2 D ．1(,1]2【答案】D【解析】()()g x f x a =-恰好有3个零点，即为()f x a =有三个不等实根，作出()y f x =的图象， 可得当112a <≤时，()f x 的图象与y a =有三个交点．六、根据函数零点的分布求参数范围例6：函数2()2x f x a x =--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是（）A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)【答案】C【解析】由条件可知(1)(2)(22)(41)0f f a a =----<，即(3)0a a -<，解得03a <<．对点增分集训一、选择题1．下列函数中，既是奇函数又在(1,2)上有零点的是（ ）A ．ln(1)ln(1)y x x =--+B ．33x x y -=-C ．23y x =-D ．33y x x =-【答案】D【解析】选项A ，B ，D 中的函数均为奇函数，其中函数ln(1)ln(1)y x x =--+与函数33x x y -=-在(1,2)上没有零点，所以A ，B 选项不合题意；C 中函数23y x =-为偶函数，不合题意；D 中函数330y x x =-=(1,2)，符合题意．2．函数()42x x f x -=-的零点所在区间是（ ） A ．(1,0)- B ．1(0,)4 C ．11(,)42 D ．1(,1)2【答案】D【解析】易知函数()f x 为减函数， 又121111()402424f -=-=->，11(1)042f =-<， 根据零点存在性定理，可知函数()42x x f x -=-的零点所在区间是1(,1)2． 3．函数33()log 9f x x x =+-的零点所在区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】C【解析】∵3(2)log 210f =-<，3(3)log 3279190f =+-=>，∴(2)(3)0f f <，∴函数在区间(2,3)上存在零点．4．函数()|sin |lg f x x x =-的零点个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】由已知，令()|sin |lg 0f x x x =-=，即|sin |lg x x =，在同一坐标系中作函数|sin |y x =与lg y x =的图象如图所示，可知两个函数图象有5个交点．5．函数23,0()43,0x a x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若函数()f x 在R 上有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(,1]-∞-C ．(1,0)-D ．[1,0)-【答案】D【解析】∵当0x >时，2()430f x x x =-+=，解得1x =或3，∴当0x >时，函数()f x 有两个零点分别为1和3，即当0x ≤时，()3x f x a =+有一个零点，由指数函数图象可知10a -≤<．6．已知22,0()log ,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()()g x f x x m =++，若()g x 存在两个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．[1,0)- C ．[0,)+∞ D ．[1,)+∞【答案】A【解析】()()g x f x x m =++，若()g x 存在两个零点，可得()0g x =，即()f x x m =--有两个不等实根，即有函数()y f x =和直线y x m =--有两个交点， 作出()y f x =的图象和直线y x m =--，当1m -≤，即1m ≥-时，()y f x =和y x m =--有两个交点．7．已知一次函数()12f x ax a =+-的零点在(3,4)内，则实数a 的取值范围是（）A ．11(,)34--B ．11(,)23--C ．1(1,)2-- D ．(2,1)--【答案】C【解析】由题意知，(3)(4)0f f ⋅<，解得112a -<<-．二、填空题8．函数(1)ln ()3x xf x x -=-的零点是 ．【答案】1【解析】令()0f x =，即(1)ln 03x xx -=-，即10x -=或ln 0x =，∴1x =，故函数()f x 的零点为1．9．若函数()x f x a x a =--（0a >且1a ≠）有两个零点，则实数a 的取值范围是 ．【答案】{|1}x a >【解析】设函数x y a =（0a >，且1a ≠）和函数y x a =+，则函数()x f x a x a =--（0a >且1a ≠）有两个零点，就是函数x y a =（0a >且1a ≠）与函数y x a =+有两个交点，当01a <<时两函数只有一个交点，不符合；当1a >时，因为函数(1)x y a a =>的图象过点(0,1)，而直线y x a =+所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a 的取值范围是{|1}x a >．10．如果函数22y x x m =++只有一个零点，则m 的值是 ．【答案】1【解析】∵函数22y x x m =++只有一个零点，∴2240Δm =-=，∴44m =，∴1m =．11．若方程ln 260x x +-=在(,1)()n n n +∈Z 上有一实数根，则n = ．【答案】2【解析】记函数()ln 26f x x x =+-，则(2)ln 220f =-<，(3)ln30f =>，所以(2)(3)0f f <，所以函数()f x 在(2,3)上必有零点，又函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以若方程ln 260x x +-=在(,1)()n n n +∈Z 上有一实数根， 则2n =．12．函数2ln 2,0()21,0x x x x f x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩的零点个数为 ．【答案】3【解析】当0x ≤时，由()210f x x =+=，得12x =-，符合题意； 当0x >时，2()ln 2f x x x x =-+，此时函数()f x 的零点个数就是函数ln y x =与函数22y x x =-图象的交点个数，由图象可知交点有2个，所以当0x >时，函数()f x 有2个零点，故函数()f x 共有3个零点．13．设函数1sin π,20()1(),09x x x f x x --≤<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程()0f x a -=有三个不等实根1x ，2x ，3x ，且12352x x x ++=-，则a = ． 【答案】13【解析】如图所示，画出函数()f x 的图象，不妨设123x x x <<，则1232()32x x +=⨯-=-， 又12352x x x ++=-，∴312x =，∴1211()93a ==．14．已知函数22,2()log ,2x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，若函数()y f x k =-有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是 ． 【答案】114k ≤≤ 【解析】由函数()y f x k =-有且只有一个零点，等价为数()0y f x k =-=，即()f x k =有且只有一个根，即函数()f x 与y k =只有一个交点，作出函数()f x 的图象如图， ∵1(2)4f =，2log 21=，∴要使函数()f x 与y k =只有一个交点，则114k ≤≤．15．设a ∈Z ，函数()x f x e x a =+-，若(1,1)x ∈-时，函数有零点，则a 的取值个数有 ．【答案】4【解析】根据函数解析式得到函数是单调递增的，由零点存在定理得到若(1,1)x ∈-时，函数有零点， 需要满足(1)0111(1)0f a e f e -<⎧⇒-<<+⎨>⎩， 因为a 是整数，故可得到a 的可能取值为0，1，2，3．16．函数()lg(2)1f x x x =+-的零点在区间(,1)()k k k +∈Z 内，则k = ．【答案】2-或1【解析】函数()lg(2)1f x x x =+-，(,1)()x k k k ∈+∈Z 的零点，即为方程1lg(2)x x +=的根， 在同一直角坐标系中作出函数lg(2)y x =+与1y x=的图象，如图所示． 由图象，可知方程1lg(2)x x+=有两个根，一个在区间(2,1)--内，一个在区间(1,2)内， 所以2k =-或1．三、解答题17．已知函数2()22(4)f x x ax a =+--．（1）若方程()0f x =有两个均大于2的根，求实数的取值范围；（2）若方程()0f x =有两个根1x ，2x ，且11x <-，20x >，求实数的取值范围．【答案】（1）64a -<<-；（2）4a >．【解析】（1）由方程()0f x =有两个均大于2的根，可得2(2)2120483202f a Δa a a =+>⎧⎪=+->⎨⎪->⎩，解得64a -<<-．（2）由方程()0f x =有两个根1x ，2x ，且11x <-，20x >，可得(1)940(0)2(4)00f a f a Δ-=-<⎧⎪=--<⎨⎪>⎩，解得4a >．18．已知函数2()22(0)f x ax x a a =+--≤．（1）若1a =-，求函数的零点；（2）若函数在区间(0,1]上恰有一个零点，求取值范围．【答案】（1）1；（2）(,2][1,0]-∞--．【解析】（1）若1a =-，则2()21f x x x =-+-，由2()210f x x x =-+-=，得2210x x -+=，解得1x =，∴当1a =-时，函数()f x 的零点是1．（2）已知函数2()22f x ax x a =+--，且0a ≤，①当0a =时，()22f x x =-，由220x -=，得1x =，且1(0,1]∈， ∴当0a =时，函数()f x 在区间(0,1]上恰有一个零点；②当0a ≠时，由2()220f x ax x a =+--=易得(1)0f =， ∴()0f x =必有一个零点1(0,1]∈．设另一个零点为0x ，则021a x a --⋅=，即0221a x a a --==--． ∵函数()f x 在区间(0,1]上恰有一个零点，从而00x ≤，或01x ≥， 即210a --≤或211a--≥，解得2a ≤-或10a -≤<．综合①②得，a 的取值范围是(,2][1,0]-∞--。

2020届高三文科数学精准培优专练：函数的零点（附解析）例1：函数22()ln f x x x =-的零点所在的区间为（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)例2：已知函数()()f x x ∈R 是偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，()1f x x =-，则方程1()1||f x x =-在区间[10,10]-上解的个数是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11例3：已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(π)()f x f x +=-，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =则函数1()()πg x f x x =--在区间3π,3π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和（ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π四、根据函数零点情况求参数的取值范围三、求函数零点二、函数零点个数的判定一、运用零点存在性定理判断函数零点所在区间例4：函数||()x x f x e=，方程2[()](1)()10f x m f x m -++-=有4个不相等实根，则m 的取值范围是（ ）A ．22,1e e e e ⎛⎫- ⎪+⎝⎭ B ．221,e e e e ⎛⎫-++∞ ⎪+⎝⎭ C ．221,1e e e e ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭D ．22,e e e e ⎛⎫-+∞ ⎪+⎝⎭例5：在用二分法求函数()f x 在区间(,)a b 上的唯一零点0x 的过程中，取区间(,)a b 上的中点=2a bc +， 若()0f c =，则函数()f x 在区间(,)a b 上的唯一零点0x （ ） A ．在区间(,)a c 内 B ．在区间(,)c b 内C ．在区间(,)a c 或(,)c b 内D ．等于2a b+一、选择题1．函数()1ln 2x f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的零点一定位于区间（ ） A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5) 2．函数()2x f x x e =--+的零点所在的区间是（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3)3．函数()π62sin 236πf x x x ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭在π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有零点之和等于（ ） 对点增分集训五、二分法A ．3π2 B ．π C ．5π6 D ．2π34．已知()f x 是定义在R 上且以3为周期的奇函数，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()2ln 1f x x x =-+， 则函数()f x 在区间[0,6]上的零点个数是（ ） A ．3 B ．5 C ．7 D ．95．用二分法求如图所示函数()f x 的零点时，不可能求出的零点是（ ）A ．1xB ．2xC ．3xD ．4x6．定义域为R 的偶函数()f x 满足对x ∀∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，若函数()log (||1)a y f x x =-+至少有6个零点，则a 的取值范围是（ ）A．0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ B．0,3⎛ ⎝⎭ C．0,5⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ D．0,6⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭7．已知M 是函数()2133418cos π2x x f x e x -+⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在(0,)+∞上的所有零点之和，则M 的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．128．已知函数()21,1ln ,1x x f x x x x⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，关于x 的方程22[()](12)()0f x m f x m +-⋅-=有5个不同的实数解，则m 的取值范围是（ ）A ．11,e ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B ．(0,)+∞ C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦9．已知定义域为R 的偶函数()f x 满足对任意的x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()(2)1f x x =--+．若函数11()12y f x a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在(0,)+∞上恰有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭ B ．14,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1212,3713⎛⎫⎪⎝⎭ D ．124,373⎛⎫⎪⎝⎭10．已知函数()1,0ln ,kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则下列关于函数(())1y f f x =+的零点个数的判断正确的是（ ）A ．当0k >时，有3个零点；当0k <时，有2个零点B ．当0k >时，有4个零点；当0k <时，有1个零点C ．无论k 为何值，均有2个零点D ．无论k 为何值，均有4个零点11．已知函数()()32log (2),232,2x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则方程11f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实根个数不可能为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5 12．已知函数()1ln (0,0)m f x n x m n e x =-->≤≤在区间[1,]e 内有唯一零点，则21n m ++的取值范围 为（ ）A ．22,112e e e e +⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦ B ．2,112e e ⎡⎤+⎢⎥+⎣⎦ C ．2,11e ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦ D ．1,12e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦二、填空题13．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x ≤时，1()22xf x x a =-+，则函数()f x 有 个零点．14．对于函数()f x 与()g x ，若存在{}|()0x f x λ∈∈=R ，{}|()0x g x μ∈∈=R ，使得||1λμ-≤， 则称函数()f x 与()g x 互为“零点密切函数”，现已知函数2()3x f x e x -=+-与2()4g x x ax x =--+互为“零点密切函数”，则实数a 的取值范围是 ．15．已知函数()y f x =和()y g x =在[2,2]-的图象如图，给出下列四个命题： ①方程(())0f g x =有且仅有6个根； ②方程(())0g f x =有且仅有3个根； ③方程(())0f f x =有且仅有5个根； ④方程(())0g g x =有且仅有4个根， 其中正确命题是 ．16．已知1()2f x x x =+-，若关于x 的方程()2|21|30|21|x x f k ⎛⎫---= ⎪-⎝⎭有四个不同的实数解， 则实数k 的取值范围为 ．2020届高三文科数学精准培优专练：函数的零点（解析）例1：函数22()ln f x x x =-的零点所在的区间为（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 【答案】B【解析】由题意可知原函数是(0,)+∞上的增函数，(1)0220f =-=-<，1(2)ln 2ln 202f =-=->， 故根据零点存在定理得到零点存在于(1,2)上，故选B ．例2：已知函数()()f x x ∈R 是偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，()1f x x =-，则方程1()1||f x x =-在区间[10,10]-上解的个数是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 【答案】B【解析】函数()f x 是R 上的偶函数，可得()()f x f x -=，又(2)(2)f x f x -=+，可得(4)()f x f x -=，故可得()(4)f x f x -=-， 即()(4)f x f x =+，即函数的周期是4，又[0,2]x ∈时，()1f x x =-，要研究方程1()1||f x x =-在区间[10,10]-上解的个数，二、函数零点个数的判定一、运用零点存在性定理判断函数零点所在区间可将问题转化为()y f x =与11||y x =-在区间[10,10]-有几个交点． 画出两函数图象如下，由图知两函数图象有9个交点．故选B ．例3：已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(π)()f x f x +=-，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =则函数1()()πg x f x x =--在区间3π,3π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和（ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4π 【答案】D【解析】根据奇函数()f x 满足(π)()f x f x +=-，可知其周期为2π，∵函数()f x 的一条对称轴为π2x =，1πy x =-可由1y x =向右平移π个单位得到，在同一坐标系作出()y f x =与1πy x =-的图象如图：三、求函数零点根据图像可知函数()y f x =与1πy x =-的图象均关于点(π,0)对称， 且函数()y f x =与1πy x =-的图象在区间3π,3π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有四个交点， 所以函数1()()πg x f x x =--在区间3π,3π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为4π，故选D ．例4：函数||()xx f x e=，方程2[()](1)()10f x m f x m -++-=有4个不相等实根，则m 的取值范围是（ ）A ．22,1e e e e ⎛⎫- ⎪+⎝⎭ B ．221,e e e e ⎛⎫-++∞ ⎪+⎝⎭ C ．221,1e e e e ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭D ．22,e e e e ⎛⎫-+∞ ⎪+⎝⎭ 【答案】C【解析】根据题意画出函数||()x x f x e=的图象：设()t f x =，2(1)10t m t m -++-=有两个不同的根1t ，2t ，故当12010,t t e =⎧⎪⎨⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎩时，将10t =代入方程得到1m =，此时关于t 的方程2(1)10t m t m -++-=的根是10t =，22t =，故不符合题意；四、根据函数零点情况求参数的取值范围当12110,t e t e ⎧>⎪⎪⎨⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎩时，当11t e >时，关于x 的方程1()t f x =有唯一实数解，当210,t e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，关于x 的方程2()t f x =有三个实数解，故方程2[()](1)()10f x m f x m -++-=有4个不相等实根，符合题意要求，所以22211101110m m e e m e ee e m +⎧-+-<-+⎪⇒<<⎨+⎪->⎩，故答案为C ．例5：在用二分法求函数()f x 在区间(,)a b 上的唯一零点0x 的过程中，取区间(,)a b 上的中点=2a bc +， 若()0f c =，则函数()f x 在区间(,)a b 上的唯一零点0x （ ） A ．在区间(,)a c 内 B ．在区间(,)c b 内C ．在区间(,)a c 或(,)c b 内D ．等于2a b+ 【答案】D【解析】根据用二分法求方程的近似解的方程和步骤， 函数()f x 在区间(,)a b 上的唯一零点02a bx +=．故选D ．一、选择题对点增分集训五、二分法1．函数()1ln 2x f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的零点一定位于区间（ ） A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5) 【答案】B【解析】易知函数()1ln 2x f x x⎛⎫=- ⎪⎝⎭在其定义域上是增函数，因为1(2)02f =-<，311(3)ln 0233f ⎛⎫=->= ⎪⎝⎭，所以函数1()ln2x f x x=-的零点一定位于区间(2,3)内．故选B ． 2．函数()2x f x x e =--+的零点所在的区间是（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3) 【答案】B【解析】因为()11|12|0f e --=---+<，(0)210f =-+<，(1)10f e =-+>． 所以函数零点所在的区间是(0,1)，故选B ．3．函数()π62sin 236πf x x x ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭在π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有零点之和等于（ ） A ．3π2 B ．π C ．5π6 D ．2π3【答案】D【解析】由()π62sin 2036πf x x x ⎛⎫=--= ⎪-⎝⎭，得π3sin 236πx x ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭， 分别作出函数36πy x =-与πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，由图象可知函数的对称性，可知两函数图象均关于π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称． 由图可知，函数()π62sin 236πf x x x ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭在π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有零点之和等于ππ2π333+=． 故选D ．4．已知()f x 是定义在R 上且以3为周期的奇函数，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()2ln 1f x x x =-+， 则函数()f x 在区间[0,6]上的零点个数是（ ） A ．3 B ．5 C ．7 D ．9 【答案】D【解析】因为函数为奇函数，所以在[0,6]上必有(0)0f =．当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由2()ln(1)0f x x x =-+=，得211x x -+=， 即20x x -=，解得1x =．因为函数是周期为3的奇函数，所以(0)(3)(6)0f f f ===， 此时在区间[0,6]上有3个零点0，3，6．(1)(4)(1)(2)(5)0f f f f f ==-===，此时在区间[0,6]上有四个零点1，2，4，5．当32x =时，333332222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即33930222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 此时在区间[0,6]上有两个零点32，92．所以共有9个零点．故选D ． 5．用二分法求如图所示函数()f x 的零点时，不可能求出的零点是（ ）A ．1xB ．2xC ．3xD ．4x【答案】C【解析】二分法求函数()f x 的零点时，函数必须满足在零点两侧的函数值异号， 而图中函数在零点3x 的两侧的函数值都是负值，故不能用二分法求出．故选C ．6．定义域为R 的偶函数()f x 满足对x ∀∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，若函数()log (||1)a y f x x =-+至少有6个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．0,3⎛ ⎝⎭ C ．0,5⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．0,6⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】令1x =-，(2)()(1)(1)(1)(1)(1)(1)0f x f x f f f f f f +=-⇒=--=-=(1)(1)0f f ⇒=-=，∴()(2)()f x f x f x =+=-，∴()f x 图象关于直线1x =对称，画出函数()f x 与函数log (||1)a y x =+的图象如下，由图可知，要使()log (||1)a y f x x =-+至少要有6个零点， 即函数()y f x =与log (||1)a y x =+的图像至少要有6个交点， 则有01a <<，且点(2,2)-在函数log (||1)a y x =+的下方，即2log 32303a a a ->-⇒<⇒<<，故选B ． 7．已知M 是函数()2133418cos π2x x f x e x -+⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在(0,)+∞上的所有零点之和，则M 的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】B【解析】函数()2133418cos π2x x f x ex -+⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在(0,)+∞上的所有零点之和，即213348sin πx x ex -+=在(0,)+∞上的所有实数根之和，即23128sin πx ex ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=在(0,)+∞上的所有实数根之和．令2312()x g x e ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=，()8sin πh x x =，因为3322g x g x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知函数2312()x g x e ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=的图象关于直线32x =对称， 函数()8sin πh x x =的图象也关于直线32x =对称， 作出两个函数的大致图象，如图所示，由图象知，两个函数的图象有4个交点， 且4个交点的横坐标之和为6，故选B ．8．已知函数()21,1ln ,1x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，关于x 的方程22[()](12)()0f x m f x m +-⋅-=有5个不同的实数解，则m 的取值范围是（ ）A ．11,e ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B ．(0,)+∞ C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】设ln x y x =，则21ln xy x-'=，由0y '=，解得x e =， 当(0,)x e ∈时，0y '>，函数为增函数；(,)x e ∈+∞时，0y '<，函数为减函数，当x e =时，函数ln x y x =取得极大值也是最大值为1()f e e=． 方程22[()](12)()0f x m f x m +--=化为[()][2()1]0f x m f x -+=，解得()f x m =或1()2f x =-． 画出函数()f x 的图象如图：根据图象可知m 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，方程有5个解．故选C ．9．已知定义域为R 的偶函数()f x 满足对任意的x ∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()(2)1f x x =--+．若函数11()12y f x a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在(0,)+∞上恰有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭ B ．14,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1212,3713⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．124,373⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】由于函数()f x 为偶函数，当1x =-时，(12)(1)(1)f f f -+=--，即(1)0f =，故(2)()f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数，且为偶函数．令11()012f x a x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，得到11()12f x a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，也即函数()f x 图象与函数1112y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象有三个交点， 画出两个函数图象如下图所示：由图可知，要使两个函数图象有三个交点，则需直线的斜率a 在两条切线的斜率之间． 当[1,2]x ∈时，2()(2)1f x x =--+．将1112y a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭代入并化简得211(4)3012a x a x +-+-=， 其判别式211(4)43012a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，解得43a =或3（舍）． 同理，当[3,4]x ∈时，2()(4)1f x x =--+，将1112y a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭代入化简后，同样令判别式为零， 求得13a =或12（舍）．所以实数a 的范围是14,33⎛⎫⎪⎝⎭，故选B ． 10．已知函数()1,0ln ,kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则下列关于函数(())1y f f x =+的零点个数的判断正确的是（ ）A ．当0k >时，有3个零点；当0k <时，有2个零点B ．当0k >时，有4个零点；当0k <时，有1个零点C ．无论k 为何值，均有2个零点D ．无论k 为何值，均有4个零点 【答案】B【解析】分四种情况讨论：①1x >时，ln 0x >，∴(())1ln(ln )1y f f x x =+=+，此时的零点为11ex e =>； ②01x <≤时，ln 0x ≤，∴(())1ln 2y f f x k x =+=+，则0k >时， 有一个零点，0k <时，ln 20k x +>，没有零点；③若0x ≤，10kx +≤时，2(())12y f f x k x k =+=++，则0k >时，1kx ≤-，2k x k ≤-，可得20k x k +≤，y 有一个零点，若0k <时，则20k x k +≥，y 没有零点；④若0x ≤，10kx +>时，(())1ln(1)1y f f x kx =+=++，则0k >时，即0y =可得11kx e+=，y 有一个零点， 0k <时0kx >，y 没有零点．综上可知，当0k >时，有4个零点；当0k <时，有1个零点． 故选B ．11．已知函数()()32log (2),232,2x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则方程11f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实根个数不可能为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5 【答案】D【解析】画出函数图象，如图所示：当0x >时，111x x +-≥；当0x <时，113x x+-≤-，观察图象，当2a >时，则171129x x <+-<或117x x+-<-， 此时对应的x 有四个解，即方程有4个根， 当2a =时，则11719x x +-=或7-或3， 对应的x 的有6个解，即方程有6个根，同理可得当12a <<，1a =，01a <<，0a =，0a <分析， 结合11x x+-的取值情况，可知方程的根不可能为5， 故选D ．12．已知函数()1ln (0,0)m f x n x m n e x =-->≤≤在区间[1,]e 内有唯一零点，则21n m ++的取值范围 为（ ）A ．22,112e e e e +⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦ B ．2,112e e ⎡⎤+⎢⎥+⎣⎦ C ．2,11e ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦ D ．1,12e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】22()m n m nxf x x x x+'=--=-， 当0n =时，2()0m f x x '=-<；当0n e <≤时，令()0f x '=，则0mx n=-<，所以函数()f x 在[1,]e 上单调递减，由函数()f x 在区间[1,]e 内有唯一零点，得(1)0()0f f e ≥⎧⎨<⎩，或(1)0()0f f e >⎧⎨≤⎩，即100m m e en -≥⎧⎨--<⎩或100m m e en ->⎧⎨--≤⎩，又0m >，0n e ≤≤，所以10000m m e en m n e -≥⎧⎪--<⎪⎨>⎪⎪≤≤⎩①或10000m m e en m n e->⎧⎪--≤⎪⎨>⎪⎪≤≤⎩②所以m ，n 满足的可行域如图1或图2中的阴影部分所示，则2(2)1(1)n n m m +--=+--表示点(,)m n 与点(1,2)--所在直线的斜率， 当m ，n 满足不等式组①时，21n m ++的最大值在点(1,)e 处取得， 为21112e e +=++，21n m ++的取值范围为22,112e e e e +⎛⎤+ ⎥++⎝⎦；当m ，n 满足不等式组②时，21n m ++的最小值在A 点处取得， 根据0m e en n e --=⎧⎨=⎩，得2m e e n e⎧=+⎨=⎩，所以最小值为221e e e +++，21n m ++的取值范围为22,112e e e e +⎡⎫+⎪⎢++⎣⎭，综上所述，可得21n m ++的取值范围为22,112e e e e +⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦故选A ．二、填空题13．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x ≤时，1()22xf x x a =-+，则函数()f x 有 个零点． 【答案】3【解析】由题意知(0)10f a =+=，所以1a =-．当0x <时，令1()2102xf x x =--=，即1212x x =+， 令()2(0)x g x x =<，1()1(0)2h x x x =+<， 因为1(0)ln 22g '=>，所以当0x <时，()g x 与()h x 的图象有1个交点， 即0x <时，()f x 有1个零点，又函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以函数()f x 有3个零点．14．对于函数()f x 与()g x ，若存在{}|()0x f x λ∈∈=R ，{}|()0x g x μ∈∈=R ，使得||1λμ-≤，则称函数()f x 与()g x 互为“零点密切函数”，现已知函数2()3x f x e x -=+-与2()4g x x ax x =--+互为“零点密切函数”，则实数a 的取值范围是 ．【答案】[3,4]【解析】易知函数()f x 为增函数，且22(2)230f e -=+-=，所以函数2()3x f x e x -=+-只有一个零点2x =，则取2λ=，由|2|1μ-≤，知13μ≤≤．由()f x 与()g x 互为“零点密切函数”知函数2()4g x x ax x =--+在区间[1,3]内有零点， 即方程240x ax x --+=在[1,3]内有解， 所以41a x x =+-，而函数41a x x=+-在[1,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增，所以当2x =时，a 取最小值3，又当1x =时，4a =，当3x =时，103a =，所以max 4a =， 所以实数a 的取值范围是[3,4]． 15．已知函数()y f x =和()y g x =在[2,2]-的图象如图，给出下列四个命题：①方程(())0f g x =有且仅有6个根；②方程(())0g f x =有且仅有3个根；③方程(())0f f x =有且仅有5个根；④方程(())0g g x =有且仅有4个根，其中正确命题是 ．【答案】①③④ 【解析】∵函数()y f x =有三个零点123,,t t t ，其中1(2,1)t ∈--，20t =，3(1,2)t ∈， 当1()t g x =时有两个解，当2()t g x =时有两个解，当3()t g x =时有两个解， 所以方程(())0f g x =有且仅有6个根，∴①正确．函数()y g x =有两个零点12,m m ，其中1(2,1)m ∈--，2(0,1)m ∈， 当1()m f x =时有一个解，当2()m f x =时有一个解，所以方程(())0g f x =有且仅有2个根，∴②错误．同理可知③④正确．16．已知1()2f x x x =+-，若关于x 的方程()2|21|30|21|x x f k ⎛⎫---= ⎪-⎝⎭有四个不同的实数解， 则实数k 的取值范围为 ． 【答案】41,92⎛⎫⎪⎝⎭【解析】令|21|(0)x t x =-≠，则方程()2|21|30|21|x x f k ⎛⎫---= ⎪-⎝⎭可化为方程2()30f t k t ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，作出函数()210x y x =-≠的大致图象如图所示，结合图象分析可知，若关于x 的方程()2213021x x f k ⎛⎫ ⎪---= ⎪-⎝⎭有四个不同的实数解， 则关于t 的方程2()30f t k t ⎛⎫--= ⎪⎝⎭在(0,1)上有两个不同的实数解． 2()30f t k t ⎛⎫--= ⎪⎝⎭可化为2(32)120t k t k +-+-=， 记2()(32)12g x x k x k =+-+-，则()g x 在(0,1)上有两个不同的零点， 所以22(32)4(12)94032012(0)120(1)132120Δk k k k k g k g k k k ⎧=---=->⎪-⎪<-<⎪⎨⎪=->⎪=+-+-=>⎪⎩，即409203120k k k k k ⎧<>⎪⎪⎪<<⎪⎨⎪<⎪⎪⎪>⎩或， 所以实数k 的取值范围为41,92⎛⎫ ⎪⎝⎭。

培优点二 函数的零点例1：若幂函数()f x的图象过点，则函数()()3g x f x =-的零点是（）AB ．9 C． D ．(9,0)【答案】B【解析】设()a f x x =，则2a =12a =，所以12()3g x x =-， 由12()30g x x =-=，得9x =，所以函数()g x 的零点为9．例2：若函数2()log ()f x x a =+与2()(1)4(5)g x x a x a =-+-+存在相同的零点，则a 的值为（）A ．4或52- B ．4或2- C ．5或2- D ．6或52-【答案】C【解析】由2(1)4(5)0x a x a -+-+=，解得4x =-或5x a =+．∵函数2()log ()f x x a =+与2()(1)4(5)g x x a x a =-+-+存在相同的零点，∴4x =-，5x a =+也是方程2log ()0x a +=的根．即2log (4)0a -+=或2log (5)0a a ++=，解得5a =或2a =-．二、根据零点求解析式中的参数值 一、求函数的零点例3：函数3()21f x x x =+-一定存在零点的区间是（）A ．1(0,)4 B ．11(,)42 C ．1(,1)2 D ．(1,2)【答案】B【解析】∵3()21f x x x =+-在(0,)+∞上单调递增，根据零点存在性定理，∴()()0f a f b ⋅<，易知B 选项符合条件．例4：函数3()log |||sin π|f x x x =-在区间[2,3]-上零点的个数为（）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】B 【解析】令()0f x =，所以3log |||sin π|x x -，在同一坐标系下作出函数3()log ||g x x =和()|sin π|h x x =在区间[2,3]-的图像，观察图像得两函数在[2,0]-有两个交点，在[0,3]有4个交点，所以函数3()log |||sin π|f x x x =-在区间[2,3]-上零点的个数为6．四、讨论含参数方程根的个数或函数零点的个数三、零点存在性定理应用例5：已知函数2161,0()1(),02x x x x f x x +⎧-+≥⎪=⎨<⎪⎩，若()()g x f x a =-恰好有3个零点，则a 的取值范围为（）A ．[0,1)B ．(0,1)C ．1[,1)2 D ．1(,1]2【答案】D【解析】()()g x f x a =-恰好有3个零点，即为()f x a =有三个不等实根，作出()y f x =的图象，可得当112a <≤时，()f x 的图象与y a =有三个交点． 五、根据函数零点的个数求参数范围例6：函数2()2x f x a x =--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是（）A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)【答案】C【解析】由条件可知(1)(2)(22)(41)0f f a a =----<，即(3)0a a -<，解得03a <<．一、选择题1．下列函数中，既是奇函数又在(1,2)上有零点的是（）A ．ln(1)ln(1)y x x =--+B ．33x x y -=-对点增分集训 六、根据函数零点的分布求参数范围C ．23y x =-D ．33y x x =-【答案】D 【解析】选项A ，B ，D 中的函数均为奇函数，其中函数ln(1)ln(1)y x x =--+与函数33x x y -=-在(1,2)上没有零点，所以A ，B 选项不合题意；C 中函数23y x =-为偶函数，不合题意；D 中函数330y x x =-=(1,2)，符合题意．2．函数()42x xf x -=-的零点所在区间是（）A ．(1,0)-B ．1(0,)4C ．11(,)42 D ．1(,1)2【答案】D【解析】易知函数()f x 为减函数， 又121111()402424f -=-=->，11(1)042f =-<， 根据零点存在性定理，可知函数()42x xf x -=-的零点所在区间是1(,1)2．3．函数33()log 9f x x x =+-的零点所在区间是（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】C【解析】∵3(2)log 210f =-<，3(3)log 3279190f =+-=>，∴(2)(3)0f f <，∴函数在区间(2,3)上存在零点．4．函数()|sin |lg f x x x =-的零点个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】由已知，令()|sin |lg 0f x x x =-=，即|sin |lg x x =，在同一坐标系中作函数|sin |y x =与lg y x =的图象如图所示，可知两个函数图象有5个交点．5．函数23,0()43,0x a x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若函数()f x 在R 上有三个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．(,1)-∞-B ．(,1]-∞-C ．(1,0)-D ．[1,0)-【答案】D【解析】∵当0x >时，2()430f x x x =-+=，解得1x =或3，∴当0x >时，函数()f x 有两个零点分别为1和3，即当0x ≤时，()3x f x a =+有一个零点，由指数函数图象可知10a -≤<．6．已知22,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()()g x f x x m =++，若()g x 存在两个零点，则m 的取值范围是（）A ．[1,)-+∞B ．[1,0)-C ．[0,)+∞D ．[1,)+∞【答案】A【解析】()()g x f x x m =++，若()g x 存在两个零点，可得()0g x =，即()f x x m =--有两个不等实根，即有函数()y f x =和直线y x m =--有两个交点，作出()y f x =的图象和直线y x m =--，当1m -≤，即1m ≥-时，()y f x =和y x m =--有两个交点．7．已知一次函数()12f x ax a =+-的零点在(3,4)内，则实数a 的取值范围是（）A ．11(,)34--B ．11(,)23-- C ．1(1,)2-- D ．(2,1)--【答案】C【解析】由题意知，(3)(4)0f f ⋅<，解得112a -<<-．二、填空题8．函数(1)ln ()3x xf x x -=-的零点是．【答案】1【解析】令()0f x =，即(1)ln 03x xx -=-，即10x -=或ln 0x =，∴1x =，故函数()f x 的零点为1．9．若函数()x f x a x a =--（0a >且1a ≠）有两个零点，则实数a 的取值范围是．【答案】{|1}x a >【解析】设函数x y a =（0a >，且1a ≠）和函数y x a =+，则函数()x f x a x a =--（0a >且1a ≠）有两个零点，就是函数x y a =（0a >且1a ≠）与函数y x a =+有两个交点，当01a <<时两函数只有一个交点，不符合；当1a >时，因为函数(1)x y a a =>的图象过点(0,1)，而直线y x a =+所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a 的取值范围是{|1}x a >．10．如果函数22y x x m =++只有一个零点，则m 的值是．【答案】1【解析】∵函数22y x x m =++只有一个零点，∴2240Δm =-=，∴44m =，∴1m =． 11．若方程ln 260x x +-=在(,1)()n n n +∈Z 上有一实数根，则n =．【答案】2【解析】记函数()ln 26f x x x =+-，则(2)ln 220f =-<，(3)ln30f =>，所以(2)(3)0f f <，所以函数()f x 在(2,3)上必有零点，又函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以若方程ln 260x x +-=在(,1)()n n n +∈Z 上有一实数根， 则2n =．12．函数2ln 2,0()21,0x x x x f x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩的零点个数为． 【答案】3【解析】当0x ≤时，由()210f x x =+=，得12x =-，符合题意； 当0x >时，2()ln 2f x x x x =-+，此时函数()f x 的零点个数就是函数ln y x =与函数22y x x =-图象的交点个数，由图象可知交点有2个，所以当0x >时，函数()f x 有2个零点，故函数()f x 共有3个零点．13．设函数1sin π,20()1(),09x x x f x x --≤<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程()0f x a -=有三个不等实根1x ，2x ，3x ，且12352x x x ++=-，则a =． 【答案】13【解析】如图所示，画出函数()f x 的图象，不妨设123x x x <<，则1232()32x x +=⨯-=-， 又12352x x x ++=-，∴312x =，∴1211()93a ==．14．已知函数22,2()log ,2x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，若函数()y f x k =-有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是． 【答案】114k ≤≤ 【解析】由函数()y f x k =-有且只有一个零点，等价为数()0y f x k =-=， 即()f x k =有且只有一个根，即函数()f x 与y k =只有一个交点，作出函数()f x 的图象如图， ∵1(2)4f =，2log 21=，∴要使函数()f x 与y k =只有一个交点，则114k ≤≤．15．设a ∈Z ，函数()x f x e x a =+-，若(1,1)x ∈-时，函数有零点，则a 的取值个数有．【答案】4【解析】根据函数解析式得到函数是单调递增的，由零点存在定理得到若(1,1)x ∈-时，函数有零点， 需要满足(1)0111(1)0f a e f e -<⎧⇒-<<+⎨>⎩，因为a 是整数，故可得到a 的可能取值为0，1，2，3．16．函数()lg(2)1f x x x =+-的零点在区间(,1)()k k k +∈Z 内，则k =．【答案】2-或1【解析】函数()lg(2)1f x x x =+-，(,1)()x k k k ∈+∈Z 的零点，即为方程1lg(2)x x +=的根，在同一直角坐标系中作出函数lg(2)y x =+与1y x =的图象，如图所示．由图象，可知方程1lg(2)x x +=有两个根，一个在区间(2,1)--内，一个在区间(1,2)内，所以2k =-或1．三、解答题17．已知函数2()22(4)f x x ax a =+--．（1）若方程()0f x =有两个均大于2的根，求实数的取值范围；（2）若方程()0f x =有两个根1x ，2x ，且11x <-，20x >，求实数的取值范围．【答案】（1）64a -<<-；（2）4a >．【解析】（1）由方程()0f x =有两个均大于2的根，可得2(2)2120483202f a Δa a a =+>⎧⎪=+->⎨⎪->⎩，解得64a -<<-．（2）由方程()0f x =有两个根1x ，2x ，且11x <-，20x >，可得(1)940(0)2(4)00f a f a Δ-=-<⎧⎪=--<⎨⎪>⎩，解得4a >．18．已知函数2()22(0)f x ax x a a =+--≤．（1）若1a =-，求函数的零点；（2）若函数在区间(0,1]上恰有一个零点，求取值范围．【答案】（1）1；（2）(,2][1,0]-∞--．【解析】（1）若1a =-，则2()21f x x x =-+-，由2()210f x x x =-+-=，得2210x x -+=，解得1x =， ∴当1a =-时，函数()f x 的零点是1．（2）已知函数2()22f x ax x a =+--，且0a ≤，①当0a =时，()22f x x =-，由220x -=，得1x =，且1(0,1]∈，∴当0a =时，函数()f x 在区间(0,1]上恰有一个零点；②当0a ≠时，由2()220f x ax x a =+--=易得(1)0f =， ∴()0f x =必有一个零点1(0,1]∈．设另一个零点为0x ，则021a x a --⋅=，即0221ax a a --==--．∵函数()f x 在区间(0,1]上恰有一个零点，从而00x ≤，或01x ≥， 即210a --≤或211a --≥，解得2a ≤-或10a -≤<．-∞--．综合①②得，a的取值范围是(,2][1,0]。