五年级奥数《数学容斥原理课件》
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容斥原理--奥数专题(课件)-2021-2022学年数学五年级上册 全国通用
拔河
解： 参加运动的人：
26人
19＋26＋17 －8－6－7
=62－21
=41（人）
6人
没参加运动的人：50－41=9（人）
百米 19人
8人
7人
答：这个班没参加运动项目的有9人。
乒乓球 17人
练习题1
某班有50人，已知会滑冰的有25人，会游泳的有28人，两样都会的 有7人，那么两样都不会的有几人？
2. 第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做对第一题的有15人， 做对第二题的有10人，两题都做对的有7人，两题都做错的有2人，第 一小组共有多少人？
3. 一个外国旅游团中，每个人都会英语、德语、日语这三种语言中 的一种。会讲英语的有36人，会讲德语的有15人，会讲日语的有7人， 同时会讲英语和日语的有6人，同时会讲英语和德语的有10人，同时会 讲德语和日语的有3人，三种语言都会讲的有2人，这个外国旅游团共 有多少人？
练习题2
三个圆的面积相等，都是50平方厘米，每两个圆相交的面积是 8平方厘米、10平方厘米和12平方厘米，三个圆相交的面积是5平方厘米， 三个圆盖住的面积是多少平方厘米？
例二 有26人报名参加拔河比赛，有19人参加百米赛，有17人参加 乒乓球赛，有8人参加拔河赛和百米赛，有6人参加拔河赛和乒乓球 赛，有7人参加百米赛和乒乓球赛，没有人三项运动都参加，这个班有50 人，没参加运动项目的有多少人？
容斥原理
容斥原理： 人们在统计一些数量时，有些数量是重复出现的，
在计数时通常先不考虑重复的数，而是把题中所有对象的数目计算出来， 然后再将重复的数量减去，使计算结果无遗漏、无重复。这种计数原理 称为包容与排除原理，也称为容斥原理。
韦恩图：解决容斥问题，需要画出韦恩图。用一个椭圆表示题中的一个量。
五年级下册数学奥数课件--.11较复杂的容斥原理 人教版 (共21页)
24+17-8=33（人）
答：这个文艺组一共有33人。
例2：榆树园小学五（1）班许多同学参加了学习小组，已 知参加语文学习小组的有35人，参加数学小组的的有32人，参 加英语小组的有45人，同时参加语文和数学小组的有10人，同 时参加语文和英语小组的有12人，同时参加数学和英语小组的 有15人，三个学习小组都参加的有5人。问这个班一共有多少 学生参加了学习小组？
容斥原理（一）
如果被计数的事物有A、B两类，那么： A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数— 既是A类又是B类的元素个数。
简单记做：
A或B总和＝ A＋B－A又B。
学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有 24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人， 这个文艺组一共多少人？
五年级下册数学奥数课件--.11较复杂 的容斥 原理 人教版 (共21页)
答：它们盖住的面积是143平方厘米。
五年级下册数学奥数课件--.11较复杂 的容斥 原理 人教版 (共21页)
在一个边长为90厘米的正方形桌面上，放上两张边长分别为 20厘米和45厘米的正方形纸，如图。桌面上没被纸片盖住的面积 是多少？
•
5.反复手法的运用是本诗在表现形式 上的一 大特色 。本诗 的前三 节，都 用大致 相同的 语言形 式表明 作者相 信未来 不变的 信念， 每一节 最后都 由“相 信未来 ”四个 字结尾 。而且 用冒号 把它们 凸现出 来，如 音乐中 的主题 句反复 出现， 强化了 作品的 主旋律 ，增强 了诗文 的感染 力，突 出了诗 歌的主 旨。
五年级下册数学奥数课件--.11较复杂 的容斥 原理 人教版 (共21页)
•
2.同学们，相信你们大多数同学都有 旅游的 经历， 请大家 交流一 下，到 过哪些 名山大 川，有 什么感 受？大 自然中 的山水 ，不仅 能给我 们带来 美感也 给我们 带来灵 感，今 天让我 们从诸 子大家 对山水 的体悟 中，学 习为人 为事的 道理。
答：这个文艺组一共有33人。
例2：榆树园小学五（1）班许多同学参加了学习小组，已 知参加语文学习小组的有35人，参加数学小组的的有32人，参 加英语小组的有45人，同时参加语文和数学小组的有10人，同 时参加语文和英语小组的有12人，同时参加数学和英语小组的 有15人，三个学习小组都参加的有5人。问这个班一共有多少 学生参加了学习小组？
容斥原理（一）
如果被计数的事物有A、B两类，那么： A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数— 既是A类又是B类的元素个数。
简单记做：
A或B总和＝ A＋B－A又B。
学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有 24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人， 这个文艺组一共多少人？
五年级下册数学奥数课件--.11较复杂 的容斥 原理 人教版 (共21页)
答：它们盖住的面积是143平方厘米。
五年级下册数学奥数课件--.11较复杂 的容斥 原理 人教版 (共21页)
在一个边长为90厘米的正方形桌面上，放上两张边长分别为 20厘米和45厘米的正方形纸，如图。桌面上没被纸片盖住的面积 是多少？
•
5.反复手法的运用是本诗在表现形式 上的一 大特色 。本诗 的前三 节，都 用大致 相同的 语言形 式表明 作者相 信未来 不变的 信念， 每一节 最后都 由“相 信未来 ”四个 字结尾 。而且 用冒号 把它们 凸现出 来，如 音乐中 的主题 句反复 出现， 强化了 作品的 主旋律 ，增强 了诗文 的感染 力，突 出了诗 歌的主 旨。
五年级下册数学奥数课件--.11较复杂 的容斥 原理 人教版 (共21页)
•
2.同学们，相信你们大多数同学都有 旅游的 经历， 请大家 交流一 下，到 过哪些 名山大 川，有 什么感 受？大 自然中 的山水 ，不仅 能给我 们带来 美感也 给我们 带来灵 感，今 天让我 们从诸 子大家 对山水 的体悟 中，学 习为人 为事的 道理。
小学数学容斥问题教学课件
25＋23－19=29（人）
答：一共有29人。
例2、一班有48人，班主任在班会上问：“谁做完了语文作业？请
举手”有37人举手，又问：“谁做完了数学作业？请举手” 有42人举人，最后问：“谁语文、数学作业都没做完？请举 手”结果没有人举手。求这个班语文、数学作业都做完的人 数是多少个？
做完 语文 的人 数： 37人
容斥原理（第二讲）
• 某校六（1）班，每人在暑 •
假里都参加体育训练队，
其中参加足球队的有25人，
参加排球队的有22人，参 加游泳队的有34人，足球、
•
排球都参加的有12人，足
球、游泳都参加的有18人，
排球、游泳都参加的有14
人，三项都参加的有8人，
这个班有多少人？
25+22+34 -12-1814+8=45人
=9（人）
练一练
第51页举一反三第4题
2分钟你 能做完
Hale Waihona Puke 吗？作业：第52页熟能生巧（1）、 （2）做在作业本上（要求：不 抄题，标清题号，字迹工整整洁， 做完后请家长签字。）
复习容斥问题例1、例2，预习例3、例4
课后过关：
一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会 法语的18人，两样都不会的有4人。两样都会的 有多少人？
练一练
第51页举一反三第3题
2分钟你 能做完
吗？
例5、某班有学生50人，其中35人会游泳，38人会骑自行
车，40人会溜冰，46人会打乒乓。问四项活动都会
的至少有多少人？
一项不会的
一项不会的
尽可能的多，
就不符合
即考虑重复的
不会游泳的：50－35=15（人）
奥数容斥问题课件
示例：有五个班级，分别有30人、40人、50人、60人和70人，其中两个班级共有10人既是第一班也是第二班的人，同时是第二班和第三班的人有15人，同时是第二班和第四班的人有20人，同时是第三班和第四班的人有25人，同时是第三班和第五班的人有30人，同时是第四班和第五班的人有35人。求五个班级总共有多少人
进阶练习题在难度上有所提升，需要学生灵活运用容斥原理解决较为复杂的问题，提高解题技巧。
题目4
一个班级有45名学生，每人至少参加一项体育活动。其中，28人参加篮球，30人参加足球。问同时参加两项体育活动的学生有多少人？
题目3
一个班级有35名学生，每人至少参加一项课外活动。其中，18人参加音乐小组，21人参加美术小组。问同时参加两项课外活动的学生有多少人？
奥数容斥问题课件
目录
容斥问题简介容斥问题的基本解法容斥问题的进阶解法容斥问题的实际应用容斥问题的常见题型及解析练习题及答案解析
CONTENTS
容斥问题简介
容斥问题是一种数学问题，涉及到集合和集合之间的关系。它主要考察的是如何正确地理解和处理集合之间的关系，以及如何通过已知的集合信息来推导出未知的集合信息。
题目2：一个班有40名学生，每人至少参加一个运动项目。其中，25人参加篮球，20人参加足球。问同时参加两个运动项目的人数是多少？
答案及解析：通过容斥原理，我们可以得出同时参加两个运动项目的人数为10人。
总结词
提高解题技巧
答案及解析
通过容斥原理，我们可以得出同时参加两项课外活动的学生有9人。
详细描述
详细描述：对于n个集合，它们的并集的元素数量可以通过以下公式计算：|A∪B∪C...∪n| = Σ(i=1 to n) |Ai| - Σ(i=2 to n) Σ(j=i+1 to n) |Ai∩Aj| + Σ(i=3 to n) Σ(j=i+1 to n) Σ(k=i+1 to n) |Ai∩Aj∩Ak| - ... + (-1)^(n-1) * Σ(i=n to 2) Σ(j=i+1 to n) ... Σ(k=i+1 to n) |Ai∩Aj∩Ak...∩An|，其中Σ表示求和符号，Ai、Aj、Ak...An分别表示第i个、第j个、第k个...第n个集合的元素数量，Ai∩Aj、Ai∩Aj∩Ak、Ai∩Aj∩Ak...∩An等分别表示第i个和第j个、第i个和第j个以及第k个...第n个集合的交集的元素数量。
简单的容斥原理完整版课件
A
B
若对于三个有限集合A,B,C呢？
A∩B
A
A∩C
B
C
B∩C
A∩B∩C
三个集合的容斥原理
一般地，对任意三个有限集合A,B,C，有:
card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B) -card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).
例1.在100个学生中，音乐爱好者有56人，体育爱好 者有75人，既爱好音乐又爱好体育的有40人，那么 仅爱好音乐的有几人？仅爱好体育的有几人？两者 都不爱好的有几人？
A={圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水}
B={圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面}
card(A)=6， card(B)=4，
card(A∩B)=2，
card(A∪B)= 6+4-2
根据集合元素的互 异性
相同的元素只表示 一次！
两个集合的容斥原理
一般地，对任意两个有限集合A,B，有: card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
A
音乐 爱好
者
B
体育 爱好者
变式：在100个学生中，音乐爱好者有56人，体育爱 好者有75人，那么既爱好音乐又爱好体育的人最多 有几人？最少有几人？
B
？ A
音乐 爱好
体育 爱好
者
者
例2.已知集合 A {x N | 0 x 10000} ，求集合 A中不能被5或7整除的数的个数.
例2.已知集合 A {x N | 0 x 10000} ，求集合 A中不能被5或7整除的数的个数.
英语 六级
会计 师
五年级奥数(仁华版)第十二讲 容斥原理
1
课堂小结
• 1、在容斥原理（一）中 ∣A∪B∣=∣A∣＋∣B∣－∣A∩B∣里 共有四个量，知道任意三个，都可以求第四 个 • 2、在容斥原理（二）公式∣A∪B∪C∣ • ＝∣A∣＋∣B∣＋∣C∣－∣A∩B∣－ ∣A∩C∣－∣B∩C∣＋∣A∩B∩C∣应用于 公式（一）类似，当问题较复杂时，可以 考虑列方程来解答
都采 集的 16人
25 人
花草 标本 的
容斥原理的意义
• 像上面那样 • 要计算种事物的总量时，可以把总量分成 两类分量计算，先把每个分量加起来，然 后减去重复计算的部分。像这样的数学原 理，我们称之为“包含于排除”原理，也 叫容斥原理。 • 用字母表示可以是：
容斥原理（一）
• 原理一：如果把一组事物按两种不同的性 质分类，其中A类的有∣A∣，B类的个数 是∣B∣，既属于A类又属于B类的个数有 ∣A∩B∣。那么这组事物的总数是 • ∣A∪B∣=∣A∣＋∣B∣－∣A∩B∣ • 在这个式子里共有四个量，知道任意三个， 都可以求第四个
所以，能被2、3、5中任何一个整除的数有 个
500＋333＋200－166－100－66＋33=734 （个）
巩固练习
• 1、有三个面积都是20平方厘米的圆纸片放在桌 子上，三个纸片共同重叠的面积是8平方厘米，三 个圆纸片覆盖住桌面的总面积是36平方厘米。 • 问：图中阴影部分的面积之和是多少？ • 分析：可以先求出每两个圆的重叠部分 • 36=20×3－两圆重叠×3＋8 • 再减去三个三圆重叠的部分 • 即：（20×3＋8－36）－8×3 • =32－24=8
• 例9、六（2）班有49人参加了数学、英语、语文学习小组， 其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文有10人参 加；既参加数学又参加语文的有3人，既参加数学又参加 英语的和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而且三 种都参加的只有1人。 • 求既参加英语又参加数学小组的有多少人？ • 分析：这个问题里数量较多，我们画图来分析 • 如果设既参加英语又参加数学的有x人， • 既参加英语又参加语文的有y人 数学30 • 则可以列方程 • 49=30＋20＋10－x－y－3＋1 • 所以x＋y=9 英语20 人 1语数3 • 因为x、y都是质数 • 所以有x=2，y=7或者x=7，y=2 语文 • 答：既参加英语又参加语文的有2人或者7人 10人
课堂小结
• 1、在容斥原理（一）中 ∣A∪B∣=∣A∣＋∣B∣－∣A∩B∣里 共有四个量，知道任意三个，都可以求第四 个 • 2、在容斥原理（二）公式∣A∪B∪C∣ • ＝∣A∣＋∣B∣＋∣C∣－∣A∩B∣－ ∣A∩C∣－∣B∩C∣＋∣A∩B∩C∣应用于 公式（一）类似，当问题较复杂时，可以 考虑列方程来解答
都采 集的 16人
25 人
花草 标本 的
容斥原理的意义
• 像上面那样 • 要计算种事物的总量时，可以把总量分成 两类分量计算，先把每个分量加起来，然 后减去重复计算的部分。像这样的数学原 理，我们称之为“包含于排除”原理，也 叫容斥原理。 • 用字母表示可以是：
容斥原理（一）
• 原理一：如果把一组事物按两种不同的性 质分类，其中A类的有∣A∣，B类的个数 是∣B∣，既属于A类又属于B类的个数有 ∣A∩B∣。那么这组事物的总数是 • ∣A∪B∣=∣A∣＋∣B∣－∣A∩B∣ • 在这个式子里共有四个量，知道任意三个， 都可以求第四个
所以，能被2、3、5中任何一个整除的数有 个
500＋333＋200－166－100－66＋33=734 （个）
巩固练习
• 1、有三个面积都是20平方厘米的圆纸片放在桌 子上，三个纸片共同重叠的面积是8平方厘米，三 个圆纸片覆盖住桌面的总面积是36平方厘米。 • 问：图中阴影部分的面积之和是多少？ • 分析：可以先求出每两个圆的重叠部分 • 36=20×3－两圆重叠×3＋8 • 再减去三个三圆重叠的部分 • 即：（20×3＋8－36）－8×3 • =32－24=8
• 例9、六（2）班有49人参加了数学、英语、语文学习小组， 其中数学有30人参加，英语有20人参加，语文有10人参 加；既参加数学又参加语文的有3人，既参加数学又参加 英语的和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而且三 种都参加的只有1人。 • 求既参加英语又参加数学小组的有多少人？ • 分析：这个问题里数量较多，我们画图来分析 • 如果设既参加英语又参加数学的有x人， • 既参加英语又参加语文的有y人 数学30 • 则可以列方程 • 49=30＋20＋10－x－y－3＋1 • 所以x＋y=9 英语20 人 1语数3 • 因为x、y都是质数 • 所以有x=2，y=7或者x=7，y=2 语文 • 答：既参加英语又参加语文的有2人或者7人 10人
小学五年级奥数课件：容斥原理
3，老师在统计考试成绩，数学得90分以上的有25 人，语文得90分以上的有21人，两科中至少有一科 在90分以上的有38人。两科都在90分以上的有多少 人？
实验小学各年级都参加的一次书法比赛中， 四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者 中有16人不是四年级的，有12人不是五年 级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？
3，六一儿童狼子野心同学们做小花，有24朵不是 红色的，有20朵不是黄色的，已知红花和黄花一共 有18朵，其他颜色的花一共做了多少朵？
在100个外语教师中，懂英语的有75人， 懂日语的有45人，其中必然有既懂英语 又懂日语的老师。问：只懂英语的老师 有多少人？
分析与解答
显然，两种语言都懂的人在懂英语的75人中统计 过一次，在懂日语的45人中又统计过一次。因此， 75＋45=120人，比100多出的20人就是两种语 言都懂的人数。然后，从懂英语的75人中减去两 种语言都懂的20人，就是只懂英语的人数了： 75－20=55人。
3，某班有50名学生，在一次测验中有26人满分， 在第二次测验中有21人满分。如果两次测验都没得 过满分的学生有17人，那么，两次测验都得满分的 有多少人？
某校教师至少懂得英语和日语 中的一种语言。已知有35人懂 英语，34人懂日语，两种语言 都懂的有21人。这个学校共有 多少名教师？
把懂英语和懂日语的人数加起来得
容斥原理
集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概 念之一。如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、 5、6、7、8、9便组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为 这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都 是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。 两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组 成了一个新的集合C。计算集合C的元素的个数的思考方法主要是 包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再 “排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素， 即：C=A＋B－AB。 在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，
实验小学各年级都参加的一次书法比赛中， 四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者 中有16人不是四年级的，有12人不是五年 级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？
3，六一儿童狼子野心同学们做小花，有24朵不是 红色的，有20朵不是黄色的，已知红花和黄花一共 有18朵，其他颜色的花一共做了多少朵？
在100个外语教师中，懂英语的有75人， 懂日语的有45人，其中必然有既懂英语 又懂日语的老师。问：只懂英语的老师 有多少人？
分析与解答
显然，两种语言都懂的人在懂英语的75人中统计 过一次，在懂日语的45人中又统计过一次。因此， 75＋45=120人，比100多出的20人就是两种语 言都懂的人数。然后，从懂英语的75人中减去两 种语言都懂的20人，就是只懂英语的人数了： 75－20=55人。
3，某班有50名学生，在一次测验中有26人满分， 在第二次测验中有21人满分。如果两次测验都没得 过满分的学生有17人，那么，两次测验都得满分的 有多少人？
某校教师至少懂得英语和日语 中的一种语言。已知有35人懂 英语，34人懂日语，两种语言 都懂的有21人。这个学校共有 多少名教师？
把懂英语和懂日语的人数加起来得
容斥原理
集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概 念之一。如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、 5、6、7、8、9便组成一个数字集合。组成集合的每个事物称为 这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都 是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。 两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组 成了一个新的集合C。计算集合C的元素的个数的思考方法主要是 包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再 “排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素， 即：C=A＋B－AB。 在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，
数学五年级竞赛讲座第6讲容斥原理课件
A∩B∩C={1到200中间能被2×3×5整除的自然数}；
求出|A|=100，|B|=66，|C|=40，|A∩B|=33， |A∩C|=20，|B∩C|=13，|A∩B∩C|=6， 所以|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C|–
|A∩C|+|A∩B∩C|
=100+66+40–33–20–13+6=146. 这是1到200中间的自然数至少有能被2、3、 5中一个数整除的数的个数。 所以1到200的自然数中不能被2、3、5中任 何一个数整除的数有200–146=54（个）。
由题意|A|=75，|B|=83，|A∪B|=100–10=90， 根据容斥原理得 |A∩B|=|A|+|B|–|A∪B|=75+83–90=68. 答：两种语言都懂的旅客有68人。
对于任意三个有限集合A、B、C，我们可 以将上面的容斥原理推广得到如下的公式：
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C| –|A∩C|+|A∩B∩C|。
B
I
IV
II
VII
VI V
C III
而IV、V、VI部分的元素分别属于某两个集合，
第VII部分则是三个集合的交集。
由于A∪B∪C的元素分别来自集合A、B、C，
因此先计算|A|+|B|+|C|。
在这个和里，第I、II、III部分的元素只计 算了一次，而第IV、V、VI部分的元素各自计 算了两次，第VII部分的元素计算了三次。
最后由手中有红球的共有34人，手中有黄 球的共有26人，手中有篮球的共有18人，
可以填出区域I、II、III内分别填上16、7、5。
求出|A|=100，|B|=66，|C|=40，|A∩B|=33， |A∩C|=20，|B∩C|=13，|A∩B∩C|=6， 所以|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C|–
|A∩C|+|A∩B∩C|
=100+66+40–33–20–13+6=146. 这是1到200中间的自然数至少有能被2、3、 5中一个数整除的数的个数。 所以1到200的自然数中不能被2、3、5中任 何一个数整除的数有200–146=54（个）。
由题意|A|=75，|B|=83，|A∪B|=100–10=90， 根据容斥原理得 |A∩B|=|A|+|B|–|A∪B|=75+83–90=68. 答：两种语言都懂的旅客有68人。
对于任意三个有限集合A、B、C，我们可 以将上面的容斥原理推广得到如下的公式：
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C| –|A∩C|+|A∩B∩C|。
B
I
IV
II
VII
VI V
C III
而IV、V、VI部分的元素分别属于某两个集合，
第VII部分则是三个集合的交集。
由于A∪B∪C的元素分别来自集合A、B、C，
因此先计算|A|+|B|+|C|。
在这个和里，第I、II、III部分的元素只计 算了一次，而第IV、V、VI部分的元素各自计 算了两次，第VII部分的元素计算了三次。
最后由手中有红球的共有34人，手中有黄 球的共有26人，手中有篮球的共有18人，
可以填出区域I、II、III内分别填上16、7、5。
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2倍 3倍 5倍
例题【五】（★ ★ ★ ★ ★ ）
有编号为1～2010的2010个气球，有一个神枪手，他第一次 把所有编号是3的倍数气球打破；第二次把编号是5的倍数 的气球打破；最后把编号是7的倍数的气球打破。那么，最 后还剩几个是没有被打破的气球？
2倍 5倍
7倍
例题【五】（★ ★ ★ ★ ★ ）
倍数的数共有
个
3/5: 2008÷15=133（个） 3/7: 2008÷21=95（个） 5/7：2008÷35=57（个） 3/5/7: 2008÷105=19（个） 133+95+57-19X3=228
老师点睛 2.考点：锅内饼外、三叶草
（1）锅内饼外=全部-大饼 （2）三叶草=AB+AC+BC-3ABC
3倍
5倍
3:670个 5:402个 7:287个
7倍
3/5:134个 3/7：95个 5/7:57个
3/5/7=19个
大饼：670+402+287-（234+95+57）+19=1092（个）
饼外：2010-1092=918（个）
本课总结
1、容斥原理：不考虑重叠，先计算结果， 之后减去重叠部分的计数方式。 2、“大饼图”：写对名字，标对数。找 出所求区域 3、考点： （1）锅内饼外=全部-大饼 （2）三叶草=AB+AC+BC-3ABC
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前言
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有编号为1～2010的2010个气球，有一个神枪手，他第一次 把所有编号是3的倍数气球打破；第二次把编号是5的倍数 的气球打破；最后把编号是7的倍数的气球打破。那么，最 后还剩几个是没有被打破的气球？
3倍 5倍
7倍
例题【五】（★ ★ ★ ★ ★ ）
有编号为1～2010的2010个气球，有一个神枪手，他第一次把所有编号是3的倍数 气球打破；第二次把编号是5的倍数的气球打破；最后把编号是7的倍数的气球打 破。那么，最后还剩几个是没有被打破的气球？
拓展例题
一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且 有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少 人？
分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满 分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语 数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得 满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。 为15+12-4=23。
例题【一】（★ ★ ）
五年级二班有40名同学，其中有25人没有参加数学小组，有18人参 加了航模小组，有10人两个小组都参加。那么只参加了这两个小组 之一的学生共有多少人？
数学
航模
例题【一】（★ ★ ）
五年级二班有40名同学，其中有25人没有参加数学小组，有18人参 加了航模小组，有10人两个小组都参加。那么只参加了这两个小组 之一的学生共有多少人？
本讲主线
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总 和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元 素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既 是A类又是B类而且是C类的元素个数。 （A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）
例题【四】（★ ★ ★ ★ ★ ）
在2006盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制，按顺序编 号为1,2，…，2006，将编号为2的倍数的灯的拉线各拉一 下；再将编号为3的倍数的灯拉线各拉一下，最后将编号为 5的倍数的灯的拉线各拉一下，拉完后亮着的灯数为多少盏？
2倍 3倍
5倍
例题【四】（★ ★ ★ ★ ★ ）
数学参加人数：40-25=15人 15-10+18-10 =5+8 =13（人）
例题【二】（★ ★ ★ ）
1～209这209个自然数中，与209互质的自然是有几个？
互质，没有公约数 分解，209=11×19 11:209÷11=19（个） 19:209÷19=11（个） 11/19：1（个） 大饼：19+11-1=29（个） 答：209-19=180（个）
又无重复，这种计数的方法称为容斥原理
本讲主线
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总 和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元 素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既 是A类又是B类而且是C类的元素个数。 （A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）
容斥原理 2、一道经典的拉灯问题
本讲主线
在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重 复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先 不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来， 然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏
在2006盏亮着的电灯，拉完后亮着的灯数为多少盏？
2：有1003个 3：有668个 5：有401个 2/3：有334个 2/5：有200个 3/5：有133个 2/3/5:有66个
2倍 3倍 5倍
例题【四】（★ ★ ★ ★ ★ ）
在2006盏亮着的电灯，拉完后亮着的灯数为多少盏？
大饼：1003+668+401-（334+200+133）+66=1471（盏） 锅内饼外：2006-1471=535（盏） 三叶草：334+200+133-66X3=469（盏） 亮的灯：535+469=1004（盏）
老师点睛
1.公式
消重
(1)大饼=A+B-AB
(2)大饼=A+B+C-AB-AC-BC+ABC
AB
A
B
C
例题【三】（★ ★ ★ ★ ）
在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的
倍数的数共有
个
3倍
5倍
7倍
例题【三】（★ ★ ★ ★ ）
在1至2008这2008个自然数中，恰好是3、5、7中两个数的