奇偶模分析方法

判断奇偶函数的方法奇函数和偶函数是我们在数学学习中经常遇到的概念，通过判断一个函数是奇函数还是偶函数，可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。

在本文中，我们将介绍判断奇偶函数的方法，希望能够帮助大家更好地掌握这一知识点。

首先，让我们来回顾一下奇函数和偶函数的定义。

一个函数f(x)被称为奇函数，如果对于任意x∈D，都有f(-x)=-f(x)成立；一个函数f(x)被称为偶函数，如果对于任意x∈D，都有f(-x)=f(x)成立。

其中，D表示函数的定义域。

接下来，我们将介绍如何通过函数的表达式来判断一个函数是奇函数还是偶函数。

对于一个函数f(x)，如果它是奇函数，那么它的表达式满足f(-x)=-f(x)；如果它是偶函数，那么它的表达式满足f(-x)=f(x)。

通过这一特性，我们可以通过函数的表达式来判断它是奇函数还是偶函数。

此外，我们还可以通过函数的图像来判断一个函数是奇函数还是偶函数。

对于一个奇函数，它关于原点对称；对于一个偶函数，它关于y轴对称。

因此，我们可以通过观察函数的图像来判断它是奇函数还是偶函数。

除此之外，我们还可以通过函数的性质来判断一个函数是奇函数还是偶函数。

对于奇函数，它的奇次幂的系数都是0；对于偶函数，它的偶次幂的系数都是0。

通过观察函数的性质，我们也可以判断一个函数是奇函数还是偶函数。

综上所述，我们可以通过函数的表达式、图像和性质来判断一个函数是奇函数还是偶函数。

通过掌握这些方法，我们可以更好地理解函数的性质和特点，为我们的数学学习提供帮助。

希望本文介绍的内容能够帮助大家更好地理解判断奇偶函数的方法，为大家的数学学习提供帮助。

同时，也希望大家能够在学习中勤加练习，加深对这一知识点的理解和掌握。

祝大家学习进步，取得更好的成绩！。

第二十五讲奇数、偶数与奇偶分析整数按能否被2整除分为两大类：奇数和偶数，奇数与偶数有下列基本性质：1．奇数≠偶数2．两个整数相加(减)或相乘，结果的奇偶性如下表所示3．若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数；偶数个奇数的和为偶数，若干个偶数的和为偶数．4．设m、n是整数，则m土n，nm±的奇偶性相同．5．设m是整数，则m与m，m n的奇偶性相同．奇偶性是整数的固有属性，通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析法．例题【例1】三个质数之和为86，那么这三个质数是．(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨运用奇数、偶数、质数、合数性质，从分析三个加数的奇偶性人手．注：18世纪的哥尼斯堡，有7座桥把这儿的普雷格尔河中两个小岛与河岸联系起来，在这迷人的地方，人们议论着一个有趣的问题．一个游人怎样才能不重复地一次走遍7座桥，而最后又回到出发点．1736年彼得堡院士欧拉巧妙地解决了这个问题．欧拉把一个复杂的实际问题化为一个简单的几何图形，他指出只要我们能从一点出发，不重复地一笔把这样的图形画出来，那么就可说明游人能够不重复地一次走遍这7座桥，这就是著名的“一笔画”问题的来历．利用奇偶分析不难得到一般的结论：凡是能一笔画成的图形，它上面除了起点和终点外的每一个点总是一笔进来，一笔出去．因此，除了起点和终点外的每一个点都有偶数条线和它相连．简单地说，当且仅当图形中的奇结点(每点出发有奇数字线)的个数不大于2时，这个图形才能一笔画．【例2】如果a、b、c是三个任意的整数，那么222accbba+++、、（）．A．都不是整数B．至少有两个整数C．至少有一个整数D．都是整数(2001年TI杯全国初中数学竞赛题)思路点拨举例验证或从a、b、c的奇偶性说明．【例3】(1)设1，2，3，…，9的任一排列为a l，a2，a3…，a9．求证：(a l l一1)( a2—2)…(a9—9)是一个偶数．(2)在数11，22，33，44，54，…20022002，20032003，这些数的前面任意放置“+”或“一”号，并顺次完成所指出的运算，求出代数和，证明：这个代数和必定不等于2003．思路点拨(1)转换角度考察问题，化积的奇偶性为和的奇偶性来研究；(2)由于任意添“十”号或“一”号，形式多样，因此不可能一一尝试再作解答，从奇数、偶数的性质人手．【例4】已知n x x x x 、、、、 321都是+1或一1，并且011433221=+++++-x x x x x x x x x x n n n ，求证：n 是4的倍数．思路点拨 可以分两步，先证n 是偶数2k ，再证明k 是偶数，解题的关键是从已知等式左边各项的特点受到启发，挖掘隐含的一个等式．【例5】 游戏机的“方块”中共有下面?种图形．每种“方块”都由4个l ×l 的小方格组成．现用这7种图形拼成一个7× 4的长方形(可以重复使用某些图形)．问：最多可以用这7种图形中的几种图形?思路点拨 为了形象化地说明问题，对7×4的长方形的28个小方格黑白相间染色，除“品字型”必占3个黑格1个白格或3个白格1个黑格，其余6个方格各占2个黑格2个白格．注：对同一个数学对象，从两个方向考虑(n 项和与积)，再将这两个方面合在一起整体考虑，得出结论，这叫计算两次原理，通过计算两次可以建立方程，证明恒等式等．在一定的规则下，进行某种操作或变换，问是否(或证明)能够达到一个预期的目的，这就是所谓操作变换问题，此类问题变化多样，解法灵活，解题的关键是在操作变换中，挖掘不变量，不变性．一些非常规数字问题需要恰当地数学化，以便计算或推理．引入字母与赋值法是数学化的两种常用方式方法．所谓赋值法就是在解题时，将问题中的某些元素用适当的数表示，然后利用这些数值的大小，正负性、奇偶性等进行推理论证的一种解题方法．【例6】桌上放着七只杯子；杯口全朝上，每次翻转四个杯子：问能否经过若干次这样的翻动，使全部的杯子口都朝下?思路点拨 这不可能．我们将口向上的杯于记为：“0”，口向下的杯子记为“1”．开始时，由于七个杯子全朝上，所以这七个数的和为0，是个偶数．一个杯子每翻动一次，所记数由0变为1，或由l 变为0，改变了奇偶性．每一次翻动四个杯子，因此，七个之和的奇偶性仍与原来相同．所以，不论翻动多少次，七个数之和仍为偶数．而七个杯子全部朝下，和为7，是奇数，因此，不可能．整数可以分为奇数和偶数两类．【例7】在1，2，3，…，2005前面任意添上一个正号或负号，它们的代数和是奇数还是偶数?思路点拨 两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，只要知道1+2+3+…+2005的奇偶性即可．因两个整数的和与差的奇偶性相同，所以，在1，2，3，…，2005中每个数前面添上正号或负号，其代数和应与1+2+3+…+2005的奇偶性相同，而1+2+3+…+2005=21(1+ 2005)×2005=1003 ×2005为奇数；因此，所求代数和为奇数．注：抓住“a+b 与a —b 奇偶性相同”，通过特例1十2十3十…十2005得到答案．【例8】“ 元旦联欢会上，同学们互赠贺卡表示新年的：良好祝愿．“无论人数是什么数，用来交换的贺卡的张数总是偶数．”这句话正确吗?试证明你的结论．思路点拨 用分类讨论的思想方法，从“无论人数是什么数”入手，考虑人数为奇数或偶数的两种情况．这句话是正确的．下面证明之．若联欢会上的人数为偶数，设为2m (m 为整数)，则每个人赠送给同学们的贺卡张数为奇数，即(2m —1)．那么，贺卡总张数为2m(2m —1)=4m 2-2m ，显然是偶数．若联欢会上的人数为奇数，设为2m+1(m 为整数，则每个人赠送给同学们的贺卡张数应是2m ，为偶数．贺卡总张数为(2m+1)·2m ，仍为偶数．故“用来交换的贺卡张数总是偶数”是对的．注：按奇数和偶数分类考虑问题是常见的解决此类问题的策略之一．【例9】桌面上放有1993枚硬币，第1次翻动1993枚，第2次翻动其中的1992枚，第3次翻动其中的1991枚，…，第1993次翻动其中一枚，试问：能否使桌面上所有的1993枚硬币原先朝下的一面都朝上?并说明理由．思路点拨 若要把一枚硬币原先朝下的一面朝上，应该翻动该硬币奇数次．因此，要把1993枚硬币原先朝下的一面都朝上，应该翻动这1993枚硬币的总次数为奇数．现在1993次翻动的总次数为1+2+3+…+1993=1993×(1+1993)/2=1993×997是个奇数，故猜想可以使桌面上1993枚硬币原先朝下的一面都朝上．理由如下：按规定，1993次翻动的总次数为1+2+3+…+1993=1993×(1+1993)/2=1993×997，所以翻动的次数为奇数，而且可见每个硬币平均翻动了997次．而事实上，只要翻动一枚硬币奇数次，就能使这枚硬币原先朝下的一面朝上．按如下的方法进行翻动： 第1次翻动全部1993枚，第2次翻动其中的1992枚，第1993次翻动第2次未翻动的那1枚，第3次翻动其中的1991枚，第1992次翻动第3次未翻动的2枚，第997次翻动其中的997枚，第998次翻动第997次未翻动的996枚．这样，正好每枚硬币被翻动了997次，就能使每一枚硬币原来朝下的一面都朝上． 注：灵活、巧妙地利用奇俩性分析推理，可以解决许多复杂而有趣的问题，并有意想不到的效果．【例10】在6张纸片的正面分别写上整数：1、2、3、4、5、6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1-6这6个整数，然后，计算每张纸片的正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数．请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的． 思路点拨 从反面人手，即设这6个数两两都不相等，利用bi a i -与i i b a - (i =1，2，3，4，5，6)的奇偶性相同，引入字母进行推理证明．设6张卡片正面写的数是654321a a a a a a 、、、、、，反面写的数对应为654321b b b b b b 、、、、、，则这6张卡片正面写的数与反面写的数的绝对值分别为11b a -，22b a -，33b a -，44b a -，55b a -，66b a -．设这6个数两两都不相等，则它们只能取0，1，2，3，4，5这6个值．于是11b a -+22b a -+33b a -+44b a -+55b a -+66b a -=0+1+2+3+4+5=15是个奇数． 另一方面，bi a i -与i i b a - (i =1，2，3，4，5，6)的奇偶性相同．所以11b a -+22b a -+33b a -+44b a -+55b a -+66b a -与(a 1一b 1)+(a 2一b 2)+(a 3一b 3)+(a 4一b 4)+(a 5一b 5)+(a 6一b 6)= )(654321a a a a a a +++++一)(654321b b b b b b +++++ =(1+2+3+4+5+6)一(1+2+3+4+5+6)=O 的奇偶性相同，而0是个偶数，15是奇数，两者矛盾． 所以，11b a -，22b a -，33b a -，44b a -，55b a -，66b a -这6个数中至少有两个是相同的．注：反证法是解决奇、偶数问题中常用的方法．【例11】有一只小渡船往返于一条小河的左右两岸之间，问：(1)若最初小船是在左岸，往返若干次后，它又回到左岸，那么这只小船过河的次数是奇数还是偶数?如果它最后到了右岸，情况又是怎样呢?(2)若小船最初在左岸，它过河99次之后，是停在左岸还是右岸?思路点拨 (1)小船最初在左岸，过一次河就到了右岸，再过一次河就由右岸回到左岸，即每次由左岸出发到右岸后再回到左岸，都过了两次河．因此，小船由左岸开始，往返多次后又回到左岸，则过河的次数必为2的倍数，所以是偶数．同样的道理，不难得出，若小船最后停在右岸，则过河的次数必为奇数．(2)通过(1)，我们发现，若小船最初在左岸，过偶数次河后，就回到左岸；过奇数次河后，就停在右岸．现在小船过河99次，是奇数次．因此，最后小船该停在右岸．注 关键是对过河次数的理解：一个单程，即由左岸到右岸(或由右岸到左岸)就过河一次；往返一个来回就过河两次．【例12】黑板上写了三个整数，任意擦去其中一个，把它改写成另两个数的和减去1，这样继续下去，得到1995、1996、1997，问原来的三个数能否是2、2、2？思路点拨 如果原来的三个整数是2、2、2，即三个偶数，操作一次后，三个数变成二偶一奇，这时如果擦去其中的奇数，操作后三个数仍是二偶一奇．如果擦去的是其中的一个偶数，操作后三个数仍是二偶一奇．因此，无论怎样操作，得到的三个数都是二偶一奇，不可能得到1995、1996、1997．所以，原来的三个数不可能是2、2、2．注 解决本题的诀窍在于考查数字变化后的奇偶性．【例13】(苏州市中考题)将正偶数按下表排成五列：第1列 第2列 第3列 第4列 第5列第1行 2 4 6 8第2行 16 14 12 10第3行 18 20 22 24… … 28 26根据上面的排列规律，则2000应位于( )A ．第125行，第1列B ．第125行，第2列C ．第250行，第1列D ．第250行，第2列思路点拨 观察表格，第1行最右边的数为8，第2行最左边的数为16，第3行最右边的数为24，于是可猜测：当行数为奇数时，该行最右边的数为8×行数；当行数为偶数时，该行最左边的数为8×行数．通过验证第4行、第5行、第6行知，上述猜想是正确的，因为2000=8×250，所以2000应在第250行，又因为250为偶数，故2000应在第250行最左边，即第250行第1列，故应选C ．注：观察、寻找规律是解决这类问题的妙招．【例14】(2000年山东省竞赛题)如图18—1，两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转，旋转停止时，每个轮子上方的箭头各指着轮子上的一个数字．若左轮子上方的箭头指着的数字为a ，右轮子上方的箭头指着的数字为b ，数对(a ，b)所有可能的个数为n ，其中a+b 恰为偶数的不同数对的个数为m ，则n m 等于( ) A ．21 B ．61 C ．125 D ．43 思路点拨 依题意可知所有的数对n=4×3=12，其中a+b 恰为偶数的数对m=3×1+1×2=5．因此，n m =125，故选C ． 【例15】(第江苏省竞赛题)已知a 、b 、c 中有两个奇数、一个偶数，n 是整数，如果S=(a+2n+1)(b+2n 十2)(c+2n 十3)，那么( )A ．S 是偶数B ．S 是奇数C ．S 的奇偶性与n 的奇偶性相同D ． S 的奇偶性不能确定思路点拨 弄清a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3的奇偶性即可．依题得：(a+2n+1)+(b+2n+2)+(c+2n+3)=a+b+c+6(n+1)．∵a+b+c 为偶数，6(n+1)为偶数，∴a+b+c+6(n+1)为偶数∴a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3中至少有一个为偶数，∴S 是偶数．故选A ．注：三个数的和为偶数，则至少有一个为偶数；三个数中有一个为偶数，则三数之和为偶数．学力训练1．若按奇偶性分类，则12+22+32+…+20022002是 数．2．能不能在下式， 的各个方 框中分别填人“+”号或“一”号，使等式成立?答： ．3．已知三个质数a 、b 、c 满足a+b+c+abc ＝99，那么a c c b b a -+-+-的值等于 ．4．已知n 为整数，现有两个代数式：(1)2n+3，(2)4n 一1，其中，能表示“任意奇数”的( )A ．只有(1)B ．只有(2)C ．有(1)和(2)D ．一个也没有5．如果a ，b ，c 都是正整数，且a ，b 是奇数，则3a +(b 一1)2c 是( )．A ．只当c 为奇数时，其值为奇数B ．只当c 为偶数时，其值为奇数C ．只当c 为3的倍数，其值为奇数D ．无论c 为任何正楚数，其值均为奇数6．已知a ，b ，c 三个数中有两个奇数、一个偶数，n 是整数，如果S=(a+n+1)(b+ 2n+2)(c+3n+3)，那么( )．(第16届江苏省竞赛题)A ． S 是偶数B ．S 是奇数C ．S 的奇偶性与n 的奇偶性相同D ．S 的奇偶性不能确定7．(1)是否有满足方程x 2－y 2=1998的整数解x 和y?如果有，求出方程的解；如果没有，说明理由．(2)一个立方体的顶点标上+1或一1，面上标上一个数，它等于这个面的4个顶点处的数的乘积，这样所标的14个数的和能否为0?8．甲、乙两人玩纸牌游戏，甲持有全部的红桃牌(A 作1，J ，Q ，K 分别作11，12，13，不同)，乙持有全部的黑桃牌，两人轮流出牌，每次出一张，得到一对牌，出完为止，共得到13对牌，每对牌彼此相减，问这13个差的乘积的奇偶性能否确定?9．在1，2，3，…,1998之前任意添上“十”或“一”号，然后相加，这些和中最小的正整数是 ．10．1，2，3，…，98共98个自然数，能够表示成两整数平方差的数的个数是 ．(全国初中数学联赛试题)11．在一次象棋比赛中，每两个选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分，平局每个选手各记1分，今有4个人统计百这次比赛中全部得分总数，由于有的人粗心，其数据各不相同，分别为1979，1980，1984，1985，经核实，其中有一人统计无误，则这次比赛共有 名选手参加．12．已知p 、q 、pq+1都是质数，且p 一q>40，那么满足上述条件的最小质数p ＝ ； q ＝ ．(第15届“希望杯”邀请赛试题)13．设a ，b 为整数，给出下列4个结论(1)若a+5b 是偶数，则a 一3b 是偶数；(2)若a 十5b 是偶数，则a 一3b 是奇数；(3)若a+5b 是奇数，则a 一3b 是偶数；(4)若a+5b 是奇数，则a 一3b 是奇数，其中结论正确的个数是( )．A ．0个B ．2个C ．4个D ． 1个或3个14．下面的图形，共有( )个可以一笔画(不重复也不遗漏；下笔后笔不能离开纸) ．A ．0B ．1C ．2D ．3( “五羊杯”竞赛题)15．π的前24位数值为3.14159265358979323846264…，在这24个数字中，随意地逐个抽取1个数字，并依次记作a1，a2，…a24，则(a1一a2)( a3一a4)…(a23一a24)为( )．A．奇数B．偶数C．奇数或偶数D．质数16.没标有A、B、C、D、C、F、G记号的7盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关，现在A、C、E、G 4盏灯开着，其余3盏灯是关的，小刚从灯A开始，顺次拉动开关，即从A 到G，再从A始顺次拉动开关，即又从A到G…，他这样拉动了1999次开关后，问哪几盏是开的?17．有1997枚硬币，其中1000枚国徽朝上，997枚国徽朝下．现要求每一次翻转其中任意6枚，使它们的国徽朝向相反，问能否经过有限次翻转之后，使所有硬币的国徽都朝上?给出你的结论，并给予证明．(太原市竞赛题) 18．对一个正整数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进行直到1时操作停止，求经过9次操作变为l的数有多少个？( “华杯赛”决赛题)19．高为50cm，底面周长为50cm的圆柱，在此圆柱的侧面上划分(如图所示)边长为lcm的正方形，用四个边长为lcm的小正方形构成“T”字形，用此图形是否能拼成圆柱侧面?试说明理由．(汉城国际数学竞赛题)参考答案。

奇偶性的相关分析方法什么是奇偶性？在数学中，奇数是无法被2整除的整数，而偶数则是可以被2整除的整数。

奇偶性在数学中非常重要，因为它在很多问题的解决中起到了至关重要的作用。

本文将介绍奇偶性的相关分析方法，并探讨其在实际应用中的重要性。

一、奇偶性的一些基本性质首先，奇偶性具有很多基本性质。

例如，两个偶数相加得到的结果仍然是偶数，两个奇数相加得到的结果仍然是奇数。

而且，一个奇数和一个偶数相加得到的结果一定是奇数。

另外，任何整数都可以表示为奇数或偶数的和。

二、奇偶性在数论中的应用奇偶性在数论中非常重要，因为它可以用于解决一些重要的问题。

例如，在质数的研究中，我们可以证明一个数是否为质数，只需要检查它是不是偶数，然后只需要用奇数去除它，如果有一个奇数能够整除它，那么它一定不是质数。

因此，这就可以大大减少判断是否为质数的时间。

另外，在奇数幂的研究中，奇偶性也得到了广泛的应用。

例如，我们可以证明一个正整数的k次方是奇数的充分必要条件是该正整数本身是奇数。

三、奇偶性在离散数学中的应用在离散数学中，奇偶性也是一个非常重要的概念。

例如，在图论中，我们可以用奇偶性来判断一个图是否是欧拉图。

欧拉图是指一个无向图中，如果存在一条路径，经过每个顶点正好一次，那么这个图就是欧拉图。

我们可以证明，一个无向图是欧拉图的充分必要条件是每个顶点的度数都是偶数。

另外，在组合数学中，奇偶性也得到了广泛的应用。

例如，在计算到一个组合问题的方案数时，我们可以通过考虑各种组合的奇偶性来方便地确定方案数是否是偶数。

四、奇偶性在计算机科学中的应用奇偶性在计算机科学中也得到了广泛的应用。

例如，在计算机的二进制表示中，一个二进制数是否是偶数只需要检查最后一位是否是0。

如果是0，那么它是偶数；如果是1，那么它是奇数。

另外，在计算机算法的设计中，奇偶性也是一个非常重要的概念。

例如，在某些加密算法的设计中，我们可以用奇偶性来抵御攻击者对密钥的猜测。

综上所述，奇偶性是一个非常重要的概念，在数学、离散数学、计算机科学等领域都具有广泛的应用。

判断奇偶函数的方法首先，我们来了解一下奇函数和偶函数的定义。

一个函数f(x)是奇函数，当且仅当对任意x∈D，有f(-x)=-f(x)成立；一个函数f(x)是偶函数，当且仅当对任意x ∈D，有f(-x)=f(x)成立。

其中D为函数f(x)的定义域。

接下来，我们来看看判断奇偶函数的方法。

一、关于对称性的判断。

我们知道，奇函数具有关于原点对称的性质，而偶函数则具有关于y轴对称的性质。

因此，我们可以通过观察函数图像的对称性来初步判断一个函数是奇函数还是偶函数。

如果函数图像关于原点对称，则该函数为奇函数；如果函数图像关于y 轴对称，则该函数为偶函数。

二、关于导数的判断。

其次，我们可以通过函数的导数来判断函数的奇偶性。

对于奇函数来说，它的导数一定是偶函数；而对于偶函数来说，它的导数一定是奇函数。

因此，我们可以对函数进行求导，然后观察导数的奇偶性来判断原函数的奇偶性。

三、关于函数的性质。

此外，我们还可以通过函数的性质来判断函数的奇偶性。

对于奇函数来说，它具有性质，f(0)=0；而对于偶函数来说，它具有性质，f’(0)=0。

因此，我们可以通过函数在原点处的取值来初步判断函数的奇偶性。

四、综合判断。

最后，我们可以综合运用以上方法来判断一个函数的奇偶性。

通过观察函数的图像对称性、求导后的函数性质以及函数在原点处的取值，我们可以得出一个相对准确的结论。

总结一下，判断奇偶函数的方法主要包括观察函数图像的对称性、利用导数的性质以及观察函数在原点处的取值。

通过综合运用这些方法，我们可以相对准确地判断一个函数是奇函数还是偶函数。

希望本文对大家有所帮助，谢谢阅读！。

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微波工程中奇模和偶模理解（大纲）一、微波工程概述1.1微波工程基本概念1.2微波工程的应用领域二、奇模和偶模的基本理论2.1模的概念与分类2.2奇模与偶模的特点与区别三、微波传输线中的奇偶模分析3.1传输线的模式分析3.2奇偶模在传输线中的应用四、微波器件中的奇偶模现象4.1微波器件的基本工作原理4.2奇偶模在微波器件中的作用五、奇偶模的数值分析方法5.1有限元方法（FEM）5.2矩量法（MoM）5.3传输矩阵法（TMM）5.4散射矩阵法（SMM）六、奇偶模在实际应用中的案例分析6.1微波滤波器设计6.2微波天线设计6.3微波放大器设计七、总结与展望7.1奇偶模在微波工程中的重要性7.2奇偶模研究的发展趋势与展望一、微波工程概述微波工程是一个涉及电磁波理论和技术应用的广泛领域，主要关注在无线电频谱的高端，即微波频段（通常指频率在300 MHz至300 GHz之间的电磁波）的技术研究与应用。

在微波工程中，奇模和偶模是描述电磁波传播特性的概念，它们对于理解和设计微波电路和系统至关重要。

1.1 微波工程基本概念微波工程基本概念围绕着电磁波的传播、天线理论、微波电路设计、射频组件以及信号处理等技术展开。

五年级数学知识点：奇偶分析小学是我们整个学业生涯的基础，所以小朋友们一定要培养良好的学习习惯，查字典数学网为同学们特别提供了奇偶分析，希望对大家的学习有所帮助!我们知道，全体自然数按能否被2整除可以分为奇数，偶数两大类。

被2除余1为奇数，被2整除为偶数。

它们还有一些特殊的性质，例如，奇数偶数，奇数和奇数之和是偶数等。

灵活、巧妙、有意识地利用这些性质，加上正确的分析推理，可以解决许多复杂而有趣的问题。

用奇偶性质解题的方法就称为奇偶分析。

巧妙运用奇偶分析，往往有意想不到的效果。

有一个俱乐部的成员只有两种人：一种是老实人，永远说真话，一种是骗子，永远说假话。

某天俱乐部的全体成员围成一圈，每个老实人旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人。

外来一位记者问俱乐部张三：俱乐部里共有多少成员?张三答：共有45人。

记者立刻判断出张三是骗子，他是怎么知道的呢?原来，根据俱乐部的全体成员围成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人的条件，可见俱乐部中的老实人与骗子人数相等，也就是说俱乐部全体成员总和是偶数。

因此张三说45人一定是骗人的。

这实质上是利用了对应的思想。

街头有一位魔术师，它在桌子上放了77枚正面朝下的硬币，第一次翻动77枚，第二次翻动其中的76枚，第三次翻动其中的75枚第77次翻动其中1枚。

翻动了若干次之后，大家发现硬币居然全部正面朝上，他是怎样做到的呢?原来对每一枚硬币来说，只要翻动奇数次，就可使原先朝下的一面朝上。

按规定的翻动，其翻动1+2++77=3977次，平均每枚硬币翻动了39次，这是奇数。

根据7739=77+(76+1)+(75+2)++(39+38)可以设计如下翻动方法：第1次翻动77枚，可以将每枚硬币翻动一次;第2次与第77次翻动77枚，又可将每枚硬币都翻动一次;同理第3次与第76次，第4次与第75次第39次与第40次都可将每枚硬币各翻动一次，这样每枚都翻动了39次，都由正面朝下变为正面朝上。

奇偶数分析法解题例谈作者：曹勇兵来源：《小学教学参考(数学)》2006年第07期数学的应用意识和能力作为数学素养的重要组成部分，一直受到人们的广泛关注，新课标也把增强学生应用数学的意识作为总体目标的一个重要方面。

利用奇偶数分析法引导学生解决与生活经验密切联系的和具有一定挑战性、综合性的问题，不仅可以提高学生解决实际问题的能力，加深对数学知识的理解，而且还能让学生在解题的过程中感受到数学的思想方法，从而培养学生的应用意识。

问题1桌上放着8只茶杯，5只杯口朝上，3只杯口朝下，将其中的4只翻转过来(杯口朝上的变为杯口朝下，朝下的变为朝上)，称为一次运动。

问经过若干次运动能否使茶杯的杯口全部朝下?分析与解：经过若干次实验，便会发现没有一次能把茶杯全部翻成杯口朝下。

事实上，不管翻转多少次，总是无法使这8只杯子的杯口全部朝下。

这是因为要使一只茶杯杯口的朝向相反，则该茶杯必须要被翻转奇数次；要使一只茶杯杯口的朝向不变，则该茶杯要么不被翻动，要么则必须要被翻转偶数次。

现因桌上放着的8只茶杯中有5只杯口朝上，3只杯口朝下，故要使桌上放着的8只茶杯的杯口全部朝下，则茶杯被翻转的总次数一定是奇数。

但由于题中每次“运动”翻转4只，所以不管经过多少次“运动”，茶杯被翻转的总次数总是偶数，故要想经过若干次这样的“运动”使茶杯的杯口全部朝下是不可能的。

问题2甲盒中放有2003个白球和2004个黑球，乙盒中放有足够多的黑球。

现在每次从甲盒中任取两球放在外面，但当被取出的两球同色时，需从乙盒中取出一个黑球放入甲盒；当被取出的两球异色时，便将其中的白球再放回甲盒。

这样经过4005次取、放之后，甲盒中剩下几个球?各是什么颜色的球?分析与解：仔细观察操作规则不难发现，每次操作后，甲盒中球数减少一个，因此经过4005次操作后，甲盒中剩下2003+2004-4005=2(个)球。

每次操作后，白球的个数要么不变，要么减少2个。

因此，每次操作后甲盒中白球个数的奇偶性不变，即白球个数应始终为奇数。

第六节奇偶分析法内容讲解整数按能否被2整除分为奇数和偶数两大类，除奇偶数的最基本性质以处，•我们还应掌握以下性质：①设a，b为整数，则a与a n的奇偶性相同：a+b，a-b的奇偶性相同．②若m为整数，a为奇数，则m±a的奇偶性与m相反．若m为整数，b为偶数，•则m±b的奇偶性与m 相同．③若m是整数，a为奇数，则ma的奇偶性与m相同．例题剖析例1下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12•个整数中至少有几个偶数？□＋□＝□，□－□＝□，□×□＝□，□÷□＝□．分析：由于本题所涉及的奇数与偶数的和（差）或积（商），故可应用奇偶数的基本性质求解．解：根据条件和奇偶数的基本性质知，加法和减法中至少有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有两个偶数，故这12个整数中至少有6个偶数．评注：在解此题时，要注意将和与差，积与商并在一起共同研究．例2 在1，2，3，…，2007，2008的每一个数前，任意添上一个正号或负号，•试判断它们的代数和是奇数还是偶数？分析：由于任意添“＋”或“－”号，形式多样，因此不可能一一尝试再作解答，但可从1+2=3，2-1=1；3+4=7，4-3=1…．•可见两个整数之与这两个整数之差的奇偶性质是相同的，于是我们可以从这条性质入手．解：因为两个整数之和与两个整数之差的奇偶性相同，所以在给出的数字前面添上正号或负号不改变其奇偶性．而1+2+…＋2007+2008=2008(12008)2=1004×2009为偶数．所以已知数字作为变换后的代数和仍为偶数．评注：此题通过对一些具体的数字的研究推出一般性结论，是由于已知数为有限整数．例3已知x，y是质数，z是奇质数，且x（x+y）=z+8，求y（x+z）的值．分析：此题的关键是从x（x+y）=z+8求出x，y，z的值．解：由已知条件和质数，奇偶数性质知：（z+8）为奇数，所以x和（x+y）•为奇数，于是y为偶数，又y为质数，故y=2．则x，z应满足x（x+2）=z+8，即z=x2+2x-8=（x-2）（x+4）．由于z是奇质数，所以必有x-2=1，x+4=z，即x=3，z=7．故y（x+z）=2（3+7）=20．评注：奇偶分析法在解不定方程方面的应用也推广，大家仔细体会．例4 能否把1，1，2，2，…，30，30这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，…，两个30之间夹着三十个数？试说明理由．分析：我们知道30对数共60个，我们可将之分成奇，偶两类数加以讨论，•以便求解．解：假设能按要求排成一行，于是60个数被安排在60个位置上，为了方便起见，给他们所在的位置依次编上号，具体研究一个个对象较为困难，不妨把所有数分成奇数、偶数两大类进行．（1）先考察偶数，设一个偶数m，两个m之间有m个数，这说明若有一个m在奇数位置，则另一个m必在偶数位置，反之亦然．于是15对偶数分别占据了15个奇数位，15•个偶数位；（2）再研究一个奇数n，两个奇数n之间夹着n个数．只要一个n占据奇数位，则另一个n 也占据着奇数位，即成对占据奇数位．设有k对奇数占据奇数位，因60个位置中有30个奇数位．•于是这些奇数位应被15个偶数和2k个奇数占据，则30=15+2k，即2k=15，这显然是不可能成立的，•所以不能按要求排成一行．评注：此题巧妙地利用了奇偶数的基本性质解决问题，可见数的奇偶性的作用．例5 在6张纸片的正面分别写上整数1，2，3，4，5，6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1～6这6个整数，•然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出6个数，请你证明：所得的6个数中至少有两个是相同的．分析：从正面入手比较困难，我们不妨从反面去思考，即设这6个数两两都不相等，利用│a i-b i│与a i-b i（i=1，2，3，4，5，6）的奇偶性相同，引入字母进行推理证明．解：设6张卡片正面写的数是a1，a2，a3，a4，a5，a6，反面写的数对应为b1，b2，b3，b4，b5，b6，则这6张卡片为│a1-b1│，│a2-b2│，│a3-b3│，│a4-b4│，│a5-b5│，│a6-b6│．设这6个数两两都不相等，则它们只能取0，1，2，3，4，5这6个值，于是│a1-b1│+│a2-b2│+│a3-b3│+│a4-•b4│+│a5-b5│+│a6-b6│=0+1+2+3+4+5=15是个奇数另一方面，│a i-b i│与a i-b i（i=1，2，…，6）的奇偶性相同，所以│a1-b1│+│a2-b2│+│a3-b3│+│a4-b4│+│a5-b5│+│a6-b6│与（a1-b1）+（a2-b2）+（a3-b3）+（a4-b4）+（a5-b5）+（a6-b6）=（a1+a2+…+a6）-（b1+b2+…+b6）=（1+2+…+6）-（1+2+…+6）=0的奇偶性相同，是个偶数．这与（*）矛盾，故│a1-b1│，│a2-b2│，…，│a6-b6│这6个数中至少有两个是相同的．评注：一些非常规数字问题需要恰当地数学化，以便计算或推理，•引入字母是数学化的常用方式方法，另外赋值法也是数学化的常用方式方法．巩固练习1．填空题（1）已知a，b，c分别是2007，2008，2009中的一个数，则（a-1）×（b-2）×（c-•3）•是________数（奇、偶数）；（2）三个相邻偶数之积是一个六位数，这个六位数的首位数字是8，末位数字是2，则这三个偶数是________；（3）将1到100这100个自然数任意排成一行，•其中所有相邻两数的和中，•至少有________个偶数，至多有_______个偶数．2．选择题（1）若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是（ •）（A）185 （B）183 （C）181 （D）179（2）两个十位数1111111111和9999999999的乘积有（）个数字是奇数．（A）7 （B）8 （C）9 （D）10（3）设x和y为两个自然数，它们的和与差相乘的积是偶数，则（x+y）与（x-y）（）（A）同为偶数（B）同为奇数（C）x+y是偶数，x-y是奇数（D）x+y是奇数，x-y是偶数3．一串数排成一行，它们的规律是：头两个数都是1，从第三个数开始，•每一个数都是前两个数之和，问这串数的前2008个数中有多少个偶数？4．设有n盏亮着的拉线开关灯，规定每次必须拉动n-1个拉线开关，试问：•能否把所有的灯都关闭？证明你的结论或给出一种关灯的办法．5．试说明：只用2×2及3×3的两种瓷砖不能恰好铺盖23×23的正方形地面．答案:1．（1）偶；（2）94，96，98；（3）0，98．2．（1）C；（2）D；（3）A3．由条件和要求，可以先写出这一串数的奇偶数，然后寻找规律：1，1，2，3，5，•8，13，21，34，55，89，…即规律为奇奇偶奇奇偶…．•即两个奇数一个偶数且三个数一循环，而偶数恰在3，6，9，12…这些序号上，即只有序号为3的倍数的数是偶数．•因2008=3×669+1，故这串数的前2008个数中有669个偶数．4．从简单情况研究，当n=1时，显然不行；当n=2时，1号灯不动，2号关上；2•号灯不动，1号关上，可行．当n=3时，每盏灯拉动奇数次时才能关上，3个奇数的和仍为奇数，•而n-1=2，即按规定总拉动开关的次数是偶数，故不能把灯全关闭，由此猜测，当n为偶数时可以；当n为奇数是不行．5．将23×23的正方形地面中第1，4，7，10，13，16，19，22列中的小方格全涂成黑色，剩下的小方格涂成白色，于是白色的小方格总数为15×23是一个奇数，又因每块2×2砖总能盖住二黑格和二白格或四白格．每块3×3砖总能盖住三黑格和六白格，•故无论多少2×2及3×3砖盖住的白格数总是一个偶数，不可能盖住15×23个白格，所以只用2×2及3×3砖不能盖住23×23的地面．。

第13讲奇偶分析法把全体整数按被2除的余数分为两类：被2除余数为0整数的称为偶数，一般表示为2k(k为整数)，被2除余数为1整数的称为奇数，一般表示为2k+1(k为整数)．由于既不会有一个整数同时出现在奇数类和偶数类，也不会有一个整数既不在奇数类又在偶数类，因此，我们可以把对整数问题的研究转化为对奇数和偶数的研究．这种利用奇偶数分析问题的方法就可以使一些看起来比较困难的题目变得简单易解了.奇偶分析利用了奇数与偶数的一些性质：1、奇数不等于偶数；2、在自然数数列中，奇数与偶数是相间排列的；3、奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数；奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数，任意个偶数的和是偶数；4、奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=4的倍数，偶数×整数=偶数；5、两个整数的和与这两个整数的差具有相同的奇偶性6、奇数的平方被4除余1，偶数平方为4的倍数；奇偶分析也常表现为染色，把一个图形染成黑白两色，往往可视为其中一色为奇数，另一色为偶数；也可视为用+1与-1(或1与0)标号，……总之，在分成两类对问题进行讨论时，常常可以看成是在进行奇偶分析．A类例题例1⑴证明：平面上的格点中，任取五点，必有两点，其连线中点是格点．⑵至多可以取出多少个格点，使这些点中任取三点为顶点的三角形面积都不是整数．例2设a1，a2，…，a64是1，2，…，63，64的任意一种排列．令b1=|a1－a2|，b2=|a3－a4|，…，b32=|a63－a64|；c1=|b1－b2|，c2=|b3－b4|，…，c16=|b31－b32|；d1=|c1－c2|，d2=|c3－c4|，…，d8=|c15－c16|；………这样一直作下去，最后得到一个整数x．求证：x为偶数．情景再现1．将某个17位数的数字顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加．证明：得到的和中至少有一个数字是偶数．2．若a，b，c都是整数，且a与b同为奇数或同为偶数，c为奇数，求证：找不到整数n，使an2+bn+c=0．B类例题例3有n×n(n＞3)的一张空白方格表，在它的每一个方格内任意的填入+1与-1这两个数中的一个，先将表内n个两两既不同行又不同列的方格中的数的乘积称为一个基本项．试证明：按上述方式所填成的每一个方格表，它的全部基本项之和总能被4整除(即总能表示成4k的形式，其中k∈Z)．例4设P(x)=a0x n+a1x n-1+…+a n-1x+a n是整系数多项式，如果P(0)与P(1)都是奇数，证明P(x)无整数根．例5在12，22，32，…，19892这1989个连续的完全平方数的每个数前都添“+”或“-”号，使其代数和为最小的非负数，并写出算式．情景再现3．在国际象棋的棋盘上，放有8枚棋子，已知其中任意两枚不同行，也不同列．证明：黑格中的棋子数为偶数．4．在整个平面上有一个无限大的方格棋盘，上面摆好了一些棋子，它们恰好组成一个3k n的矩形．按下述规则进行游戏：每一枚棋子都可以越过(沿水平方向或竖直方向)相邻的棋子而放入这枚棋子的相邻的空格里，并把相邻的这枚棋子从棋盘上取走．证明：不论怎样走，棋盘上都不会只剩下1枚棋子．5．设a1，a2，a3，a4，a5和b是满足关系式a21+a22+a23+a24+a25＝b2的整数，证明：所有这些数不可能全是奇数．6．设x1，x2，…，x n是一组数，它们之间每一个都取+1或-1，并且x1x2x3x4+ x2x3x4x5+…+x n-3x n-2x n-1x n+x n-2x n-1x n x1+x n-1x n x1x2+x n x1x2x3=0．求证：n是4的倍数．C类例题例6设E={1，2，3，…，200}，G={a1，a2，…，a100}是E的真子集，且G具有下列两条性质：1）对于任何1≤i＜j≤100，恒有a i+a j≠201；2）a1+a2+…+a100=10080．例7 设有一个顶点都是格点的100边形，它的边都与x轴或y轴平行，例8 能否把1，1，2，2，3，3，4，4，…1986，1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，…，两个1986之间夹着1986个数？请你证明你的结论．(1986年中国数学奥林匹克) 链接 本题有一般性的结论，这就是下述竞赛题：求所有具有下述性质的n ∈N *，能够把2n 个数1，1，2，2，3，3，…，n ，n 排成一行，使得当k =1，2，…，n 时，在两个k 之间恰有k 个数．(1982年前苏联数学竞赛题)解：设n ∈N *，a 1，a 2，…，a 2n 是满足要求的排列．设数k 排在第m k 及m k +k +1位，故这2n 个数的数位和(即{a i }的下标和)为k =1∑n (m k +m k +k +1)=2k =1∑nm k +12n (n +3)． 但这2n 个数的位的和又等于1+2+…+2n =n (2n +1)．∴ 2k =1∑n m k = n (2n +1)－12n (n +3)= 12n (3n －1)． 于是14n (3n －1)为整数，但n 与3n －1奇偶性不同，故当n =4l 或3n －1=4l '时，即n =4l 或n =4l '－1时14n (3n －1)为整数． ∴ 当n ≡1，2(mod 4)时，不存在满足要求的排列．当n ≡0(mod 4)时，可把这1~4l 这些数如下排列：l =1时：2，3，4，2，1，3，1，4．l =2时：4，6，1，7，1，4，8，5，6，2，3，7，2，5，3，8．一般的：4l－4，...，2l，4l－2，2l－3，...，1，4l－1，1， (2)－3，2l，…，4l－4，4l，4l－3，…2l+1，4l－2，2l－2，…，2，2l－1，4l－1，2，…2l－2，2l+1，…4l－3，2l－1，4l．当n≡－1(mod 4)时，可把这4l－1个数如下排列：l=1时：2，3，1，2，1，3；l=2时：4，6，1，7，1，4，3，5，6，2，3，7，2，5．一般的，4l－4，...，2l，4l－2，2l－3，...，1，4l－1，1， (2)－3，2l，…，4l－4，2l－1，4l－3，…2l+1，4l－2，2l－2，…，2，2l －1，4l－1，2，…2l－2，2l+1，…4l－3．其中，“…”表示一个公差为2或－2的等差数列．情景再现7．在圆周上按任意顺序写上4个1与5个0，然后进行下面的运算：在相邻的相同数字之间写上0，而在不同的相邻数字之间写上1，并擦掉原来的数字．接着进行同样的运算，如此继续．证明：不管这种运算进行多少次，都不可能得到9个0．8．设d1，d2，…，d k是正整数n的所有因数，这里，1=d1＜d2＜…＜d k＝n，k≥4，求所有满足d21+d22+d23+d24=n的正整数n．(1989年巴尔干数学竞赛)习题131．一天，某旅游者乘火车来到某个城市游玩，他玩了一天后于晚上回到来时的火车站，试证明：他总可以沿着他当天走过奇数次的街道回到火车站．2．将正方形ABCD分割成n2个相等的小方格(n是正整数)，把相对的项点A、C染成红色，把B、D染成蓝色，其它交点任意染红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格数目必是偶数．3．在黑板上写有若干个0、1和2，现在可以擦掉两个不同的数字，并用另一个数字代替它们(用2代替0与1，用1代替0与2，用0代替1与2)．证明如果这种做法，最后在黑板上只留下一个数字，那么，留下的数字与操作顺序无关．(1975年第9届全苏数学奥林匹克)4．在平面上画了一个由边长为1的正六边形组成的蜂窝形网格，如果沿网格线从一个网格点A用最短路程走到另一个网格点时共走的路程为100，试证：他走的全程的一半是走在同一个方向上．5．已知多项式x3+bx2+cx+d的系数都是整数，并且bd+cd是奇数，则这个多项式不能分解成为两个整系数多项式的乘积．6．是否存在整数a，b，c，d，使得对所有的整数x，等式x4+2x2+2000x+30＝(x2+ax+b)(x2+cx+d)成立．7．能否将1990×1990方格表中的每个小方格涂成黑色或白色，使得关于表的中心对称的方格涂有不同的颜色，并且任一行及任一列中黑格与白格都各占一半．8．在99枚外观相同的硬币中，要找出其中的某些假币．已知每枚假币与真币的重量相差奇数克，而所给硬币重量和恰等于真币的重量，现有带指针标明整克数的双盘天平，证明只要称一次就可辨别指定的硬币是否是假币．9．从集{0，1，2，…，14}中选出不同的数，填入图中的10个小圆圈中，使得由线段连结的两个数的差的绝对值均不相等，这可能吗？证明你的结论．10．设正整数d不等于2、5、13，证明：在集合{2，5，13，d}中，可以找到两个不同元素的a，b，使ab-1不是完全平方数．11．设P0，P1，P2，…，P1993=P0为xy平面上不同的点，具有下列性质：⑴P i的坐标均为整数，i=0，1，2，3， (1992)⑵在线段P i P i+1上没有其他的点，坐标均为整数，i=0，1，2，3， (1992)求证：对某个i，0≤i≤1992，在线段P i P i+1上有一个点Q(q x，q y)使2q x，2q y，均为奇整数．12．设n≥2，a1，a2，…，a n都是正整数，且a k≤k（1≤k≤n）．试证明：当且仅当a1+a2+…+a n为偶数时，可适当选取“+”号与“-”号，使a1±a2±…±a n=0．11。

奇偶函数的判断方法
奇偶函数是为解决多元方程而服务的函数形式，它的判断方法也很重要，下面我们就来讨论一下奇偶函数的判断方法。

首先，我们需要明确的是，奇偶函数是一种特殊的函数，它的特点是其函数图象关于Y轴对称，这也是判断奇偶函数的基本原则。

通过这一原则，我们可以先确定奇偶函数的最大范围，然后根据函数的特点判断它是否为奇偶函数。

其次，我们还可以根据函数一阶导数以及函数一阶导数的对称性来判断是否为奇偶函数，即如果一阶导数在左右边界处均为0或者均为正数，则该函数就是奇偶函数。

再次，可以通过函数的公式来判断函数是否为奇偶函数，函数的公式可以反映出函数的关系，因此，可以根据函数的关系来判断它是否为奇偶函数。

比如，如果函数是一个二次函数，那么可以看出它的图象关于Y轴对称，从而可以判断它是奇偶函数。

最后，也可以通过绘制函数图象，来直观地判断函数是否为奇偶函数。

具体而言，我们需要根据函数图象的外观，以及函数图象两边的形状来判断它是否为奇偶函数，如果满足关于Y轴对称的特点，则可以判断为奇偶函数。

综上所述，判断奇偶函数的方法有多种，上述介绍的方法包括：确定奇偶函数的最大范围，根据函数一阶导数的对称性来判断，利用函数的公式，以及绘制函数图象来直观地判断。

归纳起来，无论通过哪种方法，奇偶函数都是满足关于Y轴对称的特点的函数，因此，我
们可以根据这一特点来判断函数是否为奇偶函数。

奇偶函数是多元方程求解中一种非常有用的函数形式，因此，判断它是否为奇偶函数具有重要的意义，通过研究上述不同的方法，可以更好地判断奇偶函数的特性，帮助我们正确的解决多元方程。