研究性课题分期付款中的有关计算例题解析

研究性学习课题：数列在分期付款中的应用──分期付款中还款方式的选择一．教案（例）描述问题提出：当前，随着经济发展改革的深入，在商品市场上，消费者购买住房、汽车等价值较高的商品时，为缓解资金的暂缺，消费者可向银行申请贷款，采取分期付款方式。

为了增强学生对金融市场中的分期付款知识的了解。

我在上星期天给学生预先布置了下面的例题，让学生利用休息时间，进行社会调查，把全班学生分成5组，分别去中国建设银行、中国工商银行、中国银行、招商银行、光大银行5家银行去咨询，要求每一组能拿出一个设计成果，看一看如何帮助我，符合我的承受能力，选择一种分期付款的方式。

今天我们就这一例题，一起来看看研究成果，同时体会数列在分期付款中的应用。

例题：随着社会发展和人们生活水平的提高，我也想改善一下居住的环境。

日前，我欲在某房产公司处购买一套商品房，价值为22万元，首次付款2万元后，其余经15年按月分期付款，月利率为0.42%，而我的家庭月工资为2200元，麻烦同学们去银行了解一下情况，为我作一下参谋，我将如何办理商业性个人住房贷款，每月应付款多少元（精确到1元）？实际付款总额比一次性付款额多付了多少元？二、 研究成果展示学生们已去了各个银行咨询，参考了金融知识和贷款信息，结合运用了我们学过的数学知识，每组都有了一个调查结果，大家达成了一个共识，一致认为：1、每期还款额的研究：现在各大银行的对于一年以上还款方式一般有以下两种：（1）等额本息法：每期还款额（本金和利息）相同。

将各期所付款都折合成结清时的值来考虑问题的。

推导公式：设每月还款额均为x 元，每月还款在180月后的总值：x x x x x +++++++++)0042.01()0042.01()0042.01()0042.01(177178179 贷款200000元在180月后的总值：180)0042.01(200000+ 当贷款全部还清时，两者的总值应该相等，所以 x x x x +++++++)0042.01()0042.01()0042.01(178179 180)0042.01(200000+=整理得：1)0042.01()0042.01(0042.0200000180180-++⨯⨯=x 76.1585=x 1586≈元即每月需还款1586元。

研究性学习课题：数列在分期付款中的应用──分期付款中还款方式的选择一．教案（例）描述问题提出：当前，随着经济发展改革的深入，在商品市场上，消费者购买住房、汽车等价值较高的商品时，为缓解资金的暂缺，消费者可向银行申请贷款，采取分期付款方式。

为了增强学生对金融市场中的分期付款知识的了解。

我在上星期天给学生预先布置了下面的例题，让学生利用休息时间，进行社会调查，把全班学生分成5组，分别去中国建设银行、中国工商银行、中国银行、招商银行、光大银行5家银行去咨询，要求每一组能拿出一个设计成果，看一看如何帮助我，符合我的承受能力，选择一种分期付款的方式。

今天我们就这一例题，一起来看看研究成果，同时体会数列在分期付款中的应用。

例题：随着社会发展和人们生活水平的提高，我也想改善一下居住的环境。

日前，我欲在某房产公司处购买一套商品房，价值为22万元，首次付款2万元后，其余经15年按月分期付款，月利率为0.42%，而我的家庭月工资为2200元，麻烦同学们去银行了解一下情况，为我作一下参谋，我将如何办理商业性个人住房贷款，每月应付款多少元（精确到1元）？实际付款总额比一次性付款额多付了多少元？二、 研究成果展示学生们已去了各个银行咨询，参考了金融知识和贷款信息，结合运用了我们学过的数学知识，每组都有了一个调查结果，大家达成了一个共识，一致认为：1、每期还款额的研究：现在各大银行的对于一年以上还款方式一般有以下两种：（1）等额本息法：每期还款额（本金和利息）相同。

将各期所付款都折合成结清时的值来考虑问题的。

推导公式：设每月还款额均为x 元，每月还款在180月后的总值：x x x x x +++++++++)0042.01()0042.01()0042.01()0042.01(177178179 贷款200000元在180月后的总值：180)0042.01(200000+ 当贷款全部还清时，两者的总值应该相等，所以 x x x x +++++++)0042.01()0042.01()0042.01(178179 180)0042.01(200000+=整理得：1)0042.01()0042.01(0042.0200000180180-++⨯⨯=x 76.1585=x 1586≈元即每月需还款1586元。

9．4分期付款问题中的有关计算[读教材·填要点]1．单利单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息,其公式为 利息＝本金×利率×存期．若以符号P 代表本金,n 代表存期,r 代表利率,S 代表本金与利息和,则有S ＝P(1＋nr)． 2．复利把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的,若以符号P 代表本金,n 代表存期,r 代表利率,S 代表本金与利息和,则有复利的计算公式为S ＝P(1＋r)n.[小问题·大思维]1．单利和复利分别对应什么函数类型？[提示] 单利对应一次函数模型,复利对应指数函数模型． 2．单利和复利分别与等差数列和等比数列中的哪一种数列对应？[提示] 单利和复利分别以等差数列和等比数列为模型,即单利的实质是等差数列,复利的实质是等比数列．等差数列模型(单利问题)用分期付款购买价格为25万元的住房一套,按单利计算如果购买时先付5万元,以后每年付2万元加上欠款利息．签订购房合同后1年付款一次,再过1年又付款一次,直到还完后为止．商定年利率为10%,则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？[解] 购买时先付5万元,余款20万元按题意分10次分期还清,每次付款数组成数列{a n },则a 1＝2＋(25－5)·10%＝4(万元)；a 2＝2＋(25－5－2)·10%＝3.8(万元)； a 3＝2＋(25－5－2×2)·10%＝3.6(万元)； …；a n ＝2＋[25－5－(n －1)·2]·10%＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－n －15(万元)(n ＝1,2,…,10)．因而数列{a n }是首项为4,公差为－15的等差数列．a 5＝4－5－15＝3.2(万元)．S 10＝10×4＋10×10－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝31(万元)．31＋5＝36(万元),因此第5年该付3.2万元,购房款全部付清后实际共付36万元．按单利分期付款的数学模型是等差数列,解决该类问题的关键是弄清楚： (1)规定多少时间内付清全部款额；(2)在规定的时间内分几期付款,并且规定每期所付款额相同；(3)规定多长时间段结算一次利息,并且在规定时间段内利息的计算公式．1．某人从1月起,每月第一天存入100元,到第12个月最后一天取出全部本金及利息,按照单利计息,若月利率为1.65‰,求到年底的本利和．解：第1月存入的100元到12月底的利息为a 1＝100×0.001 65×12, 第2月存入的100元到12月底的利息为a 2＝100×0.001 65×11,… 第12月存入的100元到12月底的利息为a 12＝100×0.001 65,全部利息和为S 12＝a 1＋a 2＋…＋a 12＝100×0.001 65×(1＋2＋…＋12)＝0.165×78＝12.87(元), 按单利计息,到年底所取出的本利和为1 212.87元.等比数列模型(复利问题)某人购买价值为10 000元的彩电,采用分期付款的方法,每期付款数相同,购买后1个月付款一次,过1个月再付一次,如此下去,到第24次付款后全部付清,已知月利率为0.8%,如果每月利息按复利计算。

研究性课题：分期付款中的有关计算·例题解析【例1】 小芳同学若将每月省下的零花钱5元在月末存成月利按复利计算，月利为0.2%，每够一年就将一年的本和利改存为年利按复利计算，年利为6%，问三年后取出本利共多少元(保留到个位)？解析 先分析每一年存款的本利和，小芳同学一年要存款12次，每次存款5元，各次存款及其利息情况如下：第12次存款5元，这时要到期改存，因此这次的存款没有月息；第11次存款5元，过1个月即到期，因此所存款与利息之和为：5＋5×0.2%=5×(1＋0.2%)；第10次存款5元，过2个月到期，因此存款与利息和为5×(1＋0.2%)2； ……第1次存款5元，11个月后到期，存款与利息之和为5×(1＋0.2%)11． 于是每一年中各月的存款与利息的本利和为A ，A=5＋5×(1＋0.2%)＋5×(1＋0.2%)2＋…＋5×(1＋0.2%)11=5(1＋1.002＋1.0022＋…＋1.00211)第一年的A 元，改存后两年后到期的本利和为A(1＋6%)2；第二年的A 元，改存后一年后到期的本利和为A(1＋6%)；第三年的A 元，由于全部取出，这一年的存款没有利息．三年后，取出的本利和为：A(1＋6%)2＋A(1＋6%)＋A ．解：设每存一年的本利和为A ，则 A=5×(1＋1.002＋1.0022＋…＋1.00211)三年后取出的本利为y ，则y=A ＋A(1＋6%)＋A(1＋6%)2=A(1＋1.06＋1.062)=5×(1＋1.002＋1.0022＋…＋1.00211)(1＋1.06＋1.062)=5(1 1.06 1.06)2×·＋＋110021100212--..≈193(元)答：三年后取出本利共193元．说明 这是应用问题，每月(年)存款到期后的本利和组成一个等比数列．【例2】 某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使每年资金平均增长率为50%，但每年年底都要扣除消费基金x 万元，余下基金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元(扣除消费基金后)，那么每年应扣除消费基金多少万元(精确到万元)？解 第一年余下的基金为1000(150%)x =1000x a =1000x 1×＋－×－令×－，第二年余下的基金为3232 (1000x)(150%)x =1000a =10002×－·＋－×即×32321323213222⎛⎝ ⎫⎭⎪-+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪-+⎛⎝ ⎫⎭⎪x x依此类推，得a =1000a =100034××321323232132323232423⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥x xa =10005×321323232325234⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥x 为了经过5年使资金达到2000万元，令a 5=2000于是得关于消费基金x 的方程：1000x =20005234×32132323232⎛⎝ ⎫⎭⎪-++⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥ 解这个方程，得3211323222433225554⎛⎝ ⎫⎭⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪32x =10002000x =1000·×－×211 16179 3216 21117932x=1000x=1000×∴××x≈424答：每年约扣除消费基金424万元。

高一数学研究性学习课题报告数列在分期付款中的应用篇一：研究性学习课题：数列在分期付款中的应用研究性学习课题：数列在分期付款中的应用──分期付款中还款方式的选择一．教案（例）描述问题提出：当前，随着经济发展改革的深入，在商品市场上，消费者购买住房、汽车等价值较高的商品时，为缓解资金的暂缺，消费者可向银行申请贷款，采取分期付款方式。

为了增强学生对金融市场中的分期付款知识的了解。

我在上星期天给学生预先布臵了下面的例题，让学生利用休息时间，进行社会调查，把全班学生分成5组，分别去中国建设银行、中国工商银行、中国银行、招商银行、光大银行5家银行去咨询，要求每一组能拿出一个设计成果，看一看如何帮助我，符合我的承受能力，选择一种分期付款的方式。

今天我们就这一例题，一起来看看研究成果，同时体会数列在分期付款中的应用。

例题：随着社会发展和人们生活水平的提高，我也想改善一下居住的环境。

日前，我欲在某房产公司处购买一套商品房，价值为22万元，首次付款2万元后，其余经15年按月分期付款，月利率为0.42%，而我的家庭月工资为2200元，麻烦同学们去银行了解一下情况，为我作一下参谋，我将如何办理商业性个人住房贷款，每月应付款多少元（精确到1元）？实际付款总额比一次性付款额多付了多少元？二、研究成果展示学生们已去了各个银行咨询，参考了金融知识和贷款信息，结合运用了我们学过的数学知识，每组都有了一个调查结果，大家达成了一个共识，一致认为：1、每期还款额的研究：现在各大银行的对于一年以上还款方式一般有以下两种：（1）等额本息法：每期还款额（本金和利息）相同。

将各期所付款都折合成结清时的值来考虑问题的。

推导公式：设每月还款额均为x元，每月还款在180月后的总值：x(1? 蓬勃范文网:高一数学研究性学习课题报告数列在分期付款中的应用)42)179?x(1?0.0042)178?x(1?0.0042)177???x(1?0.0042)?x 贷款200000元在180月后的总值：200000(1?0.0042)180当贷款全部还清时，两者的总值应该相等，所以x(1?0.0042)179?x(1?0.0042)178???x(1?0.0042)?x?200000(1?0.0042)180200000?0.0042?(1?0.0042)180整理得：x? (1?0.0042)180?1x?1585.76?1586元即每月需还款1586元。

构建培养综合性人才的新课程(抽样方法第6课时)——重点中学创设“学生数学应用研究基地”的实践和初步成果瞿少华［成果概要］重点中学如何为培养综合性人才打好宽厚的基础，如何构建文理大综合的课程体系，如何激发学生学习数学的兴趣和培养应用意识、能力，如何进行研究性学习和多媒体技术的有效整合，重点中学如何在教育科研上进行示范，针对这些问题，萧山中学近几年进行了创建“学生应用数学研究基地”的实践与研究，取得了许多重要的成果.新课程模式初见端倪.1.创建“学生数学应用研究基地”的教育理念.2.“基地”的运作体系.3.“基地”的主要职能、人员、场地、设施的配套和管理.4.学生数学应用研究的计划制定.5.教师指导学生进行研究的操作模式.6.学生取得的研究成果.7.对发展学生的综合能力和应用能力的作用.1.背景1.1 萧山中学是全省首批一级重点中学，几乎集中了全萧山最优秀的生源(萧山人口115万).未来国家的高科技人才、高级管理人才，许多将在现在的学生中产生，如何落实中央关于以德育为核心，以创新意识培养和实践能力发展为重点的教育改革，如何发挥省一级重点中学在教育教学方面的示范作用，一直是我们研究思考的重要问题，虽然进萧中的学生考分很高，但偏文、偏理现象仍较严重，学习的视野不够宽，文、理思想不能很好地沟通、融合，虽然有文科小综合、理科小综合，但文理大综合思想方法的培养还缺少具体措施，缺乏可借鉴的模式.这是我们创建高中“学生数学应用研究基地”的初衷之一.(以下简称“基地”)1.2 高中数学一直是学生、教师花费大量时间、精力学与教的一门新课程，传统的数学教学优点是有目共睹的.基础扎实，强调熟能生巧，解题能力强.但其不足也是存在的，对学生学习兴趣和应用意识的培养重视不够，苦学较多，乐学较少.如何激发学生对数学的兴趣，用数学的眼光去观察社会、生活，提出问题，发现数学规律，感受数学，破除数学的神秘化，使数学与经济、自然、文化融为一体，使学生初步尝试用数学工具去解决现实中的问题，从观念上、方法上培养学生的综合能力，是我们创建“基地”的初衷之二.1.3 随着国家新课程的广泛实施，研究性学习在各地各校积极展开.数学的研究性学习如何搞，如何构建一个较为规范、全面的课程体系，是我们创建“基地”的初衷之三.2.模式2.1 基地的运作体系2.2 主要职能(1)制定高一、二、三各年级具体研究计划；(2)向学生提供资料、书籍、网址等信息；(3)向学生提供多媒体网络教室(安装几何画板等软件，并能直接进入因特网)；(4)组织研究信息(成果)的交流、研讨课；(5)指导教师、学生对结果的评价.2.3 挂牌辟室，确定主要场地(校科学馆六楼多媒体网络教室)，落实兼职人员由教科处总协调，高一、二、三数学各备课组长，校学科带头人为兼职指导教师，并请校内外专家、特级教师为顾问.本届高中新生的数学应用研究主要方向及时间安排例说高一学生《函数的实际应用》研究过程、方法.3.1 思想准备教师利用周三的校内学科讲座时间，开设有关讲座，比如：“数学与周边生活”“数学新课程的特点”“高中数学与初中数学学习的不同之处”“谈谈数学建模”“研究性学习的特征和方法”，并利用家长会进行“家长和研究性学习”的讲座.3.2 知识、方法、场地准备(1)学完高一课本第二章函数内容和复合函数的有关知识、方法；(2)学习收集数据的方法(文献、书籍、媒体、网上、调查、访问)；(3)学习数据的处理和求拟合函数的方法(重点最小二乘法和Reg软件的使用)；(4)结合高一计算机课程，进行几何画板操作和powerpoint操作及网上查询、下载信息的方法学习；(5)在学生机房(教室)安装几何画板软件和Reg软件.3.3 组织准备在教师指导下，学生自愿合作，两班共分为二十个研究小组，确定组长制定研究方案，确定分工，开展研究，允许学生进教师资料室和课件制作室.3.4 课内的集中交流研讨基本模式如下［例1］高一(8)班冯春华小组对萧山瓜沥邮政中心局在街头橱窗展出的该局业务收入情况和其中的数量关系进行分析和预测.瓜沥邮政中心局2000年~2001年业务收入表资料来源：瓜沥邮政中心模型1 由图象一可看出，它基本上向上增长，因此收入可能是随着时间的增长而增长的，设月收入为y，时间为x，可得：y=25.01x+24.49模型2 再仔细观察可看出2000年图象上升趋势较快，2001年图象上升趋势较慢，所以，可用2001年一段来描述：y=14.3x+249.8图1—9模型3 由最小二乘法，可得：y=26.77x+43.13综合以上三种模型，模型2总体拟合效果优于其他模型，因此可以估算出2001年10，11，12月收入最有可能为：564.4，578.7，593.0(万元).［例2］高一(7)班陈国飞小组研究了媒体上刊登的上榜歌曲支持率(得票数)的升降过程，揭示其中的函数关系并对出榜时间的预测.比如：周杰伦《简单爱》在流行音乐排行榜上榜时间：2001年11月3日.第一周至第五周得票数为：752，1511，2123，2359，2100，由描点法画出大致图象二，得以拟合函数表达式：N=－172w2+1390w－500图1—10分析此音乐榜，在得票500票以上歌曲才可进入前十名，预测得票数将在第七周后降至500票以下，即《简单爱》这首歌将在七周后被挤出此音乐排行榜，并进一步得出该排行榜的二次函数ax2+bx+c模型的基本形态.4.成效4.1 感受数学，沟通文理通过研究，学生深切地感受了数学学与社会、周边生活的密切联系，感受了文理是如何沟通的，对函数的概念内涵有了切身的体会和深刻的理解，培养了学生的数学眼光和意识，问题是他们自己找的，自己发现的，是平时的应用题教学效果所无法比拟的，是扎扎实实的素质教育.4.2 激发兴趣，学会研究平时考试成绩好的学生和成绩不太好的学生在应用研究中差别不大，甚至后来居上，这一方面激发了学生的学习热情、兴趣，另一方面使他们初尝了科学的精神、方法、态度，同时说明数学应用研究所体现(培养)的是学生全面素质，不是单一的考试能力.4.3 学会合作，学会交流由于应用研究在小组内展开，与社会诸方面的接触，促使学生学会合作，学会交流，这对他们今后的成长十分有益.那些上台展示研究结果的同学并不是组内成绩最好的学生，平时这样的机会对他们来说并不多.(选录：《数学通报》2003年第3期)。

课题：§3.6研究性课题：分期付款中的有关计算（一）课题教材分析：首先, 本节课是等比数列的前n项和公式在购物方式上的一个应用.此前学生已掌握等比数列的通项公式及其前n项和公式,并学习了教材中P124的阅读材料:有关储蓄的计算(单利计息问题)，也就是说学生在知识和应用能力方面都有了一定基础。

其次，《全日制普通高中数学教学大纲（试验修订版）》将研究性课题列为必修内容，是为迎接知识经济的挑战而培养学生创新精神和创新能力的一项开创性工作。

研究性学习注重的是让学生学会学习和研究，关注的是研究过程，其核心是创新意识的培养。

本研究性课题,是所学知识的实际应用,因此对培养学生的应用意识也具有很高的价值.又由于它在本小节中首次出现,学生对如何学习研究性课题比较模糊,所以能否将研究性课题中以实际问题为载体，以学生独立探究为主体的特点突现出来，也影响着今后研究性课题的教学效果.如果先复习提问等比数列知识,是为之后的学习做了铺垫,降低了难度,但一方面框住了学生的思维,另一方面容易使学生(尤其是数学不太好的学生)觉得本节课不过是已有知识的习题课而提不起兴致.另外,我们常说,问题是数学的心脏.而爱因斯坦有句名言:提出问题比解决问题更重要.而培养学生提问题的能力就很有必要在研究课题之前让学生了解课题的产生背景.所以我利用现代网络技术等多媒体教学手段将学生带入问题情境，既自然地创建了轻松愉快的气氛和生动活泼的环境,更重要的是引起学生的认知冲突.（二）素质教育目标：1.知识目标：使学生在理解的基础上掌握等比数列前n项和公式在购物付款方式中的应用；2.能力目标：培养学生搜集、选择、处理信息的能力，发展学生独立探究和解决问题的能力，提高学生的应用意识和创新能力；3.德育目标：使学生抓住社会现象的本质，用科学的、辨证的眼光观察事物,建立科学的世界观;4.情感目标：通过学生之间、师生之间的交流与配合培养学生的合作意识和团队精神;通过独立运用数学知识解决实际问题培养学生勇于克服困难的坚强意志,也使学生体会学习数学知识的重要性,增强他们对数学学习的自信心和对数学的情感.（三）课型课时计划：1.课题类型：新授课；2.教具使用：常规教学；3.课时计划：本课题共安排1课时；（四）教学三点解析：（五）————————————————第 1 页（共6页）————————————————————————————————第 2 页 （共 6页）———————————————— 1. 教学重点：引导学生对例题中的分期付款问题进行独立探究；2. 教学难点：独立解决方案13. 教学疑点：独立解决方案1（六） 教学过程设计一. 温故知新，引入课题幽默故事：一位中国老太太与一位美国老太太在黄泉路上相遇。