上海市2020宝山区高三数学二模试卷(含答案)

宝山区2021-2022学年第二学期高三年级数学学科教学质量监测试卷2022.04考生注意：1．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；2．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；3．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题1.设集合A ＝｛x ｜－12＜x ＜2｝，B ＝｛x ｜x 2≤1｝，则A ∪B ＝_______．2.如果函数()23,0,0x x y f x x ->⎧⎪=⎨<⎪⎩是奇函数，则(3)f -=__．3.若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -=．4.方程cos2x+sinx=1在(0,)π上的解集是_______________．5.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为________．6.若一组样本数据2，3，7，8，a 的平均数为5，则该组数据的方差2s =_____________.7.已知点(,)P x y 在不等式组20,10,220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，表示的平面区域上运动，则z x y =-的取值范围是__________8.已知P 是双曲线22145x y -=上的点，过点P 作双曲线两渐近线的平行线12,l l ，直线12,l l 分别交x 轴于,M N 两点，则OM ON ⋅=__．9.已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C的对边，01,45a b C ===，则A =__．10.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p ，若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，则p =________11.已知直线20x y ++=与直线0x dy -+=互相平行且距离为m .等差数列{}n a 的公差为d ，且7841035,0a a a a =+<，令123||||||||n n S a a a a =++++ ，则m S 的值为__．12.已知,D E 分别是ABC 边,AB AC 的中点，M 是线段DE 上的一动点(不包含,D E 两点)，且满足AM AB AC αβ=+ ，则12αβ+的最小值为__．二、选择题13.已知，，，为实数，且＞.则“＞”是“－＞－”的A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件14.已知,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B.过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直C.平面α不垂直平面β，但平面α内存在直线垂直于平面βD.若直线l 不垂直于平面α，则在平面α内不存在与l 垂直的直线15.关于函数131()(2)2xx f x x =-⋅和实数,m n 的下列结论中正确的是（）A.若3m n -<<，则()()f m f n <B.若0m n <<，则()()f m f n <C .若()()f m f n <，则22m n < D.若()()f m f n <，则33m n <16.设函数()xxxf x a b c =+-，其中0,0c a c b >>>>，若a 、b 、c 是ABC 的三条边长，则下列结论：①对于一切(),1x ∈-∞都有()0f x >；②存在0x >使x xa 、x b 、x c 不能构成一个三角形的三边长；③ABC 为钝角三角形，存在()1,2x ∈，使()0f x =，其中正确的个数为______个A.3B.2C.1D.0三、解答题17.在长方体ABCD －1111D C B A 中，11AD AA ==，3AB =，点E 是棱AB 上的点，2AE EB =.（1）求异面直线1AD 与EC 所成角的大小；（2）求点C 到平面1D DE 的距离．18.某地区的一种特色水果上市时间11个月中，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数:①() x f x p q =⋅；②2()1 f x px qx =++；③()sin()44f x A x B ππ=-+(以上三式中,,,p q A B 均为非零常数，1q >.)（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么?（2）若(3)8,(7)4,f f ==求出所选函数()f x 的解析式(注：函数的定义域是[]0,10，其中0x =表示1月份，1x =表示2月份， ，以此类推)，为保证果农的收益，打算在价格在5元以下期间积极拓宽外销渠道，请你预测该水果在哪几个月份要采用外销策略？19.已知函数()133x x af x b+-+=+．（1）当1a b ==时，求满足()3xf x ≥的x 的取值范围；（2）若()y f x =的定义域为R ，又是奇函数，求()y f x =的解析式，判断其在R 上的单调性并加以证明．20.已知1266,0,,022F F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是椭圆C 的两个焦点坐标，P 是椭圆C 上的一个定点，,A B 是椭圆C 上的两点，点M 的坐标为(1,0).（1）求椭圆C 的方程；（2）当,A B 两点关于x 轴对称，且MAB △为等边三角形时，求AB 的长；（3）当,A B 两点不关于x 轴对称时，证明：△MAB 不可能为等边三角形.21.已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n n S Aa Ba C =++，其中A 、B 、C 是常数.（1）若0A =，3B =，2C =-，求数列{}n a 的通项公式；（2）若1A =，12B =，116C =，且0n a >，求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）试探究A 、B 、C 满足什么条件时，数列{}n a 是公比不为1-的等比数列.宝山区2021-2022学年第二学期高三年级数学学科教学质量监测试卷2022.04考生注意：1．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；2．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；3．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题1.设集合A ＝｛x ｜－12＜x ＜2｝，B ＝｛x ｜x 2≤1｝，则A ∪B ＝_______．【答案】｛x ｜－1≤x ＜2｝【详解】试题分析：因为{|11}B x x =-≤≤，1{|2}2A x x =-<<，所以{|12}AB x x ⋃=-≤<.考点：一元二次不等式的解法、集合的运算.2.如果函数()23,0,0x x y f x x ->⎧⎪=⎨<⎪⎩是奇函数，则(3)f -=__．【答案】3-【分析】利用函数是奇函数，即可求解.【详解】设()()23,0,0x x g x f x x ->⎧⎪=⎨<⎪⎩，()()()()3332333g f g -=-=-=-⨯-=-.故答案为：3-3.若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -=．【答案】16【详解】由题意得：121223233521,05,21516.c x y c x y c c =+=⨯+⨯==⋅+=-=-=考点：线性方程组的增广矩阵4.方程cos2x+sinx=1在(0,)π上的解集是_______________．【答案】5,66ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【详解】21512sin sin 1sin 0sin(0,)266x x x x x πππ-+=∴=∈∴= 或或5.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为________．【答案】16【详解】试题分析：记正三棱锥为-P ABC ，点P 在底面ABC 内的射影为点H，则2323AH =⨯=，在Rt APH ∆中，3PH ==，所以11133236P ABC ABC V S PH -∆=⋅=⨯⨯=.考点：正三棱锥的性质和体积的计算.6.若一组样本数据2，3，7，8，a 的平均数为5，则该组数据的方差2s =_____________.【答案】5.2【分析】由平均数为5可求a ，根据方差方式求2s 即可.【详解】由题意知：237855a ++++=，所以5a =，而2211()nii s x x n==-∑，∴()()()()()22222212535557585 5.25s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦故答案为：5.27.已知点(,)P x y 在不等式组20,10,220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，表示的平面区域上运动，则z x y =-的取值范围是__________【答案】[-1,2]【分析】画出可行域，然后利用目标函数的等值线y x =在可行域中进行平移，根据z 或含z 的式子的含义，目标函数取最值得最优解，可得结果.【详解】如图令0z =，则y x =为目标函数的一条等值线将等值线延y 轴正半轴方向移到到点()0,1A 则点()0,1A 是目标函数取最小值得最优解将等值线延y 轴负半轴方向移到到点()2,0B 则点()2,0B 是目标函数取最大值得最优解所以min max 011,202z z =-=-=-=所以[]1,2z ∈-故答案为：[]1,2-【点睛】本题考查线性规划，一般步骤：（1）作出可行域；（2）理解z 或含z 的式子的含义，利用等值线在可行域中移动找到目标函数取最值得最优解，属基础题.8.已知P 是双曲线22145x y -=上的点，过点P 作双曲线两渐近线的平行线12,l l ，直线12,l l 分别交x 轴于,M N 两点，则OM ON ⋅=__．【答案】4【分析】首先设点00(,)P x y ，分别求直线12,l l 的方程，利用坐标表示OM ON ⋅的值.【详解】双曲线22145x y -=两渐近线的斜率为52±，设点00(,)P x y ，则1l 、2l 的方程分别为00)25y y x x -=-，00)25y y x x -=-，所以M 、N 坐标为0025(,0)5M x y -，0025(,0)5N x y +，所以220000004||||||||||555OM ON x y x x y ⋅=-⨯+=-，又点P 在双曲线上，则2200145x y -=，所以||||4OM ON ⋅=．故答案为：49.已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，01,45a b C ===，则A =__．【答案】60°##3π【分析】根据余弦定理求c ，再根据余弦定理求角A .【详解】由余弦定理得2c ==，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，因为()0,A π∈，所以060A =．故答案为：6010.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p ，若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，则p =________【答案】1##0.25【分析】根据相互独立事件概率的乘法公式和互斥事件的加法公式列方程即可求解.【详解】由题意可得：()()11149111110101050p p p ⎛⎫⎛⎫-+-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得：90111045p -=，解得：15p =，故答案为：15.11.已知直线20x y ++=与直线0x dy -+=互相平行且距离为m .等差数列{}n a 的公差为d ，且7841035,0a a a a =+<，令123||||||||n n S a a a a =++++ ，则m S 的值为__．【答案】52【分析】根据平行线的距离求出d 和m 的值，利用等差数列的定义和性质求出通项公式，进而求和即可.【详解】由题意知，0d ≠，因为两直线平行，所以121d =≠-，解得2d =-，由两平行直线间距离公式得10m ==，由78a a ⋅=77(2)35a a ⋅-=，解得75a =-或77a =.又410720a a a +=<，所以75a =-，即7165a a d =+=-，解得17a =，所以1(1)29n a a n d n =+-=-+.所以1012310S a a a a =++++ |7||5||3||1||1||3||5||7||9|=++++-+-+-+-+-|11|52+-=．故答案为：52.12.已知,D E 分别是ABC 边,AB AC 的中点，M 是线段DE 上的一动点(不包含,D E 两点)，且满足AM AB AC αβ=+ ，则12αβ+的最小值为__．【答案】6+##6+【分析】由三点共线得到221αβ+=，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】由于M 是DE 上的一动点(不包含,D E 两点)，且满足22AM AB AC AD AE αβαβ=+=+，所以,0αβ>且221αβ+=，以121224(2)66βααβαβαβαβ+=++=++≥+，当且仅当2122,22-α=β=时取等号，所以12αβ+的最小值为6+．故答案为：6+二、选择题13.已知，，，为实数，且＞.则“＞”是“－＞－”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【详解】试题分析：由＞，＞，可得，,d c a d b c ->-->-；由＞，－＞－，同向不等式两边相加，可得，＞，故“＞”是“－＞－”的必要而不充分条件，选B ．考点：本题主要考查充要条件的概念，不等式的性质．点评：简单题，同向不等式两边相加，不等号方向不变．14.已知,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B.过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直C.平面α不垂直平面β，但平面α内存在直线垂直于平面βD.若直线l 不垂直于平面α，则在平面α内不存在与l 垂直的直线【答案】B【分析】举特例说明判断A ；由平面的基本事实及线面垂直的性质推理判断B ；推理说明判断C ；举例说明判断D 作答.【详解】正方体1111ABCD A B C D -中，直线11A B 、直线11B C 都平行于平面ABCD ，而直线11A B 与11B C 相交，A 不正确；如图，直线l 是平面α的斜线，l O α= ，点P 是直线l 上除斜足外的任意一点，过点P 作PA α⊥于点A ，则直线OA 是斜线l 在平面α内射影，直线l 与直线OA 确定平面β，而PA ⊂平面β，则平面β⊥平面α，即过斜线l 有一个平面垂直于平面α，因平面的一条斜线在此平面内的射影是唯一的，则直线l 与直线OA 确定的平面β唯一，所以过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直，B 正确；如果平面α内存在直线垂直于平面β，由面面垂直的判断知，平面α垂直于平面β，因此，平面α不垂直平面β，则平面α内不存在直线垂直于平面β，C 不正确；如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，平面ABCD 为平面α，直线1BC 为直线l ，显然直线l 不垂直于平面α，而平面α内直线,AB CD 都垂直于直线l ，D 不正确.故选：B15.关于函数131()(2)2xx f x x =-⋅和实数,m n 的下列结论中正确的是（）A.若3m n -<<，则()()f m f n <B.若0m n <<，则()()f m f n <C.若()()f m f n <，则22m n <D.若()()f m f n <，则33m n <【答案】C【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，即可得到此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，从而一一判断即可；【详解】解：因为113311()(2()(2)()22xx x x f x x x f x ---=-⋅-=-=，所以函数131()(2)2xx f x x =-是一个偶函数，又0x >时，122xx y =-与13y x =是增函数，且函数值为正数，故函数131()(2)2xx f x x =-在(0,)+∞上是一个增函数由偶函数的性质得函数在(,0)-∞上是一个减函数，此类函数的规律是自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立，考察四个选项，A 选项，由3m n -<<，无法判断m ，n 离原点的远近，故A 错误；B 选项，0m n <<，则m 的绝对值大，故其函数值也大，故B 不对；C 选项是正确的，由()()f m f n <，一定得出22m n <；D 选项由()()f m f n <，可得出||||m n <，但不能得出33m n <，不成立，故选：C ．16.设函数()xxxf x a b c =+-，其中0,0c a c b >>>>，若a 、b 、c 是ABC 的三条边长，则下列结论：①对于一切(),1x ∈-∞都有()0f x >；②存在0x >使x xa 、x b 、x c 不能构成一个三角形的三边长；③ABC 为钝角三角形，存在()1,2x ∈，使()0f x =，其中正确的个数为______个A.3 B.2C.1D.0【答案】A【分析】构造函数()()xf xg x c=，根据函数单调性可知()()1g x g >，根据三角形三边关系可知()10g >，可推导出()0g x >，从而可得()0f x >，可知①正确；通过取值可知存在取值使得取值不满足三边关系，可知②正确；根据余弦定理可知2220a b c +-<，可得()20g <，再结合()10g >，可知()()120f f ⋅<，由零点存在性定理可知③正确；由此可得选项.【详解】①令()()1x xxf x a bg x c c c ⎛⎫⎛⎫==+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,0c a c b >>>> 01,01a b c c∴<<<<,xxa b c c ⎛⎫⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在R 上单调递减()g x ∴在R 上单调递减∴当1x <时，()()1a b c g x g c+->=根据三角形三边关系可知：0a b c +->()0g x ∴>又0x c >(),1x ∈-∞∴时，都有()()0x f x c g x =⋅>，可知①正确；②取3x =，2a =，3b =，4c =则24275164x x x xa b c +=+=<=，不满足三角形三边关系，可知②正确；③ABC ∆为钝角三角形222cos 02a b c C ab+-∴=<2220a b c ⇒+-<()222220a b c g c+-∴=<，从而()()2220f c g =⋅<又()()110f cg =⋅>()()120f f ∴⋅<，由零点存在性定理，可知③正确本题正确选项：A【点睛】本题考查函数与解三角形知识的综合应用问题，其中涉及到零点存在定理的应用、余弦定理及三角形三边关系的应用、函数单调性问题，关键是能够构造出合适的函数来对问题进行求解.三、解答题17.在长方体ABCD －1111D C B A 中，11AD AA ==，3AB =，点E 是棱AB 上的点，2AE EB =.（1）求异面直线1AD 与EC 所成角的大小；（2）求点C 到平面1D DE 的距离．【答案】（1）π3（2）355【分析】（1）先作出异面直线1AD 与EC 所成角，再去求其大小即可（2）依据三棱锥等体积法去求点C 到平面1D DE 的距离．【小问1详解】在平面ABCD 内作//AE CE '交CD 于E '，连接1D E '，则1D AE '∠为异面直线1AD 与EC 所成角或其补角.因为3,2AB AE EB ==，所以1EB =，所以1DE '=，因为11AD DD ==，所以1AE D E ''==而1AD =所以△1AD E '为正三角形，1π3D AE '∠=，从而异面直线1AD 与EC 所成角的大小为π3.【小问2详解】设点C 到平面1DED 的距离为h ，111151222DED S D D DE =⋅=⨯= ，133122DEC S =⨯⨯= ，由11C DED D DEC V V --=得11313232h ⨯=⨯⨯，所以5h =．18.某地区的一种特色水果上市时间11个月中，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数:①() x f x p q =⋅；②2()1 f x px qx =++；③()sin()44f x A x B ππ=-+(以上三式中,,,p q A B 均为非零常数，1q >.)（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么?（2）若(3)8,(7)4,f f ==求出所选函数()f x 的解析式(注：函数的定义域是[]0,10，其中0x =表示1月份，1x =表示2月份， ，以此类推)，为保证果农的收益，打算在价格在5元以下期间积极拓宽外销渠道，请你预测该水果在哪几个月份要采用外销策略？【答案】（1）选③，理由见解析；（2）第1,7,8,9月份应该采取外销策略.【分析】（1）分析给定的3个函数的图象特征，结合已知判断作答.（3）将给定数据代入选定的函数，求出待定系数，再在指定范围内求()5f x <的x 取值作答.【小问1详解】对于①，函数()x f x p q =⋅是单调函数，不符合题意，对于②，二次函数2()1f x px qx =++的图象不具备先上升，后下降，再上升的特点，不符合题意，对于③，当0A >时，函数()sin()44f x A x B ππ=-+在[0,3]上的图象是上升的，在[3,7]上的图象是下降的，在[7,11]上的图象是上升的，满足题设条件，应选③.【小问2详解】依题意，84A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得2,6A B ==，则[]()2sin()6,0,10,N 44f x x x x ππ=-+∈∈，由2sin()6544x ππ-+<，即1sin()442x ππ-<-，而[]0,10,N x x ∈∈，解得{0,6,7,8}x ∈，所以该水果在第1,7,8,9月份应该采取外销策略.19.已知函数()133x x a f x b+-+=+．（1）当1a b ==时，求满足()3xf x ≥的x 的取值范围；（2）若()y f x =的定义域为R ，又是奇函数，求()y f x =的解析式，判断其在R 上的单调性并加以证明．【答案】（1）1x ≤-；（2）()11333xx f x +-=+，()f x 在R 上递减，证明见解析.【分析】(1)由题意可得113331x x x +-≥+从中解得1133x ≤≤,解此指数不等式即可求得x 的取值范围；(2)由()00f =可求得a ，()()011f f +-=，可求得b ，从而可得()y f x =的解析式；利用单调性的定义，对任意1212,,x x R x x ∈<，再作差()()12f x f x -最后判断符号即可.【详解】（1）由题意，，化简得,解得,所以.（2）已知定义域为R ，所以，又，所以；对任意可知,因为，所以，所以因此在R 上递减．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由()()+0f x f x -=恒成立求解，（2）偶函数由()()0f x f x --=恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由()00f =求解，偶函数一般由()()110f f --=求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.20.已知1266,0,,022F F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是椭圆C的两个焦点坐标，P 是椭圆C 上的一个定点，,A B 是椭圆C 上的两点，点M 的坐标为(1,0).（1）求椭圆C 的方程；（2）当,A B 两点关于x 轴对称，且MAB △为等边三角形时，求AB 的长；（3）当,A B 两点不关于x 轴对称时，证明：△MAB 不可能为等边三角形.【答案】（1）22:239C x y +=（2）||3AB =或||9AB =（3）证明见解析【分析】（1）用待定系数法求出椭圆的方程；（2）设00(,)A x y ，00(,)B x y -，由ABM为等边三角形，得到001y =-.解出02x =，求出023||23AB y ==；解出043x =-，求出0143||29AB y ==.（3）设11(,)A x y ，22(,)B x y 证明出12x x =⇔||||MA MB =，与,A B 不关于x 轴对称矛盾，即可得到ABM 不可能为等边三角形.【小问1详解】可设椭圆的方程为22221x y a b+=由题意得：222222311c a b b a c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得：222923c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，所以椭圆的方程为221932x y +=，即22239x y +=.【小问2详解】设00(,)A x y ，00(,)B x y -，因为ABM为等边三角形，所以001y =-.又点00(,)A x y在椭圆上，所以0022001239y x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，消去0y ，得到2003280x x --=，解得02x =或043x =-，当02x =时，00113y =-=-=，所以0||23AB y ==；当043x =-时，004731139y =-=-=，所以0||29AB y ==.【小问3详解】设11(,)A x y ，则2211239x y +=，且1[3,3]x ∈-，所以||MA ===，设22(,)B x y，同理可得||MB =，且2[3,3]x ∈-.因为21(3)13y x =-+在[3,3]-上单调，所以有12x x =⇔||||MA MB =，因为,A B 不关于x 轴对称，所以12x x ≠，所以||||MA MB ≠.所以ABM 不可能为等边三角形.21.已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n n S Aa Ba C =++，其中A 、B 、C 是常数.（1）若0A =，3B =，2C =-，求数列{}n a 的通项公式；（2）若1A =，12B =，116C =，且0n a >，求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）试探究A 、B 、C 满足什么条件时，数列{}n a 是公比不为1-的等比数列.【答案】（1）13(2n n a -=；（2）24n n S =；（3）0A =，11q B q =≠-或12或0，0C ≠．【详解】试题分析：（1）已知n S 与n a 的关系，要求n a ，一般是利用它们之间的关系1n n n a S S -=-(1)n >，把n S ，化为n a ，得出数列{}n a 的递推关系，从而求得通项公式n a ；（2）与（1）类似，先求出1a ，2n ≥时，推导出n a 与1n a -之间的关系，求出通项公式，再求出前n 项和n S ；（3）这是一类探究性命题，可假设结论成立，然后由这个假设的结论来推导出条件，本题设数列{}n a 是公比不为1-的等比数列，则11n n a a q -=，111(1)111n n n a q a a S q q q q -==⋅----，代入恒成立的等式2n n n S Aa Ba C =++，得2211112(011n n a a a a A q B q C q q q q ⨯⨯+⨯-⨯++=--对于一切正整数n 都成立，所以0A =，1q B q =-，101a C q=≠-，得出这个结论之后，还要反过来，由这个条件证明数列{}n a 是公比不为1-的等比数列，才能说明这个结论是正确的．在讨论过程中，还要讨论1q =的情况，因为1q =时，1n a a =，1n S na =，当然这种情况下，{}n a 不是等比数列，另外1q B q =-10,1,2⎧⎫∉⎨⎬⎩⎭．试题解析：（1）由32n n S a =-，得11a =；1分当2n ≥时，1133n n n n n a S S a a --=-=-，即132n n a a -=2分所以13(2n n a -=；1分（2）由211216n n n S a a =++，得211111216a a a =++，进而114a =，1分当2n ≥时，221111122n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+-得()111()02n n n n a a a a --+--=，因为0n a >，所以112n n a a --=，2分进而()21444n n n n n S -=+=2分（3）若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，①当1q =时，1n a a =，1n S na =由2n n n S Aa Ba C =++，得2111na Aa Ba C =++恒成立.所以10a =，与数列{}n a 是等比数列矛盾；1分②当1q ≠±，0q ≠时，11n n a a q-=，1111n n a a S q q q =---，1分由2n n n S Aa Ba C =++恒成立，得2211112(011n n a a a a A q B q C q q q q ⨯⨯+⨯-⨯++=--对于一切正整数n 都成立所以0A =，11q B q =≠-或12或0，0C ≠3分事实上，当0A =，1B ≠或12或0，0C ≠时，n n S Ba C =+101C a B =≠-，2n ≥时，11n n n n n a S S Ba Ba --=-=-，得101n n a B a B -=≠-或1-所以数列{}n a 是以1C B -为首项，以1B B -为公比的等比数列2分考点：n S 与n a 的关系：1(2)n n n a S S n -=-≥，等差数列与等比数列的定义．。

宝山区第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 若集合{}0A x x =>，{}1B x x =<，则A B =I ． 2. 已知复数z1z i ⋅=+（i 为虚数单位），则z = ．3. 函数()sinx cosx f x cosxsinx=的最小正周期是 ．4. 已知双曲线222181x y a -=（0a >）的一条渐近线方程为3y x =，则a = ． 5. 若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为 ．6. 已知x y ，满足0220x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是 ．7. 直线12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线32x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的交点个数是 ．8. 已知函数()()220()01xx f x log x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩ 的反函数是1()f x -，则11()2f -= ．9. 设多项式231(1)(1)(1)nx x x x ++++++++L （*0x n N ≠∈，）的展开式中x 项的系数为n T ，则2nn T limn →∞= ．10. 生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生废品的概率分别为0.01和p ，每道工序产生废品相互独立．若经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是0.9603，则p = ．11. 设向量m u r ()x y =，，n r ()x y =-，，P 为曲线1m n ⋅=u r r（0x >）上的一个动点，若点P 到直线10x y -+=的距离大于λ恒成立，则实数λ的最大值为 ．12. 设1210x x x L ，，，为1210L ，，，的一个排列，则满足对任意正整数m n ，，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. 设a b R ∈，，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的………………………（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件14. 如图，P 为正方体1111ABCD A B C D -中1AC 与1BD 的交点，则PAC ∆在该正方体各 个面上的射影可能是 …………………………………………………………………（ ）（A ）①②③④ （B ）①③ （C ）①④ （D ）②④15. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线12l l ，同侧，且P 到12l l ，的距离分别为13，．点M N ，分别在12l l ，上，8PM PN +=u u u u r u u u r ，则PM PN ⋅u u u u r u u u r 的最大值为…………………（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）10 （D ）916. 若存在t R ∈与正数m ，使()()F t m F t m -=+成立，则称“函数()F x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”．设2()x f x xλ+=（0x >），若对于任意26)t ∈，，总存在正数m ，使得“函数()f x 在x t =处存在距离为2m 的对称点”，则实数λ的取值范围是…………………………………………………………………………………………（ ） （A ）(]02， （B ）(]12， （C ）[]12， （D ）[]14，三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出 必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别是线段1BC CD 、的中点．（1）求异面直线EF 与1AA 所成角的大小； （2）求直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小．18. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知抛物线22y px =（0p >），其准线方程为10x +=，直线l 过点(0)T t ，（0t >）且与抛物线交于A B 、两点，O 为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关； （2）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式．19. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[]m n D ⊆，（m n <），同时满足： ①()f x 在[]m n ，内是单调函数；②当定义域是[]m n ，时，()f x 的值域也是[]m n ，．则称函数()f x 是区间[]m n ，上的“保值函数”．（1）求证：函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”； （2）已知211()2f x a a x=+-（0a R a ∈≠，）是区间[]m n ，上的“保值函数”，求a 的取值范围．20. （本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）数列{}n a 中，已知12121()n n n a a a a k a a ++===+，，对任意*n N ∈都成立，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（这里a k ，均为实数） （1）若{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）若112a k ==-，，求n S ； （3）是否存在实数k ，使数列{}n a 是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12m m m a a a ++，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由．21. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设T R ⊂≠，若存在常数0M >，使得对任意t T ∈，均有t M ≤，则称T 为有界集合，同时称M 为集合T 的上界．（1）设12121x x A y y x R ⎧⎫-⎪⎪==∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，、212A x sinx ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，试判断1A 、2A 是否为有界集合，并说明理由；（2）已知2()f x x u =+，记11()()()(())n n f x f x f x f f x -==，（23n =L ，，）．若m R ∈，1[)4u ∈+∞，，且{}()n B f m n N *=∈为有界集合，求u 的值及m 的取值范围；（3）设a b c 、、均为正数，将222()()()a b b c c a ---、、中的最小数记为d ．是否存在正数(01)λ∈，，使得λ为有界集合222{|dC y y a b c==++，a b c 、、均为正数}的上界，若存在，试求λ的最小值；若不存在，请说明理由．1宝山区第二学期期中高三数学教学质量监测试参考答案及评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1、()0,1 2、1 3、π 4、3 5、16π6、37、28、1-9、1210、0.03 11 12、512 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 13、B 14、C 15、A 16、A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17. 解：（1）方法一：设正方体棱长为2，以D 为原点，直线DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z轴，建立空间直角坐标系，则(000)D ，，，(220)B ，，，(020)C ，，，1(002)D ，，，故(120)E ，，，(011)F ，，，()111EF =--u u u r ，，，()1002AA =u u u r，，， …………………4/设异面直线EF 与1AA 所成角的大小为α，向量EF u u u r与1AA u u u r 所成角为β，则11EF AA cos cos EF AA αβ⋅==⋅u u u r u u u ru u u ru u u r…… 6/ 3==，……7/ 注意到02πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，，故α=，即异面直线EF 与1AA 所成角的大小为3arccos．…………………8/ （2）由（1）可知，平面11AA B B 的一个法向量是(100)n =r，，，…………………10/ 设直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小是θ，向量EF u u u r与n r 所成角为γ，则EF n sin cos EF n θγ⋅==⋅u u u r r uu u r r ………12/ =13/ 又02πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，3arcsin θ∴=，即直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小为3．………………14/方法二：设正方体棱长为2．（1）在面11CC D D 内，作FHCD ⊥于H ，联结HE ．因为正方体1111ABCD A B C D -，所以1AA ∥1DD ；在面11CC D D 内，有FH ∥1DD ，故异面直线EF 与1AA 所成的角就是EFH ∠（或其补角）．………………………4/由已知及作图可知，H 为CD 的中点，于是，在Rt EFH ∆中，易得1FH =，HE =HE tan EFH FH∠=， ………………………………………… 6/1== 7/ 又(0)2EFH π∠∈，，所以EFH∠=EF 与1AA所成角的大小为8/（2）因为正方体1111ABCD A B C D -，所以平面11AA B B ∥平面11CC D D ，故直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小就是直线EF 与平面11CC D D 所成角．注意到BC ⊥平面11CC D D ，即EC ⊥平面11CC D D ，所以直线EF 与平面11AA B B 所成角的大小即为EFC ∠． ………………………………10/在Rt EFC ∆中，易得1EC FC ==，ECtan EFC FC ∠=……………………12/2==，………………13/ 又(0)2EFC π∠∈，，故EFC ∠=，即直线EF 与平面11AA B B所成角的大小为2arctan． ……14/18.解：（1）方法一：由题意，2=p ，所以抛物线的方程为x y 42=． ……………2/当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为t x =，则(A t，(B t -，，t t 42-=⋅．…………3/当直线l 的斜率k 存在时，则0≠k ，设l 的方程为)(t x k y -=，11()A x y ，，22()B x y ，，由24()y x y k x t ⎧=⎨=-⎩消去x ，得0442=--kt y ky ，故121244y y k y y t⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，所以，t t y y y y y y x x OB OA 41622122212121-=+=+=⋅．…………………………………………5/综上，OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关． …………………………………………6/方法二：由题意，2=p ，所以抛物线的方程为x y 42=． ………………………………2/依题意，可设直线l 的方程为x my t =+（m R ∈），11()A x y ，，22()B x y ，，由24y xx my t⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=， 故121244y y m y y t+=⎧⎨=-⎩，所以，12121212()()OA OB x x y y my t my t y y ⋅=+=+++u u u r u u u r221212(1)()m y y mt y y t =++++ …………………………5/22(1)(4)4m t mt m t =+-+⋅+ 24t t =-综上，OB OA ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关． …………………………6/（2）设00()P x y ，，则0204x y =，||PT ==， ……………………………8/注意到00≥x ，所以，若20t -≥，即2t ≥，则当02x t =-时，||PT 取得最小值，即()2)d t t =≥；………10/若20t -<，即有02t <<，则当00x =时，||PT 取得最小值，即()(02)d t t t =<<；………12/综上所述，()()2()02t d t tt ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩…………………………………………………14/19.解：（1）函数2()2g x x x =-在[01]x ∈，时的值域为[10]-，，…………………………4/不满足“保值函数”的定义，因此函数2()2g x x x =-不是定义域[01]，上的“保值函数”．………………………6/（2）因x a a x f 2112)(-+=在[]m n ，内是单调增函数，故()()f m m f n n ==，，……8/ 这说明m n ，是方程x xa a =-+2112的两个不相等的实根， ………………………………10/其等价于方程01)2(222=++-x a a x a 有两个不相等的实根，……………………………11/由222(2)40a a a ∆=+->解得23-<a 或21>a ． ………………………………………13/故a 的取值范围为3122⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，，． ………………………………………………14/20.解：（1）若{}n a 是等差数列，则对任意*n N ∈，有122n n n a a a ++=+，………………2/即121()2n n n a a a ++=+，………………………………………………………………………3/ 故12k =．………………………………………………………………………………………4/ （2）当12k =-时，121()2n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--，211()n n n n a a a a ++++=-+，故32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+． …………………………………………5/ 所以，当n 是偶数时，1234112()(11)22n n n n nS a a a a a a a a n -=++++++=+=+=L ；……………………7/ 当n 是奇数时，2312()2a a a a +=-+=-，12341n n n S a a a a a a -=++++++L 123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++L11(2)22n n -=+⨯-=-． ……………9/综上，()()2212n n n k S nn k -=-⎧⎪=⎨=⎪⎩（*k N ∈）． …………………………………………10/（3）若}{n a 是等比数列 ，则公比a a a q ==12，由题意1≠a ，故1-=m m a a ，m m a a =+1，12++=m m a a ．……11/① 若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+ ⇔221a a =+，解得1=a （舍去）；……12/ ② 若m a 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+⇔22a a =+，因1≠a ，故解得，2a =-，11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ……………………………14/ ③ 若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112221m m m aa a a a +-=+⇔=+， 因为1≠a ，解得212215a a k a =-==-+，． …………………………………………15/ 综上，存在实数k 满足题意，25k =-．…………………………………………………16/21.解：（1）对于1A ，由2121x x y -=+得1201x y y+=>-，解得11y -<<，………………2/ 1A ∴为有界集合； …………………………………………3/显然252266A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎭⎩，不是有界集合． ………………………4/（2）记()n n a f m =，则21n n a a u +=+．若14u =，则21()4f m m =+，22111()42n n n n n a a a a a +=+=-+≥，即1n n a a +≥，且211111()()2422n n n n a a a a +-=-=-+，从而1111222n n n a a a +-=-⋅+．（ⅰ）当12m =时，1()2n n f m a ==，所以1{}2B =，从而B 为有界集合．…………5/（ⅱ）当12m <时，由2114n n a a +=+，2111()()4a f m f m m ===+，显然，此时0n a >，利用数学归纳法可得12n a <，故B 为有界集合．…………………………………………6/ （ⅲ）当12m >时，211111()()42n n a a a f m f m m m +≥≥≥===+≥>L ，2114n n n n a a a a +-=-+21()2n a =-211()2a ≥-，即2111()2n n a a a +-≥-，由累加法得2111(1)()2n a a n a ≥+--→+∞，故B不是有界集合．因此，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合；若14u >，则211()()a f m f m m u u ===+≥，即114a u ≥>，又2114n n a a u u +=+>>（n N *∈）， 即14n a >（n N *∈）． 于是，对任意n N *∈，均有221111()244n n n n n a a a a u a u u +-=-+=-+-≥-，即114n n a a u +-≥-（n N *∈），再由累加法得11(1)()4n a a n u ≥+--→+∞，故B 不是有界集合．………8/综上，当14u =，且12m ≤时，B 为有界集合；当14u =，且12m >时，B 不是有界集合；当14u >(m R ∈)时，B 不是有界集合． 故，满足题设的实数u 的值为14，且实数m 的取值范围是11[]22-，．………………10/（3）存在．………………………………………………………………………11/ 不妨设a b c ≥≥．若2a c b +≤，则2a b c ≥-，且2()d b c =-．故22222225()5()()d a b c b c a b c -++=--++22225()[(2)]b c b c b c ≤---++3(2)0c c b =-<，即22222215()05d d a b c a b c -++<⇔<++；…………13/ 若2a c b +>，则2a a c b <+<，即220a b a b <⇔-<，又2a cb bc a b +>⇔->-，故2()d a b =-，又22222225()5()()d a b c a b a b c -++=--++22(2)(2)0a b a b c =---<，即 2225()0d a b c -++<22215d a b c ⇔<++，因此，15是有界集合C 的一个上界．…………………………15/ 下证：上界15λ<不可能出现．假设正数15λ<出现，取2a c b +=，1()05c a λ=->，则22a c d -⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时， d 22222213()()()55a b c a b c ac λλ=+++-++-22221()()5a b c a acλλ>+++--222()a b c λ=++（*）…17/ 由式（*）可得222222()dd a b c a b c λλ>++⇔>++，与λ是C 的一个上界矛盾！． 综上所述，满足题设的最小正数λ的值为15． …………………………………………18/。

上海宝山区2023-2024学年第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷考生注意：1．本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；4．可使用符合规定的计算器答题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分），要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．1.抛物线y x 42=的焦点坐标为______.2.已知3tan =α，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πα_______.3.将()02>a a a 其中化为有理数指数幂的形式为_______.4.已知向量()2,2m a =，()1,1+=m b ，若10=⋅b a ，则实数=m .5.设实数y x 、满足()()()i 1i i 42i i +-=+-+y x y x ()为虚数单位i ，则=+y x .6.有一组数从小到大．．．．排列为：3，5，x ，8，9，10.若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为_______.7.已知集合{}3,12++=a a A ，，且A ∈1，则实数a 的值为.8.在数列{}n a 中，()21lg,211≥-+==-n n na a a n n 且，则=100a _______.9.某公司为了了解某商品的月销售量y （单位：万件）与月销售单价x （单位：元/件）之间的关系，随机统计了5个月的销售量与销售单价，并制作了如下对照表：月销售单价x （元/件）1015202530月销售量y （万件）1110865由表中数据可得回归方程y ax b =+中0.32a ∧=-，试预测当月销售单价为40元/件时，月销售量为万件.10.已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x ，以双曲线的右顶点A 为圆心，b 为半径作圆，圆A与双曲线的一条渐近线交于N M 、两点，若60=∠MAN ，则双曲线的离心率为_______.11.某区域的地形大致如下左图，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位O 的正上方安装探照灯对警戒区域进行探查扫描.假设1：警戒区域为空旷的扇环形平地11n n A A B B ；假设2：视探照灯为点M ，且距离地面20米；假设3：探照灯M 照射在地面上的光斑是椭圆.当探照灯M 以某一俯角从1k k A A +侧扫描到1k k B B +侧时，记为一次扫描，此过程中照射在地面上的光斑形成一个扇环(),...3,2,1=k S k .由此，通过调整M 的俯角，逐次扫描形成扇环1S 、2S 、3S L .第一次扫描时，光斑的长轴为EF ，||30OE =米，此时在探照灯M 处测得点F 的俯角为30（如下右图）.记1||k k k A A d +=，经测量知1||80n A A =米，且{}k d 是公差约为1.0米的等差数列，则至少需要经过次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕.12.空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量a 、b 满足：2a b ⋅=，||1b = ，且存在实数t ，使得||2||0a a tb -+≥成立，则由a 构成的空间几何体的体积是.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分），每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分.13.已知0>>b a ，则（）.A ．22ba >B ．ba22<C ．2121ba <D ．ba 2121log log >14.已知随机变量X 服从正态分布()20σ，N .若()65=≤a X P ，则()=≤a X P （）.A ．32B ．21C ．31D ．6115.已知直线n m l 、、与平面βα、，则下列命题中正确的是（）.A ．若βα//，α⊂l ，β⊂n ，则n l //B ．若βα⊥，α⊂l ，则β⊥l C ．若α⊥l ，β//l ，则βα⊥D ．若n l ⊥，n m ⊥，则ml //16.数列{}n a 中，n S 是其前n 项的和，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称数列{}n a 为“某数列”.现有如下两个命题：①等比数列{}n2为“某数列”；②对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“某数列”{}n b 和{}n c ，使得n n n c b a +=.则下列选项中正确的是（）.A ．①为真命题，②为真命题B ．①为真命题，②为假命题C ．①为假命题，②为真命题D ．①为假命题，②为假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，已知C A B C A sin sin sin sin sin 222+=+.（1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆的面积为3，求c a +的最小值，并判断此时ABC ∆的形状.18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 的圆周上，AB 为圆O 的直径.（1）求证：P A BP 1⊥；（2）若,60,2=∠=BOP OA 圆柱的体积为π216，求异面直线AP 与B A 1所成角的大小.19．（本题满分16分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分）在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投3次，每投进一次得2分，否则得0分.已知甲每次投进的概率为21，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为21，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为53，若前一次没投进，则该次投进的概率为52.(1)求甲投篮3次得2分的概率；(2)若乙投篮3次得分为X ,求X 的分布和期望；(3)比较甲、乙的比赛结果.20．（本题满分16分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分）已知双曲线1222=-y x 的左、右顶点分别为B A 、，设点P 在第一象限且在双曲线上，O 为坐标原点.（1）求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值；（2）若,9≤⋅PB P A 的取值范围；（3）椭圆C 的长轴长为22，且短轴的端点恰好是B A 、两点，直线AP 与椭圆的另一个交点为Q ．记POA ∆、QAB ∆的面积分别为1S 、2S .求2221S S -的最小值，并写出取最小值时点P 的坐标.21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）函数()y g x =的表达式为()sin()g x x ω=()0ω>.（1）若1ω=，直线l 与曲线()y g x =相切于点(,1)2π，求直线l 的方程；（2）函数()y g x =的最小正周期是2π，令()()ln h x x g x x =⋅-，将函数()y h x =的零点由小到大依次记为12,,,,n x x x (1,)n n N ≥∈，证明：数列{sin }n x 是严格减数列；（3）已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足()(2)()0f x a f x a +=->，对任意[0,2]x a ∈，当x a ≠时，都有()()f x f a <且()1f a =.记()()()F x f x g x =+，1()()()2G x f x g x =++.当ω=π时，是否存在12x x R ∈、，使得12()()4F x G x =+成立？若存在，求出符合题意的12x x 、；若不存在，请说明理由.参考答案1.()1,0 2.21 3.45a4.25.26.5.77.08.49.6.110.33211.1512.89π12.解：由已知得22||4||a a tb ≥+ ，所以2223||84||0a tab t b +⋅+≤ 所以存在实数t ，使得不等式224163||0t t a ++≤ 有解，则0∆≥，解得||a ≤又因为2a b ⋅= 且||1b =，所以a 在b 方向上的数量投影是2，所以，a围成的空间几何体是以原点为顶点，高为2，母的圆锥（如图）故由a 构成的空间几何体的体积218239ππ⋅⋅=13.A 14.A 15.C 16.C17.解：（1）由正弦定理得ac b c a +=+222..........................2分又由余弦定理得2122cos 222==-+=ac ac ac b c a B ...............................4分因为B 是三角形内角，所以3π=B ....................................6分（2）由三角形面积公式3433sin 21sin 21====∆ac ac B ac S ABC π..........................8分得4=ac .........................10分因为42=≥+ac c a ，当且仅当2==c a 时取等号，........................12分所以c a +的最小值为4，此时ABC ∆为等边三角形.............................14分18.解：（1）证明：圆柱1OO 中，易知O AB 圆⊥，从而AP 是P A 1在圆O 上的投影.....2分又AB 为圆O 的直径，可得AP BP ⊥.......................4分由三垂线定理，就得P A BP 1⊥.......................6分（2）延长PO 交圆O 于点Q ，连接BQ 、Q A 1、AQ ，易知AP BQ //，BQ A 1∠（或其补角）即为所求的角..........................8分由题知πππ2164112=⋅=⋅⋅=AA AA OA V 解得241=AA .................................10分BQ A 1∆中，34,6,3211===B A Q A QB 由余弦定理得2134322364812cos 1=⋅⋅-+=∠BQ A .......................13分从而601=∠BQ A 所以异面直线AP 与B A 1所成角的大小为60................................14分19.解：（1）甲投篮3次得2分，即只投中1次，概率8321121213=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=C p .................3分（2）由题意知X 的所有可能取值为6,4,2,0则()1339025550P X ==⨯=.................4分()1231221328225525525525P X ==⨯+⨯⨯+⨯⨯=.................5分()1321221238425525525525P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.................6分()1339625550P X ==⨯⨯=.................7分随机变量X 的分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛5096258425825090..................8分期望()98890246350252550E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.................9分（3）设甲三次投篮的得分Y ，则Y =6,4,2,0可求得随机变量Y 的分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛816834832810所以()3816834832810=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E .............11分()3381683483281022222=-⨯+⨯+⨯+⨯=Y D ...........12分又可算得()25973509625842582509022222=-⨯+⨯+⨯+⨯=X D .......13分因为()()Y E X E =，()()Y D X D >所以甲最终的得分均值等于乙最终的得分均值，但乙赢得的分值不如甲稳定........16分另解：设甲三次投篮的次数为ξ，3,2,1,0=ξ则()23213=⨯=ξE 设甲的投篮得分为Y ，则ξ2=Y ，从而()()()322===ξξE E Y E 20.解：（1）两条渐近线方程为02=±y x .............................1分()()1,2,1,221-==n n 设两条直线夹角为θ，则313312cos =⋅-=θ........................2分所以双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为31...............................3分（2）设()()0,1,,1111>>y x y x P ，由已知得()()0,101B A 、，-..................4分()11,1y x P A ---=，()11,1y x PB --=，则912121≤+-=⋅y x PB P A 得102121≤+y x ..............................6分又点P 在双曲线上，有122121=-y x 即()122121-=x y 从而()10122121≤-+x x 得421≤x .又点P 是双曲线在第一象限的点，所以(]4,121∈x .()(]10,123122121212121∈-=-+=+=x x x y x OP (]101，OP ................................9分（3）椭圆C 中1,2==b a ，焦点在y 轴上，标准方程为1222=+x y ..................10分设()()0,0,,2222>>y x y x Q ，直线AP 的斜率为()0,>k k 则直线AP 的方程为()1+=x k y 联立方程组()⎪⎩⎪⎨⎧=++=12122x y x k y 得()02222222=-+++k x k xk 该方程的两根分别为1-和22222k k x +-=同理可得22122k k x -+=所以121=⋅x x .........................12分记2121111y y S S POA =⨯⨯==∆222221y y S S QAB =⨯⨯==∆..........................13分则()()2522112124142221222122212221-+=---⨯=-=-x x x x y y S S 21251225222121-=-≥-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x当且仅当212122x x =即221=x 时取等号，.....................15分所以2221S S -的最小值为21-，此时点P 的坐标为()22，.................16分另解:1,12211+=+=x yk x y k AQ AP 因为AQ APk k =，所以112211+=+x yx y 即22221111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x y x y 又()122121-=x y ，()222212x y -=，代入上式化简得11112211+-=+-x x x x ，整理得121=⋅x x 21.解（1）1ω=时，()sin ,g x x =则'()cos g x x =..................1分从而'(cos022k g ππ===..................3分所以直线l 的方程是1y =..................4分（2）由22ωπ=π，可知1ω=，则()sin ln h x x x x =-（0x >），.......................5分当()0h x =时ln sin xx x=.......................6分①当01x <<时，ln sin 0,0xx x><，此时函数()y h x =没有零点；.....................7分②当1x ≥时，因为2ln 1ln ()'x x x x -=，可知ln x y x=在[]1,e 上严格增，在[,)e +∞严格减又sin y x =在[1,]2π上严格增，在[,]2e π严格减，所以[1,]x e ∈时，x y sin =在e x =时有最小值sin e ，xxy ln =在e x =时有最大值ln 1e e e =因为1sin e e >所以ln sin x x x=在[1,]e 上没有交点，即()sin ln h x x x x =-在[1,]e 上没有零点.......................9分所以函数()y h x =的零点n x 满足12n e x x x <<<<< ，.因为ln x y x =在[,)e +∞严格减，所以1212ln ln ln n nx x x x x x >>>> .又因为ln sin nn nx x x =，所以数列{sin }n x 是严格减数列........................10分（3）因为[]()(2)(4)(4)f x f x a f x a f x a =-+=--+=+，所以()y f x =是以4a 为周期的周期函数.................11分因为任意[0,2]x a ∈，当x a ≠时，都有()()f x f a <且()1f a =，所以当x a =时，()y f x =在[0,2]a 上有唯一的最大值1...............................12分由ω=π得()sin g x x =π，()()sin ,()()cos F x f x x G x f x x =+π=+π................13分假设存在12x x R ∈、，使得12()()4F x G x =+成立，即[]1122()sin ()cos 4f x x f x x +π-+π=成立故，当()14x a ka k Z =+∈时，1()f x 取得最大值1；当()122x m m Z 1=+∈时，1sin x π取得最大值1由422a ka m 1+=+，可知4182m a k +=+①时，()11max ()sin 2f x x +π=...................15分又因为()y f x =是奇函数，所以当x a =-时，()f x 在[20]a -，上有唯一的最小值1-故，当()24x a na k Z =-+∈时，2()f x 取得最小值1-；当()212x t t Z =+∈时，2cos x π取得最小值1-由412a na t -+=+，可知2141t a n +=-②时()22min ()cos 2f x x +π=-.....................17分若[]1122()sin ()cos 4f x x f x x +π-+π=成立，则由①②得41218241m t k n ++=+-，即(41)(41)(21)(82)m n t k +-=++因为,,,m n k t Z ∈，此时等式左边为奇数，等式右边为偶数，所以等式不成立..............18分。

2020届上海市宝山区高考数学二模试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.用数学归纳法证明：，第二步证明“从到”，左端增加的项数是()A. B. C. D.2.已知a，b均为实数，则“ab2>1”是“a>1”的()b2A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知0<θ<，则双曲线C1：=1与C2：=1的A. 实轴长相等B. 虚轴长相等C. 焦距相等D. 离心率相等4.平行六面体中，设则()A. 1B.C.D.二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5.下列关系中，正确的是______．①−4∈R；3②√3∉Q；③|−20|∉N∗；④|−√2|∈Q；⑤−5∉Z；⑥0∈N．6.设圆C位于抛物线y 2=2x与直线x=3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为__________．7.抛物线y2=2px(p>0)过圆x2+y2−4x+8y+19=0的圆心，A(3,m)为抛物线上一点，则A到抛物线焦点F的距离为__．8.i是虚数单位，i2015+i2016=______．9.在(x−2)5的展开式中，x3的系数为______.(用数字作答)10.已知a⃗=(1,−2)，b⃗ =(x,6)，且a⃗⊥b⃗ ，则x=______ ．11.在三棱锥A−BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为ΔBCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2√2，则三棱锥A−BCD 外接球的表面积为_________．12.若复数z满足|z−41z|=0，则z的值为______．13.如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为π2，若P为弧AB⏜上异于A，B的点，且PQ⊥OB交OB于Q点，当△POQ的面积大于√38时，∠POQ的大小范围为______．14.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{−3,−2,−1,0，1，2，3}，在这些抛物线中，记随机变量X=“|a−b|的取值”，则X的均值EX为______ ．15.在数列{a n}中，a1=4，a2=10，若{log3(a n−1)}为等差数列，则T n=1a2−a1+1a3−a2+⋯+1a n+1−a n=______ ．16.设直线x=t与两数f(x)=x2+1，g(x)=x+lnx的图象分别交于P，Q两点，则|PQ|的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的底面是正方形，AB=1，AA1=2，线段B1D1上有两个点E，F．(1)证明：AC⊥B1D1；(2)证明：EF//平面ABCD；(3)若E，F是线段B1D1上的点，且EF=12，求三棱锥A−BEF的体积．18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知√3a=b(sinC+√3cosC)．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若b=2，求a+c的取值范围．19.设二次函数．(1)求函数的最小值；(2)问是否存在这样的正数，当时，，且的值域为？若存在，求出所有的的值，若不存在，请说明理由．20.已知点A(0,−2)，椭圆E:x2a2+y2b2=1的离心率为√32，F(c,0)是椭圆的焦点，直线AF的斜率为2√33，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的直线l与E相交于P、Q两点，当ΔOPQ的面积最大时，求直线l的方程．21.已知函数f(x)=ln x−2．x+2(Ⅰ)若f(a)=1，求a的值；(Ⅱ)试判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(Ⅲ)写岀方程f(x)=sinx+2根的个数(不需证明)．【答案与解析】1.答案：B解析：试题分析：n=k时，不等式为，当n=k+1时，不等式为，所以左端增加的项数为2项，故选B。

2022年上海市宝山区高考数学二模试卷1.设集合，，则______ .2.如果函数是奇函数，则______.3.若线性方程组的增广矩阵为，解为，则______ .4.方程在上的解集是__________.5.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为______.6.若一组数据2，3，7，8，a的平均数为5，则该组数据的方差______.7.已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是______.8.已知P是双曲线上的点，过点P作双曲线两渐近线的平行线，，直线，分别交x轴于M，N两点，则______.9.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，，，则______.10.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统简称系统和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，则______.11.知直线与直线互相平行且距离为等差数列的公差为d，且，，令…，则的值为______.12.已知D，E分别是边AB，AC的中点，M是线段DE上的一动点不包含D，E两点，且满足，则的最小值为______.13.若a，b，c，d都是实数，且，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件14.已知，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A. 如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B. 过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直C. 平面不垂直平面，但平面内存在直线垂直于平面D. 若直线l不垂直于平面，则在平面内不存在与l垂直的直线15.关于函数和实数m，n的下列结论中正确的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则16.设函数，其中，若a，b，c是的三条边长，则下列结论中正确的是( )①对一切都有；②存在，使，，不能构成一个三角形的三条边长；③若为钝角三角形，则存在，使A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③17.在长方体中，，，点E是棱AB上的点，求异面直线与EC所成角的大小；求点C到平面的距离．18.某地区的一种特色水果上市时间11个月中，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：①；②；③以上三式中p，q，A，B均为常数．为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？若，，求出所选函数的解析式注：函数的定义域是，其中表示1月份，表示2月份，⋯⋯，以此类推，为保证果农的收益，打算在价格在5元以下期间积极拓宽外销渠道，请你预测该水果在哪几个月份要采用外销策略？19.已知函数当时，求满足的x的取值范围；若的定义域为R，又是奇函数，求的解析式，判断其在R上的单调性并加以证明．20.已知是椭圆C的两个焦点坐标，是椭圆C上的一个定点，A，B是椭圆C上的两点，点M的坐标为求椭圆C的方程；当A，B两点关于x轴对称，且为等边三角形时，求AB的长；当A，B两点不关于x轴对称时，证明：不可能为等边三角形．21.已知无穷数列的前n项和为，且满足，其中A、B、C是常数．若，，，求数列的通项公式；若，，，且，求数列的前n项和；试探究A、B、C满足什么条件时，数列是公比不为的等比数列．答案和解析1.【答案】【解析】解：，，故答案为：集合B为简单的二次不等式的解集，解出后，利用数轴与A求并集即可．本题考查集合的基本运算，属基本题，注意等号．2.【答案】【解析】解：根据题意，函数，当时，，而函数为奇函数，则；故答案为：根据题意，求出时的函数值，结合函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．3.【答案】16【解析】【分析】本题考查增广矩阵，属于基础题．根据题意，进行求解即可．【解答】解：由题意知，是方程组的解，即，则，故答案为4.【答案】【解析】【分析】可化为，即，从而求解．本题考查了二倍角公式，属于基础题．【解答】解：可化为；即；，；或；故答案为：5.【答案】【解析】解：正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1如图：过S作平面ABC，为底面正三角形的高，且，棱锥的高，三棱锥的体积故答案是过S作平面ABC，根据正三棱锥的性质求的高SO，代入体积公式计算．本题考查了正三棱锥的性质及体积计算，解题的关键是利用正三棱锥的性质求高．6.【答案】【解析】解：数据2，3，7，8，a的平均数为5，，解得，故答案为：根据已知条件，结合平均数和方差的公式，即可求解．本题主要考查平均数和方差的公式，属于基础题．7.【答案】【解析】解：画可行域如图，画直线，平移直线过点时z有最大值1；平移直线过点时z有最小值；则的取值范围是，则的取值范围是，故答案为：根据步骤：①画可行域②z为目标函数纵截距③画直线，平移可得直线过A或B时z有最值即可解决．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．8.【答案】4【解析】解：双曲线两渐近线的斜率为，设点，则，的方程分别为，，所以M，N坐标为，，，又点P在双曲线上，则，所以故答案为：求出渐近线的斜率，设出P的坐标，推出MN的坐标，然后转化求解即可．考查双曲线的渐近线的性质．考查分析问题解决问题的能力．9.【答案】【解析】解：由，，，可得，即有，由可得，由于，所以A为锐角，则，故答案为：由三角形的余弦定理可得c，再由正弦定理可得，由三角形的边角关系可得本题考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10.【答案】【解析】解：由题意得，，解得，故答案为：由对立事件及独立事件性质知，即可解得．本题考查了对立事件及独立事件性质的应用，属于基础题．11.【答案】52【解析】解：由两直线平行可知，由两平行直线间的距离公式得，因为，所以，解得或，因为，所以，所以，所以，所以…故答案为：利用直线平行的性质可得，利用两平行直线间的距离公式可得，由等差数列的性质可得的通项公式，从而即可求解的值．本题主要考查等差数列的前n项和，等差数列的通项公式，平行直线的性质以及两平行直线间的距离公式，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】【解析】解：由于M是DE上的一动点不包含D，E两点，且满足，所以，且，所以，当且仅当，时取故答案为：通过向量的基本定理，推出，利用基本不等式求解表达式的最小值．考查平面向量的线性运算，基本不等式的应用，考查计算能力．13.【答案】B【解析】解：由，，相加可得：，反之不成立，比如：，，，，，则“”是“”的必要不充分条件．故选：由，，相加可得，反之不成立．即可判断出结论．本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】B【解析】解：正方体中，直线、直线都平行于平面ABCD，而直线与相交，A不正确；如图，直线l是平面的斜线，，点P是直线l上除斜足外的任意一点，过点P作于点A，则直线OA是斜线l平面内射影，直线l与直线OA确定平面，而平面，则平面平面，即过斜线l一个平面垂直于平面，因平面的一条斜线在此平面内的射影是唯一的，则直线l直线OA确定的平面唯一，所以过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直，B正确；如果平面内存在直线垂直于平面，由面面垂直的判断知，平面垂直于平面，因此，平面不垂直平面，则平面内不存在直线垂直于平面，C不正确；如图，在正方体中，平面ABCD为平面，直线为直线l，显然直线l垂直于平面，而平面内直线AB，CD都垂直于直线l，D不正确．故选：举特例说明判断A；由平面的基本事实及线面垂直的性质推理判断B；推理说明判断C；举例说明判断D 作答．本题考查空间直线与平面的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．15.【答案】C【解析】解：，，所以，函数为偶函数，任取，由于函数和函数都是增函数，则，，，所以，函数在区间上是增函数，由于该函数为偶函数，则，对于A选项，取，，，则，则，A选项错误；对于B选项，，则，，即，B选项错误；对于C选项，，则，，所以，C选项正确；对于D选项，取，，则，，即，此时，，D选项错误．故选考查函数的奇偶性，可知该函数是个偶函数，并考查函数在区间上的单调性，然后利用偶函数的性质结合该函数在上的单调性对各选项进行验证．本题考查了函数的奇偶性、单调性及转化思想，由为偶函数得到，是解答本题的关键，属于中档题．16.【答案】D【解析】解：①，b，c是的三条边长，，，，，，当时，，①正确．②令，，，则a，b，c可以构成三角形，但，，却不能构成三角形，②正确．③，，若为钝角三角形，则，，，根据根的存在性定理可知在区间上存在零点，即，使，③正确．故选：①利用指数函数的性质以构成三角形的条件进行证明．②可以举反例进行判断．③利用函数零点的存在性定理进行判断．本题考查的知识点较多，考查函数零点的存在性定理，考查指数函数的性质，以及余弦定理的应用，属中档题．17.【答案】解：在线段CD上取靠近点D的三等分点F，连结AF，，由平面几何的知识易知，故或其补角即为异面直线与EC所成角，由于，故为等边三角形，，即异面直线与EC所成角为如图所示，利用等体积法，，设点C到平面的距离为h，则，即，解得，即点C到平面的距离为【解析】首先平移直线找到异面直线所成的角，然后计算其大小即可；利用等体积法转化顶点即可求得点面距离．本题主要考查异面直线所成的角的求解，点面距离的计算，等体积法的应用，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．18.【答案】解：应选，①是单调函数且不具有先升后降再升的特点，②同样不具有先升后降再升的特点，③有多个单调递增区间和减区间；由，，所以解得：，；所以，所以，当时，需采用外销策略，则此时，即，又，由函数得在内，，得或，即或，即或，又表示1月份，故应在1月份、6月份、7月份、8月份、9月份采用外销策略．【解析】根据每个函数的特点及市场中价格的走势可知选择③；根据，，求出A，B的值，再根据解出x的值即可．本题考查了根据实际问题选择函数类型，也考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题．19.【答案】解：由题意，，化简得…分解得…分所以…分，如果是其它答案得5分已知定义域为R，所以，…分又，…分所以；…分对任意，，，可知…分因为，所以，所以，因此在R上递减．…分【解析】由题意可得从中解得，解此指数不等式即可求得x的取值范围；由，可求得a，可求得b，从而可得的解析式；利用单调性的定义，对任意，，，再作差，最后判断符号即可．本题考查指数不等式的解法，考查函数奇偶性的应用，考查函数单调性的判断与证明，属于综合题，难度大，运算量大，属于难题．20.【答案】解：依题意设椭圆的标准方程为，因为是椭圆C的两个焦点坐标，是椭圆C上的一个定点，所以，解得，所以椭圆C的方程为：；设，，因为为等边三角形，所以，又点在椭圆上，所以，消去得，，解得或，当时，；当时，证明：根据题意可知，直线AB斜率存在，设直线AB：，，，AB中点为，联立消去y得，由得到，①所以，，所以，又，如果为等边三角形，则有，所以，即，化简，②由②得，代入①得，化简得，不成立，故不能为等边三角形．【解析】依题意设椭圆的标准方程为，根据条件列出方程组，待定系数法求解即可；根据对称性设，，由等边三角形可得，结合A点在椭圆上可得，求解可得AB的长；采用反证法，即如果为等边三角形，则有，从而推出矛盾，可判断不可能为等边三角形．本题考查了椭圆的标准方程，椭圆的性质以及直线与椭圆的综合，属于难题．21.【答案】解：，，，，，当时，，解得；当时，，整理，得，，，，，，，当时，，解得，当时，整理，得，，，是首项为，公差为的等差数列，若数列是公比为q的等比数列，①当时，，由，得恒成立，与数列是等比数列矛盾；②当，时，，，由恒成立，得对于一切正整数n都成立，或或0，，事实上，当，或或0，时，，时，，得或数列是以为首项，以为公比的等比数列．【解析】利用公式，结合等比数列的性质能求出数列的通项公式．利用公式，结合题设条件进行因式分解，得到是等差数列，由此能求出数列的前n项和设数列是公比为q的等比数列，分别讨论当，，时的情况，由此入手能够求出结果．本题考查数列的通项公式和数列的前n项和的求法，探究A、B、C满足什么条件时，数列是公比不为的等比数列，对数学思维能力要求较高，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．。

2020年上海市宝山区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 用数学归纳法证明“1+12+13+⋯+12n <F (n )”时，由n =k 不等式成立，证明n =k +1时，左边应增加的项数是( )A. 2k−1B. 2k −1C. 2kD. 2k +12. 设a ⃗ ，b ⃗ 是非零向量，记a ⃗ 与b ⃗ 所成的角为θ，下列四个条件中，使a⃗ |a⃗ |=b⃗ |b⃗ |成立的充要条件是( ) A. a ⃗ //b ⃗B. θ=0C. θ=π2D. θ=π3. 若双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点F(4,0)到其渐近线的距离为2，则C 的渐近线方程为( )A. y =±√33x B. y =±√3xC. y =±√55xD. y =±√5x4. 已知向量a ⃗ =(1,−2,m2−2)，b ⃗ =(m,3，−m2−2)，若(a ⃗ +b ⃗ )⊥(a ⃗ −b ⃗ )，则m 的值为( )A. 0B. −2C. 2D. ±2二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 已知集合A 中的元素满足x ≥2，若a ∉A ，则实数a 的取值范围是________．6. 圆x 2+y 2−4x =0的圆心坐标是______；半径为______．7. 过点(2,−2)的抛物线的标准方程是______ ．8. i 是虚数单位，则|5−i1+i |的值为______．9. 已知(ax −√x2)9的展开式中x 3的系数为94，常数a 的值为______ ． 10. 设关于x 、y 的不等式组{3x −4≥0(y −1)(3x +y −6)≤0表示的平面区域为D ，已知点O(0,0)、A(1,0)，点M 是D 上的动点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则λ的取值范围是______． 11. 若两球体积之比为1:2，则其表面积之比是__________． 12. 方程∣∣∣√3cosx sinx cosxcosx ∣∣∣=√32，x ∈(3,4)实数解x 为______ ． 13. 如图点O 是边长为1的等边三角形ABC 的边BC 中线AD 上一点，且|AO|=2|OD|，过O 的直线交边AB 于M ，交边AC 于N ，记∠AOM =θ， (1)则θ的取值范围为______ (2)1|OM|2+1|ON|2的最小值为______．14.从装有3个黑球和3个白球(大小、形状相同)的盒子中随机摸出3个球，用X表示摸出的黑球个数，则P(X≥2)的值为________．15.在无穷等比数列{a n}中，a1=√3，a2=1，则limn→∞(a1+a3+a5+⋯+a2n−1)=______ ．16.点P是曲线y=x2−lnx上任意一点，则点P到直线x−y−4=0的距离的最小值是__________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.三棱锥P−ABC中△PAC是边长为4的等边三角形，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，平面PAC⊥面ABC，D、E分别为AB、PB的中点．(1)求证AC⊥PD；(2)求三棱锥P−CDE的体积．(3)(理)求点P到面CDE的距离．18.已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，设函数f(x)=12cos2x−√32sinxcosx+34.若△ABC满足：f(A)=12．(1)求∠A的大小；(2)若a=√7，c=1，求△ABC面积S的大小．19.某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元，设f(n)表示前n年的纯利润总和(f(n)前n年总收入前n年的总支出−投资额72万元)(1)该厂从第几年开始盈利？(2)写出年平均纯利润的表达式．20.已知椭圆E:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，又点A(1,√2)在该椭圆上．(1)求椭圆E的方程；(2)若斜率为√2的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，求△ABC的最大面积．21.已知函数g(x)=1x⋅sinθ+lnx在[1,+∞)上为增函数．且θ∈(0,π)，f(x)=mx−m−1x−lnx (m∈R)(1)求θ的值；(2)若f(x)−g(x)在[1,+∞)函数是单调函数，求m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查数学归纳法，属于基础题．由数学归纳法直接求解即可．【解答】解：由n=k不等式成立，即1+12+13+......+12k<F(k)，由n=k(k>1)不等式成立，等式左边有2k项，因此推证n=k+1时，左边应有2k+1项，因此应该增加的项数是2k，故选C．2.答案：B解析：解：若a⃗|a⃗ |=b⃗|b⃗|成立，则表示a⃗与b⃗ 同向共线，即θ=0，故选：B．根据单位向量的定义以及向量相等的条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量相等的等价条件是解决本题的关键．3.答案：A解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．直接利用已知条件求出双曲线的a、b、c，即可求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线C：x2a −y2b=1(a>0,b>0)的右焦点F(4,0)到其渐近线的距离为2，∴c=4，b=2，∴a2=c2−b2=16−4=12，∴a=2√3，双曲线的方程为：x212−y24=1，所求的双曲线的渐近线方程为：y=±√33x．故选：A．4.答案：B解析：【分析】本题考查空间向量垂直的判断，注意空间向量的坐标计算公式．根据题意，由空间向量数量积的计算公式可得(a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=(1+m)(1−m)−5−4m=0，解可得m的值，即可得答案．解析：解：根据题意，a⃗+b⃗ =(1+m,1,−4)，a⃗−b⃗ =(1−m,−5,m)，所以由(a⃗+b⃗ )⊥(a⃗−b⃗ )，则有(a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=(1+m)(1−m)−5−4m=0所以m=−2；故选：B．5.答案：a<2解析：【分析】本题主要考查的知识点是元素与集合的概念，以及元素与集合的关系．根据集合A中的元素满足x≥2，a∉A，即可得到a的取值范围．【解答】解：由题意a不满足不等式x≥2，即a<2．6.答案：(2,0)；2解析：【分析】本题主要考查把圆的一般方程化为标准方程的方法，属于基础题．把圆的一般方程化为标准方程，可得它的圆心坐标(2,0)和半径为2．【解答】解：圆x2+y2−4x=0，即(x−2)2+y2=4，它的圆心坐标是(2,0)，半径等于2，故答案为：(2,0)；2．7.答案：y2=2x或x2=−2y解析：解：①设焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2=ax，将点(2,−2)代入可得a=2，故抛物线的标准方程为y2=2x②设焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2=by，将点(2,−2)代入可得b=−2故抛物线的标准方程为x2=−2y故答案为：y2=2x或x2=−2y分别设焦点在x轴和在y轴上的抛物线的方程，然后将点代入即可．本题主要考查抛物线的标准方程，考查学生的计算能力，正确分类是关键．8.答案：√13解析：【分析】本题主要考查复数的模及复数的基本运算，考查计算能力，属于基础题．利用复数四则运算先化简，再求模长．【解答】解：由题意，可知：5−i 1+i =(5−i)(1−i)(1+i)(1−i)=4−6i1−i2=2−3i，∴|5−i1+i|=|2−3i|=√22+(−3)2=√13．故答案为√13．9.答案：4解析：解：(ax −√x2)9的展开式的通项为T r+1=C9r(ax)9−r(−√x2)r=(−√22)r a9−r C9r x3r2−9令3r2−9=3解得r=8∴展开式中x3的系数为916a∵展开式中x3的系数为94∴916a =94解得a=4故答案为4利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数，列出方程解得．本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．10.答案：(√1010,1]解析： 【分析】考查不等式组表示平面区域的概念，能根据不等式组找出不等式组所表示的平面区域，数量积的计算公式，以及余弦函数的单调性，向量夹角的定义，数形结合解题的方法，属于中档题． 先画出不等式组所表示的平面区域D ，而由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |便可得到，λ=cos∠MOA ，所以求cos∠MOA 的取值范围即可，通过图形找出∠MOA 的变化过程，从而便可求得cos∠MOA 的变化范围． 【解答】解：由不等式组{3x −4≥0(y −1)(3x +y −6)≤0得：{x ≥43,y ≥1,y ≤−3x +6,或{x ≥43,y ≤1,y ≥−3x +6. ∴平面区域D 如下图阴影部分所示：由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ|OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |得，λ=cos∠MOA ； 如图所示，若设直线x =43和y =−3x +6的交点为B ，则B 点坐标为(43,2)，所以|OB|=2√133，当M 点从B 点开始向x 轴靠近的过程中，∠MOA 不断减小，并减小到0，当∠MOA =0°时对应的λ的值达到最大值，而当M 从x 轴并在阴影部分远离x 轴时，∠MOA 又逐渐增大，可知∠MOA 的最大值(极限值)一定在直线y =−3x +6上取得，比较此极限值和M 在B 点对应的λ值即可求出λ的最小值． 当M 点在B 点时，cos∠MOA =432√133=2√1313； 当M 点在第四象限且在直线上时，设M(x,−3x +6)， 则cos∠MOA =√x 2+(−3x+6)2=√110+(36x 2−36x)，当x 趋近于正无穷时，cos∠MOA 趋近于√1010，∵2√1313>√1010， ∴λ的取值范围是(√1010,1]．故答案为：(√1010,1]．11.答案：1:√43解析：∵球的体积公式是V =43πR 3，两球体积之比是1:2，∴半径R 之比是1:√23，球的表面积公式是S =4πR 2，∴表面积之比是1:√43．12.答案：7π6解析：解：因为∣∣∣√3cosx sinx cosxcosx ∣∣∣=√32， 所以√3cosxcosx −sinxcosx =√32，即√3×1 +cos2x2−12sin2x =√32， ∴tan2x =√3，∵x ∈(3,4) ∴2x =7π3，∴x =7π6故答案为：7π6．通过二阶行列式的定义，利用二倍角的余弦函数及同角公式，求出tan2x =√3，再结合x 的范围，求出结果即可．本题考查二阶行列式的定义、三角函数的同角公式，二倍角公式的应用，考查计算能力．13.答案：[π3,2π3]；12解析：解：(1)由题意可得，点O 为等边三角形ABC 的重心，当点N 与点C 重合时，MN 与AB 垂直，M 为AB 的中点，OM 取得最小值， 此时，θ最小，由cosθ=MO AO=12，可得θ=π3．当M 与B 重合时，此时，MN 垂直于AC ，θ取得最大值，由于cos(π−θ)=ONAO =12，可得θ=2π3．综上可得，θ的取值范围为[π3,2π3].(2)由题意可得，AO =23AD =23×√32=√33；设∠ANO =α，则∠AMO =2π3−α．△ANO 中，由正弦定理可得ONsin30∘=AOsinα，解得ON =√36sinα．同理求得OM =√36Sin(2π3−α)．∴1|OM|2+1|ON|2=36sin 2(2π3−α)3+36sin 2α3=12×1−cos(4π3−2α)2+12×1−cos2α2=12−6[cos(4π3−2α)+cos2α]=12−6(12cos2α−√32sin2α)=12−6cos(2α+π3).由(1)可得π3≤5π6−(2π3−α)≤2π3，可得π6≤2α≤π2， ∴π2≤2α+π3≤π+5π6，−√32≤cos(2α+π3)≤0，故当2α+π3=π2时，cos(2α+π3)取得最大值为0，12−6cos(2α+π3)取得最小值为12−0=12，故答案为：12．(1)由题意可得，点O 为等边三角形ABC 的重心，当点N 与点C 重合时，θ最小，由cosθ=MO AO，可得θ的值．当M 与B 重合时，θ取得最大值，由于cos(π−θ)=ONAO ，可得θ的值，从而求得θ的取值范围．(2)先求得AO =23AD 的值，设∠ANO =α，则∠AMO =2π3−α.△ANO 中，由正弦定理求得ON =√36sinα，同理求得OM =√36Sin(2π3−α)，计算1|OM|2+1|ON|2=12−6cos(2α+π3).由π3≤5π6−(2π3−α)≤2π3，求得α的范围，利用余弦函数的定义域和值域求得12+6cos(2α+π3)的最小值．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，余弦函数的定义域和值域，属于难题．14.答案：12解析： 【分析】本题考查古典概率的计算，属基础题．P (X ≥2)=P (X =2)+P (X =3)，由此利用古典概型概率计算公式能求出结果． 【解答】解：从装有3个黑球和3个白球(大小、形状相同)的盒子中随机摸出3个球， 用X 表示摸出的黑球个数， 则P (X ≥2)=P (X =2)+P (X =3)=C 32C 31C 63+C 33C 63=12．故答案为12．15.答案：3√32解析：解：公比q =√3，q 2=13．∴则lim n→∞(a 1+a 3+a 5+⋯+a 2n−1)=a 11−q 2=√31−13=3√32．故答案为：3√32． 利用无穷等比数列的求和公式即可得出．本题考查了无穷等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：2√2解析：因为点P 是曲线y =x 2−lnx 上任意一点，则点P 到直线x −y −4=0的距离的最小值是在点P 的切线与该直线平行的时候，由y′=2x −1x =1⇒x =1(负值x =−12舍去)，所以点P 的坐标为(1,1)，此时点P 到直线x −y −4=0的距离为d =1−1−4√12+12=4√2=2√2．17.答案：(1)证明：取AC 中点O ，连PO ，则PO ⊥AC ，又面PAC ⊥面ABC ，∴PO ⊥面ABC ，连OD ，则OD//BC ，则DO ⊥AC ， ∴AC ⊥面POD ，∴AC ⊥PD.(2)解：V P−CDE =V D−PCE ，∵E 为PB 中点，∴S △PCE =12S △PBC ，V D−PCE =12V D−PBC =12V P−DBC =14V P−ABC ，即V P−CDEVP−ABC=14．易求得V P−ABC =16√33，故V P−CDE =4√33． (3)解：(理)∵面PAC ⊥面ABC ，且AC ⊥BC ， ∴BC ⊥面PAC ，∴BC ⊥PC ，又E 为PB 中点，∴CE =12PB =12√PB 2+BC 2=2√2，同理得CD =2√2，又DE =12PA =2，∴S △CDE =√7 ∵V P−CDE =13S △CDE ⋅ℎ，∴ℎ=4√217所以，点P 到面CDE 的距离为4√217解析：(1)取AC 中点O ，连PO ，则PO ⊥AC ，证明AC ⊥面POD ，然后说明AC ⊥PD ． (2)通过V P−CDE =V D−PCE ，求出S △PCE =12S △PBC ，利用V P−CDEVP−ABC=14.求解几何体的体积即可．(3)证明BC ⊥面PAC ，求出CE ，CD ，通过几何体的体积求解点P 到面CDE 的距离． 本题考查直线与平面垂直，几何体的体积的求法，点到平面的距离的求法，考查计算能力．18.答案：解：(1)化简得，由f(A)=12，可得，则又A∈(0,π )，所以．(2)在△ABC中，由余弦定理可知，求得b=3，则．解析：此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．(1)利用二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，求出的值，结合∠A的范围，即可确定出A的度数；(2)利用余弦定理列出关系式，把a，c，cos A的值代入求出b的值，再利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积S．19.答案：解：(1)依题意，根据f(n)=前n年的总收入−前n年的总支出−投资金额72万元，可得f(n)=50n−[12n+n(n−1)2×4]−72=−2n2+40n−72，由f(n)>0，即−2n2+40n−72>0，解得：2<n<18，由于n为整数，故该厂从第3年开始盈利；(2)年平均纯利润f(n)n =−2n+40−72n=40−2(n+36n).解析：(1)通过f(n)=前n年的总收入−前n年的总支出−投资金额72万元即可列出表达式，进而解不等式f(n)>0即得结论；(2)通过年平均纯利润为f(n)n，直接列式即可．本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于基础题．20.答案：解：(1)依题意，得{ca =√22a2=b2+c21 b2+2a2=1，解得{a=2b=√2 c=√2，∴椭圆的方程为x22+y24=1．(2)设B(x1,y1)，C(x2,y2)，BC的方程为y=√2x+m，则有{y=√2x+m x22+y24=1，整理，得4x2+2√2mx+(m2−4)=0，由△=(2√2m)2−16(m2−4)=−8m2+64>0，解得−2√2<m<2√2，由根与系数的关系，得：x1+x2=−√22m，x1x2=m2−44，|BC|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2=√1+2|x1−x2|=√62√8−m2，设d为点A到直线BC的距离，则d=√2−√2+m|√(√2)2+(−1)2=√33|m|，∴S△ABC=12|BC|⋅d=√24√m2(8−m2)．∵√m2(8−m2)≤m2+8−m22=4，当且仅当m=±2时取等号，∴当m=±2时，△ABC的面积取得最大值√2．解析：本题考查直线与椭圆方程的综合应用，椭圆方程的求法，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．(1)利用离心率以及点的坐标满足椭圆方程，求解椭圆的几何量，即可得到椭圆的方程．(2)设B(x1,y1)，C(x2,y2)，BC的方程为y=√2x+m，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系以及弦长公式，求出三角形的面积，利用基本不等式求解△ABC的面积的最大值．21.答案：解：(1)求导得到g′(x)=−1sinθx2+1x≥0在x≥1时成立∴1x ≥1sinθx2∴1≥1sinθ⋅x∵θ∈(0,π)∴sinθ>0∴sinθx≥1∴sinθ=1θ=π2(2)(f(x)−g(x))′=m+m−1x2−1x+1x2−1x=m+mx2−2x使其为单调∴ℎ(x)=m+mx2−2x=mx2−2x+mx2，在x≥1时m=0时ℎ(x)<0恒成立．m≠0时对于ℎ(x)=mx2−2x+mx2，令K(x)=mx2−2x+m=0的形式求解因为[1,+∞)上函数为增函数，所以m>0时对称轴x=1m所以使K(1)≥0则成立所以m−2+m≥0所以m≥1m<0时使K(1)≤0所以m≤1综上所述m≥1或m≤0解析：(1)先对函数g(x)进行求导，根据g′(x)≥0在x≥1时成立可得1x ≥1sinθx2，根据θ∈(0,π)可知sinθ>0，所以sinθ=1求得θ的值．(2)对函数f(x)−g(x)进行求导，使其为单调，需m=0时，恒小于0 成立m不等于0时对于ℎ(x)可变为K(x)=mx2−2x+m=0的形式求解进而根据对称轴求得所以使K(1)≥0则成立的条件求得m的范围．m<0时，使K(1)≤0，所以m≤−1.综合可得答案．本题主要考查了方程与函数的综合运用．考查了用导数法研究函数的单调性问题．。

解析几何一、直线1、【2020年闵行区二模第3题】若直线10ax by ++=的方向向量为(1,1)，则此直线的倾斜角为 【答案：4π】 2、【2020年黄浦区二模第4题】若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为 【答案： 6- 】3、【2020年金山区二模第13题】已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的( )． （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【答案：B 】4、【2020年徐汇区二模第8题】已知直线(2)(1)30a x a y ++--=的方向向量是直线(1)(23)20a x a y -+++= 的法向量，则实数a 的值为 .【答案：11或- 】5、【2020年松江区二模第13题】若为坐标原点，是直线上的动点，则的最小值为（ ） (A)(B)(C)(D)【答案：B 】6、【2020年金山区二模第12题】设*n ∈N ，n a 为()(2)1nn x x +-+的展开式的各项系数之和，162m t =-+，，1222...333n n n a a na b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()22()n n t b m -+-的最小值为___________.O P 20-+=x y OP 2R t ∈【答案：95解析：赋值法，令1x =，∴32nnn a =-，∴(32)2[][][()]333n n nn n nna n n n -==-⋅， 可用计算器分析2()3n n ⋅单调性及范围，可知2()(0,1)3n n ⋅∈，∴[]13n n na n =-，∴(1)2n n n b -=，22()()n n t b m -+-的 几何意义为点(,)n n b 到点(,)t m 的距离的平方，如图所示， 当3n =时，点(3,3)到直线162y x =-+的距离最小， ∴min 22512d ==+，即2min95d =。

上海市宝山区2020届高三二模数学试卷2020.5一、填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)1.已知复数z 满足2020(1)24z ii +=-(其中，i 为虚数单位)，则z =2.函数arcsin(1)y x =+的定义域是3.计算行列式的值，0123=4.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的实轴与虚轴长度相等，则2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程是5.已知无穷数*2,(3)n na n N =∈-，则数列{}n a 的各项和为 6.一个圆锥的表面积为π，母线长为56，则其地面半径为 7.某种微生物的日增长率r ，经过n 天后其数量由0p 变化为p ，并且满足方程0r np p e ⋅=，实验检测，这种微生物经过一周数量由2.58个单位增长到14.86个单位，则增长率r = （精确到1％） 8.已知1()2nx x-的展开式的常数项为第6项，则常数项为 9.某医院ICU 从3名男医生和2名女医生中任选2位赴武汉抗疫，则选出的2位医生中至少有1位女医生的概率是10.已知方程210()x tx t R ++=∈的两个虚根是12,x x，若21x x -=t =11.已知O 是坐标原点，点(1,1)A -，若点(,)M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅的取值范围是12.已知平面向量,,a b e 满足1,1,1,4e a e b e a b =⋅=⋅=--=，则a b ⋅的最小值是二、选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13.抛物线24y x =的准线方程是 （ ）A.2x =-B. 1x =-C.18y =-D. 116y =-14.若函数()sin cos f x x a x =+的图像关于直线4x π=对称，则a 的值为 （ ）A.1B. 1-C.3D. 3-15.用数学归纳法证明*135(1)(21)(1),nnn n n N -+-+⋅⋅⋅+--=-∈成立。

上海市宝山区2020届高三二模数学试卷一：填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1.已知复数z 满足()2020124z i i +=-（其中，i 为虚数单位），则z =______. 【答案】12i - 【解析】 【分析】根据复数乘方运算法则41n i =*()n N ∈可得结果.【详解】因为()2020124z i i +=-，所以45052424121()2i iz i i --===-+， 故答案为：12i -【点睛】本题考查了复数的乘方运算公式41n i =*()n N ∈，属于基础题.2.函数()arcsin 1y x =+的定义域是______. 【答案】[]2,0- 【解析】 【分析】根据反正弦函数的定义域列不等式可解得结果. 【详解】由111x -≤+≤得20x -≤≤， 所以函数()arcsin 1y x =+的定义域是[]2,0-. 故答案为：[]2,0-【点睛】本题考查了反正弦函数的定义域，属于基础题. 3.计算行列式的值，0123=______. 【答案】2- 【解析】 【分析】根据行列式的计算公式计算可得答案.【详解】0123=03122⨯-⨯=-, 故答案为：2-【点睛】本题考查了二阶行列式的计算，属于基础题.4.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的实轴与虚轴长度相等，则C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线方程是______. 【答案】y x =± 【解析】 【分析】根据实轴与虚轴的定义可得a b =，根据双曲线的渐近线方程可得答案. 【详解】依题意得22a b =，即a b =，所以C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线方程是b y x x a =±=±.故答案为：y x =±【点睛】本题考查了双曲线的实轴，虚轴，渐近线，属于基础题. 5.已知无穷数列()23n na =-，*n N ∈，则数列{}n a 的各项和为______.【答案】12- 【解析】 【分析】用定义可得数列{}n a 是首项为23-，公比为13-的等比数列，利用公式11a S q =-计算可得答案.【详解】因为()23n na =-，所以12233a ==--， 1121(3)23(3)n n nna a ++-==--，所以数列{}n a 是首项为23-，公比q 为13-的等比数列， 所以数列{}n a 的各项和为121311213a S q -===--+.故答案为：12-【点睛】本题考查了无穷等比数列的各项和的公式，属于基础题. 6.一个圆锥的表面积为π，母线长为56，则其底面半径为______. 【答案】23【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为r ，根据256rr πππ+=可解得结果. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，则底面周长为2r π，底面积为2r π， 侧面展开图扇形的半径为56，弧长为2r π，扇形的面积为1552266r r ππ⨯⨯=， 所以256r r πππ+=，解得23r =. 故答案为：23【点睛】本题考查了圆锥的表面积，考查了扇形的面积公式，属于基础题.7.某种微生物的日增长率r ，经过n 天后其数量由0p 变化为p ，并且满足方程0r np p e ⋅=，实验检测，这种微生物经过一周数量由2.58个单位增长到14.86个单位，则增长率r =______.（精确到1%） 【答案】25% 【解析】 【分析】依题意列出方程714.86 2.58r e =⨯，改为对数式后，利用计算器可解得结果. 【详解】依题意有714.86 2.58r e =⨯，所以714.865.762.58re =≈， 所以7ln5.76 1.75r ≈≈，所以25%r =. 故答案为：25%【点睛】本题考查了指数式化对数式，考查了利用计算器求近似值，属于基础题.8.已知12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为第6项，则常数项为______. 【答案】638- 【解析】 【分析】根据第6项为常数项，由通项公式可得10n =，再由通项公式即可解得结果. 【详解】由通项公式得5556511()2n n T T C x x -+==⋅⋅-=55101()2n n C x --⋅为常数项， 所以100n -=，即10n =，所以556101()2T C =-638=-. 故答案为：638-【点睛】本题考查了二项展开式的通项公式的应用，属于基础题.9.某医院ICU 从3名男医生和2名女医生中任选2位赴武汉抗疫，则选出的2位医生中至少有1位女医生的概率是______. 【答案】710【解析】 【分析】记3名男医生分别为,,A B C ，2名女医生分别为,a b ，利用列举法列出所有基本事件，得到所有基本事件的种数和所求事件包含的基本事件个数，再利用古典概型的概率公式计算可得结果.【详解】记3名男医生分别为,,A B C ，2名女医生分别为,a b ，则从3名男医生和2名女医生中任选2位赴武汉抗疫的所有基本事件为：(,)A B ，(A,C)，(A,a)，(A,b)，(,)B C ，(,a)B ，(,b)B ，(C,a)，(C,b)，(,)a b 共10种，其中至少有1位女医生的有(A,a)，(A,b)，(,a)B ，(,b)B ，(C,a)，(C,b)，(,)a b 共7种， 根据古典概型的概率公式可得选出的2位医生中至少有1位女医生的概率是710.故答案为：710. 【点睛】本题考查了利用列举法求古典概型的概率，使用列举法是解题关键，属于基础题. 10.已知方程210x tx ++=（t R ∈）的两个虚根是1x ，2x ，若212x x -=则t =______. 【答案】2±【解析】 【分析】根据虚根成对定理可设1x a bi =+，2x a bi =-(),a b ∈R ，代入212x x -=可解得22b =±，根据韦达定理可得122x x a t +==-，22121x x a b =+=，将22b =±代入可解得22a =±，22t a =-=±. 【详解】因为方程210x tx ++=（t R ∈）的两个虚根是1x ，2x ， 所以240t =-<，解得22t -<<，由虚根成对定理可设1x a bi =+，2x a bi =-(),a b ∈R ，所以122x x a t +==-，22121x x a b =+=，因为212x x -=||2a bi a bi +-+=所以|2|2bi =2b =， 所以22112a b =-=，所以2a = 所以22t a =-=±，满足22t -<<， 故答案为：2±【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对定理，考查了韦达定理，复数的模长公式，属于基础题.11.已知O是坐标原点，点()1,1A -，若点(),M x y为平面区域212x yxy+≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则⋅OAOM的取值范围是______.【答案】[]0,2【解析】【分析】因为⋅OA OM(1,1)(,)x y x y=-⋅=-+，令目标函数为z x y=-+，作出可行域，根据图形得到最优解即可得到结果.【详解】因为⋅OA OM(1,1)(,)x y x y=-⋅=-+，令目标函数为z x y=-+，作出可行域，如图：由图可知，最小值最优解为(1,1)，最大值最优解为(0,2)，所以02z≤≤，即⋅OA OM的取值范围是[]0,2.故答案为：[]0,2【点睛】本题考查了平面向量的数量积的坐标表示，考查了线性规划求函数的最值，属于基础题.12.已知平面向量,,a b e满足||1e=，1a e⋅=，1b e⋅=-，||4a b-=，则a b⋅的最小值为_____【答案】-4 【解析】 【分析】 设(1,0)e =，11(,)ax y ，22(,)b x y =，由1a e ⋅=，1b e ⋅=-可求12,x x ，再代入||4a b -=，可得1223y y =±21221(3)4a b y y y ⋅=-+=-，从而可求出最小值. 【详解】设(1,0)e =，11(,)ax y ，22(,)b x y =，由1a e ⋅=，1b e ⋅=-得：1211x x =⎧⎨=-⎩，又||4a b -=，则22216a a b b -⋅+=，解得：1223y y =±22122221123(3)4a b y y y y ⋅=-+=-+±=-，故a b ⋅的最小值为-4. 故答案为：-4.【点睛】本题考查平面向量的坐标表示，考查了向量在几何中的应用，建立坐标系表示出每个向量是常用的基本手段，属中档题.二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13.抛物线24y x =的准线方程是（ ） A. 2x =- B. 1x =-C. 18y =-D. 116y =-【答案】D 【解析】 【分析】 将抛物线方程化标准形式，可得18p =，进一步可得准线方程. 【详解】由24y x =可得214x y =，所以18p =， 所以准线方程为1216p y =-=-. 故选：D【点睛】本题考查了抛物线方程的标准形式，考查了抛物线的准线方程，属于基础题.14.设函数()sin cos f x x a x =+的图象关于直线4x π=对称，则a 的值为()3 B. 3C. 1D. -1【答案】C 【解析】 【分析】根据对称轴可知()02f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，代入可求得结果. 【详解】()f x 关于直线4x π=对称 ()02f f π⎛⎫∴=⎪⎝⎭，则sin 0cos0sincos22a a ππ+=+1a经检验，满足题意，本题正确选项：C【点睛】本题考查函数对称性的应用，在已知对称轴的情况下，通常采用特殊值的方式来进行求解.15.用数学归纳法证明()()()1351211nnn n -+-+⋅⋅⋅+--=-，*n N ∈成立.那么，“当1n =时，命题成立”是“对*n N ∈时，命题成立”的（ ）A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的定义可得结论.【详解】“当1n =时，命题成立”不能推出“对*n N ∈时，命题成立”， “对*n N ∈时，命题成立”可以推出“当1n =时，命题成立”，所以“当1n =时，命题成立”是“对*n N ∈时，命题成立”的必要不充分/ 故选：B【点睛】本题考查了必要不充分条件的概念，关键是掌握必要不充分条件的概念，属于基础题.16.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数1x ，2x 都有()()2112120x f x x f x x x -<-，则函数()(),00,0f x x g x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩（ ）A. 是偶函数，且在()0,∞+上单调递减B. 是偶函数，且在()0,∞+上单调递增C. 是奇函数，且单调递减D. 是奇函数，且单调递增【答案】A 【解析】 【分析】利用()f x 是定义在R 上的奇函数，根据偶函数的定义可得()g x 为偶函数，设120x x >>，则120x x ->，根据()()2112120x f x x f x x x -<-可得2112()()0x f x x f x -<，所以121212()()()()f x f x g x g x x x -=-211212()()x f x x f x x x -=0<，根据定义可得函数()g x 在()0,∞+上单调递减.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-， 所以当0x ≠时，()()()()---===--f x f x g x g x x x，当0x =时，()()0g x g x -==， 所以x ∈R 时，恒有()()g x g x -=，即()g x 为偶函数， 当0x >时，()()f x g x x=，设120x x >>，则120x x ->， 由()()2112120x f x x f x x x -<-可知2112()()0x f x x f x -<， 则121212()()()()f x f x g x g x x x -=-211212()()x f x x f x x x -=， 因为120,0x x >>，所以120x x >， 又2112()()0x f x x f x -<，所以12()()0gx g x -<，即12()()<g x g x ，由减函数的定义可知，函数()g x 在()0,∞+上单调递减. 故选：A【点睛】本题考查了利用定义判断函数奇偶性，考查了利用定义判断函数的单调性，属于基础题.三.解答题（本大题共5题，共76分）17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，22AB AC ==，D 是AB 的中点.（1）若三棱柱111ABC A B C -的体积为33111ABC A B C -的高（2）若12C C =，求二面角111D B C A --的大小 【答案】（1）6（2）17【解析】 【分析】（1）求出底面积后，根据棱柱的体积公式可求得棱柱的高；（2）以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量可求得结果.【详解】（1）由题意，求得3BC =， 所以11322ABC S AC BC =⨯=△ 由133V S CC =⨯=柱 解得16CC =.（2）以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立如图所示的坐标系：则132D ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，()13,2B ，()10,0,2C ， 11322DB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，113,22DC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面11C B D 的法向量为(),,n x y z =，则由1100DB n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得340340x z x y z ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则4x =，0y =，所以，平面11C B D 的一个法向量为()4,0,1n =， 平面111A B C 的一个法向量为()0,0,1m =， 记二面角111D B C A --为θ，则cos 001160117n m n mθ⋅===++⋅++⋅，所以17θ=【点睛】本题考查了棱柱的体积公式，考查了二面角的向量求法，正确建立空间直角坐标系是求二面角的关键，属于中档题.18.已知函数()()2x f x ωϕ=+，()2g x x ω=，0>ω，[)0,ϕπ∈，它们的最小正周期为π（1）若()y f x =是奇函数，求()f x 和()g x 在[]0,π上的公共递减区间D （2）若()()()h x f x g x =+的一个零点为6x π=-，求()h x 的最大值【答案】（1）,42D ππ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）()max 6h x =【解析】 【分析】（1）根据周期求出2ω=，根据()y f x =是奇函数，求出0ϕ=，再求出()f x 和()g x 在[]0,π上的递减区间，然后求其交集即可得到结果； （2）将点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()0h x =，可得6π=ϕ，再化简()h x 得()h x =623x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，可得最大值. 【详解】（1）由2||T ππω==，以及0>ω得2ω=， 又()y f x =是奇函数，所以(0)f =20ϕ=，所以k ϕπ=，k Z ∈， 又[)0,ϕπ∈，所以0ϕ=，在[]0,π上，()22f x x =的递减区间是13,44D ππ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， ()22g x x =的递减区间是10,2D π⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 所以12,42D D D ππ⎡⎤=⋂=⎢⎥⎣⎦.（2）()()2sin 2cos 2h x x x ϕ=++⎤⎦，把点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭2sin cos 033ππϕ⎤⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦，即1sin 32πϕ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 又因为[)0,ϕπ∈，2,333πππϕ⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭，所以36ππϕ-=-，所以6π=ϕ， 所以()132sin 2cos 26sin 2262h x x x x x π⎫⎤⎛⎫=++=+⎪ ⎪⎥⎪⎝⎭⎦⎭623x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因而()max 6h x =【点睛】本题考查了正弦型函数的周期公式，考查了函数的奇函数性质，考查了函数的单调性，考查了函数的零点，考查了函数的最值，属于中档题.19.据相关数据统计，2019年底全国已开通5G 基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进5G 通信网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个. （1）如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共有基站多少万个.（精确到0.1万个）（2）如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个，并且，今后新建的数量每年比上一年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个オ能完成计划？（精确到1万个）【答案】（1）62.2万个，（2）2021年181万个，2022年547万个 【解析】 【分析】（1）今年每月建设基站的数量构成一个等差数列，首项为3万个，公差为0.2万，根据等差数列的求和公式可得今年建设基站的个数，再加上去年基站的个数即可得到答案； （2）依题意，每年新建基站的数量构成等比数列，设公比为q (1)q >，根据题意列式260606080013q q ++≥-，可得3711302q ≥，再求出60q 和260q 即可得到答案. 【详解】（1）依题意，今年每月建设基站的数量构成一个等差数列，首项为3万个，公差为0.2万，所以今年一共建设基站12113120.249.22⨯⨯+⨯=万个， 所以今年底全国共有基站1349.2+62.2=万个.（2）依题意，每年新建基站的数量构成等比数列，设公比为q (1)q >，则260606080013q q++≥-，即272760q q+-≥，解得3711302q≥-，所以37160603018130q≥⨯-≈万个，2237116060()302q≥⨯-547≈万个.所以2021年至少新建181万个基站，2022年至少新建547万个基站オ能完成计划.【点睛】本题考查了数列建模，考查了等差数列的求和公式和等比数列的通项公式，考查了运算求解能力，属于中档题.20.已知直线l：y kx m=+和椭圆Γ：22142x y+=相交于点()11,A x y，()22,B x y（1）当直线l过椭圆Γ的左焦点和上顶点时，求直线l的方程（2）点)2,1C在Γ上，若0m=，求ABC面积的最大值：（3）如果原点O到直线l23，证明：AOB为直角三角形.【答案】（1）2y x=+（2）2（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由椭圆方程得左焦点和上顶点坐标，代入直线方程可得结果；（2）联立直线与椭圆方程可得,A B的坐标，可得弦长||AB，求出点C到直线AB的距离。

宝山区2019学年第二学期教学质量调研测试卷数学试卷参考答案一、选择题：（本大题共6题，毎题4分，满分24分）1∙ C; 2. B; 3∙ B; 4. D; 5. B; 6A.二、填空题：（本大题共12題，毎题4分，满分48分）7. -2020 ; 8. ; 9. （a-2）? ; 10. .r = 1;11. 12; 12. 13. -I VMV O;14. √3 ;315. a + b;16. 1:2; 17. √5 J 18. —.25三、解答题：（本大国共7题，满分78分）19・（本题满分10分）解：原⅛=√3-320.（本題满分10分）“-1（增根，舍）；x∙ 221.（本遁满分10分，笫（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）（1）VoZ）SBPE丄VC∙*∙ Aly=— AB、AE= — AC■ ■∙DE _ + , 丄••旋一BA +BC 飞（2）连接OP, OP必过切点月连接OB、CP= OB=OAPA=PC：.ZOBA=Zo42 ZRC ZPCA：.OBuPC.AB OA 3AC AP 522.（本题满分10分，笫（1）小题满分4分，笫（2）小题满分6分）（1）∙： OD_ABFE丄4C∙∙ΛI— AB. AE=Z - AC2 2∙DE .4D + A∑ 1 .. ≡ --------- =—BC BA + BC 2(2)连接OP, O尸必过切点&连接08、CP9：OB^OA y PA^PC：・ZOBA=ZoAB^ZRlC= ZPCA ∙∙∙ OBllPC.AB OA 3∙∙=—=-AC AP 523.(本题满分12分，毎小题6分)(1)证明：・・・四边形•松CZ)是正方形:∙ AD=DC. ZADE= Z DCF^9O Q在AADE和△£)CF屮(AD = DC IZADE= ZDCF(DF=CE:∙NADE3∖DCF (SAS)∙∙∙ ZEABZcDFI ZZfZCDF=90°：•ZAED+ZEAD 二90。