[信息与通信]测试技术测试装置的基本特性
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测试技术基础答案 第二章 测试装置的基本特性
第二章 测试装置的基本特性一、知识要点及要求(1)了解测试装置的基本要求，掌握线性系统的主要性质；(2)掌握测试装置的静态特性，如线性度、灵敏度、回程误差和漂移等；(3)掌握测试装置的动态特性，如传递函数、频率响应函数、单位脉冲响应函数； (4)掌握一、二阶测试装置的动态特性及其测试。
二、重点内容及难点(一) 测试装置的基本要求1、测试装置又称为测试系统，既可指众多环节组成的复杂测试装置，也可指测试装置中的各组成环节。
2、测试装置的基本要求：(1)线性的，即输出与输入成线性关系。
但实际测试装置只能在一定工作范围和一定误差允许范围内满足该要求。
(2)定常的(时不变的)，即系统的传输特性是不随时间变化的。
但工程实际中，常把一些时变的线性系统当作时不变的线性系统。
3、线性系统的主要性质 (1)叠加原理：若)()()()(2211t y t x t y t x −→−−→−，则)()()()(2121t y t y t x t x ±−→−±(2)频率保持性：若输入为某一频率的简谐信号，则系统的稳态输出也是同频率的简谐信号。
*符合叠加原理和频率保持性，在测试工作中具有十分重要的作用。
因为，在第一章中已经指出，信号的频域函数实际上是用信号的各频率成分的叠加来描述的。
所以，根据叠加原理和频率保持性这两个性质，在研究复杂输入信号所引起的输出时，就可以转换到频域中去研究。
(二)不失真测试的条件 1、静态不失真条件在静态测量时，理想的定常线性系统Sx x a b y ==0，S 为灵敏度。
2、动态不失真条件在动态测量时，理想的定常线性系统)()(00t t x A t y -=，A 0为灵敏度，t 0为时间延迟。
(三)测试装置的静态特性静态特性：就是在静态测量时描述实际测试装置与理想定常线性系统的接近程度。
(1)线性度：指测试装置输出与输入之间保持线性比例关系的程度。
(2)灵敏度：指测试装置输出与输入之间的比例因子，即测试装置对输入量变化的反应能力。
4.测试装置的基本特性
20
测量装置基本特性
4. τ值的试验测定
对于一阶系统，其动态参数τ值可以经过试验测定。
① 时域法： 测试系统对于单位阶跃输入的响应y(t)，令：
Z
ln(1
y(t ) )
t
ln(e
)
t
A
画出Z-t曲线，若该曲线为直线时，τ即直线斜率绝对值的倒
数。不然，该系统不是一阶系统。
② 频率法： 系统输入正弦波，依次求出输出与输入的幅值比及
100%
δi：线性度 △max：特性曲线与参考直线的最大偏差 △F.S：满量程输出的平均值
根据参考直线的定义方法，可将线性度分为：
① 理论线性度：参考直线由0点和满量程输出点确定 ② 独立线性度：参考直线由最小二乘法确定。 有时，系统的输出输入在局部范围内是直线，则取此段做为 标称输出范围。
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测试技术基础
机械工程及自动化学院
1
测试技术基础
第性 4.3 动态特性 4.4 典型测试装置的动态特性
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测量装置基本特性
4.1 概述
系统是由若干相互作用，相互依赖的事物组合而成的具有特 定功能的整体；系统的特性是指系统的输出和输入的关系。
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测量装置基本特性
4.4 典型测试装置的动态特性
一个大的系统往往可以分解成一些小系统的组合，这些 小系统可分为零阶系统，一阶系统，二阶系统。其他高阶系 统可由这三个理想化的小系统组合而成。因此只需要对这三 个环节的动态特性有所了解，对高阶系统的性能分析也是可 能的。
N阶系统
H (s)
测试装置的基本特性
为了获得准确的测量结果，常常对测 试系统提出多方面的性能要求：
静态特性 动态特性
传输特性（重要）
负载效应
抗干扰特性
对于静态测量的测试系统，一般只需衡量其 静态特性、负载效应和抗干扰特性指标。
在动态测试中，则需要以上四方面的特性指 标来衡量。
第三节 测量装置的动态特性
将s=jω代入传递函数公式具有同样的形式，因此， 频率响应函数是传递函数的特例。
H（jω）为复变量函数，有相应的模和相角
H ( j) A()e j()
频率响应特性
幅频特性 A() Y ~
X
相频特性 () ~
模A(ω)反映了线性时不变系统在正弦信号激励下， 其稳态输出与输入的幅值比随频率的变化，称为系统的 幅频特性；
系统特性
输出
卷积
y(t)=x(t)*h(t)
y(t) x(t)*h(t) x( )h(t )d
理想的测试系统传输特性：
1）具有单值的、确定的输入-输出关系。对于每一输入量 都应该只有单一的输出量与之对应。知道其中一个量就可 以确定另一个量。其中以输出和输入成线性关系最佳。
线性
线性
非线性
y
Y (s) X (s)
a2 s 2
b0 a1s1
a0
;
当n≥3——高阶系统的传递函数
当n=0——零阶系统的传递函数
H (s) Y (s) b0 ; 即为静态灵敏度 X (s) a0
2)频率响应函数
定义：系统的初始条件为零时，输出y(t)的傅里叶变 换Y(jω )和输入x(t)的傅里叶变换X(jω)之比称为 系统的频率响应函数，记为H(jω)或H(ω)。
传递函数与微分方程完全等价，可以互相转化。
测试装置的基本特性
P 1
P
1
2
（2） Bode 图 ---- 对数频率特性图 a）对数频率特性
lg G j lg A e
j
lg A
j lg e
对数频率特性由对数幅频特性图、对数相频特性图描述； b）对数频率特性图（Bode图）坐标系
x (t ) y (t )
x1 ( t ) x 2 ( t ) y1 ( t ) y 2 ( t )
⑵ 比例性 ax ( t ) ay ( t )
dx ( t ) dt dy ( t ) dt
（3）微分性
系统对原输入信号的微分等于原输出信号的微
分，即 若 x(t) → y(t)，则 x’(t) → y’(t)
⑷ 积分：初始状态为零：t=0时，
x (t ) dx ( t ) dt y (t ) 0
t0
x ( t ) dt
0
t0
y ( t ) dt
0
⑸ 频率保持性：输入为某一频率的信号 输出必为同一频率的信号
若 x(t)=Acos(ωt+φx)
则 y(t)=Bcos(ωt+φy)
A
L
对数 幅频 100 特性 10 图
1
60 dB 40 20
L 20 lg A Q arctg P
1
10
100
对数 相频 特性 图
20 0
1
10
100
20
Bode图介绍
Bode图介绍
dx ( t )
(完整版)测试装置的基本特性
第二章测试装置的基本特性本章学习要求1.建立测试系统的概念2.了解测试系统特性对测量结果的影响3.了解测试系统特性的测量方法为实现某种量的测量而选择或设计测量装置时，就必须考虑这些测量装置能否准确获取被测量的量值及其变化，即实现准确测量，而是否能够实现准确测量，则取决于测量装置的特性。
这些特性包括静态与动态特性、负载特性、抗干扰性等。
这种划分只是为了研究上的方便，事实上测量装置的特性是统一的，各种特性之间是相互关联的。
系统动态特性的性质往往与某些静态特性有关。
例如，若考虑静态特性中的非线性、迟滞、游隙等，则动态特性方程就称为非线性方程。
显然，从难于求解的非线性方程很难得到系统动态特性的清晰描述。
因此，在研究测量系统动态特性时，往往忽略上述非线性或参数的时变特性，只从线性系统的角度研究测量系统最基本的动态特性。
2.1 测试系统概论测试系统是执行测试任务的传感器、仪器和设备的总称。
当测试的目的、要求不同时，所用的测试装置差别很大。
简单的温度测试装置只需一个液柱式温度计，而较完整的动刚度测试系统，则仪器多且复杂。
本章所指的测试装置可以小到传感器，大到整个测试系统。
玻璃管温度计轴承故障检测仪图2.1-1在测量工作中，一般把研究对象和测量装置作为一个系统来看待。
问题简化为处理输入量x(t)、系统传输特性h(t)和输出y(t)三者之间的关系。
常见系统分析分为如下三种情况：1)当输入、输出能够测量时(已知)，可以通过它们推断系统的传输特性。
－系统辨识2)当系统特性已知，输出可测量，可以通过它们推断导致该输出的输入量。
－系统反求3)如果输入和系统特性已知，则可以推断和估计系统的输出量。
－系统预测图2.1-2 系统、输入和输出2.1.1 对测试系统的基本要求理想的测试系统应该具有单值的、确定的输入－输出关系。
对于每一输入量都应该只有单一的输出量与之对应。
知道其中一个量就可以确定另一个量。
其中以输出和输入成线性关系最佳。
02测试装置的基本特性
※测试装置的静态特性： 就是在静态测量情况下描述实际测试装置 与理想时不变线性系统的接近程度。 （主要讨论在静态测量情况下，描述输入 与输出之间的关系）
测量装置的静态特性由通过某种意义的静态标定过程所确定。 静态标定：是一个实验过程。这一过程是在只改变测量装置的 一个输入量，而其他所有的可能输入严格保持不变 的情况下，测量对应的输出量，由此得到测量装置 输入与输出间的关系。
x(t ) x0 e jt，则
y(t ) y 0 e
j (t )
三、测试和测试装置的若干术语 ※静态测量：测量期间被测量值可认为是恒定的测量量， 即被测量不随时间变化，则称为静态测量。
5
2.1 概述
※动态测量：是为确定值的瞬时值及其随时间变化的量所 进行的测量。 ※信噪比：信号功率与干扰噪声功率之比，记作 SNR 用分贝（dB）来表示，即 Ns SNR 10 lg Nn N s —信号功率
2.3 测试装置的动态特性(dynamic characteristics)
b频率响应函数的求法 方法二：通过实验测定 方法三：H()=Y()/X()(初始条件全为零的条件下) 说明：尽管频率响应函数对简谐信号而言，但是，任何信 号都可以分解为简谐信号的叠加。因而，在任何复杂信号 输入下，系统频率响应特性都适用。
x1 (t ) x2 (t ) y1 (t ) y2 (t )
※作用在定常系统的各个输入所产生的输出互不影响。 n个激励同时作用一个测试系统，其响应等于这n个激励单独 作用的响应和。复杂信号→系列谐波信号（付氏级数展开）
②比例特性/均匀性：对于任意常数
ax(t ) ay(t )
※灵敏度
单位输入引起输出的变化，即S=△y/△x。 通常用理想直线的斜率作为灵敏度值。（量纲） y △y △x
测试技术 第二章 测试装置的基本特性
四、分辨力
定义: 定义 引起测量装置输出值产生一个可察觉变化的 最小输入量（被测量） 最小输入量（被测量）变化值称为分辨力 表征测量系统的分辨能力 说明: 说明 1、分辨力 --- 是绝对数值，如 0.01mm，0.1g，10ms，…… 、 是绝对数值， ， ， ， 2、分辨率 --- 是相对数值： 、 是相对数值： 能检测的最小被测量的 变换量相对于 满量程的 百分数， 百分数，如： 0.1%, 0.02%
y
(a) 端点连线法 端点连线法: 算法： 检测系统输入输出曲线的两端点连线 算法： 特点： 简单、方便，偏差大， 特点： 简单、方便，偏差大，与测量值有关 (b) 最小二乘法 最小二乘法: 算法： 计算： 算法： 计算：有n个测量数据 (x1,y1), (x2,y2), … , (xn,yn)， (n>2) 个测量数据: 个测量数据 ， 残差： 残差平方和最小： 残差：∆i = yi – (a + b xi) 残差平方和最小：∑∆2i=min
线性 y 线性 y 非线性y
x
x
x
非线性原因: 非线性原因
外界干扰 温 度 湿 度 压 力 冲 击 振 动 电 磁 场 场
输入 x
检测系统
输入 y = f(x)
摩 擦
间 隙
松 动
迟 蠕 滞 变
变 老 形 化
误差因素
严格的说,很多测试装置是时变的 因为不稳定因素的存 严格的说 很多测试装置是时变的(因为不稳定因素的存 很多测试装置是时变的 但在工程上认为大多数测试装置是时不变线性系统 在),但在工程上认为大多数测试装置是时不变线性系统 但在工程上认为大多数测试装置是 (定常线性系统 该类测试装置的输入与输出的关系可 定常线性系统).该类测试装置的输入与输出的关系可 定常线性系统 用常系数线性微分方程来描述. 用常系数线性微分方程来描述
测试技术测试装置的基本特性.ppt
线性 y
x
非线性y
x
x
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线性系统(时域描述)
测量装置基本特性
dy n(t)
dy n1(t)
dy(t)
an
bmdtdnxdmt m(ta) n1bmd1t
n1 ...a1 dx m1 (t)
dt m1
dt ...b1
a0 dx(t)
dt
y(t) b0 x(t)
测量装置基本特性
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测量装置基本特性
（3）一阶系统的特点
系统特性取决于时间常数τ 。τ 越大，系统惯性越大， 响应时间越长。τ 越小，响应越快，可测频率范围越宽。 为保证不失真测量，最好使信号的最高频率ω max≤0.2ω c 。
ωmax≤0.2ωc
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0.63
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三、 二阶系统
3、将 s j 代入，求出频率响应函数
4、求幅频特性、相频特性
5、画出一阶/二阶系统的伯德图
6、做出必要的分析或结论
i
i
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一阶系统特性： （1）幅频特性：
| H ( j) | A 1 ( )2
（2）相频特性：
() arctan( )
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测量装置基本特性
1、线性系统的特性有哪些 2、测试系统静态特性指标有哪些
y △
△xy x
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3.4 动态特性
测量装置基本特性
x(t) h(t) y(t)
输入信号 x(t)
输出信号 y(t)
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测试技术第二章测试装置的基本特性
第二章测试装置的基本特性第一节概述一、对测试装置的基本要求1．工程测试问题通常的工程测试问题总是处理输入量x(t)、装置（系统）的传输特性h(t)和输出量y(t)三者之间的关系如图2－1，即：系统(响应)1）如果x(t)、y(t)可以观察(已知)的量，则可推断h(t)。
2）如果h(t)已知，y(t)可测，则可推断x(t)。
3）如果x(t)和h(t)已知，则可推断和估计y(t)。
2．理想的测试装置①输出和输入成线性关系。
即具有单值的、确定的输入-输出关系。
②系统为时不变线性系统。
3．实际的测试装置①只能在较小工作范围内和在一定误差允许范围内满足线性要求。
②很多物理系统是时变的。
在工程上，常可以以足够的精确度认为系统中的参数是时不变的常数。
二、线性系统及其主要性质1．线性方程方程中的所有变量的幂次不大于1的方程称为线性方程。
注意导数的阶次与幂次的区别，以及经过拉氏变换后所得到的相函数中，阶次与幂次的表现形式。
2．线性系统用线性方程来描述的系统就是线性系统。
线性系统符合叠加性和均匀性（齐次性）。
3．时不变线性系统当系统的输入x(t)和输出y(t)之间的关系可以用常系数线性微分方程)()(0)(1)(1)(0)(1)(1)(1111t x b bb b t y a a a a dtt dx dt t x d m dt t x d mdtt dy dtt y d n dtt y d n m m mm n n nn ++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++------ (2-1)来描述时，该系统称为时不变线性系统，也称定常线性系统。
式中t 为时间自变量。
系统的系数a n , a n-1, …,a 1, a 0和 b m , b m-1, …, b 1, b 0均为常数，既不随时间而变化，也不是自变量x 、因变量y 及它们各阶导数的函数。
4．时不变线性系统的性质如以x (t )→ y (t )表示上述系统的输入、输出的对应关系，则时不变线性系统具有以下一些主要性质。
测试装置的基本特性
第二章测试装置的基本特性一、 知识要点及要求 1、 掌握线性系统及其主要特性。
2、 掌握测试装置的动态特性及静态特性。
3、 掌握一、二阶测试装置的频率响应特性。
4、 掌握测试装置的不失真测试条件。
二、 重点内容1、 测试装置的基本要求测试装置的基本特性主要讨论测试装置及其输入、输出的关系。
理想的测试 装置应该具有单值的、确定的输入一一输出关系。
即，对应于某一输入量，都只 有单一的输出量与之对应 。
知道其中的一个量就可以确定另一个量。
2、 线性系统及其主要性质线性系统的输入x(t)与输出y(t)之间的关系可用下面的常系数线性微分方程时不变线性系统的主要性质：1) 叠加原理特性 2) 比例特性3) 系统对输入导数的响应等于对原输入响应的导数4) 如系统的初始状态均为零，则系统对输入积分的响应等同于对原输入响应 的积分。
5) 频率保持性3、测试装置的静态特性测试装置的静态特性就是在静态测量情况下描述实际测试装置与理想定常线 性系统的接近程度。
描述测试装置静特性的主要指标有：1) 线性度是指测量装置输出、输入之间保持常值比例关系的程度。
作为技术 指标则采用线性误差来表示，即用在装置标称输出范围 A 内，校准曲线与拟合直 线的最大偏差B 来表示。
也可用相对误差来表示，如B线性误差=-100%A2) 灵敏度S 当装置的输入x 有一个变化量厶X ，引起输出y 发生相应的变化 为勺，则定义灵敏度为:y dy=x dx3) 回程误差 当输入量由小增大和由大减小时，对于同一输入量所得到的两 个输出量却往往存在着差值，把在全测量范围内，最大的差值 h 称为回程误差。
dt n 二加 *讐 a o y(t) dt dtdt,d m x(t) , d m 」x(t) , dx(t), “、二 b m m — b m 」 石一bib 0X (t)dt dtdt来描述时，则称该系统为时不变线性系统，也称定常线性系统。
式中t 为时间自变量，a n 、a n i 、，、 a i 、a ° 和bn 、b n 」、,、 b i 、b ° 均为常数。
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第一章 信号及其描述一、知识要点及要求(1)了解信号的分类，掌握信号的时频域描述；(2)掌握周期信号及其频谱特点，了解傅立叶级数的概念和性质； (3)掌握非周期信号及其频谱特点，了解傅立叶变换的概念和性质；(4)掌握随机信号的特点，了解随机信号的时域统计描述（与周期信号的强度描述相对照），概率密度函数描述，相关函数和功率谱。
二、重点内容及难点(一)信号的分类(二)信号的时域—频域描述信号的时域描述和频域描述之间是可以相互转换的，但它们包含相同的信息量（信号是信息的载体，信息包含在信号之中）。
(三)周期信号与离散频谱 周期信号频谱的三个特点：(1)离散性：即周期信号的频谱是离散的。
(2)谐波性：即每条谱线只出现在基频的整数倍上。
(3)收敛性：即工程中常见周期信号，其谐波幅值总的趋势是随谐波次数的增高而减小。
各频率分量的的谱线高度表示该谐波的幅值或相位角。
(四)非周期信号与连续频谱 非周期信号：(1)准周期信号：但各频率分量与基频的比值不一定都是有理数。
如)2sin()sin()(00t t t x ωω+=，频谱是离散的。
(2)瞬变非周期信号：可简称为非周期信号。
频谱密度函数；即)(f X 与n C 很相似，但n C 的量纲与信号幅值的量纲一样，而)(f X 的量纲是单位频宽上的幅值。
(五)随机信号的描述1、随机信号（又称随机过程），不能用确定的数学关系式来描述，只能用概率统计的方法来描述。
平稳随机过程，其统计特征参数不随时间而变化，是一个常值；否则，非平稳随机过程。
各态历经的随机过程，即在平稳随机过程中，任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征；否则，非各态历经的随机过程。
各态历经的随机过程必然是平稳随机过程，而平稳随机过程不一定是各态历经的随机过程。
工程上所遇到的很多随机信号都具有各态历经性，即可以用时间平均来代替集合平均。
2、时域统计特征参数(1)均值⎰∞→=TT x dt t x T)(1lim μ，表示信号的常值分量。
(2)均方值（平均功率）⎰∞→=TT xdt t x T22)(1lim ψ，表示信号的强度。
均方根值（有效值）2x rms x ψ= (3)方差()⎰-=∞→Tx T xdt t x T22)(1lim μσ，表示信号的波动分量。
均方差（标准差）2x x σσ= 三者之间的关系：222x x x μσψ+=3、概率密度函数：提供了信号幅值分布的信息，不同的信号有不同的概率密度函数图形， 因此可以用来识别信号的性质。
4、相关函数与功率谱密度函数（具体见第五章）对于各态历经的平稳随机信号，均值、均方值、方差为常数，概率密度函数、相关函数和 功率谱为确定函数，且可用有限长时间T 内的平均值作估计。
对于确定性信号（周期信号和非周期信号），这几个统计值的概念完全适用。
周期信号只需在一个周期T 0内求平均即可； 非周期信号可用有限长时间T 内的平均值作估计。
三、习题解答习题1-1 求周期方波的傅里叶级数(复指数函数形式)，画出ω-n c 和ωϕ-n 图，并与表1-1对比。
解：傅里叶级数的复指数形式的表达式为：()() ,2,1,00±±==∑+∞-∞=n ec t x n tjn nω式中：()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧±±±=±±±=-=--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-==+----+----⎰⎰⎰ ,6,4,2,0;0,5,3,1;2cos 1111200200022002200000000000n n n A j n n Ajejn A e jn A T dt e A dt e A T dt e t x T c Tt jn T t jn T T t jn t jn T T tjn n πππωωωωωωω所以 ()()∑+∞-∞=±±±=⎪⎭⎫⎝⎛-=n tjn n e n A j t x ,5,3,1;20ωπ幅值频谱：()()⎪⎩⎪⎨⎧±±±=±±±==+= ,6,4,2,0;0,5,3,1;222n n n AC C C nI nR n π相位频谱：()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±±±=---==-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-== ,6,4,2,0;0,5,3,1;2,5,3,1;202n n n n A arctg C C arctgnRnI n πππϕ习题1-2 求正弦信号()t x t x ωsin 0=的绝对均值x u 和均方根值rms x 。
解：()⎰⎰⎰====0000000002sin sin 11T T T xxdt t T x dt t x T dt t x T πωωμ式中：ωπ20=T()()2sin 110020020x dt t x T dt t x T x T T rms ===⎰⎰ω习题1-3 求指数函数)0,0()(≥>=-t a Ae t x at的频谱。
解：幅值谱：2224)(f a A f x π+=; 相位谱：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a f arctg f πϕ2单边指数衰减信号频谱图f|X (f )|A /aφ(f )fπ/2-π/2222)2(020224)2(2)()()(f a f j a A f j a A dte A dt e Ae dte t x dt et x f x t f j a ft j at ft j ftj πππππππ+-=+=====⎰⎰⎰⎰∞+-∞--∞-∞∞--习题1-4 求符号函数和单位阶跃函数的频谱。
解：(1)符号函数的频谱：10()sgn()10t x t t t +>⎧==⎨-<⎩t =0处可不予定义，或规定sgn(0)=0。
该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。
可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。
先求此乘积信号x 1(t)的频谱，然后取极限得出符号函数x (t )的频谱。
()()⎩⎨⎧<>->>==--0,0,0,0,sgn 1t a e t a e t et x atat ta 10()sgn()lim ()a x t t x t →==22211224()()(2)j f t at j f t at j f t fX f x t e dt e e dt e e dt ja f ∞∞-----∞-∞==-+=-+⎰⎰⎰πππππ []101()sgn()lim ()a X f t X f jf→===-πF 1()X f fπ=02()02f f f πϕπ⎧<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩图1-25 题1-4图a)符号函数b)阶跃函数(2)单位阶跃函数的频谱：10()00t u t t >⎧=⎨<⎩ 在跳变点t =0处函数值未定义，或规定u (0)=1/2。
阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。
由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。
11()sgn()22u t t =+ [][]1111111()()sgn()()()22222U f u t t f j f j f f ⎛⎫⎡⎤⎡⎤==+=+-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦δδππF F F ()2211()()2U f f f δπ=+ 结果表明，单位阶跃信号u (t )的频谱在f =0处存在一个冲激分量，这是因为u (t )含有直流分量，在预料之中。
同时，由于u (t )不是纯直流信号，在t =0处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。
习题1-5 求被截断的余弦函数t 0cos ω的傅立叶的变换⎩⎨⎧≥<=Tt T t t t x 0cos )(0ω单位阶跃信号频谱f|U (f )|(1/2) fφ(f )0 π/2 -π/21()sgn()at x t e t -=符号函数tx 1(t ) 01-1符号函数频谱fφ(f )π/2f-π/2解：(1)第一种解法：[][]()()()(){}T f f c T f f c Tf f f f T f f f f T dtt f f t f f dtft t f td ft j ft t f dte t xf x TTT TT ft j 0000000000022sin 2sin )(2)(2sin )(2)(2sin )(2cos )(2cos 2cos 2cos 2sin 2cos 2cos )()(-++=--+++=-++==-==⎰⎰⎰⎰--∞∞--ππππππππππππππ可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f 0，同时谱线高度减小一半。
也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。
题1-5图(2)第二种解法：被截断的余弦函数可以看成为：余弦函数与矩形窗函数()t w 的乘积，即：()()()()()()t w e e t w e e t w t t x t f j t f j t j t j ⋅+=⋅+=⋅=--00002202121cos ππωωω 根据卷积定理，其傅里叶变换为：()()()[]()()()()(){}T f f c T f f c T fT c T f f f f f X 00002sin 2sin 2sin 221-++=*-++=πππδδ 习题1-6 求指数衰减振荡信号()()0,0sin 0>>=-t a t et x atω的频谱。
解：其傅里叶变换为：()()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++=-⋅===⎰⎰⎰∞---∞--∞∞--0002220202212122sin 00f f j a f f j a j dt e e e j e dt et edt et x f X ft j t f j t f j at ftj atftj ππωπππππ习题1-7 设有一时间函数)(t f 及其频谱如图1-27所示，现在乘以余弦型振荡)(cos 00m t ωωω>，在这个关系中，函数)(t f 叫做调制信号，余弦型振荡t 0cos ω叫做载波。
试求调幅信号t t f 0cos )(ω的傅立叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。
又问：若m ωω<0时将会出现什么情况？图1-27 题1-7图解：(1)令()()()()t j t j e t f e t f t t f t x 002121cos 0ωωω+==- (2)根据傅里叶变换的频移性质，有：()()()002121ωωωωω-++=F F X 频谱示意图如下：(3)当m ωω<0时，由图可见，()0ωω+F ，()0ωω-F 出现混叠现象，不能通过滤波的方法提取出原信号)(t f 的频谱。