2019-2020学年高中数学 《数列通项公式求法》导学案 新人教A版必修5.doc

第十三课 等比数列的定义和通项公式一、课标要求1.通过实例，理解等比数列的概念.2.探索并掌握等比数列的通项公式.二、先学后讲1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个 ，这个数列就叫 ，这个常数就叫做 ．定义还可以叙述为：在数列{n a }中，若1____,()n na n N a ++=∈，q 为常数，则数列{n a }是等比数列，易知0q ≠． 2．等比数列的通项公式等比数列的通项公式为______n a =，1a 为首项，q 为公比．3．等比数列的通项公式的推导设数列{n a }为等比数列，公比为q ，由等比数列的定义可知，324123, , ,a a a q q q a a a ===121, , ,n n n n a a q q a a ---== 以上(1)n -个式子相乘得11n n a q a -=，即11 n n a a q -= 等比数列公式的推导方法叫做叠乘，是数列解题中的常用方法之一。

三、合作探究1.对定义的理解例1判断下列数列是否为等比数列（1）1,2,3,4,5, ；（2）1,3,9,27（3）4,4,4,4, ；（4）0,0,0,0,0【思路分析】根据等比数列的定义进行判断。

【解析】（1）根据等比数列的定义可知，其不是等比数列；（2）从第2项起，每一项与它的前一项的比，都等于同一常数，故其是等比数列；（3）是非零常数列，故其是等比数列；（4）不是等比数列；【点评】要判断一个数列是不是等比数列，主要是看其是否符合等比数列的定义。

☆自主探究1．判断下列数列是否为等比数列（1）2,4,8,,2n ； （2）119,3,1,,39；（3）2,2,2,--- ； （4）,,,a a a （a 是常数）2.求数列的通项例2求等比数列1,2,4,,2n 的公比、通项和第15项。

【思路分析】先求出公比，然后求通项，再根据通项公式可求第15项。

教学目标一知识与技能目标数列通项公式的求法.一过程与能力目标•熟练掌握本章的知识网络结构及相互关系•. 掌握数列通项公式的求法.教学重点：掌握数列通项公式的求法.教学难点：根据数列的递推关系求通项.教学过程一、基本概念数列的通项公式：如果数列｛a n｝的第n项a n与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式.二、数列的通项公式的求法题型一：已知数列的前几项，求数列的通项公式.例1根据数列的前几项，写出下列个数列的一个通项公式：0.9,0.99,0.999,0.9999, …；1,0,1,0,1,0,【解】(1)注意到前四项中有两项分子均为4，不妨把分子都统一为4，即，，，，…观察符号是正负交替出现，因而有.(2)将数列中的项和1比较，就会发现，=0.9=1- =0.99=1-=1-=0.999=1-=1-,因此就有.(3)数列中的奇数项为1,偶数项为0,注意的值为2和0,因此有.题型二：已知递推公式，求特殊数列的通项公式.例2写出下面各数列一个通项公式.(1)a1 = 1, a n 1 =1 ~ (n _ 1);练习1: a<i = 1,a n 彳=2a n3(n 一1);(2),; 练习2:,;(3), 练习3：印=1,a2=3,a n七=3a n*—2a n( n^N ).(4),；练习4：,【解】(1)法一：•••，•••，故.法二：•••，•••• ｛｝是一个首项为一1，公比为的等比数列，•,即.练习：••• a1 =1,an 1 二2an 3(n - J , •,• ｛｝是以为首项，2为公比的等比数列，•,所以该数列的通项.(备用I ：, ••数列｛｝是以2为首项，2为公比的等比数列，［点评］若数列｛a n ｝满足a i =a , a n+i = pa n +q ( p * 1)，通过变形可转化为 a n .1— = p(a n —), 1 - p 1 - p即转化为是等比数列求解.解：(2)由得，即，又， •数列订是以1为首项，为公差的等差数列111 n +1(n —1)，….a n印22练习2： 由得，即，又，•数列｛｝是以 1为首项， 为公差的等差数列11 . 1 n +2(n -1)- ，….a n a 13 3［点评］若数列訂满足，，通过取倒可转化为，即转化为訂是等差数列求解. (3 )•••,•将上述(n — 1)个式子相加，得 a n -a^2 (2 3 ^ n)即，.练习3：-a n 2 - a n 1二2(an 1 一a n), ta1=1,a2= 3,.an 2 一弘—2(n N *).an 1 _ a n是以为首项，2为公比的等比数列.a n = (a n —a n 」) (a nd —a n/) ... (a 2 -印)印［点评］若数列訂满足，a n 厂a n •b n (数列｛ b j 为可以求和的数列)，则用累加法求解，即 a n - a 1 ' (a 2 _a 1) ' (a 3 -a2)■(a n _ an J ) •(4)v, ,••,,•••, ,将上述(n — 1)个式子相乘，得，即. 练习 4：v,,…，，将上述(n — 1)个式子相乘，得，即. ［点评］若数列訂满足， a n 1二a n b n (数列｛ b ｝为可以求积的数列)，则用迭乘法求解，即.三、课堂小结：1.已知数列的前几项，求数列的通项公式的方法：观察法.A 版必修52.已知递推公式，求特殊数列的通项公式的方法：转化为等差、等比数列求通项；累加法；迭乘法. 四、课外作业： 《习案》作业二十.2019-2020年高中数学数列求和的常用方法（三课时）教案新人教数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。

专题：求数列的通项公式——累加法和累乘法学习目标1. 掌握并能熟练应用数列通项公式的常用方法：累加法和累乘法；2. 通过对例题的求解引导学生从中归纳相应的方法，明确不同的方法适用不同的前提、形式，使学生形成解决数列通项公式的通法；3. 感受知识的产生过程，通过方法的归纳，形成事物及知识间联系与区别的哲学观点，体会数学累加思想和累乘思想。

________________________________________________________________________________ 自学探究：回顾等差、等比数列的通项公式推导过程，完成下列任务。

例：已知数},{n a 其中,,111n a a a n n +==+①求它的通项n a 。

变题1：把①式改为;11+=+n n a a变题2：把①式改为;21n n n a a +=+小结1：通过求解上述几个题，你得到什么结论？变题3：把①式改为;11n n a nna +=+变题4：把①式改为;21n n a a =+小结2：通过求解上述2个题，你得到什么结论？挑战高考题：1.(2015.某某.17）已知数列{}n a 满足n nn a a a 2,211==+，)*∈N n （。

（1）求n a2.（2008.某某.5）在数列{}n a 中，)11ln(,211na a a n n ++==+，则=n a （ ）. A.n ln 2+ B.n ln 1-n 2）（+ C.n n ln 2+ D.n n ln 1++你能否自己设计利用累加法或累乘法求解数列通项公式的题？通过本节课的学习你收获了什么？。

"高中数学必修5 《数列通项公式求法》导学案 "【学习目标】1.会在各种条件下，选用适当的方法求数列的通项公式。

2.掌握定义法、公式法、累加法、累乘法、构造数列法在求通项公式中的应用。

【重点难点】重点：由递推公式求数列的通项公式 难点：累加法、累乘法、构造数列法【学习过程】知识点一：定义法（教材链接：等差数列和等比数列的定义） 直接用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.例2.已知数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且有332-=n n a S ，（1）求数列{}n a 的通项公式。

（2）设数列{}n b 的通项公式是133log log 1+⋅=n n n a a b ，前n 项和为n T ，求证：对于任意的正整数n ，总有n T <1.知识点三：由递推式求数列通项对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。

类型1 递推公式为)(1n f a a n n +=+（教材链接：第37页等差数列通项公式的探究）解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例3. 已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。

类型2 （1）递推公式为n n a n f a )(1=+（教材链接：第50页等比数列通项公式的探究） 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例4. 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。

类型3 递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。

一．基本观点数列的通 公式：假如数列 { a n } 的第 n a n 与n 之 的关系能够用一个公式来表示， 个公式就叫做 个数列的通 公式．二 .数列的通 公式的求法型一：已知数列的前几 ，求数列的通 公式．例 1 依据数列的前几 ，写出以下个数列的一个通 公式：（ 1）4,1, 4,2, ;52 11 7（ 2） 0.9,0.99,0.999,0.9999,⋯；（ 3） 1,0, 1,0,1,0,⋯．型二：已知数列的前 nS n ，或 S n 与 a n 的关系，求数列的通 公式。

a n =例 2.（1）已知数列a n 的前 n 和 S n 足 S n n 2 n 1，求数列a n 的通 公式．（ 2） 数列 { a n } 的前 n 和上 ,求数列 { a n } 的通 公式。

S n ，点(n,S n n)(nN ) 均在函数y ＝3x － 2 的 像（ 3）已知在正 数列 {a n 中 其前 n和 n2 snan1 , 求 n} , S ,且 足 :a型三：已知 推公式，求特别数列的通 公式． 1、累加法 : 形如 a n+1=a n +f(n) 的 推关系（ 1）若 f(n) 常数 ,即： a n 1a n d ,此 数列 等差数列，a n =a 1 (n 1)d .（ 2）若 f(n) n 的函数 ，用累加法 .例 3:已知数列 {a n } 足 a 1=1,a n =a n-1+3n-1 (n ≥2).(1)求a2, a3(2)求数列 {a n} 的通项公式2、累乘法 : 形如 a n+1=f(n)a n的递推关系（ 1）当 f(n) 为常数，即：an 1q （此中 q 是不为 0 的常数），此时数列为等比a n数列， a n = a1 q n 1 .（ 2）当 f(n) 为 n 的函数时 ,用累乘法 .例 4.已知数列 {a n} 知足 a1=1,2n-1a n=a n-1 (n≥2)(1)求数列 {a n} 的通项公式 .(2)这个数列从第几项起及后来面的项均小1? 10003、待定系数法 (结构新数列 )：例 5.已知数列 { a n} 知足 a1=1, a n+1=2a n+1, 求数列 {a n} 的通项公式(2) 形如a n 1pa n q n型等式两边同除以 q n 1转变为 (1)形再求解 .例 6 已知数列 {a n} 知足 ,a1=1,a n+1=2a n+3n, 求数列 {a n} 的通项公式pa n型4、取倒数法形如a n 1ra n s例 7. 已知数列 a n中， a1 2 ， a n a n1(n 2)，求通项公式 a n2a n 115.相除法例 8.已知： a12, a n0 ，且 a n 1a n = 2a n 1a n，求 a n三、学习小结1．已知数列的前几项，求数列的通项公式的方法：察看法．2．已知递推公式，求特别数列的通项公式的方法：转变为等差、等比数列求通项；累加法；迭乘法。

2.1.2数列的通项公式与递推公式导学案【学习目标】1．体会递推公式是数列的一种表示法，并能根据递推公式写出数列的前n项．2．掌握由简单递推公式求通项公式的方法．【自主预习】1．数列递推公式(1)两个条件：①已知数列的第1项(或前n项)；②从第2项(或某一项)开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的公式．2．数列递推公式与通项公式之间的关系3.仅由数列{a n}的递推公式a n＝f(a n－1)(n≥2，n∈N*)能否确定一个数列？提示：不能．由递推公式确定一个数列，必须满足：①“基础”——数列{a n}的第1项或前几项；②递推关系——数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)(n≥2，n∈N*)之间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示．二者必须同时具备才能确定一个数列．【互动探究】1.已知数列{a n}的第一项a1＝1，以后的各项由公式a n＋1＝2a na n＋2给出，试写出这个数列的前5项．2.(1)对于任意数列{a n}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a n－a n－1)＝a n(n≥2，n∈N*)都成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{a n}满足：a1＝1，a n＋1－a n＝2，求a n；(2)若数列{a n}中各项均不为零，则有a1·a2a1·a3a2·…·a na n－1＝a n(n≥2，n∈N*)成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{a n}满足：a1＝1，a n a n－1＝n－1n(n≥2，n∈N*)，求a n．【课堂练习】1．符合递推公式a n＝2a n－1(n≥2)的数列是( )A．1,2,3,4，… B．1，2，2,22，…C．2，2，2，2，… D．0，2，2,22，…答案：B2．已知数列{a n}的首项a1＝2，a n＋1＝2a n＋1(n≥1，n∈N*)，则a5为( )A．7 B．15C．30 D．47答案：D3．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )A．a n＋1＝a n＋n(n∈N*)B．a n＝a n－1＋n(n≥2，n∈N*)，a1＝1C．a n＋1＝a n＋(n－1)(n∈N*)D．a n＝a n－1＋(n－1)(n≥2，n∈N*)，a1＝1答案：B4．数列{a n}中，a1＝2，a n＝a n＋1－3，则14是数列{a n}的第________项．答案：55．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝a n＋a nn＋1．(1)写出数列的前5项；(2)猜想数列的通项公式．。

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数列通项公式的求法一、教学目标：1．由数列的前几项求数列的通项． 2．由n a 与n S 的关系求通项n a ． 二、教学重点:由n a 与n S 的关系求通项n a ． 三、教学难点：由n a 与n S 的关系求通项n a ． 四、教学过程：（一）考 点 知 识 梳 理（教师引导学生完成) 1．观察法求数列的通项观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律写出通项公式。

注：关键是找出各项与项数n 的关系. 2．由n a 与n S 的关系求通项n a若已知数列｛an}前n 项和为Sn ，则该数列的通项公式为)1(,1==n S a n ,)2(,1≥-=-n S S a n n n 。

注意：要先分n =1和n ≥2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。

(二）典例分析考点一 由数列的前几项求数列的通项【例1】 根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式: （1)－1，7，－13，19,…；(2)错误!，错误!，错误!,错误!，错误!，…； （3）错误!，2,错误!,8，错误!,…； （4)5，55，555，5 555，…。

解 （1）偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式（－1）n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝（－1）n(6n －5)．(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5，5×7，7×9,9×11，…,每一项都是两个相邻奇数的乘积．知所求数列的一个通项公式为a n ＝错误!。

数列的通项公式与递推公式一、教学目标：1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项；a的关系。

3.理解数列的前n项和与n二、教学重点难点：教学重点：数列及其有关概念通项公式及其应用教学难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.三、教学策略及设计“数学教学是数学活动的教学”，“数学活动是思维的活动”，新课标也在倡导独立自主，合作交流，积极主动，勇于探索的学习方式。

基于这种理念的指导，在教法上采用探究发现式课堂教学模式，在学法上以学生独立自主和合作交流为前提，重视学生在学习过程中，能否发现数列中的项的规律特点，写出数列的通项公式，或递推公式。

设计流程如下:四、教学过程：教学环节教学内容师生活动设计意图复习旧知识，引入新知归纳抽象形成概念1、复习引入：（1）数列及有关定义（2）数列的表示方法通项公式法如数列0，1，2，3，4，5，…的通项公式为na=n－1(∈n*N)；列表法图象法学生回答，引导温故知新。

由复习引入，通过数学知识的内部提出问题。

2、分析归纳，形成数列概念。

问题1. 观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．模型一：自上而下：第1层钢管数为4；即：1↔4＝1+3第2层钢管数为5；即：2↔5＝2+3第3层钢管数为6；即：3↔6＝3+3第4层钢管数为7；即：4↔7＝4+3第5层钢管数为8；即：5↔8＝5+3第6层钢管数为9；即：6↔9＝6+3第7层钢管数为10；即：7↔10＝7+3若用na表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且1(3+=nan≤n≤7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。

让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）模型二：上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。

2019-2020学年高考数学一轮复习 数列的通项导学案一、学习目标1.理解求等差、等比数列通项公式的方法；2.能熟练运用各种方法求数列的通项公式.二、重点难点重点：用n S 与n a 之间关系、累加法、累乘法以构造法求数列的通项公式.难点：构造等差、等比数列求数列通项公式.三、知识导学1．数列的递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且从第2项起（或某一项）开始的任意一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式.等差数列与等比数列是最基本的递推数列.2．数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S 之间的关系是 .3．求数列的通项公式常见的几种类型：（1）已知数列的前n 项，求其通项公式：常用观察分析法、递差法、待定系数法、特殊数列法、转化法、归纳递推法等；根据数列前几项，观察规律，从而总结出数列的通项公式是一项重要的能力.（2）已知数列前n 项和n S ，求其通项公式：根据n a 与n S 之间的公式进行求解，务必注意1n n n a S S -=-是在2n ≥的条件下；注意结果能否统一 .（3）已知数列前n 项和n S 与通项n a 之间的关系：根据n a 与n S 之间的公式，将关系式进行转化，一般是转化为只有n a 或者只有n S ，再进行求解.（4）已知递推关系求通项：主要掌握累加法、累乘法以及构造法等.四、课前学习1.数列{}n a 满足： 112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若167a =，则2a = ，5a = .2.若数列{}n a 满足：1111,2,n na a a +=-=则2010a = . 3. 如果数列{}n a 满足121321,,,...,,...n n a a a a a a a ----是首项为1，公比为2的等比数列，那么n a = .4.在数列{}n a 中，11a =， 11n n n a a a +=+， 此数列的通项公式为 . 五、合作学习例1．根据下列条件，求出数列{}n a 的通项公式：（1）2232n S n n =-+； （2）112,n n a a a n +==+；（3）1111,2n n n a a a --==； （4）111,21(2)n n a a a n -==+≥例2.已知数列{}n a 中，11a =-且1323n n a a n -=-+.(1)令1n n n b a a +=-，证明：数列}{n b 是等比数列；(2)求数列{}n a 的通项公式.例3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()1121,1,2,3,n n n a a S n n ++=== 证明：（1）设n n S b n=，求{}n b 的通项公式；（2）求证：14n n S a +=.例4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n N ∈ (1)证明：{}1n a -是等比数列；(2)求数列{}n S 的通项公式，并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n .六、学习检测1．数列{}n a 满足()*2112,,1,3n n n x x x n N x x ++=-∈==则100x = .2． 数列{}n a中，11n a n+==，则n a = . 3.已知正项数列{}n a 中，n S 表示前n项的和，且1n a =+，则__________n a =.4.在数列{}n a 中，2132,n n n a a a ++=-且121,3a a ==，则n a .5.数列{}n a 满足112,,1n n na a a na +==+则36a = . 6.定义一种运算“*”，它对于正整数n 满足下列运算性质：（1）210011;*=（2）()()221001321001n n +*=⋅*⎡⎤⎣⎦；则20081001*= .7.数列{}n a 满足()112311111,,1231n n a a a a a a n n -==++++>-则n a = . 8.数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()1202,n n n a S S n -+=≥112a =，(1)求证：1n S ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩是等差数列； (2)求n a的表达式.9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =且142n n S a +=+.(1)令12n n n b a a +=-，证明：数列}{n b 是等比数列；(2)求数列{}n a 的通项公式.七、总结反思。

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数列通项公式的求法 一、学习目标：1、 掌握求数列通项公式的几种常用方法.2、 仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法,迅速求出数列的通项公式。

学习重点：学会构造法处理数列通项的方法与本质。

二、学习过程前言数列的通项公式是数列的核心之一。

各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解.特别是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。

因此，求数列的通项公式往往是解题的突破口、关键点。

本节课我们将在前一节课的基础上，继续探讨数列通项公式的求法,希望大家认真思考，主动探究，合作交流,积极发言。

第一部分 复习回顾环节(一）、课前热身，巩固所学:1、已知数列}{n a ，1a 1=，1n a +=n a 2+，求｛a n }的通项公式.变式:已知数列}{n a ，1a 1=,1n a +=n a n 2+,求｛a n }的通项公式。

2、已知数列｛a n ｝满足)(,2,111*+∈==N n a a a n n ，求{a n ｝的通项公式.变式：若条件变为)(,21*+∈=N n a a n n n ，求{a n }的通项公式。

环节（二）、总结方法,形成规律：问题1:你能总结出我们所学的求数列通项公式的方法吗?问题2：请同学们思考在递推式q pa a n n +=+1（p ，q 为常数）中，① 当p=1时，如何求n a ?② 当p ≠0，q=0时，又可以转化为何种类型求通项公式？问题3：如何由递推式q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）,求n a ？为了解决这个问题，让我们一起结合例1进行思考：第二部分 探索新知1、 q pa a n n +=+1型(其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）例1： （福建高考理）已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a的通项公式。