2013年广东省高考模拟试题（一）数学（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每题5分，满分50分． 1．（原创）已知集合{}2|20A x x x =--<，集合{}|0B x x =≥，则A B = （ ）A ．()1,2- B ．[)0,2 C ．()0,2 D ．[]1,2-2．（原创）复数ii-12的虚部为（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1- 3．（原创）已知命题p ：函数()f x 在0x x =处有极值，命题q ：可导函数()f x 在0x x =处导数为0，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2012年河北衡水高三期末考试改编）已知m 是两个正数8,2的等比中项，则圆锥曲线122=-my x 的离心率为（ ）A ．23或25 B ．23 C ．5 D ．23或5 5．（原创）设,a b 是两条不同直线，,αβ是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ∥α，b ∥β且α∥β，则a ∥b B ．若a ∥α，a ∥β且b ∥a ，则b ∥α C ．若a α⊥，b β⊥且α∥β，则a ∥b D ．若a α⊥，a β⊥且b ∥α，则b ∥β6．（2011年深圳一模）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．2B ．1C ．23D ．137．（2009年陕西高考改编）设曲线1()n y x n N ++=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则201312013220132012l o gl o g .l o g x x x +++=（ ）A ．2011log 2010B ．1-C ．2011log 20101-D ． 1 8．（2009年惠州调研改编）已知平面区域A ：000x y y ⎧≥⎪≥⎨+-恰好被面积最小的圆()()222:C x a y b r -+-=及其内部所覆盖，现向此圆内部投一粒子，则粒子恰好落在平面区域A 内的概率为（ ） A ．2πB C ．πD9．（2012年杭州月考改编）若n m -表示[,]()m n m n <的区间长度，函数()0)f x a >的1，则实数a 的值为（ ）A ．4B ．2CD ．110．（原创）在ABC ∆中，,E F 分别为,AB AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数,x y 满足0PA xPB yPC ++=，设ABC ∆，PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积分别为123,,,S S S S ，记312123,,S S SS S Sλλλ===，则λ2λ3取到最大值时，2x y +的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．32- D ．32二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．第11题图俯视图正(主)视图 侧(左)视图11．（原创）给出计算201614121++++ 的一个程序框图如图，其中框内应填入的条件是__ __． 12．（原创）函数xx x x f 22)(2-+-=在其定义域内零点的个数为_____．13．（2012年湖北荆州市高三一模改编）把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}n a ，若2013n a =，则n =___________．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题． 14．（几何证明选讲选做题）（原创）如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒， E 为AB 上一点，以为直径作圆O 刚好与AC 相切于点D ，若:2:1,AB BC CD ==O 的半径长为 ．15．（极坐标与参数方程选做题）（原创）曲线2sin (sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）与2y x =+的交点坐标为__________ 三、解答题：本大题6小题，满分80分．16．（12分）（原创）设函数()()sin 2sin 22cos x x f x x x πππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+． （1）求()f x 的最值；（2）当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，若()1f θ=，求θ的值．17．（12分）（原创）美国男子篮球职业联赛（NBA ）是美国四大职业联赛之一，吸引了全世界无数的球迷。
下表列出了NBA 巨星科比在本赛季前六场比赛的技术统计指标，每场比赛包括“得分”、“篮板”、“助攻”、“抢断”以及“盖帽”五项．（1）写出科比在这六场比赛中得分的众数和中位数，并计算其平均得分；（2）若在“得分”，“篮板”，“助攻”，“抢断”和“盖帽”这五项技术统计中有任意三项均达到或超过10，则称这个运动员在比赛中拿到“三双”，按表中所出现“三双”的频率计算，在本赛季一共66场常规赛中，科比大概能拿到多少次“三双”？（3）若从这六场比赛中任意抽取两场比赛作进一步的技术统计分析，则抽到得分不低于29分且盖帽数不低于2次的概率为多少？BM AE D BCS 18．（14分）（原创）如图3：四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，且90DAB ∠=︒，E 为SD 的中点，SA ⊥平面ABCD ，且1AB =， 2SA AD CD ===．延长D A ，与CB 的延长线交于点M ． （1）求四棱锥S ABCD -的体积； （2）求证：AE ∥平面SBC ；（3）求证：平面SMC ⊥平面SCD ．19．（14分）（原创）已知数列{}n a 满足12111111,,22n n n n n n a a a a a a a a -+-+==+=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为112n nS =-，试求数列nnb a⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ； （3）记数列{}21n a -的前n 项积为()221ni i a =-∏，试证明：()221112n i i a =<-<∏．20．（14分）（原创）已知圆221:106320C x y x y +--+=，动圆222:22(8)4120()C x y ax a y a a R +---++=∈； （1）求证圆1C 与圆2C 相交于两个定点；（2）设点P 是椭圆2214x y +=上的点，过点P 作圆1C 的一条切线，切点为1T ，过点P 作圆2C 的一条切线，切点为2T ，是否存在点P ，使无穷多个圆2C 满足12PT PT =？如果存在，求出所有这样的点P ，不存在，说明理由． 21．（14分）（2010年佛山考前指导改编）已知函数()()2ln 1x f x a x x a a =+->．（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()1y f x t =--有三个零点，试求t 的值； （3）若存在[]12,1,1x x ∈-，使得()()121f x f x e -≥-，试求a 的取值范围．2013年广东省数学高考模拟试题 数学 (文科)数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10个小题，每题5分，满分50分1．【答案：B 】此题主要考查一元二次不等式的求法和交集的概念，属于容易送分题。
解析：因为{}()(){}{}2|20|210|12A x x x x x x x x =--<=-+<=-<<，{}|0B x x =≥，因此[)0,2A B = 。
2．【答案：C 】主要考查复数的定义和除法运算,属于容易送分题。
解析：22(1)11(1)(1)i i i i i i i +==-+--+，所以虚部为1，故选C 。
3．【答案：A 】考查充要条件知识和导数极值的基本知识，属于容易题。
解析：“函数()f x 在0x x =处有极值”⇒“可导函数()f x 在0x x =处导数为0”；但是“可导函数()f x 在0x x =处导数为0”却并不能推出“函数()f x 在0x x =处有极值”，如函数()3f x x =在0x =处的导数()'00f =，但是0x =并不是它的极值点，自然在这点就不存在极值。
4．【答案：D 】考查了等比数列中等比中项的概念和圆锥曲线中各个参数的关系以及离心率的定义，考查了学生的思维是否缜密周全，考查了简单的分类讨论思想，属于基础题。
解析： 由22816m=⨯=得4m =±，代入曲线方程可求得2e 或. 5．【答案：C 】本题考查了线面平行和垂直的判定和性质，考查了空间想象能力。
解析：由a α⊥且α∥β可得a β⊥，又b β⊥，从而可得a ∥b 。
6．【答案：C 】本题考查三视图的基本知识，考查考生空间想象能力。
解析：将三视图还原得到的是一个四棱锥，根据三视图给出的边长求得为体积23。
7．【答案：B 】考查导数的几何意义和对数的运算，属于中等题。
解析：由'(1)n yn x =+求得1n nx n =+，201312013220132012log log ....log x x x +++ 2013122012log (...)x x x =2013122012log (.....)1232013=⨯⨯⨯=-。
8．【答案：B 】考查几何概型的知识和圆的知识，属于中等题。
解析：如右图，平面区域A 所示的部分即为Rt △OMN，其面积为：122S=⨯⨯=A 被面积最小的圆C 及其内部所覆盖，则圆C 为Rt △ABC 的外接圆，此时其直径4MN ==，从而其面积为：21442S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故粒子恰好落在平面区域A的概率为：142S p S ππ===。
9．【答案：D 】本题考查函数的值域和考查基本不等式的简单运用，本题解题的关键是利用所求的长度与所给的长度进行对比，属于中等题。
解析：22[()]f x a ==+()a x x a-+=，故2[()]2a f x a ≤≤，()f x ≤()0)f x a >1)1，解得1a =。
10．【答案：D 】本题考查向量的线性运算、基本不等式等知识的综合，是一道综合题，难度较大。
解析：由题意可知112λ=，1231λλλ++=，2312λλ+=≥，当23λλ取到最大值时，2314λλ==，此时P 为EF 的中点，所以1144PA BA CA =+ ，1144PB CB AB =+ ，1142PC BC AC =+，111111424244PA xPB yPC BA xAB CA yAC xCB yBC ++=+++++311131()()0444444x y AB x y AC =--+-+-= ，所以11,22x y ==，故322x y +=。
