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(1)平行晶列组成晶列族， (1)平行晶列组成晶列族，晶列 平行晶列组成晶列族 族包含所有的格点； 族包含所有的格点； (2)晶列上格点分布是周期性的； (2)晶列上格点分布是周期性的； 晶列上格点分布是周期性的 (3)晶列族中的每一晶列上， (3)晶列族中的每一晶列上， 晶列族中的每一晶列上 格点分布都是相同的； 格点分布都是相同的； (4)在同一平面内， (4)在同一平面内，相邻晶列间的 在同一平面内 距离相等。 距离相等。
a1 n = h1d a 2 n = h2d a 3 n = h3d
a1 cos a1 , n = h1d
2 2 2
( ) a cos(a , n) = h d a cos(a , n) = h d
3 3 3
X n = d
A3 N
n
A2 A1
a3 d
a2
为天然长度单位得： 取 a1 , a 2 , a 3为天然长度单位得：
记为[ 晶列的 记为[mnp]，[mnp]即为该晶列的晶列指数. ] ]即为该晶列 晶列指数.
a 如图在立方体中， 例1：如图在立方体中， = i , b = j , c = k
D是BC的中点，求BE,AD的晶列指数。 是 的中点 的中点， 的晶列指数。 , 的晶列指数 解： OB = i ,
OE = i + j + k ,
以布拉维原胞基矢 a, b,c 为坐标轴来表示 的晶面指数称为密勒指数， 的晶面指数称为密勒指数，用(hkl)表示。 密勒指数 )表示。 例2：如图所示 a⊥b⊥c ，I和H ： 和 分别为BC， 之中点 之中点， 分别为 ，EF之中点，试求晶面 AEG，ABCD，OEFG，DIHG的密 ， ， ， 的密 勒指数。 勒指数。 在三个坐标 h' 轴上的截距 k' l'
综上所述，晶面指数(h1h2h3 )表示的意义是；
(1)基矢 被平行的晶面等间距的分割成h (1)基矢a1,a2 ,a3 被平行的晶面等间距的分割成 1、h2、h3 等份； 等份； (2)以 (2)以 a1 ,a2 ,a3 为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴 上的截距倒数的互质比； 上的截距倒数的互质比； (3)晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。 (3)晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。 晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值
c
b
DIHG 2 1 ∞
(hkl)
1 1 1 : : 2 1 ∞ (120)
C B
G
a
AEG 的密勒指数是(111)； ； OEFG的密勒指数是(001)； 的密勒指数是 ； DIHG的密勒指数是(120)。 的密勒指数是 。
I F
O
E
H
例3:
在立方晶系中画出(210)、 121) 晶面。 、 ( 晶面。 在立方晶系中画出
晶向、 第三节 晶向 、 晶面和它们的标志
本节主要内容: 本节主要内容: 1.3.1 晶向及晶向指数 1.3.2 晶面及密勒指数
§1.3 晶向、晶面和它们的标志
1.3.1 晶向及晶向指数
1.晶向 通过晶格中任意两个格点 连一条直线称为晶列，晶列的 连一条直线称为晶列， 晶列 取向称为晶向， 取向称为晶向，描写晶向的一 晶向 组数称为晶向指数 晶向指数( 组数称为晶向指数(或晶列指数 )。 过一格点可以有无数晶列。 过一格点可以有无数晶列。 晶列
(2)以布拉维原胞基矢表示 (2)以布拉维原胞基矢表示 如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为
R = m ′a + n′b + p′ c
(a , b , c 为布拉维原胞基矢 )
E A
c
b
′ 为有理数, 其中 m ,n′, p′ 为有理数,将 m ,n′, p化为互质的整数 m,n,p, , , , ′ ′
[001] ]
[010] ] [100] ]
[100] ] [010] [001] ] ]
1.3.2 晶面及密勒指数
1.晶面 在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面， 在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面， 称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数。 称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数。 晶面指数
O a1 cos (a 1 , n ) : cos (a 2 , n ) : cos (a 3 , n ) = h1 : h 2 : h 3
晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。 晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。 又 cos
(a
1
, n ) : cos (a
2
, n ) : cos (a
n
N A2 A1
a3
O
d
a2
n表
a1
X n = d
设OA1 = r a 1 , OA2 = s a 2 , OA3 = t a 3
r a1 n = d sa 2 n = d t a3 n = d
X n = d
A3 N
r a 1 cos a 1 , n = d
2 2
( ) s a cos (a , n ) = d t a cos (a , n ) = d a
晶列的特点
2.晶向指数 (1) 用固体物理学原胞基矢表示 如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为
′ ′ ′ R = l1 a1 + l2 a2 + l3 a3
a 1 ,a 2 ,a 3
为固体物理学原胞基矢
′ ′ 为整数， 其中 l1′ , l 2 , l3 为整数，将 l ′ , l ′ , l ′ 化为互质的整数 l1 , l 2 , l 3 ， 1 2 3
记为[ ]， ]即为该晶列的晶列指数。 即为该晶列的晶列指数 记为[ l1 l 2 l 3]， [ l1l 2 l3 ]即为该晶列的晶列指数。
如遇到负数，将该数的上面加一横线。
如[121]表示 [121]表示
l1 = 1, l2 = 2, l 3 = 1
]晶列上格点的周期 晶列上格点的周期= [ l1 , l2 , l3]晶列上格点的周期= ?
注意:
(2)晶列指数用方括号表示[ (2)晶列指数用方括号表示[ 晶列指数用方括号表示
1 OD = i + j , 2
C D
a
O
B
(11(1)晶列指数一定是一组互质的整数； 晶列(11-1) (1)晶列指数一定是一组互质的整数； 晶列(11 晶列指数一定是一组互质的整数 ]； ]； 晶列[11晶列[11-1] [11 晶列(111) 晶列(111) 晶列[111=
1 1 1 : : r s t
h :h :h = 1 2 3
1 1 1 : : r s t
h :h :h = 1 2 3
1 1 1 : : r s t
因为h 为整数，所以r、 、 必为有理数 必为有理数。 因为 1、h2、h3为整数，所以 、s、t必为有理数。 任一晶面在坐标轴上的截距r， ， 必是一组有理数 必是一组有理数。 任一晶面在坐标轴上的截距 ，s，t必是一组有理数。 可以证明h 一定是互质的， 可以证明 1，h2，h3一定是互质的，称它们为该晶面族的 面指数，记为( 面指数，记为(h1h2h3 ) 。
晶面在三个坐标轴上的截距分别为： 晶面在三个坐标轴上的截距分别为：
a
(210)
1 2
1
b
1
c ∞
1
C E
B D
a F
c
G
b
(121)
1 2
A
密勒指数是(210) 的晶面是ABCD面； 密勒指数是 面 密勒指数是 (121) 的晶面是EFG面； 面
加一横线。 (3)遇到负数在该数 (3)遇到负数在该数上方加一横线。 (4)等效晶向。 (4)等效晶向。 等效晶向
在立方体中有， 在立方体中有，沿立方边的 晶列一共有6个不同的晶向， 晶列一共有 个不同的晶向，由于 个不同的晶向 晶格的对称性， 晶格的对称性，这6个晶向并没有 个晶向并没有 什么区别，晶体在这些方向上的 什么区别， 性质是完全相同的， 性质是完全相同的，统称这些方 向为等效晶向，写成< 向为等效晶向，写成<100>。 等效晶向 >
C D
a
BE = OE OB = j + k
O
B
晶列BE的晶列指数为： 晶列 的晶列指数为： 011] 的晶列指数为 [ ]
的晶列指数。 求AD的晶列指数。 的晶列指数
OA = k ,
E A
c
b
1 AD = OD OA = i + j k 2 AD的晶列指数为: [212] 的晶列指数为: 的晶列指数为
1 1 1 cos a 1 , n : cos a 2 , n : cos a 3 , n = : : r s t
(
)
(
)
(
)
可以证明： ---阿羽依的有理数定理。 可以证明：r,s,t必是一组有理数---阿羽依的有理数定理。 的末端上的格点分别在离原点距离h 、 、 设 a1 , a2 , a3的末端上的格点分别在离原点距离 1d、h2d、 h3d的晶面上，这里 h1、h2、h3为整数 。 的晶面上， 的晶面上 (1)所有格点都包容在一族晶面上；因此给定晶面族中必 有一个晶面通过坐标系的原点； 有一个晶面通过坐标系的原点；在基矢 a1 , a2 , a3 末端上的格点 也一定落在该晶面族的晶面上； 也一定落在该晶面族的晶面上； (2)同一晶面族中的晶面平行且相邻晶面间距相等,故在原 点与基矢的末端间一定只有整数个晶面。 点与基矢的末端间一定只有整数个晶面。
3 3
n
A2 A1
3
d
a2
取 a1 , a 2 , a 3为天然长度单位，则得： O 为天然长度单位，则得：
