4.2(5)专题6--直线上的动态问题

初三数学函数复习-------动直线问题一：教学目标：1、使学生学会应用知识解决动态图形中的面积问题、相切问题等；2、使学生掌握动直线问题的一般方法；13、让学生在问题的解决过程中，领悟函数思想、数形结合、分类讨论、转化等数学思想；重点：使学生掌握动直线问题的一般方法；难点：在直线的运动过程中如何分类；如何画出特征图；切线的性质在题目中如何运用；二：教学过程：模块一：前置学习问题1：如图，已知直线l 的解析式为y=-x+6，它与x 轴，y 轴分别相交于A 、Ｂ两点，平行于直线l 的直线n 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，直线n 与x 轴、y 轴分别相交于C 、D 两点，设运动时间为t 秒，当直线n 与直线l 重合时，运动结束．(1)求A 、B 两点的坐标;(2)用含t 的代数式表示△COD 的面积S.模块二：动直线问题(3)以CD 为对角线作矩形ODEC,记△AOB 与△CED 重合部分的面积为S 1,①思考：在直线的n 运动过程中，重合部分的形状是如何变化的？请画出示意图;②试探究S 1与t 之间的函数关系式;③在题②的条件下，t 为何值时, S 1的值最大, 最大为多少?变式: 以线段CD 的中点为P ，以P 为圆心，以CD 为直径在CD 上方作半圆，半圆面积为S 2， (1) 求S 2与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围;（2）当t 为何值时，半圆与直线l 相切？备用图 备用图(3)是否存在这样的t 值，使得半圆面积S 2=12S 梯形ABCD ?若存在，求出t 的值，若不存在说明理由。

模块三：当堂检测如图，已知直线l 的解析式为y= -43x+3，它与x 轴，y 轴分别相交于A 、Ｂ两点，平行于直线l 的直线n 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，直线n 与x 轴、y 轴分别相交于C 、D 两点，设运动时间为t 秒，当直线n 与直线l 重合时，运动结束．（1）以CD 为对角线作矩形ODEC,记△AOB 与△CED 重合部分的面积为S 1,试探究S 1与t 之间的函数关系式;t 为何值时, S 1的值最大, 最大为多少?(2)以线段CD 的中点为P ，以P 为圆心，以CD 为直径在CD 上方作半圆，半圆面积为S 2，①求S 2与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围;②当t 为何值时，半圆与直线l 相切？三：教学反思中考命题特点与趋势：用运动的观点来探究几何图形的变化规律的试题称为动态几何型试题。

动态问题---点动是源泉动态问题一般是指几何图形的运动，包括点动（点在线或弧上运动）、线动（线的平移、对称、旋转）、面动（平面几何图形的平移、对称（翻折）、旋转）。

这类问题具有灵活性，多变性，融入三角形，四边形，圆，甚至函数图象，综合运用全等知识，相似知识，三角函数，勾股定理等知识；同时运动产生变量，又和函数联系起来，利用一次函数、二次函数性质解释动态问题。

数形结合的升华部分就在此。

但万物皆有源，几何以点为源泉，无数个点可以形成各种图形，所以图形的运动其实是无数个点的运动。

点动带动图形动，图形动引起点的位置发生变化，相辅相成，变化无穷，但万变不离其中，解决问题要抓住一些关键点即可，现举例说明：一、双点动回归单点动点动包括单动点型、双动点型，其中双动点型在中考里常见的，两点速度可以是同速、异速，方向随图形形状而有所要求。

例1 （09浙江丽水）已知直角坐标系中菱形ABCD 的位置如图，C ，D 两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P ,Q 分别从A ,C 同时出发，点P 沿线段AD 向终点D 运动，点Q 沿折线CBA 向终点A 运动，设运动时间为t 秒.(1)填空：菱形ABCD 的边长是 、面积是 、高BE 的长是 ； (2)探究下列问题：①若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度为每秒2个单位.当点Q 在线段BA 上时，求△APQ 的面积S 关于t 的函数关系式，以及S 的最大值；②若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度变为每秒k 个单位，在运动过程中,任何时刻都有相应的k 值，使得△APQ 沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.请探究当t =4秒时的情形，并求出k 的值.解析：此题P 点限定在一条线段上，而Q 点是在折线上运动，由此注意分类。

（2）①中重新限定了Q 点在线段上，所以只需求出三角形高（用相似知识）即可；②中Q 点的速度是变量，且运动路线分段，故需分类讨论，解决这一问还需知道两个三角形能组成菱形，则此三角形必是等腰三角形。

第6讲 动态问题初步（一）模块1：与数轴有关的动态问题知识解析：点动、线动、面动构成的问题称之为动态几何问题，它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体．期末压轴题一般都会以综合题的形式出现，这就奠定了“动态问题”在压轴题中的重要地位．与数轴相关的动态问题的解题思路一般有两种：1．行程问题：寻找点在运动前后路程的变化，依题意求解.2．动点表示法：表示出任意时刻动点位置，依题意列方程求解．【注意】动点问题大多需要分类讨论，要考虑多解问题以及解的取舍问题． 动点在数轴上的表示方法：（1）如图1所示，数轴上有两点A 、B ，在数轴上表示的数分别为a 、b ，A 向左运动，速度为x 个单位长度/秒，B 向右运动，速度为y 个单位长度/秒．若t 秒过后，A 点运动后所在的位置为A ’，则A ’表示的数为a −xt ；B 点运动后所在的位置为B ’，则B ’表示的数为b +yt ．（2）动点问题中常考察中点问题．如图2所示，已知数轴上有两点A 、B ，在数轴上表示的数分别为a 、b ，设AB 的中点为P ，P 表示的数为p ． 则中点公式为：p =2a b+ ． (和原点所在位置无关)教师备案（1）应用原理：数轴上两点间的距离=右边点表示的数−左边点表示的数．（2）简析： P 为线段AB 中点，则AP =BP ，线段AP 的长度为p −a ， 线段BP 的长度为b −p ，则p −a =b −p ，得到p =2a b+． 例1．已知数轴上两点A 、B 对应的数分别是6、−8，M 、N 为数轴上两个动点，点M 从A 点出发向左运动，速度为每秒2个单位长度，与此同时，点N 从B 点出发向右运动，速度为M 点的3倍，经过多长时间，点M 与点N 相距50个单位长度？这时点M 、N 所对应的数分别是多少？例2．如图，点A 、B 都在数轴上，且AB =6， （1）点B 表示的数是 ；（2）若点B 以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，则2秒后B 点表示的数是 ；（3）若点A 、B 都以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，而点O 不动， t 秒后有一个点是另外两点连线的中点，求t ．例3．如图， A 、B 分别为数轴上的两点，A 点对应的数为−10，B 点对应的数为90．（1）请写出与A 、B 两点距离相等的M 点对应的数．（2）现在有一只电子蚂蚁P 从B 点出发，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C 点相遇，你知道C 点对应的数是多少吗？（3）若当电子蚂蚁P 从B 点出发，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以3个单位/秒的速度向左运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距30个单位长度？例4．如图，在数轴上A 点表示数a ， B 点表示数b ，AB 表示A 点和B 点之间的距离，C 是AB 的中点，且a 、b 满足|a +3|+(b +3a )2=0，（1）求点C 表示的数；（2）点P 从A 点以3个单位每秒的速度向右运动，点Q 同时从B 点以2个单位每秒的速度向左运动，若AP +BQ =2PQ ，求时间t ．（3）若点P 从点A 向右运动，点M 为AP 中点，在点P 到达点B 之前：① PA PBPC+的值不变；② 2BM −BP 的值不变，其中只有一个正确，请你找出正确的结论并求出其值．例5．如图，已知数轴上有三点A 、B 、C ，AB =12AC ，点C 对应的数是200， （1）若BC =300，求点A 对应的数；（2）点A 、C 从(1)中的位置同时出发匀速向左运动，速度分别为5单位长度/秒、10单位长度/秒；另有一点E 也同时从A 点的位置出发向C 点匀速运动，当首次遇到C 点后立即返回向点A 运动，遇到点A 后又立即返回向点C 运动．如此往返，直到点C 追上点A 时，点E 立即停止运动．若点E 的速度为15单位长度/秒，求点E 一共运动了多少单位长度．（3）在(1)的条件下，动点P、Q分别从A、C两点出发向左运动，同时动点R从A点出发向右运动，点P、Q、R的速度分别为10单位长度/秒、5单位长度/秒、2单位长度/秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，多少秒时恰好满足MR=4RN(不考虑点与点相遇之后的情形)．例6．阅读理解：如图，A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，我们就称点C是[A，B]的好点．例如，如图，点A表示的数为−1，点B表示的数为2．表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是[A，B]的好点；又如，表示数0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是[A，B]的好点，但点D是[B，A]的好点．知识运用：如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为−2，点N所表示的数为4．（1）数所表示的点是[M，N]的好点；（2）现有一只电子蚂蚁P从点N出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动，运动时间为t．当t为何值时，P、M、N中恰有一个点为其余两点的好点？例7．如图，点A、B和线段MN都在数轴上，点A、M、N、B对应的数字分别为−1、0、2、11．线段MN沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒．（1）用含t有的代数式表示AM的长为；（2）当t= 秒时，AM+BN=11；（3）若点A、B与线段MN同时移动，点A以每秒2个单位的速度向数轴的正方向移动，点B以每秒1个单位的速度向数轴的负方向移动，在移动过程，AM和BN可能相等吗？若相等，请求出的值，若不相等，请说明理由．随堂测试1．如图，点A、B在数轴上表示的数分别为−12和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为个2单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒．（1）运动秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数是；（2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值(写出解题过程)．2．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t (t>0) 秒．（1）数轴上点B表示的数是，点P表示的数是(用含t的代数式表示)．（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：①当点运动多少秒时，点与点相遇？②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？3．阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，我们就称点C是【A，B】的妙点．例如，如图1，点A表示的数为−1，点B表示的数为2．表示1的点C到A点的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的妙点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不【A，B】的妙点，但点D是【B，A】的妙点．（1）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为−2，点N所表示的数为4．数所表示的点是【M，N】的妙点；（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为−40，点B所表示的数为20．现有一只电子蚂蚁P从点B 出发向左运动，到达点A停止．点P运动多少个单位时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的妙点？参考答案例1．已知数轴上两点A、B对应的数分别是6、−8，M、N为数轴上两个动点，点M从A点出发向左运动，速度为每秒2个单位长度，与此同时，点N从B点出发向右运动，速度为M点的3倍，经过多长时间，点M与点N相距50个单位长度？这时点M、N所对应的数分别是多少？解：设经过t秒后点M与点N相距50个单位长度，点M的速度是2单位长度/秒（方向为向左），点N的速度是6单位长度/秒（方向为向右），取向右为正，则向左为负。

探析几何直线型中动态问题作者：陈雪良来源：《中学生数理化·教与学》2010年第10期随着教材改革的不断深化,新课程标准理念的进一步强化,要求学生的动手实践、自主探索、合作交流的能力得到更高层次的发展,在几何直线型试题中,也频频出现一类新题型——动态问题.动态问题一般分为动点型、动线型和动面型.主要是运用运动变化的观点,创设一个由静止的定态到按某一规律运动的动态情景,通过观察、实验、猜测、验证、交流、推理、动中窥定、变中求静、以静制动,从中探求本质、规律和方法,明确图形中的内在联系.解决这类问题时,需要学生搞清图形的变化过程,正确分析变量与不变量之间的内在联系.同时,要求学生要具备较扎实的数学功底,掌握基本数学方法,较强的洞察力,丰富的想象力及综合分析问题的能力.本文对直线型动态问题的三种情况加以探析,并与同行探讨.1.探索动点型问题动点问题主要分成两类:(1)探求满足题目要求的点的位置;(2)探求点在固定图形内、外不同位置时,变量之间的变化规律.例1 如图1,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.(1)猜测EO与FO,EC与FC有何关系?(2)当点O运动到何处时,四边形的AECF为矩形?请证明你的结论.实验探索:线段的关系一般分为大小、位置两种情况.根据图形的可度量性,让学生充分利用手中的工具:刻度尺、圆规、量角器、三角板,去动手探索线段的关系.本题学生通过测量分析,观察猜测,可以判定EO=FO,EC⊥FC.由于测量结果的惊喜,学生解题的胃口大增,激发了他们的兴趣.沿着这两个条件,进行发散思维.那么,增加什么条件可使四边形的AECF为矩形呢?学生纷纷发表自己的想法,根据矩形判定方法,找到解题的突破口,只需要点O在AC的中点,即可证明.合作交流:本题为矩形判定方法的灵活运用,打破了传统的教条主义,这样既巩固了学生对矩形的判定方法,又提高了学生的空间想象和以动思静能力.2.探索动线型问题动线型问题主要分成两类:(1)探求动线按定线沿固定方向平移;(2)探求动线绕定点旋转.例2 如图2-1,在正方形ABCD中,直线过点A,交BC于点F,直线过点B交CD于点N,并且⊥(1)请问AF与BN有怎样的数量关系?(2)若直线在AD上,沿AD的方向平移,如图2-2,请问EF与BN的关系(不需要证明).(3)若在(2)基础上,直线在AB上,沿BA的方向平移,如图2-3,请问EF与MN有怎样的数量关系?并说明理由实验探索:判断线段是否相等问题,可以让学生用刻度尺或圆规进行度量.通过动手实验,可以猜测:(1)AF=BN,(2)EF=BN,(3)EF=MN.同时,同学们也归纳出线段的平移变化位置发生变化而大小不变.要判断线段是否相等,组织学生分组讨论,寻找证明线段相等的方法,如等边对等角;角平分线上的点到角的两边的距离相等;垂直平分线上的点到已知线段的两个端点的距离相等;三角形全等对应边相等……第(2)题,过点A作AH∥利用的判定△ABH≌△BCN,可证AH=BN,利用平行线所夹的平行线段相等可证AH=EF,因此EF=BN.合作交流:本题实质为线段的平移,在整个过程中,线段的位置产生了变化,但线段的长度依然没有改变,从特殊位置,转移到一般位置,使学生开阔了眼界,进一步了解了物质的一般性,良好地反映了动中的不变因素.3.探索动面型问题动面型问题主要分成三类:(1)探求特殊图形沿定线翻折;(2)探求特殊图形按定线沿固定方向平移;(3)探求特殊图形绕定点旋转.总之,在动态探究过程中,要求学生的知识面宽,分析能力强,思维多向发散,解题方法灵活.教学中教师要培养学生的数学素养和创新意识.注意把握变量与不变量的关系,以“动”思“静”,以“静”探“动”,功到自然成。

19.19专题6：一次函数与几何-直线上的动点
一．【知识要点】
1.一次函数与几何-直线上的动点
二．【经典例题】
1.（本题8分）如图,一次函数y=2x+4 的图象与x ，y 轴分别相交于点A ,B ,四边形ABCD 是正方形.
（1）求点A ,B ,D 的坐标;
（2）求直线BD的表达式.
（3）点M为直线BD上一动点，过点M作x轴的平行线，交直线AB于点N，若以A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标。

三．【题库】
【A】
【B】
【C】
1．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m交y轴于点A，交x轴于点B，点C坐标（，0），作C关于AB对称点F，连BF和OF，OF交AC于点E，交AB于点M．
（1）求证：OF⊥AC；
（2）连接CF交AB于点H，求证：AH＝CF；
（3）若m＝2，E为x轴负半轴上一动点，连接ME，过点M作EM的垂线交FB的延长线于点D，问EB﹣BD的值是否改变，若不变，求其值，若改变，求其取值范围．
【D】
【E 】
1.如图，直线1l x ⊥轴于点A （2，0），点B 是直线1l 上的动点．直线1:1l y x =+交1l 于点C ，过点B 作直线3l 垂直于2l ，垂足为D ，过点O ，B 的直线4l 交2l 于点E ，当直线123,,l l l 能围成三角形时，设该三角形的面积为1S ，当直线234,,l l l 能围成三角形时，设该三角形的面积为2S ．若点B 在线段AC 上（含端点），且12S S =，则点B 的纵坐标为__________.。

直线上的动态几何专题讲座【学习目标】1．探究直线上的动态几何问题；2．熟练掌握动点形成的等腰三角形的处理方法；【例题精讲】重难点一：直线旋转例1如图，已知点P （2m －1，6m －5）在第一象限角平分线OC 上，一直角顶点P 在OC 上，角两边与x 轴，y 轴分别交于A 点、B 点．（1）求点P 的坐标；（2）当∠APB 绕着P 点旋转时，OA +OB 的长是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求其值．例2在平面直角坐标系中，已知O 为坐标原点，点A （3，0）、B （0，4），以点A 为旋转中心，把△ABD 顺时针旋转，得△ACD ，记旋转角为α，∠ABO 为β．（1）如图①，当旋转后点D 恰好落在AB 边上时，求点D 的坐标；（2）如图②，当旋转后满足BC ∥x 轴时，求α与β之间的数量关系；（3）当旋转后满足∠AOD =β时，求直线CD 的解析式．练习：如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线y =3x 经过点A ，作AB ⊥x 轴于点B ，将△ABO 绕点B 顺时针旋转60°得到△BCD ，若点B 的坐标为（2，0）则点C 的坐标为__________．重难点二：直线上动点所形成的直角三角形D OByA Cx例3如图，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC=m，已知点D在第一象限，且是两直线y=2x＋6上的一点，若△APD是等腰直角三角形．（1）求点D的坐标；（2）直线y=2x＋6向右平移6个单位后，在该直线上，是否存在点D，使△APD是等腰直角三角形？若存在，请求出这些点的坐标；若不存在，请说明理由．练习：如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y=x交于点A，且BD=2AD，连接CD，直线CD与直线y=x交于点Q，则点Q的坐标为．重难点三：直线上动点所形成的等腰三角形例4在坐标系中，点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2）．（1）在坐标轴上是否存在点P使△ABP为等腰三角形？（2）在直线y=2x+3上是否存在点Q 使QA=QB？练习：如图，直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B，P为线段AB 上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C，过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M ，交直线x =1于点N ．（1）当点C 在第一象限时，求证：△OPM ≌△PCN ；（2）当点C 在第一象限时，设AP 长为m ，四边形POBC 的面积为S ，请求出S 与m 间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）当点P 在线段AB 上移动时，点C 也随之在直线x =1上移动，△PBC 是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC 成为等腰三角形的点P 的坐标；如果不可能，请说明理由．重难点四：综合探究直线里的动态几何例5（面积问题）如图，一次函数y =－3x +3的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作Rt △ABC ，且使∠ABC =30°若在第二象限内有一点P （m ，A My Px =1N COBx3），使得△APB 与△ABC 面积相等，求m 的值．2例6（动而不变）如图1所示，直线AB 交x 轴于点A (a ，0)，交y 轴于点B(0，b )，且a 、b 满足(a +b )+(a -4)=0．22y BDOACx（1）如图1，若C 的坐标为(－1，0)，且AH ⊥BC 于点H ，AH 交OB 于点P ，试求点P 的坐标．（2）如图2，连接OH，求证∠OHP=45°．（3）如图3，若点D为AB的中点，点M位y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM－S△ADN的值是否发生改变，若改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．练习：如图①l1：y=3x+3与x轴交于B点，与l2交于y轴上一点A，且l2与x轴的交点为C （1，0）．（1）求证：∠ABC=∠ACB．（2）如图②，过x轴上一点D（－3，0）作DE⊥AC于E，DE交y轴于F点，交AB于G点，求G点的坐标．（3）如图③，将△ABC沿x轴向左平移，AC边与y轴交于一点P（P不同于A，C两点），过P点作一直线与AB的延长线交于Q点，与x轴交于M点，且CP=BQ，在△ABC平移的过程中，线段OM的长度是否发生变化？若不变，求其长度；若变化，确定其变化范围．yAB O C图①xyGD BFO图②EBQAyPC xM O C图③x 例7在直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图像与x轴、y轴的正半轴分别交于点A、B，且使得△AOB的面积值等于︱OA︱+︱OB︱+3．（1）用b表示k．（2）求△AOB面积的最小值．练习：已知一次函数的图像过点P （1，4），且分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，当△AOB 面积最小时，求k 、b ．例8：如图，已知射线AB 与x 轴和y 轴分别交于点A （－3，0）和点B （0，33）．动点P 从点A 出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向右作匀速运动，过点P 作PQ ⊥AB 于Q ．设运动时间为t 秒，且第一象限内有点N (n ，n －2)．（1）当n =3时，若PQ 恰好经过点N ，求t 的值；（2）连接BP ，记△BPQ 面积为S △BPQ ，△ABP 面积为S △ABP ．1①当S △BPQ ≤S △ABP 时，求t 的取值范围；2122②当S △BPQ =S △ABP 时，记Q (a ，b )，若(a －n )＋(b －n ＋2)取得最小值时，求直线QN 的解3析式．。