微积分三大中值定理详解共52页

微积分中的积分中值定理微积分是数学中的一个重要分支，它主要研究函数的变化和增量。

在微积分中，积分是一个基本的概念，经常用来求函数在某个区间上的面积、体积和平均值等。

而积分中值定理是微积分中一个很有意义的定理，它与洛必达法则一样，是微积分基本定理的补充，可以在积分计算中帮助我们更方便地求解问题。

1. 积分中值定理的概念和表述积分中值定理是指：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在[a,b]上存在一点c，使得区间[a,b]上f(x)的积分值等于该点的函数值乘以区间长度，即：其中f(c)是函数f(x)在[a,b]上的中间值，即函数在[a,b]上的某个取值。

这个定理也可以表示为：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续且另一函数g(x)不变号（即正负不变），则在[a,b]上存在一点c，使得：其中g(c)≠0。

2. 积分中值定理的意义和应用积分中值定理的意义在于，它可以帮助我们更方便地求解函数在某个区间上的平均值，进而推导出其他有用的结论。

例如，根据积分中值定理可以推导出柯西-施瓦茨不等式、拉格朗日中值定理等重要的数学定理。

在实际问题中，积分中值定理也可以用来求解一些相关的问题。

例如，如果我们想要计算某个测量值的平均值，而这个测量值在某个区间上是连续变化的，则可以使用积分中值定理来求解。

同样的，如果我们想要求解某个函数在某个区间上的平均值，也可以使用积分中值定理来求解。

3. 积分中值定理的证明积分中值定理的证明不是很复杂，可以通过简单的分析得到。

首先，我们将积分进行分割，将[a,b]分割为n个小区间，长度为Δx，即[a,x1]、[x1,x2]、[x2,x3]……[xn-1,b]，其中x1、x2、x3……xn-1为n个小区间的端点。

由于f(x)在区间[a,b]上连续，因此在每个小区间上也是连续的。

由于f(x)是连续的，我们可以找到在每个小区间上的f(x)的最大值和最小值。

我们可以找到一些区间，使得从这些区间的最大值到最小值之间的任何值都可以被f(x)取到。

微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它揭示了函数在某个区间内取得极值的一种方法。

微分中值定理包括拉格朗日中值定理和高尔的中值定理两种形式，下面将分别介绍这两种定理。

拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它表明如果函数满足一些条件，那么在某个区间内一定存在一个点，它的导数等于函数在这个区间两个端点处的斜率。

具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且a<b，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。

也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)这个定理的图像可以形象地理解为，曲线在某点的切线与连接两个端点的直线斜率相等。

高尔的中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广，它是由高尔证明的。

高尔的中值定理的条件比拉格朗日中值定理更加宽松，它只要求函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导。

具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且函数在区间的两个端点处的斜率相等，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。

也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)高尔的中值定理可以看做拉格朗日中值定理的推广，它更加灵活，适用范围更广。

微分中值定理的证明可以通过利用拉格朗日中值定理或高尔的中值定理的定义和一些基本的微积分知识进行推导。

证明的过程比较复杂，需要运用到数学分析中的一些技巧与方法。

微分中值定理在微积分的应用中有着广泛的应用。

它可以用来证明一些数学定理，比如费马最值定理、罗尔定理和拉格朗日多重中值定理等。

此外，微分中值定理还可以用来求函数的零点、证明函数的单调性和判断函数的极值等。

在实际问题中，微分中值定理常常被用来解决一些最优化问题，比如求函数的最值、最小二乘法中的参数估计等。

ba
拉格朗日中值定理的证明分析
分析：要证结论等价于 f ( ) f (b) f (a) 0
ba
即
F ( x) x


f
(x)

f (b) f (a) b a x
0
即
d dx

f
(x)

f (b) f (a) ba
x
x
0
函数提供了理论基础. 拉格朗日中值公式又称微分中值公式，它有以下
几种等价形式：
f (b) f (a) f ( )(b a),
在a,b之间.
f (b) f (a) f (a (b a))(b a), 0 1
若令a x,b x x,则有
设f (x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f (0)
例4
f (1) 0，f ( 1 ) 1，又g(x) f (x) x
2
证明：至少存在一点 (0,1)使g( ) 0
分析：g(0) f (0) 0 0, g(1) f (1) 1 1,
两个实根，又f (x)为二次多项式，f (x) 0至多有两个
实根. 所以f (x) 0有且仅有两个实根,分别位于 (1,2), (2,3)内.
例3 设 Pn (x)为n次多项式，Pn(x) 0没有实根，试证明Pn (x) 0 最多 只有一个实根. 证 设 Pn (x) 0 至少有两个不等的实根，设为 x1, x2 ，不妨设 x1 x2 , 因 Pn (x)在 [x1, x2 ]上连续，在 (x1, x2 )内可导，且 Pn (x1) Pn (x2 ) 0, 由罗尔定理知，至少存在一点 (x1, x2 ), 使得 Pn( ) 0. 即 x 是 方程 Pn(x) 0的根，与题设矛盾. 所以，Pn (x) 0 最多只有一个实根.

微积分中的中值定理微积分中的中值定理（Mean Value Theorem）是微积分中的核心定理之一，它被广泛应用于许多数学领域，特别是在函数的导数和积分方面。

中值定理由法国数学家伯努利（Bernoulli）在18世纪初提出，并由其他数学家进一步发展和推广。

中值定理的表述方式有多种，最常见的是一、二和三中值定理。

这些定理的核心思想是在特定条件下，如果一个函数在某个区间上连续且可导，那么在该区间内一定存在至少一个点，使得函数在这一点的导数等于函数在整个区间上的平均变化率。

也就是说，函数在这一点上的切线与连接起始点和终止点的直线具有相同的斜率。

一中值定理（Rolle's Theorem）是中值定理的最基本形式，它断言如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，且在开区间(a, b)内可导，且函数在区间的两个端点处取相同的函数值，那么在开区间(a, b)内至少存在一个点c，函数在该点处的导数为0。

换言之，函数在该点处的切线是水平的。

二中值定理（Mean Value Theorem）是在一中值定理的基础上发展起来的。

它断言如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，且在开区间(a, b)内可导，那么在开区间(a, b)内至少存在一个点c，函数在该点处的导数等于函数在区间的两个端点处的函数值之差除以两个点之间的距离差。

换言之，函数在该点处的切线与连接起始点和终止点的直线具有相同的斜率。

三中值定理（Cauchy's Mean Value Theorem）是二中值定理的推广形式。

它断言如果两个函数在闭区间[a, b]上连续且可导，且其中一个函数在开区间(a, b)内不为零，那么在开区间(a, b)内至少存在一个点c，使得两个函数在该点处的导数之比等于两个函数在区间的两个端点处的函数值之比。

换言之，两个函数在该点处的切线具有相同的斜率。

中值定理的应用广泛而重要。

首先，中值定理为函数的连续性与可导性提供了一个重要的判定条件，可以帮助我们分析函数的性质和行为。

微积分中的中值定理及其应用在高等数学中，微积分是一个重要的分支，它是数学的基础之一。

微积分主要研究的是极限和导数、微分和积分等数学问题。

而在微积分中，中值定理是一个非常重要的定理，它不仅是微积分的基础，而且在数学和物理等领域中也有着广泛的应用。

一、中值定理的定义中值定理是微积分中的一个基本定理，它是关于连续函数的一个定理。

中值定理包括一系列的定理，其中最基本的是魏尔斯特拉斯中值定理，也就是：定理：设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则存在$\xi\in(a,b)$，使得$f(\xi)=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$。

意义：对于一个连续函数$f(x)$，在闭区间$[a,b]$内必然存在一个取值$\xi$，使得$f(\xi)$等于其在该区间内的均值，也就是该区间内$f(x)$在$x$上的积分与该区间长度的比值。

二、中值定理的应用中值定理在微积分中应用非常广泛，它的应用主要有以下几个方面：1.函数极值：中值定理可以用来证明函数的极值。

具体来说，当$f(x)$在某个区间上连续并且在该区间的内部取得了极值，则一定存在一个中间点$\xi$，使得$f'(\xi)=0$。

2.导数的应用：中值定理在求解导数存在的问题时也有很大的作用。

根据中值定理，如果$f(x)$在区间$[a,b]$内可导，那么存在一个点$\xi$，使得$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。

这个公式常常被称为Lagrange中值定理，它可以用来证明导数的存在性，并且可用于证明很多导数相关的定理。

3.曲线长度：中值定理还可以用于计算曲线的长度。

具体来说，我们可以将曲线分成若干个线段，然后利用Lagrange中值定理来求每个线段的长度，最后将它们加起来即可得到整条曲线的长度。

4.牛顿迭代法：在求解方程的问题中，中值定理也有着很大的应用。

例如，可以利用中值定理来实现牛顿迭代法。

证: M 和最小值 m .
若M=m,则 因此
故在[ a , b ]上取得最大值
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设
则至少存在一点
使
则由费马引理得
注意:
1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,
2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 在 ( a , b ) 内可导, 且
至少存在一点
使
证: 问题转化为证
作辅助函数 显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且
由罗尔定理知至少存在一点 思路: 利用逆向思维找即出定一理个结满论足成罗立尔.定证理毕条件的函数
拉格朗日中值定理的有限增量形式:
令
则
推论: 若函数 在区间 I 上满足
则
在 I 上必为常数.
在( a , b ) 内至少存在一点 使 证明提示: 设
证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 .
例如,
例1 证明方程 至少有一个小于1的正实根.
证： 作辅助函数
显然
在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，并且
由罗尔定理知，在(0,1)内至少
存在一点续， 使
则在区间I上，f(x)=g(x)+c (c为常数).
证: 在 I 上任取两点
日中值公式 , 得
由 的任意性知, 在 I 上为常数 .
例1. 证明等式 证: 设
由推论可知
(常数)
令x=0,得
又
故所证等式在定义域
上成立.
经验: 欲证 时
只需证在 I 上
自证:
例2. 证明不等式 证: 设 中值定理条件, 因此应有

一、罗尔中值定理
值得注意的是，罗尔定理要求f（x）应 同时满足三个条件，若函数f（x）满足定理的 三个条件，则曲线y=f（x）在开区间（a，b） 内，至少有一条水平切线；若函数f（x）不能 同时满足定理的三个条件，则曲线y=f（x） 在开区间（a，b）内，可能就没有水平切 线．
例如,函数f（x）=|x|，x∈［-1，1］, 函 数在点x=0处不可导,不满足定理中可导的条 件,如图3-2所示,显然,曲线没有水平切线.
三、柯西中值定理
柯西中值定理 如果函数f（x） 及g（x）在闭区 间［a，b］上连续，在开区间（a，b）内可导，且g′（x） ≠0，则存在一点ξ∈（a，b），使得
很明显,如果g（x）=x,那么g′（x）=1,g（b）-g（a） =b-a,上式就可以写成
这就是拉格朗日中值定理,这说明, 柯西中值定理是拉格朗 日中值定理的推广.
其中C为常数．
令x=0，则
C=f（0）=arcsin0＋arccos0=π/2，
从而
arcsinx＋arccosx=π/2，x∈（-1，1）.
当x=±1时，上式仍然成立.故当|x|≤1时，
arcsinx＋arccosx=π/2.
三、柯西中值定理
下面考虑由参数方程x=g（t）， 给出的曲线，两个端点为A（g（a），f（a）），B（g（b）， f（b））．连结端点的弦AB（见图3-5）。其斜率为f（b）-f （a）g（b）-g（a）．又曲线的切线斜率为f′（t）g′（t）， 根据曲线上总存在一点ξ∈（a，b），该点的切线与弦平行， 可得 把上面的结论写成定理即柯西中值定理．
二、拉格朗日中值定理
【例2】
证明恒等式 arcsinx＋arccosx=π/2，|x|≤1． 证设函数

三大微分中值定理的关系
微分中值定理是微积分中的基础理论之一，它是研究函数在某个区间内的平均变化率和瞬时变化率之间的关系。

其中，三大微分中值定理包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和洛必达中值定理。

这三大微分中值定理都是基于连续函数和可导函数的前提条件
下得出的。

其中，拉格朗日中值定理是指如果函数f在区间[a,b]上
连续，在(a,b)上可导，则存在x∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=f'(x)(b-a)。

柯西中值定理是指如果函数f和g在区间[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且g'(x)≠0，则存在x∈(a,b)，使得
[f(b)-f(a)]g'(x)=[g(b)-g(a)]f'(x)。

洛必达中值定理是指如果函
数f(x)和g(x)在x→a的过程中都趋于0或∞，且在a的某个去心邻域内f'(x)/g'(x)存在或趋于∞或-∞，则f(x)/g(x)在x→a的过程
中也趋于这个极限值。

这三个微分中值定理之间存在一定的关系。

在某些条件下，它们可以相互推导和应用。

例如，在证明极限存在时，可以用洛必达中值定理将分子和分母同时求导，然后运用拉格朗日中值定理得到极限存在的结论。

在证明某些不等式时，也可以运用柯西中值定理将函数f 和g进行组合，然后利用拉格朗日中值定理推导出不等式的形式。

总之，三大微分中值定理是微积分中重要的理论基础，它们之间的关系也体现了微积分中不同理论的联系和互补性。

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说明:
1)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如,
用洛必达法则
lim
1 x2 lim
x
lim 1x2
x x
x 1x2 x x
而
lim
x
1 x2 lim
x
由拉格朗日定理可以得出两个重要的推论。
推论1 若函数 f (x)在(a,b)内任意点的导数 f (x)0，则 f (x)
在(a,b)内是一个常数。 证 在(a,b)内任意取两点 x1，x2，不妨设 x1< x2，显然 f (x)在
[a,b]上连续，在(x1，x2)内可导，由拉格朗日中定理可知，至少存在一 点ξ∈ (x1，x2) ，使得
中值定理
罗尔中值定理
推广
拉格朗日中值定理
泰勒公式
柯西中值定理
(第三节)
研究函数性质及曲线性态 应用
利用导数解决实际问题
3.1.1 罗 尔 定 理
设 y= f (x)是一条连续光滑的曲线，并且在点A、B处的纵坐标相
等，即f (a) = f (b) ，如图，那么我们容易看出，在弧 AB 上至小有一
点C(ξ, f (ξ))，曲线在C点有水平切线。 由上述的讨论，我们可以得到如
为证明等式成立，我们作辅助函数
F (x ) f(x ) f(a ) f(b ) f(a )[g (x ) g (a )] g (b ) g (a )
显然F (x)满足罗尔定理的三个条件，因此，在(a,b)内至少存在一点
ξ，使得 F()0，即
f()f(b ) f(a )g () 0 (a b ) g (b ) g (a ) 即

则 (a,b),使等式
f '() g'()
f (b) g(b)
f (a) g(a)
成立.
例7 设f(x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,证 (a,b) 使eab[ f (b) f (a)] (eb ea )e f ( )
四、小结
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系；
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
例:
若
lim
xa
f
(x) f (a) (x a)2
1 ,则f (x)在x 2
a处取的( A
)
(A)极大值; (B)极小值;
定理 4.1 (费马定理) 设f(x)在x0取得极值,若f (x)在x0可导,则f (x0 ) 0
定义 : 满足f(x0 ) 0的点x0称为驻点
证 f (x) arcsin x arcsin 1 x2在[0,1]连续
f (x)
1 ( 1 x2
1 x2
2
2x 1 x2
)
0.
x (0,1)
f (x) C, x [0,1]
又f (0) arcsin 0 arcsin 1 0 , 22
即C . 2
arcsin x arccos x . 2
二、试证明对函数 y px 2 qx r 应用拉氏中值定理
时所求得的点 总是位于区间的正中间 . 三、证明等式arcsin 1 x2 arctan x
1 x2 2 ( x (0,1) ) . 四、设a b 0 ，n 1 ，证明
nb n1 (a b) a n bn na n1 (a b) .
证：作辅助函数
F(x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a). ba

微分中值定理解析微分中值定理是微积分中一个重要的定理，它为我们提供了研究函数的性质和特点的重要工具。

本文将对微分中值定理进行解析，从定义、形式化表述、几何意义以及应用等方面进行论述。

一、定义微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它是拉格朗日中值定理的推广和具体化。

该定理的核心思想是：若函数f(x)在[a, b]上满足一定条件，那么在(a, b)的某一点c处，函数的导数f'(c)与函数在[a, b]上的平均斜率相等。

二、形式化表述设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)上可导。

则存在某一点c∈(a, b)，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)三、几何意义微分中值定理的几何意义是：在函数图像上，必然存在一条与割线平行的切线。

也即，函数在区间[a, b]上的斜率是局部变化率的平均值，那么在(a, b)的某一点c处，函数的斜率与该平均斜率相等。

四、应用微分中值定理在实际问题中有着广泛的应用，下面举几个例子进行说明：1. 高速公路行车速度问题：假设一辆汽车在时间t内，以速度v(t)行驶。

则根据微分中值定理，可以得知在某个时刻c，汽车的瞬时速度v'(c)等于汽车在整个行驶过程中的平均速度。

2. 生产线产品质量控制问题：假设某个生产线上，产品的质量由参数q(t)表示，其中t为生产时间。

根据微分中值定理，可以得知在某个时间点c，产品的质量变化率q'(c)等于该产品在整个生产过程中的平均变化率。

3. 就业市场薪水调查问题：假设在某个城市中，不同行业的毕业生就业薪水分别由函数f(x)表示，其中x表示毕业生的学历水平。

根据微分中值定理，可以得知在某个学历水平c处，不同行业的薪水增长率f'(c)等于整个就业市场中薪水增长的平均率。

五、总结微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它通过连接函数的斜率、平均斜率和切线的关系，为我们提供了研究函数特性的重要工具。

的一个零点.
在(2, 3)内至少存在一点 2，使f (2)0，2也是f (x)
的一个零点. f (x) 是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间
(1, 2)及(2, 3)内.
思考：f (x)的零点呢？
11
二、将拉罗格尔朗定日理(条La件gra中ng去e)掉中值f (定a) 理 f (b), 得到
如果函数f (x)满足：(1)在闭区间[a, b]上连续，
f
(b)
f
(a)
(x a)，
ba
或
F(x) f (x)(b a) [ f (b) f (a)]x
容易验证, F( x) 满足罗尔定理的条件,
于是 (a,b) ,使
F ( ) f ( ) f (b) f (a) 0 ，
ba
即
f ( ) f (b) f (a) .
ba
13
例8 f (x) ln x ,在[1,e] 上满足拉格朗日定理的条件, f ( x) 1 ， x
f (e) f (1) 1 ， e1 e1
e 1 (1,e)， 使 f ( ) f (e) f (1) .
e1
14
f ( ) f (b) f (a)
拉格朗日中值公式另外的表达方式：
ba
f (b) f (a) f ( )(b a)， 介于a和b之间
或 f (b) f (a) f [a (b a)](b a) ,0 1 ,
(
x)
sin
1 x
,
x0
0 , x 0
（B）
g(
x)
x
sin
1 x
,
x
0
0 , x 0
（
C
）
h(

积分第二中值定理
形式
证明
设在上可积，考虑下列两种情况： （1）在上单调递减且在时，， 那么存在使得. （2）在上单调递增且在时，， 那么存在使得.
只需证明第一种情况，第二种情况与此类似.设.是一个连续函数,故在上有最小值和最大值 设由单调性知道,. 设.因为在上是单调的,故可积,所以对任意,存在分割 ,其中为在上的振幅.因在上黎曼可积,故有界,记为则 这里用到阿贝尔变换, 同理有原式 由上述证明知道 得,从而 所以从而.
例题3
积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式,当积分区间相同时,先合并同一积分区间上的不同积分, 根据被积函数所满足的条件,灵灵活运用积分中值定理,以达到证明不等式成立的目的。
在证明定积分不等式时,常常考虑运用积分中值定理,以便去掉积分符号,如果被积函数是两个函数之积时,可 考虑用积分第一或者第二中值定理。对于某些不等式的证明,运用原积分中值定理只能得到“≥”的结论,或者不 等式根本不能得到证明。而运用改进了的积分中值定理之后,则可以得到“”的结论,或者成功的解决问题。
定理应用
求极限 问题运用
运用估计 不等式证明
在函数极限的计算中,如果含有定积分式,常常可以运用定积分的相关知识,比如积分中值定理等,把积分号去 掉。
例题1
某些带积分式的函数,常常会有要求判定某些性质的点的存在的问题,有时运用积分中值定理能使问题迎刃而 解。
例题2
在大多数的积分式中,能找到其被积函数的原函数再进行求值的积分简直是凤毛麟角,当被积函数“积不出” 或者原函数很复杂时,可用各种方法来估计积分。对于乘积型的被积函数,将变化缓慢的部分或积分困难的部分进 行估计,可积的部分积分之。积分中值定理和各种不等式就是其中常用的方法, Nhomakorabea积分中值定理

中值定理函数与其导数是两个不同的的函数；而导数只是反映函数在一点的局部特征；如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这种作用。

微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。

是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。

以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的理论基础。

拉格朗日中值定理，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态；中值定理的主要作用在于理论分析和证明；同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则。

中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数上升，下降，取极值，凹形，凸形和拐点等项的重要性态。

从而能把握住函数图象的各种几何特征。

在极值问题上也有重要的实际应用。

微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算[把上下限代入不定积分即得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积]。

微积分学是微分学和积分学的总称。

它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。

代数无法处理“无限”的概念。

所以为了要利用代数处理代表无限的量，於是精心构造了“极限”的概念。

在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，而引入了一个过程任意小量。

就是说，除数不是零，所以有意义，同时，这个过程小量可以取任意小，只要满足在Δ的区间内，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能。

这个概念是成功的。

f ( x) f ( ), 即有 f ( x) f ( ) 0,
若 x 0, 则有 f ( x) f ( ) 0,
x
若 x 0, 则有 f ( x) f ( ) 0,
x
即
f( )
lim
x0
f (
x) x
f ( ) 0,
f( )
lim
x0
f (
x) x
f ( ) 0,
从而对x (a,b),有f ( x) 0. 即 (a,b), 有 f ( ) 0.
(2) 若 M m. f (a) f (b), 最大值和最小值中至少 有一个在区间(a,b)内取得,
不妨设 f ( ) M , (a,b). f ( x) f ( ), 即有 f ( x) f ( ) 0,
则至少存在一点 则至少存在一点 则至少存在一点
(a,b),使得 (a,b),使得 (a,b),使得
f ( ) 0.
f ( ) f (b) f (a) .
ba
f (b) g(b)
f (a) g(a)
f ( ) g( )
.
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败 也是伟大的，所以不要放弃，坚持 就是正确的。
22
arcsin x arccos x (1 x 1) .
2
同理可证 : arctan x arc cot x ( x ). 2
例3 若f ( x), g( x)满足 : (1) 在[a,b]上连续,
(2) 在(a,b)内可导, (3) x (a,b), g( x) 0,
则至少存在一点 (a,b),使得
★罗尔定理的证明: 费马(Fermat)引理 若f ( x)在U ( x0 )内有定义,在x0处可导, 且x U ( x0 ),有f ( x) f ( x0 )(或f ( x) f ( x0 )), 则 f ( x0 ) 0.

f (0) 0 f (1)
罗尔定理
在 (0,1)内至少存在一个实根 , 使得 f ( ) 0 ,
n 即 c c c 0 0 1 n
即 x 为所求实根 .
14 14
例
5 证明方程 x 5 x 1 0 有且仅有一个 1 的正实 .
5 证: 设 f ( x ) x 5 x 1 ,
所得曲线 a,b 两端点的函数值相等 .
17
作辅助函数
f ( b ) f ( a ) F ( x ) f ( x ) [ f ( a ) ( x a )]. b a
F( x) 满足罗尔定理的条件 ,
则在 ( a , b ) 内至少存在一点 ，使得 F ( ) 0 . f ( b ) f ( a ) 即 f ( ) 0 b a 拉格朗日中值公式 或 f ( b ) f ( a ) f ( )( b a ).
12
例 设常数 c , c , , c 满足条件 0 1 n c c n 1 c 0 . 试证方程 0 2 n 1
n c c x c x 0 0 1 n
在(0,1)内存在一个实根 .
分析 注意到:
c c n 1 n 1 2 ( c x x x ) 0 2 n 1
C
x a
1
D
ox
2
x3
x4
x5
x6
b
x
5
2. 费马(fermat)引理
yf( x )在 ( x ) 有定义 , 0 f ( x ) 0 0 f (x ( x ) f ( x ) , 且f 0) 存在 0 y (或 ) x x ( x ) , f ( x x ) f ( x ) , 证: 设 0 0 0 0 o x0 f ( x x ) f ( x ) 0 0 ) 则 f (x lim 0 x 0 x