2003考研数三真题及解析.doc

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷答案解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1 .【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ， 故 原式=.121ee=-【详解2】 因为 2121lim )1ln(1)1(cos lim 2202-=-=+⋅-→→xxx x x x ， 所以 原式=.121ee=-【评注】 本题属常规题型（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】 令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ， 可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x . 【评注】 本题属基本题型。

考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编22(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(1990年)设函数f(x)=xtanxesinx，则f(x)是( )A．偶函数．B．无界函数．C．周期函数．D．单调函数．正确答案：B解析：由于则f(x)无界．2．(2011年)已知当x→0时，函数f(x)=3sinx—sin3x与cxk是等价无穷小，则( )A．k=1，c=4．B．k=1，c=一4．C．k=3，c=4．D．k=3，c=一4．正确答案：C解析：则k=3，c=43．(2000年)设函数f(x)在点x=a处可导，则函数｜f(x)｜在点x=a处不可导的充分条件是( )A．f(a)=0且f’(a)=0B．f(a)=0且f’(a)≠0C．f(a)＞0且f’(a)＞0D．f(a)＜0且f’(a)＜0正确答案：B解析：排除法．A选项显然不正确，f(x)=(x一a)2就是一个反例．事实上C 和D也是不正确的．因为f(x)在a点可导，则f(x)在a点连续，若f(a)＞0(或f(a)＜0)则存在a点某邻域在此邻域内f(x)＞0(或f(x)＜0)，因此在a点的此邻域内｜f(x)｜=f(x)(或｜f(x)｜=一f(x))．从而可知｜f(x)｜与f(x)在a点可导性相同，而f(x)在点可导，从而C和D都不正确，因此，应选B．4．(2007年)设某商品的需求函数为Q=160—2p，其中Q，p分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是( ) A．10C．30．D．40．正确答案：D解析：由题设可知，该商品的需求弹性为由知p=40．故应选D．5．(1987年)下列广义积分收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：由于收敛，所以．应选C．6．(2018年)设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且∫01 f(x)dx=0，则( ) A．B．C．D．正确答案：D解析：由泰勒公式得上式两端积分得7．(2006年)设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( ) A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0．B．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)≠0．C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0．D．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)≠0．正确答案：D解析：由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有若fx’(x0，y0)≠0，由①式知λ≠0，由原题设知φy’ (x0，y0)≠0，由②式可知fy’ (x0，y0)≠0，故应选8．(2016年)级数(k为常数)( )A．绝对收敛．B．条件收敛．C．发散．D．收敛性与k有关．正确答案：A解析：由于收敛，则原级数绝对收敛．填空题9．(2007年) =______．正确答案：应填0．解析：由于sinx+cosx为有界变量，则10．(1990年)设f(x)有连续的导数，f(0)=0且f’(0)=b，若函数在x=0处连续，则常数A=______．正确答案：应填a+b．解析：由于F(x)在x=0连续，则11．(2003年)已知曲线y=x3一3a2x+b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2=______．正确答案：应填4a6．解析：设曲线y=x3一3a2x+b在x=x0处与x轴相切，则3x02—3a2=0 且x03—3a2x0+b=0即x02=a2 且x0(x02—3a2)=一b从而可得b2=4a612．(2018年)设函数f(x)满足f(x+△x)一f(x)=2xf(x)△x+o(△x)(△x→0)，且f(0)=2，则f(1)=______．正确答案：应填2e．解析：由f(x+△x)一f(x)=2xf(x)△x+o(△x)(△x→0)知上式中令△x→0得f’(x)=2xf(x)解方程得f(x)=Cex2又f(0)=2，则C=2，f(x)=2ex2，f(1)=2e．13．(2010年)设可导函数y=y(x)由方程∫0x+ye－t2dt=∫0xxsint2dt确定，则=______.正确答案：应填一1．解析：由∫0x+ye－t2dt=x∫0xsintdt知，x=0时y=0，且e－(x+y)2(1+y’)=∫0xsintdt+xsinx将x=0和y=0代入上式得1+y’(0)=0y’(0)=－114．(2000年)设其中f，g均可微，则=______．正确答案：应填解析：15．(2014年)二次积分=______．正确答案：应填解析：积分中的第二项适合先对x后对y积分，但第一项适合先对y后对x 积分．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2003 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：本题共6 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 .1 若x 0,(1) 设 f ( x)x cos ,其导函数在 x0 处连续，则.0, x若x 0,的取值范围是(2) 已知曲线 yx 3 3a 2 x b 与 x 轴相切，则 b 2 可以通过 a 表示为 b 2.(3) 设 a0 ， f (x)g( x)a,若 0 x 1,0,其他， 而 D 表示全平面，则If ( x) g( y x)dxdy =.D(4) 设 n 维向量( a,0, ,0, a) T ,a0 ； E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 AET ，B E1T，其中 A 的逆矩阵为 B ，则 a .a(5) 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.9, 若Z X0.4 ，则 Y 与 Z 的相关系数为.(6) 设总体 X 服从参数为2 的指数分布， X 1, X 2 , , X n 为来自总体 X 的简单随机样本，则当 n时， Y n1 n X i2 依概率收敛于 .n i 1二、选择题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 .(1) 设 f ( x) 为不恒等于零的奇函数，且f (0) 存在，则函数 g( x)f ( x) ()x(A) 在 x 0 处左极限不存在 . (B) 有跳跃间断点 x 0 .(C) 在 x 0 处右极限不存在 .(D) 有可去间断点 x0 .(2) 设可微函数 f ( x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 取得极小值，则下列结论正确的是( )(A) f (x 0 , y) 在 y y 0 处的导数等于零 . (B) f (x 0 , y) 在 y y 0 处的导数大于零 .(C)f ( x 0 , y) 在 y y 0 处的导数小于零 .(D)f (x 0 , y) 在 yy 0 处的导数不存在 .(3) 设 p na na n ， q na na n， n 1,2,，则下列命题正确的是()(A) 若a n 条件收敛，则p n 与q n 都收敛 .n 1n 1n 1(B) 若a n 绝对收敛，则p n 与q n 都收敛 .n 1n 1n 1a b (C) 若a n 条件收敛，则p n 与q n 敛散性都不定 .n 1n 1n 1(D) 若a n 绝对收敛，则p n 与q n 敛散性都不定 .n 1n 1n 1a b b(4) 设三阶矩阵 Ab ab ，若 A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 ()b b a(A)a b 或 a 2b0 . (B) a b 或 a 2b 0 . (C) a b 且 a 2b0 .(D)a b 且 a 2b 0 .(5) 设1 ,2 , , s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是( )(A) 若对于任意一组不全为零的数k 1, k 2 , , k s ，都有 k 11k2 2k s s 0 ，则1 ,2 , , s 线性无关 .(B) 若1, 2,,s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数k 1 , k 2 , , k s ，都有k1 1k2 2k s s 0.(C) 1 ,2 ,,s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D)1 ,2 ,, s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.(6) 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： A 1 ={ 掷第一次出现正面} ， A 2 ={ 掷第二次出现正面 } ， A 3 ={ 正、反面各出现一次 } ， A 4 ={ 正面出现两次 } ，则事件 ( )(A)A 1, A 2 , A 3 相互独立 . (B) A 2 , A 3 , A 4 相互独立 .(C)A 1 , A 2 , A 3 两两独立 .(D) A 2 , A 3 , A 4 两两独立 .三 、(本题满分 8 分)设 f ( x)1 1 1 , x [ 1 ,1) ，试补充定义 f (1)使得 f ( x) 在 [ 1,1] 上连xsin x(1 x) 22 续.四 、 (本题满分 8 分 )设 f (u, v) 具有二阶连续偏导数， 且满足2 f2 f1，又g( x, y) f [ xy,1(x 2 y 2 )] ,u 2v 222g2g求x 2y 2 .五 、 (本题满分 8 分 )计算二重积分Ie ( x 2 y 2 ) sin( x 2y 2 )dxdy.D其中积分区域 D{( x, y) x 2y 2}.六、 (本题满分 9 分 )求幂级数 1( 1) n x 2n ( x 1) 的和函数 f (x) 及其极值 .n 12n七、 (本题满分 9 分 )设 F ( x) f (x) g( x) , 其中函数 f (x), g (x) 在 ( ,) 内满足以下条件：f ( x) g( x) ，g ( x) f ( x) ，且 f (0)0 , f ( x)g (x)2e x .(1) 求 F ( x) 所满足的一阶微分方程；(2) 求出 F ( x) 的表达式 . 八、 (本题满分 8 分 )设函数f ( x) 在 [0， 3]上连续，在 (0， 3)内可导，且 f (0) f (1) f (2) 3, f (3)1 .试证：必存在(0,3) ，使 f ( ) 0.九、 (本题满分 13 分 )已知齐次线性方程组(a1 a1 x1 a1 x1a1 x1b)x1( a2a2 x2a2 x2a2 x2a3 x3a n x n0,b) x2a3 x3a n x n0,(a3b) x3a n x n0,a3 x3(a n b) x n0,n其中a i 0. 试讨论a1, a2,,a n和b满足何种关系时，i 1(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解 . 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.十、 (本题满分13 分 )设二次型f (x1,x2,x3)XT222222(b0) ，AX ax1x2x3bx1x3中二次型的矩阵 A 的特征值之和为1，特征值之积为 -12.(1)求 a, b 的值；(2) 利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、 (本题满分13分)设随机变量 X 的概率密度为1, 若x [1,8],f ( x)3x23其他 ;0,F(X ) 是 X 的分布函数.求随机变量 Y F (X ) 的分布函数.十二、 (本题满分13 分 )设随机变量X 与 Y 独立，其中X 的概率分布为X ~120.3，0.7而 Y 的概率密度为 f ( y) ，求随机变量 U X Y 的概率密度 g(u) .2003 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(1) 【答案】2【分析】无穷小量乘以有界函数的极限仍是无穷小量.【详解】是参变量， x 是函数f(x) 的自变量f ( x) f (0)x cos1lim x 1 cos1f(0)lim lim x0 ，x 0x0x0x x 0x要使该式成立，必须lim x10 ，即 1 .x 0当 x(,0)(0,) 时，f( x)x1 cos1x 2 sin1x x要使 f ( x)0 在x0 处连续，由函数连续的定义应有lim f( x)lim x1 cos 1x 2 sin1f (x) 0x0x 0x x由该式得出 2 .所以f( x) 在x0处右连续的充要条件是 2 ．(2)【答案】 4a 6【详解】设曲线与x 轴相切的切点为( x0,0) ，则yx x00 .而 y 3x23a 2，有 3x023a2又在此点 y 坐标为0(切点在x轴上)，于是有x033a2 x0 b 0，故b x033a2 x0x0 ( x023a2 ) ，所以22(322)224446.b x0x0aa a a(3)【答案】 a2【详解】本题积分区域为全平面，但只有当0 x 1,0 y x 1 时，被积函数才不为零，则二重积分只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分商积分即可，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可．If ( x) g( y=2dxdy= a21x 1212 dx dy a[( x 1) x]dx ax)dxdy a0x0 D0x 10y x 1(4) 【答案】 -1【详解】这里T为 n 阶矩阵，而T2a 2 为数，直接通过 AB E 进行计算并注意利用乘法的结合律即可．由题设，有AB (ET)(E 1T)=ET1 T1 TTaaaET1 T1 (T )T =ET1 T2aTaaaE( 1 2a 1 )TE ，1a1, a于是有1 2a0 ，即 2a 2a 1 0 ，解得 a1. 已知 a0 ，故 a1 ．a2(5) 【答案】 0.9.【详解】利用方差和相关系数的性质D ( X a) DX ， Cov( X ,Ya) Cov( X ,Y ) ，又因为 Z 仅是 X 减去一个常数，故方差不会变， Z 与 Y 的协方差也不会变，因此相关系数也不会变．Cov(Y, Z ) Cov (Y, X 0.4)E[(Y (X 0.4)] E(Y ) E( X0.4)E(XY) 0.4E(Y) E(Y) E( X )0.4E(Y)E(XY)E(Y )E( X ) Cov ( X ,Y ) ，且 D ZD X . 又 Cov (Y, Z ) Cov ( X , Y) ，所以Cov(Y, Z )Cov(X ,Y) XY0.9.D YD ZD XD Y(6) 【答案】1．2【分析】本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量X 1 , X 2 , , X n ，当方差一致有界时， 其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：1np1n).X iEX i (nn i 1n i 1【详解】本题中X 12, X 22 , , X n 2 满足大数定律的条件，且EX i 2 DX i(EX i ) 2 = 1(1)21 ，422因此根据大数定律有1 n 2依概率收敛于1 n2 1Y nX i EX i.n i 1n i 12二、选择题(1) 【答案】 (D)【详解】 方法 1：直接法：由f (x) 为奇函数知， f (0) 0 ；又由 g( x)f ( x) ，知g (x) 在xx 0 处没定义，显然 x 0 为 g( x) 的间断点，为了讨论函数g( x) 的连续性，求函数g(x) 在 x0 的极限．lim g ( x) lim f ( x) lim f (x) f (0) 导数的定义f (0)存在，x 0 x 0x x 0x故 x 0 为可去间断点．方法 2：间接法：取f ( x)x ，此时 g( x) =x1, x 0,可排除 (A) (B) (C)三项．x 0, x0,(2) 【答案】 ( A)【详解】 由函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处可微， 知函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处的两个偏导数都存在，又由二元函数极值的必要条件即得 f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 处的两个偏导数都等于零． 从而有df ( x 0 , y) fdyy y 0y( x, y ) ( x 0 , y 0 )选项 ( A) 正确．(3) 【答案】 ( B)【详解】由 p na n an， qna n an，知 0 pa ， 0q a n2nnn2若a n 绝对收敛，则 a n 收敛 . 再由比较判别法，p n 与q n 都收敛，后者n 1n 1n 1n 1与 q n 仅差一个系数，故q n 也收敛，选 (B) ．n 1n 1(4) 【答案】 (C)【分析】A 的伴随矩阵的秩为 1， 说明 A 的秩为 2，由此可确定a, b 应满足的条件．【详解】 方法 1：根据 A 与其伴随矩阵A 秩之间的关系n r Anr A *1 r A n 1 0 r An 1知秩 ( A )=2，它的秩小于它的列数或者行数，故有a b b 1 b b1 b b A b a b(a 2b) 1 a b(a 2b) 0 a b0 b b a1 b aa b( a 2b)( a b)2 0有 a 2b0 或 a b ．当 a b 时，b b bAb b b b b b2 1 1 b b b3 1 10 0 00 0 0显然秩 A1 2 ， 故必有 a b 且 a 2b0 ． 应选 (C)．n r An 方法 2：根据 A 与其伴随矩阵A 秩之间的关系， rA *1 r A n 1 ，0 r An 1知 r A *1 ， r A2 . 对 A 作初等行变换a b b 2 1 13 1 1Ab a bb b aa b b b a a b 0 b aa b当 a b 时，从矩阵中可以看到A 的秩为 1，与秩 A2 ，不合题意 (排除 (A) 、 (B))故 ab ，这时ab bAb a a b 02 b a 3b aa bba 2b bb11 01b a0a b12 00110113故 a 2b0 ，且 ab 时，秩 ( A )=2 ，故应选．(5) 【答案】 (B)【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式．应注意是寻找不正确的命题．【详解】 (A): 若对于任意一组不全为零的数k 1, k 2 , , k s ，都有 k 11k 22k s s 0 ，则1 ,2 ,,s 必线性无关 .因 为 若1, 2,, s 线 性 相 关 ， 则 存 在 一 组 不 全 为 零 的 数 k 1, k 2 , , k s ， 使 得k 11k 22ks s0 ，矛盾． 可见 (A) 成立．(B):若 1, 2, , s 线 性 相 关 ， 则 存 在 一 组 ( 而 不 是 对 任 意 一 组 不 全 为 零 的 ) 数k 1 , k 2 , ,k s ，都有 k 11k2 2k ss0. (B) 不成立．(C)1 ,2 ,, s 线性无关，则此向量组的秩为s ；反过来，若向量组1 ,2 ,, s 的秩为 s ，则1 ,2 ,, s 线性无关，因此 (C)成立．(D)1 ,2 ,, s 线性无关，则其任一部分组线性无关， 则其中任意两个向量线性无关，可见 (D) 也成立．综上所述，应选 (B)．【评注】 原命题与其逆否命题是等价的 ． 例如，原命题：若存在一组不全为零的数k 1 , k 2 , , k s ，使得 k 1 1k2 2k ss0成立，则 1,2 ,, s 线性相关．其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数k 1 , k 2 , , k s ，都有 k 11k 22ks s0 ，则 1 , 2 , , s 线性无关． 在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性．(6) 【答案】 C【分析】 (1) A, B 两事件相互独立的充要条件：P AB P A P B(2) A, B,C 三事件相互独立的充要条件：(i) A, B, C 两两相互独立；(ii) P ABCP AP BP C【详解】 方法 1：因为1 ，P A 21 A 31 1 P A 1， P ，P A 4，且2224P A 1A 21 ，P A 1 A 31 11 ，P A 1 A2 A 30 ，4，P A 2 A 3，P A 2 A 4444可见有P A 1A 2 P A 1 P A 2 ，P A 1A 3 P A 1 P A 3 ，P A 2A 3PA 2PA 3，PA1A2A3PA1PA2PA3，PA2A4PA2PA4．故 A1 , A2 , A3两两独立但不相互独立； A2 , A3 , A4不两两独立更不相互独立，应选(C) ．方法 2：由三事件相互独立的定义可知：相互独立必两两独立；反之，两两独立不一定相互独立．可见 (A) 不正确，因为如果正确，则(C)也正确，但正确答案不能有两个；同理，(B)也不正确 . 因此只要检查 (C) 和 (D)P A2 A3A4P0 PA2P A3111 P A4442故(D) 错，应选 (C)．三【详解】为使函数 f ( x) 在1,1]上连续，只需求出函数 f (x) 在 x1的左极限 lim f( ) ，[x1x2然后定义 f (1) 为此极限值即可．lim f ( x)lim[11x 1]x 1x1x sin(1x)1lim[11]1lim(1 x) sin xsin x(1(1x)sin xx1x)x 1令 u 1 x ，则当 x 1 时， u0，所以lim f ( x)1lim u sin(1u)u sin(1u)x 1u01lim u sin(1u)1lim u sin(1u)u (sin cos u cos sin u)u sin u u 0u01lim u sin(1u)1limcos(1u)等2u2洛22u u0u01lim 2 sin(1u)10=1洛22=u0定义 f (1)1，从而有 lim f ( x)1f (1)， f(x) 在 x1处连续．又 f ( x) 在[1,1) x12上连续，所以 f ( x) 在 [ 1,1] 上连续．2四【详解】由复合函数z f [( x, y), ( x, y)] 的求导法则，得g f( xy)f 1( x2y2 )f f 2y xx u x v x u vg f( xy)f 1 ( x2y2 )f f 2xy u y v x u y .v从而2 g y 2 f y 2 f x f x 2 f y 2 f xx2u2u v v u v v2y2 2 f2xy 2 f x2 2 f fu2u v v2v2 g x 2 f x 2 f y f y 2 f x 2 f yy2u2u v v u v v2x2 2 f2xy 2 f y2 2 f fu2u v v2v2 g 2 g2y22f( x2y2)2 f( x2y2)(2 f 2 f)=x2y2.所以x 2y2( x)2v2u2v2u五【详解】从被积函数与积分区域可以看出，应利用极坐标进行计算．作极坐标变换：设x r cos, y r sin，有I e ( x2y2) sin( x2y2 )dxdy e e ( x2 y2 ) sin( x2y2 ) dxdyD De2e r 2sin r2rdr e2e r2d2d sin0000记 A e t sin tdt ，则A e t sin tdt e t d cost e t cost000e1 e t d sin te1 e t sin t00因此A 1(1 e) ， I e(1 e )2(1 e ).22t r 2r 2 dr 2 e e t sin tdt.e t costdte t sin tdt = e 1 A.六【分析】 (1) 和函数一般经过适当的变换后，考虑对其逐项求积分后求和，再求导即可得和函数；或者先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数．本题可直接采用后者．(2)等比级数求和公式x n 1 x x2x n1( 1 x 1)n 01x【详解】先对和函数 f (x)1( 1)n x2n求导n 12nf ( x)( 1)n x2 n 1x( 1)n x2 n 2x( 1)n x2nn 1n 1n0x( x2 ) n x1xn 01x2 1 x2对上式两边从0 到x积分x(t )dt x t dt f ( x) f (0)1ln(1 x2 )f0 1t 202由 f (0) 1，得f ( x) 11ln(1 x2 )( x 1).2为了求极值，对 f ( x) 求一阶导数，12x xf ( x)1 x2 1 x22令 f (x)0 ，求得唯一驻点 x0．由于1x2，f(0)10f ( x)x2 )(12由极值的第二充分条件，得 f ( x) 在 x0 处取得极大值，且极大值为 f (0) 1．七【分析】题目要求 F ( x) 所满足的微分方程，而微分方程中含有其导函数，自然想到对 F ( x)求导，并将其余部分转化为用 F ( x) 表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程即可．【详解】 (1) 方法1：由F ( x) f (x)g (x) ，有F (x) f (x) g( x) f ( x) g (x) =g2( x) f 2 ( x)[ f ( x) g(x)]2 2 f ( x) g( x) = (2e x) 22F ( x)可见 F ( x) 所满足的一阶微分方程为F (x)2F ( x)4e2x .相应的初始条件为 F (0) f (0) g(0) 0 ．方法 2：由F (x) f ( x) g (x)，有F ( x) f ( x)g( x) f (x)g ( x) =[ f ( x)]2[g ( x)] 2[ f ( x)g ( x)] 2 2 f ( x)g ( x)又由f ()() 2x. 有f ( x)xf (x)g( x)g (x) f (x)g ( x)2e ，，，于是x g x eF ( x)4e2 x 2 f (x) g( x)4e2 x2F ( x)可见 F ( x) 所满足的一阶微分方程为F (x)2F ( x)4e2x .相应的初始条件为 F (0) f (0) g(0)0(2)题 (1) 得到F ( x)所满足的一阶微分方程，求 F (x) 的表达式只需解一阶微分方程．又一阶线性非齐次微分方程dyP( x) y Q( x) 的通解为dxy e P ( x ) dxQ( x)eP ( x) dxCdx2dx2x2dx 2 x4 x 2 x 2 x所以()e [ 4e dx C]= e [ 4e dx C ]=e Ce .F x e将 F(0)0 代入上式，得 01C, C 1 .所以 F ( x)e2 x e 2 x.八【分析】题目要证存在(0,3) ，使得其一阶导数为零，自然想到用罗尔定理. 而罗尔定理要求函数在某闭区间连续，且端点处函数值相等．题目中已知 f (3) 1 ，只需要再证明存在一点 c[0,3) ，使得 f (c) 1 f (3) ，然后在 [ c,3] 上应用罗尔定理即可．条件 f (0) f (1) f (2) 3 等价于f (0)f (1) f ( 2)1．问题转化为1介于 f (x) 的最3值之间，最终用介值定理可以达到目的．【详解】方法 1：因为f ( x)在[0，3]上连续，所以 f ( x) 在[0，2]上连续，则在[0，2]上必有最大值 M 和最小值m(连续函数的最大值最小值定理)，于是m f (0)M ， m f (1)M ， m f (2) M ．三式相加3m f (0) f (1) f (2) 3M .从而f ( 0 ) f( 1 )f( 2 )m31 M .由介值定理知，至少存在一点c[0,2] ，使f (c)f (0) f (1) f (2)1.3因为 f ( c) f (3) 1 ，且f (x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，由罗尔定理知，必存在(c,3) (0,3) ，使 f ( )0.方法2：由于f (0) f (1) f (2) 3，如果 f (0), f (1), f (2) 中至少有一个等于1，例如f (2) 1 ，则在区间[ 2, 3]上对 f ( x) 使用罗尔定理知，存在(0, 2)(0, 3)使f ( ) 0. 如果 f (0), f (1), f (2) 中没有一个等于1，那么它们不可能全大于1，也不可能全小于1．即至少有一个大于1，至少有一个小于1，由连续函数的介值定理知，在区间 (0, 2) 内至少存在一点使f () 1．在区间 [ ,3] 对 f ( x) 用罗尔定理知，存在( ,3) (0,3) ，使 f ( )0. 证毕．九【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有行对应元素相加后相等．可先将所有行对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的 (-1) 倍加到其余各行，即可计算出行列式的值．【详解】方程组的系数行列式a1 b a2a3a na1a2 b a3a nA a1a2a3 b a na1a2a3a n bnb a i a2a3a ni 1nb a i a2b a3a ni 1nb a i a2a3b a ni1nb a i a2a3a n bi11a2a3a n1a2b a3a nn(b a i ) 1a2a3 b a ni11a2a3a n b1a2a3a nn 0b00n0 = b n 1 (b(b a i ) 0 0b a i ).i1i1000bn(1)当 A0 ，即b0且 b a i0 时，秩A n ，方程组仅有零解．i1(2)当 b0时，A0，原方程组的同解方程组为a1 x1a2 x2a n x n0.n0 可知，a i(i由a i1,2,, n) 不全为零．不妨设 a10 ，得原方程组的一个基础解系i1a2,1,0,,0)T，(a3,0,1,,0)T，, na n,0,0,,1)T.1(2a1(a1a1n时， A0.这时 b0 ，原方程组的系数矩阵可化为(3)当 b a ii 1na1a i a2a3a ni1na1a2a i a3a ni1A na1a2a3a i a ni 1na1a2a3a n a ii 1a1na i a2a3a ni 1n na i a i00将第 1行的(1)倍i1i 1n n加到其余各行a i0a i0i1i 1n na i00a ii1i1n从第 2行到第 n行a1i 1a i a2a3a n同乘以1倍1100n1010a ii110010000将第 i行的 ( a )倍1100i加到第 1行，.i 2,3,, n10001001由此得原方程组的同解方程组为x2x1， x3x1，, x n x1．原方程组的一个基础解系为(1,1, ,1)T .十【分析】特征值之和等于 A 的主对角线上元素之和，特征值之积等于 A 的行列式，由此可求出 a, b 的值；进一步求出 A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化(若有必要 )，然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵．a0b【详解】 (1)二次型f的矩阵为A020. 设 A 的特征值为i (i 1,2,3) ，由题设得b02123a11a22a33 a 2 ( 2) 1，a0b123| A |0204a 2b212.b02解得 a 1,b2．(2)求矩阵 A 的特征值，令102E A020(2)2(3) 0，202得矩阵 A 的特征值122, 3 3.对于基础解系10 2 122, 解齐次线性方程组 (2EA) x 0 ，系数矩阵为 00 ，得 2 041 (2,0,1)T ，2(0,1,0)T .4 02对于 33 ，解齐次线性方程组 ( 3E A)x 0 ，系数矩阵为 0 5 0 ，得2 01基础解系3(1,0, 2)T .由于 1,2 ,3 已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将1, 2, 3 单位化，由此得1( 2 ,0, 1 )T ， 2 (0,1,0)T ， 3 ( 1 ,0,2 )T .5 55 5令矩阵2155Q1230 1 0 ，1 0255则 Q 为正交矩阵．在正交变换 XQY 下，有2 0 0 Q T AQ0 2 0 ，0 03且二次型的标准形为f2 y 12 2 y 223y 32 .【评注】本题求 a, b 也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：二次型 f 的矩阵 A 对应特征多项式为abE A0 2 0(2)[ 2(a 2) (2ab 2 )].b2设 A 的特征值为1 , 2,3，则12,2 31232 (a 2) 1， 1 2 3a 2,2 3(2a b 2 ). 由题设得 2(2a b 2 )12.解得 a 1,b2 ．第一步求参数见 《数学复习指南》 P361 重要公式与结论 4，完全类似例题见 《文登数学全真模拟试卷》数学三 P47 第九题．十一【分析】先求出分布函数 F ( x) 的具体形式，从而可确定 YF(X) ，然后按定义求 Y的分布函数即可．注意应先确定 Y F (x) 的值域范围 (0F(X)1) ，再对 y 分段讨论．【详解】易见，当 x1时， F (x) 0; 当 x 8时， F ( x) 1．对于 x [1,8] ，有x1 3 x 1.F ( x)dt133 t 2设 G ( y) 是随机变量 YF (x) 的分布函数． 显然，当 y0 时， G ( y) =0；当 y 1时，G ( y) =1 ． 对于 y [ 0,1) ，有G ( y) P{ Yy} P{F(X) y}P{3 X 1y}P{ X ( y 1)3} F [( y 1)3 ] y.于是， YF ( x) 的分布函数为0,若 y 0,G ( y)y, 若 0y1,1,若 y 1.十二 【分析】本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性．求二维随机变量函数的分布， 一般用分布函数法转化为求相应的概率． 注意 X 只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算．求概率密度 g(u) ，一般应先求分布函数G (u) P{ U u}P{ X Y u} ，在计算概率的时候，应充分利用X 只有可能取值 X 1和 X2．全概率公式：如果事件A 1, , A n 构成一个完备事件组，即它们是两两互不相容，其和为(总体的样本空间 ) ；并且0,1,2, , .则对任一事件B 有nP B P( A i )P(B | A i )．i 1【详解】设 F ( y) 是 Y 的分布函数，由全概率公式，得U X Y 的分布函数G (u) P{ X Y u}P{X 1}P{X Y 0.3P{ X Y u X 0.3P{Y u 1 X u X 1}P{ X2}P{ X Y u X 2} 1}0.7P{X Y u X2}1}0.7P{Y u 2 X2} ．由于 X 和 Y 相互独立，所以P{Y u 1} P{ Y u1X 1}， P{Y u 2}P{ Y u 2 X2}所以G (u)0.3P{ Y u1}0.7 P{ Y u 2}0.3F (u1)0.7 F (u2).由此，因为连续型随机变量密度函数是分布函数在对应区间上的微分得到，得U 的概率密度g (u)G (u)0.3F(u1) 0.7F (u2) 0.3 f (u 1)0.7 f (u2).。

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 设10,cos ,()0,0,x x f x xx λ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩若若 其导函数在0x =处连续，则λ的取值范围是.(2) 已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b .(3) 设0a >，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=.(4) 设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T Λα；E 为n 阶单位矩阵，矩阵T E A αα-=，T aE B αα1+=，其中A 的逆矩阵为B ，则a = .(5) 设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为.(6) 设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21Λ为来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时，∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于.二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 设()f x 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=( ) (A) 在0x =处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点0x =. (C) 在0x =处右极限不存在. (D) 有可去间断点0x =.(2) 设可微函数(,)f x y 在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是 ( )(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. (B)),(0y x f 在0y y =处的导数大于零.(C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在.(3) 设2nn n a a p +=，2nn n a a q -=，Λ,2,1=n ，则下列命题正确的是 ( )(A) 若∑∞=1n n a 条件收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 都收敛.(B) 若∑∞=1n n a 绝对收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 都收敛.a b =(C) 若∑∞=1n n a 条件收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 敛散性都不定.(D) 若∑∞=1n n a 绝对收敛，则∑∞=1n n p 与∑∞=1n n q 敛散性都不定.(4) 设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 ( )(A) a b =或20a b +=. (B) a b =或20a b +≠.(C) a b ≠且20a b +=. (D) a b ≠且20a b +≠.(5) 设s ααα,,,21Λ均为n 维向量，下列结论不正确的是 ( )(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21Λ，都有02211≠+++s s k k k αααΛ，则sααα,,,21Λ线性无关.(B) 若s ααα,,,21Λ线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21Λ，都有.02211=+++s s k k k αααΛ(C) s ααα,,,21Λ线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) s ααα,,,21Λ线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.(6) 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件( ) (A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立. (C) 321,,A A A 两两独立. (D) 432,,A A A 两两独立.三 、(本题满分8分)设1111(),[,1)sin (1)2f x x x x x πππ=+-∈-，试补充定义(1)f 使得()f x 在]1,21[上连续.四 、(本题满分8分)设(,)f u v 具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂v f u f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=, 求.2222y gx g ∂∂+∂∂五 、(本题满分8分)计算二重积分.)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x+=⎰⎰-+-π其中积分区域22{(,)}.D x y x y π=+≤六、(本题满分9分)求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x 的和函数()f x 及其极值.七、(本题满分9分)设()()()F x f x g x =, 其中函数(),()f x g x 在),(+∞-∞内满足以下条件： )()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且(0)0f =, .2)()(x e x g x f =+(1) 求()F x 所满足的一阶微分方程； (2) 求出()F x 的表达式.八、(本题满分8分)设函数()f x 在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且(0)(1)(2)3,(3)1f f f f ++==. 试证：必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf九、(本题满分13分)已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 其中.01≠∑=ni i a 试讨论n a a a ,,,21Λ和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.十、(本题满分13分)设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ， 中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12.(1) 求,a b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、(本题满分13分)设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f()F X 是X 的分布函数. 求随机变量()Y F X =的分布函数.十二、(本题满分13分)设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7.03.021~X ，而Y 的概率密度为()f y ，求随机变量U X Y =+的概率密度()g u .2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 (1)【答案】2>λ【分析】无穷小量乘以有界函数的极限仍是无穷小量. 【详解】λ是参变量，x 是函数()f x 的自变量10001cos()(0)1(0)limlim lim cos 00x x x x f x f x f x x x xλλ-→→→-'====-，要使该式成立，必须10lim 0x x λ-→=，即1λ>.当(,0)(0,)x ∈-∞+∞U 时，1211()cos sin f x x x x xλλλ--'=+要使()0f x '=在0x =处连续，由函数连续的定义应有120011lim ()lim cos sin ()0x x f x x x f x x x λλλ--→→⎛⎫''=+== ⎪⎝⎭ 由该式得出2λ>. 所以()f x '在0x =处右连续的充要条件是2>λ．(2)【答案】64a【详解】设曲线与x 轴相切的切点为0(,0)x ，则00x x y ='=. 而2233y x a '=-，有22033x a =又在此点y 坐标为0(切点在x 轴上)，于是有320030x a x b -+=，故 322200003(3)b x a x x x a =-=-，所以 .44)3(6422202202a a a x a x b =⋅=-=(3)【答案】2a【详解】本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，则二重积分只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分商积分即可，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可．⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=20101x y x a dxdy ≤≤≤-≤⎰⎰=1120x x a dx dy +⎰⎰1220[(1)]a x x dx a =+-=⎰(4)【答案】-1【详解】这里T αα为n 阶矩阵，而22a T =αα为数，直接通过E AB =进行计算并注意利用乘法的结合律即可．由题设，有)1)((T T a E E AB αααα+-==T T T T a a E αααααααα⋅-+-1111()T T T T E a a αααααααα=-+-=T T T a a E αααααα21-+-1(12)T E a E aαα=+--+=，于是有0121=+--a a ，即0122=-+a a ，解得.1,21-==a a 已知0a <，故1a =-．(5)【答案】0.9.【详解】利用方差和相关系数的性质DX a X D =+)(，(,)(,)Cov X Y a Cov X Y +=，又因为Z 仅是X 减去一个常数，故方差不会变，Z 与Y 的协方差也不会变，因此相关系数也不会变．(,)(,0.4)[((0.4)]()(0.4)Cov Y Z Cov Y X E Y X E Y E X =-=---()0.4()()()0.4()E XY E Y E Y E X E Y =--+ ()()()(,)E XY E Y E X Cov X Y =-=，且()().D Z D X = 又(,)Cov Y Z (,)Cov X Y =，所以0.9.XY ρ===(6)【答案】12． 【分析】本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量n X X X ,,,21Λ，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：).(1111∞→→∑∑==n EX n X n ni i pn i i 【详解】本题中22221,,,n X X X Λ满足大数定律的条件，且22)(i i i EX DX EX +==21)21(412=+， 因此根据大数定律有∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于()2111.2n i i E X n ==∑二、选择题(1)【答案】()D【详解】方法1：直接法：由()f x 为奇函数知，(0)0f =；又由xx f x g )()(=，知()g x 在0x =处没定义，显然0x =为()g x 的间断点，为了讨论函数()g x 的连续性，求函数()g x 在0x →的极限．000()()(0)lim ()lim lim (0)0x x x f x f x f g x f x x →→→-'===-导数的定义存在， 故0x =为可去间断点．方法2：间接法：取()f x x =，此时()g x =,0,0,0,1=≠⎩⎨⎧=x x x x 可排除()A ()B ()C 三项．(2)【答案】()A【详解】由函数(,)f x y 在点),(00y x 处可微，知函数(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都存在，又由二元函数极值的必要条件即得(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都等于零． 从而有000(,)(,)(,)0y y x y x y df x y f dyy==∂==∂选项()A 正确．(3)【答案】()B 【详解】由2nn n a a p +=，2nn n a a q -=，知0n n p a ≤≤，0n n q a ≤-≤若∑∞=1n n a 绝对收敛，则∑∞=1n n a 收敛. 再由比较判别法，∑∞=1n n p 与()1n n q ∞=-∑都收敛，后者与1n n q ∞=∑仅差一个系数，故1n n q ∞=∑也收敛，选(B)．(4)【答案】(C)【分析】 A 的伴随矩阵的秩为1， 说明A 的秩为2，由此可确定,a b 应满足的条件． 【详解】方法1：根据A 与其伴随矩阵A *秩之间的关系()()()()1101*n r A n r A r A n r A n =⎧⎪==-⎨⎪<-⎩知秩(A )=2，它的秩小于它的列数或者行数，故有11(2)1(2)0010a b b b b b b A b a b a b a b a b a bb b ab aa b==+=+--2(2)()0a b a b =+-=有02=+b a 或a b =．当a b =时，[][]()[][]()211311000000b b b b b b A b b b b b b +⨯-+⨯-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦显然秩()12A =≠， 故必有 a b ≠且02=+b a ． 应选(C)．方法2：根据A 与其伴随矩阵A *秩之间的关系，()()()()1101*n r A n r A r A n r A n =⎧⎪==-⎨⎪<-⎩，知()1*r A =，()2r A =. 对A 作初等行变换[][]()[][]()21131100a b b a b b A b a b b a a b b b a b a a b +⨯-+⨯-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦当a b =时，从矩阵中可以看到A 的秩为1，与秩()2A =，不合题意(排除(A)、(B)) 故a b ≠，这时[]()[]()[][][][]231213201100100101001b a b a a b b a b b a b b b A b a a b b a a b ÷-÷-+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦故02=+b a ，且a b ≠时，秩(A )=2，故应选．(5)【答案】(B)【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式．应注意是寻找不正确的命题．【详解】(A): 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21Λ，都有 02211≠+++s s k k k αααΛ， 则s ααα,,,21Λ必线性无关.因为若s ααα,,,21Λ线性相关，则存在一组不全为零的数s k k k ,,,21Λ，使得02211=+++s s k k k αααΛ，矛盾． 可见(A)成立．(B): 若s ααα,,,21Λ线性相关，则存在一组(而不是对任意一组不全为零的)数s k k k ,,,21Λ，都有.02211=+++s s k k k αααΛ (B)不成立．(C) s ααα,,,21Λ线性无关，则此向量组的秩为s ；反过来，若向量组s ααα,,,21Λ的秩为s ，则s ααα,,,21Λ线性无关，因此(C)成立．(D) s ααα,,,21Λ线性无关，则其任一部分组线性无关，则其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立．综上所述，应选(B)．【评注】 原命题与其逆否命题是等价的． 例如，原命题：若存在一组不全为零的数s k k k ,,,21Λ，使得02211=+++s s k k k αααΛ成立，则s ααα,,,21Λ线性相关． 其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21Λ，都有02211≠+++s s k k k αααΛ，则s ααα,,,21Λ线性无关． 在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性．(6)【答案】C【分析】(1) ,A B 两事件相互独立的充要条件：{}{}{}P AB P A P B =(2) ,,A B C 三事件相互独立的充要条件：(i),,A B C 两两相互独立； (ii){}{}{}{}P ABC P A P B P C =⋅⋅【详解】方法1：因为{}112P A =，{}212P A =，{}312P A =，{}414P A =，且 {}1214P A A =，{}1314P A A =，{}2314P A A =，{}2414P A A =，{}1230P A A A =，可见有{}{}{}1212P A A P A P A =，{}{}{}1313P A A P A P A =，{}{}{}2323P A A P A P A =， {}{}{}{}123123P A A A P A P A P A ≠，{}{}{}2424P A A P A P A ≠．故321,,A A A 两两独立但不相互独立；432,,A A A 不两两独立更不相互独立，应选(C)．方法2：由三事件相互独立的定义可知：相互独立必两两独立；反之，两两独立不一定相互独立．可见(A)不正确，因为如果正确，则(C)也正确，但正确答案不能有两个；同理，(B)也不正确. 因此只要检查(C)和(D){}{}{}{}{}2342341110244P A A A P P A P A P A =∅=≠⋅⋅=⨯⨯故(D)错，应选(C)．三【详解】为使函数()f x 在1[,1]2上连续，只需求出函数()f x 在1x =的左极限)(lim 1x f x -→，然后定义(1)f 为此极限值即可．11111lim ()lim[]sin (1)x x f x x x x πππ--→→=+-- 1111lim[]sin (1)x x x πππ-→=+--11(1)sin lim (1)sin x x xx xπππππ-→--=+-令1u x =-，则当1x -→时，0u +→，所以1lim ()x f x -→01sin (1)lim sin (1)u u u u u πππππ+→--=+-1sin (1)lim (sin cos cos sin )u u u u u u ππππππππ+→--=+⋅⋅-⋅01sin (1)limsin u u u u uπππππ+→--=+⋅ 2201sin (1)lim u u u u ππππ+→--+等201cos (1)lim 2u u uπππππ+→+-+洛 2201sin (1)lim 2u u ππππ+→-+洛110ππ+== 定义π1)1(=f ，从而有11lim ()(1)x f x f π-→==，()f x 在1x =处连续． 又()f x 在)1,21[上连续，所以()f x 在]1,21[上连续．四【详解】由复合函数[(,),(,)]z f x y x y ϕψ=的求导法则，得221()()2x y g f xy f x u x v x ⎛⎫∂- ⎪∂∂∂∂⎝⎭=+∂∂∂∂∂f f y x u v ∂∂=+∂∂ 221()()2x y g f xy f y u y v x ⎛⎫∂- ⎪∂∂∂∂⎝⎭=+∂∂∂∂∂.f f x y u v∂∂=-∂∂ 从而2222222222222222g f f f f f y y x x y x x u u v v u v v f f f f y xy x u u v v v ⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅++⋅+⋅⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂2222222222222222g f f f f f x x y y x y y u u v v u v v f f f f x xy y u u v v v⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂∂=⋅-⋅--⋅-⋅⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦∂∂∂∂=-+-∂∂∂∂∂所以 222222222222222222()()()()g g f f f f x y x y x y x y u v u v∂∂∂∂∂∂+=+++=++∂∂∂∂∂∂=.22y x +五【详解】从被积函数与积分区域可以看出，应利用极坐标进行计算．作极坐标变换：设θθsin ,cos r y r x ==，有2222222()22()22222220sin()sin()sin sin sin .2xy xy DDt r rr t I e x y dxdy e e x y dxdye e d r rdr d r dr e e tdt ππππππππθθπ-+--+=---=+=+=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰记tdt e A t sin 0⎰-=π，则0000sin cos cos cos t t t t A e tdt e d t e t e tdt ππππ----⎡⎤==-=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰0001sin 1sin sin t t t e e d t e e t e tdt πππππ-----⎡⎤=---+=+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰=.1A e -+-π因此 )1(21π-+=e A ，).1(2)1(2πππππe e e I +=+=-六【分析】(1) 和函数一般经过适当的变换后，考虑对其逐项求积分后求和，再求导即可得和函数；或者先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数．本题可直接采用后者．(2) 等比级数求和公式2011(11)1n n n x x x x x x∞==+++++=-<<-∑L L【详解】先对和函数21()1(1)2nnn x f x n ∞==+-∑求导211()(1)nn n f x x∞-='=-∑2221(1)(1)nn n n n n x xx x ∞∞-===-=--∑∑2221()11n n x x x x x x ∞=-=--=-⋅=++∑ 对上式两边从0到x 积分200()1xxt f t dt dt t '=-+⎰⎰21()(0)ln(1)2f x f x ⇒-=-+ 由(0)1f =， 得21()1ln(1)(1).2f x x x =-+<为了求极值，对()f x 求一阶导数，2212()211x xf x x x-'=-⋅=++ 令0)(='x f ，求得唯一驻点0x =． 由于2221()(1)x f x x -''=-+， 01)0(<-=''f 由极值的第二充分条件，得()f x 在0x =处取得极大值，且极大值为(0)1f =．七【分析】题目要求()F x 所满足的微分方程，而微分方程中含有其导函数，自然想到对()F x 求导，并将其余部分转化为用()F x 表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程即可． 【详解】(1) 方法1：由()()()F x f x g x =，有)()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=)()(22x f x g +2[()()]2()()f x g x f x g x =+-=2(2)2()x e F x -可见()F x 所满足的一阶微分方程为.4)(2)(2x e x F x F =+'相应的初始条件为(0)(0)(0)0F f g ==． 方法2：由()()()F x f x g x =，有)()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=22[()][()]f x g x ''+2[()()]2()()f x g x f x g x ''''=+-又由.2)()(x e x g x f =+ 有()()2x f x g x e ''+=，)()(x g x f ='，)()(x f x g ='，于是22()42()()42()x x F x e f x g x e F x '=-=-可见()F x 所满足的一阶微分方程为.4)(2)(2x e x F x F =+'相应的初始条件为(0)(0)(0)0F f g ==(2) 题(1)得到()F x 所满足的一阶微分方程，求()F x 的表达式只需解一阶微分方程．又一阶线性非齐次微分方程()()dyP x y Q x dx+=的通解为 ()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=⋅+ ⎪⎝⎭⎰ 所以 ]4[)(222C dx e e e x F dxx dx +⎰⋅⎰=⎰-=]4[42C dx e e x x +⎰- =.22x x Ce e -+将(0)0F =代入上式，得01,1C C =+=-. 所以 .)(22x x e e x F --=八【分析】题目要证存在)3,0(∈ξ，使得其一阶导数为零，自然想到用罗尔定理. 而罗尔定理要求函数在某闭区间连续，且端点处函数值相等．题目中已知(3)1f =，只需要再证明存在一点[0,3)c ∈，使得)3(1)(f c f ==，然后在[,3]c 上应用罗尔定理即可． 条件(0)(1)(2)3f f f ++=等价于13)2()1()0(=++f f f ．问题转化为1介于()f x 的最值之间，最终用介值定理可以达到目的．【详解】方法1：因为()f x 在[0，3]上连续，所以()f x 在[0，2]上连续，则在[0，2]上必有最大值M 和最小值m (连续函数的最大值最小值定理)，于是M f m ≤≤)0(，M f m ≤≤)1(，M f m ≤≤)2(．三式相加 3(0)(1)(2)3.m f f f M ≤++≤ 从而 (0)(1)(2)1.3f f f m M ++≤=≤由介值定理知，至少存在一点]2,0[∈c ，使.13)2()1()0()(=++=f f f c f因为()(3)1f c f ==， 且()f x 在[,3]c 上连续，在(,3)c 内可导，由罗尔定理知，必存在)3,0()3,(⊂∈c ξ，使.0)(='ξf方法2：由于(0)(1)(2)3f f f ++=，如果(0),(1),(2)f f f 中至少有一个等于1，例如(2)1f =，则在区间[2,3]上对()f x 使用罗尔定理知，存在(0,2)(0,3)ξ∈⊂使.0)(='ξf 如果(0),(1),(2)f f f 中没有一个等于1，那么它们不可能全大于1，也不可能全小于1．即至少有一个大于1，至少有一个小于1，由连续函数的介值定理知，在区间(0,2)内至少存在一点η使()1f η=．在区间[,3]η对()f x 用罗尔定理知，存在(,3)(0,3)ξη∈⊂，使.0)(='ξf 证毕．九【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有行对应元素相加后相等．可先将所有行对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的(-1)倍加到其余各行，即可计算出行列式的值． 【详解】方程组的系数行列式ba a a a a ba a a a ab a a a a a b a A n n n n++++=ΛM M M M M ΛΛΛ321321321321 231231231231nin i n in i nin i nin i b a a a a b a a b a a b a a a b a b a a a a b====+++=++++∑∑∑∑L LL M M M M M L23232312311()11nn ni n i n a a a a b a a b a a a ba a a a b=+=+++∑L L L M M M M M L 2311000()000000n ni i a a a b b a b b==+∑L L L M M M M M L =).(11∑=-+ni i n a b b(1) 当0A ≠，即0≠b 且01≠+∑=ni i a b 时，秩()A n =，方程组仅有零解．(2) 当0b =时，0A =，原方程组的同解方程组为.02211=+++n n x a x a x a Λ由01≠∑=ni i a 可知，),,2,1(n i a i Λ=不全为零．不妨设01≠a ，得原方程组的一个基础解系T a a )0,,0,1,(121Λ-=α，Ta a )0,,1,0,(132Λ-=α，.)1,,0,0,(,1T n na a ΛΛ-=α (3) 当∑=-=ni i a b 1时，0A =. 这时0≠b ，原方程组的系数矩阵可化为1231123112311231nin i nini ni n i nn i i a a a a a a a a a a A a a a a a aa a a a ====⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑L LLM M M M L1231111111001(1)000nin i nniii i nni i i i n ni i i i a a a a a a a a a a a =======⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑∑∑L LLu u u u u u u u u u u u u u u u u u r M M M M L将第行的倍加到其余各行12311211001101011nin i n ii a a a a a n a ==⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦∑∑L L L M M MM u u u u u u u u u u u u u u u u u u r L从第行到第行同乘以倍 0000()11001.2,3,,10001001i i a i n ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦LL M M M M L L u u u u u u u u u u u u u u u u u u u r L将第行的倍加到第行，由此得原方程组的同解方程组为12x x =，13x x =，1,x x n =Λ ．原方程组的一个基础解系为.)1,,1,1(T Λ=α十【分析】 特征值之和等于A 的主对角线上元素之和，特征值之积等于A 的行列式，由此可求出,a b 的值；进一步求出A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化(若有必要)，然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵．【详解】(1)二次型f 的矩阵为.200200⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=b b a A 设A 的特征值为(1,2,3)i i λ=，由题设得1231122332(2)1a a a a λλλ++=++=++-=，21230||0204212.02a bA a b b λλλ===--=--解得1,2a b ==-．(2) 求矩阵A 的特征值，令210202(2)(3)022E A λλλλλλ---=-=-+=-+，得矩阵A 的特征值.3,2321-===λλλ对于,221==λλ 解齐次线性方程组0)2(=-x A E ，系数矩阵为102000204-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，得基础解系T )1,0,2(1=ξ，.)0,1,0(2T =ξ对于33-=λ，解齐次线性方程组0)3(=--x A E ，系数矩阵为402050201--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，得基础解系.)2,0,1(3T -=ξ由于321,,ξξξ已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将321,,ξξξ单位化，由此得T )51,0,52(1=η，T )0,1,0(2=η，.)52,0,51(3T -=η令矩阵[]12300100Q ηηη⎤⎥⎥==⎢⎥⎢⎥，则Q 为正交矩阵． 在正交变换X QY =下，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020002AQ Q T ，且二次型的标准形为.322232221y y y f -+=【评注】本题求,a b 也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：二次型f 的矩阵A 对应特征多项式为)].2()2()[2(220022b a a bb aA E +----=+----=-λλλλλλλ设A 的特征值为321,,λλλ，则).2(,2,2232321b a a +-=-=+=λλλλλ 由题设得1)2(2321=-+=++a λλλ，.12)2(22321-=+-=b a λλλ解得1,2a b ==-．第一步求参数见《数学复习指南》P361重要公式与结论4，完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学三P47第九题．十一【分析】先求出分布函数()F x 的具体形式，从而可确定()Y F X = ，然后按定义求Y 的分布函数即可．注意应先确定()Y F x =的值域范围)1)(0(≤≤X F ，再对y 分段讨论． 【详解】易见，当1x <时，()0F x =; 当8x >时，()1F x =．对于]8,1[∈x ，有.131)(3132-==⎰x dt t x F x设()G y 是随机变量()Y F x =的分布函数． 显然，当0<y 时，()G y =0；当1≥y 时，()G y =1． 对于)1,0[∈y ，有})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤=31}{(1)}P y P X y =≤=≤+3[(1)].F y y =+=于是，()Y F x =的分布函数为0,0,(),01,1, 1.y G y y y y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩若若若十二【分析】本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性．求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率． 注意X 只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算．求概率密度()g u ，一般应先求分布函数(){}{}G u P U u P X Y u =≤=+≤，在计算概率的时候，应充分利用X 只有可能取值1X =和2X =．全概率公式：如果事件1,,n A A L 构成一个完备事件组，即它们是两两互不相容，其和为Ω(总体的样本空间)；并且()0,1,2,,.i P A i n >=L 则对任一事件B 有()1()(|)ni i i P B P A P B A ==∑．【详解】设()F y 是Y 的分布函数，由全概率公式，得U X Y =+的分布函数}{)(u Y X P u G ≤+={1}{1}{2}{2}P X P X Y u X P X P X Y u X ==+≤=+=+≤= 0.3{1}0.7{2}P X Y u X P X Y u X =+≤=++≤= 0.3{11}0.7{22}P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=．由于X 和Y 相互独立，所以 {1}{11}P Y u P Y u X ≤-=≤-=，{2}{22}P Y u P Y u X ≤-=≤-= 所以 ()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤-+≤-0.3(1)0.7(2).F u F u =-+-由此，因为连续型随机变量密度函数是分布函数在对应区间上的微分得到，得U 的概率密度)2(7.0)1(3.0)()(-'+-'='=u F u F u G u g 0.3(1)0.7(2).f u f u =-+-。

西安电子科技大学2003
一、（60分）填空题。

1．数列的上确界，下确界。

2．曲线与曲线在原点相切，则。

3．设有一个原函数，则。

4．级数的收敛区间为。

5．设，其中，具有二阶连续导数，则。

6．曲线与直线之间的最短距离为。

7．用关于的二次多项式在原点附近逼近函数，其差为的高阶无限小，则，，。

8．，其中。

9．在处得阶导数，其中。

10．设为椭圆，其周长记为，则。

二、（10分）设，，判断的奇偶性、单调性、凹凸性，求曲线的拐点
和水平渐近线，并画出图像。

三、（10分）计算曲面积分，其中为有向曲面，其法向量与轴正向的
夹角为锐角。

四、（10分）设在区间上可导且导函数有界，试讨论在区间上的有界
性和一致连续性。

五、（10分）设为正值递减数列，发散，求。

六、（10分）设在上二阶连续可导，证明存在使得。

七、（10分）设在上连续，在上可导，，，证明，并说明在什么情况
下等号成立。

八、（10分）给定函数序列，，问当在什么范围时，在上一致收敛。

九、（10分）设在点处存在，在点处连续，证明在点处可微。

十、（10分）设，求证：
(1)对任意自然数，方程在内有且仅有一根。

(2)设是的根，则。

2003考研数学三真题及答案一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 设10,cos ,()0,0,x x f x xx λ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩若若 其导函数在0x =处连续，则λ的取值范围是. (2) 已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b .(3) 设0a >，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则 ⎰⎰-=Ddxdyx y g x f I )()(= .(4) 设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a Tα；E 为n 阶单位矩阵，矩阵T E A αα-=， Ta E B αα1+=，其中A 的逆矩阵为B ，则a = .(5) 设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为 .(6) 设总体X 服从参数为2的指数分布，nX X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时，∑==n i in X n Y 121依概率收敛于.二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 设()f x 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x x f x g )()(=( )(A) 在0x =处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点0x =. (C) 在0x =处右极限不存在. (D) 有可去间断点0x =.(2) 设可微函数(,)f x y 在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是 ( )(A)),(0y x f 在y y =处的导数等于零. (B)),(0y x f 在y y =处的导数大于零.(C) ),(0y x f 在y y =处的导数小于零. (D)),(0y x f 在y y =处的导数不存在.(3) 设2nn n a a p +=，2nn n a a q -=， ,2,1=n ，则下列命题正确的是 ( )(A) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(B) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.a b =(C) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定.(D) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定.(4) 设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 ( ) (A) a b =或20a b +=. (B) a b =或20a b +≠. (C) a b ≠且20a b +=. (D) a b ≠且20a b +≠. (5) 设s ααα,,,21 均为n 维向量，下列结论不正确的是 ( )(A) 若对于任意一组不全为零的数sk k k ,,,21 ，都有2211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关.(B) 若sααα,,,21 线性相关，则对于任意一组不全为零的数sk k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα(C) s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) sααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.(6) 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件( )(A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立. (C)321,,A A A 两两独立. (D)432,,A A A 两两独立.三 、(本题满分8分)设1111(),[,1)sin (1)2f x x x x x πππ=+-∈-，试补充定义(1)f 使得()f x 在]1,21[上连续.四 、(本题满分8分)设(,)f u v 具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂v f u f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=, 求.2222y gx g ∂∂+∂∂五 、(本题满分8分) 计算二重积分.)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x+=⎰⎰-+-π其中积分区域22{(,)}.D x y x y π=+≤六、(本题满分9分)求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x 的和函数()f x 及其极值.七、(本题满分9分)设()()()F x f x g x =, 其中函数(),()f x g x 在),(+∞-∞内满足以下条件：)()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且(0)0f =,.2)()(xe x g xf =+ 求()F x 所满足的一阶微分方程； 求出()F x 的表达式. 八、(本题满分8分)设函数()f x 在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且(0)(1)(2)3,(3)1f f f f ++==.试证：必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf九、(本题满分13分) 已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn n n n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a其中.01≠∑=ni ia试讨论na a a ,,,21 和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.十、(本题满分13分) 设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ，中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. 求,a b 的值；利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、(本题满分13分) 设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f()F X 是X 的分布函数. 求随机变量()Y F X =的分布函数.十二、(本题满分13分)设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7.03.021~X ， 而Y 的概率密度为()f y ，求随机变量U X Y =+的概率密度()g u .参考答案一、填空题 (1)【答案】2>λ【分析】无穷小量乘以有界函数的极限仍是无穷小量. 【详解】λ是参变量，x 是函数()f x 的自变量10001cos()(0)1(0)limlim lim cos 0x x x x f x f x f x x x x λλ-→→→-'====-，要使该式成立，必须10lim 0x x λ-→=，即1λ>.当(,0)(0,)x ∈-∞+∞时，1211()cos sinf x x x x x λλλ--'=+要使()0f x '=在0x =处连续，由函数连续的定义应有 120011lim ()lim cos sin ()0x x f x x x f x x x λλλ--→→⎛⎫''=+== ⎪⎝⎭由该式得出2λ>. 所以()f x '在0x =处右连续的充要条件是2>λ．(2)【答案】64a【详解】设曲线与x 轴相切的切点为0(,0)x ，则00x x y ='=. 而2233y x a '=-，有22033x a =又在此点y 坐标为0(切点在x 轴上)，于是有320030x a x b -+=，故 322200003(3)b x a x x x a =-=-，所以 .44)3(6422202202a a a x a x b =⋅=-=(3)【答案】2a【详解】本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，则二重积分只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分商积分即可，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可．⎰⎰-=Ddxdyx y g x f I )()(=20101x y x a dxdy≤≤≤-≤⎰⎰=112x xadx dy +⎰⎰122[(1)]ax x dx a=+-=⎰(4)【答案】-1【详解】这里Tαα为n 阶矩阵，而22a T=αα为数，直接通过E AB =进行计算并注意利用乘法的结合律即可．由题设，有)1)((T T a E E AB αααα+-==TT T T a a E αααααααα⋅-+-11 11()T T T T E a a αααααααα=-+-=TT T a a E αααααα21-+- 1(12)T E a Ea αα=+--+=，于是有0121=+--a a ，即0122=-+a a ，解得.1,21-==a a 已知0a <，故1a =-．(5)【答案】0.9.【详解】利用方差和相关系数的性质DX a X D =+)(，(,)(,)Cov X Y a Cov X Y +=，又因为Z 仅是X 减去一个常数，故方差不会变，Z 与Y 的协方差也不会变，因此相关系数也不会变．(,)(,0.4)[((0.4)]()(0.4)Cov Y Z Cov Y X E Y X E Y E X =-=--- ()0.4()()()0.4()E XY E Y E Y E X E Y =--+()()()(,)E XY E Y E X Cov X Y =-=，且()().D Z D X = 又(,)Cov Y Z (,)Cov X Y =，所以0.9.XY ρ===(6)【答案】12．【分析】本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量nX X X ,,,21 ，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：).(1111∞→→∑∑==n EX n X n ni i pn i i【详解】本题中22221,,,nX X X 满足大数定律的条件，且22)(i i iEX DX EX +==21)21(412=+，因此根据大数定律有∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于()2111.2n i i E X n ==∑二、选择题 (1)【答案】()D【详解】方法1：直接法：由()f x 为奇函数知，(0)0f =；又由x x f x g )()(=，知()g x 在0x =处没定义，显然0x =为()g x 的间断点，为了讨论函数()g x 的连续性，求函数()g x 在0x →的极限．0()()(0)lim ()limlim (0)0x x x f x f x f g x f x x →→→-'===-导数的定义存在，故0x =为可去间断点．方法2：间接法：取()f x x =，此时()g x =,0,0,0,1=≠⎩⎨⎧=x x x x 可排除()A ()B ()C 三项．(2)【答案】()A【详解】由函数(,)f x y 在点),(00y x 处可微，知函数(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都存在，又由二元函数极值的必要条件即得(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都等于零． 从而有000(,)(,)(,)0y y x y x y df x y f dyy==∂==∂选项()A 正确．(3)【答案】()B【详解】由2nn n a a p +=，2nn n a a q -=，知0n np a ≤≤，0n nq a ≤-≤若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n na收敛. 再由比较判别法，∑∞=1n np与()1nn q ∞=-∑都收敛，后者与1nn q∞=∑仅差一个系数，故1nn q∞=∑也收敛，选(B)．(4)【答案】(C)【分析】 A 的伴随矩阵的秩为1， 说明A 的秩为2，由此可确定,a b 应满足的条件． 【详解】方法1：根据A 与其伴随矩阵A *秩之间的关系()()()()1101*n r A n r A r A n r A n =⎧⎪==-⎨⎪<-⎩知秩(A )=2，它的秩小于它的列数或者行数，故有11(2)1(2)0010a b b b b b b A b a b a b a b a b a bb b a b aa b==+=+--2(2)()0a b a b =+-=有02=+b a 或a b =． 当a b =时，[][]()[][]()211311000000b b b b b b A b b b b b b +⨯-+⨯-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦显然秩()12A =≠， 故必有 a b ≠且02=+b a ． 应选(C)．方法2：根据A 与其伴随矩阵A *秩之间的关系，()()()()1101*n r A nr A r A n r A n =⎧⎪==-⎨⎪<-⎩，知()1*r A =，()2r A =. 对A 作初等行变换[][]()[][]()21131100a b b a b b A b a b b a a b b b a b a a b +⨯-+⨯-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦当a b =时，从矩阵中可以看到A 的秩为1，与秩()2A =，不合题意(排除(A)、(B))故a b ≠，这时[]()[]()[][][][]231213201100100101001b a b a a b b a b b a b b b A b a a b b a a b ÷-÷-+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦故02=+b a ，且a b ≠时，秩(A )=2，故应选．(5)【答案】(B)【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式．应注意是寻找不正确的命题． 【详解】(A): 若对于任意一组不全为零的数sk k k ,,,21 ，都有2211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 必线性无关.因为若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得2211=+++s s k k k ααα ，矛盾． 可见(A)成立．(B): 若sααα,,,21 线性相关，则存在一组(而不是对任意一组不全为零的)数sk k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα (B)不成立．(C)s ααα,,,21 线性无关，则此向量组的秩为s ；反过来，若向量组s ααα,,,21 的秩为s ，则s ααα,,,21 线性无关，因此(C)成立．(D)sααα,,,21 线性无关，则其任一部分组线性无关，则其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立．综上所述，应选(B)．【评注】 原命题与其逆否命题是等价的． 例如，原命题：若存在一组不全为零的数sk k k ,,,21 ，使得2211=+++s s k k k ααα 成立，则sααα,,,21 线性相关． 其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数sk k k ,,,21 ，都有2211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关． 在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性．(6)【答案】C【分析】(1) ,A B 两事件相互独立的充要条件：{}{}{}P AB P A P B =(2) ,,A B C 三事件相互独立的充要条件： (i),,A B C 两两相互独立； (ii){}{}{}{}P ABC P A P B P C =⋅⋅【详解】方法1：因为{}112P A =，{}212P A =，{}312P A =，{}414P A =，且{}1214P A A =，{}1314P A A =，{}2314P A A =，{}2414P A A =，{}1230P A A A =，可见有{}{}{}1212P A A P A P A =，{}{}{}1313P A A P A P A =，{}{}{}2323P A A P A P A =，{}{}{}{}123123P A A A P A P A P A ≠，{}{}{}2424P A A P A P A ≠．故321,,A A A 两两独立但不相互独立；432,,A A A 不两两独立更不相互独立，应选(C)．方法2：由三事件相互独立的定义可知：相互独立必两两独立；反之，两两独立不一定相互独立．可见(A)不正确，因为如果正确，则(C)也正确，但正确答案不能有两个；同理，(B)也不正确. 因此只要检查(C)和(D){}{}{}{}{}2342341110244P A A A P P A P A P A =∅=≠⋅⋅=⨯⨯故(D)错，应选(C)．三【详解】为使函数()f x 在1[,1]2上连续，只需求出函数()f x 在1x =的左极限)(lim 1x f x -→，然后定义(1)f 为此极限值即可．11111lim ()lim[]sin (1)x x f x x x x πππ--→→=+--1111lim[]sin (1)x x x πππ-→=+--11(1)sin lim(1)sin x x xx x πππππ-→--=+-令1u x =-，则当1x -→时，0u +→，所以1lim ()x f x -→01sin (1)lim sin (1)u u u u u πππππ+→--=+- 01sin (1)lim (sin cos cos sin )u u u u u u ππππππππ+→--=+⋅⋅-⋅01sin (1)limsin u u u u u πππππ+→--=+⋅2201sin (1)lim u u u u ππππ+→--+等201cos (1)lim2u u u πππππ+→+-+洛2201sin (1)lim 2u u ππππ+→-+洛110ππ+==定义π1)1(=f ，从而有11lim ()(1)x f x f π-→==，()f x 在1x =处连续． 又()f x 在)1,21[上连续，所以()f x 在]1,21[上连续．四【详解】由复合函数[(,),(,)]z f x y x y ϕψ=的求导法则，得221()()2x y g f xy f x u x v x ⎛⎫∂- ⎪∂∂∂∂⎝⎭=+∂∂∂∂∂f f y x u v ∂∂=+∂∂ 221()()2x y g f xy f y u y v x ⎛⎫∂- ⎪∂∂∂∂⎝⎭=+∂∂∂∂∂.f f x y u v ∂∂=-∂∂从而2222222222222222g f f f f f y y x x y x x u u v v u v v f f f f y xy x u u v v v ⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅++⋅+⋅⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂ 2222222222222222g f f f f f x x y y x y y u u v v u v v f f f f x xy y u u v v v ⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂∂=⋅-⋅--⋅-⋅⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦∂∂∂∂=-+-∂∂∂∂∂所以 222222222222222222()()()()g g f f f f x y x y x y x y u v u v ∂∂∂∂∂∂+=+++=++∂∂∂∂∂∂=.22y x +五【详解】从被积函数与积分区域可以看出，应利用极坐标进行计算． 作极坐标变换：设θθsin ,cos r y r x ==，有2222222()22()2222222sin()sin()sin sin sin .2xy xy DDt r r r t I e x y dxdy e e x y dxdye ed r rdr d r dre e tdt ππππππππθθπ-+--+=---=+=+=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰记tdte A t sin 0⎰-=π，则000sin cos cos cos ttt t A e tdt e d t e t e tdt ππππ----⎡⎤==-=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰0001sin 1sin sin t t t e e d t e e t e tdt πππππ-----⎡⎤=---+=+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰=.1A e -+-π因此 )1(21π-+=e A ，).1(2)1(2πππππe e e I +=+=-六【分析】(1) 和函数一般经过适当的变换后，考虑对其逐项求积分后求和，再求导即可得和函数；或者先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数．本题可直接采用后者． (2) 等比级数求和公式 2011(11)1n nn x x x x x x ∞==+++++=-<<-∑【详解】先对和函数21()1(1)2nnn x f x n ∞==+-∑求导 211()(1)nn n f x x∞-='=-∑2221(1)(1)nn n nn n x xx x ∞∞-===-=--∑∑22201()11n n xx x x x x ∞=-=--=-⋅=++∑对上式两边从0到x 积分200()1xxt f t dt dt t '=-+⎰⎰21()(0)ln(1)2f x f x ⇒-=-+由(0)1f =， 得21()1ln(1)(1).2f x x x =-+<为了求极值，对()f x 求一阶导数，2212()211x xf x x x -'=-⋅=++ 令0)(='x f ，求得唯一驻点0x =． 由于2221()(1)x f x x -''=-+， 01)0(<-=''f由极值的第二充分条件，得()f x 在0x =处取得极大值，且极大值为(0)1f =．七【分析】题目要求()F x 所满足的微分方程，而微分方程中含有其导函数，自然想到对()F x 求导，并将其余部分转化为用()F x 表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程即可．【详解】(1) 方法1：由()()()F x f x g x =，有)()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=)()(22x f x g + 2[()()]2()()f x g x f x g x =+-=2(2)2()x e F x -可见()F x 所满足的一阶微分方程为.4)(2)(2x e x F x F =+'相应的初始条件为(0)(0)(0)0F f g ==． 方法2：由()()()F x f x g x =，有)()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=22[()][()]f x g x ''+ 2[()()]2()()f x g x f x g x ''''=+-又由.2)()(xe x g xf =+ 有()()2x f xg x e ''+=，)()(x g x f ='，)()(x f x g ='，于是 22()42()()42()x x F x e f x g x e F x '=-=-可见()F x 所满足的一阶微分方程为.4)(2)(2x e x F x F =+'相应的初始条件为(0)(0)(0)0F f g ==(2) 题(1)得到()F x 所满足的一阶微分方程，求()F x 的表达式只需解一阶微分方程．又一阶线性非齐次微分方程()()dyP x y Q x dx +=的通解为()()()P x dx P x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=⋅+ ⎪⎝⎭⎰所以]4[)(222C dx e e e x F dxx dx +⎰⋅⎰=⎰-=]4[42C dx e e x x +⎰- =.22x xCe e-+将(0)0F =代入上式，得01,1C C =+=-.所以.)(22xx e e x F --=八【分析】题目要证存在)3,0(∈ξ，使得其一阶导数为零，自然想到用罗尔定理. 而罗尔定理要求函数在某闭区间连续，且端点处函数值相等．题目中已知(3)1f =，只需要再证明存在一点[0,3)c ∈，使得)3(1)(f c f ==，然后在[,3]c 上应用罗尔定理即可．条件(0)(1)(2)3f f f ++=等价于13)2()1()0(=++f f f ．问题转化为1介于()f x 的最值之间，最终用介值定理可以达到目的．【详解】方法1：因为()f x 在[0，3]上连续，所以()f x 在[0，2]上连续，则在[0，2]上必有最大值M 和最小值m (连续函数的最大值最小值定理)，于是M f m ≤≤)0(，M f m ≤≤)1(，M f m ≤≤)2(．三式相加 3(0)(1)(2)3.m f f f M ≤++≤从而(0)(1)(2)1.3f f f m M ++≤=≤由介值定理知，至少存在一点]2,0[∈c ，使.13)2()1()0()(=++=f f f c f因为()(3)1f c f ==， 且()f x 在[,3]c 上连续，在(,3)c 内可导，由罗尔定理知，必存在)3,0()3,(⊂∈c ξ，使.0)(='ξf方法2：由于(0)(1)(2)3f f f ++=，如果(0),(1),(2)f f f 中至少有一个等于1，例如(2)1f =，则在区间[2,3]上对()f x 使用罗尔定理知，存在(0,2)(0,3)ξ∈⊂使.0)(='ξf如果(0),(1),(2)f f f 中没有一个等于1，那么它们不可能全大于1，也不可能全小于1．即至少有一个大于1，至少有一个小于1，由连续函数的介值定理知，在区间(0,2)内至少存在一点η使()1f η=．在区间[,3]η对()f x 用罗尔定理知，存在(,3)(0,3)ξη∈⊂，使.0)(='ξf 证毕．九【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有行对应元素相加后相等．可先将所有行对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的(-1)倍加到其余各行，即可计算出行列式的值． 【详解】方程组的系数行列式ba a a a a ba a a a ab a a a a a b a A n n n n++++= 321321321321231231231231nin i n in i nini nin i b a a a a b a a b a a b a a a ba b a a a a b====+++=++++∑∑∑∑23232312311()11nn ni n i n a a a a b a a b a a a ba a a a b=+=+++∑2311000()0000n ni i a a a bb a b b ==+∑=).(11∑=-+ni i n a b b(1) 当A ≠，即0≠b 且1≠+∑=ni i a b 时，秩()A n =，方程组仅有零解．(2) 当0b =时，A =，原方程组的同解方程组为.02211=+++n n x a x a x a由1≠∑=ni ia可知，),,2,1(n i a i =不全为零．不妨设01≠a ，得原方程组的一个基础解系T a a )0,,0,1,(121 -=α，T a a )0,,1,0,(132 -=α，.)1,,0,0,(,1T n n a a -=α(3) 当∑=-=ni ia b 1时，A =. 这时0≠b ，原方程组的系数矩阵可化为1231123112311231nini nini nin i nn i i a a a a a a a a a a A a a a a a aa a a a ====⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑1231111111001(1)0000nin i nniii i nniii i n ni i i i a a a a a a a a a a a =======⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑∑∑将第行的倍加到其余各行12311211001101011nin i n ii a a a a a n a ==⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦∑∑从第行到第行同乘以倍000()11001.2,3,,10001001i i a i n ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦将第行的倍加到第行，由此得原方程组的同解方程组为12x x =，13x x =，1,x x n = ．原方程组的一个基础解系为.)1,,1,1(T =α十【分析】 特征值之和等于A 的主对角线上元素之和，特征值之积等于A 的行列式，由此可求出,a b 的值；进一步求出A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化(若有必要)，然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵．【详解】(1)二次型f 的矩阵为.200200⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=b b a A 设A 的特征值为(1,2,3)i i λ=，由题设得1231122332(2)1a a a a λλλ++=++=++-=，21230||0204212.02a bA a b b λλλ===--=--解得1,2a b ==-．(2) 求矩阵A 的特征值，令210202(2)(3)022E A λλλλλλ---=-=-+=-+，得矩阵A 的特征值.3,2321-===λλλ对于,221==λλ 解齐次线性方程组0)2(=-x A E ，系数矩阵为102000204-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，得基础解系T )1,0,2(1=ξ，.)0,1,0(2T =ξ对于33-=λ，解齐次线性方程组0)3(=--x A E ，系数矩阵为402050201--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，得基础解系.)2,0,1(3T -=ξ由于321,,ξξξ已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将321,,ξξξ单位化，由此得T)51,0,52(1=η，T)0,1,0(2=η，.)52,0,51(3T -=η令矩阵[]12300100Q ηηη⎤⎥⎥==⎢⎥⎢⎥， 则Q 为正交矩阵． 在正交变换X QY =下，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020002AQ Q T ，且二次型的标准形为.322232221y y y f -+=【评注】本题求,a b 也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定： 二次型f 的矩阵A 对应特征多项式为)].2()2()[2(220022b a a bb aA E +----=+----=-λλλλλλλ设A 的特征值为321,,λλλ，则).2(,2,2232321b a a +-=-=+=λλλλλ 由题设得1)2(2321=-+=++a λλλ，.12)2(22321-=+-=b a λλλ解得1,2a b ==-．第一步求参数见《数学复习指南》P361重要公式与结论4，完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学三P47第九题．十一【分析】先求出分布函数()F x 的具体形式，从而可确定()Y F X = ，然后按定义求Y 的分布函数即可．注意应先确定()Y F x =的值域范围)1)(0(≤≤X F ，再对y 分段讨论．【详解】易见，当1x <时，()0F x =; 当8x >时，()1F x =．对于]8,1[∈x ，有.131)(3132-==⎰x dt t x F x设()G y 是随机变量()Y F x =的分布函数． 显然，当0<y 时，()G y =0；当1≥y 时，()G y =1． 对于)1,0[∈y ，有 })({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤=31}{(1)}P y P X y =≤=≤+3[(1)].F y y =+=于是，()Y F x =的分布函数为0,0,(),01,1, 1.y G y y y y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩若若若十二【分析】本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性． 求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率． 注意X 只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算．求概率密度()g u ，一般应先求分布函数(){}{}G u P U u P X Y u =≤=+≤，在计算概率的时候，应充分利用X 只有可能取值1X =和2X =． 全概率公式：如果事件1,,nA A 构成一个完备事件组，即它们是两两互不相容，其和为Ω(总体的样本空间)；并且()0,1,2,,.i P A i n >=则对任一事件B 有()1()(|)ni i i P B P A P B A ==∑．【详解】设()F y 是Y 的分布函数，由全概率公式，得U X Y =+的分布函数}{)(u Y X P u G ≤+={1}{1}{2}{2}P X P X Y u X P X P X Y u X ==+≤=+=+≤=0.3{1}0.7{2}P X Y u X P X Y u X =+≤=++≤=0.3{11}0.7{22}P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=．由于X 和Y 相互独立， 所以{1}{11}P Y u P Y u X ≤-=≤-=，{2}{22}P Y u P Y u X ≤-=≤-=所以 ()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤-+≤-0.3(1)0.7(2).F u F u =-+- 由此，因为连续型随机变量密度函数是分布函数在对应区间上的微分得到，得U 的概率密度)2(7.0)1(3.0)()(-'+-'='=u F u F u G u g 0.3(1)0.7(2).f u f u =-+-。

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题:本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 设10,cos ,()0,0,x x f x xx λ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩若若 其导函数在0x =处连续,则λ的取值范围是.(2） 已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b 。

（3） 设0a >,，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面,则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=。

(4） 设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a Tα；E 为n 阶单位矩阵，矩阵TE A αα-=，T aE B αα1+=,其中A 的逆矩阵为B ，则a = 。

（5) 设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为。

(6） 设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时，∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于.二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。

(1) 设()f x 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=( ） (A ） 在0x =处左极限不存在。

(B ） 有跳跃间断点0x =.（C ） 在0x =处右极限不存在。

(D ） 有可去间断点0x =.(2） 设可微函数(,)f x y 在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是 （ )（A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零。

（B)),(0y x f 在0y y =处的导数大于零.（C ） ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零。

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1))1ln(12)(coslim x x x +→ = .(2)曲面22yx z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是 .(3)设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx axn n,则2a =.(4)从2R 的基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα到基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵为. (5)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =60x01x y ≤≤≤其它,则=≤+}1{Y X P.(6)已知一批零件的长度X (单位:cm)服从正态分布)1,(μN ,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则μ的置信度为0.95的置信区间是 .(注:标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数()f x 在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则()f x 有(A)一个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点(2)设}{},{},{n n nc b a 均为非负数列,且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A)nnb a<对任意n 成立(B)nnc b<对任意n 成立(C)极限n n n c a ∞→lim不存在(D)极限n n n c b ∞→lim不存在(3)已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续,且1)(),(lim222,0=+-→→y x xy y x f y x ,则(A)点(0,0)不是(,)f x y 的极值点 (B)点(0,0)是(,)f x y 的极大值点(C)点(0,0)是(,)f x y 的极小值点(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点(4)设向量组I:12,,,rααα 可由向量组II:12,,,sβββ 线性表示,则(A)当s r <时,向量组II 必线性相关 (B)当s r >时,向量组II 必线性相关(C)当s r <时,向量组I 必线性相关 (D)当s r >时,向量组I 必线性相关(5)设有齐次线性方程组0x =A 和0x =B ,其中,A B 均为n m ⨯矩阵,现有4个命题: ① 若0x =A 的解均是0x =B 的解,则秩()≥A 秩()B ② 若秩()≥A 秩()B ,则0x =A 的解均是0x =B 的解 ③ 若0x =A 与0x =B 同解,则秩()=A 秩()B ④ 若秩()=A 秩()B , 则0x =A 与0x =B 同解 以上命题中正确的是 (A)①② (B)①③(C)②④(D)③④(6)设随机变量21),1)((~XY n n t X =>,则(C)~(,1)Y F n(D)~(1,)Y F n三、(本题满分10分)过坐标原点作曲线lny x=的切线,该切线与曲线lny x=及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A.(2)求D绕直线ex=旋转一周所得旋转体的体积V. 将函数xxxf2121arctan)(+-=展开成x的幂级数,并求级数∑∞=+-12)1(nnn的和.五、(本题满分10分)已知平面区域}0,),{(ππ≤≤≤≤=yxyxD,L为D的正向边界.试证:(1)sin sin sin sine e e ey x y xL Lx dy y dx x dy y dx---=-⎰⎰.(2)sin sin2e e2.y xLx dy y dxπ--≥⎰六、(本题满分10分)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为.0k k>).汽锤第一次击打将桩打进地下a m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r<<.问(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?(2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深?(注:m表示长度单位米.)设函数()y y x=在),(+∞-∞内具有二阶导数,且)(,0yxxy=≠'是()y y x=的反函数.(1)试将()x x y=所满足的微分方程0))(sin(322=++dydxxydyxd变换为()y y x=满足的微分方程.(2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=yy的解.八 、(本题满分12分) 设函数()f x 连续且恒大于零,⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y x f dvz y x f t F σ,⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ,其中}),,{()(2222t zy xz y x t ≤++=Ω,}.),{()(222t yx y x t D ≤+=(1)讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性. (2)证明当0t >时,).(2)(t G t F π>九 、(本题满分10分)设矩阵322232223⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,01010101⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ,1*-=B PA P,求2+B E 的特征值与特征向量,其中*A为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.十 、(本题满分8分).0=++cba十一、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数的数学期望.(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二、(本题满分8分)设总体X的概率密度为()f x=2()2exθ--xxθ>≤其中0>θ是未知参数. 从总体X中抽取简单随机样本n XXX,,,21,记).,,,min(ˆ21nXXX=θ(1)求总体X的分布函数()F x.(2)求统计量θˆ的分布函数)(ˆxFθ.(3)如果用θˆ作为θ的估计量,讨论它是否具有无偏性.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ . (2)已知(e)exxf x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .(3)设L 为正向圆周222=+yx 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-Lydxxdy 2的值为__________. (4)欧拉方程)0(024222>=++x y dxdy xdxy d x的通解为__________ .(5)设矩阵21012001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B 满足**2=+ABABA E,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)把+→0x 时的无穷小量dtt dt t dt t xxx⎰⎰⎰===32sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,,(D)αγβ,,(8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得(A)()f x 在(0,)δ内单调增加(B)()f x 在)0,(δ-内单调减少(C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f >(D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >(A)若n n na ∞→lim=0,则级数∑∞=1n na 收敛(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim ,则级数∑∞=1n na 发散(C)若级数∑∞=1n na 收敛,则0lim2=∞→n n a n(D)若级数∑∞=1n na 发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞→n n na lim(10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=ttydxx f dy t F 1)()(,则)2(F '等于(A)2(2)f(B)(2)f (C)(2)f -(D) 0(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010(C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11001010 (D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10001110(12)设,A B 为满足=A B O 的任意两个非零矩阵,则必有(A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (13)设随机变量X服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x XP ,则x 等于 (A)2αu(B)21α-u (C)u(D)u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==ni iX nY11,则(A)21C ov(,)X Y nσ=(B)21C ov(,)XY σ=(C)212)(σnn Y X D +=+(D)211)(σnn Y XD +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分12分) 设2e e a b <<<,证明2224lnln ()eb a b a ->-.(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100.66⨯=k问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时)(17)(本题满分12分) 计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz xI ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y xz 的上侧.(18)(本题满分11分) 设有方程10nxnx +-=,其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根nx ,并证明当1α>时,级数1nn x α∞=∑收敛.(19)(本题满分12分) 设(,)z z x y =是由2226102180xxy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值.(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组121212(1)0,2(2)20,(2),()0,n n n a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪≥⎨⎪⎪++++=⎩试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵12314315a-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦A的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化.(22)(本题满分9分) 设,A B 为随机事件,且111(),(|),(|)432P A P B A P A B ===,令;,,0,1不发生发生A A X ⎩⎨⎧=.,,0,1不发生发生B B Y ⎩⎨⎧= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数.XYρ(23)(本题满分9分) 设总体X 的分布函数为,1,1,11),(≤>⎪⎨⎧-=x x xx F ββ求:(1)β的矩估计量. (2)β的最大似然估计量.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线122+=x xy 的斜渐近线方程为 _____________.(2)微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为____________.(3)设函数181261),,(222zyxz y x u +++=,单位向量}1,1,1{31=n ,则)3,2,1(n u ∂∂=.________.(4)设Ω是由锥面22yx z +=与半球面222yx R z --=围成的空间区域,∑是Ω的整个边界的外侧,则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz____________.(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα,如果1=A ,那么=B .(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X , 再从X ,,2,1 中任取一个数,记为Y , 则}2{=Y P =____________.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)设函数nnn xx f 31lim)(+=∞→,则()f x 在),(+∞-∞内(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点(8)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M⇔表示"M 的充分必要条件是",N 则必有(A)()F x 是偶函数()f x ⇔是奇函数(B)()F x 是奇函数()f x ⇔是偶函数函数(9)设函数⎰+-+-++=yx yx dtt y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数,ψ 具有一阶导数,则必有(A)2222yu xu ∂∂-=∂∂ (B)2222yu xu ∂∂=∂∂(C)222yu yx u ∂∂=∂∂∂(D)222xu yx u ∂∂=∂∂∂(10)设有三元方程ln e 1xzxy z y -+=,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y = (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y = (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y =(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =(11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ (B)02≠λ(C)01=λ(D)02=λ(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B AB分别为,A B 的伴随矩阵,则(A)交换*A 的第1列与第2列得*B(B)交换*A 的第1行与第2行得*B(C)交换*A 的第1列与第2列得*-B(D)交换*A 的第1行与第2行得*-B(13)设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为已知随机事件}0{=X与}1{=+Y X 相互独立,则(A)0.2,0.3a b == (B)0.4,0.1a b == (C)0.3,0.2a b ==(D)0.1,0.4a b ==(14)设)2(,,,21≥n X X Xn 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X为样本均值,2S 为样本方差,则(A))1,0(~N X n(B)22~()nSn χ(C))1(~)1(--n t SXn(D)2122(1)~(1,1)nii n X F n X=--∑三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分11分) 设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x yx y x D,]1[22y x ++表示不超过221yx++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y xxy .]1[22(16)(本题满分12分) 求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n nn xn n 的收敛区间与和函数()f x .(17)(本题满分11分) 如图,曲线C 的方程为()y f x =,点(3,2)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数()f x 具有三阶连续导数,计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x(18)(本题满分12分)已知函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==. 证明: (1)存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f . (2)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f(19)(本题满分12分)设函数)(y ϕ具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分24()22Ly dx xydyx yφ++⎰的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线,C 有24()202Cy dx xydyx yφ+=+⎰.(2)求函数)(y ϕ的表达式.(20)(本题满分9分) 已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2. (1)求a 的值；(2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形. (3)求方程),,(321x x x f =0的解.(21)(本题满分9分) 已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵12324636k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B (k 为常数),且=A B O ,求线性方程组0x =A 的通解.(22)(本题满分9分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y = 101,02x y x <<<<其它求:(1)(,)X Y 的边缘概率密度)(),(y f x fY X.(2)YX Z -=2的概率密度).(z fZ设)2(,,,21>n X X Xn 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X为样本均值,记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求:(1)iY 的方差n i DYi,,2,1, =.(2)1Y 与nY 的协方差1Cov(,).nY Y2006年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)0ln(1)lim1cos x x x x→+=-.(2)微分方程(1)y x y x-'=的通解是 . (3)设∑是锥面z =(01z ≤≤)的下侧,则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰ .(4)点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = . (5)设矩阵2112⎛⎫=⎪-⎝⎭A ,E为2阶单位矩阵,矩阵B满足2=+B A B E,则B= . (6)设随机变量X与Y 相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则{}max{,}1P X Y ≤= .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x∆为自变量x 在0x 处的增量,y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ∆>,则(A)0dx y <<∆ (B)0y dy <∆< (C)0y dy ∆<<(D)0dy y <∆<(8)设(,)f x y 为连续函数,则140(cos ,sin )d f r r rdrπθθθ⎰⎰等于(A)0(,)xf x y dy⎰⎰(B)0(,)f x y dy⎰⎰(9)若级数1nn a ∞=∑收敛,则级数(A)1nn a ∞=∑收敛 (B)1(1)nnn a ∞=-∑收敛(C)11n n n aa ∞+=∑收敛(D)112nn n aa ∞+=+∑收敛(10)设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数,且1(,)0yx y ϕ≠.已知00(,)xy 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点,下列选项正确的是(A)若00(,)0xf xy '=,则00(,)0y f x y '= (B)若00(,)0x f xy '=,则00(,)0y f x y '≠ (C)若00(,)0xf xy '≠,则00(,)0y f x y '=(D)若00(,)0xf xy '≠,则00(,)0y f x y '≠(11)设12,,,,s ααα 均为n维列向量,A 是m n ⨯矩阵,下列选项正确的是(A)若12,,,,s ααα 线性相关,则12,,,,s A αA αA α 线性相关 (B)若12,,,,s ααα 线性相关,则12,,,,s A αA αA α 线性无关(C)若12,,,,s ααα 线性无关,则12,,,,s A αA αA α 线性相关 (D)若12,,,,s ααα 线性无关,则12,,,,s A αA αA α 线性无关.(12)设A 为3阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得B ,再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ,记110010001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ,则 (A)1-=C P AP(B)1-=C PAP(C)T=C PAP(D)T=C PAP(13)设,A B 为随机事件,且()0,(|)1P B P A B >=,则必有(A)()()P A B P A > (B)()()P A B P B >(C)()()P A B P A =(D)()()P A B P B =(14)设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y服从正态分布222(,)N μσ,且12{||1}{||1},P XP Y μμ-<>-<则(C)12μμ<(D)12μμ>三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分10分) 设区域D=(){}22,1,0x y x y x +≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdyx y+=++⎰⎰.(16)(本题满分12分) 设数列{}nx 满足()110,sin 1,2,...n xx x n ππ+<<==.求:(1)证明lim nx x →∞存在,并求之.(2)计算211lim nx n x n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭.(17)(本题满分12分) 将函数()22x f x x x=+-展开成x 的幂级数.(18)(本题满分12分)设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f=满足等式2222zz xy∂∂+=∂∂.(1)验证()()0f u f u u'''+=.(2)若()()10,11,f f '==求函数()f u 的表达式.(19)(本题满分12分) 设在上半平面(){},0D x y y =>内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的0t >都有()()2,,f tx ty t f x y =.证明: 对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有(,)(,)Lyf x y d x x f x yd y-=⎰ .(20)(本题满分9分) 已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩ 有3个线性无关的解,(1)证明方程组系数矩阵A 的秩()2r =A . (2)求,a b 的值及方程组的通解.(21)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1T T=--=-αα是线性方程组0x =A 的两个解.(1)求A 的特征值与特征向量. (2)求正交矩阵Q 和对角矩阵A ,使得T=Q AQ A.(22)(本题满分9分)随机变量x 的概率密度为()()21,1021,02,,40,令其它x x f x x y x F x y ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<=⎨⎪⎪⎪⎩为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.(1)求Y 的概率密度()Yf y .(2)1,42F ⎛⎫-⎪⎝⎭.(23)(本题满分9分)设总体X的概率密度为(,0)F X =10θθ-0112x x <<≤<其它,其中θ是未知参数(01)θ<<,12n ,...,X X X 为来自总体X的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x xx 中小于1的个数,求θ的最大似然估计.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内) (1)当0x +→时,(A)1-(B)ln(C)1(D)1cos -(2)曲线1ln(1e )xy x=++,渐近线的条数为(A)0 (B)1 (C)2(D)3(3)如图,连续函数()y f x =在区间[3,2],[2,3]--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[2,0],[0,2]-的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设0()()x F x f t dt =⎰.则下列结论正确的是(A)3(3)(2)4F F =--(B)5(3)(2)4F F =(C)3(3)(2)4F F =(D)5(3)(2)4F F =--(4)设函数()f x 在0x =处连续,下列命题错误的是 (A)若0()lim x f x x →存在,则(0)0f = (B)若0()()lim x f x f x x →+- 存在,则(0)0f = (C)若0()limx f x x→ 存在,则(0)0f '=(D)若()()limx f x f x x→-- 存在,则(0)0f '=(5)设函数()f x 在(0, +∞)上具有二阶导数,且"()0f x >, 令()1,2,,,nuf n n == 则下列结论正确的是 (A)若12u u >,则{n u }必收敛(B)若12uu >,则{nu }必发散(C)若12uu <,则{n u }必收敛(D)若12uu <,则{n u }必发散(6)设曲线:(,)1L f x y =((,)f x y 具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点,N Γ为L 上从点M 到N 的一段弧,则下列小于零的是 (A)(,)x y dxΓ⎰(B)(,)f x y dyΓ⎰(C)(,)f x y ds Γ⎰(D)'(,)'(,)x y f x y dx f x y dyΓ+⎰(7)设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线形相关的是(A),,122331---αααααα(B),,122331+++αααααα(C)1223312,2,2---αααααα(D)1223312,2,2+++αααααα(8)设矩阵211121112--⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ,100010000⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ,则A 与B(A)合同,且相似 (B)合同,但不相似 (C)不合同,但相似(D)既不合同,也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为()01p p <<,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(A)23(1)p p -(B)26(1)p p -(C)223(1)pp -(D)226(1)pp -(10)设随即变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 与Y 不相关,()Xfx ,()Yfy 分别表示,X Y的概率密度,则在Yy=的条件下,X 的条件概率密度|(|)X Yf x y 为(A)()Xfx (B)()Yf y(C)()Xf x ()Y f y(D)()()X Y f x f y二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上) (11)31211e x dx x⎰=_______.(12)设(,)f u v 为二元可微函数,(,)yxz f x y =,则z x∂∂=______.(13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32e xy y y -+=的通解为y =____________. (14)设曲面:||||||1x y z ++=∑,则(||)x y ds ∑+⎰⎰=_____________.(15)设矩阵01000010000100⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,则3A 的秩为________. (16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________.三、解答题(17－24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (17)(本题满分11分) 求函数 2222(,)2f x y x y x y=+-在区域22{(,)|4,0}D x y xy y =+≤≥上的最大值和最小值.(18)(本题满分10分)计算曲面积分23,I xzdydz zydzdx xydxdy ∑=++⎰⎰其中∑为曲面221(01)4yz xz =--≤≤的上侧.(19)(本题满分11分) 设函数(),()f xg x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值,()(),()()f a g a f b g b ==,证明:存在(,)a b ξ∈,使得 ()()f g ξξ''''=.(20)(本题满分10分) 设幂级数 0nnn ax ∞=∑ 在(,)-∞+∞内收敛,其和函数()y x 满足240,(0)0,(0y x y y y y ''''--=== (1)证明:22,1,2,.1n n aa n n +==+(2)求()y x 的表达式.(21)(本题满分11分)设线性方程组1231232123020,40x x x x x ax x x a x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩与方程 12321,x x x a ++=-有公共解,求a 的值及所有公共解.(22)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵A 的特征向量值12311,2, 2.(1,1,1)Tλλλ===-=-α是A 的属于特征值1λ的一个特征向量,记534,=-+B AA E 其中E 为3阶单位矩阵.(1)验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B .(23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y的概率密度为2,01,01 (,)0,x y x yf x y--<<<<⎧=⎨⎩其他(1)求{2}.P X Y>(2)求Z X Y=+的概率密度.(24)(本题满分11分)设总体X的概率密度为1,021(;),12(1)0,xf x xθθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他12,,nX X X是来自总体x的简单随机样本,X是样本均值(1)求参数θ的矩估计量ˆθ.(2)判断24X是否为2θ的无偏估计量,并说明理由.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰则()f x '的零点个数(A)0 (B)1(C)2(D)3(2)函数(,)arctan x f x y y=在点(0,1)处的梯度等于 (A)i (B)-i (C)j(D)-j(3)在下列微分方程中,以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++(123,,C C C 为任意常数)为通解的是(A)440y y y y ''''''+--= (B)440y y y y ''''''+++= (C)440y y y y ''''''--+=(D)440y y y y ''''''-+-=(4)设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界,{}nx 为数列,下列命题正确的是 (A)若{}nx 收敛,则{}()nf x 收敛(B)若{}nx 单调,则{}()nf x 收敛(C)若{}()nf x 收敛,则{}nx 收敛(D)若{}()nf x 单调,则{}nx 收敛(5)设A 为n 阶非零矩阵,E 为n 阶单位矩阵. 若30=A ,则(A)-E A 不可逆,+E A 不可逆(B)-E A 不可逆,+E A 可逆(C)-E A 可逆,+E A 可逆(D)-E A 可逆,+E A 不可逆(6)设A 为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程(,,)1x x y z y z ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭A 在正交变换下的标准方程的图形如图,则A 的正特征值个数为(A)0(B)1 (C)2(D)3(7)设随机变量,X Y 独立同分布且X 分布函数为()F x ,则{}max ,ZX Y =分布函数为(A)()2F x(B) ()()F x F y(C) ()211F x --⎡⎤⎣⎦(D)()()11F x F y --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦(8)设随机变量()~0,1XN ,()~1,4Y N 且相关系数1X Y ρ=,则(A){}211P Y X =--= (B){}211P Y X =-= (C){}211P Y X =-+=(D){}211P YX =+=二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)微分方程0xy y '+=满足条件()11y =的解是y =.(10)曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 .(11)已知幂级数()02nnn a x ∞=+∑在0x =处收敛,在4x =-处发散,则幂级数()3nnn a x ∞=-∑的收敛域为 . (12)设曲面∑是z =的上侧,则2xydydz xdzdx xdxdy ∑++=⎰⎰ .(13)设A 为2阶矩阵,12,αα为线性无关的2维列向量,12120,2==+A αA ααα,则A 的非零特征值为 .(14)设随机变量X 服从参数为1的泊松分布,则{}2P X EX==.三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分10分)求极限()40sin sin sin sin lim x x x xx→-⎡⎤⎣⎦.(16)(本题满分10分) 计算曲线积分()2sin 221Lxdx x ydy +-⎰,其中L是曲线s in y x =上从点()0,0到点(),0π的一段.(17)(本题满分10分)已知曲线22220:35x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩,求曲线C 距离X O Y 面最远的点和最近的点.(18)(本题满分10分) 设()f x 是连续函数, (1)利用定义证明函数()()0xF x f t dt=⎰可导,且()()F x f x '=.(2)当()f x 是以2为周期的周期函数时,证明函数()22()()x G x f t dt x f t dt=-⎰⎰也是以2为周期的周期函数.(19)(本题满分10分)()21(0)f x x xπ=-≤≤,用余弦级数展开,并求()1211nnn-∞=-∑的和.(20)(本题满分11分)T T=+Aααββ,Tα为α的转置,Tβ为β的转置.证明:(1)()2r≤A. (2)若,αβ线性相关,则()2r<A.(21)(本题满分11分) 设矩阵2221212n na a a aa ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A,现矩阵A满足方程=A XB ,其中()1,,Tn x x =X ,()1,0,,0=B ,(1)求证()1nn a=+A.(2)a 为何值,方程组有唯一解,求1x .(3)a 为何值,方程组有无穷多解,求通解.(22)(本题满分11分)设随机变量X 与Y 相互独立,X 的概率分布为{}()11,0,13P X i i ===-,Y 的概率密度为()1010Yy f y ≤≤⎧=⎨⎩其它,记ZX Y=+,(1)求102P ZX ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭. (2)求Z 的概率密度.(23)(本题满分11分)设12,,,nX X X 是总体为2(,)N μσ的简单随机样本.记11ni i XX n==∑,2211()1ni i S X X n ==--∑,221TXSn=-(1)证明T 是2μ的无偏估计量.(2)当0,1μσ==时 ,求D T .2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-等价无穷小,则(A)11,6a b ==-(B)11,6a b ==(C)11,6a b =-=-(D)11,6a b =-=(2)如图,正方形(){},1,1x y x y ≤≤被其对角线划分为四个区域()1,2,3,4kD k =,cos kkD Iy xdxdy =⎰⎰,则{}14m ax kk I ≤≤=(A)1I(B)2I(C)3I(D)4I(3)设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0xF x f t dt=⎰的图形为(A) (B)(C)(D)(4)设有两个数列{}{},nna b ,若lim 0nn a →∞=,则(A)当1n n b ∞=∑收敛时,1nnn ab ∞=∑收敛.(B)当1nn b ∞=∑发散时,1nnn ab ∞=∑发散.(C)当1nn b ∞=∑收敛时,221nnn ab∞=∑收敛.(D)当1nn b ∞=∑发散时,221nn n ab ∞=∑发散. (5)设123,,ααα是3维向量空间3R的一组基,则由基12311,,23ααα到基12233,,+++αααααα的过渡矩阵为 (A)101220033⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B)120023103⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C)111246111246111246⎛⎫-⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(D)111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪⎪- ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(6)设,A B 均为2阶矩阵,**,A B分别为,A B 的伴随矩阵,若2,3==AB ,则分块矩阵O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为(A)**32O B AO ⎛⎫⎪⎝⎭(B)**23O B AO ⎛⎫⎪⎝⎭(C)**32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭(D)**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭(7)设随机变量X 的分布函数为()()10.30.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ ⎪⎝⎭,其中()x Φ为标准正态分布函数,则EX = (A)0 (B)0.3(C)0.7(D)1(8)设随机变量X 与Y 相互独立,且X 服从标准正态分布()0,1N ,Y 的概率分布为{}{}1012P Y P Y ====,记()ZF z 为随机变量ZX Y=的分布函数,则函数()ZF z 的间断点个数为 (A)0 (B)1(C)2(D)3二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)设函数(),f u v 具有二阶连续偏导数,(),z f x xy =,则2z x y∂=∂∂ .(10)若二阶常系数线性齐次微分方程0y ay by '''++=的通解为()12exy CC x =+,则非齐次方程y ay by x '''++=满足条件()()02,00y y '==的解为y = . (11)已知曲线(2:0L y x x =≤≤,则Lxds =⎰.(12)设(){}222,,1x y z x y z Ω=++≤,则2zdxdydz Ω=⎰⎰⎰.(13)若3维列向量,αβ满足2T=αβ,其中Tα为α的转置,则矩阵Tβα的非零特征值为 . (14)设12,,,m XX X 为来自二项分布总体(),B n p 的简单随机样本,X 和2S 分别为样本均值和样本方差.若2XkS+为2np 的无偏估计量,则k = .三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分9分)求二元函数()22(,)2ln f x y x y y y =++的极值.(16)(本题满分9分) 设na 为曲线ny x=与()11,2,.....n y x n +==所围成区域的面积,记122111,nn n n SaS a∞∞-====∑∑,求1S 与2S 的值.(17)(本题满分11分) 椭球面1S 是椭圆22143xy+=绕x 轴旋转而成,圆锥面2S 是过点()4,0且与椭圆22143xy+=相切的直线绕x 轴旋转而成.(1)求1S 及2S 的方程. (2)求1S 与2S 之间的立体体积.(18)(本题满分11分)(1)证明拉格朗日中值定理:若函数()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 可导,则存在(),a b ξ∈,使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(2)证明:若函数()f x 在0x =处连续,在()()0,0δδ>内可导,且()0lim x f x A+→'=,则()0f +'存在,且()0f A +'=(19)(本题满分10分) 计算曲面积分()32222xdydz ydzdx zdxdyI xy z++=∑++⎰⎰,其中∑是曲面222224xy z ++=的外侧.(20)(本题满分11分)设111111042--⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪--⎝⎭A ,1112-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ξ (1)求满足21=A ξξ的2ξ.231=A ξξ的所有向量2ξ,3ξ. (2)对(1)中的任意向量2ξ,3ξ证明123,,ξξξ无关.(21)(本题满分11分) 设二次型()()2221231231323,,122f x xx ax ax a x x x x x =++-+-.(1)求二次型f 的矩阵的所有特征值; (2)若二次型f 的规范形为2212yy +,求a的值.(22)(本题满分11分)袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以,,X Y Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数. (1) 求{}10p X Z ==.(2)求二维随机变量(),X Y 概率分布(23)(本题满分11 分) 设总体X 的概率密度为2,0()0,x xe x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他,其中参数(0)λλ>未知,1X ,2X ,…nX是来自总体X 的简单随机样本.(1)求参数λ的矩估计量. (2)求参数λ的最大似然估计量.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)极限2lim ()()xx xx a x b →∞⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦= (A)1(B)e (C)e a b-(D)eb a-(2)设函数(,)z z x y =由方程(,)0y zF x x=确定,其中F 为可微函数,且20,F '≠则z z x yx y∂∂+∂∂=(A)x (B)z (C)x -(D)z -(3)设,m n 为正整数,则反常积分0⎰的收敛性(A)仅与m 取值有关 (B)仅与n 取值有关(C)与,m n 取值都有关(D)与,m n 取值都无关(4)2211lim ()()n nx i j nn i n j →∞==++∑∑=(A)121(1)(1)x dx dy x y ++⎰⎰(B)101(1)(1)x dx dy x y ++⎰⎰(C)1101(1)(1)dx dyx y ++⎰⎰(D)1121(1)(1)dx dyx y ++⎰⎰(5)设A 为m n ⨯型矩阵,B 为n m ⨯型矩阵,若,=AB E 则 (A)秩(),m =A 秩()m =B (B)秩(),m =A 秩()n =B(C)秩(),n =A 秩()m =B(D)秩(),n =A 秩()n =B (6)设A 为4阶对称矩阵,且20,+=AA 若A的秩为3,则A 相似于(A)1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B)1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(C)1110⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(D)1110-⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪- ⎪⎝⎭(7)设随机变量X的分布函数()F x =00101,21e 2xx x x -<≤≤->则{1}P X ==(A)0(B)1(C)11e 2--(D)11e --(8)设1()fx 为标准正态分布的概率密度2,()f x 为[1,3]-上均匀分布的概率密度,()f x =12()()af x bf x00x x ≤> (0,0)a b >>为概率密度,则,a b 应满足 (A)234a b += (B)324a b +=(C)1a b +=(D)2a b +=二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)设2e,ln(1),t tx y u du -==+⎰求220t d y dx== .(10)2π⎰= .(11)已知曲线L 的方程为1{[1,1]},y x x =-∈-起点是(1,0),-终点是(1,0),则曲线积分2Lxydx x dy+⎰= .(12)设22{(,,)|1},x y z x y z Ω=+≤≤则Ω的形心的竖坐标z = .(13)设123(1,2,1,0),(1,1,0,2),(2,1,1,),TTTα=-==ααα若由123,,ααα形成的向量空间的维数是2,则α= .(14)设随机变量X 概率分布为{}(0,1,2,),!C P X k k k === 则2EX = .三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分10分)求微分方程322e xy y y x '''-+=的通解.(16)(本题满分10分)求函数221()()extf x x t dt -=-⎰的单调区间与极值.(17)(本题满分10分)(1)比较10ln [ln(1)]nt t dt +⎰与1ln (1,2,)n t t dt n =⎰ 的大小,说明理由(2) 记1ln [ln(1)](1,2,),nnu t t dt n =+=⎰求极限lim .n x u →∞(18)(本题满分10分) 求幂级数121(1)21n nn xn -∞=--∑的收敛域及和函数.(19)(本题满分10分) 设P 为椭球面222:1S xy z yz ++-=上的动点,若S在点P 的切平面与xoy 面垂直,求。

考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编8(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(2016年)设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(1，4)，则D(XY)=( )A．6。

B．8。

C．14。

D．15。

正确答案：C解析：利用方差和期望的关系公式计算，即D(X)=E(X2)-[E(X)]2。

根据方差和期望之间的关系D(XY)=E(X2Y2)-[E(XY)]2，E(XY)=E(X)E(Y)=1，E(X2Y2)=E(X2)E(Y2)=3×5=15，则D(XY)=14。

故选C。

2．(2001年)将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于( )A．-1。

B．0。

C．D．1。

正确答案：A解析：掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以X+Y=n，从而Y=n-X。

由方差的定义：D(X)=E(X2)-[E(X)]2，所以D(Y)=D(n-X)=E(n-X)2-[E(n-X)]2=E(n2-2nX+X2)-(n-E(X))2=n2-2nE(X)+E(X2)-n2 +2nE(X)-[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2=D(X)。

由协方差的性质：Cov(X，c)=0(c为常数)；Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)；Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1，Y)+Cov(X2，Y)，所以Cov(X，Y)=Cov(X，n-X)=Cov(X，n)-Cov(X，X)=0-D(X)=-D(X)，由相关系数的定义，得3．(2008年)设随机变量X～N(0，1)，Y～N(1，4)，且相关系数ρXY=1，则( )A．P{Y=-2X-1}=1。

B．P{Y=2X-1}=1。

C．P{Y=-2X+1}=1。

D．P{Y=2X+1}=1。

正确答案：D解析：由ρXY=1可知，存在实数a(a＞0)，b，使得Y=aX+b，则可排除A、C。

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ = .（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是 . （3） 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a = .（4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为 .（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P .（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是 .(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D)[ ]（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ ]（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ ] （4）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则(A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.[ ]（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ② 若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④. [ ] （6）设随机变量21),1)((~XY n n t X =>，则 (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2-n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y . [ ] 三、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D. (1) 求D 的面积A;(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V. 四、（本题满分12分）将函数x xx f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n n n 的和.五 、（本题满分10分）已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证： (1) dx ye dy xe dx ye dy xe xLy x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--; (2).22sin sin π≥--⎰dx ye dy xe x Ly 六 、（本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（注：m 表示长度单位米.） 七 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 八 、（本题满分12分）设函数f(x)连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ，⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论F(t)在区间),0(+∞内的单调性. (2) 证明当t>0时，).(2)(t G t F π>九 、（本题满分10分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=322232223A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101010P ，P A P B *1-=，求B+2E 的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.十 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一 、（本题满分10分） 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 十二 、（本题满分8分） 设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ，记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (1) 求总体X 的分布函数F(x);(2) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ； (3) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性.2003年考研数学一真题评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1.【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212c o s s i n lim cos ln lim )1ln(cos ln lim 02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ，故原式=.121ee =- 【详解2】 因为 2121lim )1ln(1)1(cos lim 2202-=-=+⋅-→→xxx x x x ， 所以原式=.121ee=-（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】 令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ， 可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x .（3） 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a = 1 .【分析】 将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，其系数计算公式为⎰=ππcos )(2nxdx x f a n .【详解】 根据余弦级数的定义，有 x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx=⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd=1.【评注】 本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算. （4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2132.【分析】 n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足 [n βββ,,,21 ]=[n ααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n ααα [],,,21n βββ .【详解】根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P41 . 【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】 由题设，有 =≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x x【评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式1≤+y x 的公共部分D ，再在其上积分即可.（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ 【分析】 已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计，可根据)1,0(~1N nX μ-，由αμα-=<-1}1{2u nX P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. 【详解】 由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 于是查标准正态分布表知.96.12=αu 本题n=16,40=x , 因此，根据 95.0}96.11{=<-nX P μ，有 95.0}96.116140{=<-μP ，即 95.0}49.40,51.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(D) 一个极小值点和两个极大值点. (E) 两个极小值点和一个极大值点. (F) 两个极小值点和两个极大值点.(D) [ C ]【分析4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】 本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导)(x f '的图象，本题是其逆问题.（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项.（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则 (A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ A ]【分析】 由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.【详解】 由1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且222)(),(y x xy y x f +≈- y x ,(充分小时），于是.)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当y= -x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f . 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).【评注】 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想.（4）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ D ]【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】 用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D). 【评注】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项.（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ② 若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④. [ B ]【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但① ②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③ 与 ④，迅速排除不正确的选项.【详解】 若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),故正确选项为(B).【例】 齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充要条件(A) r(A)=r(B). (B) A,B 为相似矩阵.(C) A, B 的行向量组等价. (D) A,B 的列向量组等价. [ C ] 有此例题为基础，相信考生能迅速找到答案.（6）设随机变量21),1)((~X Y n n t X =>，则 (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2-n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y . [ C ] 【分析】 先由t 分布的定义知nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，再将其代入21XY =，然后利用F 分布的定义即可.【详解】 由题设知，nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，于是21X Y ==122U n V U n V =，这里)1(~22χU ，根据F 分布的定义知).1,(~12n F XY =故应选(C).【评注】 本题综合考查了t 分布、2χ分布和F 分布的概念，要求熟练掌握此三类常用统计量分布的定义.三 、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D. (3) 求D 的面积A;(4) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V.【分析】 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A; 旋转体体积可用一大立体（圆锥）体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图.【详解】 (1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线y=lnx 在点)ln ,(00x x 处的切线方程是 ).(1ln 000x x x x y -+=由该切线过原点知 01ln 0=-x ，从而.0e x = 所以该切线的方程为 .1x ey = 平面图形D 的面积 ⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y （2） 切线x ey 1=与x 轴及直线x=e 所围成的三角形绕直线x=e 旋转所得的圆锥体积为 .3121e V π=曲线y=lnx 与x 轴及直线x=e 所围成的图形绕直线x=e 旋转所得的旋转体体积为 dy e e V y 2102)(⎰-=π， 因此所求旋转体的体积为 ).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ【评注】 . 也可考虑用微元法分析. 四 、（本题满分将函数x xx f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n n n 的和.【分析】 幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形.本题可先求导，再利用函数x-11的幂级数展开 +++++=-n x x x x2111即可，然后取x 为某特殊值，得所求级数的和. 【详解】 因为).21,21(,4)1(2412)(202-∈--=+-='∑∞=x x x x f nn n n 又f(0)=4π, 所以 dt t dt t f f x f n n xxn n ]4)1([24)()0()(20⎰⎰∑∞=--='+=π=).21,21(,124)1(24120-∈+--+∞=∑x x n n n n n π因为级数∑∞=+-012)1(n n n 收敛，函数f(x)在21=x 处连续，所以].21,21(,124)1(24)(120-∈+--=+∞=∑x x n x f n n n n π令21=x ，得 ∑∑∞=+∞=+--=⋅+--=012012)1(4]21124)1([24)21(n nn n n n n f ππ,再由0)21(=f ，得.4)21(412)1(0ππ=-=+-∑∞=f n n n 五 、（本题满分10分）已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证： (1) dx ye dy xe dx ye dy xe xLy x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--; (2).22sin sin π≥--⎰dx ye dy xe x Ly 【分析】 本题边界曲线为折线段，可将曲线积分直接化为定积分证明，或曲线为封闭正向曲线，自然可想到用格林公式；(2)的证明应注意用(1)的结果.【详解】 方法一：(1) 左边=dx e dy e x y ⎰⎰--0sin 0sin ππππ=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x ，右边=⎰⎰--ππππ0sin sin dx e dy e x y=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x ，所以dx ye dy xe dx ye dy xe x Ly x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--. (2) 由于2sin sin ≥+-x xe e ，故由（1）得.2)(20s i n s i n s i n s i n πππ≥+=-⎰⎰--dx e e dx ye dy xe x x x Ly 方法二：（1） 根据格林公式，得⎰⎰⎰--+=-Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin ， ⎰⎰⎰+=---Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin . 因为D 具有轮换对称性，所以 ⎰⎰-+Dx y dxdy e e )(sin sin =⎰⎰+-Dxy dxdy e e )(sin sin ， 故dx ye dy xe dx ye dy xe xLy x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--. (2) 由(1)知⎰⎰⎰--+=-Dx y x Lydxdy e e dx ye dy xe)(sin sin sin sin=dxdy e dxdy e DDxy ⎰⎰⎰⎰-+sin sin =dxdy e dxdy e DDx x ⎰⎰⎰⎰-+sin sin （利用轮换对称性） =.22)(2sin sin π=≥+⎰⎰⎰⎰-dxdy dxdy e eDDx x【评注】 本题方法一与方法二中的定积分与二重积分是很难直接计算出来的，因此期望通过计算出结果去证明恒等式与不等式是困难的. 另外，一个题由两部分构成时，求证第二部分时应首先想到利用第一部分的结果，事实上，第一部分往往是起桥梁作用的.六 、（本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ （注：m 表示长度单位米.）【分析】 本题属变力做功问题，可用定积分进行计算，而击打次数不限，相当于求数列的极限.【详解】 (1) 设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n . 由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，所以22101221a k x k k x d x W x ===⎰， ).(2)(22222122221a x k x x k kxdx W x x -=-==⎰由12rW W =可得 2222ra a x =- 即 .)1(222a r x += ].)1([2)(22232223332a r x k x x k kxdx W x x +-=-==⎰由1223W r rW W ==可得 22223)1(a r a r x =+-，从而 a r r x 231++=，即汽锤击打3次后，可将桩打进地下am r r 21++.（2） 由归纳法，设a r r r x n n 121-++++= ，则)(222111n n x x n x x k kxdx W n n-==++⎰+=].)1([22121a r r x k n n -++++- 由于1121W r W r rW W nn n n ====-+ ，故得 22121)1(a r a r r x n n n =+++--+ ,从而 .11111a rr a r r x n nn --=+++=++于是 a rx n n -=+∞→11lim 1， 即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下a r-11m. 【评注】 本题巧妙地将变力作功与数列极限两个知识点综合起来了，有一定难度.但用定积分求变力做功并不是什么新问题，何况本题的变力十分简单.七 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dy x d 变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 【分析】 将dy dx 转化为dxdy比较简单，dy dx =y dxdy '=11，关键是应注意： )(22dy dx dy d dyx d ==dy dxy dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-. 然后再代入原方程化简即可.【详解】 (1) 由反函数的求导公式知y dy dx '=1，于是有 )(22dy dx dy d dyx d ==dy dx y dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-. 代入原微分方程得.sin x y y =-'' ( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程0=-''y y 的通解为 .21xx e C e C Y -+= 设方程( * )的特解为x B x A y sin cos *+=，代入方程( * )，求得21,0-==B A ，故x y sin 21*-=，从而x y y sin =-''的通解是 .sin 2121*x e C e C y Y y xx -+=+=-由23)0(,0)0(='=y y ，得1,121-==C C . 故所求初值问题的解为.s i n 21x e e y xx --=-【评注】 本题的核心是第一步方程变换.八 、（本题满分12分）设函数f(x)连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ，⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论F(t)在区间),0(+∞内的单调性. (2) 证明当t>0时，).(2)(t G t F π>【分析】 (1) 先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重积分，再根据导函数)(t F '的符号确定单调性；(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可.【详解】 (1) 因为⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==ttttr d rr f drr r f rdrr f d drr r f d d t F 0202220022022)()(2)(sin )()(πππθϕϕθ，202022])([)()()(2)(r d r r f drr t r r f t tf t F tt⎰⎰-='，所以在),0(+∞上0)(>'t F ，故F(t) 在),0(+∞内单调增加.（2） 因 ⎰⎰=ttdrr f rdrr f t G 0202)()()(π，要证明t>0时)(2)(t G t F π>，只需证明t>0时，0)(2)(>-t G t F π，即.0])([)()(0202222>-⎰⎰⎰tttrdr r f dr r f dr r r f令 ⎰⎰⎰-=tttr d r r f dr r f dr r r f t g 0202222])([)()()(，则 0)()()()(2022>-='⎰dr r t r f t f t g t，故g(t)在),0(+∞内单调增加.因为g(t)在t=0处连续，所以当t>0时，有g(t)>g(0).又g(0)=0, 故当t>0时，g(t)>0,因此，当t>0时，).(2)(t G t F π>【评注】 本题将定积分、二重积分和三重积分等多个知识点结合起来了，但难点是证明（2）中的不等式，事实上，这里也可用柯西积分不等式证明：dx x g dx x f dx x g x f b ababa⎰⎰⎰⋅≤)()(])()([222，在上式中取f(x)为r r f )(2，g(x)为)(2r f 即可.九 、（本题满分10分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=322232223A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101010P ，P A P B *1-=，求B+2E 的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.【分析】 可先求出1*,,-P A ，进而确定P A P B *1-=及B+2E ，再按通常方法确定其特征值和特征向量；或先求出A 的特征值与特征向量，再相应地确定A*的特征值与特征向量，最终根据B+2E 与A*+2E 相似求出其特征值与特征向量.【详解】 方法一： 经计算可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=522252225*A ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P ，P A P B *1-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----322452007.从而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+5224720092E B ，)3()9(522472009)2(2--=---=+-λλλλλλE B E ，故B+2E 的特征值为.3,9321===λλλ当921==λλ时，解0)9(=-x A E ，得线性无关的特征向量为,0111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η ,1022⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η 所以属于特征值921==λλ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+102011212211k k k k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数. 当33=λ时，解0)3(=-x A E ，得线性无关的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1103η， 所以属于特征值33=λ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110333k k η，其中03≠k 为任意常数.方法二：设A 的特征值为λ，对应特征向量为η，即 ληη=A . 由于07≠=A ，所以.0≠λ又因 E A A A =*，故有 .*ηληAA =于是有 )()(*)(1111ηληη----==P AP P A P P B ，.)2()2(11ηλη--+=+P AP E B因此，2+λA为B+2E 的特征值，对应的特征向量为.1η-P由于 )7()1(3222322232--=---------=-λλλλλλA E ，故A 的特征值为.7,1321===λλλ当121==λλ时，对应的线性无关特征向量可取为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0111η， .1012⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η 当73=λ时，对应的一个特征向量为.1113⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=η 由 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-01111ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-11121ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-11031ηP .因此，B+2E 的三个特征值分别为9，9，3.对应于特征值9的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+--11101121212111k k P k P k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1103313k P k η，其中3k 是不为零的任意常数.【评注】 设AP P B 1-=，若λ是A 的特征值，对应特征向量为η，则B 与A 有相同的特征值，但对应特征向量不同，B 对应特征值λ的特征向量为.1η-P本题计算量大，但方法思路都是常规和熟悉的，主要是考查考生的计算能力.不过利用相似矩阵有相同的特征值以及A 与A*的特征值之间的关系讨论，可适当降低计算量.十 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a【分析】 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.【详解】 方法一：必要性设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 有唯一解，故系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a c c b b a A 222与增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A 由于 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba c a cbcba A ---++++=---==])()())[((3222a c cb b ac b a -+-+-++, 但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故 .0=++c b a充分性：由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A 由于])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==0]43)21[(222≠++-b b a ， 故秩(A)=2. 于是，秩(A)=秩)(A =2.因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.方法二：必要性设三直线交于一点),(00y x ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100y x 为Ax=0的非零解，其中 .323232⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=b a c a c b c b a A 于是 0=A .而 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba ca c bcb a A ---++++-== =])()())[((3222a c cb b ac b a -+-+-++-, 但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故 .0=++c b a充分性：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组 ⎩⎨⎧-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *)因为])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==-0])([222≠+++b a b a ,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.【评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点.十一 、（本题满分10分） 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.【分析】 乙箱中可能的次品件数为0，1，2，3，分别求出其概率，再按定义求数学期望即可；而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率，涉及到两次试验，是典型的用全概率公式的情形，第一次试验的各种可能结果（取到的次品数）就是要找的完备事件组.【详解】 (1) X 的可能取值为0，1，2，3，X 的概率分布为36333}{C C C k X P k k -==， k=0,1,2,3. 即 X 0 1 2 3P201 209 209 201 因此.232013209220912010=⨯+⨯+⨯+⨯=EX (2) 设A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于}0{=X ，}1{=X ，}2{=X ，}3{=X 构成完备事件组，因此根据全概率公式，有∑====30}{}{)(k k X A P k X P A P=∑∑====⋅=3030}{616}{k k k X kP k k X P =.41236161=⋅=EX 【评注】本题对数学期望的计算也可用分解法：设,,,1,0件产品是次品从甲箱中取出的第件产品是合格品从甲箱中取出的第i i X i ⎩⎨⎧= 则i X 的概率分布为i X 0 1P 21 21 .3,2,1=i 因为321X X X X ++=，所以.23321=++=EX EX EX EX 十二 、（本题满分8分）设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x 其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ，记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (4) 求总体X 的分布函数F(x);(5) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ； (6) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性. 【分析】 求分布函数F(x)是基本题型；求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ，可作为多维相互独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，只需检验θθ=ˆE 是否成立. 【详解】 (1).,,0,1)()()(2θθθ≤>⎩⎨⎧-==⎰∞---x x e dt t f x F xx (2) }),,,{min(}ˆ{)(21ˆx X X X P x P x F n≤=≤= θθ =}),,,{m in(121x X X X P n >-=},,,{121x X x X x X P n >>>-=nx F )](1[1-- =.,,0,1)(2θθθ≤>⎩⎨⎧---x x e x n (3) θˆ概率密度为 .,,0,2)()()(2ˆˆθθθθθ≤>⎩⎨⎧==--x x ne dx x dF x f x n 因为 ⎰⎰+∞--+∞∞-==θθθθdx nxe dx x xf E x n )(2ˆ2)(ˆ =θθ≠+n21， 所以θˆ作为θ的估计量不具有无偏性. 【评注】本题表面上是一数理统计问题，实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点.将数理统计的概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式.。