02函数的基本概念及其表示-学生版

函数的概念及表示知识点1：函数的概念1.函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A 中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B 的一个函数，通常记为：y＝f(x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域.2.规律方法：(1)判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A、B必须是非空数集；A 中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．(2)函数的定义中“每一个元素”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．考点1：函数的判定典型例题例1 判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±x；(2)A＝R，B＝N*，对于任意的x∈A，x→|x－2|；(3)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0.例2 下列从集合A到集合B的对应关系中，不能构成从A到B的函数的是________．(只填序号)①集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝x2；②集合A＝{x|2≤x≤3}，B＝{y|4≤y≤7}，f：x→y＝3x－2；③集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤3}，f：x→y＝－x＋4；④集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝4－x2；⑤集合A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对任意(x，y)∈A，f：(x，y)→x＋y.知识点2：函数的图像1.概念：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))，当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．2.作函数图像的方法：（1）利用描点法作函数图象的基本步骤：求定义域→化简解析式→列表→描点→连线（2）在画定义域为某一区间的函数图象时，要注意端点值的画法，闭区间画实心点，开区间画空心圈．考点1：画函数的图象 典型例题例1 作下列函数的图象(1)y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)； (2)y ＝2x (－2≤x <1，且x ≠0)．(3)y ＝1＋x (x ∈Z)； (4)y ＝x 2－2x ，x ∈[0,3)．考点2：函数图象的识别例1 设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是________．(填序号)例2 如图所示，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝ax ＋b (a ≠0)的图象可能是________(填序号)．考点3：函数图象的应用例1 画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；(2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小；(3)求函数f(x)的值域；(4)若关于x的方程f(x)＝k在[－1,2]内仅有一个实根，求k的取值范围．例2 若方程－x2＋3x－m＝3－x在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围．考点4：函数图像在实际问题中的应用例1 某商场销售一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见表)：(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；(2)设销售此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？知识点3：函数的定义域1.概念：函数的定义域是指自变量x的范围2.函数定义域的求解方法：(1)若()x f为整式，则定义域为R.(2)若()x f是分式，则其定义域是分母不为0的实数集合(3)若()x f 是偶次根式，则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合； (4)若()x f 是由几部分组成的，其定义域是使各部分都有意义的实数的集合； (5)实际问题中，确定定义域要考虑实际问题. 考点1：具体函数定义域求解 例1 求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-++-考点2：抽象函数定义域求解例1 设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；例 2 若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 .例3 已知()x f 的定义域为[]1,0，求函数()⎪⎭⎫⎝⎛++=342x f x f y 的定义域.例4 已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围.知识点4：函数的值域1.概念：函数的值域指因变量y 的范围2.函数值域的求解方法： （1）观察法 （2）判别式法 （3）配方法 （4）换元法 （5）不等式法 （6）图像法 （7）分离常数法 考点1：用观察法求值域 例1 求下列函数的值域：（1）2415+-=x x y （2）123422--+-=x x x x y考点2：用配方法求值域例1 求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域.考点3：用反解+判别式法求值域例1 求函数3274222++-+=x x x x y 的值域考点4：用换元法求值域 例1 求函数12--=x x y 的值域考点5：用不等式法求值域例1 求函数()22415≥+-=x x x y 的值域考点6：用图像法求值域 例1 求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈例2 画出函数[]5,1,642∈+-=x x x y 的图像，并根据其图像写出该函数的值域。

函数的基本概念和性质函数是数学中的一种基本概念，广泛应用于各个领域。

它可以描述两个集合之间的某种对应关系，将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。

本文将介绍函数的基本概念、性质以及一些常见的函数类型。

一、函数的基本概念函数是一种数学上的关系，其定义如下：定义1：设A、B是两个非空集合，若存在一个规则F，使得对于A中的任意元素x，都有唯一的元素y在B中与之对应，即F(x)=y，那么规则F就是从A到B的一个函数。

其中，A称为函数的定义域，B 称为函数的值域。

例如，考虑定义在实数集上的一个函数f(x)=x^2，其中定义域为实数集，值域为非负实数集。

对于定义域中的任意实数x，都有唯一的非负实数y与之对应，即对于任意的x∈R，都有f(x)=x^2≥0。

二、函数的性质函数具有一些重要的性质，如下所述：1. 定义域和值域：函数的定义域指的是该函数的自变量可取值的范围，值域则是函数的因变量的所有可能取值。

函数的定义域和值域通常由函数表达式的性质决定。

2. 单射：如果对于函数的值域中的每一个元素y，都存在唯一的定义域中的元素x与之对应，那么该函数被称为单射函数。

换句话说，如果函数的两个不同的自变量不能映射到同一个因变量，那么该函数就是单射函数。

3. 满射：如果对于函数的值域中的每一个元素y，都存在定义域中的元素x与之对应，那么该函数被称为满射函数。

换句话说，如果函数的所有因变量都能找到至少一个自变量与之对应，那么该函数就是满射函数。

4. 双射：如果一个函数既是单射又是满射，那么该函数被称为双射函数。

换句话说，对于函数的值域中的每一个元素y，都存在唯一的定义域中的元素x与之对应，并且函数的定义域和值域有相同的基数。

三、常见的函数类型函数的类型根据定义域和值域的不同可以分为多种形式，常见的函数类型包括：1. 实函数：定义域和值域都是实数集的函数称为实函数。

例如，f(x)=sin(x)就是一个实函数，其定义域和值域都是实数集。

函数的基本概念与表示方法在数学的广袤天地中，函数就像是一座桥梁，连接着不同的数量关系和变化规律。

它不仅是数学研究的重要对象，也是解决实际问题的有力工具。

让我们一起走进函数的世界，去探寻它的基本概念和表示方法。

函数是什么呢？简单来说，函数是一种特殊的对应关系。

想象有两个集合，一个集合中的元素通过某种规则与另一个集合中的元素一一对应，这个规则就是函数。

比如说，我们有一个集合是学生的学号，另一个集合是对应的学生成绩。

当给定一个学号，就能通过特定的规则找到对应的成绩，这就是一个函数关系。

函数通常用符号“f”“g”等来表示。

假设我们有一个函数 f，它把集合A 中的元素 x 映射到集合 B 中的元素 y，我们就可以写成 f(x) ＝ y 。

这里的 x 叫做自变量，y 叫做因变量。

自变量是主动变化的量，因变量则是随着自变量的变化而变化的量。

函数有几个重要的特点。

首先，对于集合 A 中的每一个自变量 x，都必须有唯一确定的因变量 y 与之对应。

也就是说，一个自变量不能对应多个不同的因变量。

其次，集合 A 中的元素都要有“用武之地”，不能有被“冷落”的元素。

这两个特点保证了函数关系的确定性和完整性。

函数的表示方法有很多种，最常见的有解析法、列表法和图像法。

解析法就是用数学表达式来表示函数关系。

比如，y ＝ 2x ＋ 1 就是一个用解析法表示的函数。

这种方法简洁明了，能够清晰地展示自变量和因变量之间的数量关系。

通过这个表达式，我们可以很容易地计算出当 x 取不同值时 y 的值。

列表法是将自变量和对应的因变量列成表格的形式。

比如，我们要表示一个人的体重随年龄的变化，就可以列出这样一个表格：｜年龄（岁）｜ 10 ｜ 15 ｜ 20 ｜ 25 ｜ 30 ｜｜｜｜｜｜｜｜｜体重（kg）｜ 30 ｜ 45 ｜ 55 ｜ 60 ｜ 65 ｜列表法直观清晰，对于一些离散的数据或者有限的取值范围，使用列表法非常方便。

图像法则是用图形来表示函数关系。

函数的基本概念与运算函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域，包括物理、经济学以及计算机科学等。

在数学中，函数是一种表达两个集合之间关系的工具，通过给定一个输入值，函数可以计算出对应的输出值。

本文将介绍函数的基本概念、符号表示和常见的函数运算。

一、函数的定义与表示函数是一种映射关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。

设集合A和集合B，如果对于A中的每个元素a，都存在唯一的b属于B与之对应，则可以说存在一个函数f将a映射到b。

函数可以用不同的表示方法来表示，最常见的表示形式为函数符号和函数图像。

函数符号表示通常使用f(x)的形式，其中f是函数名，x是自变量。

f(x)表示函数对于输入x所对应的输出值。

例如，f(x) = 2x表示一个对应关系，将自变量x乘以2得到相应的输出值。

函数图像表示是通过绘制输入-输出对的关系来表示函数。

通过在坐标系中描绘函数图像，可以更直观地理解函数的性质和变化趋势。

二、函数的基本运算函数之间常常进行各种运算，包括加法、减法、乘法和除法等。

下面将介绍这些基本的函数运算。

1. 加法：设有函数f(x)和g(x)，它们的和函数记作h(x) = f(x) + g(x)，即对于相同的输入x，将f(x)和g(x)的对应的输出值相加得到h(x)的输出值。

2. 减法：设有函数f(x)和g(x)，它们的差函数记作h(x) = f(x) - g(x)，即对于相同的输入x，将f(x)和g(x)的对应的输出值相减得到h(x)的输出值。

3. 乘法：设有函数f(x)和g(x)，它们的乘积函数记作h(x) = f(x) *g(x)，即对于相同的输入x，将f(x)和g(x)的对应的输出值相乘得到h(x)的输出值。

4. 除法：设有函数f(x)和g(x)，其中g(x) ≠ 0，它们的商函数记作h(x) = f(x) / g(x)，即对于相同的输入x，将f(x)和g(x)的对应的输出值相除得到h(x)的输出值。

目录专题21 函数及其表示 ............................................................................................................................................ 1 专题22 函数的定义域与值域 ................................................................................................................................ 1 专题23 函数的单调性与最值 ................................................................................................................................ 2 专题24 函数的奇偶性与周期性 ............................................................................................................................ 2 专题25 二次函数与幂函数 .................................................................................................................................... 3 专题26 对数与对数函数 ........................................................................................................................................ 3 专题27 函数的图象 ................................................................................................................................................ 4 专题28 函数与方程 ................................................................................................................................................ 4 专题29 分段函数 .................................................................................................................................................... 5 专题210 新定义函数 .............................................................................................................................................. 6 参考答案 (6)专题21 函数及其表示1【2014高考安徽卷理第6题】设函数))((R x x f ∈满足.sin )()(x x f x f +=+π当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） A.21 B 23 C 0 D 21- 2【2014江西高考理第3题】已知函数||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=a （ ）A 1B 2C 3D -1专题22 函数的定义域与值域3【2014江西高考理第2题】函数)ln()(2x x x f -=的定义域为（ ）A )1,0(B ]1,0[C ),1()0,(+∞-∞D ),1[]0,(+∞-∞ 4【2014山东高考理第3题】函数的定义域为（ ）A B C D1)(log 1)(22-=x x f )21,0(),2(+∞),2()21,0(+∞ ),2[]21,0(+∞专题23 函数的单调性与最值5【2014高考北京版理第2题】下列函数中，在区间(0,)+∞为增函数的是（ ）A ．y =．2(1)y x =- C ．2x y -= D ．0.5log (1)y x =+ “高中数学师生群”QQ 群号码：341383390，欢迎各位在读高中学生加入，欢迎各位一线高中数学教师加入“高中数学教师俱乐部”QQ 群号码：44359573，欢迎各位一线高中数学教师加入注：该群为教师群，拒绝学生申请6【2014高考福建卷第4题】若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ）ABCD7【2014陕西高考理第7题】下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3x f x =为助力学生学习，特为学生提供打印纸质文档服务，A4纸每页01元，可提供“百度文库”或“中学学科网”下载后打印服务，可包邮。

高中数学：函数的基本知识点函数是高考数学中的重点内容，学习函数需要首先掌握函数的各个知识点，然后运用函数的各种*质来解决具体的问题。

小编为大家收集了“高中数学讲解：函数的基本知识点”，供大家参考，希望对大家有所帮助!1.函数的定义定义：设x和y是两个变量，d是实数集r的某个子集.如果对任何的x∈d，按照某种对应法则，变量y总有确定的值与之对应，则称变量y是定义在d上变量x的函数，记作y=f(x).称d为该函数的定义域，称x为自变，.y为因变量.当自变量x取数值xo∈d时，与xo对应的因变量y的值称为函数y=f(x)，当x取遍d的所有数值时，对应的变量y取值的全体组成的数集称为函数y二f(x)的值域.如果自变量在定义域内任取一个值时，对应的函数值只有一个，这种函数称为单值函数，否则称为多值函数.例如，y=3x+l是单值函数，而由方程x2+y2=1确定的函数y=士√1-x2就是多值函数.以后凡没有特别说明，本书所讨论的函数都是指单值函数.函数的表示法通常有三种，即表格法、图示法和公式法。

2.函数的两个基本要素由函数的定义知，确定函数的两个基本要素是定义域和对应法则.也就是说，两个函数只有当它们的定义域和对应法则完全相同时，两个函数才是相同的.3.函数的几种特*(1)有界*设函数y=f(x)的定义域为d，数集x∈d，如果存在正数m，使得对于任意的x∈x，都有不等式f(x)?≤m成立，则称了(x)在x上有界，如果这样的m不存在，则称函数在x上无界.(2)单调*.设函数y=f(x)在区向x上有定义.如果对于任意的x1,x2∈x，当x1<x2时，均有f(x1)(3)奇偶*设函数y=f(x)的定义域d是关于原点对称的，如果对于任意的x∈d，均有f(x)=f(一x)，则称.f(x)为偶函数;如果对于任意的x∈d，均有f(x)=-f(x)，则称了(x)为奇函数.(4)周期*设函数y.=f(x)，如果存在不为零的常数t,.使得对于任意x∈d均有x+t∈d，且f(x)=f(x+t)成立，则称函数y=f(x)为周期函数，称t为f(x)的一个周期。

1.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．2．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．【知识拓展】求函数定义域常见结论：(1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；(k∈Z)；(5)正切函数y＝tan x，x≠kπ＋π2(6)零次幂的底数不能为零；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．()(3)映射是特殊的函数．()(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．()1．函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为()A ．[32，＋∞)B ．(－∞，3)∪(3，＋∞)C ．[32，3)∪(3，＋∞)D ．(3，＋∞)2．(教材改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是()3．下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是()A ．y ＝(x ＋1)2B ．y ＝3x3＋1C ．y ＝x2x＋1D ．y ＝x2＋14．已知f (1x)＝x 2＋5x ，则f (x )＝________.5．已知函数f (x )＝2x ＋1，若f (a )＝5，则实数a 的值为________．题型一函数的概念例1有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝1(x ≥0)－1(x <0)表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个；③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则0))21((=f f 其中正确判断的序号是________．(1)下列所给图象是函数图象的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4(2)下列各组函数中，表示同一个函数的是()A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x (x )2题型二函数的定义域问题命题点1求函数的定义域例2(1)函数f(x)＝1－2x＋1x＋3的定义域为()A．(－3,0]B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0]D．(－∞，－3)∪(－3,1](2)若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝f(2x)x－1的定义域是________引申探究本例(2)中，若将“函数y＝f(x)的定义域为[0,2]”改为“函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]”，则函数g(x)＝f(2x)x－1的定义域为________________．命题点2已知函数的定义域求参数范围例3(1)若函数f (x )＝2221x ax a +--的定义域为R ，则a 的取值范围为________．(2)若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．(1)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为()A ．(－1,1)B ．(－1，－12)C ．(－1,0)D ．(12，1)(2)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是()A ．(0，34]B ．(0，34)C ．[0，34]D ．[0，34)题型三求函数解析式例4(1)已知函数f (x －1)＝11x ，则函数f (x )的解析式为.(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________.(3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x)·x －1，则f (x )＝________.(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式；(2)已知一次函数f (x )满足f (f (x ))＝4x －1，求f (x )；(3)已知f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，求f (x )．2．分类讨论思想在函数中的应用典例(1)已知实数a≠0，函数f(x)＝2x＋a，x<1，－x－2a，x≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________________．(2)(2019·长春模拟)已知函数f(x)＝2x，x>0，x＋1，x≤0.若f(a)＋f(1)＝0，则实数a＝________.1．下列各组函数中，表示同一函数的是()A．y＝x2－9x－3与y＝x＋3B．y＝2x－1与y＝x－1C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z2．(2015·重庆)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是()A．[－3,1]B．(－3,1)C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)3．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为() A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2xC ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x4．(2015·陕西)设f (x )＝1－x ，x ≥0，2x，x ＜0，则f (f (－2))等于()A ．－1 B.14C.12D.325．(2016·安徽六校联考)已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为()A ．－2B ．2C ．－2或2D.2*6.(2016·唐山期末)已知f (x )＝(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(－1，12)C ．[－1，12)D ．(0，12)7．(2016·济南模拟)已知函数f(1－x1＋x)＝x，则f(2)＝________.8．设函数f(x)＝113e,1,,1,x xx x-⎧<⎪⎨⎪⎩≥则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________________．9．(2015·浙江)已知函数f(x)＝x＋2x－3，x≥1，lg(x2＋1)，x＜1，则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________．*10.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，下列关于高斯函数的说法正确的有________．①[－x ]＝－[x ]；②x －1<[x ]≤x ；③∀x ，y ∈R ，[x ]＋[y ]≤[x ＋y ]；④∀x ≥0，y ≥0，[xy ]≤[x ][y ]；⑤离实数x 最近的整数是－[－x ＋12]．11．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求函数f (x )的解析式．12．已知f(x)＝f(x＋1)，－2<x<0，2x＋1，0≤x＜2，x2－1，x≥2.(1)求f(－32)的值；(2)若f(a)＝4且a>0，求实数a的值．。

专题02 函数概念与基本初等函数
（新定义，高数观点，选填压轴题）
目录
一、函数及其表示 (1)
二、函数的基本性质 (2)
三、分段函数 (4)
四、函数的图象 (5)
五、二次函数 (7)
六、指对幂函数 (7)
七、函数与方程 (8)
八、新定义题 (9)
一、函数及其表示
二、函数的基本性质
三、分段函数
四、函数的图象．．
．．
2023春·广东韶关·高二统考期末）
e3
cosπ
e2
x
x
x
⎫
-⎛⎫
⋅+
⎪ ⎪
+⎝⎭
⎭
部分图象大致是（
．．
． ．
2023春·云南楚雄·高二统考期末）函数)32e e 1
x
x x =-的部分图象大致为（ ）
2023春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）下列四个函数中的某个函数在区间致图象如图所示，则该函数是（
A ．322x
x
x x
y --=+B ．cos222x
x
x x
y -=+5．（2023春·河北沧州·高二统考期中）函数． ．
． ．
2023·内蒙古赤峰·统考二模）函数2
1
sin x x -
在()π,0-
A．B．
C．D．
五、二次函数
六、指对幂函数
七、函数与方程
八、新定义题A．2
=-B．
4
y x x。

第10讲 函数的概念及其表示一、函数的概念1. 函数的概念：一般地，设,A B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈.其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}f x x A ∈叫做函数的值域.思考：值域(){}f x x A ∈与集合B 是什么关系？ 说明：①“,A B 是非空的实数集”.一方面强调了,A B 中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集．②函数的三要素：定义域、对应关系、值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； ③函数的“三性”：任意性、存在性、唯一性.2. 区间的概念 ①设a b <②符号“∞.3. 函数的表示方法①解析法 ；②图象法 ；③列表法. 题型一 函数的概念 例1.在下列从集合A 到集合B 的对应关系中，能确定y 是x 的函数的是（1）{}{},A x x Z B y y Z =∈=∈，对应法则:3xf x y →=； （2）{}{}0,,A x x x R B y y R =>∈=∈，对应法则2:3f x y x →=； （3）{}{},A x x R B y y R =∈=∈，对应法则22:25f x x y →+=； （4）,A R B R ==，对应法则2f x y x →=：；（5）{}{}11,,0A x x x R B =-≤≤∈=，对应法则:0f x y →=； （6）(){},,,A x y x R y R B R =∈∈=，对应法则():,f x y S x y →=+；（7）{}{}1,2,3,4,0,1A B ==，对应关系如图：例2.若函数()y f x =的定义域为[]2,2-，值域为[]0,2，则函数()y f x =的图象可能是( )例3.判断下列各组中的两个函数是否为同一函数.（1）()()()1,1x x f x g x x x-==-；（2）()()f x g x ==（3）()()222,2f x x x g t t t =-=-；（4）()()1,11,1,1x x f x x g x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩； （5）()()0,1f x x g x ==.例4.已知函数()()21,f x x x g x x=-=. （1）分别求下列函数值：①()2f = . ②13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ③()f a = .④()21f a -= . ⑤2g t ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ⑥()2g t = .⑦()()2f g = . ⑧12g f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ . ⑨2f g t ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）若()2f a =，则a = .题型二 函数的定义域 例5.求下列函数的定义域.（1）()()2xf x x x =+（2）()f x =（3）()f x =（4）()()1x f x x x+=-例6.(1) 已知函数()y f x =的定义域为[]1,2，求函数()21y f x =+的定义域； (2) 已知函数()21y f x =+的定义域为[]3,6，求函数()y f x =的定义域； (3) 已知函数()21y f x =+的定义域为[]1,3-，求函数()21y f x =-的定义域；(4) 已知函数()1y f x =+的定义域为[)3,7，求函数()2y f x =的定义域；(5) 若函数()y f x =的定义域为[]2,1-，求函数()()()2252f xg x f x x +=++-的定义域.题型三 函数解析式 例7.(1) 已知函数()y f x =为一次函数，满足()()12,20f f ==，求()f x 的解析式； (2) 已知函数()y f x =为一次函数，且()43f f x x =-⎡⎤⎣⎦，求()f x 的解析式. 例8.(1) 已知()2123f x x x -=--，求()f x 的解析式；(2) 已知)1fx =+()f x 的解析式；(3) 已知2211f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，求()f x 的解析式.例9.(1) 已知()()()()223,3f x g x x x f x g x x x +=-+-=-+，求()f x 的解析式；(2) 已知函数()y f x =满足()()243f x f x x +-=-，求()f x 的解析式；(3) 已知函数()y f x =满足()1132f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()f x 的解析式.题型四 函数值域 例10.求下列函数的值域：(1)()[]225,1,2f x x x x =-+∈- (2)()25243f x x x =-+(3)()[]21,2,52x f x x x -=∈+ (4)()()21,1,1x f x x x +=∈+∞-(5)()2221=1x f x x -+(6)()2f x =(7)()(]2,1,3f x x x =∈- (8)()2f x x =+-例11. 求下列函数的值域.（1）()212x f x x x +=-+(2)()2254,01x x f x x x ++=>+(3)()[)22231,2,1x x f x x x x ++=∈+∞++ (4)()2224723x x f x x x +-=++题型五 分段函数 例12.(1) 若函数()21,03,0x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩，则()()2f f = . (2) 已知()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，若()3f a =，则a = . (3) 已知()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()()1f x f >的解集是 .例13. 把下列函数写成分段函数的形式，并画出其图像.（1）()=2f x x - (2)()21f x x =-(3)()223f x x x =-- (4)()223f x x x =--跟踪训练1. 下列各图像中，是函数图像的是( )2. 函数()y f x =的定义域为[]1,5-，则函数()y f x =的图象与直线1x =的交点个数为( )A.0B.1C.2D. 0个或1个均有可能3. 函数()f x =( )A.(],1-∞B.(),1-∞C.[)1,+∞D. ()1,+∞4. 已知()22,1,122,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是( )A.1B.1或32C.1或32或5. 若函数()y f x =的定义域是[]0,2，则()()21f xg x x =-的定义域是( )A.[]0,1B.[)0,1C.[)(]0,11,4D.()0,16. 已知函数()1y f x =+的定义域是[]2,3-，则()21y f x =-的定义域为( ) A.50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.[]1,4-C.[]5,5-D.[]3,7-7. 已知111xf x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则()1f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A.11xx-+ B.1xC.1D. 08. 已知()21,02,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()10f a =，则a = .9. 已知()()2,106,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎡⎤⎪⎣⎦⎩，则()5f = .10. 函数(),21,243,4x x f x x x x x ≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩，若()()3f a f <-，则a 的取值范围是 .11. 已知函数()y f x =满足111f x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()f x 的解析式是 .12. 已知函数()f x R ，求实数m 的取值范围.13. 求下列函数的值域：(1)()211f x x =+； (2)()322x f x x +=-； (3)()f x(4)()2211x x f x x ++=+； (5)()2f x x =- (6)()222251x x f x x x ++=++14. 画出下列函数的图像：(1)()2211x x f x x -=-； (2)()[)[]21,1,01,0,1x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩； (3)()221f x x x =-+。

函数的基本概念与性质函数是数学中一个重要的概念，它在数学推理和问题解决中扮演着重要的角色。

在本文中，我们将介绍函数的基本概念和性质，并探讨它们在数学中的应用。

一、函数的基本概念在数学中，函数是用来描述两个集合之间的关系的工具。

我们可以将函数视为一个“输入-输出”的机器，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。

这里的集合可以是实数集、自然数集、复数集等等。

具体来说，设有集合A和集合B，函数f是从集合A到集合B的映射，即f:A→B。

我们用f(x)表示函数f在元素x上的取值。

其中，x是A中的元素，f(x)是B中的元素。

函数的输入可以有一个或多个自变量，而输出则是函数的值。

通常，我们将自变量放在函数表达式的括号中，例如f(x)或f(x,y)。

二、函数的性质函数具有一些重要的性质，下面我们将讨论其中的几个。

1. 定义域和值域：函数的定义域是指所有可能的输入的集合，而值域是指所有可能的输出的集合。

对于函数f:A→B，A就是其定义域，B 就是其值域。

2. 单射和满射：如果一个函数的每一个自变量对应唯一的函数值，那么这个函数就是单射。

如果一个函数的值域等于其目标集合B，那么这个函数就是满射。

3. 一一对应：如果一个函数既是单射又是满射，那么它就是一一对应的，也就是说，每一个自变量都对应着唯一的函数值，而且函数值覆盖了整个目标集合B。

4. 反函数：对于一一对应的函数，我们可以定义它的反函数。

如果函数f:A→B是一一对应的，那么它的反函数f^(-1):B→A满足f^(-1)(f(x))=x和f(f^(-1)(y))=y对于所有合理的输入x和y成立。

5. 复合函数：对于两个函数f:A→B和g:B→C，我们可以定义它们的复合函数h(x)=g(f(x))，其中x是A中的元素。

复合函数将一个集合中的元素通过两个函数的映射关系转换到另一个集合中。

三、函数的应用函数在数学中有着广泛的应用，下面我们将介绍几个常见的应用领域。

(2)适用范围：元素个数较少的集合．(3)使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．7．子集的概念文字语言符号语言图形语言集合A中任意一个元素都是集合B 中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集A⊆B(或B⊇A)8．集合相等与真子集的概念定义符号表示图表示集合相等如果A⊆B且B⊆A，就说集合A与B相等A＝B真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，称集合A是B的真子集A B(或B A)9.空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集．(2)用符号表示为：∅.(3)规定：空集是任何集合的子集．10．子集的有关性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.11．并集和交集的概念及其表示类别概念自然语言符号语言图形语言并集由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}12.并集与交集的运算性质并集的运算性质交集的运算性质A∪B＝B∪A A∩B＝B∩AA∪A＝A A∩A＝AA∪∅＝A A∩∅＝∅A⊆B⇔A∪B＝B A⊆B⇔A∩B＝A13．全集(1)定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作U.14．补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A符号语言∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言15.补集的性质∁U U＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁U A)＝A.【新知识梳理与重难点点睛】1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a＜x＜b}开区间(a，b){x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b]3.其他区间的表示定义R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)4.函数相等如果两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，我们称这两个函数相等．要点一函数概念的应用例1设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有()A．0个B．1个C．2个D．3个跟踪演练1下列对应或关系式中是A到B的函数的是()A ．A ∈R ，B ∈R ，x 2＋y 2＝1B ．A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：C ．A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x －2D ．A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1要点二 求函数的定义域例2 求下列函数的定义域： (1)y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x ；(2)y ＝x ＋1|x |－x .跟踪演练2 (1)y ＝(x ＋1)0x ＋2(2)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x.要点三 求函数值例3 已知f (x )＝11＋x (x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )．(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (3)]的值．跟踪演练3 已知函数f (x )＝x ＋1x ＋2. (1)求f (2)；(2)求f [f (1)]．1．下列图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )2．函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( ) A ．[1,2)∪(2，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[1,2) D ．[1，＋∞)3．已知f (x )＝x 2＋x ＋1，则f [f (1)]的值是( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．104．下列各组函数中，表示同一个函数的是( ) A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )25．集合{x |－1≤x ＜0，或1＜x ≤2}用区间表示为________．【新方法、新技巧练习与巩固】一、基础达标1．下列说法正确的是( )A ．函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域可以是空集C ．函数的定义域和值域一定是数集D ．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了 2．函数y ＝1－x ＋x 的定义域是( ) A ．{x |x ≤1} B ．{x |x ≥0}C ．{x |x ≥1，或x ≤0}D ．{x |0≤x ≤1} 3．下列函数完全相同的是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2 C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋34．函数y ＝x ＋1的值域为( ) A ．[－1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0] D ．(－∞，－1]5．已知函数f (x )＝2x －1，则f (x ＋1)等于( ) A ．2x －1 B ．x ＋1 C ．2x ＋1 D ．16．设函数f (x )＝41－x ，若f (a )＝2，则实数a ＝________.7．求下列函数的定义域：13．已知函数f (x )＝x 21＋x 2. (1)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13的值； (2)求证f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x 是定值．（二）一、基础达标1．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )等于( )A ．3x ＋2B ．3x －2C ．2x ＋3D ．2x －32．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )3．已知f (x －1)＝x 2，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x 2＋2x ＋1B ．f (x )＝x 2－2x ＋1C ．f (x )＝x 2＋2x －1D ．f (x )＝x 2－2x －1。

函数的概念及其表示方法【知识点一】函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域.2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：{x|a≤x≤b}=[a，b]；；；.【知识点二】函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值. 2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．【知识点三】映射与函数1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b 叫做a的象，a叫做b的原象.注意：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).2.函数：设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A 到集合B的函数，记为y=f(x).注意：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.规律方法指导1.函数定义域的求法(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.2.如何确定象与原象对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.3.函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的"最高点"和"最低点"，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些"分式"函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.经典例题透析类型一、函数概念1.下列各组函数是否表示同一个函数？(1)(2)(3)(4)思路点拨：对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.解：(1)，对应关系不同，因此是不同的函数；(2)的定义域不同，因此是不同的函数；(3)的定义域相同，对应关系相同，因此是相同的函数；(4)定义域相同，对应关系相同，自变量用不同字面表示，仍为同一函数.总结升华：函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则，其中核心是对应法则，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：(1)定义域不同，两个函数也就不同；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.举一反三：【变式1】判断下列命题的真假(1)y=x-1与是同一函数；(2)与y=|x|是同一函数；(3)是同一函数；(4)与g(x)=x2-|x|是同一函数.答：从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题.2.求下列函数的定义域(用区间表示).(1)；(2)；(3).思路点拨：由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围.解：(1)的定义域为x2-2≠0，；(2)；(3).总结升华：使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3).思路点拨：(1)中有分式，只要分母不为0即可；(2)中既有分式又有二次根式，需使分式和根式都有意义；(3)只要使得两个根式都有意义即可．解：(1)当|x-2|-3=0，即x=-1或x=5时，无意义，当|x-2|-3≠0，即x≠-1且x≠5时，分式有意义，所以函数的定义域是(-∞，-1)∪(-1，5)∪(5，+∞)；(2)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域是；(3)要使函数有意义，须使，所以函数的定义域为{-2}.总结升华：小结几类函数的定义域：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(即求各集合的交集)(5)满足实际问题有意义.3.已知函数f(x)=3x2+5x-2，求f(3)，，f(a)，f(a+1).思路点拨：由函数f(x)符号的含义，f(3)表示在x=3时，f(x)表达式的函数值.解：f(3)=3×32+5×3-2=27+15-2=40；；；.举一反三：【变式1】已知函数.(1)求函数的定义域；(2)求f(-3)，的值；(3)当a＞0时，求f(a)×f(a-1)的值.解：(1)由；(2)；；(3)当a＞0时，.【变式2】已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：(1)f(2)，g(2)；(2)f(g(2))，g(f(2))；(3)f(g(x))，g(f(x))思路点拨：根据函数符号的意义，可以知道f(g(2))表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数值，其它同理可得．解：(1)f(2)=2×22-3×2-25=-23；g(2)=2×2-5=-1；(2)f(g(2))=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=2×(-23)-5=-51；(3)f(g(x))=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x2-46x+40；g(f(x))=g(2x2-3x-25)=2×(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.总结升华：求函数值时，遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f(g(x))，里层函数就是g(x)，外层函数就是f(x)，其对应关系可以理解为，类似的g(f(x))为，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果.4. 求值域(用区间表示)：(1)y=x2-2x+4；.思路点拨：求函数的值域必须合理利用旧知识，把现有问题进行转化.解：(1)y=x2-2x+4=(x-1)2+3≥3，∴值域为[3，+∞)；(2)；(3)；(4)，∴函数的值域为(-∞，1)∪(1，+∞). 类型二、映射与函数5. 下列对应关系中，哪些是从A到B的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成为映射?(1)A=R，B=R，对应法则f：取倒数；(2)A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则f：作三角形的外接圆；(3)A={平面内的圆}，B={平面内的三角形}，对应法则f：作圆的内接三角形．思路点拨：根据定义分析是否满足“A中任意”和“B中唯一”．解：(1)不是映射，集合A中的元素0在集合B中没有元素与之对应，不满足“A中任意”；若把A改为A={x|x≠0}或者把对应法则改为“加1”等就可成为映射；(2)是映射，集合A中的任意一个元素(三角形)，在集合B中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；(3)不是映射，集合A中的任意一个元素(圆)，在集合B中有无穷多个元素(该圆的内接三角形有无数个)与之对应，不满足“B中唯一”的限制；若将对应法则改为：以该圆上某定点为顶点作正三角形便可成为映射．总结升华：将不是映射的对应改为映射可以从出发集A、终止集B和对应法则f三个角度入手．举一反三：【变式1】判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？①A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则②A=N*，B={0，1}，对应法则f:x→x除以2得的余数；③A=N，B={0，1，2}，f：x→x被3除所得的余数；④设X={0，1，2，3，4}，思路点拨：判断是否构成映射应注意：①A中元素的剩余；②“多对一”“一对一”构成，而“一对多”不构成映射.解：①构成映射，②构成映射，③构成映射，④不构成映射，0没有象.【变式2】已知映射f：A→B，在f的作用下，判断下列说法是否正确？(1)任取x∈A，都有唯一的y∈B与x对应；(2)A中的某个元素在B中可以没有象；(3)A中的某个元素在B中可以有两个以上的象；(4)A中的不同的元素在B中有不同的象；(5)B中的元素在A中都有原象；(6)B中的元素在A中可以有两个或两个以上的原象.答：(1)、(6)的说法是正确的，(2)、(3)、(4)、(5)说法不正确.【变式3】下列对应哪些是从A到B的映射？是从A到B的一一映射吗？是从A到B的函数吗？(1)A=N，B={1，-1}，f：x→y=(-1)x；(2)A=N，B=N+，f：x→y=|x-3|；(3)A=R，B=R，(4)A=Z，B=N，f：x→y=|x|；(5)A=N，B=Z，f：x→y=|x|；(6)A=N，B=N，f：x→y=|x|.答：(1)、(4)、(5)、(6)是从A到B的映射也是从A到B的函数，但只有(6)是从A到B的一一映射；(2)、(3)不是从A到B的映射也不是从A到B的函数.6. 已知A=R，B={(x，y)|x，y R}，f：A→B是从集合A到集合B的映射，f：x→(x+1，x2+1)，求A中的元素的象，B中元素的原象.解：∴A中元素的象为故.举一反三：【变式1】设f：A→B是集合A到集合B的映射，其中(1)A={x|x＞0}，B=R，f：x→x2-2x-1，则A中元素的象及B中元素-1的原象分别为什么？(2)A=B={(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x-y，x+y)，则A中元素(1，3)的象及B中元素(1，3)的原象分别为什么？解：(1)由已知f：x→x2-2x-1，所以A中元素的象为；又因为x2-2x-1=-1有x=0或x=2，因为A={x|x＞0}，所以B中元素-1的原象为2；(2)由已知f:(x，y)→(x-y，x+y)，所以A中元素(1，3)的象为(1-3，1+3)，即(-2，4)；又因为由有x=2，y=1，所以B中元素(1，3)的原象为(2，1).类型三、函数的表示方法7. 求函数的解析式(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x).思路点拨：求函数的表达式可由两种途径.解：(1)∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，则；(2)f(x+1)=2x2+1，由对应法则特征可得：f(x)=2(x-1)2+1即：f(x)=2x2-4x+3.举一反三：【变式1】(1) 已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)；(2)已知：，求f[f(-1)].解：(1)(法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1∴f(x)=x2+2x-1；(法2)令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1∴f(x)=x2+2x-1；(法3)设f(x)=ax2+bx+c则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2；(2)∵-1＜0，∴f(-1)=2·(-1)+6=4f[f(-1)]=f(4)=16.总结升华：求函数解析式常用方法：(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.8.作出下列函数的图象.(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：(1)直接画出图象上孤立的点；(2)(3)先去掉绝对值符号化为分段函数.解：(1)，∴图象为一条直线上5个孤立的点；(2)为分段函数，图象是两条射线；(3)为分段函数，图象是去掉端点的两条射线；(4)图象是抛物线.所作函数图象分别如图所示：类型四、分段函数9. 已知，求f(0)，f[f(-1)]的值.思路点拨：分段函数求值，必须注意自变量在不同范围内取值时的不同对应关系.解：f(0)=2×02+1=1f[f(-1)]=f[2×(-1)+3]=f(1)=2×12+1=3.举一反三：【变式1】已知，作出f(x)的图象，求f(1)，f(-1)，f(0)，f{f[f(-1)+1]}的值.解：由分段函数特点，作出f(x)图象如下：∴如图，可得：f(1)=2；f(-1)=-1；f(0)=；f{f[f(-1)+1]}=f{f[-1+1]}=f{f(0)}=f()=+1.10. 某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：(1)乘坐汽车5公里以内，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5公里计算)，已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途(包括起点站和终点站)设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象.解：设票价为y元，里程为x公里，由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式：根据这个函数解析式，可画出函数图象，如下图所示：举一反三：【变式1】移动公司开展了两种通讯业务：“全球通”，月租50元，每通话1分钟，付费0.4元；“神州行”不缴月租，每通话1分钟，付费0.6元，若一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1，y2(元)，Ⅰ. 写出y1，y2与x之间的函数关系式？Ⅱ. 一个月内通话多少分钟，两种通讯方式的费用相同？Ⅲ. 若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式？解：Ⅰ：y1=50+0.4x，y2=0.6x；Ⅱ：当y1=y2时，50+0.4x=0.6x，∴0.2x=50，x=250∴当一个月内通话250分钟时，两种通讯方式费用相同；Ⅲ：若某人预计月付资费200元，采用第一种方式：200=50+0.4x，0.4x=150 ∴x=375（分钟）采用第二种方式：200=0.6x，∴应采用第一种(全球通)方式.基础达标一、选择题1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( )⑴，；⑵，；⑶，；⑷，；⑸，．A．⑴、⑵B．⑵、⑶C．⑷D．⑶、⑸2．函数y=的定义域是()A．-1≤x≤1B．x≤-1或x≥1 C．0≤x≤1 D．{-1，1}3．函数的值域是( )A．(-∞，)∪(，+∞)B．(-∞，)∪(，+∞)C．R D．(-∞，)∪(，+∞)4．下列从集合A到集合B的对应中：①A=R，B=(0，+∞)，f:x→y=x2；②③④A=[-2，1]，B=[2，5]，f:x→y=x2+1；⑤A=[-3，3]，B=[1，3]，f:x→y=|x|其中，不是从集合A到集合B的映射的个数是( )A． 1 B． 2 C． 3 D． 45．已知映射f:A→B，在f的作用下，下列说法中不正确的是( )A．A中每个元素必有象，但B中元素不一定有原象B．B中元素可以有两个原象C．A中的任何元素有且只能有唯一的象D．A与B必须是非空的数集6．点(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求点(4，6)在f下的原象( )A．(，1)B．(1，3) C．(2，6)D．(-1，-3)7．已知集合P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤2}，下列各表达式中不表示从P到Q的映射的是( ) A．y=B．y=C．y=x D．y=x28．下列图象能够成为某个函数图象的是( )9．函数的图象与直线的公共点数目是( )A．B．C．或D．或10．已知集合，且，使中元素和中的元素对应，则的值分别为( )A．B．C．D．11．已知，若，则的值是( )A．B．或C．，或D．12．为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移，这个平移是( ) A．沿轴向右平移个单位B．沿轴向右平移个单位C．沿轴向左平移个单位D．沿轴向左平移个单位二、填空题1．设函数则实数的取值范围是_______________．2．函数的定义域_______________．3．函数f(x)=3x-5在区间上的值域是_________．4．若二次函数的图象与x轴交于，且函数的最大值为，则这个二次函数的表达式是_______________．5．函数的定义域是_____________________．6．函数的最小值是_________________．三、解答题1．求函数的定义域．2．求函数的值域．3．根据下列条件，求函数的解析式：(1)已知f(x)是二次函数，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)；(2)已知f(x-3)=x2+2x+1，求f(x+3)；(3)已知；能力提升一、选择题1．设函数，则的表达式是( )A．B．C．D．2．函数满足则常数等于( )A．3 B．-3 C．D．3．已知，那么等于( )A．15 B．1 C．3 D．304．已知函数定义域是，则的定义域是( ) A．B．C．D．5．函数的值域是( )A．B．C．D．6．已知，则的解析式为( )A．B．C．D．二、填空题1．若函数，则=_______________．2．若函数，则=_______________．3．函数的值域是_______________．4．已知，则不等式的解集是_______________．5．设函数，当时，的值有正有负，则实数的范围_______________．三、解答题1．设是方程的两实根，当为何值时，有最小值?求出这个最小值．2．求下列函数的定义域(1)；(2)．3．求下列函数的值域(1)；(2)．综合探究1．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，如图四个图象中较符合该学生走法的是( )2.如图所表示的函数解析式是( )A. B.C. D.3．函数的图象是( )。

初二数学函数基本概念及图像理解函数是数学中的一种重要概念，也是初中数学中的重点内容之一。

通过对函数的学习，可以帮助我们理解数学中的各种问题，并且能够应用到实际生活中。

本文将详细介绍初二数学中函数的基本概念及图像理解。

一、函数的基本概念首先，让我们来了解一下函数的基本定义。

函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每一个元素与另一个集合中的唯一一个元素对应起来。

通常，我们用f(x)来表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。

其次，函数还有自变量的定义域和因变量的值域。

自变量的定义域指的是函数中自变量的取值范围，而因变量的值域则是函数中因变量的所有可能取值的集合。

另外，函数还有一个重要的性质，就是单调性。

函数的单调性可以分为增函数和减函数两种情况。

当函数中的自变量增大时，若因变量也增大，则称函数为增函数；当自变量增大时，若因变量减小，则称函数为减函数。

二、函数的图像理解函数的图像是我们对函数进行可视化表示的一种方式，通过观察函数的图像，可以更直观地理解函数的特征和性质。

在直角坐标系中，我们将自变量x和因变量f(x)分别表示在x轴和y轴上，然后根据函数的定义，将各个点连成曲线，就得到了函数的图像。

通过观察函数的图像，我们可以判断函数的单调性、极值、奇偶性等性质。

例如，当函数的图像上的每一个点都高于x轴时，说明函数的值始终大于0，这样的函数称为正函数；当函数的图像上的每一个点都低于x轴时，说明函数的值始终小于0，这样的函数称为负函数。

在初二数学中，我们常常需要根据函数的图像来解决实际问题。

例如，在图像上确定函数的最值点、确定函数的零点、求函数的解析式等。

三、函数图像的性质分析对于不同类型的函数，其图像的特点也有所不同。

下面，让我们来分析一些常见函数的图像性质。

1. 线性函数：线性函数的图像是一条直线，具有一定的斜率。

当斜率大于0时，函数图像呈上升趋势；当斜率小于0时，函数图像呈下降趋势。

2. 幂函数：幂函数的图像与幂指数的奇偶性有关。

函数的基本概念在数学中，函数是一种重要的概念，广泛应用于各个领域。

函数描述了一个变量与另一个变量之间的关系，是数学建模和问题求解的基础。

本文将介绍函数的基本概念以及与之相关的重要概念和性质。

一、函数的定义函数是一种映射关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

常用的记法是“f：X→Y”，表示函数f将集合X的元素映射到集合Y的元素上。

二、函数的符号表示函数可以用各种符号来表示，其中最常见的是用公式表示。

例如，f(x)=x^2表示一个函数f，它将输入x映射为x的平方。

此外，还有图表、图像、表格等方式来表示函数。

三、函数的定义域和值域函数的定义域是所有输入变量的取值范围，也就是函数能接受的输入集合。

而函数的值域是所有可能的输出变量的取值范围，也就是函数能够得到的输出集合。

四、函数的性质1. 一对一性：如果函数的每个元素都有唯一的映射元素，那么这个函数是一对一的。

2. 多对一性：如果函数的不同元素有相同的映射元素，那么这个函数是多对一的。

3. 空间性：如果函数的每个元素都有映射元素，那么这个函数是空间的。

4. 单调性：函数在其定义域上是递增或递减的。

5. 周期性：函数具有某个周期性质。

五、函数的常见类型1. 线性函数：f(x)=ax+b，是一条直线的图像，其中a是斜率，b是截距。

2. 幂函数：f(x)=x^a，其中a是实数。

3. 指数函数：f(x)=a^x，其中a是正实数且不等于1。

4. 对数函数：f(x)=loga(x)，其中a是正实数且不等于1。

5. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

六、函数的运算函数之间可以进行四则运算和复合运算。

四则运算即加减乘除，复合运算即将一个函数的输出作为另一个函数的输入。

1. 加法：(f+g)(x)=f(x)+g(x)2. 减法：(f-g)(x)=f(x)-g(x)3. 乘法：(f*g)(x)=f(x)*g(x)4. 除法：(f/g)(x)=f(x)/g(x)5. 复合：(f◦g)(x)=f(g(x))七、函数的应用函数在各个领域中具有广泛的应用，例如：1. 数学分析：函数在微积分中扮演重要角色，用于描述曲线的性质和变化率。

第二讲 函数的概念及其表示一、知识讲解考点1函数的概念：设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作 )(x f y =，A x ∈．注意：)(x f y =是函数的简写，并不表示“y ＝f 与x 的乘积”； 考点2函数的定义域与值域：函数的定义中，自变量x 取值的范围叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{}A x x f y y ∈=),(叫做这个函数的值域．确定一个函数的两个要素：定义域，对应法则．求函数的解析式的一般方法：配凑法、换元法、待定系数法求函数的定义域的一般原则：分母不为零；偶次根下不为负；零的零次幂没意义等等 求函数的值域的常见方法：直接法、配方法、换元法、判别式法、数形结合法． 注意：①构成函数的三要素：定义域、值域和对应法则；②判断两个函数是否相对，只需看函数的三要素是否相同．考点3映射的概念：设A ，B 是两个非空的集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中有一个且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射．这时，称y 是x 在映射f 作用下的象，记作)(x f ，于是y ＝)(x f ，x 称作 y 的原象． 映射f 也可记为 B A f →: )(x f x →其中A 叫做映射f 的定义域，由所有象)(x f 构成的集合叫做映射f 的值域．①判断某“对应法则”是否为A→B 的映射，主要看是否为“一对一”及“多对一”的两种特殊对应；应特别注意；② A 中任一元素在B 中应有象，且象唯一；② B 中可以有空闲元素，即B 中可以有元素没有原象． 考点4函数的表示法： 列表法；图象法．如果Ｆ是函数)(x f y =的图象，则图象上任一点的坐标),(y x 都满足函数关系)(x f y =；反之，满足函数关系)(x f y =的点),(y x 都在图象Ｆ上；解析法．如果在函数)(x f y =)∈(A x 中，)(x f 是用代数式（或解析式）来表示的，则这种表示函数的方法叫做解析法．（也称为公式法）．二、例题精析【例题1】判断下列各组中的函数是否为同一函数，并说明理由．(1)表示炮弹飞行高度h 与时间t 关系的函数2__5130=t t h 和函数2__5130=x x y )0≥(x ；(2)1=)(x f 和0=)(x x g ．【又例】下列函数中那个与函数x y =相等？⑴ y ＝(x )2；⑵y ＝33x ；⑶y ＝2x ；⑷y ＝23x x ．【例题2】已知函数)(x f ＝3+x ＋21+x ． (1) 求函数)(x f 的定义域；(2) 求)3(__f 和)32(f 的值；(3) 当0>a 时，求)(a f ，)1(__a f 的值； (4) 求）－12x (f 及其定义域．【又例】设函数f x ()的定义域为[]01，，（1）求函数f x ()2的定义域；（2）求函数f x ()-2的定义域．【例题3】（1）已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f ；（2）已知函数()f x 满足43)()(2+=-+x x f x f ，求)(x f 的解析式．【例题4】求下列函数的定义域：（1）14)(2--=x x f ， （2） =)(x f x11111++，（3）xx x x f -+=0)1()(， （4）373132+++-=x x y ．【例题５】求下列函数的值域． (1)216x y -=； (2)[]3,1x ；]2，2[，2∈-∈+-=x x x y ；（3）x x y 41332-+-=（4）66522-++-=x x x x y （5）11-++=x x y【例题６】以下给出的对应是不是从集合A 到B 的映射？⑴集合A ＝{P |P 是数轴上的点}，集合B ＝R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的的实数对应；⑵集合A ＝{P |P 是平面直角坐标系中的点}，集合B ＝{(x ,y )|x ∈R ,y ∈R },对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；⑶集合A ＝{x |x 是三角形},集合B ＝{x |x 是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；⑷集合A ＝{x |x 是实验中学的班级}，集合B ＝{x |x 是实验中学的学生}，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生.【又例】已知(x ，y )的映射f 作用下的象是(x ＋y ，xy )．(1)求(－2，3)在f 作用下的象；(2)若在f 作用下的象是(2，－3)，求它的原象．【例题７】某种笔记本的单价是5元，买x (x ∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y 元．试用函数的三种方法表示函数y ＝)(x f ．三、课堂运用【基础】 1. 函数1x y x+=的定义域为__________. 2．设)(x f ＝2211xx -+，则)21(f ＋)31(f ＋)2(-f ＋)3(-f ＝ ( ) A.3512 B ．－3512C ．1D ．03.已知函数)(x f ＝2211x x -+，求证：)1(x f ＋)(x f ＝0．【巩固】1．函数f x ()的定义域是 )1,1[-，则函数)1()1()(2x f x f x F -+-=的定义域是 .2. 已知函数()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域（ ） A ．(1,1)- B ．1(1,)2-- C ．(1,0)- D ．1(,1)2【拔高】 1． 求函数x x y 27-=， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,31x 的值域 ． 2．设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A →B ，把集合A 中的元素n 映射到集合B 中元素n 3＋n ，则在映射f 下象68的原象是 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5课后作业【基础】1.下列函数中，定义域不是R 的是（ ） A ．y ＝kx ＋b B ．y ＝1+x k C ．y ＝x 2＋bx －c D ．y ＝112++x x 2.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．xxy y ==,1 B ．1,112-=+⨯-=x y x x yC ．33,x y x y ==D ．2)(|,|x y x y ==3.已知函数①1y x =-；②21y x =-；③21y x =-；④xy 5=，其中定义域和值域相同的函数有（ ）A ．①④B ．③④C ．①②D ． ②③4.设⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=)0(,0)0(,)0(,1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f （ ）A ． 1+πB ． 0C ．π D ． 1-6. 函数y ＝|x －1|，x ∈［－1，2］的值域是（ ）.A.［－1，1］B.［0，1］C.［0，2］D.［1，2］7．对于集合A ＝{a ，b ，c }和集合B ＝R ，以下对应关系中，一定是集合A 到集合B 的映射的是（ ）A.对集合A 中的数开平方B. 对集合A 中的数取倒数 C ．对集合A 中的数取算术平方根 D.对集合A 中的数取立方8.设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A→B ，把集合A 中的元素n 映射到集合B 中元素n 3＋n ，则在映射f 下象68的原象是 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5【巩固】1.已知f 满足)(ab f ＝)(a f ＋)(b f ，且)2(f ＝p ，q f =)3(那么)72(f 等于（ ）A ．q p +B ．q p 23+C ．q p 32+D ．23q p +2.设函数x x xf =+-)11(，则)(x f 的表达式为（ ） A ．x x -+11 B ． 11-+x x C ．x x +-11 D ．12+x x3.设)(x f 的定义域是[－3，2]，求函数)2(-x f 的定义域．4. 求函数x x y 27-=， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,31x 的值域．5.已知31=)1+1(__2xx f ，求函数()1-x f 的解析式.6.如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成长方形木料，如果截面矩形的一边长为x ，面积为y ，把y 表示为x 的函数．【拔高】1．已知函数()21,01,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，则满足不等式()()22f x f x ->的x 的取值范围是 .2．函数()|2011||2012||2013|()f x x x x x R =-+-+-∈的最小值为 ．3．已知函数)(x f ，)(x g 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为 ；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是 .4. 已知)(x f ＋2)1(xf ＝3x ，求)(x f 的解析式为 ． 5.已知函数3+=)1+2(x x f ，求)1+2(x f 和)(x f 的定义域．6. 已知函数)(x f ＝()()⎩⎨⎧><-≤≤103101x x x x 或，则使等式)]([x f f ＝1成立的x 值的范围是 .x1 2 3x1 2 3 ()f x131()g x321x 25cm。

函数的概念及其表示1．函数的基本概念:⑴函数的定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：y ＝f(x)，x ∈A.⑵函数的定义域、值域在函数y ＝f(x)，x ∈A 中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做定义域，与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫值域．值域是集合B 的子集．①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.⑶函数的三要素：定义域、值域和对应关系．⑷相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等； 例1．下列四个图形中，可以表示函数y ＝f(x)的图像的是( )例2．分别求下列函数的定义域：(1)⑴f(x)＝|x －2|－1log 2x －1； (2)⑵f(x)＝ln x ＋1－x 2－3x ＋4.例3．求下列函数的值域： ⑴y ＝x ＋1，x ∈{2,3,4,5,6}；⑵y ＝x ＋1；⑶y ＝2x ＋1x －3； ⑷y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)；⑸y ＝2x －x －1；⑹y ＝x 2－2x 2＋1. 例4．判断下列各组函数是否表示同一函数：(1)f(x)＝x ，g(x)＝(x)2；(2)f(x)＝x ，g(x)＝x 2；(3)f(x)＝x ＋2，g(x)＝x 2－4x －2； (4)f(x)＝3x 2－1，g(t)＝3t 2－1.2．函数的三种表示方法解析法、列表法、图象法．例1(1)已知f(x)＝x 2，求f(x －1)；(2)已知f(x －1)＝x 2，求f(x)；(3) 已知2f(x)＋f(－x)＝3x ＋2，求f(x)3．分段函数例1．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ |x －1|－2，|x|≤111＋x 2，|x|>1，则f[f(12)]＝( ) A.12 B.413 C ．－95 D.2541例2．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x，x≤1，－x ，x ＞1.若f(x)＝2，则x ＝___ _____.例3．(1)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ＞6，f (x ＋2)，x ≤6，求f(－3)的值． 4．复合函数例1．已知f(x)＝x 2－4，g(x)＝3x ＋2(x ∈R )．⑴求f(2)和g(a)；⑵求g[f(2)]和f[g(x)]．例2.已知一次函数y ＝f(x)满足f(f(x))＝9x ＋4，求函数f(x)的解析式；5．抽象函数注：①定义域一定是x 的取值范围②前后两个括号的范围是一致的例1．(1)已知y ＝f(x)的定义域为[0,1]，求f(x －1)的定义域．(2)已知y ＝f(x ＋1)的定义域为[0,1]．求f(x)的定义域．(3)已知函数y ＝f(x ＋1)的定义域为[－2,3]，求f(x －1)的定义域．例2．定义在R 上的函数f(x)满足f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy ，其中x ，y∈R ，若f(1)＝2，则f(－2)的值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．96．模型函数（双勾函数）例1.分别求下列函数的值域 ⑴24)(-+=x x x f （3≥x ） ⑵162)(2++-=x x x x f （1-≠x ） 例2．若函数y ＝f(x)的值域是[12，3]，则函数F(x)＝f(x)＋1f(x)的值域是( ) A ．[12，3] B ．[2，103] C ．[52，103] D ．[3，103]巩固提升1．已知函数()f x =的定义域为M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M ∩N=（ ）A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x <C ．{|11}x x -<<D ．∅ 2．函数y ＝f(x)的定义域为[－1,1]，则在同一坐标系中，y ＝f(x)的图象与直线x ＝1的交点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．0或13．若函数f(x)满足f(x ＋1)＝12f(x)，则f(x)的解析式在下列式子中只可能是( ) A.x 2 B ．x ＋12 C ．2－x D ．log 12x 4．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2，x≤1，x 2＋x －2，x ＞1.则f[1f(2)]的值为( ) A.1516 B ．－2716 C.89D ．18 5．下列各对函数中，表示同一函数的是( )．A ．f(x)＝lg x 2，g(x)＝2lg xB ．f(x)＝lg x ＋1x －1，g(x)＝lg(x ＋1)－lg(x －1) C ．f(u)＝ 1＋u 1－u，g(v)＝ 1＋v 1－v D ．f(x)＝(x)2，g(x)＝x 26．已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1，试求f(x)的表达式．7．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f(x)≤2的x 的取值范围是( )．A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞) D．[0，＋∞)8．函数g(x)＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4}的值域是 .9．已知n ∈N *，且f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧n －2，n ≥10，f (f (n ＋5))，n ＜10，则f(4)＝________； 10．下列各图中，不能是函数f(x)图象的是 ( )11．已知函数f(2x ＋1)＝3x ＋2，且f(a)＝4，则a ＝__ ______． 12．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1 (x ≤0)－(x －1)2 (x>0)，使f(x)≥－1成立的x 的取值范围为________．13. ⑴已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x －1，求f(x)；⑵已知f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x ＋1)－f(x)＝2x ，求f(x)．14．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{9}的“孪生函数”三个：(1)y ＝2x 2＋1，x∈{－2}；(2)y ＝2x 2＋1，x∈{2}；(3)y ＝2x 2＋1，x∈{－2,2}． 那么函数解析式为y ＝2x 2＋1，值域为{1,5}的“孪生函数”共有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个15．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出则f[g(1)]的值为___ _____；若g[f(x)]＝2，则x ＝_____ ___.16．函数y ＝f(x)的值域是[－2,2]，定义域是R ，则函数y ＝f(x －2)的值域是( )A ．[－2,2]B ．[－4,0]C ．[0,4]D ．[－1,1]17．若函数f(x)＝log a (x ＋1)(a ＞0且a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 等于( )A.13B. 2C.22D ．2 18．已知函数)86(log )(22++-=m mx mx x f⑴若函数f(x)的定义域为R ，求实数m 的值⑵若函数f(x)的值域为R ，求实数m 的值。