02函数的基本概念及其表示-学生版

函数的概念及表示知识点1：函数的概念1.函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A 中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B 的一个函数，通常记为：y＝f(x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域.2.规律方法：(1)判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A、B必须是非空数集；A 中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．(2)函数的定义中“每一个元素”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．考点1：函数的判定典型例题例1 判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±x；(2)A＝R，B＝N*，对于任意的x∈A，x→|x－2|；(3)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0.例2 下列从集合A到集合B的对应关系中，不能构成从A到B的函数的是________．(只填序号)①集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝x2；②集合A＝{x|2≤x≤3}，B＝{y|4≤y≤7}，f：x→y＝3x－2；③集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤3}，f：x→y＝－x＋4；④集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝4－x2；⑤集合A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对任意(x，y)∈A，f：(x，y)→x＋y.知识点2：函数的图像1.概念：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))，当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．2.作函数图像的方法：（1）利用描点法作函数图象的基本步骤：求定义域→化简解析式→列表→描点→连线（2）在画定义域为某一区间的函数图象时，要注意端点值的画法，闭区间画实心点，开区间画空心圈．考点1：画函数的图象 典型例题例1 作下列函数的图象(1)y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)； (2)y ＝2x (－2≤x <1，且x ≠0)．(3)y ＝1＋x (x ∈Z)； (4)y ＝x 2－2x ，x ∈[0,3)．考点2：函数图象的识别例1 设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是________．(填序号)例2 如图所示，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝ax ＋b (a ≠0)的图象可能是________(填序号)．考点3：函数图象的应用例1 画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；(2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小；(3)求函数f(x)的值域；(4)若关于x的方程f(x)＝k在[－1,2]内仅有一个实根，求k的取值范围．例2 若方程－x2＋3x－m＝3－x在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围．考点4：函数图像在实际问题中的应用例1 某商场销售一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见表)：(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；(2)设销售此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？知识点3：函数的定义域1.概念：函数的定义域是指自变量x的范围2.函数定义域的求解方法：(1)若()x f为整式，则定义域为R.(2)若()x f是分式，则其定义域是分母不为0的实数集合(3)若()x f 是偶次根式，则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合； (4)若()x f 是由几部分组成的，其定义域是使各部分都有意义的实数的集合； (5)实际问题中，确定定义域要考虑实际问题. 考点1：具体函数定义域求解 例1 求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-++-考点2：抽象函数定义域求解例1 设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；例 2 若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 .例3 已知()x f 的定义域为[]1,0，求函数()⎪⎭⎫⎝⎛++=342x f x f y 的定义域.例4 已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围.知识点4：函数的值域1.概念：函数的值域指因变量y 的范围2.函数值域的求解方法： （1）观察法 （2）判别式法 （3）配方法 （4）换元法 （5）不等式法 （6）图像法 （7）分离常数法 考点1：用观察法求值域 例1 求下列函数的值域：（1）2415+-=x x y （2）123422--+-=x x x x y考点2：用配方法求值域例1 求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域.考点3：用反解+判别式法求值域例1 求函数3274222++-+=x x x x y 的值域考点4：用换元法求值域 例1 求函数12--=x x y 的值域考点5：用不等式法求值域例1 求函数()22415≥+-=x x x y 的值域考点6：用图像法求值域 例1 求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈例2 画出函数[]5,1,642∈+-=x x x y 的图像，并根据其图像写出该函数的值域。

函数的基本概念和性质函数是数学中的一种基本概念，广泛应用于各个领域。

它可以描述两个集合之间的某种对应关系，将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。

本文将介绍函数的基本概念、性质以及一些常见的函数类型。

一、函数的基本概念函数是一种数学上的关系，其定义如下：定义1：设A、B是两个非空集合，若存在一个规则F，使得对于A中的任意元素x，都有唯一的元素y在B中与之对应，即F(x)=y，那么规则F就是从A到B的一个函数。

其中，A称为函数的定义域，B 称为函数的值域。

例如，考虑定义在实数集上的一个函数f(x)=x^2，其中定义域为实数集，值域为非负实数集。

对于定义域中的任意实数x，都有唯一的非负实数y与之对应，即对于任意的x∈R，都有f(x)=x^2≥0。

二、函数的性质函数具有一些重要的性质，如下所述：1. 定义域和值域：函数的定义域指的是该函数的自变量可取值的范围，值域则是函数的因变量的所有可能取值。

函数的定义域和值域通常由函数表达式的性质决定。

2. 单射：如果对于函数的值域中的每一个元素y，都存在唯一的定义域中的元素x与之对应，那么该函数被称为单射函数。

换句话说，如果函数的两个不同的自变量不能映射到同一个因变量，那么该函数就是单射函数。

3. 满射：如果对于函数的值域中的每一个元素y，都存在定义域中的元素x与之对应，那么该函数被称为满射函数。

换句话说，如果函数的所有因变量都能找到至少一个自变量与之对应，那么该函数就是满射函数。

4. 双射：如果一个函数既是单射又是满射，那么该函数被称为双射函数。

换句话说，对于函数的值域中的每一个元素y，都存在唯一的定义域中的元素x与之对应，并且函数的定义域和值域有相同的基数。

三、常见的函数类型函数的类型根据定义域和值域的不同可以分为多种形式，常见的函数类型包括：1. 实函数：定义域和值域都是实数集的函数称为实函数。

例如，f(x)=sin(x)就是一个实函数，其定义域和值域都是实数集。

函数的基本概念与表示方法在数学的广袤天地中，函数就像是一座桥梁，连接着不同的数量关系和变化规律。

它不仅是数学研究的重要对象，也是解决实际问题的有力工具。

让我们一起走进函数的世界，去探寻它的基本概念和表示方法。

函数是什么呢？简单来说，函数是一种特殊的对应关系。

想象有两个集合，一个集合中的元素通过某种规则与另一个集合中的元素一一对应，这个规则就是函数。

比如说，我们有一个集合是学生的学号，另一个集合是对应的学生成绩。

当给定一个学号，就能通过特定的规则找到对应的成绩，这就是一个函数关系。

函数通常用符号“f”“g”等来表示。

假设我们有一个函数 f，它把集合A 中的元素 x 映射到集合 B 中的元素 y，我们就可以写成 f(x) ＝ y 。

这里的 x 叫做自变量，y 叫做因变量。

自变量是主动变化的量，因变量则是随着自变量的变化而变化的量。

函数有几个重要的特点。

首先，对于集合 A 中的每一个自变量 x，都必须有唯一确定的因变量 y 与之对应。

也就是说，一个自变量不能对应多个不同的因变量。

其次，集合 A 中的元素都要有“用武之地”，不能有被“冷落”的元素。

这两个特点保证了函数关系的确定性和完整性。

函数的表示方法有很多种，最常见的有解析法、列表法和图像法。

解析法就是用数学表达式来表示函数关系。

比如，y ＝ 2x ＋ 1 就是一个用解析法表示的函数。

这种方法简洁明了，能够清晰地展示自变量和因变量之间的数量关系。

通过这个表达式，我们可以很容易地计算出当 x 取不同值时 y 的值。

列表法是将自变量和对应的因变量列成表格的形式。

比如，我们要表示一个人的体重随年龄的变化，就可以列出这样一个表格：｜年龄（岁）｜ 10 ｜ 15 ｜ 20 ｜ 25 ｜ 30 ｜｜｜｜｜｜｜｜｜体重（kg）｜ 30 ｜ 45 ｜ 55 ｜ 60 ｜ 65 ｜列表法直观清晰，对于一些离散的数据或者有限的取值范围，使用列表法非常方便。

图像法则是用图形来表示函数关系。

函数的基本概念与运算函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域，包括物理、经济学以及计算机科学等。

在数学中，函数是一种表达两个集合之间关系的工具，通过给定一个输入值，函数可以计算出对应的输出值。

本文将介绍函数的基本概念、符号表示和常见的函数运算。

一、函数的定义与表示函数是一种映射关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。

设集合A和集合B，如果对于A中的每个元素a，都存在唯一的b属于B与之对应，则可以说存在一个函数f将a映射到b。

函数可以用不同的表示方法来表示，最常见的表示形式为函数符号和函数图像。

函数符号表示通常使用f(x)的形式，其中f是函数名，x是自变量。

f(x)表示函数对于输入x所对应的输出值。

例如，f(x) = 2x表示一个对应关系，将自变量x乘以2得到相应的输出值。

函数图像表示是通过绘制输入-输出对的关系来表示函数。

通过在坐标系中描绘函数图像，可以更直观地理解函数的性质和变化趋势。

二、函数的基本运算函数之间常常进行各种运算，包括加法、减法、乘法和除法等。

下面将介绍这些基本的函数运算。

1. 加法：设有函数f(x)和g(x)，它们的和函数记作h(x) = f(x) + g(x)，即对于相同的输入x，将f(x)和g(x)的对应的输出值相加得到h(x)的输出值。

2. 减法：设有函数f(x)和g(x)，它们的差函数记作h(x) = f(x) - g(x)，即对于相同的输入x，将f(x)和g(x)的对应的输出值相减得到h(x)的输出值。

3. 乘法：设有函数f(x)和g(x)，它们的乘积函数记作h(x) = f(x) *g(x)，即对于相同的输入x，将f(x)和g(x)的对应的输出值相乘得到h(x)的输出值。

4. 除法：设有函数f(x)和g(x)，其中g(x) ≠ 0，它们的商函数记作h(x) = f(x) / g(x)，即对于相同的输入x，将f(x)和g(x)的对应的输出值相除得到h(x)的输出值。

目录专题21 函数及其表示 ............................................................................................................................................ 1 专题22 函数的定义域与值域 ................................................................................................................................ 1 专题23 函数的单调性与最值 ................................................................................................................................ 2 专题24 函数的奇偶性与周期性 ............................................................................................................................ 2 专题25 二次函数与幂函数 .................................................................................................................................... 3 专题26 对数与对数函数 ........................................................................................................................................ 3 专题27 函数的图象 ................................................................................................................................................ 4 专题28 函数与方程 ................................................................................................................................................ 4 专题29 分段函数 .................................................................................................................................................... 5 专题210 新定义函数 .............................................................................................................................................. 6 参考答案 (6)专题21 函数及其表示1【2014高考安徽卷理第6题】设函数))((R x x f ∈满足.sin )()(x x f x f +=+π当π<≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf （ ） A.21 B 23 C 0 D 21- 2【2014江西高考理第3题】已知函数||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=a （ ）A 1B 2C 3D -1专题22 函数的定义域与值域3【2014江西高考理第2题】函数)ln()(2x x x f -=的定义域为（ ）A )1,0(B ]1,0[C ),1()0,(+∞-∞D ),1[]0,(+∞-∞ 4【2014山东高考理第3题】函数的定义域为（ ）A B C D1)(log 1)(22-=x x f )21,0(),2(+∞),2()21,0(+∞ ),2[]21,0(+∞专题23 函数的单调性与最值5【2014高考北京版理第2题】下列函数中，在区间(0,)+∞为增函数的是（ ）A ．y =．2(1)y x =- C ．2x y -= D ．0.5log (1)y x =+ “高中数学师生群”QQ 群号码：341383390，欢迎各位在读高中学生加入，欢迎各位一线高中数学教师加入“高中数学教师俱乐部”QQ 群号码：44359573，欢迎各位一线高中数学教师加入注：该群为教师群，拒绝学生申请6【2014高考福建卷第4题】若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ）ABCD7【2014陕西高考理第7题】下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3x f x =为助力学生学习，特为学生提供打印纸质文档服务，A4纸每页01元，可提供“百度文库”或“中学学科网”下载后打印服务，可包邮。

高中数学：函数的基本知识点函数是高考数学中的重点内容，学习函数需要首先掌握函数的各个知识点，然后运用函数的各种*质来解决具体的问题。

小编为大家收集了“高中数学讲解：函数的基本知识点”，供大家参考，希望对大家有所帮助!1.函数的定义定义：设x和y是两个变量，d是实数集r的某个子集.如果对任何的x∈d，按照某种对应法则，变量y总有确定的值与之对应，则称变量y是定义在d上变量x的函数，记作y=f(x).称d为该函数的定义域，称x为自变，.y为因变量.当自变量x取数值xo∈d时，与xo对应的因变量y的值称为函数y=f(x)，当x取遍d的所有数值时，对应的变量y取值的全体组成的数集称为函数y二f(x)的值域.如果自变量在定义域内任取一个值时，对应的函数值只有一个，这种函数称为单值函数，否则称为多值函数.例如，y=3x+l是单值函数，而由方程x2+y2=1确定的函数y=士√1-x2就是多值函数.以后凡没有特别说明，本书所讨论的函数都是指单值函数.函数的表示法通常有三种，即表格法、图示法和公式法。

2.函数的两个基本要素由函数的定义知，确定函数的两个基本要素是定义域和对应法则.也就是说，两个函数只有当它们的定义域和对应法则完全相同时，两个函数才是相同的.3.函数的几种特*(1)有界*设函数y=f(x)的定义域为d，数集x∈d，如果存在正数m，使得对于任意的x∈x，都有不等式f(x)?≤m成立，则称了(x)在x上有界，如果这样的m不存在，则称函数在x上无界.(2)单调*.设函数y=f(x)在区向x上有定义.如果对于任意的x1,x2∈x，当x1<x2时，均有f(x1)(3)奇偶*设函数y=f(x)的定义域d是关于原点对称的，如果对于任意的x∈d，均有f(x)=f(一x)，则称.f(x)为偶函数;如果对于任意的x∈d，均有f(x)=-f(x)，则称了(x)为奇函数.(4)周期*设函数y.=f(x)，如果存在不为零的常数t,.使得对于任意x∈d均有x+t∈d，且f(x)=f(x+t)成立，则称函数y=f(x)为周期函数，称t为f(x)的一个周期。

1.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．2．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．【知识拓展】求函数定义域常见结论：(1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；(k∈Z)；(5)正切函数y＝tan x，x≠kπ＋π2(6)零次幂的底数不能为零；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．()(3)映射是特殊的函数．()(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．()1．函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为()A ．[32，＋∞)B ．(－∞，3)∪(3，＋∞)C ．[32，3)∪(3，＋∞)D ．(3，＋∞)2．(教材改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是()3．下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是()A ．y ＝(x ＋1)2B ．y ＝3x3＋1C ．y ＝x2x＋1D ．y ＝x2＋14．已知f (1x)＝x 2＋5x ，则f (x )＝________.5．已知函数f (x )＝2x ＋1，若f (a )＝5，则实数a 的值为________．题型一函数的概念例1有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝1(x ≥0)－1(x <0)表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个；③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则0))21((=f f 其中正确判断的序号是________．(1)下列所给图象是函数图象的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4(2)下列各组函数中，表示同一个函数的是()A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x (x )2题型二函数的定义域问题命题点1求函数的定义域例2(1)函数f(x)＝1－2x＋1x＋3的定义域为()A．(－3,0]B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0]D．(－∞，－3)∪(－3,1](2)若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝f(2x)x－1的定义域是________引申探究本例(2)中，若将“函数y＝f(x)的定义域为[0,2]”改为“函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]”，则函数g(x)＝f(2x)x－1的定义域为________________．命题点2已知函数的定义域求参数范围例3(1)若函数f (x )＝2221x ax a +--的定义域为R ，则a 的取值范围为________．(2)若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．(1)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为()A ．(－1,1)B ．(－1，－12)C ．(－1,0)D ．(12，1)(2)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是()A ．(0，34]B ．(0，34)C ．[0，34]D ．[0，34)题型三求函数解析式例4(1)已知函数f (x －1)＝11x ，则函数f (x )的解析式为.(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________.(3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x)·x －1，则f (x )＝________.(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式；(2)已知一次函数f (x )满足f (f (x ))＝4x －1，求f (x )；(3)已知f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，求f (x )．2．分类讨论思想在函数中的应用典例(1)已知实数a≠0，函数f(x)＝2x＋a，x<1，－x－2a，x≥1，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________________．(2)(2019·长春模拟)已知函数f(x)＝2x，x>0，x＋1，x≤0.若f(a)＋f(1)＝0，则实数a＝________.1．下列各组函数中，表示同一函数的是()A．y＝x2－9x－3与y＝x＋3B．y＝2x－1与y＝x－1C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z2．(2015·重庆)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是()A．[－3,1]B．(－3,1)C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)3．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为() A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2xC ．g (x )＝3x 2＋2xD ．g (x )＝－3x 2－2x4．(2015·陕西)设f (x )＝1－x ，x ≥0，2x，x ＜0，则f (f (－2))等于()A ．－1 B.14C.12D.325．(2016·安徽六校联考)已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为()A ．－2B ．2C ．－2或2D.2*6.(2016·唐山期末)已知f (x )＝(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(－1，12)C ．[－1，12)D ．(0，12)7．(2016·济南模拟)已知函数f(1－x1＋x)＝x，则f(2)＝________.8．设函数f(x)＝113e,1,,1,x xx x-⎧<⎪⎨⎪⎩≥则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________________．9．(2015·浙江)已知函数f(x)＝x＋2x－3，x≥1，lg(x2＋1)，x＜1，则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________．*10.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，下列关于高斯函数的说法正确的有________．①[－x ]＝－[x ]；②x －1<[x ]≤x ；③∀x ，y ∈R ，[x ]＋[y ]≤[x ＋y ]；④∀x ≥0，y ≥0，[xy ]≤[x ][y ]；⑤离实数x 最近的整数是－[－x ＋12]．11．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求函数f (x )的解析式．12．已知f(x)＝f(x＋1)，－2<x<0，2x＋1，0≤x＜2，x2－1，x≥2.(1)求f(－32)的值；(2)若f(a)＝4且a>0，求实数a的值．。

专题02 函数概念与基本初等函数
（新定义，高数观点，选填压轴题）
目录
一、函数及其表示 (1)
二、函数的基本性质 (2)
三、分段函数 (4)
四、函数的图象 (5)
五、二次函数 (7)
六、指对幂函数 (7)
七、函数与方程 (8)
八、新定义题 (9)
一、函数及其表示
二、函数的基本性质
三、分段函数
四、函数的图象．．
．．
2023春·广东韶关·高二统考期末）
e3
cosπ
e2
x
x
x
⎫
-⎛⎫
⋅+
⎪ ⎪
+⎝⎭
⎭
部分图象大致是（
．．
． ．
2023春·云南楚雄·高二统考期末）函数)32e e 1
x
x x =-的部分图象大致为（ ）
2023春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）下列四个函数中的某个函数在区间致图象如图所示，则该函数是（
A ．322x
x
x x
y --=+B ．cos222x
x
x x
y -=+5．（2023春·河北沧州·高二统考期中）函数． ．
． ．
2023·内蒙古赤峰·统考二模）函数2
1
sin x x -
在()π,0-
A．B．
C．D．
五、二次函数
六、指对幂函数
七、函数与方程
八、新定义题A．2
=-B．
4
y x x。

第10讲 函数的概念及其表示一、函数的概念1. 函数的概念：一般地，设,A B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈.其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}f x x A ∈叫做函数的值域.思考：值域(){}f x x A ∈与集合B 是什么关系？ 说明：①“,A B 是非空的实数集”.一方面强调了,A B 中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集．②函数的三要素：定义域、对应关系、值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； ③函数的“三性”：任意性、存在性、唯一性.2. 区间的概念 ①设a b <②符号“∞.3. 函数的表示方法①解析法 ；②图象法 ；③列表法. 题型一 函数的概念 例1.在下列从集合A 到集合B 的对应关系中，能确定y 是x 的函数的是（1）{}{},A x x Z B y y Z =∈=∈，对应法则:3xf x y →=； （2）{}{}0,,A x x x R B y y R =>∈=∈，对应法则2:3f x y x →=； （3）{}{},A x x R B y y R =∈=∈，对应法则22:25f x x y →+=； （4）,A R B R ==，对应法则2f x y x →=：；（5）{}{}11,,0A x x x R B =-≤≤∈=，对应法则:0f x y →=； （6）(){},,,A x y x R y R B R =∈∈=，对应法则():,f x y S x y →=+；（7）{}{}1,2,3,4,0,1A B ==，对应关系如图：例2.若函数()y f x =的定义域为[]2,2-，值域为[]0,2，则函数()y f x =的图象可能是( )例3.判断下列各组中的两个函数是否为同一函数.（1）()()()1,1x x f x g x x x-==-；（2）()()f x g x ==（3）()()222,2f x x x g t t t =-=-；（4）()()1,11,1,1x x f x x g x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩； （5）()()0,1f x x g x ==.例4.已知函数()()21,f x x x g x x=-=. （1）分别求下列函数值：①()2f = . ②13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ③()f a = .④()21f a -= . ⑤2g t ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ⑥()2g t = .⑦()()2f g = . ⑧12g f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ . ⑨2f g t ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）若()2f a =，则a = .题型二 函数的定义域 例5.求下列函数的定义域.（1）()()2xf x x x =+（2）()f x =（3）()f x =（4）()()1x f x x x+=-例6.(1) 已知函数()y f x =的定义域为[]1,2，求函数()21y f x =+的定义域； (2) 已知函数()21y f x =+的定义域为[]3,6，求函数()y f x =的定义域； (3) 已知函数()21y f x =+的定义域为[]1,3-，求函数()21y f x =-的定义域；(4) 已知函数()1y f x =+的定义域为[)3,7，求函数()2y f x =的定义域；(5) 若函数()y f x =的定义域为[]2,1-，求函数()()()2252f xg x f x x +=++-的定义域.题型三 函数解析式 例7.(1) 已知函数()y f x =为一次函数，满足()()12,20f f ==，求()f x 的解析式； (2) 已知函数()y f x =为一次函数，且()43f f x x =-⎡⎤⎣⎦，求()f x 的解析式. 例8.(1) 已知()2123f x x x -=--，求()f x 的解析式；(2) 已知)1fx =+()f x 的解析式；(3) 已知2211f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，求()f x 的解析式.例9.(1) 已知()()()()223,3f x g x x x f x g x x x +=-+-=-+，求()f x 的解析式；(2) 已知函数()y f x =满足()()243f x f x x +-=-，求()f x 的解析式；(3) 已知函数()y f x =满足()1132f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()f x 的解析式.题型四 函数值域 例10.求下列函数的值域：(1)()[]225,1,2f x x x x =-+∈- (2)()25243f x x x =-+(3)()[]21,2,52x f x x x -=∈+ (4)()()21,1,1x f x x x +=∈+∞-(5)()2221=1x f x x -+(6)()2f x =(7)()(]2,1,3f x x x =∈- (8)()2f x x =+-例11. 求下列函数的值域.（1）()212x f x x x +=-+(2)()2254,01x x f x x x ++=>+(3)()[)22231,2,1x x f x x x x ++=∈+∞++ (4)()2224723x x f x x x +-=++题型五 分段函数 例12.(1) 若函数()21,03,0x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩，则()()2f f = . (2) 已知()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，若()3f a =，则a = . (3) 已知()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()()1f x f >的解集是 .例13. 把下列函数写成分段函数的形式，并画出其图像.（1）()=2f x x - (2)()21f x x =-(3)()223f x x x =-- (4)()223f x x x =--跟踪训练1. 下列各图像中，是函数图像的是( )2. 函数()y f x =的定义域为[]1,5-，则函数()y f x =的图象与直线1x =的交点个数为( )A.0B.1C.2D. 0个或1个均有可能3. 函数()f x =( )A.(],1-∞B.(),1-∞C.[)1,+∞D. ()1,+∞4. 已知()22,1,122,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是( )A.1B.1或32C.1或32或5. 若函数()y f x =的定义域是[]0,2，则()()21f xg x x =-的定义域是( )A.[]0,1B.[)0,1C.[)(]0,11,4D.()0,16. 已知函数()1y f x =+的定义域是[]2,3-，则()21y f x =-的定义域为( ) A.50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.[]1,4-C.[]5,5-D.[]3,7-7. 已知111xf x x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则()1f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A.11xx-+ B.1xC.1D. 08. 已知()21,02,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()10f a =，则a = .9. 已知()()2,106,10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎡⎤⎪⎣⎦⎩，则()5f = .10. 函数(),21,243,4x x f x x x x x ≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩，若()()3f a f <-，则a 的取值范围是 .11. 已知函数()y f x =满足111f x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()f x 的解析式是 .12. 已知函数()f x R ，求实数m 的取值范围.13. 求下列函数的值域：(1)()211f x x =+； (2)()322x f x x +=-； (3)()f x(4)()2211x x f x x ++=+； (5)()2f x x =- (6)()222251x x f x x x ++=++14. 画出下列函数的图像：(1)()2211x x f x x -=-； (2)()[)[]21,1,01,0,1x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩； (3)()221f x x x =-+。