西华师范大学数学与信息学院数学与应用数学专业2011级《概率论基础》试题
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西华师范大学数学分析(2)期末试题课程名称数学分析(Ⅱ)适用时间试卷类别1适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题(每小题3分,3×6=18分)1、下列级数中条件收敛的是().A .1(1)nn ∞=−∑B .nn ∞=C .21(1)nn n∞=−∑D .11(1)nn n ∞=+∑2、若f 是(,)−∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数,则f 的傅里叶(Fourier )级数在它的间断点x 处().A .收敛于()f xB .收敛于1((0)(0))2f x f x −++C .发散D .可能收敛也可能发散3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是().A .有界B .连续C .单调D .存在原函数4、设()f x 的一个原函数为ln x ,则()f x ′=()A .1xB .ln x xC .21x −D .xe5、已知反常积分20 (0)1dxk kx +∞>+∫收敛于1,则k =()A .2πB .22πC .2D .24π6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n nx x x x −−+−+−+⋯⋯收敛,则()A .x e<B .x e>C .x 为任意实数D .1e x e−<<二、填空题(每小题3分,3×6=18分)1、已知幂级数1nn n a x∞=∑在2x =处条件收敛,则它的收敛半径为.2、若数项级数1n n u ∞=∑的第n 个部分和21n nS n =+,则其通项n u =,和S =.3、曲线1y x=与直线1x =,2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为.4、已知由定积分的换元积分法可得,10()()bxxaef e dx f x dx =∫∫,则a =,b =.5、数集(1)1, 2 , 3, 1nn n n ⎧⎫−=⎨⎬+⎩⎭⋯的聚点为.6、函数2()x f x e =的麦克劳林(Maclaurin )展开式为.65三、计算题(每小题6分,6×5=30分)1、(1)dxx x +∫.2、2ln x x dx ∫.3、 0(0)dx a >∫.4、 2 0cos limsin xx t dt x→∫.5、dx ∫.四、解答题(第1小题6分,第2、3小题各8分,共22分)1、讨论函数项级数21sin n nxn ∞=∑在区间(,)−∞+∞上的一致收敛性.2、求幂级数1nn x n ∞=∑的收敛域以及收敛区间内的和函数.3、设()f x x =,将f 在(,)ππ−上展为傅里叶(Fourier )级数.五、证明题(每小题6分,6×2=12分)1、已知级数1nn a∞=∑与1nn c∞=∑都收敛,且, 1, 2, 3 n n n a b c n ≤≤=⋯,证明:级数1nn b∞=∑也收敛.2、证明:22 00sin cos nn x dx x dx ππ=∫∫.66试题参考答案与评分标准课程名称数学分析(Ⅱ)适用时间试卷类别1适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题(每小题3分,3×6=18分)⒈B⒉B⒊A⒋C⒌D⒍D二、填空题(每小题3分,3×6=18分)⒈2⒉2, =2(1)n u S n n =+⒊ln 2⒋1, a b e ==⒌1±⒍201, (,)!nn x x n ∞=∈−∞+∞∑三、计算题(每小题6分,6×5=30分)1.解111(1)1x x x x=−++∵1(1)dxx x ∴+∫(3分)11(1dxx x=−+∫ ln ln 1.x x C =−++(3分)2.解由分部积分公式得231ln ln 3x xdx xdx =∫∫3311ln ln 33x x x d x =−∫(3分)33111ln 33x x x dx x =−⋅∫3211ln 33x x x dx =−∫3311ln 39x x x C =−+(3分)3.解令sin , [0, ]2x a t t π=∈由定积分的换元积分公式,得0∫2220cos atdtπ=∫(3分)6768220(1cos 2)2a t dtπ=+∫221(sin 2)22a t t π=+2.4a π=(3分)4.解由洛必达(L 'Hospital)法则得200cos limsin xx tdtx →∫20cos x x →=4分)lim cos x x→=1=(2分)5.解=(2分)20 sin cos x x dxπ=−∫4204(cos sin ) (sin cos )x x dx x x dx πππ=−+−∫∫(2分)244(sin cos )(sin cos )x x x x πππ=+−+2.=−(2分)四、解答题(第1小题6分,第2、3小题各8分,共22分)1.解(, ), x n ∀∈−∞∞∀+(正整数)22sin nx n n ≤(3分)而级数211n n ∞=∑收敛,故由M 判别法知,21sin n nxn ∞=∑在区间(,)−∞+∞上一致收敛.(3分)2.解幂级数1nn x n∞=∑的收敛半径111lim nn R n→∞==,收敛区间为(1,1)−.(2分)易知1nn x n ∞=∑在1x =−处收敛,而在1x =发散,故1nn x n∞=∑的收敛域为[1,1)−.(2分)01, (1, 1)1n n x x x ∞==∈−−∑(2分)逐项求积分可得0001, (1,1)1xx nn dt t dt x t ∞==∈−−∑∫∫.即101ln(1), (1,1).1n nn n x x x x n n+∞∞==−−==∈−+∑∑(2分)3.解函数f 及其周期延拓后的图形如下函数f 显然是按段光滑的,故由收敛性定理知它可以展开为Fourier 级数。
华中师范大学职业与继续教育学院 《概率论基础》练习题库答案填空题(含答案)1.设随机变量ξ的密度函数为p(x), 则 p(x) ≥0;∫∞∞−dx x p )(= 1 ;E ξ=∫∞∞−dx x xp )(。
考查第三章2.设A,B,C 为三个事件,则A,B,C 至少有一个发生可表示为:C B A !!;A,C 发生而B 不发生可表示CB A ;A,B,C 恰有一个发生可表示为:C B A C B A C B A ++。
考查第一章3.设随机变量)1,0(~N ξ,其概率密度函数为)(0x ϕ,分布函数为)(0x Φ,则)0(0ϕ等于π21,)0(0Φ等于 0.5 。
考查第三章 4.设随机变量ξ具有分布P{ξ=k}=51,k=1,2,3,4,5,则E ξ= 3 ,D ξ= 2 。
考查第五章5.已知随机变量X,Y 的相关系数为XY r ,若U=aX+b,V=cY+d, 其中ac>0. 则U,V 的相关系数等于 XY r 。
考查第五章6.设),(~2σµN X,用车贝晓夫不等式估计:≥<−)|(|σµk X P 211k−考查第五章7.设随机变量ξ的概率函数为P{ξ=i x }=i p,...,2,1=i 则 i p ≥ 0 ;∑∞=1i i p =1 ;E ξ=∑∞=1i iip x 。
考查第一章8.设A,B,C 为三个事件,则A,B,C 都发生可表示为:ABC ;A 发生而B,C 不发生可表示为:C B A ;A,B,C 恰有一个发生可表示为:C B A C B A C B A ++。
考查第一章9.)4,5(~N X ,)()(c X P c X P <=>,则=c 5 。
考查第三章10.设随机变量ξ在[1,6]上服从均匀分布,则方程012=++x x ξ有实根的概率为45。
考查第三章 较难 11.若随机变量X,Y 的相关系数为XY r ,U=2X+1,V=5Y+10 则U,V 的相关系数=XY r 。
西华师范大学数学分析-1样题(一)一.(8分)用数列极限的N ε−定义证明1n =.二.(8分)设有复合函数[()]f g x ,满足:(1)lim ()x ag x b →=;(2)0()x U a ∀∈,有0()()g x U b ∈(3)lim ()u bf u A→=用εδ−定义证明,lim [()]x af g x A →=.三.(10分)证明数列{}n x :cos1cos 2cos 1223(1)n nx n n =+++⋅⋅⋅+⋯收敛.四.(12分)证明函数1()f x x=在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续.五.(12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界.六.(10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点.七.(12分)确定,a b 使lim )0x ax b →+∞−−=.八.(14分)求函数32()2912f x x x x =−+在15[,42−的最大值与最小值.九.(14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导,()()0f a f b ′′==.证明存在(,)a b ξ∈,使24()()()()f f b f a b a ζ′′≥−−.一.(10分)设数列{}n a 满足:1a =,1()n a n N +=∈,其中a 是一给定的正常数,证明{}n a 收敛,并求其极限.二.(10分)设0lim ()0x x f x b →=≠,用εδ−定义证明011lim()x x f x b→=.三.(10分)设0n a >,且1lim1nn n a l a →∞+=>,证明lim 0n n a →∞=.四.(10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续⇔()f x 在(,)a b 连续,且lim ()x a f x +→,lim ()x bf x −→存在有限.五.(12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理.六.(12分)证明:若函数在连续,且()0f a ≠,而函数2[()]f x 在a 可导,则函数()f x 在a 可导.七.(12分)求函数()1f x x x ααα=−+−在的最大值,其中01α<<.八.(12分)设f 在上是凸函数,且在(,)a b 可微,则对任意1x ,2x (,)a b ∈,12x x <,都有12()()f x f x ′′≤.九.(12分)设(),0()0,0g x x f x x x ⎧ ≠⎪=⎨⎪ =⎩且(0)(0)0g g ′==,(0)3g ′′=,求(0)f ′.一.(各5分,共20分)求下列不定积分与定积分:1.arctan x x dx∫ 2.xe dx−∫3.ln 0∫4.20sin 1cos x xdxxπ+∫二.(10分)设()f x 是上的非负连续函数,()0baf x dx =∫.证明()0f x =([,])x a b ∈.三.(10分)证明20sin 0xdx xπ>∫.四.(15分)证明函数级数0(1)n n x x ∞=−∑在不一致收敛,在[0,]δ(其中)一致收敛.五.(10分)将函数,0(),0x x f x x x ππππ+ ≤≤⎧=⎨− <≤⎩展成傅立叶级数.六.(10分)设2222sin 0(,)0,0xy x y f x y x y ⎧ +≠⎪=⎨⎪ +=⎩证明:(1)(0,0)x f ′,(0,0)y f ′存在;(2)(,)x f x y ′,(,)y f x y ′在(0,0)不连续;(3)(,)f x y 在(0,0)可微.七.(10分)用钢板制造容积为V 的无盖长方形水箱,怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板?八.(15分)设01σ<<,证明111(1)n n n σσ∞=<+∑.一.(各5分,共20分)求下列不定积分与定积分:1.(0)a >2.1172815714x x dxx x++∫3.1arcsin x dx∫4.1000π∫二.(各5分,共10分)求下列数列与函数极限:1.221lim nn k nn k→∞=+∑ 2.20lim1xt xx xe dte →−∫三.(10分)设函数在[,]a b 连续,对任意[,]a b 上的连续函数()g x ,()()0g a g b ==,有()()0baf xg x dx =∫.证明()0f x =([,])x a b ∈.四.(15分)定义[0,1]上的函数列2212,211()22211n n x x n f x n n x x n n x n ⎧ , 0≤≤⎪⎪⎪=− , <≤⎨⎪⎪0 , ≤⎪⎩证明{()}n f x 在[0,1]不一致收敛.五.(10分)求幂级数0(1)n n n x ∞=+∑的和函数.六.(10分)用εδ−定义证明2(,)(2,1)lim (43)19x y x y →+=.七.(12分)求函数22(2)(2)(0)u ax x by y ab =−− ≠的极值.八.(13分)设正项级数1n n a ∞=∑收敛,且1()n n a a n N ++≥ ∈.证明lim 0n n na →∞=.一(10分)证明方程11(, )0F x zy y zx −−++=所确定的隐函数(, )z z x y =满足方程.z zxy z xy x y∂∂+=−∂∂二(10分)设n 个正数12, , , n x x x ⋯之和是a,求函数u =的最大值.三(14分)设无穷积分() af x dx +∞∫收敛,函数()f x 在[, )a +∞单调,证明1()() ().f x o x x=→+∞四(10分)求函数1220() ln() F y x y dx =+∫的导数(0).y >五(14分)计算0sin sin (0, ).pxbx axI e dx p b a x+∞−−=>>∫六(10分)求半径为a 的球面的面积S .七(10分)求六个平面111111122222223333333 ,, = 0 , , a x b y c z h a b c a x b y c z h a b c a x b y c z h a b c ++=±⎧⎪++=±∆≠⎨⎪++=±⎩所围的平行六面体V 的体积I ,其中, , , i i i i a b c h 都是常数,且0 (1, 2, 3).i h i >=八(12分)求22Cxdy ydxx y−+∫�,其中C 是光滑的不通过原点的正向闭曲线.九(10分)求dS z∑∫∫,其中∑是球面2222x y z a ++=被平面 (0)z h h a =<<所截的顶部.数学分析-3样题(二)一(10分)求曲面2233, , x u v y u v z u v =+=+=+在点(0, 2)对应曲面上的点的切平面与法线方程.二(10分)求在两个曲面2221x xy y z −+−=与221x y +=交线上到原点最近的点.三(14分)设函数()f x 在[1, )+∞单调减少,且lim ()0x f x →+∞=,证明无穷积分1() f x dx +∞∫与级数1001()n f n =∑同时收敛或同时发散.四(12分)证明ln (0).ax bx e e bdx a b x a−−+∞−=<<∫五(12分)设函数()f x 在[, ]a A 连续,证明 [, ]x a A ∀∈,有01lim [()()] ()().xa h f t h f t dt f x f a h→+−=−∫六(10分)求椭圆区域221112221221: ()() 1 (0)R a x b y c a x b y c a b a b +++++≤−≠的面积A .七(10分)设222()() VF t f x y z dx dy dz =++∫∫∫,其中2222: (0)V x y z t t ++≤≥,f 是连续函数,求'()F t .八(10分)应用曲线积分求(2sin )(cos )x y dx x y dy ++的原函数.九(12分)计算 Sxyz dx dy ∫∫,其中S 是球面2221x y z ++=在0, 0x y ≥≥部分并取球面外侧.。
西华学院考试真题试卷一、选择题(每题2分,共20分)1. 以下哪个选项是西华学院的校训?A. 厚德载物,自强不息B. 博学之,审问之,慎思之,明辨之,笃行之C. 求实创新,团结协作D. 知行合一,止于至善2. 西华学院的校庆日是每年的哪一天?A. 5月1日B. 10月1日C. 11月11日D. 12月31日3. 西华学院的图书馆藏书量大约是多少?A. 20万册B. 50万册C. 100万册D. 200万册4. 下列哪项不是西华学院提供的专业课程?A. 计算机科学与技术B. 经济学C. 航空航天工程D. 法学5. 西华学院的学生会组织名称是什么?A. 学生联合会C. 学生自治会D. 学生社团联合会6. 西华学院的校徽中包含哪种元素?A. 书籍B. 火炬C. 翅膀D. 地球7. 西华学院的校歌名称是什么?A. 《西华之歌》B. 《青春之歌》C. 《梦想启航》D. 《扬帆远航》8. 西华学院的校园占地面积大约是多少?A. 200亩B. 500亩C. 1000亩D. 2000亩9. 西华学院的校史馆位于校园的哪个位置?A. 东门附近B. 西门附近C. 南门附近D. 北门附近10. 下列哪项不是西华学院的校园文化活动?A. 学术讲座B. 体育竞赛D. 军事训练二、填空题(每空1分,共10分)11. 西华学院的校训是“________”,体现了学院对学生的________和________的期望。
12. 西华学院的校园内有________个学生食堂,提供多样化的饮食选择。
13. 西华学院的校庆日是每年的________,这一天学院会举行________等活动。
14. 西华学院的图书馆藏书量丰富,其中包括________、________、________等各类书籍。
15. 西华学院的校园内有________个运动场地,包括篮球场、足球场、排球场等。
三、简答题(每题10分,共20分)16. 请简述西华学院的办学理念。
.试题一一、选择题(每题有且仅有一个正确答案,每题2分,共20分) 1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是( )。
A. A,B 互不相容B. A,B 相互独立C.A ⊂BD. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次,用X 表示两次点数之和,则X =3的概率为( )A. 1/2B. 1/12C. 1/18D. 1/93、某人进行射击,设射击的命中率为0.2,独立射击100次,则至少击中9次的概率为( )A.919910098.02.0CB.i i i i C-=∑100100910098.02.0C.ii i i C-=∑1001001010098.02.0 D.i i i i C-=∑-100910098.02.014、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ,则)()31253(321=++X X X EA. 0B. 25.5C. 26.5D. 95、设样本521,,,X X X 来自N (0,1),常数c 为以下何值时,统计量25242321XX X X X c +++⋅服从t 分布。
( )A. 0B. 1C. 26D. -16、设X ~)3,14(N ,则其概率密度为( )A.6)14(261--x e πB.32)14(261--x eπC.6)14(2321--x eπD.23)14(261--x eπ7、321,,X X X 为总体),(2σμN 的样本, 下列哪一项是μ的无偏估计()A.3212110351X X X ++ B. 321416131X X X ++ C. 3211252131X X X ++ D. 321613131X X X ++ 8 、设离散型随机变量X 的分布列为X123.PC 1/4 1/8则常数C 为( )(A )0 (B )3/8 (C )5/8 (D )-3/89 、设随机变量X ~N(4,25), X1、X2、X3…Xn 是来自总体X 的一个样本,则样本均值X近似的服从( )(A ) N (4,25) (B )N (4,25/n ) (C ) N (0,1) (D )N (0,25/n ) 10、对正态总体的数学期望进行假设检验,如果在显著水平a=0.05下,拒绝假设00μμ=:H ,则在显著水平a=0.01下,( )A. 必接受0HB. 可能接受,也可能拒绝0HC. 必拒绝0HD. 不接受,也不拒绝0H 二、填空题(每空1.5分,共15分)1、A, B, C 为任意三个事件,则A ,B ,C 至少有一个事件发生表示为:_________;2、甲乙两人各自去破译密码,设它们各自能破译的概率为0.8,0.6,则密码能被破译的概率为_________;3、已知分布函数F(x)= A + Barctgx )(+∞<<-∞x ,则A =___,B =____;4、随机变量X 的分布律为k C k XP )31()(==,k =1,2,3, 则C=_______;5、设X ~b (n,p )。
第一章 事件与概率1、解:(1) P {只订购A 的}=P{A(B ∪C)}=P(A)-{P(AB)+P(AC)-P(ABC)}=0.45-0.1.-0.08+0.03=0.30.(2) P {只订购A 及B 的}=P{AB}-C }=P(AB)-P(ABC)=0.10-0.03=0.07(3) P {只订购A 的}=0.30,P {只订购B 的}=P{B-(A ∪C)}=0.35-(0.10+0.05-0.03)=0.23.P {只订购C 的}=P{C-(A ∪B )}=0.30-(0.05+0.08-0.03)=0.20.∴P {只订购一种报纸的}=P{只订购A}+P{只订购B}+P{只订购C}=0.30+0.23+0.20=0.73.(4) P{正好订购两种报纸的}=P{(AB-C) ∪(AC-B) ∪(BC-A)}=P(AB-ABC)+P(AC-ABC)+P(BC-ABC)=(0.1-0.03)+(0.08-0.03)+.(0.05-0.03)=0.07+0.05+0.02=0.14.(5) P {至少订购一种报纸的}= P {只订一种的}+ P {恰订两种的}+ P {恰订三种的} =0.73+0.14+0.03=0.90.(6) P {不订任何报纸的}=1-0.90=0.10.A C AB A ABC A BC A ⊃⊃⇒⊂⊃⇒=且显然)(2、解:(1)ABC ,若A 发生,则B 与C 必同时发生。
(2),B 发生或C 发生,均导致A 发生。
A C ⊂⊂⇒⊂⇒=且AB AC B A C B A ∪∪∪(3)与B 同时发生必导致C 发生。
A C AB ⇒⊂C B A BC A ∪⊂⇒⊂,A 发生,则B 与C 至少有一不发生。
(4)n A A A ∪ ∪∪21)()(11121−−−−++−+=n n A A A A A A 3、解:121121−+++n n A A A A A A A . (或)=C AB 4、解:(1)={抽到的是男同学,又不爱唱歌,又不是运动员};C B A ={抽到的是男同学,又爱唱歌,又是运动员}。
线O订O 2 .一袋中装有5只球,编号为1 , 2, 3, 4, 5.在袋中同时取3只,最大号码为4的概率是0.33•设随机变量X服从泊松分布,且P(X 1)P(X 2),则P(X 4) -e2.3 —X 1 0 34. 设随机变量服从,则E(X)P 0.7 0.2 0.1 -_-0.4 ,D(X) 1.44 .5. 若X ~ N(3,9),则P{| X | 6} = ___________ 1 3 1(用标准正态分布函数表示).1x26. 设随机变量X的密度函数为f(x) ke x, 则0 x 0k 0.5 ,P(X 2) 0 .雪夫不等式有P(X2425令Z max X,Y,则P Z 1 (1 1A.丄B. —4 2C.3、如果X和Y满足D X YA. X与Y独立B.C. D Y 0D.D. 1D X Y,则必有(BX与Y不相关4、设1,2,2,3,4为来自均匀分布总体U (0,)的样本值,则未知参00______ 专业 ______ 级《概率统计》期末试卷(A考试形式:(闭卷) 考试时间—监考老师:一、填空题(共20分,每小题2分)1•设P(A) 0.6,P(B) 0.7, A,B独立,则P(BA)0.28 .8.设n A是n次独立试验中事件A发生的次数,p为A在每次试验中发生的概率,则对任意的0,有lim P —p 0n n9 •若总体X ~ N(0, 2),X1,X2, ,X6是来自X的样本,令统计量1Y (X1 X2 X3)2(X4 X5 X6)22,则当c _2 .2 时,cY服从3华中师范大学2010--2011学年第一学期、选择题(共10分,每小题2 分)1、设随机变量X在2,4上服从均匀分布,则P 3 X 4(B )A. P 1.5 X 2.5B. P 2.25 X 3.25C. P 3.5 X 4.5D. P 4.5 X 5.52、设相互独立的随机变量X,Y具有同一分布,且X的分布律为10. 设 总体X 的均值已知,方 差2未知. X 1 ,X 2,,X n 为来自 X 的一个样本,?2Cin (X i2 21)为的无偏估计,则C = __ -A. 1.2B. -1C. 4D. 2.4 5、设总体X ~ ( ,2),,2均未知,现从中抽取容量为n 的样本,X,S 2分别为样本均值和样本方差,则 的置信水平为1的置信区间为( A )— S — S A.(X t n 1),X t 皿n 1))v'n I nB.(XS z.n/2(n S/2(n 1))1),Xz.nC.(X ——t .n /2(n1),Xt ■-: nD. (X——z ..n/2(n1),Xz..n/2(n1))1 A 1f Z zf X h z h z2/2(n 1))所以X Z~ N 0,1解:A 表示该学生被录取,B 1表示该生报考普通高中, B 2表示该生报考中专,B 3表示该生报考职业高中(1) 3P A P B i P A B i0.865i 1试求:(1)D X ,D Y ,cov X,YP B 1A PB 1PA B 10.7283解:(1) X 与Y 的边缘分布律分别为(2)P AX1 0 1 (5分)P 壬 2 38 8 813-80 2-83 - 00 Y P常数A2、证明题: 若随机变量X ~ N ,2,则ZX --- N 0,1 .…X解法一:Z——的分布函数为X1xP Z xP -x P Xxe<2(5分)令xU ,得1xu 2P Z xe 2dux2所以ZX~ N 0,1(5分)解法二:令g xx5则E X E YE XY 0EX 2 EY 2686D XD Y— t 2822dt( 3 分)cov X,YE XY E X E Y 0(3 分)(2)cov X,Y 0,从而 XY所以X 与Y 不相关.又 P{ X1,Y1} P{X1} P{Y 1},故二者不独立。
试卷一一、填空(每小题2分,共10分)1.设是三个随机事件,则至少发生两个可表示为______________________。
2. 掷一颗骰子,表示“出现奇数点”,表示“点数不大于3”,则表示______________________。
3.已知互斥的两个事件满足,则___________。
4.设为两个随机事件,,,则___________。
5.设是三个随机事件,,,、,则至少发生一个的概率为___________。
二、单项选择(每小题的四个选项中只有一个是正确答案,请将正确答案的番号填在括号内。
每小题2分,共20分)1. 从装有2只红球,2只白球的袋中任取两球,记“取到2只白球”,则()。
(A) 取到2只红球(B) 取到1只白球(C) 没有取到白球(D) 至少取到1只红球2.对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为()。
(A) 随机事件(B) 必然事件(C) 不可能事件(D) 样本空间3. 设A、B为随机事件,则()。
(A) A (B) B(C) AB(D) φ4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件,则下列结论中肯定正确的是()。
(A) 与互斥(B) 与不互斥(C) (D)5. 设为两随机事件,且,则下列式子正确的是()。
(A) (B)(C) (D)6. 设相互独立,则()。
(A) (B)(C) (D)7.设是三个随机事件,且有,则()。
(A) 0.1 (B) 0.6(C) 0.8 (D) 0.78. 进行一系列独立的试验,每次试验成功的概率为p,则在成功2次之前已经失败3次的概率为()。
(A) p2(1–p)3 (B) 4 p (1–p)3(C) 5 p2(1–p)3(D) 4 p2(1–p)39. 设A、B为两随机事件,且,则下列式子正确的是()。
(A) (B)(C) (D)10. 设事件A与B同时发生时,事件C一定发生,则()。
(A) P(A B) = P (C) (B) P (A) + P (B) –P (C) ≤1(C) P (A) + P (B) –P (C) ≥1 (D) P (A) + P (B) ≤P (C)三、计算与应用题(每小题8分,共64分)1. 袋中装有5个白球,3个黑球。
概率论基础复习资料训练题选:1、设A ,B ,C 为三个事件,则A 、B 、C 至少有一个发生可表示为?2、设A ,B ,C 为三个事件,则A 、B 、C 都不发生可表示为?3、设事件A 的概率为31)(=A P ,事件B 的概率为21)(=B P ,且41)(=AB P ,求.)(B A P 4、设41)(=A P ,31)(=A B P ,21)(=B A P ,求)(B A P . 5、某人射击三次,以)3,2,1(=n A n 表示事件“第n 次射击时击中目标”,,试用)3,2,1(=n A n 表示事件“至多击中目标一次”。
6、甲、乙两个班级进行篮球比赛,设事件A=“甲胜”,则事件A 表示什么事件?7、某人打靶的命中率为0.8,现独立的射击5次,求5次射击中恰有3次命中的概率。
8、设某盒子中有24个球,现随机抽取一上是红球的概率是25.0,求盒子中红球的数量。
9、盒中有3红2白共5个球,从中任取2个球,则取到两个同色球的概率是多少?10、设在随机试验中事件A 的概率为61)(=A P ,求在6次独立重复试验中,事件A 出现的2次的概率11、设随机变量设)4,1(~N X ,已知设6915.0)5.0(=Φ,计算)21(≤≤X P12、某篮球运动员投篮命中率为0.8,求其两次投篮没有全中的概率13、若A 与B 相互独立,43)(=A P ,41)(=AB P ,求)(B P 14、在1,2,3,4,5,6,7,8,9,10共十个不同的号码中随机地不放回抽取一个号码,求第三次抽取时恰好抽到8号球的概率是多少?15、从1,2,3,4,5中任取3个数字,计算则三个数字中不含1的概率。
16、盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个乒乓球,现随机地从中取出5个球,求取到的五个乒乓球中最大号码为7的概率,最小号码为7的概率。
17、已知随机变量X 只能取值-1,0,1,2四个数值,其相应的概率为设cc c c 162,85,43,21,求常数C 18、设随机变量X 服从正态分布,即X ~),(2οu N ,计算⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-0οu X P 13、设随机变量X 服从区间]1,0[上的均匀分布,即X ~]1,0[U ,计算()1≤X P20、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布,即X ~)3(P ,求)2(≤X P21、设X 服从[]41,上的均匀分布,求)53(<<X P 22、设随机变量X,Y 相互独立,且()16,0.5X B ,Y 服从参数为9的泊松分布,求)12(+-Y X D 23、设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=e x e x x x x F 11ln 10)(,求概率密度)(x f24、设设随机变量X 服从区间)1,0(上的均匀分布,即:X ~)1,0(U ,其密度函数为25、⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它1001)(x x f X ,分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=110010)(x x x x x F X求随机变量12+=X Y 的密度函数)(y f Y26、设随机变量X 服从正态分布)4,5.1(N 8413.0)1(=Φ,,试求(1) )5.3(<X P ; (2))5.35.1(<<X P27设随机变量Y 与X 的关系是12+=X Y ,且X 的方差是3,求Y 的方差28、设X 与Y 是两个随机变量,4)(,3)(==x D X E ,计算下列各题:(1))32(Y X E + (2))32(Y X D +29、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布,计算)(2X E30、设随机变量X 与Y 相互独立,且{}{}111,123P X P Y ≤=≤=, 计算)1,1(≤≤Y X P31、设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,即X ~)(λE ,其密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=-其它001)(x e x f x λλ,则计算)12(+X E 与)12(-X D 32、设离散型二维随机变量()Y X ,相互独立,且31)3(==X P ,41)4(==Y P ,计算)4,3(==Y X P 。
()0.5,()0.4,
(|)0.8,()P A P B P B A P A B ====则(1,2),31X N Y X =+则min{(),()}P A P B =2(),X P EX λ=则()25,()36,(,)12,()Var X Var Y Cov X Y Var X Y ===+=已知则()Var X Y -=(2,6)X U 设0.5x =2(3,2),()(),X N P X c P X c c >=<=设且则()3(1,2,),=k P X k k ββ===则西华师范大学学生试卷
数学与信息学院数学与应用数学专业2011级 《概率论基础》 试题 A 卷
闭卷考试 时间 120 分钟
注意事项: 1、满分: 100分 保持卷面整洁,否则扣卷面2分。
2、交卷时请将试题卷与答题卷一起交,否则扣分。
3、学生必须将姓名、班级、学号完整填写在规定的密封栏内,否则视为废卷。
4、学生必须签到,否则出现遗漏由学生本人负责。
一 、填空题(每小题3分,共30分)
1 、设 .
2 、设 .
3 、若事件A 与B 相互独立且互不相容,则 .
4 、设 .
5 、假设在20张彩票中有5张奖券,则第3个人摸到彩票的概率为 .
6 、 . .
7 、 ,则该分布的中位数 .
8 、 .
9 、假设离散型随机变量X 的分布列为 .
34(0,0),(0)(0)77
P X Y P Y P Y ≥≥=≥=≥={max(,)0}P X Y ≥=B A
⊂()()P A B P A =()()P AB P A =(|)()P B A P B =()()()P B A P B P A -=-(2,4),(1,9)X N Y N 设21Z X Y =-+(1,22)N (1,40)N (2,22)N (2,40)N 22112212(,)(,)(||1)(||1)X N Y N P X P Y μσμσμμ-<>-<设,且,则有12σσ<12σσ>12μμ>12μμ<()()()Var X Y Var X Var Y +=+(,)0Cov X Y =()()()E XY E X E Y =(01)p p <<23(1)p p -26(1)p p -223(1)p p -226(1)p p -10 、设X ,Y 为两个随机变量,且 , 则
.
二 、选择题(每小题2分,共10分)
1 、设A ,B 为任意两个事件,且 ,则必有( ) A . B .
C .
D .
2 、 ,且X 与Y 相互独立,则 ( )
A .
B .
C .
D .
3 、 ( )
A .
B .
C .
D .
4 、与
不等价的命题为( ) A . B . X 与Y 不相关
C . X 与Y 独立
D .
5 、某人向同一目标独立重复射击,每次集中目标的概率为 ,则此人
第四次射击恰好第2次命中目标的概率为( )
A .
B .
C .
D .
2,02()0 , kx x p x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他
(0.51)P X <<3Y X =
三 、计算题(每小题10分,共10分)
假设在某批产品中,甲、乙、丙三个厂生产的产品分别占45%、35%、20%,各厂产品的次品率分别为4%、2%、5%,现从这批产品中任取一件,
(1) 求取到的是次品的概率;
(2) 如果已知取出的产品是次品,求该产品是甲厂生产的概率.
四 、计算题(每小题10分,共10分)
假设随机变量X 的概率密度函数为 (1) 确定常数k ;
(2) 求 ;
(3) 求 的概率密度函数.
五 、计算题(每小题10分,共10分)
甲、乙两队进行一场排球比赛,根据以往经验,在单局比赛中,甲队战胜乙队的概率为0.6。
本场比赛采用五局三胜制,即先胜三局的队获胜,此时,比赛结束。
假设各局比赛相互之间没有影响,令随机变量X 为本场比赛进行的局数,求X 的分布列和它的数学期望EX .
1234,,,X X X X (0)0.6,(1)0.4i i P X P X ====1234
1,2,3,4,X X i X X X ==求行列式2 , 0<y<x<1(,) 0 , ky p x y ⎧⎪=⎨⎪⎩其他
()2
X p Y <(),()X Y p x p y ()()E X E XY 和
六 、计算题(每小题15分,共15分)
设离散型随机变量 独立同分布, ,
的分布列.
七 、计算题(每小题15分,共15分)
设(X ,Y )的联合概率密度函数为
(1)确定常数k
(2)求 (3)求X 与Y 的边际密度函数 ,并判断X 与Y 是否相互独立(请说明理由)
(4)求。