2016-2017学年江西省上饶市高二上学期期末考试理数试卷(带解析)

江西省上饶市高二上学期期末统考（数学理）一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分．在每题所给的四个选项中，只有一个是正确的） 1．32n2n 5C C ⋅=A ．20B ． 15C ． 60D ．102．5名运动员进行3项体育运动比赛，每项只设有冠军和亚军各一名，那么各项冠军获得者的不同情况的种数为A ．35 B ．53 C ．35A D ．35C3．设n 为自然数，则()()nn nr n r n rn n n nC C C C 12122110-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+---等于 A ．n2 B ．０ C ．1- D ．14．一个质点位于坐标原点O 处，此质点每秒钟只向左或向右移动一个单位，向左和向右移动的机会均等，则3秒后此质点位于（1，0）处的概率为A ．18B ．14 C ．38 D ．125．在一次试验中，当变量x 的取值分别为1111,,,234时，变量y 的值依次为2，3，4，5，则y 与1x 之间的回归曲线方程是A ．1 1y x =+ B ．2 = +3y xC ．=2+1y xD ．=+1y x 6．设随机变量Ｘ的分布列如下：其中,,,c b a 成等差数列，若()X E ＝31，则()X D 的值是 A ． 83 B ．85 C ．95 D ．977．如果袋中有六个红球，四个白球，从中任取一个球，记住颜色后放回，连续摸取4次，设X 为取得红球的次数，则X 的期望()X E =A ．43B ．512C ．719D ．318．某气象台统计，该地区下雨的概率为154，刮风的概率是152，既刮风又下雨的概率为101，设Ａ为下雨，Ｂ为刮风，则()B A P ＝A ．41B ．21C ．43D ．529．用0，1，…，9这十个数字，可以组成小于3000，且末位数字是0或1 的无重复数字的三位数的个数为A ．32B ．168C ．224D ．28010．设1nx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S ，若P+S=272，则n 为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．811．某铁路货运站对6列货运列车进行编组调度，决定将这6列货车编成两组，每组3列，且甲乙两车不在同一小组．如果甲所在小组的3列货车先开出，那么这6列货车先后不同的发车顺序共有 A.36种 B.108种 C.216种 D.432种12．有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中7个球标有字母A 、3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一号盒子中任取一球，若取得标有字母A 的球，则在第二号盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三号盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，那么试验成功的概率为 A ．0.15B ．0.8C ．0.54D ．0.59二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13.设()()77221052x a x a x a a x 1x 21+⋅⋅⋅+++=-+，则=+-+-+-7654321a a a a a a a ___14． 设随机变量ξ的概率分布列为()1cP k k ξ==+，k=0, 1, 2, 3，则(2)P ξ==15．已知随机变量X 服从正态分布2(0)N σ，且(20)P X -≤≤0.4=，则(2)P X >= ． 16．在调查学生数学成绩与物理成绩之间的关系时，得到如下数据（人数）：数学成绩与物理成绩之间有把握相关？（填写百分比）三、解答题：(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（12分）已知10件产品中有2件次品. 任意取出3件产品作检验(不放回),(1)求恰有一件次品的概率.(2)求至少有一件次品的概率.18.（12分）已知甲组有2n人，乙组有n+1人，设从甲组中选出3人分别参加数、理、化竞赛（每科竞赛限1人参加）的选法数是x，从乙组中选出4人站成一排照相的站法数是y，若x=2y,求n、x和y．19.（12分）已知m，n∈N，m、n≥1，f（x）=(1+x)m+(1+x)n的展开式中，x的系数为19．求f（x）展开式中x2的系数的最小值，并求此时x7的系数．12分）据统计，从到，某市每年的房价与当年银行购房贷款的金额成线性相关关系，已知这5年该市的房价和银行购房贷款的金额如下表：（1）求每年房价关于银行购房贷款金额的线性回归方程；（2）若该市银行的购房贷款金额为1亿2千万元，估计该市的房价．21.（12分）某厂得到为上海世博会制造纪念品的订单，共有甲、乙、丙三种不同的纪念品，每种纪念品必须先后经过两道工序，当第一道工序合格后方可进入第二道工序，两道工序过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一道工序后后，甲、乙、丙三种纪念品合格的概率依次为0.8，0.6，0.75，经过第二道工序后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.8，0.64． （1）求第一道工序后后恰有两件件产品合格的概率；（2）经过前后两次道工序后，合格纪念品的个数为ξ，求随机变量ξ的均值．22.（14分）某电子玩具按下按钮后，会出现红球和绿球．已知按钮第一次按下后，会出现红球或绿球的概率都是21，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，在下一次出现红球、绿球概率分别为31，32；若前一次出现绿球，在下一次出现红球、绿球概率分别为53，52；记第)N n(n *∈次按下按钮后出现红球的概率为n p（1）求2p 的值；（2）求n p 的表达式．参考答案一．选择题 （每题5分）二．填空题 （每题4分）13. －31 14. 425 15. 0.1 16. 99%三．解答题（共74分，其中17～21题每题12分，22题14分）17、解:123288*********(1),(2)11151515C C C p p C C ===-=-=18. 解：34342121,,2n n n n x A y A A A ++=== 由x=2y,有，2(21)(22)2(1)(1)(2).n n n n n n n --=+-- 即0,1,221)(1)(2),50,5n n n n n n n >≠∴-=+--=∴=2（即n19. 解：x 的系数为19,1911=+=+n m C C n m 即。

2016—2017学年上学期期末考试数学模拟试卷(B ）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，已知A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则S △ABC 等于（ ）．A ．32错误!B ．16C ．32错误!或16D ．32错误!或16错误!2．设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若a 2＋a 8＝15－a 5，则S 9等于( ）．A ．60B ．45C ．36D ．183．已知等比数列{a n }的公比q ＝2，则错误!的值为( ）．A ．14B ．错误!C ．错误!D ．14．在等比数列｛a n ｝中，a 1＝2，前n 项和S n ，若数列{a n ＋1｝也是等比数列,则S n 等于( ）．A ．2n ＋1－2B ．3nC ．2nD ．3n －15．若a ＞b ＞0,则下列不等式总成立的是（ ）．A ．错误!＞错误!B ．a ＋错误!＞b ＋错误!C ．a ＋错误!＞b ＋错误!D ．错误!＞错误! 6．设变量x ,y满足约束条件133x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪-⎩≥-1，≥，≤．则目标函数z ＝4x ＋y 的最大值为( )．A ．4B ．11C ．12D ．147．“α＝错误!＋2k π（k ∈Z ）”是“cos2α＝错误!”的( ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．若直线l 的方向向量为b ，平面α的法向量为n ，则可能使l ∥α的是( )．A ．b ＝（1，0,0)，n ＝（－2，0，0）B ．b ＝(1，3，5)，n ＝(1，0，1）C ．b ＝（0，2，1)，n ＝(－1，0，－1)D ．b ＝(1，－1，3)，n ＝（0,3，1)9．已知a ＝(cos α，1，sin α），b ＝(sin α,1，cos α），则向量a ＋b 与a －b 的夹角是（ )．A．90°B．60°C．30°D．0°10．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1），B(x2，y2）两点，如果x1＋x2＝6，那么｜AB｜等于（)．A．10 B．8 C．6 D．411．如图,在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2,AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )．A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!12．设双曲线x2a2－错误!＝1(a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于（）．A．错误!B．2 C．错误!D．错误!二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知a，b，c分别为△ABC的三边,且3a2＋3b2－3c2＋2ab ＝0，则tan C＝________．14．观察下面的数阵，则第20行最左边的数是________．12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25………………15．双曲线错误!－错误!＝1的焦距是__________．16．在棱长为1的正方体ABCD。

铅山致远中学第一学期期末教学质量测试高二数学试卷一、选择题(每小题5分，共60分)1、要从编号为01到60的60枚最新研制的某型号导弹中随机抽取6枚进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定，则选取的6枚导弹的编号可能是( )A ．05,10,15,20,2535B ．06，12，20，28，38，50C ．04，14，24，34，44，54D ．02，04，08.16.32，60.2、若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中2AB =，1BC =，则质点落在以A B 为直径的半圆外的概率是( )A ．6πB 4πC ．1-6πD ．1-4π3、若将两个数a=5，b=15交换，使a=15，b=5，下面语句正确的一组是( )A ．B ．CD ．4、把分别标有“诚”“ 信”“ 考” “ 试”的四张卡片随意的排成一排，则能使卡片从左到右可以念成 “诚信考试”和“考试诚信”的概率是( ) A ．．14B ．C ．D 5、已知某种产品的支出广告额x 与利润额y (单位：万元)之间有如下对应数据：则回归直线方程必过( ) A ．()4,30 B ．()5,30 C ． ()5,35 D ． ()5,366、甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中，5位评委评分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为、，则下列判断正确的是( )1 6 1 8 112A ．＜，乙比甲成绩稳定B ． ＜，甲比乙成绩稳定C ．＞，甲比乙成绩稳定 D ．＞，乙比甲成绩稳定7、从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A ．“至少有一个红球”与“都是黑球” B ．“恰有1个黑球”与“恰有2个红球” C ．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球” D ．“至少有一个黑球”与“都是黑球” 8、已知数列、、、、…根据前三项给出的规律，则实数对(2a ，2b)可能是( ) A ．(，-) B ．(，) C ．(19，3) D ．(19，﹣3)9. 若231()n x x-的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．610、用数学归纳法证明不等式“241321...2111>++++n n n (n ＞2)”过程中，由k n =到1+=k n 时，不等式的左边( )A ．增加了一项)1(21+k B ．增加了一项)1(21+k ，又减少了一项11+kC 增加了两项++121k )1(21+k D ．增加了两项++121k )1(21+k ，又减少了一项11+k 11、设a ，b ，c 是三个互不相等正数，则111,,a b c b c a+++( ) A.都大于2 B. 至少有一个大于2 C. 都小于2 D.至少有一个小于212.设f (x )是一个三次函数，f ′(x )为其导函数，如图所示的是y ＝x ·f ′(x )的图象的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别是( )A ．f (1)与f (－1)B ．f (－1)与f (1)C ．f (2)与f (－2)D ．f (－2)与f (2) 二、填空题(每小题5分，共20分)13．铅山致远中学高一，高二，高三共有学生5000名，要采用分层抽样方法从全体学生中抽取50人，已知高二年级有1800名员工，那么从该年级抽取的学生数是 14. 出租车司机从广丰电视大楼到广丰途中有9个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯是相互独立的，并且概率都是.31 则这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望为 .15、计算定积分()dx= ．16 下列命题:①在一个2×2列联表中，由计算得k 2=6. 679，则有99%的把握确认这两个变量间有关系. ②若55432543210(2)x a x a x a x a x a x a -=+++++，则12345a a a a a ++++=31③随机变量X 服从正态分布N(1，2)，则(0)(2);P XP X <=>④． 若二项式22nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数之和为243，则展开式中4x -的系数是40；其中正确命题的序号为_____ ______.三、解答题(第17题10分，其余每小题12分，共70分，要求写出主要的证明、解答过程) 17、(本小题满分10分)在曲线y ＝x 3＋x －1上求一点P ，使过P 点的切线与直线y ＝13x －7平行．18．(本小题满分12分)有5个不同的球，4个不同的盒子，现要把球全部放入盒内． (1)共有几种放法？(2)每个盒子至少一个，共有几种放法？(3)恰有一个盒子不放球，共有几种放法？(结果用数字表示)19 (本大题满分12分) “中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路 ”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表:已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路 ”的路人的概率是. (I)请将上面的列联表补充完整(在答题卡上直接填写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析反感“中国式过马路 ”与性别是否有关？(参考公式：157))()()(()(22d b d c c a b a bc ad n K ++++-=) (II)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.20、(本小题满分12分)广丰高二(2)班共有60名同学参加期末考试，现将其数学学科成绩(均为整数)分成六个 分数段[)[)40,50,50,60,,[90,100]，画出如下图所示的部分频率分布直方图，请观察图形信息，回答下列问题：(1)求70～80分数段的学生人数；(2)估计这次考试中该学科的优分率(80分及以上为优分)、中位数、平均值；(3)现根据本次考试分数分成下列六段(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、、第六组)为提高本班数学整体成绩，决定组与组之间进行帮扶学习．若选出的两组分数之差大于30分(以分数段为依据，不以具体学生分数为依据)，则称这两组为“最佳组合”，试求选出的两组为“最佳组合”的概率．21．(本小题满分12分)某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A 、B 、C 、D 、E 五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试。

上饶市2016—2017学年度上学期期末教学质量测试高二数学（理科）参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分． 13. 1 14. 3 15. 501 16.116三. 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 解: (1) 2454C A =240 ----5分(2)34C =4 （列举或直接写答案也得分） ---- 10分18．解:（1）25221=++n n c c ， 5n ∴= ……4分（2）ⅰ）赋值法：分别令1,1,x x ==-相加得0246128a a a a +++=------8分ⅱ）赋值法：令12x =,7120127122264a a a a +++⋅⋅⋅+= 0x =,02a =，因此71227112722226464a a a ++⋅⋅⋅+=-=-------12分 19. 解：由11a ba b a b ab++=+=,0,0a b >>,得1ab =. ------2分 (1)由基本不等式及1ab =,有2a b +≥=,即2a b +≥------6分 (2)假设22a a +<与22b b +<同时成立, ------7分 则由22a a +<及a>0得0<a<1;同理得0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾. 故22a a +<与22b b +<不可能同时成立. ------12分 20. 解：（1）∵变量y x ,具有线性负相关关系，又∵,480,396161==∑∑==i i i iy x∴80,5.6==y x ，满足方程1064+-=x y ，故乙是正确的. ------4分由,480,396161==∑∑==i i i i y x 得90,8==b a . -----6分（2）由计算可得“理想数据”有3个，即)75,8(),83,6(),90,4(.------8分-----11分故所求1E ξ= ------12分21．解：（1）-------3分(2)222()100(45153010)()()()()75254555n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯1003.030 2.70633=≈> -7分所以有90% 以上的把握认为“生二胎与年龄有关”-------------8分（3）（以前的答案有误）三对父子的二胎出生日期仅为不同的二天，则有1种；三对父子的二胎出生日期仅为不的三天，则有2222333324C C C C -=种； --------9分三对父子的二胎出生日期仅为不同的四天，则有2223244444241114C C C C C -⨯-⨯=种；10分三对父子的二胎出生日期仅为不同的五天，则有222432555555114241180C C C C C C -⨯-⨯-⨯=种； --------11分三对父子的二胎出生日期仅为不同的六天，则有2225432666666618011424190C C C C C C C -⨯-⨯-⨯-⨯=或22264290C C C =种.故共计409种 ----12分 （后四种每写对一种得1分）22．解析：（1）22121222x kx x k x x++≤+⇒≤+…………2分 12x x+≥，22k ∴≤ 01k ∴<≤ …………6分（未写k 大于0扣一分）(2) 22212122111()11x kx kx k f x x x x x++==+=++++， 1(1,1]()k f x ∴∈+ -------8分11222()()k f a f b ∴<+≤+，111()k f c <≤+， 所以21k ≥+，即1k ≤，01k ∴<≤； （未写k 大于0扣1分）--------12分。

江西省上饶市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）抛物线的准线方程是（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高二上·安阳开学考) 椭圆 =1过点（﹣2，），则其焦距为（）A . 2B . 2C . 4D . 43. （2分）(2019·江南模拟) 已知命题：，，则为（）A . ，B . ，C . ，D . ，4. （2分） (2017高二上·太原月考) 已知双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（）A .B .C .D .5. （2分） (2020高一下·哈尔滨期末) 若，则l与a的位置关系一定是（）A . 平行B . 相交C . 异面D . l与a没有公共点6. （2分）(2020·安庆模拟) 设p：，q：，则p是q成立的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是正三角形，侧棱AA1底面ABC,点E是侧面BB1CC1 的中心，若AA1=3AB,则直线AE与平面BB1CC1所成角的大小为（）A .B .C .D .8. （2分）一个顶点的坐标，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（）A .B .C .D .9. （2分）下图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4,腰长为的等腰梯形, 则该几何体的体积是（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高一下·宁波期中) 如图，三棱锥P﹣ABC，已知PA⊥面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，设PD=x，∠BPC=θ，记函数f（x）=tanθ，则下列表述正确的是（）A . f（x）是关于x的增函数B . f（x）是关于x的减函数C . f（x）关于x先递增后递减D . 关于x先递减后递增11. （2分） (2015高二上·柳州期末) 已知点A（0，2），抛物线C：y2=ax（a＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则a的值等于（）A .B .C . 1D . 412. （2分）(2020·化州模拟) 已知三棱锥A﹣BCD内接于球O,且AD=BC=3,AC=BD=4,AB=CD ,则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积是（）A . 38πB . 9πC . 76πD . 19π二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·武清期中) 直线的斜率为k，若﹣1＜k＜，则直线的倾斜角的范围是________．14. （1分） (2018高三上·昭通期末) 若直线：y=ax与曲线C:x2+y2—4x一4y+6=0有公共点，则实数a 的取值范围是________．15. （1分） (2019高二下·瑞安期中) 棱长均为的正四棱锥的体积为________．16. （1分）(2020·鄂尔多斯模拟) 双曲线：的左、右焦点分别为、，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为________.三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高三上·宝清期中) 已知命题p：∃x0∈[0，2]，log2（x+2）＜2m；命题q：关于x的方程3x2﹣2x+m2=0有两个相异实数根．（1）若（￢p）∧q为真命题，求实数m的取值范围；（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．18. （10分） (2018高二下·柳州月考) 已知在三棱锥中，底面 , ,，是的中点，是线段上的一点，且，连接 .（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正切值．19. （10分）已知点A（1，2）、B（5，﹣1），（1）若A，B两点到直线l的距离都为2，求直线l的方程；（2）若A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），试根据m的取值讨论直线l存在的条数，不需写出直线方程．20. （10分）(2016·潍坊模拟) 在平面直角坐标系中内动点P（x，y）到圆F：x2+（y﹣1）2=1的圆心F的距离比它到直线y=﹣2的距离小1．（1）求动点P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为曲线E，过点F的直线l的斜率为k，直线l交曲线E于A，B两点，交圆F于C，D两点（A，C两点相邻）．①若 =t ，当t∈[1，2]时，求k的取值范围；②过A，B两点分别作曲线E的切线l1 ， l2 ，两切线交于点N，求△ACN与△BDN面积之积的最小值．21. （10分）如图所示，在四棱锥中，四边形为矩形，， ,点是线段上靠近的三等分点.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.22. （10分） (2018高二上·承德期末) 已知椭圆的短轴长为2，且椭圆过点.（1）求椭圆的方程；（2）设直线过定点，且斜率为，若椭圆上存在两点关于直线对称，为坐标原点，求的取值范围及面积的最大值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

2016-2017高二年级第一学期期末考试数 学 （理科）本试卷共100分．考试时间90分钟．一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线01=+-y x 的斜率是 （ ）A ．1B ．1-C ．4π D ．43π 2．方程2240x y x +-=表示的圆的圆心和半径分别为（ ）A ．(2,0)-，2B ．(2,0)-，4C ．(2,0)，2D ．(2,0)，43．若两条直线210ax y +-=与3610x y --=垂直，则a 的值为 （ ）A ．4B ．4-C ．1D ．1-4．在空间直角坐标系中，点(1,2,3)P -关于坐标平面xOy 的对称点为 （ ）A ．(1,2,3)--B ．(1,2,3)---C ．(1,2,3)--D ．(1,2,3)5．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下面说法正确的是（ ）A ．//αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭B ．//m l m n n l ⊥⎫⇒⎬⊥⎭C ．////m l l m ββ⎫⇒⎬⊥⎭D ．//m n m n γγ⎫⇒⊥⎬⊥⎭6．“直线l 的方程为)2(-=x k y ”是“直线l 经过点)0,2(”的 （ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．一个三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为（ ）A ．53B ．103C ．203D ．2538．实数x ，y 满足10,1,x y x y a -+≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，若2u x y =-的最小值为4-，则实数a 等于（ ）A ．4-B ．3-C ．2-D ．6二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．双曲线2214y x -=的渐近线方程为_________．10．点P 是椭圆22143x y +=上的一点，1F 、2F 分别是椭圆的左右焦点，则∆21F PF 的周长是_________． 11．已知命题p ：1x ∀>，2210x x -+>，则p ⌝是_________．12．在空间直角坐标系中，已知点)1,,0(),0,1,2(),2,0,1(a C B A ，若AC AB ⊥，则实数a 的值为_________． 13．已知点P 是圆221x y +=上的动点，Q 是直线:34100l x y +-=上的动点，则||PQ 的最小值为_________．14．如图，在棱长均为2的正三棱柱111C B A ABC -中，点M 是侧棱1AA 的中点，点P 、Q 分别是侧面11BCC B 、底面ABC 内的动点，且//1P A 平面BCM ，⊥PQ 平面BCM ，则点Q 的轨迹的长度为_________．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分10分）已知圆M 过点A ，(1,0)B ，(3,0)C -． （Ⅰ）求圆M 的方程；（Ⅱ）过点(0,2)的直线l 与圆M 相交于D 、E 两点，且32=DE ，求直线l 的方程．16. （本小题满分10分）已知抛物线2:4C y x =，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，定点(5,0)M . （Ⅰ）若直线l 的斜率为1，求△ABM 的面积；（Ⅱ）若AMB ∆是以M 为直角顶点的直角三角形，求直线l 的方程．17. （本小题满分12分）如图，在底面是正三角形的三棱锥P ABC -中，D 为PC 的中点，1PA AB ==，PB PC ==．（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求BD 与平面ABC 所成角的大小； （Ⅲ）求二面角D AB C --的余弦值．18．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，△12BF F 是边长为2的正三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程及离心率；（Ⅱ）是否存在过点2F 的直线l ，交椭圆于两点P 、Q ，使得1//PA QF ，如果存在，试求直线l 的方程，如果不存在，请说明理由．高二年级第一学期期末练习参考答案数 学 (理科)阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 9. 2y x =±10. 6 11. 1x ∃>，2210x x -+≤ 12. 1- 13. 114.43三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解：（Ⅰ）设圆M ：220x y Dx Ey F ++++=，则3021009303F D D F E D F F ⎧+==⎧⎪⎪++=⇒=⎨⎨⎪⎪-+==-⎩⎩………………………………………………………………（3分）故圆M ：22230x y x ++-=，即22(1)4x y ++= …………………………（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，(1,0)M -.设N 为DE 中点，则MN l ⊥，1||||2DN EN ==⋅=5分） 此时||1MN ==. …………………………………（6分）当l 的斜率不存在时，:0l x =，此时||1MN =，符合题意 …………（7分）当l 的斜率存在时，设:2l y kx =+，由题意1= ……………………………（8分）解得：34k =， ……………………………（9分） 故直线l 的方程为324y x =+，即3480x y -+=………………………………（10分）综上直线l 的方程为0x =或3480x y -+=16. 解：（Ⅰ）解法1：由题意(1,0)F ，当AB 的斜率为1时，:1l y x =- ……………（1分）2244401y xy y y x ⎧=⇒--=⎨=-⎩………………………………………………（2分）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由244(4)0∆=-⨯->故121244y y y y +=⎧⎨⋅=-⎩ ……………………………………………………………（3分）有12||y y -==………………………………………（4分）有121211||4||42||22AMB AMF BMF S S S y y y y ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅-=…………………………（5分）解法2：由题意(1,0)F ，当AB 的斜率为1时，:1l y x =- ……………（1分）2246101y xx x y x ⎧=⇒-+=⎨=-⎩……………………………………………（2分） 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由244(4)0∆=-⨯->126x x +=，1228AB x x =++= ……………………………………（3分） 点M 到直线AB的距离d ==4分）182ABM S ∆=⨯⨯…………………………………（5分）（Ⅱ）解法1：易得，直线l 的斜率不为零，设直线l 的方程为1x my =+2244401y xy my x my ⎧=⇒--=⎨=+⎩ ………………………………………………………（6分） 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由216160m ∆=+>，得121244y y my y +=⎧⎨⋅=-⎩………………………………………………………………（7分） 由0MA MB ⋅=，得1212(5)(5)0x x y y --+=， ………………（8分）即1212(4)(4)0my my y y --+=整理得：21212(1)4()160m y y m y y +-++=此时有：2(1)(4)4(4)160m m m +⋅--⋅+=，解得m =9分） 故l 的方程为15x y =+或15x y =-+即550x -=或550x -=………………………………………（10分）解法2：易知直线l x ⊥时不符合题意.可设直线l 的方程为)1(-=x k y .⎩⎨⎧=-=x y x k y 4),1(2，消去y ，可得0)42(2222=++-k x k x k . …………………………（6分） 则0)1(162>+=∆k .设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则22142k x x +=+，121=x x . …………………………………………（7分）由0MA MB ⋅=，得1212(5)(5)0x x y y --+=，………………………（8分）即：0425)(5212121=-++-x x x x x x ， 即：0425)42(512=-++-k ，解得315±=k . …………（9分） 故l 的方程为0535=--y x 或0535=-+y x .………………………………………（10分）17.解：（Ⅰ）∵ 1PA AB ==，PB =∴ PA AB ⊥ ……………………………………………（1分） ∵ 底面是正三角形 ∴ 1AC AB ==∵ PC =∴ PA AC ⊥ ……………………………………（2分） ∵ AB AC A = ,AB AC ⊂平面ABC ∴ PA ⊥平面ABC ．………………………………………（3分）（Ⅱ）以A 为原点，AB 为x 轴，AP 为z 轴，平面ABC 中垂直于AB 的直线为y 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，1(,22C ，(0,0,1)P …………………………………………………………………………………………（4分）所以11()42D ，31()42BD =- ． ………………………………（5分）平面ABC 的法向量为1(0,0,1)n =，…………………………………（6分）记BD 与平面ABC 所成的角为θ，则1sin cos ,BD θ=<> n =12……………………………（7分） ∴ 6πθ=．…………………………（8分）（Ⅲ）设平面ABD 的法向量为2(,,)n x y z =，由2n AD ⊥ 得：11042x y z ++=， ……………………………（9分） 由2n AB ⊥得：0x =代入上式得，z y =． ………………………（10分）令2y =，则z =2(0,2,n =． …………………………………（11分）记二面角D AB C --的大小为α，则12cos |cos ,|n n α=<>= ．………（12分）18. 解：（Ⅰ）由题意可得2,1a b c === ……………………………………（2分）所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=，……………………………………（3分）椭圆的离心率12c e a ==.……………………………………………（4分）（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）得，1(1,0)F -，2(1,0)F ，(2,0)A ，设11(,)P x y ，22(,)Q x y显然直线l 的斜率不为零，设直线l 的方程为1x my =+，则 ……………………………（5分）222213(1)412431x y my y x my ⎧+=⎪⇒++=⎨⎪=+⎩………………（6分）整理得：22(34)690m y my ++-=，此时21441440m ∆=+>，故122122634934m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩……………………………………（7分） 注意到1111(2,)(1,)AP x y my y =-=- ，12222(1,)(2,)FQ x y my y =+=+…………………………（8分）若1//PA QF ，则1221(1)(2)my y my y -⋅=+⋅，即212y y =- ……………（9分）此时由21212122212222627234612(34)3434m y y y m m y y m m m y y y m m ⎧=-=⎧⎪⎪⎪+⇒⇒=-⎨⎨++=-⎪⎪=-+⎩⎪+⎩， ………………………（10分）故2222729(34)34m m m -=-++，解得254m =，即m =……………（11分）故l的方程为1x y =+或1x y =+，20y -=20y += …………………………………（12分）解法2： 由（Ⅰ）得1(1,0)F -，2(1,0)F ，(2,0)A . 直线l x ⊥时，212221F F AF QF PF ≠=，则1//PA QF 不成立，不符合题意..………………………………（5分）可设直线l 的方程为)1(-=x k y . .……………………………（6分）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134),1(22y x x k y ，消去y ，可得()01248342222=-+-+k x k x k ………………（7分） 则0)1(1442>+=∆k .设11(,)P x y ，22(,)Q x y则3482221+=+k k x x ①，341242221+-=k k x x ② .…………………（8分）),2(11y x -=，),1(221y x F +=. 若1//PA QF ，则F 1//，则0)1)(1()1)(2(1221=-+---x x k x x k .化简得03221=-+x x ③. ………………………（9分）联立①③可得3494221++=k k x ，3494222+-=k k x ， ………………………（10分） 代入②可以解得25±=k . …………………………（11分） 故l20y -=20y +=. ……………（12分）。

江西省上饶市数学高二上学期理数期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 在中，内角所对的边分别为 。

已知，，则（）A.B.C.D.2. （2 分） 在等比数列 中，，则数列的公比 q 为 （ ）A.B.C.D.3. （2 分） 设 P 为椭圆 面积等于（ ）A.3B.C.2 D.2上的一点， 、 为该椭圆的两个焦点，若,则的第 1 页 共 11 页4. （2 分） (2019 高二上·钦州期末) 已知命题，；，，若“ 且 ”为真命题，则实数 的取值范围是（ ）A.B.C.D. 5. （2 分） (2019 高二上·贺州期末) 下列各组两个向量中，平行的一组向量是（A.，2，B.，1，C.，1，D.，6. （2 分） 已知双曲线 为（ ）A.B. C.与椭圆的离心率互为倒数，则双曲线的渐近线方程D.7. （2 分） (2018·河北模拟) 命题 ：若复数（ 为虚数单位），则复数 对应的点在第二象限，命题 ：若复数 满足为实数，则复数 一定为实数，那么（ ）A.是真命题第 2 页 共 11 页B.是真命题C.是真命题D.是假命题8. （2 分） 已知 是（ ）的三边长成公差为 2 的等差数列，且最大角的正弦值为 ， 则这个三角形的周长A . 18B . 21C . 15D . 249. （2 分） (2019·南开模拟) 在中，为 的中点，若，则实数 （ ），于点 ，A. B. C. D. 10. （2 分） (2020 高一下·牡丹江期末) 已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是 （ ）A. B.第 3 页 共 11 页C. 或D. 11. （2 分） (2020 高二下·南昌期末) 若且满足，则A.B. C.6 D.7 12. （2 分） (2019 高三上·西安月考) 若数列 的前 项和 满足：对常数）成立，则称数列 为“和敛数列”，则数列，中是“和敛数列”的有（ ）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)的最小值（ ）都有（为，，13. （1 分） (2016 高二上·平罗期中) 若实数 x，y 满足条件，则的最小值为________．14. （1 分） 方程 + =1 表示椭圆，则 k 的取值范围是________15. （1 分） (2019 高一上·黄骅月考) 函数在区间[2，5]上的值域是________．16. （1 分） (2017 高二上·泉港期末) 已知点 F 是抛物线 C：y2=4x 的焦点，点 B 在抛物线 C 上，A（5，4），当△ABF 周长最小时，该三角形的面积为________．第 4 页 共 11 页三、 解答题 (共 6 题；共 50 分)17. （5 分） A、B、C 是我军三个炮兵阵地，A 在 B 的正东方向相距 6 千米，C 在 B 的北 30°西方向，相距 4 千米，P 为敌炮阵地．某时刻，A 发现敌炮阵地的某信号，由于 B、C 比 A 距 P 更远，因此，4 秒后，B、C 才同时发 现这一信号（该信号的传播速度为每秒 1 千米）．若从 A 炮击敌阵地 P，求炮击的方位角．18. （ 10 分 ） (2020· 肇 庆 模 拟 ) 已 知 在 ．中，角对应的边分别为，（1） 求角 ；（2） 若，的面积为 ，求 ．19. （10 分） (2019 高一上·长春期中) 已知函数．（1） 求方程的实根；（2） 若对于任意，不等式恒成立，求实数 m 的最大值．20. （10 分） (2019 高二上·南湖期中) 如图（1），边长为 的正方形中， ， 分别为 ，上的点，且，现沿 把剪切、拼接成如图（2）的图形，再将，，沿 ， ， 折起，使三点重合于点 .（1） 求证： （2） 求二面角； 的正切值的最小值．21. （10 分） (2019 高二上·万载月考) 已知数列 满足（1） 求证数列是等差数列，并求数列 的通项公式；第 5 页 共 11 页，.（2） 若数列 满足，求数列 的前 n 项和 ．22. （5 分） (2020·济宁模拟) 已知椭圆的直径，且 ，成等差数列（Ⅰ）求椭圆 E 的方程；的离心率为 e，若椭圆的长轴长等于（Ⅱ）设、是椭圆 E 上不同的两点，线段，试求点 P 的横坐标 的取值范围．的垂直平分线 交 轴于点第 6 页 共 11 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 11 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 50 分)17-1、18-1、18-2、 19-1、第 8 页 共 11 页19-2、 20-1、第 9 页 共 11 页20-2、21-1、 21-2、第 10 页 共 11 页22-1、第11 页共11 页。

2016-2017学年江西省高三（上）期末试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A={x∈N|x≤1}，B={x|﹣1≤x≤2}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．[﹣1，1] D．{1}2．（5分）设复数z=1+2i，则=（）A．B．C．D．13．（5分）给出下列命题：①若数列{an }为等差数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n是等差数列；②若数列{an }为等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n是等比数列；③若数列{an }，{bn}均为等差数列，则数列{an+bn}为等差数列；④若数列{an }，{bn}均为等比数列，则数列{an•bn}为等比数列其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）设α，β为两个不同的平面，l为直线，则下列结论正确的是（）A．l∥α，α⊥β⇒l⊥αB．l⊥α，α⊥β⇒l∥αC．l∥α，α∥β⇒l∥βD．l⊥α，α∥β⇒l⊥β5．（5分）已知sinα=﹣cosα，则tan2α=（）A． B．C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输入x=﹣1，n=5，则输出s=（）A．﹣2 B．﹣3 C．4 D．37．（5分）如图是一个棱锥的正视图和侧视图，则该棱锥的俯视图不可能是（）A．B．C．D．8．（5分）将函数f（x）=sinxcosx+sin2x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿x轴向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）的一个递增区间是（）A．B．C．D．9．（5分）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD相交于点F，则=（）A．B．C．D．10．（5分）已知平面区域D=，z=3x﹣2y，若命题“∃（x0，y）∈D，z＞m”为假命题，则实数m的最小值为（）A．B．C．D．11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1绕其体对角线BD1旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是（）A．B．C．D．12．（5分）已知f（x）=，若函数f（x）有四个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣e）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣∞，﹣）D．（﹣∞，﹣）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）数据0.7，1，0.8，0.9，1.1的方差是．14．（5分）七名同学战成一排照相，其中甲、乙二人相邻，且丙、丁两人不相邻的不同排法总数为．15．（5分）已知数列{an }的前n项和Sn=2an﹣2n+1（n∈N*），则其通项公式an= ．16．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，BC边上的高为，则的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）已知数列{an }是首项为1的单调递增的等比数列，且满足a3，成等差数列．（1）求{an}的通项公式；（2）若bn =log3（an•an+1）（n∈N*），求数列{an•bn}的前n项和Sn．18．（12分）如图，已知AD是△ABC内角∠BAC的角平分线．（1）用正弦定理证明：；（2）若∠BAC=120°，AB=2，AC=1，求AD的长．19．（12分）甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：先将筹码放在如下表的正中间D处，投掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，筹码向右移动一格；若反面朝上，筹码向左移动一格．（1）将硬币连续投掷三次，现约定：若筹码停在A 或B 或C 或D 处，则甲赢；否则，乙赢．问该约定对乙公平吗？请说明理由．（2）设甲、乙两人各有100个积分，筹码停在D 处，现约定：①投掷一次硬币，甲付给乙10个积分；乙付给甲的积分数是，按照上述游戏规则筹码所在表中字母A ﹣G 下方所对应的数目；②每次游戏筹码都连续走三步，之后重新回到起始位置D 处． 你认为该规定对甲、乙二人哪一个有利，请说明理由．20．（12分）如图，在六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱A 1B 1，B 1C 1的中点，平面ABCD ⊥平面A 1B 1BA ，平面ABCD 平面B 1BCC 1． （1）证明：BB 1⊥平面ABCD ；（2）已知六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长均为，cos ∠BAD=，设平面BMN 与平面AB 1D 1相交所成二面角的大小为θ求cos θ．21．（12分）已知函数f （x ）=﹣axlnx （a ∈R ）在x=1处的切线方程为y=bx+1+（b ∈R ）．（1）求a ，b 的值； （2）证明：f （x ）＜．（3）若正实数m ，n 满足mn=1，证明：+＜2（m+n ）．四、解答题（共1小题，满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系 22．（10分）已知平面直角坐标系xoy 中，点P （1，0），曲线C 的参数方程为（φ为参数）．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，倾斜角为α的直线l 的极坐标方程为ρsin （α﹣θ）=sin α．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若曲线C与直线l交于M，N两点，且，求α的值．五、解答题（共1小题，满分10分）选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知实数a，b，c均大于0．（1）求证：++≤a+b+c；（2）若a+b+c=1，求证：≤1．2016-2017学年江西省高三（上）期末试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）（2016秋•太原期末）已知集合A={x∈N|x≤1}，B={x|﹣1≤x≤2}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．[﹣1，1] D．{1}【分析】集合A与集合B的公共元素构成集合A∩B．【解答】解：∵集合A={x∈N|x≤1}，B={x|﹣1≤x≤2}，∴A∩B={0，1}．故选A．【点评】本题考查集合的交集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．2．（5分）（2016秋•太原期末）设复数z=1+2i，则=（）A．B．C．D．1【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z2=（1+2i）2=﹣3+4i，|z2|==5，则==+i．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）（2016秋•太原期末）给出下列命题：①若数列{an }为等差数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n是等差数列；②若数列{an }为等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n是等比数列；③若数列{an }，{bn}均为等差数列，则数列{an+bn}为等差数列；④若数列{an }，{bn}均为等比数列，则数列{an•bn}为等比数列其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①设等差数列an 的首项为a1，公差为d，则Sn=a1+a2+…+an，S2n﹣S n =an+1+an+2+…+a2n=a1+nd+a2+nd+…+an+nd=Sn+n2d，同理：S3n﹣S 2n =a2n+1+a2n+2+…+a3n=an+1+an+2+…+a2n+n2d=S2n﹣Sn+n2d，即可判断出结论．②取数列﹣1，1，﹣1，1，…，Sn可能为0，因此不成等比数列，即可判断出；③设an =a1+（n﹣1）d1，bn=b1+（n﹣1）d2，则an+bn=（a1+b1）+（n﹣1）（d1+d2），即可判断出结论．④设an =a1，bn=b1，则an•bn=a1b1，即可判断出结论．【解答】解：①设等差数列an 的首项为a1，公差为d，则Sn=a1+a2+…+an，S2n﹣S n =an+1+an+2+…+a2n=a1+nd+a2+nd+…+an+nd=Sn+n2d，同理：S3n﹣S 2n =a2n+1+a2n+2+…+a3n=an+1+an+2+…+a2n+n2d=S2n﹣Sn+n2d，∴2（S2n﹣Sn）=Sn+（S3n﹣S2n），∴Sn，S2n﹣Sn ，S3n﹣S2n是等差数列．正确．②取数列﹣1，1，﹣1，1，…，Sn可能为0，因此不成等比数列，不正确；③设an =a1+（n﹣1）d1，bn=b1+（n﹣1）d2，则an+bn=（a1+b1）+（n﹣1）（d1+d2），故数列{an+bn}为等差数列，正确．④设an =a1，bn=b1，则an•bn=a1b1，因此数列{an•bn}为等比数列，正确．其中真命题的个数为3．故选：C．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的定义及通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．（5分）（2016秋•太原期末）设α，β为两个不同的平面，l为直线，则下列结论正确的是（）A．l∥α，α⊥β⇒l⊥αB．l⊥α，α⊥β⇒l∥αC．l∥α，α∥β⇒l∥βD．l⊥α，α∥β⇒l⊥β【分析】A，选项中，若果l刚好平行于α、β的交线时，l∥α；B，l⊥α，α⊥β⇒l∥β或l⊂β；C，l∥α，α∥β⇒l∥β或l⊂β；D，l⊥α，α∥β⇒l⊥β，；【解答】解：对于A，选项中，如果l刚好平行于α、β的交线时，l∥α，故错；对于B，l⊥α，α⊥β⇒l∥β或l⊂β，故错；对于C，l∥α，α∥β⇒l∥β或l⊂β，故错；对于D，l⊥α，α∥β⇒l⊥β，正确；故选：D．【点评】本题考查了空间点、线、面的位置关系，属于基础题．5．（5分）（2016秋•太原期末）已知sinα=﹣cosα，则tan2α=（）A． B．C．D．【分析】求出tanα的值，根据二倍角公式求出tan2α的值即可．【解答】解：∵sinα=﹣cosα，∴tanα=﹣，∴tan2α===，故选：C．【点评】本题考查了三角函数的求值问题，考查二倍角公式，是一道基础题．6．（5分）（2016秋•太原期末）执行如图所示的程序框图，输入x=﹣1，n=5，则输出s=（）A．﹣2 B．﹣3 C．4 D．3【分析】列出循环过程中S与i的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：i=4时，s=﹣1，i=3时，s=5，i=2时，s=﹣2，i=1时，s=4，i=0时，s=﹣3，退出循环，故选：B．【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力．7．（5分）（2016秋•太原期末）如图是一个棱锥的正视图和侧视图，则该棱锥的俯视图不可能是（）A．B．C．D．【分析】根据已知中的正视图和侧视图，分析出俯视图可能出现的情况，可得答案．【解答】解：若几何体为三棱锥，由其正视图和侧视图可知，其底面在下方，且为直角三角形，故A，B，D有可能；若几何体为四棱锥，由其正视图和侧视图可知，其底面在下方，且为直角正方形，但对角线应从左上到右下；故该棱锥的俯视图不可能是C，故选：C【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，空间想象能力，难度不大，属于基础题．8．（5分）（2016秋•太原期末）将函数f（x）=sinxcosx+sin2x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿x轴向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）的一个递增区间是（）A．B．C．D．【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式为 f（x）=sin（2x﹣）+，由函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换可求函数g（x），令x﹣∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z即可得解．【解答】解：f（x）=sinxcosx+sin2x=sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+，图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得对应的函数解析式为y=sin（x﹣）+，再沿x轴向右平移个单位，得到函数解析式为y=g（x）=sin（x﹣﹣）+=sin（x﹣）+，令x﹣∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，解得：x∈[﹣+2kπ，kπ+]，k∈Z，取k=0，可得：x∈[﹣，]．故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．9．（5分）（2016秋•太原期末）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD相交于点F，则=（）A．B．C．D．【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到DF与FC之比，做FG平行BD交AC于点G，使用已知向量表示出要求的向量，得到结果．【解答】解：∵△DEF∽△BEADF：BA═DE：BE=1：3；作FG平行BD交AC于点G，∴FG：DO=2：3，CG：CO=2：3，∴=，∵=+=，∴=+=，故选：D【点评】向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的．10．（5分）（2016秋•太原期末）已知平面区域D=，z=3x﹣2y，若命题“∃（x0，y）∈D，z＞m”为假命题，则实数m的最小值为（）A．B．C．D．【分析】画出约束条件的可行域，利用特称命题的否定是真命题，求出目标函数的最大值，然后求解m的最小值即可．【解答】解：平面区域D=，如图：命题“∃（x0，y）∈D，z＞m”为假命题，则：∀（x，y）∈D，z≤m是真命题，由z=3x﹣2y，可得，当直线3x﹣2y=z，经过Q时，z由最大值，由解得Q（，），z的最大值就是m的最小值：．故选：D．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，简单的线性规划的应用，考查转化思想以及计算能力．11．（5分）（2016秋•太原期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1绕其体对角线BD1旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是（）A．B．C．D．【分析】由正方体的特点，对角线BD1垂直于平面AB1C，且三角形AB1C为等边三角形得答案．【解答】解：如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线BD1垂直于平面AB1C，且三角形AB1C为等边三角形，正方体绕对角线旋转120°能与原正方体重合．故选：C．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．12．（5分）（2016秋•太原期末）已知f（x）=，若函数f（x）有四个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣e）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣∞，﹣）D．（﹣∞，﹣）【分析】由题意可知：函数f（x）为偶函数，只需e x+ax=0有两个正根，即﹣=a有两个正根，设g（x）=﹣，设g（x）=﹣，求导g′（x）=﹣=﹣，利用函数的单调性求得g（x）的最大值，要使﹣=a有两个正跟，即使g（x）与y=a有两个交点，则实数a的取值范围（﹣∞，﹣）．【解答】解：由函数f（x）为偶函数，可知使函数f（x）有四个零点，只需要e x+ax2=0有两个正根，即﹣=a有两个正根，设g（x）=﹣，求导g′（x）=﹣=﹣，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜2，g（x）在（0，2）单调递增，令g′（x）＜0，解得：x＞2，g（x）在（2，+∞）单调递减，∴g（x）在x=2时取最大值，最大值g（2）=﹣，要使﹣=a有两个正根，即使g（x）与y=a有两个交点，∴实数a的取值范围（﹣∞，﹣），故选B．【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，考查利用导数求函数的单调性及最值，考查导数的求导公式，考查计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（2016秋•太原期末）数据0.7，1，0.8，0.9，1.1的方差是0.02 ．【分析】先求出这组数据的平均数，再计算这组数据的方差．【解答】解：数据0.7，1，0.8，0.9，1.1的平均数为：=（0.7+1+0.8+0.9+1.1）=0.9，∴数据0.7，1，0.8，0.9，1.1的方差为：S2=[（0.7﹣0.9）2+（1﹣0.9）2+（0.8﹣0.9）2+（0.9﹣0.9）2+（1.1﹣0.9）2]=0.02．故答案为：0.02．【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差的性质的合理运用．14．（5分）（2016秋•太原期末）七名同学战成一排照相，其中甲、乙二人相邻，且丙、丁两人不相邻的不同排法总数为960 ．【分析】由题设中的条件知，可以先把甲、乙必须相邻，可先将两者绑定，又丙、丁不相邻，可把甲、乙看作是一个人，与丙、丁之外的3个人作一个全排列，由于此4个元素隔开了5个空，再由插空法将丙、丁两人插入5个空，由分析过程知，此题应分为三步完成，由计数原理计算出结果即可【解答】解：由题意，第一步将甲、乙绑定，两者的站法有2种，第二步将此两人看作一个整体，与除丙丁之外的3人看作4个元素做一个全排列有A44种站法，此时隔开了5个空，第三步将丙丁两人插入5个空，排法种数为A52则不同的排法种数为2×A44×A52=960．故答案为：960．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是掌握并理解计数原理，计数时的一些技巧在解题时很有用，如本题中所用到的绑定，与插空，这些技巧都是针对某一类计数问题的，题后应注意总结一下，不同的计数问题中所采用的技巧，将这些技巧与具体的背景结合起来，熟练掌握这些技巧．15．（5分）（2016秋•太原期末）已知数列{an }的前n项和Sn=2an﹣2n+1（n∈N*），则其通项公式an= n•2n﹣1．【分析】当n=1时，可求得a1=1；当n≥2时，利用an=Sn﹣Sn﹣1可得﹣=，从而可判定数列{}是以为首项，为公差的等差数列，可求得an．【解答】解：①当n=1时，a1=2a1﹣2+1，则a1=1；②当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1﹣2n﹣1+1，Sn﹣Sn﹣1=（2an﹣2n+1）﹣（2an﹣1﹣2n﹣1+1）=2an﹣2an﹣1﹣2n﹣1=an，即an ﹣2an﹣1=2n﹣1，变形为：﹣=，故数列{}是以为首项，为公差的等差数列，所以，=+（n﹣1）=，所以an=n•2n﹣1，故答案为：n•2n﹣1．【点评】本题考查数列递推式的应用，确定出数列{}是以为首项，为公差的等差数列是关键，考查推理与运算能力，属于中档题．16．（5分）（2016秋•太原期末）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，BC边上的高为，则的最大值为．【分析】由已知及余弦定理可求：（）2=（）2+1﹣，进而可求当cosC=0时，取最大值，求得C为直角，利用勾股定理即可计算得解．【解答】解：由题意知c2=a2+b2﹣2abcosC，两边同时除以b2，可得：（）2=（）2+1﹣，由于a，b，c都为正数，可得：当cosC=0时，取最大值．由于C∈（0，π），可得：C=，即当BC边上的高与b重合时取得最大值，此时三角形为直角三角形，c2=a2+（）2，解得：=．故答案为：．【点评】本题主要考查了的考点有：余弦定理；函数的最值，考查了余弦定理及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．（12分）（2016秋•太原期末）已知数列{an}是首项为1的单调递增的等比数列，且满足a3，成等差数列．（1）求{an}的通项公式；（2）若bn =log3（an•an+1）（n∈N*），求数列{an•bn}的前n项和Sn．【分析】（1）设等比数列{an }公比为q＞1，由a3，成等差数列．可得a4=a3+a5，化为：3q2﹣10q+3=0，解得q即可得出．（2）bn =log3（an•an+1）==2n﹣1，可得anbn=（2n﹣1）•3n﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设等比数列{an }公比为q＞1，∵a3，成等差数列．∴a4=a3+a5，化为：3q2﹣10q+3=0，解得q=3．∴an=3n﹣1．（2）bn =log3（an•an+1）==2n﹣1，∴an bn=（2n﹣1）•3n﹣1．∴数列{an •bn}的前n项和Sn=1+3×3+5×32+…+（2n﹣1）•3n﹣1．3Sn=3+3×32+5×33+…+（2n﹣3）•3n﹣1+（2n﹣1）•3n，∴﹣2Sn=1+2（3+32+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）•3n=1+2×﹣（2n﹣1）•3n=（2﹣2n）•3n﹣2，∴Sn=1+（n﹣1）•3n．【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2016秋•太原期末）如图，已知AD是△ABC内角∠BAC的角平分线．（1）用正弦定理证明：；（2）若∠BAC=120°，AB=2，AC=1，求AD的长．【分析】（1）根据AD是∠BAC的角平分线，利用正弦定理，即可证明结论成立；（2）根据余弦定理，先求出BC的值，再利用角平分线和余弦定理，即可求出AD的长．【解答】解：（1）∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，根据正弦定理，在△ABD中，=，在△ADC中，=，∵sin∠ADB=sin（π﹣∠ADC）=sin∠ADC，∴=，=，∴=；（2）根据余弦定理，cos∠BAC=，即cos120°=，解得BC=，又=，∴=，解得CD=，BD=；设AD=x，则在△ABD与△ADC中，根据余弦定理得，cos60°=，且cos60°=，解得x=，即AD的长为．【点评】本题考查了角平分线定理和正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．19．（12分）（2016秋•太原期末）甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：先将筹码放在如下表的正中间D处，投掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，筹码向右移动一格；若反面朝上，筹码向左移动一格．（1）将硬币连续投掷三次，现约定：若筹码停在A或B或C或D处，则甲赢；否则，乙赢．问该约定对乙公平吗？请说明理由．（2）设甲、乙两人各有100个积分，筹码停在D处，现约定：①投掷一次硬币，甲付给乙10个积分；乙付给甲的积分数是，按照上述游戏规则筹码所在表中字母A﹣G下方所对应的数目；②每次游戏筹码都连续走三步，之后重新回到起始位置D处．你认为该规定对甲、乙二人哪一个有利，请说明理由．【分析】（1）利用将硬币连续投掷三次，列举出所有8种情况，筹码停在A或B或C或D处有4种情况，即筹码停在A或B或C或D为，从而得到该约定对乙公平．（2）乙付给甲的积分数可能是20，25，30，45，55，设乙付给甲的积分为X，求出E（X）=＞30，从而该规定对甲有利．【解答】解：（1）该约定对乙公平．将硬币连续投掷三次，共有以下8种情况：D→C→B→A，D→C→B→C，D→C→D→E，D→C→D→C，D→E→F→G，D→E→F→E，D→E→D→E，D→E→D→C．筹码停在A或B或C或D处有4种情况，即筹码停在A或B或C或D为：p=，∴该约定对乙公平．（2）该规定对甲有利．根据（1）中所列的8种情况可得乙付给甲的积分数可能是20，25，30，45，55，设乙付给甲的积分为X，P（X=20）=，P（X=25）=，P（X=30）=，P（X=45）=，P（X=55）=，可得分布列为：E（X）==＞30，∴该规定对甲有利．【点评】本题考查概率的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意利用列举法的合理运用．20．（12分）（2016秋•太原期末）如图，在六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，平面ABCD⊥平面A1B1BA，平面ABCD平面B1BCC1．（1）证明：BB1⊥平面ABCD；（2）已知六面体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为，cos∠BAD=，设平面BMN与平面AB1D1相交所成二面角的大小为θ求cosθ．【分析】（1）过点D作DP⊥AB，过点D作DQ⊥BC，推导出DP⊥BB1，DQ⊥BB1，由此能证明BB1⊥平面ABCD．（2）设AC与BD的交点为O，与B1D1的交点为O1，以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出cosθ．【解答】证明：（1）过点D作DP⊥AB，过点D作DQ⊥BC，由平面ABCD⊥平面A1B1BA，BB1⊂平面A1B1BA，得DP⊥BB1，由平面ABCD⊥平面B1BCC1，BB1⊂平面B1BCC1，得DQ⊥BB1，又DP∩DQ=D，∴BB1⊥平面ABCD．解：（2）由AB=AD=，且cos∠BAD=，在△ABD中利用余弦定理得BD=2，设AC与BD的交点为O，与B1D1的交点为O1，以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，1，0），M（1，，），N（﹣1，，），C（﹣2，0，0），A1（2，0，），A（2，0，0），B 1（0，1，），D1（0，﹣1，），设平面BMN的法向量为=（a，b，c），=（1，﹣），=（﹣2，0，0），则，取b=10，得=（0，10，），设平面AB1D1的法向量为=（x，y，z），=（﹣2，1，），=（0，﹣2，0），则，取x=5，得=（5，0，2），∴cosθ==．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．（12分）（2016秋•太原期末）已知函数f（x）=﹣axlnx（a∈R）在x=1处的切线方程为y=bx+1+（b∈R）．（1）求a，b的值；（2）证明：f（x）＜．（3）若正实数m，n满足mn=1，证明：+＜2（m+n）．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得斜率，解方程可得a，b；（2）由题意可得即证﹣＜xlnx，令g（x）=﹣，求出导数，单调区间，可得最大值；又令h（x）=xlnx，求出最小值，即可得证；（3）由（2）可得﹣mlnm＜，即﹣lnm＜，两边乘以e，可得一不等式，同理可得，﹣elnn＜，两式相加结合条件，即可得证．【解答】解：（1）函数f（x）=﹣axlnx的导数为f′（x）=﹣alnx﹣a，由题意可得f′（1）=b=﹣a，f（1）==b+1+，解得a=1，b=﹣1；（2）证明：f（x）=﹣xlnx＜，即为﹣＜xlnx，令g（x）=﹣，g′（x）=，则g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，g（x）的最大值为g（1）=﹣，当且仅当x=1时等号成立．又令h（x）=xlnx，则h′（x）=1+lnx，则h（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，则h（x）的最小值为h（）=﹣，当且仅当x=等号成立，因此﹣＜xlnx，即f（x）＜；（3）证明：由（2）可得﹣mlnm＜，即﹣lnm＜，两边同乘以e，可得﹣elnm＜，同理可得，﹣elnn＜，两式相加，可得：＜e（lnm+lnn）+2（m+n）=elnmn+=2（m+n）．故＜2（m+n）．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，极值和最值，考查不等式的证明，注意运用不等式的性质和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．四、解答题（共1小题，满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系22．（10分）（2016秋•太原期末）已知平面直角坐标系xoy中，点P（1，0），曲线C的参数方程为（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，倾斜角为α的直线l的极坐标方程为ρsin（α﹣θ）=sinα．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若曲线C与直线l交于M，N两点，且，求α的值．【分析】（1）消去曲线C中的参数，可得普通方程，利用ρsinθ=y，ρcosθ=x，可得直线l的直角坐标方程．（2）利用参数方程的几何意义，求解．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数）．cos2φ+sin2φ=1，可得：故得曲线C的普通方程为．直线l的极坐标方程为ρsin（α﹣θ）=sinα⇔ρsinαcosθ﹣ρsinθcosα=sinα⇔（x﹣1）sinα=ycosα⇔y=x•tanα﹣tanα．故得直线l的直角坐标方程为y=x•tanα﹣tanα．（2）由题意，可得直线l的参数方程带入曲线C的普通方程可得：（3sin2α+1）+2cosα•t﹣3=0，可得：，．由，可得：||=||=，即=||，解得：|cosα|=，∴α=或．【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的互换以及参数方程的几何意义的运用．属于基础题．五、解答题（共1小题，满分10分）选修4-5：不等式选讲23．（10分）（2016秋•太原期末）已知实数a，b，c均大于0．（1）求证：++≤a+b+c；（2）若a+b+c=1，求证：≤1．【分析】直接利用基本不等式，即可证明．【解答】证明：（1）∵实数a，b，c均大于0，∴a+b≥2，b+c≥2，c+a≥2，三式相加，可得：++≤a+b+c；（2）∵a+b≥2，b+c≥2，c+a≥2，∴≤++≤a+b+c=1．【点评】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，属于中档题．。

2016-2017学年上学期期末考试数学模拟试卷（A ）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若△ABC 中，A ＜B ＜C ，且C ≠π2，则下列结论中正确的是（ ）．A ．tan A ＜tan CB ．tan A ＞tan CC ．sin A ＜sin CD ．cos A ＜cos C2．设数列{a n }是由正项组成的等比数列，且a 7·a 8＝4，则log 4a 1＋log 4a 2＋…＋log 4a 14等于（ ）．A ．5B ．6C ．7D ．83．等差数列{a n }的公差d ＜0，且22111a a ，则数列{a n }的前n 项和S n 取最大值时的项数n 是（ ）．A ．5B ．6C ．5或6D ．6或74．如图，目标函数z ＝ax －y 的可行域为四边形OACB （含边界），若C （23，45）是该目标函数z ＝ax －y 的最优解，则a 的取值范围是（ ）．A ．（－103，－512）B ．（－125，－310）C ．（310，125）D ．（－125，310）5．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC 是( )．A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形6．等差数列{a n }中，d ＝－2，a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 31＝50，那么a 2＋a 6＋a 10＋…＋a 42的值为（ ）．A ．60B ．－82C ．182D ．－967．已知命题p ：“x ∈R 时，都有x 2－x ＋14＜0”；命题q ：“存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2成立”．则下列判断正确的是（ ）．A ．p ∨q 为假命题B ．p ∧q 为真命题C ．非p ∧q 为真命题D ．非p ∨非q 是假命题8．已知抛物线C ：y 2＝x 与直线l ：y ＝kx ＋1，“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件9．以双曲线x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ）．A ．x 216＋y 212＝1B ．x 212＋y 216＝1C ．x 216＋y 24＝1D ．x 24＋y 216＝110．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）．A ．x ＝±152y B ．y ＝±152x C ．x ＝±34yD ．y ＝±34x11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为（ ）． A ．24B ．23C ．33D ．3212．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）．A ．（1，3）B ．（1，3]C ．（3，＋∞）D ．[3，＋∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）13．已知不等式x 2＋bx －b －34＞0的解集为R ，则b 的取值范围是________．14．在△ABC 中，A ＝30°，b ＝12，S △ABC ＝18，则sin A ＋sin B ＋sin Ca ＋b ＋c的值为________．15．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上一点，设P 到此抛物线准线的距离为d 1，到直线x ＋2y －12＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是________．16．有下列命题：①双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 235＋y 2＝1有相同的焦点；②“－12＜x ＜0”是“2x 2－5x －3＜0”的必要不充分条件；③若a 与b 共线，则a ，b 所在直线平行；④若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量一定也共面；⑤∀x ∈R ，x 2－3x ＋3≠0．其中正确的命题有________．（把你认为正确的命题的序号填在横线上）三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知△ABC 的外接圆半径为1，且角A 、B 、C 成等差数列，若角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，求a 2＋c 2的取值范围．18．{a n }，{b n }都是各项为正数的数列，对于任意n ∈N *，都有a n ，b 2n ，a n ＋1成等差数列，b 2n ，a n ＋1，b 2n ＋1成等比数列．（1）试问{b n }是否为等差数列，为什么？ （2）若a 1＝1，b 1＝2，求S ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ．19．已知p ：“直线x ＋y －m ＝0与圆（x －1）2＋y 2＝1相交”；q ：“mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根”．若p ∨q 为真，非p 为真，求m 的取值范围．20．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋（y －m ）2＝9（m ∈R ），双曲线G 与椭圆D有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切．当m ＝5时，求双曲线G 的方程．21．如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD ．（1）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； （2）求二面角Q －BP －C 的余弦值．22．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．2016-2017学年上学期期末考试 数学模拟试卷（A ）答案1．答案：C解析：利用正弦定理A ＜B ＜C ．所以a ＜c ，即2R sin A ＜2R sin C ．所以sin A ＜sin C ． 2．答案：C解析：log 4a 1＋log 4a 2＋…＋log 4a 14＝log 4（a 1a 2·…·a 14）＝log 4（a 7·a 8）7＝log 447＝7． 3．答案：C解析：由题设可知a 1＝－a 11，所以a 1＋a 11＝0．所以a 6＝0．因为d ＜0，故a 5＞0，a 7＜0，所以n ＝5或6．4．答案：B解析：利用目标函数的斜率a 与最优点为C ，依线性规划知识知－125＜a ＜－310．5．答案：B解析：sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，且∠C 是△ABC 的最大内角，又因为52＋112－132<0，故cos C <0，∴角C 为钝角．6．答案：B解析：a 2＋a 6＋a 10＋…＋a 42＝a 1＋d ＋a 4＋2d ＋a 7＋3d ＋…＋a 31＋11d ＝（a 1＋a 4＋…＋a 31）＋（d ＋2d ＋3d ＋…＋11d ）＝50＋11×122d ＝50＋66d ＝－82．7．答案：C解析：易知p 假，q 真，从而可判断得C 正确． 8．答案：B 9．答案：D解析：由x 24－y 212＝－1，得y 212－x 24＝1．∴双曲线的焦点为（0，4）、（0，－4），顶点坐标为（0，23）、（0，－23）．∴椭圆方程为x 24＋y 216＝1．10．答案：D解析：由已知椭圆与双曲线有公共焦点得3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2，∴m 2＝8n 2．而由双曲线x 22m 2－y 23n2＝1，得渐近线为y ＝±3n 22m 2x ＝±34x ． 11．答案：C解析：建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1， 则D （0，0，0），A 1（1，0，1），B （1，1，0），C 1（0，1，1）．∴1DA ＝（1，0，1），DB ＝（1，1，0）， 1BC ＝（－1，0，1）． 设平面A 1BD 的法向量为n ＝（x ，y ，z ），则n ·1DA ＝0， n ·DB ＝0．∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.令x ＝1，则n ＝（1，－1，－1）， ∴cos 〈n ，1BC 〉＝11BC BC ⋅n n ＝－23·2＝－63．∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为63． ∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为33． 12．答案：B解析：由题意知在双曲线上存在一点P ，使得|PF1|＝2|PF 2|，如图．又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，即在双曲线右支上恒存在点P 使得|PF 2|＝2a ，即|AF 2|≤2a ． ∴|OF 2|－|OA |＝c －a ≤2a ．∴c ≤3a ． 又∵c ＞a ，∴a ＜c ≤3a ． ∴1＜ca ≤3，即1＜e ≤3．13．答案：（－3，－1）解析：由题知b 2－4·（－b －34）＜0，即b 2＋4b ＋3＜0，所以－3＜b ＜－1．14．答案：1125－23解析：由S △ABC ＝12bc sin A ，得18＝12×12×c sin30°．所以c ＝6．再由余弦定理得a 2＝122＋62－2×6×12cos30°＝36（5－23）．由正弦定理，得sin A ＋sin B ＋sin C a ＋b ＋c ＝sin A a ＝1265－23＝1125－23．15．答案：1155解析：如图，根据定义，d 1即为P 到焦点（1，0）的距离，∴d 1＋d 2的最小值也就是焦点到直线的距离．∴（d 1＋d 2）min ＝|1＋2×0－12|5＝1155．16．答案：①⑤解析：①中，双曲线c 21＝25＋9＝34，椭圆c 22＝35－1＝34，故①正确；②中，∵2x 2－5x －3＜0，∴－12＜x ＜3．又－12＜x ＜0⇒－12＜x ＜3，小范围推出大范围，而大范围推不出小范围，∴是充分而不必要条件，故②错；③中，a 和b 所在直线可能重合，故③错；④中，a ，b ，c 可以不共面，例如平行六面体以一个顶点为起点引出的三个向量，故④错；⑤中，Δ＝9－12＜0，故对 x ∈R ，x 2－3x ＋3≠0成立．17．解：由A 、B 、C 成等差数列，得2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＝60°， A ＋C ＝120°．设A ＝60°＋α，得C ＝60°－α．由0°＜A ＜120°，0°＜C ＜120°，得 －60°＜α＜60°．由正弦定理，得a ＝2R sin A ＝2sin A ，c ＝2R sin C ＝2sin C ． 所以a 2＋c 2＝4（sin 2A ＋sin 2C ）＝4（1－cos2A 2＋1－cos2C2）＝4－2（cos2A ＋cos2C ）＝4－2[cos （120°＋2α）＋cos （120°－2α）]＝4＋2cos2α．因为－60°＜α＜60°，所以－120°＜2α＜120°． 所以－12＜cos2α≤1．所以a 2＋c 2∈（3，6]．18．解：（1）b 2n ，a n ＋1，b 2n ＋1成等比数列，则a 2n ＋1＝b 2n b 2n ＋1．因为a n ＞0，b n ＞0，n ∈N *．所以a n ＋1＝b n b n ＋1．所以n ≥2时，a n ＝b n －1b n ．又因为a n ，b 2n ，a n ＋1成等差数列，则a n ＋a n ＋1＝2b 2n ．所以n ≥2时，b n －1b n ＋b n b n ＋1＝2b 2n ． 因为b n ＞0，所以2b n ＝b n －1＋b n ＋1（n ≥2）． 所以{b n }是等差数列．（2）由（1）及a 1＝1，b 1＝2知：a 1＋a 2＝2b 21，所以a 2＝3． 又a 2＝b 1b 2，所以3＝2·b 2，所以b 2＝322．所以公差d ＝b 2－b 1＝22，所以b n ＝22（n ＋1）． 当n ≥2时，a n ＝b n －1b n ＝12n （n ＋1）．因为a 1＝1适合上式，所以a n ＝(1)2n n +，n ∈N *． 所以1a n ＝2（1n －1n ＋1）．所以S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝2⎣⎡⎦⎤(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝2（1－1n ＋1）＝2nn ＋1．19．解：对p ：∵直线与圆相交，∴d ＝|1－m |2＜1，∴－2＋1＜m ＜2＋1．对q ：方程mx 2－x ＋m －4＝0有一正根一负根， ∴令f （x ）＝mx 2－x ＋m －4．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，f (0)<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，f (0)>0.解得0＜m ＜4． 又∵非p 为真，∴p 假．又∵p ∨q 为真，∴q 为真．由数轴可得2＋1≤m ＜4，故m 的取值范围是2＋1≤m ＜4．20．解：椭圆D ：x 250＋y 225＝1的两焦点为F 1（－5，0）、F 2（5，0），故双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5．设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0），则G 的渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，且a 2＋b 2＝25．当m ＝5时，圆心为（0，5），半径为r ＝3． ∴|5a |a 2＋b2＝3 ⇒ a ＝3，b ＝4． ∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1．21．解：如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D －xyz ．（1）证明：依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1）， P （0，2，0），则DQ ＝（1，1，0），DC ＝（0，0，1），PQ ＝（1，－1，0）．所以PQ DQ ⋅＝0，PQ DC ⋅＝0． 即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ． 故PQ ⊥平面DCQ ． 又PQ ⊂平面PQDC ， 所以平面PQC ⊥平面DCQ ．（2）依题意有B （1，0，1），CB ＝（1，0，0），BP ＝（－1，2，－1）． 设n ＝（x ，y ，z ）是平面PBC 的法向量，则0,0,CB BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－x ＋2y －z ＝0. 因此可取n ＝（0，－1，－2）． 设m 是平面PBQ 的法向量，则0,0.BP PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 可取m ＝（1，1，1）， 所以cos 〈m ，n 〉＝－155． 故二面角Q －BP －C 的余弦值为－155． 22．解：（1）由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0），由已知得：a ＋c ＝3，a －c ＝1，∴a ＝2，c ＝1．∴b 2＝a 2－c 2＝3． ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得（3＋4k 2）x 2＋8mkx ＋4（m 2－3）＝0，Δ＝64m 2k 2－16（3＋4k 2）（m 2－3）＞0，即3＋4k 2－m 2＞0，则12221228,344(3).34mk x x km x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩又y 1y 2＝（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）＝k 2x 1x 2＋mk （x 1＋x 2）＋m 2＝2223(4)34m k k -+，∵以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D （2，0）， ∴k AD ·k BD ＝－1，即y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1．∴y 1y 2＋x 1x 2－2（x 1＋x 2）＋4＝0．∴2222223(4)4(3)1640.343434m k m mkk k k--+++=+++ ∴7m 2＋16mk ＋4k 2＝0．解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k7，且均满足3＋4k 2－m 2＞0．当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k （x －2），直线过定点（2，0），与已知矛盾． 当m 2＝－27k 时，l 的方程为y ＝k （x －27），直线过定点（27，0）．∴直线l 过定点，定点坐标为（27，0）．。

2016-2017学年上学期期末考试数学模拟试卷（A ）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若△ABC 中，A ＜B ＜C ，且C ≠π2，则下列结论中正确的是（ ）．A ．tan A ＜tan CB ．tan A ＞tan CC ．sin A ＜sin CD ．cos A ＜cos C2．设数列{a n }是由正项组成的等比数列，且a 7·a 8＝4，则log 4a 1＋log 4a 2＋…＋log 4a 14等于（ ）．A ．5B ．6C ．7D ．83．等差数列{a n }的公差d ＜0，且22111a a ，则数列{a n }的前n 项和S n 取最大值时的项数n 是（ ）．A ．5B ．6C ．5或6D ．6或74．如图，目标函数z ＝ax －y 的可行域为四边形OACB （含边界），若C （23，45）是该目标函数z ＝ax －y 的最优解，则a 的取值范围是（ ）．A ．（－103，－512）B ．（－125，－310）C ．（310，125）D ．（－125，310）5．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC 是( )．A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形6．等差数列{a n }中，d ＝－2，a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 31＝50，那么a 2＋a 6＋a 10＋…＋a 42的值为（ ）．A ．60B ．－82C ．182D ．－967．已知命题p ：“x ∈R 时，都有x 2－x ＋14＜0”；命题q ：“存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2成立”．则下列判断正确的是（ ）．A ．p ∨q 为假命题B ．p ∧q 为真命题C ．非p ∧q 为真命题D ．非p ∨非q 是假命题8．已知抛物线C ：y 2＝x 与直线l ：y ＝kx ＋1，“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件9．以双曲线x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（ ）．A ．x 216＋y 212＝1B ．x 212＋y 216＝1C ．x 216＋y 24＝1D ．x 24＋y 216＝110．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）．A ．x ＝±152y B ．y ＝±152x C ．x ＝±34yD ．y ＝±34x11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为（ ）． A ．24B ．23C ．33D ．3212．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）．A ．（1，3）B ．（1，3]C ．（3，＋∞）D ．[3，＋∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）13．已知不等式x 2＋bx －b －34＞0的解集为R ，则b 的取值范围是________．14．在△ABC 中，A ＝30°，b ＝12，S △ABC ＝18，则sin A ＋sin B ＋sin Ca ＋b ＋c的值为________．15．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上一点，设P 到此抛物线准线的距离为d 1，到直线x ＋2y －12＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是________．16．有下列命题：①双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 235＋y 2＝1有相同的焦点；②“－12＜x ＜0”是“2x 2－5x －3＜0”的必要不充分条件；③若a 与b 共线，则a ，b 所在直线平行；④若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量一定也共面；⑤∀x ∈R ，x 2－3x ＋3≠0．其中正确的命题有________．（把你认为正确的命题的序号填在横线上）三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知△ABC 的外接圆半径为1，且角A 、B 、C 成等差数列，若角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，求a 2＋c 2的取值范围．18．{a n }，{b n }都是各项为正数的数列，对于任意n ∈N *，都有a n ，b 2n ，a n ＋1成等差数列，b 2n ，a n ＋1，b 2n ＋1成等比数列．（1）试问{b n }是否为等差数列，为什么？ （2）若a 1＝1，b 1＝2，求S ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n ．19．已知p ：“直线x ＋y －m ＝0与圆（x －1）2＋y 2＝1相交”；q ：“mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根”．若p ∨q 为真，非p 为真，求m 的取值范围．20．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋（y －m ）2＝9（m ∈R ），双曲线G 与椭圆D有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切．当m ＝5时，求双曲线G 的方程．21．如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD ．（1）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； （2）求二面角Q －BP －C 的余弦值．22．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．2016-2017学年上学期期末考试 数学模拟试卷（A ）答案1．答案：C解析：利用正弦定理A ＜B ＜C ．所以a ＜c ，即2R sin A ＜2R sin C ．所以sin A ＜sin C ． 2．答案：C解析：log 4a 1＋log 4a 2＋…＋log 4a 14＝log 4（a 1a 2·…·a 14）＝log 4（a 7·a 8）7＝log 447＝7． 3．答案：C解析：由题设可知a 1＝－a 11，所以a 1＋a 11＝0．所以a 6＝0．因为d ＜0，故a 5＞0，a 7＜0，所以n ＝5或6．4．答案：B解析：利用目标函数的斜率a 与最优点为C ，依线性规划知识知－125＜a ＜－310．5．答案：B解析：sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，且∠C 是△ABC 的最大内角，又因为52＋112－132<0，故cos C <0，∴角C 为钝角．6．答案：B解析：a 2＋a 6＋a 10＋…＋a 42＝a 1＋d ＋a 4＋2d ＋a 7＋3d ＋…＋a 31＋11d ＝（a 1＋a 4＋…＋a 31）＋（d ＋2d ＋3d ＋…＋11d ）＝50＋11×122d ＝50＋66d ＝－82．7．答案：C解析：易知p 假，q 真，从而可判断得C 正确． 8．答案：B 9．答案：D解析：由x 24－y 212＝－1，得y 212－x 24＝1．∴双曲线的焦点为（0，4）、（0，－4），顶点坐标为（0，23）、（0，－23）．∴椭圆方程为x 24＋y 216＝1．10．答案：D解析：由已知椭圆与双曲线有公共焦点得3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2，∴m 2＝8n 2．而由双曲线x 22m 2－y 23n2＝1，得渐近线为y ＝±3n 22m 2x ＝±34x ． 11．答案：C解析：建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1， 则D （0，0，0），A 1（1，0，1），B （1，1，0），C 1（0，1，1）．∴1DA ＝（1，0，1），DB ＝（1，1，0）， 1BC ＝（－1，0，1）． 设平面A 1BD 的法向量为n ＝（x ，y ，z ），则n ·1DA ＝0， n ·DB ＝0．∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.令x ＝1，则n ＝（1，－1，－1）， ∴cos 〈n ，1BC 〉＝11BC BC ⋅n n ＝－23·2＝－63．∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为63． ∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为33． 12．答案：B解析：由题意知在双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＝2|PF 2|，如图．又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，即在双曲线右支上恒存在点P 使得|PF 2|＝2a ，即|AF 2|≤2a ． ∴|OF 2|－|OA |＝c －a ≤2a ．∴c ≤3a ． 又∵c ＞a ，∴a ＜c ≤3a ． ∴1＜ca ≤3，即1＜e ≤3．13．答案：（－3，－1）解析：由题知b 2－4·（－b －34）＜0，即b 2＋4b ＋3＜0，所以－3＜b ＜－1．14．答案：1125－23解析：由S △ABC ＝12bc sin A ，得18＝12×12×c sin30°．所以c ＝6．再由余弦定理得a 2＝122＋62－2×6×12cos30°＝36（5－23）．由正弦定理，得sin A ＋sin B ＋sin C a ＋b ＋c ＝sin A a ＝1265－23＝1125－23．15．答案：1155解析：如图，根据定义，d 1即为P 到焦点（1，0）的距离，∴d 1＋d 2的最小值也就是焦点到直线的距离．∴（d 1＋d 2）min ＝|1＋2×0－12|5＝1155．16．答案：①⑤解析：①中，双曲线c 21＝25＋9＝34，椭圆c 22＝35－1＝34，故①正确；②中，∵2x 2－5x －3＜0，∴－12＜x ＜3．又－12＜x ＜0⇒－12＜x ＜3，小范围推出大范围，而大范围推不出小范围，∴是充分而不必要条件，故②错；③中，a 和b 所在直线可能重合，故③错；④中，a ，b ，c 可以不共面，例如平行六面体以一个顶点为起点引出的三个向量，故④错；⑤中，Δ＝9－12＜0，故对 x ∈R ，x 2－3x ＋3≠0成立．17．解：由A 、B 、C 成等差数列，得2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＝60°， A ＋C ＝120°．设A ＝60°＋α，得C ＝60°－α．由0°＜A ＜120°，0°＜C ＜120°，得 －60°＜α＜60°．由正弦定理，得a ＝2R sin A ＝2sin A ，c ＝2R sin C ＝2sin C ． 所以a 2＋c 2＝4（sin 2A ＋sin 2C ）＝4（1－cos2A 2＋1－cos2C2）＝4－2（cos2A ＋cos2C ）＝4－2[cos （120°＋2α）＋cos （120°－2α）]＝4＋2cos2α．因为－60°＜α＜60°，所以－120°＜2α＜120°． 所以－12＜cos2α≤1．所以a 2＋c 2∈（3，6]．18．解：（1）b 2n ，a n ＋1，b 2n ＋1成等比数列，则a 2n ＋1＝b 2n b 2n ＋1．因为a n ＞0，b n ＞0，n ∈N *．所以a n ＋1＝b n b n ＋1．所以n ≥2时，a n ＝b n －1b n ．又因为a n ，b 2n ，a n ＋1成等差数列，则a n ＋a n ＋1＝2b 2n ．所以n ≥2时，b n －1b n ＋b n b n ＋1＝2b 2n ． 因为b n ＞0，所以2b n ＝b n －1＋b n ＋1（n ≥2）． 所以{b n }是等差数列．（2）由（1）及a 1＝1，b 1＝2知：a 1＋a 2＝2b 21，所以a 2＝3． 又a 2＝b 1b 2，所以3＝2·b 2，所以b 2＝322．所以公差d ＝b 2－b 1＝22，所以b n ＝22（n ＋1）． 当n ≥2时，a n ＝b n －1b n ＝12n （n ＋1）．因为a 1＝1适合上式，所以a n ＝(1)2n n +，n ∈N *． 所以1a n ＝2（1n －1n ＋1）．所以S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝2⎣⎡⎦⎤(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝2（1－1n ＋1）＝2nn ＋1．19．解：对p ：∵直线与圆相交，∴d ＝|1－m |2＜1，∴－2＋1＜m ＜2＋1．对q ：方程mx 2－x ＋m －4＝0有一正根一负根， ∴令f （x ）＝mx 2－x ＋m －4．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，f (0)<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，f (0)>0.解得0＜m ＜4． 又∵非p 为真，∴p 假．又∵p ∨q 为真，∴q 为真．由数轴可得2＋1≤m ＜4，故m 的取值范围是2＋1≤m ＜4．20．解：椭圆D ：x 250＋y 225＝1的两焦点为F 1（－5，0）、F 2（5，0），故双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5．设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1（a ＞0，b ＞0），则G 的渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，且a 2＋b 2＝25．当m ＝5时，圆心为（0，5），半径为r ＝3． ∴|5a |a 2＋b2＝3 ⇒ a ＝3，b ＝4． ∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1．21．解：如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D －xyz ．（1）证明：依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1）， P （0，2，0），则DQ ＝（1，1，0），DC ＝（0，0，1），PQ ＝（1，－1，0）．所以PQ DQ ⋅＝0，PQ DC ⋅＝0． 即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC ． 故PQ ⊥平面DCQ ． 又PQ ⊂平面PQDC ， 所以平面PQC ⊥平面DCQ ．（2）依题意有B （1，0，1），CB ＝（1，0，0），BP ＝（－1，2，－1）． 设n ＝（x ，y ，z ）是平面PBC 的法向量，则0,0,CB BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－x ＋2y －z ＝0. 因此可取n ＝（0，－1，－2）． 设m 是平面PBQ 的法向量，则0,0.BP PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 可取m ＝（1，1，1）， 所以cos 〈m ，n 〉＝－155． 故二面角Q －BP －C 的余弦值为－155． 22．解：（1）由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0），由已知得：a ＋c ＝3，a －c ＝1，∴a ＝2，c ＝1．∴b 2＝a 2－c 2＝3． ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得（3＋4k 2）x 2＋8mkx ＋4（m 2－3）＝0，Δ＝64m 2k 2－16（3＋4k 2）（m 2－3）＞0，即3＋4k 2－m 2＞0，则12221228,344(3).34mk x x km x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩又y 1y 2＝（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）＝k 2x 1x 2＋mk （x 1＋x 2）＋m 2＝2223(4)34m k k -+，∵以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D （2，0）， ∴k AD ·k BD ＝－1，即y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1．∴y 1y 2＋x 1x 2－2（x 1＋x 2）＋4＝0．∴2222223(4)4(3)1640.343434m k m mkk k k--+++=+++ ∴7m 2＋16mk ＋4k 2＝0．解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k7，且均满足3＋4k 2－m 2＞0．当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k （x －2），直线过定点（2，0），与已知矛盾． 当m 2＝－27k 时，l 的方程为y ＝k （x －27），直线过定点（27，0）．∴直线l 过定点，定点坐标为（27，0）．。