等比数列的通项公式基础练习

4.3.1.1等比数列的概念和通项公式知识点一 等比数列的概念(1)文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q ≠0)表示． (2)符号语言：a n ＋1a n ＝q (q 为常数，n ∈N *)【重点总结】(1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比也不为0，由此可知，若数列中有“0”项存在，则该数列不可能是等比数列．(2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意公比是每一项与其前一项之比，前后次序不能颠倒．(3)定义中的“同一个常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略．要点二 等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 【重点总结】(1)若G 是a 与b 的等比中项，则G a ＝bG，所以G 2＝ab ，G ＝±ab.(2)与“任意两个实数a ，b 都有唯一的等差中项A ＝a ＋b2”不同，只有当a 、b 同号时a 、b 才有等比中项，并且有两个等比中项，分别是ab 与－ab ；当a ，b 异号时没有等比中项．(3)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项． 要点三 等比数列的通项公式设等比数列{a n }的公比为q ，则这个等比数列的通项公式是a n ＝11n a q (a 1，q ≠0且n ∈N *)． 【重点总结】(1)已知首项a 1和公比q ，可以确定一个等比数列． (2)在公式a n ＝a 1q n －1中，有a n ，a 1，q ，n 四个量，已知其中任意三个量，可以求得第四个量，其中a 1，q 为两个基本量．(3)对于等比数列{a n }，若q<0，则{a n }中正负项间隔出现，如数列1，－2,4，－8,16，…；若q>0，则数列{a n }各项同号．从而等比数列奇数项必同号；偶数项也同号．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若一个数列为{a n }，且满足a na n －1＝q (n ≥2，q 为不等于0的常数)，则这个数列是等比数列．( )(2)在等比数列{a n }中，若已知任意两项的值，则可以求出首项、公比和数列任一项的值．( ) (3)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(4)若一个数列从第二项开始，每一项都是它前后两项的等比中项，则这个数列是等比数列．( ) 【答案】（1）√（2）√（3）×（4）× 2．(多选题)下列数列不是等比数列的是( )A ．2,22,3×22，… B.1a ，1a 2，1a3，…C ．s －1，(s －1)2，(s －1)3，…D ．0,0,0，… 【答案】ACD【解析】A 中，222≠3×2222，A 不是等比数列；B 中，1a 21a ＝1a 31a 2＝…，B 是等比数列；C 中，当s ＝1时，不是等比数列；当s ≠1时，是等比数列，所以C 不是等比数列；D 显然不是等比数列．故选ACD. 3．已知{a n }是等比数列，a 1＝1，a 4＝22，则a 3＝( ) A ．±2 B ．2 C ．－2 D ．4 【答案】B【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，则有1×q 3＝22＝(2)3，∴q ＝2，∴a 3＝a 4q＝2，故选B.4．已知等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则a n ＝________. 【答案】－2n 或(－2)n【解析】∵a 1＝－2，a 3＝－8，∴a 3a 1＝q 2＝－8－2＝4，∴q ＝±2，∴a n ＝(－2)·2n －1或a n ＝(－2)·(－2)n －1，即a n＝－2n 或a n ＝(－2)n .题型一 等比数列通项公式的求法及应用 探究1 基本量的计算 【例1】在等比数列{a n }中 (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；(2)a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，求n .【解析】(1)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8， ② 由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝22-53n .(2)方法一：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18， ①a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9， ② 由②①得q ＝12，从而a 1＝32.又a n ＝1，所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，所以n ＝6. 方法二：因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，得a 1＝32.由a n ＝a 1q n －1＝1，得n ＝6. 【重点小结】 (1)由a 7a 4＝q 3便可求出q ，再求出a 1，则a n ＝a 1·q n －1.(2)两个条件列出关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再由a n ＝1求n ；也可以直接先由q ＝a 3＋a 6a 2＋a 5入手．【方法归纳】等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件，建立关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再求a n ，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q 后，再求a 1，最后求a n ，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．探究2 等比数列的实际应用【例2】计算机的价格不断降低，若每台计算机的价格每年降低13，现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为( )A ．300元B ．900元C ．2 400元D ．3 600元 【答案】C【解析】降低后的价格构成以23为公比的等比数列，则现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为8 100×⎝⎛⎭⎫233＝2 400(元)． 【方法技巧】关于等比数列模型的实际应用题，先构造等比数列模型，确定a 1和q ，然后用等比数列的知识求解． 【跟踪训练1】(1)在等比数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 2＝2，则公比q 等于( ) A ．－2 B ．1或－2 C ．1 D ．1或2 【答案】B【解析】a 3＋a 4＝a 2q ＋a 2q 2＝2q ＋2q 2＝4， 即q 2＋q －2＝0，解得q ＝1或q ＝－2，故选B.(2)在等比数列{a n }中，a n >0，已知a 1＝6，a 1＋a 2＋a 3＝78，则a 2等于( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．36 【答案】B【解析】设公比为q ，由已知得6＋6q ＋6q 2＝78， 即q 2＋q －12＝0解得q ＝3或q ＝－4(舍去)． ∴a 2＝6q ＝6×3＝18.故选B.(3)某林场的树木每年以25%的增长率增长，则第10年末的树木总量是今年的________倍． 【答案】1.259【解析】设这个林场今年的树木总量是m ，第n 年末的树木总量为a n ，则a n ＋1＝a n ＋a n ×25%＝1.25a n . 则a n ＋1a n＝1.25，则数列{a n }是公比q ＝1.25的等比数列． 则a 10＝a 1q 9＝1.259 m.所以a 10a 1＝1.259.题型二 等比中项【例3】已知等比数列的前三项和为168，a 2－a 5＝42，求a 5，a 7的等比中项．【解析】设该等比数列的公比为q ，首项为a 1， 因为a 2－a 5＝42，所以q ≠1，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168a 1q －a 1q 4＝42， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1＋q ＋q 2)＝168a 1q (1－q 3)＝42①②因为1－q 3＝(1－q )(1＋q ＋q 2)，所以由②除以①，得q (1－q )＝14.所以q ＝12.所以a 1＝4212－⎝⎛⎭⎫124＝96.若G 是a 5，a 7的等比中项，则应有G 2＝a 5a 7＝a 1q 4·a 1q 6＝a 21q 10＝962×⎝⎛⎭⎫1210＝9. 所以a 5，a 7的等比中项是±3. 【方法归纳】(1)首项a 1和q 是构成等比数列的基本量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法． (2)解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项． 【跟踪训练2】如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝－3，ac ＝－9【答案】B【解析】∵－1，a ，b ，c ，－9成等比数列， ∴a 2＝(－1)×b ，b 2＝(－1)×(－9)＝9 ∴b <0，∴b ＝－3.又b 2＝ac ，∴ac ＝9.故选B.题型三 等比数列的判定与证明【例4】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．【解析】(1)当n ＝1时，S 1＝13(a 1－1)＝a 1，解得：a 1＝－12，当n ＝2时，S 2＝13(a 2－1)＝a 1＋a 2，解得a 2＝14.(2)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12.又a 1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．【变式探究1】将本例中条件换为“数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1”，求证：{a n ＋1}成等比数列，并求a n .【解析】由a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2，∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2×2n －1＝2n ， ∴a n ＝2n －1.【变式探究2】将本例中的条件换为“数列{a n }中，a 1＝56，a n ＋1＝13a n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1”，求a n . 【解析】令a n ＋1－A ·⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝13⎣⎡⎦⎤a n －A ·⎝⎛⎭⎫12n ，则a n ＋1＝13a n ＋A 3·⎝⎛⎭⎫12n ＋1. 由已知条件知A3＝1，得A ＝3，所以a n ＋1－3×⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝13⎣⎡⎦⎤a n －3×⎝⎛⎭⎫12n . 又a 1－3×⎝⎛⎭⎫121＝－23≠0， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －3×⎝⎛⎭⎫12n 是首项为－23，公比为13的等比数列． 于是a n －3×⎝⎛⎭⎫12n ＝－23×⎝⎛⎭⎫13n －1，故a n ＝3×⎝⎛⎭⎫12n －2×⎝⎛⎭⎫13n . 【方法归纳】判定数列是等比数列的常用方法(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 是常数)或a na n －1＝q (q 是常数，n ≥2)⇔{a n }为等比数列．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．(3)通项公式法：a n ＝a 1q n －1(其中a 1，q 为非零常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列． 【易错辨析】忽略等比数列各项的符号规律致错【例5】在等比数列{a n }中，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( ) A ．9或－9 B ．9 C ．27或－27 D ．－27 【答案】B【解析】由等比中项的性质得a 27＝a 5a 9＝81，∴a 7＝±9，由于等比数列中的奇数项的符号相同，所以a 7＝9，故选B. 【易错警示】 1. 出错原因没有弄清等比数列各项的符号规律，直接由等比中项得a 7＝±9，错选A. 2. 纠错心得在等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同．解此类题时要小心谨慎，以防上当.一、单选题1．已知等比数列{}n a 中，3a 是1a ，2a 的等差中项，则数列{}n a 的公比为（ ） A ．12-或1B ．12-C ．12D ．1【答案】A【分析】首先根据题意得到3122a a a =+，从而得到2210q q --=，再解方程即可. 【解析】由题知：3122a a a =+，所以221q q =+，即2210q q --=，解得12q =-或1q =.故选：A2．已知等比数列{}n a 满足2512,4a a ==，则公比q =（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】B 【分析】由352a a q =即可求出．【解析】 352a a q =，即3124q =，解得12q =． 故选：B ．3．已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和．若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ） A ．29 B ．31 C ．33 D ．35【答案】B 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知可得q 和1a ，代入等比数列的求和公式即可 【解析】因为 2312a a a =23114a q a a ==，42a ∴=，3474452224a a a a q +=⨯=+， 所以11,162q a ==，551161231112S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，故选：B.4．《莱茵德纸草书》（RhindPapyrus ）是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最大的一份是（ ）个． A ．12 B ．24 C ．36 D ．48【答案】D 【分析】设等比数列{}n a 的首项为10a >，公比1q >，根据题意，由()()211513141931a q a q a q q ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩求解. 【解析】设等比数列{}n a 的首项为10a >，公比1q >，由题意得：123123453493a a a a a a a a ⎧+=⎪⎨⎪++++=⎩，即()()211513141931a q a q a q q ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩， 解得132a q =⎧⎨=⎩，所以45148a a q ==，故选：D5．在等比数列{}n a 中，若1614a a a ⋅⋅为定值，n T 为数列{}n a 的前n 项积，则下列各数为定值的是（ ） A ．11T B ．12TC ．13TD ．14T【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式用1,a q 表示出1614a a a ，然后再分别表示出各选项中的积进行判断． 【解析】设公比为q ，则()35133186161411111a a a a a q a q a q a q =⋅==为定值，即61a q 为定值，(1)112(1)211111n n n n n n n T a a q a qa qa q--+++-=⋅==，11555111111()T a q a q ==，不是定值，1211126621211T a q a q ⎛⎫== ⎪⎝⎭，不是定值，13786131311()T a q a q ==，是定值，1413131414221411()T a q a q ⨯==，不是定值．故选：C ．6．在各项都为正数的数列{}n a 中，首项12,n a S =为数列{}n a 的前n 项和，且()2121(42)0n n n S S a n ----=≥，则10S =（ ） A ．1022 B ．1024C ．2046D ．2048【答案】C 【分析】当2n ≥时，1n n n a S S -=-，故可以得到()()11220n n n n a a a a --+-=，因为120n n a a -+>，进而得到120n n a a --=，所以{}n a 是等比数列，进而求出102046S = 【解析】由()2121(42)0n n n S S a n ----=≥，得22140nn a a --=，得()()11220n n n n a a a a --+-=， 又数列{}n a 各项均为正数，且12a =， ∴120n n a a -+>，∴120n n a a --=，即12nn a a -= ∴数列{}n a 是首项12a =，公比2q 的等比数列，其前n 项和()12122212n n nS +-==--，得102046S =，故选：C.7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21n n S a =-，则202120221S a +=（ ）A ．2B ．1C ．12D ．13【答案】B 【分析】由21n n S a =-，根据n a 与n S 的关系，得出{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【解析】由数列{}n a 的前n 项和21n n S a =-，当1n =时，可得11121a S a ==-，所以11a =；当2n ≥时，()112121n n n n n a S S a a --=-=---，所以12n n a a -=， 所以{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以202120212021122112S -==--，202120222a =，所以2021202211S a +=. 故选：B.8．在等比数列{}n a 中，()23122a a a a +=+，则数列{}n a 的公比q =（ ） A ．2 B ．1 C ．1-或1 D ．1-或2【答案】D 【分析】用1,a q 表示出已知等式后可得结论． 【解析】由题意知()()211210a q q a q +-+=，所以()()120q q +-=，所以1q =-或2q.故选：D .二、多选题9．(多选题)已知等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，则下列说法一定成立的是（ ） A ．若30a >，则20210a > B ．若40a >，则20200a > C ．若30a >，则20210S > D ．若30a >，则20210S <【答案】ABC【分析】根据等比数列通项式，前n 项和n S 代入即可得出答案. 【解析】设数列{}n a 的公比为q ，当30a >，则2018202130a a q=>，A 正确； 当40a >，则2016202040a a q=>，B 正确. 又当1q ≠时，()20211202111a q qS -=-，当1q <时，2021202110,10,0q qS ->->∴>，当01q <<时，2021202110,10,0q q S ->->∴>，当1q >时，2021202110,10,0q qS -<-<∴>当1q =时，2021120210S a =>，故C 正确，D 不正确. 故选：ABC10．(多选题)若数列{a n }是等比数列，则下面四个数列中也是等比数列的有（ ） A ．{ca n }(c 为常数) B ．{a n ＋a n ＋1}C ．{a n ·a n ＋1)D ．{}3n a【答案】CD 【分析】A. 由c ＝0判断；B.q ＝－1时判断；CD.由等比数列的定义判断. 【解析】当c ＝0时，{ca n }不是等比数列，故A 错误；当数列{a n }的公比q ＝－1时，a n ＋a n ＋1＝0，{a n ＋a n ＋1}不是等比数列，故B 错误； 由等比数列的定义，选项CD 中的数列是等比数列，故CD 正确. 故选：CD11．设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n T 是{}n a 的前n 项之积，227a =，369127a a a ⋅⋅=，则当n T 最大时，n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】AB【分析】 设等比数列{}n a 的公比为q ，求出q 的值，进而可求得数列{}n a 的通项公式，解不等式1n a ≥，求出n 的取值范围，即可得解.【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则33696127a a a a ⋅⋅==，可得613a =，13q ∴==，所以，225212733n n n n a a q ---⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 令531n n a -=≥，解得5n ≤，故当n T 最大时，4n =或5.故选：AB.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．在等比数列{}n a 中，1521,8,n a a a S ==是数列{}n a 的前n 项和，若63k S =，则k =________．【答案】6【分析】由1521,8a a a ==，解得2q求解. 【解析】在等比数列{}n a 中，设公比为q ，因为1521,8a a a ==，所以48,0q q q =≠，解得2q， 所以126312kk S -==-，解得6k =， 故答案为：613．在正项等比数列{}n a 中，若13a 、312a 、22a 成等差数列，则2021202020232022a a a a -=-________．【答案】19【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，根据已知条件求出q 的值，再结合等比数列的基本性质可求得结果.【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，因为13a 、312a 、22a 成等差数列，则31232a a a =+，即211132a q a a q =+， 可得2230q q --=，0q >，解得3q =， 因此，()20212020202120202202320222021202019a a a a a a q a a --==--. 故答案为：19. 14．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若241,4n n a S b a a +==，数列{}n a 的通项公式为___________． 【答案】21()2n n a -= 【分析】当1n =时，求得102b a =>，再由n n S a b =-+，得到11(2)n n S a b n --=-+≥， 相减可得120n n a a --=，结合等比数列的通项公式，求得b ，进而求得数列的通项公式.【解析】由题意，正项数列{}n a 满足241,4n n a S b a a +==， 当1n =时，可得1111a S a a b =++=，则102b a =>， 由n n S a b =-+，则11(2,)n n S a b n n N +--=-+≥∈，两式相减可得120n n a a --=，所以1(22)1,n n n n N a a +-≥=∈， 即数列{}n a 为公比为12的等比数列， 所以2416,4b a a b ==，所以2441461a b a b =⨯=，解得4b =， 所以122b a ==，所以数列{}n a 的通项公式为1121112()()22n n n n a a q ---==⨯=.故答案为：21()2n n a -=.四、解答题15．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，12a =，172n n S a ++=，2211log log n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2022n m T >对所有*n N ∈恒成立，求满足条件m 的最小整数值.【答案】（1）322n n a -= （2）674【分析】（1）利用递推公式，结合前n 项和与第n 项的关系、等比数列的定义进行求解即可； （2）根据对数的运算性质，结合裂项相消法进行求解即可.（1）由题意172n n S a ++=，当2n ≥时，172n n S a -+=，两式相减得：17n n n a a a +=-，即：()182n n a a n +=≥，所以2n ≥时，{}n a 为等比数列又因为1n =时，217272216a S =+=⨯+=， 所以218a a =， 所以，对所有*n N ∈，{}n a 是以2为首项，8为公比的等比数列，所以132282n n n a --=⨯=；（2） 由题知：32312212211log log log 2log 2n n n n n b a a -++==⋅⋅ ()()13231n n =-+11133231n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭所以12111111111134473231331n n T b b b n n n ⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭所以111202220221674167433131n T n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭所以满足2022n m T >恒成立的最小m 值为674.16．等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =. （1）求n a 与n b ；（2）求12111nS S S +++. 【答案】（1）33(1)3n a n n =+-=，13n n b -=（2）()231n n + 【分析】（1）由{}n b 的公比22S q b =及2212b S +=可解得3q =，由11b =则n b 可求，又由22S q b =可得29S =，26a =，213d a a =-=，则n a 可求；（2）由（1）可得3(1)2n n n S +=，则122113(1)31n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，故由裂项相消法可求12111nS S S +++. （1） 等差数列{}n a 中，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 各项均为正数，11b =，且2212b S +=，{}n b 的公比22S q b =，222212S q b b S ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3q =，13n n b -=. {}n b 各项均为正数，∴3q =，13n n b -=.由23b =，得29S =，26a =，213d a a =-=，∴()3313n a n n =+-=. （2）3(1)3(1)322n n n n n S n -+=+=， 122113(1)31n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，12111211111132231n S S S n n ⎛⎫+++=-+-++- ⎪+⎝⎭ 2121313(1)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 17．已知数列{a n }中，a 1＝4，a n ＋1＝2a n －5，求证{a n －5}是等比数列．【答案】证明见解析【分析】由a n ＋1－5＝2(a n －5)结合等比数列的定义证明即可.【解析】证明：由a n ＋1＝2a n －5得a n ＋1－5＝2(a n －5)． 又a 1－5＝－1≠0，故数列{a n －5}是首项为－1，公比为2的等比数列．。

等比数列通项公式及性质练习Revised by Petrel at 2021等比数列通项公式及性质1•若等比数列的首项为，公比为，则该数列的项数为（）A . 3B . 4C . 5D . 62•在等比数列｛如中,«2010 = 8£12007,贝！I公比？的值为（）A . 2B . 3C . 4D . 83.已知等比数列｛如｝满足a\ +6/2 = 3, U2 + 6/3 = 6,则47 = （）A . 64B . 81C . 128D . 2434•已知等比数列｛如的公比为正数,且aya9 = 2a, a2=l,则⑵等于（）A.B.C. D . 25.已知等比数列｛如,04 = 7, 06 = 21,则48等于（）A . 35B . 63C . 21D . ±216.在等比数列｛如中,«i = 1,公比1卅1,若如二创他心心①，则加二（）A . 9B . 10C . 11D . 127•已知各项均为正数的等比数列｛如中,°1如3二5, «7«8«9 = 10,则心二（）A . 5B . 7C . 6D . 4&等比数列｛色｝的各项均为正数，公比为4若b二4,则的值为（）A.B . +C . 2 D . ±29. （2012-新课标全国卷）已知｛如为等比数列,04 + 07 = 2, a5ci6 = -8,则4 + «10 =（）A . 7B . 5C . -5D . -710•已知等比数列｛如中,有如3二4心数列｛%｝是等差数列,且b7 = a lt则你+伽等于（）A . 2B . 4C . 8D . 1611. （2009- fi庆）设｛如｝是公差不为0的等差数列，a\=2且g的，"6成等比数列,则｛如的前n项和S n = （）D • ir + nA. + B・ + C. +12.在等比数列｛如｝中，(1)若心二27, q=-,贝lj“6二________________ ；a n -_______ . (2)若“2 二18, 6/4=8,贝IJ a n - ________ •13•等比数列｛如｝中，若“2, "9是方程3JT- llx +6 = 0的两根，贝IJIog2(dld2...dl0)= ________ •14•在7和56之间插入a “两数.使7, d,b,56成等差数列，插入c, 〃两数，使7, c,56成等比数列，贝l\a + b + c + d = ____ .15•在8和5832之间插入5个数.使它们组成以8为首项的等比数列，则此数列的第5项是 __________ -16.已知等比数列若。

一、等比数列选择题1．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5=10S ，1050S =，则15=S （ ） A ．180B ．160C ．210D ．2502．数列{}n a 是等比数列，54a =，916a =，则7a =（ ） A ．8B ．8±C ．8-D ．13．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，11a >，676712a a a a +>+>，记{}n a 的前n 项积为nT，则下列选项错误的是（ ） A ．01q <<B ．61a >C ．121T >D ．131T >4．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？此问题中1斗为10升，则牛主人应偿还多少升粟？（ ） A ．503B ．507C ．1007D ．20075．已知{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a a a +=+（ ） A1B1C．3-D．3+6．已知数列{}n a 满足：11a =，*1()2nn n a a n N a +=∈+．则 10a =（ ） A ．11021B ．11022 C ．11023D ．110247．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则数列{na n }的前n 项和为（ ） A ．-3+(n +1)×2n B ．3+(n +1)×2n C ．1+(n +1)×2nD ．1+(n -1)×2n8．在等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则352a a +=（ ） A ．45B ．54C ．99D ．819．已知等比数列{}n a 的前n 项和为,n S 且639S S =，则42aa 的值为（ ）AB ．2C．D ．410．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．2B ．4C ．8D ．1611．已知等比数列{}n a ，7a =8，11a =32，则9a =（ ）A ．16B ．16-C ．20D ．16或16-12．明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”.注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔正中间一层的灯的盏数为（ ）A ．3B ．12C ．24D ．4813．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*2n n S a n n N =+∈，则3a=（ ）A ．7-B ．3-C ．3D ．714．已知等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且5312a a a +=，则42S S =（ ） A ．76B ．32C ．2132D ．1415．已知单调递增数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()*21n n n S a a n =+∈N，且0nS>，记数列{}2nn a ⋅的前n 项和为n T ，则使得2020n T >成立的n 的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．10D ．1116．若数列{}n a 是等比数列，且17138a a a =，则311a a =（ ） A ．1B ．2C ．4D ．817．设b R ∈，数列{}n a 的前n 项和3nn S b =+，则（ ） A ．{}n a 是等比数列B ．{}n a 是等差数列C ．当1b ≠-时，{}n a 是等比数列D ．当1b =-时，{}n a 是等比数列18．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项m a ，n a 14m n a a a =，则14m n +的最小值为（ ） A ．53B ．32C ．43D ．11619．已知等比数列{}n a 中，11a =，132185k a a a ++++=，24242k a a a +++=，则k =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．520．等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足11a >，10210310a a ->，102103101a a -<-，则使得1n T >成立的最大自然数n 的值为（ ）A ．102B ．203C ．204D ．205二、多选题21．题目文件丢失！22．一个弹性小球从100m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的23再落下.设它第n 次着地时，经过的总路程记为n S ，则当2n ≥时，下面说法正确的是（ ） A ．500n S < B ．500n S ≤C ．n S 的最小值为7003D ．n S 的最大值为40023．若数列{}n a 的前n 项和是n S ，且22n n S a =-，数列{}n b 满足2log n n b a =，则下列选项正确的为（ ） A ．数列{}n a 是等差数列B ．2nn a =C ．数列{}2na 的前n 项和为21223n +-D ．数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，则1n T <24．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31a =，135111214a a a ++=，则（ ） A ．{}n a 必是递减数列 B ．5314S =C ．公比4q =或14D ．14a =或1425．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列2{}n a 是等比数列 B ．若4123,27,a a ==则89a =± C ．若123,a a a <<则数列{}n a 是递增数列 D ．若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则r =-126．对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（ ） A ．1a ，3a ，5a 成等比数列 B ．2a ，3a ，6a 成等比数列 C ．2a ，4a ，8a 成等比数列D ．3a ，6a ，9a 成等比数列27．在公比为q 等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若521127,==a a a ，则下列说法正确的是（ ）A ．3q =B ．数列{}2n S +是等比数列C ．5121S =D ．()222lg lg lg 3n n n a a a n -+=+≥28．已知数列{a n }，11a =，25a =，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，且2AE EC =，当n ≥2时，恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-，则（ ） A ．数列{a n }为等差数列 B ．1233BE BA BC =+ C ．数列{a n }为等比数列D ．14nn n a a +-=29．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，781a a ⋅>，87101a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q << B ．791a a ⋅> C ．n S 的最大值为9SD ．n T 的最大值为7T30．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n S n +为等比数列B ．数列{}n a 的通项公式为121n n a -=-C ．数列{}1n a +为等比数列D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---31．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）A ．112n n n S S ++-=B ．12n naC ．21nn S =- D ．121n n S -=-32．设数列{}n x ，若存在常数a ，对任意正数r ，总存在正整数N ，当n N ≥，有n x a r -<，则数列{}n x 为收敛数列.下列关于收敛数列正确的有（ ）A ．等差数列不可能是收敛数列B ．若等比数列{}n x 是收敛数列，则公比(]1,1q ∈-C ．若数列{}n x 满足sin cos 22n x n n ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则{}n x 是收敛数列 D ．设公差不为0的等差数列{}n x 的前n 项和为()0n n S S ≠，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是收敛数列33．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，781a a >，87101a a -<-.则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．791a a <C ．n T 的最大值为7TD ．n S 的最大值为7S34．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n +∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数，下列说法正确的是（ ）A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B ．已知4n a n n=+，则{}n a 是间隔递增数列 C ．已知()21nn a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D ．已知22020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<35．在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若 1418a a +=， 2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）A ．2qB ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．C 【分析】首先根据题意得到5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列，再利用等比中项的性质即可得到答案. 【详解】因为{}n a 为等比数列，所以5S ，105S S -，1510S S -构成等比数列. 所以()()2155010=1050S --，解得15210S =. 故选：C 2．A 【分析】分析出70a >，再结合等比中项的性质可求得7a 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则2750a a q =>，由等比中项的性质可得275964a a a ==，因此，78a =.故选：A. 3．D 【分析】等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，676712a a a a +>+>，可得67(1)(1)0a a --<，因此61a >，71a <，01q <<．进而判断出结论． 【详解】 解：等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，676712a a a a +>+>，67(1)(1)0a a ∴--<，11a >，若61a <，则一定有71a <，不符合由题意得61a >，71a <，01q ∴<<，故A 、B 正确． 6712a a +>，671a a ∴>，6121231267()1T a a a a a a =⋯=>，故C 正确，131371T a =<，故D 错误，∴满足1n T >的最大正整数n 的值为12．故选：D ． 4．D 【分析】设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，利用等比数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】5斗50=升，设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，由题意可知a 1，a 2，a 3构成公比为2的等比数列，且S 3＝50，则()311212a --＝50，解得a 1＝507，所以牛主人应偿还粟的量为23120027a a ==故选：D 5．D 【分析】 根据1a ，312a ，22a 成等差数列可得3121222a a a ⨯=+，转化为关于1a 和q 的方程，求出q 的值，将91078a a a a ++化简即可求解.【详解】因为{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列，所以3121222a a a ⨯=+，即21112a q a a q =+，所以2210q q --=，解得：1q =+1q =(222291078787813a a a q a q q a a a a ++====+++，故选：D 6．C 【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化得1121n n a a +=+ ，构造11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，求解出通项，进而求出10a . 【详解】 因为12n n n a a a +=+，所以两边取倒数得12121n n n n a a a a ++==+，则111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，则11111122n n n a a -⎛⎫+=+⋅= ⎪⎝⎭，所以121n n a =-，故101011211023a ==-. 故选：C 【点睛】方法点睛：对于形如()11n n a pa q p +=+≠型，通常可构造等比数列{}n a x +（其中1qx p =-）来进行求解.7．D 【分析】利用已知条件列出方程组求解即可得1,a q ，求出数列{a n }的通项公式，再利用错位相减法求和即可. 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，所以由题设得()()3136161711631a q S q a q S q ⎧-⎪==-⎪⎨-⎪==⎪-⎩， 两式相除得1+q 3=9，解得q =2， 进而可得a 1=1， 所以a n =a 1q n -1=2n -1，所以na n =n ×2n -1.设数列{na n }的前n 项和为T n ， 则T n =1×20+2×21+3×22+…+n ×2n -1， 2T n =1×21+2×22+3×23+…+n ×2n ，两式作差得-T n =1+2+22+…+2n -1-n ×2n=1212n---n ×2n =-1+(1-n )×2n ， 故T n =1+(n -1)×2n . 故选：D. 【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题.属于较易题. 8．C 【分析】利用等比数列的通项与基本性质，列方程求解即可 【详解】设数列{}n a 的公比为q ，因为341a a q =，所以3q =，所以24352299a a q q +=+=.故选C 9．D 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题得()4561238a a a a a a ++=++，进而得2q，故2424a q a ==. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为639S S =，所以639S S =， 所以6338S S S -=，即()4561238a a a a a a ++=++， 由于()3456123a a a q a a a ++=++，所以38q =，故2q ，所以2424a q a ==. 故选：D. 10．C 【分析】根据等比数列的通项公式将53134a a a =+化为用基本量1,a q 来表示，解出q ，然后再由前4项和为30求出1a ，再根据通项公式即可求出3a ． 【详解】设正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >，因为53134a a a =+，所以4211134a q a q a =+，则42340q q --=，解得24q =或21q =-（舍），所以2q，又等比数列{}n a 的前4项和为30，所以23111130a a q a q a q +++=，解得12a =， ∴2318a a q ==．故选：C . 11．A 【分析】根据等比数列的通项公式得出618a q =，10132a q=且10a >，再由819a a q ==.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则618a q =，10132a q=且10a >则81916a q a ====故选：A 12．C 【分析】题意说明从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为1a ，由系数前n 项和公式求得1a ，再由通项公式计算出中间项． 【详解】根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为1a ，则有()7171238112a S ⋅-==-，解得13a =，中间层灯盏数34124a a q ==，故选：C. 13．A 【分析】先求出1a ，再当2n ≥时，由()*2n n S a n n N=+∈得1121n n Sa n --=+-，两式相减后化简得，121n n a a -=-，则112(1)n n a a --=-，从而得数列{}1n a -为等比数列，进而求出n a ，可求得3a 的值【详解】解：当1n =时，1121S a =+，得11a =-， 当2n ≥时，由()*2n n S a n n N=+∈得1121n n Sa n --=+-，两式相减得1221n n n a a a -=-+，即121n n a a -=-，所以112(1)n n a a --=-，所以数列{}1n a -是以2-为首项，2为公比的等比数列，所以1122n n a --=-⨯，所以1221n n a -=-⨯+，所以232217a =-⨯+=-，故选：A 14．B【分析】由5312a a a +=，解得q ，然后由414242212(1)111(1)11a q S q q q a q S qq---===+---求解. 【详解】在等比数列{}n a 中，5312a a a +=， 所以421112a q a q a +=，即42210q q +-=， 解得212q =所以414242212(1)1311(1)121a q S q q q a q S q q---===+=---， 故选：B 【点睛】本题主要考查等比数列通项公式和前n 项和公式的基本运算，属于基础题, 15．B 【分析】由数列n a 与n S 的关系转化条件可得11n n a a -=+，结合等差数列的性质可得n a n =，再由错位相减法可得()1122n n T n +=-⋅+，即可得解.【详解】由题意，()()*21n n n S a a n N=+∈，当2n ≥时，()11121n n n S a a ---=+，所以()()11122211n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+， 整理得()()1110n n n n a a a a --+--=，因为数列{}n a 单调递增且0n S >，所以110,10n n n n a a a a --+≠--=，即11n n a a -=+， 当1n =时，()11121S a a =+，所以11a =， 所以数列{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列，所以n a n =，所以1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，()23412122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，所以()()234111212222222212212n nn n n n T n n n +++--=++++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-⋅--，所以()1122n n T n +=-⋅+，所以876221538T =⨯+=，987223586T =⨯+=，所以2020n T >成立的n 的最小值为8. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是数列n a 与n S 关系的应用及错位相减法的应用. 16．C 【分析】根据等比数列的性质，由题中条件，求出72a =，即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列，由17138a a a =，得378a =，所以72a =，因此231174a a a ==.故选：C. 17．D 【分析】根据n S 与n a 的关系求出n a ，然后判断各选项． 【详解】由题意2n ≥时，111(3)(3)23n n n n n n a S S b b ---=-=+-+=⨯，13n na a +=(2)n ≥， 113a Sb ==+，若212333a a b⨯==+，即1b =-，则{}n a 是等比数列，否则不是等比数列，也不是等差数列， 故选：D ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的定义．在由1n n n a S S -=-求通项时，2n ≥必须牢记，11a S =它与(2)n a n ≥的求法不相同，因此会影响{}n a 的性质．对等比数列来讲，不仅要求3423a a a a ==，还必须满足3212a a a a =． 18．B【分析】设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，由7652a a a =+，可得22q q =+，解得2q，根据存在两项m a 、n a14a =14a =，6m n +=．对m ，n 分类讨论即可得出． 【详解】解：设正项等比数列{}n a 的公比为0q >， 满足：7652a a a =+，22q q ∴=+，解得2q，存在两项m a 、n a14a =，∴14a =，6m n ∴+=，m ，n 的取值分别为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，则14m n+的最小值为143242+=．故选：B ． 19．B 【分析】本题首先可设公比为q ，然后根据132185k a a a ++++=得出()2284k q a a ++=，再然后根据24242k a a a +++=求出2q，最后根据等比数列前n 项和公式即可得出结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 则132112285k k a a a a a a q q +++++++==，即()2285184k q a a ++=-=，因为24242k a a a +++=，所以2q，则()21123221112854212712k k k a a a a a ++⨯-+++++=+==-，即211282k +=，解得3k =， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据等比数列前n 项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题. 20．C 【分析】由题意可得1021031a a >，1021031,1a a ><，利用等比数列的性质即可求解. 【详解】由10210310a a ->，即1021031a a >，则有21021a q ⨯>，即0q >。

等比数列的通项公式推导与应用练习等比数列是数学中常见的数列，它的通项公式是一种重要的推导与应用练习。

本文将详细介绍等比数列通项公式的推导过程，并探讨其在实际问题中的应用。

一、等比数列的定义和性质等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比值都相等的数列。

设等比数列的首项为a，公比为r，则它的通项可以表示为an=a*r^(n-1)，其中n表示数列中的第n项。

等比数列具有以下几个重要性质：1. 两项的比值是常数2. 通项与首项成比例3. 任意一项与它前面的项都成比例二、等比数列通项公式的推导为了推导等比数列的通项公式，考虑从第二项开始的数列，假设第n项为an，则有an-1与an之间的比值为r。

根据等比数列的性质3，可得：an/an-1=r。

将等式两边同时取对数，得到ln(an)-ln(an-1)=ln(r)。

应用对数的性质，即ln(m/n)=ln(m)-ln(n)，则上式可以进一步转化为ln(an/an-1)=ln(r)。

根据对数的定义，ln(m)-ln(n)=ln(m/n)。

将上述等式应用于等比数列，得到ln(an/an-1)=ln(r)可以转化为ln(an/an-1)=ln(an)-ln(an-1-1)=ln(r)。

利用对数的性质，ln(m/n)=ln(m)-ln(n)，上述等式进一步简化为ln(an/an-1)=ln(an/an-1)=ln(r)。

移项得到ln(an)-ln(an-1)=ln(r)，又根据对数的换底公式，ln(m)/ln(n)=logn(m)，则上述等式可以写为ln(an/an-1)=logr(an)。

应用指数函数的性质，即e^(ln(x))=x，对上述等式两边同时进行反函数运算，得到e^(ln(an/an-1))=e^(logr(an))。

根据指数函数的性质，e^(ln(x))=x，e^(logn(x))=x，则上述等式可以写为an/an-1=r^(an)。

化简得到an=a*r^(an-1)，即等比数列的通项公式。

等比数列基础练习题及答案一．选择题1．已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=4．已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是7．已知数列{an}满足，其中λ为实常数，则数列{an} *n12．已知等比数列{an}中，a6﹣2a3=2，a5﹣2a2=1，则等比数列{an}的公比是15．在等比数列{an}中，，则tan=17．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若=3，则= 222．在等比数列{an}中，若a3a4a5a6a7=243，则的值为2二．填空题28．已知数列{an}中，a1=1，an=2an﹣1+3，则此数列的一个通项公式是29．数列30．等比数列{an}的首项a1=﹣1，前n项和为Sn，若，则公比q等于 _________ ．的前n项之和是22参考答案与试题解析一．选择题1．已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=4．已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是7．已知数列{an}满足，其中λ为实常数，则数列{an} 数列测试题优能提醒：请认真审题，仔细作答，发挥出自己的真实水平！一、单项选择题：1．在等差数列{an}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于B2．设数列{an}的前n项和，则a8的值为A3．数列1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为A． an=2n﹣1C． an=nB． an=n D． an=nB4．已知数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?2an?1，则a5? A．?16B．1C．31 D．32B5．在公比为整数的等比数列{an}中，如果a1+a4=18，a2+a3=12，那么该数列的前8项之和为C6．已知数列{an}满足：a1=1，an=2an﹣1+1，则a4=A．0 B． 1C．1 D． 15D7．设等差数列?an?的公差d不为0，a1?9d 若ak是a1与a2k的等比中项，则k?等差数列{an}中，已知a3?5，a2?a5?12，an?29，则n?__________． 1511．在等比数列?an?中，已知a1a2a3?5，a7a8a9?40，则a5a6a7?2012．已知数列{an}满足an?2n?1?2n?1，则数列{an}的前n 项和Sn?_______．Sn?2n?n2?113．在等差数列?an?中，已知a2?a7?a8?a9?a14?70,则a8?．1414．在数列?an?中，已知a1?a2?1，an?2?an?1?an815．已知?an?等差数列Sn为其前n项和．若a1??n?N?，则a*6 ?___________．1，S2?a3，则a21等差数列{an}中，已知a3?5，a2?a5?12，an?29，则n?__________ 1517．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a3a8=9，则log3a1+log3a10218．已知{an}是首项a1=1，公差d=3的等差数列，如果an=2005，则序号n等于．66919．等比数列{an}中，已知a+a2+a3=7，a1a2a3=8，且{an}为递增数列，则a4820．已知三个数﹣7，a，1成等差数列，则a等于．﹣321．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=_______-222．在等比数列{an}中，若，则公比q的值等于．﹣或123．等比数列{an}中，公比q?1，其前3项和S3?3a1，则q=?2考点：等比数列求和24．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5=___________?3525．若等比数列?an?满足a2a4?1，则a1a32a5?__________．1426．已知递增的等差数列?an?满足a1?1,a3?a2?4,则an=____?2n-127．s13设等差数列?an?的前n项和为Sn，若a7?7a4，则s7= ．1328．设数列{an}的前n项和Sn?n2?n，则a7的值为__．1429．参考答案与试题解析一．选择题1．已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=4．已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是7．已知数列{an}满足，其中λ为实常数，则数列{an} *n。

高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题（含答案解析）一、基础知识1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ≠，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0,只是等差数列2、等比数列通项公式：11n n a a q−=⋅，也可以为：n mn m a a q−=⋅3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项 （1）若b 为,a c 的等比中项，则有2a bb ac b c=⇒= （2）若{}n a 为等比数列，则n N *∀∈，1n a +均为2,n n a a +的等比中项 （3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+⇔= 4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na = 当1q ≠时，则()111n n a q S q−=−可变形为：()1111111n n n a q a aS q qq q −==−−−−，设11a k q =−，可得：n n S k q k =⋅−5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 （2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有 ① 数列{}n ka （k 为常数）为等比数列 ② 数列{}na λ（λ为常数）为等比数列，特别的，当1λ=−时，即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列③ 数列{}n n a b 为等比数列④ 数列{}n a 为等比数列6、相邻k 项和的比值与公比q 相关： 设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++，则有：()()212212k m n m m m m k mk n n n k nn a q q q S a a a a q T a a a a a q q q −++++++++++++====++++++ 特别的：若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=−2122332,k k k k k a a a S S +++++=−，则232,,,k k k k k S S S S S −−成等比数列7、等比数列的判定：（假设{}n a 不是常数列） （1）定义法（递推公式）：()1n na q n N a *+=∈ （2）通项公式：nn a k q =⋅（指数类函数） （3）前n 项和公式：nn S kq k =−注：若()n n S kq m m k =−≠，则{}n a 是从第二项开始成等比关系 （4）等比中项：对于n N *∀∈，均有212n n n a a a ++=8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T 的关系()111n n a q S q−=−，因为1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列，所以有()1111111111111nn n nn n q a q q q T q a q q a qq−⎡⎤⎛⎫−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥−⎣⎦===−−−⋅ ()()1112111111n n n nn n a q a q q S a q T q q−−−−=⋅=−− 例1：已知等比数列{}n a 的公比为正数，且223951,2a a a a ==，则10a =________思路：因为2396a a a =，代入条件可得：22652a a =，因为0q >，所以65a =，q =所以810216a a q == 答案：16例2：已知{}n a 为等比数列，且374,16a a =−=−，则5a =（ ） A. 64 B. 64− C. 8 D. 8− 思路一：由37,a a 可求出公比：4734a q a ==，可得22q =，所以253428a a q ==−⋅=− 思路二：可联想到等比中项性质，可得253764a a a ==，则58a =±，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以58a =− 答案：D小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。

等比数列性质练习题
在学习等比数列的性质时，我们需要通过一些具体的练习题来巩固和应用所学知识。

下面是一些等比数列性质练习题，帮助大家更好地理解和掌握等比数列的特点和性质。

练习题1：
已知等比数列的首项为a，公比为q，前n项和为Sn。

求证等比数列的前n项和的通项公式为：
Sn = (a * (q^n - 1)) / (q - 1)
练习题2：
已知等比数列的首项为3，公比为0.5，求证等比数列的第n项为：an = 3 * (0.5)^(n-1)
练习题3：
已知等比数列的首项为2，公比为1/3，前n项和为10。

求证等比数列的第n项为：
an = 2 * (1/3)^(n-1)
练习题4：
已知等比数列的首项为2，公比为3，第n项为162。

求证等比数列的前n项和为：
Sn = (2 * (3^n - 1)) / 2
练习题5：
已知等比数列的首项为10，公比为2，前n项和大于1000。

求证等比数列的第n项为：
an = 10 * (2^n - 1)
练习题6：
已知等比数列的前三项为2，6，18，求证等比数列的第n项为：an = 2 * (3^(n-1))
以上是一些关于等比数列性质的练习题，通过这些题目的解答和证明，可以更加全面地了解等比数列的性质和规律。

在解答过程中，注意使用等比数列的定义和性质，合理运用相关公式和推导方法。

通过大量的练习，相信大家能够熟练掌握等比数列的特点和运算，提高解题能力。

§2.3 等比数列2.3.1 等比数列第1课时 等比数列的概念及通项公式学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．知识点一 等比数列的概念 等比数列的概念和特点．1．文字定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．递推公式形式的定义：a n a n －1＝q (n ≥2)⎝⎛⎭⎫或a n ＋1a n ＝q ，n ∈N ＋.3．等比数列各项均不能为0. 知识点二 等比中项的概念等比中项与等差中项的异同，对比如下表：知识点三 等比数列的通项公式若等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则a n ＝a 1q n －1(n ∈N ＋)．1．若a n ＋1＝qa n ，n ∈N ＋，且q ≠0，则{a n }是等比数列．( × ) 2．任何两个数都有等比中项．( × )3．等比数列1，12，14，18，…中，第10项为129.( √ )4．常数列既是等差数列，又是等比数列．( × )题型一 等比数列的判定命题角度1 已知数列前若干项判断是否为等比数列 例1 判断下列数列是否为等比数列． (1)1,3,32,33，…，3n -1，…； (2)－1,1,2,4,8，…； (3)a 1，a 2，a 3，…，a n ，….解 (1)记数列为{a n }，显然a 1＝1，a 2＝3，…，a n ＝3n -1，…. ∵a n a n －1＝3n -13n -2＝3(n ≥2，n ∈N ＋)， ∴数列为等比数列，且公比为3.(2)记数列为{a n }，显然a 1＝－1，a 2＝1，a 3＝2，…， ∵a 2a 1＝－1≠a 3a 2＝2，∴此数列不是等比数列． (3)当a ＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列；当a ≠0时，数列为a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ，…，显然此数列为等比数列，且公比为a . 反思感悟 判定等比数列，要抓住3个要点：①从第二项起．②要判定每一项，不能有例外．③每一项与前一项的比是同一个常数，且不能为0.跟踪训练1 下列各组数成等比数列的是( )①1，－2,4，－8；②－2，2，－22，4；③x ，x 2，x 3，x 4；④a －1，a －2，a －3，a －4. A ．①② B ．①②③ C ．①②④ D ．①②③④答案 C解析 ①②显然是等比数列；由于x 可能为0，③不是； a 不能为0，④符合等比数列定义，故④是．命题角度2 已知递推公式判断是否为等比数列 例2 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1. (1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)． 由a 1＝1，知a 1＋1≠0，从而a n ＋1≠0. ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2(n ∈N ＋)． ∴数列{a n ＋1}是等比数列．(2)解 由(1)知{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n .即a n ＝2n －1. 反思感悟 等比数列的判定方法(1)定义法：a na n －1＝q (n ≥2，q 是不为0的常数)⇔{a n }是公比为q 的等比数列．(2)等比中项法：a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2，a n ，a n －1，a n ＋1均不为0)⇔{a n }是等比数列． 跟踪训练2 数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2,3，…)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4， a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15.a n ＋1－(n ＋1)a n －n ＝3a n －2(n ＋1)＋3－(n ＋1)a n －n ＝3a n －3na n －n ＝3(n ＝1,2,3，…)．又a 1－1＝－2，∴数列{a n －n }是以－2为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)知a n －n ＝－2·3n -1，∴a n ＝n －2·3n -1. 题型二 等比数列基本量的计算 例3 在等比数列{a n }中． (1)已知a 2＝4，a 5＝－12，求a n ；(2)已知a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18，a n ＝12，求n .解 (1)设等比数列的公比为q ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝4，a 1q 4＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q ＝－12. ∴a n ＝a 1q n -1＝(－8)⎝⎛⎭⎫－12n -1＝⎝⎛⎭⎫－12n -4. (2)设等比数列{a n }的公比为q .∵a 4＋a 7＝a 3q ＋a 6q ＝(a 3＋a 6)q ，∴q ＝1836＝12.∵a 4＋a 7＝18，∴a 4(1＋q 3)＝18. ∴a 4＝16，a n ＝a 4·q n -4＝16·⎝⎛⎭⎫12n -4. 由16·⎝⎛⎭⎫12n -4＝12，得n －4＝5，∴n ＝9.反思感悟 已知等比数列{a n }的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a 1和q 的两个方程，从而解出a 1和q ，再求其他项或通项． 跟踪训练3 在等比数列{a n }中： (1)已知a 1＝3，q ＝－2，求a 6； (2)已知a 3＝20，a 6＝160，求a n .解 (1)由等比数列的通项公式得a 6＝3×(－2)6-1＝－96. (2)设等比数列的公比为q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝20，a 1q 5＝160，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝5.所以a n ＝a 1q n -1＝5×2n -1，n ∈N ＋.方程的思想在等比数列中的应用典例1 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． 解 方法一 设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，(a ＋d )2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋(a ＋d )2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝－6.所以当a ＝4，d ＝4时，所求的四个数为0，4，8，16； 当a ＝9，d ＝－6时，所求的四个数为15，9，3，1. 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 方法二 设这四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (q ≠0)， 由条件得⎩⎨⎧2aq－a ＋aq ＝16，aq ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝13.当a ＝8，q ＝2时，所求的四个数为0,4,8,16；当a ＝3，q ＝13时，所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.典例2 设四个实数依次成等比数列，其积为210，中间两项的和是4，则这四个数为多少？ 解 设这四个数依次为aq，a ，aq ，aq 2(q ≠0)，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4·q 2＝210，a ＋aq ＝4，解得q ＝－2或－12，当q ＝－2时，a ＝－4，所求四个数依次为2，－4，8，－16. 当q ＝－12时，a ＝8，所求四个数依次为－16，8，－4，2，综上，这四个数依次为2，－4，8，－16或－16，8，－4，2.[素养评析] (1)解决这类题目通常用方程的思想，列方程首先应引入未知数，三个数或四个数成等比数列的设元技巧：①若三个数成等比数列，可设三个数为aq ，a ，aq 或a ，aq ，aq 2(q ≠0)．②若四个数成等比数列，可设为a q ，a ，aq ，aq 2或a q 3，aq，aq ，aq 3(q ≠0)．(2)像本例，明确运算对象，选择运算方法，求得运算结果充分体现数学运算的数学核心素养.1．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( ) A ．4 B ．8 C ．6 D ．32 答案 C解析 由等比数列的通项公式得，128＝4×2n -1，2n -1＝32，所以n ＝6. 2．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 答案 A解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2.又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1，故a 7＝1·26＝64.3．设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为3的等比数列，则a 6等于( ) A ．607.5 B ．608 C ．607 D ．159 答案 C解析 ∵1＋2a n ＝(1＋2a 1)×3n -1，∴1＋2a 6＝5×35，∴a 6＝5×243－12＝607.4．等比数列x ,3x ＋3,6x ＋6，…的第4项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24 答案 A解析 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第4项为－24. 5．45和80的等比中项为________． 答案 －60或60解析 设45和80的等比中项为G ， 则G 2＝45×80，∴G ＝±60.6．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项． 解 设这个等比数列的第1项是a 1，公比是q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12， ①a 1q 3＝18， ②②÷①，得q ＝32，将q ＝32代入①，得a 1＝163.因此，a 2＝a 1q ＝163×32＝8.综上，这个数列的第1项与第2项分别是163与8.1．等比数列的判断或证明(1)利用定义：a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数)．(2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N ＋，且数列各项均不为零)．2．两个同号的实数a ，b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个(ab )，这是容易忽视的地方． 3．等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a 1，q ，n ，a n 四个量，已知其中三个量可求得第四个量.。

一、等比数列选择题1．公差不为0的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．162．在等比数列{}n a 中，24a =，532a =，则4a =（ ） A ．8 B ．8- C ．16 D ．16-3．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝（ ） A ．4 B ．5 C ．8 D ．15 4．若1，a ，4成等比数列，则a =（ ）A ．1B ．2±C ．2D ．2-5．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，若2(1)0n n n S T λ-->对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．()3,+∞B ．()1,3-C ．93,5⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．91,5⎛⎫- ⎪⎝⎭6．等比数列{}n a 中11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则()*na n N n∈的最小值为（ ） A ．1625B ．49C ．12D ．17．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若110,,22n n a a S >=<，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（ ） A ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭8．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．2B ．4C ．8D ．169．记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若2415S S ==，，则7S =（ ）. A ．710S =B ．723S =C ．7623S =D ．71273S =10．已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =.则数列(){}111n n n a a -+-的前n 项的和为（ ）A ．()2382133n n +--B ．()23182155n n +---C ．()2382133n n ++-D ．()23182155n n +-+-11．数列{}n a 满足119211021119n n n n a n --⎧≤≤=⎨≤≤⎩，，，则该数列从第5项到第15项的和为（ ）A ．2016B ．1528C ．1504D ．99212．已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，10.2b =，111233n n n a b a ++=+，11344n n n b a b +=+，则使0.01n n a b -<成立的最小正整数n 为（ ） A ．5B ．7C ．9D ．1113．正项等比数列{}n a 满足2237610216a a a a a ++=，则28a a +=（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．814．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R 0个人，为第一轮传染，这R 0个人中每人再传染R 0个人，为第二轮传染，…….R 0一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数0 3.8R =，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M ，则当M >1000时需要的天数至少为（ ）参考数据：lg38≈1.58 A ．34B ．35C ．36D ．3715．等比数列{}n a 中，1234a a a ++=，4568a a a ++=，则789a a a ++等于（ ） A ．16B ．32C ．64D ．12816．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2022积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的最大值为（ ） A ．1009B ．1010C ．1011D ．202017．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于910，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）A ．4B ．5C ．6D ．718．.在等比数列{}n a 中，若11a =，54a =，则3a =（ ） A ．2B ．2或2-C ．2-D19．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则6S =（ ） A ．31B ．32C ．63D ．6420．各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ⋅=，则2122210log log log a a a +++=（ ）A ．15B ．10C ．5D ．3二、多选题21．题目文件丢失！22．在数列{}n a 中，如果对任意*n N ∈都有211n n n na a k a a +++-=-（k 为常数），则称{}n a 为等差比数列，k 称为公差比.下列说法正确的是（ ） A ．等差数列一定是等差比数列 B ．等差比数列的公差比一定不为0C ．若32nn a =-+，则数列{}n a 是等差比数列D ．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比23．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ，都有()()()f x y f x f y +=，若112a =，()()*n a f n n N =∈，数列{}n a 的前n 项和n S 组成数列{}n S ，则有（ ） A ．数列{}n S 递增，且1n S < B ．数列{}n S 递减，最小值为12C ．数列{}n S 递增，最小值为12D ．数列{}n S 递减，最大值为124．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，满足13a =，且1a ，22a -，34a 成等差数列，则下列结论正确的是（ ） A ．113()2n n a -=⋅-B ．36nn S a =+C ．若数列{}n a 中存在两项p a ，s a3a =，则19p s +的最小值为83D ．若1n n t S m S ≤-≤恒成立，则m t -的最小值为11625．已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ） A ．1{}na B ．22log ()n aC ．1{}n n a a ++D ．12{}n n n a a a ++++26．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()*12n n a S n N +=∈，则有（ ） A ．13n n S -= B ．{}n S 为等比数列 C ．123n n a -=⋅D ．21,1,23,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩27．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n S n +为等比数列B ．数列{}n a 的通项公式为121n n a -=-C ．数列{}1n a +为等比数列D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +--- 28．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图：111213212223231323331312n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．3m =B ．767173a =⨯C ．1(31)3j ij a i -=-⨯D ．()1(31)314n S n n =+- 29．已知数列{}n a 为等差数列，11a =，且2a ，4a ，8a 是一个等比数列中的相邻三项，记()0,1na n nb a q q =≠，则{}n b 的前n 项和可以是（ ）A ．nB ．nqC ．()121n n n q nq nq q q ++---D ．()21121n n n q nq nq q q ++++---30．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n +∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数，下列说法正确的是（ ）A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B ．已知4n a n n=+，则{}n a 是间隔递增数列 C ．已知()21nn a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D ．已知22020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<31．已知正项等比数列{}n a 满足12a =，4232a a a =+，若设其公比为q ，前n 项和为n S ，则（ ）A ．2qB ．2nn a = C ．102047S = D ．12n n n a a a +++<32．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，数列(){}nf a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的四个函数中，是“保等比数列函数”的为（ ）A ．()2f x x =B ．()2xf x =C ．()f x =D ．()ln f x x =33．等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，3813++a a a 是一个定值，则下列各数也为定值的有( ) A ．7aB ．8aC ．15SD ．16S34．对于数列{}n a ，若存在正整数()2k k ≥，使得1k k a a -<，1k k a a +<，则称k a 是数列{}n a 的“谷值”，k 是数列{}n a 的“谷值点”，在数列{}n a 中，若98n a n n =+-，下面哪些数不能作为数列{}n a 的“谷值点”？（ ） A ．3B ．2C ．7D ．535．对于数列{}n a ，若存在数列{}n b 满足1n n nb a a =-（*n ∈N ），则称数列{}n b 是{}n a 的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（ ） A ．若数列{}n a 是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；B ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最大值；C ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最小值；D ．若112nn a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则其“倒差数列”有最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．D 【分析】根据等差数列的性质得到774a b ==，数列{}n b 是等比数列，故2687b b b ==16.【详解】等差数列{}n a 中,31172a a a +=,故原式等价于27a -740a =解得70a =或74,a =各项不为0的等差数列{}n a ,故得到774a b ==，数列{}n b 是等比数列，故2687b b b ==16.故选：D. 2．C 【分析】根据条件计算出等比数列的公比，再根据等比数列通项公式的变形求解出4a 的值. 【详解】因为254,32a a ==，所以3528a q a ==，所以2q ，所以2424416a a q ==⨯=，故选：C. 3．C 【分析】由等比中项，根据a 3a 11＝4a 7求得a 7，进而求得b 7，再利用等差中项求解. 【详解】 ∵a 3a 11＝4a 7， ∴27a ＝4a 7， ∵a 7≠0， ∴a 7＝4， ∴b 7＝4， ∴b 5＋b 9＝2b 7＝8． 故选：C 4．B 【分析】根据等比中项性质可得24a =，直接求解即可. 【详解】由等比中项性质可得：2144a =⨯=，所以2a =±， 故选：B 5．D 【分析】由2n n S a =-利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，得到数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，进而得到{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，利用等比数列前n 项和公式得到n S ，n T ，将2(1)0nn n S T λ-->恒成立，转化为()()321(1)210nnnλ---+>对*n N ∈恒成立，再分n 为偶数和n 为奇数讨论求解.【详解】当1n =时，112S a =-，得11a =； 当2n ≥时，由2n n S a =-， 得112n n S a --=-， 两式相减得112n n a a -=， 所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列. 因为112n n a a -=， 所以22114n n a a -=.又211a =，所以{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列， 所以1112211212nn n S ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，11414113414nnn T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-， 由2(1)0n n n S T λ-->，得214141(1)10234n nnλ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⨯->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以221131(1)1022n nnλ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以211131(1)110222n n n nλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+>⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.又*n N ∈，所以1102n⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以1131(1)1022n n nλ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即()()321(1)210nnnλ---+>对*n N ∈恒成立，当n 为偶数时，()()321210nnλ--+>，所以()()321321663212121nnn n n λ-+-<==-+++， 令6321n n b =-+，则数列{}n b 是递增数列，所以22693215λb <=-=+； 当n 为奇数时，()()321210nnλ-++>，所以()()321321663212121nnn n n λ-+--<==-+++，所以16332121λb -<=-=-=+， 所以1λ>-.综上，实数λ的取值范围是91,5⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：D. 【点睛】方法点睛：数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，往往转化为函数的最值问题. 6．D 【分析】首先设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，根据14a ，22a ，3a 成等差数列，列出等量关系式，求得2q ，比较()*na n N n∈相邻两项的大小，求得其最小值. 【详解】在等比数列{}n a 中，设公比(0)q q ≠， 当11a =时，有14a ，22a ，3a 成等差数列，所以21344a a a =+，即244q q =+，解得2q，所以12n na ，所以12n n a n n-=， 12111n n a n n a n n++=≥+，当且仅当1n =时取等号，所以当1n =或2n =时，()*na n N n∈取得最小值1， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目. 7．A 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．即可得到不等式1102n q -⨯>，1(1)221n q q-<-，即可求出参数q 的取值范围；【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意可得1q ≠．110,2n a a >=，2n S <， ∴1102n q -⨯>，1(1)221n q q-<-， 10q ∴>>． 144q ∴-，解得34q． 综上可得：{}n a 的公比的取值范围是：30,4⎛⎤⎥⎝⎦．故选：A ． 【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程． 8．C 【分析】根据等比数列的通项公式将53134a a a =+化为用基本量1,a q 来表示，解出q ，然后再由前4项和为30求出1a ，再根据通项公式即可求出3a ． 【详解】设正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >，因为53134a a a =+，所以4211134a q a q a =+，则42340q q --=，解得24q =或21q =-（舍），所以2q，又等比数列{}n a 的前4项和为30，所以23111130a a q a q a q +++=，解得12a =， ∴2318a a q ==．故选：C . 9．D 【分析】利用等比数列前n 项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出这个数列的前7项和． 【详解】n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，21S =，45S =，∴21410(1)11(1)51q a q qa q q ⎧⎪>⎪⎪-⎪=⎨-⎪⎪-⎪=-⎪⎩，解得113a =，2q ，771(12)1273123S -∴==-．故选：D ． 10．D 【分析】根据条件列出方程组可求出等比数列的公比和首项，即可得到数列的通项公式，代入()111n n n a a -+-可知数列为等比数列，求和即可.【详解】因为公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =，所以31121208a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得2q，12a =，所以1222n nn a -=⨯=，()()()111111222111n n n n n n n n a a ++-+--+=⋅⋅-=∴--，(){}111n n n a a -+∴-是以8为首项，4-为公比的等比数列，()23357921118[1(4)]8222222(1)1(4)155n n n n n n S -++---∴=-+--++⋅==+---， 故选：D 【点睛】关键点点睛：求出等比数列的通项公式后，代入新数列，可得数列的通项公式，由通项公式可知数列为等比数列，根据等比数列的求和公式计算即可. 11．C 【分析】利用等比数列的求和公式进行分项求和，最后再求总和即可 【详解】因为119211021119n n n n a n --⎧≤≤=⎨≤≤⎩，，，所以，41049104561022222212a a a -+++=++==--，498448941112152222222212a a a -+++=++=++==--，该数列从第5项到第15项的和为10494465422222(2121)2(64322)16941504-+-=⨯-+-=⨯+-=⨯=故选：C 【点睛】解题关键在于利用等比数列的求和公式进行求解，属于基础题 12．C 【分析】令n n n c a b =-，由111233n n n a b a ++=+，11344n n n b a b +=+可知数列{}n c 是首项为1.8，公比为12的等比数列，即11.812n n c -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⨯，则110.0121.8n -⎛⎫< ⎪⎝⎭⨯，解不等式可得n 的最小值. 【详解】令n n n c a b =-，则11120.2 1.8c a b =-=-=111113131344444121233343n n n n n n n n n n nn c a b a b a b b a a a b ++++⎛⎫=-=+--=+-- ⎪⎝+⎭111222n n n a b c -== 所以数列{}n c 是首项为1.8，公比为12的等比数列，所以11.812n n c -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⨯由0.01n n a b -<，即110.0121.8n -⎛⎫< ⎪⎝⎭⨯，整理得12180n ->由72128=，82256=，所以18n -=，即9n =故选：C. 【点睛】本题考查了等比数列及等比数列的通项公式，解题的关键是根据已知的数列递推关系式，利用等比数列的定义，得到数列{}n c 为等比数列，考查了学生的分析问题能力能力与运算求解能力，属于中档题. 13．C 【分析】利用等比数列的性质运算求解即可. 【详解】根据题意，等比数列{}n a 满足2237610216a a a a a ++=， 则有222288216a a a a ++=，即()22816a a +=， 又由数列{}n a 为正项等比数列，故284a a +=． 故选：C ． 14．D 【分析】假设第n 轮感染人数为n a ，根据条件构造等比数列{}n a 并写出其通项公式，根据题意列出关于n 的不等式，求解出结果，从而可确定出所需要的天数. 【详解】设第n 轮感染人数为n a ，则数列{}n a 为等比数列，其中1 3.8a =，公比为0 3.8R =，所以 3.81000nn a =>，解得 3.8333log 1000 5.17lg3.8lg3810.58n >==≈≈-， 而每轮感染周期为7天，所以需要的天数至少为5.17736.19⨯=． 故选：D . 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个：（1）理解题意构造合适的等比数列；（2）对数的计算. 15．A 【分析】由()4633512a a a a a a q +++=+，求得3q ，再由()37s 94s 6a a a a a a q ++=++求解.【详解】1234a a a ++=，4568a a a ++=.∴32q =，∴()378945616a a a a a a q ++=++=.故选：A 16．C 【分析】根据数列的新定义，得到122021...1a a a =，再由等比数列的性质得到210111a =，再利用11,01a q ><<求解即可.【详解】根据题意：2022122022...a a a a =， 所以122021...1a a a =，因为{a n }等比数列，设公比为q ，则0q >，所以212021220201011...1a a a a a ====，因为11a >，所以01q <<， 所以1010101110121,1,01a a a >=<<，所以前n 项的乘积取最大值时n 的最大值为1011. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题主要考查数列的新定义以及等比数列的性质，数列的最值问题，解题的关键是根据定义和等比数列性质得出210111a =以及11,01a q ><<进行判断.17．C 【分析】依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前n 项和，列出不等式解之可得． 【详解】第一次操作去掉的区间长度为13；第二次操作去掉两个长度为19的区间，长度和为29；第三次操作去掉四个长度为127的区间，长度和为427；…第n 次操作去掉12n -个长度为13n 的区间，长度和为123n n -，于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为1122213933nn n n S -⎛⎫=++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭，由题意，902131n⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即21lg lg1031n ≤=-，即()lg3lg21n -≥，解得：115.679lg3lg 20.47710.3010n ≥=≈--，又n 为整数，所以n 的最小值为6. 故选：C . 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前n 项和等知识及估算能力，属于中档题. 18．A 【分析】由等比数列的性质可得2315a a a =⋅，且1a 与3a 同号，从而可求出3a 的值【详解】解：因为等比数列{}n a 中，11a =，54a =，所以23154a a a =⋅=，因为110a =>，所以30a >， 所以32a =， 故选：A 19．C 【分析】根据等比数列前n 项和的性质列方程，解方程求得6S . 【详解】因为n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，所以2S ，42S S -，64S S -成等比数列， 所以()()242264S S S S S -=-，即()()62153315-=-S ，解得663S =. 故选：C 20．A 【分析】根据等比数列的性质，由对数的运算，即可得出结果. 【详解】 因为478a a ⋅=， 则()()52212221021210110log log log log ...log a a a a a a a a ⋅⋅⋅=+⋅++=()2475log 15a a =⋅=.故选：A.二、多选题 21．无22．BCD 【分析】考虑常数列可以判定A 错误，利用反证法判定B 正确，代入等差比数列公式判定CD 正确. 【详解】对于数列{}n a ，考虑121,1,1n n n a a a ++===，211n n n na a a a +++--无意义，所以A 选项错误；若等差比数列的公差比为0，212110,0n n n n n na a a a a a +++++---==，则1n n a a +-与题目矛盾，所以B 选项说法正确；若32nn a =-+，2113n n n na a a a +++-=-，数列{}n a 是等差比数列，所以C 选项正确；若等比数列是等差比数列，则11,1n n q a a q -=≠，()()11211111111111n n nn n n n n n n a q q a a a q a q q a a a q a q a q q +++--+---===---，所以D 选项正确.故选：BCD 【点睛】易错点睛：此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意： （1）常数列作为特殊的等差数列公差为0； （2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1. 23．AC 【分析】计算()f n 的值，得出数列{}n a 的通项公式，从而可得数列{}n S 的通项公式，根据其通项公式进行判断即可 【详解】 解：因为112a =，所以1(1)2f =， 所以221(2)(1)4a f f ===， 31(3)(1)(2)8a f f f ===，……所以1()2n n a n N +=∈，所以11(1)122111212n n n S -==-<-， 所以数列{}n S 递增，当1n =时，n S 有最小值1112S a ==， 故选：AC 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与数列的综合应用，解题的关键是由已知条件赋值归纳出数列{}n a 的通项公式，进而可得数列{}n S 的通项公式，考查计算能力和转化思想，属于中档题 24．ABD 【分析】根据等差中项列式求出12q =-，进而求出等比数列的通项和前n 项和，可知A ，B 正确；3a =求出15p s =⎧⎨=⎩或24p s =⎧⎨=⎩或42p s =⎧⎨=⎩或51p s =⎧⎨=⎩，可知19p s +的最小值为114，C 不正确；利用1nn y S S =-关于n S 单调递增，求出1n n S S -的最大、最小值可得结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由13a =，21344a a a -=+得243343q q -⨯=+⨯，解得12q =-，所以113()2n n a -=⋅-，13(1())1221()121()2n n n S --⎛⎫==-- ⎪⎝⎭--；1111361()66()63()63222n n n n n S a -⎛⎫=--=--=+⋅-=+ ⎪⎝⎭；所以A ，B 正确；3a =，则23p s a a a ⋅=，1122111()p s p s a a a q a q a q --⋅==，所以114p s q qq --=，所以6p s +=，则15p s =⎧⎨=⎩或24p s =⎧⎨=⎩或42p s =⎧⎨=⎩或51p s =⎧⎨=⎩，此时19145p s +=或114或194或465；C 不正确，122,2121()2122,2nn n nn S n ⎧⎛⎫+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫=--=⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩为奇数为偶数， 当n 为奇数时，(2,3]n S ∈，当n 为偶数时，3[,2)2n S ∈，又1n n y S S =-关于n S 单调递增，所以当n 为奇数时，138(,]23n n S S -∈，当n 为偶数时，153[,)62n n S S -∈，所以83m ≥，56t ≤，所以8511366m t -≥-=，D 正确， 故选：ABD . 【点睛】本题考查了等差中项的应用，考查了等比数列通项公式，考查了等比数列的前n 项和公式，考查了数列不等式恒成立问题，属于中档题.25．AD 【分析】主要分析数列中的项是否可能为0，如果可能为0，则不能是等比数列，在不为0时，根据等比数列的定义确定． 【详解】1n a =时，22log ()0n a =，数列22{log ()}n a 不一定是等比数列， 1q =-时，10n n a a ++=，数列1{}n n a a ++不一定是等比数列，由等比数列的定义知1{}na 和12{}n n n a a a ++++都是等比数列． 故选AD ． 【点睛】本题考查等比数列的定义，掌握等比数列的定义是解题基础．特别注意只要数列中有一项为0，则数列不可能是等比数列． 26．ABD 【分析】根据,n n a S 的关系，求得n a ，结合等比数列的定义，以及已知条件，即可对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和满足()*12n n a S n N +=∈，当2n ≥时，12n n a S -=，两式相减，可得112()2n n n n n a a S S a +-=-=-， 可得13n n a a +=，即13,(2)n na a n +=≥， 又由11a =，当1n =时，211222a S a ===，所以212a a =， 所以数列的通项公式为21,1232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩；当2n ≥时，11123322n n n n a S --+⋅===，又由1n =时，111S a ==，适合上式，所以数列的{}n a 的前n 项和为13n n S -=；又由11333nn n n S S +-==，所以数列{}n S 为公比为3的等比数列， 综上可得选项,,A B D 是正确的. 故选：ABD. 【点睛】本题考查利用,n n a S 关系求数列的通项公式，以及等比数列的证明和判断，属综合基础题. 27．AD 【分析】由已知可得11222n n n n S n S nS n S n ++++==++，结合等比数列的定义可判断A ；可得2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断B ；由1231,1,3a a a ===可判断C ；由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D. 【详解】因为121n n S S n +=+-，所以11222n n n n S n S nS n S n++++==++．又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故A 正确；所以2n n S n +=，则2nn S n =-．当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11121a -≠-，故B 错误；由1231,1,3a a a ===可得12312,12,14a a a +=+=+=，即32211111a a a a ++≠++，故C 错； 因为1222n n S n +=-，所以2311222...2221222...22n n S S S n ++++=-⨯+-⨯++-()()()23122412122 (2)212 (22412)2n n n n n n n n n ++--⎡⎤=+++-+++=-+=---⎢⎥-⎣⎦ 所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确． 故选:AD ． 【点睛】本题考查等比数列的定义，考查了数列通项公式的求解，考查了等差数列、等比数列的前n 项和，考查了分组求和．28．ACD 【分析】根据题设中的数阵，结合等比数列的通项公式和等比数列的前n 项和公式，逐项求解，即可得到答案. 【详解】由题意，该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列，且112a =，13611a a =+，可得2213112a a m m ==，6111525a a d m =+=+，所以22251m m =++，解得3m =或12m =-（舍去），所以选项A 是正确的； 又由6666761(253)3173a a m ==+⨯⨯=⨯，所以选项B 不正确；又由1111111(3[((1)][2(1)3]31)3j j j j ij i a ma i m m i i a ----==+-⨯⨯==-⨯+-⨯⨯，所以选项C 是正确的； 又由这2n 个数的和为S ， 则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++11121(13)(13)(13)131313n n n n a a a ---=+++---1(231)(31)22nn n +-=-⋅ 1(31)(31)4n n n =+-，所以选项D 是正确的， 故选ACD. 【点睛】本题主要考查了数表、数阵数列的求解，以及等比数列及其前n 项和公式的应用，其中解答中合理利用等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 29．BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项求得0d =或1,再分情况求解{}n b 的前n 项和n S 即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,又11a =,且2a ,4a ,8a 是一个等比数列中的相邻三项∴2428a a a =,即()()()211137a d a d a d +=++,化简得：(1)0d d -=,所以0d =或1,故1n a =或n a n =,所以n b q =或nn b n q =⋅,设{}n b 的前n 项和为n S ,①当n b q =时,n S nq =；②当nn b n q =⋅时,23123n n S q q q n q =⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯（1）, 2341123n n qS q q q n q +=⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⨯（2）,（1）-（2）得：()()2311111n nn n n q q q S q q q q n qn q q++--=+++-⨯=-⨯-+⋅⋅,所以121122(1)(1)1(1)n n n n n n q q n q q nq nq q S q q q ++++-⨯+--=-=---,故选：BD 【点睛】本题主要考查了等差等比数列的综合运用与数列求和的问题,需要根据题意求得等差数列的公差与首项的关系,再分情况进行求和.属于中等题型. 30．BCD 【分析】根据间隔递增数列的定义求解. 【详解】 A. ()1111111n k n n n k k n a a a a qq q a q +---+=-=--，因为1q >，所以当10a <时，n k n a a +<，故错误；B. ()()244441++n kn n kn a a n k n k k n k n n k n n k n +⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫-=++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令24t n kn =+-，t 在n *∈N 单调递增，则()1140t k =+->，解得3k >，故正确；C. ()()()()()()21212111n kn nk n k n a a n k n k ++⎡⎤-=++--+-=+---⎣⎦，当n 为奇数时，()2110kk --+>，存在1k 成立，当n 为偶数时，()2110kk +-->，存在2k ≥成立，综上：{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确； D. 若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则()()()2222020202020n k n a a n k t n k n tn kn k tk +-=+-++--+=+->，n *∈N 成立，则()220k t k +->，对于3k ≥成立，且()220k t k +-≤，对于k 2≤成立即()20k t +->，对于3k ≥成立，且()20k t +-≤，对于k 2≤成立 所以23t -<，且22t -≥ 解得45t ≤<，故正确. 故选：BCD 【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 31．ABD 【分析】由条件可得32242q q q =+，解出q ，然后依次计算验证每个选项即可.【详解】由题意32242q q q =+，得220q q --=，解得2q（负值舍去），选项A 正确；1222n n n a -=⨯=，选项B 正确；()12212221n n n S +⨯-==--，所以102046S =，选项C 错误；13n n n a a a ++=，而243n n n a a a +=>，选项D 正确．故选：ABD 【点睛】本题考查等比数列的有关计算，考查的是学生对基础知识的掌握情况，属于基础题. 32．AC【分析】直接利用题目中“保等比数列函数”的性质，代入四个选项一一验证即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q .对于A ，则2221112()()n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ，故A 是“保等比数列函数”； 对于B ，则111()22()2n n n n a a a n a n f a f a ++-+==≠ 常数，故B 不是“保等比数列函数”； 对于C，则1()()n n f a f a +===，故C 是“保等比数列函数”； 对于D ，则11ln ln ln ln ln ()1()ln ln ln ln n n n n n n n n na a q a q q f a f a a a a a ++⋅+====+≠ 常数，故D 不是“保等比数列函数”.故选：AC.【点睛】本题考查等比数列的定义，考查推理能力，属于基础题.33．BC【分析】根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果.【详解】由等差中项的性质可得381383a a a a ++=为定值，则8a 为定值，()11515815152a a S a +==为定值，但()()11616891682a a S a a +==+不是定值.故选：BC.【点睛】本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 34．AD【分析】计算到12a =，232a =，32a =，474a =，565a =，612a =，727a =，898a =，根据“谷值点”的定义依次判断每个选项得到答案.【详解】 98n a n n =+-，故12a =，232a =，32a =，474a =，565a =，612a =，727a =，898a =.故23a a <，3不是“谷值点”；12a a >，32a a >，故2是“谷值点”；67a a >，87a a >，故7是“谷值点”；65a a <，5不是“谷值点”.故选：AD .【点睛】本题考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.35．ACD【分析】根据新定义进行判断．【详解】A ．若数列{}n a 是单增数列，则11111111()(1)n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a ------=--+=-+， 虽然有1n n a a ->，但当1110n n a a -+<时，1n n b a -<，因此{}n b 不一定是单增数列，A 正确； B ．31n a n =-，则13131n b n n =---，易知{}n b 是递增数列，无最大值，B 错； C ．31n a n =-，则13131n b n n =---，易知{}n b 是递增数列，有最小值，最小值为1b ，C 正确；D ．若112n n a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则111()121()2n n n b =-----， 首先函数1y x x=-在(0,)+∞上是增函数， 当n 为偶数时，11()(0,1)2n n a =-∈，∴10n n n b a a =-<， 当n 为奇数时，11()2n n a =+1>，显然n a 是递减的，因此1n n n b a a =-也是递减的， 即135b b b >>>，∴{}n b 的奇数项中有最大值为13250236b =-=>， ∴156b =是数列{}(*)n b n N ∈中的最大值．D 正确． 故选：ACD ．【点睛】本题考查数列新定义，解题关键正确理解新定义，把问题转化为利用数列的单调性求最值．。