第三章 工业机器人运动学-3逆运动学.ppt48精品文档
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工业机器人运动学
注意：对于旋转关节，绕z 轴的旋转角 （ θ角）是关节变量。对于滑动关节， 沿 z轴的连杆长度d 是关节变量；
3.8 机器人正运动学方程的D-H参数表示法
一.连杆坐标系的建立
本地参考坐标系步骤：
（1）通常关节不一定平行或相交。因此 ，通常z轴是斜线，但总有一条距离最短的 公垂线，它正交于任意两条斜线。通常在 公垂线方向上定义本地参考坐标系的x轴。 所以如果an表示 zn-1与zn之间的公垂线， 则xn的方向将沿an 。同样，在 zn与 zn+1之 间的公垂线为，xn+1的方向将沿an +1。
3T6
S4C5C6
C4 S6
S5C6 0
S4C5S6 C4C6 S5S6 0
S4S5 C5 0
0
0 1
C1 0 S1 0
A1
S1 0
0 1
C1 0
0 0
0
0
0
1
3.8 机器人正运动学方程的D-H参数表示法
nx = C1 [ C2 ( C4C5C6 - S4S6 ) - S2S5C6 ] - S1( S4C5S6 + C4S6 ) ny = S1 [ C2 ( C4C5C6 - S4S6 ) - S2S5C6 ] + C1( S4C5S6+C4S6 ) nz = -S2 ( C4C5C6 - S4S6 ) - C2S5C6 ox = C1 [ -C2 ( C4C5S6 + S4C6 ) + S2S5C6 ] - S1( -S4C5S6 + C4S6 ) oy = S1 [ -C2 ( C4C5C6 + S4C6 ) + S2S5S6 ] + C1( -S4C5S6 + C4S6 ) oz = S2 ( C4C5C6 + S4C6 ) + C2S5S6 ax = C1 ( C2C4S5 + S2C5 ) – S1S4C5 ay = S1 ( C2C4S5 + S2C5 ) + C1S4S5 az = –S2C4S5 + C2C5 px = C1S2d3 – S1d2 py = S1S2d3 + C1d2 pz = C2d3
《工业机器人技术及应用》教学课件—03工业机器人运动学和动力学
规定:
①列阵［a b c 0］T中第四个元素为零, 且a2+b2+c2=1, 表示某轴(或某矢量)的方向;
图3-2 坐标轴方向的描述
②列阵［a b c ω］T中第四个元素不为零, 则表示空间某点的位置。
3.1 工业机器人的运动学
例如, 在图3-2中, 矢量v的方向用(4×1)列阵表示为
其中: a=cosα, b=cosβ, c=cosγ。
当α=60°, β=60°, γ=45°时, 矢量为
3.1 工业机器人的运动学
4. 动坐标系位姿的描述就是用位姿矩阵对动坐标系原点位
置和坐标系各坐标轴方向的描述。该位姿矩阵为(4×4)的方 阵。如上述直角坐标系可描述为:
3.1 工业机器人的运动学
5. 刚体位姿的描述 机器人的每一个连杆均可视为一个刚体, 若给定了刚体
(3-1)
图3-1 点的位置描述
其中, px、 py、pz是点P的三个位置坐标分量。
3.1 工业机器人的运动学
2. 点的齐次坐标 如用四个数组成的(4×1)列阵表示三维空间直角坐标系
{A}中点P, 则该列阵称为三维空间点P的齐次坐标, 如下:
(3-2)
齐次坐标并不是惟一的, 当列阵的每一项分别乘以一个
X
同理，手部坐标系Y’与Z’轴的方向可分别用单位
矢量o和α 来表示。
手部位姿可用矩阵表达为：
3.1 工业机器人的运动学
7. 目标物位姿的描述 任何一个物体在空间的位置和姿态都可以用齐次矩阵
来表示, 如图3-5所示。楔块Q在(a)图的情况下可用6个点 描述,
图 3-5 目标物的位置和姿态描述
3.1 工业机器人的运动学
的旋转如图3-8所示。A(x, y,
第三章 工业机器人运动学-3逆运动学
第三章 工业机器人的运动学-3
主要内容
数学基础——齐次坐标变换
机器人运动学方程的建立（正运动学）
机器人逆运动学分析（逆运动学）
三、逆运动学方程
（ Inverse Kinematic Equations ）
3.1 引言 3.2 逆运动学方程的解 3.3 斯坦福机械手的逆运动学解 3.4 欧拉变换的逆运动学解
根据上述五个矩阵方程对应元素相等，可得到若干个可解的代数方程，便可
求出关节变量θn或 dn。
3.3 斯坦福机械手的逆运动学解
（ Inverse solution of Stanford manipulator）
在第三章我们推导出 Stanford Manipulator 的运动方程和各关节齐次变换式。 下面应用式（3.2）～（3.6）进行求解：
x y x y x y
－ ＋
y
x y
＋ ＋
θ x
－ －
＋ －
就不难确定欧拉角所在的象限。
为 此 ， 我 们 采 用 前 节的 方 法 ， 用 Rot (z, ø － 1 左 乘 式 ) （3.31）有 Rot－1(z,ø T ＝ Rot (y, θ) Rot (z, ψ) ) （3.46）
图3.1 正切函数所在象限
nx n T6 y nz 0
ox oy oz 0
ax ay az 0
px py pz 1
（3）由T6 和An（n＝1，2，…，6）和式（4.1）求出相应的关节变量θn 或 dn。
3.2 逆运动学方程的解（Solving inverse kinematic equations）
(3.10) (3.11) (3.12)
1T
主要内容
数学基础——齐次坐标变换
机器人运动学方程的建立（正运动学）
机器人逆运动学分析（逆运动学）
三、逆运动学方程
（ Inverse Kinematic Equations ）
3.1 引言 3.2 逆运动学方程的解 3.3 斯坦福机械手的逆运动学解 3.4 欧拉变换的逆运动学解
根据上述五个矩阵方程对应元素相等，可得到若干个可解的代数方程，便可
求出关节变量θn或 dn。
3.3 斯坦福机械手的逆运动学解
（ Inverse solution of Stanford manipulator）
在第三章我们推导出 Stanford Manipulator 的运动方程和各关节齐次变换式。 下面应用式（3.2）～（3.6）进行求解：
x y x y x y
－ ＋
y
x y
＋ ＋
θ x
－ －
＋ －
就不难确定欧拉角所在的象限。
为 此 ， 我 们 采 用 前 节的 方 法 ， 用 Rot (z, ø － 1 左 乘 式 ) （3.31）有 Rot－1(z,ø T ＝ Rot (y, θ) Rot (z, ψ) ) （3.46）
图3.1 正切函数所在象限
nx n T6 y nz 0
ox oy oz 0
ax ay az 0
px py pz 1
（3）由T6 和An（n＝1，2，…，6）和式（4.1）求出相应的关节变量θn 或 dn。
3.2 逆运动学方程的解（Solving inverse kinematic equations）
(3.10) (3.11) (3.12)
1T
第3章工业机器人运动学和动力学概要
第3章工业机器人运动学和动力学机器人操作臂可看成一个开式运动链，它是由一系列连杆通过转动或移动关节串联而成。
开链的一端固定在基座上，另一端是自由的，安装着工具，用以操作物体，完成各种作业。
关节由驱动器驱动，关节的相对运动导致连杆的运动，使手爪到达所需的位姿。
在轨迹规划时，最感兴趣的是末端执行器相对于固定参考系的空间描述。
为了研究机器人各连杆之间的位移关系，可在每个连杆上固接一个坐标系，然后描述这些坐标系之间的关系。
Denavit和Hartenberg提出一种通用方法，用一个4*4的齐次变换矩阵描述相邻两连杆的空间关系，从而推导出“手爪坐标系”相对于“参考系”的等价齐次变换矩阵，建立出操作臂的运动方程。
称之为D-H矩阵法。
3.1 工业机器人的运动学教学时数：4学时教学目标：理解工业机器人的位姿描述和齐次变换；掌握齐次坐标和齐次变换矩阵的运算；理解连杆参数、连杆变换和运动学方程的求解；教学重点：掌握齐次变换及运动学方程的求解教学难点：齐次变换及运算教学方法：讲授教学步骤：齐次变换有较直观的几何意义，而且可描述各杆件之间的关系，所以常用于解决运动学问题。
已知关节运动学参数，求出末端执行器运动学参数是工业机器人正向运动学问题的求解；反之，是工业机器人逆向运动学问题的求解。
3.1.1 工业机器人位姿描述1.点的位置描述在选定的指教坐标系{A}中，空间任一点P的位置可用3*1的位置矢量表示，其左上标代表选定的参考坐标系。
2.点的齐次坐标如果用四个数组成4*1列阵表示三维空间直角坐标系{A}中点P，则该列阵称为三维空间点P的齐次坐标，如下：必须注意，齐次坐标的表示不是惟一的。
我们将其各元素同乘一个非零因子后，仍然代表同一点P，即其中：，，。
该列阵也表示P点，齐次坐标的表示不是惟一的。
3.坐标轴方向的描述用i、j、k分别表示直角坐标系中X、Y、Z坐标轴的单位向量，用齐次坐标来描述X、Y、Z轴的方向，则有，，从上可知，我们规定：4*1列阵中第四个元素为零，且，则表示某轴（某矢量）的方向。
电机拖动技术基础第三章机器人的运动学PPT课件
第三章 机器人的运动学
►3.1 刚体的位姿描述 ►3.2 坐标变换 ►3.3 齐次坐标和齐次变换 ►3.4 变换方程和欧拉角 ►3.5 机器人运动学的正问题和逆问题
3.1 刚体的位姿描述
一、位姿的定义
刚体参考点的位置（坐标系的位置）和刚体的姿态统称为刚体的位姿。
(为描述机器人本身的各个连杆之间.机器人和环境之间的运动关系,将
n
n o a
手爪的方位由旋转矩阵R规定。
R n
o
a
手爪的位置由位置矢量 p
规定。
代表手p 爪坐标系的原点。
则手爪的位姿可由四个矢量
来 来描述。
noa p
记为:
T n o a p
3.2 坐标变换
定义：由于空间中任意点P在不同坐标系中的描述不同，所以需要 研究从一个坐标系的描述到另一个坐标系的描述之间的变换关，通 常称为坐标变换。
{S}代表工作站(操作台)坐标系(工作站框)
{G}代表目标坐标系(目标框) 它们之间的位姿关系用相应的齐次变换来描述。图3-6 机器人与环境坐标系
B S
T描述工作站框{S}相对于基座{B}的位姿，
S G
T描述目标框{G}相对于工作站{S}的位姿。
对物体进行操作时(搬运或装配机器人)，工具框{T}相对目标框{G} 的位姿 直接GT T 影响操作效果。 是机GT T器人控制和轨迹规划的对象。
=
相对于固定坐标系运动 相对于活动坐标系运动
2.变换过程的可逆性
齐次坐标变换过程是可逆的. 若有 ，则逆变换
。
所以有 I44BATABT A B0R BP 1AO BA0R AP 1BO
A BR0BAR
A BRAPB1OBPAO
►3.1 刚体的位姿描述 ►3.2 坐标变换 ►3.3 齐次坐标和齐次变换 ►3.4 变换方程和欧拉角 ►3.5 机器人运动学的正问题和逆问题
3.1 刚体的位姿描述
一、位姿的定义
刚体参考点的位置（坐标系的位置）和刚体的姿态统称为刚体的位姿。
(为描述机器人本身的各个连杆之间.机器人和环境之间的运动关系,将
n
n o a
手爪的方位由旋转矩阵R规定。
R n
o
a
手爪的位置由位置矢量 p
规定。
代表手p 爪坐标系的原点。
则手爪的位姿可由四个矢量
来 来描述。
noa p
记为:
T n o a p
3.2 坐标变换
定义：由于空间中任意点P在不同坐标系中的描述不同，所以需要 研究从一个坐标系的描述到另一个坐标系的描述之间的变换关，通 常称为坐标变换。
{S}代表工作站(操作台)坐标系(工作站框)
{G}代表目标坐标系(目标框) 它们之间的位姿关系用相应的齐次变换来描述。图3-6 机器人与环境坐标系
B S
T描述工作站框{S}相对于基座{B}的位姿，
S G
T描述目标框{G}相对于工作站{S}的位姿。
对物体进行操作时(搬运或装配机器人)，工具框{T}相对目标框{G} 的位姿 直接GT T 影响操作效果。 是机GT T器人控制和轨迹规划的对象。
=
相对于固定坐标系运动 相对于活动坐标系运动
2.变换过程的可逆性
齐次坐标变换过程是可逆的. 若有 ，则逆变换
。
所以有 I44BATABT A B0R BP 1AO BA0R AP 1BO
A BR0BAR
A BRAPB1OBPAO
机器人技术基础课件第三章 机器人运动学
T = f(qi) 其中，T为机器人末端执行器的位姿，qi为机器人各个关 节变量。若给定qi，要求确定相应的T，称为正运动学问题 。
30
3.2.1 机器人正运动学方程
如图所示是个三自由度的机器人， 三个关节皆为旋 转关节，第3关节轴线垂直于1、2关节轴线所在的平 面，各个关节的旋转方向如图所示，用D-H方法建立 各连杆坐标系，求出该机器人的运动学方程。
刚体的姿态可由动坐标系的坐
标的轴刚 位方置体向可Q在来用固表齐定示次坐。坐标令标系n形、O式oX、的YZa一中分
别为X′、y ′、z ′坐标轴的 个(4×1)列阵表示为： 单位方向矢量，每个单位方向 矢量在固定坐标系上的分量为 动坐标系各坐标轴的方向余弦， 用齐次坐标形式的(4×1)列阵 分别表示为：
y L1 sin1 L2 sin(1 2 )
通常的矢量形式：
r f ( )
29
3.2.1 机器人正运动学方程
机器人正运动学将关节变量作为自变量，研究机器人末 端执行器位姿与基座之间的函数关系。总体思想是：
（1）给每个连杆指定坐标系； （2）确定从一个连杆到下一连杆变换（即相邻参考系 之间的变化）； （3）结合所有变换，确定末端连杆与基座间的总变换 ； （4）建立运动学方程求解。 机器人运动学的一般模型为：
03T 01T12T 23T
如此类推，对于六连杆机器人，有下列矩阵：
06T 01T12T 23T 34T 45T 56T
3.2 3.2 机械手运动学方程
26
0 6
T
3.1.4 连杆变换矩阵及其乘积
06T 01T12T23T34T 45T56T
机器人运动学方程
此式右边表示了从固定参考系到手部坐标系的各连杆
30
3.2.1 机器人正运动学方程
如图所示是个三自由度的机器人， 三个关节皆为旋 转关节，第3关节轴线垂直于1、2关节轴线所在的平 面，各个关节的旋转方向如图所示，用D-H方法建立 各连杆坐标系，求出该机器人的运动学方程。
刚体的姿态可由动坐标系的坐
标的轴刚 位方置体向可Q在来用固表齐定示次坐。坐标令标系n形、O式oX、的YZa一中分
别为X′、y ′、z ′坐标轴的 个(4×1)列阵表示为： 单位方向矢量，每个单位方向 矢量在固定坐标系上的分量为 动坐标系各坐标轴的方向余弦， 用齐次坐标形式的(4×1)列阵 分别表示为：
y L1 sin1 L2 sin(1 2 )
通常的矢量形式：
r f ( )
29
3.2.1 机器人正运动学方程
机器人正运动学将关节变量作为自变量，研究机器人末 端执行器位姿与基座之间的函数关系。总体思想是：
（1）给每个连杆指定坐标系； （2）确定从一个连杆到下一连杆变换（即相邻参考系 之间的变化）； （3）结合所有变换，确定末端连杆与基座间的总变换 ； （4）建立运动学方程求解。 机器人运动学的一般模型为：
03T 01T12T 23T
如此类推，对于六连杆机器人，有下列矩阵：
06T 01T12T 23T 34T 45T 56T
3.2 3.2 机械手运动学方程
26
0 6
T
3.1.4 连杆变换矩阵及其乘积
06T 01T12T23T34T 45T56T
机器人运动学方程
此式右边表示了从固定参考系到手部坐标系的各连杆
机器人学基础_第3章机器人运动学
移动连杆坐标系的建立
移动连杆坐标系的规定：
• 坐标轴Zi：与i+1关节的轴线重合； • 坐标轴Xi：沿移动关节i轴线与关节i+1轴线的公垂线,指向i+1关节； • 坐标轴Yi：按右手直角坐标系法则确定； • 坐标原点Oi： （1）当关节i轴线和关节i+1轴线相交时，取交点； （2）当关节i轴线和关节i+1轴线异面时，取两轴线的公垂线与关节i轴
动到使其原点与连杆i坐标系原点重合的地方。 • (4) 绕Xi旋转αi角，使Zi–1转到与Zi同一直线上。 • 连杆i–1的坐标系经过上述变换与连杆i的坐标系
重合。如果把表示相邻连杆相对空间关系的矩阵 称为A矩阵，那么根据上述变换步骤，从连杆i到 连杆i–1的坐标变换矩阵Ai为
•
(3.13)
• 同理，对联轴器的齐次坐标变换矩阵有 •
• 手部的位置矢量为固定参考系原点指向手 部坐标系{B}原点的矢量P，手部的方向矢 量为n、o、a。于是手部的位姿可用4 4 矩阵表示为
•
•
nX oX a X PX
T
nY
oY
aY
PY
nZ 0
oz 0
aZ 0
PZ 1
• 思考：
• ①说明位姿矩阵的左上角3×3矩阵的几何 意义。
• ②分别说明n, o, a, P的几何意义。
a1 = l 1 =100
a2 = l 2 =100
旧课复习与总结
转动连杆坐标系的建立
• 坐标轴Zi：与i+1关节的轴线重合； • 坐标轴Xi：沿连杆i两关节轴线的公垂线,指向i+1关节； • 坐标轴Yi：按右手直角坐标系法则确定； • 坐标原点Oi： （1）当关节i轴线和关节i+1轴线相交时，取交点； （2）当关节i轴线和关节i+1轴线异面时，取两轴线的公垂
机器人运动学正解逆解-精PPT课件
A3
ai—沿 xi 轴， zi-1 轴与 xi 轴交点到Oi 的距离
αi — 绕 xi 轴，由 zi-1 转向zi
di — 沿 zi-1 轴，zi-1 轴和 xi 交点至Oi –1 坐标
系原点的距离
θi — 绕 zi-1 轴，由 xi-1转向 xi
A5
A4 A6
.
16
连杆 n θn
dn
anαn1 θ1 源自900) 0S5S6 0C234S5 S234S5
C5 0
C234a4 C23a3 C2a2
S234a4
S23a3
S2a2
0
1
根据第3行第4列元素对应相等可得到
1a rc tp paxy)n和 (111 8 0
.
29
根据1，4元素和2，4元素，可得到：
pxC 1pyS1C23 a4 4C2a 33C2a2 pzS23 a4 4S2a 33S2a2
C234a4 ) S234a4 )
进而可得：
4 234 2 3
再 根 据 对 应 项 元 素 相 ， 等 可 以 得 到
S5 C23（4 C1ax S1ay ) S234az
C5 C1ay S1ax
5
arctanC234(C1ax S1ax
S1ay ) C1ay
S234az
.
32
§1.4 机器人正向运动学
工业机器人的正向运动学是指已知各关节的类型、相邻 关节之间的尺寸和相邻关节相对运动量的大小时，如何确 定工业机器人末端操作器在固定坐标系中的位姿。
主要包括以下内容： 1) 相对杆件的坐标系的确定； 2) 建立各连杆的模型矩阵A； 3) 正运动学算法；
.
1
工业机器人运动学
（2）圆柱坐标
由于这些变换都是相对于全局参考坐标系的坐标轴
的，因此由这三个变换所产生的总变换可以通过依
次左乘每一个矩阵而求得：
RTP Tcyl (r, ,l) Trans(0, 0,l)Rot(z, )Trans(r, 0, 0)
1 0 0 0 C S 0 0 1 0 0 r
动组成，运动顺序为：先沿z轴平移r ,再y轴旋转 β并 绕z轴旋转γ。这三个变换建立了手坐标系与参考坐标
系之间的联系。由于这些变换都是相对于全局参考坐
标系的坐标轴的，因此有这三个变换所产生的总变换
可以通过一次左乘每一个矩阵而求得：
RTP Tsph r, , Rotz, Roty, Trans0,0, r
解： 设定正运动学方程用式（3.31）中的RTP 矩阵表示，根据期望的位置可得知 如下结果：
1 0 0 Px 1 0 0 3
RTP
0 0
0
1 0 0
0 1 0
Py
0
Pz 1
0 0
1 0 0
0 1 0
4 7
或Px
3, Py
4, Pz
7
1
RTP
Tsph
C S S
C
0
S S
rS
S
C
rC
0
0
0
1
3.7 机器人的正逆运动学
例3-15假设要将球坐标机器人手坐标系原点放在3 4，7T 计算机器人的关节变量。
解： 设定正运动学方程用式（3.35）中的Txph 矩阵表示，根据期望的位置可得知 如下结果：
第三章机器人运动学PPT课件
用一组关节变量(di或i)来描述。这组变量通常称为关节矢量或关节坐标，
由这些矢量描述的空间称为关节空间。
• 正向运动学：关节空间末端笛卡儿空间，单射 • 逆向运动学：末端笛卡儿空间关节空间，复射
不同的关节空间，相同的 末端笛卡儿空间
关节空间与末端笛卡儿空 间映射关系
第三章 机器人的运动学
3.1 工业机器人运动学
，它的齐
次坐标就是
，即满足Px=ωPx/ω，Py=ωPy/ω，
Pz=ωPz/ω（ω是非零整数）。可以看出，在三维直角坐标系中，
由于ω取值的不同，一个点的齐次坐标的表达不唯一。
齐次坐标不仅可以规定点的位置（ω为非零整数），还可以
用来规定矢量的方向（第四个元素为零时）。列向量
(
）表示空间的无穷远点，a，b和c称为它的方向
单位主矢量相对于坐标系{A}的方向余弦组成：
xB
yB
zB
xA
yA
zA
其中：co scoxB s ,xA ()
既表示了刚体F在{A}系中的方位，也描述了{B}系在{A}系中的 姿态。
3.1.2.2 坐标变换
一、坐标平移
如图3-5，坐标系{B}与{A} 方向相同，但原点不重合。
图3-5 坐标平移
此式称为平移方程。其中 是B系中的原点在A系中的表示。
0
0
0
1
1
1
给定坐标系{A}，{B}和{C}，已知{B}相对{A}的描述为 ，
{C}相对{B}的描述为
AP A BTBP BPC BTCP APC ATCP
，则有
APA BTC BTCP
CATABTCBT
从而定义复合变换
。
同理得出：
由这些矢量描述的空间称为关节空间。
• 正向运动学：关节空间末端笛卡儿空间，单射 • 逆向运动学：末端笛卡儿空间关节空间，复射
不同的关节空间，相同的 末端笛卡儿空间
关节空间与末端笛卡儿空 间映射关系
第三章 机器人的运动学
3.1 工业机器人运动学
，它的齐
次坐标就是
，即满足Px=ωPx/ω，Py=ωPy/ω，
Pz=ωPz/ω（ω是非零整数）。可以看出，在三维直角坐标系中，
由于ω取值的不同，一个点的齐次坐标的表达不唯一。
齐次坐标不仅可以规定点的位置（ω为非零整数），还可以
用来规定矢量的方向（第四个元素为零时）。列向量
(
）表示空间的无穷远点，a，b和c称为它的方向
单位主矢量相对于坐标系{A}的方向余弦组成：
xB
yB
zB
xA
yA
zA
其中：co scoxB s ,xA ()
既表示了刚体F在{A}系中的方位，也描述了{B}系在{A}系中的 姿态。
3.1.2.2 坐标变换
一、坐标平移
如图3-5，坐标系{B}与{A} 方向相同，但原点不重合。
图3-5 坐标平移
此式称为平移方程。其中 是B系中的原点在A系中的表示。
0
0
0
1
1
1
给定坐标系{A}，{B}和{C}，已知{B}相对{A}的描述为 ，
{C}相对{B}的描述为
AP A BTBP BPC BTCP APC ATCP
，则有
APA BTC BTCP
CATABTCBT
从而定义复合变换
。
同理得出：